第 10 章 熱學與氣體動力論
10章
熱學與氣體動力論
第
107
重要性：★★★★☆ 章節名稱 熱容量與比熱 物質的三態變化與潛熱 焦耳實驗與熱功當量 熱膨脹 大氣壓力 理想氣體方程式 PV = nRT 氣體動力論 (
1
重要性 ★★☆☆☆ ★★☆☆☆ ★★★★★ ★★★☆☆ ★★☆☆☆ ★★★★★ ★★★★★
)
學測
、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
93
97
94
99
91
92
92
96
91
92
94
98
94
99
99
95
100
93 91
94
、 、 97
98
100
101 93
100
、 、
指考
補
、 、 、 、 、 92
97
99
100
101 101
93
、 、 、 96
98
99
熱容量與比熱
1. 不同溫度的物體間，熱量（為能量）會由高溫處流向低溫處。熱量的單位為卡(cal)。 2. 熱容量的定義：物質升高或降低 1 C，所吸收或釋放的熱量。 (1) 若物體吸收或放出熱量 ΔQ(cal)時，使其溫度增加或減少 Δt( C)，則熱容量 C ΔQ 。 Δt (2) 單位：cal/ C。 3. 比熱的定義：1 公克的物質升高或降低 1 C，所吸收或釋放的熱量。 (1) 若質量 m(g) 的物體，在吸收或放出熱量 ΔQ(cal) 時，使其溫度增加或減少 Δt( C) ，則比熱 ΔQ s= 。 m ⋅ Δt (2) 單位：cal/g‧ C。 °
°
=
°
°
°
°
範例 1
50 公克、25 C 的水，再加入 60 公克、85 C 的水後，不計熱量散失的情況達 熱平衡時的溫度為 45 C。若此時再將 148 C、20 公克的某金屬丟入此量熱器中，測得最後平衡 溫度為 48 C，則該金屬的比熱為多少？ (A)0.25 (B)0.27 (C)0.28 (D)0.30 (E)0.32 卡/公克 C。 一量熱器中內有
°
°
°
°
°
⋅ °
B (1) 吸熱 放熱：(C 50 1) (45 25) 60 1 (85 45) C 70(cal/ C) (2) 吸熱 放熱：(70 110 1) (48 45) 20 s (148 48) s 0.27(cal/g C)。 範例 1 延伸 單元試題演練 1。 =
+
=
+
⇒
×
×
×
−
×
=
−
×
=
×
×
−
×
⇒
−
=
⇒
°
=
⋅ °
108
第 10 章 熱學與氣體動力論
類 題 1. A、B
兩金屬塊質量比為 4：1，以相同熱源同時加熱所得關係如圖示，
若 A 的比熱為 0.08 卡/公克
⋅ °
C，試求：
(1) 當 B 溫度達 300 C 時，A 的溫度為多少？
350°C
°
(2) 若 B 質量為 100 公克，則 AB 混合製成的合金，其熱容量為多少？ 48cal / °C
(3) 承(2)，合金比熱為多少？
0.096cal / g ⋅ °C
物質的三態變化與潛熱
2
1. 改變物質周遭環境溫度或壓力的條件，則物質狀態可以發生改變，稱為「相變」。 2. 潛熱的意義：物質在發生相變過程中，所吸收或放出的熱量並不會使物質升溫或降溫，而是讓物 質內的原子間距變大或變小，即改變分子的位能，此種熱量稱為「潛熱」。
3. 潛熱的種類： (1) 熔化熱（或凝固熱）：在定壓下，使單位質量的物質由固（液）態變為同溫度的液（固）態所 吸收（放出）的熱量。當時相變的溫度稱為「熔點（或凝固點）」。1 大氣壓下，冰的熔點（或 水的凝固點）為 0 C，冰的熔化熱（或水的凝固熱）為 80 卡/公克。 (2) 汽化熱（或凝結熱）：在定壓下，使單位質量的物質由液（氣）態變為同溫度的氣（液）態所 吸收（放出）的熱量。當時相變的溫度稱為「水的沸點（或水蒸氣的凝結點）」。1 大氣壓下， 水的沸點（或水蒸氣的凝結點）為 100 C，水的汽化熱（或水蒸氣的凝結熱）為 539 卡/公克。 4. 物質狀態變化，加熱時間與溫度的關係圖：（m：物質的質量） (1) 固態升溫過程： Q ms 固 t。 (2) 固、液態共存過程： Q m Q 熔化熱。 (3) 液態升溫過程： Q m s 液 t。 (4) 液、氣態共存過程： Q m Q 汽化熱。 (5) 氣態升溫過程： Q m s 氣 t。 °
°
Δ
1
=
⋅ Δ
Δ
Δ
3
=
⋅
Δ
Δ
範例 2
5
⋅
⋅ Δ
=
4
=
絕熱杯內裝 300 公克，−
=
2
⋅
⋅
⋅ Δ
10 C 的冰，以 50 卡/秒之熱率均勻加熱，其 °
溫度與時間關係如圖（未按比例作圖）。設熱量散失不計，且容器及
C，則下列敘述何者正確？ (A)BC 段中所供給熱能僅被冰吸收而已 (B)AB 段中供給熱能全部為 作相之變化 (C)絕熱杯裝置之水當量為 62 公克 (D)AB 間冰所吸收熱能為 1.48 冰的比熱為 0.70 卡/公克 C。 冰之比熱一定，水的比熱為
1 卡/公克
−
°
×
− °
ACD (A)BC 段僅為相變，量熱器理論上不吸熱。 (B)AB 段中供給熱能為冰及容器升溫之用。 (C)CD 段升溫過程 50 (884 522) (M 300) 1 (50 0) ⇒
×
−
=
+
×
×
−
∴M = 62(g)。
10
3
卡
(E)
第 10 章 熱學與氣體動力論 (D)（容器 冰）升溫過程 50 42 62 1 (0 ( 10)) H 冰 (E)H 冰 300 s 冰 (0 ( 10)) ∴ s冰 (cal/g C)。 範例 2 延伸 單元試題演練 2。 +
=
⇒
×
×
−
×
=
×
−
×
−
0.50
−
∴H 冰
+
=
1.48 10 (cal)。 3
×
⋅ °
⇒
類 題
2. 將同質量之 100 C 之水蒸氣與 0 C 之冰置一絕熱容器內，當達到熱平衡時，則下列敘述何者 °
(A)全部是液態 (B)全部是氣態 (C)氣態之質量為總質量的 25 ，液態之質量為總
正確？ 質量的 量的
°
54
29 54
(D)氣態之質量為總質量的 1 ，液態之質量為總質量的 3 (E)氣態之質量為總質 4
4
1 2 ，液態之質量為總質量的 。 3 3
3
E
焦耳實驗與熱功當量
1. 焦耳實驗：如圖，利用力學能完全轉換成熱，證實熱是能量的一種形式，並且測 定出焦耳與卡兩種能量單位的換算。
2. 熱功當量：由焦耳實驗得知熱功當量 J = W = Q
4.186
(J/cal)，即 1(cal) 4.186(J)。 =
範例 3 電熱水器是我們生活中常用的家電製品之一。現有一電熱器，若以每分鐘
0.6
公斤的流速，將
20 C 的冷水注入此電熱水器，則流出的水，其溫度為 60 C。 【93 學測】 (1) 依據上述數據，試問流經此電熱水器的水，每分鐘所吸收的熱量，最接近下列哪一數值？ (A)0.6 (B)12 (C)24 (D)36 千卡。 (2) 假設流經此電熱水器的水，每分鐘吸收 Q 千卡的熱量，而且這電熱水器的效率很高，可將 90 ％ 的 電 能 轉 換 成 熱 能 。 試 問 此 電 熱 水 器 的 功 率 約 為 多 少 瓦 特 ？ (A)80Q (B)900Q (C)4190Q (D)4650Q。 °
°
(1)C；(2)A (1) H ms t 600(g) 1(cal/g C) (60 20) C 24000(cal) 24(kcal)。 (2) 電能 90％→熱能，P 60 90％ Q 1000 4.2 P 80Q。 範例 3 延伸 單元試題演練 2。 =
Δ
=
×
×
⋅ °
×
×
×
−
=
°
×
=
=
×
⇒
⇒
類 題
3. 有一質量為 m、比熱為 s 的金屬小珠子自高處靜止落下，由於空氣阻力的緣故，珠子落地前
以等速度 v 下降。假設空氣對珠子的阻力所導致的熱全部由珠子吸收，而不考慮珠子的熱散
失，令重力加速度為 g，且所有物理量均採 SI 制，則在珠子落地前以等速度 v 下降時，珠子 的溫度每單位時間升高多少？
(A) gv
ms
(B) gv s
(C) mv gs
(D) gs v
(E)
v 。 gs
B 【101 指考】
109
110
第 10 章 熱學與氣體動力論
熱膨脹
4
1. 一般物質受熱後，原子間距愈增加，造成長度、面積或體積變大，此現象稱為「熱膨脹」。 2. 線膨脹公式：L = L (1 + α Δt)，其中 L 為溫度升高 Δt 時的長度，L 為初溫時的起始長度、Δt 為溫 度變化量、α 為線膨脹係數，單位為 1/°C。 3. 面膨脹公式：A = A (1 + β Δt)，其中 A 為溫度升高 Δt 時的面積，A 為初溫時的起始面積、Δt 為溫 度變化量、β 為面膨脹係數。( β 2α ) 4. 體膨脹公式：V = V (1 + γ Δt)，其中 V 為溫度升高 Δt 時的體積，V 為初溫時的起始體積、Δt 為溫 度變化量、γ 為體膨脹係數。( γ 3α ) 0
0
0
0
0
0
範例 4 在 20°C 時，由長 60 公尺的鐵軌築成的鐵路，在 40°C 時兩鐵軌間恰無空隙，則在 20°C 時兩鐵 。又如溫度降至 7°C 時其空隙變為 。（已知鐵軌線膨脹係數α = 11 × 軌間之空隙為 10 /°C） −6
1.32 × 10 − (m)；2.18 × 10 − (m) 20°C 時兩鐵軌間之空隙： L − L = L α (40 − 20) = 60 × 11 × 10 − × (40 − 20) = 1.32 × 10 − (m)。 7°C 時兩鐵軌間之空隙： L − L = L [1 + α (40 − 20)] − L [1 + α (7 −20)] = L α (40 − 7) = 2.18 × 10 − (m)。 2
2
6
40
20
40
7
2
20
2
20
20
20
類 題
4. 設有一鐘，其擺為黃銅所製，當溫度為 15°C 時，此鐘擺動恰為準確，問在 25°C 時，每日要 快慢多少秒？(α = 1.89 × 10 − /°C) 慢 5
8.16s
範例 5 線膨脹係數α = 1.0 × 10 /°C 的金屬環，當溫度由 0°C 升至 20°C 時，圓環直徑增加 面積增加 倍。若環上有一間隙，於 0°C 大小為 1 公分，升到 20°C 時間隙大小變為 -5
分。
2 × 10 −
4
；4
× 10
−4
；1.0002
直徑增加 ΔDD = DDαΔt = 0
0
1.0
×10−5 × 20 = 2 × 10−4 。
0
面積增加 ΔAA = A AβΔt = × × × = × 。 間隙可視為線膨脹：x = x (1 + α t) = 1 × (1 + 1 × 10 × 20) = 1.0002(cm)。 範例 5 延伸⇒單元試題演練 7。 0
0
2
1.0
10
−5
20
4
10
−4
0
−5
0
倍、 公
第 10 章 熱學與氣體動力論
類 題
5. 銅的線膨脹係數為 17 ρ1 − ρ 2 = 多少？ ρ1
5
× 10 /°C，銅在 − 10°C 時的密度為ρ ，在 15°C 時的密度為ρ ，則 × 【聯考題】 −
6
1
1.275
10
2
−3
大氣壓力
1. 成因：由於空氣的重量（主要原因）與空氣不停碰撞而造成的力（次要原因），
球表面積上，而產生大氣壓力。 2. 定義：地球上任一點所取單位面積，所受垂直向上空氣柱的總重量。 3. 緯度 45°的海平面，溫度 0°C，76 公分高水銀柱所產生的壓力，為 1 標準大 作用於地
氣壓(1atm)。
4. 大氣壓力常用單位：1(atm) = 76(cm-Hg) = 1033.6(cm-H O) = 1.013 × 10 (N/m )。 5. 托里切利實驗：如圖 (1) 管內水銀柱之鉛直高度高於管外 76 公分，而與管粗細、傾斜與否均無 5
2
關。
(2) PA = PB = PC = PD，即大氣壓力之大小相當於 76 公分高水銀柱受重力作 用所產生之壓力。(P = ρgh) 6. 馬德堡半球：若球內真空，左右兩邊拉力 F 恰等於大氣壓力 P 與半球截面 積 A 的乘積，即 F = P A。 7. 封閉容器內氣體壓力的測定：使用儀器─壓力計 (1) 開管壓力計：如下圖（二）P = P ± Ph。 （P：待測氣體壓力、P ：大氣壓力、Ph：計示壓力（兩管水銀高度差）） (2) 閉管壓力計：如下圖（三）P = Pa ± Ph。（Pa：閉管氣柱壓力） 0
0
0
0
0
2
111
112
第 10 章 熱學與氣體動力論 範例 6
封緊的快鍋示意圖，鍋蓋上有一洩氣閥，閥口的大小為 5.00 毫米 ，圖（二）為 蒸氣壓力－沸點溫度的關係圖。若以一重 100 公克的重物壓在此洩氣閥上，則在 1 大氣壓下使 用此快鍋時，鍋內的水沸點約為多少°C？ (A)100 (B)105 (C)110 (D)120 (E)133。
圖（一）為一
2
圖（一）
圖（二）
E
洩氣閥上的壓力為 P = 76(cm-Hg) + 5 ×10010
(gw/cm ) = ⎛⎜ 2
−2
⎝
× 1.013 × 10 (N/m ) = 300 × 10 (Pa) = 300(kPa)。
2000 ⎞ ⎛ = ⎜1 + ⎟ 1033.6 ⎠ ⎝
5
2
2000
1+
1033.6
⎞ ⎟ ⎠
(atm)
3.0 × 10 (N/m ) 5
2
3
二）可得蒸氣壓力為 300kPa 時，水沸點約 133°C。 範例 6 延伸⇒單元試題演練 3。
由圖（
類 題
6. 設大氣壓力為 P，有一馬德堡球，抽氣後球內的氣壓為 P ，已知球的表
面積 為
A，
欲 將 兩 半球 分 開 ， 至 少 須施 力 ？
(C) 1 PA (D) 6
3 PA 10
6
(E)PA。
(A)
6 5 PA 24
(B) 5 PA 6
A
理想氣體方程式(PV = nRT )
1. 波以耳定律：密閉容器內，低密度的定量氣體，在溫度維持不變下，其壓力 P 與體積 V 成反比。 即 PV = 定值，或 P1V1 = P2V2。
2. 定壓的查爾斯 − 給呂薩克定律： (1) 密閉容器內，低密度的定量氣體，在壓力維持不變下，其體積 V 對溫度 T 成正比。即
V T
= 定值，或 VT = VT 1
2
1
2
。
與絕
第 10 章 熱學與氣體動力論 (2) 體積與攝氏溫度成線性關係，利用 V − t 圖之截距可得： V = V0 ⎛⎜1 + γ
=
t ⎞⎟ = V0 (1 + γ t ) ，
1
⎝
273.15 ⎠
1
°C−1
273.15
1 273
°C−1 。
想氣體體積膨脹係數（與氣體種類無關）） 3. 定容的查爾斯 − 給呂薩克定律： (1) 密閉容器，低密度的定量氣體，在體積維持不變下，其壓力 P 與絕對 P P P 溫度 T 成正比。即 = 定值，或 = 。 T T T （γ：理
1
2
1
2
(2) 壓力與攝氏溫度成線性關係，利用 P − t 圖之截距可得： P = P0 ⎛⎜1 + ⎝
t ⎞⎟ 。
1
273.15 ⎠
PV 1 1 = 2 2。 4. 由波以耳、查爾斯、給呂薩克三定律可得： PV = 定值，或 PV T T1 T2 又實驗發現 PVT 與氣體的莫耳數 n 成正比，即 PVT ∝ n ，則 PV = nRT 稱為「理想氣體方程式」， 其中理想氣體常數 R = 8.317(J/mol‧K)。
範例 7 圖為某生作「波以耳定律」實驗，以密閉容器內氣體壓力 P 為縱坐標，體積 V 的倒數為橫坐標所作的數據圖，在 1、2、3 三種不同的狀況下，得到斜率 不同的圖形。若以 n 、n 、n 與 T 、T 、T 分別代表三種情況下的氣體分子 莫耳數與氣體溫度，則下列有關容器內氣體狀態的敘述，哪些是正確的？ (A)若溫度 T = T = T ，則氣體分子莫耳數的關係為 n < n < n (B)若溫度 T = T = T ，則氣體分子莫耳數的關係為 n > n > n (C)若莫耳數 n = n = n ，則氣體溫度的 關係為 T > T > T (D)若莫耳數 n = n = n ，則氣體溫度的關係為 T < T < T (E)若溫度一 定，且莫耳數一定，則氣體的壓力 P 與體積 V 成反比。 【100 指考】 1
1
1
2
2
2
3
1
2
3
3
1
3
1
1
2
3
1
2
2
3
3
2
3
1
2
1
BCE
3
2
⇒ P = V1 ⋅ nRT ，P 與 V1 之關係為直線，其斜率 = nRT = 定值 (A)(B)T 相同，斜率 1 > 2 > 3，故 n > n > n 。 (C)(D)n 相同，斜率 1 > 2 > 3，故 T > T > T 。 =
PV nRT
(E)若 T、n 一定，則 P ∝ 1 。 V 範例 7 延伸⇒單元試題演練 4。
1
2
3
1
2
3
3
113
114
第 10 章 熱學與氣體動力論
類 題
7. 有一閉管壓力計，已知開口端水銀柱比閉口端水銀柱高 19 公分，閉口的空氣柱高 30 公分。 今如將開口端接於一待測壓力的系統，發現兩端水銀柱高度差變小成 9.0 公分，開口端水銀 柱仍然較高，試問：（設大氣壓力為 1 大氣壓） (1) 未接通時，閉口端內空氣的壓力為多少大氣壓？ (2) 接待測系統後，閉口端內空氣的壓力為多少大氣壓？
(3) 待測系統的壓力約為多少大氣壓？
1.25
1.5
1.38
範例 8
想氣體，在 P-T（壓力-絕對溫度）圖上，由狀態 a 經圖中所 示之過程再回到原狀態。圖中 ab 平行於 cd，且 ab 之延長線通過原點，下 列敘述何者正確？ (A)a 到 b 之過程中體積不變 (B)b 到 c 之等溫過程中 體積減少 (C)c 到 d 之過程中體積不變 (D)d 到 a 之等壓過程中體積增加 (E)狀態 c 之體積最小。 【日大】 一定質量之理
ABDE
(A)a 到 b 之過程中延長線通過原點， nR = 定值，故體積不變。 V (B)依據 PV = nRT；b 到 c 之等溫過程中，P 變大；V 變小。 (C)c 到 d 之過程中，通過原點之斜率 c > d ⇒ nR > nR ，故體積變大。 Vc Vd (D)依據 PV = nRT；d 到 a 之等壓過程中，T 變大；V 變大，Vd > Va。 (E)由通過原點之斜率可得 Va = Vb > Vd > Vc。
類 題
8. 如圖之定容氣體溫度計，當 0°C、1 大氣壓時，如 b 管與 c 管中之水 銀高度相同，均位於圖中之 s 點，今假設容器中的氣體溫度為 65°C 時， 如仍欲保持 b 管中的水銀柱高度在 s 點，則 c 管中的水銀柱高度需與 b 管 之水 銀柱 高度約相 差 (A)6 (B)10 (C)14 (D)18 (E)22 公 分。
D
範例 9
圓柱形密閉容器，中間以無摩擦之活塞隔開。活 塞右邊和圓柱形容器的右邊以輕質彈簧相連結如圖（一）所示，彈簧符 合虎克定律，自然長度為圓柱容器長的一半。左方為真空，右方理想氣 體起初的絕對溫度為 T 。若緩慢增加活塞右方理想氣體的溫度 T，且彈 簧的彈性常數不隨溫度變化，其對應的彈簧伸長量為 x，則 x-T 的關係 最接近圖（二）中的哪一條線？（其中甲、乙、戊為直線，丙、丁為曲 線） (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁 (E)戊。 【99 指考】 圖（一）為水平放置的
0
第 10 章 熱學與氣體動力論 C
右方為真空時，彈簧無伸長量。當裝入溫度為 T 的氣體，則活塞將向左移動，彈簧恢復力 會與氣體對活塞向左的壓力呈平衡而靜止，此時彈簧已有伸長量 x ，故甲、丙、戊 有可能。 kx 利用氣體方程式列式 x A nRT ，當右室升溫時，氣體壓力會增加，則彈簧伸長 A 2 量會更大，故戊不可能成立。 0
0
0
⎛ ⋅⎜ ⎝
0
kx ⎛ ⎞ ⋅ ⎜ x + ⎟ A = nRT ，兩式相 A ⎝ 2⎠
⎞ ⎟ ⎠
+
除
=
x ⎛⎜ x + ⎝
0
⎞ ⎟ 2⎠
x0 ⎛⎜ x0 + ⎝
範例 9 延伸⇒單元試題演練 4。
⎞ ⎟ 2⎠
=
T ，可得到 x 與 T 關係，故 T0
選丙。
類 題
9. 如圖所示，一個水平放置的絕熱容器，體積固定為 V，以導熱性良好
動隔板分成左、右兩室，內裝相同的理想氣體，容器與隔板的熱 容量均可忽略。最初限制隔板不動，使兩室的氣體溫度均為 T，但左 室的氣體壓力與體積分別為右室的 2 倍與 3 倍。後來拆除限制，使隔板可以左右自由移動， 6 則在兩 室 的氣 體 達成力平衡與熱平衡 後 ，下列敘述何者正確？ (A) 左室 的氣 體體積 為 V 7 (B)兩室的氣體溫度均較 T 為高 (C)左室的氣體體積為右室的 2 倍 (D)左室與右室氣體的壓 3 力比為 A 【91 指考】 (E)右室的氣體分子數目為左室的 6 倍。 2 的活
氣體動力論
7
1. 理想氣體的微觀模型： (1) 由數目極大的分子組成，且分子本身的體積遠小於活動（即占有之空間）的體積。 (2) 分子可視為微小的剛體，除碰撞外，質點與質點間無任何作用力，且分子的運動呈複雜的狀態，
視為無規則性的，任一段時間內，向各方向運動的平均分子數目皆相等。 (3) 分子與分子或器壁行彈性碰撞，且碰撞的時間極短，可忽略。在兩次碰撞的時距內，分子以等 速直線行進。 2. 由分子運動模型可得：密閉、固定體積的容器內 PV = 2 N K 。其中 K = 1 mv 為單一氣體分子的平 3 2 可
2
心動能，而 v 體分子個數。 3. 由理想氣體方程式： PV 均質
2
⎛ =⎜ ⎝
波茲曼常數 k ≡ NR = 0
v12 + v2 2 + N =
1.38
v
+ N
2
⎞ ⎟ ⎠
2
為
方均根速率的平方、V 為容器體積、N 為容器內的氣
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ nRT = ⎜ N ⎟ RT = N ⎜ R ⎟ T = NkT 。其中亞佛加厥數 N0 = 6.023 × 1023 個、 ⎝ N0 ⎠ ⎝ N0 ⎠
× 10−23 J/
個‧K。
115
116
第 10 章 熱學與氣體動力論 4. 由 PV = 2 N K = NkT 知：單一理想氣體分子質心平均動能 K = 3 kT 。 3
2
體積的容器內，溫度每升、降 1K，每 1 理想氣體分子平均動能增、減 32 k ， 3 或每 1 莫耳氣體分子平均動能增、減 N k 3R。 2 2 3 單原子理想氣體分子莫耳定容比熱 C = R (J/mol K)。 2 T。 在定容下，n 莫耳氣體分子溫度變化 ΔT(K)時的熱能變化 Q n C 5. 由 K = 1 mv = 3 kT ，知： v = 3kT = v 稱為方均根速率。 2 2 m 由K =
3 kT 知：在固定 2
0 ⋅
=
⋅
V
⇒
Δ
2
2
(1) vrms = 由 PV
kT = m
3(
3
=
2 NK 3
=
=
⋅
v ⋅ Δ
rms
體
N 0 k )T 3RT ，其中 M0 為氣 分（原）子量。 = N0 m M0
2 ⎛1 2⎞ 2 ⎛1 N ⋅ ⎜ mv ⎟ = N ⋅ ⎜ mvrms 2 ⎞⎟ 可得。 3 ⎝2 ⎠ 3 ⎝2 ⎠
氣體總質量 = Nm 。 （氣體密度） = ρ Nm 氣體總體積 V 6. 依據等向性原則，由於密閉容器中分子朝各方向運動之機率相等，且動量具有方向性，故分子（總） 動量 p = 0 。 7. 器壁所受之壓力分析： P = F = N Δ p = NmΔ v A AΔt AΔt （A：器壁截面積、Δt：經歷時間、N：分子個數） 8. 理想氣體狀態方程式統整：（微觀與巨觀） 2 1 2 2 PV N mv N K （總移動動能） nRT NkT 。 3 2 3 3 9. 氣體混合問題分析： (1) 若氣體混合前後與外界無熱量交換，則氣體之分子總能不變。氣體分子總能 U = 氣體分子總 動能 = 氣體分子的總內能（因考慮無交互作用力的理想氣體，故分子間無位能）。 混合前 ∑ PV = 混合後 P 混 V 混 （P ：任一氣體之壓力、V ：任一氣體之體積、P 混：混合氣體壓力、V 混：混合氣體體積） 混合前 ∑ n RT = 混合後 ∑ n RT混 （n ：任一氣體莫耳數、T ：任一氣體溫度、T 混：氣體混合溫度） (2) 若氣體混合後仍與外界有能量交換，例如兩氣室保持在不同之溫度下，則混合前後系統能量不 具加成性，此時僅混合前後莫耳數具有加成性，且混合後兩氣室壓力相等。 10. 熱力學第一定律：Q = ΔU + W。 Q：系統與外界的熱量變化；ΔU：系統內能的變化；W：系統與外界的作功關係。 (1) 系統吸熱時：Q > 0、放熱時 Q < 0。 (2) 系統內能增加時：ΔU > 0、減少時 ΔU < 0。 (3) 系統對外界作正功時：W > 0、作負功時 W < 0。 (2) vrms =
=
⋅
3PV
⎛ ⎜ ⎝
3P
=
2⎞ rms ⎟ = ⎠
，ρ
=
=
n
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
(
i
i
i
)
=
第 10 章 熱學與氣體動力論 範例 10 某體積一定的密閉靜止容器內充有氦氣，最初溫度為零下 173°C，若加熱至 127°C，則下列敘 述何者正確？ (A)容器內的壓力變為最初的 4 倍 (B)氦氣分子的總動能變為最初的 4 倍 (C) 氦氣分子的總動量變為最初的 4 倍 (D)氦分子的方均根速率變為最初的 4 倍 (E)氦分子每秒 撞擊器壁的次數變為最初的 4 倍。 AB
題意，體積不變，分子數不變，溫度 T 則由 100K 變為 400K⇒T 變為 4 倍 (A)對：由 PV = nRT ⇒ P = nRT ∝ T ⇒變為 4 倍。 V (B)對： N K （總動能） = 3 NkT ∝ T ⇒變為 4 倍。 2 (C)錯：總動量恆為零。 (D)錯： v = 3kT = 3RT ∝ T ⇒變為 4 = 2 倍。 m M 由
rms
(E)錯：P（壓力） = F =
Δp動量 N ⋅ mΔv ∝ ⇒每秒 A AΔt AΔt
倍 = 2 倍。 倍 範例 10 延伸⇒單元試題演練 9。
撞擊器壁的次數，
N PA ∝ ∝ PA ⇒變為 4 Δt mv 3mkT 4
類 題
10. 絕對溫度為 T 的某理想氣體密封於一個立方盒內，如圖所示。依氣體動
註： v 代表分子速度， v 在 x 軸方 向之分量，分子速率 v = v ，分子的方均根速率以 vrms 表示，〈v 〉代表 所有分子 v 的平均值，餘類推。k 為波茲曼常數，m 為分子質量。） (A)〈v 〉
力論，下列數學式中何者錯誤？（ |
x
x
|
x
B
= 0 (B)〈v〉 ≠ 0 (C) 〈vx 2 〉 =
1 2 〈v 〉 3
x
(D)vrms2 = 〈v2〉 (E) vrms =
3k BT 。 2m
E
【93 指考】
範例 11 兩容器各裝 A、B 兩種單原子理 想 氣 體，其壓力、體積 與溫度分 別 為 P、V、T 及 2P、3V、4T， 今用一細管連通此兩容器，若無化學反應且無能量損失，則平衡時： (1)混合溫度為何？ (2)A 氣體之分壓為何？ (1) 14 T ；(2) 5
7 P 10
(1) A、B 莫耳數比：P × V = nA × R × T；2P × 3V = nB × R × 4T ∴ nA： nB = 2： 3。
二氣體混合： T混 = n Tn ++ nn T 1 1
1
2 2 2
=
2 × T + 3 × 4T 14 = T。 2+3 5
117
118
第 10 章 熱學與氣體動力論 P × V + 2 P × 3V 1 1 + PV 2 2 ⇒ (2) 二種氣體混合壓力： P混 = PV V1 + V2 V + 3V
= 74 P 。
各氣體莫耳數成正比 ∴ P = 2 +2 3 × 74 P = 107 P 。 範例 11 延伸⇒單元試題演練 10。 分壓與
A
類 題
11. 兩同體積之氣室以一體積可以忽略之細管相連通，兩氣室內含有 1 大氣壓、27°C 之氦氣。若 將其中一氣室加溫至 127°C，另一氣室降溫至 − 73°C，則氣室中氦氣之最終壓力為多少大氣 8 9
壓？
【
聯考題】
範例 12
想氣體密封於一絕熱氣室內，氣室的右側裝有一可以活動 的氣密活塞。今緩慢對活塞施以一水平力，使活塞向左移動一段距離後，氣室 的體積減少，若忽略活塞與氣室內壁間的摩擦力，並以 P 表氣體壓力，T 表氣 體溫度，U 表氣體內能，則 P、T、U 三者各自有何變化？ (A)P 增加，T 增加，U 減少 (B)P 減少，T 減少，U 增加 (C)P 增加，U 增加，T 減少 (D)T 減少，U 減少，P 增加 (E)P 增加， T 增加，U 增加。 【98 指考】 如圖所示，定量的理
E (1) ∵絕熱氣室 ∴Q = 0 又 W = PΔV < 0 ∴由熱力學第一定律 Q = ΔU + W 知：
Δ >
3 2
ΔU = Nk ΔT > 0 ⇒ U ↑ ， T 0。
(2) 由理想氣體方程式 PV = NkT 知： ∵ V↓ ， T↑ ∴ P↑ 。 範例 12 延伸⇒單元試題演練 9。
類 題
12. 依照氣體動力論，在絕對溫度為 T 時，理想氣體分子的平均移動動能為 3 kT ，k 為波茲曼常 2 種單原子的理
塞的密閉氣室內，有 N 個某 熱使氣溫 增 加 ΔT ，而 維持 氣 室 內氣壓不變，則下列敘述哪 項 正確？ 數。設絕對溫度為 T 時，在裝有活
3 kN ΔT 2 3 kNT 。 2
(B) 所加的熱能等於 3 kN ΔT 2
A
(C) 所加的熱能小於 3 kN ΔT 2
想氣體分子，加
(A) 所加的熱能大於
(D) 所加的熱能等於 【97 學測】
第 10 章 熱學與氣體動力論
金屬的比熱 一、實驗目的 利用混合
法測量量熱器的熱容量與金屬的比熱。
二、實驗原理與裝置
1. 實驗原理：能量守恆原理。 2. (1) 主要儀器：量熱器（附攪拌棒）、加熱鍋、電爐、天平。 (2) 輔助儀器：金屬試樣、溫度計。
三、實驗步驟
1. 量熱器熱容量（水當量）的測定： (1) 將量熱器之內筒（附外蓋與插於其上之溫度計、攪拌器）
拂拭乾燥後，利用天平測其質量 m 。 (2) 注入冷水於量熱器內，約至內筒容量的四分之一，測量 內筒（附外蓋、溫度計、攪拌器）及冷水總質量 m 。 (3) 將溫度計插入量熱器之內筒內，測得冷水之溫度 t 。 (4) 注水於加熱鍋內，插入溫度計，加熱至沸騰並記錄沸水 0
c
c
之溫度 th。
(5) 將熱水快速倒入量熱器之內筒，約至容量的 3 ，蓋緊量 熱器，一
面用攪拌器攪拌，一面
5 注意溫度計，
記錄其最
穩定溫度 t 。 (6) 利用天平測定此時量熱器內筒及其內容物之總質量 m 。 高
f
h
(7) 利用以上量得數據可計算出量熱器的熱容量 C。 ( m h − mc ) × 1 × (t h − t f ) = ( mc − m0 ) × 1 × (t f − t c ) + C × (t f − t c )
2. 金屬的比熱的測定： (1) 利用天平量取金屬試樣質量 ms。 (2) 同 1 的(1)～(3)步驟，測量內筒及冷水總質量 mc′；冷水之溫度 tc′。 (3) 同 1 的(4)步驟，記錄沸水之溫度 th′，將金屬試樣溫度完全浸入沸水中，此溫度即為金屬試樣
初溫。 (4) 小心而 迅速地將金屬試 樣擦乾後移 入量熱器內，蓋緊 量熱器的外蓋。一方面持續 用攪拌 器攪 拌，使水溫均勻，另一方面注意外蓋上的溫度計，記錄其最高的穩定溫度 t 。 (5) 假設量熱器在實驗過程中無熱量獲得或散失，可計算出金屬的比熱 s。 的
f′
( ms ) × s × ( th′ − tf′) = ( m c′ − m ) × 1 × ( tf′ − tc′) + C × ( tf′ − tc′) 0
119
120
第 10 章 熱學與氣體動力論 範例 13
樣金屬投入量熱器內水中以後，若量熱器的絕熱效果不佳 而放出熱，則測定之比熱值較實際值高或低？理由何在？為提高絕熱效果，可採用何法？ 【聯考題】 在「金屬的比熱」實驗中，加熱的試
(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析 (1) 測定結果較實際低。 (2) 設金屬塊質量為 m 、比熱為 s，而初溫為 T ，又量熱器熱容量為 M，冷水質量 mw，
初溫為 T，最後熱平衡之溫度為 T ，放出熱輻射 Q，則： M m T T Q m s (T T ) (M m ) (T T) Q⇒s ，由上式可看出 m T T 若熱量 Q 忽略不計時，所測量出比熱值 s，會比實際值（需加入 Q 計算）小。 (3) 提高絕熱效果的方法，可在量熱器四周包上絕熱效果較佳的材料，如保利綸等，亦可將 量熱器壁用真空夾層，內壁盡量使其有 良好 的 反射 效 果，容器 口 加上絕熱 良好 的 蓋 子。 範例 13 延伸 單元試題演練 8。 s
0
共同 s ×
′
×
0
−
′
=
+
w
×
′ −
+
=
(
+
w
s
)(
( 0
)+
′−
−
′)
⇒
類 題
13. 在「金屬的比熱」的實驗中，若量熱器的水當量未知，則應先量測其水當量（熱容量），實 驗
步驟如下：
將量熱器之內
量 mi。
筒（附外蓋與插於其上之溫度計、攪拌器）拂拭乾燥後，利用天平測其質
注冷水於量熱器內，約 及冷水總質量 mc。
至內筒容量的四分之一，測量內筒（附外蓋、溫度計、攪拌器）
插入量熱器之內筒內，測得冷水之溫度 t 。 注水於加熱鍋內，插入溫度計，加熱至沸騰並記錄沸水之溫度 t 。 將熱水快速倒入量熱器之內筒，約至 容量的 五 分之 三，蓋緊 量熱器，一 面 用 攪拌 器 攪拌 ， 一面注意溫度計，記錄其最高穩定溫度 t 。 利用天平測定此時量熱器內筒及其內容物之總質量 m 。
將溫度計
c
h
f
h
利用以上量得的數據可計算出量熱器的水當量 M。
請回答下列問題： 見解析 (1) 步驟 中為什麼須在量熱器內加注冷水？ (2) 步驟 中為什麼要用溫度計記錄沸水溫度而不令 t 100 C？ 見解析 見解析 (3) 步驟 中蓋緊量熱器及用攪拌器攪拌的原因何在？ 見解析 (4) 請寫出步驟 中所用的計算式。 h =
°
【
聯考題】
第 10 章 熱學與氣體動力論
一、學習架構圖
二、應試叮嚀
1. 物體受熱升溫可整理成 h T H ms t C t （h：供熱速率，單位：cal/s、kcal/min；T：加熱時間，單位：s、min；C：熱容量，單位：cal/ C） 2. 因線膨脹量α、β、γ 值均很小，若計算長度、面積、體積、密度變化量的數值時，均可利用下式 ⋅
=
=
Δ
=
Δ
°
求
解，較為簡易。
(1) (2) (3) (4)
任意溫度下的長度） 任意溫度下的面積） 任意溫度下的體積） 任意溫度下的密度）
ΔL L αΔt （L ： Δ A = A β Δt （ A ： ΔV = V γ Δt （ V ： Δρ = − ρ γ Δt（ ρ ： t
t
t
t
t
t
3. 潛熱係單位質量的物質，在特定溫度下發生狀態改變所吸收或釋放的熱量。為物質內能的改變， t
t
動能無關。 4. 定壓的 查爾斯 給 呂薩克定 律中，定量理想 氣體 ，在壓力一定的前 提下， 其氣體的體積與絕對溫度成正比。 (1) 如圖： PV = nRT ⇒ V = nR T ；斜率 = nR ∴P1 P2。 P P (2) 右圖中 P1、P2 兩曲線，若 n1 n2（代表莫耳數相同），則自 P1 曲線上 A 點至 P2 曲線上 B 點，則氣體壓力變大（可參考 P1、P2 之斜率判定之）。 5. 定容的查爾斯 給呂薩克定律中，定量理想氣體，在體積一定的前提下，其氣體的壓力與絕對 與分子之
−
<
=
−
溫度成正比。
(1) 如圖： PV = nRT ⇒ P = nR T ；斜率 = nR ∴V1 V2。 V V (2) 右圖中 V1、V2 兩曲線，若 n1 n2（代表莫耳數相同），則自 V1 曲線上 C <
=
至 V2 曲線上 D 點，則氣體體積變大（可參考 V1、V2 之斜率判定之）。 6. 氣體自由混合後物理量分析：同種氣體混合後各氣體之混合溫度 T 混、分子 平均動能 K 相同；分壓與混合前各氣體莫耳數(n )成正比；不同氣體之 vrms 必不相同。 點
i
121
122
第 10 章 熱學與氣體動力論
一、單選題（每題 10 分，共 7 題 70 分，答錯不倒扣） 1. 欲測定熔爐的溫度，可取一鉑塊放在爐中一段時間，使其加熱到熔爐的溫度，取出後立即投入到 水中，結果水溫從 15 C 升高到 85 C。另外將該鉑塊加熱到 100 C，投入等量的水中，結果水的 溫度 從 15 C 升高到 20 C 。如此即可求得熔 爐 的溫度為 (A)1400 C (B)1315 C (C)1205 C °
°
°
°
°
°
°
C
(D)1140 C (E)1120 C。 °
°
°
2. 0 C 的冰塊由高處掉到 0 C 的水中，掉入水中後，冰塊剛好因此而完全熔化成 0 C 的水。假設位 °
°
°
能完全換成熱能使冰塊熔化，問冰塊由多高處落下？(1cal
=
9.8m/s2) (A) × 8
4.2
9.8
× 104
尺。 A 火星是太陽系中的行星，其表面的大氣壓力及重力加速度大約分別是地球對應值的 0.006 和 0.4 倍。取地球表面重力加速度的量值為 9.8 公尺/秒 2，大氣壓力在 0 C 時為 760 毫米水銀柱高。當 火星表面溫度接近 0 C 時，以托里切利實驗裝置測量火星表面的大氣壓力，則水銀柱高出水銀 槽表面的高度約為若干？ (A)760 (B)380 (C)11 (D)4.6 (E)1.8 毫米。 C (B)
3.
4.2J，g
=
8
9.8
× 4.2
(C)
× 104
8
9.8
× 4.2
× 10
(D) × 8
9.8
4.2
× 10
(E) × 8
4.2
9.8
× 10
公
°
°
【改自 100 學測】
4.
筒氦氣吹氣球，氦氣筒之容積為 0.1 公尺 3，原來之壓力為 1.0 107 牛頓/公尺 2。每一汽球 充氣後體積為 1.0 10 2 公尺 3，壓力為 1.2 105 牛頓/公尺 2。用該氦氣筒最多約可吹出多少個 這樣的氣球？ (A)940 (B)820 (C)600 (D)480 (E)260。 B 1997 年諾貝爾物理獎得獎者，主要的貢獻是發展出以雷射冷卻原子的方法。其實驗室以此方法 將鈉原子(23Na)冷卻後，測得這些氣態鈉原子的方均根速率為 0.20 公尺/秒；若這些鈉原子的絕 對溫度為 T，且系統可視為理想氣體，則下列關係何者正確？ (A)T 10 6K (B)10 6K T 10 5 K (C)10 5K T 10 4K (D)10 4K T 10 3K (E)10 3K T。 C 【聯考題】 某定量的單原子理想氣體，其狀態在 V-T 圖中，沿著 A→B→C→A 的路徑 變化，則下列敘述何者正確？ (A)狀態 B 的氣壓為 A 的 2 倍 (B)狀態 B 的氣壓為 C 的 4 倍 (C)狀態 C 的氣壓為 A 的 2 倍 (D)由狀態 C 到狀態 A 的過程中，分子的質心總動能增加 (E)由狀態 A 到狀態 B 的過程中， C 分子的質心動能增加。 玻璃的線膨脹係數為 9 10 6/ C，水銀的線膨脹係數為 61 10 6/ C，一水銀溫度計之玻璃細管 截面積為 0.1 毫米；0 C 時底端玻璃球的容積為 0.5 公分 3、恰裝滿水銀，在 100 C 時，細管中的 B 水銀上升高度為 (A)5.2 (B)7.8 (C)10.4 (D)13.0 (E)15.6 公分。 用一
×
−
×
5.
×
<
−
6.
7.
−
<
−
<
×
°
−
−
°
<
<
−
−
×
−
−
<
−
°
°
<
<
第 10 章 熱學與氣體動力論
二、多選題（每題 10 分，共 2 題 20 分，每多或漏一選項扣 4 分，扣到該題零分為止） 8. 蔡小強以量熱器作某液體比熱及汽化熱的實驗，熱源是一個 210 瓦的電 熱器。量熱器的內筒質量為 500 公克，比熱為 0.1 卡/公克 C，內盛 600 公克的某液體。在實驗中量到的液體（及蒸氣）溫度與時間的關係 可用 附 圖 表 示。設溫度計的熱容量可以 忽略 ，則下列敘述何者正確？ (A)最初 10 分鐘，電熱器約供給 1.26 105 卡的熱量 (B)該液體的凝固 點為 75 C (C)該液體的汽化熱約為 600 卡/公克 (D)該液體的比熱約為 0.92 卡/公克 C (E) 因量熱器不能完全隔熱，故該液體真正的比熱值應比本實驗所得結果小。 DE 9. 一密閉容器中裝有 1 莫耳之單原子分子理想氣體，其溫度由 300K 升高至 600K。設容器之體積 不變，則下列敘述何者正確？ (A)氣體之密度變為原來之 2 倍 (B)氣體之壓力為原來之 2 倍 (C)氣體分子之方均根速率為原來之 2 倍 (D)氣體分子之平均動能為原來之 2 倍 (E)在升溫過 BDE 【聯考題】 程中氣體共吸熱約 3.74 103 焦耳。 ⋅
°
×
°
⋅
×
三、非選題（共 10 分，分數列於各小題題末） 10. 如圖，A、B 兩容器的體積相同，先栓緊活塞 K，隔絕 A、B。A 中盛 1 大氣壓 27 C 之氬氣 2 莫耳，B 中盛 2 大氣壓之氦氣 3 莫 耳，若將 K 打開，使 A、B 兩容器互通，但兩容器與外界絕熱，求： °
(1) 混合前 B 容器的溫度。（3 分）
400K
(2) 混合後 A、B 兩容器內之溫度。（3 分）
(3) 混合後容器內的壓力。（4 分）
1.5atm
360K
°
123