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División de polinomios
• Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números enteros.
• Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros.
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División entre números enteros • En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d0 es el divisor, existen y son únicos dos enteros c (cociente) y (r (resto) tales que D = d .C + r
0 ≤ r < |d|
• Si r=0 se dice que D es divisible por d.
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División entre números enteros • Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras: •
29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues 29 = 6 . 4 + 5 y
•
0≤5<6
29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues 29 = (-6) . (-4) + 5 y
0 ≤ 5 < |-6|
¿Podría haber sido c = -5 y r = -1? 4
División de polinomios
• Dados los polinomios D(x) = 6x3 – 17x2+15x-8 d(x) = 3x – 4 determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que D(x) = d(x). C(x) + r(x) de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=Op(x) 5
Ejemplo 6x3 – 17x2 + 15x – 8
2x2 - 3x + 1
-6x3 + 8x2 0x3
3x – 4
- 9x2 + 15x 9x2 - 12x 0x2 +
3x - 8
- 3x + 4 0x - 4
6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4
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Ejercicios a)
D(x) = 4x5 + 2x3 – 24x2 + 18x d(x) = x2 – 3x
b)
D(x) = 16x8 + 24x6 + 9x4 d(x) = 4x5 + 4x4 + 3x3 + 3x2
c)
D(x) = 2x4 – 6x3 + 7x2 – 3x +2 d(x) = x-2 7
División de Polinomios
• Dados los polinomios D(x) y d(x); d(x)Op(x), diremos
que d(x) divide a D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) tal que D(x) = d(x) . c(x)
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Ejercicios â&#x20AC;˘
Dados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno de ellos es divisible por el otro
a)
P(x) = x4 -2x3 +x2 -5x + 1 Q(x) = x3 + x2 + x + 1
b)
P(x) = x4 +2x3 +4x2 + 8x +16 Q(x) = x5 - 32
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División de un polinomio por otro de la forma (x-a) 3x3 – 2x2 – 5x – 9 - 3x3 + 6x2
x–2 3x2 + 4x + 3
4x2 – 5x - 4x2 + 8x 3x – 9 -3x + 6 -3
Regla de Ruffini 3 -2 -5 -9 6 8 6 2
3
4
3
3x3 – 2x2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x2 + 4x + 3) + (-3)
-3 10
División de un polinomio por otro de la forma (x-a)
• División de P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 9 por (x-2) realizada por la Regla de Ruffini 3 2
3
-2 6 4
-5 8 3
-9 6 -3
1º operación : 3.2 -2 = 4 2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3 3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3 Por lo tanto 3.(2)2 -2.(2)2 -5.2 -9 = -3
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Raíces de un polinomio • Un número real a es raíz de un polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0
• Ejercicio: Verifique que x=1 es raíz del polinomio P(x) = 3x2 + 2x – 5 12
Raíces de un Polinomio • Si un polinomio tiene coeficientes enteros y a es una raíz entera del polinomio entonces a divide al término independiente.
• Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24 13
Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24
• Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta Ver debe sertambién x=2 divisor de 24.
es raíz de 2x2 + 2x -12
• Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)
2x2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6)
2x3 – 2x2 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x2 + 2x -12)
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Ejercicio â&#x20AC;˘ Calcular las raĂces de P(x) = x4 - x3 - 6x2 + 4x + 8
P(x) = (x-2)2 (x+1) (x+2)
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Resolver la siguiente ecuación 2 1 1 2 0 2 x 4 x 2 x 2x x 4 x3 6 x 2 4 x 8 0 2 2 ( x 4)( x 2)( x 2 x) ( x 2) 2 ( x 1)( x 2) x 1 0 ( x 2)( x 2)( x 2) x( x 2) x( x 2) 16
Soluciones de la Ecuaci贸n Fraccionaria
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