The son of the moon

Θέμα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ Βιβλίο: ΑΧΜΕΣ Ο ΓΙΟΣ ΤΟΥ ΦΕΓΓΑΡΙΟΥ

2Ο ΓΕΛ.ΒΡΙΛΗΣΣΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ :2011-12

Ομάδες εργασίας Α’ΟΜΑΔΑ: Έυα Μαρία Κόφφα Στεφανία Γιαννούκαρη Τάνια Καστανιά Μαριαλένα Ανδριτσοπούλου Β’ΟΜΑΔΑ: Μαριέττα Δρίτσα Κωνσταντίνα Δημάκου Κατερίνα Δοντά Χριστίνα Σταθούρου Αναστασία Ράπτη Γ’ΟΜΑΔΑ: Σίμος Ζαχαρόπουλος Αλέξανδρος Ντάγκας Νίκος Καραντάνης Μιχάλης Καλουτάς Δ’ΟΜΑΔΑ: Αντιγόνη Τσονοπούλου Ελένη Φωτοπούλου Βίκυ Σακκά Κορίνα Παρδάλη Ε’ΟΜΑΔΑ: Γιώργος Τσάμης Ραφαήλ-Άγγελος Γονιδέλης Νίκος Βαγενάς

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

Α’ Μέρος : Λογοτεχνική προσέγγιση. Ο συγγραφέας. Η μαθηματική λογοτεχνία. Το βιβλίο, οι κριτικές, η απήχηση. Περιληπτική απόδοση νοήματος. Οι χαρακτήρες. Μαθηματική λογοτεχνία. Παράλληλα κείμενα. Β’ Μέρος : Η Αίγυπτος. Η χώρα, ο χάρτης, η ιστορία. Το πολιτειακό σύστημα, η οικονομία. Ο πόλεμος , ο στρατός. Η κοινωνική διαστρωμάτωση. Επαγγέλματα. Η θέση της γυναίκας . Θρησκεία-Θεότητες. Αντιλήψεις για το θάνατο-ταφικά έθιμα. Τέχνη. Πυραμίδες-Πάπυρος. Γ’ Μέρος : Η γραφή . Η ιστορία και η εξέλιξή της. Η ιερατική και η ιερογλυφική γραφή. Η σημασία της. Δ’ Μέρος : Η μαθηματική προσέγγιση. Γενικές πληροφορίες για τα Αιγυπτιακά μαθηματικά. Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός. Κλάσματα. Διαίρεση. Το μάτι του Ώρου. Τα προβλήματα του Πεσού. Οι πυραμίδες. Η εξέλιξη των κλασμάτων. Ε’ Μέρος : Βιβλιογραφία

Α’ΜΕΡΟΣ

ΤΕΥΚΡΟΣ ΜΙΧΑΗΛΙΔΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ, ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΗΣ, ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ Ο Τεύκρος Μιχαηλίδης γεννήθηκε το 1954 στην Αθήνα. Είναι διδάκτωρ των μαθηματικών του Πανεπιστημίου Pierre et Marie Curie. Από το 1981, διδάσκει μαθηματικά στη μέση εκπαίδευση. Έχει δημοσιεύσει άρθρα και μελέτες σχετικά με τη διδακτική των μαθηματικών, την εισαγωγή της πληροφορικής στην εκπαίδευση και τη χρήση της αφήγησης και της ιστορίας στη διδασκαλία των μαθηματικών. Έχει κατά καιρούς συνεργαστεί με τις εφημερίδες "Τα Νέα", "Ελευθεροτυπία", "Ελεύθερος Τύπος" και "Καθημερινή". Έχει μεταφράσει από τα αγγλικά και τα γαλλικά 28 βιβλία, λογοτεχνικά και επιστημονικά, σχετικά με τα μαθηματικά και την ιστορία των επιστημών. Το 2006 η γαλλική κυβέρνηση του απένειμε τον τίτλο του Chevalier dans l’ Ordre des Palmes Académiques για τις «υπηρεσίες προς την εκπαίδευση και τον πολιτισμό. Είναι ιδρυτικό μέλος της ομάδας Θαλής+Φίλοι που δραστηριοποιείται για τη γεφύρωση του χάσματος ανάμεσα στα μαθηματικά και τον πολιτισμό καθώς και της Ελληνικής Λέσχης Συγγραφέων Αστυνομικής Λογοτεχνίας. Από τις εκδόσεις "Πόλις" κυκλοφορούν τα μυθιστορήματα "Πυθαγόρεια Εγκλήματα" το οποίο έχει μεταφραστεί σε 6 γλώσσες -ιταλικά, ισπανικά, αγγλικά, κορεάτικα, κινέζικα, γαλλικά και "Αχμές, ο γιος του φεγγαριού" το οποίο έχει πάρει Κρατικό Βραβείο Μυθιστορήματος της Κυπριακής Δημοκρατίας, καθώς και το βιβλίο του "Μαθηματικά Επίκαιρα - Συνειρμοί διαβάζοντας την εφημερίδα". Από τις εκδόσεις Ελληνικά Γράμματα κυκλοφορούν τα βιβλία του Μαθηματικά για την Α’ Γυμνασίου, Μαθηματικά για την Β’ Γυμνασίου και Μαθηματικά για την Γ’ Γυμνασίου. Συμμετείχε με διηγήματα του στους συλλογικούς τόμους "Ελληνικά Εγκλήματα" 2, 3 και 4 των εκδόσεων "Καστανιώτη", "Είσοδος Κινδύνου" των εκδόσεων Μεταίχμιο, καθώς και στη σειρά "Κλέφτες και Αστυνόμοι" του ραδιοσταθμού "902 Αριστερά στα FΜ".

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ελένη Φωτοπούλου

Μαθηματική Λογοτεχνία * Μερικά από τα πιο συναρπαστικά μυθιστορήματα των τελευταίων χρόνων ανήκουν στο χώρο της «μαθηματικής λογοτεχνίας».

Ο κόσμος των μαθηματικών φαντάζει ως ένα σύμπαν ερμητικά κλειστό για τους μη μυημένους. Η μόδα όμως της «μαθηματικής λογοτεχνίας», συνέβαλε ώστε να ανατραπεί αυτό το στερεότυπο: όσοι δεν έχουν καλή σχέση με τους αριθμούς, μπορούν να απολαύσουν ένα μαθηματικό μυθιστόρημα. Η ανάγνωση θα τους βοηθήσει να εκτιμήσουν την επιρροή των μαθηματικών στη λογοτεχνία, τη φιλοσοφία και την τέχνη. Η ιστοσελίδα «Mathematical fiction», έχει συγκεντρώσει από όλο τον κόσμο 885 έργα μυθοπλασίας που σχετίζονται με τα μαθηματικά από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα. Πρώτος ο Αριστοφάνης σατίρισε την εκκεντρικότητα των μαθηματικών στις Όρνιθες. Στους πρόδρομους της μαθηματικής λογοτεχνίας ανήκουν ο Κάρολ Λιούις (Τσαρλς Ντότζσον) και ο Τζόναθαν Σουιφτ. Ο συγγραφέας της «Αλίκης στη Χώρα των θαυμάτων», ήταν χαρισματικός μαθηματικός και συναντούμε στο δημοφιλές παραμύθι του αναφορές στην επιστήμη της λογικής. Στον ίδιο οφείλουμε, επίσης, τη σειρά διηγημάτων του «Τangled Tale» με μαθηματικές σπαζοκεφαλιές. Ο Τζόναθαν Σουιφτ στα «Ταξίδια του Γκιούλιβερ» έστειλε τον ήρωά του στη χώρα των Λαπούτα, όπου βασίλευαν τα μαθηματικά και η μουσική. Από τον κατάλογο διαπιστώνουμε ότι το ενδιαφέρον για τη μαθηματικά αυξάνεται με …γεωμετρική πρόοδο: τη δεκαετία ’80-’90 κυκλοφόρησαν 81 έργα μυθοπλασίας, από το ’90 ως το 2000 212 τίτλοι, και από το 2001 μέχρι σήμερα, είχαμε πάνω από 277 νέες εγγραφές. Τον όρο της «μαθηματικής λογοτεχνίας» τον εισήγαγε ο Βρετανός δημοσιογράφος Gilbert Adair, με αφορμή την έκδοση του μυθιστορήματος του Απόστολου Δοξιάδη «Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ» (εκδ. Καστανιώτη). Ο Τεύκρος Μιχαηλίδης, ο οποίος έχει υπογράψει τις μεταφράσεις πολλών μαθηματικών μυθιστορημάτων, έγινε γνωστός με τα «Πυθαγόρεια εγκλήματα» (εκδ.Πόλις): η ιστορία μιας φιλίας και ενός ανεξήγητου φόνου, με φόντο τις συναρπαστικές εξελίξεις της μαθηματικής επιστήμης στις αρχές του 20ου αιώνα. Στις πιο πρόσφατες εκδόσεις ανήκει το ιστορικό μυθιστόρημα του Γιάννη Γρηγοράκη «Ο διαβήτης του Πλάτωνα» (εκδ. Κέδρος). Η ιστορία του εξελίσσεται σε δύο επίπεδα: στο πρώτο, παρακολουθούμε τις έρευνες του νεαρού μαθηματικού Μπάρτελ Βέρντεν για τις μαθηματικές αντινομίες στην «Πολιτεία του Πλάτωνα». Στη συνέχεια, μεταφερόμαστε στην κλασική Αθήνα και μαθαίνουμε τις αντιλήψεις του Έλληνα φιλοσόφου για τα μαθηματικά αλλά και τις διαφωνίες του με τον μαθητή του, Θεαίτητο. Η πλοκή βασίζεται στο μαθηματικό γρίφο που έθεσε στη Δήλο το μαντείο των Δελφών.

Ομάδα: Ανδριτσοπούλου Μαριαλένα, Γιαννούκαρη Στεφανία, Τάνια Καστανιά, ΈυαΜαρία Κόφφα

Αχμές,ο γιός του φεγγαριού :κριτικές-απήχηση Το βιβλίο« Αχμές,ο γιος του φεγγαριού» θα μπορούσε κάλλιστα να είναι ένα απόσπασμα από βιβλίο αιγυπτιακής μυθολογίας, αλλά δεν είναι. Σύμφωνα με τον συγγραφέα, ανάμεσα στο 1700 και το 1500 π.Χ. έζησε πράγματι στην Αίγυπτο ένας γραφέας με το όνομα Αχμές -ο γιος του φεγγαριού-, ο οποίος άφησε πίσω του έναν πάπυρο με 84 λυμένα προβλήματα και κάποια ιστορικά σχόλια. Όλα αυτά περιγράφονται στο βιβλίο, αλλά τα υπόλοιπα είναι δημιουργήματα της φαντασίας του συγγραφέα. Ωστόσο, θα μπορούσαν να είναι αληθή, αφού βασίζονται στις πολυάριθμες έγκυρες πληροφορίες που διαθέτουμε για τη ζωή στην Αίγυπτο εκείνη την εποχή. Ο Τεύκρος Μιχαηλίδης με την ιστορία αυτή, γραμμένη σε μια γλώσσα που ρέει, μας προσφέρει και γνώσεις αλλά και ευχαρίστηση. Επίσης, μας δίνει την ευκαιρία να σκεφτούμε μαζί με τον ήρωά του όχι μόνο τα μαθηματικά προβλήματα αλλά και όσα προβλήματα ο καθένας κουβαλά και αναζητά τη λύση τους. Ένας πάπυρος θαμμένος σ’ έναν τάφο στο Λούξορ. Ογδόντα τέσσερα λυμένα προβλήματα, ένα όνομα, μία ημερομηνία: το πρώτο ενυπόγραφο μαθηματικό κείμενο στην ιστορία της ανθρωπότητας. Ένας πάπυρος που συνοψίζει τις μαθηματικές γνώσεις των ανθρώπων που έχτισαν τις πυραμίδες. Συγγραφέας του ο Αχμές, που θα γίνει οδηγός μας σε μια περιήγηση στη χώρα των Φαραώ.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΣΙΜΟΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ.

ΑΧΜΕΣ, Ο ΓΙΟΣ ΤΟΥ ΦΕΓΓΑΡΙΟΥ-Η ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑ ..."Στην αρχή υπήρχε μόνο ο Νουν, ο πρωταρχικός ωκεανός. Από τον Νουν ξεπήδησε ο Ατούμ - Ρα. Ο Ατούμ - Ρα δημιούργησε τον αέρα, τον Σου και την υγρασία την Τνεφούτ. Ο Σου και η Τνεφούτ γέννησαν δυο παιδιά, τη Νουτ και τον Γκεμπ. Τα δυο αδέλφια ήταν πολύ αγαπημένα κι έμεναν συνεχώς αγκαλιασμένα. Γι αυτό ο Ατούμ - Ρα διέταξε τον Σου, τον αέρα, να μπει ανάμεσά τους και να τους χωρίσει. Τότε η Νουτ καμπύλωσε το σώμα της προς τα πάνω και δημιούργησε τον ουράνιο θόλο. Τα χέρια και τα πόδια της συνέχισαν να ακουμπούν στον Γκεμπ - τη γη, στεριά και θάλασσα - πάνω στη γραμμή του ορίζοντα. Τα χέρια της ακουμπούσαν στη δύση και τα πόδια της στην ανατολή. Ο Ρα ζούσε ακόμα πάνω στη γη κι ήταν βασιλιάς των ανθρώπων, έμαθε όμως πως, αν η Νουτ γεννούσε ποτέ παιδιά, θα έχανε το βασίλειό του. Έτσι την καταράστηκε να μην μπορεί να γεννήσει καμιά μέρα του χρόνου. Όμως η Νουτ ήθελε πολύ να γεννήσει τα παιδιά που είχε στην κοιλιά της από την ένωσή της με τον Γκεμπ. Γι' αυτό πήγε να παραπονεθεί στον Θωθ, το θεό της σοφίας. Ο Θωθ ήθελε να τη βοηθήσει, ήξερε όμως πως δεν υπήρχε τρόπος να ακυρώσει την κατάρα του Ρα. Κατέφυγε λοιπόν σ' ένα άλλο μέσον. Πήγε στον Χονσού, το θεό του φεγγαριού, και του πρότεινε να παίξει το φως του στα ζάρια. Ο Χονσού δέχτηκε. Όμως ο Θωθ συνδύασε την τύχη και την τέχνη του και λίγο λίγο κατάφερε να κερδίσει από τον Χονσού ένα μέρος απ' το φως του φεγγαριού. Έτσι ο Χονσού αναγκάστηκε να μοιράσει το φως του φεγγαριού ώστε άλλες νύχτες να φωτίζει πλέρια κι άλλες σχεδόν καθόλου. Είναι οι νύχτες που το φεγγάρι δεν είναι παρά μια μικρή ημικυκλική κλωστή στον ουρανό. Αυτές οι μέρες δεν ανήκαν στο χρόνο κι έτσι η Νουτ μπόρεσε παρά την κατάρα του Θωθ να γεννήσει τα παιδιά της."... Θα μπορούσε κάλλιστα να είναι ένα απόσπασμα από βιβλίο αιγυπτιακής μυθολογίας, αλλά δεν είναι! Είναι από το νέο μυθιστόρημα του Τεύκρου Μιχαηλίδη, που μόλις, μα μόλις, κυκλοφόρησε από τις εκδόσεις Πόλις, από τις οποίες έχουν κυκλοφορήσει και τα δύο προηγούμενα βιβλία του. Μαθηματικά Επίκαιρα: συνειρμοί διαβάζοντας την εφημερίδα, 2004, τριάντα τρία άρθρα που συνδέουν τα Μαθηματικά με την επικαιρότητα και δημοσιεύτηκαν στον τύπο και, το 2006, το μυθιστόρημα Πυθαγόρεια Εγκλήματα, ιδιαίτερα αγαπητό βιβλίο στις σχολικές Λέσχες Ανάγνωσης της ομάδας Θαλής+Φίλοι! Στα Πυθαγόρεια Εγκλήματα, ο Τεύκρος Μιχαηλίδης, τοποθετεί τους δυο νεαρούς ήρωές του στο Παρίσι, στις αρχές του 1900 και παρουσιάζει αφενός την αβάν γκάρντ της πόλης του φωτός με τον Πάμπλο Πικάσο, τον Α. Ζαρί και την παρέα τους, αφετέρου τις μαθηματικές φιλοδοξίες του Ντάβιντ Χίλμπερτ, οι οποίες γίνονται κι αφορμή να εξελιχτεί η ιστορία των δυο νεαρών ηρώων.

EΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΣΤΑΘΟΥΡΟΥ.

Χαρακτηρισμός βασικών προσώπων-ηρώων του βιβλίου ''Αχμές, ο γιός του φεγγαριού'' Αχμές: Ο γιός του φεγγαριού. Νεογέννητος μόλις, βρέθηκε να ταξιδεύει μέσα σε ένα

καλάθι στον ποταμό Νείλο από τον ''θετό πατέρα' 'του Πιανκί. Άλλωστε, ο τρόπος που το φεγγάρι είχε αποκαλύψει, λούζοντας τον με το φως του, το σημείο ανάμεσα στις καλαμιές ,όπου είχε σφηνώσει το καλάθι του, έδειχνε ότι το μωρό απολάμβανε την ιδιαίτερη εύνοια του ήλιου της νύχτας. Μεγαλώνοντας με τους θετούς του γονείς , Πιανκί και Τατινανέφερ, δηλώνει ότι θέλει να γίνει γραφέας, καθώς είχε μάθει πολύ εύκολα και γρήγορα να γράφει και να διαβάζει. Από πολύ μικρή ηλικία ήξερε να γράφει όλους τους αριθμούς, γι' αυτό και το αδιαμφισβήτητο ταλέντο που είχε στα μαθηματικά έγινε αντιληπτό από όλους και ιδιαίτερα από το δάσκαλό του, Ονέχ. Όλοι γνώριζαν πια το αυξημένο ενδιαφέρον και το ταλέντο του παιδιού για οτιδήποτε είχε σχέση με τους αριθμούς. Μπορεί να χαρακτηριστεί ιδιαίτερα εύστροφος, αφού έκανε δύσκολες πράξεις αριθμών με τεράστια ταχύτητα και άφηνε έκπληκτους τους ανθρώπους γύρω του. Το γεγονός αυτό ο ίδιος το αντιμετώπιζε αδιάφορα με τον πιο φυσικό τρόπο του κόσμου, λέγοντας ότι δεν είναι και τόσο καλός ,φανερώνει έτσι τη μετριοφροσύνη και την ειλικρινή μετριοπάθεια που τον διακατείχε.

Ακόμα, η αναμφίβολη ευστροφία του, η έντονη αποφασιστικότητά του, η ανεξαρτησία και η ευθύτητα του χαρακτήρα του, η οποία συχνά άγγιζε τα όρια της αυθάδειας, η δυσπιστία του προς τις θρησκευτικές παραδόσεις καθώς και η ειρωνική του διάθεση απέναντι στους μύθους και τις τελετουργίες είναι στοιχεία του Αχμές τα οποία τον καθιστούν ένα ξεχωριστό πρόσωπο στην ιστορία αυτή. Τέλος, ο ζήλος και το πάθος που είχε ο Αχμές για τα μαθηματικά αλλά και η αποφασιστικότητα του του χάρισαν μια θέση στο ανάκτορο του Φαραώ κάτι το οποίο επιζητούσε πολύ και ήταν το όνειρό του.

Τατινανέφερ: αυτή που της δόθηκε η ομορφιά. Κόρη του άρχοντα Καάπερ και γυναίκα του Πιανκί.

Όνειρο της να φέρει στον κόσμο ένα παιδί. Παρά τα άφθονα δώρα της και τα προσκυνήματα στο μεγάλο ναό, η Τατινανέφερ αδυνατούσε να χαρίσει στον Πιανκί ένα γιο. Στα μάτια του Αχμές όμως είδε το πλασματάκι που τόσα χρόνια λαχταρούσε. Τον αγκάλιασε στοργικά και ζεστά και του φέρθηκε σαν να ήταν το βιολογικό της παιδί. Του φέρθηκε με αγάπη και τρυφερότητα, και ήταν δίπλα στον Αχμές σε όλα του τα βήματα. Ευγενική, καλοδιάθετη και γεμάτη καλοσύνη. Φιλόξενη νοικοκυρά που προσφέρει απλόχερα ποτά και λιχουδιές σε όποιον καλεσμένο έχει στο σπιτικό της. Πέρα από τον Αχμές έτρεφε μεγάλη αγάπη και για το σύντροφό της Πιανκί, ο οποίος σκοτώθηκε σε ένα τραγικό δυστύχημα στο κυνήγι. Εκείνη συναισθηματική καθώς ήταν, δεν άντεξε το χαμό του και λίγους μήνες αργότερα πέθανε και εκείνη. Ο Αχμές έμεινε ορφανός, αλλά δεν θα ξεχνούσε ποτέ τη μητέρα του, Τατινανέφερ, η οποία ήταν τόσο γλυκιά και τρυφερή μαζί του όλο αυτό το καιρό

Πιανκί: θετός πατέρας του Αχμές και ο αγαπημένος της Τατινανέφερ. Καθώς ήταν

ξαπλωμένος στις όχθες του Νείλου, άκουσε ένα κλάμα μωρού. Ήταν του Αχμές. Ο Πιανκί αγκάλιασε τον Αχμές και ένιωσε ένα κύμα τρυφερότητας να διαπερνά το κορμί του. Ήταν ένας γιός που πάντα ήθελε και αδυνατούσε να αποκτήσει με την Τατινανέφερ παρά τις πολλές προσπάθειες που είχαν κάνει. Μεγάλωσε με αγάπη και στοργή τον γιο του όπως άλλωστε έκανε και η Τατινανέφερ, και του πρόσφερε όλες τις ανέσεις, αφού η θέση του ως βασιλικός κυνηγός του εξασφάλιζε ένα σταθερό και άνετο εισόδημα. Καθώς τα χρόνια περνούσαν και ο Αχμές μεγάλωνε , βρήκε μια δουλειά στο ανάκτορο του Φαραώ. Μέσα σε ένα χρόνο όμως ο Πιανκί πέθανε σε ένα

φοβερό δυστύχημα καθώς κυνηγούσε. Μια ομάδα νέων κυνηγούσε μαζί του, όταν ένας από αυτούς έπεσε στο νερό. Ο Πιανκί, για να μην δαγκώσει το νέο ο κροκόδειλος δάγκωσε το χέρι του από τη μέση και κάτω. Ο Πιανκί πέθανε από ακατάσχετη αιμορραγία με οδυνηρό θάνατο. Αυτό το γεγονός δείχνει το γενναίο και παράλληλα ατρόμητο χαρακτήρα του Πιανκί. Ο Πιανκί είναι ένας δυνατός άντρας με δύναμη και κουράγιο, αφού το να σώσει ένα νεογέννητο και να παλέψει με έναν κροκόδειλο δείχνουν το πόσο θαρραλέος, μεγαλόψυχος και καλοκάγαθος άνθρωπος είναι.

Άμανθυς: κολλητός φίλος του Αχμές, θετός γιός το Πανέμπ. Ο Άμανθυς είχε μια

παιδική ηλικία γεμάτη περιπέτεια αλλά και κίνδυνο. Δεν θυμάται πολλά πράγματα από το χωριό στο οποίο έμενε, καθώς οι πειρατές έκαναν εισβολή και τον άρπαξαν όταν ήταν μόλις τριών-τεσσάρων ετών. Ζούσε σε ένα πειρατικό καράβι για αρκετό καιρό και έκανε όσες δουλειές του ανέθεταν οι πειρατές, όπως να βουτάει και να πιάνει την άγκυρα, αφού είχε μεγάλο ταλέντο στο κολύμπι. Ο Άμανθυς βίωσε σκληρές εικόνες βίας, καθώς οι πειρατές σκότωναν πολύ κόσμο. Έτσι σκληραγωγήθηκε γρήγορα και έμαθε να είναι πιο δυνατός. Παρ' όλα αυτά βρήκε τη δύναμη και έφυγε από το πειρατικό πλοίο. Πέρασε πολύ δύσκολα, βίωσε πολλές άσχημες καταστάσεις μέχρι που τον βρήκε ο Πανέμπ. Μετά από καιρό, έγινε φίλος με τον Αχμές, αφού χρειάστηκε να τον σώσει. Ο Αχμές κόντεψε να πνιγεί μέχρι που ο Άμανθυς που ήξερε εξαιρετικό κολύμπι τον έσωσε. Ο Άμανθυς με αυτή του την κίνηση απέδειξε πόσο γενναίος είναι και με αυτόν τον τρόπο κέρδισε και έναν νέο φίλο. Πηγάινανε μαζί σχολείο και είχαν και οι δύο έφεση στα μαθηματικά. Ο Άμανθυς δεν είχε όμως την ικανότητα του Αχμές, να κάνει γρήγορα υπολογισμούς, ούτε να μαθαίνει κανόνες, καθώς είχε την τάση να αμφισβητεί οτιδήποτε δε μπορούσε να αποδειχτεί και δεν ήταν εγγυημένο. Παρόλο όμως που οι δυο τους περνούσαν πολύ καλά μαζί, εξερευνώντας και μαθαίνοντας καινούργια πράγματα, τον Άμανθυ πάντα κάτι τον απασχολούσε. Πάντα ένιωθε μια νοσταλγία για την πατρίδα του. Δε θυμόταν πολλά και οποιαδήποτε πληροφορία για αυτήν του προκαλούσε αβεβαιότητα και φόβο. Όμως παρόλα αυτά κατάφερε να βρει δουλειά στα κτήματα του Ιφάρ και να ζήσει μια ωραία και ευχάριστη ζωή...

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:Κατερίνα Δοντά

ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΚΕΙΜΕΝΑ Το μυστήριο, που πλανιέται πάνω από την ιστορία της Αρχαίας Αιγύπτου, διεγείρει την φαντασία μας, προκαλώντας ποικίλα ερωτήματα. Επομένως, οι καλλιτέχνες ανά τους αιώνες, εμπνευσμένοι απ’ αυτόν το σκοτεινό κόσμο της αρχαιότητας και επηρεασμένοι από το αναλλοίωτο μέσα στον χρόνο ενδιαφέρον των ανθρώπων για το «Δώρο του Νείλου», οδηγήθηκαν σε μια σειρά δημιουργημάτων αφιερωμένα στην πολυσυζητημένη ιστορία της Αιγύπτου. Έτσι, θα γνωρίσουμε μερικά απ’ αυτά. Συγκεκριμένα: ΟΠΕΡΑ: Μαγικός Αυλός- Μότσαρτ

Ο Μαγικός Αυλός είναι γερμανική όπερα σε δύο πράξεις του Βόλφγκανγκ Αμαντέους Μότσαρτ , βασισμένη σε λιμπρέτο του Εμάνουελ Σικανέντερ (1751-1812). Η πλοκή της όπερας υπονοείται πώς εκτυλίσσεται στην Αρχαία Αίγυπτο, ωστόσο δεν προσδιορίζεται με σαφήνεια η εποχή ή ο τόπος. Επίσης μέσα στην όπερα, που έχει ως κεντρικό θέμα τη δύναμη της αγάπης για τον άνθρωπο θέτοντας ως πρότυπα τους κύριους χαρακτήρες του Ταμίνο και της Παμίνα, γίνεται αναφορά στην Ίσιδα και στον Όσιρι, θεότητες της αιγυπτιακής μυθολογίας. Αίντα- Τζουζέπε Βέρντι

Η Αίντα είναι τίτλος δημοφιλούς όπερας (λυρικό μελόδραμα) σε 4 πράξεις και 7 σκηνές σε στίχους του Γκιζλατζόνι και μουσική

του Τζουζέπε Βέρντι. Σύμφωνα με την υπόθεση ο Φαραώ και ο αρχιερέας Ράμφης πληροφορούν το νεαρό στρατηγό Ραδαμή ότι βρίσκεται σε πόλεμο με τον Βασιλέα της Αιθιοπίας, του οποίου τα στρατεύματα έχουν εισβάλει στην κοιλάδα του Νείλου και απειλούν την Θήβα την εκατοντάπυλη. Ο Ραδάμης ελπίζει να επιλεγεί αρχιστράτηγος και να επιστρέψει νικητής προκειμένου να ζητήσει το χέρι της εκλεκτής του Αίντας, αν και η «ουράνια Αίντα» δεν είναι παρά μια αιθιοπίδα σκλάβα στην υπηρεσία της κόρης του Βασιλέως, Αμνέριδας. ΒΙΒΛΙΑ: Η εκδίκηση της μεγάλης πυραμίδας- Katherine Roberts

Η δράση του μυθιστορήματος τοποθετείται στην αρχαία Αίγυπτο των χρόνων 2555-2532 π.Χ. Είναι η Αίγυπτος των Μυστηρίων, του Ιερατείου που φυλά τα επτασφράγιστα μυστικά της Ζωής και του Θανάτου και των τελετουργιών της μύησης σχετικά με όλα αυτά. Είναι η Αίγυπτος όπου η λεγόμενη "μυθολογική συνείδηση" δεν έχει αποχωρήσει από τη βαθύτερη ουσία των ανθρώπων. Οι πρωταγωνιστές της ιστορίας συνυπάρχουν με καταστάσεις ή οντότητες, οι οποίες τους συνοδεύουν και παρεμβαίνουν ή τους καθοδηγούν κατά την πλοκή του μυθιστορήματος. Πρόκειται για έφηβους, οι οποίοι μέσα από μια ιστορία που θα εξελιχθεί με συνομωσιολογικό χαρακτήρα, θα αντιληφθούν την σοβαρότητα αλλά και την ιερότητα συγκεκριμένων συμπεριφορών και καταστάσεων, συνοδευόμενοι από τις οντότητες που αναφέρθηκαν. Οι πυραμίδες της Αιγύπτου- I.E.S Edwards

Με αυτό το κλασικό βιβλίο ο I.E.S Edwards μας παρέχει μια πλήρη και ολοκληρωμένη εργασία σχετικά με αυτούς τους γιγάντιους

τάφους. Δίνει στον αναγνώστη τη σύγχρονη επιστημονική απάντηση στα παμπάλαια ερωτήματα για τη φύση και την κατασκευή αυτών των εντυπωσιακών μνημείων. Βασιζόμενος τόσο στις δικές του έρευνες, όσο και στο έργο πολλών αρχαιολόγων που έχουν εργαστεί στην Αίγυπτο, εξετάζει την εξελικτική διαδικασία, από τις κλιμακωτές πυραμίδες και τα μασταμπά των δύο πρώτων δυναστειών μέχρι τις αρχαϊκές και οπισθοδρομικές προσπάθειες του Μέσου Βασιλείου. Αναφέρεται διεξοδικά στην περίφημη ομάδα της Γκίζας, όπου συγκαταλέγεται η Μεγάλη Πυραμίδα, το μόνο από τα Επτά Θαύματα του αρχαίου κόσμου που διασώζεται μέχρι τις μέρες μας. Στο τελευταίο κεφάλαιο, στο οποίο ασχολείται με την κατασκευή και τη σκοπιμότητά τους, εντάσσει τις Πυραμίδες μέσα στα πλαίσια της αρχαίας αιγυπτιακής κοινωνίας. Τα μυστήρια του Όσιρη. Το δέντρο της ζωής- Κριστιάν Ζακ

Στην καρδιά του ναού της Αβύδου, μια ακακία ξεραίνεται... Και μέσω αυτής απειλείται όλη η Αίγυπτος. Γιατί δεν είναι ένα δέντρο όπως όλα τα άλλα: ξεπρόβαλε από τον τάφο του θεού Όσιρη, για να αναγγείλει την ανάστασή του. Ο μεγάλος φαραώ Σέσωστρης Γ' ξεκινάει αμέσως μια μάχη ενάντια στον αόρατο εχθρό που θέλει να οδηγήσει την Αίγυπτο στο χαμό. Αγνοεί όμως ότι στο στενό κύκλο του κρύβεται ένας προδότης, ένας άντρας που ονειρεύεται δύναμη και τιμές, ένας άντρας που πρόκειται να πουληθεί στις σκοτεινές δυνάμεις... Ένας νεαρός μαθητευόμενος γραφέας, ο Ικέρ, γίνεται ακούσιος πρωταγωνιστής σ’ αυτό το μυστήριο. Ο νεαρός, που τον απαγάγουν ναυτικοί επικαλούμενοι «κρατικό μυστικό», δεν ξέρει ποιος προσπαθεί να τον σκοτώσει, ούτε άλλωστε ποιος τον προστατεύει. Με την οπτασία μιας υπέροχης νεαρής ιέρειας να τον κατατρύχει, ο Ικέρ έχει την αίσθηση ότι τον κατευθύνουν ή ότι τον επηρεάζουν, εν πάση περιπτώσει ότι προχωράει σε ένα δρόμο που το τέρμα του δεν το γνωρίζει. Αυτοί οι δύο, ο Ικέρ και ο Σέσωστρης, ο αδύναμος και ο δυνατός, ο αθώος και ο σοφός, θα καταφέρουν να αποτρέψουν τον οριστικό θάνατο

του Όσιρη, ώστε να διαφυλαχτεί η σωτηρία των θνητών, η ελπίδα της αθανασίας στον άλλο κόσμο; Σινουχέ ο Αιγύπτιος-Mika Waltari

"Εγώ, ο Σινουχέ ο Αιγύπτιος, είδα ένα αγόρι να χτυπάει τον πατέρα του στην άκρη του δρόμου και να τον σκοτώνει. Είδα φτωχούς να ξεσηκώνονται ενάντια στους πλούσιους, θεούς ενάντια στους θεούς. Είδα έναν άντρα, που έπινε το κρασί του από κύπελλο χρυσό, να σκύβει μέσα στην αθλιότητα και να πίνει νερό με την παλάμη του απ' το ποτάμι. Αυτούς που ζύγιζαν χρυσάφι να ζητιανεύουν στους δρόμους και τις γυναίκες τους να πουλούν το κορμί τους για μερικές δεκάρες σ' ένα νέγρο με βαμμένο πρόσωπο για ν' αγοράσουν λίγο ψωμί για τα παιδιά τους." ΠΙΝΑΚΕΣ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗΣ: Οιδίπους και Σφίγγα- Francois Xavier Fabre(1766-1837)

Κλεοπάτρα- Frederick Arthur Bridgman (1896)

Η Κλεοπάτρα στην πρώτη της συνάντηση με τον Καίσαρα- Ζαν Λεόν Ζερόμ (1866)

Ο θάνατος της Κλεοπάτρας- Ζαν Αντριέ Ρίξενς (1874)

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΑ ΔΗΜΑΚΟΥ

Β’ΜΕΡΟΣ

Ο ΧΑΡΤΗΣ – Η ΙΣΤΟΡΙΑ-Η ΧΩΡΑ Αίγυπτος: Η Αραβική Δημοκρατία της Αιγύπτου είναι ένα κράτος κυρίως της βορειοανατολικής Αφρικής, μαζί με τη χερσόνησο του Σινά, που είναι γέφυρα ξηράς (ισθμός) στη νοτιοδυτική Ασία. Γι' αυτό το λόγο η Αίγυπτος είναι διηπειρωτική χώρα και θεωρείται μια μεγάλη δύναμη στη Βόρεια Αφρική, τη Μεσόγειο Θάλασσα στον Ισλαμικό κόσμο και την Ερυθρά Θάλασσα. Καλύπτει μια έκταση 1.001.450 km2. Η Αίγυπτος συνορεύει προς βορειοανατολικά με τη Λωρίδα της Γάζας και το Ισραήλ, δυτικά με τη Λιβύη και νότια με το Σουδάν. Βρέχεται βόρεια από τη Μεσόγειο και ανατολικά από την Ερυθρά Θάλασσα.

H Αίγυπτος είναι μια από τις πιο πολυπληθείς χώρες της Αφρικής και τις Μέσης Ανατολής. Η μεγάλη πλειονότητα των 75.500.662 κατοίκων της ζει κοντά στις όχθες του ζωοδότη ποταμού Νείλου, μια έκταση περίπου 40.000 km2, που είναι η μόνη αρδεύσιμη εύφορη γη της χώρας. Μεγάλες περιοχές της Ερήμου Σαχάρας είναι αραιοκατοικημένες. Πάνω από το μισό του πληθυσμού της ζει στις αστικές περιοχές και η μεγάλη πλειονότητα του αστικού πληθυσμού ζει στις πιο πυκνοκατοικημένες πόλεις, Κάιρο (πρωτεύουσα), Αλεξάνδρεια και άλλες μεγάλες πόλεις κατά μήκος του Νείλου. Η χώρα είναι διάσημη για τον αρχαίο πολιτισμό της και μερικών από τα πιο διάσημα μνημεία, που περιλαμβάνουν την Γκίζα και το σύμπλεγμα των πυραμίδων και τη Μεγάλη Σφίγγα. Στη νότια πόλη του Λούξορ περιλαμβάνει πολλά αρχαία τεχνουργήματα, όπως τον Ναό του Καρνάκ και την Κοιλάδα των Βασιλέων. Η Αίγυπτος πλατιά θεωρείται ως ένα σημαντικό πολιτικά και πολιτιστικά έθνος της Μέσης Ανατολής. Κατέχει, ακόμη, μια από τις πιο αναπτυγμένες οικονομίες στη Μέση Ανατολή, με τομείς όπως ο τουρισμός, η γεωργία, η βιομηχανία και οι υπηρεσίες, που μοιράζονται σχεδόν ίσα μερίδια του ΑΕΠ της χώρας. Συνολικά, η Αιγυπτιακή Οικονομία είναι ταχεία αναπτυσσόμενη, εν μέρει χάριν της νομοθεσίας της, που στοχεύει στην προσέλκυση επενδύσεων, σε συνδυασμό με την εσωτερική και πολιτική σταθερότητα και την εμπορική φιλελευθεροποίηση.

Ιστορία Η χώρα που είναι γνωστή ως «Αίγυπτος» έχει μια μακριά και πολύπλοκη πληθυσμιακή ιστορία. Αυτό συνέβη εν μέρει λόγω της γεωγραφικής της χωροθέτησης στα σταυροδρόμια πολλών κύριων πολιτιστικών περιοχών: της Μεσογείου, της Μέσης Ανατολής, της Σαχάρας και της Ανατολικής Αφρικής. Επιπρόσθετα η Αίγυπτος δέχθηκε πολλές μαζικές εισβολές κατά τη διάρκεια της μακράς της ιστορίας, περιλαμβάνοντας τους Χαναανίτες, τους Λίβυους, τους Νούβιους, τους Ασσύριους, τους Κουσίτες, τους Πέρσες, τους Έλληνες, τους Ρωμαίους, τους Άραβες, τους Οθωμανούς, τους Γάλλους και τους Βρετανούς. Οι πολλές κατακτήσεις μέσα στο χρόνο κάνουν ερευνητική τη σχέση μεταξύ Σύγχρονων και Αρχαίων Αιγυπτίων. Η οριοθέτηση των Ανατολικών συνόρων είναι συνδεδεμένη με τη δημιουργία στην Παλαιστίνη, μετά τον Β' Παγκόσμιο πόλεμο, του κράτους του Ισραήλ. Με τις συμφωνίες ανακωχής του 1949, η Αίγυπτος καθόριζε τη διοίκησή της στο τμήμα της Παλαιστίνης (βρετανική εντολή) που λεγόταν Λωρίδα της Γάζας, η οποία είχε παραχωρηθεί στο αραβοπαλαιστινιακό κράτος από το σχέδιο διαμελισμού του ΟΗΕ το 1947, το οποίο δεν εφαρμόστηκε ποτέ. Τις λωρίδες της Γάζας και του Σινά κατέλαβαν όμως οι δυνάμεις του Ισραήλ στη διάρκεια της αραβοϊσραηλινής σύρραξης του 1967. Το 1973, οι Αιγύπτιοι προσπάθησαν να ανακαταλάβουν τη χερσόνησο του Σινά, αλλά απέτυχαν. Ακολούθησαν διαπραγματεύσεις με τη μεσολάβηση των ΗΠΑ που κατέληξαν (ύστερα από ενδιάμεσες συμφωνίες) στη συμφωνία του Καμπ Ντέιβιντ (1979) και στην οριστική αποχώρηση του Ισραήλ από τις περιοχές που κατείχε από το 1967 έως το 1982. Το 2001-2 η ένταση αναζωπυρώθηκε και οι Ισραηλινοί αναπτύχθηκαν στρατιωτικά σε όλα τα κατεχόμενα εδάφη.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΣΙΜΟΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ.

Η οικονομία Η γεωργία αποτελούσε τη βάση της αιγυπτιακής οικονομίας. Υπήρχε κτηνοτροφία. Αναπτύχθηκε η βιοτεχνία. Το εμπόριο, τόσο εσωτερικό όσο και εξωτερικό, αναπτύχθηκε ιδιαίτερα κατά την περίοδο του «νέου βασιλείου» (1580 - 1100 π.Χ.) Το εσωτερικό εμπόριο γινόταν μέσω του Νείλου. Χώρα γεωργική η Αίγυπτος από τα αρχαιότατα χρόνια είναι μέχρι σήμερα σπουδαίος σιτοβολώνας και έρχεται τρίτη στην παγκόσμια παραγωγή μπαμπακιού. Προϊόντα της είναι ακόμη το κεχρί, το ζαχαροκάλαμο, το λάδι, τα σταφύλια, οι χουρμάδες και τα λαχανικά. Σαν να μην πέρασαν 5000 χρόνια από τότε που έκανε τα πρώτα βήματά του στην όμορφη κοιλάδα, ο ακούραστος και υπομονετικός λαός των Αιγυπτίων, ζει και δουλεύει όπως παλιά, τη γη των πατέρων του, με τη ζωή του αξεδιάλυτα δεμένη με την αδιάκοπη ροή του ζωοδότη ποταμού Νείλου. Ο χαρακτήρας της αιγυπτιακής οικονομίας. Βασιζόταν στη γεωργία, την οποία ευνοούσε και η φύση της χώρας (πολύ νερό, θερμό κλίμα). Αναπτύχθηκαν επίσης η κτηνοτροφία, η βιοτεχνία στις πόλεις και, κατά την περίοδο του Νέου Βασιλείου, το εμπόριο. Το πολιτικό σύστημα καθορίζει διάφορες πτυχές της σχέσης πολίτη – κρατικών θεσμών. Όπως π.χ. τις βασικές ελευθερίες και δικαιώματα του πολίτη, τον τρόπο διακυβέρνησης, τα είδη και τις μορφές των κρατικών εξουσιών, τον τρόπο επιλογής των κυβερνώντων και εκπροσώπων, τις υποχρεώσεις του κράτους απέναντι στον πολίτη, τις βασικές υποχρεώσεις του πολίτη απέναντι στο κράτος και τους άλλους πολίτες. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να γίνει μια διάκριση μεταξύ των νομικών και οικονομικών και πολιτιστικών συστημάτων σε σχέση με το πολιτικό. Παρ’ όλο που το πολιτικό σύστημα καθορίζοντας τη σχέση πολιτών και θεσμών περιλαμβάνει στοιχεία των παραπάνω συστημάτων, δεν ταυτίζεται απόλυτα και είναι δυνατό ένα σύστημα να λειτουργεί αυθύπαρκτα. Η Βασιλεία υπήρχε ήδη από την εποχή της αρχαίας Αιγύπτου όπου ο Φαραώ λατρευόταν ως θεός. Απόλυτη Μοναρχία Η απόλυτη μοναρχία είναι το πιο συχνό φαινόμενο στην Ευρώπη, μέχρι τις αρχές του 20ου αιώνα. Σε αυτήν την περίπτωση ο μονάρχης κατέχει όλη την δύναμη στο κράτος. Ο κλήρος και οι ευγενείς χάνουν την δύναμη τους. Το πιο γνωστό παράδειγμα για έναν απόλυτο μονάρχη είναι ο Βασιλιάς Ήλιος Λουδοβίκος ΙΔ΄. Σήμερα οι απόλυτες μοναρχίες είναι λίγες και αυτές είναι το Μπρουνέι, το Βατικανό, η Σαουδική Αραβία, το Μπουτάν, καθώς και άλλα αραβικά κράτη στον Περσικό κόλπο.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:NIKOΣ ΚΑΡΑΝΤΑΝΗΣ

ΑΡΧΑΙΟΙ ΑΙΓΥΠΤΙΑΚΟΙ ΠΟΛΕΜΟΙ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΑΞΗ Το 1479 π.Χ., στη μάχη της Μεγιδδώ, ο Φαραώ Τούθμωση ΙΙΙ είχε πάνω από 20.000 άνδρες υπό τις διαταγές του να κάνει τη μάχη ενάντια σε 15.000 στρατό της Συρίας. Οι Αιγύπτιοι κέρδισαν τη μάχη, συλλαμβάνοντας περισσότερα από διακόσια άρματα και δύο χιλιάδες άλογα από τους ηττημένους Σύριους. Ένας άλλος διάσημος Αιγύπτιος πόλεμος έλαβε χώρα το 1288 π.Χ. στην πόλη της Καδής στη Συρία. Η Καδή ήταν υπό τον έλεγχο των Χετταίων και η κατάληψη της πόλης ήταν το κλειδί για τον έλεγχο της Συρίας. Οι Αιγύπτιοι είχαν οδηγηθεί από τον Ramesses ΙΙ, ο οποίος διέταξε έναν στρατό 20.000 ανδρών που χωριζόταν σε τέσσερα τμήματα. Κάθε τμήμα ονομάστηκε από μια μεγάλη αιγυπτιακή θεότητα: Αμμωνα, Πτα, Ra, και Sutekh. Οι Χετταίοι τελικά αναγκάστηκαν να υποχωρήσουν στην ασφάλεια της πόλης πριν περικυκλωθούν και από τις δύο πλευρές από αιγυπτιακά στρατεύματα. Αυτό θεωρήθηκε μεγάλη νίκη για τους Αιγύπτιους, αλλά φαίνεται ότι οι Αιγύπτιοι ποτέ δεν πήραν την πόλη. Υπέγραψαν αντ 'αυτού μια συνθήκη ειρήνης με τους Χετταίους.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΙΧΑΛΗΣ ΚΑΛΟΥΤΑΣ

Οι Αιγύπτιοι – Κοινωνία Στην αρχαία αιγυπτιακή κοινωνία οι άνθρωποι συγκεντρώνονται σε ένα ιεραρχικό σύστημα με το Φαραώ στην κορυφή και τους αγρότες και τους σκλάβους στο κάτω μέρος. Οι ομάδες των ατόμων πλησιέστερα στην κορυφή της κοινωνίας ήταν οι πλουσιότεροι και πιο ισχυροί. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει τη δομή της αρχαίας αιγυπτιακής κοινωνίας.

Ο Φαραώ πιστεύεται ότι ήταν ένας επίγειος Θεός και είχε τη μεγαλύτερη δύναμη. Ήταν υπεύθυνος για την ψήφιση νόμων και την τήρηση της τάξης, διασφαλίζοντας ότι η Αίγυπτος δεν δέχθηκε επίθεση ή εισβολή από τους εχθρούς. Ακόμα ήταν υπεύθυνος να κράτα τους Θεούς ευτυχείς ώστε να πλημμυρίσει ο Νείλος και να υπάρχει μια καλή συγκομιδή. Ο Βεζύρης ήταν διευθύνων σύμβουλος του Φαραώ και μερικές φορές ήταν επίσης ο Αρχιερέας. Ήταν υπεύθυνος για την εποπτεία και τη διαχείριση όλων των επίσημων εγγράφων που έπρεπε να φέρουν την σφραγίδα του ως έγκριση. Ήταν επίσης υπεύθυνος για την παροχή τροφίμων, την επίλυση των διαφορών μεταξύ των ευγενών και τη λειτουργία και την προστασία του νοικοκυριού του Φαραώ. Οι ευγενείς ¨κυβερνούσαν¨ τις περιοχές της Αιγύπτου. Αυτοί ήταν υπεύθυνοι για την εφαρμογή των τοπικών νόμων και για την διατήρηση της τάξης στην περιοχή τους.

Οι ιερείς ήταν υπεύθυνοι να κρατούν τους Θεούς χαρούμενους. Δεν κήρυτταν στους ανθρώπους, αλλά ξόδευαν το χρόνο τους πραγματοποιώντας τις τελετουργίες και τις τελετές για τον Θεό του ναού τους. Οι γραμματείς ήταν οι μόνοι άνθρωποι που μπορούν να διαβάζουν και να γράφουν και ήταν υπεύθυνοι να κρατούν τα πρακτικά. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι κατέγραφαν τα πράγματα. Όπως πόσα τρόφιμα παράγονταν κατά την περίοδο της συγκομιδής, πόσοι στρατιώτες ήταν στο στρατό, ποιος ήταν ο αριθμός των εργαζομένων και ο αριθμός των δώρων που δίδονται στους Θεούς.

Οι στρατιώτες ήταν υπεύθυνοι για την άμυνα της χώρας. Συνήθως οι δευτερότοκοι γιοι, συμπεριλαμβανομένων και εκείνων του Φαραώ, συχνά επέλεγαν να ενταχθούν στο στρατό. Στρατιώτες είχαν τη δυνατότητα να μοιραστούν τα πλούτη που συλλέγονταν από τους εχθρούς και επίσης ανταμείβονταν με γη για την υπηρεσία τους στη χώρα.

εργαστήρια.

Οι τεχνίτες ήταν ειδικευμένοι εργαζόμενοι όπως κατασκευαστές κεραμικών, επεξεργαστές δέρματος, γλύπτες, ζωγράφοι, υφαντουργοί, κατασκευαστές κοσμημάτων, κατασκευαστές υποδημάτων, ράφτες. Ομάδες τεχνιτών συχνά συνεργάστηκαν σε Οι αγρότες καλλιεργούσαν τη γη των Φαραώ και των ευγενών και τους δινόταν στέγαση, τροφή και ρουχισμός σε αντάλλαγμα.

τους ως ενοίκιο.

Ορισμένοι αγρότες νοίκιαζαν έκταση από ευγενείς και έπρεπε να καταβάλουν ένα ποσοστό της σοδειάς

Επιμέλεια : Τάνια Καστανιά.

ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΙΑΚΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΑ Η Αιγυπτιακή κοινωνία ήταν ιδιαίτερα στρωματοποιημένη και η κοινωνική θέση κάθε πολίτη προβαλλόταν ευθέως.Οι αγρότες αποτελούσαν το μεγαλύτερο μέρος του πληθυσμού ,αλλά τα γεωργικά προϊόντα ανήκαν άμεσα στο κράτος, στους ναούς και στους ευγενείς που κατείχαν την γη. Επίσης, οι αγρότες υπόκεινται σε φόρους εργασίας και εργάζονταν σε αρδευτικές ή και κατασκευαστικές εργασίες μέσα σε ένα σύστημα επιβαλλόμενης φορολογίας από το κράτος (σχετικά μικρή φορολογία ,λόγω της φτώχιας).Οι καλλιτέχνες και οι τεχνίτες βρίσκονταν σε καλύτερη μοίρα απ’ αυτή των αγροτών. Παρ’ όλα αυτά, ήταν και αυτοί υπό κρατικό έλεγχο, καθώς εργάζονταν σε καταστήματα που συνδέονταν με τους ναούς) και πληρώνονταν από το δημόσιο ταμείο. Οι Γραμματείς και οι υπάλληλοι αποτέλεσαν την ανώτερη τάξη στην αρχαία Αίγυπτο, τη λεγόμενη «τάξη της άσπρης φουστανέλας» σε σχέση με τα λευκά ενδύματα που χρησίμευαν ως σήμα της τάξης τους. Η άρχουσα τάξη εμφανίζει ευδιάκριτα την κοινωνική θέση της στην τέχνη και τη λογοτεχνία. Κάτω από την αριστοκρατία ήταν οι ιερείς, οι γιατροί και οι μηχανικοί με εξειδικευμένη κατάρτιση στον τομέα τους. Η δουλεία ήταν γνωστή στην αρχαία Αίγυπτο, αλλά η έκταση και η επικράτηση της είναι ασαφείς. Οι ιερείς αποτελούσαν την αφρόκρεμα στην αιγυπτιακή κοινωνία και ήταν πολύ μορφωμένοι. Αξιολογούσαν τους φόρους, διατηρούσαν αρχεία, ήταν υπεύθυνοι σε θέματα διοίκησης και (αντ-)έγραφαν σημαντικούς παπύρους. Το επάγγελμα του αρπεδονάπτη ήταν εξίσου διαδεδομένο, καθώς η αιγυπτιακή γη χρειαζόταν μέτρηση μετά από τις συχνές πλημμύρες του ποταμού Νείλου. Το επάγγελμα αυτό ασκούσαν αιγύπτιοι οι οποίοι γνώριζαν αρχαία αιγυπτιακά μαθηματικά ,διότι έθετε ως προϋπόθεσα την ορθή μέτρηση και ταξινόμηση των γεωργικών εκτάσεων.

Eπιμέλεια : Μαριαλένα Ανδριτσοπούλου.

Η ΘΕΣΗ ΤΗΣ ΓΥΝΑΙΚΑΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤO

Μιλώντας για τη γυναίκα ‘‘ στο βασίλειο των φαραώ ’’ θα ήταν χρήσιμο να επισημαίνουμε σε ποια ιστορική περίοδο και σε ποια κοινωνική τάξη αναφερόμαστε . Αν υποτεθεί πως οι αλλαγές που πραγματοποιήθηκαν στα 3000 χρόνια της αρχαίας αιγυπτιακής ιστορίας ήταν ίσως μικρότερες από εκείνες που έφεραν στις σύγχρονες κοινωνίες οι δύο τελευταίοι αιώνες , όμως οι διαφορές μεταξύ κοινωνικών τάξεων άνοιγαν τέτοιο χάσμα , ώστε η ζωή μιας γυναίκας της άρχουσας τάξης να μην έχει καμία σχέση με τη ζωή μιας εργάτριας, μιας υπηρέτριας, μιας αγρότισσας και, περισσότερο φυσικά, μιας σκλάβας . Όπως ξέρουμε , τα ήθη των αρχαίων λαών αντικαθρεφτίζονται στις μυθολογίες τους, απ’ όπου προέρχονται οι θρησκείε . Γι’ αυτό και οι θεοί τους συμπεριφέρονται , ως επί το πλείστον , σαν τους ανθρώπους που τους έπλασαν . Στην αιγυπτιακή μυθολογία- θρησκεία , η μεγάλη θεά Ίσιδα είναι αδερφή και ταυτόχρονα σύζυγος του Όσιρη , που συμβολίζει το ζωοδότη Νείλο . Είναι η θεά μητέρα με τη μυστηριακή δημιουργική δύναμη , τη γονιμότητα , την καλοσύνη και τη μητρική στοργή . Ακόμη , συμβολίζει το παλιό προβάδισμα της γυναίκας στη θεμελίωση του γεωργικού πολιτισμού αυτού του πολιτισμού που σήμανε την υποδούλωσή της στον άντρα - αφού η Ίσιδα , σύμφωνα με το μύθο , ανακάλυψε στην Αίγυπτο το σιτάρι και το κριθάρι . Στα πρώτα στάδια των νεκρικών εθίμων της Αιγύπτου , η συνήθεια απαιτούσε να θάβονται μαζί με τον άρρενα νεκρό και η γυναίκα του και οι δούλοι του , ώστε << να τον συντροφεύουν και να τον υπηρετούν στην άλλη ζωή >> . Αργότερα όμως , γύρω στο 2800 , μαζί με τη βαθμιαία άμβλυνση των ηθών , το απάνθρωπο αυτό έγκλημα εγκαταλείφτηκε ίσως κατά μία εκδοχή , όχι λόγω εκπολιτισμού , αλλά για εξοικονόμηση εργατικού δυναμικού και τα ζωντανά θύματα αντικαταστάθηκαν με τοιχογραφίες , ή αγαλματάκια , που απεικόνιζαν τη σύζυγο , τους δούλους , αλλά πάντοτε και τα τρόφιμα , που με κανέναν τρόπο δεν έπρεπε να λείψουν , << για να μην πεινάσει ο νεκρός >> . Για τις πλούσιες Αιγύπτιες , η πολυτέλεια των υφασμάτων δεν είναι αρκετή . Χρησιμοποιούν ακόμη κεντήματα , φραμπαλάδες ,βραχιόλια, περιδέραια , χαλκάδες για τους αστράγαλους ,δαχτυλίδια ,διαδήματα. Καθώς η ευημερία απλωνόταν από την κορυφή της πυραμίδας προς τα κάτω , όλα αυτά γίνονται προσιτά και στις γυναίκες των εμπόρων , των δημοσίων υπαλλήλων , των γραφιάδων και των τεχνιτών. Σα μια χρυσή κλωστή να διατρέχει το ιστορικό υφάδι της αρχαίας Αιγύπτου, βρίσκουμε παντού τη γοητεία που άσκησε η γυναίκα . Τη συνθέτουν άπειρα στοιχεία όπως έρωτας , σεβασμός , ανησυχία ,συχνά αμηχανία , καμιά φορά και οργή. Από όλους τους αρχαίους πολιτισμούς , εκτός ίσως από εκείνον της μινωικής Κρήτης, η Αίγυπτος ήταν αυτή που πρόσφερε στις γυναίκες τον υψηλότερο βαθμό τιμής και αξιοπρέπειας καθώς επίσης και τα περισσότερα δικαιώματα. Τα δικαιώματα ξεκινούν από το

οικογενειακό δίκαιο . Φαίνεται ότι στο γάμο , με όλες τις οικονομικές επιπτώσεις της συμβατικής αυτής πράξης , η πρωτοβουλία άνηκε στη γυναίκα. Οι γυναίκες μπορούσαν και να έχουν περιουσία στο όνομά τους και να την κληροδοτούν. Η ακίνητη περιουσία μεταβιβαζόταν από τη γραμμή της γυναίκας , δηλαδή από μητέρα σε κόρη . Ίσως γι ‘ αυτό οι αδερφοί παντρεύονταν τις αδερφές τους , για να παραμείνει η περιουσία στην οικογένεια κι όχι να περάσει σε ξένα χέρια . Καθώς φαίνεται τη μονογαμία ασκούσαν μόνο οι λαϊκές τάξεις και μόνο για οικονομικούς λόγους . << Οι Αιγύπτιοι που ζουν μέσα στους βάλτους , σημειώνει ο Ηρόδοτος , έχουν τα ίδια έθιμα με τους άλλους Αιγύπτιους , μόνο που ο καθένας τους ζει με μία γυναίκα , όπως οι Έλληνες >> . Οι Αιγύπτιες παντρεύονταν πολύ νέες , λίγο μετά την ήβη , γι’ αυτό και , συνήθως , πριν πατήσουν τα είκοσι είχαν κιόλας αρκετά , παιδιά. Ο γάμος τους ήταν προϊόν ελεύθερης βούλησής τους , ή ακόμη και πρωτοβουλίας τους, με εξαίρεση τα μέλη των δυναστειών , όπου οι γάμοι γίνονταν υποχρεωτικά μεταξύ τους . Έφτασαν ως εμάς επιστολές γραμμένες από γυναικεία χέρια , που προτείνουν ερωτικές συναντήσεις , καμιά φορά μάλιστα και γάμο , χωρίς κανένα απολύτως πλέγμα . << Ω , αγαπημένε μου , επιθυμία μου είναι να γίνω γυναίκα σου και κυρία όλης της περιουσίας σου >> , διαβάζει κανείς , κάπως έκπληκτος είναι αλήθεια , σ’ ένα απ’ τα τολμηρά << ραβασάκια >>. Παρά τις θρησκευτικές επικλήσεις στη θεά Αθώρ, της ζητούσαν να δώσει ένα σύζυγο στη χήρα και μία εστία στην παρθένα, ωστόσο ο γάμος δεν είχε καθόλου τα χαρακτηριστικά του θείου μυστηρίου . Ήταν μια καθαρά ιδιωτική συμφωνία ,πολύ πραγματιστική , κάτι σαν πολιτικός γάμος . Οι Αιγύπτιοι δεν χρειάζονταν , φαίνεται , τη μεσολάβηση υπερφυσικών δυνάμεων για να τιμήσουν και να σεβαστούν τις γυναίκες τους , τις οποίες έτσι κι αλλιώς τιμούσαν και σέβονταν . Ο οικογενειακός βίος ήταν αξιοπρεπής , κυλούσε μέσα σε μιαν ατμόσφαιρα αμοιβαίας εκτίμησης και αγάπης , κάτι που γίνεται φανερό στ’ αγάλματα , στ’ ανάγλυφα και στις εικονιστικές παραστάσεις των τάφων. Οι δυο σύζυγοι παρουσιάζονται σε ίσες περίπου διαστάσεις , κοντά κοντά , με τα παιδιά στα πόδια τους . Είναι μια εικόνα που θα μπορούσε να φέρει στο νου τη δυτικοευρωπαϊκή οικογένεια του 19ου αιώνα , ή και την πρόσφατη ελληνική , των αρχών του 20ου . Βρέθηκαν μέχρι και πάπυροι με οδηγίες καλής συμπεριφοράς προς τις γυναίκες όπως , εξάλλου , βρέθηκαν κι άλλοι με συμβουλές προς τους άντρες ν’ αποφεύγουν τις γνωριμίες με άγνωστες ετερόφυλες , γιατί αυτό είναι επικίνδυνο . Ο σεβασμός στη γυναίκα υποδείχνεται κι από την αυστηρότητα της νομοθεσίας για την προστασία της προσωπικότητάς της . Κατά το Διόδωρο , << αν κάποιος βίαζε ελεύθερη παντρεμένη ( δηλαδή όχι σκλάβα ) , του έκοβαν τα γεννητικά όργανα , θεωρώντας ότι αυτός , με μια και μόνη παράνομη πράξη , είχε γίνει ένοχος τριών μέγιστων εγκλημάτων : της προσβολής , της διαφθοράς και της σύγχυσης των τέκνων. Η μοιχεία δε φαίνεται ν’ αντιμετωπίστηκε ομοιόμορφα σ’ όλες τις περιόδους της αρχαίας αιγυπτιακής ιστορίας . Υπάρχουν ενδείξεις ότι σε παλιότερες εποχές ο ηθικός κανόνας , μολονότι αυστηρός , δεν ήταν για τη γυναίκα εξοντωτικός . Αν ο σύζυγος είχε τη δυνατότητα ν’ αποδείξει αυτόφωρη μοιχεία , του επιτρεπόταν ν’ αποπέμψει

τη γυναίκα του χωρίς αποζημίωση , ενώ στις άλλες περιπτώσεις ήταν υποχρεωμένος να της παραχωρήσει σημαντικό μερίδιο της οικογενειακής περιουσίας . Αργότερα παρατηρείται σ’ αυτό το ζήτημα μεγαλύτερη ακαμψία και , πάλι ο Διόδωρος , μας πληροφορεί πως ο νόμος όριζε << για το μοιχό χίλιους ραβδισμούς και για τη γυναίκα την αποκοπή της μύτης , με το σκεπτικό ότι σ’ εκείνην που καλλωπίζεται με σκοπό την ακολασία πρέπει να της αφαιρείται ό , τι συντελεί στην ομορφιά της . Χίλιοι ραβδισμοί ισοδυναμούν βέβαια με θάνατο και η ποινή του θανάτου για τη μοιχεία , τουλάχιστον στον άντρα , επιβεβαιώνεται από αιγυπτιακό κείμενο του Παπύρου Πρις , που θεωρείται το αρχαιότερο βιβλίο του κόσμου. Η Αίγυπτος από αιώνες πριν είχε παραχωρήσει στις γυναίκες τόσο ικανότητα δικαίου όσο και δικαιοπρακτική ικανότητα . Η θέση των Αιγυπτίων γυναικών , κατά παράδοση , ήταν περισσότερο ελεύθερες και ικανές να προχωρούν στη σύνταξη δικαιικών πράξεων χωρίς να έχουν την ανάγκη της συμπαράστασης ενός κηδεμόνα . Παρόμοια και οι Ελληνίδες απέκτησαν και νέες ικανότητες : ελεύθερες μπορούσαν να αγοράζουν και να πουλούν , να παρέχουν υποθήκες πάνω σε πράγματα που τους ανήκαν , να παρέχουν ή να συνάπτουν δάνεια , να αναλαμβάνουν υποχρεώσεις για να εργασθούν , να συντάσσουν διαθήκες , να δέχονται περιουσιακά στοιχεία ως κληρονόμοι ή κληροδόχοι και ακόμη - αν και αυτό πολύ σπάνια - να υπογράφουν οι ίδιες το έγγραφο με το οποίο επισημοποιείτο ο γάμος , κ.τ.λ. Στην Αλεξάνδρεια η προώθηση των γυναικών και το πνευματικό επίπεδο είναι αναντίρρητα. Στην πόλη Τέως φαίνεται ότι λειτουργούσε σχολή , στην οποία πήγαιναν μαθητές και των δύο φύλων .Στην Αίγυπτο οι γυναίκες που άσκησαν εξουσία μόνες για μακρύτερο ή βραδύτερο χρόνο υπήρξαν περισσότερες από μία . Δεν υπήρχε κάποιος νόμος που ρύθμιζε τα σχετικά με τον τρόπο διαδοχής εντός των δυναστειών νόμος που επέτρεπε να κυβερνούν οι γυναίκες . Εξαίρεση αποτελούσαν οι βασίλισσες της Αιγύπτου , οι οποίες καλούνταν στο θρόνο σε συνδυασμό με κάποιο γάμο τους με έναν από τους αδελφούς τους .

Επιμέλεια : Εύα-Μαρία Κόφφα.

Οι θεοί της Αιγύπτου Το αιγυπτιακό πάνθεο Άθωρ, (Hathor) - "Οίκος του Ώρου", θεά αγελάδα της αγάπης και της μουσικής. Ακέρ, (Aker) - "the Bender", προστάτης του ταξιδεύοντος ηλίου. Άμμουτ, (Ammut) - "Καταβροχθιστής των Νεκρών", δαίμων που καταβρόχθιζε ψυχές. Άμων, (Amon) - "ο Κρυμμένος", θηβαϊκός βασιλεύς των νεκρών. Ανκέτ, (Anqet) - "Εναγκαλίζουσα Κυρία", θεά των υδάτων, Ελεφαντίνη. Άνουβις, (Anubis) - "το Βασιλικό Παιδί", θεός-τσακάλι της μουμιοποίησης. Απέπ, (Apep), ο όφις που προσπάθησε να σκοτώσει τον ήλιο. Ατέν, (Aten), ηλιακός δίσκος. Ατούμ, (Atum) - "ο Πλήρης", θεός του δύοντος ηλίου. Γκεμπ, (Geb) - "Γη", θεός της γης. Βησά, (Bisu) - Προστάτης του σπιτιού Θωθ, (Thoth) - "Οδηγός", θεός-ίβις της σοφίας και της σελήνης Ιμσέτυ, (Imsety) - "ο Ευγενικός", προστάτης του ήπατος του νεκρού. Ιμχοτέπ, (Imhotep) - "Εκείνος που έρχεται εν ειρήνη", γιος του Πτα. Ίσις, (Isis) - "ο Θρόνος", θεά της μαγείας. Κεμπεχσενουέφ, (Qebehsenuef) - "Εκείνος που δροσίζει τον αδελφό του",

Προστάτης των σπλάχνων του νεκρού.

Κεπερά, (Khepera) - "Εκείνος που έρχεται σε Ύπαρξη", θεός-σκαραβαίος του

ανατέλλοντος ηλίου.

Κετές, (Qetesh) - "Ιερή", Σημιτική θεά της φύσης. Κνεμού, (Khnemu) - "Προστάτης/Εμπλουτιστής" θεός της πλημμυρίδας του Νείλου. Κχονσού, (Khonsu) - "Ταξιδιώτης", θηβαϊκός θεός της σελήνης. Μά'ατ, (Ma'at) - "Αλήθεια", θεά της τάξης και της αλήθειας. Μερετσεγκέρ, (Meretseger) - "Εκείνη που αγαπά τη σιγή", θεά της Κοιλάδας των

Βασιλέων.

Μεσκνέτ, Meshkhent - "Γενέθλιος τόπος", προστάτιδα θεά της γέννησης. Μιν, (Min) - "ο Σταθερός", θεός της αρσενικής γονιμότητας. Μιχός, (Mihos) - "Αληθής έμπροσθέν τους", θεός-λέων, γιος της Μπαστέτ. Μοντού, (Montu) - "Νομάδας", αιγυπτιακός θεός του πολέμου. Μουτ, (Mut) - "Μητέρα", θηβαϊκή Μητέρα-Θεά. Μπαστέτ, (Bastet) - "Καταβροχθίστρια Κυρία" Γάτα θεά του οίκου. Μπατ, (Bat), αρχαία ουράνια θεά-αγελάδα. Μπες, (Bes) Νάνος θεός της μουσικής και των πολεμικών επιχειρήσεων.

Μπουτό, (Buto) - "Εκείνη που είναι Πράσινη" θεά κόμπρα των Κάτω Αιγύπτου Νεθ, (Neith) - "Εκείνη που είναι", θεά του πολέμου και της ύφανσης Νεκχεμπέτ, (Nekhebet) - "Εκείνη που ανήκει στην Νεκχέμπ" θεά-όρνεο της Άνω Αιγύπτου

Νεφερτέμ, (Nefertem) - "Λωτός", θεός του λωτού, Μέμφις. Νέφθυς, (Nephthys) - "Κυρία του Οίκου" Αδελφή της Ίσιδας, σύζυγος του Σετ Νουν, (Nun) - "Άβυσσος" θεός των αρχέγονων υδάτων. Νουτ, (Nut) - "Ουρανός", θεά του ουρανού. Ντουαμουτέφ, Duamutef - "Εκείνος που υμνεί την μητέρα του" Προστάτης του

στομάχου των θεών.

Όνουρις, (Onuris) - "Sky-Bearer" Πολεμιστής και ουράνιος θεός της Αβύδου. Όσιρις, (Osiris) - "Εκείνος που βλέπει τον Θρόνο" Κύριος της μεταθανάτιας ζωής. Ουεπουαουέτ, (Wepwawet), Οφιός - "Εκείνος που ανοίγει τους δρόμους", ψυχοπομπός.

Πτα, (Ptah) - "Δημιουργός" Μουμιοποιημένος θεός δημιουργός. Ρε ή Ρα, (Re) - "Ήλιος", δημιουργός θεός του ήλιου. Σατέτ, (Satet), θεά του Νείλου και της γονιμότητας. Σεκμέτ, (Sekhmet) - "Ισχυρό Θηλυκό", θεά του πολέμου και της καταστροφής. Σελκέτ, Selket - "Εκείνη που αναπνέει" θεά-σκορπιός της μαγείας. Σέραπις, (Serapis) Συγκριτική θεότητα της μεταθανάτιας ζωής. Σεσχάτ, (Seshat) - "Κυρία Γραφέας", θεά της μέτρησης. Σετ, (Seth) - "To Dazzle", θεός του χάους, σκότωσε τον Όσιρι. Σοκάρ, (Sokar), θεός της νεκρόπολης της Μέμφιδας. Σομπέκ, (Sobek) - "ο Παρατηρητής", θεός των κροκοδείλων. Σοπντέτ, (Sopdet), θεά του άστρου Σείριος. Σου, (Shu) - "Ξηρός", θεός του αέρα. Ταουρέτ, (Tauret) - "η Μεγάλη", θεά των γυναικών και του οίκου. Τεφνούτ (Tefnut), θεά της υγρασίας και της βροχής. Χαπί, (Hapi) - "Δρομέας", Θεός του Νείλου. Χαπύ, (Hapy) - "Δρομέας" προστάτης των πνευμόνων των νεκρων. Χε, (Heh), θεός του απείρου. Χεκέτ, (Heket), θεά-βάτραχος του απείρου. Ώρος, (Horus) - "Υψηλά, Άνω", θεός γεράκι του ήλιου. «Οι Αιγύπτιοι δεν εξέτασαν τις πεποιθήσεις που είχαν παραδοθεί σε αυτούς, ούτε επιθύμησαν την αλλαγή στην κοινωνία τους. Ο κύριος στόχος τους σε όλη την ιστορία τους ήταν να μιμηθούν τους όρους που θεώρησαν ότι υπήρχαν από την αρχή της δημιουργίας του κόσμου ”. Μια από τις πολύ ισχυρές παραδόσεις ήταν αυτή του θεϊκού βασιλείου. Στο θεϊκό βασίλειο επικρατεί η πεποίθηση ότι ο Φαραώ δεν ήταν μόνο ο βασιλιάς (πολιτικός κυβερνήτης) αλλά και θεός ταυτόχρονα. Ο Φαραώ συνδέθηκε με τον θεό Ώρο, γιο του θεού Ρα, θεό του ήλιου. Αργότερα όταν πέθαινε γινόταν ο θεός

Όσιρις που βοηθούσε τους Αιγυπτίους στη μετά θάνατον ζωή τους. Λόγω των πεποιθήσεών τους, Ο Φαραώ κατείχε τεραστία πολιτική και θεϊκή δύναμη. Επιπλέον, οι ιερείς στην αρχαία Αίγυπτο ήταν επίσης πολύ ισχυροί. Όταν τα πράγματα πήγαιναν καλά, οι άνθρωποι θεωρούσαν τον ιερέα και τον Φαραώ ότι έκαναν σωστά την δουλειά τους, όταν τα πράγματα στη χώρα δεν πήγαιναν καλά, οι άνθρωποι θεωρούσαν τον Φαραώ και τους Ιερείς υπαίτιους Η θρησκεία της αρχαίας Αιγύπτου ήταν πολυθεϊστική με μια μικρή χρονική περίοδο μονοθεϊσμού. Η θρησκεία τους φιλοξένησε περίπου 700 διαφορετικούς θεούς και θεές. Επιπλέον, δεν ήταν ασυνήθιστο για τις θεότητες να συνδυαστούν και να διαμορφώσουν μια νέα θεότητα. Μια από τις διασημότερες πτυχές των αιγυπτιακών θρησκευτικών πεποιθήσεων ήταν οι ιδέες τους όσον αφορά τη μετά θάνατον ζωή. Θεώρησαν ότι το φυσικό σώμα έπρεπε να συντηρηθεί για να επιτρέψει μια θέση στο πνεύμα τους να κατοικήσει στη μετά θάνατον ζωή. Λόγω αυτού, μουμιοποιήσεις εκτελεστήκαν για να συντηρηθεί το σώμα. Επίσης, μεγάλες πυραμίδες κατασκευάστηκαν ως τάφοι για τους Φαραώ στο παλαιό βασίλειο. Οι θεότητες της αρχαίας Αιγύπτου Η αιγυπτιακή θρησκεία είχε πάνω από 700 θεούς και θεές με ποικίλες πεποιθήσεις ανάλογα με το χρονικό διάστημα της αιγυπτιακής ιστορίας που μελετάται. Ακόμη και οι Αιγύπτιοι με δυσκολία αναγνώριζαν το πλήθος αυτών των θεών από το παλαιό βασίλειο. Προσπάθησαν να απλοποιήσουν τη θρησκεία οργανώνοντας τους θεούς τους σε οικογενειακές ομάδες των οκτώ ή εννέα . Τα στοιχεία είναι πολύ περιορισμένα στην εποχή της προ δυναστείας της Αίγυπτου (πριν από 3100 Π.Χ.). Αυτό που σήμερα γνωρίζουμε πιθανότατα μαρτυρά, ότι από νωρίς οι Αιγύπτιοι λάτρευαν τα ζώα και τα θεοποιούσαν. Κάθε κοινότητα λάτρευε τη θεότητα ή το σύνολο των θεοτήτων της. Θεοί: Οι θρησκευτικές πεποιθήσεις των Αιγυπτίων στις πρώιμες περιόδους είναι δυνατόν να ομαδοποιηθούν σε πέντε διακριτές ομάδες: Εννεάδα της Ηλιούπολης, με κυρίαρχη θεότητα τον Ατούμ. Ογδοάδα της Ερμούπολης, με κυρίαρχη θεότητα τον Ρα. Τριάδα της Ελεφαντίνης, Κνουμ-Σατέτ-Ανουκέτ, με κυρίαρχη θεότητα τον Κνουμ. Τριάδα των Θηβών, Άμων-Μουτ-Κχονς, με κυρίαρχη θεότητα τον Άμωνα. Τριάδα της Μέμφιδας Πτα-Σεκμέτ-Νεφερτέμ , με κυρίαρχη θεότητα τον Πτα. Ο Σετ Οι κυρίαρχες πεποιθήσεις αρχαίων Αιγυπτίων συγχωνεύονταν και αλλοιώνονταν ανάλογα με το ποιες ηγετικές ομάδες διεκδικούσαν την πολιτική εξουσία, επιβάλλοντας τις λατρευτικές πεποιθήσεις του ηγεμονικού οίκου τους.

Αρχικά ο Ρα και ο Άμων συγχωνεύθηκαν σε μία θεότητα, τον Άμμωνα-Ρα και αργότερα ο Ρα απορροφήθηκε με τη σειρά του από τον Ώρο, για να δημιουργηθεί μια νέα θεότητα με το όνομα Ρα-Χεράκτυ. Ο Πτα από την άλλη, γενόμενος Πτα-Σεκέρ, απορροφήθηκε από τον Όσιρι, ο οποίος μετουσιώθηκε σε Πτα-Σεκέρ-Όσιρις. Το ίδιο συνέβη με τις θηλυκές θεότητες. Η Άθωρ αρχικά απορρόφησε τις ιδιότητες των άλλων θεαινών και με τη σειρά της αφομοιώθηκε στο αρχέτυπο της Ίσιδας. Ο Σετ, αρχικά ήρωας, απορρόφησε τις όψεις άλλων 'κακών' θεοτήτων, πολύ περισσότερα μάλιστα αφού υπήρξε αγαπημένος θεός των Υξώς. Το τέλος των πολλαπλών συγχωνεύσεων κατά την περίοδο της ελληνιστικής επίδρασης στην Αίγυπτο, έμεινε μόνο η τριάδα Όσιρις, Ίσις, Ώρος και ο έχθρός τους Σετ, όπως φαίνεται στον μύθο του Όσιρι και της Ίσιδας. Η τριάδα απορρόφησε αρκετές από τις προγενέστερες θρησκείες, που διατηρούσαν το δικό τους λατρευτικό κέντρο - Άβυδος (Όσιρις), Ντεντερά (Ίσις) και Εντφού (Ώρος). Η συγχώνευση προχώρησε ακόμη περισσότερο με αποτέλεσμα ο Ώρος να γίνει όψη του Όσιρι και το αντίθετο, οδηγώντας σε ένα είδος ενοθεϊσμού και όχι μονοθεϊσμού όπως συχνά αναφέρεται. Τούτος ο ενοθεϊσμός βέβαια υπήρξε και προγενέστερα, καθώς κατά τον 13ο αιώνα ο Ακενατόν προσπάθησε να εισάγει την ενοθεϊστική λατρεία του Ατόν, του ίδιου του ηλιακού δίσκου, λατρεία η οποία αργότερα απορρίφθηκε.

O θεός Ρα, προσωποποίηση του Ήλιου (με τον ηλιακό δίσκο στο κεφάλι), βασιλιάς και πατέρας θεών και ανθρώπων - με μορφή του γερακιού, όπως ο θεός Ώρος, συνοδεύεται από τη Μάατ, θεά της τάξης και της δικαιοσύνης.

O Φαραώ Σέθος Α΄ κάθεται στα γόνατα της θεάς Ίσιδος (δεξιά), προσωποποίησης της Σελήνης (τη βλέπουμε πάνω από το κεφάλι της) και προστάτιδας του θρόνου.

(από τον τάφο του Φαραώ Σέθου Α΄) αριστερά ο Όσιρις, θεός της γονιμότητας και άρχοντας των νεκρών, στο κέντρο ο Φαραώ Σέθος Α΄ και δεξιά ο ιερακόμορφος θεός Ώρος, γιος του Οσίριδος.

• Μπαμπουίνος = θεός της γραφής.

• Γάτα = θεά της φιλανθρωπίας.

• Αγελάδα = θεά της γονιμότητας.

• Ταύρος = θεός της δημιουργίας.

• Κόμπρα = κι αυτή θεά της γονιμότητας.

• Κροκόδειλος = που καταβρόχθιζε τις καρδιές κακών πλασμάτων.

• Ιπποπόταμος = θεός του τοκετού.

• Γεράκι = προστάτης του ηλιακού θεού Ώρου.

• Βάτραχος = θεός γονιμότητας.

• Χήνα = προστάτιδα της Ίσιδας.

• Ερωδιός = πουλί της αναγέννησης.

• Τσακάλι = οδηγός των νεκρών.

• Λιοντάρια = φύλακες του ορίζοντα.

• Στρουθοκάμηλος = προσωποποίηση της τάξης.

• Γουρούνι = εκπροσωπεί τον ήλιο και τη σελήνη.

• Σκαραβαίος = θεός της δημιουργίας.

• Σκορπιός = θεράπευε από δηλητηριώδη δαγκώματα, ακόλουθος της Ίσιδας.

• Φίδι = δαίμονας του κάτω κόσμου.

• Χελώνα = συμβόλιζε το σκοτάδι και το κακό.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:Μαριέττα Δρίτσα

ΠΕΠΟΙΘΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙ ΘΑΝΑΤΟΥ Στις πεποιθήσεις των Αιγυπτίων περί ψυχής περιλαμβανόταν η πίστη πως με την ταρίχευση και τη μουμιοποίηση διατηρείτο η ταυτότητα του ατόμου στην μεταθανάτια ζωή. Στην Αίγυπτο οι νεκροί τοποθετούνταν αρχικά σε καλαμένια φέρετρα στην καφτή άμμο -τούτο είχε ως αποτέλεσμα την ταχεία αφυδάτωση του σώματος και την επιβράδυνση της αποσύνθεσης- και επακόλουθα θάβονταν. Τη συγκεκριμένη ταφική πρακτική ακολούθησαν οι ξύλινοι τάφοι και η εκτεταμένη διαδικασία της μουμιοποίησης, γεγονός που οδήγησε στην ανάπτυξη σύνθετων ταφικών τελετουργικών. Η ταρίχευση αναπτύχθηκε από τους Αιγυπτίους κατά τη διάρκεια της 4ης Δυναστείας. Αφαιρούνταν όλοι οι μαλακοί ιστοί, ενώ οι κοιλότητες πλένονταν και γεμίζονταν με νάτρον. Κατόπιν ολόκληρο το σώμα εμβυθιζόταν σε νάτρον. Καθώς θεωρείτο αδίκημα επί ποινή λιθοβολισμού οποιαδήποτε βλάβη στο σώμα του Φαραώ, ακόμα και μετά θάνατον, εκείνος που έκανε την τομή στο υπογάστριο διωκόταν τελετουργικά (αποτροπαϊκά) με λιθοβολισμό ως μιαρός. Μετά την εμβάπτισή τους, τα σώματα αλείφονταν εσωτερικά και εξωτερικά με ρητίνες, για να διατηρούνται και τυλίσσονταν με επιδέσμους από λινό ύφασμα, με ενσωματωμένα φυλακτά και τάλισμαν. Στην περίπτωση του Φαραώ ή μελών της οικογενείας του και υψηλών αξιωματούχων το σώμα τοποθετείτο σε μια σειρά αλληλοκαλυπτόμενων φέρετρων. Το μεγαλύτερο και εξωτερικό -μέσα στο οποίο τοποθετούνταν με σειρά όλα τα άλλα- ήταν συνήθως μια λίθινη σαρκοφάγος. Οι πνεύμονες, το συκώτι το στομάχι και τα έντερα διατηρούνταν ξεχωριστά, αποθηκευμένα σε σφραγισμένο αγγείο, το οποίο προστάτευαν οι τέσσερις γιοι του Ώρου. Στη διαδικασία της μουμιοποίησης περιλαμβάνονταν ενίοτε και ζώα των οικογενειών των αιγυπτίων αριστοκρατών, αλλά το πιθανότερο είναι πως ήταν αναπαραστάσεις των θεών. Η Αιγυπτιακή Βίβλος των Νεκρών είναι μια σειρά διακοσίων αποσπασματικών κειμένων, ύμνων και εικόνων γραμμένων σε πάπυρο, που θάβονταν μαζί με τον νεκρό ή ζωγραφίζονταν στους τοίχους, για να διευκολύνουν το πέρασμά του στον κάτω κόσμο. Τα Βιβλία των Νεκρών περιέχουν συλλογές από επωδούς, αριθμούς και μαγικές επικλήσεις για χρήση από τους νεκρούς στη μεταθανάτια ζωή. Είχαν το ρόλο να καθοδηγήσουν τους νεκρούς στις διάφορες δοκιμασίες που θα συναντούσαν πριν φθάσουν στον Κάτω Κόσμο (Ντουάτ). Υπάρχουν περίπου 200 μαγικές επικλήσεις. Συνήθως περιείχαν εικόνες που έδειχναν τις δοκιμασίες στις οποίες θα υποβαλλόταν ο νεκρός, αλλά και το χάρτη του Ντουάτ. Τα εμπόδια αυτά περιλάμβαναν διάφορα τέρατα και λίμνες φωτιάς.[2] Η μούμια ήταν οπλισμένη με τη Βίβλο, ώστε να τα καταπολεμήσει. Η πιο σημαντική δοκιμασία ήταν το ζύγισμα της ψυχής του νεκρού, που έκανε ο θεός Άνουβις: η καρδιά του νεκρού ζυγιζόταν σε σχέση το Φτερό της Αλήθειας της θεάς Μάατ. Αν η καρδιά ήταν πιο ελαφριά από το φτερό, επιτρεπόταν να προχωρήσει, αν όχι καταβροχθιζόταν από το τέρας Αμμίτ, ένα συνδυασμός κροκόδειλου, λιονταριού και ιπποπόταμου. Ο θεός Θωθ κατέγραφε το αποτέλεσμα.

Η ΜΕΤΑΘΑΝΑΤΙΑ ΖΩΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ ΚΑΙ ΟΙ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΤΟΥΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΘΑΝΑΤΟ Τα περισσότερα τελετουργικά και οι δοξασίες των Αρχαίων Αιγυπτίων σχετικά με τον θάνατο προέρχονται από την θρησκεία του Όσιρη. Το γεγονός ότι ο Όσιρης έγινε βασιλιάς του Κάτω Κόσμου, ενός κόσμου όπου δεν υπήρχε πείνα, δυστυχία ή πόνος (Παράδεισος), ξεκίνησε αμέσως την πίστη στην μεταθανάτια ζωή. Εδώ, τον κύριο ρόλο έπαιξαν οι τελετές προετοιμασίας του νεκρού σώματος του Όσιρη από την Ίσις και τον Θωθ, και φυσικά η ταφή του. Σύμφωνα με την θρησκεία του Όσιρη, κανένας νεκρός δεν μπορούσε να περάσει στον Κάτω Κόσμο αν πριν την ταφή του δεν είχε προηγηθεί όλη η τελετουργική προετοιμασία που έπρεπε σε έναν νεκρό. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι πραγματικά πίστευαν ότι ο άνθρωπος συνεχίζει να ζει στον Κάτω Κόσμο όπως ακριβώς ζούσε πριν. Για να το καταφέρει αυτό χρειαζόταν τα 6 στοιχεία από τα οποία αποτελείται: α) το σώμα β) το μπα (προσωπικότητα) γ) το κα (πνεύμα) δ) το ακ (ψυχή) ε) το όνομά του στ) την σκιά του Αν έλειπε κάποιο από αυτά τα στοιχεία, τότε ο άνθρωπος δεν ήταν ολοκληρωμένος ούτε στην κανονική του ζωή, ούτε στην μεταθανάτια. Έτσι, το γνωστό τελετουργικό της μουμιοποίησης προήλθε από αυτήν την ανάγκη για την συντήρηση του σώματος. Οι περισσότερες λεπτομέρειες για την διαδικασία αυτή που σώζονται μέχρι και σήμερα, προέρχονται επίσης από τον Ηρόδοτο. Ήταν αρκετά περίπλοκη και κρατούσε περίπου 70 ημέρες, από την ώρα του θανάτου μέχρι την ταφή. Πρώτα αφαιρούσαν όλα τα εσωτερικά όργανα εκτός από την καρδιά, την οποία θεωρούσαν το κέντρο ύπαρξης ενός ανθρώπου. Τα υπόλοιπα όργανα πλένονταν και τοποθετούνταν σε 4 κανοπικά δοχεία, τα οποία συμβόλιζαν και προστατεύονταν από τους 4 γιούς του Ώρου. Τα κανοπικά δοχεία θάβονταν μαζί με την μούμια. Το μοναδικό όργανο που οι αρχαίοι Αιγύπτιοι πετούσαν γιατί το θεωρούσαν ασήμαντο ήταν ο εγκέφαλος, τον οποίο αφαιρούσαν με την βοήθεια ενός αγκιστρωτού εργαλείου που εισχωρούσαν στην μύτη και τραβούσαν από εκεί τον εγκέφαλο σε κομμάτια. Το επόμενο βήμα ήταν η αποξήρανση του σώματος. Αφού γέμιζαν το εσωτερικό μέρος του σώματος με ρετσίνι και διάφορα μπαχαρικά, έθαβαν όλο το σώμα σε ένα μείγμα αλάτων που μάζευαν από τον Νείλο. Το άφηναν έτσι περίπου 40 ημέρες. Τις υπόλοιπες 30, ακολουθούσε το τελετουργικό του τυλίγματος της μούμιας. Κατά την περίοδο αυτή, τύλιγαν την μούμια με λινό ύφασμα και ρετσίνι. Σε κάθε κομμάτι υφάσματος έγραφαν προσευχές και γίνονταν ειδικές τελετές, ενώ τοποθετούσαν επίσης διάφορα φυλακτά ανάμεσα στα υφάσματα. Όταν όλα ήταν έτοιμα, τοποθετούσαν την μούμια σε σαρκοφάγο, συνήθως από ασβεστόλιθο, την οποία διακοσμούσαν περίτεχνα. Στον τάφο τοποθετούνταν επίσης διάφορα αντικείμενα που μπορεί να χρειαζόταν ο νεκρός, καθώς και πολλά μικρά αγαλματίδια, τα λεγόμενα Ουσάμπτις, τα οποία θα υπηρετούσαν τον νεκρό στην άλλη του ζωή. Για το πέρασμα των νεκρών στον Κάτω Κόσμο και το ταξίδι τους σώζονται πολλές

λεπτομέρειες στην γνωστή Αιγυπτιακή Βίβλο των Νεκρών, μια σειρά κειμένων, εικόνων και προσευχών που είτε θάβονταν μαζί με τον νεκρό, είτε ζωγραφίζονταν στους τοίχους των τάφων. Τα κείμενα αυτά βοηθούσαν τους νεκρούς να βρουν πιο εύκολα τον δρόμο για τον Κάτω Κόσμο. Φυσικά, όλα τα παραπάνω ταφικά έθιμα τελούνταν αρχικά μόνο για τους Φαραώ και αργότερα για τους ιερείς και τους ευγενείς. Ο φτωχός πληθυσμός της Αιγύπτου δεν μπορούσε να θάψει τους νεκρούς του με αυτό τον τρόπο, με αποτέλεσμα να τους θάβουν στην άμμο. Αν ληφθεί υπόψη η σημασία που είχε για εκείνους η ζωή μετά τον θάνατο, θα γίνει κατανοητή η ψυχολογική πίεση και ο φόβος που τους κατέκλυζε. Και εφόσον μόνο οι νεκροί που είχαν ταφεί με όλες τις κατάλληλες τελετουργίες γίνονταν δεκτοί στον Κάτω Κόσμο, εκείνοι που είχαν ταφεί χωρίς αυτές ήταν καταδικασμένοι, κατά τις λαϊκές δοξασίες, είτε να επιστρέφουν στην γη σαν βρικόλακες και να προκαλούν κακό στους ζωντανούς, είτε να πηγαίνουν σε έναν άλλο κόσμο, μια μορφή κόλασης, όπου όλα γίνονταν ανάποδα: περπατούσαν με το κεφάλι κάτω και τα πόδια ψηλά, έτρωγαν από τον πρωκτό και αφόδευαν από το στόμα. Η θρησκεία του Όσιρη έφερε μαζί της πολλές καινούριες ιδέες. Εκτός από την μεταθανάτια ζωή, έφερε και την πίστη στην μετενσάρκωση. Σύμφωνα με τον Ηρόδοτο, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ήταν ο πρώτος λαός που υποστήριξε ότι η ψυχή ήταν αθάνατη και ότι μετά τον θάνατο του ανθρώπινου σώματος, η ψυχή ξαναγύριζε σε σώμα ζώου. Και αφού περνούσε από όλα τα είδη του ζωικού βασιλείου (ζώα της στεριάς, πτηνά, ψάρια) επέστρεφε ξανά με ανθρώπινο σώμα. Ο χρόνος που χρειαζόταν για να ολοκληρωθεί αυτή η φάση εξέλιξης ήταν 3000 χρόνια. Και ως συνήθως, η διαδικασία της μετενσάρκωσης αφορούσε μόνο τους Φαραώ, τους ιερείς και τους ευγενείς. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ήταν ο πρώτος λαός που καθιέρωσε την τέλεση Μυστηρίων στην θρησκεία τους, έστω στην πρωταρχική μορφή τους. Πολλοί αρχαίοι συγγραφείς όπως ο Διόδωρος ο Σικελός, ο Πλούταρχος και ο Ηρόδοτος υποστηρίζουν ότι τα αρχαία Αιγυπτιακά Μυστήρια ήταν η βάση στην οποία στηρίχτηκαν τα ελληνικά Μυστήρια, ιδιαίτερα τα Ελευσίνια.

ΜΟΥΜΙΕΣ

Μούμια ονομάζεται ο ταριχευμένος νεκρός .Η συνήθεια της ταρίχευσης δεν γεννήθηκε αυθόρμητα και χωρίς ιδιαίτερο λόγο. Έχει τις αιτίες της στις δοξασίες του πρωτόγονου ανθρώπου σχετικά με την μεταθανάτια ζωή και την τύχη της ψυχής του. Επειδή λοιπόν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι πίστευαν πως η ζωή συνεχίζεται και μετά τον θάνατο, θεώρησαν αναγκαία την διατήρηση του σώματος, που είναι η κατοικία της ψυχής.

Στη φωτογραφία απεικονίζεται η μούμια της γιαγιάς του Βασιλιά Τουταγχαμόν, η Βασίλισσα Τίγιε, που βρίσκεται στο Μουσείο του Καΐρου.

Νεκρός ταριχευμένος μέσα στον τάφο με τα προσωπικά του αντικείμενα.

Μούμια γυναίκας

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:BIKY ΣΑΚΚΑ.

Η ΤΕΧΝΗ ΣΤΗΝ ΑΙΓΥΠΤΟ Ο συνδυασμός της ισχυρής γεωμετρικής αίσθησης της τάξης και της λεπτομερούς παρατήρησης της φύσης με εκπληκτική ακρίβεια, χαρακτηρίζει όλη την αιγυπτιακή τέχνη. Αντικατοπτρίζει τον τρόπο ζωής και τις αντιλήψεις τους για τη θρησκεία και τη μετά θάνατο ζωή. Είναι μια τέχνη με καθαρά χρηστικό και λατρευτικό σκοπό και όχι διακοσμητικό. Όταν στον τάφο του Φαραώ απεικονίζονται ζώα, ψάρια, σιτηρά και δούλοι, βρίσκονται εκεί για να τον συνοδεύσουν στη μεταθανάτια ζωή του. Γι αυτό και θα πρέπει να απεικονισθεί η ουσία των πραγμάτων και όχι οι περιττές λεπτομέρειες ούτε και οι παραμορφώσεις της όρασης. Οι Αιγύπτιοι καλλιτέχνες είχαν μια τελείως διαφορετική αντίληψη για την αναπαράσταση της ζωής. Το σημαντικότερο γι αυτούς δεν ήταν η ομορφιά αλλά η πληρότητα. Να διαφυλάξουν τα πάντα όσο το δυνατόν σαφέστερα και μονιμότερα. Δε σχεδίαζαν τη φύση από μια τυχαία οπτική γωνία. Πρόκειται λοιπόν για μια τέχνη αφαιρετική και όχι νατουραλιστική· ακολουθούσαν αυστηρούς κανόνες ώστε να εξασφαλίσουν απόλυτη σαφήνεια σε όσα στοιχεία έπρεπε να ενσωματωθούν στην εικόνα και να παρασταθούν από την πιο χαρακτηριστική οπτική τους γωνία. Περί του Αιγυπτιακού Κανόνα

Στοιχεία ύφους Το αιγυπτιακό ύφος βασιζόταν σε μια σειρά από αυστηρούς νόμους: πρόσωπο προφίλ, με το μάτι όμως μετωπικό. Σώμα από μπροστά ώστε να φαίνονται οι αρμοί, αλλά τα χέρια από τα πλάγια. Τα πόδια γυρισμένα προς την ίδια κατεύθυνση με το κεφάλι, ενώ φαίνονται και τα δύο να είναι αριστερά καθώς βλέπουμε την εσωτερική τους όψη. Οι άνδρες με πιο σκούρο δέρμα, οι γυναίκες πιο μικρόσωμες, η όψη του κάθε θεού καθορισμένη, μάθαιναν δε την τέχνη της καλλιγραφίας σκαλίζοντας με ακρίβεια στην πέτρα εικόνες και τα ιερογλυφικά. Οι φιγούρες όρθιες ή καθιστές με συγκεκριμένο τρόπο. Οι καλλιτέχνες, λοιπόν, ακολουθούσαν έναν κανόνα που τους επέτρεπε να ενσωματώνουν στην ανθρώπινη μορφή ό,τι θεωρούσαν σημαντικό. Κι ό,τι πιο σημαντικό, ζωγραφιζόταν σε μεγαλύτερη κλίμακα χωρίς ίχνος προοπτικής ή βάθους [γι αυτό και μας φαίνονται όλα τόσο παράξενα και... παιδικά]. Από κει και πέρα κανείς δεν απαιτούσε την πρωτοτυπία, αφού ο καλλιτέχνης δεν ήταν ελεύθερος και έπρεπε να ακολουθήσει πιστά αυτά που είχε διδαχτεί. Γι αυτό και για παραπάνω από 3000 χρόνια η τέχνη τους ελάχιστα άλλαξε.

ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ Η Αιγυπτιακή ζωγραφική μπορεί να χαρακτηριστεί ως θρησκευτική, με έντονο εσωτερικό χαρακτήρα, γιατί οι πιο σημαντικοί παράγοντες που επέδρασαν στη διαμόρφωση της, είναι η θρησκεία και ο κύκλος ζωής, θανάτου. Όπως γνωρίζουμε στην Αίγυπτο ο θάνατος δεν ήταν ένα τελειωτικό γεγονός, αλλά το πέρασμα σε μιαν άλλη κατάσταση ζωής, μέχρι την επόμενη ενσάρκωση. Αυτή η πεποίθηση ιεροποιούσε τη ζωή και τη φύση, προσδίδοντάς της μια αίσθηση "αιωνιότητας" που μεταφέρθηκε στις ζωγραφικές παραστάσεις και στο καθεαυτό θέμα, αλλά και στην τεχνική. Γι' αυτό και η ζωγραφική στην Αίγυπτο έχει ένα χαρακτήρα συντήρησης, που την καθιστά διαχρονική. Είναι αυτή η διατήρηση των αρχετύπων που υπερβαίνει το χρόνο. Κατ' αρχήν ο συμβολικός χαρακτήρας των παραστάσεων διακρίνεται από τη σύνθεση και τις μορφές, όπου ακολουθούν έναν ιεραρχικό τρόπο. Μετά την ένωση της Άνω με την Κάτω Αίγυπτο ο Βασιλιάς απεικονιζόταν σε υψηλότερο μέγεθος, ακολουθούσαν οι δημόσιοι λειτουργοί και τέλος οι άνθρωποι του λαού. Ο χρωματισμός είναι επίσης συμβολικός. Το φόντο ήταν κυρίως γκρι στην Αρχαία Αυτοκρατορία, λευκό στη Νέα και κίτρινο την εποχή του Ραμσή. Οι άνδρες ζωγραφισμένοι με σκούρο καφέ χρώμα, ενώ οι γυναίκες κίτρινο ανοιχτό. Κυρίαρχα επίσης χρώματα ήταν το μαύρο, το κόκκινο, το πράσινο, το μπλε, οι ώχρες, τα περισσότερα ορυκτά. Για το λευκό: Θα λέγαμε ότι συμβολίζει την Υπερβατική τελείωση. Το αδιαφοροποίητο, τη λύτρωση. Το Υποκίτρινο: Την πίστη, την καλοσύνη αλλά και την ενόραση. Το Πράσινο: Την γονιμότητα, την αφθονία και την ευημερία. Το Κόκκινο: Η αρσενική ενεργός αρχή. Σε επέκταση το πυρρόχρουν αντιπροσωπεύει τον Σεθ-Τυφώνα το Θεό που επιτίθεται, που διαταράσσει, που αντιτίθεται στη γονιμότητα. Η έλλειψη προοπτικής στις ανθρώπινες φιγούρες είναι καταφανής. Μ' αυτόν τον τρόπο καταργεί το "υλικό" στοιχείο στο φυσικό κόσμο και τον μετατρέπει σε σύμβολο. Τα μακρινότερα απ' το κεντρικό πρόσωπο στοιχεία του περιβάλλοντος, τα οποία είναι και δευτερεύοντα, παρατηρούμε ότι ζωγραφίζονται πιο ψηλά στο επίπεδο, σαν να αιωρούνται και είναι διαταγμένα σε οριζόντιες ζώνες, με εξαιρετική πολλές φορές λεπτομέρεια στη σχεδίαση και φυσικότητα. Πολύ πιθανόν κατ' αυτόν τον τρόπο να διαχωρίζεται το πρωτεύον, απ' το δευτερεύον, δίνοντας στο πρώτο μια κάθετη διάσταση (μυητική), ενώ στο δεύτερο μια οριζόντια (υλική). Οι φιγούρες ακολουθούν συμβατικούς κανόνες σχεδίασης, τριγωνικό στήθος σε ανφάς, πρόσωπο σε προφίλ, που κοιτάζει κυρίως δεξιά, μεγάλη ράβδος που κρατιόταν πάντα με το αριστερό χέρι, ενώ η μικρή με το δεξί, κ.α. Κάτι που κάνει εντύπωση στην Αιγυπτιακή ζωγραφική, είναι οι λεπτομέρειες που αν και είναι μέρος της σύνθεσης και προορίζονται να βλέπονται με μια σειρά άλλα στοιχεία, ωστόσο μπορούν να ειδωθούν, σαν εντελώς αυτόνομες σειρές. Π.χ. οι χήνες του Μέντουμ: 4η δυναστεία, παρ' ότι ανήκουν σε μια μεγάλη σύνθεση είναι ένα παράδειγμα αυτόνομου θέματος. Τις χήνες τις συναντάμε συχνά στις παραστάσεις και σύμφωνα με τους Αιγυπτίους, η χήνα του Νείλου, η "Πολύλαλος" είναι η δημιουργός του κόσμου και γέννησε το κοσμικό αυγό,

απ' όπου πρόβαλλε ο Άμων-Ρα. Αξίζει να αναφέρουμε την ιδιαιτερότητα που παρουσιάζουν κάποιες παραστάσεις όπου οι συμβατικές φιγούρες, μπλέκονται με την ελεύθερη σχεδίαση του περιβάλλοντος, όπως είπαμε πάρα πάνω. Παρ' όλο το παράδοξο που θα έπρεπε να υπάρχει σ' ένα έργο, όταν συμβαίνει αυτό, παρατηρούμε ότι αντίθετα υπάρχει μια απόλυτα αρμονική σχέση μέσα απ' αυτές τις αντιθέσεις, αποτέλεσμα του ίδιου του χαρακτήρα του Αιγυπτιακού πολιτισμού, ο οποίος ήταν έτσι δομημένος ώστε να αντιλαμβάνεται την πολλαπλότητα, που είναι διαποτισμένη με μια αίσθηση υπερβατικής ενότητας. Κι αυτή η αρμονία είναι φυσικό να αντικατοπτρίζεται στην Τέχνη της και να την κάνει μαγική. Κι αυτό γιατί ήταν ενταγμένη σ' ένα μαγικό πολιτισμό. Έτσι αναπτύχθηκε η τέχνη της τοιχογραφίας που απεικόνιζε όλες αυτές τις δραστηριότητες, όπως, κυνήγια, αγροτική ζωή, χοροί, πολεμικοί θρίαμβοι κλπ. Οι απεικονίσεις αυτές με τον καιρό εξαπλώθηκαν και έξω από τους τάφους, διακοσμώντας ναούς, κτήρια κλπ. Λέγεται πως ο σχεδιασμός αναπτύχθηκε από τους αρχαίους Αιγυπτίους, οι οποίοι σχεδίαζαν το περίγραμμα της σκιάς, γι’ αυτό σχεδόν όλες οι ανθρώπινες ζωγραφικές παραστάσεις έχουν το πρόσωπο και τα πόδια σε προφίλ (πλάγια όψη) ενώ το σώμα απεικονίζεται τις περισσότερες φορές σε πρόσοψη. Συνήθιζαν να βάφουν τα ανδρικά σώματα σκουρότερα από τα γυναικεία, με σκούρα ώχρα ή σιέννα και τα γυναικεία με ανοιχτή ώχρα ή κίτρινα. Τα μαλλιά και τα μάτια σχεδόν πάντα μαύρα, αν που και που κάποια μαλλιά είχαν κόκκινο ή μπλε χρώμα. Φυσικά τα χρώματα που χρησιμοποιούσαν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ήταν περισσότερα από αυτά που είχε στην διάθεσή του ο πρωτόγονος άνθρωπος των σπηλαίων, αφού, ίσως, ήταν και οι πρώτοι που κατασκεύασαν τεχνητές βαφές Είχαν ανακαλύψει μια μέθοδο που κατασκεύαζαν μπλε γυαλιά. Κονιορτοποιούσαν αυτά τα γυαλιά και κατασκεύαζαν μια μπλε βαφή που ονομαζόταν αιγυπτιακό μπλε. Επίσης είχαν κατορθώσει την εξαγωγή άσπρου χρώματος από τον μόλυβδο, ένα άσπρο που χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα. Κατάφεραν επίσης να φτιάχνουν πράσινο χρώμα από μαλαχίτη. Έτσι λοιπόν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι είχαν 10 χρώματα στην χρωματική τους παλέτα: Άσπρο, μαύρο, γκρίζο (από την ανάμιξη των δυο προηγουμένων), βαθύ κίτρινο, σκούρα ώχρα, γήινο καφετί, κόκκινη γη, πράσινο του μαλαχίτη, βιολετιά γη και αιγυπτιακό μπλε. Με αυτά τα χρώματα έβαφαν και τα ξύλινα αγάλματά τους. Χρησιμοποιούσαν για τα χρώματα δοχεία από ψημένο πηλό ή όστρακα και άπλωναν την βαφή με πινέλα από ίνες φοινικόδεντρων ή από ίνες μασημένου ζαχαροκάλαμου. Ζωγράφιζαν σε ομάδες και πολλές φορές έστηναν σκαλωσιές για να ζωγραφίσουν μεγάλες τοιχογραφίες σε υψηλούς τοίχους.

Η τέχνη του καλλωπισμού στην Αρχαία Αίγυπτο Σύμφωνα με παραστάσεις από ναούς, τάφους, αλλά και από διάφορα κείμενα που έχουν σωθεί, φαίνεται ότι η τέχνη του καλλωπισμού ήταν πολύ σημαντική για τους αρχαίους Αιγυπτίους. Ο καλλωπισμός τους περιλάμβανε περίτεχνα κοσμήματα, αρωματικά έλαια, περούκες και έντονο μακιγιάζ. Ήταν πολύ καθαροί και φρόντιζαν με προσοχή τα ρούχα τους και το σώμα τους. Όσο μεγαλύτερο κύρος είχε ένα πρόσωπο, τόσο πιο περίτεχνο ήταν το βάψιμο και το ντύσιμό του.

ΑΡΩΜΑΤΑ Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι έτριβαν το δέρμα τους με λάδια και αρώματα. Τα αρωματικά έλαια μαλάκωναν την επιδερμίδα και την προστάτευαν από τον ήλιο και από τις αμμοθύελλες. Ήταν πολύ σημαντικό για τους Αιγυπτίους να μυρίζουν όμορφα, επειδή η δυσοσμία του σώματος ήταν ένδειξη αμαρτίας. Για να είναι σίγουροι ότι θα μύριζαν όμορφα καθ΄ όλη τη διάρκεια της ημέρας, τοποθετούσαν πάνω στο κεφάλι τους έναν κώνο, ο οποίος ήταν ποτισμένος με μια γλυκιά αλοιφή, που τις ζεστές νύχτες έλιωνε αργά πάνω στα μαλλιά τους. Ράντιζαν τα ρούχα τους με άρωμα φτιαγμένο από μύρο, λιβάνι και αρωματικά φυτά. Οι κυρίες μασούσαν χάπια από μέλι για να έχουν γλυκιά αναπνοή.

ΜΑΛΛΙΑ ΚΑΙ ΠΕΡΟΥΚΕΣ Με τη χένα, που την έφτιαχναν από τα τριμμένα φύλλα ενός φυτού, έβαφαν τα μαλλιά τους. Πολλές Αιγύπτιες που ξύριζαν τα κεφάλια τους ή είχαν κοντά μαλλιά φορούσαν περούκες. Σε ειδικές περιπτώσεις οι περούκες τους είχαν πλούσιες μπούκλες ή ήταν στολισμένες με χάντρες. Η βάση ήταν ένα δίχτυ από πλεγμένες τρίχες, όπου στερεώνονταν οι μπούκλες. Τα προσκεφάλια των κρεβατιών τους κρατούσαν τον αυχένα σε σχήμα ημισελήνου. Έτσι δε χαλούσε το χτένισμα των γυναικών. Πολλοί πίστευαν ότι οι τρίχες στο σώμα και στο πρόσωπο ήταν ανθυγιεινές. Οι γυναίκες έβγαζαν τα φρύδια τους και οι αξιωματούχοι της Αυλής συχνά φορούσαν ψεύτικες κοντές γενειάδες, αν και οι περισσότεροι άνδρες ήταν καλοξυρισμένοι. Συνήθιζαν να ξυρίζουν το κεφάλι και το κορμί τους, με

μπρούντζινες λεπίδες. Οι ιερείς ξύριζαν όλο το κεφάλι τους και το σώμα. Τα κεφάλια των παιδιών ήταν ξυρισμένα. Άφηναν μόνο μια μακριά πλεχτή αλογοουρά στο πλάι, την «αλογοουρά της νεότητας». Αν και φορούσαν όλοι περούκες, δεν ήθελαν να αποκτήσουν φαλάκρα. Για να το αποφύγουν έτριβαν το κεφάλι τους με διάφορα παρασκευάσματα, όπως κοπριά γαζέλας και λίπος ιπποπόταμου. Πίστευαν ακόμα ότι το αίμα του μαύρου ταύρου περιείχε κάτι μαγικό που εμπόδιζε το άσπρισμα των μαλλιών.

ΚΟΣΜΗΜΑΤΑ Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι στόλιζαν όλο τους το σώμα, φορώντας κάθε είδους κοσμήματα, από σκουλαρίκια μέχρι βραχιόλια στους αστραγάλους. Κοσμήματα φορούσαν όλοι: πλούσιοι και φτωχοί, άνδρες και γυναίκες, ακόμα και μερικά ιερά ζώα! Τα βαριά κοσμήματα, που στόλιζαν τα απλά ρούχα των Αιγυπτίων, ήταν ένδειξη υψηλής κοινωνικής θέσης. Τα ακριβά κοσμήματα κατασκευάζονταν από χρυσό και ημιπολύτιμες πέτρες. Τα πιο φτηνά ήταν από γυαλί και φαγεντιανή (πορσελάνη), υλικό από τριμμένο χαλαζία ή άμμο, που το θέρμαιναν σε καλούπια και το στίλβωναν. Οι ημιπολύτιμες πέτρες ή το χρωματιστό γυαλί, «συγκρατούνταν» στη θέση τους από λεπτές μεταλλικές λωρίδες, τεχνική που σήμερα λέγεται κλουαζονέ. Συχνά είχαν διπλή λειτουργία: ήταν στολίδια και ταυτόχρονα φυλαχτά, που προστάτευαν από κάθε κακό όποιον τα φορούσε. Ορισμένες πέτρες, όπως το καρνεόλιο, το λάπις λάζουλι και το τιρκουάζ, είχαν για τους αρχαίους Αιγυπτίους μαγικές ιδιότητες. Μαγικά μοτίβα ήταν οι μορφές των θεών. Μερικές φορές τα παιδιά φορούσαν στα μαλλιά τους ένα ψάρι-φυλαχτό, για να τα προφυλάξει από τον πνιγμό. Οι έγκυες γυναίκες φορούσαν φυλαχτά με την Τοέρις (Ταούρτ), θεά της μητρότητας, με μορφή ιπποπόταμου, για να τις βοηθήσει στη γέννα.

ΜΑΚΙΓΙΑΖ Τα είδη για το μακιγιάζ φυλάγονταν σε όμορφες κασετίνες. Άντρες και γυναίκες μακιγιάρονταν με τον ίδιο τρόπο. Η μόνη διαφορά ήταν στα «προϊόντα βάσης» (μέικαπ) που χρησιμοποιούσαν. Οι άντρες άπλωναν σκούρο κοκκινωπό χρώμα στο πρόσωπό τους, ενώ οι γυναίκες λευκό, όπως φαίνεται κι από πολυάριθμα αγάλματα ή τοιχογραφίες. Τα βλέφαρα βάφονταν με πράσινο χρώμα, από τριμμένη μαλακή πέτρα, το μαλαχίτη, καθώς επίσης και με γαλάζιο, από ψήγματα χαλκού. Το πράσινο περίγραμμα ή ουατζού εμφανίζεται κυρίως κατά την τέταρτη δυναστεία των Φαραώ -γύρω στο 2650 π.Χ. Εντοπίστηκε σε μορφή σκόνης ανάμεσα στα υπόλοιπα ευρήματα των ταφικών προσφορών του Ραχοτέπ. Το μαύρο περίγραμμα ή μεσντεμέτ-με μαλακό μολύβι κολ-εμφανίζεται έναν αιώνα αργότερα, κατά τη διάρκεια της βασιλείας του Φαραώ Χέοπα. Η λέξη μεσντεμέτ προέρχεται από τη λέξη σντεμ, που σημαίνει «ακούω». Υποδηλώνεται έτσι με ποιητικό τρόπο η «ομιλία των ματιών», η βαθιά εκφραστικότητα του βλέμματος. Οι Αιγύπτιες τόνιζαν το περίγραμμα των ματιών τους με μαύρο κολ, που το έφτιαχναν από μολυβδομετάλλευμα και νερό. Έτσι τα μάτια τους φαίνονταν μεγαλύτερα και προστατεύονταν από τον ήλιο. Τα μάγουλα και τα χείλη τα έβαφαν με κόκκινη ώχρα. Φορούσαν στα χείλη τους κόκκινη θεραπευτική

αλοιφή και έβαφαν επίσης κόκκινα τα νύχια των χεριών και των ποδιών τους. Χρησιμοποιούσαν ειδικές κρέμες για να έχουν φωτεινό πρόσωπο, αλλά και για να αποφύγουν τις ανεπιθύμητες ρυτίδες. τα καλλυντικά θεωρούνταν θεραπευτικά για πολλά οφθαλμολογικά προβλήματα. Λόγω του κλίματος, οι Αιγύπτιοι υπέφεραν από πολλές αλλεργίες, όπως κριθαράκι ή επιπεφυκίτιδα, ειδικά κατά τη διάρκεια των υπερβολικά θερμών καλοκαιριών ή των πλημμυρίδων του Νείλου. Ίσως γι’ αυτό στα περισσότερα καλλυντικά τους αναφερόταν η περίοδος του έτους ή το χρονικό διάστημα χρήσης – για παράδειγμα, «κατάλληλο για καθημερινή χρήση» ή «κατάλληλο για χρήση από τον πρώτο έως τον τέταρτο μήνα των πλημμυρίδων» ή «από τον πρώτο έως τον τέταρτο μήνα του καλοκαιριού» Οι καθρέφτες ήταν απαραίτητοι για το μακιγιάζ και το χτένισμα. Ο αιγυπτιακός καθρέφτης ήταν ένας στρογγυλός, πολύ γυαλιστερός μεταλλικός δίσκος, συνήθως από μπρούντζο. Το σχήμα και η λάμψη του θύμιζε στους Αιγυπτίους το ζωοδότη ήλιο, για αυτό και οι καθρέφτες ήταν σημαντικά θρησκευτικά αντικείμενα. Στα χρόνια του νέου Βασίλειο διακοσμούσαν συχνά το πίσω μέρος του καθρέφτη με ιερά σύμβολα.

Η ΑΙΓΥΠΤΙΑΚΗ ΣΦΙΓΓΑ H Αιγυπτιακή Σφίγγα, το τεράστιο άγαλμα ανθρωποκέφαλου λέοντα, που δεσπόζει καταμεσής της ερήμου εδώ και χιλιάδες χρόνια και μαγεύει κάθε τουρίστα που το επισκέπτεται σήμερα αλλάζει μορφή.

Σύμφωνα με τις έρευνες ενός Βρετανού γεωλόγου, αποκαλύπτεται ότι το αρχαίο μνημείο όχι μόνο έχει ηλικία πολύ μεγαλύτερη από αυτή που πιστεύεται σήμερα αλλά είχε και διαφορετική μορφή. Οι περισσότεροι αιγυπτιολόγοι συμφωνούν ότι το θαυμαστό μνημείο έξω από το Κάιρο κατασκευάστηκε το 2520 π.Χ. μετά από εντολή του Φαραώ Χεφρήνα, γιου του Χέοπα. Τα πόδια και το κεφάλι της Σφίγγας δεν διαθέτουν συμμετρία, συμβάλλοντας στην θεωρία που υποστηρίζει την ύπαρξη ενός ακόμα παλιότερου μνημείου. Ο γεωλόγος Colin Reader ανακάλυψε ότι τα στοιχεία διάβρωσης από την υγρασία αποδεικνύουν ότι το μνημείο αυτό κατασκευάστηκε πολύ νωρίτερα απ' ότι πιστεύαμε έως σήμερα. «Ένα θαμμένο παλάτι στην περιοχή της Γκίζας, προσφέρει επιπλέον αποδείξεις για την δραστηριότητα στην περιοχή πριν την κατασκευή των πυραμίδων,» τονίζει ο κύριος Reader. Η αρχιτεκτονική του παλατιού δείχνει ότι είναι πολύ παλιότερο σε σχέση με τα υπόλοιπα αρχαιολογικά μνημεία της περιοχής. Ειδικοί σε οπτικά εφέ χρησιμοποίησαν ερευνητικά δεδομένα για την αναδημιουργία του μυστηριώδους μνημείου, πολύ πριν πάρει τη σημερινή του μορφή. Ο ιστορικός αρχιτέκτονας Δρ. Jonathan Foyle, ο οποίος εργάστηκε με τον Reader για αυτή την αποκάλυψη, είπε ότι το κεφάλι και σώμα της Σφίγγας

ήταν εντελώς δυσανάλογα, προτείνοντας ότι αρχικά δεν είχε το κεφάλι ενός Φαραώ. Όπως δήλωσε ο επιστήμονας, μια από τις πιθανότερες εξηγήσεις για το φαινόμενο είναι η ύπαρξη ενός εντελώς διαφορετικού κεφαλιού, όπως ενός λιονταριού. Σύμφωνα με αυτή θεωρία, το άγαλμα αργότερα ανακατασκευάστηκε για να μοιάζει στον Φαραώ Χέοπα Όπως είναι γνωστό, για τους αρχαίους Αιγύπτιους το λιοντάρι ήταν σύμβολο εξουσίας πολύ πιο ισχυρό ακόμα και από το ανθρώπινο πρόσωπο. Δεδομένου ότι το μνημείο σήμερα έχει σώμα λιονταριού οι επιστήμονες θεωρούν πολύ πιθανό το κεφάλι του να ήταν αυτό ενός λιονταριού. Κατά τη διάρκεια της πρώιμης ιστορίας της Αιγύπτου, τα λιοντάρια ζούσαν στην περιοχής της Γκίζας και τις τριγύρω εκτάσεις. Επίσης, θα πρέπει αν πούμε ότι ο Φαραώ Χεφρήνα κατασκεύασε το μνημείο γύρω στο το 2520 π.Χ. για να τιμήσει τον πατέρα του Χέοπα.

Ο θρύλος αναφέρει πως η Σφίγγα μίλησε το 1419 π.Χ. στον Τούθμωση τον Δ`, εμφανίστηκε στον ύπνο του και του είπε: «Απελευθέρωσέ με και θα γίνεις Φαραώ». Έκανε ό,τι του ζήτησε και κυβέρνησε την Αίγυπτο. Όσον αφορά στην πραγματική ιστορία, η Σφίγγα δεν μίλησε ποτέ, ακόμα και μετά τις πολλές πολιορκίες που δέχτηκε από τους βάρβαρους κατακτητές. Η Σφίγγα κατασκευάστηκε το 2520 π.Χ. μετά από εντολή του Φαραώ Χεφρήνα, γιου του Χέοπα, και ο σκοπός της κατασκευή της ήταν καθαρά λόγος αισθητικής. Η μορφή που έχει, ανθρώπου δηλαδή με λιοντάρι, θέλει να δείξει το μεγαλείο και την δύναμη των βασιλέων της Αιγύπτου. Επίσης, ήταν κέντρο λατρείας το θεού Ώρος, σύμβολο του Ήλιου. Ο γεωλόγος Robert Schoch κατέληξε ότι η Σφίγγα της Αιγύπτου θα πρέπει να ήταν πολύ παλιότερη απ' ότι θεωρείτο έως τότε, μετά από μια έρευνα γύρω στο 1990. Ο Schoch τονίζει ότι τα σημάδια των κλιματολογικών συνθηκών στο σώμα της Σφίγγας και στην τριγύρω περιοχή του μνημείου, φανερώνουν χαρακτηριστικά που μπορούν να προκληθούν μόνο από παρατεταμένη διάβρωση λόγω υγρασίας. Η τελευταία περίοδος σημαντικών βροχοπτώσεων της Αιγύπτου έληξε κατά τη διάρκεια της 4ης έως 3ης χιλιετίας π.Χ. Ο Schoch ισχυρίζεται ότι το συνολικό ποσό της διάβρωσης του μνημείου αποδεικνύει ότι η ημερομηνία κατασκευή του δεν ήταν αργότερα από την 6η έως 5η χιλιετία π.Χ., τουλάχιστον 2,000 χρόνια πριν από την ευρέως αποδεκτή ημερομηνία κατασκευής και 1,500 χρόνια πριν από την κοινώς αποδεκτή ημερομηνία της έναρξης του Αιγυπτιακού πολιτισμού. Ο κύριος Reader καταλήγει ότι η Σφίγγα είναι μόνο μερικά εκατοντάδες χρόνια παλιότερη από την κοινά αποδεκτή ημερομηνία κατασκευής της, πιστεύοντας ότι ήταν έργο της Πρώιμης Δυναστικής περιόδου. Ο γεωλόγος David Coxill, ο οποίος δεν συμμετείχε στην έρευνα, έρχεται επίσης να επιβεβαιώσει τα ευρήματα του Schoch, όμως όπως ο Reader, έχει

μια πολύ πιο συντηρητική άποψη για την ημερομηνία κατασκευής του μεγαλόπρεπου μνημείου. Τόσο οι Schoch αλλά και Reader στηρίζουν τα συμπεράσματα τους όχι μόνο στο μνημείο της Σφίγγας και στην τριγύρω περιοχή αλλά και σε κλιματολογικά χαρακτηριστικά που έχουν αποτυπωθεί και σε άλλα μνημεία της περιοχής.

ΤΑ ΓΛΥΠΤΑ Ο συνδυασμός της γεωμετρικής κανονικότητας και οξείας παρατήρησης της φύσης χαρακτηρίζει όλη την αιγυπτιακή τέχνη και κυρίως τα γλυπτά και τις ζωγραφιές στους τοίχους των τάφων που ήταν η συντροφιά της ψυχής στον άλλο κόσμο. Τα γλυπτά είναι κατά κανόνα δισδιάστατα, δεν είναι περίοπτα , δεν απεικονίζουν ένα συγκεκριμένο άνθρωπο, αλλά έναν άνθρωπο στυλιζαρισμένο, έναν άνθρωπο πρότυπο. Στην αιγυπτιακή ζωγραφική οι καλλιτέχνες ακολουθούν επίσης καθιερωμένους συμβατικούς κανόνες. Η αίσθηση της τάξης και η έλλειψη στυλιστικής εξέλιξης καθρέπτιζαν τη σταθερή και συντηρητική φύση της αιγυπτιακής κοινωνίας. Οι αναπαραστάσεις της ανθρώπινης μορφής βασίζονταν σε γεωμετρικό πλέγμα (κάναβο), έτσι ώστε να εξασφαλίζονται σταθερές αναλογικές σχέσεις μεταξύ των μερών του σώματος.

Γεωμετρικό πλέγμα που δείχνει τις χαρακτηριστικές αναλογίες και σχέσεις των αιγυπτιακών ανθρώπινων παραστάσεων Η τρίτη διάσταση απουσιάζει. Οι δισδιάστατες απεικονίσεις της ανθρώπινης μορφής παρουσιάζονταν με ιδιότυπο τρόπο. Ο Αιγύπτιος ζωγραφίζει από την πιο χαρακτηριστική πλευρά για να ξεχωρίζουν τα χαρακτηριστικά. Έτσι, τα πόδια εμφανίζονται στο πλάι και μάλιστα βλέπουμε την εσωτερική όψη και των δυο, το σώμα από μπροστά ώστε να φαίνονται οι αρμοί, αλλά τα χέρια από τα πλάγια, το πρόσωπο ζωγραφίζεται προφίλ, αλλά το μάτι παρουσιάζεται μετωπικά για να φαίνεται καθαρά. Οι καθιστές φιγούρες εικονίζονται με τα χέρια πάνω στα γόνατα. Οι άνδρες είναι σκουρότεροι από τις γυναίκες ως ένδειξη του πλούτου τους. Η κοινωνική θέση υποδηλώνεται εμφατικά με το μέγεθος. Όσο πιο υψηλή η θέση, τόσο πιο μεγάλη η κλίμακα της μορφής. Οι άντρες πχ. εμφανίζονται πιο μεγάλοι από τις γυναίκες τους (αν και υπάρχουν απεικονίσεις φαραώ με ισομεγέθεις συζύγους) για συναισθηματικούς λόγους, όχι του ατόμου, αλλά της κοινωνίας. Το συναίσθημα είναι κοινωνικοποιημένο στην αιγυπτιακή τέχνη.

1.Χαρακτηριστική καθιστή στάση-Άντρας με τη γυναίκα και το παιδί τους. Ό,τι είχε σημασία, απεικονιζόταν σε μεγαλύτερη κλίμακα 2.Χαρακτηριστική στάση του όλου ανθρώπινου σώματος Οι λόγοι που ο Αιγύπτιος ζωγραφίζει έτσι είναι πολιτισμικοί. Ζωγραφίζει από τη πιο χαρακτηριστική πλευρά γιατί θέλει να αποτυπώσει την ολότητα. Το μέρος υποτάσσεται στο όλο, το ατομικό στο συλλογικό, το «εγώ» στο «εμείς», το σχετικό στο απόλυτο, στην ιδέα. (ιδεαλισμός). Τα γενικά σχήματα και οι φόρμες χωρίς ειδική περιγραφή καταστούν την αιγυπτιακή τέχνη αφαιρετική, όχι νατουραλιστική, αφού το σημαντικότερο για τους Αιγύπτιους δεν ήταν η ομορφιά, αλλά η πληρότητα, να διαφυλάξουν τα πάντα όσο το δυνατό σαφέστερα και μονιμότερα. Ο αιγύπτιος «καλλιτέχνης» (η λέξη ''τέχνη'' δεν υπάρχει καν στο αιγυπτιακό λεξιλόγιο) δε φτιάχνει τα πράγματα όπως είναι, αλλά όπως ξέρει ότι είναι. Τα ανάγει σε ένα πρότυπο. Σχεδιάζει εξιδανικευμένα με γενίκευση. Το «τί» μετράει, όχι το «πώς».

H αιγυπτιακή είναι μια τέχνη της γνώσης, τέχνη εγκεφαλική. Γι? αυτό και παρέμεινε σχεδόν αμετάβλητη για περισσότερο από 3.000 χρόνια. Η πιστότητα και μεθοδικότητα με τις οποίες οι Αιγύπτιοι καλλιτέχνες τηρούσαν τους παραπάνω κανόνες είχε και θετικά αποτελέσματα. Η αίσθηση ελεγχόμενης ισορροπίας και γαλήνης που αποπνέει η αιγυπτιακή γλυπτική και ζωγραφική, αλλά και η παράξενη, σχεδόν υπνωτική χάρη της μονοτονίας της οφείλονται, ίσως, στο αυστηρό σύστημα κανόνων και αναλογιών. Όλες αυτές οι αυστηρές μορφές με τις σιωπηλές και επίσημες χειρονομίες θυμίζουν επαναλαμβανόμενες φράσεις σε μια ποιητική επίκληση? Τέλος, η τέχνη της Αιγύπτου έχει τεράστια σημασία, αφού επηρέασε την αρχαία ελληνική τέχνη και αυτή την τέχνη όλου του δυτικού κόσμου ...

Επιμέλεια : Αναστασία Ράπτη.

ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ Η Ιστορία της Αιγύπτου έχει γοητεύσει εκατομμύρια ανθρώπους σε όλο τον κόσμο. Στην Αίγυπτο άκμασε ιδιαίτερα η ιατρική όπως και η γραφή και η αστρονομία. Αλλά όταν ακούμε την λέξη Αίγυπτος μας έρχονται στο νου τα τεράστια μνημεία που άφησε πίσω του ο τεράστιος πολιτισμός των Αρχαίων Αιγυπτίων, τις πυραμίδες. Αλλά τι είναι οι πυραμίδες; Οι πυραμίδες είναι τάφοι για τους βασιλιάδες της Αιγύπτου, τους Φαραώ. Σκοπός της πυραμίδας ήταν να «στεγάσει» το νεκρό Φαραώ κατά τη διάρκεια της μεταθανάτιας ζωής του. Οι αρχαιολόγοι λένε ότι το σχήμα της πυραμίδας προήλθε από παλαιότερους τύμβους ή συμβόλιζε τις ακτίνες του ήλιου ή ακόμα και μια σκάλα προς τον ουρανό. Αιώνες μετά οι κάτοικοι της Κεντρικής Αμερικής έχτισαν και αυτοί πυραμίδες – ναούς. Παρόλα αυτά οι πυραμίδες της Κ. Αμερικής έμοιαζαν ελάχιστα με αυτούς της Αιγύπτου, καθώς η κορυφή τους ήταν επίπεδη και τουλάχιστον σε μια πλευρά υπάρχουν σκάλες. Οι πρώτες πυραμίδες εμφανίστηκαν κατά τη διάρκεια του Αρχαίου Βασιλείου (3200 – 2300 π.Χ.) ανάμεσα σε αυτές και η Μεγάλη Πυραμίδα του Χέοπα, ένα από τα επτά θαύματα του κόσμου. Οι πρώτοι τάφοι των Αιγυπτίων ήταν τύμβοι που φτιάχνονταν όταν κάλυπταν έναν απλό τάφο με χαλίκια. Αργότερα, οι αξιωματούχοι και οι Φαραώ θάβονταν σε στενόμακρα κτήρια από τούβλα λάσπης, τους μασταμπάδες. Μερικοί μασταμπάδες καλύπτονταν, επίσης με τούβλα. Ωστόσο η πρώτη πυραμίδα και ο πρώτος πέτρινος τάφος ήταν η Βαθμιδωτή πυραμίδα του Φαραώ Ζονέρ. Σιγά σιγά όμως η μορφή άρχισε αλλάζει. Οι βαθμιδωτές πυραμίδες συμβόλιζαν την σκάλα με την οποία ο νεκρός θα έφτανε στα αστέρια μαζί με τους άλλους θεούς. Κατά την διάρκεια του χρόνου, όμως, ο ήλιος πήρε μεγαλύτερη σημασία από τα αστέρια, κι έτσι χτίστηκαν οι πραγματικές πυραμίδες που οι πλευρές τους συμβόλιζαν τις ακτίνες του ήλιου.

Πώς χτίστηκαν οι πυραμίδες;

Γύρω στα 2500 π.Χ., ξεκίνησε ένα γιγαντιαίο έργο που η κατασκευή του, σύμφωνα με τον Ηρόδοτο, απασχόλησε άμεσα 100.000 εργάτες και έμμεσα έναν ολόκληρο λαό. Το αποτέλεσμα αποτέλεσε ένα από τα εφτά θαύματα του αρχαίου κόσμου, το μοναδικό που έφτασε σχεδόν άφθαρτο μετά από 4.500 χρόνια, ως τις μέρες μας. Μαζί του έφερε τη γοητεία εκείνου του αρχαίου λαού, αλλά και πολλά μυστήρια. Αυτά τα μυστήρια τροφοδότησαν αμέτρητες υποθέσεις και εικασίες, καθώς και τις πλέον ευφάνταστες εξηγήσεις. Σαν αυτές στις οποίες βασίστηκε η ταινία Stargate, οι οποίες αποδίδουν τις πυραμίδες σ’ έναν εξωγήινο πολιτισμό ο οποίος, υποτίθεται, επισκέφτηκε τον πλανήτη μας περίπου 10.000 χρόνια π.Χ. Οι πυραμίδες που σώζονται είναι περίπου πενήντα. Τόσο σε ό,τι αφορά στο ύψος όσο και σε ό,τι αφορά στη δομική κομψότητα του μνημείου, οι πυραμίδες είναι διαφορετικές. Μια θεωρία αμφισβητεί την ίδια τη χρονολόγηση της πυραμίδας. Διατυπώθηκε από τον Τσαρλς Πιάτσι Σμάιθ, τον αστρονόμο των ανακτόρων στη Σκοτία και ολοκληρώθηκε πρόσφατα από το Βέλγο Ρομπέρ Μποβάλ και τον Άγγλο Γκρέιαμ Χάνκοκ. Ήταν ο Μποβάλ, κυρίως, που προσπάθησε ν’ αναπαραστήσει στον υπολογιστή τη διάταξη των αστέρων μέσα στο χρόνο και ανακάλυψε μια εκπληκτική σύμπτωση. Το έτος 10500 π.Χ., η διάταξη των τριών πυραμίδων της Γκίζας αντιστοιχεί στη θέση που είχαν τα τρία άστρα του Ωρίωνα, του αστερισμού που οι Αιγύπτιοι ταύτιζαν με τον Όσιρι, θεό της ανάστασης Άλλες δύο ενδείξεις αφορούν στη Σφίγγα, ο προσανατολισμός της οποίας, πάντα σύμφωνα με τους δύο συγγραφείς, ίσως καθορίστηκε έτσι ώστε να δείχνει την ανατολή του ήλιου στο ζώδιο του Λέοντα (ζώο που αναπαριστά η Σφίγγα). Αν αληθεύει αυτή η υπόθεση, μόνο σε μια περίοδο θα μπορούσε να συμβεί αυτό: στα 10500 π.Χ. Κι ακόμα, η Σφίγγα παρουσιάζει ίχνη διάβρωσης που οφείλονται στο νερό Για την επίσημη αιγυπτιολογία αιτία ήταν η άνοδος της στάθμης του νερού. Για τους Μποβάλ και Χάνκοκ οφείλεται σε χειμαρρώδεις βροχές που, σύμφωνα με την κλιματολογική αναπαράστασή τους στο χρόνο, θα μπορούσαν να συμβούν μόνο στο περίφημο 10500 π.Χ. Στην πραγματικότητα, αυτή η υπόθεση δεν αντέχει σ’ έναν πιο προσεκτικό έλεγχο. Είναι δύσκολο να υποστηριχθεί γιατί όχι μία αλλά πολλές ενδείξεις

συνηγορούν στο ότι η πυραμίδα κατασκευάστηκε στη διάρκεια της βασιλείας του Χέοπα. Πρώτα πρώτα, στον εσωτερικό θάλαμο υπάρχει μια επιγραφή με το όνομα του φαραώ. Ύστερα, μια σειρά από ντοκουμέντα, όπως ο κατάλογος των βασιλέων του Μανετόνα του 3ου αιώνα π.Χ., η πέτρα τού Παλέρμο του 2400 π.Χ., ο κατάλογος των βασιλέων του Νέου Βασιλείου του 1500 π.Χ. κ.λπ., επιβεβαιώνουν την περίοδο της βασιλείας του Χέοπα. Όλες οι επιγραφές είναι γραμμένες με ιερατική γραφή και όχι με ιερογλυφικά. Επειδή λοιπόν η ιερατική γραφή των αιγυπτιακών επιγραφών αλλάζει ύφος με τους αιώνες, είναι εύκολο να τις χρονολογήσουμε στην 4η δυναστεία, δηλαδή εκείνη του Χέοπα, το 2500 π.Χ. Η κατασκευή της διήρκεσε περίπου τριάντα χρόνια. Επιλέχθηκε ο ιδανικός χώρος: ο τελευταίος πετρώδης όγκος της λυβικής πεδιάδας, πριν από το δέλτα του Νείλου στην πεδιάδα της Γκίζας. Οι ιερείς-αστρονόμοι προσανατόλισαν το μνημείο προς την ιερή πόλη Κεμ (Ληθόπολη), που προστατευόταν από το θεό Χόρους. Για να το επιτύχουν, οι αστρονόμοι έπρεπε να καθορίσουν το Βορρά. Το κατόρθωσαν με εκπληκτική ακρίβεια, με προσέγγιση 2´´ και με όργανα προσκοπικά. Όπως το "μέρκχετ" , μια ράβδο με σχισμή στην κορυφή, μέσα από την οποία παρατηρούσαν την κίνηση των άστρων, μια άλλη ράβδο με νήμα της στάθμης που έδειχνε αν κρατούσαν ευθεία την πρώτη, κι ένα επίπεδο αναφοράς πάνω στο έδαφος, που έδειχνε τις 360 μοίρες. Ένας επιθεωρητής για κάθε πλευρά Το εργοτάξιο είχε μια πολύπλοκη οργάνωση που, ξεκινώντας από τον "αρχηγό" όλων των έργων του βασιλιά, έφτανε στους τέσσερις επιθεωρητές των πλευρών της βάσης της πυραμίδας και στους αρχιτέκτονες, στους γραφιάδες, στους επιστάτες των συνεργείων, στους εξειδικευμένους εργάτες (ξυλουργούς, τεχνίτες, λαξευτές, κ.λπ.) και στους κοινούς εργάτες (οι οποίοι σπάνια ξεπερνούσαν τα 35 χρόνια ζωής και μετέφεραν ογκόλιθους βάρους τριών τόνων). Οι ογκόλιθοι που χρησιμοποιήθηκαν στην Γκίζα ήταν δύο τύπων: ένας γκρίζος και ακατέργαστος για θεμέλια και δομικά γεμίσματα, κι ένας λευκός και συμπαγής για τις επενδύσεις. Ενώ ο τελευταίος τύπος έφτανε με πλοία από μακρινά λατομεία, ο πρώτος προερχόταν από τα λατομεία που βρίσκονταν γύρω από το βράχο, ο οποίος θα έπαιρνε τελικά τη μορφή της Σφίγγας. Η εργασία στα λατομεία της Γκίζας διευκολύνθηκε από τα εδαφολογικά χαρακτηριστικά - στρώματα βράχου ήταν χωρισμένα από αργιλώδη στρώματα πάχους 1-20 εκατοστών. Οι εργάτες έσκαβαν στις πλευρές τής βραχώδους πλάκας με σφυριά από σκληρή μυτερή πέτρα, ένα τετράγωνο σχήμα ώσπου να βρουν το αργιλώδες στρώμα. Τότε αρκούσε ένας μοχλός για να το αποκολλήσουν. Κεκλιμένα επίπεδα, έλκηθρα, σκοινιά Πώς μεταφέρθηκαν οι ογκόλιθοι στο ύψος των 146,594 μέτρων της πυραμίδας του Χέοπα. Μερικές υποθέσεις βασίζονται στη χρήση διαφόρων ειδών μηχανών. Άλλες, επικεντρώσουν την προσοχή τους στις ράμπες, χάρη στις οποίες οι εργάτες μετέφεραν τους ογκόλιθους. Στην πρώτη περίπτωση οι θεωρίες στηρίχτηκαν στη χρήση μηχανών για τις οποίες δεν υπάρχει καμιά μαρτυρία. Στη δεύτερη, αντίθετα, οι ειδικοί έλαβαν υπόψη τους τις τεχνικές που ήταν σίγουρα γνωστές στους αρχαίους Αιγυπτίους: κεκλιμένα επίπεδα, έλκηθρα, σκοινιά και... μπράτσα. Ο πρώτος που προσπάθησε να εξηγήσει το

πώς κατασκευάστηκαν οι πυραμίδες ήταν ο Έλληνας ιστορικός Ηρόδοτος, το 480 π.Χ. Και ήταν ο πρώτος που μίλησε για ένα είδος μηχανής: την ανυψωτική αιώρα, ένα είδος ζυγού με ξύλινο ημικυλινδρικό αναφορέα. Άλλοι, πάλι, μίλησαν για ανελκυστήρες με βίντσι ή άλλο κατάλληλο εξοπλισμό. Όμως σήμερα οι μελετητές αποκλείουν ότι εκείνη την εποχή υπήρχαν βίντσια, τροχαλίες, βαρούλκα ή μεταλλικοί γάντζοι Οι πιο αποδεκτές υποθέσεις για τον τύπο της ράμπας που χρησιμοποιήθηκε στην τοποθέτηση των ογκόλιθων της πυραμίδας είναι τρεις. Η πρώτη θεωρεί τη ράμπα ως ένα επικλινές επίπεδο από τη βάση ως την κορυφή, η δεύτερη θέλει μία ή περισσότερες ράμπες για κάθε πλευρά της πυραμίδας, και η τρίτη αναφέρεται σε μια σπειροειδή ράμπα. Σύμφωνα με τους περισσότερους αρχαιολόγους, για τις πενήντα περίπου πυραμίδες και τους μεγάλους ναούς που κατασκευάστηκαν στην αρχαία Αίγυπτο χρησιμοποιήθηκαν και οι τρεις τεχνικές μαζί. Όμως, για την πυραμίδα του Χέοπα η υπόθεση της ευθείας ράμπας δε μοιάζει εφικτή. Το αναγκαίο μήκος της, για να φτάσει ως την κορυφή, θα κυμαινόταν ανάμεσα στα 1,5 και 3,5 χιλιόμετρα. Και οι διάδρομοι, πλάτους από 8 έως και 15 μέτρα, θα ήταν πολύ στενοί για να μπορούν να περάσουν οι ομάδες των εργατών που έσερναν τους ογκόλιθους -τουλάχιστον 80 εργάτες για κάθε ογκόλιθο. Ο αιγυπτιολόγος Ούβο Χόλσερ διατύπωσε μια άλλη υπόθεση: μια σειρά από ράμπες ζιγκ-ζαγκ κατά μήκος της μιας πλευράς της πυραμίδας. Το κύριο πρόβλημα σ’ αυτή την περίπτωση είναι οι στροφές. Πώς θα μπορούσαν να στρίψουν ογδόντα εργάτες που σέρνουν έναν ογκόλιθο τριών τόνων; Η τελευταία πρόταση είναι του Ζάκι Χαβάς, διευθυντή της Γκίζας, που βασίζεται σε πρόσφατες ανακαλύψεις και είναι επεξεργασία μιας προηγούμενης θεωρίας: μια σειρά από 16 ράμπες οι οποίες, σε ελικοειδή διάταξη, φτάνουν σε ύψος 120 μέτρων. Σ’ αυτό το σημείο υπήρχε ένα πλάτωμα όπου έφτανε το απαραίτητο υλικό για την περάτωση της πυραμίδας, ακόμα και το Πυραμίδιον, το καπέλο της πυραμίδας -στην πυραμίδα του Χέοπα ζύγιζε εφτά τόνους. Είναι δυνατόν; Πρόκειται για πολύ δύσκολο έργο, όμως το εν λόγω σύστημα μοιάζει αποτελεσματικό.

Οι πυραμιδες της Γκίζας Οι πυραμίδες της Γκίζας είναι το αρχαιότερο σωζόμενο μνημείο από τα επτά θαύματα του αρχαίου κόσμου και είναι οι πιο διάσημες πυραμίδες του κόσμου. Βρίσκονται στην Αίγυπτο. Η κατασκευή χρονολογείται στο 2580 π.Χ. και βρίσκονται στην Νεκρόπολη της Γκίζας. Το σύμπλεγμα πιθανολογείται ότι χρησιμοποιήθηκε για τον ενταφιασμό Φαραώ και κατασκευάστηκε απο την τέταρτη δυναστεία των Αιγυπτίων.

Οι Μεγάλες Πυραμίδες Στην αρχαία Νεκρόπολη της Γκίζας ανήκουν: η Πυραμίδα του Χέοπα, γνωστή και ως "η Μεγάλη Πυραμίδα", η λίγο μικρότερη Πυραμίδα του Χεφρήνος και η σχετικά μετρίου μεγέθους Πυραμίδα του Μυκερίνου. Ανήκουν και οι τρεις στην Τέταρτη Δυναστεία. Όλες μαζί σχημάτιζαν ένα απέραντο συγκρότημα από μικρότερες πυραμίδες (των βασιλισσών), νεκρικούς ναούς, Μαστάμπες και τάφους αξιωματούχων. Στη Νεκρόπολη ανήκει και η περίφημη Μεγάλη Σφίγγα.

Πυραμίδα του Χέοπα Η μεγαλύτερη και πιο διάσημη είναι η πυραμίδα του Χέοπα (ή Χούφου) ενώ οι άλλες δύο είναι μικρότερες και βρίσκονται κάποια μέτρα μακρύτερα απο την πυραμίδα του Χέοπα. Έχει ύψος 146,60 μ. και τέλεια τετράγωνη βάση με πλευρά 230,35 μ. προκαλεί δε εντύπωση στους σύγχρονους ερευνητές για τα δεδομένα της εποχής της κατασκευής της. Έχει όγκο 2.521.000 κυβ. μ., καλύπτει επιφάνεια 54.000 τετρ. μ. και το υπολογιζόμενο βάρος της φθάνει τους 6,5 εκατομμύρια τόνους. Συμπεριλαμβάνονταν στα Επτά Θαύματα του κόσμου. Για την αποπεράτωσή της χρειάστηκαν 30 χρόνια δουλειάς από 100.000 εργάτες-δούλους, πολλοί από τους οποίους πέθαναν κατά τη διάρκεια κατασκευής της. Το μνημείο σήμερα συγκινεί τους επισκέπτες της Αιγύπτου για το μεγαλείο του και την τεχνική του και προβληματίζει τους σύγχρονους ειδικούς για το πώς μπόρεσαν να λύσουν τα τόσα προβλήματα μηχανικής και στατικής οι αρχαίοι συνάδελφοί τους. Εξωτερικά, η πυραμίδα του Χέοπα είναι επιστρωμένη με πλάκες από γρανίτη. Το εσωτερικό ήταν λαβύρινθος από διαδρόμους και δωματιάκια, που εμπόδιζαν την εύκολη διείσδυση στον κύριο χώρο, όπου βρισκόταν η σαρκοφάγος του Φαραώ. Ο χώρος αυτός είχε ύψος 5 μ., πλάτος 5,34 μ. και μήκος 10,33 μ. Η λάρνακα, μέσα στην οποία βρισκόταν η μούμια του Φαραώ, ήταν από ροζ γρανίτη

Ελληνικές Πυραμίδες Αρχαιότερες των Αιγυπτιακών

“Στα δεξιά εκείνων που έρχονται από το Αργος προς την περιοχή της Επιδαύρου, υπάρχει οικοδόμημα πάρα πολύ όμοιο με πυραμίδα, φέρει δε ασπίδες αργολικές κατά το σχήμα επεξεργασμένες. Λέγουν ότι εδώ έγινε η μάχη μεταξύ Προίτου και Ακρισίου για την εξουσία, που κατέληξε ισόπαλη και επήλθε έκτοτε συνδιαλλαγή, αφού βέβαια κανένας από τους δύο δεν μπορούσε να επικρατήσει. Λέγουν δε ότι οι δύο και το στράτευμα για πρώτη φορά τότε είχαν οπλισθεί με ασπίδες. Προς τιμή δε των νεκρών, των δύο παρατάξεων, διότι ήταν συμπολίτες και συγγενείς, κατασκευάσθηκε εδώ κοινό μνημείο.

Ο Προίτος και ο Ακρίσιος είναι απόγονοι του πανάρχαιου Δαναού, βασιλιά του Αργους. Επίσης είναι γνωστό ότι το Αργος και η Θήβα συνδέονται μυθολογικά και ιστορικά με την Αίγυπτο. Εξάλλου ο ίδιος ο Ορφέας “τον ιερό λόγο εξελόγχευσε στην Αίγυπτο” όπου δίδαξε τους ίδιους τους Αιγυπτίους τα θέσφατα.(Βλ. Ι. Πασσά: “Τα Ορφικά”). Στην Ελλάδα έχουν καταγραφεί περί τα 26 πυραμιδοειδή κτίσματα, από την Θήβα έως την Κρήτη. Η Πυραμίδα του Ελληνικού βρίσκεται στον ομώνυμο οικισμό 7χλμ νότια του Άργους. Το κτίσμα βρίσκεται σε σχετικά καλή κατάσταση αν και έχει υποστεί πολλές φθορές από τους ίδιους τους ανθρώπους, που δεν γνώριζαν την χρήση του, αλλά και από τα στοιχεία της φύσης. Η πυραμίδα έχει διαστάσεις 12,60μ. επί 14,50μ. και έχει κάτοψη ορθογωνική. Δεν αποκλείεται να είχε λατρευτική χρήση. Ακόμη σημαντική είναι επίσης και η πυραμίδα που βρίσκεται στο χωριό Λυγουριό της Επιδαύρου. Η κατασκευή της είναι παρόμοια με του Ελληνικού. Δυστυχώς η κατάσταση του μνημείου είναι πολύ άσχημη, λόγω της μεταφοράς λίθων από τους κατοίκους για οικοδομικούς σκοπούς. Είναι επίσης ορθογωνική διαστάσεων 12,00μ. επί 13,50μ. Αξιόλογη είναι και η κλιμακωτή πυραμίδα του Αμφείου στην Θήβα, η πυραμίδα της Δαλαμανάρας(νότια του Άργους), της Καμπίας (Νέα Επίδαυρος), της Σικυώνας (βόρεια του Άργους). (Βλ. Χρήστου Λάζου:”Πυραμίδες στην Ελλάδα” και περιοδικό “Δαυλός” τ.χ 172,181). Το σημαντικότερο γεγονός είναι η χρονολόγηση των πυραμίδων του Ελληνικού και του Λυγουριού. Οι μετρήσεις έγιναν με την μέθοδο της θερμοφωταύγειας στο εργαστήριο Πυρηνικής Χρονολογήσεως του τμήματος Φυσικής του Πανεπιστημίου του Εδιμβούργου υπό του καθηγητή κ.Galloway και του εργαστηρίου Αρχαιομετρίας του “ΕΚΕΦΕ-ΔΗΜΟΚΡΙΤΟΣ” υπό του κ. Ι. Λυριτζή. Έτσι η μέση ηλικία της πυραμίδος του Ελληνικού ανέρχεται στο 2720(±580,±1050)π.Χ, ενώ της πυραμίδος του Λυγουριού στο 2100(±610)π.Χ! Με την ίδια μέθοδο της θερμοφωταύγειας, χρονολογήθηκε μυκηναϊκό τείχος και έδειξε (1100±180) έτη π.Χ, ενώ η παλαιότερη αρχαιολογική εκτίμηση έδινε ηλικία 1280π.Χ (=1100+180). Λειτουργώντας προσθετικά διαπιστώνουμε ότι η ηλικία της πυραμίδος του Ελληνικού είναι (2720+580=3300π.Χ), ενώ του Λυγουριού (2100+6100=2710π.Χ), που τις κατατάσσουν αρχαιότερες των Αιγυπτιακών σύμφωνα με ανακοίνωση της Ακαδημίας Αθηνών. Επίσης έγιναν μετρήσεις με την μέθοδο γεωφυσικής διασκοπήσεως με την χρησιμοποίηση φορητού πρωτονιακού μαγνητόμετρου και ηλεκτρομαγνητικής συσκευής, κατέληξαν δε ότι η πυραμίδα του Ελληνικού ανάγεται στην 3η χιλιετία π.Χ! Στην Αίγυπτο η πρώτη πυραμίδα (βαθμιδωτή) της Σακκάρας ανήκει στον Φαραώ Ζοζέρ (2630 π.Χ.) . Οι επόμενες είναι οι πυραμίδες του Σνερφρού (2600 π.Χ. ), ενώ η μεγάλη πυραμίδα της Γκίζας του Φαραώ Χέοπος χρονολογείται το 2505 π.Χ. Δυστυχώς μόλις βγήκε η πρώτη ανακοίνωση της Ακαδημίας Αθηνών ο τότε υπουργός Πολιτισμού απαγόρευσε δια νόμου (!) την όποια έρευνα γύρω από την χρονολόγηση των Ελληνικών πυραμίδων

(Πυραμίς = Πύρ + Αμίς ). Κατόπιν πιέσεων (από ποιους άραγε ; ) η Ακαδημία Αθηνών με νέα ανακοίνωση αναγκάστηκε να αναφέρει ότι οι Ελληνικές πυραμίδες είναι συνομήλικες των Αιγυπτιακών …. Τέλος είναι άξιο θαυμασμού το γεγονός ότι οι δύο πυραμίδες του Αργους (=Αργώ =Ark =Κιβωτός) έχουν προσανατολισμό ο οποίος συνδέεται στενά με την κίνηση του αστερισμού του Σείριου (’στρο του Κυνός). Το εν λόγω άστρο ανήκει στον αστερισμό Canis Majoris , απέχει 8,6 έτη φωτός από το Ηλιακό μας Σύστημα και αποτελεί το λαμπρότερο άστρο στο νυχτερινό ουρανό της ανατολικής Μεσογείου. Η λαμπρότητα του Σείριου στο κυανόλευκο είναι 23 φορές μεγαλύτερη του δικού μας Ηλίου….

ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ Oι πυραμίδες που έχουν εντοπιστεί στην Ελλάδα, αποτελούν μοναδικά δείγματα πυραμιδικής αρχιτεκτονικής στον ευρωπαϊκό χώρο. Η μορφή τους, η αρχιτεκτονική τους, καθώς και η στατιστική τους τοποθέτηση, κατατάσσουν μερικές από αυτές στην προπελασγική περίοδο. Η Ακαδημία Αθηνών έχει χρονολογήσει τα κτίσματα αυτά μέχρι και στο 2.700 π.Χ.. Οι ελληνικές πυραμίδες διαφέρουν από τις γνωστές αιγυπτιακές ως προς τη μορφή και πιθανότατα ως προς τη χρήση. Για το ζήτημα των πυραμίδων έχουν μιλήσει και οι αρχαιολόγοι του Αργούς οι οποίοι συμφωνούν στην ίδια χρονολογία, μόνο που αυτοί έχουν διαφορετική άποψη για τη χρήση των πυραμίδων. Η χρήση μας ενδιαφέρει περισσότερο από κάθε άλλο στοιχείο, αλλά υπάρχουν πολλές απόψεις και δεν μπορούμε να καταλήξουμε οριστικά σε κάποιο συμπέρασμα. Υπήρξαν ταφικά μνημεία, μικρά οχυρά, φρυκτωρίες, αστρονομικά παρατηρητήρια ή ναοί; Απ' ό,τι φαίνεται, θα μπορούσαν να χρησιμεύουν σε πολλά πράγματα.

Η πυραμίδα στο Ελληνικό Αργολίδας αναφέρεται στον Παυσανία και με τη μέθοδο της θερμοφωταύγειας χρονολογείται από το 2700 π.Χ.

Πυραμίδες ή πυραμιδοειδή κτίσματα; Το ορθότερο είναι πυραμιδοειδή κτίσματα. Στην πραγματικότητα πρόκειται για κόλουρες πυραμίδες και όχι για ολοκληρωμένες πυραμίδες όπως της Αιγύπτου. Η κατασκευή τους, για στατικούς λόγους, δεν μπορεί να στηρίξει μια μυτερή στέγη. Εάν ήταν όπως στην Αίγυπτο συμπαγείς, θα ήταν δυνατό να στηριχθεί μια τέτοια στέγη. Μας είναι άγνωστη όμως η χρήση τους. Πιθανόν να κατασκευάστηκαν την ίδια εποχή και από τους ίδιους τεχνίτες για κάποιους λόγους που ίσως δεν θα μάθουμε ποτέ. Από τη σκοπιά αυτή, τις τυλίγει ένα μυστήριο.

Η πυραμίδα στο Ελληνικό Αργολίδας από μία άλλη οπτική γωνία.

H χρονολόγησή τους Υπάρχει μια νέα μέθοδος που προσπαθεί να προσφέρει στους αρχαιολόγους μια εύκολη χρονολόγηση της πέτρας, αλλά βρίσκεται ακόμη σε πειραματικό στάδιο. Με τη μέθοδο αυτή υπολογίζεται ο χρόνος που παρέμεινε η πέτρα εκτεθειμένη στον ήλιο από τη στιγμή που κόπηκε από το λατομείο. Όμως ποτέ κανείς δεν μπορεί να γνωρίζει το ακριβές χρονικό διάστημα κατά το οποίο το δομικό υλικό έμεινε εκτεθειμένο μέχρι να χτιστεί. Επομένως, είναι ανασφαλής σαν μέθοδος. Ίσως, αν τελειοποιηθεί, να φανεί χρήσιμη. Αυτή τη στιγμή έχει δώσει κάποιες ηλικίες γύρω στο 3000 και το 3500 π.Χ.. Η μελέτη τους, σχεδόν ανύπαρκτη μέχρι τώρα, θα δώσει την απάντηση και θα φωτίσει ακόμη μια άγνωστη πτυχή του αρχαίου ελληνικού πολιτισμού.

Η πυραμίδα του Ταϋγέτου Η μεγαλύτερη γνωστή πυραμίδα, η οποία είναι και η αρχαιότερη παγκοσμίως, βρίσκεται στην κορυφή του Ταϋγέτου, πάνω ακριβώς από τη Λακωνία. Λακωνία = Λα-κωνία. Στα Αρχαία Ελληνικά, "λας" σημαίνει "λίθος", συνεπώς η ονομασία και μόνον της περιοχής, "Λίθος" + "Κωνικός", αποκαλύπτει την πραγματικότητα.

Η κορυφή "Προφήτης Ηλίας" του Ταϋγέτου, η οποία έχει το σχήμα μιας πυραμίδας. Το ερώτημα είναι, το αν είναι τεχνητό κατασκεύασμα, ή φυσικό.

Υπάρχει μία μεγάλη μερίδα ερευνητών που υποστηρίζουν ότι η κορυφή "προφήτης Ηλίας" του Ταϋγέτου λαξεύτηκε, προκειμένου να αποκτήσει πυραμιδοειδή σχήμα, ενώ υπάρχουν και άλλοι που υποστηρίζουν ότι η πυραμίδα είναι φυσική και δεν κατασκευάστηκε από ανθρώπινο χέρι. Όμως γεγονός είναι ότι όσοι επισκέπτονται την βραχοπυραμίδα παραξενεύονται από την απότομη αλλαγή του τοπίου, στο σημείο που είναι η βάση της. Στο σημείο που αρχίζει η βραχοπυραμίδα, το βουνό γίνεται σχετικά λείο και ομαλό, ενώ πιο πριν δεν είναι. Αξιοπερίεργη είναι επίσης σκιά που δημιουργεί η πυραμίδα, στην ανατολή και στην δύση του ηλίου.

Η πυραμίδα του Ταϋγέτου από μία πιο κοντινή λήψη.

Η πυραμίδα είναι ορατή από τη πόλη της Σπάρτης, αν κοιτάξεις προς τα δυτικά. Οι αρχικές διαστάσεις της Πυραμίδας του Ταϋγέτου είναι άγνωστες. Η φθορά από τις δεκάδες ή εκατοντάδες χιλιάδες χρόνια από τη λάξευσή της είναι τεράστια. Όμως το ότι πρόκειται περί τεχνικού-λαξευτού έργου και όχι φυσικού σχήματος, αποδεικνύεται από την απόλυτη κανονικότητα της πυραμίδας και κυρίως από την τεχνητή οριζοντίωση της βάσεώς της.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΚΟΡΙΝΑ ΠΑΡΔΑΛH

Πάπυρος Ο πάπυρος ήταν κοινό υλικό γραφής σε ολόκληρη την κλασική Αρχαιότητα που κατασκευαζόταν από το φυτό πάπυρος. Τα αρχαιότερα δείγματα παπύρου, με ιερογλυφική γραφή, χρονολογούνται από το 3.000 π.Χ., εικονίζονται όμως κύλινδροι από πάπυρο σε παραστάσεις αιγυπτιακών ναών που είναι ακόμη παλαιότερες. Αρχικά οι Έλληνες δεν έκαναν εισαγωγή παπύρου από την Αίγυπτο, αλλά τον αγόραζαν από τους Φοίνικες. Από εκεί, κατά την άποψη μερικών ερευνητών, προήλθε μια άλλη ονομασία του παπύρου, Βύβλος, από την ομώνυμη πόλη της Φοινίκης και σημαντικό κέντρο εμπορίας παπύρου.

Ετυμολογία του όρου Η λέξη πάπυρος εισήλθε στην Ελληνική αρκετά αργά, κατά την ελληνιστική εποχή (πρωτοαπαντά σε κείμενα του Θεοφράστου, του Διοσκουρίδη κ.ά.). Το γεγονός ότι το ίδιο φυτό είχε γίνει γνωστό προηγουμένως στους Έλληνες υπό την ονομασία βύβλος / βίβλος, δυσχεραίνει την παρακολούθηση της ακριβούς πορείας που διέγραψε η λέξη. Εικονογράμματα σημιτικής προελεύσεως φαίνεται να δηλώνουν τόσο τη βύβλο όσο και τον πάπυρο. Η καλύτερη ετυμολογική υπόθεση που έχει μέχρι τώρα διατυπωθεί είναι η αναγωγή σε αρχ. αιγυπτ. φρ. pa-pu-ro, η οποία κατά βάσιν σημαίνει «βασιλικός, αυτός που ανήκει στο βασιλικό μονοπώλιο» και δηλώνει ότι το φυτό ανήκε στα προϊόντα μονοπωλίου τού Φαραώ. Ωστόσο, μολονότι η εν λόγω εκδοχή παρατίθεται στα εγκυρότερα λεξικά τής Αρχαίας Ελληνικής, εξακολουθεί να μην είναι καθολικώς αποδεκτή από τους γλωσσολόγους.

Παραγωγή γραφικής ύλης από πάπυρο Για να κατασκευαστεί η γραφική ύλη από πάπυρο, έπαιρναν την ψίχα του κατώτερου τμήματος του στελέχους του φυτού. Σε γενικές γραμμές η διαδικασία ήταν η εξής: Το στέλεχος, ενώ ήταν ακόμη φρέσκο, το έκοβαν σε τμήματα και το αποφλοίωναν, για να ελευθερώσουν την ψίχα. Αυτήν την έκοβαν σε λεπτές, αλλά όσο ήταν δυνατόν πλατιές λωρίδες, τις οποίες επάνω σε μια σανίδα βρεγμένη στο νερό τις έβαζαν οριζόντια τη μια πλάι στην άλλη, ώστε να επικαλύπτονται λίγο οι άκρες τους. Κατόπιν, επάνω σε

αυτό το πρώτο στρώμα έμπαινε ένα δεύτερο στρώμα από λωρίδες τοποθετημένες κάθετα. Σχηματιζόταν έτσι ένα πλέγμα, που το πίεζαν με μια μεγάλη, πλατιά πέτρα. Με την πίεση έβγαινε από τις χλωρές ίνες του φυτού μια κολλώδης ουσία και έτσι τα δύο στρώματα ενώνονταν μεταξύ τους. Με τον τρόπο αυτό δημιουργούσαν ένα "φύλλο" παπύρου που στη συνέχεια ξηραινόταν στον ήλιο και τέλος απλωνόταν επάνω του ένα μείγμα αλευρόκολλας, ώστε να γίνει όσο το δυνατόν πιο λεία η επιφάνεια.Κατόπιν, με τη βοήθεια κάποιας κολλητικής ουσίας ένωναν μεταξύ τους πολλά φύλλα (τουλάχιστον 20), τα οποία δημιουργούσαν έναν ρόλο, όπου οι ίνες του φυτού στη μια πλευρά πήγαιναν πάντοτε στην ίδια κατεύθυνση. Στην εξωτερική πλευρά του ρόλου πήγαιναν κάθετα (verso) και, επομένως, στην εσωτερική πλευρά πήγαιναν οριζόντια (recto). Ο πάπυρος έφθανε στο εμπόριο με τη μορφή τέτοιων ρόλων οι οποίοι τυλίγονταν σε ένα ξύλινο κοντάρι, καθώς είχαν την ελαστικότητα που ήταν αναγκαία για ένα αρχαίο βιβλίο, το οποίο έπρεπε συχνά να ξετυλίγεται και να τυλίγεται. Ένας από τους μεγαλύτερους παπύρους που σώζονται περιείχε, όταν ήταν ακέραιος, ολόκληρο το Συμπόσιο του Πλάτωνα και πρέπει να είχε μήκος 6,5 περίπου μέτρα. Βέβαια, όταν έπρεπε να γραφτούν κομμάτια μικρότερου μεγέθους (π.χ. μια επιστολή), τότε έκοβαν από τους ρόλους αυτούς το αναγκαίο μέγεθος. Σταδιακά, η χρήση των κυλινδρικών παπύρων μειώθηκε και ο παπύρινος κώδικας, ένας τύπος βιβλίου από ενωμένα φύλλα παπύρου, άρχισε να επικρατεί από τον 2ο αι. για τα χριστιανικά κυρίως κείμενα. Πάνω στον πάπυρο έγραφαν κατά στήλες με ένα μυτερό καλάμι βουτηγμένο σε μελάνι, τις περισσότερες φορές μόνο από την εσωτερική όψη και σπανιότερα στις δύο όψεις.

Μειονεκτήματα του παπύρου ως υλικού γραφής Ένας ρόλος από πάπυρο μπορούσε να διατηρηθεί ακόμη και τριακόσια χρόνια, συνήθως όμως η ζωή του ήταν βραχύτερη. Το μεγάλο πρόβλημα του παπύρου ήταν πως έσπαγε εύκολα και η συχνή χρήση των μεγάλων σε μέγεθος ρόλων προκαλούσε πολλές βλάβες από το διαρκές δίπλωμα και ξεδίπλωμα. Ένας άλλος μεγάλος εχθρός του παπύρου ήταν η υγρασία. Με την έκθεσή του σε αυτήν, γινόταν εύθρυπτος και το χρώμα του σκούραινε. Ένας πάπυρος που είχε βραχεί και στεγνώσει επανειλημμένα το πιο πιθανό ήταν να διαλυθεί μόλις κάποιος τον άγγιζε. Για το λόγο αυτόν τα πλουσιότερα αρχαιολογικά παπυρικά ευρήματα σώθηκαν σε ξηρά εδάφη, σε περιοχές με ξηρό κλίμα. Γενικά η φύλαξη και η διατήρησή τους έπρεπε να γίνει με προσοχή,

καθώς ο σκόρος ή και τα ποντίκια μπορούσαν να προξενήσουν εξίσου μεγάλη ζημιά με την υγρασία. Στις αρχαίες βιβλιοθήκες οι κύλινδροι από πάπυρο ήταν τοποθετημένοι μέσα σε κυλινδρικές θήκες και φυλάσσονταν σε ξύλινα ράφια. Για τη μόνωση της βιβλιοθήκης από την υγρασία, ένας δεύτερος τοίχος περιέβαλλε τους εσωτερικούς τοίχους του κτηρίου αφήνοντας ένα κενό διάστημα ανάμεσα τους. Καθώς ο πάπυρος παρουσίαζε αυτά τα πρακτικά μειονεκτήματα, στο βασίλειο της Περγάμου χρησιμοποιήθηκε εναλλακτικά ως γραφική ύλη το δέρμα ζώου, η περγαμηνή. Το νέο υλικό ήταν μια επανάσταση που οδήγησε στη δημιουργία του κώδικα, δηλαδή μιας αρχικής μορφής του βιβλίου που ξέρουμε σήμερα.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΝΤΑΓΚΑΣ.

Γ’ΜΕΡΟΣ Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΙ Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΗΣ ΓΡΑΦΗΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ Ο πάπυρος Στην Αίγυπτο, η ιστορία των υλικών γραφής σφραγίζεται διαχρονικά από την παρουσία του περίφημου πάπυρου, ομολογουμένως καταπληκτική επινόηση για την εποχή της. Πρόκειται για το προϊόν θαμνώδους φυτού του κύπειρου, που ψηλώνει έως και τα 5 μέτρα και φύτρωνε άφθονο γύρω από το δέλτα του Νείλου. Αν αναλογιστούμε την ευπάθεια ενός κατεργασμένου στο χέρι υλικού, είναι εκπληκτικό ότι βρέθηκαν πάπυροι αρχαιότεροι του 1500 π.Χ. Το ιδιαίτερα ξηρό περιβάλλον εμπόδισε καταστροφή τους από υγρασία. Οι Αιγύπτιοι μάζευαν την ψίχα του φυτού πάπυρος, έκοβαν το μαλακό μίσχο του σε λεπτές ταινίες, χώριζαν τις ίνες, τοποθετώντας τη μία πάνω στην άλλη, έτσι ώστε να σχηματίσει ένα συμπαγές σώμα, μία στιβάδα. Συμπίεζαν μάλιστα αυτή τη στιβάδα για να σκληρύνει κάπως και μετά την άπλωναν και την ξέραιναν στον καυτερό αφρικανικό ήλιο. Έπειτα λείαιναν τις στιβάδες με χαλίκια και κολλούσαν καμία εικοσαριά από αυτές μεταξύ τους, δίνοντας τους τη μορφή ρολό. Αυτό το ρολό ήταν το τελικό προϊόν, ο πάπυρος της γραφής, πάνω στον οποίο από τότε αποτυπώθηκε η όλη πολιτισμική δραστηριότητα των γύρω και πέρα από τη Μεσόγειο αρχαίων λαών. Η ποιότητά του θυμίζει λευκή μουσελίνα και η αντοχή του περγαμηνή από μοσχάρι. Η κατάκτηση της Αιγύπτου από τους Άραβες έκανε μετά τον 7ο αιώνα πολύ δύσκολη για τους ευρωπαίους την προμήθεια παπύρων κι έτσι άρχισαν να φτιάχνουν τις δικές τους περγαμηνές, μέχρι την έλευση της εφεύρεσης του χαρτιού από την Κίνα στην Ευρώπη. Μια παρόμοια τεχνική με την κατασκευή του παπύρου έχει επιβιώσει μέχρι σήμερα στον τρόπο που φτιάχνεται στην Ιαπωνία μέχρι σήμερα το χειροποίητο χαρτί με τον παραδοσιακό τους τρόπο. Για να γράψουν στον πάπυρο οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν μελάνι σε 2 χρώματα, το κόκκινο και το μαύρο. Με το κόκκινο έγραφαν μόνο τους τίτλους και τα ονόματα των Θεών και των Φαραώ και το κατασκεύαζαν από κοκκινόχρωμα ή μίνιο. Το μαύρο μελάνι παρασκευαζόταν από βρεγμένη καπνιά, γόμα και λίπος σε σκόνη. Τα εργαλεία γραφής που συμπλήρωναν τον εξοπλισμό του γραφέα, ήταν ο κάλαμος, το βουρτσάκι, πέτρινο μελανοδοχείο, κύπελλο για το νερό και μία σμίλη, που έπαιζε το ρόλο της μεταγενέστερης ξύστρας. Αργότερα όταν εμφανίστηκαν πινακίδες, αλειμμένες με κερί, για τη γραφή χρησιμοποιούσαν τη «γραφίδα», ένα κοντύλι μυτερό στο ένα άκρο και πλατύ στο άλλο. Οι γραφίδες κατασκευάζονταν από μπρούτζο, από κόκαλο, από ελεφαντόδοντο, αλλά και από ασήμι και από χρυσάφι. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΝΙΚΟΣ ΒΑΓΕΝΑΣ.

ΔΙΑΦΟΡΑ ΙΕΡΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΙΕΡΟΓΛΥΦΙΚΗ ΓΡΑΦΗ

Απόσπασμα κειμένου από την στήλη της Ροζέττας.

Η δημώδης αιγυπτιακή γραφή ήταν σύστημα γραφής που χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο από τον 7ο αι. π.Χ.. Εξελίχτηκε από την ιερατική γραφή. Ο Ηρόδοτος την αποκαλεί δημώδη (δηλαδή λαϊκή ή δημοτική), ενώ ο Πορφύριος την αποκαλεί επιστολογραφική. Χρησιμοποιήθηκε για διάστημα περίπου 1000ων χρόνων ως γραφή για κείμενα καθημερινής χρήσης, ενώ η χρήση των ιερογλυφικών ήταν περιορισμένη για κείμενα στις πυραμίδες και άλλα αιωνόβια μνημεία, και η ιερατική γραφήεπιτρεπόταν μόνο στους ιερείς. Η δημώδης γραφή ήταν δύσκολη στην ανάγνωση, επειδή τα γράμματα άλλαζαν με την πάροδο του χρόνου και συχνά παρουσίαζαν μεγάλη ομοιότητα μεταξύ τους. Το πιο γνωστό κείμενο είναι η στήλη της Ροζέττας που περιέχει μια ανακοίνωση του βασιλιά Πτολεμαίου στα Ελληνικά και Αιγυπτιακά για να γίνει κατανοητή σε όλους τους υπηκόους του βασιλείου του. Επί Πτολεμαίων η χρήση της δημώδους γραφής περιορίστηκε λόγω της εξάπλωσης της Ελληνικής γραφής, ενώ επί Ρωμαϊκής αυτοκρατορίας εξαφανίστηκε εντελώς, και εγκαταστάθηκε από το Ελληνικό αλφάβητο με κάποιες επεκτάσεις.

.ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΡΑΦΑΗΛ-ΑΓΓΕΛΟΣ ΓΟΝΙΔΕΛΗΣ.

Η ΓΡΑΦΗ Αυτή περίπου την εποχή δημιουργήθηκε στη Μεσοποταμία (Σουμέριοι, ~3500 π.Χ.) και στην Αίγυπτο (~3000 π.Χ.) η γραφή. Σημαντικότερο κίνητρο γι' αυτή την επινόηση, η οποία άλλαξε τη ροή των εξελίξεων και επηρέασε αφάνταστα τον ανθρώπινο πολιτισμό, πρέπει να ήταν οι ανάγκες για καταγραφή προϊόντων και εργασιών και για εκτέλεση υπολογισμών. Μέχρι τότε μοναδική μέθοδος διατήρησης αρχείων ήταν η απομνημόνευση των εμπορικών συμφωνιών και των αγοραπωλησιών εδαφών και προϊόντων από τους ιερείς και τους όποιους κρατικούς (βασιλικούς) υπαλλήλους. Από την εποχή που διευρύνθηκαν η παραγωγή και το εμπόριο, ήταν επιτακτική η εξεύρεση μεθόδων δημιουργίας αρχείων. Είναι προφανές ότι κάθε τοπικός ιερέας ή διοικητικός υπάλληλος διατηρούσε μια λίστα με σημάδια, μάλλον σε κάποιο προστατευμένο αντικείμενο, π.χ. στον τοίχο της αποθήκης, περίπου όπως καταγράφουν τις μέρες οι φυλακισμένοι. Στη Μεσοποταμία καταγράφονταν σε κεραμικές πλάκες οι αριθμοί και τα είδη των οικόσιτων ζώων, καθώς και οι αγροτικές εκτάσεις που άλλαζαν ιδιοκτήτες κατά τις αγοραπωλησίες. Τέτοιες κεραμικές πλάκες έχουν βρεθεί κατά χιλιάδες και αποτελούν κατά κάποιο τρόπο αρχεία απογραφής και συμβόλαια μεταβιβάσεων. επρόκειτο δηλαδή για τις πρώτες λειτουργίες στατιστικής και υποθηκοφυλακείου στον ανθρώπινο πολιτισμό! Η γραφή αυτή αποτελείτο αρχικά από σημάδια, τα οποία εξελίχθηκαν σταδιακά σε σύμβολα με μορφή σφήνας, γι' αυτό και ο χαρακτηρισμός σφηνοειδής γραφή. Από κάποια εποχή και μετά κωδικοποιήθηκαν αυτά τα σύμβολα και απέκτησαν φωνητική αξία. Έτσι έγινε σταδιακά δυνατή η καταγραφή του λόγου. Στην Αίγυπτο αναπτύχθηκε η ιερογλυφική γραφή, η οποία θεωρείτο ότι είχε παραδοθεί στους ανθρώπους από τους θεούς. Σ' αυτή τη γραφή, η οποία έμεινε για πολλούς αιώνες αναλλοίωτη, χρησιμοποιούνται εικονογραφικοί χαρακτήρες για την απόδοση γραμμάτων, συλλαβών ή λέξεων. Παράλληλα με τα ιερογλυφικά αναπτύχθηκαν όμως απλούστερες μορφές γραφής. Για την καταχώριση πληροφοριών χρησιμοποιήθηκε, αντί των κεραμικών πινακίδων της Μεσοποταμίας, ο πάπυρος. Το υλικό αυτό προερχόταν από το χορτοειδές φυτό στις όχθες του Νείλου που φτάνει σε ύψος τα 3 μέτρα. Η γραφή στην Κίνα με τα ιδιόμορφα ιδεογράμματα παρουσιάζεται περί το 2500 π.Χ. Μετά τη γεωργία, η επινόηση της γραφής αποτελεί το δεύτερο θεμελιώδους σημασίας επίτευγμα για την ανάπτυξη του πολιτισμού! Τρίτο επίτευγμα με τέτοια κεφαλαιώδη σημασία αποτελεί πολύ αργότερα (18ος-19ος αιώνας) η εισαγωγή της χρήσης του ατμού και ακολουθεί η χρήση του ηλεκτρισμού. Με την εισαγωγή της γραφής άρχισε να αποσυνδέεται η επικοινωνία από την προσωπική επαφή και την προφορική ανταλλαγή μηνυμάτων. Οι πληροφορίες ήταν πλέον δυνατόν να αποθηκευτούν, ανεξάρτητα από τη μνήμη των ανθρώπων. Πρέπει να σημειώσουμε εδώ ότι η χρήση της γραφής περιοριζόταν τους πρώτους αιώνες σε μικρό αριθμό ατόμων, κυρίως τα μέλη του θρησκευτικού ιερατείου και είναι σαφές ότι, όσοι μονοπωλούσαν αυτή τη γνώση (γραφή και ανάγνωση), κατείχαν σημαντική δύναμη στην κοινωνία. Αρχικά έγιναν αυτοί οι λίγοι αναντικατάστατοι και απέκτησαν αυξημένο κύρος, πέρα από αυτό που διέθεταν ως «μεσολαβητές» με το θεό. Με την πάροδο των δεκαετιών και των

αιώνων ο αριθμός των γραφέων αυξήθηκε όμως, γιατί έπρεπε να συντηρούνται και να ενημερώνονται τα αρχεία με τις καταγραφές για το ιδιοκτησιακό καθεστώς των γεωργικών εκτάσεων που πλημμύριζαν κάθε τόσο και για την είσπραξη των φόρων, με το σχεδιασμό και τις εργασίες των αρδεύσεων, αλλά και τη σωστή διαχείριση της αγροτικής παραγωγής, ώστε να διατίθενται κατάλληλες ποσότητες για ιδιοκατανάλωση του λαού, για εμπόριο, αλλά και ως εφεδρείες για τυχόν περιόδους καταστροφών. Όλες αυτές και άλλες συναφείς και παρεπόμενες εργασίες απαιτούσαν ένα συνεχώς αυξανόμενο αριθμό γραφέων, οι οποίοι σταδιακά έπαψαν να ανήκουν στο ιερατείο και αποτέλεσαν αυτοτελές κοινωνικό σώμα με αρμοδιότητα στη διαχείριση του κράτους. Ήταν κατά κάποιο τρόπο οι πρώτοι δημόσιοι υπάλληλοι!

Ιερογλυφική γραφή της Αιγύπτου. Σημαντικό είναι επίσης ότι το πολιτισμικό άλμα που προέκυψε με την εισαγωγή της γραφής στην οργάνωση της κοινωνίας, ακολουθήθηκε από δραστικές κοινωνικές ανακατατάξεις. νέα επαγγέλματα, νέος καταμερισμός εργασιών, νέες αρμοδιότητες στην οργάνωση του κράτους, του εμπορίου κλπ. Κάτι ανάλογο είχε συμβεί στις κοινωνίες και παλαιότερα με την καθιέρωση της γεωργίας και της κτηνοτροφίας. Στην πορεία αυτών των ανακατατάξεων διάφορες κοινωνικές ομάδες, αυτές που αποκτούν δύναμη αλλά και αυτές που θίγονται από τις εξελίξεις, αμφισβητούν την καθιερωμένη τάξη και προσπαθούν να την προσαρμόσουν στις ανάγκες τους. Οι δυνάμεις αυτές αναμετρόνται με τους παραδοσιακούς κατόχους της εξουσίας και το αποτέλεσμα είναι κατά κανόνα επαναστάσεις οι οποίες, άλλοτε επικρατούν και δημιουργούν μια νέα τάξη και νέο κατεστημένο, άλλοτε υποχωρούν και υφίστανται καταπίεση για κάποιο διάστημα, μέχρι την επόμενη προσπάθεια, και άλλοτε συμβιβάζονται με μια νέα κατανομή της εξουσίας. Αυτό το φαινόμενο, να έπονται δηλαδή των πολιτισμικών αλλαγών και των τεχνολογικών βελτιώσεων κοινωνικές ανακατατάξεις, παρατηρείται μέχρι των ημερών μας.

Επιμέλεια : Γιώργος Τσάμης.

Δ’ΜΕΡΟΣ ΑΙΓΥΠΤΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Οι Αιγύπτιοι είχαν αναπτύξει σε μεγάλο βαθμό τα μαθηματικά κα εν γένει τον πολιτισμό εντάσσεται σε μια μακρά παράδοση. Η αρχαία Αίγυπτος εθεωρείτο η πηγή της γνώσης και της σοφίας όχι μόνο για τα μαθηματικά αλλά και για πολλούς άλλους τομείς. Οι μαθηματικές, ιδιαίτερα, γνώσεις των Αιγυπτίων επαινούνται από πολλούς αρχαίους και νεότερους συγγραφείς, οι οποίοι θεωρούν ότι στην αρχαία Αίγυπτο τα μαθηματικά καλλιεργήθηκαν, έστω και στα πρώτα τους στάδια, ως καθαρή επιστήμη και όχι μόνο για τη χρησιμότητα που μπορεί να είχαν για την επίλυση προβλημάτων της καθημερινής ζωής.

Οι απόψεις αρχαίων Ελλήνων για τα αιγυπτιακά μαθηματικά Έχει αξία λοιπόν να παραθέσουμε μερικές γνώμες αρχαίων Ελλήνων συγγραφέων για τα μαθηματικά των Αιγυπτίων.

1.Ηρόδοτος (5ος π.Χ. αι.)

Οι ιερείς μου είπαν ότι αυτός ο βασιλιάς είναι που μοίρασε όλη τη χώρα στους Αιγυπτίους και έδωσε στον καθένα τον ίδιον κλήρο, ένα τετράγωνο χωράφι, για το οποίο καθόρισε να πληρώνεται ετήσιος φόρος, που δημιούργησε τις προσόδους του. Αν ο ποταμός έπαιρνε ένα κομμάτι από το χωράφι κανενός, τότε αυτός πήγαινε στον βασιλιά, του ανέφερε το γεγονός, κι εκείνος έστελνε ανθρώπους να κάνουν έλεγχο και να μετρήσουν πόσο μικρότερο έγινε το χωράφι ώστε από τότε και στο εξής να ελαττωθεί ανάλογα και ο φόρος. Από αυτό, νομίζω, προέρχεται η εφεύρεση της γεωμετρίας που αργότερα μεταδόθηκε στην Ελλάδα, γιατί το ηλιακό ρολόι, τον γνώμονα και τα δώδεκα μέρη της ημέρας οι Έλληνες τα έμαθαν από τους Βαβυλωνίους.

2. Δημόκριτος Κανένας δεν με ξεπέρασε στις συνθέσεις γραμμών μετά αποδείξεων , ούτε ακόμα οι αποκαλούμενοι αρπεδοπάπτες μεταξύ των Αιγυπτίων.

3.Αριστοτέλης(384-322 π.Χ.) Γι’ αυτό, όταν πια είχαν ικανοποιηθεί όλες οι τέτοιες λογής ανάγκες, επινοήθηκαν οι επιστήμες που δεν απέβλεπαν μήτε σε απόλαυση μήτε στις ανάγκες της ζωής, και αρχικά σε τόπους όπου δόθηκε διαθέσιμος χρόνος. Γι’ αυτό οι μαθηματικές τέχνες συνεστήθηκαν πρώτα –πρώτα στην Αίγυπτο, γιατί εκεί αφέθηκε διαθέσιμος χρόνος στην τάξη των ιερέων.

ΟΙ ΠΗΓΕΣ ΤΩΝ ΑΙΓΥΠΤΙΑΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1)ΟΙ ΓΡΑΦΕΣ Παρά την αρχαιότητα του αιγυπτιακού πολιτισμού, η μελέτη της ιστορίας της επιστήμης που αναπτύχθηκε στους κόλπους του σχετικά πρόσφατα, στο τέλος του 19ου και στις πρώτες δεκαετίες του 20ου αι. , έγινε αντικείμενο συστηματικής έρευνας. Η αιτία γι’ αυτό είναι απλή μέχρι πριν από 170 περίπου χρόνια δεν είχε αποκρυπτογραφηθεί καμία από τις τρεις γραφές στις οποίες είναι γραμμένα τα αιγυπτιακά μαθηματικά. Οι τρεις γραφές είναι η ιερογλυφική, η ιερατική και η δημοτική. Οι περισσότεροι από τους μαθηματικούς παπύρους που έχουν διασωθεί είναι γραμμένοι στην ιερατική γραφή. Λόγω των μεγάλων διαφορών στους γραφικούς χαρακτήρες των Αιγυπτίων γραφέων, οι αιγυπτιολόγοι μεταγράφουν συνήθως όλα τα κείμενα στην πιο ευανάγνωστη και τυποποιημένη ιερογλυφική γραφή.

2)Η ΓΡΑΦΗ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Η σημειογραφία των αριθμών βασίζεται σε μια απλή επαναληπτική αρχή, όπου διαφορετικά σύμβολα για τις διαδοχικές δυνάμεις του 10 επαναλαμβάνονται όσες φορές χρειάζεται ώστε να σχηματιστεί ο εκάστοτε αριθμός. Το αριθμητικό σύστημα λοιπόν είναι δεκαδικό και ο σχηματισμός των ψηφίων γίνεται με την αρχή της επανάληψης.

3)Η ΑΠΟΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΗΣΗ Η πρώτη από τις τρεις γραφές που αποκρυπτογραφήθηκε ήταν η ιερογλυφική. Το αποφασιστικό γεγονός γι’ αυτό ήταν η ανακάλυψη, το 1799, κατά τη διάρκεια της εκστρατείας του Μεγάλου Ναπολέοντα στην Αίγυπτο, μιας στήλης από βασάλτη, επί της οποίας ήταν χαραγμένο ένα και το αυτό κείμενο γραμμένο σε τρεις γραφές, που ήταν κατά σειρά η ιερογλυφική, η δημοτική και η ελληνική. Η στήλη ανακαλύφθηκε στη Ρωζέττα, λιμάνι της Κάτω Αιγύπτου γι’ αυτό και είναι γνωστή με το όνομα «στήλη της Ρωζέττης». Η γνώση της ελληνικής έκανε δυνατή την αποκρυπτογράφηση της ιερογλυφικής.

4)ΤΑ ΚΕΙΜΕΝΑ Όλες οι γνώσεις μας για τα αιγυπτιακά μαθηματικά προέρχονται από έναν πολύ μικρό αριθμό κειμένων, το αρχαιότερο των οποίων χρονολογείται περίπου το 1850 π.Χ. και το πιο πρόσφατο από το 750 μ.Χ. Αναφέρουμε μερικά στοιχεία για τα πιο σημαντικά από τα κείμενα αυτά.

Ο πάπυρος Rhind Η σημαντικότερη πηγή για τα αιγυπτιακά μαθηματικά είναι ο πάπυρος Rhind. Ανακαλύφθηκε το 1855 στα ερείπια της αρχαίας πόλης των Θηβών και αγοράστηκε από τον Rhind το 1858 στο Λούξορ. Ο πάπυρος περιλαμβάνει 84 προβλήματα, μαζί με τις απαντήσεις τους, καθώς και τον περίφημο «Πίνακα» Ο πάπυρος της Μόσχας Γράφτηκε στη διάρκεια της 13ης δυναστείας. Είναι γραμμένος στην ιερατική γραφή. Ο πάπυρος περιλαμβάνει 25 προβλήματα, μεταξύ των οποίων δύο σημαντικά αποτελέσματα της αιγυπτιακής γεωμετρίας, την εύρεση του εμβαδού του όγκου της κόλουρης πυραμίδας και την εύρεσης του εμβαδού του ημισφαιρίου. Ο δερμάτινος κύλινδρος Από τις άλλες πηγές αξίζει να μνημονεύσουμε τον γνωστό στη βιβλιογραφία ως «δερμάτινος κύλινδρο», που έχει γραφεί περί το 1650 π.Χ. στην ιερατική γραφή και φυλάσσεται από το 1864 στο Βρετανικό Μουσείο. Όταν ανακαλύφθηκε ήταν σε τέτοια κατάσταση – το δέρμα ήταν εντελώς ξεραμένο και σκληρό- ώστε ήταν αδύνατο να ξετυλιχθεί και να διαβαστεί χωρίς να καταστραφεί το κείμενο. Στην κατάσταση αυτή παρέμεινε περίπου για 60 χρόνια. Τελικά, το 1927,ο H.R. Hall, υπάλληλος του τμήματος αιγυπτιακών αρχαιοτήτων του Βρετανικού Μουσείου, σε συνεργασία με τον Dr. A. Scott, κατόρθωσαν, χρησιμοποιώντας σύγχρονες για την εποχή χημικές μεθόδους, να μαλακώσουν το δέρμα και να ξετυλίξουν τον κύλινδρο.

Η αριθμητική των Αιγυπτίων Οι υπολογισμοί των Αιγυπτίων βασίζονταν στην πράξη της πρόσθεσης, η οποία δεν παρουσίαζε, φυσικά κανένα πρόβλημα. Ουσιαστικά γινόταν ακόμα πιο εύκολα από ό,τι την κάναμε εμείς σήμερα. Αρκούσε απλώς να συγκεντρώνονται μαζί τα σύμβολα όλων των προσθετέων και να αντικαθίστανται δέκα όμοια σύμβολα με ένα σύμβολο της αμέσως επόμενης τάξης.

Πολλαπλασιασμός Αιγυπτιακά πολλαπλασιασμός έγινε με τον επαναλαμβανόμενο διπλασιασμό του αριθμού που πολλαπλασιάζεται (ο πολλαπλασιαστέος), και επιλέγοντας όποιοι των διπλασιασμών για να προσθέσει μαζί (ουσιαστικά μια μορφή δυαδικός αριθμητική). Ο πολλαπλασιαστέος θα καταγραφόταν δίπλα στο σχήμα 1, κατόπιν ο πολλαπλασιαστέος θα προστιθόταν σε το (Ι.ε. doubled) και θα καταγραφόταν δίπλα στον αριθμό 2, και τα λοιπά, μέχρι τους διπλασιασμούς έδωσε έναν αριθμό μεγαλύτερο από το μισό από τον αριθμό που πολλαπλασιάζεται με (ο πολλαπλασιαστής). Κατόπιν, οι διπλασιασμένοι αριθμοί (1, 2, κ.λπ....) θα αφαιρούταν επανειλημμένα από τον πολλαπλασιαστή που επιλέγει που των αποτελεσμάτων των υπαρχόντων υπολογισμών πρέπει να προστεθεί μαζί για να δημιουργήσει την απάντηση. Σαν σύντομη περικοπή για τους μεγαλύτερους αριθμούς, ο πολλαπλασιαστέος μπορεί επίσης να πολλαπλασιαστεί αμέσως με 10, 100, κ.λπ....Έτσι, παραδείγματος χάριν, Το πρόβλημα 69 στον πάπυρο Rhind παρέχει την ακόλουθη απεικόνιση: Για να πολλαπλασιάσουν 80 Χ 14 Σύγχρονος υπολογισμός Αποτέ λεσμα

Πολλαπλα σιαστής

80

1

/ 800

10

160

2

/ 320

4

1120

14

Το σημάδι κροτώνων (/) δείχνει τα ενδιάμεσα αποτελέσματα που προστίθενται μαζί για να παραγάγουν την τελική απάντηση.

Τα Αιγυπτιακά κλάσματα είναι αθροίσματα από μοναδιαία κλάσματα (κλάσματα με αριθμητή 1) και με διαφορετικό παρονομαστή. Κάθε θετικός ρητός αριθμός περιγράφεται με αιγυπτιακά κλάσματα Παράδειγμα παράσταση του 5 /121

Μια καλύτερη παράσταση με μόνο 3 μοναδιαία κλάσματα

Πρόβλημα 26 του πάπυρου Rhind : Μια ποσότητα και το τέταρτο μέρος αυτής κάνουν μαζί 15. Ποια είναι η ποσότητα; Έστω 4. Τότε το 4 και 1 (το τέταρτο μέρος του 4) κάνει 5 και όχι 15. Για να βρεθεί το σωστό, πρώτα υπολογίζεται η απόκλιση και σημειώνεται ότι το 15 είναι τριπλάσιο του 5. Έτσι η διόρθωση της αρχικής αυθαίρετης παραδοχής γίνεται με τριπλασιασμό της, 3 φορές το 4, δηλ. 12. Διαπιστώνεται ότι αυτό είναι σωστό, γιατί 12 και 3 (το τέταρτο του 12) κάνει 15. Η μέθοδος αυτή, που χρησιμοποιήθηκε και σε μεταγενέστερες εποχές, ονομάζεται: μέθοδος της αυθαίρετης παραδοχής ή μέθοδος της λανθασμένης θέσης. Επιμέλεια : Αναστασία Ράπτη.

ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ)

Ιστορικά στοιχεία για την έννοια του κλάσματος Η ιστορική μελέτη της έννοιας του κλάσματος- είναι πολύ σημαντική για δυο κυρίως λόγους: από τη μια πλευρά για ανακάλυψη των προβλημάτων στα οποία έδωσε λύση η συγκεκριμένη μαθηματική έννοια και από την άλλη για προσδιορισμό πιθανών εμποδίων στην εξέλιξη της έννοιας αυτής. Η ιστορική εξέλιξη της έννοιας του κλάσματος περιλαμβάνει πολλά στάδια, τα οποία διαφοροποιούνται τόσο από το πεδίο εφαρμογών της, όσο και από την εννοιολογική της υπόσταση – θεωρητική ή επιστημολογική. Πρώτη περίοδος: Αιγύπτιοι – Βαβυλώνιοι (2000 π. Χ – 500 π. Χ) Ιστορικά στοιχεία που χρονολογούνται από το 1800 – 1300 π.Χ. φανερώνουν ότι η έννοια του κλάσματος ήταν γνωστή στους αρχαίους Αιγυπτίους (Γαγάτσης, Μιχαηλίδου, Σιακαλλή, 2001). Για το κτίσιμο των πυραμίδων, (2700 π. Χ.), είναι βέβαιο πως ήταν απαραίτητη η εκτεταμένη γνώση των αναλογιών και κατά συνέπεια η χρήση των κλασμάτων ήταν αναγκαία. Τα αιγυπτιακά εναδικά κλάσματα αποτελούν μια πρώτη μορφή αυτού που σήμερα ονομάζεται κλάσμα. Παράλληλα με τους αρχαίους Αιγυπτίους, οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν ένα σύστημα αρίθμησης με αξία θέσης και βάση το εξήντα. Οι αριθμοί γράφονταν ως αθροίσματα δυνάμεων του εξήντα. Οι Βαβυλώνιοι αναπαριστούσαν κοινά κλάσματα ως εξηκονταδικά. Για παράδειγμα, το ½ ισοδυναμεί με το 30, το 1/3 με το 20 κλπ. Αντίθετα με τα αιγυπτιακά εναδικά, τα εξηκονταδικά κλάσματα είχαν μορφή ακεραίου και προέκυψαν, καθώς υποδιαιρούσαν το χρόνο σε 360 μέρες, την ώρα σε 60 λεπτά και το λεπτό σε 60 δευτερόλεπτα (Burton, 1988). Το σύστημα μέτρησης του χρόνου στην εποχή μας είναι απομεινάρι του βαβυλωνιακού εξηκονταδικού συστήματος.

Πρόκειται για ένα κομμάτι μαύρου βασάλτη και βρίσκεται στο μουσείο του Παλέρμο. Πάνω στην Πέτρα έχει χαραχθεί ένα αντίγραφο των πρώιμων δυναστειακών χρονικών και μπορεί κανείς να παρατηρήσει την πιο όψιμη εξέλιξη του γραμμικού μετρικού συστήματος. Η Πέτρα του Παλέρμο είναι χωρισμένη σε καταχωρήσεις εκ των οποίων η κάθε μια αποτελείται από μια σειρά κουτιών, όπου το καθένα με τη σειρά του αντιπροσωπεύει ένα χρόνο βασιλείας ενός Φαραώ και παρουσιάζει τα σημαντικότερα γεγονότα αυτού του βασιλικού έτους – ως επί το πλείστον θρησκευτικές τελετές και προσφορές ή στρατιωτικές εκστρατείες. Το ενδιαφέρον για μας είναι ότι στον πάτο του κάθε κουτιού από την βασιλεία του Φαραώ Ντερ και μετά καταγράφεται το μέγιστο ύψος του νερού του Νείλου για το συγκεκριμένο χρόνο σε κύβιτον (αρχαία μονάδα μέτρησης ύψους – 1 κύβιτον ισούται περίπου με πενήντα εκατοστά του σημερινού μέτρου). Το σύστημα που χρησιμοποιείται είναι το τυπικό για τις μετρήσεις μήκους με την προσθήκη ενός ειδικού σημαδιού για το μισό κύβιτον που χρησιμοποιούνταν στις βασιλείες των Φαραώ Ντερ και (V). Σημαντικό είναι ότι για την περίοδο της Πέμπτης Δυναστείας των Φαραώ αυτό το σημάδι εξαφανίζεται και εμφανίζονται κλάσματα γραμμένα με την κλασική τους μορφή περίπου

Δεύτερη περίοδος: Αρχαίοι Έλληνες (600 π. Χ – 300 μ. Χ) Οι Πυθαγόρειοι (540 – 450 π. Χ.), ο Πλάτωνας (4ος αι. π.Χ.) φαίνεται να δέχονται μόνο την ύπαρξη των ακεραίων αριθμών. Τον 4ο αιώνα π. Χ. επικρατεί η αντίληψη του Πλάτωνα για το αδιαίρετο της μονάδας. Η αντίληψη αυτή έρχεται σε σύγκρουση με την έννοια του κλάσματος. Το κλάσμα στην αρχαία Ελλάδα έχει την ίδια τυπολογία με τα αιγυπτιακά

κλάσματα, με μόνη διαφορά ότι εκεί τα κλάσματα ονομάζονται μέρη ή μόρια. Η ιδέα του λόγου, ακόμη και όταν αναφέρεται σε αυτά τα μέρη, δε σχετίζεται με αριθμητική ποσότητα (Fowler, 1987). Οι αρχαίοι Έλληνες αντί να αναφέρουν ότι μια ποσότητα είναι τα 2/5 μιας άλλης αναφέρουν ότι ο λόγος τους είναι 2 στα 5. Τρίτη περίοδος: Άραβες – Λατίνοι (700 μ. χ – 1600 μ. χ) Πρώτοι οι Άραβες κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα έδωσαν μεγάλη ώθηση στις διαδικασίες των πράξεων. Εισήγαγαν την έννοια και το συμβολισμό του κλάσματος με τη σημερινή του μορφή και εισήγαγαν τη χρήση της αρίθμησης με δεκαδική θέση. (Σταφυλίδου, 2001). Επιπλέον, οι μαθηματικοί της εποχής εκείνης, στην προσπάθειά τους να ξεπεράσουν τις δυσκολίες που δημιουργούσαν οι υπολογισμοί με κλάσματα, ταοποία περιλάμβαναν τεράστιους αριθμούς, επιχείρησαν να ανακαλύψουν νέους πιο εύχρηστους αλγόριθμους για την επίλυση των μαθηματικών προβλημάτων. Ως λύση το πρόβλημα αυτό ήρθε η χρήση των δεκαδικών αριθμών. (Γαγάτσης,, Μιχαηλίδου,Σιακαλλή, 2001). Τέταρτη περίοδος (1600 μ. Χ – 1900 μ. Χ) Την περίοδο αυτή ο Euler δίνει πλήρη ορισμό του κλάσματος ως μαθηματικής αφηρημένης έννοιας. Συγκεκριμένα, αναφέρει ότι αν το πηλίκο δύο αριθμών δεν είναι ακέραιος, τότε υπάρχει ένα ιδιαίτερο είδος αριθμού που ονομάζεται κλάσμα και που δηλώνει ένα τέτοιο πηλίκο. Ορίζει, δηλαδή, το κλάσμα α / β, ως το πηλίκο διαίρεσης του α δια του β, τα οποία ονομάζει αριθμητή και παρονομαστή. Επίσης, ορίζει το κλάσμα α / β ως το γινόμενο του ακεραίου α επί την κλασματική μονάδα 1/β. Επιπρόσθετα, διακρίνει τις εξής περιπτώσεις κλασμάτων: (α) το κλάσμα α / α, όπου ο αριθμητής είναι ίσος με τον παρονομαστή και το κλάσμα είναι ίσο με το 1, (β) το κλάσμα α / β, όπου α < β, το οποίο είναι μικρότερο του 1 και (γ) το κλάσμα α / β, όπου α > β, το οποίο είναι μεγαλύτερο του 1 (Σταφυλίδου, 2001) . Η έννοια του κλάσματος α) Tο κλάσμα ως μέρος όλου: Σε αυτήν τη περίπτωση, το κλάσμα μπορεί να παρουσιαστεί ως μέρος μιας επιφάνειας ενός γεωμετρικού σχήματος, που είναι χωρισμένη σε ομοιόμορφα τμήματα ή ως μέρος ενός συνόλου αντικειμένων. β) Το κλάσμα ως μέτρο: Η αριθμητική γραμμή εκφράζει την έννοια του αριθμού ως μέτρο, δηλαδή ως απόσταση (Lamon, 1999). Το κλάσμα μπορεί να παρουσιαστεί ως ένα σημείο πάνω στην αριθμητική γραμμή μεταξύ δύο ακεραίων. Αυτό είναι μια δεξιότητα πολύ χρήσιμη για την εννοιολογική κατανόηση των κλασμάτων παρόλο που είναι αρκετά αφηρημένη. Η Ni (2002) επισημαίνει ότι πάνω στην αριθμητική γραμμή μπορούν να αναπαρασταθούν θεμελιώδεις έννοιες των κλασματικών

αριθμών, όπως για παράδειγμα , η πυκνότητα, η διαδοχικότητα, η μοναδικότητα και το άπειρο των κλασματικών αριθμών. Η μονάδα μέτρησης της αριθμητικής γραμμής, μπορεί να διαιρείται συνεχώς σε μικρότερες μονάδες, παρουσιάζοντας διαφορετικά ονόματα κλασμάτων. Όταν διαφορετικές μονάδες καλύπτουν την ίδια απόσταση, τότε έχουμε ισοδυναμία κλαμάτων. Δηλαδή η αριθμητική γραμμή επιλύει το πρόβλημα των ενδιάμεσων αριθμών αφού αναπαριστά το κλάσμα που βρίσκεται ανάμεσα στα δύο αρχικά κλάσματα. γ) Το κλάσμα ως διαίρεση: Όσον αφορά τη διάσταση κλάσματος ως πηλίκου, το κλάσμα μπορεί να θεωρηθεί ως αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμητή διά του παρονομαστή. δ) Το κλάσμα ως πολλαπλασιαστής: Το κλάσμα ως πολλαπλασιαστής σημαίνει ότι για το γινόμενο 4Χ 3/5 ο πολλαπλασιασμός 4Χ3 προηγείται της διαίρεσης με το 5. Το γινόμενο των κλασμάτων σε αντίθεση με το γινόμενο ακεραίων μπορεί να δίνει αποτέλεσμα μικρότερο από τους παράγοντες που πολλαπλασιάζονται. ΣΧΗΜΑΤΑ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα νοητικά σχήματα που διαθέτει ένας εκπαιδευόμενος σχετικά με την έννοια του ρητού βρίσκονται στη βάση της γνώσης που ενεργοποιεί για την επίλυση των σχετικών προβλημάτων. Τα σχήματα, δηλαδή, είναι νοητικές κατασκευές που δημιουργούνται από την ανάγκη ενός ατόμου να λειτουργήσει σε ένα περιβάλλον, χρησιμοποιώντας εκείνα τα στοιχεία από τη γνώση του τα οποία είναι κατάλληλα για τις συγκεκριμένες συνθήκες. Για τους ρητούς αριθμούς μπορούμε να διακρίνουμε τα πέντε παρακάτω σχήματα:  Μέρος-όλου  Πηλίκο  Λόγος  Τελεστής  Μέτρηση  Το σχήμα μέρος-όλου Η αντίληψη μέρος-όλου θεωρεί τον ρητό αριθμό ως ολότητα που συντίθεται από ένα συγκεκριμένο αριθμό διακριτών μερών. Για το κλάσμα α/β, το όλο χωρίζεται σε β κομμάτια, κάθε κομμάτι συμβολίζεται με 1/β. Το α/β αναπαριστά τα α κομμάτια από τα β. Το «όλο» μπορεί να είναι μια συνεχής ποσότητα (σχήμα 1) όπως οι πίτσες, οι τούρτες που δεν είναι χωρισμένες σε κομμάτια, διάφορα γεωμετρικά σχήματα κτλ. Μπορεί να είναι επίσης ένα σύνολο από διακριτές ποσότητες (σχήμα 2) όπως τα διάφορα αντικείμενα, τα άτομα, κτλ.

Προφανώς οι δύο καταστάσεις των συνεχών και των διακριτών ποσοτήτων παρουσιάζουν διαφορές. Στις διακριτές ποσότητες χωρίζουμε ή είναι χωρισμένο το αντικείμενο σε ίσα κομμάτια από τα οποία παίρνουμε μερικά. Στις διακριτές ποσότητες υπάρχει πάντοτε μια μονάδα αλλά τα αντικείμενα δεν είναι σίγουρο αν είναι οργανωμένα σε τόσες ισοδύναμες ομάδες όσες λεει ο παρονομαστής του κλάσματος. Αν δεν είναι χωρισμένα, όπως η παραπάνω περίπτωση, τότε θα πρέπει να τα χωρίσουμε. Τελικά το αποτέλεσμα που βρίσκουμε στις διακριτές ποσότητες, όπως παραπάνω το 3/8 του 40, δηλαδή το 15, είναι ένας αριθμός. Το πλήθος του αριθμού αυτού (15) έχει λόγο με το αρχικό σύνολο (40) το κλάσμα που έχουμε (15/40=3/8). Η μορφή αυτή είναι περισσότερο το σχήμα του λόγου που θα δούμε στη συνέχεια. Η διδασκαλία δεν πρέπει να δώσει ιδιαίτερη έμφαση σε παραδείγματα με συνεχείς ή διακριτές ποσότητες, όπως κάνει η κλασική διδασκαλία που δίνει έμφαση μόνο στις συνεχείς ποσότητες. Πρέπει να δώσουμε παραδείγματα και από συνεχείς και από διακριτές καταστάσεις και να μεταβούμε ομαλά με τους μαθητές από την μια κατάσταση στην άλλη. Το σχήμα μέρος-όλου προσφέρεται για γνήσια κλάματα (κλάσματα <1) αλλά δεν προσφέρεται για καταχρηστικά κλάσματα (κλάσματα >1). Το σχήμα αυτό αν και είναι θεμελιακό και απλό για τον αρχάριο μαθητή εντούτοις επιδέχεται αρκετή κριτική. Υποστηρίζεται ότι καλλιεργεί στο μαθητευόμενο μια περιορισμένη αντίληψη για το δεκαδικό αριθμό και ευθύνεται για την αδυναμία των εκπαιδευόμενων να δουν το κλάσμα ως αριθμό. Για παράδειγμα το 2/3, το θεωρούν περισσότερο σαν 2 από τα 3 μέρη, παρά σαν έναν αριθμό μικρότερο του 1. Υποστηρίζεται επίσης ότι το μοντέλο αυτό κάνει περισσότερο επίκληση αντικειμένων παρά αριθμών στη σκέψη του μαθητευόμενου.

 Το σχήμα πηλίκο Το σχήμα του ρητού ως πηλίκο διαίρεσης (α/β) θεωρεί το ρητό ως διαίρεση α πραγμάτων σε β ίσα μέρη. Για παράδειγμα, έχουμε να μοιράσουμε, δίκαια, τρεις σοκολάτες σε επτά άτομα. Ο πρακτικός τρόπος με τον οποίο μπορούμε να ενεργήσουμε σε αυτό το πρόβλημα δεν είναι προφανής. Ένας τρόπος είναι να τοποθετήσουμε τις τρεις σοκολάτες τη μια δίπλα στην άλλη, να χαράξουμε επτά ίσα κομμάτια στην πλευρά της μιας και να χωρίσουμε με το μαχαίρι ταυτόχρονα τις τρεις σοκολάτες σε επτά μέρη (σχήμα 3).

Τι βλέπουμε λοιπόν εδώ, πρώτον, ότι το σύμβολο 3/7 μπορεί να σημαίνει «διαιρώ 3 μονάδες με το 7» και δεύτερον, ότι το αποτέλεσμα αυτής της διαίρεσης είναι «τρία έβδομα της μονάδας». Έτσι το σύμβολο 3/7 αναπαριστά ταυτόχρονα μια οδηγία να εκτελέσω μια πράξη και το αποτέλεσμα της πράξης. Πολύ συχνά χρησιμοποιούμε αυτό το σχήμα της διαίρεσης του κλάσματος α/β «το α διαιρείται με το β» όταν χειριζόμαστε τα κλάσματα με κομπιουτεράκι. Χτυπώντας α : β εκφράζουμε το κλάσμα ως δεκαδικό. Στο σχήμα μέρος-όλου χρησιμοποιούμε τον ίδιο συμβολισμό α/β με το σχήμα του πηλίκου. Στις καταστάσεις του πηλίκου όμως τα α δεν αναπαριστά τα μέρη ενός όλου αλλά την ποσότητα που θα διαιρεθεί ισομερώς, το β αναπαριστά τον αριθμό των μερών της διαίρεσης. Επίσης τα α και β αναπαριστούν διαφορετικά είδη πραγμάτων και δεν υπάρχει ο περιορισμός ώστε α < β.

 Το σχήμα λόγος Σε αυτήν την περίπτωση ο ρητός ως λόγος εκφράζει τη σχέση δύο ποσοτήτων, συγκρίνονται δηλαδή μεταξύ τους τα μεγέθη δύο ποσοτήτων. Άρα στο σχήμα του λόγου δεν υπάρχει μια διαμέριση μιας ποσότητας ή ενός συνόλου αντικειμένων όπως συνέβαινε στα δύο προηγούμενα σχήματα. Παράδειγμα Σε μια τάξη Α υπάρχουν 8 αγόρια και 12 κορίτσια και σε μια τάξη Β υπάρχουν 6 αγόρια και 8 κορίτσια. Σε πια τάξη υπάρχουν αναλογικά περισσότερα αγόρια στην Α ή στην Β. Μπορούμε να συγκρίνουμε τους λόγους αγόρια / κορίτσια σε κάθε τάξη. Να συγκρίνουμε δηλαδή τους λόγους: 8 αγόρια / 12 κορίτσια και 6 αγόρια / 8 κορίτσια (8/12=2/3=0,66 και 6/8=3/4=0,75). Οι λόγοι αυτοί είναι εξωτερικοί λόγοι (rate), συγκρίνουμε δηλαδή μεταξύ τους τους δύο διαφορετικούς χώρους μέτρησης (αγόρια, κορίτσια).  Το σχήμα τελεστής Ο ρητός ως τελεστής λειτουργεί ως μια μηχανή που μετατρέπει μια ποσότητα σε μια άλλη. Λειτουργεί δηλαδή ως μια συνάρτηση η οποία εφαρμόζεται σε κάποιο αριθμό, σύνολο ή αντικείμενο. Παράδειγμα Ένα σπίτι έχει ύψος 8 μέτρα σε δύο μήνες το ύψος του έγινε 12 μέτρα. Πόσες φορές αυξήθηκε το ύψος του σπιτιού; Το ύψος του σπιτιού αυξήθηκε κατά 12/8 φορές, δηλαδή, 12/8=3/2=1,5 φορές. Παρατηρούμε ότι το σχήμα του τελεστή μοιάζει πολύ με το σχήμα του λόγου. Το σχήμα όμως του τελεστή θεωρεί τον ρητό α/β ως μια οντότητα και όχι ένα διατεταγμένο ζεύγος αριθμών. Ο ρητός ως τελεστής μπορεί να παίξει το ρόλο ενός αυτόνομου μηχανισμού του οποίου η λειτουργία είναι να μετασχηματίζει. Στο παραπάνω παράδειγμα το ύψος 8 μέτρα όταν ενεργεί επάνω του ο τελεστής 3/2, πραγματοποιούνται δύο λειτουργίες: Το 8 πολλαπλασιάζεται με

το 3, δηλαδή, μεγεθύνεται 3 φορές και διαιρείται με το 2 δηλαδή σμικραίνει 2 φορές. Πραγματοποιείται δηλαδή μια μεγέθυνση και μια σμίκρυνση χωρίς να έχει σημασία ποιος μετασχηματισμός πραγματοποιείται πρώτος  Το σχήμα μέτρηση Η θεώρηση του ρητού α/β ως σημείο πάνω σε έναν άξονα ή ως μέτρηση προκύπτει από την επανάληψη του μοναδιαίου κλάσματος 1/β για τον καθορισμό μιας απόστασης. Δημιουργείτε μια συμβολική αναπαράσταση του ρητού πάνω στην ευθεία. Στην ευθεία αυτή τοποθετούμε αυθαίρετα το σημείο μηδέν και τη χωρίζουμε σε μοναδιαία τμήματα, κάθε μοναδιαίο τμήμα το χωρίζουμε σε β κομμάτια. Παρατηρούμε ότι και εδώ έχουμε τη δραστηριότητα του σχήματος μέρος-όλου χωρίζω και παίρνω. Πριν από αυτό όμως θα πρέπει να καθορίσουμε τη μονάδα αναφοράς, αυτή καθορίζεται αυθαίρετα. Παράδειγμα Τοποθετείστε το κλάσμα 4/7 επάνω στον άξονα.

Τα διάφορα σχήματα που αναλύσαμε παραπάνω παρά το γεγονός ότι είναι μαθηματικά και εννοιολογικά ανεξάρτητες κατασκευές , συνδέονται αρκετά μεταξύ τους. Υπάρχει ένα κοινό πλαίσιο που συνδέει όλες αυτές τις διαφορετικές καταστάσεις. Το κοινό αυτό πλαίσιο βασίζεται σε τρεις έννοιες: ♦ Η έννοια της ίσης διαμέρισης ♦ Η έννοια της μονάδας ♦ Η έννοια της ποσότητας

Η έννοια της διαμέρισης είναι πολύ σημαντική για τη συγκρότηση της έννοιας των ρητών, είναι τόσο σημαντική όσο είναι η απαρίθμηση για τους φυσικούς αριθμούς. Η έννοια της μονάδας μεταβάλλεται ανάλογα το σχήμα του ρητού στο οποίο βρισκόμαστε. Ο χειρισμός της έννοιας αυτής είναι επίσης καθοριστικός για την κατανόηση των ρητών αριθμών. Οι ρητοί αριθμοί, όπως και οι φυσικοί, αναπαριστούν ποσότητες. Πολλές φορές η έλλειψη της ικανότητας των εκπαιδευόμενων να δουν τους ρητούς αριθμούς ως αναπαραστάσεις ποσοτήτων δημιουργεί λάθη και εσφαλμένες αντιλήψεις. Η έννοια της ποσότητας λοιπόν, μπορεί να βοηθήσει στην καλύτερη κατανόηση των ρητών αριθμών.ης ίσης διαμέρισης

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:NIKOΣ ΚΑΡΑΝΤΑΝΗΣ,ΣΙΜΟΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ,ΜΙΧΑΛΗΣ ΚΑΛΟΥΤΑΣ,ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΝΤΑΓΚΑΣ

Τα κλάσματα στην Αρχαία Ελλάδα Τι έμαθαν οι Αρχαίοι Έλληνες από τους Αιγύπτιους για τα κλάσματα Η ιστορική εξέλιξη της έννοιας του κλάσματος περιλαμβάνει πολλά στάδια που διαφοροποιούνται τόσο από το πεδίο εφαρμογών της, όσο και από την εννοιολογική υπόσταση της (θεωρητική ή επιστημολογική). Οι προϊστορικοί λαοί είχαν ανακαλύψει την έννοια του αριθμού και τις προϋποθέσεις των υπολογισμών για την εφεύρεση συστημάτων αρίθμησης, αλλά δεν υπάρχουν στοιχεία ότι είχαν αναπτύξει την έννοια του κλασματικού αριθμού. Αρχικά σύμβολα που υποδηλώνουν πρωταρχικές χρήσεις της έννοιας του κλάσματος έχουν αποκρυπτογραφηθεί σε πλάκες, τις λεγόμενες πρωτο-ελαμιτικές (Μεσοποταμία, 3000 π.Χ. Περίπου).Μια εξερεύνηση των πρωτο-Σουμεριακών κειμένων του Uruk (γύρω στα τέλη του μισού της τέταρτης χιλιετίας με αρχή της τρίτης χιλιετίας π.Χ.) είναι ως επί το πλείστον λογαριασμοί τροφίμων, υφασμάτων, αντικειμένων που παραλαμβάνονται, αποθηκεύονται ή διανέμονται τότε. Σε Πίνακες Συστημάτων μέτρησης εμφανίζονται υποδιαιρέσεις που θα μπορούσαμε να τις θεωρήσουμε ως κλάσματα και που σήμερα αντιστοιχούν στις κλασματικές μονάδες. Αιγύπτιοι Ιστορικά στοιχεία χρονολογούνται από το 1800-1300 π.Χ., αν και η οικοδόμησηπυραμίδων, τον 27ο αιώνα π.Χ., απαιτούσε εκτεταμένες γνώσεις

των αναλογιών και συνεπώς η χρήση των κλασμάτων ήταν απαραίτητη. Πολλοί ερευνητές εχουν ασχοληθεί με τα Αιγυπτιακά εναδικά κλάσματα. Οι απόψεις διίστανται στο κατά πόσο τα κλάσματα που αναγνωρίζονται, τα ονομαζόμενα “quantiemes” (Caveing, 1992) είχαν τον ίδιο εννοιολογικό χαρακτήρα με τους αριθμους που εμεις σημερα ονομαζουμε κλασματα.Τα χρησιμοποιούσαν στις καθημερινές τους συναλλαγές και ο τρόπος που τα ερμήνευαν μας θυμίζει την ερμηνεία του κλάσματος ως μέρους μιας μονάδας. Πιο συγκεκριμένα οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν τα εναδικά κλάσματα, τα 2/3 και ¾ (όπου τα παρίστανε ένα συμβολο που έμοιαζε με ανοιχτό στόμα), , το οποιο σημαινε το η-μερίδιο ,"το μέροσ", και τα μέρη γράφτηκαν με αυτό το κλασματικό solidus, Ι.ε. ο αριθμητής 1, και ο θετικός παρονομαστής κατωτέρω.Τα ειδικά σύμβολα χρησιμοποιήθηκαν για το 1/2 και για τα μέρη δύο μη-μονάδων, 2/3 (χρησιμοποιημένος συχνά) και 3/4 (χρησιμοποιημένος λιγότερο συχνά).Επιπροσθετα, ν ηταν το ιερογλυφικό το οποιο χρησιμοποιούσαν ώστε να μπορούν να εκφράσουν ποσότητες τις οποίες θα μπορούσαμε σήμερα να ερμηνεύσουμε ως κοινά κλάσματα. Επιπλέον, χρησιμοποιούσαν κάποια συγκεκριμένα σύμβολα για τις αντίστοιχες σύγχρονες κλασματικές μονάδες 21, 31, 41 και για το κλάσμα 2.Παρ'όλα αυτα σήμερα,σπάνια χρησιμοποιούμε στην καθημερινή ζωή άλλα κλάσματα εκτός από το 21, το 41και το 43, καθώς και την έκφραση «επί τοις εκατό». Το ενδιαφέρον είναι ότι στις συναλλαγές τους χρησιμοποιούσαν όλα τα κλάσματα τα οποία όμως συμβόλιζαν ως αθροίσματα κλασματικών μονάδων και του κλάσματος 32. Για παράδειγμα η αριθμητική αξία του σύγχρονου κλάσματος 53 για έναν αρχαίο Αιγύπτιο ήταν το άθροισμα των

κλασματικών μονάδων 31, 151, 51 (δηλαδή 53= 31+151+51) όπως προκύπτει από αναφορές σε αρχαία κείμενα. Σ’ αυτό θα μπορούσε κάποιος να πει ότι οι Αιγύπτιοι θα μπορούσαν ίσως να είχαν σκεφτεί έναν συντομότερο τρόπο να γράψουν π.χ. το 51+51+51 χρησιμοποιώντας κάτι σαν τους δικούς μας αριθμητές και παρονομαστές.

- Παρατηρούμε δηλαδή ότι η παράθεση (το άθροισμα) των εναδικών κλασμάτων θα μπορούσε να είναι εννοιολογικά μια πρώτη έκφραση του κοινού κλάσματος, παρά το γεγονός ότι το ίδιο τους ήταν άγνωστο όπως αναφέρει ο Guillemot. Γενικα μπορουμε να πουμε οτι τα κλασματα εχουν τις ρίζες τους στην αρχαία Αίγυπτο και τη Βαβυλώνα, αλλά η ταχύτατα ανάπτυξή τους έγινε στην αρχαία Ελλάδα. Σχετικά τώρα με την ύπαρξη πράξεων ανάμεσα στα εναδικά Αιγυπτιακά κλάσματα, οι ερευνητές που προσπάθησαν να διερευνήσουν το θέμα αυτό καταφεύγουν σε λογιστικά κείμενα, σε πίνακες μέτρησης και σε πηγές όπως π. χ. ο Πάπυρος του Rhind,ή αλλιώς πάπυρος του Αχμή επαιξε πολύ σημαντικό ρόλο στην άνθηση και το χαρακτήρα της επιστήμης.Το πρόβλημα 25 στον πάπυρο αυτό,χρησιμοποιεί τη μέθοδο της ψεύτικης θέσης για να λύσει το πρόβλημα "μια ποσότητα και κατά το ήμισυ προστιθέμενα μαζί γίνοντα 16 του ποια είναι η ποσότητα;σε σύγχρονο αλγεβρικός σημείωση, αυτό που είναι Χ εάν Χ+ ½Χ= 16).Τρανταχτό είναι και το παράδειγμα των λεγόμενων τεκμηρίων,δηλαδή κειμένων που βρέθηκαν σε πάπυρους, όστρακα, πέτρες και ξύλα είναι τεράστιας σημασίας γιατί μας δίνουν πληροφορίες όπως αυτό της πέτρας του Παλέρμου. Πρόκειται για ένα κομμάτι μαύρου βασάλτη και βρίσκεται στο μουσείο του Παλέρμο. Πάνω στην Πέτρα έχει χαραχθεί ένα αντίγραφο των πρώιμων δυναστειακών χρονικών και μπορεί κανείς να παρατηρήσει την πιο όψιμη εξέλιξη του γραμμικού μετρικού συστήματος. Γενικότερα,η χρήση κλασμάτων, καθώς και η ιστορία των μαθηματικών δεν πρέπει να διαχωρίζεται από τον πολιτισμό και την αρχαία ιστορία τόσο της Αιγύπτου όσο και της Ελλάδας.

-Είναι βέβαιο ότι οι Έλληνες διδάχθηκαν από τους Αιγυπτίους τον πολλαπλασιασμό τους και τον λογισμό με κλασματικές μονάδες, τις οποίες στην συνέχεια ανέπτυξαν παραπέρα, όπως αποδεικνύεται από τον πάπυρο Akhmîm της ελληνιστικής περιόδου. Τα μαθηματικά όμως δεν ταυτίζονται με τους υπολογισμούς και οι περίπλοκοι υπολογισμοί με κλάσματα που χαρακτηρίζουν τα αιγυπτιακά μαθηματικά δεν μπορούν να αποτελέσουν τη βάση της ανώτερης άλγεβρας. Βαβυλώνιοι Παράλληλα με τους αρχαίους Αιγυπτίους, οι Βαβυλώνιοι είχαν, όπως θα δούμε, ένα θαυμάσιο συμβολισμό για τους ακέραιους αριθμούς και για τα κλάσματα, ο οποίος τους επέτρεπε να λογαριάζουν με κλάσματα τόσο εύκολα όσο και με ακεραίους. Αυτό τους έδωσε τη δυνατότητα να αναπτύξουν σε υψηλό βαθμό την άλγεβρα. Γνώριζαν πώς να επιλύουν συστήματα πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων εξισώσεων με δύο ή με περισσότερους αγνώστους. Αυτό θα ήταν αδύνατο για τους Αιγυπτίους, γιατί ο περίπλοκος κλασματικός λογισμός τους καθιστούσε κάθε διαίρεση, κάθε αφαίρεση

κλασμάτων, ένα δύσκολο πρόβλημα. Οι Βαβυλώνιοι ανέπτυξαν ένα σύστημα αρίθμησης με αξία θέσης και βάση το εξήντα. Οι αριθμοί γράφονταν ως αθροίσματα δυνάμεων του εξήντα. Το εξηκονταδικό σύστημα οι σημίτες Βαβυλώνιοι το παρέλαβαν από τους προγενέστερους τους Σουμέριους που κυριαρχούσαν στη νότια Μεσοποταμία κατά την τρίτη χιλιετία π.Χ. (και οι οποίοι επινόησαν επίσης την σφηνοειδή γραφή). Ειδικότερα οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν σύνθετους πίνακες για τον πολλαπλασιασμό ακίων αλλά και για να αναπαριστούν κοινά κλάσματα ως εξηκονταδικά. Για παράδειγμα το 21 ισοδυναμεί με το 30, το 31 με το 20, το 41 με το 15 και το 61 με το 10, π.χ. το 6321 =1, 3; 30 και παρόμοια 11207 = 1; 3, 30. Με τη βοήθεια των πινάκων που αναφέραμε προηγουμένως, για να γράψουμε, για παράδειγμα, το 83 σε εξηκονταδική μορφή αρκεί να εντοπίσουμε καταρχήν στον πίνακα των αντιστρόφων το 1 : 8 = 0; 7, 30 (όπου το σύμβολο του ερωτηματικού ; το χρησιμοποιούμε για το ρόλο που παίζει σήμερα το δεκαδικό σημείο) και κατόπιν, στον πίνακα πολλαπλασιασμού, το γινόμενο αυτού του εξαγόμενου με το 3 που είναι 0; 22, 30. Η ερμηνεία αυτή επιβεβαιώνεται πλήρως από τα μαθηματικά κείμενα καθώς κάθε φορά που πρόκειται να εκτελεστεί μια διαίρεση a : b στα κείμενα αυτά, κάποιος υπαγορεύει (όχι με τη μορφή γενικού τύπου, αλλά για κατονομασμένους αριθμούς): υπολόγισε τον αντίστροφο b-1 και πολλαπλασίασέ τον επί a. Φαίνεται επομένως, ότι οι σουμερο-βαβυλωνιακοί υπολογιστικοί πίνακες ήταν διατεταγμένοι με χρηστικό τρόπο. Οι τέσσερις πράξεις της αριθμητικής των ρητών αριθμών μπορούν να εκτελούνται γρήγορα χωρίς περαιτέρω σκέψη. Όταν η διαίρεση άφηνε υπόλοιπο, χρησιμοποιούνταν προσεγγίσεις. Όπως είδαμε, αντίθετα με τα Αιγυπτιακά εναδικά, τα εξηκονταδικά κλάσματα είχαν μορφή ακεραίου και προέκυψαν αρκετά φυσικά καθώς υποδιαιρούσαν τον χρόνο σε 360 μέρες, την ώρα σε 60΄ και το 1΄σε 60΄΄ (Burton, 1991). Οι ακέραιες μονάδες σ’ αυτό το εξηκονταδικό σύστημα δεν διαφοροποιούνται στο συμβολισμό τους από τις υποδιαιρέσεις τους. Η τεράστια υπεροχή των εξηκονταδικών κλασμάτων στους υπολογισμούς είναι η αιτία για την αποδοχή τους από τους αστρονόμους. Το σύστημα μέτρησης του χρόνου στην εποχή μας είναι απομεινάρι του Βαβυλωνιακού εξηκονταδικού συστήματος. Τι ξέρουμε για τη χρήση των κλασμάτων από τους Αρχαίους Έλληνες. Αρχικά,οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποιούσαν γράμματα αντί για αριθμούς, κατά τέτοιο τρόπο ώστε να μπορούν να κάνουν πολύπλοκους υπολογισμούς με απόλυτη ακρίβεια. Τα ψηφία 1, 2, 3, ... που συνηθίζουμε σήμερα ακόμα δεν είχαν ανακαλυφτεί, αφού πρώτοι τα εφάρμοσαν οι μεταγενέστεροι Άραβες Η πλέον αρχαία αναφορά σε κλάσματα στην Ελληνική λογοτεχνία είναι στην Ομήρου Ιλιάδα 5 «Δύο μέρη της νύχτας πέρασαν. Το τρίτο μένει» -Οι λεγόμενες ελληνικές και αιγυπτιακές μέθοδοι για τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις και οι συγκεφαλαιώσεις και διασπάσεις των κλασμάτων. Οι «συγκεφαλαιώσεις» αναφέρονται προφανώς στην πρόσθεση των κλασμάτων, όσο για το τι σημαίνουν οι «διαιρέσεις» των κλασμάτων μπορούμε να το

μάθουμε από τον πάπυρο του Akhmîm, όπου κλάσματα nm διασπώνται σε κλασματικές μονάδες για n = 3, 4, …, 20 και για διάφορες τιμές του m, όπως για παράδειγμα: «Το δέκατο έβδομο μέρος του 3 είναι 121 + 171 + 511 + 681» [των Γ το ιζ΄ ιβ΄ ιζ΄ να΄ ξη΄. (αναφορά van der Waerden σελ. 46 στον J. Baillet)] Πριν από τον Αρχιμήδη, τα κλάσματα απουσίαζαν παντελώς από τα επίσημα ελληνικά μαθηματικά χωρίς ωστόσο αυτό να σημαίνει ότι ήταν άγνωστα αλλά μάλλον θα λέγαμε ότι ήθελαν να τα αγνοούν διότι σύμφωνα με τον Πλάτωνα, η μονάδα ήταν αδιαίρετη και όπως αναφέρει ο ίδιος «οι δεινοί περί αυτά» ήταν ριζικά αντίθετοι με το να την τέμνουν . Τα κλάσματα τα περιφρονούσαν και η χρήση τους αφηνόταν στους εμπόρους. Όπως έλεγαν, τα ορατά πράγματα είναι διαιρετά αλλά οι μαθηματικές μονάδες όχι. Αντί να εργάζονται με κλάσματα εργάζονταν με λόγους ακεραίων. Στην Αρχαία Ελλάδα συμβόλιζαν τους αριθμούς με την ιωνική αλφάβητο έχοντας ως βάση το 10. Από τον 5ο αιώνα π.Χ. με τον Πυθαγόρα και τη Σχολή που ανέπτυξε, η έννοια του αριθμού παίρνει μυστικιστική υπόσταση. «Ο αριθμός είναι η ουσία των όντων και σαν τέτοιος έχει μαγική δύναμη». Ο Φιλόλαος (450 π.Χ.) έγραφε: «Το Ένα είναι η αρχή του παντός», έδινε δε ιδιαίτερη σπουδαιότητα στον αριθμό 10. Τον 4ο αιώνα π.Χ. επικρατεί η αντίληψη του Πλάτωνα για το αδιαίρετο της μονάδας που έρχεται σε σύγκρουση με την έννοια του κλάσματος. Με τον Αριστοτέλη θεσμοθετείται η αντίληψη της έννοιας της μονάδας ως μονάδας μέτρησης. Σε νεώτερα μαθηματικά έργα όπως τα Στοιχεία του Ευκλείδη (300 π.Χ.), που αποτελούν την κορύφωση των καθαρών θεωρητικών μαθηματικών ως αριθμοί αναφέρονται μόνο οι ακέραιοι. Πώς διέκριναν την αριθμητική από τη λογιστική οι Αρχαίοι Έλληνες. Στο σημείο αυτό πρέπει να κάνουμε μια διάκριση μεταξύ των εννοιών “Αριθμητική” και “Λογιστική”. Ο S. Shapiro αναφέρει ότι η διάκριση μεταξύ Αριθμητικής και Λογιστικής εμφανίζεται και σε πολλές άλλες αρχαίες πηγές. Έτσι διαχωρίζεται η θεωρία αριθμών, που λέγεται “Αριθμητική”, από τη θεωρία του υπολογισμού (λογαριασμού), που λέγεται “Λογιστική”. Οι περισσότεροι συγγραφείς θεωρούν την τελευταία πρακτικό κλάδο, που σχετίζεται με μετρήσεις και εμπορικούς λογαριασμούς,(με αυτή ασχολούνταν κυρίως οι έμποροι και οι δούλοι). Ο S. Shapiro θεωρεί ότι αυτή η διάκριση μεταξύ αριθμητικής και λογιστικής συνάδει με την γενικότερη φιλοσοφία του Πλάτωνα, δεδομένης και της αντίθεσης μεταξύ του “κόσμου του Είναι” και του “κόσμου του Γίγνεσθαι”. Η αριθμητική ασχολείται με το Είναι, ενώ η λογιστική με το Γίγνεσθαι.Ο Πλάτωνας έλεγε ότι θα πρέπει κανείς να επιδιώκει και την αριθμητική και την λογιστική για το καλό της γνώσης. Μέσω της μελέτης των αριθμών αυτών καθ’ αυτών και των σχέσεων μεταξύ των αριθμών, μπορεί το πνεύμα να συλλάβει τη φύση των αριθμών όπως είναι καθ’ αυτοί. Ωστόσο όμως ο ίδιος ο S. Shapiro δίνει και μία άλλη ερμηνεία λέγοντας ότι ο Πλάτωνας έχει εστιάσει και την αριθμητική και την Λογιστική στον “κόσμο του Είναι”. Η διαφορά έχει να κάνει με τον τρόπο με τον οποίο οι φυσικοί αριθμοί καθ’ αυτοί μπορούν να μελετηθούν. Η αριθμητική «ασχολείται με τα ζυγά και τα μονά, με αναφορές στο πόσο καθ’ ένα από αυτά τυχαίνει να είναι»

. Εάν «κανείς γίνει τέλειος στην αριθμητική τέχνη», τότε «ξέρει επίσης όλα τα σχετικά με τους αριθμούς» Η Λογιστική του Πλάτωνα διαφέρει από την αριθμητική «στο βαθμό που μελετά τα ζυγά και τα μονά με σεβασμό στο πλήθος που περιέχουν και καθ’ αυτό και μεταξύ τους». Επομένως η αριθμητική ασχολείται με τους φυσικούς αριθμούς ξεχωριστά και η λογιστική ασχολείται με τις σχέσεις μεταξύ των αριθμών. Για τη λογιστική, ο Πλάτωνας προτείνει αρχές για το πώς οι φυσικοί αριθμοί “γεννιούνται” από άλλους φυσικούς αριθμούς. Ο Jacob Klein αναρωτιέται, τι ακριβώς μελετά η αριθμητική του Πλάτωνα, σε αντίθεση με την λογιστική του. Προφανώς, η τέχνη του να μετράει κανείς – απαρίθμηση αριθμών – είναι κατεξοχήν αριθμητική. Εντούτοις «η πρόσθεση καθώς επίσης και η αφαίρεση είναι μόνο μια επέκταση της απαρίθμησης». Επιπλέον «η μέτρηση καθ’ αυτή ήδη προϋποθέτει μια συνεχή σχέση και διάκριση των απαριθμημένων πραγμάτων όπως επίσης και των αριθμών». Στη συνέχεια ο ίδιος αναφέρει ότι η θεωρητική λογιστική «ανυψώνει σε μια σαφή επιστήμη αυτήν τη γνώση των σχέσεων μεταξύ των αριθμών η οποία ........προηγείται και πράγματι πρέπει να προηγείται όλων των υπολογισμών». Έπειτα προσωρινά καταλήγει ότι η λογιστική ασχολείται με λόγους μεταξύ καθαρών μονάδων, ενώ η αριθμητική ασχολείται με απαρίθμηση, πρόσθεση και αφαίρεση. Η εξέλιξη της έννοιας και της γραφής του κλάσματος Α)Διόφαντος Ο Διόφαντος συνεισφερε πολύ στην ανάπτυξη της αριθμητικής, καθιέρωσε και τυποποίησε έναν τύπο σύντομου μαθηματικού συμβολισμού για τη γραφή προβλημάτων, για πρώτη φορά σε ευρεία κλίμακα άρχισε να χρησιμοποιεί τα κλάσματα ως πραγματικούς αριθμούς και ασχολήθηκε με την επίλυση εξισώσεων με πολλαπλούς άγνωστους όρους,γι'αυτό το λόγο θεωρείται και πρόδρομος του μαθηματικού συμβολισμού.Ωστόσο ακόμα και με τον Διόφαντο ο ελληνικός μαθηματικός συμβολισμός παρέμεινε βασισμένος στον καθημερινό λόγο και δύσχρηστος με τα σημερινά δεδομένα. Παράλληλα, ο Διόφαντος ασχολήθηκε και ανέπτυξε ιδιαίτερα τις απροσδιόριστες (ή Διοφαντικές) εξισώσεις, δηλαδή εξισώσεις με πολλαπλές ακέραιες λύσεις. Ένα συνηθισμένο πρόβλημα τέτοιου τύπου είναι το πώς μπορούμε να μετατρέψουμε ένα κατοστάρικο σε νομίσματα χρησιμοποιώντας διαφορετικά από αυτά, πενηντάρικα, εικοσάρικα. Το σύγγραμμά του Αριθμητικά, είναι το αρχαιότερο ελληνικό σύγγραμμα άλγεβρας και είναι μια εργασία πάνω στη θεωρία των αριθμών. Από τα αρχικώς δεκατρία βιβλία των Αριθμητικών μόνο έξι έχουν επιβιώσει ως σήμερα. Κατά τον Μεσαίωνα η γνώση των ευρημάτων του Διόφαντου διατηρήθηκε στο Βυζαντινή Αυτοκρατορία και στον αραβικό κόσμο, μέσω μεταφράσεων από τα ελληνικά. Β)Ινδοί Οι Ινδοί χρησιμοποίησαν κάποιους ειδικούς κανόνες οι οποίοι προϋπόθεταν ότι ο αριθμός γραφόταν με δεκαδική σημειογραφία, με την πρέπουσα σπουδαιότητα αποδιδόμενη στη θέση του μηδενός και της υποδιαστολής. Η

χρήση του δεκαδικού συστήματος στάθηκε η προϋπόθεση όλων των προόδων που επακολούθησαν στα μαθηματικά.Αυτή η θεμελιώδης ανακάλυψη δόθηκε στον κόσμο από τους Ινδούς αλλά δεν είναι γνωστό ποια χρονολογία. Υποτέθηκε ότι η αρχή της δεκαδικής σημειογραφίας θα μπορούσε να έχει προέλθει από τη Βαβυλώνα, Αλλά δεν θα πρέπει να απορριφθεί η υπόθεση ότι είχε ίσως ξαναεφευρεθεί. Η ιδέα ενός τέτοιου συστήματος μπορούσε να έλθει φυσικά σε καθένα που έχει συνηθίσει, όπως οι Ινδοί, να κάνει ταχυδακτυλουργίες με δυνάμεις του 10. Ο ίδιος ο Αργιαμπχάτα εφεύρε ένα σύστημα στο οποίο οι δυνάμεις του 10 έως το 10 εις την δεκάτη σημειώνονται με μόνο ένα σημείο. Στην αριθμητική, η μέθοδος των τριών ήταν γνωστή, και οι σύνθετες μέθοδοι ονομάζονταν μέθοδος των πέντε, μέθοδος των επτά κ.τ.λ. Επίσης γνωστή ήταν η μέθοδος υπολογισμού του τόκου. Τέλος πιστεύεται ότι οι Ινδοί και κυρίως ο Αργιαμπχάτα ( μαθηματικός ) γνώριζαν τον τρόπο επίλυσης απροσδιορίστων εξισώσεων β΄ βαθμού. Βλέπουμε έτσι, ότι οι Ινδοί αποδείχτηκαν λαμπροί μαθηματικοί και μάλιστα πραγματοποίησαν ιδιαίτερη πρόοδο στην Άλγεβρα. Οι Άραβες επιστήμονες αναγνώρισαν την οφειλή τους στους Ινδούς και μέσω αυτών η ευρωπαϊκή επιστήμη μπόρεσε να ωφεληθεί από τις ανακαλύψεις των Ινδών μαθηματικών. Γ)Φιμπονάτσι Ο Leonardo Fibonacci ήταν πολύ γνωστός μαθηματικός στην εποχή του και χαρακτηρίζεται ως η μεγαλύτερη ιδιοφυία του Μεσαίωνα.Με το θάρρος του, με το πνεύμα συγκριτικής έρευνας και φιλομάθειας κατάφερε να ξεκλειδώσει κάποια από τα εσωτερικά μυστικά της φύσης και να φέρει ένα μέρος από το Φως της Ανατολής στη σκοτεινή και μεσαιωνική Δύση. Ήταν πραγματικά ένας πνευματικά ελκυστικός μαθηματικός που κατόρθωσε να συνδέσει τις θεωρητικές παραδόσεις των Ελλήνων και τις μαθηματικές παραδόσεις των Αράβων, εγκαθιδρύοντάς τους στην Ευρώπη. Τα γενικότερα επιτεύγματά του αναγνωρίσθηκαν –και αναγνωρίζονται- χωρίς αμφισβήτηση.Εκτός από το πολύ σημαντικό γεγονός της σύνθεσης και παρουσίασης των ινδοαραβικών μαθηματικών και τεχνικών στο νέο κοινό της Δύσης,το πιο γνωστό από τα επιτεύγματά του είναι αναμφισβήτητα η ακολουθία στην οποία έχει δοθεί και το όνομά του,'' Η Ακολουθία Φιμπονάτσι'' που εμφανίζεται στα Μαθηματικά των Ινδών και είναι η εξής: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ...(κάθε αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων). Οι υπέροχοι και μυστήριοι αριθμοί Fibonacci είναι και το αριθμητικό σύστημα της φύσης. Εμφανίζονται παντού στη φύση, από τη διάταξη των φύλλων στα φυτά μέχρι το μοτίβο των πετάλων στα λουλούδια, τις πευκοβελόνες, ή τα στρώματα του φλοιού ενός ανανά. Φαίνεται πώς οι αριθμοί Fibonacci σχετίζονται με την ανάπτυξη κάθε ζωντανού οργανισμού, ενός κυττάρου, ενός σπυριού σταριού, μιας κυψέλης μελισσών, ακόμα της ίδιας της ανθρωπότητας. Η ακολουθία Fibonacci και η φύση, τα φυτά δε γνωρίζουν για την ακολουθία Fibonacci, απλά μεγαλώνουν με τον πιο πρόσφορο και αποδοτικό τόπο.Με βαση τα παραπάνω καταλαβαίνουμε πως ο Φιμπονάτσι έπαιξε καταλυτικό ρόλο στην μετέπειτα εξέλιξη των Μαθηματικών. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΔΟΝΤΑ

Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΙΓΥΠΤΟ Το αριθμητικό σύστημα των αρχαίων Αιγυπτίων

Σ΄αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε εκτενώς με τον συμβολισμό των αριθμών, καθώς και με την εκτέλεση των βασικών πράξεων, δηλαδή της πρόσθεσης, του διπλασιασμού, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης.Επομένως:

Ο ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ:

Το αριθμητικό σύστημα των αρχαίων Αιγυπτίων είναι τόσο απλό και πρωτόγονο, που δεν μας παρουσιάζει καμία δυσκολία η μελέτη του. Πρόκειται για ένα καθαρά δεκαδικό σύστημα(τη διαπίστωση αυτή θα την κατανοήσουμε πλήρως στις βασικές πράξεις της πρόσθεσης και του διπλασιασμού).Στα ιερογλυφικά οι αριθμοί συμβολίζονται ως εξής:

Συγκεκριμένα, η παράσταση αριθμών είναι εξίσου εύκολη επειδή το μόνο που χρειάζεται είναι η τοποθέτηση των επιθημητών αριθμών σε μια γραμμή.Για παράδειγμα: ||||||||=8

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ:

Η πρόσθεση και ο διπλασιασμός δεν παρουσιάζουν καμία δυσκολία γιατί το μόνο που χρειάζεται είναι η υπολόγηση των μονάδων, των δεκάδων, των εκατοντάδων, κ.λ.π.Πιο αναλυτικά κάθε φορά που συμπληρώνεται μια δεκάδα, μια εκατοντάδα, κ.λ.π χρειάζεται μόνο η αλλαγή του υπάρχον συμβόλου με αυτό που αντιπροσωπεύει τον αριθμό που θέλουμε να συμβολίσουμε. Π.χ. 9+3=12. Αυτό το αποτέλεσμα στα ιερογλυφικά θα συμβολιζόταν με ένα σύμβολο του 10 (αφού συμπληρώθηκε μια δεκάδα)και με δύο σύμβολα του 1.

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ:

Ο πολλαπλασιασμός σε αντίθεση με τις παραπάνω πράξεις παρουσιάζει μεγάλη ιδιαιτερότητα.Συγκεκριμένα, ο πολλαπλασιασμός 8 Χ 7 με τη μέθοδο των αρχαίων αιγυπτίων γίνεται ως εξής: \ 1

8

\ 2

16

\ 4

32

7

56

Όπως βλέπουμε, έχουμε δύο στήλες. Αρχικά στην αριστερή στήλη γράφουμε πάντα το 1, ενώ στη δεξιά γράφουμε τον πρώτο παράγοντα. Έπειτα, κάτω από το 1 τοποθετούμε το διπλάσιό του , δηλαδή το 2 και κάτω από το 8 το διπλάσιό του 16. Στη συνέχεια, γράφουμε κάτω από το 2 το διπλάσιό του 4 και κάτω από το 16 το διπλάσιό του 32. Προσοχή!δεν μπορούμε να διπλασιάσουμε το 4 επειδή πρέπει να σταματήσουμε πρωτού προκύψει αριθμός ίσος ή μεγαλύτερος του πρώτου παραγόντου, δηλαδή στην περίπτωσή μας του 8.Τέλος, προκειμένου να βρούμε το γινόμενο, πρέπει να σημαδέψουμε στην αριστερή στήλη τους αριθμούς(1,2,4), η πρόσθεση των οποίων μας δίνουν τον δεύτερο παράγοντα, το 7, και στη συνέχεια να προσθέσουμε τους αριθμούς της δεξιάς στήλης που αντιστοιχούν στουν σημαδεμένους αριθμούς της αριστερής στήλης(8,16,32).Αυτό το άθροισμα που θα προκύψει θα είναι το γινόμενο του πολλαπλασιασμού μας(56).

ΔΙΑΙΡΕΣΗ:

Η διαίρεση παρουσιάζει κοινά στοιχεία με τον πολλαπλασιασμό. Συγκεκριμένα, η διαίρεση 1120 : 80 με το τρόπο των αρχαίων Αιγυπτίων γίνεται ως εξής:

i.

80

ii.

160/

320/ 640/ 14

1120

Όπως βλέπουμε, έχουμε πάλι δύο στήλες. Αρχικά, στην αριστερή στήλη ξεκινάμε πάντα με το 1, ενώ στη δεξιά γράφουμε τον διαιρέτη 80. Έπειτα, διπλασιάζουμε το 1 και το αποτέλεσμα το γράφουμε από κάτω του και παρόμοια εκτελούμε με το 80. Αυτή η διαδικασία διπλασιασμού θα συνεχιστεί μέχρι ο τελευταίος αριθμός της δεξιάς στήλης να μην είναι ίσος ή να μην ξεπερνάει τον διαιρετέο 1120. Τέλος, για να βρούμε το πηλίκο, πρέπει να σημαδέψουμε τους αριθμούς της δεξιάς στήλης, η πρόσθεση των οποίων μας δίνει τον διαιρετέο 1120 και να προσθέσουμε τους αριθμούς της αριστερής στήλης που αντιστοιχούν με τους σημαδεμένους αριθμούς της δεξιάς στήλης. Αυτό το άθροισμα που θα προκύψει θα είναι το πηλίκο της διαίρεσης μας.

Τα αιγυπτιακά «κλάσματα»

Τα κλάσματα εισάγονται στην καθημερινή ζωή των Αιγυπτίων για τις διαιρέσεις των οποίων το υπόλοιπο δεν είναι μηδέν. Αρχικά, είναι αναγκαίο να τονίσουμε ότι αυτά τα κλάσματα διαφέρουν κατά πολύ από αυτά που χρησιμοποιούμε σήμερα επειδή οι Αιγύπτιοι, σε αντίθεση με εμάς, χειρίζονταν αποκλειστικά κλάσματα με αριθμητή το 1. Μοναδικές εξαιρέσεις αποτελούσαν τα κλάσματα 2/3 και ¾. Τώρα για τη διευκόλυνσή μας θα ονομάσουμε τα κλάσματα με αριθμητή το 1 εναδικά κλάσματα. Όμως, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι αυτή η περιορισμένη ποικιλία κλασμάτων παρουσίαζε δυσκολίες στην έκφραση κλασμάτων, τα οποία δεν ήταν εναδικά. Σε τέτοιες περιπτώσεις οι Αιγύπτιοι έγραφαν το κλάσμα ως το άθροισμα διαφορετικών εναδικών κλασμάτων.Για παράδειγμα, ο Αιγύπτιος είχε τη δυνατότητα να αποδώσει το 5/6 με 1/3 + ½. Επίσης, θα μπορούσαμε να δείξουμε και την

αναγωγή του 7/24 σε άθροισμα εναδικών κλασμάτων: 7/24 = 4+3/24 = 4/24 + 3/24 = 1/6 +1/8. Αυτά τα παραδείγματα αναγωγής κλασμάτων σε άθροισμα εναδικών κλασμάτων δεν μας βοηθούν να κατανοήσουμε την μέθοδο που χρησιμοποιούσαν ώστε να φτάσουν στο επιθυμητό αποτέλεσμα, αντίθετα μας μπερδεύουν. Έτσι, το μυστήριο που πλανιόταν γύρω από αυτό τον τρόπο αναγωγής έχει προσελκύσει κατά καιρούς το ενδιαφέρον πολλών μαθηματικών, οι οποίοι πραγματοποίησαν διάφορες μελέτες ώστε να φτάσουν στις εναδικές παραστάσεις ενός κλάσματος. Συγκεκριμένα, θα μελετήσουμε την μέθοδο που πρότεινε ο Συλβέστερ και οδηγεί για το κάθε κλάσμα μεταξύ 0 και 1 σε μια μοναδική εναδική παράσταση. Γι΄ αυτό το λόγο θα αναφερθούμε ξανά στο κλάσμα 7/24, αλλά αυτή την φορά με τη βοήθεια της μεθόδου του Συλβέστερ. Αναλυτικά: Αρχικά, διαλέγουμε από το σύνολο των εναδικών κλασμάτων εκείνο που είναι πιο κοντινό και μικρότερο από το δοσμένο κλάσμα. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, το ¼ είναι το κλάσμα που ψάχνουμε, αφού 7/24 = 0.29 , 1/3 = 0.33 , ¼ = 0.25 και 1/5 = 0.20. Στη συνέχεια, αφαιρούμε το κλάσμα που διαλέξαμε, με βάση τον παραπάνω κανόνα, από το δοσμένο. Τέλος, αυτό το κλάσμα που αφαιρέσαμε το μεταφέρουμε αλλάζοντάς του πρόσημο στην άλλη πλευρά της ισότητας, ώστε να σχηματίσει το άθροισμα μαζί το αποτέλεσμα της αφαίρεσής του από το δοσμένο κλάσμα.Συνεπώς, έχουμε: 7/24 ½ , 1/3 , ¼ , 1/5 , 1/6 , 1/7 , ...

7/24 – ¼ = [ (με ομώνυμα) 7/24 – 6/24 ] = 1/24 7/24 = ¼ + 1/24 (το τελικό άθροισμα) Κλείνοντας την ενότητα, θα άξιζε να αναφερθούμε στο συμβολισμό των εναδικών κλασμάτων, που χρησιμοποιείται για να καταστήσουμε πιο εύκολη την παρακολούθηση των διαδικασιών που ακολουθούσαν οι Αιγύπτιοι.Γενικά, το 1 θα παριστάνεται με μία ευθεία γραμμή πάνω από τον αριθμό του παρονομαστή.

Διαιρέσεις με κλάσματα Σ’αυτήν την ενότητα θα προσπαθήσουμε με παραδείγματα να διασαφηνίσουμε το πώς εκτελούσαν οι Αιγύπτιοι τις διαιρέσεις, παρόλο που δεν διέθεταν πλήρες σύστημα κλασμάτων.

1ο Παράδειγμα: 7 : 24

1

24

½

12

¼

6/

1/24

1/

7/24

7

Αναλυτικά: Αρχίζουμε λέγοντας λογάριασε με το 24 μέχρι να φτάσεις το 7. Σ’ αυτό το σημείο πρέπει να αναφέρουμε ότι η διαίρεση κλασμάτων είναι παρόμοια με την απλή διαίρεση, δηλαδή μερικοί από τους αριθμούς που βρίσκονται κάτω από τη στήλη του διαιρέτη 24 πρέπει να μας δίνουν μετά την άθροισή τους τον διαιρετέο 7. Η μόνη διαφορά είναι ότι προκειμένου να σχηματίσουμε το 7 από το 24 πρέπει να υποπολλαπλασιάζουμε αντί να διπλασιάζουμε. Επίσης, άλλη μια διαφορά είναι ότι το ¼ και το 1/24 αναφέρονται στον διαιρέτη 24 κι όχι στο 12 και στο 6 αντίστοιχα. Όλα τα υπόλοιπα στιχεία είναι όμοια με αυτά της απλής διαίρεσης που αναφέραμε στην πρώτη ενότητα.

2ο Παράδειγμα: 19 : 8 Λογάριασε με το 8 ώσπου να βρεις 19

1

8

2

16 /

½

4

¼

2/

1/8

1/

19/8

19

Αναφορά στο βιβλίο « Αχμές, ο γιος του φεγγαριού»

Μελετώντας το βιβλίο « Αχμές, ο γιος του φεγγαριού », ο συγγραφέας Τεύκρος Μιχαηλίδης αναφέρεται στη διαίρεση των Αιγυπτίων σε πολλές περιπτώσεις. Όμως, εμείς θα περιοριστούμε σε μία περίπτωση, που αποτελεί μάλιστα το πρόβλημα 3 του παπύρου Ριντ. Το πρόβλημα: Μια νοικοκυρά θέλει να μοιράσει 6 ψωμιά σε 10 εργάτες.Προτείνει να χωρίσει το κάθε ψωμί σε 10 ίσα μέρη και να πάρει ο κάθε εργάτης το δέκατο μέρος του κάθε ψωμιού(δηλαδή το 1/10). Ο Αχμές αντιπροτείνει να πάρει κάθε εργάτης μισό ψωμί και το δέκατο μέρος από ένα άλλο ψωμί.Πώς έκανε τους υπολογισμούς ο Αχμές; Λύση: Προκειμένου να λύσουμε το πρόβλημα θα χρησιμοποιήσουμε τη διαίρεση με κλάσματα και τη μέθοδο αναγωγής κλασμάτων σε άθροισμα εναδικών κλασμάτων που γνωρίσαμε στις προηγούμενες ενότητες.Συγκεκριμένα: Αφού έχει να μοιράσει 6 ψωμιά σε 10 εργάτες λέμε λογάριασε με το 10 μέχρι να φτάσεις στο 6 (6 : 10 ).

1

10

½

5/

1/10

1/

6/10

6

Τώρα αφού έχουμε βρει το αποτέλεσμά μας 6/10 πρέπει να το μετατρέψουμε σε άθροισμα εναδικών κλασμάτων. Άρα: 6/10 – ½ = [(ομώνυμα) 6/10 – 5/10 ] =1/10 6/10 = 1/2 + 1/10

Ονόματα μαθητριών Κωνσταντίνα Δημάκου Μαριέττα Δρίτσα

TO MATI TOY ΩΡΟΥ

ΜΥΘΟΣ: Σύμφωνα με το μύθο, ο Αιγύπτιος θεός Όσιρις είχε ένα γιό , τον Ώρο.Ο αδελφός του Ώρου ,Σηθ, τον ζήλευε πάρα πολύ και μια μέρα αποφάσισε να σκοτώσει τον Όσιρι.Τότε , ο Ώρος επιτέθηκε στον Σηθ ,θέλωντας να πάρει εκδίκηση για το θάνατο του πατέρα τους.Κατά την διάρκεια της μάχης , ο Ώρος έχασε το μάτι του.Έπειτα,ο θεός Θωθ εμφανίστηκε στον Ώρο ,βοηθώντας τον να αποκαταστήσει την υγεία του ματιού του.Τέλος, ο Ώρος λέγεται πως δώρισε το μάτι του στον νεκρό πατέρα του , φέρνοντας τον πίσω στη ζωή. Το μάτι του Ώρου , από τότε θεωρείται σύμβολο δύναμης,προστασίας και υγείας. Το σχήμα του ματιού του Ώρου είναι ουσιαστικά μια μίξη ενός ανθρώπινου ματιού και ενός γερακιού.Τα επιμίκη βλέφαρα και τα φρύδια αποτελούν μέρος του ανθρώπινου στοιχείου τα οποία παριστάνουν τον θεό Ώρο,ενώ οι προεξοχές που εκτείνοντα στο κάτω μέρος παριστάνουν τα πόδια και την ουρά του γερακιού,από τον αρχαιότερο θεό των Αιγυπτίων Χέρου – Ούρ.Το μάτι του Ώρου διακρίνεται συχνά στα ιερογλυφικά και στα σύγχρονα αιγυπτιακά αγαθά.

ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΜΑΤΙ ΤΟΥ ΩΡΟΥ ΚΑΙ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΕΙΤΑΙ?

Το μάτι του Ώρου χωρίζεται σε 6 τμήματα.

Στα σύμβολα στην ιερατική γραφή για να γράψουμε την εξής ποσότητα : 1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64 σχηματίζουν το μάτι του Ώρου.Παρ’όλα αυτά , αν προσθέσουμε όλα τα κλάσματα καταλαβαίνουμε πως λείπει το 1/64.Το γεγονός αυτό αποδίδεται σε διάφορες θεωρίες ,όμως η επικρατέστερη υποστηρίζει πως το 1/64 που λείπει οφείλεται στο γεγονός ότι η τελειότητα είναι αδύνατη.

Το μάτι του Ώρου σε σχέση με το χεκάτ: Το χεκάτ αποτελεί αρχαία αιγυπτιακή μονάδα μέτρησης του όγκου και χρησιμοποιούνταν τις περισσότερς φορές για την μέτρηση του σιταριού,του ψωμιού και της μπύρας.Είχε υποδιαιρεθεί και σε άλλες υπομονάδες όπως το ρο,το χιν και το τζα. Σταθμά και υπομονάδες μέτρησης του χεκάτ ήταν συνδεδεμένα με τους αριθμούς στο πηλίκο του ματιού του Ώρου και ως ένα ακριβές υπόλοιπο,υπόλοιπο που περιελάμβανε ένα αιγυπτιακό κλάσμα και την μονάδα ρο,διόρθωσε το «λάθος» του ματιού του Ώρου , στρογγυλοποιώντας το. Η μονάδα ρο είναι το 1/320 του χεκάτ και παραθέτεται στον μαθηματικό πάπυρο του Ριντ.Στο βιβλίο «Αχμές ο γιός του φεγγαριού», λύνονται αρκετά προβλήματα σχετικά με την μέτρηση πυραμίδων κλπ χρησιμοποιώντας αυτές τις μονάδες όγκου.

ΜΟΝΑΔΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΟΥ ΟΓΚΟΥ~ΠΙΝΑΚΑΣ~

1ας κυβικός πήχης 1 χαρ=τα 2/3 του κυβικού πήχη.

1 χεκατ =το 1/20 του χαρ.

Ήταν βολικό διότι το 1/3 της παραγωγής αποδιδώταν στον Φαραώ και το 1/3 κρατούσε ο κτηματίας.

χιν σακ ρο κανατια

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΣΤΟΝ Κ.ΤΕΥΚΡΟ ΜΗΧΑΙΛΙΔΗ : ¨Κάθε κλάσμα από το μάτι του Ώρου αποτελεί καθοριστική ανταλλακτική μονάδα ενός συγκεκριμένου υλικού. Δηλαδή τα μέρη του ματιού του Ώρου είναι στην πραγματικότητα σταθμά και όχι κλάσματα. Δεν ξέρω αν είναι σύγχρονη ανακάλυψη ή αρχαία ,αυτό δεν το έχω βρει πουθενά, αν η σύνθεση του ματιού του Ώρου είναι κάτι που προέρχεται από την αρχαιότητα ή κάτι που ανακαλύψαμε σήμερα με την μορφή παρατήρησης. Δεν είμαι λοιπόν καθόλου σίγουρος, ακόμα και για αυτό που γράφω μέσα στο βιβλίο για τα μέρη του ματιού του Ώρου , ότι η ανάλυση αυτή υπήρχε στην αρχαία Αίγυπτο, παρότι είναι κοινή παραδοχή όλων των μελετητών που του δίνουν μια μαθηματική υπόσταση.¨

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΑΠΥΡΟ ΤΟΥ ΡΙΝΤ. ΜΕ ΧΕΚΑΤ: Τα προβλήματα 35 έως 38 στον πάπυρο του Rhind αναφέρονται σε υποδιαιρέσεις του hekat. Για παράδειγμα το πρόβλημα 35 έχει την εξής εκφώνηση: Μετάφραση: Χωράω τρείς φορές σε ένα hekat. Το 1/3 μου προστέθηκε σε μένα και γέμισα το hekat. Ποιος το λέει αυτό;

[Δηλαδή, αν εγώ - το άγνωστο χ – τριπλασιαστώ και μου προστεθεί το 1/3 μου, θα γεμίσω ένα hekat. Δηλαδή: 3χ + 1/3χ = 1. Ποιος είμαι; (Ποιο είναι το χ;) ]

ΛΥΣΗ

Πάρε 1 από 3 και 1/3 (Πολλαπλασίασε το 3 και 1/3 μέχρι να βρεις 1.

1 1/10 1/5 5 1/10

3

1/3 1/3 1/3 1

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΕΞΗΓΗΣΗ

Διαίρεσε το 1 με το 3 και το 1/3. Μια φορά το 3 και 1/3 κάνει 3 και 1/3. Το 1/10 του 3 και 1/3 είναι 1/3. Το 1/5 του 3 και 1/3 είναι 2/3. Το άγνωστο είναι 1/5 και 1/10

ΕΞΗΓΗΣΗ

1

1/5

1/10

Μια φορά το 1/5 και 1/10 κάνει 1/5 και 1/10.

2

½

1/10

Δυο φορές το 1/5 και 1/10 κάναι ½ και 1/10.

3

10

3

1/3

Το 1/3 του 1/5 και 1/10 κάνει 1/10.

1

Άρα αν πολλαπλασιάσω το 3 και 1/3 με το 1/5 και το 1/10 παίρνω 1.

Η απάντηση του γραφέα είναι ότι αν ένα συγκεκριμένο δοχείο γεμισμένο με το 1/5 και 1/10 του hekat τριπλασιαστεί και προστεθεί το 1/3 του θα συμπληρώσει 1 hekat. Στον πάπυρο του Rhind ο γραφέας επανέλαβε τα παραπάνω σε κλάσματα του ματιού του Ώρου και ρο όπου το 1/5 και το 1/10 του hekat είναι 96 ρο. Τότε αν το 96 πολλαπλασιαστεί με το 3 και 1/3 δίνει 320 ρο ή αλλιώς 1 hekat. Ο γραφέας έλεγξε πρώτα ότι το 1/5 και 1/10 του hekat είναι 96 ρο.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΕΞΗΓΗΣΗ

1

320

Μία φορά το 320 είναι 320.

1/10

32

Το 1/10 του 320 κάνει 32.

1/5

64

Το 1/5 του 320 κάνει 64.

Σύνολο: 96

Επιμέλεια : Εύα-Μαρία Κόφφα.

Άρα 1/5 και 1/10 του χεκάτ είναι 96 ρο.

Προβλήματα Πεσού Το πεσού είναι μονάδα μέτρησης της πυκνότητας του ψωμιού ή ακόμα και της μπύρας και σημαίνει κυριολεκτικά «τιμή ψησίματος». Δημιουργήθηκε από τους Αιγύπτιους και καθορίστηκε κάπως έτσι :

Εάν ένα χεκάτ σπυριών σιταριού (4,75 λίτρα) χρησιμοποιηθεί για να παράξει ένα μόνο καρβέλι ψωμί ή μια κούπα μπίρα, τότε το πεσού και των δύο είναι ένα. Ομοίως εάν ένα χεκάτ σπυριών σιταριού χρησιμοποιηθεί για να παράξει δύο καρβέλια ψωμί ή δύο κούπες μπίρα, τότε το πεσού και των δύο είναι δύο και ου το καθ’ εξής. Έτσι όσο μεγαλύτερο είναι το πεσού τόσο πιο αραιή θα είναι και η μπίρα ή το ψωμί και πιθανότατα τόσο μικρότερο θα είναι το καρβέλι.

Η σχέση μεταξύ της ποσότητας του καρβελιού που χρησιμοποιήθηκε και του πεσού της μπίρας ή του ψωμιού που παράχθηκε είναι :

Ο αριθμός ποτηριών ή καρβελιών προς τον αριθμό χεκάτ των σπυριών σιταριού = πεσού μπίρας ή ψωμιού

Το πεσού δημιουργήθηκε και χρησιμοποιήθηκε από τους Αιγύπτιους ώστε να τους βοηθήσει στην επίλυση ανάλογων προβλημάτων-πεσού. Η μη ισοδυναμία όμως των διαφορετικών σιτηρών είχε ως αποτέλεσμα περίπλοκων προβλημάτων για την επίλυση των οποίων απαιτείται ο προσδιορισμός των συντελεστών αναγωγής, τους οποίους ο υπολογιστής θα πρέπει να γνωρίζει. Τα προβλήματα μπορούν να περιπλακούν ακόμα περισσότερο, αν ανταλλάσσονται καρβέλια μιας ορισμένης «τιμής ψησίματος» με καρβέλια άλλης τιμής και τα λοιπά.

Άλλα προβλήματα έχουν ως θέμα την αναγωγή των χεκάτ σε άλλες μονάδες μέτρησης, τους υπολογισμούς μερίδων φαγητού, την διανομή μισθών και άλλα.

Προβλήματα πεσού στον πάπυρο του Rhind

Μεγάλη έκταση στον πάπυρο του Rhind καταλαμβάνουν οι εφαρμοσμένοι υπολογισμοί. Για παράδειγμα οι «υπολογισμοί - πεσού» οι οποίοι αφορούν υπολογισμούς των ποσοτήτων των σιτηρών που χρειάζονται για την παραγωγή μπίρας ή ψωμιού. Στα 20 προβλήματα πεσού στους παπύρους Rhind και Μόσχας (10 στο καθένα) οι τιμές των πεσού της μπίρας βρίσκονται ανάμεσα στο ένα και το τέσσερα, ενώ για τα καρβέλια ψωμιού τα πεσού ποικίλουν από πέντε έως σαράντα πέντε Το πρώτο από τα 10 προβλήματα πεσού του παπύρου του Rhind είναι :

Το πρόβλημα 69 3,5 χεκάτ σιταριού γίνονται 80 καρβέλια. Βρες την ποσότητα του σιταριού σε κάθε καρβέλι και το πεσού. Αφού 320 ρο σε κάθε χεκάτ, ο γραφέας βρήκε πρώτα το νούμερο των ρο σε 3 ½ χεκάτ. (3 x ½) Μετά διαίρεσε τα 1120ρο με τα 80 καρβέλια και έγραψε: Πρόσθεσε με το 80 μέχρι να βγάλεις 1120 (δηλαδή 1120:80) Η απάντηση είναι ρο 14 σε κάθε καρβέλι ή 1/32 του χεκάτ και 4 ρο. Για να βρει το πεσού του κάθε καρβελιού το μόνο που είχε να κάνει ήταν να διαιρέσει το 80 με το 3 ½ και έγραψε : Πρόσθεσε με το 3 1/2 μέχρι να βρεις 80 [Πως βρίσκει το ότι το 2/3 είναι 2 1/3]: κάθε αριθμός της αριστερής στήλης αναφέρεται σε κάποιο πολ/σιο ή υποδιαίρεση του αριθμού που είναι πάνω δεξιά από αυτόν. Για παράδειγμα το 10 αναφέρεται στο 10πλάσιο του 3 ½ που είναι 35, δηλαδή 70 και το 2 αναφέρεται στο 1/10 του 70 που είναι 7. Επομένως τα 2/3(που είναι το 1/3 του 2) αναφέρεται στο 1/3 του 7 που είναι 2 1/3. Για το 1/21 : ομοίως σκεπτόμενοι, το 1/21 αναφέρεται στο 1/14 του 2/3 γιατί (2 + 1/3): 14 = 1/6 Όμως πως σκέφτηκαν να πάρουν το 1/21 ; Μέχρι στιγμής έχουν βρει 79 και 1/3, οπότε απομένουν 2/3 μέχρι το 80. Αλλά ξέρουν ότι 2/3=1/6 ½ . Έτσι θέλουν να βρουν το 1/6 και το

½ του 3 ½. Οπότε σκέφτεται: τι σχέση έχει το 1/6 με το 2 1/3 και το 1/12 του 2. Αλλά 2+12=14. Επομένως 2/3 δια 14 μας κάνει 21. Τα προβλήματα 70 και 71 είναι σαν το 69, αλλά τα 7 επόμενα (προβλήματα 72 έως 78) διαπραγματεύονται με ανταλλαγές καρβελιών και μπύρας.

Το πρόβλημα 73 : 100 καρβέλια πεσού 10 ανταλλάσσονται με καρβέλια πεσού 15. Πόσα τέτοια καρβέλια θα είναι ; Ο γραφέας έγραψε: υπολόγισε την ποσότητα του αλευριού στα 100 καρβέλια : 100:10= 10 χεκάτ. Άρα ο αριθμός καρβελιών πεσού 15 από τα χεκάτ είναι 15 φορές το 10, δηλαδή 150. Αυτό είναι το νούμερο των καρβελιών για την ανταλλαγή. Τα επόμενα 6 προβλήματα με καρβέλια και μπύρα όμως με διαφορετικά πεσού με μια πρώτη ματιά φαίνονται παρόμοια με το πρόβλημα 73, αλλά με περισσότερη προσοχή παρατηρούμε διαφορετικές τεχνικές και αριθμητικές πράξεις. Όπως για παράδειγμα είναι στα παρακάτω προβλήματα :

Το πρόβλημα 74: 1000 καρβέλια πεσού 5 ανταλλάσσονται ως εξής: τα μισά με καρβέλια πεσού 10 και τα άλλα μισά με καρβέλια πεσού 20. Πόσα καρβέλια από το καθένα θα είναι ;

Λύση

Τα 1000 καρβέλια πεσού 5 έχουν 200 χεκάτ και το μισό του 200 είναι 100.

100 επί το 10= 1000 καρβέλια πεσού 10 100 επί το 20=2000 καρβέλια πεσού 20.

Το πρόβλημα 76: 1000 καρβέλια πεσού 10 θα ανταλλαχθούν με καρβέλια πεσού 20 και το ίδιο νούμερο καρβελιών με πεσού 30. Πόσα από κάθε είδος θα είναι ;

Λύση

Για καρβέλια πεσού 20, 1/20 του χεκάτ παράγει ένα καρβέλι. Για καρβέλια πεσού 30, 1/30 του χεκάτ παράγει ένα καρβέλι.

1/20 + 1/30= 1/12 χεκάτ που φτιάχνει 2 καρβέλια, ένα από κάθε είδος. Οπότε ένα χεκάτ θα φτιάχνει 12 καρβέλια κάθε είδους. Η ποσότητα του αλευριού στα 1000 καρβέλια πεσού 10 είναι 100 χεκάτ.

10 επί 12 ίσον 1200 καρβέλια κάθε είδους που θα ανταλλαχθούν.

Με σκοπό να καταλάβουμε το πρόβλημα θα το ξανακάνουμε με σύγχρονους τρόπους χρησιμοποιώντας την unitary method. Αρχικά: 1000 καρβέλια πεσού 10 έχουν 100 χεκάτ αλεύρι και 1 χεκάτ αλεύρι παράγει 20 καρβέλια πεσού 20 και 1 χεκάτ αλεύρι παράγει 30 καρβέλια πεσού 30 Μετά: 3 χεκάτ αλεύρι παράγουν 60 καρβέλια πεσού 20 και 2 χεκάτ αλεύρι παράγουν 60 καρβέλια πεσού 30. Επομένως 5 χεκάτ αλεύρι παράγουν 60 καρβέλια κάθε είδους και έτσι 100 χεκάτ αλεύρι παράγουν 60 φορές 20 καρβέλια κάθε είδους και αποτέλεσμα είναι 1200 καρβέλια κάθε είδους.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Γιαννούκαρη Στεφανία

«ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΡΧΑΙΑΣ ΑΙΓΥΠΤΟΥ ΟΠΩΣ ΑΝΑΔΕΙΚΝΥΟΝΤΑΙ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΑΠΥΡΟ ΤΟΥ RHIND ΚΑΙ Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥΣ ΣΤΙΣ ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ.»

«ΤΑ ΕΝΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΤΩΝ ΑΙΓΥΠΤΙΩΝ» Oι Αρχαίοι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν τα εναδικά κλάσματα τα οποία θα λέγαμε ήταν κλάσματα με αριθμητή την μονάδα(μοναδική εξαίρεση τα κλάσματα 2/3 και ¾) συγκεκριμένα ήταν σύμβολα που περιλάμβαναν το ιερογλυφικό (λείπει το ιερογλυφικό αλλά όταν θα το εκτυπώσουμε θα το φτιάξουμε) (όπου το παρίστανε ανοιχτό στόμα), το οποίο σήμαινε το η-μέρος, το ημερίδιο για να συμπληρωθεί η μονάδα Αυτός ο συμβολισμός είναι αντίστοιχος του 1/n με τον οποίο συμβολίζονται σήμερα οι κλασματικές μονάδες, όπου το ιερογλυφικό έχει αντικατασταθεί με την κλασματική γραμμή. Γίνεται φανερή η τάση των αρχαίων Αιγυπτίων να παραθέτουν εναδικά κλάσματα ώστε να μπορούν να εκφράσουν ποσότητες τις οποίες θα μπορούσαμε σήμερα να ερμηνεύσουμε ως κοινά κλάσματα. Παρατηρούμε δηλαδή ότι η παράθεση (το άθροισμα) των εναδικών κλασμάτων θα μπορούσε να είναι εννοιολογικά μια πρώτη έκφραση του κοινού κλάσματος, παρά το γεγονός ότι το ίδιο τους ήταν άγνωστο. Σχετικά τώρα με την ύπαρξη πράξεων ανάμεσα στα εναδικά Αιγυπτιακά κλάσματα, οι ερευνητές που προσπάθησαν να διερευνήσουν το θέμα αυτό καταφεύγουν σε λογιστικά κείμενα, σε πίνακες μέτρησης και σε πηγές όπως π. χ. ο Πάπυρος του Rhind (βλ., Σχήμα 1.4) και ο Δερμάτινος Κύλινδρος

(1600 π. Χ. – τα πρωτότυπα χρονολογούνται από το 1850π.Χ).

«Ο ΠΑΠΥΡΟΣ ΤΟΥ RHIND» Ο Πάπυρος του Rhind (πιο σπάνια αναφέρεται και ως πάπυρος του Αχμή, προς τιμή του γραφέα που τον αντέγραψε γύρω στα 1650 π.Χ.), ονομάστηκε έτσι λόγω του σκωτσέζου συλλέκτη A. H. Rhind, ο οποίος αγόρασε στα 1858 το κείμενο αυτό στο Λούξορ, μια απομακρυσμένη πόλη του Νείλου, και στην συνέχεια το κληροδότησε στο Βρετανικό Μουσείο όπου και βρίσκεται σήμερα (εκτός από ορισμένα τμήματα του που βρίσκονται στο μουσείο του Brooklyn). Ο πάπυρος αυτός, ύψους 33 εκατοστών και µήκους 6 µέτρων, γράφτηκε κατά την περίοδο της κυριαρχίας της Αιγύπτου από τους Υξώς (µετά το 1800 π.Χ.) αλλά, όπως µας διαβεβαιώνει ο συγγραφέας του, προέρχεται από ένα πρωτότυπο που χρονολογείται από το Μέσο Βασίλειο (2000-1800 π.Χ.)

Προσδοκούμε ότι διαμέσου αυτού του κειμένου θα γνωρίσουμε τις κύριες μαθηματικές γνώσεις αυτής της περιόδου. Ο πάπυρος αρχίζει με έναν πολλά υποσχόμενο τρόπο: διατείνεται ότι θα παράσχει «πλήρη και λεπτομερή ανάλυση όλων των πραγμάτων, που ενυπάρχουν σε όλα τα όντα, γνώση όλων των μυστικών…». Γρήγορα όμως καταλαβαίνουμε ότι σκοπός του συγγραφέα δεν είναι να αποκαλύψει την πρώτη αρχή των πραγμάτων, αλλά απλώς να μυήσει τους αναγνώστες του στα μυστικά των αριθμών και στην τέχνη των υπολογισμών με κλάσματα, θέμα ιδιαίτερα χρήσιμο σε ποικίλα πρακτικά προβλήματα με τα οποία ασχολούνταν οι υπάλληλοι του μεγάλου κράτους. Τέτοια είναι το μοίρασμα των μισθών σε ένα αριθμό μεροκαματιάρηδων, ο υπολογισμός της ποσότητας των σιτηρών που χρειάζονται για την παραγωγή μιας δεδομένης ποσότητας ψωμιού ή μπίρας, ο υπολογισμός εμβαδών και όγκων, η μετατροπή διαφόρων μονάδων μέτρησης των σιτηρών. Ωστόσο, ανάμεσα σε αυτά, υπάρχουν και ορισμένα καθαρά θεωρητικά ερωτήματα, από τα οποία κατασκευάζονται ασκήσεις που εντάσσονται στη δύσκολη τέχνη του λογισμού με κλάσματα.

Σχήμα 1.4: Ένα παράδειγμα τεκμηρίου-πηγής αποτελεί ο Πάπυρος του Rhind. Σε αυτό το απόσπασμα αναγράφεται ένα πρόβλημα στο οποίο οι κύκλοι δηλώνουν ποσότητα, στα ιερατικά και στα ιερογλυφικά (βλ. Fauvel & Gray, 1987).

«ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΑΙΓΥΠΤΙΩΝ» Σχετικά τώρα με τις πράξεις που χρησιμοποιούσαν οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι και συγκεκριμένα με τη διαίρεση, αυτό που έκαναν όταν αυτή δεν έφτανε «ως το τέλος» ήταν ότι ακριβώς κάνουμε κι εμείς: κατέφευγαν στα κλάσματα. Κλάσματα με αριθμητή και παρονομαστή, έτσι όπως τα ξέρουμε σήμερα, δεν υπάρχουν στα αιγυπτιακά μαθηματικά. Εκεί συναντούμε, κατά πρώτο λόγο, έναν περιορισμένο αριθμό φυσικών κλασμάτων, τα οποία χρησιμοποιούνταν στην καθημερινή ζωή και τα οποία δηλώνονταν με ειδικά ονόματα. Δεν μπόρεσαν να δημιουργήσουν ένα βολικό συμβολισμό για τα υπόλοιπα κλάσματα πέραν των κλασματικών μονάδων.

«ΓΙΑ ΠΟΙΟΥΣ ΓΡΑΦΤΗΚΕ Ο ΠΑΠΥΡΟΣ ΤΟΥ RHIND;» Ο πάπυρος αυτός προοριζόταν για χρήση σε ένα σχολείο γραφέων. Εικόνα των προβλημάτων με τα οποία ασχολούνταν αυτοί οι υπάλληλοι αποκτούμε από τον πάπυρο «Αναστάση Ι» . Ο πάπυρος αυτός προέρχεται από την συλλογή του Αναστάση, ενός Έλληνα έμπορου του 19ου αιώνα, ο οποίος ήταν γενικός πρόξενος της Σουηδίας στην Αίγυπτο και ζούσε στην Αλεξάνδρεια. Κατά την παραμονή του στην Αίγυπτο σχημάτισε μια συλλογή αρχαιοτήτων η οποία πουλήθηκε τελικά κατά τμήματα σε μουσεία της Σουηδίας, των Κάτω Χωρών και της Μεγάλης Βρετανίας, όπου ένας γραφέας χλευάζει έναν άλλο γραφέα για την ανικανότητα του. Από το κείμενο φαίνεται ότι μπορούμε να φανταστούμε τον άνθρωπο στον οποίο απευθύνεται, σαν κάποιον ο οποίος κατέχει μια σημαντική θέση, κάτι σαν «στρατιωτικός γραφέας», ο οποίος πρέπει να υπολογίσει, για παράδειγμα, πόσοι στρατιώτες χρειάζονται για να σκάψουν ένα αυλάκι, πόσες πλίνθοι χρειάζονται για μια κατασκευή κ.λπ. Ο συντάκτης της επιστολής τον κατηγορεί για την ανικανότητα του να επιλύσει αυτά τα προβλήματα χωρίς τη δική του βοήθεια. Θα σε κάνω να μάθεις πώς έχουν τα πράγματα, όταν λες «εγώ είμαι ο γραφέας που δίνει εντολές στον στρατό». Σου αναθέτουν να σκάψεις μια δεξαμενή. Έρχεσαι να με ρωτήσεις για τα σιτηρέσια των στρατιωτών, και μου λες «λογάριασε τα». Παραιτείσαι του αξιώματος σου και πέφτει στους ώμους μου το βάρος να σου μάθω πώς να το εκτελέσεις ...

Σε κατεξευτελίζω (;) όταν σου αποκαλύπτω τη διαταγή του Κυρίου σου, εσένα, που είσαι ο Βασιλικός Γραφέας ...ο σπουδαίος γραφέας που βρίσκεται επικεφαλής των στρατευμάτων. Πρέπει να χτιστεί μια (δομική) ράμπα, με 730 κύβιτα [7: μονάδα μήκους ίση με τον ανθρώπινο βραχίονα, από τον αγκώνα μέχρι την άκρη του μεσαίου δακτύλου. Το «Βασιλικό» κύβιτο ήταν ίσο περίπου με 52,3 εκατοστά και το «Βραχύ» κύβιτο περίπου 45 εκατοστά ] μήκος, 55 κύβιτα πλάτος, με 120 διαμερίσματα, και γεμάτη καλάμια και δοκάρια" με ύφος 60 κύβιτα στην κορυφή, 30 κύβιτα στη μέση, με κλ.ίση δυο φορές 15 κύβιτα και λιθόστρωτο 5 κύβιτα. Ζητείται από τους στρατηγούς η απαιτούμενη ποσότητα πλίνθων, και ερωτούνται όλοι μαζί οι γραφείς, και δεν ξέρει τίποτα κανένας τους. Όλοι τώρα επαφίενται σε σένα και λένε: -Εσύ είσαι ο σπουδαίος γραφέας, φίλε μου! Αποφάσισε γρήγορα για λογαριασμό μας!» Τίμησε τη φήμη σου ... Απάντησε μας, πόσες πλίνθοι χρειάζονται γι' αυτό το έργο;

«ΟΙ ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ ΤΗΣ ΑΡΧΑΙΑΣ ΑΙΓΥΠΤΟΥ» Η Ιστορία της Αιγύπτου έχει γοητεύσει εκατομμύρια ανθρώπους σε όλο τον κόσμο. Στην Αίγυπτο άκμασε ιδιαίτερα η ιατρική όπως και η γραφή και η αστρονομία. Αλλά όταν ακούμε την λέξη Αίγυπτος μας έρχονται στο νου τα τεράστια μνημεία που άφησε πίσω του ο πολιτισμός των Αρχαίων Αιγυπτίων, τις πυραμίδες. Οι πυραμίδες είναι τάφοι για τους βασιλιάδες της Αιγύπτου, τους Φαραώ. Σκοπός της πυραμίδας ήταν να «στεγάσει» το νεκρό Φαραώ κατά τη διάρκεια της μεταθανάτιας ζωής του. Οι πρώτες πυραμίδες εμφανίστηκαν κατά τη διάρκεια του Αρχαίου Βασιλείου (3200 – 2300 π.Χ.) ανάμεσα σε αυτές και η Μεγάλη Πυραμίδα του Χέοπα, ένα από τα επτά θαύματα του κόσμου. Στην αρχαία Νεκρόπολη της Γκίζας ανήκουν: η Πυραμίδα του Χέοπα, γνωστή και ως "η Μεγάλη Πυραμίδα", η λίγο μικρότερη Πυραμίδα του Χεφρήνος και η σχετικά μετρίου μεγέθους Πυραμίδα του Μυκερίνου. Ανήκουν και οι τρεις στην Τέταρτη Δυναστεία. Όλες μαζί σχημάτιζαν ένα απέραντο συγκρότημα από μικρότερες πυραμίδες (των βασιλισσών), νεκρικούς ναούς, Μαστάμπες και τάφους αξιωματούχων. Στη Νεκρόπολη ανήκει και η περίφημη Μεγάλη Σφίγγα.

«ΤΟ ΣΕΚΕΤ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥ»

Για τους κατασκευαστές των πυραμίδων ήταν σημαντικό να διατηρούν μια σταθερή κλίση της κάθε έδρας ως προς το οριζόντιο επίπεδο. Αυτό μπορεί να μοιάζει εύκολο στα χαρτιά, αλλά, μόλις άρχιζε η πραγματική κατασκευή, οι κατασκευαστές έπρεπε απαραιτήτως να ελέγχουν συνεχώς την πρόοδο του έργου για να βεβαιώνονται ότι η κλίση παρέμενε σταθερή, δηλαδή ότι το Σεκέτ ήταν το ίδιο για κάθε μια από τις έδρες. Το σεκέτ ή, αλλιώς, η κλίση, είναι ο αριθμός που δηλώνει πόσες παλάμες απέχει το κεκλιμένο επίπεδο από την κατακόρυφο, όταν το ύψος είναι ένα κύβιτο. Αυτό σημαίνει ότι το σεκέτ ενός κεκλιμένου επιπέδου είναι το ακριβές ανάλογο του πεσού ενός καρβελιού ψωμιού ή μιας στάμνας μπίρας. Η δυσκολία σε όλα αυτά τα προβλήματα δεν έγκειται στη γεωμετρία αλλά στους υπολογισμούς. Στην πραγματικότητα η ποσότητα που υπολόγισε ο Αχμές είναι η συνεφαπτομένη της γωνίας μεταξύ της βάσης της πυραμίδας και της τριγωνομετρικής έδρας της.Θα ήταν αστείο να ισχυρισθεί κανείς ότι οι Αιγύπτιοι ανακάλυψαν την τριγωνομετρία. Πουθενά στα κείμενα τους δεν εμφανίζεται η έννοια της γωνίας, επομένως δεν ήταν σε θέση να διατυπώσουν ποσοτικές σχέσεις μεταξύ γωνιών και πλευρών ενός τριγώνου. Και όμως (για να επικαλεσθούμε τον Chace), «στις αρχές του 18ου αιώνα π.Χ., και πιθανόν 1.000 χρόνια νωρίτερα, όταν χτίζονταν οι μεγάλες πυραμίδες, οι αιγύπτιοι μαθηματικοί είχαν βρει τον τρόπο να συγκρίνουν κάθε ορθογώνιο τρίγωνο με

ένα όμοιο του, του οποίου η μία πλευρά ήταν μοναδιαία και που το χρησιμοποιούσαν ως πρότυπο». Μπορούμε λοιπόν δικαιολογημένα να αποδώσουμε στους Αιγυπτίους κάποιες ακατέργαστες γνώσεις πρακτικής τριγωνομετρίας —ίσως «πρωτοτριγωνομετρία» να είναι σωστότερος όρος—, κάπου 2.000 χρόνια πρίνοι Έλληνες πάρουν το θέμα στα χέρια τους και το μετασχηματίσουν σε πανίσχυρο εργαλείο των εφαρμοσμένων μαθηματικών.

«ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΣΕΚΕΤ ΠΥΡΑΜΙΔΑΣ ΑΠΟΤΟΝ ΠΑΠΥΡΟ ΤΟΥ RHIND.»

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5Ο «Ένας κύκλος έχει διάμετρο 9 κετ. Πόσα σεκάτ γης περικλείει;»

Λύση: Αφαίρεσε το 1/9 της διαμέτρου, δηλαδή 1. Περισσεύουν 8. Πολλαπλασίασε το 8 με το 8. Κάνει 64. Άρα ο κύκλος περικλείει 64 σεκάτ γης.

1 κετ=52,74 μέτρα

1 σεκάτ=1 τετραγωνικό κετ

«ΤΟ ΣΕΚΕΤ ΤΗΣ ΠΥΡΑΜΙΔΑΣ»

Πρόβλημα 58 Σε μια πυραμίδα που το ύψος της είναι 93 1/3 (πήχεις) βρες το Σεκέτ της αν η πλευρά της βάσης της είναι 140 (πήχεις). [Απάντηση: 5 παλάμες και 1 δάκτυλο] Λύση: (τι γράφει ο πάπυρος)

Εξήγηση: Πάρε το μισό του 140 που είναι 70 [το μισό της πλευράς της βάσης]. [Το Σεκέτ θα είναι το πηλίκο του μισού της πλευράς της βάσης δια το ύψος της πυραμίδας, δηλαδή 70: (93 1/3) ] Υπολόγισε με το 93 1/3 μέχρι να βρεις 70.

1

93 1/3

/ 1/2

46 2/3

(λείπει ακόμα 23 1/3)

/ 1/4

23 1/3

Σύνολο 1/2 1/4 (του πήχη) Produce 1/2 1/4 of a cubit, the cubit being 7 palms.

1

7

1/2

3 1/2 ( το μισό του 7)

1/4

1 1/2 1/4 (το τέταρτο του 7)

Σύνολο 5 παλάμες και 1 δάκτυλο που είναι το Σεκέτ. Εξήγηση: Πάρε το μισό του 140 που είναι 70 [το μισό της πλευράς της βάσης]. [Το Σεκέτ θα είναι το πηλίκο του μισού της πλευράς της βάσης δια το ύψος της πυραμίδας, δηλαδή 70: (93 1/3) ] Υπολόγισε με το 93 1/3 μέχρι να βρεις 70.

1

93 1/3

/ 1/2

46 2/3

/ 1/4

23 1/3

(λείπει ακόμα 23 1/3)

Σύνολο 1/2 1/4 (του πήχη) Produce 1/2 1/4 of a cubit, the cubit being 7 palms.

1

7

1/2

3 1/2 ( το μισό του 7)

1/4

1 1/2 1/4 (το τέταρτο του 7)

Σύνολο 5 παλάμες και 1 δάκτυλο που είναι το Σεκέτ.

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κορίνα Παρδάλη

Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Οι αριθμοί είναι σήμερα μια παγκόσμια γλώσσα, που καταλαβαίνουν οι περισσότεροι λαοί της γης και είναι η βάση της καθημερινότητας μας. Για να φτάσουν όμως στην σημερινή τους μορφή χρειάστηκαν χιλιάδες χρόνια και η συμβολή δεκάδων πολιτισμών. Ειδικά οι δεκαδικοί αριθμοί που χρησιμοποιούνται για τις μετρήσεις όλων των μεγεθών, όπως μήκος, βάρος, χρηματικές αξίες χρειάστηκαν πολλές προσπάθειες για να εφευρεθούν και να καθιερωθούν. Βασικότατο πρόσωπο στην εξέλιξη των αριθμών υπήρξε ο Simon Stevin, ο οποίος είναι υπεύθυνος για την επικράτηση του δεκαδικού συστήματος και την ανακάλυψη των δεκαδικών αριθμών. Το έργο του διαβάστηκε και έδωσε την ώθηση για περεταίρω σχετικές ανακαλύψεις. Έτσι συνέβαλε καθοριστικά στην δημιουργία υπολογιστικών μηχανών.

Η εφεύρεση των δεκαδικού συστήματος αρίθμησης

Ιστορική αναδρομή μέχρι την εποχή του Simon Stevin Πολιτισμοί όπως ο Φοινικικός, ο Εβραϊκός, ο Ελληνικός και ο Ρωμαϊκός χρησιμοποιούσαν γράμματα για να εκφράσουν αριθμητικές ποσότητες. Η μέθοδος αυτή όμως δημιουργούσε δύο βασικά προβλήματα. Πρώτον, οι υπολογισμοί ήταν σχεδόν αδύνατοι και δεύτερον τα γράμματα δεν επαρκούσαν για όλο το εύρος των αριθμών. Το πρόβλημα αυτό δεν είχαν άλλοι πολιτισμοί προγενέστεροι και μεταγενέστεροι, οι οποίοι και συνέβαλαν στην ανακάλυψη και χρήση των δεκαδικών αριθμών. Ξεκινώντας το 4000 π.Χ. όταν οι Σουμέριοι χρησιμοποιούσαν ένα αριθμητικό σύστημα, που ακόμη και σήμερα χρησιμοποιούμε. Ήταν βασισμένο στο 60 , το οποίο και διαιρούταν σε πολλαπλάσια του 10. Σήμερα το χρησιμοποιούμε για τα 60 λεπτά της ώρας. Βέβαια, οι Σουμέριοι δεν είχαν τον αριθμό μηδέν, γεγονός που επίσης καθιστά τους υπολογισμούς πιο πολύπλοκους. Ο αριθμός μηδέν εισάχθηκε από τους Ινδούς το 1000 π.Χ., καθώς το στοιχείο της ανυπαρξίας και του «τίποτα» ήταν κομμάτι της φιλοσοφίας και θρησκείας τους. Αντίθετα, οι αρχαίοι Έλληνες θεωρούσαν ότι οι αριθμοί ξεκινάνε από την μονάδα, γιατί μόνο η ύπαρξη έχει νόημα. Οι Ινδοί επίσης εισήγαγαν το σύστημα των τάξεων των αριθμών (μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, κλπ) και μάλιστα με βάση τον αριθμό δέκα. Αυτός είναι ο πολιτισμός που εφηύρε τα ψηφία 1-9, που χρησιμοποιούνται μέχρι και σήμερα. Και ο πολιτισμός των Maya, βασισμένος στον πολιτισμό των Olmecs

χρησιμοποιούσε ένα ανάλογο αριθμητικό σύστημα με βάση όμως το 20. Το σύστημα αυτό όμως δεν είχε καμία επιρροή στην Ευρώπη, καθώς όταν ανακαλύφθηκε η Λατινική Αμερική, ο δυτικός κόσμος είχε ήδη υιοθετήσει το αριθμητικό σύστημα των Ινδών( το οποίο έχει επικρατήσει να ονομάζεται Αραβικό). Μέχρι να επικρατήσει όμως το δεκαδικό σύστημα στην Ευρώπη πέρασαν αιώνες, παρόλο που ήταν τόσο απλό στην χρήση του. Πρώτος ο Leonardo of Pisa (Fibonacci) εξήγησε το δεκαδικό σύστημα στους συναδέλφους του στην Ευρώπη, αφού έχοντας μεγαλώσει στην βόρεια Αφρική έμαθε το αραβικό σύστημα αρίθμησης. Έτσι ξεκίνησε η προσπάθεια της εξάπλωσης και υιοθέτησης του δεκαδικού συστήματος στην υπόλοιπη Ευρώπη. Προσπάθεια έγινε από τον John Halifax στην Αγγλία το 1253, αν και χωρίς επιτυχία. Επίσης στο Παρίσι από τον αστρονόμο John of Meurs και στην Γερμανία από τον Regiomontanus, ο οποίος έκανε και τα πρώτα βήματα για την ανακάλυψη των δεκαδικών αριθμών, σύμφωνα με τον Stevin.

Από το δεκαδικό σύστημα στους δεκαδικούς αριθμούς

Ιστορική αναδρομή 17ος αιώνας – 18ος αιώνας Την εποχή του Stevin επομένως είχε διαδοθεί η χρήση του δεκαδικού συστήματος και των τάξεων στην Ευρώπη. Εκείνος είναι και ο πρώτος που πρότεινε την ιδέα των δεκαδικών αριθμών και μάλιστα η εργασία του έγινε αμέσως αποδεκτή στους επιστημονικούς κύκλους. Ακολούθησαν μελέτες και προσπάθειες απλοποίησης των δεκαδικών αριθμών. Ο Giovanni Antonio Magini ήταν εκείνος που χρησιμοποίησε το κόμμα για να διαχωρίσει το ακέραιο από το δεκαδικό μέρος (1592 μ.Χ.). Την ίδια χρονιά ο Thomas Masterson χρησιμοποίησε μια κάθετη γραμμή για τον ίδιο σκοπό. Και το 1593 ο εβραίος Christoph Klau χρησιμοποίησε την τελεία για να διακρίνει το δεκαδικό από το ακέραιο μέρος. Σημαντική συμβολή στους δεκαδικούς αριθμούς έγινε και από τον Γερμανό φυσικό Johann Hartmann, ο οποίος και έγραψε ένα βιβλίο σχετικά με τις πράξεις των δεκαδικών. Αν και δεν ανέφερε ως πηγή του το έργο του Stevin, σημαντικές ομοιότητες μας οδήγησαν στο συμπέρασμα ότι το χρησιμοποίησε για τις δικές του μελέτες. Την γενίκευση της χρήσης των δεκαδικών αριθμών πέτυχε ο John Napier με το έργο του «Ραβδολογία», που εκδόθηκε το 1617. Μια ακόμη σημαντική στιγμή για την ιστορία των μαθηματικών είναι η έκδοση του έργου του Henry Brigg το 1624, το οποίο και περιείχε λογαριθμικούς πίνακες, με τον λογάριθμο

με βάση το 10 όλων των αριθμών από 1 έως 1.00.000. Τέλος, το 1626-27 ο μαθηματικός Ezechiel De Decker συνένωσε τα έργα των προγενέστερων μαθηματικών όπως οι Stevin, Napier, Briggsκαι επισημοποίησε την καθιέρωση του δεκαδικού συστήματος και των δεκαδικών αριθμών.

Η χρήση και εξέλιξη των μετρικών συστημάτων

Ιστορική αναδρομή εξέλιξης μετρικού συστήματος Η χρήση των μετρικών συστημάτων ήταν πάντα απαραίτητη και είχε και εκείνη πολλές μορφές ανάλογα με τον πολιτισμό. Οι αρχαίοι πολιτισμοί χρησιμοποιούσαν για μετρήσεις στοιχεία του σώματος, για παράδειγμα για την μέτρηση της απόσταση χρησιμοποιούσαν το πόδι. Ο Stevin πρώτος παρατήρησε την ανάγκη για ένα ενιαίο μετρικό σύστημα ώστε να διευκολύνει την επικοινωνία και τις συναλλαγές μεταξύ των αυτόνομων βασιλείων της μεσαιωνικής Ευρώπης. Βέβαια, το ενιαίο μετρικό σύστημα που πρότεινε δεν μπήκε σε εφαρμογή παρά μόνο μετά την Γαλλική Επανάσταση το 1790. Τότε ήταν που η Γαλλική Ακαδημία κλήθηκε να δημιουργήσει ένα νέο μετρικό σύστημα που να πληροί τις παρακάτω προϋποθέσεις: 1. Το σύστημα θα έπρεπε να καλύπτει τις ανάγκες μέτρησης βασικών μεγεθών, σύμφωνα με αμετάβλητες ποσότητες που απατώνται στην φύση.

2. Όλα τα μεγέθη θα πρέπει να υποδιαιρούνται σε συγκεκριμένο αριθμό βασικών μονάδων.

3. Τα πολλαπλάσια και υποπολλαπλάσια των βασικών μεγεθών πρέπει να είναι ανήκουν στο δεκαδικό σύστημα. Μαθηματικοί όπως ο Laplace και ο Lagrange πρότειναν το μέτρο ως μονάδα μέτρησης μήκους και το χιλιόγραμμο ως μονάδα μέτρησης βάρους. Έτσι η γαλλική κυβέρνηση κατέληξε σε ένα πρωτότυπο μετρικό σύστημα στις 22 Ιουνίου 1799, όπου οι ονομασίες προέρχονται από τα λατινικά και τα αρχαία ελληνικά για να έχουν καθολικό χαρακτήρα. Από το 1820 και μετά το νέο αυτό μετρικό σύστημα (CGS) υιοθετήθηκε από χώρες όπως η Ολλανδία, το Βέλγιο, το Λουξεμβούργο και γενικότερα το μεγαλύτερο μέρος του δυτικού κόσμου. Η χρήση του νέου μετρικού συστήματος επεκτάθηκε και στην Φυσική από τον Carl Friedrich Gauss το 1862. Έτσι το σύστημα CGS συμπεριέλαβε το Ohm. Η επόμενη αλλαγή έγινε το 1901 με την προσθήκη του Αμπέρ στο σύστημα CGS. Το 1960, αφού είχαν προστεθεί μονάδες και για την μέτρηση θερμοκρασίας και μαγνητικών πεδίων κλπ, δημιουργήθηκε το ενιαίο σύστημα μέτρησης S.I. Οι αγγλοσαξονικές χώρες (Αγγλία, Η.Π.Α.) εξακολουθούν να μην χρησιμοποιούν το ενιαίο αυτό σύστημα μέτρησης και εφαρμόζουν το δικό τους, το οποίο ονομάζεται British Imperial System. Η αναντιστοιχία αυτή στον τρόπο μέτρησης μεταξύ των

κρατών ήταν υπεύθυνη για ένα ατύχημα που συνέβη στις 23.09.1999 όταν ένα διαστημόπλοιο της ΝΑSA προσέκρουσε στον Άρη, καθώς δεν υπήρξε σωστός συντονισμός λόγω έλλειψης κοινού τρόπου μέτρησης.

Το έργο του Stevin Βιογραφικά στοιχεία του Simon Stevin Ο Simon Stevin γεννήθηκε το 1548 στην πόλη Bruges του Βελγίου και πέθανε το 1620 μάλλον στην Χάγη της Ολλανδίας. Ήταν μαθηματικός και το έργο του αφορούσε στον καθιέρωση των δεκαδικών αριθμών. Επίσης συνέβαλε στην αναθεώρηση της θεωρία του Αριστοτέλη, ότι τα βαριά σώματα πέφτουν πιο γρήγορα από τα ελαφρύτερα. Το σχετικό του πείραμα δεν έγινε γνωστό, αλλά αποτέλεσε τη βάση για την έρευνα του Γαλιλαίου σχετικά με την δύναμη της βαρύτητας. Ξεκίνησε ως ταμίας στην Αντβέρπη, ενώ στα έτη 1571-1577 είναι γνωστό ότι ταξίδεψε σε Πολωνία, Ρωσία και Νορβηγία. Συνέχισε ως υπάλληλος σε φοροεισπρακτικό γραφείο στη γενέτειρα του μέχρι που έγινε επίτροπος δημόσιων έργων. Ως γενικός στρατηγός του στρατού του πρίγκιπα Maurits σχεδίασε ένα σύστημα δεξαμενών ανύψωσης, με το οποίο οδηγούσε το νερό να κατακλύσει ορισμένες εποχές ώστε να απομακρύνει τον εχθρό. Επίσης εφηύρε ένα μέσο μεταφοράς για μεταφορές κατά μήκος της ακτής για 26 άτομα. Σημαντική ήταν η συμβολή του και στην εξέλιξη της στατικής επιστήμης. Το 1585 ο Stevin εξέδωσε τα έργα του La Thiende και La Disme στο οποίο παρουσίασε τις βάσεις για τα κλάσματα και πως αυτά χρησιμοποιούνται στην καθημερινότητα. Δεν ήταν εκείνος που ανακάλυψε τους δεκαδικούς και τα κλάσματα, αλλά είναι εκείνος που διεύρυνε την χρήση τους και έξω από τον πανεπιστημιακό χώρο, στα μαθηματικά της καθημερινής ζωής. Μάλιστα αναφέρει ότι έγραψε το βιβλίο του για το όφελος των «To Astronomers, Land-meaters, Measurers of Tapistry, Gaudgers , Stereometers in generall, Money-Masters, and to all Marchants,.” («στους αστρολόγους, χωρομέτρες, μετρητές των ταπετσαριών, γενικά μετρητές στερεών, μετρητές των χρημάτων και σε όλους τους εμπόρους») Όπως χαρακτηριστικά αναφέρει «…Αν κάποιος νομίζει ότι στην εξήγηση της χρησιμότητας των δεκαδικών αριθμών, καυχιέμαι για την εξυπνάδα μου να τους επινοήσω, δείχνει, χωρίς αμφιβολία, ότι δεν έχει την κρίση ούτε την εξυπνάδα να διακρίνει απλά πράγματα από δύσκολα, ή ακόμα ότι ζηλεύει για κάτι που είναι για όλους όφελος. Και έτσι να είναι, δεν θα αποτύχω να αναφέρω την χρησιμότητα αυτών των αριθμών εξαιτίας της συκοφαντίας ενός τέτοιου ανθρώπου…». Η επινόηση του Stevin εξυπηρέτησε έναν πολύ πρακτικό σκοπό, την απλοποίηση δηλαδή της καθημερινής πρακτικής αριθμητικής (με κλάσματα). Η ποικιλία των μη τυποποιημένων (όχι δεκαδικά επεξεργασμένων) συστημάτων μέτρησης είχε σαν αποτέλεσμα οι καθημερινές δραστηριότητες

της αγοράς να γίνουν τρομερά πολύπλοκες, στο διεθνές επίπεδο κυρίως. Η πολύπλοκη αριθμητική των κλασμάτων δεν μπορούσε πλέον να αποφευχθεί. Ο Stevin είχε επίγνωση της προοπτικής της ανακάλυψης του. Προέβλεψε ότι η εισαγωγή των δεκαδικά επεξεργασμένων συστημάτων μέτρησης για το μήκος, το βάρος και τα χρήματα θα ήταν θέμα χρόνου. Για αυτό και ο ίδιος υποστήριξε με έμφαση τη μετάβαση σε τέτοια συστήματα. Παρόλα αυτά έπρεπε να περάσουν ακόμη δύο αιώνες πριν εισαχθεί η αριθμητική των δεκαδικών συστημάτων. Με τον Stevin επίσης οι δεκαδικοί αριθμοί αποκτούν την υπόσταση μαθηματικής έννοιας, αφού μέσα από τους αριθμούς αριθμούς αυτούς δημιουργείται μια γενική έννοια του αριθμού που εφαρμόζεται στις λύσεις των αλγεβρικών προβλημάτων της εποχής του. Ο λόγος που τελικά επικράτησε η χρήση του νέου συστήματος είναι ότι προσπαθώντας να ξεπεράσουν τις δυσκολίες που τους δημιούργησαν οι υπολογισμοί με κοινά κλάσματα τα οποία περιλάμβαναν τεράστιους αριθμούς επιχείρησαν να ανακαλύψουν νέους πιο εύχρηστους αλγόριθμους για την επίλυση των μαθηματικών προβλημάτων. Έτσι, κατέστησαν δυνατή την ανάδυση των δεκαδικών ως μαθηματικό εργαλείο για την προσέγγιση όχι μόνο των μεγεθών αλλά και των μαθηματικών οντοτήτων – των ρητών στην αρχή, των ριζικών και των άρρητων στην συνέχεια. Όπως είδαμε οι οντότητες αυτές στην συνέχεια γίνονται αριθμοί μέτρησης και με τον Stevin αυθεντικές απεικονίσεις. Και εδώ πάλι η εισαγωγή των δεκαδικών κλασμάτων και των δεκαδικών αριθμών προέκυψε από τις πρακτικές ανάγκες της εποχής.

Το έργο του Simon Stevin

Στο έργο του DISME: The Art of Tenths (Decimal Arithmetike) ο Stevin αρχικά ορίζει τους ακέραιους αριθμούς σύμφωνα με το αριθμητικό σύστημα που επικρατούσε στον αραβικό κόσμο και εφευρέθηκε από τους Ινδούς, δηλαδή το δεκαδικό. Στη συνέχεια ορίζει τις πράξεις των αριθμών αυτών. Τέλος, ορίζει και εισάγει την χρήση των δεκαδικών καθώς και τις πράξεις τους.

I. Ορισμοί των ακέραιων αριθμών: 1. Αριθμητική είναι η επιστήμη των Αριθμών 2. Ο αριθμός είναι εκείνος που εκφράζει την ποσότητα ενός πράγματος 3. Οι χαρακτήρες που αναπαριστούν τους αριθμούς είναι 10. Ξεκινούν από το 0 και συνεχίζουν: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 4. Ανά τρεις αριθμούς ορίζεται ένα μέλος (member), ξεκινώντας να μετράμε από δεξιά

5. Το πρώτο ψηφίο από δεξιά ορίζει τις μονάδες, το δεύτερο τις δεκάδες, το τρίτο τις εκατοντάδες. Το πρώτο ψηφίο του δεύτερου μέλους εκφράζει τις χιλιάδες και συνεχίζοντας κάθε επόμενο ψηφίο ορίζει κάθε επόμενη δύναμη του δέκα.

6. Κάθε ακέραιος αριθμός είναι μια ενότητα ή ένα σύνολο ενοτήτων 7. Έχοντας τους τρεις όρους μιας ακολουθίας μπορώ να υπολογίσω τον τέταρτο, έτσι ώστε ο λόγος του πρώτου με τον δεύτερο να είναι ίσος με τον λόγο του τρίτου με τον τέταρτο.

II. Πράξεις ακέραιων αριθμών του δεκαδικού συστήματος 1. Ορίζει την πράξη της πρόθεσης 2. Ορίζει την πράξη της αφαίρεσης 3. Ορίζει την πράξη του πολλαπλασιασμού 4. Ορίζει την πράξη της διαίρεσης. Το νούμερο που θα διαιρεθεί και το νούμερο που θα διαιρέσει θα μπούνε στην σειρά και θα σχεδιάσουμε μια γραμμή και λέμε: πόσες φορές χωράει το 2 στο 9; Τρεις φορές (κανονικά είναι 4 και περισσεύει 1 αλλά θα δούμε τον λόγο που λέμε τρεις φορές). Βάζουμε κάτω το 3 σαν πρώτο χαρακτήρα του πηλίκου δίπλα στην στραβή γραμμή και το 3 που μένει από το 9 και διαγράφουμε το 3 και το 9. Μετά πολλαπλασιάζουμε το 8 με τον διαιρέτη, δηλαδή το 3, το γινόμενο είναι 24, το οποίο αφαιρείται από το 39 (και να γιατί το 2 χωράει 3 φορές στο 9. Γιατί αλλιώς θα είχαμε πολλαπλασιάσει 8 με 4 που κάνει 32 και θα έπρεπε να αφαιρεθεί αυτό από το 19 το οποίο είναι remayned (μικρότερο;) του διαιρετέου που είναι αδύνατον. Συνεπώς πρέπει να παρθεί ένα νούμερο και να μπει πίσω από την γραμμή και αυτό θα πρέπει να αφαιρεθεί από το μικρότερο). Μένει 15 το οποίο μπαίνει πάνω από το 39. Σβήνουμε το 39 και το 8 γι’ αυτό η διάταξη θα είναι με αυτόν τον τρόπο. Για να βρούμε τον δεύτερο χαρακτήρα του πηλίκου, ο διαιρέτης πρέπει να ξανά μπει κάτω από τον διαιρετέο και βάζουμε το 8 του διαιρέτη πάνω από το 5 του διαιρετέου και το 2 κάτω από το 8 και λέμε πόσες φορές χωράει το 2 στο 15; 5 φορές, το οποίο 5 θα μπει κοντά στο 3 στην πλάγια γραμμή για τον δεύτερο χαρακτήρα του πηλίκου που είναι 5 και θα μπει πάνω από το 5 του 15 διαγράφοντας το 15 και το 2. Μετά πολλαπλασιάζουμε τον διαιρέτη 8 με το πηλίκο 5 , που κάνει 40, και αφαιρείται από το 55 και μένει 15. Διαγράφοντας το 55 και το 8 και διακρίνοντας το 15 με στραβές γραμμές από τους άλλους χαρακτήρες. Μετά κάνουμε μια γραμμή δίπλα στο πηλίκο 35 και βάζουμε από πάνω το υπόλοιπο και από κάτω τον ίδιο τον διαιρέτη 28 και η διάταξη των χαρακτήρων θα είναι όπως εμφανίζεται πιο πάνω. Λέω πως το πηλίκο είναι 35 και 15/28.

5. Ορίζει την πράξη εύρεσης του 4ου όρου μιας ακολουθίας τριών αριθμών III. Ορισμός δεκαδικών αριθμών 1. Disme είναι ένα είδος Αριθμητικής, όπου η περιγραφή ενός συγκεκριμένου αριθμού και όλοι οι υπολογισμοί γίνονται μόνο από ακέραιους αριθμούς 2. Κάθε φυσικός αριθμός θα καλείται μονάδα και το σημάδι του θα είναι (0). Για παράδειγμα αντί να πούμε ότι ο αριθμός 364 έχει τριακόσιες εξήντα τέσσερις μονάδες, θα γράφουμε 364(0).

3. Κάθε 10ο μέρος της μονάδας θα το λέμε ένα πρώτο και θα το συμβολίζουμε με το (1) και το δέκατο μέρος του ενός πρώτου θα το λέμε δεύτερο και θα το συμβολίζουμε με (2) κ.λ.π. Για παράδειγμα ο αριθμός 3(1)7(2)5(3)9(4) σημαίνει 3 πρώτα, 7 δεύτερα, 5 τρίτα και 9 τέταρτα. Σύμφωνα με τον ορισμό του Stevin αυτό αντιστοιχεί 9/10 , 5/100, 7/1000 και 3/10000 4. Οι αριθμοί του δεύτερου και τρίτου ορισμού γενικά θα καλούνται Disme numbers.

IV. Πράξεις δεκαδικών αριθμών του δεκαδικού συστήματος

1. Αρχικά εξηγεί, με παραδείγματα, πως γίνεται η πρόσθεση , η αφαίρεση και ο πολλαπλασιασμός των δεκαδικών αριθμών (ακριβώς όπως τις κάνουμε σήμερα). Για να αποδείξει την ορθότητα των πράξεων χρησιμοποιεί τα δεκαδικά κλάσματα.

2. Στη συνέχεια ορίζει με ακρίβεια αποδεικνύοντας την, την πράξη της διαίρεσης. Μάλιστα εξηγεί και την διαίρεση της οποίας το αποτέλεσμα δεν μπορεί να εκφραστεί ακριβώς ούτε σαν δεκαδικός, καθώς έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία. Για παράδειγμα το 1/3. Στην περίπτωση αυτή εξηγεί γράφουμε τόσα δεκαδικά, όση η ακρίβεια που επιθυμούμε. Εδώ είναι σημαντικό το γεγονός ότι το έργο αυτό στοχεύει στην καθημερινή χρήση των μαθηματικών, και όχι στα μαθηματικά ως επιστήμης για λίγους. Επομένως και η επιθυμητή ακρίβεια συνήθως δεν ξεπερνάει τα 3 δεκαδικά ψηφία, όσα δηλαδή και οι υποδιαιρέσεις μεγεθών όπως τα mite (νόμισμα πολύ μικρής αξίας), grayne, κλπ. Ομοίως χρησιμοποιείται από τους σημαντικότερους γεωμέτρες , και τους αστρονόμους, στους σημαντικούς υπολογισμούς. Για παράδειγμα οι Ptolome& Johannes Montaregio δεν έχουν περιγράψει τους πίνακές τους των τόξων ,των χορδών, ή των ημίτονων, στην ακραία τελειότητα (δεδομένου ότι ενδεχομένως να έχουν κάνει από πολυώνυμους αριθμούς,) επειδή εκείνη η ατέλεια (εξετάζοντας το πεδίο και το τέλος εκείνων των πινάκων) είναι καταλληλότερη παρά η τέτοια τελειότητα.

3. Ο Stevin ασχολείται και με την εύρεση τετραγωνικών ριζών

4. Στα παραρτήματα του βιβλίου του αναφέρεται σε πρακτικές εφαρμογές των δεκαδικών αριθμών. Το ενδιαφέρον του προσανατολίζεται σε τομείς που είναι πολύ σημαντικοί στην καθημερινότητα και για τους οποίους η απλοποίηση των υπολογισμών ήταν μια ανάγκη. Για παράδειγμα για τη μέτρηση επιφάνειας γης ή όγκου υγρών. Στηρίζει δε τους υπολογισμούς αυτούς και στην έννοια της δύναμης με βάση το 10 και αποδεικνύει έτσι την χρησιμότητα του να υποδιαιρούνται οι μετρικές μονάδες με βάση το δεκαδικό σύστημα. Για αυτό και προτείνει μονάδες μέτρησης των μεγεθών με δεκαδικές υποδιαιρέσεις.

O Shakespeare και το ενδιαφέρον του για τα Μαθηματικά Ο William Shakespeare θεωρείται ως ο σημαντικότερος συγγραφέας που έγραψε στην αγγλική γλώσσα και ένας από τους σημαντικότερους δραματουργούς παγκοσμίως. Γεννήθηκε το 1564 και πέθανε το 1616 και άρα υπήρξε σύγχρονος του Simon Stevin. Στο έργο του Τρώιλος και Κασσάνδρα γίνεται αναφορά στους αριθμούς του δεκαδικού συστήματος. Το γεγονός αυτό φανερώνει μια άγνωστη πτυχή του ποιητή, μια αγάπη προς τα μαθηματικά, καθώς πρέπει να είχε γνώσει της εργασίας του Stevin. Και μάλιστα υποστήριξε την προσπάθεια του μαθηματικού για την καθιέρωση των αριθμών του δεκαδικού συστήματος προωθώντας του μέσα από το έργο του. Στην 2η σκηνή της 2ης πράξης του έργου του λοιπόν, ο Shakespeare αναφέρει στην έννοια του δέκατου και μάλιστα με τρόπο που υποδηλώνει ότι έχει πλήρως κατανοήσει το έργο του Stevin: * Every tithe soul, ‘mongst many thousand dismes(το δέκατο κάθε ψυχής, ανάμεσα στα δέκατα τόσων χιλιάδων ψυχών)* If we have lost so many tenths of ours(αν έχουμε χάσει τόσα δέκατα από εμάς)* The value of one ten(η αξία το ενός δέκατου) Επίσης ο ποιητής δείχνει να συμφωνεί με την πρόταση του Stevin για την καθιέρωση ενός μετρικού συστήματος με μεγέθη που να υποδιαιρούνται σύμφωνα με το δεκαδικό σύστημα. Για να δείξει την γνώμη του αυτή, αντιπαραθέτει την πολυπλοκότητα του μετρικού συστήματος της Βρετανίας: Of common ounces? (…) With spans and inches so diminutive Ounces : χρηματική μονάδα μέτρησης Spnas: μονάδα μέτρησης μήκους (πιθαμή) Inches: μονάδα μέτρησης μήκους (ίντσα) Hector Though no man lesser fears the Greeks than I As far as toucheth my particular, 10Yet, dread Priam, There is no lady of more softer bowels, More spongy to suck in the sense of fear, More ready to cry out 'Who knows what follows?' Than Hector is: the wound of peace is surety, Surety secure; but modest doubt is call'd The beacon of the wise, the tent that searches To the

bottom of the worst. Let Helen go: Since the first sword was drawn about this question, Every tithe soul, 'mongst many thousand dismes (δεκάτων), Hath been as dear as Helen; I mean, of ours: 21If we have lost so many tenths of ours, To guard a thing not ours nor worth to us, Had it our name, the value of one ten, What merit's in that reason which denies The yielding of her up? ΕΚΤΟΡΑΣ Αν και από με λιγότερο άλλος δεν φοβάται τους Έλληνες, ωστόσο εγώ σεβάσμιε Πρίαμε, πιο πρόθυμα και από την πιο τρυφερόπαρδη κυρία, την πιο σφουγγάρι να ρουφάει το αίσθημα του φόβου, φωνάζω: «Ποιος γνωρίζει τι έρχεται;» Το έλκος της ειρήνης είναι η ασφάλεια η σίγουρη η ασφαλισμένη σιγουριά. μα η λίγη αμφιβολία λέγεται πυροφάνι του σοφού και καθετήρας που ψάχνει το κακό στον πάτο. Ας πάει η Ελένη. Από το πρώτο που άστραψε σπαθί για αυτό το ζήτημα το δέκατο κάθε ζωής από την δεκάτη τόσων χιλιάδων ήταν ακριβό σαν την Ελένη – λέω τους δικούς μας. αφού χάθηκαν δικοί μας τόσα και τόσα δέκατα, για να κρατάμε πράμα που ούτε δικό μας είναι, ούτε έχει αξία, και αν είχε το όνομά μας όση και ένα δέκατο - , ποια έχει αξία αυτός ο λόγος που επιμένει να μην την παραδώσουμε; Διαβάζοντας το απόσπασμα παρατηρούμε ότι αυτός που χρησιμοποιεί το νέο αριθμητικό σύστημα είναι ο Έκτορας ενώ ο Τρώιλος εμμένει στο πολύπλοκο μετρικό σύστημα που ίσχυε ως τότε. Αυτό θα μπορούσε να είναι και ένα δείγμα του χαρακτήρα των χαρακτήρων αυτών. Ο Έκτορας δηλαδή είναι πιο ανοιχτόμυαλος και δεκτικός σε μια νέα κατάσταση όπως φαίνεται και από τα λόγια του. Κύριο μέλημα του είναι να φροντίσει να μην χαθούν άλλες ζωές. Αντίθετα ο Τρώιλος εμμένει στην απαρχαιωμένη ιδέα της τιμής και της ντροπής και είναι διατεθειμένος για αυτές τις ιδέες να θυσιάσει τόσες ζωές. Παρατηρούμε λοιπόν ότι ο χαρακτήρας και οι ιδέες των προσώπων του έργου εκφράζονται και μέσα από την χρήση ή όχι των νέων αριθμών και μέσων μέτρησης. ΤΡΩΙΛΟΣ Ντροπή, ντροπή αδελφέ μου! Ζυγιάζεις την αξία και την ντροπή ενός βασιλιά, μεγάλου σαν τον σεβαστό πατέρα μας, με ζύγια κοινά; Θέλεις με νόμισμα τρεχούμενο να λογαριάσεις το υπερδιάστατο του απείρου του; Να ζώσεις μέση που έξω είναι από κάθε μέτρο; με πιθαμές και πόντους, τόσο μειωτικά, όπως οι φόβοι και οι ορθολογισμοί; Ντροπή προς θεού!

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΒΙΚΥ ΣΑΚΚΑ

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ http://tefcrosmichaelides.wordpress.com/2009/10/12/%CE%B2%CE%B9%CE%BF%CE %B3%CF%81%CE%B1%CF%86%CE%B9%CE%BA%CF%8C/ http://www.biblionet.gr/main.asp?page=showauthor&personsid=17297 Βικιπαίδεια, Τελευταία τροποποίηση 23:29, 11 Νοεμβρίου 2011 Βικιπαίδεια, Τελευταία τροποποίηση 07:33, 4 Σεπτεμβρίου 2011 iii. www.in2life.gr/culture/book/.../article.asp... iv. www.bestprice.gr/.../oi-pyramides-ths-aigy... v.

www.biblionet.gr/main.asp?page...227

vi. www.greekbooks.gr/valtari-mika.personarthistory.ab... vii. Βικιπαίδεια, Τελευταία τροποποίηση 10:23, 27 Φεβρουαρίου 2012 Πηγή : http://en.wikipedia.org/wiki/Ancient_Egypt πηγή(http://eureka.lib.teithe.gr:8080/bitstream/handle/10184/574/kok_main.pdf?seque Από την ιστοσελίδα της έδρας του A.·.A.·.A.·.T.·.M.·.M.·. www.misraimmemphis.org Για την μετάφραση Π.Λιβιεράτος https://bolko.wordpress.com/tag/%CE%B1%CE%B9%CE%B3%CF%85%CF%80%CF%84% CE%B9%CE%B1%CE%BA%CE%BF%CE%AF-%CE%B8%CE%B5%CE%BF%CE%AF/ http://www.eemaa.eu/books/aegyptiake-gonia/me-dyo-patrides/22 Βυκιπαίδεια. http://el.wikipedia.org/wiki/Αιγυπτιακη_μυθολογια http://blogs.sch.gr/8lykkall/2008/05/23/αρχαια-αιγυπτος-μουμιες-μετα-θαν/ http://3.bp.blogspot.com/_ZshOK0cvEs/TA6Ke42nFOI/AAAAAAAAKCo/rm5n5dTCBVA/s1600/mummy+-+1.jpg http://www.troktikaras.com/2011/03/blog-post_3392.html http://www3.aegean.gr/gympeir/piramides.htm http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CF%85%CF%81%CE%B1%CE%BC%CE%AF%CE %B4%CE%B5%CF%82_%CF%84%CE%B7%CF%82_%CE%93%CE%BA%CE%AF%CE% B6%CE%B1%CF%82 http://www.focusmag.gr/articles/view-article.rx?oid=699 http://www.nea-acropoliathens.gr/index.php?option=com_content&view=article&id=222:2009-01-03-19-1908&catid=43:2008-03-11-08-23-52&Itemid=74 http://www.metafysiko.gr/?p=2476 http://www.mistiria.com/ancientgreece/piramides.html http://www.dimitriskaranikolas.gr/main.asp?ElementId=13860 http://sfrang.com/historia/selida102.htm

Από το βιβλίο: Η αφύπνιση της επιστήμης : Αιγυπτιακά, βαβυλωνιακά και ελληνικα μαθηματικά. Συγγραφείς: B.L van der Waerden. Εκδότης: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2007 Από το βιβλίο: Οι ιστορικές ρίζες των στοιχειωδών μαθηματικών L.Bunt- P. Jones- J. Bedient. Εκδότης: Πνευματικός, 1981 http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%8F%CF%81%CE%BF%CF%82 http://en.wikipedia.org/wiki/Eye_of_Horus https://www.google.gr/search?q=Wedjat,+eye+of+Horus&hl=el&safe=off&sa=G&pr md=imvns&tbm=isch&tbo=u&source=univ&ei=cfCST_TJEI_a4QSi4fXQDw&ved=0C EMQsAQ&biw=1280&bih=623&sei=3feST8rSE4bN4QTdss3QDw http://planetmath.org/encyclopedia/HekatDivisionsEgyptianWeightsAndMeasures.h tml Gillings R. 1971 -Mathematics in the time of pharaohs B. L. Van Der Waerden – Η αφύπνιση της επιστήμης. http://en.wikipedia.org/wiki/Egyptian_pyramids http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_pantsidis.pdf VAN DER WAERDEN B.L. Η ΑΦΥΠΝΙΣΗ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Αιγυπτιακά, βαβυλωνιακά και ελληνικά μαθηματικάΕκδόσεις: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις ΚΡήτης, 2000 .

Marshall Clagett: “Ancient Egyptian Science: A Source Book; Volume Three: Ancient Egyptian Mathematics”, American Philosophical Society, Philadelphia, 1999. http://www.youtube.com/watch?v=XdEuhhtivMw&feature=relmfu Πήγες:Britannica Online Encyclopedia The MacTutor History of Mathematics archive www.wikipedia.gr ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ» - Χρήστος Παντσίδης, ΑΘΗΝΑ 2006 ΒΙΒΛΙΟ: “Magic is No Magic” The Wonderful World of Simon Stevin, J.T.Devreese http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%95%CE%BB%CE%BB%CE%B7%CE%BD%CE%B9%CE%BA%CF% 8C_%CF%83%CF%8D%CF%83%CF%84%CE%B7%CE%BC%CE%B1_%CE%B1%CF%81%CE%AF %CE%B8%CE%BC%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82 http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_pantsidis.pdf

~ΤΕΛΟΣ~