Ing. Luz M. Alejo
LOS NÚMEROS REALES El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todas las fracciones; y todos los números irracionales, aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten.
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES Los números racionales (Q). Los números Irracionales (I).
Los números racionales (Q) son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, ½. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica. Ejemplos * 1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal. • 5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285). Todo número racional admite una representación decimal, esto da lugar a dos tipos de expresiones decimales, las exactas y las periódicas: • Expresión decimal exacta, es aquélla que tiene un número finito de términos. Por ejemplo: 0.5, 1.348 ó 367.2982345. • Expresión decimal periódica es aquélla que tiene un número infinito de cifra decimales , pero de modo que un grupo finito de ellas se repite infinitamente.
La parte que no se repite se denomina anteperíodo y la que se repite, período.
Periódica pura es aquélla que no tiene anteperíodo.
Periódica mixta es aquélla que sí tiene anteperíodo.
Los números Iracionales (Q) son aquellos que tienen una expansión decimal aperiódica. irracional y su expansión decimal es aperiódica
OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
Sumar números reales
Para sumar dos números con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos) Sume sus valores absolutos y coloque el mismo signo común antes de la suma. La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos números negativos será un número negativo. Ejemplo. Solución:
-5 + (-9) Como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa.
Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un signo negativo antes del valor.
Sumar números reales Para sumar dos números con signos diferentes (uno positivo y el otro negativo) Reste el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. La respuesta tiene el signo del número con el valor absoluto más grande. La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva, negativa o cero, el signo de la respuesta será el mismo signo que el numero con mayor valor absoluto.
Ejemplo. 3 + (-8) Como los números que se suman son de signos opuestos, restamos el valor absoluto más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto.
Ahora determinamos la diferencia, 8 – 3 = 5. El número -8 tiene un valor absoluto mayor que el número 3, por lo que la suma es negativa. 3 + (-8) = -5
Restar números reales
Todo problema de sustracción puede expresarse como un problema de suma por medio de la regla siguiente. a – b = a + (-b) Para restar b de a, sume el opuesto (o inverso aditivo de b a a Ejemplo. 5 - 8 significa 5 – (+8). Para restar 5 – 8, sume el opuesto de +8, que es -7, a 5. 5 – 8 = 5 + (-8) = -3
Multiplicar números reales
Para multiplicar dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es positiva.
Para multiplicar dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, multiplique sus valores absolutos. La respuesta es negativa. Ejemplo
Cuando multiplicamos más de dos números, el producto será negativo cuando exista un número impar de números negativos. El producto será positivo cuando exista un número par de números negativos.
Propiedad del cero en la multiplicación Para cualquier numero a,
Dividir números reales
Para dividir dos números con signos iguales, ambos positivos o ambos negativos, divida sus valores absolutos. La respuesta es positiva. Para dividir dos números con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo, divida sus valores absolutos. La respuesta es negativa.
Ejemplos.
Cuando el denominador de una fracción es un numero negativo, por lo común reescribimos la fracción con un denominador positivo. Para hacerlo, usamos el hecho siguiente.
PROPIEDADES Propiedades de los números reales
Propiedad: Conmutativa Operación: Suma y Resta Definición: a+b = b+a Que dice: El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado. Ejemplo: 2+8 = 8+2 5(-3) = ( -3)5
Propiedad: Asociativa Operación: Suma y Multiplicación Definición: a+(b+c)=(a+b)+c------ a(bc) = (ab)c Que dice: Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado. Ejemplo: 7+(6+1)=(7+6)+1 -2(4x7)= (-2x4)7
Propiedad: Identidad Operación: Suma y Multiplicación Definición: a + 0 = a------ a x 1= a Que dice: Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa. Ejemplo: -11 + 0 = -11 17 x 1 = 17
Propiedad: Inversos Operación: Suma y Multiplicación Definición: a + ( -a) = 0------(a)1/a=1 Que dice: La suma de opuestos es cero. El producto de recíprocos es 1. Ejemplos: 15+ (-15) = 0 1/4(4)=1
Propiedad: Distributiva Operación: Suma respecto a Multiplicación Definición: a(b+c) = ab + ac Que dice: El factor se distribuye a cada sumando. Ejemplos: 2(x+8) = 2(x) + 2(8)
Propiedades de las igualdades Propiedad Reflexiva Establece que toda cantidad o expresión es igual a si misma. Ejemplo: 2a = 2a; 7 + 8 = 7 + 8; x = x
Propiedad Simétrica Consiste en poder cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se altere. Ejemplo: Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11 Si a - b = c, entonces c = a - b Si x = y, entonces y = x
Propiedad Transitiva Enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común los otros dos miembros también son iguales. Ejemplo: Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 +...
AXIOMAS DE ORDEN Para que todos los procedimientos matemáticos usados sean válidos se debe partir de una base que respalde cada procedimiento, cada paso lógico usado, y debe, en consecuencia, demostrarse cada afirmación no trivial. Son estas demostraciones los pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda la veracidad de cualquier afirmación. Las afirmaciones a las que se hace referencia se llaman axiomas. Serán, por lo tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en ocasiones ser demostradas cuando no lo son. El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: "afirmación no trivial", son los teoremas, que son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamará corolario.
AXIOMAS DE ORDEN Hay tres tipos de axiomas:
Los axiomas algebraicos
Los axiomas de orden
El axioma topológico.
El primero, trata de las propiedades de suma, resta, multiplicación y división; el segundo establece un orden para los elementos de cada conjunto dado; el tercero trata sobre la noción de continuidad.
INECUACIONES ELEMENTALES
En matemática, una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es del tipo o se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo o se denomina inecuación en sentido amplio.
Del mismo modo en que se hace la diferencia entre igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales. Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.
Ejemplo de inecuación incondicional:
Ejemplo de inecuación condicional: .
VALOR ABSOLUTO
En matemática, el valor absoluto o módulo de un numero real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.