Ecuaciones y Desigualdades
Ing. Luz M. Alejo de Siritt
Ecuaciones y desigualdades Ecuaciones Ecuaciones Lineales: son de la forma ax + b = 0; a≠0; (a y b son R) sol.
Ecuaciones Cuadráticas: su forma: ax2+bx+c = 0;a≠0
2 sol.
Se puede resolver mediante: Factorización, completar el trinomio cuadrado perfecto y aplicando la fórmula cuadrática.
1
Fórmula cuadrática
b b 4ac x 2a 2
Discriminante.
b 4ac 2
Sí
b 2 4ac 0 Una raíz b 2 4ac 0 Dos raices reales y diferentes b 2 4ac 0 No tiene raices reales
Resolver la ecuación aplicando la fórmula cuadrática:
6x2 + x - 12 = 0 a b c
b b 2 4ac x 2a 1 (1) 2 4(6)(12) x 2(6)
1 1 288 x 12
1 289 x 12 1 17 x 12
4 x1 3
3 x2 2
Otro tipo de ecuaciones como son:
Ecuaciones con valor absoluto. Solución de una Ecuación por agrupación. Ecuaciones con exponentes racionales Ecuaciones con radicales
Ecuaciones con valor absoluto:
2 5x 2 1 5
2 5x 2 1 1 5 1
2 5x 2 6
/2 Si a y b son números reales con b > 0, entonces |a|= b si y sólo si a = b o bien a = - b por lo tanto, si |5x+2|= 3
5x 2 3 a 5x + 2 = 3
b o
5x + 2 = - 3
5x = 1
5x = - 5
x = 1/5
x = -1
Ecuación con radical:
5 x 2x 3
( 5 x )2 ( 2x 3)2 5 x 2x 3
(5 x ) (2 x 3) 2
25 x = 4x2 -12x + 9
4x2 - 37x + 9 = 0 x=9
x = 1/4
2
Desigualdades
Se solucionan utilizando las propiedades de las desigualdades. La mayor parte de las desigualdades posee un infinito n煤mero de soluciones. La soluci贸n de las desigualdades se dan en notaci贸n de intervalos. Un intervalo es un conjunto infinito de puntos con una notaci贸n especial. Ejemplos:
a, b a x b Intervalo abierto a, b a x b Intervalo cerrado a, b a x b Intervalo semiabierto , b x b Intervalo inf inito Desigualdades: Lineales, racionales, con valor absoluto, cuadráticas
Desigualdad con valor absoluto Propiedades |a| < b equivale a –b < a < b |a| > b equivale a a < –b ó a > b
Resuelva la desigualdad: 1/4x + 7 ≤ 1/3x - 2 1/4x + 7 - 7 ≤ 1/3x – 2 - 7 1/4x ≤ 1/3x – 9 1/4x - 1/3x ≤ 1/3x - 1/3x – 9 -1/12x ≤ – 9 x ≥ 108
[ 108 , ∞ )
Resuelva la desigualdad:
2 11 7 x 2 10
2 11 7 x 2 2 10 2 2 11 7 x 12
/2
Propiedades de los valores absolutos (b > 0) 1. lal < b -b<a<b 2. lal > b a<-boa>b
11 7 x 6 11 7 x 6
o
11 7 x 6
11 7 x 11 6 11
11 7 x 11 6 11
7x 5
7 x 17
/ -7
x 5 / 7
x 17 / 7 (- 5/7, ∞) U (-∞ , -17/7 ]
/ -7
Resuelva la desigualdad:
x 2 (3 x) 0 x2
Puntos críticos: x2 ( 3 – x ) = 0
x+2=0
3–x=0
x2 = 0
x2 = 3
x1 = 0
x3 = - 2 Ambos valores forman parte de la solución , por cuanto la condición dice ≤ 0.
(- ∞, - 2) -∞ Intervalo
(- 2, 0) 0
-2 (-∞ , -2) -3
(3 , + ∞)
(0 , 3) 3
(-2 , 0)
(0 , 3)
-1
1
+∞ (3 , +∞) 4
x2 ( 3 – x )
+
+
+
-
x+2
-
+
+
+
Resultado
-
+
+
-
≤0
Solución: (- ∞ , -2) U {0} U [ 3 , ∞ )