數與數線
1
正弦定理與餘弦定理
68
多項函數及其圖形
5
和角及倍角半角公式
72
餘式定理與因式定理
9
直線方程式
76
多項方程式與不等式
13
線性規劃
80
指數律與對數律
18
圓與直線的關係
84
指數函數與對數函數
22
平面向量的基本運算
88
指數與對數的應用
27
平面向量的應用及二階行列式
92
數列與級數
32
空間概念與空間坐標
96
集合與計數原理
37
空間向量的內積與外積
100
排列組合
42
空間中的平面與直線
104
機率的性質
46
矩陣的基本運算
109
條件機率
50
反方陣與轉移方陣
114
一維數據的分析
54
拋物線
118
二維數據的分析
59
橢 圓
122
三角函數的定義及關係
64
雙曲線
126
跨單元統整試題
130
單元 1
1
1
數與數線
堅持到底 絕不放棄
～～成功，即屬必然，不靠運氣
十幾年前﹐葉老師第一次帶高三的導師班﹐為激勵學生發憤 讀書﹐我在壁報紙上用特粗的毛筆寫下﹕「堅持到底 絕不放棄」﹐ 來營造全班衝刺升學的氣氛﹒現在﹐我再一次用這八個字﹐鼓勵 同學在這最後關頭能夠專心一意﹐為心中的理想校系全力以赴﹐ 在大考的戰役中獲得最後的勝利﹒ (
)
已知實數 a 與 b 滿足 0 < b < a ﹐則下列各選項的數值比較﹐哪些關係式為真﹖ (A)
b < ab < a
(E)
ab <
◎解題關鍵
(B)
4a + 3b 7
﹒
ab <
a+b 2
(C)
2a + b a + b < 4 3
(D)
2a + 3b a + b < 5 2
看到「正數」和 a +2 b ﹐ ab 要想到「算幾不等式」﹒ 看到 mbm ++ nan 要想到分點公式﹐不然就用移項檢查是否成立﹒ (A)(B)(D)(E) (A) ○﹐由 0 < b < a 得
…… 同乘 a 得 ab < a ﹐ 同乘 b 得 b < ab ﹐所以 b < ab < a 成立﹒ (B) ○﹐由算幾不等式得 a + b ≥ ab 必成立﹐而 a ≠ b ﹐所以等號不成立﹐ 2 得 a +2 b > ab 為真﹒ b< a
2
2
2
單元 1
(C) ╳﹐∵ 2a + b < a + b ⇔ 6a + 3b < 4a + 4b ⇔ 2a < b ﹐但 2a < b 不成立﹐所以 2a + b < a + b ﹒ 4
4
3
+ < a + b ⇔ 4a + 6b < 5a + 5b ⇔ b < a ﹐ 2 ∴由 b < a 可推得 2a 5+ 3b < a +2 b ﹒ 〈法二〉 由分點公式可看出﹐數線上 P 2a 5 3b 在 a+b b 與 a 之間 2 : 3 處﹐顯然 P 比中點 還小﹐如圖所示﹒ 2 (E) ○﹐由算幾不等式知 ab < a + b ﹐由分點公式知 a + b < 4a + 3b ﹐ 2 7 2 ∴可得 ab < 4a 7+ 3b 成立﹒
(D) ○﹐〈法一〉
3
2a 3b 5
+
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
1. 已知 x > y ﹐若 k 為正數則 kx > ky ﹒ 2. 乘法公式﹕ a3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b2 ) ﹔ a3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b2 ) ﹔
﹔ a − b = a − 3a b + 3ab − b ‧ 3. 算幾不等式﹕正數 x 與 y 必滿足 x + y ≥ xy ﹐等號僅在 x = y 時成立﹒ 2 4. 分點公式﹕數線上 A a 與 B b ﹐若 P 在 AB 上且 PA PB = m n ﹐則 P 為 mb + na ﹒ m+n (a
3
+ b ) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
(
(
) 1. 令 a =
10
2.6
)
− 2.69
(
)
3
3
( )
﹐b =
2
:
11
2.6
− 2.610
﹐c =
(A) a > b > c (B) a > c > b (C) b > a > c
3
:
﹒請選出正確的大小關係﹒ (D) b > c > a (E) c > b > a ﹒【102 學測】
11
2.6
2
− 2.69
2
單元 1
(
) 2. 多項式 4 ( x2 + 1) + ( x + 1)2 ( x − 3) + ( x − 1)3 等於下列哪一個選項﹖ (A) x ( x + 1)2 (B) 2 x ( x − 1)2 (C) x ( x − 1) ( x + 1) (D) 2 ( x − 1)2 ( x + 1) (E) 2 x ( x − 1) ( x + 1) ﹒
＊(
3
) 3. 設 a ﹑ b ﹑ c 分別為函數
【100 學測】
﹐ g x = x + x2 ﹐ h x = x + x2 在 x 為任意 正實數時的最小值﹒試問下列哪些選項是正確的﹖ + 在 x 為任意正實數時的最小值為 a + b (A) b = a (B) c = 2 (C) 【99 指甲】 (D) g x + h x 在 x 為任意正實數時的最小值為 b + c ﹒ 3 4
2
( )
f ( x)
= x+
f ( x)
2 x
( )
2
2
( )
2
2
g ( x)
( )
│近年大考相關試題│ 102 學測選填 A﹑101 學測單選 1﹑97 學測單選 2﹑97 學測選填 E﹑93 學測單選 2﹒
1. π 為圓周率﹐求與 10 + 10π 最接近的整數為 (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 (E) 3 ﹒
﹒
2. 四個數 a ﹑ b ﹑ c ﹑ d 滿足 a ≥ b ≥ c ≥ d 且 a + b + c + d = 200 ﹐若 b ≥ 70 且 c ≥ 50 ﹐則 d 的最大
可能值為
﹒
﹒ 3. 若 a > b 成立﹐則可確定下列哪一個選項成立﹖ (A) 3a > 2b (B) 2a > 2b (C) a 2 > b2 (D) −a > −b (E) a > b ﹒
單元 1 ＊4. a b 為實數﹐已知 1 ≤ a ≤ 3 且 2 ≤ b ≤ 4 ﹐則 a − b 的值可為下列何者﹖ (A) −3 (B) − 2 (C) 0 (D) 1 (E) 2 ﹒ 4
﹒
,
＊5. 已知 0 < a < 1 ﹐ 0 < b < 1 ﹐則下列哪些選項內的數必定落在 0 到 1 的範圍﹖ (A) a + b (B) a − b (C) a − b (D) ab (E) a ﹒ b
＊6. 下列各選項的數字大小關係哪些為真﹖ (A)
0.393
= 0.39
(B)
0.391
= 0.391
(C)
0.39
﹒
< 0.4
(D)
0.39
< 0.39
(E)
0.39
﹒
< 0.393
7. 若數線上點 P ( x ) 到 A (1) ﹑ B ( 2 ) 的距離和介於 3 到 7 之間﹐求 x 的範圍為
＊8. 滿足 1 ≤ x ≤ 5 的實數 x ﹐可以滿足下列哪些不等式﹖
﹒
(A) ( x − 1) ( x − 5) < 0 (B) x 2 − 6 x < 0 (C) x ≤ 5 (D) x − 3 ≤ 2 (E) x − 2 ≤ 3 ﹒
﹒
﹒
單元 2
2
多項函數 及其圖形
5
美國名主持人歐普拉說﹕「一個人可以非常貧窮卑微﹐但是 不可以沒有夢想﹐只要夢想存在一天﹐就可以改善自己的處境﹒」 夢想可以幫助你察覺無所不在的機會﹐然後驅策自己朝目標邁進﹐ 「計畫它、執行它、修正它、完成它」﹐想到做到﹐這就是獲得 成功的秘訣﹒
(
)
將多項式 f x = ax 與 g x = b x + c + d 的圖形畫在坐 標平面上﹐如圖﹐請判斷下列哪些選項為真﹖ (A) a > 0 (B) b > 0 (C) c > 0 (D) d > 0 (E) m 是奇數且 n 是偶數﹒ m
( )
( )
(
)
n
◎解題關鍵
的圖形是由 y = bx ﹐經左右及上下平移而得﹒ 由「朝右上」或「朝右下」﹐判斷多項式領導係數的正負﹒ n
g ( x)
(B)(D)(E) (1) f ( x ) = ax m 必通過 (
0, 0 )
﹐看出
y
=
f ( x)
往右下及左上﹐
則 a < 0 且 m 為奇數﹒ (2) y = bx 向右移再向上移得到 g x = b x + c + d 的圖形﹐ 所以 c < 0 且 d > 0 ﹐而 y = g x 往右上及左上﹐ 則 b > 0 且 n 為偶數﹒ 所以(A)不合 (B)可 (C)不合 (D)可 (E)可﹒ 故選(B)(D)(E)﹒ n
( )
( )
(
)
n
6
單元 2
1. 多項函數 y = ax n ﹐若 a > 0 則往右上﹐若 a < 0 則往右下﹒ 2. 多項函數 y = ax n ﹐若 n 為奇數則左右的發展不同向﹐若 n 為偶數則左右的發展同方向﹒ 3. y = ax 2 + bx + c 可配方看出頂點及對稱軸﹐由 b2 − 4ac 的正負判定拋物線與 x 軸是否相交﹒
1. 在只有皮尺沒有梯子的情形下﹐想要測出一拋物線形拱門的高度﹒已知此拋物線以過最高
點的鉛垂線為對稱軸﹒現甲﹑乙兩人以皮尺測得拱門底部寬為 6 公尺﹐且距底部 32 公尺高 處其寬為 5 公尺﹒利用這些數據可推算出拱門的高度為 公尺﹒（化成最簡分數） 【92 學測】
2. 設 a ﹑ b 為實數﹒已知坐標平面上拋物線 y = x 2 + ax + b 與 x 軸交於 P ﹑ Q 兩點﹐且 PQ = 7 ﹒
若拋物線 y = x
＊(
2
+ ax + ( b + 2 )
與 x 軸的兩交點為 R ﹑ S ﹐則 RS =
﹒
【99 學測】
) 3. 設 a < b < c ﹒已知實係數多項式函數 y = f ( x ) 的圖形為一開口向上的拋物線﹐且與 x 軸交於 ( a ) ﹐ (b ) 兩點﹔實係數多項式函數 y = g ( x ) 的圖形亦為一開口向上的拋 物線﹐且跟 x 軸相交於 (b ) ﹐( c ) 兩點﹒請選出 = ( ) + ( ) 的圖形可能的選項﹒ (A)水平直線 (B)和 x 軸僅交於一點的直線 (C)和 x 軸無交點的拋物線 【102 學測】 (D)和 x 軸僅交於一點的拋物線 (E)和 x 軸交於兩點的拋物線﹒ ,0
,0
,0
,0
y
f
x
g
x
│近年大考相關試題│ 102 學測選填 D﹑96 學測單選 1﹑96 學測單選 3﹑98 指考數乙非選一﹑95 指考數乙多選 6﹑ 95 指考數乙選填 A﹑92 指考數乙選填 A﹑92 指考數乙選填 F﹒
單元 2
7
＊1. 若 f x = ax + bx + c 滿足 b − 4ac < 0 ﹐則其圖形滿足下列哪些選項的敘述﹖ ﹒ (A)必與 x 軸相交 (B)必與 y 軸相交 (C)圖形至少過三個象限 (D)圖形恰過兩個象限 (E)若 −2 > 0 ﹐則 f > ﹒ 2
( )
f (
2
)
( 8)
2. 二次函數 f ( x ) ﹐已知
f (
0
2) =
f (
8) = 6
﹐
3. 二次函數 f ( x ) = ax 2 + bx + c 的圖形通過 (
f (
3) = 1
3, 0 )
與
﹐求頂點坐標為
( 0,
−2 )
兩點﹐若該拋物線圖形沒有通過全部
﹒ 四個象限﹐則此圖形必定不過 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
4. 設 a ﹑ b 為實數且 b ≠ 1 ﹐若 f ( x ) =
﹒
b=
5. 若
y
=
值為
f ( x)
1
= x
4
− x2 + 3
﹒
2
x 2 + 3x + a
﹒
﹐使得 f
(b)
(E)不一定﹒
= f (1) = b 2
﹐求 a =
﹐其中 x 的範圍為 −1 ≤ x ≤ 2 ﹐求 y 的最大值為
﹐
﹐最小
單元 2 6. 下列哪一個多項式函數﹐其圖形最接近右圖﹖ 8
﹒
(A) y = ( x − ) ( x − ) ( x − ) (B) y = ( x − 1)4 ( x − 3)3 ( x − 5)2 (C) y = − ( x − 1)2 ( x − 3)3 ( x − 5)4 (D) y = − ( x − 1)3 ( x − 3)4 ( x − 5)5 (E) y = − ( x − 1) ( x − 3) ( x − 5) ﹒ 1
3
5
＊7. 右圖是 f x = a x + b 及 g x = cx + d 的圖形﹐已知 y = f x 與 y = g x 交於 A ﹑ B 兩點﹐且 A ﹑ B 兩點分別在 x 軸與 y 軸上﹐則下 ﹒ 列何者正確﹖ (A) a > 0 (B) b > 0 (C) c > 0 (D) d > 0 (E) a + bc = 0 ﹒ ( )
(
)
3
( )
4
( )
( )
8. 如圖﹐ AB 是一條長度為 20 的鐵絲﹐ P 是 AB 上一點﹐將 AP 分為四等分﹐使其圍成一正方
形 PQRS ﹔將 PB 分為四等分﹐使其圍成另一正方形 PXYZ ﹐連接 RX ﹐則 AP = 時﹐ RX 的長度有最小值為 ﹒
1
數與數線
p. 3
1. D 2. 3. B 4. ABCD 5. CD 6. AD 7. − < x < 或 < x < 8. BCDE 10
2
p. 2
1.
1. D 2. E 3. BD 1.
b = 2.610 ( 2.6 − 1) = 2.610 ×1.6 = 2.69 × ( 2.6 ×1.6 )
= 2.6 × 4.16 ﹐ 9
c=
2.
2.6
( 2.6
2
− 1)
2
= 2.69 ×
6.76
∴ b > c > a ﹐ 故 選 (D) ﹒
−1
2
= 2.69 × 2.88 ﹐
= 2 x3 − 2 x = 2 x ( x 2 − 1) = 2 x ( x + 1)( x − 1) ﹒ 故 選 (E) ﹒ 由算幾不等式 ∵
2
2
2
∴ x+
x
x
2
x2 +
2
∴ x2 + 即 x=
≥ x⋅ = 2
≥ 2 2 ﹐在 x =
即 x= ∵
2
x
使
f ( x)
2 x2
2 x
4
2
2
≥ x2 ⋅
2 x
2 x2
2 x
2
時﹐
使 g ( x) 有 最 小 值 為 b = 2 2 ﹒
由 此 可 知 ﹐ (A) ╳
4
2
+ 5.6 =
+
15.6
故 選 (D) ﹒
31.4
最接近 4 ﹐
∵ a ≥ b ≥ 70 ﹐ 則 此 時 70 + 70 + 50 + d = 200 ﹐ 即 190 + d = 200 ﹐
3. (A) 反 例 ﹕ − > − 但 3 ( 3) 2 ( 4) ﹒ (B) 成 立 ﹒ (C) 反 例 ﹕ − > − 但 ( − )2 < ( − )2 ﹒ (D) 應 為 −a < −b ﹒ (E) 反 例 ﹕ − > − 但 −3 < −4 ﹒ 故 選 (B) ﹒ 4. a 的 最 大 值 減 b 的 最 小 值 ﹐ 3
4
⋅ −
3
4
3
3
4
<
⋅ −
4
得 1 − 4 = −3 為 最 小 可 能 ﹐
∴ −3 ≤ a − b ≤ 1 ﹐ 故 選 (A)(B)(C)(D) ﹒
3 4
(B) ○ (C) ╳ ﹐
+ g ( x) 的 最 小 值 應 比 a + b 大 ﹒
(D) ○ ﹐ 因 g ( x ) 與 h ( x ) 發 生 最 小 值 的 x 相 同 ﹐ 所 以 g ( x) + h( x) 的 最 小 值 為 b + c ﹒
1
(E) 不 合 ﹐ a 的 範 圍 為 0 < a ﹐ 沒 有 上 限 ﹒ b
時﹐
與 g ( x) 發 生 最 小 值 的 x 並 不 同 ﹐
故 選 (B)(D) ﹒
10
1
≥ 2 2 ﹐ 在 x2 =
f ( x)
10
≒
5. (A) 不 合 ﹐ a + b 的 範 圍 為 0 < a + b < 2 ﹒ (B) 不 合 ﹐ a − b 的 範 圍 為 − < a − b < ﹒ (C) 正 確 ﹒ (D) 正 確 ﹒
= 2
h( x) 有 最 小 值 為 c = 2 2 = (2 2 ) = 2 ﹒
所以
π
10
a 的最小值減 b 的最大值﹐
1 2
f ( x)
≒
+
得 3 − 2 = 1為最大可能﹐
時﹐
有最小值為 a = 2 2 ﹒
由 h( x) = g ( x) 知 x =
因
10
﹐
5
則 最 大 可 能 的 d 為 10 ﹒
原式
x+
2.
3.14
3
∴ a 最 小 為 70 ﹐b 最 小 為 70 ﹐c 最 小 為 50 ﹐
= ( 4 x 2 + 4 ) + ( x 2 + 2 x + 1) ( x − 3) + ( x3 − 3x 2 + 3x − 1)
3.
≒
則
a = 2.69 ( 2.6 − 1) = 2.69 × 1.6 ﹐
9
π
0
b
故 選 (C)(D) ﹒
6. (A) 左 式 為
0.3939393
右 式 為 0.393939
﹐ ﹐
∴左式 = 右式﹐合﹒
(B) 左 式 為
0.391391
右 式 為 0.3919191
﹐ ﹐
應 為 0.391 < 0.391 ﹐ 不 合 ﹒
(C) 應 為 (D) 合 ﹒
0.39
= 0.4 ﹐ 不 合 ﹒
1
(E) 左 式 為
0.393939
﹐右 式 為 0.393393
﹐
∴ 應 為 0.39 > 0.393 ﹐ 不 合 ﹒
7.
故 選 (A)(D) ﹒
1.
建立坐標
即 3 < x −1 + x − 2 < 7 ﹐ 分 段 點 為 x −1 = 0 與 x − 2 = 0
(1) 若 x ≥ 2 則 3 < ( x − 1) + ( x − 2) < 7 ﹐ 即 6 < 2 x < 10 ﹐ 得 3 < x < 5 ﹒
(2) 若 1 ≤ x ≤ 2 則 3 < ( x − 1) + ( − x + 2 ) < 7 ﹐
設 頂 點 為 ( 0, k ) ﹐
為無解﹒
(3) 若 x ≤
1
拋物線方程式為
則 3 < ( − x + 1) + ( − x + 2 ) < 7 ﹐
即 0 < −2 x < 4 ﹐ 得 0 > x > −2 ﹒
由 (1)(2)(3) 得 所 求 為
代入
A ( 3, 0 ) 得
代入
B ⎛⎜
「 −2 < x < 0 或 3 < x < 5 」 ﹒
8. (A) ╳ ﹐ 因 x = (x
1
由
與 x = 5 不滿足
− 1)( x − 5) < 0 ﹒
(B) ○ ﹐ 因 x
2
− 6 x < 0 即 x ( x − 6) < 0 ﹐
≤ 5 的 解 為 −5 ≤ x ≤ 5 ﹐
x −3
x−2
≤ 3 即 −3 ≤ x − 2 ≤ 3 ﹐
(
, 0)
54 11
﹐ Q ( β1 , 0 ) ﹐
2
−a ) − 4b = a 2 − 4b = 7 ﹐ ﹐ S ( β2 , 0) ﹐
⎧α + β 2 = − a 則由根與係數知 ⎨ 2 ⎩α 2 β 2 = b + 2
RS = α 2 − β 2 = (α 2 + β 2 )2 − 4α 2 β 2 =
3.
(
2
−a ) − 4 ( b + 2 ) = a 2 − 4b − 8
= 49 − 8 = 41 ﹒ 由圖可知﹐ y
p. 6
3. DE
, 0)
(2) 設 R (α 2
∴
多項函數及其圖形 41
得k=
得 a 2 − 4b = 49 ﹒
故 選 (B)(C)(D)(E) ﹒
11
3 25 = a+k 2 4
得
54 （公尺）﹒ 11
=
可﹒
1. 54 2.
⎞ ⎟ ⎠
PQ = α1 − β1 = (α1 + β1 )2 − 4α1β1
≤ 2 即 −2 ≤ x − 3 ≤ 2 ﹐
得 −1 ≤ x ≤ 5 ﹐包 含 1 ≤ x ≤ 5 的 範 圍 ﹐
2
2
= 9a + k
得 a = − 116 ﹐ 代 回
∴
得 1≤ x ≤ 5 ﹐可﹒
(E) ○ ﹐ 因
3
0
⎧α + β = −a 則由根與係數知 ⎨ 1 1 ⎩α1 ⋅ β1 = b
包含 1≤ x ≤ 5 的範圍﹒
(D) ○ ﹐ 因
,
2. (1) 設 P (α1
包含 1≤ x ≤ 5 的範圍﹒ x
⎝2
∴所求 =
解為 0 < x < 6 ﹐
(C) ○ ﹐ 因
5
y = ax 2 + k ﹐
=
f ( x)
+ g ( x ) 必 過 ( b, 0 )
且仍為拋物線﹐ 故 選 (D)(E) ﹒
舉 例 ﹕ y = ( x − 1)( x − 2 ) + ( x − 2 )( x − 3)
= 2 x 2 − 8 x + 8 = 2 ( x − 2 ) ﹐ (D) 合 ﹒ 2
y = ( x − 1)( x − 2 ) + ( x − 2 )( x − 5 )
= 2 x 2 − 10 x + 12 的 D = 100 − 96 > 0 ﹐ (E) 合 ﹒
2
知頂點的 x 坐標為 −
p. 7
1. BDE 2. ( 5. 2 1.
5,
−3)
11 15 ﹔ 11 15
3. B 4. 5 ﹔ − 5 4
6. C 7. BCE 8. 8 ﹔ 或
圖形為
由對稱性知
2 5
﹐
5.
25 5 ﹐則 a = ﹒ 4 4
⎛ ⎝
2
11 ⎛ 2 1⎞ =⎜x − ⎟ + ﹐則 y 2⎠ 4 ⎝
則 x2 =
由對稱性﹐得頂點的
x
∵ −1 ≤ x ≤ 2
f
f
2+8 x 坐標為 =5﹐ 2
2
∴
2
設 f ( x ) = a ( x − 5) + b ﹐ 則 f ( 2 ) = 9a + b = 6
﹐
f ( 3 ) = 4a + b = 1
﹐
6.
1 k
﹒
= 4 時 k 有 最 大 值 為 15 ﹒ 11 11 ≤ k ≤ 15 ﹐ ≤ k ≤ 15 ﹐ 則 4 4
最小值為
作圖如下﹐
=
∴ 0 ≤ x2 ≤ 4 ﹐
1 1 4 ≤ ≤ ﹐ 11 15 k 4 2 11 = ﹐ 11 11
得 y 的最大值為
得 a = 1 ﹐ b = −3 ﹐
1⎞ 1 ⎟ +3− 4⎠ 4
1 11 時 k 有最小值為 ﹐ 2 4
取倒數得
∴ 頂 點 為 ( 5, −3) ﹒
3.
5 ∴b=− ﹒ 2
令 k = x4 − x2 + 3 = ⎜ x4 − x2 +
(A) 不 合 ﹔ (B) 合 ﹔ (C) 不 合 ﹔ (D) 合 ﹔ (E) ∵ ( −2) > 0 ﹐ ∴ 圖 形 確 定 為 恆 正 ﹐ 則 ( 8 ) > 0 ﹐ 合 ﹐ 故 選 (B)(D)(E) ﹒
由
b +1 3 =− 2 4
∴ f (1) = 2 + 3 + a = b 2 =
即「恆正或恆負」﹐
2.
3 4
15 ﹒ 15
因 圖 形 趨 勢 朝 右 下 ﹐最 高 次 項 係 數 應 為 負 ﹐
(A) 不 合 ﹐ (B) 不 合 ﹒
∵在 x =1及 x = 5 與 x 軸相切﹐
或
∴ ( x − 1) 與 ( x − 5) 帶 偶 數 次 方 ﹒ ∵在 x = 3 穿越﹐ ∴ ( x − 3) 帶 奇 數 次 方 ﹒
7.
或
故 選 (C) ﹒ 由
f ( x)
往右下知 a < 0 ﹐
由 f ( −b ) = 0 知
A 坐 標 為 ( −b, 0 )
∴ b > 0﹒
由 g ( x) 往 右 上 知 c > 0 ﹐ 由 y 截 距 知 ∴
f ( x)
的圖形必過三﹑四象限﹐
第一象限可過可不過﹐
且 必 不 過 第 二 象 限 ﹐ 故 選 (B) ﹒
4.
3 9⎞ 9 ⎛ f ( x ) = 2⎜ x2 + x + ⎟ + a − 2 16 ⎠ 8 ⎝ ⎛ = 2⎜ x + ⎝
3⎞ ⎟ 4⎠
2
9 +a− 8
g ( 0) = d < 0 ﹐
B 坐 標 為 ( 0, d ) ﹒
A 在 g ( x ) 上 ﹐ ∴ g ( −b ) = b 4c + d = 0
B ( 0, d ) 在 由
f ( x)
上
知 b c + ab 4
3
∴ f ( 0 ) = ab3 = d
= 0 ﹐∵ b ≠ 0
∴ 約 去 b 得 bc + a = 0 ﹐ 故 (E) 為 真 ﹒ 3
故 選 (B)(C)(E) ﹒
3
8.
設
+ 1 + (3 − a )
20 − x x 10 − x = − = 4 4 2
RX = RQ 2 + QX 2 =
用長除法﹐
4
4
則 QX ∴
3.
x 20 − x AP = x ﹐ 則 PQ = ﹐ PX =
+1 + a + b +1 +1
x
2
⎛ ⎞ ⎛ 10 − ⎜ ⎟ +⎜ ⎝4⎠ ⎝ 2
x ⎞2 ⎟ ⎠
+3 +a + (3 − a )
+4 +b + ( 4 − b)
+ (3 − a )
+ ( 3a − a (a
2
5 ( x − 8 ) + 80 5 x 2 − 80 x + 400 = = 16 16 ∴ x = 8 時﹐
3
RX
80 有最小值為 = 5﹒ 16
2
+1 + 0 −1
+1 + a + b +1 +1
+1 + 1 + 2 +1 +1 +1 +1 +1 +2 −1 −1
+ p +2 +p −1 + ( p + 1) +4 ( p − 3)
+2 −2 +4 +4
0
+q
2
+1 +a + (1 − a )
−1 +b + ( −1 − b )
+ (1 − a )
+ (a − a 2
2
)
− a − b − 1)
−1 −1 + ( b − ab ) ( ab
− b − 1)
1
知 ab − 3b = b ( a − 3) = 0 b = 0 ﹐代入
不合
a = 3 ﹐代入
得
⇒代 均 合 ∴ a = 3 且 b = 1 ﹐得
b =1
f ( x)
= x 2 + 3x + 1
(A) ○ ﹒ (B) ╳ ﹒ (C) ╳ ﹐ 因 判 別 式 D = 9 − 4 > 0 +q +8 ( q − 8) 0
∴ p =3且 q =8 ﹒
2.
+ ab − 3b )
4
由
+4
(2
+ 1 + (1 − a )
(a
用長除法
+ ( 3b − ab )
)
− 3a − b + 4 )
p. 1 0
1.
+2
3
餘式定理與因式定理
1. 3 ﹔ 8 2. ACE 3. AE
2
+2
∴
f ( x)
(D) ╳ ﹐ 配 方 得 ∴
f ( x)
= 0 有兩相異實根﹒ f ( x)
⎛ =⎜x+ ⎝
3⎞ ⎟ 2⎠
2
+1−
9 4
5 有最小值為 − ﹒ 4
(E) ○ ﹐ ( −3) = 9 − 9 + 1 = 1 ﹐ 合 ﹒ 故 選 (A)(E) ﹒ f
設 f ( x ) = 3 x 3 + ax 2 + 2 x + b ﹐ 甲 看 成 f1 ( x ) = 2 x 3 + ax 2 + 2 x + b ﹐ 乙 看 成 f 2 ( x ) = 3 x 3 + ax 2 − 2 x + b 則 而
f1 ( x )
−
f1 ( x )
−
f2 ( x )
可 被 g ( x) 整 除
f2 ( x )
= − x ( x − 4 ) = − x ( x + 2 )( x − 2 )
1. BCD 2. ABC 3. 55 4. −17 5. 20 6. 10 − 30 7. BC 8. −6 i
2
∴ g ( x) 可 為 x 或 x + 2 或 x − 2 ﹒ 故 選 (A)(C)(E) ﹒
p. 1 1
1. (A) 不 一 定 ﹐ 可 能 因 消 項 降 低 次 數 ﹒ (B) 正 確 ﹐ 因 四 次 項 係 數 相 等 ﹐ ∴相加後仍為四次﹒
(C) 正 確 ﹒ 4