Yes,You can 滿分推薦
3
填充題設計，打穩基礎訓練思考 穩建複習，機會只有一次，溫故知新，增強實力
節末實力測驗， 填充題設計，訓 練思考加強運算
章末綜合實力評量， 更多精選題目，熟悉 統測考情
第 章 排列組合
影音解題 蘋果系列行動裝置無法觀看
QRcode (
Chapter
9
)
9
169
排列組合
9
趨勢分析
歷年統測試題數： 年度 年 題數 92
93
3
主題簡介 最常考題型 次重要題型 綜合分析
年
3
94
年
95
4
年
96
4
年
2
97
年
98
4
年
2
99
年
100
2
2
年
101
年
2
一 乘法原理與樹狀圖。 二 排列、重複排列。 三 組合、重複組合、二項式定理。 二項式定理。 直線排列。 不重複組合。 乘法原理。 有相同物的直線排列。 重複組合。 本單元在統測命題中，所佔份量偏高，而且是學習機率的必備知識，務必詳加研讀。 (
)
(
)
(
)
(1)
(2)
(1)
(3)
(2)
9-1
(3)
乘法原理與樹狀圖
樹狀圖與加法原理 重點整理 樹狀圖： 樹狀圖是一種像樹枝的圖形，用來列舉一連串事件發生的可能情況，藉以計算事件所有可能 發生情況的總數。 加法原理： 設完成事件 A 可分成 k 個類別，每個類別不同時發生，若第 個類別有 m （ = 1、 2 、 、 k ）種方法，則完成事件 A 的方法共有 m + m + + m 種。 實例：如右圖的街道中，由 P 到 Q 的捷徑走法，即在每個交叉口只許向右或向上 走的方法，共有多少種？ 由樹形圖 1.
2.
i
1
2
i
i
k
1.
2.
可得由 P 到 Q 的捷徑走法有 3 種 由加法原理 由 P 到 Q 的捷徑走法可分經 C 或經 D 兩種類別，而 P 到 D 的捷徑走法可分經 A 或經 B 兩種類別。
170
第 9 章 排列組合 (1)
(2)
先看圖 a 由 P 到 D 的捷徑走法中，經 A 或經 B 的走法都只有1種， 故由 P 到 D 的捷徑走法有1 + 1 = 2 （種）。 再看圖 b 由 P 到 Q 的捷徑走法中，經 C 的走法必經 A ，由 知有1種方 法，又由 知經 D 的走法有 2 種，故由 P 到 Q 的捷徑走法有 1 + 2 = 3 （種） 。 ( )
( )
(1)
(1)
1
如右圖，一隻螞蟻由 A 點出發，沿 著正立方體 ABCD − EFGH 的稜 長走捷徑到達 G 點，試問其走法有 多少種？ （提示：利用樹狀圖。）
因為是捷徑走法，所以每次只能走 3 個稜長，作圖 如下：
共有 6 種走法
年，美國職棒由洋基隊與國民隊爭總冠 軍，比賽採 7 戰 4 勝制，每場不許和局，若今 已比賽 3 場，洋基隊一勝二敗，則往後的比賽 中，有多少種情形可決定出勝隊？ 2011
因為洋基隊一勝二敗，所以洋基隊需再勝三場，國 民隊再勝二場，即可決定出勝隊，作圖如下：
共有 10 種情形可決定出勝隊
2
設由臺南到臺北有 2 條國道高速公路、 3 條省 道公路、 2 條濱海公路，試問阿龍開車從臺南 直通臺北的方法有多少種？ （提示：加法原理。） 依題意知，臺南到臺北的方法可分成三種類別： 第一類：經國道有 2 種方法 第二類：經省道有 3 種方法 第三類：經濱海有 2 種方法 由加法原理 得方法有 2 + 3 + 2 = 7 （種）
龍鳳麵包廠出售 3 種蛋糕，其中幸福牌有 2 種 口味、美滿牌有 3 種口味、青春牌有 5 種口味， 阿姿欲在該廠選購一個蛋糕，試問方法有多少 種？ 依題意知，選購方法可分成三種類別： 第一類：幸福牌有 2 種選法 第二類：美滿牌有 3 種選法 第三類：青春牌有 5 種選法 由加法原理 得選購方法有 2 + 3 + 5 = 10 （種）
第 章 排列組合 9
171
3
如右之街道圖中，由 A 到 B 的捷徑 走法（即只許向右、向下走），但陰 影區域不得行走的方法有多少種？
如右之街道圖中，由 A 到 B 的捷 徑走法（即只許向左、向下走） 共有多少種？ （提示：由加法原理。）
將陰影部分清空 如右圖所示， 由加法原理可得走法有 42 種
如右圖所示： 由加法原理可得走法有 9 種
4
小明想用 30 元全部去買1元、 5 元或10 元的郵 票，若每種郵票至少買一張，則共有多少種買 法？ （提示：列出三元一次方程式，求其正整數解 個數。） 設買 1 元， 5 元， 10 元的郵票各 x 、 y 、 張，則 x + 5 y + 10 z = 30 ， x 、 y 、 z 為正整數 當 = 1 時， x + 5 y = 20 x 15 10 5 共3種 y 1 2 3 當 = 2 時， x + 5 y = 10 x 5 共1 種 y 1 由加法原理得共有 3 + 1 = 4 種買法 z
z
z
將1000 元大鈔兌換成 50 元、100 元或 500 元的 零票，則兌換的方法有多少種？
設兌換成 50 元，100 元，500 元零票各 x 、 y、z 張， 則 50 x + 100 y + 500z = 1000 即 x + 2 y + 10z = 20 且 x 、 y 、 z 為非負整數 當 = 0 時， x + 2 y = 20 z
x 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 y
0
共 11 種
1
2
3
4
當 z = 1 時， x + 2 y = 10 x 10 y
0
8 6 4 2 0 1 2 3 4 5
當 z = 2 時， x + 2 y = 0
0 5 6 7 8 9 10
共6種
共1 種 由加法原理得共有 11 + 6 + 1 = 18 種兌換方法 x
y
0 0
9
172
第 9 章 排列組合
乘法原理 重點整理 設完成事件 A 須經 k 個步驟，且每個步驟互不影響，而完成第 個步驟有 m （ = 1、2 、 、 k ） 種方法，則完成事件 A 的方法數共有 m × m × × m 種。 i
1
2
i
i
k
5
福利社有 6 種冷飲供選購，現在小龍與小虎前 往各購買一種冷飲，則兩人購買不同冷飲的情 形有多少種？ （提示：由乘法原理。） 分兩個步驟完成 第一步：小龍先選購，方法有 6 種 第二步：小虎選購，方法剩下 5 種 由乘法原理得共有 6 × 5 = 30 種選購方法
某市新建一座巨蛋體育館，共有10 個門，現在 甲、乙、丙三人分別由不同的門進入一次，則 共有多少種走法？ 分三個步驟完成 第一步：甲先進入，方法有 10 種 第二步：乙進入，剩下 9 種方法 第三步：丙進入，剩下 8 種方法 由乘法原理得共有 10 × 9 × 8 = 720 種不同走法
6
小龍有 5 件不同的 恤、4 件不同的褲子、3 雙 不同的鞋子，則每次著裝有多少種不同的搭配 方法？ （提示：乘法原理。） T
每次著裝可分三個步驟完成： 第一步：著 恤的方法有 5 種 第二步：著褲子的方法有 4 種 第三步：著鞋子的方法有 3 種 由乘法原理知，方法有 5 × 4 × 3 = 60 （種） T
龍鳳自助餐廳，備有魚 5 種、肉 3 種、蔬菜 6 種 供應，阿姿前往用餐，預計各點一種魚、肉和 蔬菜，試問她有多少種點法？ 阿姿的點法可分三個步驟： 第一步：點魚的方法有 5 種 第二步：點肉的方法有 3 種 第三步：點蔬菜的方法有 6 種 由乘法原理知，點法有 5 × 3 × 6 = 90 （種）
7
試求 360 的正因數中，15 的倍數有多少個？ （提示：先將 360 因式分解，再利用乘法原 理。） ∵ 360 = 2 × 3 × 5 3
2
360 的正因數必可表成 2 x × 3 y × 5 z 的形式 又 15 = 3 × 5 故其中 x = 0 、 1 、 2 、 3 且 y = 1 、 2 且 z = 1 ∴
2 的指數有 4 種取法 3 的指數有 2 種取法 5 的指數有 1 種取法 360 4 × 2 ×1 = 8
即
由乘法原理得 的正因數中， 15 的倍數有 （個）
試求 540 的正因數中， 6 的倍數有多少個？ ∵ 540 = 2 × 3 × 5 2
3
540 的正因數必可表成 2 x × 3 y × 5 z 的形式 又 6 = 2×3 故其中 x = 1 、 2 且 y = 1 、 2 、 3 且 z = 0 、 1
∴
2 的指數有 2 種取法 3 的指數有 3 種取法 5 的指數有 2 種取法 540 2 × 3 × 2 = 12
即
由乘法原理得 的正因數中 6 的倍數有 （個）
第 章 排列組合 9
173
8
用 4 種不同顏色塗右圖中小丑面 具，每個區域恰塗一種顏色，但相 鄰區域不能同色，試問有多少種塗 法？ （提示：相鄰區域最多者先塗。） 如右圖所示： 依 A、 B 、C 、 D 、 E 、 F 、G 的 順序塗色，其塗色方法分別有 4 ， 3 ， 2 ，1 ，1 ， 3 ， 3 種 由乘法原理，可得塗色方法有 4 × 3 × 2 × 1 × 1 × 3 × 3 = 216 （種）
用 5 種不同顏色塗右圖中 4 個區 域，每個區域塗一種顏色，但相鄰區域不能同 色，試問塗法有多少種？ 如右圖所示， 依 A 、 B 、 C 、 D 的順序塗色， 其塗色方法分別有 5 ， 4 ， 4 ， 4 種 由乘法原理，可得塗法有 5 × 4 × 4 × 4 = 320 （種）
9
某公司生產多款式的「阿民」公仔，各種款式 只有球帽、球衣顏色不同，其中球帽共有黑、 灰、紅、藍 4 種顏色，球衣有白、綠、藍 3 種 顏色，公司決定藍色球帽不搭配藍色球衣，其 他顏色間的搭配就沒有限制。在如此配色要求 之下，最多有多少種不同款式的「阿民」公仔？ （提示：由加法原理與乘法原理。） 依題意，可分成 2 種類別： 第一類：球帽藍色時，可搭配白、綠 2 種球衣，方 法有 1× 2 = 2 種 第二類：球帽黑、灰、紅色時，可搭配白、綠、藍 3 種球衣，方法有 3 × 3 = 9 種 依加法原理：共有不同公仔 2 + 9 = 11 （種）
龍龍鞋店為與同業進行促銷戰，推出「第二雙 不用錢──買一送一」的活動。該鞋店共有八 款鞋可供選擇，其價格如下： 款 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 式 價 格 規定所送的鞋之價格一定少於所買的價格（例 如：買一雙「丁」款鞋，可送甲、乙兩款鞋之 一）。若有一位龍龍鞋店的顧客買一送一，則 該顧客所帶走的兩雙鞋，其搭配方法一共有多 少種？ 670
670
700
700
700
800
800
800
依題意，可分 2 種類別： 第一類：購買丙、丁、戊 3 種款式之一時，可送甲、 乙 2 種款式之一，方法有 3 × 2 = 6 種 第二類：購買己、庚、辛 3 種款式之一時，可送甲、 乙、丙、丁、戊 5 種款式之一，方法有 3 × 5 = 15 種 依加法原理：搭配方法有 6 + 15 = 21 （種）
9
174
第 9 章 排列組合
實力測驗１ 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
甲、乙兩人比賽網球，不許和局，若規定先連勝 2 場或先勝 3 場者，就贏得比賽，試求比賽 的所有可能情形有 10 種。 設龍鳳高中，高一有 20 班、高二有19 班、高三有18 班，現自全校中任選一班，參加全國中 學聯運的開幕式，則選法有 57 種。 如右的街道圖中，由 A 到 B 的捷徑走法（即只許向右、向上走）有 19 種。 右圖表垃圾車行經之街道路線，若規定每一街道必須經過一次，且只能經過一 次，則由 P 到 Q 的走法有 6 種。 試求 x + 3 y + 5z = 10 的非負整數解有 7 組。 三位正整數中，十位數字是 8 且個位數字是偶數，這樣的三位數共有 45 個。 試用 4 種不同顏色塗右圖中 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五個空白區域，相鄰區域不 能同色，則塗法有 216 種。 如右圖有 A 、 B 、 C 、 D 四個區域，其中僅 A 、 D 及 B 、 C 不相鄰，現在用 5 種不 同顏色去塗這四個區域，相鄰區域不得同色，則塗法有 260 種。 東門到西門有 8 條道路，其中有 2 條是自東向西單行道， 3 條是自西向東單行道，另外 3 條則 是雙向道，小龍開車作東西往返一次，若去、回不走同路，其走法有 27 種。 小玲為了參加畢業旅行，從衣櫃整理出 5 件不同的 恤、 4 件不同的襯衫及 3 件不同的牛仔 褲、 2 件不同的裙子，若穿 恤則搭配牛仔褲；穿襯衫則搭配裙子，試問小玲畢旅的第一天 有 23 種穿著方式。 T
T
第 章 排列組合
排列、重複排列
9-2
9
175
9
相異物的直線排列 重點整理 階乘的表示法： 從1開始連續 n 個自然數相乘，稱為「 n 階乘」，記為「 n 」 如： = × × = 、 = × × × = 顯然 n = n × n − = n × n − × n − = 1.
!
(1)
3!
3
!
1
6
4!
1) !
(
4
3
1)
(
= n × ( n − 1) × ( n − 2 ) × 0! = 1
2
1
24
2 )!
(
× 2 ×1
規定 相異物的直線排列： 自 n 件相異物中，任取 m 件（1 ≤ m ≤ n ），不許重複，其直線排列數為 n × n −1 × n − 2 × × n − m + 1 ，以符號 P 表示。 當 m < n 時， P = n × n − × n − × × n − m + = n −n m 當 m = n 時， P = n × n − × n − × × × = n （ P 表示自 n 件相異物中全取的排列 總數） 如： P = 5 × 4 = 20 、 P = 5 × 4 × 3 = 60 、 P = 5 × 4 × 3× 2 ×1 = 120 (2)
2.
2
(
)
(
)
(
n m
(1)
1)
(
n n
(2)
n m
)
1)
(
5 2
(
(
2)
2)
5 3
!
1)
(
2 1
)!
(
n n
!
5 5
1
設 2 × P = 3 × P ，試求自然數 n 之值。 設 P = 36 × P ，試求自然數 n 之值。 由 2 × P = 3× P （提示： P = n n − 1 n − 2 n − m + 1 。） 2n 3
n +1 3
n 2
n m
(
)(
)
由 P = 36 × P 得 2n 2n − 1 2n − 2 = 36n n − 1 整理得 2n − 1 = 9 故n =5 2n 3
(
n 2
(
)(
)
(
)
)
n 3
n +1 3
n 3
得 2 n + 1 × n × n − 1 = 3n n − 1 整理得 2n + 2 = 3n − 6 故n =8 (
)
(
m−2 =
P 8m
)
(
)(
n − 2)
2
設 6 × P = P ，求自然數 m 之值。 （提示： P = n −n m 。） 10 2m
10 2 m +1
!
n m
(
由 6× P = P 得× −m = 整理得 10 − 2m = 6 故m =2 10 2m
6
)!
10 2 m +1
10!
(10
2
)!
10! (10
− 2m − 1)!
設 2× P
8
，求自然數 m 之值。
由 2× P = P 得 × −m+ = −m 整理得 10 − m 9 − m = 2 乘開得 m − 19m + 88 = 0 ⇒ m − 11 m − 8 = 0 ⇒ m = 11 或 8 但 m ≤ 8 ，故 m = 8 8
8
m−2
2
m
8!
(8
8!
2 )!
(
)(
)(
)!
)
2
(
(8
)
176
第 9 章 排列組合
3
甲、乙、丙、丁、戊等 5 人排成一列，試求下 列各排列數： 5 人任意排列。 甲、乙必相鄰。 甲、乙必不相鄰。 （提示：必相鄰者視為一體；不相鄰者插入間 隔。） (1)
(2)
(3)
(1) (2)
人全取的排列數有 P = = （種） 將「甲、乙」兩人視為一體，則形成 4 人排成 一列，方法有 P = = （種） 又甲、乙兩人可互調，方法有 P = = （種） 由乘法原理得排法共有 × = （種） 將「丙、丁、戊」先任意排列，方法有 P = （種），次將「甲、乙」插入「丙、丁、 戊」的四個間隔 中，如圖所示： 丙 丁 戊 ，方法有 P = （種） 由乘法原理得排法有 P × P = （種） 5 5
5
4 4
4!
5!
(2)
(3)
(1) (2)
2!
2!
2
3 3
4 2
6 6
6!
4!
24
720
3 3
4!
(3)
3 3
48
3!
3!
3!
6
144
6
4 3
3!
4 2
人全取的排列數有 P = = （種） 將「甲、乙、丙」三人視為一體，則形成 4 人排 成一列，方法有 P = = （種） 又甲、乙、丙可互調，方法有 P = = （種） 由乘法原理得排法有 × = （種） 將「丁、戊、己」先任意排列，方法有 P = = （種），次將「甲、乙、丙」插入「丁、 戊、己」的四個間隔 中，如圖所示： 丁 戊 己 ，方法有 P = 24 （種） 由乘法原理得排法有 P × P = 144 （種） 6
4 4
24
4!
3 3
(1)
120
2 2
(3)
甲、乙、丙、丁、戊、己等 6 人排成一列，試 求下列各排列數： 6 人任意排列。 甲、乙、丙必相鄰。 甲、乙、丙必不相鄰。
3 3
4 3
12
72
4
自「 0 、1、 2 、3 、 4 」等 5 個數字中任取 4 個 相異數字作成 4 位數，則可作成多少個？ （提示：有限制的位置須先排。）
正面解法： ∵首位不能排 0 ，須先排，方法為自 1 、 2 、 3 、 4 中任選其一 ∴有 P = 4 （種） 其次自剩下的 4 個數字任選 3 個出來排列，方法有 P = 24 （種） 由乘法原理知可排出的 4 位數有 P × P = 96 （個） 反面解法： （任意排的排列數）−（ 0 在首位的排列數） = P − P = 120 − 24 = 96 （個） 4 1
4 3
4 1
4 3
5 4
4 3
自「 0 、1、 2 、 3 、 4 、 5 」等 6 個數字中任 取 3 個相異數字作成 3 位數，則可作成多少 個？ ∵首位不能排 0 ，須先排，方法為自 1 、 2 、 3 、 4 、 5 中任選其一 ∴有 P = 5 （種） 其次自剩下的 5 個數字中任選 2 個出來排列，方法 有 P = 20 （種） 由乘法原理知可排出 3 位數 P × P = 100 （個） （任意排的排列數）−（ 0 在首位的排列數） = P − P = 120 − 20 = 100 （個） 5 1
5 2
5 1
5 2
6 3
5 2
第 章 排列組合 9
177
5
將「 A 、 B 、C 、 D 、 E 」5 個字母排成一列， 求下列各排列數： (1) A 必排首位。(2) A 不排首位。 （提示：有限制的位置須先排。） (1)
先將 A 排入首位，方法有 1 種 次將其餘 4 個字母在其餘的 4 個位置任意排， 方法有 種 故排法有 × = （種） A 不排首位的方法 = （任意排列數）−（ A 排首位的排列數） = − = − = （種）
將「 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 」 6 個字母排成 一列，求下列各排列數： (1) A 必排首位且 B 必排末位。 (2) A 必排首位且 B 不排末位。 (1)
4!
1
(2)
5!
4!
4!
120
4!
24
24
先將 A 排入首位，方法有 1 種 次將 B 排入末位，方法有 1 種 再將其餘的 4 個字母排在其餘的位置，方法有 種 故排法有 × × = （種） A 必排首位且 B 不排末位的方法 = （ A 必排首位）−（ A 必排首位且 B 必排末位） = − = − = （種） 1 1
(2)
96
5!
4!
4!
120
24
24
96
相同物的直線排列 重點整理 設 n 件物品中，共有 k 類，第一類有 m 件相同、第二類有 m 件相同、……、第 k 類有 m 件相同， 且 m + m + + m = n ，則此 n 件物品全取的排列數為 m m n m 1
2
k
!
1
2
k
1!
2!
k
!
6
將「 3 、 3 、 4 、 4 、9 」5 個數字排成 5 位數， 試求下列各排列數： (1) 任意排列。(2) 兩個「 3 」必相鄰。 [統測] （提示：先視為相異物排列，再除以相同物的 排列數。） (1)
∵ 5 個數字中有 2 個「 3 」、 2 個「 4 」 ∴排法有 = （種） 將「 33 」視為一體，則形成 4 個字的排列，其 中 2 個「 4 」 故排列數有 = （種） 5!
2!2!
(2)
4! 2!
30
12
將「我為人人人人為我」 8 個字排成一列，試 求下列各排列數： (1) 任意排列。(2) 「人」字必相鄰。 (1)
∵ 8 個字中有 2 個「我」、 2 個「為」、 4 個「人」 ∴排列數為 = （種） 將「人人人人」視為一體，則形成 5 個字的排列， 其中 2 個「我」、 2 個「為」 故排列數有 = （種） 8!
2!2!4!
(2)
5!
2!2!
420
30
9
178
第 9 章 排列組合
7
設由 A 到 B 的街道，如右圖所示， 有直街 5 條，橫街 4 條，則由 A 取 捷徑走到 B 的方法有多少種？ （提示： A 到 B 的捷徑，必須是在每個叉路選 擇向右或向上的方向。） 設向右走一小段用「右」表示，向上 走一小段用「上」表示，則每一種捷 徑的走法都是由 4 個「右」及 3 個 「上」排列而成，如右圖粗線所示的 路線為「右右上上上右右」 故由 A 到 B 的捷徑走法有 + = （種） (4
3)!
4!3!
設由 A 到 B 的街道，如右圖所示， 有直街 4 條，橫街 6 條，則 (1)由 A 取捷徑走到 B 的方法有多少種？ (2)其中必經 P 點的捷徑走法有多少 種？ (1)
由 A 到 B 的捷徑走法均由 3 個「右」及 5 個「上」 排列而成 故走法有 + = （種） 由 A 經 P 到 B 的捷徑 = （ A 到 P 的捷徑） × （ P 到 B 的捷徑） = × = （種） (3
5 )!
56
3!5!
(2)
35
5!
3!
2!3!
1!2!
30
環狀排列 重點整理 1. 定義：將相異的物品沿著一個圓周排列，稱為環狀排列，這種排列僅考慮各物品的相對位置， 而不計較各物品所在的實際位置，亦即將所排成的某一個環形，任意轉動，所得到結果仍視 視為同一種排列。 為同一種排列，如 2. 結論：自 n 件相異物中，任取 m 件（不可重複且 m ≤ n ）作環狀排列，則排列數為 P 。當 m = n m 時，其排列數為 Pn = n − 。 n m
n n
(
1) !
8
自甲、乙、……等 7 人中，若 (1)任取 5 人圍 小龍夫婦與子女共 5 人圍圓桌歡聚，試求 圓桌而坐。(2) 7 人圍圓桌而坐，其中甲、乙二 (1)任意入坐。(2)小龍夫婦必相鄰而坐，方法各 人不相鄰，其坐法各有多少種？ 有多少種？ 人的環狀排列數有 − = = （種） （提示：n 件中取 m 件的環狀排列數為 Pm 。） 小龍夫婦視為一體與子女視為 人的環狀排列 n m
(1)
(2)
(1)
(2)
人取 5 人的環狀排列數為 P5 = 504 （種） 甲、乙二人以外的 5 人先入坐，方法有 − = （種） 甲、乙二人插入 5 個間隔 方法有 P = 20 （種） 故得甲、乙二人不相鄰的坐法有 24 × 20 = 480 （種） 7 5
7
(5
1)!
24
5 2
5
(5
1)!
4!
24
4
數有 − = = （種） 又小龍夫婦可互調，方法有 = （種） 故小龍夫婦必相鄰而坐的方法有 6 × 2 = 12 （種） (4
1)!
3!
6
2!
2
第 章 排列組合 9
179
重複排列 重點整理 由 n 類物品中（每類至少有 m 件，m ≥ 1 ），任選 m 件排成一列，可以重複選取，則其排列數為 n 。 m
9
將 5 件不同的玩具全部分給甲、乙、丙三人， 若 (1) 任意給。(2) 甲至少得一件，則分法 各有多少種？ （提示：每件玩具必須分完，故討論每一件玩 具的分法。） (1)
每一件玩具可分給甲、乙、丙三人其中之一， 分法有 3 種，故 5 件玩具的分法有 3 = 243 （種） 甲至少得一件的分法 = （任意給的分法）−（甲未得的分法） = 3 − 2 = 211 （種）
將 3 封不同信件全部投入 5 個郵筒，若 (1) 任 意投入。(2) 甲筒至少投入一封，則投法各有 多少種？ (1)
3
(2)
5
(2)
5
因為每封信都必須投入郵筒，又每封信均有 5 種 投入的方法，故 3 封不同信件投入的方法有 5 = 125 （種） 甲筒至少投入一封 = （任意投法）−（甲筒沒有信） = 5 − 4 = 61 （種） 3
3
5
10
有 3 艘不同的渡船，若每艘船至多可載客 5 人，則 (1) 5 位客人。(2) 6 位客人，安全渡 過的方法各有多少種？ （提示：每個人一定要渡船，故討論每個人渡 船的方法。） (1)
因為每個人都有 3 種選船的方法，所以 5 人安全 渡過的方法有 3 = 243 （種） 6 人安全的渡法 = （任意選法）−（ 6 人同船） = 3 − 3 = 726 （種） 5
(2)
6
假設招呼站有 4 輛計程車，每輛最多可搭載 4 位客人，若現在招呼站來了 (1) 3 位旅客。(2) 5 位旅客，則其搭乘方式各有多少種？ (1)
因為每位旅客均需搭車，又每位選車的方法均 有 4 種，所以 3 位旅客的搭車方式有 4 = 64 （種） 5 位旅客的搭法 = （任意搭車）−（ 5 位同車） = 4 − 4 = 1020 （種） 3
(2)
5
9
180
第 9 章 排列組合
實力測驗２ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
設 2 × P = 3 × P ，則自然數 n = 8 。 由甲、乙、丙、丁、戊、己 6 個人中，任選 4 位由左至右排成一列，則排法有 360 種。 甲、乙、丙、……等 7 人排成一列，若規定甲、乙、丙 3 人必須兩兩不相鄰，則排法有 1440 種。 將 7 位數 5813699 中之各個數字次序任意調換，得出不同的 7 位數（包含原 7 位數）共有 2520 個。 甲、乙、丙、……等 8 人圍一圓桌而坐，若規定甲、乙、丙 3 人必相鄰，則坐法有 720 種。 有六個座位排成一列，現有甲、乙、丙三人選擇相鄰的三個座位入坐，則共有 24 種坐法。 將「pallmall」 8 個字母重新排列，規定 4 個「l」必相鄰的排法有 60 種。 九人組成棒球隊，三、四棒人選已定，投手、捕手兩人只能排在第七、八、九棒，則教練可 以排出 720 種不同的打擊順序。 用「 0 、1、 2 、 3 、 4 、 5 」等六個數字任取三個數作成 3 位數，數字可重複，則其中奇數有 90 個。 將 5 件不同的禮物分給甲、乙、丙三人，則甲、乙兩人均至少得一件的分法有 180 種。 n+2 4
2n 3
第 章 排列組合
組合、重複組合與二項式定理 9
9-3
181
不重複的組合 重點整理 定義：自 n 件相異物中，每次取 m 件（1 ≤ m ≤ n ）為一組，同一組內的事物不計其前後次序， 就稱為「 n 中取 m 」的組合，其組合數以符號 C 表示。 自「1、 2 、 、 4 」中任取 個數的組合數為 C ，而每一種組合可排列出 = 種不同 順序，如「1、2、3 」這一組可排成 、 、 、 、 、 ， 即每一種組合數可作成 種排列數，故得 4 數中取 數的排列數應為 4 數取 數之組合 數的 倍，即 C = P = ，一般而言 C = Pm 。 組合公式：自 n 件相異物中，每次取 m 件為一組，不可重複取，其組合數為 1.
n m
3
4 3
3
(1, 2, 3)
(1, 3, 2 )
3!
4 3
3!
4 3
( 2,1, 3)
( 2, 3,1)
( 3,1, 2 )
3
6
( 3, 2,1)
3
n m
n m
4
3!
3!
!
2.
C nm =
× ( n − m + 1) P nm n × ( n − 1) × n! = = m! m × ( m − 1) × × 2 ×1 ( n − m )!m !
如： C (1)
=
、C
10 3
=
10 × 9 × 8 = 120 3 × 2 ×1
（ ） 巴斯卡定理：設 、 為自然數且 (2)
3.
10 × 9 = 45 2 ×1 C nn = C 0n = 1 10 2
n! = C nn −m 1 ≤ m ≤ n ( n − m )!m ! m n 1 ≤ m ≤ n −1 C nm−1+ C mn−−11= C mn ( n − 1) ! ( n − 1) ! C nm−1+ C nm−−11= + ( n − 1 − m ) ! m ! ( n − 1 − m + 1) !( m − 1) ! ( n − 1) !( n − m ) ( n − 1) ! × m = + ( n − m )!m ! ( n − m )!m ! ( n − 1) !( n − m + m ) ( n − 1) ! × n n! = = = = C nm ( n − m )!m ! ( n − m )!m ! ( n − m )!m ! C nm =
如： C
10 5
+ C 104 = C 115
1
設 n 為自然數，且 C = C ，試求 C 之值。 （提示：a、b、n 皆為自然數，C = C ⇔ a = b 或 a + b = n 。） n 12
21 n
n 8
n a
∵ C = C 又 12 ≠ 8 ∴ n = 12 + 8 = 20 ⇒ C = C = C = 21 n 12
n 8
21
21 20
n
21 1
，則
n b
設 m 為自然數（ m ≠ 1），且 C C 之值。 m
10
∵C = C 若 2m = m + 1 則 m = 1 （不合） ∴ 2m + m + 1 = 31 ⇒ m = 10 故C = C =1 31 2m
31
m +1
(
m
10
)
10 10
31 2m
= C 31 m +1
，試求
9
182
第 9 章 排列組合
2
自甲、乙、……等10 本相異的書中，選出 5 本， 試求下列選法各有多少種？ 任意選取。 必含甲本。 （提示：選出 5 本，不論次序，故為組合。） (1)
(2)
(1)
本中任取 5 本的組合數有 C = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 252 （種） 5 × 4 × 3 × 2 ×1 必含甲本，故只需從剩下的 9 本中任選 4 本即 可，方法有 C = 9 × 8 × 7 × 6 = 126 （種） 4 × 3 × 2 ×1
(1)
(2)
(1)
10
10 5
(2)
在某次數學平時測驗中，老師規定由12 題中選 作10 題，試求下列選作的方法各有多少種？ 任意選作。 前 2 題必選。 題中任選 10 題，不論次序，故方法有 C = C = 12 × 11 = 66 （種） 2 ×1 ∵前 2 題必選，故由剩下的 10 題中任選 8 題 即可 ∴方法有 C = C = 102 ××19 = 45 （種） 12
12 10
(2)
12 2
10 8
9 4
10 2
3
自 5 位男生、 7 位女生中，選出 5 人組成啦啦 隊，若至少有 3 位女生當選，則選法有多少 種？ （提示：可分 3 女 2 男， 4 女1男， 5 女 3 種情 形。） ∵至少有 3 位女生 ∴選法有（ 3 女 2 男）+（ 4 女 1 男）+（ 5 女） = C 37× C 52 + C 74× C 15+ C 57 = 350 + 175 + 21 = 546
（種）
自「1、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 」 9 個 數字中，選出 3 個不同數字，若至少有1 個奇 數，則選法有多少種？ 「 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 」中有 5 個 奇數、 4 個偶數 ∵選出的數字中，至少有 1 個奇數 ∴選法有（ 1 奇 2 偶）+（ 2 奇 1 偶）+（ 3 奇） = C × C + C × C + C = 80 （種） 至少有 1 個奇數=（任意選）−（ 3 偶） = C − C = 80 （種） 5 1
4 2
5 2
4 1
5 3
9 3
4 3
4
平面上有「 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 」 6 個相 異點，若 任 3 點不共線 其中 A 、 B 、 C 三點共線，其餘任 3 點不共線。試問這 些點可決定多少條直線？ （提示：相異 2 點決定一直線。） (1)
(2)
因為 AB 與 BA 表同一直線 所以是組合問題，故 6 點可決定直線 C = 15 （條） 其中 A 、 B 、 C 共線時，可決定 C − C + 1 = 15 − 3 + 1 = 13 （條） 6 2
(1)
(2)
6 2
3 2
平面上有「 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 」 6 個相 異點，若 任 3 點不共線 其中 A 、 B 、 C 三點共線，其餘任 3 點不共線。試問這 些點可決定多少個三角形？ (1)
(2)
因為不共線三點可決定一個三角形，又 △ ABC ， △ ACB ，……表同一個三角形，所以是組合問題， 故 6 點可決定三角形 C = 20 （個） 其中 A 、 B 、 C 共線時，可決定 C − C = 20 − 1 = 19 （個） 6 3
(1)
(2)
6 3
3 3
第 章 排列組合
183
9
重複組合 重點整理 實例說明：方程式 x + x + x = 5 有多少個非負整數解？ 方程式 x + x + x = 5 的每一組非負整數解均可視為 5 個「1」及 2 個「 + 」號的排列，如： ，又「 11 + +111 」對應的解為 ，由此可得 「 1 + 11 + 11 」對應的解為 x + x + x = 5 的非負整數解個數等於 5 個「1 」及 2 個「 + 」號的排列數，故有 + = C （個）。 推論：方程式 x + x + + x = m（ m、n 為自然數）的非負整數解個數等於 m 個「1」及 n − 1 個「 + 」號的排列數，故有 mm +nn−− = C （個）。 重複組合數：設有 n 類不同物品，每類皆不少於 m 件，由其中任取 m 件，每類可重複取的組 合，稱為 n 中取 m 的重複組合，取法有 C （種）。 設第一類取 x 件，第二類取 x 件，……，第 n 類取 x 件，共取 m 件，故取法等於 x +x + + x = m 的非負整數解個數，即有 C （個）。 注意：公式記憶法： C 中， m 表（必用完之物）， n 表（未必用完之物）。 1.
1
1
2
2
3
3
(1, 2, 2 )
1
2
(5
2 )!
( 2, 0, 3)
3
7 5
5!2!
2.
1
2
(
n
1) !
(
!(
1) !
)
m + n −1 m
3.
m + n −1 m
1
1
2
2
n
m + n −1 m
n
m + n −1 m
5
試求 x + y + z = 12 的 非負整數解的個數。 正整數解的個數。 （提示：x + x + + x = m 的非負整數解的 個數為 C 。）
試求 x + y + z + u = 10 的 非負整數解的個數。 正整數解的個數。
(1)
(1)
(2)
(2)
1
2
n
(1)
C 1010 + 4 −1= C 1013= C 133 = 13 × 12 × 11 = 286 （個）
m + n −1 m
(1)
由公式得其非負整數解的個數為 14 × 13 C =C =C = = 91 （個） 2 ×1 依題意： x ≥ 1 ， y ≥ 1 ， ≥ 1 令 x x 1 0， y y 1 0 ， z z 1 代入原式得 x 1 y 1 z 1 12 即求 x y z 9 的非負整數解個數， 故為 C = C = C = 11×210 = 55 （個） 12 + 3 −1 12
(2)
14 12
−
′+
≥
(
′+
′+
′=
9 + 3 −1 9
11 9
′ =
−
)+(
′+
11 2
′=
≥
)+(
′+
)
−
=
依題意： x ≥ 1 ， y ≥ 1 ， ≥ 1 ， u ≥ 1 令 x x 1 0， y y 1 0 ， z z u′ = u − 1 ≥ 0 代入原式得 z
′=
z
′=
3 × 2 ×1
(2)
14 2
由公式得其非負整數解的個數為
≥
0
−
≥
′=
−
≥
( x′ + 1) + ( y′ + 1) + ( z′ + 1) + ( u′ + 1)
′=
=
−
1≥ 0
10
即求 x′ + y′ + z′ + u′ = 6 的非負整數解個數， 故為 C 66 + 4 −1= C 96 = C 39=
9×8× 7 = 84 （個） 3 × 2 ×1
，
9
184
第 9 章 排列組合
6
將 5 件相同的玩具，全部分給甲、乙、丙 3 人， 則 每人可兼得 每人至少得1件，其 分法各有多少種？ （提示：轉化成求非負整數解的個數。） (1)
(2)
(1)
(1)
(1)
設甲、乙、丙各得 x 、 y 、 件， 則x+ y+z =5 因為每人可兼得 所以分法為其非負整數解個數， 即 C = C = 21 （種） 因為每人至少得 1 件 所以先給每人 1 件，剩下 2 件任意給， 故分法為 x + y + z = 2 的非負整數解個數， 即 C = C = 6 （種） z
5 + 3 −1 5
(2)
將10 個相同的銅板，全部分給甲、乙、丙、丁 4 人，則 每人可兼得 每人至少得 2 個，其分法各有多少種？ 設甲、乙、丙、丁各得 x 、 y 、 、 u 個， 則 x + y + z + u = 10 因為每人可兼得， 所以分法為其非負整數解個數， 即 C = C = 286 （種） 因為每人至少得 2 個， 所以先給每人 2 個，剩下 2 個任意給， 故分法為 x + y + z + u = 2 的非負整數解個數， 即 C = C = 10 （種） z
10 + 4 −1 10
7 5
2 + 3 −1 2
(2)
(2)
13 10
2 + 4 −1 2
5 2
4 2
7
學校福利社有 5 種冰棒供應，每種至少有 6 枝，現小玲前往選購 6 枝，則選購方法有多少 種？ （提示：可視為 5 類物品，選取 6 件的重複組 合。）
淡水名產魚酥有原味、辣味、蒜味三種口味， 現小敏前往隨意購買 8 包，則其買法有多少 種？ 由 3 類物品選 8 件的重複組合數為 C = C = C = （種） 3 + 8 −1 8
由 5 類物品選取 6 件的重複組合數為 C = C = C = 210 （種） 5 + 6 −1 6
10 6
10 8
10 2
45
10 4
8
將 9 個相同的玩具分裝於 3 個箱子，每箱至少1 個，則 箱子相同 箱子不同 其裝法各有多少種？ （提示： 箱子相同，是分堆問題 箱子 不同，是重複組合問題。） (1)
(2)
(1)
(1)
(2)
將 9 個相同玩具分成三堆，每堆至少一個分法有 、 、 、 、 、 、 ，共 7 種方法 設 3 個箱子分別裝有 x 、 y 、 個 則x+ y+z =9 因為每箱至少一個，所以每箱先放一個進去， 剩下 6 個任意裝箱，故裝法為 x + y + z = 6 的非 負整數解個數 即 C = C = C = 28 （種） 1,1, 7
2, 3, 4
(2)
1, 2, 6
1, 3, 5
1, 4, 4
3, 3, 3
z
6 + 3 −1 6
8 6
8 2
將10 個相同的球，全部放進 3 個箱子中，每箱 至少一個，則 箱子相同 箱子不同 其放法各有多少種？ (1)
(2)
(1)
將 10 個相同的球分成三堆，每堆至少一個分法 、 有 、 、 、 、 、 、 共 8 種方法 設 3 個箱子分別裝有 x 、 y 、 個 則 x + y + z = 10 因為每箱至少一個，所以每箱先放一個進去， 剩下 7 個任意放進， 故放法為 x + y + z = 7 的非負整數解個數 即 C = C = C = 36 （種） 1,1,8
2, 3, 5
2, 2, 5
(2)
1, 2, 7
1, 3, 6
2, 4, 4
1, 4, 5
3, 3, 4
z
7 + 3 −1 7
9 7
9 2
2, 2, 6
第 章 排列組合
185
9
組合總數 重點整理 相異物的組合總數：自 n 件相異物中，每次至少取一件的組合總數為 2 − 1。 不盡相異物的組合總數： n 件物品中，其中 m 件相同， m 件相同，……， m 件相同，且 n=m +m + + m ，則自其中至少取一件的組合總數為 m + 1 m + 1 m +1 −1 。 n
1. 2.
1
1
2
2
k
(
k
1
)(
)
2
(
k
)
9
小龍欲在 5 位好朋友中，至少邀請一位參加生 日宴會，試問其邀請方法有多少種？ （提示：相異物的組合總數。）
小玲欲從 6 本相異的故事書中，至少取一本來 閱讀，則其閱讀的方法有多少種？
每一本故事書均可分為「取」或「不取」兩種情形 故 6 本書中至少取一本的方法有 2 − 1 = 63 （種）
每一位朋友均可分「邀」或「不邀」兩種情形 故 5 位好友至少邀一位的方法 = （任意邀請）−（均不邀請） = 2 − 1 = 31 （種）
6
5
10
百元鈔1張， 50 元鈔 2 張，10 元鈔 3 張，現每 次至少取一張，則取法有多少種？ （提示：不盡相異物的組合總數。）
設水果攤有相同蘋果 3 個、梨子 4 個、桔子 5 個，現小龍至少買1個，則買法有多少種？
由不盡相異物的組合總數，可得至少買 1 個的方法 有 3 + 1 4 + 1 5 + 1 − 1 = 119 （種）
百元鈔 1 張可分成：不取、取 1 ，有 2 種取法 50 元鈔 2 張可分成：不取、取 1 、取 2 ，有 3 種取 法 10 元鈔 3 張可分成：不取、取 1 、取 2 、取 3 ，有 4 種取法 由乘法原理，至少取一張的取法有 2 × 3 × 4 − 1 = 23 （種）
(
)(
)(
)
二項式定理 重點整理 例題說明：試求 x + y 的展開式 (
1.
(x
)
3
3
+ y) = ( x + y)( x + y)( x + y) = xxx + xxy + xyx + yxx + xyy + yxy + yyx + yyy = x3 + 3x 2 y + 3 xy 2 + y 3
的展開式中，經合併同類項後成為 4 項，其中每項的次數均為 3 次，而且 x 項 的係數可視為 3 個 y 中取 0 個 y 之組合數 C = 1 ； x y 項的係數可視為 3 個 y 中取1個 y 之組合數 C = 3 ； xy 項的係數可視為 3 個 y 中取 2 個 y 之組合數 C = 3 ； y 項的係數可 視為 3 個 y 中取 3 個 y 之組合數 C = 1 ，故得 x + y = C x + C x y + C xy + C y ，由 此可推得 x + y = C x + C x y + + C x y + + C y (x
+ y)
3
3
3 0
3 1
2
3 2
3 3
(
2
)
n
n n 0
n n −1 1
3
(
)
n n−r r
r
3 3 0
3 2 1
n n
n
3
3 2
2
3 3
3
9
186
第 9 章 排列組合
二項式定理：設 n 為正整數，則 x + y = C x + C x y + + C x y + + C y 。 上式中共有 n + 1項。 每項的次數均為 n 次，其中第 + 1 項的係數為 C ，可視為 n 個 y 中取 個 y 之組合數， 故第 + 1 項為 C x y ，又稱為一般項。 (
2.
)
n
n 0
n
n −1
n 1
n−r
n r
r
n n
n
(1)
n r
r
(2)
n n−r r
r
r
r
11
展開式中，若依 x 的降冪排列，試求 其第四項。 （提示： x + y 的第 + 1 項為 C x y 。） (x
− 3y)
5
(
)
− 3y)
(x
5
n
n n−r r
r
展開式中的第四項為
r
展開式中，若依 x 的降冪排列，試求 其第三項。 ( 2x
+ y2 ) ( 2x
6
+ y2 )
6
展開式中的第三項為 2
C 62( 2 x )4 ( y 2 ) = 15 × 16 x 4 × y 4 = 240 x 4 y 4
C 53 x 2 ( −3 y )3 = 10 × x 2 × ( −27 y3 ) = −270 x 2 y 3
12
試求
展開式中的常數項。 試求 （提示：常數項即為 x 項。） 1 ⎞ ⎛ 3 ⎜x + 2 ⎟ x ⎠ ⎝
5
因為
0
因為
1 ⎞ ⎛ 3 ⎜x + 2 ⎟ x ⎠ ⎝ 5−r
C 5( x3 ) r
x
展開式中的第
2
⎞ ⎟ = ⎠
C 5× x15−5
+1
項為
C 6( 3 x ) 6 −
r
0
0
⎛ ⎜ ⎝
6
展開式中的第
r
1
⎞ ⎟ = ⎠
x2
− r=−
r
C 6× 36− × x 6−3 r
+1
項為
r
r
r
6 3
r
5 3
3
令6 3 3⇒ =3 得第四項為 C × 3 × x = 540 × x1 故得 x1 項的係數為 540
r
r
令 15 5 0 ⇒ = 3 得第四項為 C × x = 10 × x 故得常數項為 10 − r=
r
展開式中的 x1 項的係數。
6
1 ⎞ ⎛ ⎜ 3x + 2 ⎟ x ⎠ ⎝
r
r
1
⎛ ⎜ ⎝
5
1 ⎞ ⎛ ⎜ 3x + 2 ⎟ x ⎠ ⎝
= 10
−3
3
3
3
13
利用 x + y = ∑ C x
，試證 C +C +C + +C = 2 。 （提示：令不定元 x = y = 1 代入，可得多項式 的係數總和。） (
)
n
n
r =0
n 0
n 1
r
n 2
r
n n
由 x + y = ∑C x (
y
n n−r
)
n
n
r =0
n n−r
r
n
y
令 x = y = 1 代入 得 1+1 = C + C + C + + C 故C +C +C + +C = 2 )
n 0
n
n 0
n 1
n 2
n 1
(
)
8 0
n 2
n n
n
n n
+ C nn y n
n
n 0
8 1
n 1
n 2
8 2
2
+ C nn x n
8 8
由 1+ x = C + C x + C x + + C x 令 x = 1 代入 得 1+1 = C + C + C + + C 故 C + C + C + + C = 2 = 256 8
(
)
8
(
8 0
8 0
)
8 0
r
= C 0n x n + C 1n x n −1 y + C 2n x n − 2 y 2 +
(
利用 1 + x = C + C x + C x + 試求 C + C + C + + C 之值。 8 1
8 2
8 1
8 1
8 2 2
8 8 8
8 2
8 8
8 8
8
，
第 章 排列組合 9
187
實力測驗３ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
試求 C − C + C − C + C − C + C = 0 。 設 n 為自然數且 C = C ，則 n = 3 。 某次數學考試，規定由12 題中選取10 題作答，若選題方式為前 5 題任選 4 題，後 7 題任選 6 題，則總共有 35 種選法。 某次棒球比賽，規定每支球隊必須和其他所有球隊各比賽一場，若賽程總計有 78 場，試問參 賽隊伍共有 13 支。 從 7 位男人、6 位女人中選出 4 人，其中至少 2 位為男人、1位為女人，試問共有 525 種選法。 將 6 封相同的信，任意投入 4 個郵筒，則投法有 84 種。 將10 件相同的物品，分給甲、乙、丙 3 人，每人至少得 2 件的分法共有 15 種。 一個多重選擇題，有 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五個選項，其中至少有一個選項是對的，試問其作 答方法有 31 種。 試求 2 x − y 展開式中 x y 項的係數為 −160 。 6 0
6 1
6 2
6 3
5 n
2 6
(
6 4
6 5
5 n −1
3
)
6 6
6
試求 展開式中的中間項係數為 −252 。 （提示： x + y 的展開式共有11項，故中間項為第 6 項。） 10
⎛2 x⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ x 2⎠ (
10
)
9
188
第 9 章 排列組合
綜合實力評量 （ B ）1. 甲、乙兩人分別從1到 9 的正整數中任選一個數，若兩人可選相同的數，試問兩數相 加是偶數的情形有多少種？ (A) 36 (B) 41 (C) 72 (D) 81。 （ C ）2. 用「 0 、1、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 」共 7 個數字，任取 4 個不同數字排成 4 位數，但 0 不 排最前面，共有多少種排法？ (A) 840 (B) 600 (C) 720 (D) 300 。 （ C ）3. 現有 4 個男生與 3 個女生排成一列，若女生相鄰且男生也相鄰的排法有多少種？ (A) 72 (B)144 (C) 288 (D) 720 。 （ B ）4. 將 6 位數199352 中之各數字次序任意調換，得不同的 6 位數（包含原 6 位數）共有多 少個？ (A)180 (B) 360 (C) 540 (D) 720 。 （ A ）5. 甲、乙、丙、丁、戊 5 人圍一圓桌而坐，若甲、乙不得相鄰，則坐法有幾種？ (A)12 (B) 24 (C) 48 (D) 96 。 （ A ）6. 假設在10 件產品中，有 3 件是不良品，由產品中隨意抽取 5 件，其中至少有 2 件是不 良品的取法，共有幾種？ (A)126 (B)127 (C)128 (D)129 。 （ D ）7. 欲將 6 位新生平均分發到甲、乙、丙 3 班，則共有幾種分法？ (A)100 (B) 80 (C)120 (D) 90 。 （ B ）8. 自 5 對夫婦中選出 4 人，夫婦不得同時被選到的情形有幾種？ (A) 60 (B) 80 (C)120 (D) 240 。 （ D ）9. 男生 8 人、女生 6 人，若要選出 2 男 2 女組成一代表隊，則共有幾種組法？ (A)120 (B)180 (C) 210 (D) 420 。 （ A ）10. 試問3 人中，至少有 2 人在同一月份出生的情形有多少種？ (A) 408 (B) 512 (C) 870 (D)1320 。 （ A ）11. 設候選人 3 位，選舉人10 位，每人限投一票且無廢票，若採記名投票，則開票結果 3 人得票的情形有多少種？ (A) 3 (B) P (C) C (D) C 。 （ D ）12. 承上題，若採無記名投票，則 3 人得票的情形有多少種？ (A) 3 (B) P (C) C (D) C 。 （ C ）13. 某家冷飲店供應 4 種飲料，小龍要外帶 6 杯飲料，則點法有多少種？ (A)10 (B) 24 (C) 84 (D)120 。 10
10 3
10 3
12 2
10
12 2
10 3
10 3
第 章 排列組合 9
189
（ C ）14. 百元鈔 3 張， 50 元鈔 2 張， 10 元鈔 9 張，現每次至少取一張，則取法有多少種？ (A) 54 (B) 59 (C)119 (D)120 。 （ A ）15. 設 n 為自然數，若 1 + x 的展開式中，第10 項的係數與第 20 項的係數相等，則 n = (A) 28 (B) 29 (C) 30 (D) 31 。 (
（ B ）16. 試求
1 ⎞ ⎛ ⎜ 2x + 2 ⎟ x ⎠ ⎝
6
)
n
展開式中的常數項為
(A)180 (B) 240 (C) 300 (D) 360 。
（ A ）17. 求凸九邊形的對角線共有多少條？ (A) 27 (B) 36 (C) 63 (D) 72 。 （ B ）18. 某動物園的遊園列車依序編號1到 7，共有 7 節車廂，今想將每節車廂畫上一種動物。 如果其中的兩節車廂畫企鵝，另兩節車廂畫無尾熊，剩下的三節車廂畫上貓熊，並 且要求最中間的三節車廂必須有企鵝、無尾熊及貓熊，則 7 節車廂共有多少種畫法？ (A) 36 (B) 72 (C) 96 (D)144 。 （ D ）19. 試問11 除以100 的餘數為何？ (A) 21 (B) 41 (C) 61 (D) 81。 （ B ）20. 五種不同的酒倒入三個酒杯，若酒不可混合，亦不得有空杯，則下列何者不正確？ (A)杯子不同，各杯的酒可相同，有125 種倒法 (B)杯子相同，各杯子的酒可相同， 有 21 種倒法 (C)杯子不同，各杯的酒亦不同，有 60 種倒法 (D)杯子相同，各杯子 的酒不同，有10 種倒法。 18
9
190
第 9 章 排列組合
精選考題觀摩 （ A ）1. 將 mhchcm 這些英文字母任意排列，問共有幾種不同的排列方法？ (A) 90 (B) 60 (C) 45 (D) 30 。 【101 統測(B)】 （ A ）2. 已知 a 、 b 、 c 、 d 為整數，若 展開式中， x y 項的係數為 2 3 5 7 ， 則 a − b − c + d 之值為何？ (A) −11 (B) −5 (C)1 (D)10 。 【101 統測(B)】 （ C ）3. 甲、乙兩人到速食店購買漢堡。若有四種漢堡可供選擇，且兩人各購買一種，則兩 人購買不同漢堡的可能情形有多少種？ (A) 4 (B) 8 (C)12 (D)16 。 【100 統測(B)】 （ B ）4. 小明、小華與其他兩位同學負責打掃教室。若兩人一組，則小明與小華不同組的分 組結果有多少種？ (A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 。 【100 統測(B)】 ⎛ 2 ⎜ 3x + ⎝
3
⎞ 2 ⎟ 4y ⎠
8
−2
（ D ）5. 求 2x + y 的展開式中， x y 項之係數為何？ (
)
6
2
4
−12
a b c
d
(A) 24 (B) 30 (C) 36 (D) 60 。 【99 統測(B)】
（ C ）6. 有一排椅子，共有 5 個座位。今有甲、乙、丙、丁、戊共 5 人，各選一個位子坐，但 甲、乙、丙三人必須相鄰，試問共有幾種坐法？ (A) 24 (B) 30 (C) 36 (D) 60 。 【99 統測(B)】 （ B ）7. 有一個地區街道線段如右圖，現在甲君擬從點 S 走到點 T ；如果規 定甲君必須沿著街道向東或向南行走，則會有多少種不同路線的 走法？ (A) 44 (B) 52 (C) 74 (D) 95 。 【98 統測(B)】 （ C ）8. 已知有一個以1為首項的等比數列：1， a + b ， a + b ， a + b ，……，則此數 列的第幾項之展開式中含有 35a b ？ (A)第 6 項 (B)第 7 項 (C)第 8 項 (D)第 9 項。 【98 統測(B)】 （ C ）9. 假設在招呼站有三輛計程車，每輛至多可搭乘 4 位客人，招呼站現來 5 位要搭計程車 的旅客，試問共有幾種不同的載客方式？ (A)122 (B)125 (C) 240 (D) 243 。 【97 統測】 （ C ）10. 三位數中，十位數字是 7 且個位數字是偶數，共有多少個？ (A) 36 (B) 40 (C) 45 (D) 50 。 【97 統測】 （ A ）11. 試問方程式 x + y + z = 5 之正整數解有幾個？ (A) 6 (B) 8 (C)10 (D)12 。 【97 統測】 (
4 3
)
(
)
2
(
)
3
第 章 排列組合 9
（ D ）12. 若展開
1 ⎞ ⎛ 2 ⎜x + 2 ⎟ x ⎠ ⎝
6
時將同類項合併，則常數項為何？
191
(A)1 (B) 6 (C)15 (D) 20 。
【97 統測】 （ C ）13. 可用 7 種不同顏色塗在右圖的 6 個格子內，若規定顏色不重複使用且同一格 子僅塗滿同一色，則共可塗出幾種不同的著色樣式？ (A) C (B) C (C) P (D) 6 。 【96 統測】 （ A ）14. 若相同的玩具 8 個分裝於 3 個相同的箱子，每箱至少1個，則共有幾種裝法？ (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 。 【96 統測】 （ D ）15. 若 6 對夫婦排成一列，且每對夫婦必須相鄰，則共有幾種不同排法？ (A) × (B) 3 × (C) 2 × × (D) 2 × 。 【95 統測】 （ C ）16. 設有 6 個足球隊參加比賽，若任意兩隊都互相比賽一場次，則共有多少場次的比賽？ (A) 24 (B) 20 (C)15 (D)10 。 【95 統測】 7 6
12 6
7 6
7
2
( !)
（ B ）17. 若
2
(x +
2
6
y )10 =
( 3!)
∑C 10
x y10−
10 k k
(C) 2048 (D) 4096 。 k =0
2
2
k
6
，則 C
6
10 0
6!
6!
+ C 110 + C 102 +
10 + C 10 =
(A)
512
(B) 1024
【95 統測】
（ C ）18. 使用 H 、 E 、 、G 、 H 、T 任意排成一列，共有幾種不同排法？ (A)120 (B)180 (C) 360 (D) 720 。 【95 統測】 （ B ）19. 將10 個相同的棒球全部放入 3 個不同箱子中，若每箱球數不限，則共有多少種不同 放法？ (A) 55 (B) 66 (C) 220 (D) 286 。 【94 統測】 （ D ）20. 設 P 及 C 分別表示從 n 個相異物任取 m 個的排列數與組合數，若 P = 120C ， 則 n = (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 。 【94 統測】 I
n
m
n
m
n+2 5
n+2 4
9