第 1 單元 說例○ 1 ：p.1 A. 設正整數 x, y 除以 7 之餘數分別為 3, 5 ﹐則 x 2 + 4 y 除以 7 之餘數為 解： 32 + 4 × 5 = 29 ﹐
﹒
∴ 29 除以 7 之餘數為 1﹒
B. 任一整數的平方除以 8 之餘數可能為
﹒
解：任一整數的除以 8 之餘數可能為 0,1,2,3,4,5,6,7 而 02 ,12 , 2 2 , 32 , 42 ,52 ,62 ,72 分別除以 8 之餘數為 0,1,4,1,0,1,4,1 ∴任一整數的平方除以 8 之餘數可能為 0,1,4﹒ 說例○ 2 ：p.3 28a 為有限小數﹐則 a = _____﹒ 45 28a 28a 解： = ⇒ 2 + 8 + a 為 9 的倍數﹐∴ a = 8﹒ 45 9 × 5
A. 若
B. 若 x ﹐ y 是有理數﹐ (1 − 2) x + (1 + 2) y = 3 − 2 ﹐則 x = ____﹐ y = _____﹒ 解： (1 − 2) x + (1 + 2) y = 3 − 2 ⇒ ( x + y ) + ( − x + y ) 2 = 3 − 2
⎧ x+ y=3 ⇒⎨ ⇒ x = 2, y = 1 ﹒ ⎩ − x + y = −1 說例○ 3 ：p.4
*A.化簡 5 − 2 6 = _______﹒ 解：
5 − 2 6 = 2 + 3 − 2 2 × 3 = ( 2 − 3)2 =
3− 2﹒
*B. 化簡 8 + 60 = _______﹒ 解： 8 + 60 = 8 + 2 15 = 3 + 5 + 2 3 × 5 = ( 3 + 5)2 = 3 + 5 ﹒
*C. 化簡 2 − 3 = ________﹒ 解： 2 − 3 =
4−2 3 2
=
( 3 − 1)2 3 −1 = = 2 2
6− 2 ﹒ 2
說例○ 4 ：p.6
A. 不等式 x ≤ 2 之解為
﹒
解： −2 ≤ x ≤ 2 ﹒
B. 不等式 x ≥ 3 之解為
﹒
解： x ≤ −3 或 3 ≤ x ﹒ 說例○ 5 ：p.7
A. f ( x ) = x − 1 + x − 2 + x − 3 ﹐則 x = 2 時﹐ f ( x ) 有最小值
﹒
解： 折點為 1, 2, 3 中位數為 2﹐∴ f ( x ) 的最小值為 f (2) = 1 + 0 + 1 = 2 ﹒
B. f ( x ) = x − 1 + x + 2 ﹐則 −2 ≤ x ≤ 1 時﹐ f ( x ) 有最小值
﹒
解： 折點為 1, −2 , ∴在 −2 ≤ x ≤ 1 時﹐ f ( x ) 有最小值 f ( −2) = f (1) = 3 ﹒
C. f ( x ) = x − 1 + 2 x − 2 + 3 x − 3 + 4 x − 4 ﹐則 x = 3 時﹐ f ( x ) 有最小值
﹒
解： 折點為 1, 2,2, 3,3,3, 4,4,4,4 中位數為 3﹐ ∴ f ( x ) 的最小值為 f (3) = 2 + 2 × 1 + 3 × 0 + 4 × 1 = 8 ﹒
說例○ 6 ：p.8
A. 設 A(1, 2) ﹐ B(4, 6) ﹐則 AB 之中垂線 (至A, B兩點等距離 ) 方程式為
﹒
解： 設 P( x, y ) 在 AB 的中垂線上⇒ PA = PB ⇒
( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = ( x − 4) 2 + ( y − 6) 2 ⇒ ( x − 1) 2 + ( y − 2)2 = ( x − 4)2 + ( y − 6)2
⇒ 6 x + 8 y − 47 = 0 ﹒
說例○ 7 ：p.9 A. 平行四邊形 ABCD﹐若 A(0, 0) ﹐ B(1, 2) ﹐ C (4 , 5) ﹐則 D 點坐標為 解： D = A + C − B = (0,0) + (4,5) − (1, 2) = (3,3) ﹒
﹒
B. 若 A( −6, −2) ﹐ B(6, −5) ﹐ P 點在 AB 上﹐且 AP : BP = 2 : 1 ﹐則 P 點坐標為 A + 2 B ( −6, −2) + 2(6, −5) 解： P = = = (2, −4) ﹒ 2 +1 3
﹒
說例○ 8 ：P.11 A. 設 x ≥ 0, y ≥ 0 ﹐ 2 x + y = 8 ﹐則 xy 最大值為
﹐此時 x =
﹐ y=
﹒
2x + y 8 ≥ 2 xy ⇒ ≥ 2 xy ⇒ 16 ≥ 2 xy ⇒ 8 ≥ xy ﹐∴ xy 最大值為 8﹒ 2 2 8 此時 2 x = y = ⇒ x = 2, y = 4 ﹒ 2
解：
B. 設 x ≥ 0, y ≥ 0 ﹐ xy = 100 ﹐則 x + 2 y 最小值為 解：
﹐此時 x =
﹐ y=
x + 2y x + 2y ≥ 2 xy ⇒ ≥ 2 × 100 ⇒ x + 2 y ≥ 20 2 ﹐∴ x + 2 y 最小值為 20 2 ﹒ 2 2
此時 x = 2 y = 10 2 ⇒ x = 10 2, y = 5 2 ﹒
C. 設 a = 1.0043 ﹐ b = 1.002 × 1.003 × 1.007 ﹐則 a 與 b 的大小關係為_____﹒ 解： a = 1.0043 = ( ∴a > b﹒
1.002 + 1.003 + 1.007 3 ) ≥ 1.002 × 1.003 × 1.007 = b 3
﹒
第 2 單元
y
說例○ 1 ：P.14 A. 比較右圖中 p, q, r, s 與 0 的大小順序：_______﹒ 解：畫 x = 1 直線與圖形交點的 y 坐標 ∴由上而下的大小順序為 p > q > 0 > r > s﹒
y = px 2
p q rO1 s
y = qx 2
x
y = rx 2 y = sx 2
B. 二次函數 y = x 2 − 2 x + k 的圖形與 x 軸相交於相異兩點 P ﹐ Q ﹐若 PQ = 4 ﹐則 k =
﹒
解：對稱軸為 x = 1 ⇒ P (1 + 2,0) = P (3,0) ﹐ Q (1 − 2,0) = Q ( −1,0) ⇒ y = ( x − 3)( x + 1) = x 2 − 2 x − 3 ﹐ ∴ k = −3 ﹒
說例○ 2 ：P.15
A. 如右圖﹐試以”>” ”<” ”=”判斷下列各式： (2) b ___0﹒ (3) c ____0﹒ (1) a ____0﹒ (4) b2 − 4ac ____0﹒
(5) α + β ____ 0﹒
解：(1) 開口向下⇒ a < 0 ﹒ (2) 與 y 軸交點的切線斜率為正⇒ b > 0 ﹒ (3) 與 y 軸交點在 x 軸的上方⇒ c > 0 ﹒
(4) 與 x 軸相交兩點⇒ b2 − 4ac > 0 ﹒ (5) 由圖得知﹐兩根和為正⇒ α + β > 0 ﹒
B. f (x)＝－3x2＋ax＋b 在 x＝1 時有最大值 2﹐則 (3) 頂點坐標 ______﹒ (1) a＝___﹒ b＝____﹒ (2) 對稱軸 x＝___﹒ 2 2 解：(1) y = −3( x − 1) + 2 = −3x + 6 x − 1 ﹐∴ a = 6, b = −1 ﹒ (2) 對稱軸 x＝1﹒ (3) 頂點坐標 (1, 2) ﹒
C. 二次函數 y＝f (x), 頂點坐標(1,2)且過點(2,－1)﹐則 f (x)＝____________﹒ 解：設 f ( x ) = a ( x − 1)2 + 2 ﹐將(2,－1)代入﹐得 a = −3 ∴ f ( x ) = −3( x − 1)2 + 2 = −3x 2 + 6 x − 1 ﹒
y = ax 2 + bx + c
說例○ 3 ：p.18
A. 二次函數 f (x)＝ax2＋2x＋a﹐(x 為任意實數) 的值恆負﹐則實數 a 的範圍為______﹒ 解： ⎧ a < 0 …c ⎨ 22 − 4 × a × a < 0 ⇒ a 2 − 1 > 0 ⇒ (a + 1)(a − 1) > 0 ⇒ a > 1 或 a < −1 …2 ⎩ ∴由c﹐2得 a <－1﹒
B. k 為實數﹐ 若 x 2 + kx + k ≤ 0 無解﹐則 k 之範圍為_________﹒ 解： y = x 2 + kx + k 的圖形恆在 x 軸上方﹐ y = x 2 + kx + k > 0 恆成立
⇒ k 2 − 4k < 0 ⇒ k (k − 4) < 0 ⇒ 0 < k < 4
說例○ 4 ：p.19
A. 若 f ( x ) = 2 x 3 + 4 x + 5 ﹐ 則 deg f ( x ) = ____ ﹐ 領導係數為
﹐ 常數項為
﹒
解： deg f ( x ) = 多項式 f ( x ) 最高次的次數 = 3﹔領導係數為 2﹔常數項為 5﹒
B. f ( x ) = 2 為
多項式﹐ f ( x ) = 0 為
多項式﹒
解： f ( x ) = 2 為零次多項式﹔ f ( x ) = 0 為零多項式﹒
C. x 多項式的 x 不可在根號、指數、分母、絕對值內﹐試問以下各項是否為多項式？ 1 ﹒ (2) 2 x ： ﹒(3) ： ﹒(4) x ： ﹒ (1) x ： x 解： ∵ x 多項式的 x 不可在根號、指數、分母、絕對值內﹐ 1 ∴ x ﹐ 2 x ﹐ ﹐ x 均不是多項式﹒ x 說例○ 5 ：p.19
A. 若 f ( x ) = ( x 4 − 2 x 2 + x + 1)2012 ﹐則 (1)各項係數總和為 (4)奇次項係數和為
﹒ ﹒
(2)常數項為_____﹒
(3)偶次項係數和為
解：(1) 各項係數總和＝ f (1) = (1 − 2 + 1 + 1)2012 = 1 ﹒
(2) 常數項為＝ f (0) = 12012 = 1 ﹒ 1 (3 ) f ( −1) = (1 − 2 − 1 + 1) 2012 = 1 ﹐偶次項係數和＝ [ f (1) + f ( −1)] = 1 ﹒ 2 1 (4) 奇次項係數和＝ [ f (1) − f ( −1)] = 0 ﹒ 2
﹒
說例○ 6 ：p.21
*A. 多項式 f (x)除以 3x − 1 的商式為 q(x)﹐餘式為 6﹐ 1 則 x f (x)除以 x − 的商式為_________﹐餘式為_____﹒ 3 解： f (x) = (3x − 1)q(x) + 6 ⇒ x f (x) = (3x − 1) xq(x) + 6x 1 1 = ( x − ) ⋅ 3xq( x ) + 6( x − ) + 2 3 3 1 = ( x − ) [3xq( x ) + 6] + 2 3 1 ∴ x f (x)除以 x − 的商式為 3xq(x) + 6﹐餘式為 2﹒ 3 *B. 利用綜合除法求(x4+2x3+5x+7)÷(x+2)的商式為_______ 及 餘式為____﹒ 解：
1 +2 +0 +5 +7 −2 +) −2 +0 +0 −10 商式→ 1 +0 +0 +5 −3 ←餘式 ∴商式為 x3+5 及 餘式為−3﹒
*C. 利用綜合除法求(4x4+5x2+x+3)÷(2x−1)的商式為________ 及 餘式為 解：
4 +0 +5 +1 +3
﹒
1 2
+) +2 +1 +3 +2 2) 4 +2 +6 +4 + 5 ←餘式 商式→ 2+1 +3 +2 ∴商式為 2x3+x2+3x+2 及 餘式為 5﹒ 說例○ 7 ：p.23
A. f ( x ) 除以 x − 1 餘 2 ⇒ f (1) = _____﹐
3 f ( x ) 除以 2 x + 3 餘 4 ⇒ f ( − ) = _____﹒ 2
解：(1) 設 f ( x ) =(x − 1) q( x ) + 2 ⇒ f (1) = 2 ﹒ 3 (2) 設 f ( x ) = (2 x + 3) q( x ) + 4 ⇒ f ( − ) = 4 ﹒ 2
B. f ( x ) = x 2012 + 2012 x + 2012 除以 x + 1 的餘式為 f ( −1) = _____﹒ 解：設 f ( x ) = x 2012 + 2012 x + 2012 = ( x + 1) q( x ) + r ∴餘式 r = f ( −1) = ( −1) 2012 + 2012 × ( −1) + 2012 = 1 ﹒
說例○ 8 ：p.23 A. f ( x ) 以x − 1除之餘5, 以x + 2除之餘2, 則 f (x)除以 ( x −1)( x + 2) 之餘式為_______﹒ 解：設餘式為 ax + b f ( x ) = ( x − 1)( x + 2) q( x ) + ax + b ⎧ f (1) = a + b = 5 ⇒ ⎨ ⎩ f ( −2) = −2a + b = 2
⇒ a = 1, b = 4
∴餘式為 x + 4 ﹒
B. f ( x) 被 x − 1 除餘 4﹐被 x − 2 除餘 −3 ﹐被 x − 3 除餘 −4 ﹐ 則 f ( x) 被( x − 1 )( x − 2 )( x − 3 )除的餘式為 ___________﹒ 解：設餘式為 a ( x − 1)( x − 2) + b( x − 1) + 4 f ( x ) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3) q( x ) + a ( x − 1)( x − 2) + b( x − 1) + 4 ⎧ f (2) = b + 4 = −3 ⇒ ⎨ ⎩ f (3) = 2a + 2b + 4 = −4
⇒ a = 3, b = −7
∴餘式為 3( x − 1)( x − 2) − 7( x − 1) + 4 = 3x 2 − 16 x + 17 C. f ( x ) 除以 x − 3 餘 − 4, 除以 x 2 − 3x + 2 餘 − 7 x + 11, 則 f ( x) 被( x − 3 ) ( x 2 − 3 x + 2) 除的餘式為 ___________﹒ 解：設餘式為 a ( x 2 − 3x + 2) − 7 x + 11 f ( x ) = ( x − 3)( x 2 − 3x + 2)q( x ) + a ( x 2 − 3x + 2) − 7 x + 11
⇒ f (3) = 2a − 10 = −4 ⇒ a = 3 ∴餘式為 3( x 2 − 3 x + 2) − 7 x + 11 = 3x 2 − 16 x + 17 ﹒
說例○ 9 ：p.27 A. f ( x ) = x 4 + 2 x 3 + x 2 + 3x − 7 是否有因式 x − 1 ? ____﹒
解：∵ f (1) = 1 + 2 + 1 + 3 − 7 = 0 ﹐∴ f ( x ) 有因式 x − 1 ﹒
B. f ( x ) = x 4 − 2 x 3 + x 2 − 3x − 7 是否有因式 x + 1 ? ____﹒
解：∵ f ( −1) = 1 + 2 + 1 + 3 − 7 = 0 ﹐∴ f ( x ) 有因式 x + 1 ﹒
說例○ 10 ：p.27 A. f ( x ) = 7 x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x − 6 的整係數一次因式為 _______﹒ 解：設 ax − b 是 f ( x ) 的因式﹐ b 1 − 1 2 −2 3 − 3 6 − 6 1 − 1 2 − 2 3 − 3 6 − 6 則 可為 , , , , , , , , , , , , , , , a 1 1 1 1 1 1 1 1 7 7 7 7 7 7 7 7 6 ∵ a − b 是 f (1) = 5 的因式﹐ a + b 是 f ( −1) = −13 的因式﹐故只有 符合﹐ 7 6 7 +1 +1 +1 +1 −6 7 6 6 +6 +6 +6 7 +7 +7 +7 +7
0
6 又 f ( ) = 0 ﹐∴整係數一次因式為 7 x − 6 ﹒ 7 *B. 方程式 x 3 − 3x 2 −17 x −13 = 0 的正根為______﹒ ∴有因式 x + 1
解： ∵ 1－17＝－3－13
1 −3 −17 −13 −1 +) 商式→
−1 +4 +13 1 −4 −13
0 ←餘式
則 x 3 − 3 x 2 − 17 x − 13 = ( x + 1)( x 2 − 4 x − 13) = 0 ⇒ x + 1 = 0 或 x 2 − 4 x − 13 = 0
⇒ x = −1 或 x = 2 ± 17 ∴正根為 2 + 17 ﹒
說例○ 11 ：p.29 ﹒(2) i > 0 ： A. 以下敘述是否正確？ (1) 3i > 2i ： 解： i 不能比大小﹐且沒有正負﹐∴ (1)否 (2)否 (3)否﹒ B. i 2012 =
﹐
1 + i + i2 + i3 =
﹒(3) i < 0 ：
﹐ 1 + i + i 2 + i 3 + ⋅⋅⋅ + i100 =
解： i 2012 = (i 4 )503 = 1 ﹐ 1 + i + i 2 + i 3 = 1 + i + ( −1) + ( −i ) = 0 ﹐
1 + i + i 2 + i 3 + ⋅⋅⋅ + i100 = (1 + i + i 2 + i 3 ) + ⋅⋅⋅ + (i 96 + i 97 + i 98 + i 99 ) + i100 = (1 + i + ( −1) + ( −i )) + ⋅⋅⋅ + (1 + i + ( −1) + (−i )) + 1 =1
﹒
﹒
說例○ 12 ：p.29 A. 2 − i ⇒實部為
﹐ 虛部為____；
2i − 3 ⇒實部為____﹐虛部為
解： 2 − i 實部為 2 ﹐虛部為－1﹔ 2i − 3 = −3 + 2i
實部為－3﹐虛部為 2﹒
4 ⇒實部為____﹐虛部為 B. −5i ⇒實部為____﹐ 虛部為____ ﹔ 解： −5i = 0 − 5i 實部為 0﹐虛部為－5﹔ 4 = 4 + 0i 實部為 4﹐虛部為 0﹒
﹔ −i 對應點
C. 複數平面上﹐ i 對應點
﹒
﹔
3 + 4i 對應點
﹒
﹔ −3 對應點____﹒
解： i = 0 + i 對應點為 (0,1) ﹔ −i = 0 − i 對應點為 (0, −1) ﹔ 3 + 4i 對應點為 (3, 4) ﹔ −3 = −3 + 0i 對應點為 ( −3,0) ﹒
說例○ 13 ：p.30 A. 2i − 3 = ______﹐ 2i = ___﹐
5 = ____﹒
解： 2i − 3 = −3 − 2i ﹔ 2i = −2i ﹔ 5 = 5 ﹒ B. z ∈ ^ ⇒ z 與 z 對稱 於
z 與 − z 對稱 於_____﹐ z 與 − z 對稱 於____﹒
﹐
解：設 z = a + bi ⇒ z = a − bi, − z = − a − bi, − z = − a + bi ∴ z 與 z 對稱於 x 軸 ﹔ z 與 − z 對稱於 原點 ﹔ z 與 − z 對稱於 y 軸 C. 3 − 4i =
﹐
1 + i = ____﹒
﹐
2i =
解： 3 − 4i = 32 + ( −4)2 = 5 ﹔ 2i = 02 + 22 = 2 ﹔ 1 + i = 12 + 12 = 2 ﹒ 說例○ 14 ：p.30 A.
(3 + 4i )2 (1 + 2i ) (2 − i )3
解：
= ____﹒
(3 + 4i )2 (1 + 2i ) (2 − i )
3
2
=
3 + 4i 1 + 2i 2−i
3
=
25 × 5 ( 5)3
=5
B. x, y ∈ \ ﹐ 若 2 + yi = x − 3i ﹐則 x = _____ ﹐ 且 y = _____﹒
解： 2 + yi = x − 3i ⇒ x = 2, y = − 3 C. x, y ∈ \ ﹐ 若 x + y = −5, xy = 4 ﹐ 則 ( x + y )2 = ______﹒
解： x + y = −5, xy = 4 ⇒ x < 0, y < 0 ⇒ x y = − xy ∴ ( x + y )2 = x + 2 x y + y = ( x + y ) − 2 xy = −5 − 2 4 = −9 ﹒
說例○ 15 ：p.31 A. (2 + 3i ) + (4 − i ) = ______,
解： (2 + 3i ) + (4 − i ) = (2 + 4) + (3 − 1)i = 6 + 2i B. (3 + 4i )(3 − 4i ) = _____,
解： (3 + 4i )(3 − 4i ) = 9 + 16 = 25 1 = ______﹒ 3 + 4i 1 1 3 − 4i 3 − 4i 3 4 解： = × = = − i 3 + 4i 3 + 4i 3 − 4i 25 25 25
C.
說例○ 16 ：p.32 A. 設 2 x 2 − 3x + 1 = 0 的二根為 α , β , 則 α + β = _____﹐ αβ = _____﹒ 1 3 解： α + β = ﹐ αβ = ﹒ 2 2 B. 設 k 為實數﹐若 kx 2 + 4 x + 2 = 0 有實根﹐則 k 的範圍為______﹒
解： 42 − 4 × k × 2 ≥ 0 ⇒ k ≤ 2
說例○ 17 ：p.33 A. 設 f ( x ) ∈ \ [ x ] ﹐若 f (1 + 2i ) = 0 ﹐則 f (1 − 2i ) = ______﹒
解： f (1 − 2i ) = 0 ﹒ B. 設 f ( x ) ∈ \ [ x ] ﹐若 f (3 + 5i ) = a + 6i 且 f (3 − 5i ) = 8 + bi ﹐則實數數對 ( a, b) = _______﹒
解： f (3 − 5i ) = f (3 + 5i ) = f (3 + 5i ) ⇒ 8 + bi = a + 6i = a − 6i ⇒ a = 8, b = −6 ﹐∴ ( a, b) = (8, −6) ﹒ C. 實係數方程式中﹐若有一根 3i − 2 ﹐則必有一根_______﹒
解： f (3i − 2) = 0 ⇒ f (3i − 2) = 0 ⇒ f ( −2 − 3i ) = 0 ﹐∴必有一根 −2 − 3i ﹒
說例○ 18 ：p.34 A.三次方程式 x 3 + x 2 − 2 x − 1 = 0 在下列那些連續整數之間有根？________﹒ (1) −2 與 −1 之間 (2) −1 與 0 之間 (3) 0 與 1 之間 (4)1 與 2 之間 (5) 2 與 3 之間
解：設 f ( x ) = x 3 + x 2 − 2 x − 1 x f ( x)
−2 −1
−1 1
0 −1
1 −1
2 7
3 29
⇒ ( −2, −1) ﹐ ( −1,0) 與 (1, 2) 區間必定有實根
說例○ 19 ：p.36 A. 不等式 ( x − 1)3 ( x + 2)( x − 3)2 > 0 之解為________﹒
解： ( x − 1)3 ( x + 2)( x − 3)2 > 0 ⇔ ( x − 1)( x + 2) > 0, 但 x ≠ 3
⇔ x < −2 或 1 < x 但 x ≠ 3 B. 不等式 ( x − 1)3 ( x + 2)( x − 3)2 ≤ 0 之解為________﹒
解： ( x − 1)3 ( x + 2)( x − 3)2 ≤ 0 ⇔ ( x − 1)( x + 2) ≤ 0, 或 x = 3
⇔ −2 ≤ x ≤ 1 或 x = 3 C. 不等式 ( x − 2) ≥ 0 之解為__________﹒ x ( x − 1)
解： ( x − 2) ≥ 0 ⇔ x( x − 1)( x − 2) ≥ 0, 但 x ≠ 0,1 x ( x − 1)
⇔ 0< x <1 或 x ≥ 2
∴選(1)(2)(4)﹒
第 3 單元 說例○ 1 ：p.47 比較右圖中 a, b, c, d 與 0,1 的大小______________﹒ 解： 作 x = 1 的直線與圖的交點 y y = cx y = bx 由上而下分別為 y = ax y = dx B(1,b)﹐A(1,a)﹐D(1,d)﹐C(1,c) ∴b > a >1> d > c > 0﹒ Bi iA (0,1) i D Ci x O x =1 說例○ 2 ：P.51
(A) 2 x − 3 = 0 ⇒ x = _____﹒ 解： 2 x − 3 = 0 ⇒ 2 x = 3 ⇒ x = log 2 3 (B) log 2 8 =
﹒
解：設 log2 8 = x ⇒ 2 x = 8 = 23 ⇒ x = 3 (C) log9 3 =
﹒
解：設 log9 3 = x ⇒ 9 x = 3 ⇒ 32 x = 3 ⇒ 2 x = 1 ⇒ x = 1 ﹒ = 25 1 1 解：設 log5 = x ⇒ 5x = = 5−2 ⇒ x = −2 25 25
(D) log5
(E) logπ 1 =
﹒
解：設 logπ 1 = x ⇒ π x = 1 ⇒ x = 0 (F) 2log2
3
=
解： 2log2
3
= 3
﹒
1 2
說例○ 3 ：P.54 log2 ( x − 2) + log 2 ( x − 3) = 1 ⇒ x =
﹒
解： log2 ( x − 2) + log 2 ( x − 3) = 1 ⇒ log 2 ( x − 2)( x − 3) = 1 ⇒ ( x − 2)( x − 3) = 2 ⇒ x 2 − 5 x + 4 = 0 ⇒ ( x − 1)( x − 4) = 0 ⇒ x = 4 or 1 (不合 ) ﹐∴ x = 4 ﹒
說例○ 4 ：P.55 比較右圖中 a, b, c, d 與 0,1 的大小 解： 作 y = 1 的直線與圖的交點 由右而左分別為 B(b, 1)﹐A(a, 1)﹐D(d, 1)﹐C(c, 1) ∴b > a >1> d > c > 0﹒
﹒ y y = loga x
y =1
Ci i
D Ai
O
i
B
1
y = logb x x y = log c x y = log d x
說例○ 5 ：P.58 不等式 log2 ( x − 2) + log 2 ( x − 3) < 1 的解為
﹒
解：c x − 2 > 0 ⇒ x > 2 2x−3> 0⇒ x > 3 3 log2 ( x − 2)( x − 3) < 1 ⇒ ( x − 2)( x − 3) < 2 ⇒ x 2 − 5 x + 4 < 0 ⇒ ( x − 1)( x − 4) < 0 ⇒ 1 < x < 4 由c23得 3 < x < 4 ﹒ 說例○ 6 ：P.59 A. 2100 為
位數 .
解： log 2100＝100log 2 ≈ 100 × 0.3010＝30.10＝30＋0.10
⇒ 首數 = 30 ⇒ 2100 是 31 位數﹒
B. (0.2)100 自小數點後第 解： log 0.2100＝100log
位開始不為 0﹒
2 ≈ 100 × (0.3010 − 1)＝ − 69.90 ＝ − 69 − 0.90 = −70 + 0.1 10
⇒ 首數 = －70 ⇒ (0.2)100 自小數點後第 70 位開始不為 0﹒
說例○ 7 ：P.60 *A. 數學教科書所附的對數表中﹐ log 4.34= 0.6375﹐ log 4.35= 0.6385﹒ 根據 log 4.34 和 log 4.35 的查表值以內插法求 log 4.342﹐ 設求得的值為 p﹐ 則下列哪一個選項是正確的？______﹒ 1 (2) p = 0.2 × 0.6375 + 0.8 × 0.6385 (1) p = (0.6375 + 0.6385) 2 (4) p = 0.6375 + 0.002 (3) p = 0.8 × 0.6375 + 0.2 × 0.6385 (5) p = 0.6375 − 0.002
解：
4.342 − 4.340 0.002 2 = = 4.350 − 4.342 0.008 8
【98 指甲】 ⇒ 利用分點公式﹐畫圖如下：
8 2 × 0.6375 + × 0.6385 2+8 2+8 = 0.8 × 0.6375 + 0.2 × 0.6385
⇒p= ∴選(3)﹒
B. 設 log1.34＝a﹐log1.35＝b﹐用內插法以 a﹐b 表 log1.346 的值為 解： 1.346 1.340 6 1.346 − 1.340 0.006 6 p a ⇒ = = 1.350 − 1.346 0.004 4 4 6 ×a + ×b = 2 3 + + 6 4 6 4 ∴log1.346 = × a + × b ﹒ 5 5
________﹒
4
1.350 b
2 3 ×a + ×b 5 5
說例○ 8 ：P.62 A. 設一等比數列的首項為 4﹐末項為 512﹐總和為 1020﹐求此數列共有_____項﹒ a −a r 4 − 512r 解： Sn = 1 n ⇒ 1020 = ⇒r=2 1− r 1− r
又 an = a1r n −1 ⇒ 512 = 4 × 2n −1 ⇒ n = 8 ﹐∴共有 8 項﹒ *B. 設一等比數列的首 n 項之和為 8﹐首 2n 項之和為 12﹐則首 3n 項之和為
解：
4×
4 =2 8
<另解> 設 S3n = t ﹐而 Sn = 8 ﹐ S2 n = 12 ﹐ S − S n S 3n − S 2 n 12 − 8 t − 12 ﹐得 ﹐ 代入 2 n = = 8 12 − 8 Sn S2 n − Sn ⇒ t = 12 + 2 = 14 ﹐∴首 3n 項之和為 14﹒
﹒