Matematicas i by Mara Lopez

Matemรกticas I

Primer semestre

La Patria (1962), Jorge González Camarena. Esta obra ilustró la portada de los primeros libros de texto. Hoy la reproducimos aquí para mostrarte lo que entonces era una aspiración: que estos libros estuvieran entre los legados que la Patria deja a sus hijos.

Estimada, estimado estudiante del Telebachillerato Comunitario, este libro fue elaborado pensando en ti, forma parte de una colección que incluye todas las asignaturas del plan y los programas de estudio. En su elaboración participaron profesionales y especialistas en distintas disciplinas, quienes tomaron en cuenta tus necesidades e inquietudes. En estos libros hallarás contenidos y actividades que contribuirán a que logres un mejor desempeño ahora que cursas la Educación Media Superior. Tenemos la certeza de que con los materiales didácticos del Telebachillerato Comunitario, con el apoyo de tus maestras, maestros y con tu propio esfuerzo, tendrás un mejor aprovechamiento escolar y contribuirás al bienestar de tu comunidad y de México. Te deseamos éxito en esta importante etapa de tu formación.

Distribución gratuita, prohibida su venta

Matemรกticas I

Telebachillerato Comunitario. Primer semestre MatemĂĄticas I SecretarĂa de EducaciĂłn PĂşblica Aurelio NuĂąo Mayer SubsecretarĂa de EducaciĂłn Media Superior Rodolfo TuirĂĄn GutiĂŠrrez DirecciĂłn General del Bachillerato Carlos Santos Ancira Autores Misael Garrido MĂŠndez Luz del Carmen Llamas Casoluengo Israel SĂĄnchez Linares AsesorĂa acadĂŠmica Marcos JesĂşs NĂşĂąez Linares Martha Huerta Cruz AsesorĂa tĂŠcnico-pedagĂłgica SubdirecciĂłn AcadĂŠmica de Modalidades no Escolarizada y Mixta DGB DiseĂąo y diagramaciĂłn MarĂa del Pilar Castro RodrĂguez SaĂşl RĂos BernĂĄldez D.R. SecretarĂa de EducaciĂłn PĂşblica, 2015 Argentina 28, Centro, 06020, MĂŠxico, D.F. ISBN: Impreso en MĂŠxico

Prefacio Estimado estudiante, el libro que tienes en tus manos fue elaborado pensando en ti, en tus necesidades e inquietudes, como un instrumento que te apoye ahora que estudias el bachillerato. En sus páginas encontrarás contenidos y actividades que son fundamentales para que paso a paso, puedas alcanzar las metas que esta asignatura te propone para este semestre. A ti te toca, ahora, sacarle el mayor provecho a este libro, que es fruto del esfuerzo de un grupo de profesores y especialistas. Si lo haces tu amigo, lo aprovechas al máximo y lo combinas con el apoyo de tu maestro y de los demás recursos didácticos que están a tu alcance, seguramente ampliarás tus competencias y habilidades para construir un mejor futuro para ti y contribuir al desarrollo de tu comunidad, de tu estado y de nuestro México. Te deseamos éxito en esta importante etapa de tu formación: el bachillerato.

Tabla de contenido MatemĂĄticas I PresentaciĂłn general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ÂżCĂłmo estĂĄ estructurado este libro? . . . . . . . . . . . . . . 13 ÂżCuĂĄl es el propĂłsito de esta asignatura? . . . . . . . . . . . . 1

Bloque I. Resuelves problemas aritmĂŠticos y algebraicos RepresentaciĂłn de relaciones entre magnitudes. . . . . . . . . . . . . . . 2 Sistema de numeraciĂłn posicional decimal . . . . . . . . . . . . . . . . 2 NĂşmeros positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reglas de los signos para las operaciones aritmĂŠticas . . . . . . . . . . 3 FactorizaciĂłn aritmĂŠtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 NĂşmeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NĂşmeros decimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de los nĂşmeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 JerarquizaciĂłn de operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Modelos aritmĂŠticos y algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Calcular el valor numĂŠrico de una expresiĂłn algebraica . . . . . . . . . . 5

Bloque II. Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales NĂşmeros reales: representaciĂłn y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . NĂşmeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6LPSOLÂżFDFLyQ GH IUDFFLRQHV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 DivisĂłn de un nĂşmero racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 ([SUHVLyQ GH XQ Q~PHUR GHFLPDO ÂżQLWR HQ IRUPD GH IUDFFLyQ . . . . . . . 8 ExpresiĂłn de un nĂşmero decimal periĂłdico en forma de fracciĂłn . . . . . 8

Tabla de contenido Operaciones con números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Multiplicación de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Ubica en la recta numérica: números reales y sus simétricos, su valor absoluto y relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Valor absoluto de un número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Simétrico de un número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Relaciones de orden entre los números reales. . . . . . . . . . . . . . . 96 Tasas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Razones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Proporciones y variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Porcentajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105 Regla de tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 Regla de tres simple directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 Regla de tres simple inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Reconoce variaciones directas e inversas, así como modelos de variación proporcional directa e inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Bloque III. Realizas sumas y sucesiones de números Series y sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Sucesiones de un número racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130 Método para determinar los términos de una sucesión . . . . . . . . . .131 Método para determinar el término de una sucesión . . . . . . . . . . .132 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 Progresiones aritméticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 5HFRQRFH OD IRUPD DOJHEUDLFD GHO WpUPLQR Q௅pVLPR GH VXFHVLRQHV DULWPpWLFDV particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 ,GHQWL¿FD JUi¿FDPHQWH HO WLSR GH UHODFLyQ YDULDFLRQDO HQ OD IyUPXOD GHO Q௅pVLPR WpUPLQR GH VXFHVLRQHV DULWPpWLFDV SDUWLFXODUHV. . . . . . . . . .14 Sucesiones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

Tabla de contenido Reconoce tĂŠrminos de sucesiones geomĂŠtricas . . . . . . . . . . . . . .146 5HFRQRFH OD IRUPD DOJHEUDLFD GHO WpUPLQR QŕŻ&#x2026;pVLPR GH VXFHVLRQHV geomĂŠtricas particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147 Series geomĂŠtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148 ,GHQWLÂżFD JUiÂżFDPHQWH HO WLSR GH UHODFLyQ YDULDFLRQDO HQ OD IyUPXOD GHO QŕŻ&#x2026;pVLPR WpUPLQR GH VXFHVLRQHV JHRPpWULFDV SDUWLFXODUHV . . . . . . . . .152

Bloque IV. Realizas transformaciones algebraicas I Polinomios de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 EvaluaciĂłn de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173 Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Suma de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176 Resta de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177 MultiplicaciĂłn de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181 MultiplicaciĂłn de monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182 Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183 Cuadrado de una suma y diferencia de binomio . . . . . . . . . . . . . .184 Binomios con un tĂŠrmino comĂşn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186 Productos de dos binomios conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . .186 Binomio al cubo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187 TriĂĄngulo de Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 FactorizaciĂłn de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 MĂĄximo comĂşn divisor de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

Bloque V. Realizas transformaciones algebraicas II Trinomios de la forma x2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Trinomios de la forma ax2 + bx + c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

Tabla de contenido Operaciones con fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 DivisiĂłn de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 'LYLVLyQ VLQWpWLFD R UHJOD GH 5XIÂżQL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

Bloque VI. Resuelves ecuaciones lineales I Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 SoluciĂłn de ecuaciones lineales o de grado uno con una incĂłgnita . . . .25 5HSUHVHQWDFLyQ JUiÂżFD GH XQD HFXDFLyQ OLQHDO. . . . . . . . . . . . . . .2

Bloque VII. Resuelves ecuaciones lineales II Sistema de ecuaciones lineales con dos incĂłgnitas . . . . . . . . . . . . .28 MĂŠtodo de determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 MĂŠtodo de reducciĂłn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 MĂŠtodo de igualaciĂłn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 MĂŠtodo de sustituciĂłn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 0pWRGR JUiÂżFR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

Bloque VIII. Resuelves ecuaciones lineales III Sistemas de ecuaciones lineales con tres incĂłgnitas . . . . . . . . . . . . 31 MĂŠtodo de determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 MĂŠtodo eliminaciĂłn reducciĂłn (suma y resta) . . . . . . . . . . . . . . .31 *UiÂżFD GH XQ VLVWHPD GH HFXDFLRQHV OLQHDOHV GH LQFyJQLWDV. . . . . . .3

Tabla de contenido Bloque IX. Resuelves ecuaciones cuadrรกticas I Ecuaciones cuadrรกticas incompletas triviales . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Ecuaciones cuadrรกticas incompletas puras . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Ecuaciones cuadrรกticas incompletas mixtas . . . . . . . . . . . . . . . . .34 Ecuaciones cuadrรกticas completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Fรณrmula general para resolver ecuaciones cuadrรกticas . . . . . . . . . . .35 Ecuaciones cuadrรกticas con soluciones complejas . . . . . . . . . . . . . 35 Discriminante de una ecuaciรณn cuadrรกtica . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Bloque X. Resuelves ecuaciones cuadrรกticas II 3DUiEROD JUiยฟFR GH IXQFLRQHV FXDGUiWLFDV . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 6ROXFLRQHV GH HFXDFLRQHV FXDGUiWLFDV LGHQWLยฟFDGDV HQ ODV SDUiERODV. . .38 Transformaciรณn de y = ax2 +bx + c a \ D [ รญ K 2 + k. . . . . . . . . . . . .39

Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Apรฉndice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Presentaciรณn general Como parte de la formaciรณn bรกsica, se presenta la asignatura de Matemรกticas I. ร sta pertenece al campo disciplinar de las matemรกticas, que conforme al Marco CuUULFXODU &RP~Q WLHQH OD ยฟQDOLGDG GH SURSLFLDU HO GHVDUUROOR GH WX SHQVDPLHQWR OyJLFR y crรญtico, mediante procesos de razonamiento, argumentaciรณn y estructuraciรณn de LGHDV TXH IDFLOLWHQ WX IRUPDFLyQ FRPR FLXGDGDQR UHร H[LYR \ SDUWLFLSDWLYR HQIDWL]DQdo una perspectiva plural y democrรกtica. Su desarrollo implica que podrรกs interpretar el entorno social y cultural con sentido crรญtico, a la vez que podrรกs valorar prรกcticas distintas a las tuyas, y de este modo, asumir una actitud responsable hacia los demรกs.

PresentaciĂłn general

ÂżQuĂŠ es una competencia? (Q HO FRQWH[WR HGXFDWLYR XQD FRPSHWHQFLD VH GHÂżQH FRPR ÂłOD LQWHJUDFLyQ GH KDELOLGDGHV FRQRFLPLHQWRV \ DFWLWXGHV HQ XQ FRQWH[WR HVSHFtÂżFRÂ´ $FXHUGR 6HFUHtarĂa de EducaciĂłn PĂşblica, 2008). (O %DFKLOOHUDWR *HQHUDO EXVFD FRQVROLGDU \ GLYHUVLÂżFDU ORV DSUHQGL]DMHV \ GHVHPSHĂąos, ampliando y profundizando el desarrollo de competencias relacionadas con el campo disciplinar que promueve la asignatura de MatemĂĄticas I. Es por ello que se busca el desarrollo de las 11 competencias genĂŠricas. 1. Se conoce y valora a sĂ mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciaciĂłn e interpretaciĂłn de sus expresiones en distintos gĂŠneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludables. 4. Sustenta una postura personal y toma decisiones sobre temas de interĂŠs y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crĂtica \ UHĂ&#x20AC;H[LYD 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mĂŠtodos establecidos. 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interĂŠs y relevancia geneUDO FRQVLGHUDQGR RWURV SXQWRV GH YLVWD GH PDQHUD FUtWLFD \ UHĂ&#x20AC;H[LYD 7. Aprende por iniciativa e interĂŠs propio a lo largo de la vida. 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 9. Participa con una conciencia cĂvica y ĂŠtica en la vida de su comunidad, regiĂłn, MĂŠxico y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prĂĄcticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sostenible de manera crĂtica, con acciones responsables. Las competencias disciplinares, que son las habilidades que debes desarrollar y lo que tienes que aprender dentro del campo del conocimiento y la asignatura, se HQXQFLDUiQ DO SULQFLSLR GH FDGD EORTXH \ WH VHUYLUiQ SDUD LGHQWLÂżFDU WX DSUHQGL]DMH

¿Cómo está estructurado este libro? Inicio del bloque Al inicio de cada bloque encontrarás una breve introducción para sensibilizarte sobre el contenido, las competencias genéricas con sus atributos, las competencias disciplinares y los desempeños que se obtendrán a partir de los objetos de aprendizaje.

ÂżCĂłmo estĂĄ estructurado este libro?

Desarrollo del bloque Esta parte es fundamental, aquĂ encontrarĂĄs el contenido general y disciplinar que necesitas para acercarte intelectualmente al tema de las matemĂĄticas. A lo largo del bloque se intercalan estrategias didĂĄcticas de aprendizaje, actividades acompaĂąadas de imĂĄgenes, ejemplos, preguntas detonadoras y evaluaciones. Todo esto estarĂĄ relacionado con los contenidos y las competencias a desarrollar. TambiĂŠn encontrarĂĄs algunos apoyos de estudio como cĂĄpsulas con datos interesantes y cuadros al margen del texto para reforzar tu aprendizaje, por ejemplo:

1. Glosario GHÂżQLFLRQHV \ tĂŠrminos para apoyar la comprensiĂłn.

2. Modelos matemĂĄticos, que te permitirĂĄn representar problemas para llegar a la soluciĂłn.

3. Procedimientos, que muestran la secuencia lĂłgica para llegar a soluciones.

¿Cómo está estructurado este libro?

4. Imágenes, que te ayudarán a la mejor comprensión de conceptos.

5. Figuras, que te permitirán realizar las actividades de aprendizaje.

6. Datos interesantes, que faciliten la relación de los contenidos con tu vida diaria.

6 3 5

ÂżCĂłmo estĂĄ estructurado este libro?

SimbologĂa que facilitarĂĄ tu proceso de aprendizaje DiseĂąo instruccional 3DUD LQLFLDU UHĂ H[LRQD ÂżCon quĂŠ conocimientos cuentas?

Aprende mĂĄs

Aplica lo aprendido

Actividad

Apoyos para reforzar el aprendizaje Glosario

5HĂ H[LRQHPRV VREUH OD DFWLYLGDG SabĂas que...

9HULĂ&#x20AC;FD WXV ORJURV Portafolio de evidencias Problemario

ÂżCĂłmo estĂĄ estructurado este libro?

Cierre del bloque $O WHUPLQDU FDGD WHPD VH WH SHGLUi XQD DFWLYLGDG \ SURGXFWR ÂżQDO SDUD TXH SXHGDV evaluar quĂŠ tanto has avanzado y quĂŠ ĂĄreas de oportunidad tienes; se te pedirĂĄ DQDOL]DU LQYHVWLJDU UHĂ&#x20AC;H[LRQDU \ DUJXPHQWDU El libro incluye actividades de aprendizaje para que puedas autoevaluar tu desemSHxR HQ HO ORJUR GH ODV FRPSHWHQFLDV SRU OR TXH DO ÂżQDOL]DU FDGD DFWLYLGDG SXHGHV consultar la retroalimentaciĂłn de la misma. Ten presente que cada actividad debe concretarse en una evidencia que irĂĄs recopilando en tu cuaderno y concentrando para la evaluaciĂłn del curso.

Los contenidos y las actividades se presentan de una manera atractiva. Aprovecha cada pregunta, el contenido, las actividades, ya que cada una incidirĂĄ en tu crecimiento personal, familiar y social. Trabaja con tu profesor y con tus compaĂąeros, acĂŠrcate a ellos, resuelvan dudas y aprendan juntos; date la oportunidad de construir con ellos este viaje. Esperamos que el curso sea interesante y fructĂfero.

¿Cuál es el propósito de esta asignatura? Construyes modelos algebraicos que representen situaciones problemáticas de su entorno y para obtener las soluciones, utilizarás el lenguaje algebraico y sus operaciones; las ecuaciones y sistemas; así como funciones lineales y cuadráticas que te permitirán analizar relaciones entre las magnitudes físicas involucradas en un SUREOHPD \ JHQHUDU ORV VX¿FLHQWHV DUJXPHQWRV SDUD IXQGDPHQWDU WXV UHVSXHVWDV H interpretaciones de los fenómenos que te rodean.

Bloque I Resuelves problemas aritmĂŠticos y algebraicos

loque I

Resuelves problemas aritmĂŠticos y algebraicos

IntroducciĂłn Para dar inicio a nuestro curso de matemĂĄticas, empezaremos comentando uno de los conceptos que rodean nuestra vida y que mĂĄs utilizamos, este concepto es el nĂşmero. Te imaginas, ÂżcĂłmo decirle la hora a alguien pero sin Figura 1.1. usar nĂşmeros? ÂżCĂłmo pedir en la tienda una cantidad de algo sin tener la idea de nĂşmero? De hecho la necesidad de representar la cantidad de algĂşn objeto no es nueva y se iniciĂł en la era de las cavernas cuando nuestros antepasados tuvieron que representar el nĂşmero de ovejas, perros, vacas o hijos que tenĂan. Los nĂşmeros son una representaciĂłn abstracta de una cantidad fĂsica; que tienen ciertas propiedades, reglas o normas que se han convenido para usarlos, como se muestra, en el desarrollo de este primer bloque.

ÂżQuĂŠ competencias desarrollarĂĄs? Competencias genĂŠricas

Atributos Â&#x2021;

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mĂŠtodos establecidos.

7. Aprende por iniciativa e interĂŠs propio a lo largo de la vida.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prĂĄcticas sociales.

Â&#x2021;

Ordena informaciĂłn de acuerdo a categorĂas, jerarquĂas y relaciones. ,GHQWLÂżFD ORV VLVWHPDV \ UHJODV R SULQFLSLRV medulares que subyacen a una serie de fenĂłmenos.

Â&#x2021;

$UWLFXOD VDEHUHV GH GLYHUVRV FDPSRV \ HVWDblece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

Â&#x2021;

3URSRQH PDQHUDV GH VROXFLRQDU XQ SUREOHPD R GHVDUUROODU XQ SUR\HFWR HQ HTXLSR GHÂżQLHQGR XQ FXUVR GH DFFLyQ FRQ SDVRV HVSHFtÂżFRV Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los TXH FXHQWD GHQWUR GH GLVWLQWRV HTXLSRV GH trabajo.

Â&#x2021;

'LDORJD \ DSUHQGH GH SHUVRQDV FRQ GLVWLQWRV SXQWRV GH YLVWD \ WUDGLFLRQHV FXOWXUDOHV PHGLDQWH OD XELFDFLyQ GH VXV SURSLDV FLUFXQVWDQFLDV HQ XQ FRQWH[WR PiV DPSOLR

Resuelves problemas aritmĂŠticos y algebraicos

Competencias disciplinares Â&#x2021;

Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021;

Â&#x2021; Â&#x2021;

Construye e interpreta modelos matemĂĄticos mediante la aplicaciĂłn de procedimientos aritmĂŠticos, algebraicos, geomĂŠtricos y variacionales, para la comprensiĂłn y anĂĄlisis de situaciones reales, hipotĂŠticas o formales. Formula y resuelve problemas matemĂĄticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e Interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. $UJXPHQWD OD VROXFLyQ REWHQLGD GH XQ SUREOHPD FRQ PpWRGRV QXPpULFRV JUiÂżFRV DQDOtWLcos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemĂĄtico y el uso de la tecnologĂa de la informaciĂłn y la comunicaciĂłn. &XDQWLÂżFD UHSUHVHQWD \ FRQWUDVWD H[SHULPHQWDO R PDWHPiWLFDPHQWH ODV PDJQLWXGHV GHO HVpacio y las propiedades fĂsicas de los objetos que lo rodean. ,QWHUSUHWD WDEODV JUiÂżFDV PDSDV GLDJUDPDV \ WH[WRV FRQ VtPERORV PDWHPiWLFRV \ FLHQWtÂżcos.

ÂżCon quĂŠ propĂłsito? Aprendes la soluciĂłn de problemas aritmĂŠticos y algebraicos en el contexto de los nĂşmeros reales.

ÂżQuĂŠ aprenderĂĄs y cĂłmo? Contenidos curriculares

DescripciĂłn

MetodologĂa Â&#x2021; Â&#x2021;

Â&#x2021; Conceptuales

Â&#x2021;

RepresentaciĂłn de relaciones entre magnitudes. Modelos aritmĂŠticos o algebraicos.

Â&#x2021;

EfectĂşas observaciones de REMHWRV \ JUiÂżFRV Analizas y comprendes textos y FĂłrmulas Relacionas InformaciĂłn de relaciones entre magnitudes. Analizas la resoluciĂłn de problemas mediante la interpretaciĂłn de modelos aritmĂŠticos o algebraicos.

ContinĂşa...

loque I Â&#x2021;

Â&#x2021; Procedimentales

Â&#x2021;

Actitudinales

Resuelves problemas aritmĂŠticos y algebraicos

,GHQWLÂżFD IRUPDV GLIHUHQWHV GH representar nĂşmeros positivos, decimales en distintas formas. Jerarquiza operaciones numĂŠriÂ&#x2021; cas al realizarlas. Calcula porcentajes, descuentos e intereses en diversas situaciones. Representa relaciones numĂŠricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones.

Â&#x2021; Valora la importancia del trabajo con orden y limpieza al desarrollar cada una de las actividades Â&#x2021; de aprendizaje. Compartir ideas mediante productos con otras personas para promover el trabajo colaborativo. Â&#x2021;

Realizas ejercicios y aplicando las propiedades de las relaciones entre ĂĄngulos.

Realizas la exposiciĂłn de trabajos con criterios de orden y limpieza. Escuchas con respeto y atenciĂłn las opiniones y/o argumentos de otras personas. Interpretas y das seguimiento a las instrucciones.

ÂżQuĂŠ tiempo vas emplear? Considera ocho horas para el desarrollo de este bloque, lo mĂĄs recomendable es que utilices cuatro horas para revisar los contenidos temĂĄticos y cuatro horas para llevar acabo las actividades propuestas y el desarrollo de tu DominĂł.

EvaluaciĂłn del aprendizaje: productos Durante este bloque obtendrĂĄs los siguientes productos de aprendizaje que ponGUiQ GH PDQLÂżHVWR HO GHVDUUROOR GH WXV FRPSHWHQFLDV Â&#x2021; Â&#x2021;

Problemario DominĂł con modelos matemĂĄticos: aritmĂŠticos y algebraicos.

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

para tener idea clara de los criterios de evaluación que debes cubrir para entregarlo a tu profesor. Dominó con modelos matemáticos: aritméticos y algebraicos. (ODERUDUiV ¿FKDV GH dominó basadas en la aplicación de los contenidos abordados en este bloque I, de modo que jugando y divirtiéndote puedas combinar la práctica con la teoría de los contenidos. Este juego lo realizarás utilizando problemas aritméticos y algebraicos similares a los realizados en el bloque. El material producido por tu equipo deberá presentar diseños creativos, económicos y fáciles de manipular; preferentemente, empleando materiales reciclados (madera, papel cascarón, cartulinas, etc.).

loque I

Resuelves problemas aritmĂŠticos y algebraicos

3DUD LQLFLDU UHĂ H[LRQD 1. Si no existieran sistemas de numeraciĂłn, ÂżcĂłmo representarĂas tu edad?

2. ÂżCĂłmo expresarĂas la cantidad de pĂĄginas de este libro?

3. ÂżCĂłmo le dirĂas a un conductor el domicilio al que te tiene que llevar?

4. ÂżConoces representaciones numĂŠricas con sĂmbolos?, ÂżcuĂĄles?

5. ÂżQuĂŠ es un nĂşmero positivo?

ÂżCon quĂŠ conocimientos cuentas? EvaluaciĂłn diagnĂłstica Instrucciones (1): Escribe las palabras que complementan los siguientes enunciados. 1. Dependiendo de los grupos culturales, en el desarrollo de las matemĂĄticas existieron diversos sistemas de numeraciĂłn. Menciona al menos dos que conozcas: _________________________________ ______________________ . y 2. De las antiguas culturas europeas, ÂżquĂŠ numeraciĂłn se sigue utilizando hoy en

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

día para numerar aniversarios o hacer referencia a algún siglo?_____________.

3. De las culturas mesoamericanas, ¿quiénes emplearon un sistema de numeración posicional?

4. ¿Qué civilización utilizó por primera vez en la historia el cálculo de áreas?

5. ¿Qué sistema de numeración utilizamos cotidianamente?

Instrucciones (2): 5HDOL]D ODV UD]RQHV R MXVWL¿FDFLRQHV QHFHVDULDV SDUD UHVROYHU OR que se solicita, realizando los procedimientos y operaciones en tu libreta. 6. Juan compró un balón de futbol soccer en $337.25, una playera de $188.57, un pants de su equipo favorito de $280.60 pesos y una calcomanía de $23.48. Si pagó con un billete de $1,000 pesos, ¿cuánto le regresarán de cambio?

7. La calcomanía que compró Juan mide 13.6 cm de largo y 7.45 cm de ancho. ¿Cuánto mide su perímetro?

¿Cuánto mide su área?

8. De la siguiente lista de números, tacha los que son primos: 3, 9, 18, 19, 25, 39

9. ¿De qué otra forma es posible representar la fracción

3 ? 4

10. Al desarrollar la expresión 5 + 3 × 4, Juan obtuvo como resultado 32; Pedro por su parte 17. ¿Quién está en lo correcto? Explica por qué.

loque I

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV /RV SURFHGLPLHQWRV \ RSHUDFLRQHV SDUD OOHJDU D OD VROXFLyQ GH HVWRV HMHUFLFLRV IRUPDUiQ SDUWH GH WX SUREOHPDULR

Si de la actividad anterior respondiste correctamente de 8 a 10 respuestas considera tu resultado como Bien, de 6 a 7 como Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 6 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que refuerces tus conocimientos previos.

¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

Ahora que ya te has dado cuenta de tus fortalezas y oportunidades. Refuerza tus conocimientos consultando los siguientes conceptos: Sistemas de numeración, áreas, numeración posicional, operaciones aritméticas, números primos.

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Aprende más Representación de relaciones entre magnitudes Las matemáticas rodean nuestra vida. Uno de los conceptos que más utilizamos es el de sentido del número, el cual describe, de manera abstracta, una cantidad determinada de objetos. Las necesidades numéricas de los primeros humanos se limitaban al conteo de elementos. Para ello usaban sus dedos o piedras o nudos en cuerdas, etcétera. Con el tiempo, estas manifestaciones y conocimientos del número se fueron estructurando a partir del uso de numerales para representar a los números, hasta llegar a establecer las bases para desarrollar sistemas numéricos que permitieron la expresión de FDQWLGDGHV ¿QLWDV H LQ¿QLWDV PiV HO GHVDUUROOR GH ODV operaciones aritméticas.

Número: concepto que expresa la medida de una magnitud o cantidad en relación a una unidad. Numerales: símbolo con el que se representa a un número. Ángulo: es la unidad de medida que nos permite conocer la amplitud con la que dos rectas se interceptan entre sí.

Sistema de numeración posicional decimal El sistema que usamos para representar cantidades se llama indo-arábigo o decimal, éste se originó en la India y su difusión estuvo a cargo de los árabes en toda Europa, de ahí viene el nombre de números arábigos. Los símbolos que empleamos en nuestro sistema de numeración tienen como elemento geométrico de base el ángulo. La cantidad de ángulos que tienen los símboORV SHUPLWLy DVRFLDUORV FRQ FDQWLGDGHV HVSHFt¿FDV /DV VLJXLHQWHV ¿JXUDV H[SOLFDQ el origen de los símbolos que usamos para representar números actualmente:

Figura 1.2. Origen de los símbolos numéricos.

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Un VLVWHPD GH QXPHUDFLyQ SRVLFLRQDO, es un conjunto ordenado de símbolos, denominados dígitos, cuyas reglas permiten representar datos numéricos. La norma principal de los sistemas de numeración, es que un mismo símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupe dentro de una cantidad. El sistema decimal que manejamos se llama posicional ya que de acuerdo con la posición de un dígito es el valor que tiene. El primer número de derecha a izquierda indica las unidades, el siguiente número indica las decenas, el tercer número indica las centenas el cuarto número indica los millares Ejemplo: La cantidad 1204 está conformada por tres números y cada uno representa un valor diferente, los valores se muestran en la siguiente tabla. Tabla 1.

Millares

Centenas

Decenas

Unidades

Los sistemas de uso común en el diseño de sistemas digitales son: el decimal, el binario, el octal y el hexadecimal, estos son los sistemas de numeración más usados en la actualidad. El sistema que nosotros usamos para contar es de base 10, es decir, (1010), y sus símbolos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Para expresar un número se debe colocar en una determinada posición, que denota la potencia de la base (Xn) y para entenderlo desarrollemos cantidades de nuestro sistema decimal. Si los colocamos en una tabla de valores posicionales, de menor a mayor valor, que expresan potencias de 10 tendremos: 100 son unidades, 101 son decenas, 102 centenas, 103 unidades de millar, y así, sucesivamente.

1/10 Décimas

10í3

10í4

1/100 1/1000 1/10000 Diez milésimas

100000 10000 1000 100

Punto decimal

10í1 10í2

Milésimas

100

Centésimas

Unidades

Centenas

Unidades de millar

...

Decenas de millar

...

Centenas de millar

...

Decenas

Tabla 2. 2

... ...

...

La tabla de valores posicionales es un arreglo de potencias positivas y negativas de la base.

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Si representamos las potencias de 10 en fracciĂłn, con valores posicionales de mayor a menor, tendremos: 1

10Ă =

= dĂŠcimas, 10-2 =

1 1 = centĂŠsimas, 10Ă = milĂŠsimas, etc. 1000 100

Los sistemas numĂŠricos posicionales tienen: base (Xn) , dĂgitos y valor posicional. De acuerdo con lo anterior, un nĂşmero como 28.735 se compone de: Parte entera: 2 u 101

8 u 100 2 u 10

8 u1

Es decir 28.735 2 u 10

8 u1

Parte fraccionaria: 7 u

1 1 1

3 u 5 u 10 100 1000

7 3 5 , que se lee como:

10 100 1000

2 decenas 8 unidades 7 dĂŠcimas 3 centĂŠsimas y 5 milĂŠsimas. Ejemplo 1: Expresa en notaciĂłn desarrollada al nĂşmero 320.25. SoluciĂłn: 10 2

2u 101

0u 10 0

2u 10 1

5 u 10 2 320.25 3 u 1 1 3u 100

2u 10

0u 1

5u 10 100 2 5

Es decir: 320.25 300 10 100 Que se lee como: 3 centenas 2 decenas 0 unidades 2 dĂŠcimas y 5 centĂŠsimas o VLPSOHPHQWH FHQWHQDV GHFHQDV GpFLPDV \ FHQWpVLPDV

Ejemplo 2: Expresa en notaciĂłn desarrollada al nĂşmero 107.03. SoluciĂłn: 10 2

0u 101

7 u 10 0

0u 10 1

3u 10 2 107.03 1 u 1 1 1u 100

0u 10

7 u 1

3u 10 100 0 3 Es decir: 107.03 100 0 7

10 100 Que se lee como: 1 centena 0 decenas 7 unidades 0 dĂŠcimas y 3 centĂŠsimas o VLPSOHPHQWH FHQWHQD XQLGDGHV \ FHQWpVLPDV

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Aplica lo aprendido

Actividad 1 Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas, anotando en tu libreta los procedimientos que te permitan llegar a la respuestas y sean evidencia de la aplicación de reglas y conceptos estudiados. 1. ¿Por qué decimos que un sistema es posicional?

2. Si en un sistema numérico, el dígito más grande es 9, ¿cuál es la base?

3. El número 5555 está representado por un solo símbolo, pero ¿qué valor representa cada uno de los cinco?

4. Representa con notación desarrollada el número 345666.432

5. Convierte cada uno de los siguientes números escritos en notación desarrollada. a) 327.45 en base 10 = b) 678.120 en base 10 =

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Aprende más

Números positivos Si colocamos al cero como un punto de una recta numérica, entonces los números positivos son los que quedan representados como puntos a la derecha del cero y los negativos se representan a la izquierda. Al conjunto de números positivos se les conoce como números naturales (N). Negativos

Positivos

____________________________ | í 0 Cero Figura 1.3. Recta numérica.

Los Q~PHURV QDWXUDOHV QRV SHUPLWHQ FRQWDU ORV HOHPHQWRV GH XQ FRQMXQWR: dado un número natural, es posible saber cuál es su antecesor y cuál su sucesor. Una forma de distinguir a los números positivos es anteponiéndoles el signo +, por ejemplo: Positivo tres se puede escribir: +3 o simplemente 3 Positivo cinco sextos se puede escribir:

5 5 o simplemente 6 6

Positivo tres enteros doce centésimos se puede escribir: +3.12 o simplemente 3.12 En este curso consideraremos al número uno (1) como primer número y, se llaman naturales debido a que surgieron de contar naturalmente por nuestros antepasados, así tenemos que el conjunto de los números naturales es: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} Si disponemos de dos o más números positivos podemos relacionarlos de modo que se produzca un tercero de esa relación. Las relaciones entre números se conocen como operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, división, potencia, radicación, entre otras. Estas operaciones nos facilitan la solución de problemas que involucren cantidades.

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Reglas de los signos para las operaciones aritmĂŠticas Suma a) Cantidades con signos iguales se suman y al resultado se le antepone el signo que tiene cada cantidad. (+8) + (+5) = +13 Ă Ă Ă b) Cantidades con signo diferente se restan y al resultado se le antepone el signo de la cantidad con mayor valor absoluto. Ă Ă Ă

Resta El minuendo se suma con el inverso aditivo del sustraendo y al resultado se le antepone el signo de la cantidad con mayor valor absoluto. Ă Ă Ă Ă Ă Ă Ă

MultiplicaciĂłn y divisiĂłn a) El producto o cociente de dos cantidades con signos iguales es positivo. (+) Ă&#x2014;/Ăˇ (+) = (+) Ă ĂŽ Âˇ Ă

b) El producto o cociente de dos cantidades con signos diferentes es negativa. ĂŽ Âˇ Ă Ă

Ă ĂŽ Âˇ Ă

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Ejemplo 1: Restar Ă Ă Ă Ă Ă

minuendo

sustraendo

El minuendo se suma con el inverso aditivo del sustraendo

Ejemplo 2: Resolver D ĂŽ Ă Ă

E Ă Âˇ Ă

FactorizaciĂłn aritmĂŠtica Escribe el nĂşmero 60 como la multiplicaciĂłn de otros nĂşmeros. Anota todas las soluciones encontradas y compĂĄralas. Escribe una conclusiĂłn al respecto.

Como pudiste analizar la soluciĂłn anterior, existen muchas formas de escribir una cantidad como multiplicaciĂłn de otras cantidades. AsĂ, para el 60, tenemos las siguientes opciones: 60 = 6 Ă&#x2014; 10, 60 = 2 Ă&#x2014; 30, 60 = 4 Ă&#x2014; 15, 60 = 2 Ă&#x2014; 3 Ă&#x2014; 10. EtcĂŠtera. )DFWRUL]DU XQD FDQWLGDG VLJQLÂżFD HVFULELUOD FRPR OD PXOWLSOLFDFLyQ GH RWUDV FDQWLGDdes, diferentes de ella, de modo que ninguna de estas cantidades se pueda factorizar mĂĄs. Las cantidades que participan de una multiplicaciĂłn se denominan factores y las cantidades que solo pueden expresarse como el producto de ellas por la unidad se denominan nĂşmeros primos, por lo que factorizar una cantidad es expresarla como el producto de sus factores primos. El conjunto de nĂşmeros primos inicia con el 2. La cuestiĂłn que provoca revuelo es Âżpor quĂŠ el 1 no es considerado nĂşmero primo? El 2 se puede escribir como 2 Ă&#x2014; 1, el 3 como 3 Ă&#x2014; 1, el 5 como 5 Ă&#x2014; 1, de modo que nos damos cuenta que los nĂşmeros primos tienen dos factores, lo que no ocurre con el 1, motivo por el que se excluye de este conjunto. Los nĂşmeros mayores que 1 que no son primos se denominan nĂşmeros compuestos. Ejemplo: La factorizaciĂłn completa de 60 es: 60 = 2 Ă&#x2014; 2 Ă&#x2014; 3 Ă&#x2014; 5, abreviando la multiplicaciĂłn de 2 por 2 con una potencia, tenemos: 60 = 22 Ă&#x2014; 3 Ă&#x2014; 5. 60 es un nĂşmero compuesto porque se expresa como producto de mĂĄs de dos factores.

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Del ejemplo anterior, podemos decir que factorizar un número n consiste en expresarlo como el producto de números primos. Si esto solo es posible usando a n y a 1, se dice que n es número primo. Para factorizar números, utilizamos el proceso siguiente: 60 30 15 5 1

2 2 3 5

del cual podemos escribir 60 = 2 × 2 × 3 × 5.

Máximo común divisor aritmético (m.c.d.) De un conjunto de números enteros, el máximo común divisor aritmético es el producto de todos los divisores comunes a todos los números de ese conjunto. De este modo, para el conjunto A = {48, 60, 72, 90} buscamos el mayor divisor de todos los números en A. Podemos darnos cuenta que todos los números son pares, de modo que un divisor común es 2, pero hay divisores mayores que 2, como 4. Por tanto, 2 no puede ser considerado el máximo común divisor. Buscar divisores comunes a todos los números en A que sean mayores que 4 puede resultar difícil de este modo. Existe un método para encontrar el máximo común divisor aritmético basado en la factorización de un número, que utilizaste en cursos anteriores de Matemáticas y que ahora recordamos con los siguientes ejemplos: Se desea conocer el mcd para los números 6, 12 y 24: 6 12 18 2 3 6 9 3 1 2 3

mcd (6, 12, 18) = 2 × 3 = 6

El mcd para los números 48, 80 y 96 es: 48 24 12 6 3

80 40 20 10 5

96 48 24 12 6

2 2 2 2

mcd (48, 80, 96) = 2 × 2 × 2 × 2 = 24 = 16

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

El mcd para los números 84, 126 y 154 es: 84 126 154 2 42 63 77 7 6 9 11

m.c.d. (84, 126, 154) = 2 × 7 = 14

Siguiendo los procedimientos anteriores, si: 1. 18 y 24 son divisibles por 2, por 3 y por 6. ¿Hay algún número mayor que 6 que dividida a 18 y 24? No, entonces 6 es el m.c.d. de 18 y 24. 2. 60, 100 y 120 son divisibles por 2, 4, 5, 10 y 20. No hay ningún número mayor que 20 que los divida a los tres. Entonces 20 es el m.c.d . de 60, 100 y 120.

Mínimo común múltiplo aritmético (m.c.m.) Se descomponen los números en sus factores primos y el m.c.m. se forma con el producto de sus factores primos comunes y no comunes afectados de su mayor exponente. Se desea conocer el m.c.m. de 50, 80, 120 y 300. 50 = 2 × 52 80 = 24 × 5 Se factoriza cada número: 120 = 23 × 3 × 5 300 = 22 × 3 × 52 El m.c.m. estará formado por el factor 2 elevado a su mayor exponente que es 4, multiplicado por el factor primo 5 elevado a su mayor exponente que es 2, multiplicado por el factor primo 3, elevado a su mayor exponente que es 1. Luego el m.c.m. (50, 80, 120, 300) = 24 × 52 × 3 = 1200, este concepto también se conoce como común denominador para las operaciones con los números racionales (fracciones). Por ejemplo, si tenemos las fracciones: 3 5 y 4 12

Podemos hacerlas homogéneas haciendo que ambas tengan el mismo denominador: 12 en este caso. Este denominador común es el mínimo común múltiplo de 4 y

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de 12. Para obtener el m.c.m de nĂşmeros basta con factorizarlos simultĂĄneamente hasta obtener 1 en cada denominador como se ilustra en el siguiente proceso: Ă 2 Ă 2 Ă 3 Ă

(2)(2)(3) = 12

3 se puede escribir con denominador 12 si multiplicamos 4 3 3 3 9 por 3 su numerador y denominador: Â&#x2DC;= 4 4 3 12

AsĂ, la primera fracciĂłn

Este factor se obtuvo dividiendo el m.c.m. = 12 entre el denominador 4 dando como resultado 3. Aplicando este proceso para calcular m.c.m. (4, 12), tenemos que: 4 = 22 y 12 = 22 Ă&#x201A; SRU OR TXH P F P 2 Ă&#x201A; Ă&#x201A; Dado que el m.c.m. se calcula para obtener el denominador que hace homogĂŠneas todas las fracciones de una suma o resta, tambiĂŠn se conoce como comĂşn denominador. Para sumar o restar fracciones heterogĂŠneas se emplea el proceso indicado por la siguiente expresiĂłn: f = Â&#x2DC;a ( r f2 = Â&#x2DC;b ( r ... M M a b , donde M = mcm PFP (m, (P, n, ...) y f1 , f2 , ... ( r ( r ... 1 m n M m n

Aplica lo aprendido

Actividad 2 Instrucciones: 5HVXHOYH ODV VLJXLHQWHV WDEODV 5HJLVWUD \ UHĂ&#x20AC;H[LRQD WXV UHVSXHVWDV respecto a los signos, para que despuĂŠs en plenaria las comentes con tus compaĂąeros de clase.

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1. Actividad para el desarrollo de habilidades, la suma aritmĂŠtica: Tabla 3.

Ă1

Ă3

Ă5

Ă8 4 Ă11 6 Ă9 Ă12

2. Actividad para el desarrollo de habilidades, la resta aritmĂŠtica: Tabla 4.

Ă 7

Ă1

Ă3

Ă5

Ă Ă

Ă12 4 Ă9

Ă Ă Ă Ă Ă

Ă14 2 Ă1

loque I

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3. Actividad para el desarrollo de habilidades de la multiplicaciĂłn: Tabla 5.

Ă&#x2014;

Ă1

ĂŽ Ă Ă

Ă8

Ă3

Ă5

Ă ĂŽ Ă

4 Ă11 6

4. Actividad para el desarrollo de habilidades de la divisiĂłn: Tabla 6.

Ăˇ

Ă1

Âˇ Ă Ă

Ă7

Ă8 4 Ă11 6 Ă9 Ă12

5. Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes arreglos de cantidades: a) 18, 24, 40

Ă9

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b) c) d) e) f)

5, 7, 10, 14 2, 3, 6, 12, 50 14, 38, 56, 114 14, 28, 30, 120 24, 48, 56, 168

5HÀH[LRQHPRV VREUH OD DFWLYLGDG

¿De qué te das cuenta? ¢4Xp FULWHULRV XWLOL]DUtDV SDUD LGHQWL¿FDU D ORV Q~PHURV FRPSXHVWRV"¢&XiQWRV números primos menores que 100 existen?¿Por qué razón el número 1 no es primo? Escribe de manera concreta tu solucion:

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Aprende mĂĄs

NĂşmeros racionales No todos los nĂşmeros positivos que procesamos son enteros: el precio de un proGXFWR HO SURPHGLR GH ODV FDOLÂżFDFLRQHV GH XQ DOXPQR TXH WHUPLQD OD VHFXQGDULD VRQ ejemplos que muestran cantidades de naturaleza no entera. Con el propĂłsito de resolver algunas situaciones en las que existe la necesidad de expresar resultados no enteros, la numeraciĂłn (N = nĂşmeros naturales) se extendiĂł hacia los nĂşmeros racionales (Q+). En diferentes contextos, los nĂşmeros racionales se expresan en forma de cociente: a b En donde a es el numerador o dividendo y b es el denominador o divisor, con la condiciĂłn de que b sea diferente de cero. A esta forma de representar a los nĂşmeros racionales se le conoce como fracciĂłn comĂşn. Una fracciĂłn de la forma

a es: b

3URSLD, cuando a < b (a menor que b); LPSURSLD cuando a > b (a mayor que b) o DSDUHQWH cuando a es divisible entre b. Algunas veces las fracciones impropias se expresan como nĂşmeros mixtos o viceversa, es decir: a

a u c b b c c

Ejemplo: 2

2 u 4 3 11 3 4 4 4

Los nĂşmeros racionales estĂĄn incluidos en los nĂşmeros reales, que son todos aquellos que se pueden representar como puntos en la recta numĂŠrica, de modo que, VL OD UHFWD QXPpULFD HVWi FRQIRUPDGD SRU XQ Q~PHUR LQÂżQLWR GH SXQWRV HQWRQFHV HO

Resuelves problemas aritmĂŠticos y algebraicos

FRQMXQWR GH Q~PHURV UHDOHV WDPELpQ HV LQÂżQLWR /RV Q~PHURV SRVLWLYRV QHJDWLYRV enteros y decimales son ejemplos de nĂşmeros reales.

ĂÂ&#x2019;

1 2

+1.5

+5 36

+9.5

Â&#x2019;

Figura 1.4.

Los nĂşmeros que para expresarse requieren de una parte entera y otra fraccionaria se denominan nĂşmeros fraccionarios y si la base empleada como base es el nĂşmero diez, se denominan nĂşmeros decimales. Los nĂşmeros en una recta numĂŠrica estĂĄn ordenados. De dos nĂşmeros represenWDGRV JUiÂżFDPHQWH HV PD\RU HO TXH HVWi VLWXDGR PiV D OD GHUHFKD \ PHQRU HO situado mĂĄs a la izquierda.

(MHPSOR ! Äş HV PD\RU TXH Ă Ă Äş Ă HV PHQRU TXH Ă

Figura 1.5.

Criterios para ordenar los nĂşmeros en la recta numĂŠrica Â&#x2021; 7RGR Q~PHUR QHJDWLYR HV PHQRU TXH FHUR Ă Â&#x2021; Todo nĂşmero positivo es mayor que cero, 7 > 0 Â&#x2021; De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto, Ă ! Ă _Ă _ ! _Ă _

NĂşmeros decimales Estos surgen por diversas razones, por ejemplo, si usamos una unidad de medida como el metro, encontraremos objetos cuya longitud no sea un mĂşltiplo exacto de este modelo de unidad y tendremos que usar fracciones del metro para expresar la medida mĂĄs precisa de la longitud de este objeto: los decĂmetros, centĂmetros, milĂmetros, etc. Tu estatura es un buen ejemplo; los nĂşmeros decimales pueden interpretarse de tres maneras diferentes: Como divisiĂłn La expresiĂłn decimal de un nĂşmero racional se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador. Pueden obtenerse dos tipos de cocientes: uno con un nĂşme-

loque I

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UR ÂżQLWR GH FLIUDV Q~PHUR GHFLPDO \ RWUR FRQ XQ Q~PHUR LQÂżQLWR IUDFFLyQ LQÂżQLWD R periĂłdica). (MHPSOR GH Q~PHUR GHFLPDO FRQ FRFLHQWH ÂżQLWR: Juan compro en la tienda 3 kilos de arroz, si tiene que dividirlo entre su mamĂĄ y su hermana podrĂĄ darles un 1 kilo a cada una y lo que sobra dividirlo en dos partes iguales y dar una parte a su mamĂĄ y otra a su hermana, quedĂĄndole a cada quien 1 21 Ăł 1.5 kilos de arroz. (MHPSOR GH IUDFFLyQ LQÂżQLWD R SHULyGLFD 5 0.151515... 33

0.151515 33 5.000000 170

Ăł

050 150 05...

Como fracciones comunes

Â§ a Âˇ Las partes iguales en que dividimos un entero se denominan fracciones Â¨ Â¸8 y se ÂŠ b Âš aprovechan para expresar cuĂĄntas partes (a) se estĂĄn tomando de un entero dividi2 do (en b partes). Por ejemplo, equivale a tomar dos partes de un entero dividido 5 en cinco partes iguales.

*UiÂżFDPHQWH 1 5

1 5

Una forma usual de utilizar las fracciones comunes en diversos cĂĄlculos es el tanto SRU FLHQWR (%) todos los dĂas, por ejemplo: los intereses que generan los crĂŠditos bancarios, el porcentaje de mujeres en un salĂłn, el precio de oferta de un artĂculo con descuento en un centro comercial, etc. El % nos indica el nĂşmero que se toma de un entero dividido en cien partes. Por ejemplo: Â&#x2021;

30% representa

30 100

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Â&#x2021;

3.2% representa: 3.2 100

32 0.032

1000 P , NĂşmero decimal FracciĂłn comĂşn

Â&#x2021;

0.42% representa : 0.42 42 0.0042 100 10000

Aunque mĂĄs adelante estudiaremos los porcentajes, mostramos en este espacio algunos ejemplos de su uso. Ejemplo 1: Calcula el descuento de un perfume en una tienda sabiendo que su precio normal es de 350 pesos y la etiqueta de oferta indica un descuento de 25%. ÂżCuĂĄl es el precio de oferta? SoluciĂłn: 25 u 350 0.25 u 350 87.50 SHVRV 'HVFXHQWR GHO SUHFLR QRUPDO 100

3UHFLR GH RIHUWD 3UHFLR QRUPDO Ă 'HVFXHQWR Ă SHVRV 5HVSXHVWD HO GHVFXHQWR VHUi GH SHVRV SHVRV \ FHQWDYRV \ HO SUHFLR GH RIHUWD GHO SHUIXPH HV GH SHVRV SHVRV FRQ FHQWDYRV

Ejemplo 2: Si se solicita un prĂŠstamo de 2500 pesos por un plazo de un mes con un LQWHUpV PHQVXDO GHO Â˘&XiQWR VH WHQGUi TXH SDJDU DO ÂżQDO GHO PHV" SoluciĂłn:

5 u 2500 0.05 u 2500 125 SHVRV ,QWHUpV GHO PRQWR GHO SUpVWDPR 100

7RWDO D SDJDU DO ÂżQDO GHO PHV SHVRV

Como razĂłn geomĂŠtrica La razĂłn geomĂŠtrica es el nĂşmero que resulta de comparar por cociente dos magnitudes de la misma especie. Ejemplo 1: Si las edades de un joven y de su padre son 14 y 42 aĂąos respectiva-

loque I

mente; en el orden dado es

Resuelves problemas aritmĂŠticos y algebraicos

14 1 TXH DO VLPSOLÂżFDUVH UHVXOWD (VWR VLJQLÂżFD TXH HO 42 3

hijo tiene la tercera parte de la edad del padre. Ejemplo 2: En el teatro del pueblo las localidades de luneta cuestan $100, en tanto que las de galerĂa cuestan $80. Si hacemos una comparaciĂłn por cociente (razĂłn geomĂŠtrica), tenemos que: 100 5 LPSOLÂżFDQGR 1.25 Â&#x; 125% del costo de 80 4 80 4 la de galerĂa. La localidad de galerĂa representa VLPSOLÂżFDQGR 0.8 Â&#x; 80% 100 5

La localidad de luneta representa

del costo de la de luneta. El orden en que se comparan las cantidades es importante.

Aplica lo aprendido

Actividad 3 Instrucciones: 5HVXHOYH ORV VLJXLHQWHV HMHUFLFLRV HQ WX OLEUHWD 5HJLVWUD \ UHĂ&#x20AC;H[LRQD tus respuestas para que despuĂŠs las comentes con tus compaĂąeros de clase. 1. Forma equipo con tus compaĂąeros y, redacten 5 ejemplos de datos de tu vida FRWLGLDQD R GH VX HQWRUQR HQ ORV TXH LGHQWLÂżTXHQ Q~PHURV HQWHURV IUDFFLRQDULRV positivos y negativos. DespuĂŠs, expliquen la forma de usarlos de modo que las operaciones con ellos produzcan nuevos datos. Por Ăşltimo, elijan a uno de los integrantes del equipo para exponer sus ejemplos y conclusiones ante el grupo. Instrumento de evaluaciĂłn: Esta actividad serĂĄ evaluada por el profesor mediante un registro de la participaciĂłn en la actividad de los alumnos del grupo en su lista de control. ,GHQWLÂżFD FDGD XQD GH ODV VLJXLHQWHV IUDFFLRQHV DQRWDQGR GHQWUR GHO SDUpQWHVLV (p) si es propia; (i) si es impropia y (a) si es aparente.

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2 ( ) 4

1 ( ) 3

10 5

7 ( ) 21

3 3

9 ( ) 6

( )

6 ( ) 3

7 ( ) 1

2 ( ) 2 6 ( ) 7

3. Contesta las preguntas y escribe 3 ejemplos al respecto. a) ÂżSe puede expresar cualquier nĂşmero natural como el cociente de dos nĂşmeros enteros?______, por ejemplo:_______________________________________. b) ÂżLos nĂşmeros naturales se pueden considerar un subgrupo de los racionales?______, por ejemplo:___________________________________________.

4. Al analizar las fracciones comunes se puede observar que el denominador nos indica en _________________________________ y el numerador nos indica_______________________________________________________.

5. Ubica en la recta numĂŠrica las siguientes fracciones comunes. a)

3 4

3 2

c) 0

ĂÂ&#x2019;

Utiliza el espacio bajo la recta para indicar la posiciĂłn de cada fracciĂłn.

8 3

d) 1

18 6

3 Â&#x2019;

Äş

6. Investiga: a) ÂżCĂłmo se representa una fracciĂłn periĂłdica? b) ÂżCuĂĄl es el procedimiento que se utiliza para convertir una fracciĂłn periĂłdica en una fracciĂłn comĂşn? 7. En una tienda departamental se encuentra el departamento de mĂşsica con un 30% de descuento. Si un disco en particular cuesta 250 pesos, ÂżcuĂĄl es su precio de oferta?

loque I

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(VFULEH OD UD]yQ HQ FDGD FDVR 6LPSOLÂżFD a) Un auto con 8 litros de gasolina recorre 112 km. b) Una llave gotea 100 cm3 en 5 horas. c) Un autobĂşs recorre en 60 minutos los 80 km que separan dos poblados. 9. En un torneo de futbol, Omar anotĂł el 30% de goles de su equipo. Si en total obtuvieron 36 goles, ÂżcuĂĄntos fueron de este jugador?

3DUD YHULÂżFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV /RV SURFHGLPLHQWRV \ RSHUDFLRQHV SDUD OOHJDU D OD VROXFLyQ GH HVWRV HMHUFLFLRV IRUPDUiQ SDUWH GH WX SUREOHPDULR

Aprende mĂĄs

Propiedades de los nĂşmeros reales Cuando realizamos operaciones con los nĂşmeros reales, debemos tener claro que sĂłlo podemos realizar una operaciĂłn a la vez, de modo que es necesario saber cuĂĄl es el orden y quĂŠ propiedad correcta se aplica; para realizar todas las operaciones que aparezcan en una misma expresiĂłn. Estas propiedades para los nĂşmeros reales positivos son: 3URSLHGDG FRQPXWDWLYD /D SDODEUD YLHQH GHO YHUER FRQPXWDU TXH VLJQLÂżFD FDPELDU HQ HVWH FDVR VH UHÂżHUH D FDPELDU GH OXJDU (VWD OH\ GLFH TXH VH SXHGH FDPELDU HO orden de los nĂşmeros en una suma o multiplicaciĂłn y obtener la misma respuesta, es decir que a + b = b + a y que a Ă&#x201A; b = b Ă&#x201A; a. Ejemplo: 3 + 5 = 5 + 3 y (3)(5) = (5)(3) 3URSLHGDG DVRFLDWLYD /D SDODEUD YLHQH GHO YHUER DVRFLDU TXH VLJQLÂżFD MXQWDU R DJUXpar, no importa de quĂŠ manera se junten o agrupen, la respuesta siempre serĂĄ la misma. La expresiĂłn general de ĂŠsta propiedad es: Suma: (a + b) + c = a + (b + c)

MultiplicaciĂłn: (ab)c = a(bc)

Resuelves problemas aritmĂŠticos y algebraicos

De este modo, (5 + 7) + 3 es lo mismo que 5 + (7 + 3) porque ambas expresiones dan como resultado 15. (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15 y 5 + (7 + 3) = 5 + 10 = 15 $VLPLVPR Ă&#x201A; Ă&#x201A; HV OR PLVPR TXH Ă&#x201A; Ă&#x201A; FX\R UHVXOWDGR HV Ă&#x201A; Ă&#x201A; Ă&#x201A; \ Ă&#x201A; Ă&#x201A; Ă&#x201A; Esta propiedad sĂłlo se puede aplicar en sumas y multiplicaciones, nunca en restas \ GLYLVLRQHV SRUTXH Ă Ă QR HV LJXDO D Ă Ă y ELHQ Âˇ Âˇ QR HV LJXDO a 3 Ăˇ (5 Ăˇ 6). 3URSLHGDG GLVWULEXWLYD (VWD SDODEUD VH GHULYD GHO YHUER GLVWULEXLU TXH VLJQLÂżFD UHpartir, esta propiedad dice que si estĂĄn multiplicando un nĂşmero por la suma de dos o mĂĄs nĂşmeros puedes multiplicar el primer nĂşmero por cada uno de los otros y luego sumar para obtener la respuesta, se distribuye el producto en la suma. La expresiĂłn general de esta propiedad es a(b + c) = ab + ac. Ejemplo: 5(4 + 3) = 5(4) + 5(3) = 20 + 15 = 35 NĂşmeros neutros. Dentro de las matemĂĄticas existen 5 nĂşmeros que son muy importantes, en este bloque Ăşnicamente analizaremos, el cero (0) y el uno (1), Âżpor quĂŠ son especiales estos nĂşmeros? Porque son neutrales ante algunas operaciones, al operar con ellas, no las cambian. El cero es el elemento neutro para la suma y la resta, el nĂşmero uno es neutral ante la multiplicaciĂłn y la divisiĂłn. Esta propieGDG JHQHUDOL]DGD VH GHÂżQH FRPR 0 a a

Â˝ Âž suma y resta 0 a a Âż

u1 a a Â˝ Âž multiplicaciĂłn y divisiĂłn y 1 a a Âż

,QYHUVR \ ORV UHFtSURFRV En la recta numĂŠrica se puede observar que, indicando al cero como origen existen en uno y otro lado, cantidades numĂŠricas que estĂĄn a la misma distancia pero, con signo contrario, a estas cantidades se les llama inversos LQYHUVRV DGLWLYRV y sumados siempre dan como resultado cero. aditivos ÂżQuĂŠ nĂşmero multiplicado por

1 es igual a 1? Expresando en sĂmbolos la pregun2

1 WD VH GHÂżQH SRU x

Â§Â¨ 8ÂˇÂ¸ 1, el nĂşmero buscado en la expresiĂłn se llama inverso ÂŠ2 Âš multiplicativo o recĂproco. A continuaciĂłn se resaltan algunos casos.

loque I

Resuelves problemas aritmĂŠticos y algebraicos

1. Si la cantidad es fraccionaria, el recĂproco tambiĂŠn es una fracciĂłn, donde el numerador de una es el denominador de otra y viceversa, no importa si es positivo o negativo. Ejemplo: El inverso multiplicativo de

3 7 es ; porque el producto de estos valo7 3

Â§ 3 ÂˇÂ§ 7 Âˇ res es igual a Â¨ Â¸Â¨ 8 3 Â¸8 1 . ÂŠ 7 ÂšÂŠ Âš 2. El recĂproco de un nĂşmero entero, se escribe la unidad como numerador. Ejemplo: el inverso multiplicativo de 45 es

1 Â§ 1 Âˇ 45 , porque Â¨ 45 Â¸8 1 . 45 ÂŠ Âš

Una igualdad (=) es una relaciĂłn de equivalencia entre dos expresiones numĂŠricas o algebraicas que se cumple para alguno o todos los valores. Cada una de las expresiones recibe el nombre de miembro. Ejemplo de una igualdad aritmĂŠtica: Primer miembro = segundo miembro 7+ 3 + 6 = 16 (se cumple por el algoritmo aritmĂŠtico)

Aplica lo aprendido

Actividad 4 Instrucciones (1): Analiza las siguientes expresiones y escribe en el espacio correspondiente la(s) propiedad(es) que se aplica(n) en ellas. ([SUHVLyQ 1. (3x + 2y) + 5z = 3x + (2y + 5z)

Propiedades que se aplican

Resuelves problemas aritmĂŠticos y algebraicos

2. 4[ Ă \ 4x Ă y Ă \ Ă y + 4[ 4x

2 2 2 u u (5 x )

(6 x ) (5 x

6x ) u 3 3 3

Ă Ă

5. 6P 6m + 15n = 15n + 6P 6m

6. 2E 2b (7a + 8F 8c + 9d) = 14DE 14ab + 16EF 16bc + 18EG 18bd

7. 9 + 6 = 6 + 9

8. 6n Ă&#x2014; 4n Ă&#x2014; 7n = 4n Ă&#x2014; 7n Ă&#x2014; 6n

9. a(E a(b + F) c) = DE ab + DF ac

10. \([ y(x + z + w + W) t) = \[ yx + \] yz + \Z yw + \W yt

Instrucciones (2): Realiza las siguientes operaciones en tu cuaderno y analiza cada caso del elemento neutro, si la expresiĂłn es correcta escribe a continuaciĂłn en el parĂŠntesis la letra "V" (verdadero) y si es incorrecta coloca "F" (falso) y escribe la respuesta de manera correcta: ([SUHVLyQ

VoF

1. (3 + 1) Ă&#x2014; 0 = 0

(

)

2. (4 Ă&#x2014; 1) + 0 = 4

(

)

([SUHVLyQ FRUUHFWD

loque I

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Â§1 Â· Â§1 Â· 58 u1 u 18 (5 u 1) 3. Â¨3

Â¸ Â¨3 Â¸

Â© Â¹ Â© Â¹

(

)

Â§ 3 5 Â· Â§ 3 5 Â· 8 u1 8

4. Â¨Â¨ Â¸Â¸ Â¨Â¨ Â¸Â¸ 8 8 Â© 5 3 Â¹ Â© 5 3 Â¹

(

)

5. (3 Ã&#x2014; 1) + 5 = 3 + 5

(

)

Instrucciones (3): Escribe cuÃ¡l es el inverso aditivo de las siguientes expresiones. Inverso aditivo

([SUHVLyQ Ã x Ã [

3 ab 4

n m r p

2 Â· Â§ 3

n Â¸8 4. Â¨ m 5 Â¹ Â© 4

mx2 + nz + E b 5. P[

Instrucciones (4): De las siguientes operaciones analizar cada caso del inverso multiplicativo, califÃcalas de falso o verdadero. Si la expresiÃ³n es incorrecta, escribe la respuesta de manera correcta: ([SUHVLyQ Â§ m Â·Â§ n Â· 8 1. Â¨ 8 Â¸Â¨ Â¸ 1 Â© n Â¹Â© m Â¹

VoF (

)

([SUHVLyQ FRUUHFWD

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Â§ 2 Â· 8 2

1 2. Â¨

Â¸ Â© 1 Â¹

(

)

n b Â§m

Â·Â§ a

Â· 3. 8 8 Â¨ a

Â¸ Â¨ Â¸ 1 n Â© b Â¹Â© m

Â¹

(

)

Instrucciones (5): Escribe el inverso multiplicativo de cada cantidad. ([SUHVLyQ

Inverso multiplicativo

Ã ab Ã DE 2.

4x 3y

n 3 m

3DUD YHULÂ¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV /RV SURFHGLPLHQWRV \ RSHUDFLRQHV SDUD OOHJDU D OD VROXFLyQ GH HVWRV HMHUFLFLRV IRUPDUiQ SDUWH GH WX SUREOHPDULR

loque I

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Aprende mĂĄs

JerarquizaciĂłn de operaciones Al efectuar operaciones con dos o mĂĄs operaciones distintas es indispensable saEHU HQ TXp RUGHQ VH GHEHQ UHDOL]DU HVWR VLJQLÂżFD TXH KD\ RSHUDFLRQHV FRQ GLVWLQWD jerarquĂa y propiedades para poder realizar estas operaciones. Cuando realizamos operaciones con los nĂşmeros debemos tener claro que solo podemos realizar una operaciĂłn a la vez, de modo que es necesario saber cuĂĄl es el orden correcto para realizar todas las operaciones que aparezcan en una misma expresiĂłn. Este orden se denomina MHUDUTXtD GH ODV RSHUDFLRQHV o UHJOD GH SULRridad. Esta regla o jerarquĂa establece un orden de importancia para ejecutar las operaciones. La regla o jerarquĂa indica que: Primero. Se deben realizar las operaciones que aparezcan encerradas entre sĂmbolos de agrupamiento como parĂŠntesis (), llaves { } o corchetes [ ]. Si dentro de un agrupamiento hay otro, se debe evaluar el agrupamiento mĂĄs interno. Segundo. Si no hay operaciones agrupadas, se realizarĂĄn todas las potencias o raĂces en la expresiĂłn. Tercero. Si no hay operaciones agrupadas, ni potencias o raĂces, se evaluarĂĄn todas las multiplicaciones o divisiones de la expresiĂłn. Cuarto. Las Ăşltimas operaciones que se deben evaluar, a falta de las anteriores, son las sumas o restas que haya en la expresiĂłn.

3 Ejemplo: Se desea evaluar la expresiĂłn: 5

5 3 1. (YDOXDU XQD H[SUHVLyQ VLJQLÂżFD ÂłKDOODU HO YDORUÂ´ TXH SURGXFH 'H PRGR TXH DSOLFDQdo la regla de prioridad tenemos: 5

3 3 1 porque es operaciĂłn agrupa5

3 2 3 da, despuĂŠs 5

1 porque la potencia tiene la mayor importancia cuando ,

P 2

Resuelves problemas aritmĂŠticos y algebraicos

no hay operaciones agrupadas. Nota que los parĂŠntesis no encierran una operaciĂłn, sino un nĂşmero: el 2, para indicar que ĂŠste debe multiplicarse por el tres que le precede. Enseguida 5 2

1, porque la multiplicaciĂłn es de mayor prioridad , P 3

que la suma o la resta. Se obtiene como resultado, hasta este momento, la expresiĂłn: 5

6 1. En esta expresiĂłn quedan Ăşnicamente sumas y restas. Todas ellas son de la misma jerarquĂa o importancia. ÂżCuĂĄl de ellas debe realizarse primero? Para resolver este dilema se aplica una regla denominada UHJOD GH DVRFLDWLYLGDG, regla de asociatividad, que expresa que cuando en una expresiĂłn existan varias operaciones del mismo nivel de importancia ĂŠstas deberĂĄn evaluarse en el orden de apariciĂłn en la expresiĂłn, es decir, se irĂĄn evaluando de izquierda a derecha, como se ilustra en la continuaciĂłn del ejemplo: 5

6 1 , P 4

Luego 13 6

6 1 13

1 19 1 18 , P

8VDQGR XQD FDOFXODGRUD FLHQWtÂżFD SDUD FRPSUREDU VH WLHQH HO VLJXLHQWH SURFHVR 5

2 ^ 3

3 ( 5 3 ) 1 Se mostrarĂĄ en la pantalla: 18 Nota: Las teclas pueden variar de un modelo y marca de calculadora a otro. Algunas veces puede no ser evidente el orden de las operaciones en una expresiĂłn.

Ejemplo 1: Evaluar la expresiĂłn 10

15 32 4 3

Utilizar las reglas de prioridad y asociatividad correctamente. Escribir el proceso completo para llegar al resultado. SoluciĂłn:

Â§ Âˇ 2 3 5 4 3 10 22

Â¨ 15

1 1

Â¸8 y , P

1: por prioridad Âš ÂŠ

2: op. agrupada 3: op. agrupada 4: op. agrupada operaciĂłn agrupada

ContinĂşa...

loque I

Resuelves problemas aritmÃ©ticos y algebraicos

2 22

9 6 y6

10 15 5 5

y 6 3

10 2P 3 ,

6: prioridad 5: op. agrupada

15 6 5 10 3 5 10 4

3 , P

9: asociatividad

7:asociatividad

8: prioridad

15 7

, P

15 22

10: asociatividad

&RPSUREDFLyQ FRQ FDOFXODGRUD 2 ^ 2

( 15 3 ^ 2 ) y ( 5

1 )

( 4 1 ) ( 3

2 ) 10 6H PRVWUDUi HQ OD SDQWDOOD 22 1RWD /DV WHFODV SXHGHQ YDULDU GH XQ PRGHOR \ PDUFD GH FDOFXODGRUD D RWUR

Ejemplo 2: Evaluar la expresiÃ³n

5 72 7

16 1 3 6 2

Utilizar las reglas de prioridad y asociatividad correctamente. Debes escribir el proceso completo para llegar al resultado. SoluciÃ³n: 72 7 5

16 1 Âª 7 2 5 7 Âº y Â§ 2 3 6 Â· 16 1 Â§ 49 35 Â· y Â§ 8 6 Â· 16 1

Â« ,

Â¸8

Â¨

Â¸8

Â» Â¨ , P P P

Â¸8 Â¨ , , P 23

6 Â¹ Â«Â¬ Â»Â¼ Â© 4 Â¹ Â© 5 Â¹ 2 1 Â© 3 16 y 14 y 14

, 1 14 14

4 1 1,

4 1 5 1 4 P , P

P 6

&RPSUREDFLyQ FRQ FDOFXODGRUD ( 7 ^ 2 5 u 7 ) y ( 2 ^ 3 + 6 ) +

16 1 =

6H PRVWUDUi HQ OD SDQWDOOD 4 1RWD /DV WHFODV SXHGHQ YDULDU GH XQ PRGHOR \ PDUFD GH FDOFXODGRUD D RWUR

Resuelves problemas aritmĂŠticos y algebraicos

Aplica lo aprendido

Actividad 5 Instrucciones: ReĂşnete en binas y resuelve los siguientes ejercicios en tu libreta. 5HJLVWUD \ UHĂ&#x20AC;H[LRQD WXV UHVSXHVWDV SDUD TXH GHVSXpV ODV FRPHQWHV FRQ WXV FRPpaĂąeros de clase. 1. Resuelve los siguientes ejercicios, desarrollando procedimientos completos en tu libreta, que evidencien el uso de las reglas de prioridad y asociatividad, asĂ como el uso de operadores relacionales adecuadamente. Emplea la calculadora SDUD HVWLPDU OD VROXFLyQ QXPpULFD SDUD YHULÂżFDU ORV UHVXOWDGRV REWHQLGRV 1

42 2

36 9 4 1

7 25

82.75 9.1

4.3 6.9 5

30 y 15 y 3

64 6

21 2

4.52 2.8 2. Con calculadora evalĂşa la expresiĂłn

5.7 2 2.8

3. Coloca el sĂmbolo ">", "<" o "=" segĂşn corresponda.

17 5

3.53

214 5

SabĂas que...

9 6

1 4 1 3

3 3

50 veces

3(50)

Dos fracciones son equivalentes si sus productos cruzados son iguales: a c d bu c , si a u b d

loque I

Resuelves problemas aritmĂŠticos y algebraicos

Aprende mĂĄs Modelos aritmĂŠticos y algebraicos El hombre tratando de explicar fenĂłmenos de la naturaleza, como la forma, medida y diĂĄmetro de la tierra, la velocidad del aire, la temperatura de un cuerpo, la fuerza del agua, la epidemia que ocasiona una enfermedad mortal, la simulaciĂłn de eventos fĂsicos y quĂmicos por mencionar algunos, ha diseĂąado expresiones matemĂĄticas que han servido como base para modelar dichos fenĂłmenos, a travĂŠs GH OD VLPSOLÂżFDFLyQ GH FiOFXORV TXH GHEHQ UHDOL]DUVH IUHFXHQWHPHQWH D ORV TXH GHnominamos fĂłrmulas. Una fĂłrmula es una expresiĂłn matemĂĄtica que contiene operaciones entre varias FDQWLGDGHV TXH GHVFULEH XQ FiOFXOR HVSHFtÂżFR SDUD UHVROYHU XQ SUREOHPD ([LVWHQ fĂłrmulas matemĂĄticas para resolver problemas diversos. En una fĂłrmula matemĂĄtica encontramos sĂmbolos, letras y nĂşmeros que representan cantidades numĂŠricas y operaciones que lleven al resultado buscado, las letras se llaman variables y los nĂşmeros constantes. El ĂĄlgebra es la rama de la matemĂĄtica que considera el uso de sĂmbolos, como las letras y nĂşmeros, para representar cantidades y realizar operaciones con ellas. Por HVWR ODV YDULDEOHV VH GHQRPLQDQ ÂłYDULDEOHV DOJHEUDLFDVÂ´ Por ejemplo, para determinar la temperatura Celsius de una habitaciĂłn conociendo su temperatura Fahrenheit usamos la fĂłrmula: C

5 9

F 32

(Donde usamos letras, en lugar de palabras)

Si la temperatura Celsius es de 25 ÂşC, aproximadamente, sabrĂas que el clima en esa ciudad es agradable. Pero la fĂłrmula te permite descubrir la realidad del clima de esa ciudad:

Resuelves problemas aritmĂŠticos y algebraicos

5 9

35 9

25 32 59 7

4XH HV DSUR[LPDGDPHQWH GH Ă Â&#x17E;& 6L HO SXQWR GH FRQJHODciĂłn del agua es 0 ÂşC, entonces en esa ciudad hace mucho frĂo porque su temperatura estĂĄ por debajo de la temperatura de congelaciĂłn del agua. Por cierto, el congelador de un refrigerador comĂşn tiene esta temperatura aproximadamente todo el tiempo. Pasado algĂşn tiempo, otra noticia anuncia que la temperatura en una ciudad de Asia tiene una temperatura de 40 ÂşF. El problema es el mismo, la temperatura es diferente. La fĂłrmula que resuelve el problema es la misma, lo que cambia es el valor de las variables. Esto ocurre todo el tiempo.

Figura 1.6. El punto de congelaciĂłn del agua es 0Â°.

Calcular el valor numĂŠrico de una expresiĂłn algebraica Las reglas de prioridad (jerarquĂa de las operaciones) y de asociatividad nos facilitan evaluar expresiones aritmĂŠticas. Estas reglas son la base para calcular el valor de expresiones algebraicas o fĂłrmulas. Si queremos evaluar una fĂłrmula es necesario disponer de los datos numĂŠricos que serĂĄn usados para dar valor a las variables de esa fĂłrmula. Estos datos generalmente son expresados en los enunciados de los problemas, o bien, pueden ser obtenidos mediante procesos de conteo o mediciĂłn. Una vez que contamos con los datos numĂŠricos se realiza la sustituciĂłn de ellos en la fĂłrmula para continuar con la ejecuciĂłn de operaciones sin olvidar aplicar las reglas de prioridad y asociatividad que lleven a la obtenciĂłn del resultado buscado. Se muestran a continuaciĂłn ejemplos de la aplicaciĂłn del procedimiento de evaluaciĂłn de fĂłrmulas.

Figura 1.7. DiseĂąar circuitos elĂŠctricos requiere de cĂĄlculos algebraicos.

Ejemplo 1: EvalĂşa la expresiĂłn algebraica E = mc2 para los valores m = 5 y c = 2. SoluciĂłn:

ContinĂşa...

loque I

Resuelves problemas aritmĂŠticos y algebraicos

E mc 2 SustituciĂłn de m 5 y c 2: 2

E 5 2 EvaluaciĂłn, aplicando reglas de prioridad y asociatividad: 2

5 20 E 5 2 4 P P , , 1

5HVSXHVWD (O YDORU GH OD H[SUHVLyQ GDGD SDUD ORV GDWRV SURSRUFLRQDGRV HV

Ejemplo 2: EvalĂşa la expresiĂłn x2 + 5x + 6 para x = 2 SoluciĂłn:

6 x2 SustituciĂłn de x = 2 6XVWLWXFLyQ GH [ 2

6 4

6 14

2 2 2 6 20

P P , , 1

Ejemplo 3: Encuentra el valor numĂŠrico de la expresiĂłn y \y = 1

y 2x

x y 2 para [x = 7 3

SoluciĂłn: ÂŞ Âş

1 2 7

y 2x 2 2 2

x y2

7 ÂŤ 2

1Âť y 3

7 >

1@ 3

7 1 7 1 14 y 1 P ,

3 3 1 ÂŹÂŤ ÂźÂť 2

15 y 3

7 15

7 1 5,

7 1 12 1 11 1 y 3 P , P

P , 6 5 4 3

Ejemplo 4: Calcula el volumen de una lata cilĂndrica con base circular de 6 cm de diĂĄmetro y 8 cm de altura. SoluciĂłn: FĂłrmula: V S p r 2h )yUPXOD

Resuelves problemas aritmÃ©ticos y algebraicos

Dado que el radio es la mitad del diÃ¡metro, entonces r 'DGR TXH HO UDGLR HV OD PLWDG GHO GLiPHWUR HQWRQFHV

6 cm , asÃ: 3 cm DVt 2

SustituciÃ³n: V S p 6XVWLWXFLyQ 3 cm 8 cm EvaluaciÃ³n de la fÃ³rmula: V S p 3.1416 (YDOXDFLyQ GH OD IyUPXOD 3 cm 9 cm 2 8 cm 8 cm

1 2 2

226.1952 cm 3 V 28.2744 cm 2 8 cm

5HVSXHVWD (O YROXPHQ GH OD ODWD HV GH FP 3 DSUR[LPDGDPHQWH

SabÃas que... Pi (Ï&#x20AC;) representa las veces que el diÃ¡metro de la circunferencia cabe en su contorno o perÃmetro.

El nÃºmero racional permite expresar de forma mÃ¡s simple el resultado de ecuaciones de tipo ax = b, cuando a y b son nÃºmeros enteros, con a distinto de cero. Ejemplo 5: 8Q DOXPQR WXYR ODV VLJXLHQWHV FDOLÂ¿FDFLRQHV HQ H[iPHQHV GH PDtemÃ¡ticas: 8, x \ 6L VX SURPHGLR IXH GH Â¢FXiO IXH VX FDOLÂ¿FDFLyQ HQ HO segundo examen? SoluciÃ³n: (O SURPHGLR HV LJXDO D OD VXPD GH ODV FDOLÂ¿FDFLRQHV GLYLGLGR HQWUH HO Q~PHUR GH H[iPHQHV SRU OR WDQWR HO SURPHGLR GHEH HVWDU GDGR SRU OD H[SUHVLyQ 9.25

8 x 9 10 27 x que es equivalente de 9.25 4 4

6L PXOWLSOLFDPRV HO SURPHGLR SRU WHQHPRV OD VXPD GH ODV FDOLÂ¿FDFLRQHV 9.25 Ã&#x2014; [ TXH OOHYD D OD H[SUHVLyQ [ 3DUD TXH VH FXPSOD HVWD LJXDOGDG HV QHFHVDULR EXVFDU XQ YDORU [ TXH VXPDGR FRQ dÃ© como resultado 37. Este nÃºmero es 10. 5HVSXHVWD (O DOXPQR REWXYR XQD FDOLÂ¿FDFLyQ GH HQ HO VHJXQGR H[DPHQ

loque I

Resuelves problemas aritmĂŠticos y algebraicos

Aplica lo aprendido

Actividad 6 Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas, anotando en tu libreta los procedimientos completos que sean evidencia de la aplicaciĂłn de reglas y conceptos estudiados. a) ÂżQuĂŠ representa el sĂmbolo Ď&#x20AC; en la fĂłrmula para calcular el ĂĄrea de un cĂrculo: AA pSr r2 2?? b) ÂżQuĂŠ diferencia hay entre la AritmĂŠtica y el Ă lgebra? c) ÂżCĂłmo representarĂan la cantidad de limones que hay en un costal cerrado y al cual no tienen acceso para contarlos? d) ÂżQuĂŠ operaciĂłn se indica cuando dos variables literales se encuentran juntas? H Â˘4Xp VLJQLÂżFDGR WLHQH SDUD WL OD H[SUHVLyQ A

bh ? 2

f) ÂżCĂłmo pueden representar su edad dentro de cinco aĂąos? g) Al realizar una investigaciĂłn sobre la preferencia que los estudiantes tienen del estudio con mĂşsica ambiental. ÂżCuĂĄl serĂa una variable importante en la investigaciĂłn? ÂżCĂłmo la representarĂas? ÂżPor quĂŠ? h) ÂżQuĂŠ son los nĂşmeros reales? ÂżEs nĂşmero real el cero? ÂżPor quĂŠ? i) ÂżQuĂŠ es una fĂłrmula? j) La fĂłrmula A

B b h se usa para calcular el ĂĄrea de un trapecio, donde B 2

es la medida de su base mayor, b es la medida de su base menor y h es su altura. Calcula el ĂĄrea de un trapecio con base mayor de 10 cm, base menor de 5 cm y altura de 2 cm. k) Se tiene un terreno rectangular de x metros de largo y y metros de ancho. Se

Resuelves problemas aritmĂŠticos y algebraicos

desea construir una alberca al centro de este terreno cuyas dimensiones serĂĄn: a metros de largo por b metros de ancho. Una vez construida la alberca, se desea colocar pasto en el resto del terreno, como VH PXHVWUD HQ OD VLJXLHQWH ÂżJXUD ([SUHsa una fĂłrmula para calcular el ĂĄrea de la zona con pasto.

a x Figura 1.8. Esquema del terreno y la alberca proyectada.

l) La fĂłrmula 3 ČĄJK se usa para determinar la presiĂłn, en Pascales, que ejerce un lĂquido sobre las paredes de un recipiente que contiene un lĂquido de densidad ČĄ, en kg/m3, a una profundidad h, en metros. g es la aceleraciĂłn de la gravedad, g = 9.81 m/s2. Calcula la presiĂłn en una alberca a una profundidad de 3 m, sabiendo que la densidad del agua es de 1000 kg/m3. m) Para calcular el pago que debe realizarse por un prĂŠstamo de S SHVRV DO ÂżQDO de un plazo de n aĂąos, con una tasa de interĂŠs del % anual se usa la fĂłrmula: n

r Âˇ Â§ F P Â¨ 1

Â¸8 ÂŠ 100 Âš

Calcula el pago que se debe realizar por un prĂŠstamo de 20,000 pesos, a una WDVD GH LQWHUpV GHO DQXDO DO ÂżQDO GH DxRV n) Expresa una fĂłrmula para calcular el importe total de la compra de x artĂculos cuyo precio por unidad es de 50 pesos. o) La siguiente fĂłrmula se usa para calcular la velocidad de un mĂłvil cuando ĂŠste ha recorrido una distancia d, en km, durante un tiempo de t horas: v

d t

Calcula la velocidad de un autobĂşs que ha recorrido una distancia de 300 km en 2 horas.

loque I

Resuelves problemas aritmĂŠticos y algebraicos

5HĂ&#x20AC;H[LRQHPRV VREUH OD DFWLYLGDG

ÂżDe quĂŠ te das cuenta? Elabora o plantea una hipĂłtesis sobre la importancia de las fĂłrmulas en la vida diaria, ÂżquĂŠ pasarĂa si no existieran las fĂłrmulas? ÂżCĂłmo obtendrĂamos los resultados que ellas nos permiten calcular? Escribe de manera concreta tu solucion:

Actividad 7 Producto de aprendizaje: dominĂł con modelos aritmĂŠticos y algebraicos Instrucciones: ,QWHJUDGRV HQ HTXLSRV HODERUD ÂżFKDV GH GRPLQy EDVDGDV HQ OD aplicaciĂłn de los contenidos abordados en este bloque I, de modo que jugando y divirtiĂŠndose puedan combinar la prĂĄctica con la teorĂa de los contenidos. Este juego lo realizarĂĄs utilizando problemas aritmĂŠticos y algebraicos. El material producido por los equipos debe presentar diseĂąos creativos, econĂłmicos y fĂĄciles de manipular; preferentemente, empleando materiales reciclados (madera, papel cascarĂłn, cartulinas, etc.). Recomendaciones: 1. Formar equipos de trabajo de 3 o 4 participantes. (ODERUDFLyQ GHO SODQ GH WUDEDMR \ UHXQLU ORV PDWHULDOHV SDUD FRQVWUXLU VXV ÂżFKDV

Resuelves problemas aritmÃ©ticos y algebraicos

GH GRPLQy &DGD HTXLSR GHFLGLUi HQ HO WDPDxR GH VXV Â¿FKDV FRORUHV IRUPDV diseÃ±o, etcÃ©tera. Recomendamos las dimensiones de 13 x 6.5 cm, debido a la facilidad del manejo. 3DUD OD HODERUDFLyQ GH ODV Â¿FKDV GHEHQ VHOHFFLRQDU FDQWLGDGHV EDVH \ GLIHrentes equivalencias de Ã©stas, construidas a partir de las propiedades algebraicas que deben considerar el dominÃ³. Un ejemplo propuesto es: Cantidad base: 2 Cantidades equivalentes: (1) 1

(2) m

(4) Â§ 2 Â·Â§ 2 Â· Â¨ Â¸Â¨ 8 Â¸8 Â© 2 Â¹Â© 2 Â¹

(5)

23 m 22 m

(3) 3a 3a 2

(6) 2a

4 a

(MHPSORV GH ODV Â¿FKDV Â³PXODÂ´ GH \

3a 3a 2

1. Las reglas para jugar son las mismas que las del dominÃ³ tradicional. $O Â¿QDO GH OD XQLGDG FRQIRUPH OR HVWLSXOH HO GRFHQWH ORV HTXLSRV SUHVHQWDUiQ sus juegos y un reporte del trabajo realizado que incluya los contenidos algebraicos y sus cÃ¡lculos para demostrar las equivalencias correspondientes. Â¡Manos a la obra!

loque I

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

Actividad 8 Producto de aprendizaje: elaboración de tu problemario Esta actividad consiste en conformar tu problemario con los problemas y ejercicios que resolviste de manera individual o grupal en las seis actividades presentadas a lo largo del bloque. En tu libreta o cuaderno que hayas destinado para este producto de aprendizaje, colocarás cada uno de los ejercicios que se te indicaron que formarían parte del problemario, sólo asegúrate antes de colocarlos que los procedimientos y resultados VHDQ FRUUHFWRV 7H VXJHULPRV TXH HO UHVXOWDGR ¿QDO GH FDGD HMHUFLFLR R SUREOHPD OR puedas resaltar con una tinta de color diferente al color utilizado en el procedimiento. Te invitamos a consultar la lista de cotejo que se encuentra en la sección de evaluación que se encuentra enseguida, para que consideres los criterios de evaluación que debes cubrir. Para presentar tu problemario a tu Profesor, es importante que mantengas limpieza y orden, además coloca una carátula al inicio con tus datos (nombre, de la escuela, asignatura, del estudiante, bloque, título del problemario, semestre, grupo y fecha de entrega) y un índice.

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

Lista de cotejo para evaluar el producto de aprendizaje: dominó con modelos aritméticos y algebraicos Criterios Contenidos

Indicadores

Sí cumple

No cumple

Observaciones

Modelos aritméticos y algebraicos sin errores. 7UD]R DOLQHDGR GH ODV ¿FKDV en el material elegido. Trazos congruentes de las GLYLVLRQHV GH ODV ¿FKDV FRQ las medidas recomendadas.

Presentación y medición de las ¿FKDV

/RV ODGRV GH ODV ¿FKDV TXH sean semejantes. Creatividad en la construcción GH ODV ¿FKDV Funcionamiento adecuado VH ¿QDOL]D XQ MXHJR VLQ problemas). Descripción de procedimientos congruentes para agilizar el juego.

Relatoría Presenta un reporte en una máximo de tres cuartillas, sin HUURUHV RUWRJUi¿FRV Trabaja de forma colaborativa. Actitudes Escucha las opiniones de los demás y comparte ideas.

Total de puntos

Si en la lista de cotejo lograste los 10 puntos, considera tu resultado como Excelente, y si lograste 8 a 9 puntos es Bien, de 6 a 7 es Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 6 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que atiendas tus áreas de oportunidad. ([FHOHQWH ¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

loque I

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

Lista de cotejo para evaluar el producto de aprendizaje: problemario Criterios

Indicadores Utiliza portada (nombre de la escuela, nombre de la asignatura, título: Portafolio de evidencias, nombre del estudiante y fecha de entrega.

Presentación Actividades: orden y limpieza. El planteamiento de la actividad a tinta. Proceso de solución a lápiz. Presenta índice. Relaciona información de relaciones entre magnitudes. Realiza la factorización. Máximo común divisor. Representación de relaciones

Mínimo común múltiplo aritmético. Propiedades de números reales. Jerarquización de operaciones.

Modelos aritméticos o algebraicos

Resuelve problemas mediante la interpretación de modelos aritméticos o algebraicos. Utiliza el método solicitado.

Procedimientos Escribe todos los pasos. Comprueba las soluciones obtenidas. Solución Las interpreta de acuerdo al contexto.

Sí cumple

No cumple

Observaciones

Resuelves problemas aritméticos y algebraicos

Trabaja de forma colaborativa. Actitud

Respeta las opiniones de otros. Sigue con atención instrucciones y las interpreta.

Total de puntos

Si en la lista de cotejo lograste los 17 puntos considera tu resultado como Excelente, y si lograste 12 a 16 puntos es Bien, de 8 a 11 es Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 8 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que atiendas tus áreas de oportunidad. ([FHOHQWH ¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

loque I

Resuelves problemas aritmĂŠticos y algebraicos

Registro del avance Competencias genĂŠricas y disciplinares del bloque I

Instrucciones: Al concluir el bloque registra el nivel de avance que lograste en el desarrollo de las competencias genĂŠricas y disciplinares. Utiliza la siguiente escala: A = Alto (Desarrollada) M = Medio (EstĂĄ en vĂa de desarrollo) B = Bajo (No la he desarrollado) Competencias genĂŠricas

Atributos

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizaciĂłn de medios, cĂłdigos y herramientas apropiados.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingĂźĂsticas, matemĂĄticas o JUiÂżFDV

Ordena informaciĂłn de acuerdo a categorĂas, jerarquĂas y relaciones. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mĂŠtodos establecidos.

,GHQWLÂżFD ORV VLVWHPDV \ UHJODV R SULQFLSLRV medulares que subyacen a una serie de fenĂłmenos. Construye hipĂłtesis y diseĂąa y aplica modelos para probar su validez.

7. Aprende por iniciativa e interĂŠs propio a lo largo de la vida.

,GHQWLÂżFD ODV DFWLYLGDGHV TXH OH UHVXOWDQ GH PHQRU \ PD\RU LQWHUpV \ GLÂżFXOWDG UHFRQRciendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstĂĄculos. Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, GHÂżQLHQGR XQ FXUVR GH DFFLyQ FRQ SDVRV HVSHFtÂżFRV

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera UHĂ&#x20AC;H[LYD Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Nivel de avance

Resuelves problemas aritmĂŠticos y algebraicos

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prĂĄcticas sociales.

Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales mediante la ubicaciĂłn de sus propias circunstancias en un contexto mĂĄs amplio.

Asume que el respeto de las diferencias es el principio de integraciĂłn y convivencia en los contextos local, nacional e internacional.

Competencias disciplinares

Nivel de avance

Formula y resuelve problemas matemĂĄticos, aplicando diferentes enfoques.

Analiza las relaciones entre dos o mĂĄs variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

&XDQWLÂżFD UHSUHVHQWD \ FRQWUDVWD H[SHULPHQWDO R PDWHPiWLFDPHQWH ODV PDJQLWXdes del espacio y las propiedades fĂsicas de los objetos que lo rodean.

,QWHUSUHWD WDEODV JUiÂżFDV PDSDV GLDJUDPDV \ WH[WRV FRQ VtPERORV PDWHPiWLFRV \ FLHQWtÂżFRV

Cuando concluyas la tabla presĂŠntala a tu profesor y valoren los avances registrados.

Bloque II. Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

Bloque II Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

loque II

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

IntroducciĂłn El hombre ha tratado de interpretar, modelar y medir los fenĂłmenos que suceden a su alrededor, en ese afĂĄn de medir sus propiedades, ha utilizado diferentes patrones de medida, buscando representar la cantidad a travĂŠs de un nĂşmero, como por ejemplo: la cantidad de litros de agua que cae en una tormenta, el nĂşmero de cosechas perdidas por una helada o plaga, la temperatura en diferentes dĂas por mencionar algunas magnitudes de cantidades. Al manejar nĂşmeros en tu vida cotidiana no todos ellos son del mismo tipo ni se manejan de la misma forma. Este bloque nos ayudarĂĄ y ofrecerĂĄ la base para desarrollar un estudio formal de los nĂşmeros reales en diferentes contextos.

Magnitud: distancia del cero a cualquier nĂşmero en una recta numĂŠrica y se denomina valor absoluto.

ÂżQuĂŠ competencias desarrollarĂĄs? Competencias genĂŠricas 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizaciĂłn de medios, cĂłdigos y herramientas apropiados.

Â&#x2021;

Â&#x2021; Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mĂŠtodos Â&#x2021; establecidos.

7. Aprende por iniciativa e interĂŠs propio a lo largo de la vida.

Atributos

Â&#x2021;

([SUHVD LGHDV \ FRQFHSWRV PHGLDQWH UHSUHVHQWDFLRQHV OLQJÂ tVWLFDV PDWHPiWLFDV R JUiÂżFDV

Ordena informaciĂłn de acuerdo a categorĂas, jerarquĂas y relaciones. ,GHQWLÂżFD ORV VLVWHPDV \ UHJODV R SULQFLSLRV medulares que subyacen a una serie de fenĂłmenos.

$UWLFXOD VDEHUHV GH GLYHUVRV FDPSRV \ HVWDblece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

Â&#x2021;

Â&#x2021; 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Â&#x2021;

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prĂĄcticas sociales.

Â&#x2021;

3URSRQH PDQHUDV GH VROXFLRQDU XQ SUREOHPD R GHVDUUROODU XQ SUR\HFWR HQ HTXLSR GHÂżQLHQGR XQ FXUVR GH DFFLyQ FRQ SDVRV HVSHFtÂżFRV $SRUWD SXQWRV GH YLVWD FRQ DSHUWXUD \ FRQVLGHUD ORV GH RWUDV SHUVRQDV GH PDQHUD UHĂ&#x20AC;H[Lva. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los TXH FXHQWD GHQWUR GH GLVWLQWRV HTXLSRV GH trabajo.

$VXPH TXH HO UHVSHWR GH ODV GLIHUHQFLDV HV HO SULQFLSLR GH LQWHJUDFLyQ \ FRQYLYHQFLD HQ ORV contextos local, nacional e internacional.

Competencias disciplinares Â&#x2021;

Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021;

Â&#x2021; Â&#x2021;

ÂżCon quĂŠ propĂłsito? Construye e interpreta modelos aritmĂŠticos, algebraicos y geomĂŠtricos aplicando las propiedades de los nĂşmeros reales y expresiones aritmĂŠticas y algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.

loque II

Utilizas magnitudes y números reales

¿Qué aprenderás y cómo? Contenidos curriculares

Descripción

Metodología

Conceptuales

Procedimentales

Actitudinales

Números reales: representación y operaciones. Tasas Razones Proporciones y variaciones.

Ubica en la recta numérica números reales y sus respectivos simétricos. Combina cálculos de Tasas, Razones, Proporciones y Variaciones en diversas situaciones. Construye modelos aritméticos, DOJHEUDLFRV R JUi¿FRV DSOLFDQGR las propiedades de los números reales.

Observación de objetos y JUi¿FRV Analiza y comprende textos y Fórmulas Representa relaciones entre magnitudes. Resolución de problemas mediante la interpretación de modelos aritméticos o algebraicos.

Realizando ejercicios en los que aplica las propiedades de las relaciones entre los números reales.

Valora la importancia del trabajo con orden y limpieza al desarrollar cada una de las actividades de aprendizaje. Compartir ideas mediante productos con otras personas para promover el traba jo colaborativo.

Exposición de trabajos con criterios de orden y limpieza. Respeta y escucha las opiniones y/o argumentos de otras personas. Seguimiento e interpretación de instrucciones.

¿Qué tiempo vas a emplear? Considera seis horas para el desarrollo de este bloque, lo más recomendable es que utilices tres horas para revisar los contenidos temáticos y tres horas para llevar DFDER ODV DFWLYLGDGHV SURSXHVWDV \ HO GHVDUUROOR GH WX SUR\HFWR ¿QDO

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

EvaluaciĂłn del aprendizaje: productos Durante este bloque realizarĂĄs los siguientes productos de aprendizaje que pondrĂĄn GH PDQLÂżHVWR HO GHVDUUROOR GH WXV FRPSHWHQFLDV Â&#x2021; Â&#x2021;

Problemario ,QYHVWLJDFLyQ VREUH Â˘TXp GHSRUWH SUHÂżHUHQ ORV HVWXGLDQWHV"

Problemario. Lo elaborarĂĄs trabajando tanto en tu libro como en tu libreta con la resoluciĂłn de problemas y ejercicios de manera individual y grupal. Al termino del bloque, integrarĂĄs tu problemario con las seis actividades que hallas realizado a lo ODUJR GHO EORTXH FRQVXOWD OD OLVWD GH FRWHMR DO ÂżQDO GHO EORTXH SDUD WHQHU LGHD FODUD de los criterios de evaluaciĂłn que debes cubrir para entregarlo a tu profesor. ,QYHVWLJDFLyQ VREUH Â˘TXp GHSRUWH SUHÂżHUHQ ORV HVWXGLDQWHV" Este trabajo lo realizarĂĄs en equipo de cinco participantes, para ello serĂĄ necesario que diseĂąes una encuesta en donde preguntes sobre la preferencia de deportes individuales ((atletismo, ajedrez, ciclismo, nataciĂłn, etcĂŠtera) y deportes de conjunto (futbol, basquetERO YROHLERO HWFpWHUD

/RV UHVXOWDGRV GHEHUiQ VHU UHSUHVHQWDGRV HQ JUiÂżFDV (Q este trabajo deberĂĄs incluir nĂşmeros reales, su representaciĂłn y uso en forma de razones, proporciones, tasas, porcentajes y/o variaciones.

loque II

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

3DUD LQLFLDU UHĂ H[LRQD Con el objetivo de construir e interpretar las partes de un todo mediante modelos DULWPpWLFRV DOJHEUDLFRV \ JUiÂżFRV A partir de una hoja de papel rectangular o cuadrada de preferencia reciclada, construir un triĂĄngulo equilĂĄtero. Paso 1. Dobla la hoja a la mitad de su anchura de modo que se marque la lĂnea que la divide en dos secciones LJXDOHV FRPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD Figura Figura2.1. 2.1.

Paso 2. Dobla, desde la esquina L hacia el centro de modo que L se localice sobre la marca obtenida en el SDVR FRPR VH LOXVWUD HQ OD ÂżJXUD /ODPHPRV DO punto de intersecciĂłn O. Paso 3. Desdobla la hoja y traza lĂneas desde O hasta L y M, respectivamente para obtener el triĂĄngulo equilĂĄtero LOM FRPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD

Figura2.2. 2.2. Figura

3DVR Recorta el triĂĄngulo. Paso 5. Repite los pasos del 1 al 4 para construir otro triĂĄngulo en una hoja rectangular o cuadrada de diferente anchura. Figura2.3. 2.3. Figura

Elige el triĂĄngulo pequeĂąo y mide sus lados. Contesta las siguientes preguntas: 1. ÂżEs ĂŠste un triĂĄngulo equilĂĄtero? SĂ o No ÂżPor quĂŠ?

2. ÂżEs posible determinar su altura? En caso de que tu respuesta sea SĂ, ÂżcĂłmo se realiza el cĂĄlculo de la altura? Si tu respuesta es No, Âżpor quĂŠ no es posible?

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

Haz lo mismo con el triĂĄngulo grande. Con base en las respuestas anteriores aclara las siguientes preguntas: 1. ÂżEs posible determinar las veces que el triĂĄngulo menor cabe en el triĂĄngulo PD\RU" (Q FDVR DÂżUPDWLYR Â˘FyPR VH UHDOL]DUtD HO FiOFXOR"

2. ÂżExiste alguna proporciĂłn entre los lados de ambos triĂĄngulos? Explica tu respuesta.

3. ÂżPuedes extender este razonamiento a las ĂĄreas de ambos triĂĄngulos? Explica brevemente.

ÂżCon quĂŠ conocimientos cuentas? EvaluaciĂłn diagnĂłstica Instrucciones: Con el propĂłsito de reactivar conocimientos previos para lograr realizar los productos de aprendizaje que se presentan en las actividades propuestas. Resuelve lo que se solicita, escribiendo los procedimientos completos en la libreta. 1. Si dividimos una pizza en cuatro partes iguales y dividimos una de estas partes en dos partes iguales, ÂżcuĂĄl es la fracciĂłn que representa una de estas partes mĂĄs pequeĂąas? _________________________________ ______________________

loque II

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

2. ÂżQuĂŠ caracterĂsticas comunes tienen los nĂşmeros 7, 14, 21 y 28? Explica tu respuesta.

3. Se tiene un cuadrado de 5 cm de lado y un triĂĄngulo de 4 cm de altura y 8 cm de EDVH Â˘&XiO GH ODV GRV ÂżJXUDV RFXSD PD\RU VXSHUÂżFLH" ([SOLFD WX UHVSXHVWD

4. Una persona ha distribuido su salario de la siguiente manera: la mitad para gastos del hogar, la cuarta parte para transporte y el resto para ahorro. Si gana 6 mil pesos, ÂżquĂŠ cantidad destina al ahorro? Explica tu respuesta.

(O GH ORV DOXPQRV GH XQD HVFXHOD SUHÂżHUH HVWXGLDU HVFXFKDQGR P~VLFD 6L HQ OD HVFXHOD KD\ DOXPQRV Â˘FXiQWRV QR SUHÂżHUHQ OD P~VLFD SDUD HVWXGLDU" Explica tu respuesta.

6. Tres ciclistas le dan vuelta a un circuito; uno de ellos hace una vuelta en 30 minutos; el segundo, en 36, y el tercero, en 40. Si salen al mismo tiempo, ÂżcuĂĄntos minutos tardarĂĄn en volver a coincidir en el mismo punto? Explica tu respuesta.

7. Si x

1 1 Âˇ Â§ ,ÂżcuĂĄl es el valor de 3 Â¨ x

Â¸8 2x 2 ? 4 2 Âš ÂŠ

8. Dos nĂşmeros estĂĄn en razĂłn

3 . Si el menor de ellos es 189, ÂżcuĂĄl es el otro? 7

Utilizas magnitudes y números reales

9. Con $500 Juan abrió una cuenta de ahorros; al paso de un año tenía $510. ¿Qué tanto por ciento aumentó su capital en un año? Explica tu respuesta.

Si de la actividad anterior respondiste correctamente de 8 a 9 preguntas considera tu resultado como Bien, de 6 a 7 como Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 6 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que refuerces tus conocimientos previos.

¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

Ahora que ya te has dado cuenta de tus fortalezas y oportunidades. Refuerza tus conocimientos consultando los siguientes conceptos: valor numérico, operaciones con fracciones y porcentajes.

loque II

Utilizas magnitudes y números reales

Aprende más Números reales: representación y operaciones Con las aportaciones de los antiguos griegos y los avances hechos por Descartes, Newton, Leibnitz, Euler y Gauss, entre los más destacados, en el siglo XIX, Georg Cantor y Richard Dedekind sistematizaron los números reales.

Figura 2.4. Para sistematizar los números reales, Richard Dedekind (izquierda) basó sus estudios en el análisis matemático y Georg Cantor (derecha) en la Teoría de Conjuntos.

__ -0.33 -6

Los números

a a Racionales 3.14

son los racionales Q y los irracionales Q'

0.25

Enteros _ 2 3

Reales

______ 0.125407

14 -2 5

23 23 150

Naturales b 1

-11

a, Irracionales a

3 31

Figura 2.5. El conjunto de números racionales e irracionales.

2 2

2S p 3

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

'H PDQHUD JHQHUDO VH GHÂżQH D ORV Q~PHURV UHDOHV como el conjunto forma^ a con el conjunto de do por la uniĂłn del conjunto de los nĂşmeros racionales

los nĂşmeros irracionales a , .

a a, Â&#x2030; ^ ^ a

a No debemos olvidar que el conjunto de los nĂşmeros racionales contiene a _ y ĂŠste, a su vez, a los nĂşmeros naturales b . Es decir: los nĂşmeros enteros a Â? ^ b Â? _ Â? a ^ Todos los dĂas aparecen datos reales en medios de comunicaciĂłn como periĂłdicos, radio, televisiĂłn, murales escolares, informes bancarios, o cuando en una reuniĂłn escolar compartimos las rebanadas de una pizza, un pastel. La interpretaciĂłn de los Q~PHURV UHDOHV HV GLYHUVD ORV HQFRQWUDPRV HQ JUiÂżFDV HQ WDEODV HQ SLFWRJUDPDV etcĂŠtera. Por todo esto debemos conocer con mĂĄs profundidad este conjunto de nĂşmeros, mismos que se esquematizan en el siguiente diagrama: Â Â Â Negativos ( _ ) ^! 3, 2, 1`# #, Â° Â° Â° Â° Â° 0`# Â° Cero: ^! Â° Â° Â° 1, 2, 3, ) ^! #`# Â° Â° Â° Positivos o Naturales (b Â° Â° Â° ) ÂŽ No negativos: W=^! 0, 1, 2, 3, #`# Â° Enteros (_ Â° ) ÂŽ NĂşmeros Â° Racionales (a Â° ( ^ ) ÂŽ #, #`# 4, 2, 0, 2, 4, Â° Â° Pares: ^! Reales Â°

Â° Â° Primos: ^! r ( 13, r ( 17, r ( 19, #`# (2, r ( 3, r ( 5, r ( 7, r ( 11, r Â° Positivos y Negativos Â° Â° Â° Â° Â° Otros enteros... Â° ÂŻ Â° Â° Â° Fraccionarios ÂŻ Â° Â°ÂŻ Irracionales ( ') a

A continuaciĂłn se dan ejemplos de cada clase de nĂşmero real con la intenciĂłn de formalizar conceptos importantes para la aplicaciĂłn de estos nĂşmeros en la soluciĂłn de problemas.

NĂşmeros racionales Son todos los nĂşmeros que se pueden escribir como fracciĂłn de dos enteros; es decir, si a y b son nĂşmeros enteros, entonces un nĂşmero que se puede expresar en

loque II

la forma

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

a es racional, se representa por el sĂmbolo a como sigue: b Â a Â˝ 0 Âž a ÂŽ , donde b z ÂŻ b Âż

El nĂşmero a se denomina numerador mientras que b recibe HO QRPEUH GH GHQRPLQDGRU \ VLJQLÂżFD a partes de b partes iguales. Ejemplo: 1 VLJQLÂżFD XQD SDUWH GH RFKR SDUWHV LJXDOHV VH OHH XQ 8 octavo.

Figura 2.6. Una rebanada representa un octavo de una pizza dividida en ocho partes iguales.

Todos los nĂşmeros enteros se pueden expresar como la fracciĂłn de ellos entre 1, que tambiĂŠn es entero, por lo que todos los enteros son nĂşmeros racionales: 4

4 1

17 1

3 1

Estas son las formas racionales mĂĄs simples para demostrar que un entero es nĂşmero racional; sin embargo, podemos usar fracciones equivalentes; por ejemplo, para el nĂşmero 3 tenemos diferentes formas racionales: 3

3 6 9 12 nk # donde k (1, ( 2, ( 3, # 1 2 3 4 k

Si el numerador y el denominador de una fracciĂłn se multiplican por un mismo nĂşmero entero diferente de cero, se obtiene otra fracciĂłn equivalente a ella.

Fracciones equivalentes Decimos que las fracciones: m a y con b y n diferentes de cero, n b son equivalentes cuando representan un mismo nĂşmero. Esta propiedad se cumple si y solo si: mb = an

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

Ejemplo 1: Determina si las fracciones

2 16 y son equivalentes. 3 24

SoluciĂłn: 2 24 48 3 16 48

/DV IUDFFLRQHV VRQ HTXLYDOHQWHV Las fracciones son equivalentes.

Ejemplo 2: Determina si las fracciones

7 34 y son equivalentes. 4 20

SoluciĂłn: 7 20 140 4 34 136 /DV IUDFFLRQHV QR VRQ HTXLYDOHQWHV Las fracciones no son equivalentes.

Ejemplo 3: Escribe tres fracciones equivalentes a

4 . 5

SoluciĂłn:

Primera fracciĂłn equivalente:

4 4 Â§ 2 Âˇ 8 Â¨ Â¸8 5 5 ÂŠ 2 Âš 10

Segunda fracciĂłn equivalente:

4 4 Â§ 3 Âˇ 12 Â¨ Â¸8 5 5 ÂŠ 3 Âš 15

Tercera fracciĂłn equivalente:

4 4 Â§ 4 Âˇ 16 Â¨ Â¸8 5 5 ÂŠ 4 Âš 20

FracciĂłn propia Cuando el numerador de una fracciĂłn es menor que el denominador, decimos que se trata de una fracciĂłn propia. Ejemplo:

3 5

loque II

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

FracciĂłn impropias Es toda fracciĂłn en la que el numerador es mayor o igual que el denominador. Ejemplo:

7 3 12 , , , etc. 3 2 5

NĂşmero mixto Es aquel que se compone de un entero y una fracciĂłn. 3 2 2 Ejemplo: 2 , 4 , el nĂşmero 4 se lee cuatro enteros, dos tercios \ VLJQLÂżFD OR 5 3 3 2 2 siguiente 4 4 . 3 3 ([SUHVLyQ GH XQ Q~PHUR PL[WR HQ IRUPD GH IUDFFLyQ Todo nĂşmero mixto puede expresarse en forma de fracciĂłn impropia aplicando la siguiente regla: k

m m kn

z0 , donde n, m y k son enteros y n n n

Ejemplo 1: Expresa el nĂşmero mixto 2

5 en forma de fracciĂłn. 3

SoluciĂłn:

5 6 5 11 5 2 3 3 3 3

([SUHVLyQ GH XQD IUDFFLyQ LPSURSLD D XQ Q~PHUR PL[WR Al aplicar la siguiente regla: m r C n n

P entre n y r es el residuo. C es el cociente que resulta de dividir m

Ejemplo 2: Expresa la fracciĂłn impropia

26 como un nĂşmero mixto 3

SoluciĂłn: oC 8Âş m 3 26 Âş om n2 or 2Âş

es decir

26 2 8 3 3

Utilizas magnitudes y nÃºmeros reales

Fracciones homogeneas Dos o mÃ¡s fracciones son homogÃ©neas si tienen el mismo denominador. Ejemplos:

3 7 1 6 2 y , , Ã³ , , 5 5 5 x x x

Fracciones heterogÃ©neas Si todas tienen diferentes denominadores. Ejemplos:

2 3 1 2 , , , 5 10 x 2 x

6LPSOLÂ¿FDFLyQ GH IUDFFLRQHV /D VLPSOLÂ¿FDFLyQ R UHGXFFLyQ GH IUDFFLRQHV HV XQD GH ODV RSHUDFLRQHV PDWHPiWLcas mÃ¡s importantes, el mÃ©todo consiste en descomponer en sus factores primos HO QXPHUDGRU \ HO GHQRPLQDGRU GH OD IUDFFLyQ D VLPSOLÂ¿FDU \ GHVSXpV FDQFHODU ORV factores comunes a ambos utilizando la siguiente ley de los exponentes. Âax 0 Â° y a si x y a Â° Â°ax 1 y Â® y y x si x a Â°a Â°ax y x !y Â° y a si x a Â¯ Ejemplo 1: 6LPSOLÂ¿FD OD IUDFFLyQ

50 80

SoluciÃ³n: 'HVFRPSRQHU \ HQ VXV IDFWRUHV SULPRV 50 25 5 1

2 5 5

20 10 5 1

2 2 2 2 5

u 5 2 5 2 1 50 2 5 5 4 4 1 3 u5 2 80 2 2 8

loque II

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

DivisĂłn de un nĂşmero racional La expresiĂłn decimal de un nĂşmero racional se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador. Pueden obtenerse dos tipos de cocientes: uno con un nĂşmero ÂżQLWR GH FLIUDV Q~PHUR GHFLPDO \ RWUR FRQ XQ Q~PHUR LQÂżQLWR IUDFFLyQ SHULyGLFD Ejemplo de nĂşmero decimal: si tratamos de dividir 5 galletas entre dos niĂąos, podremos dar 2 galletas enteras a cada uno y la que sobra partirla en dos partes iguales y dar una parte a cada niĂąo, que podemos considerar como Ăł galletas para cada uno. (MHPSOR GH IUDFFLyQ LQÂżQLWD R SHULyGLFD 5 0.151515... 33

Ăł

0.151515 33 5.000000 170 050 150 05...

/RV Q~PHURV FRQ SDUWH GHFLPDO ÂżQLWD WDPELpQ VRQ Q~PHURV UDFLRQDOHV 3RU HMHPSOR los nĂşmeros 7.5, 19.25 y 9.287 son nĂşmeros que podemos escribir como las fracciones: 75 15 1925 77 9287 , y 10 2 100 4 1000

([SUHVLyQ GH XQ Q~PHUR GHFLPDO ÂżQLWR HQ IRUPD GH IUDFFLyQ 1. Se cuentan las cifras de la parte decimal del nĂşmero n para obtener como resultado el nĂşmero k. Por ejemplo, si n = 7.5, se tiene que k = 1. 2. Dependiendo del valor k obtenido en el paso anterior, se deberĂĄ multiplicar al nĂşmero n por 10k. Si k = 1, n se multiplica por 10; si k = 2, por 100; si k = 3, por 1000, y asĂ, sucesivamente. Esto darĂĄ como resultado un entero m sin parte decimal: m = n Ă&#x2014; 10k Para el ejemplo, m = 7.5 Ă&#x2014; 101 = 7.5 Ă&#x2014; 10 = 75. 3. Se expresa n como la fracciĂłn de m entre 10k: n

m 10k

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

En el ejemplo: 7.5

75 10

(Q FDVR GH VHU SRVLEOH VH UHFRPLHQGD VLPSOLÂżFDU OD IUDFFLyQ 3DUD HO HMHPSOR 7.5

75 3 u 5 u 5 15 10 2 2u 5

Los Q~PHURV FRQ SDUWH GHFLPDO LQÂżQLWD o periĂłdica tambiĂŠn son racionales. Por ejemplo, el nĂşmero 15.333..., que se puede escribir como 15.3, es racional. ObserYDPRV TXH OD SDUWH GHFLPDO HV LQÂżQLWD TXH HV OR TXH LQGLFDQ ORV SXQWRV VXVSHQVLYRV \ TXH XQD FLIUD HV OD TXH VH UHSLWH SHULyGLFDPHQWH KDVWD HO LQÂżQLWR (VWD FLIUD HV el nĂşmero 3, por lo que indicamos mediante una testa para esta cifra que se repite SHULyGLFDPHQWH KDVWD HO LQÂżQLWR

ExpresiĂłn de un nĂşmero decimal periĂłdico en forma de fracciĂłn 1. Sea n el nĂşmero que deseamos probar que es racional, entonces, si la parte periĂłdica comienza desde el punto decimal (como en este caso) y el nĂşmero de cifras periĂłdicas es k, se debe obtener el producto: 10kn. 2. Se realiza la resta de este resultado menos el nĂşmero original: 10kn Ă n, que en forma factorizada es: (10k Ă n. En este paso, tenemos lo siguiente: 10k n nĂşmero mayor n nĂşmero menor

10 n nĂşmero m 1 k

3. Despejamos n, moviendo el valor 10k Ă GH OD L]TXLHUGD GHO VLJQR GH LJXDOGDG D la derecha. Dado que en el lado izquierdo se halla multiplicando, pasarĂĄ al otro lado dividiendo al nĂşmero P, m, es decir: n

nĂşmero m 10k 1

loque II

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

6H VLPSOLÂżFD VL HV SRVLEOH OD IUDFFLyQ SDUD SUHVHQWDU HO UHVXOWDGR PiV VHQFLOOR Ejemplo: Demostrar que el nĂşmero 15.3 es racional. SoluciĂłn:

10n 153.3 n 15.3 9n 138

46 138 3 9 3 3

Aplica lo aprendido

Actividad 1 Instrucciones: Lee con atenciĂłn los tres planteamientos y responde a lo que se te solicita, en tu libreta realiza los procedimientos, con orden y limpieza. Al concluir comparte con tus compaĂąeros las soluciones obtenidas y escucha las opiniones de ellos. 1. Escribe los siguientes nĂşmeros mixtos como fracciones impropias. a) 4

3 5

b) 7

4 5

c) 5

2 7

d) 8

3 4

2. Escribe las siguientes fracciones impropias como un nĂşmero mixto. a)

24 5

21 4

23 7

39 6

Utilizas magnitudes y números reales

3. Escribe cinco fracciones equivalentes a cada una de las que se indican. a)

2 3

4 5

5 2

5 4

7 6

270 150

648 144

6LPSOL¿FD ODV VLJXLHQWHV IUDFFLRQHV a)

20 30

144 96

125 750

5. Escribe las siguientes fracciones en forma decimal. a)

9 15

40 12

11 12

12 15

6. Escribe en forma de fracciones los siguientes números decimales a) 0.42

b) 0.2

c) 0.264

d) 0.81

loque II

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

Aprende mĂĄs

Operaciones con nĂşmeros racionales Dado que el m.c.m. se calcula para obtener el denominador que hace homogĂŠFRP~Q neas todas las fracciones de una suma o resta, tambiĂŠn se conoce como comĂşn GHQRPLQDGRU. Para sumar o restar fracciones heterogĂŠneas se emplea el procedenominador. so indicado por la siguiente expresiĂłn: f =Â&#x2DC; a (r f2 =Â&#x2DC; b (r ... M M a b PFP (m, (P, n, ...) y f1 , f2 , ... , donde M = mcm (r (r ... 1 m n M m n

Ejemplo: si tenemos las fracciones: 3 5 y 4 12 Podemos hacerlas homogĂŠneas haciendo que ambas tengan el mismo denominador: 12 en este caso. Este denominador comĂşn es el PtQLPR FRP~Q P~OWLSOR de 4 y de 12. Para obtener el mcm de nĂşmeros basta con factorizarlos simultĂĄneamente hasta obtener 1 en cada denominador como se ilustra en el siguiente proceso: 4 2 1 1

12 2 Â˝ Â° 6 2 Â° 2 3 2

12 Âž 3 3 Â° 1 ÂżÂ°

Aplicando este proceso para calcular m.c.m. (4, 12), tenemos que: 4 = 22 y 12 = 22 Ă&#x2014; 3, por lo que m.c.m. (4, 12) = 22 Ă&#x2014; 3 = 4 Ă&#x2014; 3 = 12. AsĂ, la primera fracciĂłn se puede escribir con denominador 12 si multiplicamos por 3 su numerador y denominador: 3 3 3 9 u 4 4 3 12 Este factor se obtuvo dividiendo el m.c.m. = 12 entre el denominador 4 dando como resultado 3.

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

Ejemplo 1: Sumar

3 7 4

4 8 20

SoluciĂłn: $SOLFDQGR HO SURFHVR SDUD FDOFXODU HO PtQLPR FRP~Q GHQRPLQDGRU GH WHQHPRV 20 = 22 Ă&#x2014; SRU OR TXH HO P F G HV 3 Ă&#x2014; TXH 2 \ 3 ; Â§ 40 Âˇ Â§ 40 Âˇ Â§ 40 Âˇ u3

u4 Â¨ Â¸ Â¨ Â¸ Â¨ Â¸ 8 8 8 35

8 73 3 7 4 30

4 8 20 ÂŠ Âš ÂŠ Âš ÂŠ Âš

4 8 20 40 40 40

Ejemplo 2: Restar 3

4 2 12 9 3

SoluciĂłn: Â§9 Âˇ Â§9 Âˇ u 31

u 38 Â¨ 8 Â¸ Â¨ 8 Â¸ 114 4 2 31 38 31 83 2 9 3 ÂŠ Âš ÂŠ Âš 12 9 3 9 3 9 3 9 9 9 9

SabĂas que... El mĂnimo comĂşn denominador de dos o mĂĄs denominadores es el mĂnimo comĂşn mĂşltiplo de todos ellos.

Aplica lo aprendido

Actividad 2 Instrucciones: Realiza en tu libreta las operaciones necesarias para resolver los que se solicita en los ejercicios del 1 al 5. Finalmente en una plenaria, presenta las respuestas al grupo y escucha sus opiniones.

loque II 1.

5 7 11

8 10 15

Utilizas magnitudes y nÃºmeros reales

6 6 5

9 15 3

3. 9

5 4 2

3 12 6 9 3

&DOFXOD HO SHUtPHWUR GHO UHFWiQJXOR GH OD Â¿JXUD

3 10

2 3

Figura 2.7.

5. Determina la distancia que recorre una persona en tres dÃas si camina 4 en el primer dÃa, 3

1 km 2

5 3 km en el segundo y 3 km en el tercero. 8 4

Aprende mÃ¡s

MultiplicaciÃ³n de fracciones El producto de dos fracciones es otra fracciÃ³n cuyo numerador es el producto de sus respectivos numeradores, y cuyo denominador es tambiÃ©n el producto de sus UHVSHFWLYRV GHQRPLQDGRUHV (O UHVXOWDGR GHEH HVFULELUVH HQ IRUPD VLPSOLÂ¿FDGD En forma general

a c ac 0 Â&#x2DC;= , donde b y d z b d bd

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

Ejemplo: Realiza la siguiente multiplicaciĂłn de IUDFFLRQHV \ VLPSOLÂżFD

Inverso multiplicativo: tambiĂŠn conocido como recĂproco, es todo nĂşmero multiplicado por su reciproco es igual a la unidad.

8 7 8 7u 56 28 14 u 14 168 12 14 12 u 84 42

mitad a cada fracciĂłn

7 21 P ,

NĂşmero

3 4 , recĂproco 4 3

tercera

1 3

3 Âˇ Â§ 4 Âˇ 12 1 Producto Â§Â¨ Â¸8 Â¨ Â¸8 4 ÂŠ Âš ÂŠ 3 Âš 12

DivisiĂłn de fracciones Para dividir una fracciĂłn entre otra, la fracciĂłn dividendo se multiplica por el inverso multiplicativo de la fracciĂłn divisor. Esto quiere decir: m a m b mb u 0 y , donde n, b y a z n b n a an (MHPSOR 5HDOL]D ODV VLJXLHQWHV GLYLVLRQHV GH IUDFFLRQHV \ VLPSOLÂżFD HO UHVXOWDGR

2 u 2u 3 2u 4 5 4 6 8 u y 9 6 9 5 15 5 3 u 3u

2 u 4u 1 8 8 1 2 4 u y 3 3 4 3 4 3u

factorizando

Aplica lo aprendido

Actividad 3 Instrucciones: Observa detenidamente cada uno de los ejercicios siguientes y reĂ&#x20AC;H[LRQD VREUH ODV RSHUDFLRQHV TXH GHEHV UHDOL]DU $ FRQWLQXDFLyQ GHVDUUROOD HQ WX libreta todos los los procedimientos que te permitan llegar a la soluciĂłn.

loque II

Utilizas magnitudes y números reales

I. Realiza las siguientes multiplicaciones de fracciones. 1.

12 30 u 16 18

5 u 12 18

7 8 u 10 21

16 6 u 20 8

3 reprobaron educación física. ¿Cuántos pasaron 5. En un grupo de 40 alumnos, 5 dicha materia? &DOFXOD HO iUHD GHO UHFWiQJXOR GH OD ¿JXUD

3 10

2 3

Figura 2.8.

II. Efectúa las siguientes divisiones de fracciones. 7.

8 15 y 9 12

8. 5

1 8 y 3 3

9. 6

1 1 y 2 2 4

6H GLVSRQH GH OLWURV GH DJXD SXUL¿FDGD ¢&XiQWDV ERWHOODV VH SXHGHQ OOHQDU si la capacidad de cada una de ellas es de

3 litro? 5

2 11. El costo unitario de una cerradura es de $60 y se desea que la ganancia sea 5 de su precio de compra, ¿Cuál debe ser su precio de venta? 4 12. José gana $12000 mensuales. Si el monto de sus gastos mensuales es de de 5 su salario, ¿Cuánto ahorra en un año?

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

Aprende mĂĄs

Ubica en la recta numĂŠrica: nĂşmeros reales y sus simĂŠtricos, su valor absoluto y relaciones de orden /RV Q~PHURV UHDOHV SXHGHQ UHSUHVHQWDUVH JUiÂżFDPHQWH FRPR SXQWRV HQ OD UHFWD QXPpULFD \ HOOR SHUPLWH GHÂżQLU VXV SURSLHGDGHV KDFHU FRPSDUDFLRQHV \ RSHUDFLRnes con ellos. Positivos

Negativos

Figura 2.9. Recta numĂŠrica.

&RPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD HO Q~PHUR FHUR HV LPSRUWDQWH SRUTXH D SDUWLU GH pO VH GHÂżQHQ GRV FRQMXQWRV GH Q~PHURV ORV SRVLWLYRV \ ORV QHJDWLYRV 3RU HVWD UD]yQ VH le denomina origen de la recta numĂŠrica. Los nĂşmeros SRVLWLYRV son todos los nĂşmeros mayores que cero y se localizan a la GHUHFKD GH pVWH (Q OD JUiÂżFD VH PXHVWUD HO Q~PHUR SRVLWLYR FRPR XQ SXQWR D OD derecha del cero. AsĂ, los nĂşmeros positivos cumplen la condiciĂłn [x > 0. Los nĂşmeros QHJDWLYRV negativos son todos los nĂşmeros menores que cero y se localizan a la izquierda de ĂŠl. La condiciĂłn que satisfacen los nĂşmeros negativos es [x < 0. Densidad de los nĂşmeros racionales (QWUH FXDOHVTXLHUD GH GRV Q~PHURV HQWHURV KD\ XQ FRQMXQWR LQÂżQLWR GH SXQWRV TXH representan nĂşmeros no enteros entre ellos, por ejemplo: entre el 3 y el 4 existen nĂşmeros no enteros mayores que 3, pero menores que 4 como, por ejemplo, 3.1, 3.21, 3.205, 3.75, 3.1416, etcĂŠtera. De aquĂ que la representaciĂłn de nĂşmeros reales no siempre es fĂĄcil. Por ejemplo, si deseamos representar el nĂşmero 3.5 en la recta numĂŠrica debemos localizar el punto en el punto medio del segmento de la recta numĂŠrica entre el 3 y el 4, pero si deseamos representar al nĂşmero LQÂżQLWD GH VX SDUWH GHFLPDO

11 3

| 3.6 resulta mĂĄs difĂcil dada la naturaleza

loque II

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

Ejemplo: Localiza en la recta numĂŠrica los nĂşmeros: 4.5,

3 1 13 , 3 , 4 2 3

SoluciĂłn:

6HDQ Sean A 4.5 , B

3 13 | 0.75 , C 3 12 3.5 \ 4.33 HQWRQFHV OD JUiÂżFD HV y D 4 3

Figura 2.10. LocalizaciĂłn de nĂşmeros en la recta numĂŠrica.

El ejemplo anterior puede servir para explicar alguna estrategia para localizar fracciones en la recta numĂŠrica. Si debemos localizar, por ejemplo, el nĂşmero

3 , podemos dividir el segmento entre 4

el cero y el uno en 4 partes iguales (cuartos) y contar tres de ellas a partir del cero. AsĂ localizamos el punto B. 1 Para localizar el nĂşmero 3 , dividimos el segmento entre el 3 y el 4 en dos partes 2 iguales (medios) y contamos una parte desde el nĂşmero 3. De esta forma localizamos el punto C. Localizar el punto

13 es mĂĄs difĂcil y se recurriĂł a la localizaciĂłn aproximada. Si 3 ,

hubiĂŠsemos usado una hoja cuadriculada podrĂamos haber usado 3 cuadritos para cada divisiĂłn entera, de este modo podrĂamos localizar

13 1 , que es 4 , tomando 3 3

XQ FXDGULWR GHVSXpV GHO FRPR VH PXHVWUD HQ OD VLJXLHQWH ÂżJXUD

Figura 2.11. LocalizaciĂłn de trece tercios.

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

Valor absoluto de un nĂşmero real Cualquier nĂşmero real estĂĄ localizado en la recta numĂŠrica a cierta distancia del cero. Esta distancia es la magnitud del nĂşmero y se denomina valor absoluto de ese nĂşmero. Por ejemplo: el nĂşmero 3 estĂĄ a 3 unidades hacia la derecha del cero, SRU OR TXH VX PDJQLWXG R YDORU DEVROXWR VHUi $VLPLVPR HO Q~PHUR Ă HVWi D unidades hacia la izquierda del cero, por lo que su magnitud o valor absoluto es 3. 3DUD GHÂżQLU HO YDORU DEVROXWR GHO Q~PHUR x se usa la expresiĂłn: x , el nĂşmero encerrado entre barras verticales llamadas barras de valor absoluto. A partir de esta GHÂżQLFLyQ HO HMHPSOR DQWHULRU VH SXHGH H[SUHVDU GH OD VLJXLHQWH PDQHUD 3 3 y 3 3 En general, para cualquier nĂşmero real [x se tiene que: Â 0

x x, si x es negativo Â° x ÂŽ 0

xt Â°ÂŻ x, si x es positivo o cero 5

Ejemplo 1: Calcula el valor absoluto de 23 2 SoluciĂłn:

1 8 5 8 15 7 7 7 23 2 3

33 2 22 Ejemplo 2: EvalĂşa la expresiĂłn 5

SoluciĂłn: 33 2 22 5

27 2 4 5

25 5

2 2

2 5 ÂŞ 5 ÂşÂź 5 25 ÂŹ

Uno podrĂa decir que el nivel del suelo es el cero, y que sobre el suelo estĂĄ lo positiYR \ SRU GHEDMR HVWiQ ORV QHJDWLYRV FRPR HQ XQ HGLÂżFLR /RV SLVRV KDFLD DUULED VRQ positivos, y los subterrĂĄneos son negativos. Cuando uno sube uno dice subĂ 5 pisos, SHUR FXDQGR EDMD DO VXEWHUUiQHR XQR QR GLFH EDMp Ă SLVRV VLQR VLPSOHPHQWH EDMp 3 pisos", es decir el valor absoluto de 3 o de cualquier otro nĂşmero.

loque II

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

SimĂŠtrico de un nĂşmero real 3 3 3 TXH VLJQLÂżFD TXH Ă \ HVWiQ D OD PLVPD GLVWDQHemos analizado que FLD GHO FHUR HQ OD UHFWD QXPpULFD (O Q~PHUR Ă VH ORFDOL]D XQLGDGHV D OD L]TXLHUGD del cero, mientras que 3 estĂĄ tres unidades a la derecha del cero. Los nĂşmeros con VLPpWULFRV \ SRGHPRV GHÂżQLUORV FRPR ORV Q~PHURV esta caracterĂstica se denominan simĂŠtricos \ SRGHPRV GHÂżQLUORV FRPR ORV Q~PHURV que al sumarse producen como resultado al nĂşmero cero. El simĂŠtrico de un nĂşmero real es otro nĂşmero que se localiza a la misma distancia GHO FHUR SHUR HQ GLUHFFLyQ FRQWUDULD $Vt HO VLPpWULFR GH Ă HV \ HO VLPpWULFR GH HV Ă Dos nĂşmeros son simĂŠtricos si su suma produce como resultado el elemento neutro GH OD VXPD HO FHUR $Vt Ă \ VRQ VLPpWULFRV SRUTXH Ă \ \ Ă VRQ VLPpWULFRV SRUTXH Ă Ejemplo 1: Encuentra el simĂŠtrico del nĂşmero que se obtiene de evaluar la expresiĂłn: 23 Ă SoluciĂłn: 3 Ă 2 Ă Ă FX\R VLPpWULFR HV Ă

Ejemplo 2: Determina el simĂŠtrico del nĂşmero que se obtiene de evaluar la expresiĂłn: 42 7 3 3 3 SoluciĂłn:

42 16 7 13 7 20 3 7 3 13 7 20 20 FX\R VLPpWULFR HV cuyo simĂŠtrico es 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Relaciones de orden entre los nĂşmeros reales Para todos los nĂşmeros reales, un nĂşmero que se localice a la derecha de otro en la recta numĂŠrica es mayor que ĂŠste y, en consecuencia, cualquier nĂşmero que se localice a la izquierda de otro en la recta numĂŠrica es menor que ĂŠste.

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

RelaciĂłn menor que Para indicar que un nĂşmero es menor que otro usamos el sĂmbolo <, que se lee ÂłPHQRU TXHÂ´ 3DUD LQGLFDU TXH HV PHQRU TXH XVDPRV OD H[SUHVLyQ (Q JHneral, si deseamos indicar que un nĂşmero a es menor que otro nĂşmero b, usamos la expresiĂłn a < b. Esta relaciĂłn de orden se entiende mejor a partir de OD VLJXLHQWH ÂżJXUD (Q HVWD ÂżJXUD VH FXPSOH TXH a < b, porque a se localiza a la izquierda de b.

Figura 2.12. Relaciones de orden entre los nĂşmeros reales.

RelaciĂłn mayor que Si queremos escribir que un nĂşmero es mayor que otro usamos el sĂmbolo >, que VH OHH ÂłPD\RU TXHÂ´ 3DUD H[SUHVDU TXH HV PD\RU TXH XWLOL]DPRV OD H[SUHVLyQ 6 > 4. En general, expresamos que un nĂşmero a es mayor que otro nĂşmero b usando la expresiĂłn a > b. Estas dos relaciones pueden relacionarse entre sĂ, ya que si a < b, entonces tambiĂŠn b > a. Por ejemplo, si decimos que un hijo es menor que su padre es equivalente a decir que el padre es mayor que el hijo: hijo (h) < padre (p) es equivalente de p > h. En la recta numĂŠrica el nĂşmero que se ubica a la derecha del otro es mayor. Propiedades de la igualdad: 1. 3URSLHGDG GH LGHQWLGDG. Todo nĂşmero es igual a sĂ mismo, es decir, a = a. 2. 3URSLHGDG GH UHFLSURFLGDG R GH VLPHWUtD. Si un nĂşmero es igual a otro, entonces ĂŠste es igual al primero, es decir, si a = b entonces b = a. 3. 3URSLHGDG WUDQVLWLYD. Si un nĂşmero es igual a otro y ĂŠste es igual a un tercero, entonces el primer nĂşmero es igual al tercero, es decir, si a = b y b = c, entonces a = c. 1 3 Analicemos los nĂşmeros reales: 2.25 igual a 2 y 3.75 igual a 3 /D JUiÂżFD GH HVWRV 4 4 puntos en la recta numĂŠrica es:

Figura 2.13. LocalizaciĂłn de 2.25 y 3.75.

loque II

Utilizas magnitudes y números reales

Podemos ver que 2.25 se localiza a la izquierda de 3.75, por lo que 2.25 < 3.75. Del mismo modo, dado que se localiza a la derecha de , se cumple que 3.75 > 2.25. Ambas son proposiciones equivalentes. Si a y b son dos números reales, entonces se cumple sólo una de las siguientes condiciones: 1. a < b, si a se localiza a la izquierda de b en la recta numérica. 2. a > b, si a se localiza a la derecha de b en la recta numérica. 3. a = b, si a se localiza en la misma posición que en la recta numérica. Ejemplo:

3 15 y , son fracciones equivalentes y se representan en la misma 2 10

posición de la recta numérica.

Aplica lo aprendido

Actividad 4 Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas, anotando en tu libreta los procesos completos que sean evidencia de la aplicación de reglas y conceptos estudiados. 1. Escribe la notación desarrollada para el número 27.43. 2. Demuestra que el número 8.52 es racional y expresa la fracción equivalente VLPSOL¿FDGD

! ^

3. Del siguiente conjunto de números reales 2.75, 4, 0, cribe los que son racionales.

3 4

, 1.3,

4. Explica a qué conjuntos de los números reales pertenece el valor

6, p S , es25 .

5. Escribe el símbolo <, = ó > según corresponda, para que las expresiones sean verdaderas. a)

32 3 2

5 12

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

13 9 2

5 2

3 32

Aprende mĂĄs Tasas Las tasas se emplean donde se requiere conocer la variaciĂłn en la cantidad de un fenĂłmeno con respecto a otro, por ejemplo, si deseo saber la cantidad de mis FRPSDxHURV TXH SUHÂżHUHQ HO EDVTXHWERO FRQ UHVSHFWR D ORV TXH SUHÂżHUHQ HO IXWERO Su aplicaciĂłn se da en el comercio, la evaluaciĂłn escolar, la ciencia por mencionar algunos, en el calculo de razones, proporciones y porcentajes. La tasa es una forma de relacionar la variaciĂłn entre dos variables donde una es dependiente de la otra. De este modo, si la variable \ y cambia su valor desde \ y1 hasta \y2 cuando varĂa el valor de la variable [ x desde [ x1 hasta [ x2, entonces la tasa de cambio de \y con respecto a [x estĂĄ dada por la expresiĂłn: y2 y1 x2 x1 La diferencia y 2 y1 puede ser positiva o negativa, lo que implica que \y creciĂł o decreciĂł, respectivamente. Lo mismo puede decirse de la variable [. x. Una forma de expresar el incremento o decremento de una variable es mediante la notaciĂłn: ' ' y TXH VH OHH ÂłGHOWD GH \Â´ SRUTXH VH HPSOHD OD OHWUD JULHJD ÂłGHOWDÂ´ PD\~VFXOD TXH VH OHH ÂłGHOWD GH yÂ´ SRUTXH VH HPSOHD OD OHWUD JULHJD ÂłGHOWDÂ´ PD\~VFXOD

loque II

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

y y 2 y1 , ' x x 2 x1 y que: De este modo, podemos decir que ' y1 y y 2 ' es la tasa de cambio promedio de \y con respecto a [x x x 2 x1 ' Algunos ejemplos de tasas son: la tasa de natalidad, que es la relaciĂłn de los nacidos vivos al nĂşmero de habitantes durante un aĂąo; tasas de interĂŠs que expresan la cantidad de dinero que una inversiĂłn produce durante un plazo determinado, etcĂŠtera. Si una de las variables es el tiempo, la tasa se denomina tasa de cambio; por ejemplo, la velocidad de un automĂłvil, que es la tasa de la distancia recorrida al tiempo invertido en el recorrido, o el cambio en el nivel de agua al llenar una alberca. (Q SUREOHPDV HVSHFtÂżFRV VH XVDQ OD WDVD GH IHFXQGLGDG WDVD GH PRUWDOLGDG WDVD de inmigraciĂłn, tasa de divorcio, tasa de crecimiento, etcĂŠtera. Ejemplo 1. /D VLJXLHQWH JUiÂżFD PXHVWUD OD YDULDFLyQ GHO SUHFLR HQ SHVRV GH XQ artĂculo durante varios aĂąos.

Determina: a) b) c) d)

El precio del artĂculo en el segundo aĂąo del estudio. El precio del artĂculo en el octavo aĂąo. El cambio del precio desde el aĂąo 2 hasta el aĂąo 8. La tasa promedio del precio para los aĂąos 2 a 8.

SoluciĂłn: D /D JUiÂżFD PXHVWUD TXH HQ HO DxR [1 HO SUHFLR HV \1 SHVRV E 3DUD [2 HO SUHFLR HV \2 SHVRV

100

Utilizas magnitudes y nÃºmeros reales

'y y 2 y1 14 5 9 SHVRV F (O FDPELR GHO SUHFLR HVWi GDGR SRU D 'DGR TXH HVWH YDORU HV SRVLWLYR HO SUHFLR VH LQFUHPHQWy SHVRV GXUDQWH ' x x2 x1 8 2 6 DxRV D G /D WDVD SURPHGLR GHO SUHFLR FRQ UHVSHFWR DO WLHPSR UHSUHVHQWD OD FDQWLGDG GH SHVRV TXH pVWH FDPELD SRU DxR HV GHFLU

' y 9 pesos D 1.5 pesos/aÃ±o ' x 6 aÃ±os D

Ejemplo 2. En el aÃ±o 2000, una ciudad aumentaba su poblaciÃ³n con una tasa de 1500 habitantes por aÃ±o. Si en el aÃ±o 2005, su poblaciÃ³n era de 60 mil habitantes, Â¿quÃ© poblaciÃ³n habÃa en el aÃ±o 2000? SoluciÃ³n: /RV GDWRV GHO SUREOHPD VRQ x1 2000 ,

'y D 1500 habitantes/aÃ±o , x2 2005 y\ y 2 60000 habitantes . 'x D

/D IyUPXOD GH OD WDVD SURPHGLR HV y1 'y y 2 D x1 ' x x2 D

y1 60000 6XVWLWX\HQGR GDWRV VH WLHQH TXH GH GRQGH Sustituyendo datos se tiene que 1500 de donde 2000 2005 y1 60000 1500 5 1500 5

60000 y1 y1 7500 60000 y1 60000 7500

7500 y1 60000 y1 52500 5HVSXHVWD (Q HO DxR KDEtD KDELWDQWHV HQ GLFKD FLXGDG

101

loque II

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

Aprende mĂĄs Razones La mayor parte de la informaciĂłn que procesamos todos los dĂas se basa en la relaciĂłn de cantidades que expresamos como fracciones, razones, proporciones o porFHQWDMHV 8Q DOXPQR VDEH TXH XQD PHGLGD FRPR HO SURPHGLR GH VXV FDOLÂżFDFLRQHV informa sobre su estado de aprendizaje o que un porcentaje expresa la cantidad de una poblaciĂłn que tiene ciertas caracterĂsticas; por ejemplo, el porcentaje de alumnos que juega ajedrez en tu escuela. Una razĂłn es la relaciĂłn de dos cantidades para expresar cuĂĄnto de una estĂĄ contenida en (o pertenece a) la otra. La notaciĂłn empleada para expresar esta relaciĂłn es a : b, que se lee a es a b. Por ejemplo, si en un salĂłn hay 36 mujeres y 24 hombres, la razĂłn de mujeres a hombres es de 36 a 24. En nuestro ejemplo, la razĂłn de mujeres a hombres en el salĂłn es 36 : 24. La expresiĂłn a + b es la cantidad total y a y b son las partes del total que se relacionan. En realidad, tratamos de saber cuĂĄntas mujeres hay por cada hombre en el salĂłn, de modo que estĂĄ implĂcita la operaciĂłn de divisiĂłn en esta relaciĂłn; asĂ, 36 : 24 es lo mismo que: 36 2 u 2 u 3 u 3 3 24 2 u 2 u 2u 3 2 Que en forma mĂĄs concreta permite decir que en el salĂłn hay 3 mujeres por cada 2 hombres. AsĂ, la razĂłn es 3 : 2. Se acostumbra expresar los valores a y b con nĂşmeros enteros. Si hubieran valores decimales, multiplique hasta obtener valores enteros. Ejemplo: 2.5 : 3 es igual que 2.5 Ă&#x2014; 2 : 3 Ă&#x2014; 2, es decir 5 : 6, correctamente expresada con nĂşmeros enteros. Las razones se pueden usar para expresar relaciones muy variadas. Como ejemplo, podemos relacionar la altura de un triĂĄngulo a su base; la cantidad de personas en un paĂs que tienen estudios a la que carece de ellos; el nĂşmero de prendas de ropa defectuosas en un proceso de maquila al total de prendas producidas; el nĂşmero de juegos ganados por un equipo en un torneo al nĂşmero de juegos perdidos; etcĂŠtera.

102

Utilizas magnitudes y nÃºmeros reales

Ejemplo 1: Â¿CuÃ¡l es la razÃ³n de la altura a la longitud de un pizarrÃ³n si su altura es de 75 cm por 2.5 m de longitud? SoluciÃ³n: 1RWD TXH ODV XQLGDGHV QR VRQ FRQVLVWHQWHV SRU OR WDQWR OR SULPHUR TXH GHEHPRV KDFHU HV XQD FRQYHUVLyQ SDUD TXH ODV XQLGDGHV VHDQ LJXDOHV Â§ Â· 100 cm Altura: 75 cm Longitud: 250 cm Â¨ porque 2.5 m u 250 cm Â¸8 $OWXUD FP /RQJLWXG FP 1 m Â© Â¹ 3RU OR TXH OD UD]yQ GH DOWXUD D ORQJLWXG HQ HO SL]DUUyQ HV TXH VLPSOLÂ¿FDGD HV 75 15 3 250 50 10 (V GHFLU TXH VLJQLÂ¿FD TXH HO SL]DUUyQ WLHQH FP GH DOWXUD SRU FDGD FP GH ORQgitud. JLWXG

Ejemplo 2: Â¿CuÃ¡l es la razÃ³n de hembras a machos en una pecera que tiene 80 peces, de los cuales 30 son hembras? SoluciÃ³n: /D UD]yQ EXVFDGD HV KHPEUDV D PDFKRV \ VDEHPRV TXH GH SHFHV HQ WRWDO VRQ KHPEUDV SRU OR TXH Ã VRQ SHFHV PDFKRV DVt OD UD]yQ GH KHPEUDV D PDFKRV HV TXH VLPSOLÂ¿FDGD HV

10 3 30 3 u 50 5 u 10 5 2 VHD TXH H[SOLFD TXH HQ OD SHFHUD KD\ KHPEUDV SRU FDGD PDFKRV

Proporciones y variaciones En ocasiones disponemos de dos razones: a : b y c : d; por ejemplo, las razones de mujeres a hombres en dos salones diferentes; las razones de altura a longitud en dos pizarrones; las razones de hembras a machos en dos peceras; etcÃ©tera.

103

loque II

Utilizas magnitudes y nรบmeros reales

Una SURSRUFLyQ es la igualdad entre dos razones. La expresiรณn de una proporciรณn es a : b :: c : d, que tambiรฉn se puede escribir como: a c b d (Q XQD SURSRUFLyQ HO SURGXFWR GH H[WUHPRV HV LJXDO TXH HO SURGXFWR GH PHGLRV. Sea la proporciรณn a : b :: c : d entonces ad = bc.

Ejemplo 1: En un salรณn hay 36 mujeres y 24 hombres, ยฟcuรกntas mujeres debe haber en otro salรณn que tiene 18 hombres para que los grupos sean proporcionales? Soluciรณn: /D UD]yQ HQ HO SULPHU JUXSR FDOFXODGD DQWHULRUPHQWH HV \ OD UD]yQ HQ HO VHJXQGR VDOyQ HV F 3DUD TXH ORV JUXSRV VHDQ SURSRUFLRQDOHV VH GHEH FXPSOLU TXH F es decir: 3 c 2 18 'H DTXt SRGHPRV UHDOL]DU XQ SURFHVR TXH QRV Gp FRPR UHVXOWDGR HO YDORU GH F 3DUD que las fracciones sean iguales, debemos tener denominadores iguales, de modo que QHFHVLWDPRV VDEHU SRU FXiQWR VH GHEH PXOWLSOLFDU SDUD REWHQHU (VWR VH SXHGH escribir de la siguiente manera: u? 3 c u ? 18 2

2EWHQHPRV FRPR UHVSXHVWD DVt

u 9 27 3 c u 9 18 18 2

'H GRQGH SRU FRPSDUDFLyQ GLUHFWD GH ORV QXPHUDGRUHV FRQFOXLPRV TXH F $Vt OD UHVSXHVWD D OD SUHJXQWD HV TXH GHEH KDEHU PXMHUHV D KRPEUHV HQ HO VHJXQGR VDOyQ SDUD TXH DPERV JUXSRV VHDQ SURSRUFLRQDOHV

Ejemplo 2: La imagen del rostro de una persona en una fotografรญa mide 2 cm de altura por 1.5 cm de anchura. Si el rostro de la persona real tiene 12 cm de altura, ยฟcuรกl es su anchura? Soluciรณn: 6DEHPRV TXH OD IRWRJUDItD HV SURSRUFLRQDO GLPHQVLRQDOPHQWH D OD SHUVRQD SRU OR TXH

104

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

ODV UD]RQHV GH DOWXUD D DQFKXUD GHEHQ VHU LJXDOHV $Vt OD UD]yQ GH DVSHFWR GHO URVWUR HQ OD IRWRJUDItD HV ĂŽ ĂŽ TXH HQ HQWHURV HV \ OD UD]yQ GH DVSHFWR UHDO GHO URVWUR GH OD SHUVRQD HV G TXH GHEH VDWLVIDFHU OD H[SUHVLyQ G HV GHFLU 4 12 3 GH GRQGH DO PXOWLSOLFDU SRU quedarĂĄn igualados los numeradores. 3 d 3 $Vt FRQFOXLPRV TXH G SRU OR WDQWR OD UHVSXHVWD DO SUREOHPD HV TXH OD SHUVRQD UHDOmente tiene 9 cm de anchura en su rostro.

Ejemplo 3: En un restaurante hay 12 mesas para no fumadores y 4 mesas para fumadores. ÂżCuĂĄntas mesas para fumadores deben colocarse en una sucursal de dicho restaurante en el que se colocaron 42 mesas para no fumadores si se desea que las cantidades sean proporcionales? SoluciĂłn: [ TXH HQ LJXDOGDG HV [ GH GRQGH 2 2 2 3 7

4 42 4 42 14 x 12 3 1 2 2

5HVSXHVWD VH GHEHQ FRORFDU PHVDV SDUD IXPDGRUHV \ DVt VHUiQ SURSRUFLRQDOHV

Porcentajes Cuando en una proporciĂłn una de las razones tiene como segundo elemento al nĂşmero 100, la proporciĂłn se denomina SRUFHQWDMH. Por ejemplo, las rebajas en las tiendas se expresan en porcentajes, los impuestos se calculan como porcentajes del salario, las tasas de interĂŠs que un banco cobra por una tarjeta de crĂŠdito son porcentajes del saldo en la cuenta, la informaciĂłn de los medios de comunicaciĂłn generalmente expresa porcentajes, como el porcentaje de fumadores en una ciudad o el porcentaje de desempleo, etcĂŠtera. La expresiĂłn de cĂĄlculo de un porcentaje es b :: Fc : 100, o en forma de fracciones: a:E a c b 100 Existe una fĂłrmula que nos permite calcular de manera inmediata el interĂŠs: tasa u tiempo) I C Â&#x2DC;=r Â&#x2DC;=t (InterĂŠs capital u

105

loque II

Utilizas magnitudes y nÃºmeros reales

Ejemplo 1: Alex pidiÃ³ un prÃ©stamo de $7500 en el banco mÃ¡s cercano. Lo espera SDJDU HQ GRV DxRV FRQ XQD WDVD DQXDO Â¿MD GH Â¢4Xp LQWHUpV SDJDUi DO FXPSOLUVH el lapso acordado? SoluciÃ³n: /R TXH VDEHPRV & U W DxRV )yUPXOD I C Â&#x2DC;=r Â&#x2DC;=t 6XVWLWX\HQGR \ UHVROYLHQGR RSHUDFLRQHV , /R DQWHULRU HV HO LQWHUpV TXH SDJDUi \ OD GHXGD HQ UHDOLGDG IXH GH

Ejemplo 2: Â¿CuÃ¡l es el 15% de 600? SoluciÃ³n: 6H GHVHD FDOFXODU OD FDQWLGDG GH TXH HV SURSRUFLRQDO FRQ GH HV GHFLU D TXH HQ IRUPD GH IUDFFLyQ HV a 15 6 TXH FRPR VDEHPRV QRV OOHYD D PXOWLSOLFDU OD VHJXQGD IUDFFLyQ SRU , 600 100 6 SDUD TXH ODV IUDFFLRQHV WHQJDQ HO PLVPR GHQRPLQDGRU DVt FRQFOXLPRV TXH a = 15 Ã&#x2014; /D UHVSXHVWD HV TXH HV HO GH

Ejemplo 3: En una tienda departamental se anuncia un descuento de 20% sobre una prenda de vestir que tiene un precio normal de 480 pesos. Â¿CuÃ¡l es el monto del descuento? Â¿CuÃ¡l es el precio de oferta de la prenda? SoluciÃ³n: (O GHVFXHQWR VH REWLHQH SRU OD H[SUHVLyQ G Ã&#x2014; GHVFXHQWR GH SHVRV

3DUD VDEHU FXiO HV HO SUHFLR GH RIHUWD EDVWD FRQ UHVWDU HO GHVFXHQWR GHO SUHFLR QRUPDO Ã 5HVSXHVWDV OD SUHQGD VH HQFXHQWUD FRQ XQ GHVFXHQWR GH SHVRV VREUH HO SUHFLR QRUPDO GH SHVRV \ HO SUHFLR GH RIHUWD HV GH SHVRV

106

Utilizas magnitudes y nรบmeros reales

Regla de tres /D DSOLFDFLyQ GHO GHVSHMH D OD DSOLFDFLyQ GH SURSRUFLRQHV HV OD FRQRFLGD ยณUHJOD GH WUHVยด &RQVLVWH HQ FDOFXODU XQD FDQWLGDG D SDUWLU GH WUHV FDQWLGDGHV FRQRFLGDV TXH varรญan proporcionalmente. Esta variaciรณn puede ser directa o inversa.

Regla de tres simple directa Para resolver problemas de variaciรณn directa en los que intervienen dos variables se usa esta regla. El procedimiento para usarla es el siguiente: 1. Se escribe el supuesto: a es a b. 2. Se escribe la pregunta: c es a x o x es a d, donde x es la incรณgnita. a c a x o de la expresiรณn segรบn b x b d bc ad corresponda, dando lugar a x o x , respectivamente. a b

3. Se despeja la incรณgnita de la expresiรณn:

Ejemplo: Para administrar un medicamento se debe considerar el peso del paciente para indicar la dosis. Si se requieren 10 mg de este medicamento para un paciente de 50 kg de peso, ยฟcuรกntos mg se requerirรกn para un paciente de 75 kg de peso? Soluciรณn: 6XSXHVWR PJ GH PHGLFDPHQWR FRUUHVSRQGHQ D NJ GH SHVR 3UHJXQWD [ PJ GH PHGLFDPHQWR FRUUHVSRQGHQ D NJ GH SHVR 3URSRUFLyQ [ TXH HQ IRUPD GH IUDFFLyQ HV 10 x 50 75 'HVSHMH x

10 u 75 75 15 5 50

5HVSXHVWD SDUD XQ SDFLHQWH GH NJ GH SHVR VH GHEH DGPLQLVWUDU XQD GRVLV GH PJ GH PHGLFDPHQWR de medicamento.

107

loque II

Utilizas magnitudes y nรบmeros reales

Regla de tres simple inversa Se usa en la soluciรณn de problemas de variaciรณn inversa entre dos variables. El procedimiento de uso es: 1. Se escribe el supuesto: a es a b. 2. Se escribe la pregunta: c es a x o x es a d, donde x es la incรณgnita. 3. Se invierte el orden de los tรฉrminos de la pregunta. a x a d o de la expresiรณn segรบn b c b x ac bd corresponda, dando lugar a x o x , respectivamente. b a

4. Se despeja la incรณgnita de la expresiรณn:

Ejemplo: Si tres obreros pueden construir una barda en 4 dรญas, ยฟcuรกnto tiempo les llevarรก a cinco obreros construir la misma barda? Soluciรณn: /D YDULDFLyQ HV LQYHUVD SRUTXH D PiV REUHURV PHQRV WLHPSR GH FRQVWUXFFLyQ 6XSXHVWR REUHURV VRQ D GtDV SDUD OD REUD 3UHJXQWD REUHURV VRQ D [ GtDV SDUD OD REUD ,QYHUVLyQ GH OD SUHJXQWD [ HV D 'H PRGR TXH TXHGD OD SURSRUFLyQ [ HQ IRUPD GH IUDFFLyQ HV 'HVSHMDQGR WHQHPRV x

3 x 4 5

5 15 3u 3 3 4 4 4

3 5HVSXHVWD VH QHFHVLWDUiQ GtDV FRQ GH GtD TXH VRQ KRUDV \D TXH FDGD FXDUWR 4 GH GtD HV GH KRUDV

108

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

Aplica lo aprendido

Actividad 5 Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios, desarrollando procedimientos completos en tu libreta, que evidencien el uso de las reglas de prioridad y asociatividad, asĂ como el uso de operadores relacionales adecuadamente. 1. Calcula el tĂŠrmino x de cada igualdad, de manera que se forme una proporciĂłn. a)

25 40 15 x

36 42 x 28

x 2.4 1.8 3.6

9 x 3.6 18

2. ÂżQuĂŠ interĂŠs producen $48000 colocado al 5% de interĂŠs simple anual, durante 3 aĂąos? 3. A una taquiza se invitĂł a 125 personas y se estima que cada una coma 8 tacos; ÂżCuĂĄntos tacos deben prepararse? 4. Un camiĂłn de carga tiene una razĂłn largo : ancho de 7 : 4. Si su anchura es de 3 metros, ÂżcuĂĄnto mide de largo este camiĂłn de carga? 5. En un grupo de bachillerato que tiene 50 alumnos hay 15 mujeres. ÂżCuĂĄl es la razĂłn de hombres a mujeres en el salĂłn? 6. En una billetera hay 6 billetes de 100 pesos y 9 billetes de 50 pesos. ÂżCuĂĄntos billetes de 50 pesos debe haber en una caja registradora que tiene 42 billetes de 100 pesos para que las cantidades entre la billetera y la caja registradora sean proporcionales? ÂżCuĂĄnto dinero en total habrĂĄ en la caja registradora? 7. Si el porcentaje de sal en una soluciĂłn de laboratorio es 35% y el peso total de la soluciĂłn es de 275 gr, ÂżcuĂĄl es el peso de la sal pura en la soluciĂłn? 8. Si se necesitan 8 horas para llenar una alberca de 1200 litros, ÂżcuĂĄnto tiempo tardarĂĄ llenar una alberca de 2500 litros? 9. Dos jardineros podan un jardĂn en 7 horas. Suponiendo que la velocidad para

109

loque II

Utilizas magnitudes y nรบmeros reales

podar es la misma para los jardineros, ยฟcuรกnto tiempo le llevarรก a uno solo realizar el trabajo? 10. En una tienda se anuncia un descuento de 25% en todos los pantalones de mezclilla. Si un pantalรณn de mezclilla tiene un precio normal de 450 pesos, ยฟcuรกl es su precio de oferta?

3DUD YHULยฟFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV /RV SURFHGLPLHQWRV \ RSHUDFLRQHV SDUD OOHJDU D OD VROXFLyQ GH HVWRV HMHUFLFLRV IRUPDUiQ SDUWH GH WX SUREOHPDULR

Aprende mรกs

Reconoce variaciones directas e inversas, asรญ como modelos de variaciรณn proporcional directa e inversa Como se explicรณ al estudiar la regla de tres, existen dos formas de variaciรณn entre las variables de una situaciรณn particular: variaciรณn directa y variaciรณn inversa. Recordemos que la variaciรณn directa se presenta cuando al aumento de una variable corresponde el aumento de otra o viceversa, y que la variaciรณn inversa ocurre cuando al aumento de una variable corresponde la disminuciรณn de otra o viceversa. Para expresar que una variable \y es directamente proporcional a la variable [x se yv emplea la expresiรณn: \ [ GRQGH HO VH OHH ยณSURSRUFLRQDO Dยด 3DUD FRQYHUWLU HVWD x GRQGH HO VH OHH ยณSURSRUFLRQDO Dยด 3DUD FRQYHUWLU HVWD v expresiรณn en igualdad, se introduce una constante que se denomina constante kx. de proporcionalidad, dando lugar a la expresiรณn: \y = N[. 1 indica que la variable \y es inversamente proporcional a la x 1 k x. La transformaciรณn a igualdad da lugar a la expresiรณn: y k variable [. x x

La expresiรณn y v f

110

Utilizas magnitudes y nรบmeros reales

Algunas variables tienen variaciรณn directa con una variable y variaciรณn inversa con otra. Este tipo de variaciรณn se considera mixto. Por ejemplo, en Fรญsica, la fuerza de atracciรณn entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Si z varรญa directamente con respecto a x y y es inversamente proporcional a y, la expresiรณn de la variaciรณn es: zf

x x , que en forma de igualdad es z k y y

Para resolver problemas de variaciรณn proporcional se relaciona la informaciรณn dada en el enunciado para hallar el valor de la constante de proporcionalidad y despuรฉs se calcula la incรณgnita. Ejemplo 1: Un automรณvil recorre 20 km en 5 minutos, ยฟcuรกntos kilรณmetros recorrerรก en 30 minutos? Soluciรณn: (O PRGHOR HQ HVWH SUREOHPD HV HO GH YDULDFLyQ GLUHFWD SRUTXH ยณD PiV WLHPSR PiV GLVWDQFLD UHFRUULGDยด (QWRQFHV VL \ GLVWDQFLD UHFRUULGD HQ NP \ [ WLHPSR HQ PLQXWRV HO modelo matemรกtico es: y = kx. NP N PLQ \ GHVSHMDQGR WHQHPRV TXH k

20 = 4 km/min 5

3RU OR WDQWR HO PRGHOR GH YDULDFLyQ GHO SUREOHPD HV \ [ $KRUD FDOFXOHPRV OD LQFyJnita. Sustituyendo tenemos: \

y = 120 /D UHVSXHVWD HV HO DXWRPyYLO UHFRUUHUi NP HQ PLQXWRV

Ejemplo 2: La siguiente tabla muestra los datos de dos variables directamente proporcionales. Completa la tabla a partir de la informaciรณn contenida en ella. y

73 4

5.5

111

loque II

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

SoluciĂłn: &RQ ORV GDWRV GH OD SULPHUD FROXPQD SRGHPRV FDOFXODU OD FRQVWDQWH GH SURSRUFLRQDOLdad: 25 , que lleva a k = 2.5 10 Ahora calculemos los valores que faltan en las siguientes columnas: N GH GRQGH k

Columna 2: 35 = 2.5x, de donde x

35 14 2.5

&ROXPQD \ &ROXPQD [ GH GRQGH x

73 29.2 . 2.5

&ROXPQD \ /D WDEOD FRPSOHWD HV y

13.75

29.2

5.5

2.5

Aplica lo aprendido

Actividad 6 Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas, anotando en tu libreta los procesos completos que sean evidencia de la aplicaciĂłn de reglas y conceptos estudiados. 1. Con 20 pesos se pueden comprar 3 chocolates. ÂżCuĂĄnto costarĂĄn 10 chocolates? Escribe el modelo matemĂĄtico del problema. 2. Si cuatro obreros levantan una pared en 3 dĂas, ÂżcuĂĄnto tiempo les llevarĂĄ a 3

112

Utilizas magnitudes y números reales

obreros hacer la misma tarea, suponiendo que todos trabajan al mismo ritmo? Escribe el modelo matemático del problema. 3. La siguiente tabla muestra los datos de dos variables inversamente proporcionales. Completa la tabla a partir de la información contenida en ella. Escribe el modelo matemático del problema. y

6.25

50 50

k 4. Si con 6 litros de gasolina un auto recorre 54 kilómetros, ¿cuántos kilómetros recorrerá con 20 litros de gasolina? Escribe el modelo matemático del problema. 5. Una alberca se puede llenar en 12 horas con una toma de agua abierta. Si se abren 3 tomas de agua, ¿en cuánto tiempo se llenará? Escribe el modelo matemático del problema. 6. Se necesitan 10 perros para jalar un trineo con una carga de 200 kg. ¿Cuántos perros se necesitarán para jalar una carga de 300 kg? Escribe el modelo matemático del problema. 7. Un auto que viaja a una velocidad de 50 km/h llega a su destino en 6 horas. ¿A qué velocidad debe viajar si el regreso debe realizarlo en 4 horas? Escribe el modelo matemático del problema.

113

loque II

Utilizas magnitudes y números reales

Actividad 7 3URGXFWR GH DSUHQGL]DMH LQYHVWLJDFLyQ VREUH ¢TXp GHSRUWH SUH¿HUHQ ORV estudiantes? Instrucciones: En equipos de 5 alumnos, investiguen la preferencia de los estudiantes de tu escuela en los siguientes deportes:

Individuales (atletismo, ajedrez, ciclismo, natación, etcétera).

Deportes o juegos de conjunto (futbol, basquetbol, voleibol, etcétera).

Recomendaciones: (O SUR\HFWR GHEHUi WRPDU HQ FXHQWD HO GLVHxR GH HQFXHVWDV \ JUi¿FDV TXH PXHVtren los resultados de la investigación.

La información en el proyecto deberá incluir números reales, su representación y uso en forma de razones, proporciones, tasas, porcentajes y/o variaciones.

/RV HOHPHQWRV GH HYDOXDFLyQ ORV SXHGHV FRQVXOWDU DO ¿QDO GH HVWH EORTXH HQ OD rúbrica del proyecto. (V PX\ LPSRUWDQWH TXH HO SUR\HFWR ¿QDOLFH FRQ XQD FRQFOXVLyQ GHO HTXLSR UHVpecto a la importancia de los conocimientos de este bloque para realizarlo y que lleve a los alumnos a valorarlos en la solución de problemas y las diversas aplicaciones en las áreas humanas. ¡Manos a la obra!

/RV SURFHGLPLHQWRV \ RSHUDFLRQHV SDUD OOHJDU D OD VROXFLyQ GH HVWRV HMHUFLFLRV IRUPDUiQ SDUWH GH WX SUREOHPDULR

114

Utilizas magnitudes y números reales

Actividad 8 Producto de aprendizaje: elaboración de tu problemario Esta actividad consiste en conformar tu problemario con los problemas y ejercicios que resolviste de manera individual o grupal en las siete actividades presentadas a lo largo del Bloque. En tu libreta o cuaderno que hayas destinado para este producto de aprendizaje, colocarás cada uno de los ejercicios que se te indicaron que formarían parte del problemario, sólo asegúrate antes de colocarlos que los procedimientos y resultados VHDQ FRUUHFWRV 7H VXJHULPRV TXH HO UHVXOWDGR ¿QDO GH FDGD HMHUFLFLR R SUREOHPD OR puedas resaltar con una tinta de color diferente al color utilizado en el procedimiento. Te invitamos a consultar la lista de cotejo que se encuentra en la sección de evaluación que se encuentra enseguida, para que consideres los criterios de evaluación que debes cubrir. Para presentar tu problemario a tu Profesor, es importante que mantengas limpieza y orden, además coloca una carátula al inicio con tus datos (nombre, de la escuela, asignatura, del estudiante, Bloque, título del problemario, semestre, grupo y fecha) y un índice.

115

loque II

Utilizas magnitudes y números reales

Lista de cotejo para evaluar el producto de aprendizaje: investigación sobre ¢TXp GHSRUWH SUHÀHUHQ ORV HVWXGLDQWHV" Criterios

Indicadores

Sí cumple

Representación de números reales. Los números reales en forma de razones. Los números reales en tasas y porcentajes y/o variaciones. Contenido

Todos los procedimientos y resultados aparecen ordenados en el trabajo. Información completa en los ejemplos de los deportes. Presenta el diseño de la encuesta. El trabajo está limpio y con buena letra. Las conclusiones las expresan de forma clara.

Presentación

/DV JUi¿FDV H[SUHVDQ los resultados muestran creatividad. Carátula (nombre del estudiante, asignatura, bloque, título, semestre, grupo y fecha).

Dominio Conceptual y Procedimental

Números reales: representación y operaciones. Tasas. Razones, proporciones y variaciones. Trabaja de forma colaborativa.

Actitud

Respeta las opiniones de otros. Trabajo con orden y limpieza.

Total de puntos

116

No cumple

Observaciones

Utilizas magnitudes y números reales

Si en la lista de cotejo lograste los 15 puntos considera tu resultado como Excelente y si lograste 12 a 14 puntos es Bien, de 9 a 11 es Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 9 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que atiendas tus áreas de oportunidad. ([FHOHQWH ¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

Lista de cotejo para evaluar el producto de aprendizaje: problemario Criterios

Indicadores

Sí cumple

No cumple

Observaciones

Presenta carátula con los datos de: nombre de la escuela, estudiante, asignatura, bloque, título del poblemario, semestre, grupo, fecha. Presentación

7 Actividades: orden y limpieza. El planteamiento de la actividad a tinta. Proceso de solución a lápiz. Presenta índice.

Planteamiento de ecuaciones

,GHQWL¿FD FRUUHFWDPHQWH HO tipo de ecuación a utilizar. Utiliza el método solicitado.

Procedimientos Escribe todos los pasos. Comprueba las soluciones obtenidas. Solución Las interpreta de acuerdo al contexto.

Continúa...

117

loque II

Utilizas magnitudes y números reales

Trabaja de forma colaborativa. Actitud

Escucha con respeto las opiniones de los demás. Sigue con atención instrucciones y las interpreta.

Total de puntos

Si en la lista de cotejo lograste los 11 puntos considera tu resultado como Excelente y si lograste 9 a 11 puntos es Bien, de 6 a 8 es Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 6 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que atiendas tus áreas de oportunidad. ([FHOHQWH ¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

118

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

Registro del avance Competencias genĂŠricas y disciplinares del bloque II Instrucciones: Al concluir el bloque registra el nivel de avance que lograste en el desarrollo de las competencias genĂŠricas y disciplinares. Utiliza la siguiente escala: A = Alto (Desarrollada) M = Medio (EstĂĄ en vĂa de desarrollo) B = Bajo (No la he desarrollado) Competencias genĂŠricas

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizaciĂłn de medios, cĂłdigos y herramientas apropiados.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mĂŠtodos establecidos.

Atributos

Nivel de avance

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingĂźĂsticas, matemĂĄticas R JUiÂżFDV Aplica distintas estrategias comunicativas segĂşn quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue. Sigue instrucciones y procedimientos de PDQHUD UHĂ&#x20AC;H[LYD FRPSUHQGLHQGR FyPR cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. Construye hipĂłtesis y diseĂąa y aplica modelos para probar su validez.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interĂŠs y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera FUtWLFD \ UHĂ&#x20AC;H[LYD

7. Aprende por iniciativa e interĂŠs propio a lo largo de la vida.

Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintĂŠtica.

,GHQWLÂżFD ODV DFWLYLGDGHV TXH OH UHVXOWDQ GH PHQRU \ PD\RU LQWHUpV \ GLÂżFXOWDG reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstĂĄculos. Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

ContinĂşa...

119

loque II

Utilizas magnitudes y nĂşmeros reales

Propone maneras de solucionar un problema odesarrollar un proyecto en HTXLSR GHÂżQLHQGR XQ FXUVR GH DFFLyQ FRQ SDVRV HVSHFtÂżFRV 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de PDQHUD UHĂ&#x20AC;H[LYD Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prĂĄcticas sociales.

Asume que el respeto de las diferencias es el principio de integraciĂłn y convivencia en los contextos local, nacional e internacional.

Competencias disciplinares

Nivel de avance

Cuando concluyas la tabla presĂŠntala a tu profesor y valoren los avances registrados.

120

Bloque III. Realizas sumas y sucesiones de números

Bloque III Realizas sumas y sucesiones de números

121

loque III

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

IntroducciĂłn Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fue un genio matemĂĄtico, astrĂłnomo y fĂsico. ContribuyĂł al desarrollo de la teorĂa numĂŠrica, al anĂĄlisis matemĂĄtico, el magnetismo, la ySWLFD \ PXFKDV RWUDV GLVFLSOLQDV FLHQWtÂżFDV 8QD GH ODV PXFKDV DQpFGRWDV DFHUFD de su asombrosa precocidad en las matemĂĄticas cuenta que, cuando Gauss tenĂa 10 aĂąos, un dĂa en la escuela el profesor ordenĂł calcular la suma de los primeros cien nĂşmeros naturales; es decir, los alumnos tenĂan que sumar: 1 + 2 + 3 + 4 +â&#x20AC;Ś+ 98 + 99 + 100 7UDQVFXUULGRV SRFRV VHJXQGRV *DXVV OH GLMR D VX SURIHVRUÂ´ 7HQJR OD UHVSXHVWD OD VXPD GH ORV SULPHURV FLHQ Q~PHURV HV Â´ Â˘&yPR FUHHV TXH SXGR UHVROYHU HVWH problema en tan poco tiempo? Gauss en realidad se dio cuenta que la suma de los tĂŠrminos equidistantes era constante, es decir: 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = 4+ 97 = 5 + 96 =â&#x20AC;Ś= 50 + 51 = 101 Dado que con los cien nĂşmeros se pueden formar 50 pares, la soluciĂłn es: 50(101)= 5050

Gauss habĂa deducido que la suma (Sn) de los primeros (n) nĂşmeros naturales estĂĄ determinada por la expresiĂłn: Sn

n n

ÂżQuĂŠ competencias desarrollarĂĄs? En este bloque trabajarĂĄs para lograr el desarrollo de las siguientes competencias. Competencias genĂŠricas

Atributos Â&#x2021;

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mĂŠtodos establecidos.

122

Â&#x2021; Â&#x2021;

Ordena informaciĂłn de acuerdo a categorĂas, jerarquĂas y relaciones. ,GHQWLÂżFD ORV VLVWHPDV \ UHJODV R SULQFLSLRV medulares que subyacen a una serie de fenĂłmenos. Sintetiza evidencias obtenidas mediante la H[SHULPHQWDFLyQ SDUD SURGXFLU FRQFOXVLRQHV \ IRUPXODU QXHYDV SUHJXQWDV

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

7. Aprende por iniciativa e interĂŠs propio a lo largo de la vida.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prĂĄcticas sociales.

Â&#x2021;

$UWLFXOD VDEHUHV GH GLYHUVRV FDPSRV \ HVWDblece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

Â&#x2021;

$VXPH TXH HO UHVSHWR GH ODV GLIHUHQFLDV HV HO SULQFLSLR GH LQWHJUDFLyQ \ FRQYLYHQFLD HQ ORV contextos local, nacional e internacional.

Competencias disciplinares Â&#x2021;

Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021;

Â&#x2021; Â&#x2021;

Construye e interpreta modelos matemĂĄticos mediante la aplicaciĂłn de procedimientos aritmĂŠticos, algebraicos, geomĂŠtricos y variacionales, para la comprensiĂłn y anĂĄlisis de situaciones reales, hipotĂŠticas o formales Formula y resuelve problemas matemĂĄticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e Interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales $UJXPHQWD OD VROXFLyQ REWHQLGD GH XQ SUREOHPD FRQ PpWRGRV QXPpULFRV JUiÂżFRV DQDOtWLcos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemĂĄtico y el uso de la tecnologĂa de la informaciĂłn y la comunicaciĂłn &XDQWLÂżFD UHSUHVHQWD \ FRQWUDVWD H[SHULPHQWDO R PDWHPiWLFDPHQWH ODV PDJQLWXGHV GHO HVpacio y las propiedades fĂsicas de los objetos que lo rodean. ,QWHUSUHWD WDEODV JUiÂżFDV PDSDV GLDJUDPDV \ WH[WRV FRQ VtPERORV PDWHPiWLFRV \ FLHQWtÂżcos.

ÂżCon quĂŠ propĂłsito? AprenderĂĄs el uso de variables y expresiones algebraicas en el contexto de los nĂşmeros reales, asimismo, sobre comparaciones con el uso de tasas, razones, proporciones y la variaciĂłn proporcional como caso simple de relaciĂłn lineal entre dos variables.

123

loque III

Realizas sumas y sucesiones de números

¿Qué aprenderás y cómo? Contenidos curriculares

Descripción

Metodología

Conceptuales

Series y sucesiones geométricas. Progresiones aritméticas. Progresiones geométricas.

,GHQWL¿FD \ GLIHUHQFLD ODV VHULHV \ sucesiones numéricas. &ODVL¿FD ODV VXFHVLRQHV QXPpULcas en aritméticas y geométricas. Determina patrones de series y sucesiones aritméticas y geométricas. &RQVWUX\H JUi¿FDV SDUD HVWDEOHcer el comportamiento de sucesiones aritméticas y geométricas. Soluciona problemas aritméticos y algebraicos de sucesiones aritméticas y geométricas.

Realizando ejercicios y aplicación de las propiedades de las relaciones entre sucesiones aritméticas y geométricas.

Exposición de trabajos con criterios de orden y limpieza. Respeta y escucha las opiniones y/o argumentos de otras personas. Seguimiento e interpretación de instrucciones.

Procedimentales

Actitudinales

124

Realiza observación de REMHWRV \ JUi¿FRV Analiza y comprende textos y Fórmulas. Relaciona Información de relaciones entre magnitudes. Analiza la resolución de problemas mediante la interpretación de modelos aritméticos o algebraicos.

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

ÂżQuĂŠ tiempo vas a emplear? Considera ocho horas para el desarrollo de este bloque, lo mĂĄs recomendable es que utilices cuatro horas para revisar los contenidos temĂĄticos y cuatro horas para OOHYDU D FDER ODV DFWLYLGDGHV SURSXHVWDV \ HO GHVDUUROOR GH WX SUR\HFWR ÂżQDO

EvaluaciĂłn del aprendizaje: productos Durante este bloque realizarĂĄs los siguientes productos: Â&#x2021; Â&#x2021;

Portafolio de evidencias InvestigaciĂłn sobre el trabajo matemĂĄtico del italiano Fibonacci.

Portafolio de evidencias. Lo podrĂĄs hacer en una libreta o en un cuaderno, que utiliFHV SDUD UHDOL]DU ODV JUiÂżFDV SURFHGLPLHQWRV \ RSHUDFLRQHV TXH WH SHUPLWDQ OOHJDU D soluciones de los problemas que se te presenten en las actividades de este Bloque. Estos deben mostrar un orden y limpieza. InvestigaciĂłn sobre el trabajo matemĂĄtico del italiano Fibonacci. En equipos de cinco personas elaboren una investigaciĂłn. El documento contara con carĂĄtula, desarrollo del tema y una conclusiĂłn que describa la importancia de esta investigaciĂłn y sus aplicaciones en la soluciĂłn de problemas cotidianos en distintos ĂĄmbitos de los estudiantes (escolar, familiar y social). AsĂ mismo elaboren dos mapas conceptuales sobre el tema en hojas de rotafolio o cartulina para presentĂĄrselas a sus compaĂąeros.

125

loque III

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

3DUD LQLFLDU UHĂ H[LRQD La madera es un elemento renovable de gran utilidad, para telĂŠfonos de MĂŠxico, tal es el caso de los postes que son insustituibles para el cableado aĂŠreo, pero antes de llegar a su destino este material se guarda en un almacĂŠn o en un patio donde es posible almacenar una gran cantidad de troncos ocupando el menor espacio posible, y es aquĂ donde empleamos las matemĂĄticas. Con ella puedes anticipar cuanto material podrĂĄs guardar en un espacio limitado en este caso no puedes traer mĂĄs del que puedes acomodar.

Figura 3.1. Poste de telĂŠfono.

Considera que cuentas con 4 m de ancho para hacer el apilamiento de troncos, el apilamiento serĂĄ formando una pirĂĄmide estimando que el diĂĄmetro de cada tronco es de 40 cm.

Figura 3.2.

126

Â&#x2021;

ÂżQuĂŠ nĂşmero de troncos, se pueden colocar en el patio? Traza un esquema de lo que se pretende.

Â&#x2021;

ÂżTienes idea de cuĂĄntos cĂrculos debes trazar para completar el esquema? Vale OD SHQD UHĂ&#x20AC;H[LRQDU VREUH DOJ~Q PpWRGR DOWHUQDWLYR

Â&#x2021;

Para encontrar cuantos troncos se colocaran en el primer nivel de la pirĂĄmide o primera cama, ÂżSabes que operaciĂłn se realiza?

Â&#x2021;

ÂżCuĂĄntos troncos pueden ir en el primer nivel.

Â&#x2021;

ÂżCuĂĄntos troncos habrĂĄ en el segundo nivel?

Â&#x2021;

ÂżCuĂĄntos troncos podremos colocar en el cuarto nivel?

Â&#x2021;

ÂżCuĂĄntos niveles tendrĂĄ la pirĂĄmide?

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

ÂżCon quĂŠ conocimientos cuentas? EvaluaciĂłn diagnĂłstica Instrucciones: $QRWD ODV UD]RQHV R MXVWLÂżFDFLRQHV QHFHVDULDV SDUD UHVROYHU OR TXH se solicita en cada numeral, escribe los procedimientos con orden y limpieza en tu libreta. 1. ÂżCuĂĄl es la suma de los primeros 10 nĂşmeros enteros naturales?

2. Hallar el valor numĂŠrico de S, si n = 2 de la expresiĂłn 2S Ă n (n Ă

3. ÂżCuĂĄl es el quinto tĂŠrmino de la secuencia: 3, 6, 12, 24?

b si D a = 3 3 y S = 15 de la expresiĂłn 4. Hallar el valor de E

5 a

S 3

5. ÂżQuĂŠ diferencia existe entre los tĂŠrminos de la secuencia 7, 10, 13, 16, 19, â&#x20AC;Ś?

6. ÂżCuĂĄntos nĂşmeros hay entre el 1 y el 20 en la secuencia 1, 4, 7, 10, ...?

7. Ordena los siguientes nĂşmeros de menor a mayor: 51, 57, 48, 60, 54.

8. ÂżQuĂŠ nĂşmeros entre el 1 y el 10 dividen exactamente al nĂşmero 5040?

127

loque III

Realizas sumas y sucesiones de números

9. Si partimos del número 15 y lo triplicamos obtenemos 45. Si triplicamos sucesivamente 2 veces más, ¿qué número obtenemos?

10. ¿Qué factor produce el siguiente término de la secuencia: 3, 12, 48, 192, …?__ ______________________________ ______________________

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV

Si de la actividad anterior respondiste correctamente de 8 a 10 preguntas considera tu resultado como Bien, de 6 a 7 como Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 6 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que refuerces tus conocimientos previos.

¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

Ahora que ya te has dado cuenta de tus fortalezas y oportunidades. Refuerza tus conocimientos consultando los siguientes conceptos: operaciones aritméticas, números primos.

128

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

Aprende mĂĄs Series y sucesiones Una leyenda clĂĄsica sobre la invenciĂłn del ajedrez, cuenta que el rey hindĂş Sheram, quien era bastante rico, le maravillĂł un juego, que consistĂa en piezas mĂłviles sobre un tablero cuadrado formado por 64 casillas rojas y negras, el rey quedĂł tan complacido por lo ingenioso del juego, por la variedad de posiciones de las piezas, por lo interesante de las estrategias para ganar, etc. El rey ofreciĂł una recompensa a Seta, su inventor, quien ademĂĄs era su gran visir, consejero y, un excelente matemĂĄtico. Seta, al escuchar el amable ofrecimiento del rey, seĂąalĂł las ocho columnas y las RFKR ÂżODV GHO WDEOHUR TXH KDEtD LQYHQWDGR \ VyOR SLGLy TXH VH OH GLHUD 1 grano de trigo por la primera casilla 2 granos de trigo por la segunda casilla 4 granos de trigo por la tercera casilla 8 granos de trigo por la cuarta casilla â&#x20AC;Śy asĂ sucesivamente, en cada casilla el doble de granos que en la anterior, hasta abastecer el total de casillas del tablero, es decir 64. Â˘7~ TXp FUHHV VX SHWLFLyQ IXH PHVXUDGD R SLGLy GHPDVLDGR" Â˘3RU TXp" â&#x20AC;ŚLa primera respuesta del rey fue: ÂĄclaro que no!, ya que pensĂł que era un premio mezquino por una invenciĂłn de tal magnitud. Le ofreciĂł joyas, bailarinas, palacios, etc., pero el gran visir lo rechazĂł todo, ya que solo le interesaban los montoncitos de trigo del tablero. AsĂ el rey aceptĂł la moderada peticiĂłn de su consejero y solicito que le fuese entregada la cantidad que solicitaba en granos.

Figura 3.3. RĂo Ganges. La MatemĂĄtica hindĂş jugĂł un importante papel en el desarrollo histĂłrico de los nĂşmeros.

Sus contadores empezaron a calcular la cantidad, y la sorpresa del rey fue tremenda cuando se presentaron a decirle algo asĂ: Âł6REHUDQR QR GHSHQGH GH WX YROXQWDG FXPSOLU WX SURPHVD D 6HWD \D TXH HQ WRGRV ORV JUDQHURV GHO UHLQR QR H[LVWH OD FDQWLGDG GH WULJR VXÂżFLHQWH QL FRQ WRGRV ORV

129

loque III

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

graneros del mundo entero alcanzarĂa a cubrirse la suma. Si deseas entregar tal recompensa, se necesitarĂa que todos los reinos de la tierra se conviertan en labrantĂos, mandar desecar los mares y ocĂŠanos, ordena fundir el hielo y la nieve, para que todo el espacio fuese sembrado de trigo, y la cosecha obtenida fuese entregada D 6HWD VyOR HQWRQFHV UHFLELUtD VX UHFRPSHQVDÂ´ (QWRQFHV HO UH\ SUHJXQWy Â˘3XHV cuĂĄntos granos hay que entregar? Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil setecientos quince, le respondieron. La parte de este relato que no es muy conocida es sobre lo que sucediĂł despuĂŠs, no se sabe si el rey se reprochĂł a sĂ mismo por no haber estudiado mĂĄs matemĂĄticas, o por no SHQVDU FUtWLFD y UHĂ&#x20AC;H[LYDPHQWH antes de aceptar proposiciones como esa. &RQVWUX\H WX SURSLR ÂżQDO SDUD HVWD OH\HQGD SUHIHUHQWHPHQWH UHODFLRQDGR FRQ OD importancia de aprender matemĂĄticas.

ÂżSabes cĂłmo calcular la cantidad exacta de granos que hay que entregar? AnĂłtala.

Con el propĂłsito de aplicar nuestros conocimientos sobre series y dar respuesta exacta a la pregunta del rey: ÂżCuĂĄntos granos de trigo hay que entregar?

Estudiaremos este bloque de sucesiones aritmĂŠticas y geomĂŠtricas.

Sucesiones de un nĂşmero racional Una sucesiĂłn es un conjunto de nĂşmeros ordenados de modo que uno es el primer tĂŠrmino, otro es el segundo, otro el tercero, y asĂ sucesivamente. Ejemplos: a) 1, 2, 3, ... b) 1, 4, 7, 10, ...

130

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

c) 1 , 1 , 1 ,... 3 5 7 e) 2, 4, 6, 8, 10, ... &XDQGR XQD VXFHVLyQ WLHQH XQ Q~PHUR ÂżMR GH WpUPLQRV GHFLPRV TXH HV ÂżQLWD GH RWUR PRGR VH FRQRFH FRPR LQÂżQLWD Ejemplos: a) HV ÂżQLWD b) HV LQÂżQLWD /RV WUHV SXQWRV GH OD VXFHVLyQ VH OODPD HOLSVLV e indican que los tĂŠrminos siguientes tienen el mismo patrĂłn que el establecido por los ya dados. Si a1 representa el primer tĂŠrmino de una sucesiĂłn, a2 el segundo, a3 el tercero, y asĂ sucesivamente, podemos denotarla como: a1 , a2 , a3 , #, an 2 , an 1 , an , P , P , P antecesor

sucesor

Ăşltimo tĂŠrmino

La expresiĂłn an se conoce como tĂŠrmino general o el Q ŕŁŁ pVLPR tĂŠrmino.

MĂŠtodo para determinar los tĂŠrminos de una sucesiĂłn Si conocemos el Q ŕŁŁ pVLPR (an) tĂŠrmino, podemos determinar sus tĂŠrminos sustituyendo n por 1 para determinar el primero, n por 2 para el segundo, y asĂ sucesivamente. Ejemplo 1: Determina los primeros cinco tĂŠrminos de la sucesiĂłn cuyo tĂŠrmino sea: 2 an 5n SoluciĂłn:

2 3 a1 5 1

2 8 a2 5 2

2 18 a4 5 4

2 13 a3 5 3

2 23 a5 5 5

131

loque III

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

Ejemplo 2: Encuentra el dĂŠcimo tĂŠrmino de la sucesiĂłn an

n n 2

SoluciĂłn:

a10

10 10 5 10 2 12 6

MĂŠtodo para determinar el tĂŠrmino de una sucesiĂłn Cuando se conocen algunos tĂŠrminos de una sucesion, se puede determinar la expresion del tĂŠrmino general an FRQ VyOR REVHUYDU VX FRQÂżJXUDFLyQ DSDUHQWH \ D SDUWLU de ahĂ, obtener su fĂłrmula correspondiente. Ejemplo 1: Determina una expresiĂłn para el tĂŠrmino general de 2, 6, 10, 14, ... an ... SoluciĂłn:

n an

1 2

3 10

$ SDUWLU GH OR DQWHULRU REVHUYDPRV TXH DSDUHQWHPHQWH FDGD WpUPLQR HV FXDWUR YHFHV Q GLVPLQXLGR HQ OR FXiO LPSOLFD TXH an Q Ă

Ejemplo 2: Determina una expresiĂłn para el tĂŠrmino general de 4, 7, 12, 19, ... an ... SoluciĂłn:

n an

2 7

3 12 19

/D FRQÂżJXUDFLyQ DSDUHQWH GH OD VXFHVLRQ FRQVLVWH HQ TXH FDGD WpUPLQR HV WUHV XQLGDGHV mĂĄs que el cuadrado de n.

132

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

Series Una VHULH serie es la suma de todos los tĂŠrminos de una sucesiĂłn. La expresiĂłn de una serie aritmĂŠtica es: S a1

an (VWD H[SUHVLyQ VH SXHGH HVFULELU GH PDQHUD VLPSOLÂżFDGD XVDQGR OD QRWDFLyQ VLJPD: (VWD H[SUHVLyQ VH SXHGH HVFULELU GH PDQHUD VLPSOLÂżFDGD XVDQGR OD QRWDFLyQ sigma: n

S ÂŚ ai que se lee sumatoria de los tĂŠrminos aLi para Li = 1 hasta n i 1

AsĂ S ÂŚ ai a1 a2 a3 a4 a5 i 1

expresa la suma de los primeros 5 tĂŠrminos de la sucesiĂłn an Este concepto se desarrollarĂĄ en el tema de sucesiĂłn o progresiĂłn aritmĂŠtica.

Progresiones aritmĂŠticas Una sucesion cuyos tĂŠrminos sucesivos despuĂŠs del primero se forman sumando XQ Q~PHUR ÂżMR DO SUHFHGHQWH VH GHQRPLQD SURJUHVLyQ DULWPpWLFD (O Q~PHUR ÂżMR VH llama diferencia comĂşn de la sucesiĂłn y se denota por la letra d. d en donde Q donde n es Si llamamos d a esta diferencia, entonces en donde an Ă an-1 = G en cualquier entero mayor que 1. Si una sucesiĂłn numĂŠrica tiene la misma diferensucesiĂłn aritmĂŠtica. cia, se llama SURJUHVLyQ o VXFHVLyQ DULWPpWLFD. Ejemplo 1: Sea la sucesiĂłn aritmĂŠtica: 3, 7, 11, 15, â&#x20AC;Ś . Encuentra los siguientes dos tĂŠrminos. SoluciĂłn: 6DEHPRV TXH Sabemos que d 15 de modo que d 4 11 11 7 7 3 4 GH PRGR TXH (Q HVWD VXFHVLyQ DULWPpWLFD FDGD QXHYR WpUPLQR HV LJXDO DO DQWHULRU PiV $Vt HO VLJXLHQWH WpUPLQR GHVSXpV GH HV GHFLU

d 15

4 19 HO WpUPLQR HQ SRVLFLyQ HV a5 a4

d 19

4 23 \ HO WpUPLQR HQ SRVLFLyQ HV a6 a5 3RU OR TXH VXFHVLyQ FRQ ORV GRV QXHYRV WpUPLQRV HV ÂŤ Por lo que sucesiĂłn con los dos nuevos tĂŠrminos es: 3, 7, 11, 15, 19, 23, â&#x20AC;Ś

133

loque III

Realizas sumas y sucesiones de nÃºmeros

Ejemplo 2: ,QGLFD VL OD VXFHVLyQ Ã \ Ã HV DULWPpWLFD R QR SoluciÃ³n: d1 3 1 3

1 2

d2 1 1 2

d3 1 3 2

d4 3 5 2

d d1 d2 d3 d4 2 \ Â¿QDOPHQWH d 2 Dado que hay una diferencia constante entre todos los tÃ©rminos sucesivos de la secuen'DGR TXH KD\ XQD GLIHUHQFLD FRQVWDQWH HQWUH WRGRV ORV WpUPLQRV VXFHVLYRV GH OD VHFXHQFLD VH WUDWD GH XQD VXFHVLyQ DULWPpWLFD cia se trata de una sucesiÃ³n aritmÃ©tica.

Ejemplo 3: Indica si la sucesiÃ³n 1, 2, 4, 8, ... es una sucesiÃ³n aritmÃ©tica o no. SoluciÃ³n: d1 8 4 4

d2 4 2 2

d3 2 1 1

1R KD\ XQD GLIHUHQFLD FRQVWDQWH HQWUH GRV WpUPLQRV VXFHVLYRV GH HVWD VXFHVLyQ SRU OR tanto no es una sucesiÃ³n aritmÃ©tica. WDQWR QR HV XQD VXFHVLyQ DULWPpWLFD

Ejemplo 4: ,QGLFD VL OD VXFHVLyQ Ã Ã HV XQD VXFHVLyQ DULWPpWLFD R QR SoluciÃ³n: d1 9 4

9 4 5

4 1 5 d3 1 6 5 d2 GH GRQGH de donde d 5

5 SRU OR WDQWR an an 1

an 1 5 De donde: 'H GRQGH a5 a4 5 9 5 14

a6 a5 5 14 5 19

14, 19, # Y la sucesiÃ³n conteniendo estos dos tÃ©rminos es: 6,1, < OD VXFHVLyQ FRQWHQLHQGR HVWRV GRV WpUPLQRV HV 4, 9,

5HFRQRFH OD IRUPD DOJHEUDLFD GHO WpUPLQR Qà¯&#x2026;pVLPR GH VXFHVLRQHV aritmÃ©ticas particulares Dado que en una sucesiÃ³n aritmÃ©tica la diferencia entre dos tÃ©rminos sucesivos es constante. En general, para cualquier tÃ©rmino intermedio se tiene que:

134

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

an a1

n 1 d Que se conoce como tĂŠrmino QŕŁŁpVLPR de la sucesiĂłn aritmĂŠtica y representa a todos los tĂŠrminos de la sucesiĂłn. Si conocemos dos tĂŠrminos de la progresiĂłn y su posiciĂłn: aLi y aj, donde L < M, i < j, podemos obtener la sucesiĂłn aritmĂŠtica. Para esto, calculamos la diferencia entre los Ăndices para saber cuĂĄntos tĂŠrminos de diferencia constante hay desde aL i hasta aj: N M Ă L; es decir, despuĂŠs de aL i hay k tĂŠrminos para llegar al tĂŠrmino aj. Esto signiÂżFD TXH OD GLIHUHQFLD d entre los tĂŠrminos de la sucesiĂłn aritmĂŠtica se aĂąade aL i a k veces. Esto es: a j ai

k Â&#x2DC;=d a j ai

j i

de donde

ai aj j i

Dado que: ai a1

i 1 d i d 1 Entonces despejamos aLi y tenemos que: a1 ai j 1 De manera anĂĄloga, tenemos a1 a j

d Ejemplo 1: 6L HO WpUPLQR QŕŻ&#x2026;pVLPR GH XQD VXFHVLyQ HV an 3an 1 2 , encuentra los 5 primeros tĂŠrminos de la sucesiĂłn si el primer tĂŠrmino es 10. SoluciĂłn: a1 10

a2 3 10 2 30 2 28 a4 3 82 2 246 2 244

a3 3 28

2 84 2 82 a5 3 244 2 730

La sucesiĂłn es: 10, 28, 82, 244, 730,â&#x20AC;Ś

Ejemplo 2: Sea la sucesiĂłn 23, 31 y 39, ... . Determina si es una sucesiĂłn aritmĂŠWLFD 'H VHU DVt HQFXHQWUD OD H[SUHVLyQ GHO WpUPLQR QŕŻ&#x2026;pVLPR \ XVD HVWD H[SUHVLyQ para saber cuĂĄl es el tĂŠrmino que ocupa la posiciĂłn 100. SoluciĂłn: ContinĂşa...

135

loque III

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

d 39 31 31 23 8 d 8 4XH GHPXHVWUD TXH VH WUDWD GH XQD VXFHVLyQ DULWPpWLFD Que demuestra que se trata de una sucesiĂłn aritmĂŠtica. (O WpUPLQR QŕŁŁpVLPR HV El tĂŠrmino QŕŁŁpVLPR es: an a1

n 1 d 23

n 1 8 23

8n 8 15

an 15

Si n 100 VH WLHQH TXH , se tiene que a100 15 6L

8 100 15

800 815 a100 815

Ejemplo 3: En una sucesiĂłn aritmĂŠtica se tiene que a2 1 y a6 25 . ÂżCuĂĄl es el tĂŠrmino en posiciĂłn 18 de la sucesiĂłn? SoluciĂłn:

aj ai j i

25 1 24 6 6 4 2

d 6 a1 ai i 1 d 1 6 1 6 5 2 1

a1 5 a18 a1

18 1

d 5 17 6

5 102

a18 97

&RPSUREDFLyQ iL 1 2 aLi Ă 1

3 7

5 7 9 10 11 12 13 15 17 13 19 25 31 37 55 73 79 91 97

FĂłrmula para calcular la suma de los tĂŠrminos comprendidos entre a1 y an conociendo la diferencia entre tĂŠrminos consecutivos: S

an an a1

Esta fĂłrmula es de mucha utilidad en la soluciĂłn de problemas. Una aplicaciĂłn importante es la de calcular la suma de los primeros enteros naturales.

136

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

Se desea calcular la suma:

# S 1 3

n enteros naturales

Como d 1 tenemos S

n n

Esta fĂłrmula calcula la suma de los primeros n enteros naturales. Ejemplo 1: Calcula la suma de los primeros 10 enteros naturales. SoluciĂłn:

1 10 10 10 11

5 11 55

2 2

&RPSUREDFLyQ 1

27 28

27 55

Ejemplo 2: Encuentra la suma de los enteros comprendidos entre 10 y 15. SoluciĂłn:

d an 10

1 15 an a1

15 10

6 25

3 25 75

2d 2 1 2

Ejemplo 3: Encuentra la suma de los tĂŠrminos de la sucesiĂłn 17, 25, 33,â&#x20AC;Ś, 65. SoluciĂłn: d 8

7 a1

an 17

65 an a1 65 17

56 41

287 2d 2 8

8 2

137

loque III

Realizas sumas y sucesiones de nÃºmeros

Ejemplo 3: Una persona solicitÃ³ un prÃ©stamo de 10 mil pesos en una caja de ahorro. La primera quincena pagarÃ¡ 500 pesos y cada quincena siguiente pagarÃ¡ 500 pesos mÃ¡s que la anterior hasta liquidar el prÃ©stamo. Supongamos que no le cobrarÃ¡n intereses por el prÃ©stamo. Â¿CuÃ¡l es el saldo despuÃ©s del primer pago? Â¿CuÃ¡les son los saldos despuÃ©s de los pagos 3 y 5? Â¿CuÃ¡nto ha pagado en 5 quincenas? SoluciÃ³n:

6H WLHQH TXH OD VXFHVLyQ GH SDJRV HV XQD VXFHVLyQ DULWPpWLFD FRQ a1 500 \ y d 500 . /D VXFHVLyQ GH SDJRV HV n

(O VDOGR GH OD GHXGD GHVSXpV GH FDGD SDJR HVWi GDGR SRU sn 10000 Â¦ ai SHVRV 1

(QWRQFHV OD VXFHVLyQ GH VDOGRV HV Entonces la sucesiÃ³n de saldos es:

1 n ÂªÂ¬ 500 n 500 Âº

500n 500 1000

500n 500 @ n 2 Â¼ n > 2 2 2

n 500n 1

250n 1 n

Â¦a

a Â¦

GH GRQGH HO VDOGR GHVSXpV GH FDGD SDJR HV sn 10000 250n 1

. (O VDOGR GHVSXpV GHO SULPHU SDJR HV s1 10000 250 1 1

1 10000 250 2 10000 500 9500 pesos (O VDOGR GHVSXpV GHO SDJR HV s3 10000 250 3 1

3 10000 750 4 10000 3000 7000 pesos (O VDOGR GHVSXpV GHO SDJR HV s5 10000 250 5 1

5 10000 1250

10000 7500 2500 pesos

(Q TXLQFHQDV KD SDJDGR n

Â¦a

250n 1

n 1

5 6 7500 pesos

250 5

1250

/D VH[WD TXLQFHQD GHEHUtD SDJDU SHVRV SHUR VX VDOGR HQ OD TXLQFHQD HUD GH SHVRV $Vt TXH OD VXFHVLyQ WHUPLQD HQ OD TXLQWD TXLQFHQD /D VH[WD VROR SDJDUi SHVRV HQ OXJDU GH SHVRV

138

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

Aplica lo aprendido

Actividad 1 Instrucciones (1): Organizados en equipos, realicen la investigaciĂłn sobre series o sucesiones numĂŠricas aritmĂŠticas y geomĂŠtricas; elaboren un cartel para exponer la informaciĂłn y escriban ejemplos que muestren la diferencia entre sucesiones aritmĂŠticas y geomĂŠtricas. Instrucciones (2): En equipos de cuatro o cinco participantes, redacten 5 ejemplos GH GDWRV GH WX YLGD FRWLGLDQD R GH VX HQWRUQR TXH LGHQWLÂżTXHQ VXFHVLRQHV DULWPpWLcas y geomĂŠtricas. DespuĂŠs, expliquen la forma de usarlos de modo que las operaciones con ellos produzcan nuevos datos. Por Ăşltimo, elijan a uno de los integrantes del equipo para exponer sus ejemplos y conclusiones ante el grupo. Instrucciones (3): Resuelve el en tu cuaderno de trabajo el siguiente ejercicio. 6DELHQGR TXH HO WpUPLQR QŕŻ&#x2026;pVLPR GH XQD VXFHVLyQ HV an 5an 1

1: a) Encuentra los primero 5 tĂŠrminos de la sucesiĂłn dado que a1 8 . b) Determina si la sucesiĂłn 6, 10, 18, 34, ... es una sucesiĂłn aritmĂŠtica o no. c) Encuentra los siguientes dos tĂŠrminos de la sucesiĂłn 1001, 900, 799, 698, ... . d) Dada la sucesiĂłn 80, 103, 126, 149, ... encuentra el tĂŠrmino a20 . e) Los pagos mensuales efectuados por un prĂŠstamo forman una sucesiĂłn aritmĂŠtica. Si el sĂŠptimo pago fue de 340 pesos y el onceavo pago fue de 200 pesos, Âżde cuĂĄnto serĂĄ el quinceavo pago? f) Encuentra la suma de los primeros 25 tĂŠrminos de la sucesiĂłn en la que a1 27 y d 15 .

139

loque III

Realizas sumas y sucesiones de nÃºmeros

3DUD YHULÂ¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Aprende mÃ¡s

,GHQWLÂ¿FD JUiÂ¿FDPHQWH HO WLSR GH UHODFLyQ YDULDFLRQDO HQ OD IyUPXOD GHO Qà¯&#x2026;pVLPR WpUPLQR GH VXFHVLRQHV DULWPpWLFDV SDUWLFXODUHV Las series y sucesiones aritmÃ©ticas representan la relaciÃ³n de nÃºmeros y posiciones en secuencias ordenadas. Sabes que una relaciÃ³n entre dos variables puede UHSUHVHQWDUVH JUiÂ¿FDPHQWH HQ HO SODQR FDUWHVLDQR SRU PHGLR GH SXQWRV P(x, y). En el plano cartesiano se localizan puntos a partir de dos coordenadas: P(abscisa, RUGHQDGD) ordenada) P(DEVFLVD, La abscisa se localiza en el eje horizontal y la ordenada en el eje vertical. (O WpUPLQR Qà¯&#x2026;pVLPR GH XQD VXFHVLyQ DULWPpWLFD HVWi GDGR SRU OD H[SUHVLyQ

1 d an a1 n

6L JUDÂ¿FDPRV HVWD H[SUHVLyQ GH PRGR TXH HO HMH YHUWLFDO VH XVH SDUD an y el eje horizontal para n, entonces de la sucesiÃ³n aritmÃ©tica solo necesitamos conocer los valores a 1 y d. Consideremos la sucesiÃ³n aritmÃ©tica 3, 7, 11, 15, â&#x20AC;¦ y asociemos cada posiciÃ³n con el nÃºmero en esa posiciÃ³n, entonces tenemos la secuencia de puntos siguiente: (1,3), (2,7), (3,11), (4,15), â&#x20AC;¦ . *UDÂ¿TXHPRV HVWRV SXQWRV

140

Realizas sumas y sucesiones de nรบmeros

2EVHUYDPRV TXH OD JUiยฟFD PXHVWUD XQD OtQHD UHFWD FX\D HFXDFLyQ HVWi GDGD SRU la expresiรณn: an 3

n 1 4 3

4n 4 4n 1

Cambiando an por \y y n por [, x, la ecuaciรณn de la sucesiรณn es: y 4 x 1. En general, una sucesiรณn aritmรฉtica tiene una ecuaciรณn dada por la expresiรณn:

1 d y a1 x

recta. La representaciรณn de esta expresiรณn en el plano cartesiano es la de una UHFWD. Ejemplo 1: 6L OD JUiยฟFD GH XQD VXFHVLyQ DULWPpWLFD SDVD SRU ORV SXQWRV \ encuentra la suma de sus primeros 5 tรฉrminos. Determina tambiรฉn la ecuaciรณn de la sucesiรณn. Soluciรณn:

/D JUiยฟFD VH PXHVWUD HQ OD VLJXLHQWH SiJLQD

Continรบa...

141

loque III

Realizas sumas y sucesiones de nÃºmeros

a1 1

1 5

a7 5

'H GRQGH De donde: d 7 1 6 3

Â§ 2 Â· Â§ 2 Â· Â§ 8 Â· Â§ 11 Â·

5 1

4 Â¨ Â¸8 1

Â¨ Â¸8 Â¨ Â¸8 Â¨ Â¸8 1 3RU OR WDQWR Por lo tanto: a5 1 Â© 3 Â¹ Â© 3 Â¹ Â© 3 Â¹ Â© 3 Â¹

(QWRQFHV OD VXPD GH ORV SULPHURV WpUPLQRV HV Â§ Â§ 11 Â· Â· 2 Â· 70 5 Â¨ 1

Â¨ Â¸8Â¸8 5 Â§ Â¨ Â¸8 3 70 35 3 Â© Â¹ Â¹ S Â© Â© Â¹ 3 2 2 2 6 3 1 5

/D VHULH HV La serie es: S 1 3 3 3 3 4 3 3 TXH HV OR REWHQLGR , que es lo obtenido. 2

Â§ Â· x 1

x x

Â¨ Â¸8 1 /D HFXDFLyQ HV La ecuaciÃ³n es: y 1 3 3 3 3 Â© 3 Â¹

3DUD WRGD VXFHVLyQ DULWPpWLFD VH WLHQH XQD OtQHD UHFWD DO JUDÂ¿FDU ORV WpUPLQRV GH HOOD FRQ UHVSHFWR D OD SRVLFLyQ 3DUD GHPRVWUDU TXH HVWD DÂ¿UPDFLyQ HV YHUGDGHUD completa la actividad siguiente.

142

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

Aplica lo aprendido

Actividad 2 Instrucciones (1): Lee con atenciĂłn las indicaciones que se presentan en los numerales y en tu libreta realiza las operaciones y procedimientos necesarios para obtener las soluciones. 1. ObtĂŠn el tĂŠrmino general de la sucesiĂłn aritmĂŠtica: 7, 14, 21, 28,35, â&#x20AC;Ś 2. Calcula el valor del tĂŠrmino 80 de la sucesiĂłn. $SOLFD OD H[SUHVLyQ

an a1

(n 1)(d )

a1 = Diferencia = n= Sustituye valores TĂŠrmino general Calcula el tĂŠrmino 80 Sustituye valores en la fĂłrmula TĂŠrmino 80 Comprueba: sustituye los valores en la fĂłrmula del tĂŠrmino general

143

loque III

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

Instrucciones (2): Resuelve los siguientes problemas, anotando en tu libreta los procesos completos que sean evidencia de la aplicaciĂłn de las propiedades y conceptos estudiados. D *UDÂżFD OD VXFHVLyQ Âą ÂŤ b) Si en una sucesiĂłn aritmĂŠtica a2 = 7 y a5 Ă JUDÂżFD OD VXFHVLyQ HQ HO SODQR cartesiano. c) Una serie aritmĂŠtica tiene 5 tĂŠrminos, con una diferencia entre dos tĂŠrminos FRQVHFXWLYRV GH \ FX\D VXPD HV LJXDO D (ODERUD OD JUiÂżFD GH OD VXFHVLyQ aritmĂŠtica. d) Una serie aritmĂŠtica cuyo primer tĂŠrmino es cero tiene 10 tĂŠrminos. La suma de WRGRV HOORV HV *UDÂżFD OD VXFHVLyQ HQ HO SODQR FDUWHVLDQR H 6L OD JUiÂżFD GH XQD VXFHVLyQ SDVD SRU ORV SXQWRV \ HQFXHQWUD a .

3DUD YHULÂżFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Aprende mĂĄs Sucesiones geomĂŠtricas A continuaciĂłn se propone un breve ejercicio para introducirnos al concepto de sucesione geomĂŠtricas. &RQVWUX\DQ XQD ÂżOD GH WULiQJXORV HPSOHDQGR HO PHQRU nĂşmero de palillos posible. Figura 3.4.

144

Realizas sumas y sucesiones de números

Anoten en la tabla el número de triángulos y el número de palillos empleados

Número de triángulos (T)

Número de palillos (P)

¿Cuántos palillos se necesitan SDUD KDFHU XQD ÀOD GH triángulos?

¿Cuántos triángulos se pueden FRQVWUXLU HQ ÀOD FRQ palillos?

Escriban una ecuación para calcular el número de triángulos que se pueden construir con un número P de palillos. Conclusiones

145

loque III

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

Reconoce tĂŠrminos de sucesiones geomĂŠtricas Una sucesiĂłn geomĂŠtrica es una secuencia o progresiĂłn de tĂŠrminos donde el sucesor es igual al antecesor multiplicado por un factor r, llamado razĂłn. AsĂ, si el primer tĂŠrmino es a1 , entonces: a2 a1 Â&#x2DC;=r

a3 a2 Â&#x2DC;=r a1 Â&#x2DC;=r Â&#x2DC;=r a1 = Â&#x2DC;r2

a4 a3 Â&#x2DC;=r a1 Â&#x2DC;=r 2 Â&#x2DC;=k a1 Â&#x2DC;=r 3

y en general an a1 Â&#x2DC;=r n 1 El valor de r puede calcularse a partir de dos tĂŠrminos consecutivos de una sucesiĂłn geomĂŠtrica por divisiĂłn: a r n an 1 3DUD LGHQWLÂżFDU XQD VXFHVLyQ JHRPpWULFD GLYLGD DOJ~Q WpUPLQR HQWUH VX DQWHFHsor y pruebe que el resultado obtenido es el mismo para cualquier otro tĂŠrmino dividido entre su antecesor. El valor obtenido de las divisiones, si es constante, HV HO TXH VH GHÂżQLy FRPR OD UD]yQ r. Ejemplo 1: Determina si la sucesiĂłn 2, 6, 18, 54,â&#x20AC;Ś es una sucesiĂłn geomĂŠtrica. En FDVR DÂżUPDWLYR HQFXHQWUD HO YDORU GH OD UD]yQ JHRPpWULFD SoluciĂłn:

54 3 18

18 3 6

6 3 2

3RU OR WDQWR VH WUDWD GH XQD VXFHVLyQ JHRPpWULFD FRQ Por lo tanto se trata de una sucesiĂłn geomĂŠtrica con r 3 Ejemplo 2: Determina si la sucesiĂłn r3

6 1 1 1 3 , , ,... 2 2 6 18

SoluciĂłn: 1 6 1 18 r1 1 18 3 6

146

1 2 1 r2 6 1 6 3 2

Realizas sumas y sucesiones de nÃºmeros

'H GRQGH OD VXFHVLyQ HV JHRPpWULFD FRQ De donde la sucesiÃ³n es geomÃ©trica con r

$Vt HO WpUPLQR VLJXLHQWH D AsÃ el tÃ©rmino siguiente a

1 3

1 1 1 1 HV es Â&#x2DC;= 18 3 54 18

5HFRQRFH OD IRUPD DOJHEUDLFD GHO WpUPLQR Qà¯&#x2026;pVLPR GH VXFHVLRQHV geomÃ©tricas particulares 3RU GHÂ¿QLFLyQ GH XQD VXFHVLyQ JHRPpWULFD WHQHPRV TXH an an 1 Â&#x2DC;=r , que como se analizÃ³ antes, puede expresarse tambiÃ©n como an a1 Â&#x2DC;=r n 1 , que es la expresiÃ³n del WpUPLQR Qà¯&#x2026;pVLPR GH XQD VXFHVLyQ JHRPpWULFD FRPR VH H[SOLFy DQWHV 1 1 1 , , ,... encuentra el tÃ©rmino a 5. 2 6 18

Ejemplo 1: Dada la sucesiÃ³n geomÃ©trica SoluciÃ³n:

5 1

1 1 Â§ 1 Â· por lo que a5 Â¨ Â¸8 3 2 Â© 3 Â¹

1 Â§ 1 Â· 1 Â§ 1 Â· 1 Â¸8 Â¨ Â¸8 2 Â¨Â© 3 Â¹ 2 Â© 81 Â¹ 162

Ejemplo 2: Se deja caer una pelota desde una altura de 10 metros. Cuando rebota alcanza la mitad de la altura desde la que se dejÃ³ caer. Â¿A quÃ© altura se encuentra la pelota despuÃ©s de 5 rebotes? SoluciÃ³n:

a1 5 SRU TXH DO SULPHU UHERWH DOFDQ]D OD PLWDG GH OD DOWXUD GHVGH GRQGH VH ODQ]y 5 1

Y r <

1 Â§ 1 Â· HQWRQFHV , entonces a5 5 Â¨ Â¸8 2 Â© 2 Â¹

Â§ 1 Â· Â§ 1 Â· 5 5 Â¨ Â¸8 5 Â¨ Â¸8 0.3125 2 Â© Â¹ Â© 16 Â¹ 16

3RU OR WDQWR OD SHORWD DOFDQ]DUi XQD DOWXUD GH PHWURV FP HQ HO TXLQWR UHERWH /D VXFHVLyQ HV

147

loque III

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

Series geomĂŠtricas Son la suma de los tĂŠrminos de una sucesiĂłn o progresiĂłn geomĂŠtrica, por lo tanto:

1 a1 r n 1 r

La fĂłrmula anterior es la que usamos para hallar la suma cuando conocemos el primer tĂŠrmino, la razĂłn y la cantidad de tĂŠrminos en la serie geomĂŠtrica. Si conocemos dos tĂŠrminos, no consecutivos, de la serie geomĂŠtrica, entonces podemos conocer la razĂłn por el procedimiento siguiente: aj ai

r j i

aj ai

, de donde: r

j i

a1 r j 1 a1 r

aj ai

i 1

r j 1 i 1 r j i

, de aquĂ se puede calcular a1

a ai j j 1 1 i r r

Ejemplo 1: Encuentra la suma de los primeros 10 tĂŠrminos de la serie geomĂŠtrica: 1, 3, 9, â&#x20AC;Ś . SoluciĂłn:

Para esta serie a1 1 , r

9 3 y n 10 SRU OR WDQWR 3

a1 rn 310 1 1 1 59049 1 59048 S 29524 r 3 2 2 1 1

Ejemplo 2: El tercer tĂŠrmino de una serie geomĂŠtrica es 50 y el sĂŠptimo es 31250. Encuentra la razĂłn y la suma de los primeros 5 tĂŠrminos de la serie. SoluciĂłn:

148

Realizas sumas y sucesiones de nÃºmeros

r 7 3

31250 , que es lo mismo que r 4 625 VDFDQGR UDt] FXDGUDGD D DPERV ODGRV TXH HV OR PLVPR TXH , sacando raÃz cuadrada a ambos lados 50

tenemos r 4 625 GH GRQGH WHQHPRV , de donde r 2 25 \ Â¿QDOPHQWH r 5 . 6H SXGR FDOFXODU GLUHFWR r 4

(O SULPHU WpUPLQR HV a1

31250 4 625 5 50

50 50 2 5 2 25

$KRUD FDOFXOHPRV OD VXPD Ahora, calculemos la suma: S

a1 rn 1 2 55 1 2 3125 1 3124 1562 4 r 1 5 1 2

&RPSUREDFLyQ

Aplica lo aprendido

Actividad 3 Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios, realizando los procedimeintos FRQ RUGHQ \ OLPSLH]D HQ WX OLEUHWD 5HJLVWUD \ UHÃ&#x20AC;H[LRQD WXV UHVSXHVWDV SDUD TXH despuÃ©s las comentes con tus compaÃ±eros de clase.

3 9 27 81 , , # es una sucesiÃ³n geomÃ©trica. a) Determina si la sucesiÃ³n 1, , , 2 4 8 16 (Q FDVR DÂ¿UPDWLYR FDOFXOD OD UD]yQ JHRPpWULFD \ HO VH[WR WpUPLQR GH OD VXFHVLyQ E (QFXHQWUD ORV SULPHURV WpUPLQRV GH OD VXFHVLyQ FX\R WpUPLQR Qà¯&#x2026;pVLPR HV an

an 1

3 con a1 2 2

149

loque III

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

F 'HWHUPLQD VL OD VXFHVLyQ Ă Ă HV XQD VHULH JHRPpWULFD R QR 6L OR HV entonces determina la razĂłn geomĂŠtrica, el quinto tĂŠrmino y la suma de los primeros 5 tĂŠrminos. 5

d) Calcula

3i 1 . 2 i 1

ÂŚ

e) Para la serie geomĂŠtrica 1 + 3 + 9 +â&#x20AC;Ś determina la razĂłn geomĂŠtrica, el quinto tĂŠrmino y la suma de los primeros 5 tĂŠrminos. f) El segundo tĂŠrmino de una serie geomĂŠtrica es

3 81 y el quinto tĂŠrmino es . 4 4

Calcula la razĂłn geomĂŠtrica y la suma de los primeros 6 tĂŠrminos. g) Encuentra el primero y el sexto tĂŠrminos de la serie geomĂŠtrica con r = 2, n = 6 yS

63 . 4

3DUD YHULÂżFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

150

Realizas sumas y sucesiones de números

5HÀH[LRQHPRV VREUH OD DFWLYLGDG

¿De qué te das cuenta? Si construyes una sucesión de números naturales (enteros positivos). Con la siguiente regla : Iniciando por un número cualquiera, digamos, 7. Éste va a ser el primer elemento de nuestra sucesión. Para generar el segundo elemento, hacemos lo siguiente: si el número es par, lo dividimos por dos. En cambio, si es impar, lo multiplicamos por 3 y le sumamos 1. Así sucesivamente, obtener todos los términos de la sucesión. Elegir cualquier otro número, podrían ser 24, 100, ... , etc.

Encuentra alguna particularidad de las sucesiones. ¢&XiO HV HO Q~PHUR HQ HO TXH ¿QDOL]DQ HVWDV VXFHVLRQHV"

Explícalo en las siguientes líneas:

*XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

151

loque III

Realizas sumas y sucesiones de nÃºmeros

Aprende mÃ¡s

,GHQWLÂ¿FD JUiÂ¿FDPHQWH HO WLSR GH UHODFLyQ YDULDFLRQDO HQ OD IyUPXOD GHO Qà¯&#x2026;pVLPR WpUPLQR GH VXFHVLRQHV JHRPpWULFDV SDUWLFXODUHV Las sucesiones aritmÃ©ticas dan lugar a lÃneas rectas en el plano cartesiano. La VXPD GH XQ YDORU FRQVWDQWH GHÂ¿QH D ODV VXFHVLRQHV DULWPpWLFDV (Q FDPELR ODV VXFHVLRQHV JHRPpWULFDV VH GHÂ¿QHQ D SDUWLU GH OD PXOWLSOLFDFLyQ GH XQ WpUPLQR GH OD serie por un nÃºmero constante: la razÃ³n geomÃ©trica. &RQ EDVH HQ HO SURFHGLPLHQWR SDUD JUDÂ¿FDU VXFHVLRQHV DULWPpWLFDV SRGHPRV HODERUDU JUiÂ¿FDV SDUD VXFHVLRQHV JHRPpWULFDV

El tÃ©rmino n-Ã©simo de una serie geomÃ©trica es: an a1 Â&#x2DC;=r n 1 , que usando las variables [x y \y se puede escribir como: y a1 Â&#x2DC;=r x 1 .

1 3 9 27 81 , Ejemplo: (ODERUD OD JUiÂ¿FD SDUD OD VXFHVLyQ JHRPpWULFD , , , . 2 4 8 16 32 SoluciÃ³n: /RV SXQWRV GH OD VXFHVLyQ JHRPpWULFD D JUDÂ¿FDU VRQ Â§ 1 Â· Â¨ 1, Â¸8 Â© 2 Â¹

152

Â§ 3 Â· Â¨ 2, Â¸8 Â© 4 Â¹

Â§ 9 Â· Â¨ 3, Â¸8 Â© 8 Â¹

Â§ 27 Â· Â¨ 4, Â¸8 16 Â© Â¹

Â§ 81 Â· Â¨ 5, Â¸8 Â© 32 Â¹

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

/D JUiÂżFD PXHVWUD TXH XQD VXFHVLyQ JHRPpWULFD SURGXFH XQD FXUYD HQ HO SODQR FDUWHsiano. La razĂłn geomĂŠtrica de la sucesiĂłn es: 3 3 2 3 1

3 r 4 1 4 1

2 2 2

La ecuaciĂłn de esta sucesiĂłn geomĂŠtrica es: x 1

Â§ 1 Âˇ Â§ 3 Âˇ y Â¨ Â¸8 Â¨ Â¸8 ÂŠ 2 Âš ÂŠ 2 Âš

Aplica lo aprendido

Actividad 4 Instrucciones: Lee con atenciĂłn lo que se plantea en cada uno de los problemas y en tu libreta realiza los procedimientos con orden y limpieza para obtener la soluciĂłn de cada uno de ellos. D (ODERUD OD JUiÂżFD GH OD VXFHVLyQ b) Si la ecuaciĂłn de una serie geomĂŠtrica es y Ă&#x201A; [Ă , encuentra el tĂŠrmino a10 y la suma de los primeros 5 tĂŠrminos. c) Una serie geomĂŠtrica tiene 5 tĂŠrminos con r = 3 y cuya suma es 242. ÂżCuĂĄl es HO SULPHU WpUPLQR GH OD VXFHVLyQ" (ODERUD OD JUiÂżFD GH HVWD VXFHVLyQ

3DUD YHULÂżFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

153

loque III

Realizas sumas y sucesiones de números

Actividad 5 Producto de aprendizaje: investigación sobre el trabajo matemático del italiano Fibonacci Las sucesiones y las series aritméticas se relacionan con muchos procesos sociales. Tal es el caso del crecimiento de poblaciones vegetales, animales o humanas. Investiga sobre el trabajo del matemático italiano Fibonacci acerca de la reproducción de conejos. Instrucciones: En equipos de cinco personas elaboren una investigación. El documento contara con carátula, desarrollo del tema y una conclusión que describa la importancia de esta investigación y sus aplicaciones en la solución de problemas cotidianos en distintos ámbitos de los estudiantes (escolar, familiar y social). Así mismo elaboren dos mapas conceptuales sobre el tema en hojas de rotafolio o cartulina para presentárselas a sus compañeros. ¡Manos a la obra!

*XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Actividad 6 Producto de aprendizaje: integrar tu portafolio de evidencias Esta actividad consiste en Integrar tu portafolio de evidencias con los problemas y ejercicios que resolviste de manera individual o grupal en las seis actividades presentadas a lo largo del bloque. En tu libreta o cuaderno que hayas destinado para este producto de aprendizaje, colocarás cada uno de los ejercicios que se te indicaron que formarían parte del portafolio de evidencias, sólo asegúrate antes de colocarlos que los procedimientos \ UHVXOWDGRV VHDQ FRUUHFWRV 7H VXJHULPRV TXH HO UHVXOWDGR ¿QDO GH FDGD HMHUFLFLR R problema lo puedas resaltar con una tinta de color diferente al color utilizado en el procedimiento.

154

Realizas sumas y sucesiones de números

Te invitamos a consultar la lista de cotejo que se encuentra en la sección de evaluación que se encuentra enseguida, para que consideres los criterios de evaluación que debes cubrir. Para entregar tu portafolio de evidencias a tu Profesor, es importante que mantengas limpieza y orden, además coloca una carátula al inicio con tus datos (nombre de la escuela, asignatura, bloque, leyenda: Portafolio de evidencias, nombre del estudiante, semestre, grupo y fecha de entrega) y un índice.

155

loque III

Realizas sumas y sucesiones de números

Lista de cotejo para evaluar el producto de aprendizaje: investigación sobre el trabajo matemático del italiano Fibonacci Criterios

Indicadores

Sí cumple

No cumple

Observaciones

Información sobre el trabajo matemático del italiano Fibonacci. Conclusiones que describen la importancia de la investigación. Contenido

Presenta aplicaciones de esta investigación en problemas cotidianos. Presenta un mapa conceptual con más de 5 conceptos con conectores pertinentes. Los enunciados de la información son claros y HVSHFL¿FDQ FODUDPHQWH los datos para resolver los problemas.

Presentación

Material visualmente atractivo, funcional para el grupo y contenido completo. Presenta una carátula, desarrollo del tema, conclusiones, mapa conceptual y bibliografía.

Actitud

Trabaja de forma colaborativa. Trabajo con orden y limpieza.

Total de puntos

Si en la lista de cotejo lograste los 9 puntos considera tu resultado como Excelente y si lograste 7 a 8 puntos es Bien, de 5 a 7 es Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 7 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que atiendas tus áreas de oportunidad. ([FHOHQWH ¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

156

Realizas sumas y sucesiones de números

Lista de cotejo para evaluar el producto de aprendizaje: portafolio de evidencias Criterios

Indicadores

Sí cumple

No cumple

Observaciones

Utiliza portada (nombre de la escuela, nombre de la asignatura, título: Portafolio de evidencias, nombre del estudiante y fecha de entrega. El portafolio es entregado de forma impresa y limpio. Presentación

,GHQWL¿FD ODV GLIHUHQWHV secciones del portafolio y se desglosan indicando número de ejercicios y de actividad. Presenta orden en los procedimientos. Presenta índice.

Documentos de evidencias

Evaluación diagnóstica sin error. Actividades sin error. $FWLYLGDG GH UHÀH[LyQ Comparte sus ideas y acepta las de sus compañeros.

Actitud

Valora la importancia del orden y limpieza en los trabajos. Realizó sus trabajos de forma colaborativa.

Total de puntos

Si en la lista de cotejo lograste los 11 puntos considera tu resultado como Excelente y si lograste 9 a 10 puntos es Bien, de 7 a 8 es Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 7 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que atiendas tus áreas de oportunidad. ([FHOHQWH ¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

157

loque III

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

Registro del avance Competencias genĂŠricas y disciplinares del bloque III

Atributos

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizaciĂłn de medios, cĂłdigos y herramientas apropiados.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingĂźĂsticas, matemĂĄticas o JUiÂżFDV

Ordena informaciĂłn de acuerdo a categorĂas, jerarquĂas y relaciones.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mĂŠtodos establecidos.

,GHQWLÂżFD ORV VLVWHPDV \ UHJODV R SULQFLSLRV medulares que subyacen a una serie de fenĂłmenos. Construye hipĂłtesis y diseĂąa y aplica modelos para probar su validez. Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentaciĂłn para producir conclusiones y formular nuevas preguntas.

7. Aprende por iniciativa e interĂŠs propio a lo largo de la vida.

158

Nivel de avance

Realizas sumas y sucesiones de nĂşmeros

Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, GHÂżQLHQGR XQ FXUVR GH DFFLyQ FRQ SDVRV HVSHFtÂżFRV 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prĂĄcticas sociales.

Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales mediante la ubicaciĂłn de sus propias circunstancias en un contexto mĂĄs amplio. Asume que el respeto de las diferencias es el principio de integraciĂłn y convivencia en los contextos local, nacional e internacional.

Competencias disciplinares

Nivel de avance

Analiza las relaciones entre dos o mĂĄs variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

&XDQWLÂżFD UHSUHVHQWD \ FRQWUDVWD H[SHULPHQWDO R PDWHPiWLFDPHQWH ODV PDJQLWXdes del espacio y las propiedades fĂsicas de los objetos que lo rodean.

,QWHUSUHWD WDEODV JUiÂżFDV PDSDV GLDJUDPDV \ WH[WRV FRQ VtPERORV PDWHPiWLFRV \ FLHQWtÂżFRV

Cuando concluyas la tabla presĂŠntala a tu profesor y valoren los avances registrados.

159

Bloque IV. Realizas transformaciones algebraicas I

Bloque IV Realizas transformaciones algebraicas I

161

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

IntroducciĂłn En este bloque aprenderĂĄs a desarrollar las expresiones con una variable y te darĂĄs cuenta que las operaciones algebraicas son las mismas que las de la aritmĂŠtica (suma, resta, multiplicaciĂłn y divisiĂłn, potenciaciĂłn y radicaciĂłn), para ello recordaUDV DOJXQRV FRQFHSWRV GHÂżQLFLyQ \ QRPEUH GH ORV SROLQRPLRV GH DFXHUGR DO Q~PHUR de tĂŠrminos; asĂ como el orden de un polinomio. Posteriormente aprenderĂĄs a reducir tĂŠrminos semejantes mediante las operaciones mencionadas. En la vida cotidiana encontraras situaciones que se pueden plantear y resolver mediante el uso del algebra y sus operaciones. El estudio de las operaciones con SROLQRPLRV GH XQD YDULDEOH SURGXFWRV QRWDEOHV IDFWRUL]DFLyQ \ VLPSOLÂżFDFLyQ GHO lenguaje algebraico te proporcionarĂĄn los elementos necesarios para crear posteriormente modelos matemĂĄticos que te permitirĂĄn plantear soluciones a situaciones problemĂĄticas de la vida cotidiana. ComprenderĂĄs que una expresiĂłn no es simplemente un conjunto de letras y nĂşmeros sino que representa alguna situaciĂłn real que puede ser resuelta mediante el ĂĄlgebra; como problemas de ĂĄreas y volumen con base en los mĂŠtodos geomĂŠtricos ÂżJXUDV \ IRUPDV \ DULWPpWLFRV SDWURQHV QXPpULFRV

Otros de los subtemas que se verĂĄn dentro de este bloque son los productos notables los cuales te permitirĂĄn efectuar operaciones algebraicas de manera rĂĄpida al aplicar las reglas para los casos del binomio al cuadrado, binomios con tĂŠrmino comĂşn, binomios conjugados y binomios al cubo. Posteriormente reconocerĂĄs que el binomio al cuadrado y el binomio al cubo son FDVRV HVSHFtÂżFRV GHO WULiQJXOR GH 3DVFDO DGHPiV DSUHQGHUiV D XWLOL]DU HO WULiQJXOR de Pascal para desarrollar un binomio de grado n. )LQDOPHQWH LGHQWLÂżFDUDV OD IDFWRUL]DFLyQ FRPR XQ SURFHVR LQYHUVR D OD PXOWLSOLFDFLyQ HVWR VLJQLÂżFD TXH GDGR XQ SURGXFWR VH GHWHUPLQDUiQ VXV IDFWRUHV $ SDUWLU GH la factorizaciĂłn mediante trinomio cuadrado perfecto, trinomio cuadrĂĄtico con un tĂŠrmino comĂşn, diferencia de cuadrados y diferencia de cubos.

Figura 4.1.

162

En medicina se utiliza de forma explĂcita la ciencia de las matemĂĄticas para evaluar la salud de un paciente cuando se presenta algĂşn riesgo de padecer problemas de obesidad. Para esto es necesario determinar la cantidad de grasa presente en el cuerpo humano. Los investigadores han encontrado que el peso no es el mejor indicador de la grasa corporal, asĂ que desarrollaron una fĂłrmula que relaciona la estructura de los huesos con la cantidad de grasa real. El polinomio 0.49W + 0.45P - 6.36R + 8.7, donde W representa la medida de la circunferencia de la cintura en centĂmetros, P la medida del

Realizas transformaciones algebraicas I

grosor de la piel pectoral en milĂmetros y R la medida del diĂĄmetro de la muĂąeca en centĂmetros. Esta es una estimaciĂłn dela grasa que hay en el cuerpo de un hombre (Stanley, Smith y otros, 1992).

ÂżQuĂŠ competencias desarrollarĂĄs? En este bloque trabajarĂĄs para lograr el desarrollo de las siguientes competencias. Competencias genĂŠricas

Atributos Â&#x2021;

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizaciĂłn de medios, cĂłdigos y herramientas apropiados.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mĂŠtodos establecidos.

Â&#x2021;

([SUHVD LGHDV \ FRQFHSWRV PHGLDQWH UHSUHVHQWDFLRQHV OLQJÂ tVWLFDV PDWHPiWLFDV R JUiÂżFDV $SOLFD GLVWLQWDV HVWUDWHJLDV FRPXQLFDWLYDV segĂşn quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos TXH SHUVLJXH

Â&#x2021;

6LJXH LQVWUXFFLRQHV \ SURFHGLPLHQWRV GH PDQHUD UHĂ&#x20AC;H[LYD FRPSUHQGLHQGR FyPR FDGD XQR GH VXV SDVRV FRQWULEX\H DO DOFDQFH GH XQ objetivo.

Â&#x2021;

,GHQWLÂżFD ODV DFWLYLGDGHV TXH OH UHVXOWDQ GH PHQRU \ PD\RU LQWHUpV \ GLÂżFXOWDG UHFRQRciendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstĂĄculos. $UWLFXOD VDEHUHV GH GLYHUVRV FDPSRV \ HVWDblece relaciones entre ellos y su vida cotidiana

7. Aprende por iniciativa e interĂŠs propio a lo largo de la vida. Â&#x2021;

Â&#x2021; Â&#x2021; 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Â&#x2021;

ContinĂşa...

163

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

Â&#x2021; 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prĂĄcticas sociales.

Â&#x2021;

'LDORJD \ DSUHQGH GH SHUVRQDV FRQ GLVWLQWRV SXQWRV GH YLVWD \ WUDGLFLRQHV FXOWXUDOHV PHGLDQWH OD XELFDFLyQ GH VXV SURSLDV FLUFXQVWDQFLDV HQ XQ FRQWH[WR PiV DPSOLR $VXPH TXH HO UHVSHWR GH ODV GLIHUHQFLDV HV HO SULQFLSLR GH LQWHJUDFLyQ \ FRQYLYHQFLD HQ ORV contextos local, nacional e internacional.

Competencias disciplinares Â&#x2021;

Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021;

Construye e interpreta modelos matemĂĄticos mediante la aplicaciĂłn de procedimientos aritmĂŠticos, algebraicos, geomĂŠtricos y variaciones, para la comprensiĂłn y anĂĄlisis de situaciones reales, hipotĂŠticas o formales. Formula y resuelve problemas matemĂĄticos, aplicando diferentes enfoques. Analiza las relaciones entre dos o mĂĄs variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. ,QWHUSUHWD WDEODV JUiÂżFDV PDSDV GLDJUDPDV \ WH[WRV FRQ VtPERORV PDWHPiWLFRV \ FLHQWtÂżcos.

ÂżCon quĂŠ propĂłsito? Representas y resuelves problemas geomĂŠtricos y algebraicos, a travĂŠs de la aplicaciĂłn de reglas de exponentes, operaciones con polinomios, productos notables y factorizaciĂłn.

ÂżQuĂŠ aprenderĂĄs y cĂłmo? Contenidos curriculares

DescripciĂłn

MetodologĂa Â&#x2021;

Conceptuales

164

Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021;

Polinomios de una variable Operaciones con polinomios Suma de polinomios MultiplicaciĂłn MultiplicaciĂłn de Binomios Productos notables FactorizaciĂłn de polinomios

Â&#x2021;

Elaboras un resumen acerca de los polinomios de una variable en el que LGHQWLÂżTXHV ORV HOHPHQWRV de un polinomio y cĂłmo se llaman cada uno de ellos. Enuncias y analizas de forma verbal o escrita las diferentes formas de factorizaciĂłn.

Realizas transformaciones algebraicas I

Procedimentales

,GHQWL¿FDV ODV RSHUDFLRQHV GH suma, resta, multiplicación de polinomios de una variable. Ejecutas sumas, restas y multiplicaciones con polinomios de una variable. Empleas productos notables para determinar y expresar el resultado de multiplicaciones de binomios. Comprendes las diferentes técnicas de factorización, de extracción de factor común y agrupación; de trinomios cuadrados perfectos y de productos notables a diferencia de cuadrados perfectos. Formulas expresiones en forma de producto, utilizando técnicas básicas de factorización. Utilizas los productos notables de diferencia de cuadrados y de trinomios cuadrados perfectos.

Actitudinales

El valor del respeto . Trabajo colaborativo e individual.

Elaboras una serie de reactivos de los polinomios de una variable en el que ,GHQWL¿TXH ORV HOHPHQWRV de un polinomio y cómo se llama cada uno de ellos. Propones problemas en los que plantees situaciones hipotéticas o reales de tu entorno para determinar perímetros, áreas y volúPHQHV GH ¿JXUDV JHRPptricas. Realizas ejercicios aplicando los métodos de factorización. Utilizas suma, resta y multiplicación, productos notables, factorizaciones básicas (factor común, diferencia de cuadrados perfectos, producto de binomios y trinomios cuadrados perfectos) y sus combinaciones para obtener la solución de problemas de tu entorno.

Respetas y escuchas con atención a los demás. Aportas puntos de vista con apertura y consideras los de otras personas de PDQHUD UHÀH[LYD Respetas a tus compañeros y trabajas de forma colaborativa e individual.

¿Qué tiempo vas a emplear? Para el desarrollo de este bloque utilizarás diez horas, cinco para los contenidos temáticos y cinco horas para las actividades planteadas y el desarrollo del proyecto.

165

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

Evaluaciรณn del aprendizaje: productos Durante este bloque realizarรกs los siguientes productos: ย ย

Portafolio de evidencias Resoluciรณn de problemas diversos

Portafolio de evidencias. Lo podrรกs hacer en una libreta o en un cuaderno, que utiliFHV SDUD UHDOL]DU ODV JUiยฟFDV SURFHGLPLHQWRV \ RSHUDFLRQHV TXH WH SHUPLWDQ OOHJDU D soluciones de los problemas que se te presenten en las actividades de este bloque. Estos deben mostrar un orden y limpieza Problemas diversos 'H IRUPD LQGLYLGXDO UHร H[LRQD VREUH OD VROXFLyQ GH ORV HMHUFLcios de los productos notables, expresiones algebraicas y factorizaciรณn, que se te presentan al concluir el bloque. En tu cuaderno podrรกs realizar los procedimientos y operaciones

166

Realizas transformaciones algebraicas I

3DUD LQLFLDU UHĂ H[LRQD El ĂĄlgebra es la rama de las matemĂĄticas que trata del cĂĄlculo de las cantidades representadas por letras. El desarrollo del ĂĄlgebra ha sido un trabajo en equipo, en el cual egipcios, hindĂşes, griegos y ĂĄrabes han participado en su desarrollo. Los ĂĄrabes desarrollaron los mĂŠtodos algebraicos e introdujeron los SROLQRPLRV. El tĂŠrmino ĂĄlgebra proviene de la palabra ĂĄrabe al-jabru, TXH VLJQLÂżFD UHVWDXUDFLyQ R UHXQLyQ (VWD SDODEUD DSDUHFH HQ HO WtWXOR GH un tratado matemĂĄtico del aĂąo 830 escrito por el persa Al-Hwarizmi. Â˘6DEtDV TXH VH SXHGH FDOFXODU OD DOWXUD GH XQD FDVFDGD R GH XQ HGLÂżFLR GH varios pisos, a partir de la caĂda libre?, para estudiar la caĂda de los cuerpos Galileo Galilei, arrojaba objetos desde lo alto de la torre de Pisa.

Figura 4.2. Escultura de AlHwarizmi

Breve biografĂa de Galileo Galilei (1564-1642). AstrĂłnomo, filĂłsofo, matemĂĄtico y fĂsico italiano que estuvo relacionado estrechamente con la revoluciĂłn cientĂfica. Galileo realizĂł notables aportaciones cientĂficas en el campo de la fĂsica, que pusieron en entredicho teorĂas consideradas verdaderas durante siglos. AsĂ, por ejemplo, demostrĂł la falsedad del postulado aristotĂŠlico que afirmaba que la aceleraciĂłn de la caĂda de los cuerpos en caĂda libre era proporcional a su peso, y conjeturĂł que, en el vacĂo, todos los cuerpos caerĂan con igual velocidad. Por lo que concluyĂł que despreciando el aire, todos los cuerpos caen con la misma aceleraciĂłn sin importar su peso o su forma. La representaciĂłn matemĂĄtica del movimiento vertical de cualquier cuerpo en caĂda libre, donde se desprecia la resistencia del aire, y la velocidad inicial es cero, se resume en las siguientes expresiones en tĂŠrminos algebraicos. a) Para calcular velocidad se utiliza:

v f gt

v f es la velocidad con que cae el cuerpo medida en metros por segundos (

b) Para calcular altura se utiliza:

gt 2 2

m ). s

t es el tiempo medido en segundos (s).

167

loque IV

c) Para calcular tiempo:

Realizas transformaciones algebraicas I

2h g

h es la altura en metros (m). g es la aceleraciĂłn de la gravedad con un valor de 9.8

m s2

InstrucciĂłn: /HH FRQ DWHQFLyQ ORV HQXQFLDGRV \ UHĂ&#x20AC;H[LRQD FXiO GH ODV WUHV H[SUHVLRnes anteriores utilizarĂas para dar respuesta a las preguntas siguientes. 1. Si uno de tus compaĂąeros estĂĄ en un segundo piso de la escuela el cual se encuentra una altura de 4 metros con respecto al suelo y deja caer una pelota, ÂżcuĂĄnto tiempo tarda en caer la pelota?, considerando que el movimiento que describe la pelota es de caĂda libre.

2. Si dejas caer libremente un lĂĄpiz y tarda 5 segundos en llegar al suelo, Âżcon que velocidad cae?

ÂżCon quĂŠ conocimientos cuentas? EvaluaciĂłn diagnĂłstica Para comprender los nuevos temas de este bloque, es conveniente reactivar tus conocimientos previos, para ello te proponemos realizar el siguiente ejercicio. Instrucciones: Un arquitecto desea construir una casa y realiza el plano mostrado HQ OD ÂżJXUD &RQ EDVH HQ OD LQIRUPDFLyQ GHO SODQR UHVSRQGH D ODV VLJXLHQWHV preguntas a) ÂżCĂłmo determinas el ĂĄrea que ocupa la casa?

168

Realizas transformaciones algebraicas I

b) ÂżCuĂĄl es la expresiĂłn algebraica que representa el ĂĄrea de la casa?

c) Escribe las expresiones algebraicas para calcular el ĂĄrea que ocupan las recĂĄmaras?

d) ÂżCuĂĄl es el perĂmetro de la casa?

e) ÂżQuĂŠ operaciones utilizaste para los incisos b, c y d?

Q(x) = x Ă

H(x) = x2 Ă x + 1

P(x) = 2x Ă

Q(x) = x Ă Cocina

F(x) = x2 Ă RecĂĄmara

Patio

P(x) = 2x Ă

Comedor

F(x) = x2 Ă BaĂąo JardĂn

RecĂĄmara

Sala

Q(x) = x Ă

G(x) = x

P(x) = 2x Ă

Q(x) = x Ă Cisterna

Cochera

JardĂn

Figura 4.3. Plano de la construcciĂłn.

169

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV

Si de la actividad anterior respondiste correctamente de 5 a 4 preguntas considera tu resultado como Bien, de 3 a 2 como Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 2 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que refuerces tus conocimientos previos.

¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

Ahora que te has dado cuenta de tus fortalezas y oportunidades, refuerza tus conocimientos consultando los siguientes conceptos: Aritmética, iUHDV GH ¿JXUDV JHRPpWULFDV \ HFXDFLRQHV GH SULPHU JUDGR

170

Realizas transformaciones algebraicas I

Aprende mĂĄs Polinomios de una variable Para iniciar con el tema de polinomios es necesario recordar quĂŠ es un tĂŠrmino y quĂŠ es un tĂŠrmino semejante.

TĂŠrmino: Es toda cantidad de una expresiĂłn algebraica.

Las partes de un tĂŠrmino son:

Signo

Ă3x2

Coeficiente

Exponente Literal o variable

5HFXHUGD TXH FXDQGR XQD OHWUD QR WLHQH FRHÂżFLHQWH R H[SRQHQWH VH HQWLHQGH TXH HO FRHÂżFLHQWH R H[SRQHQWH HV Una H[SUHVLyQ DOJHEUDLFD puede constar de un tĂŠrmino o mĂĄs, cada tĂŠrmino estĂĄ VHSDUDGR SRU ORV VLJQRV R Âą GHSHQGLHQGR HO Q~PHUR GH WpUPLQRV R SRWHQFLD UHciben un nombre comĂşn. Tabla 1.

'HQRPLQDFLyQ GH XQD H[SUHVLyQ DOJHEUDLFD VHJ~Q HO Q~PHUR GH WpUPLQRV Nombre

'HĂ&#x20AC;QLFLyQ

Ejemplo

Monomio

ExpresiĂłn de un solo tĂŠrmino

P(x) = 3x2

Binomio

ExpresiĂłn formada por dos tĂŠrminos

Q(x) = 4x3 + 8x

Trinomio

ExpresiĂłn formada tres dos tĂŠrminos

G(x Ăx2 + 2[ 4

Polinomio

ExpresiĂłn formada por mĂĄs de tres tĂŠrminos

H(x) = x3 + 3x2 4[ Ă 2

171

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

Tabla 2.

'HQRPLQDFLyQ GH XQD H[SUHVLyQ DOJHEUDLFD VHJ~Q HO JUDGR Nombre

'HĂ&#x20AC;QLFLyQ

Ejemplo

Lineal

La variable con mayor exponente estĂĄ elevada a la 1

P(x) = [ 2

CuadrĂĄtica

ExpresiĂłn formada por dos tĂŠrminos

3 [ [2 2[ 2

CĂşbica

ExpresiĂłn formada tres dos tĂŠrminos

Q(x) = x3 + 2[ 2

Polinomio: expresiĂłn algebraica formada por la suma de tĂŠrminos algebraicos, en la cual los exponentes deben ser tĂŠrminos enteros y positivos.

Un ejemplo de un enunciado que se transforma en una expresiĂłn algebraica denominada polinomio es el siguiente:

Figura 4.4.

/RV YHQGHGRUHV GH DXWRPyYLOHV WLHQHQ XQ VDODULR ÂżMR PiV XQD FRmisiĂłn o porcentaje por las ventas realizadas en el mes, por ejemplo si el empleado tiene un sueldo de 3000.00 pesos mĂĄs el 5% por el monto de las ventas (x) que realice durante el mes. Esta situaciĂłn se expresa de la siguiente forma: 3000 + 0.05x; lo que nos darĂĄ el sueldo total del mes, a esta expresiĂłn se le conoce como polinomio.

El grado de un monomio depende del exponente de la parte literal. Si solo se tiene una variable el grado es el exponente de la variable; si se tiene mĂĄs de una variable el grado es la suma de los exponentes de las variables. Ejemplos: 4x4 HV XQ PRQRPLR GH JUDGR \ FRHÂżFLHQWH 3x3y2z HV XQ PRQRPLR GH JUDGR \ FRHÂżFLHQWH Ă El JUDGR GH XQ SROLQRPLR coincide con el grado mĂĄs alto de los monomios que lo componen. Ejemplo: 3 ] ]5 4z4 Ă ] 2 es un polinomio de quinto grado 6H UHFRPLHQGD HVFULELU ORV SROLQRPLRV GHO JUDGR PD\RU DO JUDGR PHQRU \ DO ÂżQDO el tĂŠrmino independiente.

172

Realizas transformaciones algebraicas I

3ROLQRPLR FRPSOHWR Es aquel que contiene todos los exponentes consecutivos con respecto a una variable. Ejemplo: 3x Ă 2x5 [4 2x3 Ă x2 + 2x + 3 3ROLQRPLR LQFRPSOHWR. Si le faltan monomios de algĂşn grado, es un polinomio. Ejemplo: 3x Ă 2x5 [4 Ă x2 + 2x + 3

EvaluaciĂłn de un polinomio El valor numĂŠrico de un polinomio es el valor que se obtiene al sustituir las letras por nĂşmeros y realizar las operaciones indicadas en la expresiĂłn. Para ilustrar la evaluaciĂłn retomemos el polinomio que sirve para determinar la cantidad de grasa de un alumno de 20 aĂąos con medidas de W = 80 cm, P = 4 mm y R = 5 cm. Sustituyendo los valores en el polinomio se tiene: G 0.49(80)

0.45(4) 6.36(5)

8.7 39.2

1.8 31.8

8.7 G 17.9 %

El Ă?ndice de Grasa Corporal o porcentaje de grasa corporal nos indica la proporciĂłn de grasa de nuestro cuerpo. En otras palabras, nos dice si estamos en forma. Las WDEODV HQ OD VLJXLHQWH SiJLQD H[SOLFDQ ORV SRUFHQWDMHV GH OD ÂżJXUD

Figura 4.5. Ă?ndice de Grasa Corporal: porcentajes y posible apariencia fĂsica.

173

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

Tabla 3.

Índice de Grasa Corporal (varones)1 Rango de edad

Demasiado bajo

Niveles recomendados

Sobrepeso

Obeso

20 - 30 años

Menos de un 8%

8% - 19%

19% - 25%

Más de 25%

31 - 40 años

Menos de un 8%

8% - 19%

19% - 25%

Más de 25%

41 - 50 años

Menos de un 11%

11% - 22%

22% - 27%

Más de 27%

51 - 60 años

Menos de un 11%

11% - 22%

22% - 27%

Más de 27%

61 - 70 años

Menos de un 13%

13% - 25%

25% - 30%

Más de 30%

71 - 80 años

Menos de un 13%

13% - 25%

25% - 30%

Más de 30%

Tabla 4.

Índice de Grasa Corporal (mujeres)2

Rango de edad

Demasiado bajo

Niveles recomendados

Sobrepeso

Obeso

20 - 30 años

Menos de un 21%

21% - 33%

33% - 39%

Más de 39%

31 - 40 años

Menos de un 21%

21% - 33%

33% - 39%

Más de 39%

41 - 50 años

Menos de un 23%

23% - 35%

35% - 40%

Más de 40%

51 - 60 años

Menos de un 23%

23% - 35%

35% - 40%

Más de 40%

61 - 70 años

Menos de un 24%

24% - 36%

36% - 42%

Más de 42%

71 - 80 años

Menos de un 24%

24% - 36%

36% - 42%

Más

Fuente: http://www.weightlossforall.com/es/porcentaje-de-grasa-corporal-ideal-en-hombres-y-mujeres

&RQVLGHUDQGR OD ¿JXUD \ OD WDEOD \ SRGHPRV FRQFOXLU TXH HO DOXPQR HVWi GHQWUR GH los niveles recomendados.

174

Realizas transformaciones algebraicas I

Aplica lo aprendido

Actividad 1 Instrucciones: Lee con atenciรณn las indicaciones de los numerales I y II, para dar respuesta. Al concluir comenta con uno de tus compaรฑeros cada uno de los resultaGRV GH ORV HMHUFLFLRV $VLPLVPR HVFXFKD ORV UHVXOWDGRV GH WX FRPSDxHUR \ UHร H[LRna sobre cuรกl serรก la soluciรณn correcta. I. Completa los siguientes enunciados: a) Una expresiรณn algebraica es una expresiรณn matemรกtica en la que se combinan ___________ y nรบmeros. b) Las _____________ representan las incรณgnitas. c) Una expresiรณn algebraica con tres tรฉrminos se llama_________________. d) Los exponentes de un polinomio deben ser ___________ y _____________.

II. Completa los siguientes enunciados: a) La parte literal es b y tiene exponente 3.

(

) 8y 4 z 4

b) La parte literal tiene dos incรณgnitas su grado es 8 y su FRHยฟFLHQWH HV

(

)

F (O FRHยฟFLHQWH HV XQ WHUFLR GHO H[SRQHQWH

(

) 4b3

(

) 3y 9

1 3 x y 3

3DUD YHULยฟFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

175

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

Aprende mĂĄs Operaciones con polinomios Suma de polinomios Para poder realizar sumas o restas entre dos tĂŠrminos de una expresiĂłn algebraica es necesario que estos sean semejantes, en cuyo caso lo que se hace es sumar R UHVWDU GHSHQGLHQGR ORV VLJQRV TXH WHQJDQ ORV FRHÂżFLHQWHV GH ORV WpUPLQRV \ VH escriben las literales con el mismo exponente. Volviendo al ejemplo del plano de la casa para determinar el perĂmetro sumamos el contorno de la cocina es decir: P( x )

Q( x )

P( x )

Q( x ) P 2x x 2x x 8

6LPSOLÂżFDQGR VH REWLHQH HO SROLQRPLR TXH UHSUHVHQWD HO iUHD GH OD FRFLQD P 6 x 24 Para sumar o restar expresiones algebraicas deben ser tĂŠrminos semejantes es GHFLU PLVPD OLWHUDO \ PLVPR H[SRQHQWH \ VROR VH VXPDQ R UHVWDQ ORV FRHÂżFLHQWHV GH los monomios y se deja la parte literal igual. Un mĂŠtodo prĂĄctico para sumar polinomios es ordenando previamente en funciĂłn del grado de los tĂŠrminos del mayor al menor y situarlos uno debajo del otro, de tal forma que los tĂŠrminos semejantes estĂŠn alineados para poder asĂ sumarlos; si el polinomio no es completo, se coloca XQ FRHÂżFLHQWH FHUR D OR WpUPLQRV TXH DSDUHFHQ HQ XQR GH ORV SROLQRPLRV SHUR QR HQ el otro. 5x 2

8 x 4 con el polinomio x

2x 2 13 x 3

3 Ejemplo: Suma los polinomios 3 x SoluciĂłn: 3ULPHUR VH GHEHQ RUGHQDU WRGRV ORV WpUPLQRV GH FDGD SROLQRPLR HQ IRUPD GHVFHQGHQWH 5HVSHWDQGR ORV VLJQRV GH FDGD WpUPLQR GH ORV SROLQRPLRV 0x 3 5 x2

0 8x 4

13x 3

2x 2

3 0x

176

Realizas transformaciones algebraicas I

Segundo: se realiza la suma. 6HJXQGR VH UHDOL]D OD VXPD

0x 3 5 x2

0 8x 4

13x 3

2x 2

3 0x 13x 3 3x 2

3 8x 4

Resta de polinomios Dados dos polinomios H(x) y P(x), el polinomio que resulta de sumar los tĂŠrminos del minuendo con los inversos aditivos de los tĂŠrminos semejantes del polinomio sustraendo. Por ejemplo si se quiere conocer la diferencia del largo entre las dos recĂĄmaras de la casa mostrada en el plano. H(x) = x2 Ă x + 1

F(x) = x2 Ă RecĂĄmara

Figura 4.6.

F(x) = x2 Ă RecĂĄmara

P(x) = 2x Ă

P( x ) D( x ) H ( x )

1 8 D( x ) x 2 2x

1 2x

8 5HDOL]DQGR OD UHVWD \ VLPSOLÂżFDQGR x 2

La diferencia del ancho de las recamaras es: x 2 9 La suma o resta se puede hacer en forma horizontal o vertical. Es importante que recuerdes la propiedad distributiva y las leyes de los signos estudiados en el bloque III.

177

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

Aplica lo aprendido

Actividad 2 Instrucciones (1): Analiza con atenciĂłn los enunciados y determina las expresiones algebraicas, y las operaciones indicadas, realiza el procedimiento en tu cuaderno y anota el resultado. Al concluir presenta tus resultados a tus compaĂąeros y considera las opiniones de ellos para mejorar tu trabajo. a) Una caja de arena de 4 Ă&#x2014; 4 metros se coloca en un terreno cuyo lado tiene x metros de largo expresa el ĂĄrea del terreno en tĂŠrminos de un polinomio.

4 x

Figura 4.7.

E &RQVLGHUD ORV VLJXLHQWHV PRVDLFRV DOJHEUDLFRV GH OD ÂżJXUD SDUD UHSUHVHQWDU polinomios y la suma de estos

4x2

Figura 4.8.

178

Ă x

Realizas transformaciones algebraicas I

F &RQ EDVH D ORV PRVDLFRV GH ODV Â¿JXUDV \ HVFULEH XQ SROLQRPLR SDUD cada modelo y encuentra la suma y la resta de los dos polinomios. 2 + 4x2

4x2

Ã Ã

2 Figura 4.9.

P(x) =

+ Ã x2

Ã x2

Figura 4.10.

Q(x) = P(x) + Q(x) = P(x Ã Q(x) =

d) Expresa como un polinomio, la suma se las Ã¡reas de los cÃrculos (Ã¡rea del cÃrculo Ï&#x20AC;r2). F(x) H(x)

G(x)

Figura 4.11.

H(x) + G(x) + F(x) =

179

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

Instrucciones (2): Con el apoyo de uno de tus compaÃ±eros determina el perÃmetro GH ORV VLJXLHQWHV SROtJRQRV GH OD Â¿JXUD (Q WX FXDGHUQR GHVDUUROOD ORV SURFHGLPLHQWRV \ HQ OD SDUWH LQIHULRU GH FDGD Â¿JXUD FRORFD HO UHVXOWDGR a)

b) 5x

3x 4x Figura 4.12.

Instrucciones (3): Relaciona la columna de izquierda con la derecha escribiendo la letra que le corresponda. Para encontrar la soluciÃ³n correcta desarrolla el procedimiento en tu cuaderno

4a a) 3a

(

3 xy ) 3

b) 20 xy 18 xy 3 xy

4 xy

(

) 2 m3

c) 2 m 3 5 m3

(

2x 2 y ) 6 xy

5 xy 4x 2y

xy d) 2 x 2 y

(

a )

( ÂºÂ¼ e) 4 ÂªÂ¬ 8

6y 4 ÂªÂ¬ 9 x 9( x y )ÂºÂ¼ 2x y

2 9 x 6y 2 x

153 y ) 136 x

(

) 3 xy

(

) 2 m 3

(

136 x 153 y )

3DUD YHULÂ¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

180

Realizas transformaciones algebraicas I

Aprende mĂĄs

MultiplicaciĂłn de polinomios Uno de los ejercicios mĂĄs interesantes que ocupan mucho de nuestra atenciĂłn es la multiplicaciĂłn de polinomios, por lo que antes de iniciar reactivaremos los conocimientos adquiridos de las leyes de los exponentes. Este conocimiento lo llegamos a utilizar cuando queremos determinar ĂĄreas de un terreno del plano de la casa o de las habitaciones de tu casa. Antes de iniciar recordemos las propiedades de los exponentes: Tabla 5.

3URSLHGDGHV GH ORV H[SRQHQWHV Nombre

Ley

Ejemplo

InterpretaciĂłn

Producto de dos cantidades con la misma base

a n a m a m n

x 2 x 3 x 2 3 x 5

En la multiplicaciĂłn de bases iguales los exponentes se suman.

DivisiĂłn de dos cantidades con la misma base

an a n m am

23 23 2 21 22

En la divisiĂłn de bases iguales El exponente del tĂŠrmino en el numerador se resta el exponente del tĂŠrmino en el denominador.

Potencia de productos

ab a b

Potencia de potencia

a a

Potencia cero

Potencia de un cociente

Potencia negativa

a0 1 n

1 an

(2 x ) 2 x 8 x

x x 3

3 >>2 2

x 3

1 x3

El producto de dos cantidades cualesquiera estĂĄn elevadas a una potencia todos los factores toman el mismo exponente Si una potencia exponencial se eleva a una potencia, se toma la misma base y se multiplican los exponentes. Toda cantidad o literal elevada a la potencia cero es igual a uno.

10000 1

Â§ a Âˇ a Â¨ b Â¸8 b n ÂŠ Âš a n

y Â§ y Âˇ y Â¨ 2 Â¸8 23 8 ÂŠ Âš

Si la divisiĂłn de dos cantidades o literales cualesquiera estĂĄ elevada a una potencia, tanto el numerador como el denominador toma el mismo exponente. Toda expresiĂłn con exponente negativo, es igual a su recĂproco.

181

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

MultiplicaciĂłn de monomios 6L PXOWLSOLFDPRV GRV R PiV PRQRPLRV VH PXOWLSOLFDQ ORV FRHÂżFLHQWHV GH FDGD XQR de los factores con sus respectivos signos, y las potencias o exponentes de la misma literal se suman, dejando las de distinta literal como estĂĄn. El ejemplo siguiente ilustra el procedimiento que se sigue para obtener el producto de dos monomios: 5 x y z 5 4

4x y

x y z

20 x y 2

2 1

Los exponentes de las literales de bases iguales se suman.

Multiplicamos los FRHÂżFLHQWHV

Como se mencionĂł un polinomio es la suma de varios monomios, entonces al multiplicar por otro polinomio se emplea la propiedad distributiva tantas veces como sea necesario, es decir se multiplica tĂŠrmino a tĂŠrmino: (5 x 2 )(4 x 1) (5 x 2 )(4 x ) (5 x 2 )(1) 20 x 3 5 x 2 Para multiplicar dos o mĂĄs polinomios, se tiene que ordenar cada polinomio, preferentemente de forma decreciente, despuĂŠs multiplicar cada tĂŠrmino de un polinomio, por todos y cada uno de los tĂŠrminos del otro. Por ejemplo si queremos GHWHUPLQDU HO iUHD GH XQ WHUUHUR FX\DV GLPHQVLRQHV VH PXHVWUDQ HQ OD ÂżJXUD 2x Ă x Ă

Para multiplicar potencias de la misma base, se deja la base y se suman los exponentes de los factores.

Figura 4.13.

2x 8

x 4

2x 2 8x 8x

2x 2 16 x

altura . Recuerda que el ĂĄrea de un rectĂĄngulo es A base

182

Realizas transformaciones algebraicas I

Aplica lo aprendido

Actividad 3 Instrucciones: (Q SDUHMDV GHWHUPLQD HO iUHD GH ODV WUHV Â¿JXUDV JHRPpWULFDV FRQVLderando los datos que se muestran en cada una de ellas.

0.2ab 2

4 2 ab 3

(4 x

y) 2a

2ab 2

3x 2 y Figura 4.14.

3DUD YHULÂ¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Aprende mÃ¡s Productos notables Tanto en la multiplicaciÃ³n aritmÃ©tica como algebraica se sigue un algoritmo, sin embargo existen productos algebraicos que pueden calcularse a travÃ©s de normas establecidas, estos productos reciben el nombre de productos notables.

Productos notables: normas que se establecen para resolver algunas multiplicaciones

183

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

Existen cuatro casos principales de productos notables.

Cuadrado de una suma y diferencia de binomio El producto de un binomio por sĂ mismo recibe el nombre de cuadrado del binomio. El desarrollo de un cuadrado de binomio siempre tiene la misma estructura. (a

b )2 (a

b )(a

b) Si realizamos el producto termino a tĂŠrmino: (a

b )2 (a

b )(a

b ) a Â&#x2DC;=a

a Â&#x2DC;=b

b Â&#x2DC;=a

b Â&#x2DC;=b a 2

2ab

b2 El cuadrado de la suma de dos nĂşmeros, es el cuadrado del primer tĂŠrmino, mĂĄs el doble producto del primer tĂŠrmino por el segundo tĂŠrmino, mĂĄs el cuadrado del segundo tĂŠrmino. El cuadrado del binomio, como otros productos notables, tiene una representaciĂłn JHRPpWULFD geomĂŠtrica en el plano. Consiste en determinar el ĂĄrea del cuadrado de lado a + E. b. E b

DE ab

E b 2

a 2

DE ab

E b

Figura 4.15.

Figura 4.16.

3DUD GHWHUPLQDU HO iUHD GHO FXDGUDGR GH OD ÂżJXUD PXOWLSOLFDPRV ODV ORQJLWXGHV de sus lados, es decir (a + E)(a b)(a + E), b), o lo que es lo mismo sumar las ĂĄreas de los UHFWiQJXORV LQWHUQRV FRPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD a a

b a2

2ab

b2 2

Ejemplo 1: Desarrollar el binomio 2x

7 SoluciĂłn:

184

Realizas transformaciones algebraicas I

2 28x

49 2x

2x 7

7 4x 2

2x 7

2 Â§ Âˇ Ejemplo 2: Desarrollar el binomio 8 Â¨x

Â¸ 5 ÂŠ Âš

SoluciĂłn: 2

2 2 2 4 4 2 Â§ Âˇ 8 x

2 x

Â§Â¨ 8 ÂˇÂ¸ Â§Â¨ 8ÂˇÂ¸ x 2 x Â¨x

Â¸ 5 5 25 ÂŠ Âš ÂŠ5 Âš ÂŠ5 Âš

cXDGUDGR GH OD GLIHUHQFLD Cuando el binomio es una diferencia, se conoce como el cuadrado de la diferencia GH GRV Q~PHURV de dos nĂşmeros es decir: 2

b a2 ab ba

b2 a2 2ab

b2 a a b a b

El cuadrado de la diferencia de dos nĂşmeros, es el cuadrado del primer tĂŠrmino, menos el doble producto del primer tĂŠrmino por el segundo tĂŠrmino, mĂĄs el cuadrado del segundo tĂŠrmino. 2

a b a2 2ab b2 GeomĂŠtricamente el cuadrado de la diferencia de un binomio se determina a partir GH XQ FXDGUDGR FRPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD E2 b

D Ă E E

D Ă E 2

E b

D Ă E Figura 4.17.

Figura 4.18.

(a Ă E) es: Reordenando el ĂĄrea del cuadrado de (a Ă b) 2ab

b2 b )2 a 2 (a

185

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

Binomios con un tĂŠrmino comĂşn Corresponde a la multiplicaciĂłn de binomios donde el primer tĂŠrmino es comĂşn para ambos binomios por ejemplo: a

1 a 2

a= Â&#x2DC;1

3= Â&#x2DC;a

3= Â&#x2DC; 1 a2

a(1

3 a2

3 a 3 (VWR VLJQLÂżFD TXH HO SURGXFWR GH GRV ELQRPLRV FRQ XQ WpUPLQR HQ FRP~Q HV x

b x2

x a a b x ab El binomio con un tĂŠrmino en comĂşn, es el cuadrado del tĂŠrmino comĂşn, mĂĄs la suma de los dos tĂŠrminos distintos multiplicados por el tĂŠrmino comĂşn, mĂĄs el producto de los tĂŠrminos distintos. Algunos ejemplos de binomios con un tĂŠrmino comĂşn: 2

3 9 Â§3 ÂˇÂ§ 3 Âˇ Â§3 Âˇ x

5 8 10 8 10 5 10 5

x 2 3 x 50 Â¨5 x

Â¸Â¨ 5 x Â¸ Â¨5 x8 Â¸

5 25 ÂŠ ÂšÂŠ Âš ÂŠ Âš 2 x

e 4 4 2

e 2e e 2 e

(2 4)e x

Productos de dos binomios conjugados Se llama binomios conjugados al producto de la suma de dos nĂşmeros por su diferencia, se caracteriza por ser un producto de dos binomios con tĂŠrminos iguales, TXH GLÂżHUHQ HQ TXH XQ ELQRPLR WLHQH VLJQR SRVLWLYR \ HO RWUR QHJDWLYR SRU HMHPSOR x 2 x 2

2x 2x 4 x2 4 x 2

El producto de dos binomios conjugados es el cuadrado del primer tĂŠrmino, menos el cuadrado del segundo tĂŠrmino. x a x2 a2 x a

Algunos ejemplos del producto de dos binomios conjugados son:

186

Realizas transformaciones algebraicas I

3 3 2x 2x 2x

4 x 2 9 2

1 2 Â§ 1 Âˇ Â§1 Âˇ Â§ 1 Âˇ

b Â¸8 b Â¸8 Â¨ a Â¸8 a2 b2 b Â¨ 2 a Â¨2a 2 4 ÂŠ Âš ÂŠ Âš ÂŠ Âš

Binomio al cubo b se puede obtener multiplicando ĂŠste por su El desarrollo del cubo del binomio a + E cuadrado.

2ab

b 2

b a3

2a 2b

ab 2

a 2b

b3 a a a a2 a 3

La suma del binomios al cubo es, el cubo del primer tĂŠrmino, mĂĄs el triple producto del cuadrado del primer tĂŠrmino por el segundo, mĂĄs el triple producto del primer tĂŠrmino por el cuadrado del segundo tĂŠrmino, mĂĄs el cubo del segundo tĂŠrmino. 3

b a3

3a 2b

3ab 2

b3 a

a Ă b: De manera similar se obtiene el desarrollo del cubo del binomio a Ă E

b b b 2ab

b 2 b a3 2a 2b

ab 2 a 2b b3 a a a a2 a 3

La diferencia del binomios al cubo es igual al cubo del primer tĂŠrmino, menos el triple producto del cuadrado del primer tĂŠrmino por el segundo , mĂĄs el triple producto del primer tĂŠrmino por el cuadrado del segundo tĂŠrmino menos el cubo del segundo tĂŠrmino. b )3 a3 3a 2b

3ab 2 b3 (a Algunos ejemplos de suma y resta de binomios al cubo son: 3

3 x

x x 2 x 2 2

x 3 6 x 2 12 x 8 3

5 3 z z z 5

3 z

z3 15z 2 75z 125

187

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

TriĂĄngulo de Pascal Como podemos observar cuando la potencia del binomio aumenta el nĂşmero de tĂŠrminos incrementa, si observas los nĂşmeros de tĂŠrminos siempre es un grado mayor a la potencia a la que se encuentra elevado el binomio. +D\ SUREOHPDV HQ PDWHPiWLFDV ÂżQDQFLHUDV FRPR HV HO FiOFXOR GH LQWHUpV FRPpuesto ya sea para un prĂŠstamo o para un monto en el que se desea saber cuĂĄnto vamos a pagar o recibir despuĂŠs de un tiempo y la expresiĂłn que se utiliza para este tipo de problema es M = C(1 + i)n, para determinar el resultado de multiplicar n veces un binomio nos podemos auxiliar del triĂĄngulo de Pascal que es una representaciĂłn GH ORV FRHÂżFLHQWHV ELQRPLDOHV HQ IRUPD WULDQJXODU VH OODPD DVt HQ KRQRU DO IUDQFpV %ODLVH 3DVFDO TXLHQ IXH XQ ÂżOyVRIR ItVLFR \ PDWHPiWLFR

Figura 4.19.

2EVHUYDU HQ OD ÂżJXUD TXH FDGD Q~PHUR LQWHULRU HV OD VXPD GH ORV TXH HVWiQ colocados directamente arriba de ĂŠl. Analicemos algunos binomios: 0

a b 1 (a

b )1 a

b (a

b )2 a 2

2ab

b2 (a

b )3 a3

3a 2b

3ab 2

b3 4

a b a 4 4a3b2 6a2b3 b 4 5 a b a5 5a 4b 10a3b2 10a2b3 5ab 4 b5 /RV FRHÂżFLHQWHV GH FDGD XQR GH ORV WpUPLQRV FRUUHVSRQGHQ DO WULiQJXOR GH 3DVFDO analizando las potencias de los tĂŠrminos del binomio, puedes observar que el resultado del primer binomio a la potencia cero es (1); para un binomio elevado a la potencia 1, corresponde a los mismos tĂŠrminos del binomio. A partir del binomio a la potencia 2, el primer termino tiene la misma potencia que el binomio, el segundo tĂŠrmino contiene a ambos tĂŠrminos el primer tĂŠrmino disminuido en un grado y el segundo tĂŠrmino elevado a la primera potencia y al tercer termino tiene la misma

188

Realizas transformaciones algebraicas I

potencia que el primero; este desarrollo se puede observar en cada uno de los tĂŠrminos de tal manera que el primer tĂŠrmino disminuye en la potencia una unidad y el segundo aumenta en una unidad, hasta la potencia del binomio. AdemĂĄs, el nĂşmero de tĂŠrminos siempre es n + 1 donde n es el grado del polinomio. Ejemplo: Desarrolla (a + b)3 utilizando el triĂĄngulo de pascal. SoluciĂłn: 3URFHGLPLHQWR Procedimiento: (a

b )3 1a 3 b0

3 a 3 1b1

3 a 3 2 b 2

1a 3 3 b 3 6LPSOLÂżFDQGR (a

b )3 1a3

3 a2 b1

3 a1b2

1a0 b3 (a

b )3 1a3

3a2 b

3 ab 2

1b3 3RGUiV REVHUYDU TXH ORV FRHÂżFLHQWHV FRUUHVSRQGHQ DO WULiQJXOR GH 3DVFDO

Aplica lo aprendido

Actividad 4 Instrucciones: En parejas lean con atenciĂłn los siguientes problemas y en su cuaderno realicen el procedimiento y operaciones para llegar a la soluciĂłn de ellos. Aporta tus puntos de vista y escucha las opiniones de tu compaĂąero. 3DUD UHDÂżUPDU ORV FRQRFLPLHQWRV DGTXLULGRV GHWHUPLQD HO iUHD GH ODV ÂżJXUDV 4.20, 4.21 y 4.22. a)

c) 9 [x

[ Ă 3 Figura 4.22. Figura 4.20.

Figura 4.21.

189

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

2. Si el volumen de un cubo es 64 cm3 ¿Cuál será el nuevo volumen si se aumenta su arista en x unidades? 5HDOL]D HQ WX FXDGHUQR WULiQJXORV GH 3DVFDO FRPR HO PRVWUDGR HQ OD ¿JXUD 4.23.

Figura 4.23.

a) b) c) d) e)

En el primer triángulo escribe los números faltantes. En el segundo, Ilumina de azul los números pares. En el tercero, Ilumina de verde los números impares. En el cuarto, Ilumina de amarillo todos los números múltiplos de tres. ¿Qué patrón encontraste?

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Aprende más Factorización de polinomios La factorización es la representación de una expresión algebraica como producto. Cada elemento del producto recibe el nombre de factor.

190

Realizas transformaciones algebraicas I

El estudio de factorizaciĂłn requiere de habilidades y conocimientos que has desarrollado a lo largo de este curso, iniciaremos recordando ciertos elementos.

MĂĄximo comĂşn divisor de polinomios Para encontrar el mĂĄximo comĂşn denominador (m.c.d.) de dos o mĂĄs tĂŠrminos, deEHPRV HQFRQWUDU HO P F G GH ORV FRHÂżFLHQWHV \ PXOWLSOLFDUORV SRU OD PtQLPD SRWHQFLD de las variables que aparecen en cada monomio. Ejemplo: Encontrar el m.c.d de 20 x 3 y 2 16 x 2 y 4 SoluciĂłn: 'HWHUPLQDPRV HO P F G GH ORV FRHÂżFLHQWHV \ GH ODV YDULDEOHV Monomios 0RQRPLRV

)DFWRUHV GH ORV FRHÂżFLHQWHV

Factores de las literales )DFWRUHV GH ODV OLWHUDOHV

20x 3 y 2

4= Â&#x2DC;5

x2 y 2 x

16x 2 y 2

4= Â&#x2DC;4

x2 y 2 y 2

2 2 Los factores son: 4 \ /RV IDFWRUHV VRQ y x y .

(O Pi[LPR FRP~Q GLYLVRU GH OD H[SUHVLyQ HV 4x 2 y 2 . (O P F G QRV VLUYH SDUD ORV SROLQRPLRV FRPR SURGXFWR GH VX Pi[LPR IDFWRU FRP~Q \ RWUR PiV VHQFLOOR TXH HO RULJLQDO HO HMHPSOR DQWHULRU TXHGDUi IDFWRUL]DGR GH OD VLJXLHQWH manera: PDQHUD 20 x 3 y 2

16 x 2 y 4 ( 4 x 2 y 2 ) 5 x 4y 2

FactorizaciĂłn de un monomio a partir de un polinomio La factorizaciĂłn es el proceso inverso de la multiplicaciĂłn de factores, como se PHQFLRQy IDFWRUL]DU XQD H[SUHVLyQ VLJQLÂżFD HVFULELUOD FRPR HO SURGXFWR GH VXV IDFtores. La factorizaciĂłn de un monomio a partir de un polinomio se realiza: 1. Determinar el m.c.d. de todos los tĂŠrminos del polinomio. 2. Escribir todos los tĂŠrminos como el producto del m.c.d. y sus otros factores. 3. Utilizar la propiedad distributiva para factorizar el m.c.d.

191

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

Ejemplo 1: Factorizar 15 x 20 SoluciĂłn: (O P F G GH FDGD WHUPLQR UHVSHFWLYDPHQWH HV 15 x 5 Â&#x2DC;=3 x 20 5 Â&#x2DC;=4

(O P F G HV al factorizar el MCD queda: 15 x El m.c.d. es 5 DO IDFWRUL]DU HO 0&' TXHGD 20 (5 )( 3 x 4)

Ejemplo 2: Factorizar 9 x 2 12 x SoluciĂłn: (O P F G GH FDGD WHUPLQR UHVSHFWLYDPHQWH HV 9x 2 3 x Â&#x2DC;=3 x 12 x 3 x Â&#x2DC;=4

(O P F G HV al factorizar el MCD queda: 9x 2 El m.c.d. es 3 x DO IDFWRUL]DU HO 0&' TXHGD 3 x 3x 12 x 4

Ejemplo 3: Factorizar x (2 x 1) 5(2 x 1) SoluciĂłn: El MCD de cada termino es 2 x 1 , entonces al factorizar el m.c.d. se tiene: x( 2 x 1 ) 5( 2 x 1 ) ( 2 x 1)( x 5 )

FactorizaciĂłn de polinomios por medio de agrupamientos Cuando se tienen cuatro o mĂĄs tĂŠrminos se agrupan de tal forma que sus factores en comĂşn en cada grupo, por ejemplo para factorizar: ax ay bx by , podemos agrupar los tĂŠrminos de la forma siguiente: ax ay bx by ax bx ay by x (a b ) y (a b )

,GHQWLÂżFD FyPR VH RUGHQD GH WDO PDQHUD TXH VH REWHQJD HO PLVPR P F G En nuestro primer ejemplo ordenamos con respecto a las variables x y y observando que ambas tenĂan el mismo comĂşn como se muestra a continuaciĂłn.

192

Realizas transformaciones algebraicas I

El m.c.d. es (a b ) quedando la factorizaciĂłn de la siguiente manera: ax ay bx by x (a b ) y (a b )

Aplica lo aprendido

Actividad 5 Instrucciones: En equipos de cuatro, lean las siguientes preguntas y respondan a cada una de ellas. 1. 2. 3. 4.

Â˘&yPR LGHQWLÂżFDQ TXH XQ SROLQRPLR WLHQH IDFWRU FRP~Q" ÂżCuĂĄles son los pasos para factorizar un polinomio? ÂżCĂłmo se reconoce que es por agrupamiento la factorizaciĂłn? Utilizando el plano de la casa, mencionen dos ejemplos de factorizaciĂłn de polinomios.

3DUD YHULÂżFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Aprende mĂĄs FactorizaciĂłn de diferencia de cuadrados Recordemos que los nĂşmeros cuadrados son lo que se obtienen de la multiplicaciĂłn de un nĂşmero; 1, 4, 9, 16, 25,â&#x20AC;Śetc. Las literales cuadradas son aquellas que tienen

193

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

exponente par y al ser divididas entre dos nos da un valor exacto x 2 , x 4 , a 6 , ... ; etc. Cuando estudiamos el producto de dos binomios conjugados se obtuvo como resultado la diferencia de cuadrados: a

b a b a2 b2 Si invertimos el proceso obtenemos la factorizaciĂłn. Los pasos a seguir para la factorizaciĂłn de diferencia de cuadrados son: 1. Extraer la raĂz cuadrada de cada uno de los tĂŠrminos. 2. Se escriben dos parĂŠntesis que representan los factores. 3. En uno se suman las raĂces de cada tĂŠrmino y en el otro se restan las raĂces de los tĂŠrminos. Ejemplo 1: Factorizar 9a 2 81b 2 SoluciĂłn: 7pUPLQRV FXDGUiWLFRV TĂŠrminos cuadrĂĄticos

)DFWRUHV GH ODV OLWHUDOHV Factores de las literales

3ULPHU WpUPLQR Primer tĂŠrmino: 9a2

9a2 3a

6HJXQGR WpUPLQR Segundo tĂŠrmino: 81b 2

81b 2 9b

/D H[SUHVLyQ IDFWRUL]DGD HV OD VLJXLHQWH 9a2 81b 2 ( 3a

9 b)( 3a 9b ) (VWp SURFHGLPLHQWR WDPELpQ VH DSOLFD D OD GLIHUHQFLD GH FXDGUDGRV HQ OD TXH XQR R ORV GRV WpUPLQRV VRQ FRPSXHVWRV

Ejemplo 2: Factorizar

9 2 a b6 16

SoluciĂłn: 7pUPLQRV FXDGUiWLFRV TĂŠrminos cuadrĂĄticos 3ULPHU WpUPLQR Primer tĂŠrmino:

9 2 a 16

6HJXQGR WpUPLQR Segundo tĂŠrmino: b6

)DFWRUHV GH ODV OLWHUDOHV Factores de las literales 9 16

3 4

b6 b 3

Â§ 9 Âˇ Â§ 3 Âˇ Â§3 Âˇ /D H[SUHVLyQ IDFWRUL]DGD HV OD VLJXLHQWH Â¨ a2 b6 Â¸8 Â¨ a

b 3 Â¸8 b 3 Â¸8 Â¨ a ÂŠ 16 Âš ÂŠ 4 Âš ÂŠ4 Âš

194

Realizas transformaciones algebraicas I

Aplica lo aprendido

Actividad 6 Instrucciones: En tu cuaderno realiza las factorizaciones de cada uno de los ejercicios y compara los resultados con tus compaรฑeros. Respeta y escucha con atenciรณn a los demรกs. 1. 121k 2 289m 2 2.

144 4 49 2 x y 121 16

3. 25u 2

49v 2 4.

36 y 8 x 2 x 12

sen x cos x

3DUD YHULยฟFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Aprende mรกs Factorizaciรณn de suma y diferencia de cubos El proceso de factorizaciรณn es el reciproco de los productos notables por lo que la suma de cubos se expresa como se muestra a continuaciรณn.

195

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

b3 a b (a2 ab b2 ) Para factorizar una suma de cubos de dos factores se recomienda los siguientes VXPD GH FXERV pasos: 1. 2. 3. 4.

Extraer la raĂz cĂşbica de cada uno de los tĂŠrminos. Se escriben dos parĂŠntesis que representan los factores. Un factor corresponde a la suma las raĂces de los tĂŠrminos. El otro factor es el primer tĂŠrmino al cuadrado, menos el producto de la raĂz cubica de los dos tĂŠrminos mĂĄs el segundo tĂŠrmino al cuadrado.

Ejemplo 1: Factorizar 8 x 3

27 SoluciĂłn:

TĂŠrminos cĂşbicos 7pUPLQRV F~ELFRV

RaĂz cĂşbica del tĂŠrmino 5Dt] F~ELFD GHO WpUPLQR

Primer tĂŠrmino: 8 x 3 3ULPHU WpUPLQR

8x 3 2x 3

Segundo tĂŠrmino: 27 6HJXQGR WpUPLQR

TĂŠrmino al cuadrado 7pUPLQR DO FXDGUDGR 4x 2

27 3

/D H[SUHVLyQ IDFWRUL]DGD HV OD VLJXLHQWH 8 x 3

27 ( 2 x

3 ) 4 x 2 6 x 9

Para la diferencia de cubos nos apoyamos en el mismo hecho de tal manera que la diferencia de cubos es:

a3 b3 a b a2 ab b2

Para factorizar una resta de cubos de dos factores se recomienda los siguientes pasos: 1. 2. 3. 4.

Extraer la raĂz cĂşbica de cada uno de los tĂŠrminos. Se escriben dos parĂŠntesis que representan los factores. Un factor corresponde a la resta de las raĂces de los tĂŠrminos. El otro factor es el primer tĂŠrmino al cuadrado, mĂĄs el producto de la raĂz cubica de los dos tĂŠrminos mĂĄs el segundo tĂŠrmino al cuadrado.

Ejemplo 2: Factorizar 27v 3 125 SoluciĂłn:

196

Realizas transformaciones algebraicas I

TÃ©rminos cÃºbicos 7pUPLQRV F~ELFRV Primer tÃ©rmino: 27v 3 3ULPHU WpUPLQR Segundo tÃ©rmino: 125 6HJXQGR WpUPLQR

RaÃz 5Dt] F~ELFD GHO WpUPLQR cÃºbica del tÃ©rmino 3

TÃ©rmino 7pUPLQR DO FXDGUDGR al cuadrado

27v 3 3v

9v 2

125 5

/D H[SUHVLyQ IDFWRUL]DGD HV OD VLJXLHQWH 27v 3 125 ( 3v 5 ) 9v 2

15v

Aplica lo aprendido

Actividad 7 Instrucciones: En parejas, resuelvan los siguientes ejercicios de factorizaciÃ³n. Al Â¿QDOL]DU LQWHUFDPELHQ VXV UHVSXHVWDV FRQ RWUD SDUHMD SDUD HYDOXDU ORV UHVXOWDGRV Muestra respeto al escuchar las soluciones de tus compaÃ±eros. 1.

x3 y3

2. a3

27 3. 64b3

8 4. a 6 b12 5.

1 3 1 3 a b 8 27

3DUD YHULÂ¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

197

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

Aprende mĂĄs FactorizaciĂłn de un trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrĂĄtico tiene la expresiĂłn: ax 2 bx c

Es decir, estĂĄ formado por un tĂŠrmino cuadrĂĄtico, un tĂŠrmino de primer grado y un tĂŠrmino constante. Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un trinomio; tales trinomios se llaman WULQRPLRV FXDGUDGRV SHUIHFWRV (TCP): 2

b a2

2ab

b2 2 a b a2 2ab

/RV VLJXLHQWHV SXQWRV D\XGDQ D LGHQWLÂżFDU XQ 7&3 1. Dos de los tĂŠrminos deben ser cuadrados a2 y b2. 2. No debe haber signo menos en a2 Ăł b2. 3. Si multiplicas dos veces ab obtienes el segundo tĂŠrmino. Los pasos para factorizar un trinomio cuadrado perfecto son: 1. 9HULÂżFDPRV TXH HO SULPHUR \ WHUFHU WpUPLQR VHDQ SRVLWLYRV \ D DPERV VH OH SXHda extraer raĂz cuadrada. 2. Se abre un parĂŠntesis y se escribe el valor de la raĂz del primer tĂŠrmino. 3. Se escribe el signo del segundo tĂŠrmino. 4. Se escribe el valor de la raĂz del segundo tĂŠrmino y se cierra el parĂŠntesis. 5. Se eleva al cuadrado la expresiĂłn. Ejemplo 1: Factorizar x 2 4 x 4 SoluciĂłn: 9HULÂżFDPRV TXH HO SULPHU WpUPLQR \ HO ~OWLPR VRQ SRVLWLYRV \ VXV UDtFHV VRQ

198

Realizas transformaciones algebraicas I

3ULPHU WpUPLQR Primer tÃ©rmino: x 2 x 6HJXQGR WpUPLQR Segundo tÃ©rmino: 4 2 (O GREOH SURGXFWR GH OD UDt] GHO SULPHU WpUPLQR \ WHUFHU WpUPLQR [ [ HO FXDO FXPSOH FRQ HO VHJXQGR WpUPLQR GHO WULQRPLR 2

7ULQRPLR IDFWRUL]DGR Trinomio factorizado: x 2

4 x

Ejemplo 2: Factorizar y 2 20 y

100 SoluciÃ³n:

Primer tÃ©rmino: y 2 y 6HJXQGR WpUPLQR 3ULPHU WpUPLQR Segundo tÃ©rmino: 100 10 (O GREOH SURGXFWR GH OD UDt] GHO SULPHUR \ WHUFHU WpUPLQR HV \ \ HO UHVXOWDGR FXPSOH FRQ HO YDORU GHO VHJXQGR WpUPLQR GHO WULQRPLR 2

7ULQRPLR IDFWRUL]DGR Trinomio factorizado: y 2 20y

100 y 10

Aplica lo aprendido

Actividad 8 Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios de manera individual con el propÃ³sito de poner en practica tus competencias desarrolladas, con respecto a la factorizaciÃ³n de trinomio cuadrado perfecto al concluir intercambia tus respuestas con alguno de tus compaÃ±eros. 1.

14 x

x2 6 yx

9y 2

3. 25a 2

80a

64 4. 16n 2

40n

199

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

5. 49z 2 14z

3DUD YHULยฟFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Actividad 9 Producto de aprendizaje: soluciรณn de problemas diversos Instrucciones: 6LJXH FRQ DWHQFLyQ ODV LQGLFDFLRQHV GH ODV OHWUDV $ % & \ UHร H[LRQD la posible soluciรณn de cada uno de los productos notables, expresiones algebraicas y factorizaciรณn que se te presentan en seguida. Realiza en tu cuaderno los procedimientos y operaciones, el resultado anรณtalo en los espacios de cada ejercicio. Finalmente autoevalรบa tus ejercicios y en la escala valorativa que se encuentra en la secciรณn de evaluaciรณn del bloque, registra con una (X) en el espacio del rango de aciertos correctos que obtuviste. A. Complementa los espacios faltantes de los productos notables.

2.(__

5 x )2 ___

40 x

___

3. 2x

___ ___ ___

4. __ __ ___ 30 x

5. x __

2 ___

___

6.(__

__)(__

__) x 2

11x

1. x

___ 4 xy ___

7. ___ 49 x 2 2y

__ 2y __ 8.(64 x 2 __) __

7 y __ __

9. x __

__ __ __ 27

200

10. __

__ 8x3

12 x

Realizas transformaciones algebraicas I

B. Complementa los espacios faltantes de los productos notables. 1. La longitud de una habitaciĂłn es de

5 3 x 4 y el ancho es x 4 metros. 2 2

Encuentra un trinomio que pueda usarse para representar el ĂĄrea de la habitaciĂłn.

2. Una caja metĂĄlica cubica de [ x pulgadas de cada lado se diseĂąĂł para transportar especĂmenes congelados. La caja estĂĄ rodeada por todos lados por una capa de espuma de estireno de dos pulgadas, cuĂĄl es el polinomio que representa el volumen de la caja.

3. Determina el polinomio que representa el volumen de una caja que tiene un largo y ancho de ([ Ă FP \ DOWXUD GH FP (x Ă FP \ DOWXUD GH FP

4. Si a un cuadrado cuya ĂĄrea es [ x 2 se le suman a un lado 8 cm y al otro lado se le UHVWDQ FP Â˘4Xp H[SUHVLyQ DOJHEUDLFD UHSUHVHQWD HO iUHD GH OD QXHYD ÂżJXUD"

5. Se comprĂł una alfombra cuadrada de 25 m2 al colocarla en la sala se observa que le sobran 80 cm de un lado y 60 cm del otro, determina mediante una expresiĂłn algebraica el ĂĄrea de la sala.

C. Factoriza a su mĂnima expresiĂłn: 1. 256r 4 288r 2

2. am bm an bn

3. k k k

1 1

2 1

4. a3

201

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

5. x 2

6. 81a 2 144

26 x

x2 7. 169

288r 2

81 8. 256r 4

*XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Actividad 10 Producto de aprendizaje: integrar tu portafolio de evidencias Esta actividad consiste en Integrar tu portafolio de evidencias con los problemas y ejercicios que resolviste de manera individual o grupal en las seis actividades presentadas a lo largo del bloque. En tu libreta o cuaderno que hayas destinado para este producto de aprendizaje, colocarĂĄs cada uno de los ejercicios que se te indicaron que formarĂan parte del portafolio de evidencias, sĂłlo asegĂşrate antes de colocarlos que los procedimientos \ UHVXOWDGRV VHDQ FRUUHFWRV 7H VXJHULPRV TXH HO UHVXOWDGR ÂżQDO GH FDGD HMHUFLFLR R problema lo puedas resaltar con una tinta de color diferente al color utilizado en el procedimiento. Te invitamos a consultar la lista de cotejo que se encuentra en la secciĂłn de evaluaciĂłn que se encuentra enseguida, para que consideres los criterios de evaluaciĂłn que debes cubrir. Para entregar tu portafolio de evidencias a tu Profesor, es importante que mantengas limpieza y orden, ademĂĄs coloca una carĂĄtula al inicio con tus datos (nombre de la escuela, asignatura, bloque, leyenda: Portafolio de evidencias, nombre del estudiante, semestre, grupo y fecha de entrega) y un Ăndice.

202

Realizas transformaciones algebraicas I

Escala valorativa para evaluar el producto de aprendizaje: soluciรณn de problemas diversos

Aspectos a evaluar

Productos notables

Escala ([FHOHQWH

Bueno

Regular

1R VXร FLHQWH

10 aciertos correctos

De 9 a 8 aciertos correctos

De 7 a 6 aciertos correctos

Menos de 6 aciertos correctos

( )

5 aciertos correcto

4 aciertos correctos

3 aciertos correctos

Menos de 3 aciertos correctos

( )

8 aciertos correctos

De 7 a 6 aciertos correctos

5 aciertos correctos

( )

Operaciones algebraicas

Factorizaciรณn

( )

Menos de 5 aciertos correctos ( )

203

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

Lista de cotejo para evaluar el producto de aprendizaje: portafolio de evidencias Criterios

Indicadores

Sí cumple

No cumple

Observaciones

,GHQWL¿FD ODV GLIHUHQWHV secciones del portafolio y se desglosan indicando número de ejercicios y de actividad. Presenta orden en los procedimientos. Presenta índice. Evaluación diagnóstica sin error.

Documentos de evidencias

Actividades del 1 al 8. Actividad 9. Productod de aprendizaje Realizó sus trabajos de forma colaborativa e individual.

Actitud

Mostró respeto en los trabajos.

Total de puntos

Si en la lista de cotejo lograste los 9 puntos considera tu resultado como Excelente y si lograste 8 puntos es Bien, de 6 a 7 es Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 6 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que atiendas tus áreas de oportunidad. ([FHOHQWH ¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

204

Realizas transformaciones algebraicas I

Registro del avance Competencias genĂŠricas y disciplinares del bloque IV Instrucciones: Al concluir el bloque registra el nivel de avance que lograste en el desarrollo de las competencias genĂŠricas y disciplinares. Utiliza la siguiente escala: A = Alto (Desarrollada) M = Medio (EstĂĄ en vĂa de desarrollo) B = Bajo (No la he desarrollado) Competencias genĂŠricas

Atributos

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mĂŠtodos establecidos.

Sigue instrucciones y procedimientos de PDQHUD UHĂ&#x20AC;H[LYD FRPSUHQGLHQGR FyPR cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

7. Aprende por iniciativa e interĂŠs propio a lo largo de la vida.

,GHQWLÂżFD ODV DFWLYLGDGHV TXH OH UHVXOWDQ GH PHQRU \ PD\RU LQWHUpV \ GLÂżFXOWDG UHFRQRciendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstĂĄculos.

Nivel de avance

Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, GHÂżQLHQGR XQ FXUVR GH DFFLyQ FRQ SDVRV HVSHFtÂżFRV 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prĂĄcticas sociales.

205

loque IV

Realizas transformaciones algebraicas I

Competencias disciplinares

Nivel de avance

Formula y resuelve problemas matemĂĄticos, aplicando diferentes enfoques.

Analiza las relaciones entre dos o mĂĄs variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. ,QWHUSUHWD WDEODV JUiÂżFDV PDSDV GLDJUDPDV \ WH[WRV FRQ VtPERORV PDWHPiWLFRV \ FLHQWtÂżFRV

Cuando concluyas la tabla presĂŠntala a tu profesor y valoren los avances registrados.

206

Bloque V. Realizas transformaciones algebraicas II

Bloque V Realizas transformaciones algebraicas II

207

loque V

Realizas transformaciones algebraicas II

IntroducciĂłn Es importante recordar que el ĂĄlgebra bĂĄsica es similar a la aritmĂŠtica, pues en ella se aplican las operaciones bĂĄsicas, suma, resta, multiplicaciĂłn y divisiĂłn pero en lugar de nĂşmeros se usan letras y ĂŠstas pueden tomar diferentes valores. Recordemos que la divisiĂłn es una fracciĂłn de un todo y fueron los egipcios quienes usaron por primera vez las fracciones, pero sĂłlo aquellas de la forma 1/n o las que pueden obtenerse como combinaciĂłn de ellas. Los egipcios utilizaron las fracciones cuyo numerador es 1 y cuyo denominador es 2, 3, 4,..., y las fracciones 2/3 y 3/4 y con ellas conseguĂan hacer cĂĄlculos fraccionarios de todo tipo. Su notaciĂłn era la siguiente:

Figura 5.1.

ÂżTe has cuestionado cĂłmo se distribuyĂł el terreno en un mercado para determinar el nĂşmero de locales? ÂżDe quĂŠ depende el nĂşmero de casas que se pueden construir en un terreno? Las operaciones algebraicas son Ăştiles para dar soluciĂłn a situaciones como la planteada en el pĂĄrrafo anterior, sĂłlo debemos considerar que una fracciĂłn algebraica es igual que una fracciĂłn ordinaria, excepto que las letras pueden encontrarse en el numerador, en el denominador o en ambos. Para ello es necesario que conozcas y comprendas los algoritmos de las operaciones con fracciones algebraicas y sus aplicaciones.

ÂżQuĂŠ competencias desarrollarĂĄs? Competencias genĂŠricas

Atributos Â&#x2021;

7. Aprende por iniciativa e interĂŠs propio a lo largo de la vida. Â&#x2021;

208

Realizas transformaciones algebraicas II

Â&#x2021; Â&#x2021; 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Â&#x2021;

Â&#x2021; 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas prĂĄcticas sociales.

Â&#x2021;

Competencias disciplinares Â&#x2021;

Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021;

Construye e interpreta modelos matemĂĄticos mediante la aplicaciĂłn de procedimientos aritmĂŠticos, algebraicos, geomĂŠtricos y variaciones, para la comprensiĂłn y anĂĄlisis de situaciones reales, hipotĂŠticas o formales. Formula y resuelve problemas matemĂĄticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemĂĄticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o mĂĄs variables de un proceso social o natural para InterSUHWD WDEODV JUiÂżFDV PDSDV GLDJUDPDV \ WH[WRV FRQ VtPERORV PDWHPiWLFRV \ FLHQWtÂżFRV

ÂżCon quĂŠ propĂłsito? Representa y resuelve problemas geomĂŠtricos y algebraicos, a travĂŠs de la factorizaciĂłn de trinomios, fracciones algebraicas y divisiĂłn.

209

loque V

Realizas transformaciones algebraicas II

ÂżQuĂŠ aprenderĂĄs y cĂłmo? Contenidos curriculares

DescripciĂłn Â&#x2021; Â&#x2021;

Conceptuales

Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021;

Â&#x2021;

Â&#x2021; Procedimentales Â&#x2021;

Â&#x2021;

Trinomios de la forma x2 +bx+ c. Trinomios de la forma ax2 +bx+ c FRQ D Â? Expresiones racionales con factores comunes y no comunes. La divisiĂłn de polinomios. Reconoce trinomios que no son cuadrados perfectos de la forma y con como un producto de factores lineales y polinomios que requieren combinar tĂŠcnicas. Expresa trinomios de la forma y como un producto de factores lineales. ,GHQWLÂżFD H[SUHVLRQHV UDFLRQDles con factores comunes y no comunes, susceptibles de ser VLPSOLÂżFDGDV Utiliza una o varias tĂŠcnicas de transformaciĂłn para descomponer un polinomio en factores. Reconoce expresiones racionaOHV HQ IRUPD VLPSOLÂżFDGD D SDUWLU de factores comunes y la divisiĂłn de polinomios. Obtiene factores comunes, factorizando con las tĂŠcnicas aprendidas y reduce ĂŠstos. Escribe expresiones racionales HQ IRUPD VLPSOLÂżFDGD XWLOL]DQGR factores comunes y la divisiĂłn de polinomios. Soluciona problemas aritmĂŠticos y algebraicos.

MetodologĂa Â&#x2021;

Â&#x2021;

Â&#x2021; Â&#x2021; Actitudinales

Â&#x2021; Â&#x2021;

El valor del respeto . Trabajo colaborativo e individual. Â&#x2021;

210

Elabora un mapa conceptual de los procesos de factorizaciĂłn para los trinomios. Aplica la factorizaciĂłn en la VLPSOLÂżFDFLyQ GH H[SUHVLRnes racionales

Formula y resuelve problemas matemĂĄticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemĂĄticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o mĂĄs variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

Respetas y escuchas con atenciĂłn a los demĂĄs. Aportas puntos de vista con apertura y consideras los de otras personas de PDQHUD UHĂ&#x20AC;H[LYD Respetas a tus compaĂąeros y trabajas de forma colaborativa e individual.

Realizas transformaciones algebraicas II

ÂżQuĂŠ tiempo vas a emplear? Considera ocho horas para el desarrollo de este bloque, lo mĂĄs recomendable es que utilices cuatro horas para revisar los contenidos temĂĄticos y cuatro horas para OOHYDU DFDER ODV DFWLYLGDGHV SURSXHVWDV \ HO GHVDUUROOR GH WX SUR\HFWR ÂżQDO

EvaluaciĂłn del aprendizaje: productos En este bloque realizarĂĄs los siguientes productos de aprendizaje que pondrĂĄn de PDQLÂżHVWR HO GHVDUUROOR GH WXV FRPSHWHQFLDV Â&#x2021; Â&#x2021;

Portafolio de evidencias DiseĂąo de un juego de loterĂa de transformaciones algebraicas.

Portafolio de evidencias. Lo podrĂĄs hacer en una libreta o en un cuaderno, para UHDOL]DU ODV JUiÂżFDV SURFHGLPLHQWRV \ RSHUDFLRQHV FRQ RUGHQ \ OLPSLH]D TXH WH permitan llegar a soluciones de los problemas que se presenten en las actividades de este bloque. 'LVHxR GH XQ MXHJR GH ORWHUtD GH WUDQVIRUPDFLRQHV DOJHEUDLFDV Lo podrĂĄs realizar de forma colaborativa con 3 o 4 compaĂąeros, primero debes tener todos tus ejercicios de las 7 actividades resueltos, enseguida cada uno de los ejercicios lo colocarĂĄs en una tarjeta de 7 x 4 cm. CĂłmo tambiĂŠn cada ejercicio lo colocarĂĄs en un espacio de una plantilla que estĂŠ dividida en seis casillas.

211

loque V

Realizas transformaciones algebraicas II

3DUD LQLFLDU UHĂ H[LRQD La ley de gravitaciĂłn universal, presentada por Isaac Newton en 1687, en su obra 3KLORVRSKLDH 1DWXUDOLV 3ULQFLSLD 0DWKHPDWLFD, establece la forma y explica el fenĂłmeno natural de la atracciĂłn que tiene lugar entre dos objetos con masa. Todo objeto en el Universo que posea masa ejerce una atracciĂłn gravitatoria sobre cualquier otro objeto con masa, independientemente de la distancia que los separe. SegĂşn explica esta ley, mientras mĂĄs masa posean los objetos, mayor serĂĄ la fuerza de atracciĂłn entre sĂ, y paralelamente, mientras mĂĄs cerca se encuentren unos de otros, serĂĄ mayor esa fuerza.

Figura 5.2. Retrato de Isaac Newton (1689).

Expresando lo anterior en tĂŠrminos formales, esta ley establece que la fuerza que ejerce un objeto dado con masa m1 sobre otro con masa m2 es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Lo anterior se representa en la siguiente fĂłrmula:

F G

m1m2 r2

Donde m1 y m2 son las masas de los dos objetos, r es la distancia que separa sus centros de gravedad y G es la constante de proporcionalidad, llamada en este caso: constante de gravitaciĂłn universal cuyo valor es: G 6.67 x10 11

Nm 2 kg 2

Interpretando lo anterior, y guiĂĄndonos en la fĂłrmula, esta ley establece que mientras mĂĄs grandes sean las masas de sus cuerpos, mayor serĂĄ la fuerza con que se atraigan, y que a mayor distancia de separaciĂłn menor serĂĄ la fuerza de atracciĂłn. SĂłlo mucho tiempo despuĂŠs hubo las posibilidades tĂŠcnicas necesarias para calcular su valor. En 1798 se hizo el primer intento de mediciĂłn posteriormente, con tĂŠcnicas de la mayor precisiĂłn posible se llegĂł a este resultado de la constante G.

212

Realizas transformaciones algebraicas II

ÂżCon quĂŠ conocimientos cuentas? EvaluaciĂłn diagnĂłstica Instrucciones: En equipo analiza los siguientes ejercicios y al llegar a una conclusiĂłn. Anoten sus respuestas en los espacios correspondientes. I. Desarrolla los siguientes productos. 1.

5 x 3

x 4 x 9

2 x 9

II. Analizando el desarrollo de los productos obtenidos. a) ÂżQuĂŠ puedes observar en el desarrollo?

b) ÂżQuĂŠ sucede si sumamos los tĂŠrminos numĂŠricos?

c) ÂżDĂłnde observas el producto de los tĂŠrminos numĂŠricos?

III. Describe una tĂŠcnica para factorizar los siguientes polinomios. a) x 2

6 b) x 2 13 x

213

loque V

Realizas transformaciones algebraicas II

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Si de la actividad anterior respondiste correctamente de 7 a 8 preguntas considera tu resultado como Bien, de 4 a 6 como Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 4 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que refuerces tus conocimientos previos.

¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

Ahora que te has dado cuenta de tus fortalezas y oportunidades, refuerza tus conocimientos consultando los siguientes conceptos: operaciones aritméticas, productos notables y factorización de polinomios.

214

Realizas transformaciones algebraicas II

Aprende mĂĄs Trinomios de la forma x2 + bx + c La forma general de un trinomio esta expresada por: ax 2

Este trinomio proviene del producto de dos binomios por ejemplo: 4x

1 x

Cuando el trinomio no es un cuadrado perfecto existen diferentes procesos para efectuar la factorizaciĂłn de los polinomios. Procedimiento: 1. Realizamos el producto: 4x

1 x

3 x 3 x 3

6LPSOLÂżFDGR VH REWLHQH HO WULQRPLR 4 x 2

13 x

3 ,GHQWLÂżFDPRV ORV HOHPHQWRV GHO WULQRPLR 4 x 2 corresponde al termino cuadrĂĄtico ax 2 13 x corresponde al tĂŠrmino lineal bx 3 es el tĂŠrmino independiente Fc

Casos: 3ULPHU FDVR &XDQGR HO FRHÂżFLHQWH a Primer caso. &XDQGR HO FRHÂżFLHQWH a = 1, el trinomio queda expresado asĂ: x 2

c Ejemplo de estos trinomios son: x2

15 2

x 6x

a=1 E b=8 F c = 15 a=1 b E=8 c F = 15

Recordando que la factorizaciĂłn es el reciproco del producto notable, iniciaremos analizando el siguiente producto notable con tĂŠrmino comĂşn. Recuerda que este producto cumple con:

a x

b x2

a b x ab

215

loque V

Realizas transformaciones algebraicas II

Para factorizar el trinomio de la forma x2 + bx + c se requiere encontrar dos nĂşmeros que multiplicados den el tĂŠrmino independiente y sumados o restados proporcionen HO FRHÂżFLHQWH GHO WpUPLQR OLQHDO Para factorizar x2 + 8x + 15 se deben buscar dos nĂşmeros que multiplicados den 15 y sumados den 8. Factores

Multiplicados

Sumados

3y5

(3)(5) = 15

3+5=8

Ă \ Ă

Ă Ă

Ă Ă Ă

El primer renglĂłn cumple con las dos condiciones entonces para factorizar la expresiĂłn se acomodan en los factores el tĂŠrmino igual, que en este caso es [, x, y los nĂşmeros encontrados. La factorizaciĂłn resultante es: x2

15 x

3 x

Veamos otro ejemplo. Al factorizar x 2 2x 24 : Factores

Multiplicados

Sumados

\ Ă

Ă Ă

Ă \

Ă Ă

\ Ă

Ă Ă

Ă \

Ă Ă

El tercer renglĂłn cumple con las dos condiciones entonces para factorizar la expresiĂłn se acomodan en los factores el tĂŠrmino igual, que en este caso es [, x, y los nĂşmeros encontrados. La factorizaciĂłn es: x2 2x 24 x 6 x

Con la prĂĄctica podrĂĄs a visualizar con mayor rapidez los nĂşmeros que cumplen con las dos condiciones para llevar a cabo la factorizaciĂłn de este tipo de trinomios.

216

Realizas transformaciones algebraicas II

Aplica lo aprendido

Actividad 1 Instrucciones: Lee con atenciรณn las indicaciones de los numerales 1 y 2, para dar UHVSXHVWD ยฟQDOPHQWH SUHVHQWD D WXV FRPSDxHURV HO SURFHGLPLHQWR TXH UHDOL]DVWH para llegar a la soluciรณn y escucha sus aportaciones. 1. Halla una expresiรณn polinomial en forma factorizada que represente el รกrea de la regiรณn naranja. x+2

2 x+5

Figura 5.3.

2. Completa los siguientes ejercicios. a) a 2 3a 10 a ___ ___

b) c 2

12 c

___ ___

4 c) y 2 22y

120 y 12 ___ ___

3DUD YHULยฟFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

217

loque V

Realizas transformaciones algebraicas II

Aprende mÃ¡s Trinomios de la forma ax2 + bx + c Expresiones como 6 x 2

7x 5 , 2x 2

3x 2 son trinomios de la forma: ax 2

Los trinomios de esta forma presentan las siguientes caracterÃsticas: 1. (O FRHÂ¿FLHQWH GHO SULPHU WpUPLQR HV GLIHUHQWH GH 2. La variable del segundo tÃ©rmino es la misma que la del primer tÃ©rmino pero con exponente igual a la unidad. 3. El tercer tÃ©rmino es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo tÃ©rminos del trinomio. Para factorizar trinomios de la forma ax 2

c , existen varias formas, a continuaciÃ³n se describirÃ¡ una de ellas. MÃ©todo de prueba y error (VFULEH WRGDV ODV SDUHMDV GH IDFWRUHV GHO FRHÂ¿FLHQWH GHO WHUPLQR FXDGUiWLFR D 2. Escribe todas las parejas de factores de la constante c. 3. Intenta diversas combinaciones de estos factores hasta encontrar el tÃ©rmino medio correcto, bx. Ejemplo: Factoriza 3 x 2 13 x

10 SoluciÃ³n: /RV ~QLFRV IDFWRUHV GH VRQ \ SRU WDQWR HVFULELPRV [ [ (O Q~PHUR WLHQH IDFWRUHV SRVLWLYRV \ QHJDWLYRV SHUR FRPR HO WpUPLQR LQWHUPHGLR HV QHJDWLYR VROR FRQVLGHUDPRV ORV IDFWRUHV QHJDWLYRV ORV FXDOHV VRQ Ã Ã \ Ã Ã (QXPHUDPRV ORV IDFWRUHV SRVLEOHV %XVFDPRV HO IDFWRU TXH SURSRUFLRQH HO WpUPLQR PHdio. GLR )DFWRU SRVLEOH 6XPD GH ORV SURGXFWRV GH ORV WpUPLQRV LQWHUQRV H[WHUQRV 3x 1 x 10

218

3x 10

1 x 30x x 31x

Realizas transformaciones algebraicas II

x 1 3x 10 3x 2 x 5

3x 5 x 2

3x 1

10 x 3x 10x 13x 3x 5 x 15 x 2x 17 x

2 3x 2

5 x 6x 5x 11x

/RV IDFWRUHV GHO VHJXQGR UHQJOyQ SURSRUFLRQD HO VHJXQGR WpUPLQR SRU OR TXH HO WULQRPLR queda factorizado de la siguiente manera: 3x 2 13x

10 TXHGD IDFWRUL]DGR GH OD VLJXLHQWH PDQHUD 3x 10 x 1

Aplica lo aprendido

Actividad 2 Instrucciones: Observa con atenciÃ³n las tres expresiones algebraicas y de forma respetuosa, comenta con tus compaÃ±eros sobre el procedimiento necesario para llegar a la soluciÃ³n. a) 3 x 2 x

b) 5 x 2 14 x 3

c) 2 x 2

5x 3

3DUD YHULÂ¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

219

loque V

Realizas transformaciones algebraicas II

Aprende mĂĄs

FracciĂłn algebraica: toda expresiĂłn de la forma p( x) , donde p( x) , q( x) q( x) Â? P( x) , q( x) z 0.

Algunos ejemplos de fracciones algebraicas son: x2 1 2 x

2x 3y 7

4 4x

Debido a que en planteamientos posteriores de problemas cotidianos, por ejemplo determinar la razĂłn del nĂşmero de aciertos que obtienes en un examen la cual se obtiene: aciertos buenos total de aciertos Se encontrarĂĄn mĂşltiples expresiones tan complejas como lo son las fracciones DOJHEUDLFDV HV PX\ LPSRUWDQWH VLPSOLÂżFDUODV (V SRVLEOH VLPSOLÂżFDUODV FXDQGR H[LVten factores comunes en el numerador y en el denominador, de lo contrario la expresiĂłn es irreducible. Ejemplo 1: 6LPSOLÂżFD OD IUDFFLyQ

w2 1 w

SoluciĂłn: )DFWRUL]DPRV HO QXPHUDGRU XWLOL]DQGR HO PRGHOR GH GLIHUHQFLD GH FXDGUDGRV Factorizamos el numerador, utilizando el modelo de diferencia de cuadrados: w

1 w 1

Äş a a

b a b b

w 1

(OLPLQDPRV ORV WpUPLQRV LJXDOHV GHO QXPHUDGRU \ GHQRPLQDGRU Eliminamos los tĂŠrminos iguales del numerador y denominador: w

1 w 1

220

Realizas transformaciones algebraicas II

)UDFFLyQ DOJHEUDLFD VLPSOLÂ¿FDGD w2 1 w 1 w

Ejemplo 2: 6LPSOLÂ¿FD OD IUDFFLyQ

n2 2n 2 n 7n

SoluciÃ³n: )DFWRUL]DPRV HO QXPHUDGRU DSOLFDQGR HO IDFWRU FRP~Q \ HO GHQRPLQDGRU DSOLFDQGR OD IDFWRUL]DFLyQ GHO WULQRPLR factorizaciÃ³n del trinomio x 2 :

c n n 2

n2 2n 2 n 7n

10 n 2 n 5

(OLPLQDPRV ORV WpUPLQRV LJXDOHV GHO QXPHUDGRU \ GHQRPLQDGRU Eliminamos los tÃ©rminos iguales del numerador y denominador:

n 2

n 2 n 5

)UDFFLyQ DOJHEUDLFD VLPSOLÂ¿FDGD n2 2n n n2 7n

10 n 5

Aplica lo aprendido

Actividad 3 Instrucciones: Analiza y resuelve los siguientes problemas en tu cuaderno. Al concluir presenta tus resultados a tus compaÃ±eros y considera las opiniones de ellos para mejorar tu trabajo.

221

loque V

Realizas transformaciones algebraicas II

5 segundos, 1. Un auto recorre una distancia de s 2 7s

10 en un tiempo de s determina la expresiรณn algebraica para la velocidad del auto la velocidad es: v

distancia tiempo

2. El gasto de agua se puede calcular a partir del cociente del volumen con el tiempo, si el volumen que se consume en una casa es 3 x 4

7x3

2 x 2 en un tiempo de x 3

7x 2

10 x , determina la expresiรณn algebraica para el gasto de agua. 3. Un aviรณn vuela a una velocidad promedio de 2s 12 kilรณmetros por hora, si a 2 esta velocidad recorre una distancia de 2s 16s

24 kilรณmetros, ยฟCuรกl es la expresiรณn algebraica para determinar el tiempo?

3DUD YHULยฟFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Aprende mรกs

Operaciones con fracciones algebraicas Suma y resta Para sumar o restar fracciones algebraicas con igual denominador, se procede del mismo modo que en las fracciones aritmรฉticas: se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores. Ejemplo 1: Sumar Soluciรณn:

222

8a b 2b

c c

Realizas transformaciones algebraicas II

6H FRQVHUYD HO GHQRPLQDGRU \ VH VXPDQ R UHVWDQ ORV QXPHUDGRUHV Se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores: (8a

2b c 6H VLPSOLÂ¿FD HO QXPHUDGRU UHDOL]DQGR ODV RSHUDFLRQHV LQGLFDGDV 8a

b 8a

3b c c

Ejemplo 2: Resuelve

5a 9b 7a 2b 8a 5b

2a 3b 2a 3b 2a 3b

SoluciÃ³n: 6H FRQVHUYD HO GHQRPLQDGRU \ VH VXPDQ R UHVWDQ ORV QXPHUDGRUHV Se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores: (5a 9b )

(7a 2b ) (8a 5b ) 2a 3b 6H VLPSOLÂ¿FD HO QXPHUDGRU

5a 9b

7a 2b 8a

5b 4a 6b 2a 3b 2a 3b

)DFWRUL]DQGR HO QXPHUDGRU \ VLPSOLÂ¿FDQGR

2 2a 3b

2a 3b

/D H[SUHVLyQ VLPSOLÂ¿FDGD HV 5a 9b 7a 2b 8a 5b

2 2a 3b 2a 3b 2a 3b

MultiplicaciÃ³n de fracciones algebraicas En la multiplicaciÃ³n de fracciones algebraicas se procede igual que en las fracciones DULWPpWLFDV VH PXOWLSOLFDQ QXPHUDGRUHV \ GHQRPLQDGRUHV HQWUH VL VLPSOLÂ¿FDQGR VL es posible. Ejemplo 1: 0XOWLSOLFDU \ VLPSOLÂ¿FD OD H[SUHVLyQ

5a3 2b = 4 3

SoluciÃ³n: ContinÃºa...

223

loque V

Realizas transformaciones algebraicas II

0XOWLSOLFDQGR QXPHUDGRUHV \ GHQRPLQDGRUHV 5a3 2b 5a3 2b 10a 3 b Â&#x2DC;= 4 3 12 12

)DFWRUL]DQGR \ VLPSOLÂ¿FDQGR

10a 3 b 2(5a 3 b ) 5a 3 b 12 2 6 6

/D PXOWLSOLFDFLyQ VLPSOLÂ¿FDGD

5a3 b 6

3x 2

2 xy 15 x 10 y Â&#x2DC;= Ejemplo 2: 6LPSOLÂ¿FD OD H[SUHVLyQ 2 2 9x 4y 2x SoluciÃ³n: )DFWRUL]DQGR QXPHUDGRUHV \ GHQRPLQDGRUHV \ VLPSOLÂ¿FDQGR x 3x

2y 5 3x 2y

5 3x 2

2xy 15 x 10y Â&#x2DC;= Â&#x2DC;= 2 2 2 9x 4y 2x 2x 3x

2y 3x 2y

/D H[SUHVLyQ VLPSOLÂ¿FDGD

3x 2

2xy 15 x 10y 5 Â&#x2DC;= 2 2 9x 4y 2x 2

DivisÃ³n de fracciones algebraicas Las divisiones de fracciones algebraicas se resuelven igual que las fracciones aritmÃ©ticas: se multiplica la fracciÃ³n dividiendo por el inverso multiplicativo de la fracciÃ³n divisor. Ejemplo 1: 'LYLGLU \ VLPSOLÂ¿FDU OD H[SUHVLyQ

8n 5 2n 2 y 3 9

SoluciÃ³n: 0XOWLSOLFDPRV SRU HO UHFLSURFR GHO GLYLVRU 8n 5 9 72n 5 Â&#x2DC; 2 = 3 2n 6n 2

224

Realizas transformaciones algebraicas II

6LPSOLÂ¿FDQGR 72n 5 72 5 2 12n 3 n 6n 2 6

El resultado de la divisiÃ³n es: 12n 3. (O UHVXOWDGR GH OD GLYLVLyQ HV

Ejemplo 2: 'LYLGLU \ VLPSOLÂ¿FDU OD H[SUHVLyQ

1 x

1 y 2 2 x 1 x 2x

SoluciÃ³n: 0XOWLSOLFDPRV SRU HO UHFLSURFR GHO GLYLVRU x x2

1 2x

1 x2 2x

1 Â&#x2DC; = 2 2 x x 1

1 x x 1

)DFWRUL]DQGR QXPHUDGRU \ GHQRPLQDGRU Factorizando numerador y denominador:

x 1 x 1 x 1

1 x 1 x

,GHQWLÂ¿FDQGR ORV IDFWRUHV FRPXQHV \ VLPSOLÂ¿FDQGR

(O UHVXOWDGR VLPSOLÂ¿FDGR GH OD GLYLVyQ HV

x x 1 1 x 1

x 1 x 1 x

1 x 1

x 1

x 1 x

Aplica lo aprendido

Actividad 4 Instrucciones: (Q HTXLSR \ FRQ D\XGD GH WX SURIHVRU VLPSOLÂ¿FD ODV VLJXLHQWHV H[SUHVLRQHV YHULÂ¿FD WXV UHVXOWDGRV FRQ RWUR HTXLSR

225

loque V

Realizas transformaciones algebraicas II

x2 5x

6 2 x 2x

3b 3a

2b 3a 2b 3a 2b

4 2 m

2 m 1 m 1 m

z2 10z

16 z 2 10z

21 Â&#x2DC;= 2 2 z 9z

14 z

2z 15

x3 x x 1 y x

1 x

3x 2 10 x 3 2 x 4x

3DUD YHULÂ¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Aprende mÃ¡s DivisiÃ³n de polinomios Para dividir un monomio entre otro, primero se aplica la regla de los signos para la GLYLVLyQ GHVSXpV VH GLYLGHQ HQWUH VL ORV FRHÂ¿FLHQWHV \ Â¿QDOPHQWH ODV OLWHUDOHV 4x3y 2 x 3 1y 1 1 2 x 2 2 xy 'LYLVLyQ GH XQ SROLQRPLR HQWUH XQ PRQRPLR Se dividen todos los tÃ©rminos del polinomio entre el monomio, separando los cocientes parciales con sus propios signos: 3 x 3 y 6 x 2 y 12 x

x2y

2 xy

4 3x 3x 3x

'LYLVLyQ GH XQ SROLQRPLR HQWUH RWUR SROLQRPLR Sobre la base de la divisiÃ³n aritmÃ©tica, se darÃ¡ un mÃ©todo para la divisiÃ³n entre polinomios.

226

Realizas transformaciones algebraicas II

El procedimiento es el siguiente: 1. Se ordenan los tĂŠrminos del numerador y del denominador con relaciĂłn a una letra, en orden de potencias decrecientes. 2. Se divide el primer tĂŠrmino del numerador entre el primer tĂŠrmino del denominador para obtener el primer tĂŠrmino del cociente. 3. Se multiplica el cociente obtenido por cada tĂŠrmino del denominador, colocando el resultado en columna (debajo del tĂŠrmino semejante en caso de existir, si no tiene semejante en el numerador se escribe en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenaciĂłn de potencias), para poder sustraerlo del numerador al producto se le cambia de signo. 4. Considerar el residuo obtenido como un nuevo numerador y repetir los pasos 2 y 3 para encontrar el segundo tĂŠrmino del cociente y el siguiente residuo. 5. Continuar el proceso hasta obtener un residuo que sea de menor grado que el grado del denominador. Si el residuo es cero, la divisiĂłn es exacta, se puede expresar como: cociente

dividendo divisor

Si el residuo es diferente de cero, la divisiĂłn no es exacta, se puede expresar como: cociente

residuo divisor

Ejemplo 1: Dividir P ( x ) a 2 4ab 3b 2 entre Q( x ) a b SoluciĂłn:

Divisor 'LYLVRU

3b a 2 a

4ab

3b 2

&RFLHQWH Cociente Dividendo 'LYLGHQGR

a2 ab

3b 2 3ab 2

3ab 3b

0 0

Residuo 5HVLGXR

(V XQD GLYLVLyQ H[DFWD HO UHVLGXR HV Es una divisiĂłn exacta, el residuo es 0.

227

loque V

Realizas transformaciones algebraicas II

Ejemplo 2: Dividir H ( x ) 5a 4

a2 2a 3 entre G( x ) a 1 SoluciĂłn:

5a2

4 5a 4 3 2 a 1 5a

a 2a 3 4 3 5a

5a 3

a2 2a 3 5a 3 2 5a

5a 6a2 2a 3 2 6a

6a 4a 3 4a

4 1

Residuo 5HVLGXR

La divisiĂłn no es exacta. /D GLYLVLyQ QR HV H[DFWD /D UHVSXHVWD HV 5a3

5a2

1 a 1

'LYLVLyQ VLQWpWLFD R UHJOD GH 5XIÂżQL Tiene por objeto determinar el FRFLHQWH cociente de un SROLQRPLR en [ x entre un ELQRPLR binomio de la forma [ Ă D GH XQD PDQHUD VHQFLOOD \ UiSLGD DSOLFDQGR ORV VLJXLHQWHV SDVRV x Ă D GH XQD PDQHUD VHQFLOOD \ UiSLGD DSOLFDQGR ORV VLJXLHQWHV SDVRV Si se desea dividir 11x 2 6x 4 43 x 3

8x5 42 entre 3 x

2x 2 6 por el mĂŠtodo de divisiĂłn sintĂŠtica, primero se debe ordenar el dividendo y el divisor: Dividendo: 8 x 5 6x 4 43 x 3

11x 2

9x 42 ; grado(Dividendo ) 5 Divisor: 2 x 2 3x 6 ; grado(Divisor ) 2 Dado que grado(Dividendo ) ! grado(Divisor ) , 5 > 2, la divisiĂłn se puede realizar. El acomodo de los elementos en la divisiĂłn sintĂŠtica se apegarĂĄ al esquema de la ÂżJXUD

228

Realizas transformaciones algebraicas II

Dividendo Ă rea de trabajo

Siguientes tĂŠrminos del divisor

Residuo

LĂnea de divisiĂłn

1er. tĂŠrmino del divisor

Cociente LĂnea de cierre

Figura 5.4. Elementos de la divisiĂłn sintĂŠtica.

Pasos de la divisiĂłn sintĂŠtica 3DVR 6H HVFULEHQ ORV FRHÂżFLHQWHV QXPpULFRV del dividendo ordenado descendentemente en un primer renglĂłn. Si el polinomio estĂĄ incompleto, escribe cero en la columna del tĂŠrmino que falte. Dibuja una vertical junto al Ăşltimo FRHÂżFLHQWH HVFULWR 3DVR Se dejan algunos renglones en blanco, SDUD HO ÂłiUHD GH WUDEDMRÂ´ /D FDQWLGDG GH UHQJORnes necesarios se puede calcular de la siguiente manera:

Ă Ă Ă

Ă Ă Ă RenglĂłn 1 RenglĂłn 2 RenglĂłn 3 RenglĂłn 4 Siguientes tĂŠrminos del divisor

Renglones de ĂĄrea de trabajo = grado(Dividendo) Ă grado(Divisor) + 1 En nuestro ejemplo,

1er. FRHÂżFLHQWH del divisor

LĂnea de divisiĂłn

5HQJORQHV GH iUHD GH WUDEDMR Ă LĂnea de resultados

3DVR Se trazan dos lĂneas horizontales debajo del ĂĄrea de trabajo y se prolonga la vertical hasta cruzar estas dos horizontales. El proceso VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD

Figura 5.5. Paso 2 y 3.

Ă Ă Ă

3DVR 6H HVFULEH HO SULPHU FRHÂżFLHQWH QXPprico del divisor en el espacio reservado para ĂŠl, como se indicĂł en el esquema. En nuestro HMHPSOR pVWH FRHÂżFLHQWH HV ÂżJXUD

+2 Figura 5.6. Paso 4.

229

loque V

Realizas transformaciones algebraicas II

Ă Ă Ă 3DVR 6H HVFULEHQ ORV VLJXLHQWHV FRHÂżFLHQWHV del divisor pero se cambian sus signos. Este paso es muy importante para evitar errores en el resultado. TambiĂŠn deben escribirse ceros para los tĂŠrminos que el divisor no tenga.

+2 Figura 5.7. Paso 5.

Ă Ă Ă 3DVR 6H EDMD HO SULPHU FRHÂżFLHQWH GHO GLYLdendo hasta la lĂnea de divisiĂłn. +3

8 Figura 5.8. Paso 6. 3DVR 6H GLYLGH HQWUH HO SULPHU FRHÂżFLHQWH GHO divisor y el resultado se coloca debajo del tĂŠrmino que se bajĂł.

Ă Ă Ă

8 +4 3DVR Se multiplica este nĂşmero por los siJXLHQWHV FRHÂżFLHQWHV GHO GLYLVRU \ ORV UHVXOWDGRV se colocan en el ĂĄrea de trabajo en las columnas siguientes del renglĂłn nĂşmero dos:

3DVR Se checa que no se haya escrito algĂşn nĂşmero en la Ăşltima columna. De ser asĂ se termina el proceso y se deben determinar los resultados. En nuestro ejemplo, el Ăşltimo nĂşmero escrito es 24, que aĂşn no estĂĄ en la Ăşltima columna del ĂĄrea de trabajo (que es la columna GRQGH HVWi HO Ă

3DVR Si el proceso continua, entonces se EDMD OD VXPD GH ORV FRHÂżFLHQWHV GH OD VLJXLHQte columna a la lĂnea de divisiĂłn y se repite el proceso del paso 6 al 9, tantas veces como sea necesario y hasta llegar a la Ăşltima columna.

230

+2 Figura 5.9. Paso 7.

Ă Ă Ă +12 +24 +3

8 +4 Figura 5.10. Paso 8.

Ă Ă Ă Ă Ă +12 +24 +9 +18 Ă Ă +21 +42 +3 +2 Ă Ă Figura 5.11. Paso 9 y 10.

Realizas transformaciones algebraicas II

3DVR Cuando hemos escrito un nĂşmero debajo de la Ăşltima columna, como en el proceso prĂłximo anterior, debemos colocar unas lĂneas de cierre junto a la Ăşltima cifra escrita en el Ăşltimo renglĂłn.

3DVR Como vemos, quedaron dos columnas despuĂŠs de las lĂneas de cierre. Sumamos estas columnas y escribimos los resultados en la lĂnea de divisiĂłn, como se muestra a continuaciĂłn.

3DVR Ahora, determinemos el cociente. Solo YHPRV ORV FRHÂżFLHQWHV GHO SROLQRPLR TXH UHSUHsenta al cociente. El Ăşltimo es el nĂşmero 7, que HV HO WpUPLQR GH JUDGR FHUR DQWHV HVWi HO Ă que es el de grado 1; antes que ĂŠste estĂĄ el 3, que es el tĂŠrmino de grado 2, asĂ llegamos al primer tĂŠrmino que es el tĂŠrmino de grado 3. Como la variable es [, x, el cociente es: 4x3

3x 2 5x

3DVR Ahora calculemos el residuo. Vemos que en la zona del residuo hay dos ceros. Esto VLJQLÂżFD TXH HO SROLQRPLR GHO UHVLGXR HV GH SULmer grado (un tĂŠrmino de grado cero y un tĂŠrmino de primer grado). Pero como ambos son FHUR SRGHPRV GHFLU TXH HO UHVLGXR ÂżQDO HV FHUR

Ă Ă Ă Ă Ă +12 +24 +9 +18 Ă Ă +21 +42 +3 Ă 0 Ă

0 +2

Figura 5.12. Paso 11 y 12.

Ă Ă Ă Ă Ă +12 +24 +9 +18 Ă Ă +21 +42 +3

Ă 0 0 +2 Ă Figura 5.13. Paso 13 y 14.

3DVR Ahora solo resta expresar el resultado: 8x5 6x 4 43 x 3

11x 2

9x 42 2

2x 3x 6

4x3

3x 2 5x

231

loque V

Realizas transformaciones algebraicas II

Ejemplo 1: Dividir 11x 2 6x 4 43 x 3

8x5 42 entre 3 x

2x 2 6 por el mĂŠtodo de divisiĂłn sintĂŠtica. SoluciĂłn: 8

8 4

6 43 12 24 9

6 3

10 5

11 18 15 14 7

30 21 0

6 0

Ejemplo 2: Dividir por el mĂŠtodo de divisiĂłn sintĂŠtica la siguiente expresiĂłn: x7 7x5

12 x 4

x3 29 x 2

20 x 5 4 3 x 2x

5x 7 SoluciĂłn: 7 12 29 20 5 1 0 1 5 7 2 0 10 14 4 0 6 21 0 15 5 7

2 0 5 2 0 3 1 6 2

1 1 2 0 0 3 1 1 2

5HVXOWDGR Resultado:

x7 7 x5

12x 4

x3 29x 2

20x 5 6x

12 x3

2x 2 3x

4 4 3 3 x 2x

5x 7 x 2x

5x 7

Ejemplo 3: Dividir por el mĂŠtodo de divisiĂłn sintĂŠtica la siguiente expresiĂłn: 10 x 4 29 x 3

8x 2

85 x 70 2 5x

3x 8

232

Realizas transformaciones algebraicas II

SoluciĂłn: 10

85 70 6

21 56 27

72 3

10 35

2 7

9 Resultados:

10x 4 29x 3

8x 2

85 x

70 2x

2 2x 2 7 x

2 2 5x

3x 8 5x

3x 8

Aplica lo aprendido

Actividad 5 Instrucciones: En parejas lean con atenciĂłn los siguientes problemas y en su cuaderno realicen el procedimiento y operaciones para llegar a la soluciĂłn de ellos. Aporta tus puntos de vista y escucha las opiniones de tu compaĂąero, con respeto.

8 determi1. El ĂĄrea de un rectĂĄngulo es 12 x 2 16 x 16 . Si la longitud es de 4 x ne el ancho. 2. Considera los siguientes rectĂĄngulos y determina a) el perĂmetro y b) el ĂĄrea. x

2y y

b a a b a

2y y

233

loque V

Realizas transformaciones algebraicas II

Â¢&XiQWDV YHFHV HO YROXPHQ GH OD Â¿JXUD GH OD GHUHFKD HVWi FRQWHQLGD HQ OD Â¿JXUD de la izquierda?

x 1

6x 1 12

8x 8

x 2 4x

3DUD YHULÂ¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Actividad 6 Instrucciones: (Q HTXLSRV GH R SDUWLFLSDQWHV UHÃ&#x20AC;H[LRQHQ VREUH HO SURFHGLPLHQto necesario para obtener la soluciÃ³n de los 7 planteamientos presentados, y aporta WXV LGHDV \ HVFXFKD FRQ DWHQFLyQ ODV RSLQLRQHV GH ORV GHPiV D Â¿Q GH REWHQHU UHsultados correctos. Â¢&yPR VH LGHQWLÂ¿FDQ ORV WULQRPLRV x 2 bx c ? 2. Escribe un trinomio de la forma x 2 bx c y factoriza indicando los pasos de la factorizaciÃ³n. Â¢&yPR VH LGHQWLÂ¿FDQ ORV WULQRPLRV ax 2 bx c ? 4. Escribe un trinomio de la forma ax 2 bx c y factoriza indicando los pasos de la factorizaciÃ³n.

3 , el cociente es x 2 5. Cuando un polinomio se divide entre x 3x

Â¿CuÃ¡l es el polinomio? Explica como determinaste la respuesta.

234

2 . x 3

Realizas transformaciones algebraicas II

6. Explica con tus propias palabras como dividir un polinomio entre ( x a ) utilizando la divisiĂłn sintĂŠtica.

3x 4) y (x 5) utilizando la divisiĂłn sintĂŠtica. 7. Divide ( x 2

3DUD YHULÂżFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Actividad 7 Producto de aprendizaje: diseĂąo de un juego de loterĂa de transformaciones algebraicas El propĂłsito de este material es trabajar en forma colaborativa y entretenida reforzando los conocimientos adquiridos de transformaciones algebraicas. Instrucciones: Este juego lo realizarĂĄs de forma colaborativa en equipos de 4 alumnos: 1. Debes tener todos tus ejercicios de las 6 actividades resueltos. 2. Cada uno de los ejercicios lo colocarĂĄs en una tarjeta de 7 x 4 cm. Ejemplo de las cartas: La expresiĂłn x2

3x 4

x x

4 1

factorizada es

3. Cada ejercicio lo colocarĂĄs en un espacio de una plantilla que estĂŠ dividida en seis casillas. pl 4.

M Material: Hojas blancas o pliegos de cartulina, tijeras, regla, plumones de colores o lĂĄpices de color. ra

235 237

loque V

Realizas transformaciones algebraicas II

8QD YH] TXH KD\DQ UHDOL]DGR VX MXHJR VH HVWDEOHFHUi XQ URO GRQGH VH HVSHFLÂżque que equipos jugaran y en este mismo rol se registrarĂĄ equipos ganadores.

Actividad 8 Producto de aprendizaje: integrar tu portafolio de evidencias Esta actividad consiste en Integrar tu portafolio de evidencias con los problemas y ejercicios que resolviste de manera individual o grupal en las seis actividades presentadas a lo largo del bloque. En tu libreta o cuaderno que hayas destinado para este producto de aprendizaje, colocarĂĄs cada uno de los ejercicios que se te indicaron que formarĂan parte del portafolio de evidencias, sĂłlo asegĂşrate antes de colocarlos que los procedimientos \ UHVXOWDGRV VHDQ FRUUHFWRV 7H VXJHULPRV TXH HO UHVXOWDGR ÂżQDO GH FDGD HMHUFLFLR R problema lo puedas resaltar con una tinta de color diferente al color utilizado en el procedimiento. Te invitamos a consultar la lista de cotejo que se encuentra en la secciĂłn de evaluaciĂłn que se encuentra enseguida, para que consideres los criterios de evaluaciĂłn que debes cubrir. Para entregar tu portafolio de evidencias a tu Profesor, es importante que mantengas limpieza y orden, ademĂĄs coloca una carĂĄtula al inicio con tus datos (nombre de la escuela, asignatura, bloque, leyenda: Portafolio de evidencias, nombre del estudiante, semestre, grupo y fecha de entrega) y un Ăndice.

236

Realizas transformaciones algebraicas II

Lista de cotejo para evaluar el producto de aprendizaje: diseño de un juego de lotería de transformaciones algebraicas Criterios

Indicadores

Sí cumple

No cumple

Observaciones

Creatividad en la elaboración de tarjetas y plantillas. Presentación Formulación correcta de las expresiones.

Mantiene secuencia lógica. Procedimientos Manejo de expresiones algebraicas.

Solución

(Q SOHQDULD YHUL¿FDU TXH ORV resultados sean correctos. Trabaja de forma colaborativa.

Actitudes Muestra respeto al compartir y escuchar ideas.

Total de puntos

Si en la lista de cotejo lograste los 7 puntos, considera tu resultado como Excelente, y si lograste 6 puntos es Bien, de 4 a 5 es Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 4 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que atiendas tus áreas de oportunidad. ([FHOHQWH ¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

237

loque V

Realizas transformaciones algebraicas II

Lista de cotejo para evaluar el producto de aprendizaje: portafolio de evidencias Criterios

Indicadores

Sí cumple

No cumple

Observaciones

Utiliza portada (nombre de la escuela, nombre de la asignatura, título: Portafolio de evidencias, nombre del estudiante y fecha de entrega.

Presentación

El portafolio consiste en la entrega de la libreta con todas las actividades realizadas, mostrando orden y limpieza, además debes incluir una portada con tus datos. ,GHQWL¿FD ODV GLIHUHQWHV secciones del portafolio y se desglosan indicando número de ejercicios y de actividad. Presenta orden en los procedimientos. Presenta índice. Evaluación diagnóstica sin error.

Documentos de evidencias

Actividades del 1 al 6 con soluciones correctas Actividad 7. Producto de aprendizaje

Actitud

Realizó sus trabajos de forma colaborativa e individual. Mostró respeto en los trabajos por equipo.

Total de puntos

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

238

Realizas transformaciones algebraicas II

Registro del avance Competencias genĂŠricas y disciplinares del bloque V Instrucciones: Al concluir el bloque registra el nivel de avance que lograste en el desarrollo de las competencias genĂŠricas y disciplinares. Utiliza la siguiente escala: A = Alto (Desarrollada) M = Medio (EstĂĄ en vĂa de desarrollo) B = Bajo (No la he desarrollado) Competencias genĂŠricas

7. Aprende por iniciativa e interĂŠs propio a lo largo de la vida.

Atributos

Nivel de avance

,GHQWLÂżFD ODV DFWLYLGDGHV TXH OH UHVXOWDQ GH PHQRU \ PD\RU LQWHUpV \ GLÂżFXOWDG UHFRQRciendo y controlando sus reacciones frente a retos y obstĂĄculos. Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana. Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, GHÂżQLHQGR XQ FXUVR GH DFFLyQ FRQ SDVRV HVSHFtÂżFRV

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prĂĄcticas sociales.

Dialoga y aprende de personas con distintos puntos de vista y tradiciones culturales mediante la ubicaciĂłn de sus propias circunstancias en un contexto mĂĄs amplio.

Asume que el respeto de las diferencias es el principio de integraciĂłn y convivencia en los contextos local, nacional e internacional.

239

loque V

Realizas transformaciones algebraicas II

Competencias disciplinares

Nivel de avance

Formula y resuelve problemas matemĂĄticos, aplicando diferentes enfoques.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemĂĄticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o mĂĄs variables de un proceso social o natural SDUD LQWHUSUHWD WDEODV JUiÂżFDV PDSDV GLDJUDPDV \ WH[WRV FRQ VtPERORV PDWHPiWLFRV \ FLHQWtÂżFRV

Cuando concluyas la tabla presĂŠntala a tu profesor y valoren los avances registrados.

240

Bloque VI. Resuelves ecuaciones lineales I

Bloque VI Resuelves ecuaciones lineales I

241

loque VI

Resuelves ecuaciones lineales I

IntroducciĂłn En este bloque VI, el objeto de estudio serĂĄn las ecuaciones lineales con una sola incĂłgnita, su proceso de resoluciĂłn y su aplicaciĂłn en problemas o situaciones GH OD YLGD FRWLGLDQD WDO FRPR OR HMHPSOLÂżFDUHPRV D FRQWLQXDFLyQ FRQ UHVSHFWR D OD producciĂłn de cafĂŠ. AdemĂĄs analizaremos la relaciĂłn estrecha entre el concepto de ecuaciĂłn y el de funciĂłn lineal, misma que nos permitirĂĄ hacer la representaciĂłn JUiÂżFD GH HFXDFLRQHV D WUDYpV GH OtQHDV UHFWDV HQ HO SODQR FDUWHVLDQR El cafĂŠ, ademĂĄs de ser una bebida rica y versĂĄtil, es el resultado de un complejo proceso econĂłmico y social relacionado con al menos sesenta paĂses alrededor del mundo. Este grano se cultiva por aproximadamente 20 millones de personas que logran una producciĂłn anual de mĂĄs de cien millones de sacos. El clima adecuado para el cultivo del cafĂŠ debe ser hĂşmedo y caluroso, por lo que es un producto propio de zonas tropicales. En MĂŠxico las zonas de mayor producFLyQ GH FDIp VH HQFXHQWUDQ HQ ODV YHUWLHQWHV GHO JROIR \ GHO SDFLÂżFR DVt FRPR HQ HO Soconusco y en el centro norte de Chiapas. En nuestra vida cotidiana existen situaciones donde se desconoce alguna cantidad, misma que se puede calcular a travĂŠs de otras cantidades conocidas con la cuĂĄles estĂŠ relacionada, ejemplo de ello se da en una plantaciĂłn cafetalera donde Omar, quien se dedica a la producciĂłn de cafĂŠ, necesita conocer: Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021;

La cantidad de kilogramos de cafĂŠ que se obtendrĂĄn anualmente en su terreno GH XQD KHFWiUHD GH VXSHUÂżFLH El nĂşmero de empleados que necesitarĂĄ para recolectar los granos de cafĂŠ. El nĂşmero de sacos para almacenar la cosecha. El medio de transportaciĂłn y el nĂşmero de viajes para llevarlo a los centros de venta. El precio de mercado al que lo podrĂĄ vender.

En este bloque se abordarĂĄn modelos matemĂĄticos y procedimientos que permitirĂĄn conocer cĂłmo obtener la soluciĂłn a los seis puntos que necesita saber Omar para la producciĂłn y venta de cafĂŠ.

242

Resuelves ecuaciones lineales I

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mĂŠtodos establecidos.

Atributos Â&#x2021;

([SUHVD LGHDV \ FRQFHSWRV PHGLDQWH UHSUHVHQWDFLRQHV OLQJÂ tVWLFDV PDWHPiWLFDV R JUiÂżFDV

Â&#x2021;

6LJXH LQVWUXFFLRQHV \ SURFHGLPLHQWRV GH PDQHUD UHĂ&#x20AC;H[LYD FRPSUHQGLHQGR FRPR FDGD XQR GH VXV SDVRV FRQWULEX\H DO DOFDQFH GH XQ objetivo. &RQVWUX\H KLSyWHVLV \ GLVHxD \ DSOLFD PRGHORV SDUD SUREDU VX YDOLGH]

Â&#x2021;

Â&#x2021; 7. Aprende por iniciativa e interĂŠs propio a lo largo de la vida.

Â&#x2021;

Â&#x2021; 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Â&#x2021;

'HÂżQH PHWDV \ GD VHJXLPLHQWR D VXV SURFHsos de construcciĂłn de conocimiento. $UWLFXOD VDEHUHV GH GLYHUVRV FDPSRV \ HVWDblece relaciones entre ellos y su vida cotidiana. 3URSRQH PDQHUDV GH VROXFLRQDU XQ SUREOHPD R GHVDUUROODU XQ SUR\HFWR HQ HTXLSR GHÂżQLHQGR XQ FXUVR GH DFFLyQ FRQ SDVRV HVSHFtÂżFRV $SRUWD SXQWRV GH YLVWD FRQ DSHUWXUD \ FRQVLGHUD ORV GH RWUDV SHUVRQDV GH PDQHUD UHĂ&#x20AC;H[Lva.

Competencias disciplinares Â&#x2021;

Â&#x2021; Â&#x2021;

Construye e interpreta modelos matemĂĄticos mediante la aplicaciĂłn de procedimientos aritmĂŠticos, algebraicos, geomĂŠtricos y variacionales, para la comprensiĂłn y anĂĄlisis de situaciones reales, hipotĂŠticas o formales. Formula y resuelve problemas matemĂĄticos, aplicando diferentes enfoques. $UJXPHQWD OD VROXFLyQ REWHQLGD GH XQ SUREOHPD FRQ PpWRGRV QXPpULFRV JUiÂżFRV DQDOtWLFRV o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemĂĄtico y el uso de las tecnologĂas de la informaciĂłn y la comunicaciĂłn. Analiza las relaciones entre dos o mĂĄs variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. ,QWHUSUHWD WDEODV JUiÂżFDV PDSDV GLDJUDPDV \ WH[WRV FRQ VtPERORV PDWHPiWLFRV \ FLHQWtÂżcos.

243

loque VI

Resuelves ecuaciones lineales I

ÂżCon quĂŠ propĂłsito? ,GHQWLÂżFDV FDQWLGDGHV R PDJQLWXGHV GH WX FRQWH[WR \ ODV UHSUHVHQWDV D WUDYpV GH XQD HFXDFLyQ OLQHDO GDQGR VLJQLÂżFDGR DO FRQFHSWR GH LQFyJQLWD \ HO DSUHQGL]DMH GH mĂŠtodos para encontrar o descubrir su valor.

ÂżQuĂŠ aprenderĂĄs y cĂłmo? Contenidos curriculares

DescripciĂłn

MetodologĂa Â&#x2021;

Â&#x2021; Â&#x2021; Conceptuales

Â&#x2021; Â&#x2021;

EcuaciĂłn de grado uno. Tipo de formas de la ecuaciĂłn de grado uno. MĂŠtodos de soluciĂłn de la ecuaciĂłn de grado uno. 6X UHSUHVHQWDFLyQ JUiÂżFD

Â&#x2021;

Â&#x2021; Â&#x2021; Procedimentales

Â&#x2021; Â&#x2021;

Â&#x2021; Actitudinales

Â&#x2021; Â&#x2021;

244

,GHQWLÂżFDV XQD HFXDFLyQ \ XQD IXQFLyQ lineal y las relacionas entre sĂ. Â&#x2021; Usas diferentes tĂŠcnicas para resolver diferentes ecuaciones lineales con una Â&#x2021; incĂłgnita. *UDÂżFDV IXQFLRQHV OLQHDOHV GH OD IRUPD \ P[ E. Redactas y resuelves problemas relativos Â&#x2021; a situaciones que requieren el uso de ecuaciones o funciones lineales.

Â&#x2021; Valoras la importancia del trabajo con orden y limpieza. Compartes tus ideas y aceptas las de sus compaĂąeros, Â&#x2021; ,GHQWLÂżFDV HO DOFDQFH GHO WUDEDMR FRODERrativo.

Reconoces cantidades que se vinculan expresando su relaciĂłn en una expresiĂłn algebraica. Analizas y comprenGHV VX FODVLÂżFDFLyQ para aplicar los mĂŠtodos de soluciĂłn de ecuaciones grado uno. Resuelves problemas contextualizados.

Realizas ejercicios de ecuaciones lineales. Resuelves problemas contextualizados y analiza los resultados obtenidos. Observas e interpreta JUiÂżFDV

ExposiciĂłn de actividades y trabajos de manera ordenada y con limpieza. Expresas tus ideas y aceptas con respeto las de sus compaĂąeros.

Resuelves ecuaciones lineales I

ÂżQuĂŠ tiempo vas emplear? Considera ocho horas para el desarrollo de este bloque, lo mĂĄs recomendable es que utilices dos horas para revisar los contenidos temĂĄticos y seis horas para las actividades propuestas y la elaboraciĂłn de un trĂptico.

EvaluaciĂłn del aprendizaje: productos Durante este bloque obtendrĂĄs los siguientes productos de aprendizaje que ponGUiQ GH PDQLÂżHVWR HO GHVDUUROOR GH WXV FRPSHWHQFLDV Â&#x2021; Â&#x2021;

Problemario TrĂptico comercial

Problemario matemĂĄtico. Lo elaborarĂĄs trabajando tanto en tu libro como en tu libreta con la resoluciĂłn de problemas y ejercicios de manera individual y grupal. Al termino del bloque, integrarĂĄs tu problemario con las tres actividades que hayas reali]DGR FRQVXOWD OD OLVWD GH FRWHMR TXH HVWi XELFDGD DO ÂżQDO GHO EORTXH SDUD WHQHU LGHD clara de los criterios de evaluaciĂłn que debes cubrir para entregarlo a tu profesor. 7UtSWLFR FRPHUFLDO eVWH VHUi HO SURGXFWR ÂżQDO TXH GHEHUiV UHDOL]DU HQ HTXLSRV GH trabajo. El trĂptico deberĂĄ contener el resultado de una investigaciĂłn respecto de la producciĂłn y consumo de cafĂŠ en nuestro paĂs con la intenciĂłn de promoverlo de PDQHUD DWUDFWLYD SDUD HO OHFWRU HQ pO GHEHUiQ LQFOXLU SRU OR PHQRV WUHV JUiÂżFRV GH funciones lineales que representen de manera aproximada algunas partes del proceso de cultivo, producciĂłn y venta de este grano.

245

loque VI

Resuelves ecuaciones lineales I

3DUD LQLFLDU UHĂ H[LRQD ÂżSĂŠ resolver ecuaciones desde Primaria? ÂĄPor supuesto que sĂ! Para que te convenzas, observa y resuelve lo siguiente: 1. Encuentra el elemento perdido en:

____ + 25 = 100

3 4

1 2

Ă&#x201A; BBBB

2. Adivina el nĂşmero que al multiplicarlo por diez y restarle cuatro docenas te da como resultado 52. 3. Analiza las siguientes tres balanzas:

1ra.

ÂżCuĂĄl de las siguientes opciones representa las frutas con las que se puede equilibrar la 3ra. balanza?

a) 2da. b)

c) 3ra. d)

Fuente: Prueba ENLACE 2007.

Â˘6XÂżFLHQWH FRQ HVWRV HMHPSORV" 'H PDQHUD LPSOtFLWD H LQIRUPDO DSUHQGLVWH HQ OD Primaria el concepto de ecuaciĂłn. AquĂ, te invitamos a formalizarlo.

246

Resuelves ecuaciones lineales I

Una igualdad es la relaciĂłn entre dos objetos o situaciones que comparten las misPDV FDUDFWHUtVWLFDV (Q PDWHPiWLFDV XQD LJXDOGDG VH UHÂżHUH D OD FRPSDUDFLyQ GH dos cantidades con la misma magnitud. Para que una igualdad sea una ecuaciĂłn, en al menos una de las dos expresiones de una cantidad debe existir una incĂłgnita, una parte o total de la cantidad desconoFLGD 5HVROYHU XQD HFXDFLyQ VLJQLÂżFD GHWHUPLQDU HO YDORU DGHFXDGR GH OD LQFyJQLWD para que se cumpla o satisfaga dicha ecuaciĂłn. Aunque es muy importante saber aplicar el procedimiento para resolver una ecuaciĂłn, mĂĄs importante resulta primero plantear las ecuaciones correspondientes a un problema, es decir, saber modelar un problema a travĂŠs de una ecuaciĂłn es una habilidad matemĂĄtica muy relevante, sobre todo cuando se trata de aplicar el conoFLPLHQWR PDWHPiWLFR HQ DOJXQD VLWXDFLyQ HVSHFtÂżFD GH OD YLGD UHDO

ÂżCon quĂŠ conocimientos cuentas? Para comprender los conceptos y procedimientos relacionados con las ecuaciones y funciones lineales es importante el dominio de tus habilidades para realizar operaciones algebraicas bĂĄsicas tales como la suma, resta, multiplicaciĂłn y divisiĂłn de polinomios. Considera los siguientes ejercicios y problemas como una oportunidad para recupeUDU \ UHDÂżUPDU WXV FRQRFLPLHQWRV EvaluaciĂłn diagnĂłstica Instrucciones: /HH GHWHQLGDPHQWH ORV VHLV SODQWHDPLHQWRV \ UHĂ&#x20AC;H[LRQD VREUH HO procedimiento que te permita obtener las soluciones. Realiza tu trabajo con orden y limpieza. 1. Los tres siguientes tĂŠrminos de la secuencia 12, 20, 17, 25, 22, son:

2. En el siguiente cuadrado mĂĄgico la suma de las lĂneas horizontales, verticales y diagonales, es igual a 12a Ă b (QFXHQWUD ORV ELQRPLRV IDOWDQWHV \ YHULÂżFD TXH efectivamente cada lĂnea suma 12a Ă b.

247

loque VI

Resuelves ecuaciones lineales I

2a Ă b

12a Ă b

18a Ă b

4a Ă b

Ă a + 3b

6a Ă b

'DGRV $ Ă ab + 5b2 Ă % ab Ă a2 \ & Ă a + 5b2, realiza las siguientes operaciones: D $ Ă % E $ & Ă % & F % Ă $ & 4. Llena los espacios vacĂos de la siguiente tabla: DescripciĂłn

Lenguaje algebraico

El doble de la suma de los cuadrados de dos nĂşmeros.

x - y

3 La edad de Enrique es cuatro veces la de su primo aumentada cinco aĂąos.

El peso de Julio es cinco kilogramos mĂĄs que cuatro veces el peso de su hijo.

y2 4

248

Resuelves ecuaciones lineales I

'RQ -XOLR WLHQH XQ WHUUHQR GHVWLQDGR SDUD UHDOL]DU ÂżHVWDV FRPR HO TXH VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD SDUD HOOR HV QHFHVDULR EDUGDU HO WHUUHQR \ VHPEUDU SDVWR Â˘&XiO es la expresiĂłn algebraica que representa el nĂşmero de metros lineales de barda que se necesitan para el terreno? y ÂżCuĂĄl expresiĂłn los metros cuadrados de pasto que se requieren para cubrirlo? 3a

2x 1 Figura 6.1.

6. Traza un plano cartesiano con todos sus elementos y ubica los siguientes persoQDMHV SiMDUR Ă Ă iUERO SDSDORWH Ă \ PDULSRVD Ă

3DUD YHULÂżFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV

Si de la actividad anterior respondiste correctamente de 5 a 6 preguntas considera tu resultado como Bien, de 3 a 4 como Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 4 considera tu desempeĂąo como 1R VXÂżFLHQWH, lo que exige que refuerces tus conocimientos previos.

ÂżCĂłmo evalĂşas el nivel de tus conocimientos previos en funciĂłn de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXĂ&#x20AC;FLHQWH

Ahora que ya te has dado cuenta de tus fortalezas y oportunidades. Refuerza tus conocimientos consultando los siguientes conceptos: Operaciones algebraicas bĂĄsicas, traducciĂłn algebraica y los componentes bĂĄsicos del plano cartesiano.

249

loque VI

Resuelves ecuaciones lineales I

Aprende mĂĄs Ecuaciones lineales /D LPSRUWDQFLD GH ODV HFXDFLRQHV VH YH UHĂ&#x20AC;HMDGD D OR ODUJR GH OD KLVWRULD GHO KRPbre, el cual ha diseĂąado modelos que le permiten plasmar la realidad para facilitar el proceso de soluciĂłn de problemas con los que se enfrenta cotidianamente. Uno de los modelos matemĂĄticos mĂĄs antiguos son las ecuaciones, cuya palabra proviene del latĂn aequatio TXH VLJQLÂżFD LJXDOGDG LQYROXFUDQGR DO PHQRV XQD FDQWLGDG desconocida (incĂłgnita). Los primeros escritos sobre estas expresiones se dan en Grecia, con Ahmes en el aĂąo 1650 a. n. e. Los babilonios resolvĂan problemas que involucraban ecuaciones, existen escritos con diversos problemas, ejemplo de uno GH HOORV HV Âł8Q PRQWyQ \ XQ VpSWLPR HV LJXDO D YHLQWLFXDWURÂ´ HV XQ SUREOHPD HQFRQtrado en el papiro de Rhind, la mejor fuente de informaciĂłn sobre el desarrollo de la matemĂĄtica egipcia que se tiene hasta el momento, es un papiro de unos 6 m de largo y 33 cm de ancho que contiene 87 problemas junto con su resoluciĂłn acerca de cuestiones aritmĂŠticas bĂĄsicas, ecuaciones y trigonometrĂa bĂĄsica, se dice que fue escrito aproximadamente en el aĂąo 1650 a.n.e.

Figura 6.2. Papiro MatemĂĄtico de Rhind.

Hagamos uso del lenguaje algebraico como un lenguaje mĂĄs corto y practico, que nos permita representar una situaciĂłn, manipularla y darle soluciĂłn. Retomemos el SUREOHPD Âł8Q PRQWyQ \ XQ VpSWLPR HV LJXDO D YHLQWLFXDWURÂ´ \ KDJDPRV VX WUDGXFciĂłn: Un montĂłn, cantidad desconocida que representaremos por: x y un sĂŠptimo, de ese mismo montĂłn, o sea: 1 1 x es igual a veinticuatro, es decir x x 24 7 7

250

Resuelves ecuaciones lineales I

Hemos formado una ecuaciĂłn, una expresiĂłn algebraica que representa la relaciĂłn de igualdad entre cantidades o magnitudes, en donde algĂşn valor es desconocido, HQ HVWH FDVR ÂłHO PRQWyQÂ´ Modelemos a travĂŠs de una ecuaciĂłn el siguiente problema: El Sr. Juan es productor de cafĂŠ y tiene que recoger alrededor de 4 mil cerezas para producir un kilogramo de cafĂŠ, si logrĂł recolectar en promedio unas 21 mil cerezas en esta temporada ÂżCuĂĄntos kilogramos de cafĂŠ producirĂĄ? En esta ocasiĂłn, la cantidad desconocida es el nĂşmero de kilogramos de cafĂŠ a producir, representemos dicha cantidad por: k se sabe que se necesitan 4000 cerezas para producir un kilogramo, o sea: 4000k y se recolectaron 21000 cerezas: 4000k = 21000 El grado de una ecuaciĂłn se determina con el exponente mĂĄs grande de la incĂłgnita o incĂłgnitas de una igualdad; de acuerdo a su grado y nĂşmero de incĂłgnitas, las HFXDFLRQHV UHFLEHQ XQ QRPEUH HVSHFtÂżFR Tabla 1.

DenominaciĂłn de una ecuaciĂłn segĂşn el grado y nĂşmero de incognitas EcuaciĂłn

DescripciĂłn

Nombre

3 x

8 9

EcuaciĂłn de grado uno con una incĂłgnita.

EcuaciĂłn lineal

3x 9

EcuaciĂłn de grado dos con una incĂłgnita.

EcuaciĂłn cuadrĂĄtica

x 7y 9

EcuaciĂłn de grado uno con dos incĂłgnitas

EcuaciĂłn lineal con 2 incĂłgnitas

x3 8 0

EcuaciĂłn de grado tres con una incĂłgnita.

EcuaciĂłn cĂşbica

x 5y

z 4

EcuaciĂłn de grado uno con 3 incĂłgnitas.

EcuaciĂłn lineal con 3 incĂłgnitas

EcuaciĂłn: igualdad de expresiones algebraicas que contienen por lo menos una incĂłgnita. IncĂłgnita: cantidad desconocida que es preciso determinar en una ecuaciĂłn o problema, se representa a travĂŠs de letras.

251

loque VI

Resuelves ecuaciones lineales I

Aplica lo aprendido

Actividad 1 Instrucciones: Lee con atenciรณn los tres planteamientos y responde a lo se te solicita en cada caso. Al concluir, comparte con tus compaรฑeros las soluciones obtenidas y escucha las opiniones de ellos. 1. Las siguientes ecuaciones representan una relaciรณn entre cantidades, observa y completa lo siguiente: Situaciรณn El volumen de un prisma rectangular

252

Ecuaciรณn

x 3 2x 9

El costo de un producto

y 3000 20 x

La cantidad total de alimento de tres tipos distintos

x 9 y 9z 80

El รกrea de un terreno cuadrangular

x 2 36

El costo de la electricidad por x kilowatts consumidos

C .7 x 10.5

Grado

Nombre

Resuelves ecuaciones lineales I

2. Relaciona la ecuaciĂłn lineal de una sola incĂłgnita que sirva como modelo matemĂĄtico para representar los siguientes problemas, escribe la letra del problema dentro del parĂŠntesis, segĂşn corresponda: a) Jorge produjo 8 toneladas de cafĂŠ mĂĄs que Carlos y entre ambos produjeron en total 30 toneladas. ÂżCuĂĄl es la cantidad de toneladas que produjo Carlos?

(

) 3c 9 105

b) Luis, Jorge y Carlos son tres hermanos, Luis es mayor que Jorge un aĂąo, mientras que Jorge es mayor que Carlos cuatro aĂąos ÂżCuĂĄl es la edad de Carlos, si se sabe que sus tres edades suman 105?

(

) 7c 5320

c) Carlos vendiĂł cafĂŠ durante tres dĂas, cada dĂa ganĂł la mitad de lo que gano el dĂa anterior. ÂżCuĂĄnto ganĂł el primer dĂa si su ganancia total fue $1330?

(

) 2c 8 30

,GHQWLÂżFD OD HFXDFLyQ GH JUDGR XQR FRQ XQD LQFyJQLWD TXH UHSUHVHQWD HO WULSOH GH la edad de Juan menos la edad de su hermano de 18 aĂąos es igual a 9. a) x 3 18 9

b) 3 x 18 9

c) 9 18 3x

Aprende mĂĄs

SoluciĂłn de ecuaciones lineales o de grado uno con una incĂłgnita En esta secciĂłn se estudiarĂĄn las ecuaciones lineales con una incĂłgnita, en las cuales el exponente de la incĂłgnita es uno, por ello se llaman tambiĂŠn ecuaciones de

253

loque VI

Resuelves ecuaciones lineales I

grado uno. La forma general en que siempre se puede escribir una ecuaciĂłn lineal con una incĂłgnita es: ax b 0 , donde a es diferente de 0

Para llegar a la forma general se utilizan las operaciones algebraicas bĂĄsicas y las propiedades aditivas y multiplicativas de los nĂşmeros reales. 3URSLHGDG DGLWLYD Dados a, b E y y cF tres nĂşmeros reales, tal que a = b, E, entonces: a + cF = b E + c. F. Es decir, en una igualdad al sumar una determinada cantidad en ambos miembros, la igualdad se mantendrĂĄ. 3URSLHGDG PXOWLSOLFDWLYD Dados a, b E y cF tres nĂşmeros reales, tal que a = b, E, entonces: (a)(c) (a)(F) = (b)(c). (E)(F). Es decir, en una igualdad al multiplicar una determinada cantidad en ambos miembros, la igualdad se mantendrĂĄ. Dada una ecuaciĂłn es importante encontrar el valor de la incĂłgnita a travĂŠs de un proceso de soluciĂłn. El procedimiento sustenta su metodologĂa en las propiedades de los nĂşmeros reales tales como el inverso aditivo (la resta) y multiplicativo (la divisiĂłn) de los nĂşmeros. Las diferentes formas en las que se encuentran este tipo de ecuaciones son: Â&#x2021; Â&#x2021; /D LQFyJQLWD VROR VH HQFXHQWUD HQ XQ VROR ODGR GH OD LJXDOGDG La incĂłgnita solo se encuentra en un solo lado de la igualdad: 3 x

9 12 Â&#x2021; Â&#x2021; /D LQFyJQLWD VH HQFXHQWUD HQ DPERV ODGRV GH OD LJXDOGDG La incĂłgnita se encuentra en ambos lados de la igualdad: 3 x 9 9x

9 Â&#x2021; Â&#x2021; /D LQFyJQLWD VH HQFXHQWUD HQ XQD IUDFFLyQ La incĂłgnita se encuentra en una fracciĂłn: 2

3x 9 4x 6

Tomando en cuenta el tipo de ecuaciĂłn y las operaciones opuestas se tienen los siguientes mĂŠtodos de soluciĂłn. La incĂłgnita solo se encuentra en un solo lado de la igualdad 3DUD HMHPSOLÂżFDU HVWH PpWRGR UHVROYDPRV OD HFXDFLyQ 5 x 30 45 . El proceso de despeje es el siguiente: 1. Aplicar propiedad aditiva, sumando 30 en ambos miembros de la igualdad. Se realizan las respectivas sumas.

254

5x 30

30 45

30 5x 45

30 5x 15

Resuelves ecuaciones lineales I

2. Aplicar propiedad multiplicativa, multiplicando por un quinto (equivalente a dividir entre 5) ambos miembros de la igualdad. Se realizan las respectivas divisiones.

5 15 x 5 5 15 x 3 5 x 3

3. Se tiene la soluciĂłn 4. Se comprueba, para ello se sustituye el valor encontrado en la ecuaciĂłn inicial y si satisface la igualdad entonces el valor encontrado es el correcto

5( 3) 30 45 15 30 45 45 45

La incĂłgnita solo se encuentra en un lado o miembro de la igualdad Como ejemplo resolvamos la ecuaciĂłn 4 x 9 2x

18 . El proceso de soluciĂłn es el siguiente: 1. Colocar del lado izquierdo de la igualdad, a la incĂłgnita y del lado derecho los valores numĂŠricos, con operaciones opuestas. 2. Reducir tĂŠrminos semejantes. 3. Trasponer los tĂŠrminos con operaciĂłn opuesta. Se tiene la soluciĂłn. 4. Se comprueba, para ello se sustituye el valor encontrado en la ecuaciĂłn inicial y si satisface la igualdad entonces el valor encontrado es el correcto.

4x 9 2x

18 4x 2 x 18

2 x 27 x

27 13.5 2

4(13.5) 9 2(13.5)

18 54 9 27

18 45 45

Trasponer: mover de lugar un elemento de la igualdad, hacia el lado contrario.

La incĂłgnita se encuentra en una fracciĂłn Resolvamos la ecuaciĂłn:

2 3x 6 . El proceso de despeje es el siguiente: 3 x

255

loque VI

Resuelves ecuaciones lineales I

1. Subir los tĂŠrminos de los denominadores a travĂŠs de las operaciones opuesta. 2. Se realizan operaciones y se reducen, colocando todas las incĂłgnitas del lado izquierdo de la igualdad y a la derecha los valores numĂŠricos, (con operaciones opuestas +,-). 3. Se reducen tĂŠrminos semejantes 4. Se quitan los tĂŠrminos que faltan para [, con operaciĂłn opuesta. despejar a x, Se tiene la soluciĂłn. Para comprobar, se sustituye el valor de x en la ecuaciĂłn inicial.

6 2 3x x

3 3

3) 3(3 x 6) 2( 2 x

6 9x 18

2 x 9x 18 6 11x 24

24 2.18 11 x 2.18

6 2 3(2.18) 2.18

3 3 0.66 0.66

Aplica lo aprendido

Actividad 2 Instrucciones: Realiza en tu libreta las operaciones necesarias para resolver lo solicitado en los ejercicios 1 y 2. Finalmente en una plenaria, presenta las respuestas al grupo y escucha sus opiniones. 1. Coloca en el parĂŠntesis la letra de la ecuaciĂłn correspondiente para hacerle corresponder con su soluciĂłn: a) 4

256

5 x

8 6 2x

(

5 ) x

Resuelves ecuaciones lineales I

(

) x 3

3 7 x

9 b) 2 3x

(

) x

c) 10 x 4 12 x

(

) x 8

d) 2 x 8 5

(

) x 6

1 3x 2 5x 8

(

) x

32 13

(

) x

18 23

13 2

2. A travĂŠs de una ecuaciĂłn lineal con una incĂłgnita plantea los siguientes problemas, resuelve las ecuaciones y comprueba tu soluciĂłn. a) Jorge produjo 8 toneladas de cafĂŠ mĂĄs que Carlos y entre ambos produjeron en total 30 toneladas. ÂżCuĂĄl es la cantidad de toneladas que produjo Carlos? b) Luis, Jorge y Carlos son tres hermanos, Luis es mayor que Jorge un aĂąo, mientras que Jorge es mayor que Carlos cuatro aĂąos ÂżCuĂĄles son las edades de Luis, Jorge y Carlos, si se sabe que sus tres edades suman 105? c) Carlos vendiĂł cafĂŠ durante tres dĂas, cada dĂa ganĂł la mitad de lo que gano el dĂa anterior. ÂżCuĂĄnto ganĂł el primer dĂa si su ganancia total fue $1330? d) Si un recolector de cafĂŠ ganĂł esta quincena $120 mĂĄs de lo que ganĂł su amigo y la suma de ambos sueldos es $4380 ÂżCuĂĄnto ganĂł cada uno? e) De un bulto de cafĂŠ, la seĂąora Lupita ha vendido la cuarta parte a Lolita y 15 kg. a la seĂąora SofĂa, despuĂŠs de estas dos ventas le quedan en el bulto 45 kg ÂżCuĂĄntos kg. de cafĂŠ tenĂa el bulto al inicio?

257

loque VI

Resuelves ecuaciones lineales I

Aprende mĂĄs

5HSUHVHQWDFLyQ JUiÂżFD GH XQD HFXDFLyQ OLQHDO /D FODYH SDUD SRGHU UHSUHVHQWDU JUiÂżFDPHQWH XQD HFXDFLyQ OLQHDO HV FRQVLGHUDU OD relaciĂłn existente entre dos variables, de tal forma que una de ellas depende de la otra. La interpretaciĂłn de una ecuaciĂłn como una funciĂłn nos permitirĂĄ comprender este tipo de relaciones. ÂżEs lo mismo ecuaciĂłn que funciĂłn? Una primera diferencia, muy importante, es la ĂŠpoca de origen de ambas nociones; mientras que el concepto de ecuaciĂłn se utiliza desde al menos 300 aĂąos aC y estudiado por los griegos en ese tiempo, la nociĂłn matemĂĄtica de funciĂłn empezĂł a desarrollarse en el siglo XIV tomando como base ODV LGHDV GH PHGLFLyQ \ UHSUHVHQWDFLyQ JUiÂżFD GH ODV YDULDFLRQHV GH FLHUWDV PDJQLtudes como la temperatura en los cuerpos y la velocidad de un mĂłvil. Estudiar de manera global el comportamiento de un fenĂłmeno considerando todas VXV SRVLEOHV YDULDFLRQHV HV OD ÂżQDOLGDG SULQFLSDO GHO XVR GH IXQFLRQHV HQ FDPELR las ecuaciones se aplican de forma local para describir o calcular la dimensiĂłn de una magnitud en un instante determinado. La variabilidad es el concepto que logrĂł romper el enfoque estĂĄtico de la matemĂĄtica, para mostrarte esto de manera sencilla analicemos la siguiente noticia publicada HO GH DEULO GH HQ ORV SHULyGLFRV GHO ' ) Âł(VWH PLpUFROHV DXPHQWDQ ODV WDULIDV del transporte pĂşblico en el D.F., la tarifa de micros, autobuses y metrobĂşs aumentarĂĄn un peso, mientras que el banderazo de taxi libre serĂĄ de $8.74 y $1.07 mĂĄs por FDGD PHWURV R VHJXQGRVÂ´ &HQWUpPRQRV HQ HO NLORPHWUDMH VXSRQLHQGR TXH HO WUiÂżFR HV Ă&#x20AC;XLGR DOJR SUiFWLFDmente imposible en el D.F. durante las horas pico) ÂżCuĂĄnto cobrarĂĄ un taxista por cada kilĂłmetro de viaje? En efecto, $4.28 (1.07 x 4 = 4.28). Si tenemos $100, ÂżquĂŠ distancia podrĂa recorrer en este tipo de taxis? Para responder esta pregunta, consideremos x para representar la incĂłgnita, la distancia recorrida. AsĂ la ecuaciĂłn que modela el problema es: 4.28 x 8.74 100 . Luego: x

258

100 8.74 21.32 4.28

Resuelves ecuaciones lineales I

Es decir, con $100 se podrĂan recorrer 21.32 kilĂłmetros. Lo que hicimos fue plantear y resolver una ecuaciĂłn lineal con una incĂłgnita, pensando sĂłlo en la posibilidad de tener $100. Ahora, pensemos en la variabilidad de la cantidad de dinero que necesitan las personas usuarias de este tipo de taxis para recorrer: 5, 10, 15 y 20 km En la ecuaciĂłn: 4.28 x 8.74 100 habrĂa que sustituir x por cada uno de los kilometrajes para obtener el monto a pagar por cada cliente, ya no serĂĄ 100, el costo de cada viaje serĂĄ distinto, serĂĄ una variable que representaremos por y, de tal manera que: 4.28 x 8.74 y A continuaciĂłn se muestran los valores de y correspondientes a 5, 10, 15 y 20 km. .LORPHWUDMH Äş x &RVWR Äş y x=5

x = 10

4.28 x 8.74 y

x = 15

x = 20

y 4.28 x 8.74

y 4.28(5) 8.74

y 4.28(10) 8.74

y 4.28(15) 8.74

y 4.28(20) 8.74

y 30.14

y 51.54

y 72.84

y 94.34

Observa que lo hecho anteriormente consistiĂł en sustituir los valores de x y calcular los de y a travĂŠs de la funciĂłn dada. A este proceso se le conoce como tabulaciĂłn y FRQ pO SRGUHPRV REWHQHU HO JUiÂżFR HQ HO SODQR FDUWHVLDQR XELFDQGR ODV SDUHMDV GH valores de distancia y costo:

Tabla 2.

Kilometraje x Costo y (km) ($) 5

30.14

51.54

72.84

94.34

Figura 6.3.

259

loque VI

Resuelves ecuaciones lineales I

Las funciones lineales tienen la forma I([) f(x) = D[ ax + E. b. Donde a

y 2 - y1 es la razรณn de cambio y b o ยบ (0, b ) la intersecciรณn con el eje \. y. x2 - x1

3DUD JUDยฟFDU FXDOTXLHU IXQFLyQ OLQHDO HO SURFHVR D VHJXLU HV 3ULPHU SDVR Despejar \y (variable dependiente) en tรฉrminos de [x (variable independiente) 6HJXQGR SDVR Realizar una tabla para la funciรณn lineal, dando algunos valores a [x y realizar operaciones para encontrar el valor de \. y. 7HUFHU SDVR Ubicar los puntos (x, y) de la tabla en el plano cartesiano y unirlos. /D JUiยฟFD GH XQD IXQFLyQ OLQHDO SXHGH XWLOL]DUVH SDUD UHVROYHU HFXDFLRQHV OLQHDOHV que le correspondan a ella. Ejemplo: Si consideramos que un productor de cafรฉ siembra las cerezas de este grano y sabe que en promedio se producen 11500 kg por hectรกrea, con esta informaciรณn contesta la siguiente pregunta, ยฟcuรกntos hectรกreas debe plantar de cereza de cafรฉ para cubrir un pedido de 60 mil kilogramos, si se ha asociado con su compadre que ya tiene en existencia 2500 kg? Soluciรณn: 6L [ UHSUHVHQWD HO Q~PHUR GH KHFWiUHDV QHFHVDULDV D FXOWLYDU GH FHUH]D SDUD VXUWLU HO SHGLGR OD H[SUHVLyQ TXH UHSUHVHQWD HO SUREOHPD HV

3DUD UHVROYHU HVWD HFXDFLyQ D WUDYpV Para resolver esta ecuaciรณn a travรฉs GHO JUiยฟFR GH OD IXQFLyQ KDFHPRV OR siguiente: VLJXLHQWH ([SUHVDPRV \ Q~PHUR GH NJ UHFROHFWDGRV GH FHUH]D HQ WpUPLQRV GH [

.LORV GH FDIp Kilos de cafรฉ

11500x

2500 60000

y 11500x 57500

11500x

2500 60000 0 11500x 57500 y Hectรกreas +HFWiUHDV

Figura 6.4

260

Resuelves ecuaciones lineales I

Tabulamos la funciĂłn: [ KHFWiUHDV

y NJ

[ \

1 3 5

-23000 -11500 0 11500

5HVROYLHQGR OD HFXDFLyQ SRU PpWRGR algebraico obtenemos la misma soluciĂłn: 11500x 2500 60000 11500x 57500 x

57500 x 5 11500

(Q OD WDEOD \ OD JUiÂżFD REVHUYD TXH OD VROXFLyQ HV [ KHFWiUHDV HV GHFLU HQ KHFWiUHDV VH SURGXFLUiQ NJ GH FDIp PiV ORV NJ GHO FRPSDGUH GDQ XQ WRWDO GH NJ MXVWDPHQWH ORV VROLFLWDGRV HQ HO SHGLGR FRUUHVSRQGLHQWH

Aplica lo aprendido

Actividad 3 Hemos estudiado la relaciĂłn entre una ecuaciĂłn y una funciĂłn lineal, en los siguientes ejercicios y problemas te proponemos consolidar el dominio de dicha relaciĂłn. Instrucciones: Lee con detenimiento los enunciados del 1 al 4 realizando en tu libreta las operaciones necesarias para resolver lo que se solicita en cada caso. 1. Sergio, es un recolector de cafĂŠ, ha sido contratado por jornadas de 10 horas de trabajo diarias, por este tiempo la paga que le ofrecen es de $80. Si trabaja horas extras se las pagaran a razĂłn de $20 cada una. Con la informaciĂłn anterior, llena la tabla siguiente: +RUDV H[WUDV trabajadas al dĂa: x Pago por dĂa: y y = 80 + 20x

261

loque VI

Resuelves ecuaciones lineales I

*UDÂżFD HQ HO VLJXLHQWH SODQR FDUWHVLDQR ODV FRRUGHQDGDV GHWHUPLQDGDV HQ OD WDEOD anterior de horas extras trabajadas al dĂa contra la paga diaria.

Figura 6.5.

2EVHUYD OD WDEOD \ OD JUiÂżFD DQWHULRU SDUD FRQWHVWDU ODV VLJXLHQWHV SUHJXQWDV a) Si Sergio desea ganar en un dĂa $200, ÂżcuĂĄntas horas deberĂĄ trabajar ese dĂa? b) ÂżCuĂĄntas horas extra mĂĄximas podrĂa trabajar Sergio en un dĂa? Recuerda que una persona necesita mĂnimo de 6 horas para descansar. c) La paga de Sergio de un dĂa fue de $160, ÂżcuĂĄntas horas extras trabajĂł dicho dĂa? /RV VLJXLHQWHV GRV SUREOHPDV UHVXpOYHORV D WUDYpV GHO JUiÂżFR FRUUHVSRQGLHQWH \ tambiĂŠn utilizando el procedimiento algebraico: a) Si el productor de cafĂŠ tiene que sembrar un total de 5 hectĂĄreas y tiene sembrado 2500 ĂĄrboles, ÂżcuĂĄntos ĂĄrboles le restan por sembrar, si por cada hectĂĄrea se siembran 2000 ĂĄrboles? b) Si ahora tiene sembrado 3800 ĂĄrboles y por cada hectĂĄrea en promedio se siembran 1950 ĂĄrboles, la ecuaciĂłn resultante es 1950 x 3800 9750 , ÂżcuĂĄntas hectĂĄreas faltan por sembrar? y ÂżcuĂĄntos ĂĄrboles se plantarĂan?

262

Resuelves ecuaciones lineales I

2EVHUYD HO VLJXLHQWH JUi¿FR TXH UHSUHVHQWD OD GHSUHFLDFLyQ PHQVXDO GHO YDORU comercial de una computadora usada las 24 horas del día en una empresa para contestar las siguientes preguntas:

Figura 6.6.

a) ¿Cuál es el valor comercial de la computadora cuando esta nueva? b) ¿Cuánto se deprecia mensualmente la computadora? c) Determina la función que relaciona el valor comercial como una variable dependiente del tiempo medido en meses. d) ¿Cuál es el valor comercial cuando han transcurrido seis meses? e) Si el valor comercial de la computadora es sólo de $2000, ¿cuántos meses ha estado en uso?

263

loque VI

Resuelves ecuaciones lineales I

5HÀH[LRQHPRV VREUH OD DFWLYLGDG

¿De qué te das cuenta? (O ³JDVROLQD]R´ HQ 0p[LFR VLJQL¿FD TXH FDGD PHV HO SUHFLR GH ODV JDVROLQDV aumentan de manera proporcional ¿Te has preguntado porque se lleva a cabo este incremento? y ¿tiene relación este fenómeno con el manejo de HFXDFLRQHV \ JUi¿FR GH IXQFLRQHV OLQHDOHV" 3DUD GDU UHVSXHVWD D ODV SUHJXQWDV REVHUYD OD ¿JXUD \ DQRWD HQ ODV OtQHDV VLJXLHQWHV WXV FRQFOXVLRQHV sobre ello.

Figura 6.7. Precios de la gasolina por mes.

/RV SURFHGLPLHQWRV \ RSHUDFLRQHV SDUD OOHJDU D OD VROXFLyQ GH HVWRV HMHUFLFLRV IRUPDUiQ SDUWH GH WX SUREOHPDULR

264

Resuelves ecuaciones lineales I

Actividad 4 Producto de aprendizaje: trĂptico comercial 6RQ IROOHWRV TXH WLHQHQ OD ÂżQDOLGDG GH LQIRUPDU UHVSHFWR GH XQ WHPD HQ SDUWLFXODU normalmente son de tamaĂąo carta y se doblan en tres partes iguales. Instrucciones: Â&#x2021; &RQ D\XGD GH VX SURIHVRU D LQWHJUHQ HTXLSRV GH WUHV LQWHJUDQWHV FRQ OD ÂżQDOLdad de trabajar colaborativamente en la elaboraciĂłn de un trĂptico comercial. Â&#x2021;

El tema a abordar es el del cafĂŠ, pueden seleccionar cualquier aspecto interesante y positivo que sea de su interĂŠs, mismo que sirva para destacar las propiedades de este grano.

Â&#x2021;

El trĂptico deberĂĄ contener el resultado de la investigaciĂłn que realices respecto a la producciĂłn y consumo del cafĂŠ en nuestro paĂs, con la intenciĂłn de promoverlo de manera atractiva para el lector.

Â&#x2021; 'HEHUiQ XWLOL]DU DO PHQRV WUHV HFXDFLRQHV \ WUHV JUiÂżFRV GH IXQFLRQHV OLQHDOHV que representen de manera aproximada algunas partes del proceso de cultivo o de producciĂłn o la venta de este grano. Â&#x2021; /RV JUiÂżFRV GHEHUiQ HVWDU YLQFXODGRV FRQ OD UHSUHVHQWDFLyQ GH GHO DVSHFWR TXH hayan decidido abordar. Â&#x2021;

La informaciĂłn escrita en el trĂptico debe tener en todo momento la intenciĂłn de promover el consumo de cafĂŠ y, sobre todo enfatizando que el producido en MĂŠxico mantiene un buen reconocimiento internacional desde hace ya algunas dĂŠcadas.

Â&#x2021;

El material sugerido es: hojas de tamaĂąo carta, fuentes de informaciĂłn, y una FRPSXWDGRUD FRQ DOJ~Q SURJUDPD JUDÂżFDGRU (Q FDVR GH QR FRQWDU FRQ XQD FRPSXWDGRUD SXHGHV UHDOL]DU WXV JUiÂżFRV GH PDQHUD PDQXDO

Â&#x2021;

Preparen su trĂptico comercial para ser expuesto a todos sus compaĂąeros de grupo y, posteriormente, entregarlo a su profesor(a) para su correspondiente evaluaciĂłn.

265

loque VI

Resuelves ecuaciones lineales I

Recomendaciones para la elaboraciĂłn del triptico: Â&#x2021;

Cuiden que la informaciĂłn de su trĂptico este referenciada, incluyan las fuentes de informaciĂłn consultadas.

Â&#x2021; %XVTXHQ TXH HO GLVHxR GHO IROOHWR QR TXHGH ÂłFDUJDGRÂ´ GH LQIRUPDFLyQ GHEHUiQ lograr el equilibrio entre texto e ilustraciones. Â&#x2021;

El ingenio y creatividad para enaltecer las propiedades del cafĂŠ y utilizar ecuaciones y funciones lineales serĂĄn el punto central a evaluar.

Actividad 5 Producto de aprendizaje: elaboraciĂłn de tu problemario Esta actividad consiste en conformar tu problemario con los problemas y ejercicios que resolviste de manera individual o grupal en las tres actividades presentadas y HQ OD DFWLYLGDG GH UHĂ&#x20AC;H[LyQ D OR ODUJR GHO EORTXH En tu libreta o cuaderno que hayas destinado para este producto de aprendizaje, colocarĂĄs cada uno de los ejercicios que se te indicaron que formarĂan parte del problemario, sĂłlo asegĂşrate antes de colocarlos que los procedimientos y resultados VHDQ FRUUHFWRV 7H VXJHULPRV TXH HO UHVXOWDGR ÂżQDO GH FDGD HMHUFLFLR R SUREOHPD OR puedas resaltar con una tinta de color diferente al color utilizado en el procedimiento. Te invitamos a consultar la lista de cotejo que se encuentra en la secciĂłn de evaluaciĂłn que se encuentra enseguida, para que consideres los criterios de evaluaciĂłn que debes cubrir.

266

Resuelves ecuaciones lineales I Lista de cotejo para evaluar el producto de aprendizaje: tríptico comercial Criterios

Indicadores

Sí cumple

No cumple

Observaciones

Información fundamentada. Presentación

Utiliza un sistema de referencia, por ejemplo APA, para citar tres fuentes de información consultadas. Material tamaño carta dividido en tres partes iguales. Formato atractivo tanto de texto, como de imágenes y JUi¿FRV

Presentación

Creatividad en la elaboración del tríptico comercial. Escritura clara de la información, ecuaciones y JUi¿FRV ,GHQWL¿FD OD UHODFLyQ HQWUH ecuaciones, funciones y tema cafetalero.

Dominio Conceptual y Procedimental

Presenta en el tríptico al menos tres ecuaciones y JUi¿FD GH IXQFLRQHV OLQHDOHV Demuestra de forma precisa y coherente que las soluciones de las ecuaciones lineales sirven para resolver una problemática real respecto de la producción o comercialización del café. Presenta el trabajo con orden y limpieza Trabaja de forma colaborativa.

Actitudes Muestra respeto al compartir y escuchar ideas. Respeta las opiniones de otros.

Total de puntos

267

loque VI

Resuelves ecuaciones lineales I

Si en la lista de cotejo lograste los 13 puntos, considera tu resultado como Excelente, y si lograste 10 a 12 puntos es Bien, de 7 a 9 es Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 7 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que atiendas tus áreas de oportunidad. ([FHOHQWH ¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

Lista de cotejo para evaluar el producto de aprendizaje: problemario Criterios

Indicadores Presenta carátula con los datos de: nombre de la escuela, estudiante, asignatura, bloque, título del poblemario, semestre, grupo, fecha.

Presentación Actividades: orden y limpieza. El planteamiento de la actividad a tinta. Proceso de solución a lápiz. Presenta índice. Planteamiento de ecuaciones

,GHQWL¿FD FRUUHFWDPHQWH HO tipo de ecuación a utilizar. Utiliza el método solicitado.

Procedimientos Escribe todos los pasos. Comprueba las soluciones obtenidas. Solución Las interpreta de acuerdo al contexto.

268

Sí cumple

No cumple

Observaciones

Resuelves ecuaciones lineales I

Realiza tabulaciones obteniendo correctamente al menos tres coordenadas *Ui¿FR GH funciones

Localiza en el plano cartesiano coordenadas de puntos para formar líneas rectas. Trabaja de forma colaborativa.

Actitud

Escucha con respeto las opiniones de los demás. Sigue con atención instrucciones y las interpreta.

Total de puntos

Si en la lista de cotejo lograste los 12 a 13 puntos considera tu resultado como Excelente y si lograste 10 a 12 puntos es Bien, de 7 a 9 es Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 7 considera tu desempeño como No VX¿FLHQWH, lo que exige que atiendas tus áreas de oportunidad. ([FHOHQWH ¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

269

loque VI

Resuelves ecuaciones lineales I

Registro del avance Competencias genĂŠricas y disciplinares del bloque VI

Atributos

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizaciĂłn de medios, cĂłdigos y herramientas apropiados.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingĂźĂsticas, matemĂĄticas o JUiÂżFDV

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mĂŠtodos establecidos.

Sigue instrucciones y procedimientos de PDQHUD UHĂ&#x20AC;H[LYD FRPSUHQGLHQGR FRPR cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. Construye hipĂłtesis y diseĂąa y aplica modelos para probar su validez.

'HÂżQH PHWDV \ GD VHJXLPLHQWR D VXV SURFHsos de construcciĂłn de conocimiento. 7. Aprende por iniciativa e interĂŠs propio a lo largo de la vida.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana. Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, GHÂżQLHQGR XQ FXUVR GH DFFLyQ FRQ SDVRV HVSHFtÂżFRV Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera UHĂ&#x20AC;H[LYD

270

Nivel de avance

Resuelves ecuaciones lineales I

Competencias disciplinares

Nivel de avance

Analiza las relaciones entre dos o mĂĄs variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

,QWHUSUHWD WDEODV JUiÂżFDV PDSDV GLDJUDPDV \ WH[WRV FRQ VtPERORV PDWHPiWLFRV \ FLHQWtÂżFRV

Cuando concluyas la tabla presĂŠntala a tu profesor y valoren los avances registrados.

271

Bloque VII. Resuelves ecuaciones lineales II

Bloque VII Resuelves ecuaciones lineales II

273

loque VII

Resuelves ecuaciones lineales II

IntroducciĂłn (O KRPEUH KD HQIUHQWDGR GHVGH VXV LQLFLRV XQD VHULH GH GLÂżFXOWDGHV UHODFLRQDGDV con su vida, como su alimentaciĂłn, vestido, sustento, traslado, por mencionar algunas, por lo cual ha buscado estrategias que le permitan representar la realidad de lo que vive, en una expresiĂłn algebraica fĂĄcil de manipular, para poder darle soluciĂłn. El ĂĄlgebra es la rama de las matemĂĄticas encargada de traducir el lenguaje comĂşn de los problemas en una ecuaciĂłn o un sistema de ecuaciones y proporciona diversos mĂŠtodos para resolverlos. Los babilonios fueron unas de las primeras civilizaciones en plantear sistemas de ecuaciones lineales con dos incĂłgnitas, por ejemplo, para hallar la longitud del largo y del ancho de terrenos, dado su perĂmetro y ĂĄrea. La simbologĂa para el problema es a travĂŠs de un sistema de ecuaciones, con los tĂŠrminos que se muestran en el siguiente ejemplo: 1 anchura longitud 7 manos 4 longitud anchura 10 manos

Babilonia: fue una antigua ciudad de la Baja Mesopotamia. GanĂł su independencia durante la Edad Oscura, tras lo cual se convirtiĂł en capital de un vasto imperio bajo el mandato de Hammurabi (siglo XVIII aC). Desde entonces se convirtiĂł en un gran centro polĂtico, religioso y cultural.

Los mĂŠtodos de soluciĂłn de estos sistemas en sus inicios fueron a travĂŠs del tanteo sistemĂĄtico, basĂĄndose en la prueba y error, es decir dĂĄndole valores a las incĂłgnitas hasta llegar a encontrar los nĂşmeros que cumplĂan con la igualdad (Collete, 1985). Sin embargo, estos sistemas de ecuaciones no son solo propios de ĂŠpocas pasadas, en la actualidad siguen vigentes, se encuentran inmersos en la vida cotidiana, ejemplo de ello se muestra en la siguiente situaciĂłn. El gasto en trasportaciĂłn que IvĂĄn realiza para ir a la escuela, durante dos semanas se describe a continuaciĂłn: En la primera semana toma 5 veces la ruta 1 y 7 veces la ruta 2 generĂĄndole un gasto de $ 89.50. En la segunda semana toma 7 veces la ruta 1 y 6 veces la ruta 2, teniendo un gasto de $ 93.00. Para que IvĂĄn conozca el precio del pasaje de cada ruta deberĂĄ plantear dos expresiones algebraicas denominadas ecuaciones con dos incĂłgnitas. En donde los costos del pasaje de la ruta 1 y ruta 2 se representan

274

Resuelves ecuaciones lineales II

por las incĂłgnitas x, y las cuales son iguales al gasto por semana. Las ecuaciones que se generan son las siguientes: 5XWD Äş x + 7y = 89.50 5XWD Äş x + 6y = 93.00 Las dos expresiones algebraicas forman un conjunto de ecuaciones llamado sistema. El resolver el sistema permitirĂĄ descubrir el costo del pasaje de cada ruta de transporte. El objetivo de este bloque VII es conocer la estructura de los sistemas de ecuaciones lineales de 2 incĂłgnitas por 2 ecuaciones (2 Ă&#x2014; 2), sus elementos asĂ como los mĂŠtodos para resolverlos.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mĂŠtodos establecidos.

Atributos

Â&#x2021;

([SUHVD LGHDV \ FRQFHSWRV PHGLDQWH UHSUHVHQWDFLRQHV OLQJÂ tVWLFDV PDWHPiWLFDV R JUiÂżFDV

Â&#x2021;

Â&#x2021; 7. Aprende por iniciativa e interĂŠs propio a lo largo de la vida

Â&#x2021;

Â&#x2021; 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Â&#x2021;

'HÂżQH PHWDV \ GD VHJXLPLHQWR D VXV SURFHsos de construcciĂłn de conocimiento $UWLFXOD VDEHUHV GH GLYHUVRV FDPSRV \ HVWDblece relaciones entre ellos y su vida cotidiana 3URSRQH PDQHUDV GH VROXFLRQDU XQ SUREOHPD R GHVDUUROODU XQ SUR\HFWR HQ HTXLSR GHÂżQLHQGR XQ FXUVR GH DFFLyQ FRQ SDVRV HVSHFtÂżFRV $SRUWD SXQWRV GH YLVWD FRQ DSHUWXUD \ FRQVLGHUD ORV GH RWUDV SHUVRQDV GH PDQHUD UHĂ&#x20AC;H[Lva.

275

loque VII

Resuelves ecuaciones lineales II

Competencias disciplinares Â&#x2021;

Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021;

Â&#x2021;

Construye e interpreta modelos matemĂĄticos mediante la aplicaciĂłn de procedimientos aritmĂŠticos, algebraicos, geomĂŠtricos y variacionales, para la comprensiĂłn y anĂĄlisis de situaciones reales, hipotĂŠticas o formales. Formula y resuelve problemas matemĂĄticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemĂĄticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales $UJXPHQWD OD VROXFLyQ REWHQLGD GH XQ SUREOHPD FRQ PpWRGRV QXPpULFRV JUiÂżFRV DQDOtWLFRV o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemĂĄtico y el uso de las tecnologĂas de la informaciĂłn y la comunicaciĂłn. ,QWHUSUHWD WDEODV JUiÂżFDV PDSDV GLDJUDPDV \ WH[WRV FRQ VtPERORV PDWHPiWLFRV \ FLHQWtÂżcos.

ÂżCon quĂŠ propĂłsito? ,GHQWLÂżFDV FDQWLGDGHV R PDJQLWXGHV HQ VX FRQWH[WR \ ODV UHSUHVHQWDV D WUDYpV GH XQ VLVWHPD GH HFXDFLRQHV OLQHDOHV GDQGR VLJQLÂżFDGR DO FRQFHSWR GH LQFyJQLWDV \ el aprendizaje de los distintos mĂŠtodos de soluciĂłn, desarrollando la habilidad de observaciĂłn, anĂĄlisis y resoluciĂłn de problemas.

ÂżQuĂŠ aprenderĂĄs y cĂłmo? Contenidos curriculares

DescripciĂłn

MetodologĂa

Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021; Conceptuales Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021;

276

Sistema de ecuaciones lineales con dos incĂłgnitas. &ODVLÂżFDFLyQ VHJ~Q VX VROXFLyQ Â&#x2021; MĂŠtodos de soluciĂłn: determinantes, reducciĂłn, igualaciĂłn y sustituciĂłn. 6X UHSUHVHQWDFLyQ JUiÂżFD Â&#x2021; SoluciĂłn de los sistemas lineales SRU PpWRGR JUiÂżFR Â&#x2021; SoluciĂłn de Problemas aplicando sistema de ecuaciones lineales.

Representa la relaciĂłn entre cantidades a travĂŠs de un sistema de ecuaciones lineales. Conoce y aplica los distintos mĂŠtodos de soluciĂłn de los sistemas de ecuaciones lineales. Resuelve problemas contextualizados. Construye y deduce la LPSRUWDQFLD GHO JUiÂżFR GH un sistema de ecuaciones lineales.

Resuelves ecuaciones lineales II

Â&#x2021; Procedimentales

Â&#x2021; Actitudinales

Â&#x2021; Â&#x2021;

Â&#x2021; Deduce y resuelve un sistema de Â&#x2021; ecuaciones lineales, aplicando los mĂŠtodos de soluciĂłn para resolver situaciones de la vida Â&#x2021; cotidiana.

Valora la importancia del trabajo con orden y limpieza. Comparte sus ideas y acepta las de sus compaĂąeros. ,GHQWLÂżFD HO DOFDQFH GHO WUDEDMR colaborativo.

Â&#x2021;

Realiza ejercicios. Resuelve problemas contextualizados y analiza los resultados obtenidos. Observa e interpreta grĂĄÂżFDV ElaboraciĂłn y exposiciĂłn de actividades y trabajos de manera ordenada y con limpieza. Expresa sus ideas y acepta con respeto las de sus compaĂąeros.

ÂżQuĂŠ tiempo vas a emplear? El tiempo necesario para cumplir el propĂłsito de este bloque son ocho horas, es conveniente utilizar cuatro horas para la comprensiĂłn temĂĄtica y cuatro horas para OD UHDOL]DFLyQ GH ODV DFWLYLGDGHV \ HO GHVDUUROOR GHO SUR\HFWR ÂżQDO

EvaluaciĂłn del aprendizaje: productos Durante este bloque obtendrĂĄs los siguientes productos de aprendizaje que ponGUiQ GH PDQLÂżHVWR HO GHVDUUROOR GH WXV FRPSHWHQFLDV Â&#x2021; Â&#x2021;

Portafolio de evidencias Cartel tutorial

Portafolio de evidencias. Lo podrĂĄs hacer en una libreta o en un cuaderno, que utiliFHV SDUD UHDOL]DU ODV JUiÂżFDV SURFHGLPLHQWRV \ RSHUDFLRQHV TXH WH SHUPLWDQ OOHJDU D soluciones de los problemas que se te presenten en las actividades de este bloque. Estos deben mostrar un orden y limpieza. Cartel tutorial. En equipos de trabajo, elaborarĂĄn unos carteles donde expliquen el planteamiento de un problema de la vida real a travĂŠs de un sistema de ecuaciones [ 'HEHUiQ HPSH]DU SRU OD LGHQWLÂżFDFLyQ \ GHÂżQLFLyQ GH YDULDEOHV LQYROXFUDGDV en el problema siguiendo con la construcciĂłn de las dos ecuaciones que formaran el sistema y el procedimiento con al menos dos mĂŠtodos de soluciĂłn para resolver el sistema de ecuaciones.

277

loque VII

Resuelves ecuaciones lineales II

3DUD LQLFLDU UHĂ H[LRQD Retomando el ejemplo de la introducciĂłn: el gasto en trasportaciĂłn que IvĂĄn realiza durante dos semanas, se describe a continuaciĂłn: Ruta 1

Ruta 2

Âż? $x

$y Figura 7.1.

En la primera semana toma 5 veces la ruta 1 y 7 veces la ruta 2 generĂĄndole un gasto de $ 89.50. En la segunda semana toma 7 veces la ruta 1 y 6 veces la ruta 2, teniendo un gasto de $ 93.00. Para que IvĂĄn conozca el precio del pasaje de cada ruta deberĂĄ plantear dos expresiones algebraicas denominadas ecuaciones con dos incĂłgnitas. En donde los costos del pasaje de la ruta 1 y ruta 2 se representan por las incĂłgnitas x, y las cuales son iguales al gasto por semana. Las ecuaciones que se generan son las siguientes: 5XWD Äş x + 7y = 89.50 5XWD Äş x + 6y = 93.00 ÂżCĂłmo resolver este problema? Retoma lo aprendido en los mĂłdulos anteriores y complementa la siguiente tabla. Instrucciones: Sustituye cada valor de x, y de y en cada ecuaciĂłn; este es un primer acercamiento a la soluciĂłn del problema.

278

4 5 6 7 5 6 7 6

5.5 6.5 7.5 8.5 6.0 8.5 9.9 8.0

5x + 7y 5(___) + 7(___) = ________ 5(___) + 7(___) = ________ 5(___) + 7(___) = ________ 5(___) + 7(___) = ________ 5(___) + 7(___) = ________ 5(___) + 7(___) = ________ 5(___) + 7(___) = ________ 5(___) + 7(___) = ________

7x + 6y 7(___) + 6(___) = ________ 7(___) + 6(___) = ________ 7(___) + 6(___) = ________ 7(___) + 6(___) = ________ 7(___) + 6(___) = ________ 7(___) + 6(___) = ________ 7(___) + 6(___) = ________ 7(___) + 6(___) = ________

Resuelves ecuaciones lineales II

Una vez completa la tabla contesta las siguientes preguntas: ÂżQuĂŠ valores de x y de y sustituidos en 5x + 7y, dan como resultado 89.50? x=

ÂżQuĂŠ valores de x y de y sustituidos en 7x + 6y, dan como resultado 93.00? x=

ÂżEstos valores que representan para IvĂĄn?

Si observas el proceso para encontrar la soluciĂłn del sistema de ecuaciones es largo y con muchas operaciones. Se te invita a conocer el tema sistema de ecuaciones lineales con dos incĂłgnitas y desarrolles la habilidad de resolver problemas a travĂŠs de este tipo de sistemas de manera breve y concreta.

ÂżCon quĂŠ conocimientos cuentas? EvaluaciĂłn diagnĂłstica 3DUD ORJUDU ODV FRPSHWHQFLDV GH HVWH EORTXH HV LPSRUWDQWH LGHQWLÂżFDU ODV IRUWDOHzas y debilidades de los conocimientos adquiridos en tu educaciĂłn secundaria y los bloques anteriores. Instrucciones: Lee cuidadosamente, determina lo que se te pide en cada caso. No olvides, escribir en tu libreta los procesos de soluciĂłn de manera ordenada y con limpieza. 1. (Q ORV VLJXLHQWHV HQXQFLDGRV LGHQWLÂżFD FXiO HV OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH \ GHpendiente y escrĂbelo en la lĂnea. a) El pago de la luz y el consumo de kilowatts/hora. b) El gasto en el pasaje y el nĂşmero de combis por tomar. c) La producciĂłn total de leche por semana y los litros diarios.

279

loque VII

Resuelves ecuaciones lineales II

2. Si Pedro va a la tienda y pagó con un billete de $ 1000 del cual le dieron de cambio $ 40 y compró refrescos que cuestan $ 24 cada uno, ¿cuántos refresco compró? Para este problema contesta las siguientes preguntas: a) ¿Quién es la variable dependiente e independiente?

b) Si x representa el número de refrescos ¿qué ecuación representa esta situación?

c) ¿Qué tipo de ecuación resultó?

d) Encuentra el valor de x

e) Realiza la tabla de la ecuación, para valores de x: 10, 20, 30, 40, 50. PosteriorPHQWH GLEXMD HO JUi¿FR 8WLOL]D HO HVSDFLR GHO UHFXDGUR VLJXLHQWH

I ¢4Xp YDORU WLHQH OD LQWHUVHFFLyQ GH OD JUi¿FD FRQ HO HMH x, y qué representa para el problema?

280

Resuelves ecuaciones lineales II

3. Para los siguientes terrenos donde se desconocen algunos elementos encuentra el total de metros cuadrados de pasto que se necesitan para cubrirlos, si ambos tienen el mismo perímetro. b+2 4b í

b+1

3b + 1

Figura 7.2. Figura 7.3.

P= P= ___________________________ ______________________ ¿Qué tipo de ecuación se tiene? Resolviendo el valor de b es: La medida del terreno 1 es: __________________ terreno 2:________________ ¿Cuántos metros cuadrados de pasto se requieren para cubrir cada terreno?

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Observa los puntos que se te otorgan por cada sección de la evaluación, si obtuviste 16 a 12 puntos considera tu resultado como Bien, de 11 a 7 como Regular y si fueron menos de 7 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que refuerces tus conocimientos previos.

¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

281

loque VII

Resuelves ecuaciones lineales II

Ahora que ya te has dado cuenta de tus fortalezas y oportunidades de aprendizaje. Refuerza tus conocimientos consultando los siguientes FRQFHSWRV $ULWPpWLFD iUHDV GH ÂżJXUDV JHRPpWULFDV RSHUDFLRQHV FRQ expresiones algebraicas, ley de signos, propiedades de los nĂşmeros reales y soluciĂłn de ecuaciones lineales.

Aprende mĂĄs Sistema de ecuaciones lineales con dos incĂłgnitas Las tostadas son un emblemĂĄtico sĂmbolo de la comida Mexicana, platillo tĂpico poblano; el cual puede ser de pollo, carne de res, queso o tinga. Para los equipos de la escuela resulta una actividad de festejo despuĂŠs de cada partido ir a comer unas ricas tostadas.

Figura 7.4.

Figura 7.5.

El equipo de futbol comprĂł 6 tostadas y 8 refrescos por $108 y el equipo de bĂĄsquet pagĂł $146.5 por 8 tostadas y 11 refrescos. El equipo de la porra llego mĂĄs tarde y pregunto a los integrantes de los equipos ÂżCuĂĄl es precio de cada tostada y de cada refresco? Como respuesta sĂłlo recibiĂł la informaciĂłn anterior, halla el precio individual tanto de las tostadas como de los refrescos. La soluciĂłn se plantea a continuaciĂłn. Sea t precio de la tostada y r el precio del refresco: *DVWR GHO HTXLSR GH IXWERO Äş 6t 8r 108 *DVWR GHO HTXLSR GH EiVTXHW Äş 8t 11r 146.5 8r 108 Â6t

Por lo consiguiente, se tiene el sistema: ÂŽ 11r 146.5 ÂŻ 8t

282

Resuelves ecuaciones lineales II

A la agrupaciĂłn de dos ecuaciones de grado uno con dos incĂłgnitas se le llama VLVWHPD OLQHDO GH GRV SRU GRV (2 Ă&#x2014; 2). Cuya forma general es: By C Â Ax

ÂŽ Ey F ÂŻDx

Donde las incĂłgnitas son [x y \ VRQ ODV YDULDEOHV GHVFRQRFLGDV \ ORV FRHÂżFLHQWHV y VRQ ODV YDULDEOHV GHVFRQRFLGDV \ ORV FRHÂżFLHQWHV de la ecuaciĂłn son A, B, C, D, E y F. Esto permite concluir que del problema del costo de las tostadas y refresco, resulta un sistema de ecuaciones lineales de dos por dos. Otros ejemplos de sistemas lineales 2 Ă&#x2014; 2: y 10 Â x ÂŽ

3y 9 ÂŻ 2 x

5 y 36 Â 3 x ÂŽ 3 x

y 15 ÂŻ

y 10 Âx ÂŽ 4 y 12 ÂŻ 2 x

Para hallar las posibles soluciones del sistema lineal 2 Ă&#x2014; 2 que resultĂł del problema de las tostadas y otros que resulten de distintas situaciones de la vida cotidiana, se cuenta con diversos mĂŠtodos de soluciĂłn, el primero de ellos es el de Determinantes.

MĂŠtodo de determinantes Para describir el mĂŠtodo, es importante expresar al sistema como un arreglo matricial y el cĂĄlculo de los determinantes. Para ello, retomando el sistema: Â 6t

8r 108 ÂŽ

11r 146.5 ÂŻ 8t

La representaciĂłn matricial aumentada

8r 108 8t

11r 146.5

arreglo matricial es una organizaciĂłn rectangular de 2 renglones por 2 columEl DUUHJOR PDWULFLDO QDV GH FDQWLGDGHV WRPDGDV GH ORV FRHÂżFLHQWHV GH FDGD HFXDFLyQ GHO VLVWHPD

Äş

ÂŞ A B C Âş Renglones Äş ÂŤ Âť 5HQJORQHV Âź ÂŹ D E FÄť Columnas &ROXPQDV By C Â Ax

ÂŽ Ey F ÂŻDx

283

loque VII

Resuelves ecuaciones lineales II

El GHWHUPLQDQWH es el El determinante es el arreglo rectangular de nÃºmeros de la forma: a b c d

El cual se representa por

a b det \ VH GHÂ¿QH FRPR ad bc . c d

Para encontrar las soluciones es preciso el cÃ¡lculo de tres determinantes: El GHWHUPLQDQWH SULQFLSDO VH REWLHQH FRQ ORV FRHÂ¿FLHQWHV GH ODV LQFyJQLWDV det p

A B AE DB D E

Para el GHWHUPLQDQWH DX[LOLDU HQ [ VH LQWHUFDPELD OD FROXPQD GH ORV FRHÂ¿FLHQWHV GH determinante auxiliar en x VH LQWHUFDPELD OD FROXPQD GH ORV FRHÂ¿FLHQWHV GH la variable [x por en los tÃ©rminos constantes del sistema: det x

C B CE FB F E

Por Ãºltimo, el GHWHUPLQDQWH DX[LOLDU HQ \ VH UHHPSOD]DQ ORV FRHÂ¿FLHQWHV GH OD YDULDdeterminante auxiliar en y VH UHHPSOD]DQ ORV FRHÂ¿FLHQWHV GH OD YDULDble \, y, por los valores contantes del sistema: det y

A C AF DC D F

Por consiguiente: det t

108 8 108(11) 146.5(8) 16 146.5 11

det r

6 108 6(146.5) 8(108) 15 8 146.5

El determinante principal, auxiliar en x y en y, permiten encontrar la soluciÃ³n del sistema de ecuaciones. AsÃ, se tiene que las soluciones para t y r estÃ¡n dadas por los siguientes cocientes.

284

Resuelves ecuaciones lineales II

det t 16 8 det p 2

det r 15 7.5 det p 2

Lo anterior representa $8 el precio de la tostada y $7.5 el precio del refresco. El siguiente procedimiento sintetiza el mĂŠtodo de determinantes, dado un sistema lineal de 2 Ă&#x2014; 2: By C Â Ax

ÂŽ Ey F ÂŻDx

Procedimiento de soluciĂłn: 1. Calcular los determinantes. det p

A B AE DB D E

det x

C B CE FB F E

det y

A C AF DC D F

2. Obtener el valor para x dividiendo el determinante en x entre el principal.

3. Se encuentra la soluciĂłn para y, realizando la divisiĂłn del determinante de y entre el principal.

det x det p det y det p

4. Comprobar soluciones. Otro mĂŠtodo para resolver estos sistemas de ecuaciones, es el de reducciĂłn que enseguida se explica.

MĂŠtodo de reducciĂłn Si ahora, se tiene que las chicas de porras pidieron 5 huevos preparados y 9 jugos, junto con unos compaĂąeros de escuela que pidieron 3 huevos y 7 jugos, las porristas y sus compaĂąeros pagaron $119 y $81, respectivamente. ÂżCuĂĄl es el costo del huevo y del jugo?

285

loque VII

Resuelves ecuaciones lineales II

Si [x representa el costo del huevo preparado y \y el precio del jugo, se plantea el siguiente sistema:

9 y 119 Â 5 x ÂŽ

7 y 81 ÂŻ 3 x

Para resolverlo por reducciĂłn se siguen los siguientes pasos: 1. Se multiplican las ecuaciones, por un valor de tal forma que se elimine alguna de las incĂłgnitas.

2. Se suman ambas ecuaciones

3. Se despeja la incĂłgnita y se encuentra su valor. 4. Esta cantidad se sustituyen en cualquiera de las dos ecuaciones 5. Se despeja lo otra incĂłgnita, para hallar su valor. 6. Se comprueba.

3)(5 x

9 y 119 ) Â( ÂŽ

7 y 81 ) ÂŻ (5)(3 x 15 x 27 y 357 Â ÂŽ

35 y 405 ÂŻ 15 x 15 x 27 y 357 Â ÂŽ

35 y 405 ÂŻ 15 x 8 y 48 y

48 6 8

9(6) 119 5x

54 119 119 54 x 13 5 x 13

AsĂ, el costo del huevo es de $13 y el jugo de $6.

Aplica lo aprendido

Actividad 1 Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas. Posteriormente presenta los procedimientos y soluciones a tus compaĂąeros, atendiendo sus opiniones.

286

Resuelves ecuaciones lineales II

1. La diferencia de las edades de Pedro y Luis es 12 aĂąos y el doble de su suma es igual a 156, ÂżquĂŠ edad tiene cada uno? Si S es la edad de Pedro y l la edad de Luis, encuentra el sistema y resuelve por el mĂŠtodo de determinantes. 2. Se tienen $1,130 en 178 monedas de 10 y de 5. ÂżCuĂĄntas monedas de 10 y 5 son? Representa a x nĂşmero de monedas de 10 y y el nĂşmero de monedas de 5 (utiliza el mĂŠtodo de determinantes). 3. Todos los dĂas un estudiante camina y trota para ir a la escuela. Camina en promedio 5 km/h y trota 9 km/h. Si la distancia de la casa a la escuela es 8 km y su recorrido lo realiza en una hora ÂżQuĂŠ distancia recorre el estudiante corriendo y caminando? (Usa el mĂŠtodo de reducciĂłn). 4. Un alumno realizĂł una evaluaciĂłn de 50 preguntas. Cada respuesta correcta vale 2 puntos. Por cada respuesta incorrecta o no respondida se le quitan un punto; si obtuvo 64 puntos, ÂżcuĂĄntas respuestas contestĂł bien? ÂżCuĂĄntas preguntas contestĂł mal o no respondiĂł? (Utiliza el mĂŠtodo de determinantes). 5. Si se van variando el nĂşmero de preguntas y la puntaciĂłn en algunas evaluaciones como las del problema anterior, se generan los siguientes sistemas de ecuaciones, resuelve cada uno de ellos por el mĂŠtodo que mĂĄs se te facilite.

y 80 Â x a) ÂŽ 0.5 y 60 ÂŻ 1.5 x

2y 40 Â 2 x b) ÂŽ y 22 ÂŻ 2.5 x

y 60 Â° x c) ÂŽ 0.5 y 85 Â° ÂŻ2 x

3DUD YHULÂżFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Aprende mĂĄs

MĂŠtodo de igualaciĂłn Las chalupas son otro antojito tĂpico poblano, que es parte de la alimentaciĂłn mexicana. La familia Ruiz y la familia PĂŠrez fueron a cenar chalupas con doĂąa Lolita.

287

loque VII

Resuelves ecuaciones lineales II

Figura 7.6.

La primera familia pidiĂł 8 Ăłrdenes de chalupas y 4 tazas de cafĂŠ pagando $128. La segunda familia solicitĂł 10 Ăłrdenes de chalupas y 6 tazas de cafĂŠ pagando $168. Al vecino de ambas familias le recomiendan las chalupas de doĂąa Lolita, comentĂĄndole la informaciĂłn anterior pero no le dicen el precio unitario ÂżCuĂĄnto cuesta cada chalupa y cada taza de cafĂŠ? La soluciĂłn es la siguiente: Si x representa el costo de las chalupas y y el costo del cafĂŠ, esta situaciĂłn tiene como representaciĂłn el siguiente sistema de ecuaciones lineales de 2 Ă&#x2014; 2. 4 y 128 Â8 x

ÂŽ 6 y 168 ÂŻ10 x

Para hallar el valor de x[ y y, \ te presento otro mĂŠtodo que se conoce como igualaLJXDODciĂłn. FLyQ. Los pasos a seguir son los siguientes: 1. Se despejan de cada ecuaciĂłn la incĂłgnita que tu elijas, en este caso fue \. y.

4 y 128 4 y 128 8x 128 8x 32 2x 4 10 x

6 y 168 168 10 x y 28 5 / 3x 6 y

2. Se igualan ambos despejes. 3. Se realizan las operaciones necesarias para despejar la incĂłgnita que se tiene.

32 2 x 16 x

2 x 28 5 / 3x 32 28 1/ 3 x 32 x 4(3) 12

288

Resuelves ecuaciones lineales II

4. Se sustituye este valor en alguno de los dos primeros despejes, para hallar el valor de la segunda incĂłgnita.

y 32 2x y 32 2(12) 32 24 8 y 8

Con lo anterior es posible contestar al vecino de las dos familias, HO FRVWR GH OD RUel costo de la orGHQ GH FKDOXSDV HV GH \ HO FDIp GH . Otro proceso de soluciĂłn de sistemas de ecuaciones lineales es el descrito a continuaciĂłn.

MĂŠtodo de sustituciĂłn /D OHFKH HV XQ DOLPHQWR LPSRUWDQWH HQ QXHVWUD DOLPHQWDFLyQ 6HJ~Q HO SHULyGLFR Âł(O 6RO GH 0p[LFRÂ´ DQXQFLy TXH QXHVWUR SDtV RFXSD HO VpSWLPR OXJDU PXQGLDO HQ SURGXFciĂłn de leche (GarcĂa, 2013). La granja de don RaĂşl realiza cada hora un envasado de 100 litros de leche en dos presentaciones, de 1.5 litros y de 2.5 litros, si en total llenan 52 botellas, ÂżcuĂĄntas botellas de cada capacidad tienen? Si [ x representa el nĂşmero de botellas de 1.5 l y \ y el nĂşmero de botellas de 2.5 l, el problema se modela con el sistema: Figura 7.7.

y 52 ÂÂ° ÂŽ

2.5 y 100 Â° ÂŻ1.5 x El proceso de soluciĂłn por sustituciĂłn es el siguiente: 1. Se despeja cualquiera de las incĂłgnitas de alguna de las dos ecuaciones.

2. Se sustituye este valor en la segunda ecuaciĂłn.

y 52 y 52 x

2.5(52 x ) 100 1.5 x

289

loque VII

Resuelves ecuaciones lineales II

3. Se realizan operaciones y se despeja la segunda incÃ³gnita.

130 2.5 x 100 1.5 x x

130 100 x 130 100 30

4. Se sustituye este valor en el primer despeje, para encontrar el segundo valor desconocido.

y 52 x 52 30 22 x 30 y 22

Se concluye el proceso

Por lo tanto, el nÃºmero de botellas de 1.5 litros es 30 y de 2.5 litros son 22. Comprobando esto se tiene 30 + 22 = 52 y que 1.5(30) + 2.5(22) = 45 + 55 = 100, se cumple las dos condiciones de problema. El Ãºltimo de los mÃ©todos a estudiar en este bloque, para resolver sistema de ecuaciones lineales 2 Ã&#x2014; 2 es el siguiente.

0pWRGR JUiÂ¿FR 5HFRUGDU GHO EORTXH 9, TXH HV SRVLEOH JUDÂ¿FDU XQD HFXDFLyQ OLQHDO HQ HO SODQR FDUWHVLDQR SDUD HO FDVR GH VLVWHPDV OLQHDOHV Ã® VH JUDÂ¿FDUiQ DPEDV HFXDFLRQHV REWHQLHQGR FRPR UHVXOWDQGR HO WUD]R GH GRV UHFWDV 3DUD UHDOL]DU HO JUiÂ¿FR GH FDGD una de las ecuaciones del sistema, es necesario:

Despejar a y de ambas ecuaciones.

Hacer una tabla para ambas ecuaciones con los mismos valores de x.

*UDÂ¿FDU DPEDV UHFWDV FRQ HO PLVPR SODQR

La soluciÃ³n es el punto de intersecciÃ³n de ambas rectas. Figura 7.8.

(V LPSRUWDQWH WRPDU HQ FXHQWD TXH KD\ XQD FODVLÂ¿FDFLyQ SDUD ORV VLVWHPDV OLQHDOHV 2 Ã&#x2014; 2, segÃºn el tipo de soluciÃ³n.

290

Resuelves ecuaciones lineales II

Figura 7.9.

AsÃ, retomando el sistema de la leche: x

y 52 ÂÂ° Â®

2.5 y 100 Â°Â¯ 1.5 x 3DUD UHVROYHUOR SRU HO PpWRGR JUiÂ¿FR VH SURFHGH FRPR VLJXH Despejando \ Äº x y y 40 0.6 x y Äº y 52 7DEXODQGR \ JUDÂ¿FDQGR

y Ã x

10 15 20 25 30 35 40

42 37 32 27 22 17 12

34 31 28 25 22 19 16

(30, ((3 30, 0, 22) 2)

Figura 7.10.

291

loque VII

Resuelves ecuaciones lineales II

Para este caso el sistema resulto compatible tiene una soluciĂłn, pero ÂżcuĂĄndo es que un sistema es incompatible? ObsĂŠrvese el siguiente caso. 6x 4 Â2 y ÂŽ 3x 6 ÂŻ y

y = 3x + 6

y = 3x + 2

-3 -1 0 2 4

-3 3 6 12 18

-7 -1 2 8 14

despejando y

2 Â y 3 x

ÂŽ

6 ÂŻ y 3 x

Figura 7.11.

6H REVHUYD HQ OD JUiÂżFD TXH ODV UHFWDV VRQ SDUDOHODV \ TXH QR KD\ XQ SXQWR HQ HO que se intersecan, lo que permite concluir que el sistema es incompatible, es decir, no tiene soluciĂłn. Otra situaciĂłn que se puede tener al resolver un sistema de ecuaciones lineales, es que las soluciones sean indeterminadas, ejemplo de ello es las soluciones del siguiente sistema: 2y 5 Â4 x ÂŽ 4 y 10 ÂŻ 8 x

y = 2x Ă 2.5

y = 2x Ă 2

-2 -1 0 3 5

-6.5 -4.5 -2.5 3.5 7.5

despejando y

2.5 Ây 2x ÂŽ 2.5 ÂŻ y 2 x

Figura 7.12.

292

Resuelves ecuaciones lineales II

Es claro que las dos ecuaciones son equivalentes, y por tanto, los valores coinciden HQ WRGRV VXV SXQWRV \ HQ OD JUiÂżFD XQD UHFWD TXHGD VREUH OD RWUD LQGLFDQGR HVWR TXH WLHQH XQ Q~PHUR LQÂżQLWR GH VROXFLRQHV

Aplica lo aprendido

Actividad 2 Instrucciones: Lee y aplica lo aprendido, para resolver las siguientes problemĂĄticas. Recuerda realizar el proceso con limpieza y orden. 1. Aplicando el mĂŠtodo de sustituciĂłn encuentra el valor de la cantidad desconocida para cada problema. a) Un granjero tiene conejos y gallinas si cuenta las cabezas son 60, y si cuenta las patas son 190 patas, ÂżcuĂĄntos conejos y gallinas tiene? b) Un productor de huevo empaca 1110 huevos en paquetes de 12 y 18 huevos, si se rompen 6 a la hora de empacar, ÂżcuĂĄntos paquetes de cada cantidad tiene, si en total son 80 paquetes? c) Si el doble de la edad de Julia y la de su hermana suman 50 aĂąos y la diferencia es de 4 aĂąos, ÂżquĂŠ edad tiene Julia y su hermana? 2. Si la cantidad de conejos y gallinas van variando se producen las siguientes ecuaciones, resuĂŠlvelas con el mĂŠtodo que mĂĄs te acomode.

2y 180 Â 2 x a) ÂŽ

4 y 240 ÂŻ 2 x

y 50 Â x b) ÂŽ

8 y 268 ÂŻ 4 x

Â x y

75 Â° c) ÂŽ 2 2 Â°ÂŻ

4 y 440 2 x

8WLOL]DQGR HO PpWRGR JUiÂżFR UHVXHOYH ORV VLJXLHQWHV SUREOHPDV a) En un cine, 10 entradas de adulto y 9 de niĂąo cuestan $512 y 17 de niĂąo y 15 de adulto $831. ÂżQuĂŠ precio tiene la entrada de adulto y de niĂąo?

293

loque VII

Resuelves ecuaciones lineales II

b) Una tienda pagó al proveedor de huevos $ 822 por 27 cajas de huevo de 12 y 18 huevos cada paquete, si el costo del paquete de 12 cuesta $ 26 y el de 18 cuesta $ 34, ¿cuántas cajas de cada cantidad compró? c) Para el problema anterior realizar un diagrama que muestre paso a paso como se resolvió.

3DUD YHUL¿FDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV *XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

5HÀH[LRQHPRV VREUH OD DFWLYLGDG

¿De qué te das cuenta? ¿Cómo se aplican los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas en tu comunidad o población? Escribe de manera coherente y breve una aplicación.

*XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

294

Resuelves ecuaciones lineales II

Aplica lo aprendido

Actividad 3 Producto de aprendizaje: cartel tutorial Esta actividad movilizará los saberes aprendidos en el bloque, al proponer un problema de tu contexto y explicar a través de un cartel la manera de plantearlo a través de un sistema 2 × 2 y determinar su solución con los métodos estudiados. Instrucciones:

Elaborarán en equipo de tres integrantes un cartel para presentar un problema de la vida cotidiana, su representación a través de un sistema de ecuaciones, el proceso de solución de dicho sistema y la comprobación del mismo.

Presenten un problema que se pueda modelar a través de un sistema 2 x 2.

En hojas de su cuaderno hagan el bosquejo del planteamiento del problema investigado, seleccionen el método (de acuerdo a su preferencia) y encuentren la solución, para ello deberán desarrollar el procedimiento de solución hasta llegar a la comprobación correspondiente.

(Q VHJXLGD UHÀH[LRQHQ FRPR GHEHUiQ LQWHUSUHWDU \ YHUL¿FDU ODV GRV VROXFLRQHV obtenidas en función del contexto al que pertenezca el problema.

Una vez hecho el bosquejo, consigan los materiales para realizar el cartel (se trata de un cartel atractivo y original que lo pueden hacer con cartulinas o en pliegos de papel bond). También necesitas un pizarrón, o unas hoja de papel bond para rota folios para llevar a cabo tus explicaciones del procedimiento de solución del sistema.

Distribuyan las funciones a cada uno de los integrantes del equipo y realicen su cartel.

Consideren que el cartel será mostrado a sus compañeros y entregado a su profesor(a) para su correspondiente evaluación.

295

loque VII

Resuelves ecuaciones lineales II

Recomendaciones: Âł/RV WXWRULDOHV VRQ VLVWHPDV LQVWUXFWLYRV GH DXWRDSUHQGL]DMH TXH SUHWHQGHQ VLPXODU al maestro y muestran al usuario el desarrollo de algĂşn procedimiento o los pasos SDUD UHDOL]DU GHWHUPLQDGD DFWLYLGDGÂ´ ,QFOX\HQ FXDWUR SDUWHV Â&#x2021;

Parte introductoria: se presenta los aspectos del tema para centrar la atenciĂłn de los participantes.

Â&#x2021;

Parte de orientaciĂłn inicial: se da a conocer lo aprendido de las sistemas de ecuaciones lineales con dos incĂłgnitas.

Â&#x2021;

3DUWH GH DSOLFDFLyQ se presenta ejemplos de los modelos matemĂĄticos.

Â&#x2021;

Parte de retroalimentaciĂłn: se presenta una recapitualaciĂłn del tema tratado. (Galvis, 1992).

Consideren como tiempo mĂnimo 10 minutos y mĂĄximo 15 minutos, busquen que su SURFHVR H[SOLFDWLYR GH SULQFLSLR D ÂżQ VHD iJLO FRQFUHWR \ VLQ LQWHUUXSFLRQHV Agrega ilustraciones del problema a resolver y que la resoluciĂłn de su video sea Ăłptima, asegurĂĄndote que lo puedas mostrar a tus compaĂąeros.

*XDUGD HO GHVDUUROOR \ VROXFLyQ GH HVWD DFWLYLGDG HQ WX SRUWDIROLR GH HYLGHQFLDV

Actividad 4 Producto de aprendizaje: integrar tu portafolio de evidencias Esta actividad consiste en Integrar tu portafolio de evidencias con los problemas y ejercicios que resolviste de manera individual o grupal en las seis actividades presentadas a lo largo del bloque. En tu libreta o cuaderno que hayas destinado para este producto de aprendizaje, colocarĂĄs cada uno de los ejercicios que se te indicaron que formarĂan parte del portafolio de evidencias, sĂłlo asegĂşrate antes de colocarlos que los procedimientos y resultados sean correctos.

296

Resuelves ecuaciones lineales II

7H VXJHULPRV TXH HO UHVXOWDGR ¿QDO GH FDGD HMHUFLFLR R SUREOHPD OR SXHGDV UHVDOWDU con una tinta de color diferente al color utilizado en el procedimiento. Te invitamos a consultar la lista de cotejo que se encuentra en la sección de evaluación que se encuentra enseguida, para que consideres los criterios de evaluación que debes cubrir. Para entregar tu portafolio de evidencias a tu Profesor, es importante que mantengas limpieza y orden, además coloca una carátula al inicio con tus datos (nombre de la escuela, asignatura, bloque, leyenda: Portafolio de evidencias, nombre del estudiante, semestre, grupo y fecha de entrega) y un índice.

297

loque VII

Resuelves ecuaciones lineales II

Lista de cotejo para evaluar el producto de aprendizaje: cartel tutorial Criterios

Indicadores

Sí cumple

No cumple

Observaciones

Realizaron la investigación adecuada del problema a resolver.

Contenido

,GHQWL¿FDURQ FODUD \ adecuadamente las incógnitas. Obtuvieron correctamente el sistema 2 x 2. Resolvieron correctamente el sistema. Mostraron el cartel con símbolos e imágenes visibles claramente.

Presentación

Cumplieron con las cuatro partes del cartel tutorial En la parte de aplicación del cartel se presenta: Problema, planteamiento, resolución y comprobación. ,GHQWL¿FDURQ HO WLSR GH problema como uno que se puede representar a través de un sistema 2 × 2.

Dominio conceptual y procedimental

Modelaron el problema a través de un sistema 2 × 2. La explicación verbal y escrita del método de solución seleccionado corresponde a lo estudiado en el bloque. Presentaron trabajos con orden, limpieza.

Actitud

Trabajan de forma colaborativa. Respetan las opiniones de otros. Siguen con atención instrucciones y las interpreta.

Total de puntos

Si en la lista de cotejo lograste los 12 a 14 puntos considera tu resultado como

298

Resuelves ecuaciones lineales II

Excelente y si lograste 9 a 11 puntos es Bien, de 6 a 8 es Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 6 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que atiendas tus áreas de oportunidad. ([FHOHQWH ¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

Lista de cotejo para evaluar el producto de aprendizaje: portafolio de evidencias Criterios

Indicadores

Sí cumple

No cumple

Observaciones

Utiliza portada (nombre de la escuela, nombre de la asignatura, título: Portafolio de evidencias, nombre del estudiante y fecha de entrega.

Presentación

El portafolio es entregado elaborado a mano, con limpieza y legibilidad. ,GHQWL¿FD ODV GLIHUHQWHV secciones del portafolio y se desglosan indicando número de ejercicios y de actividad. Presenta orden en los procedimientos. Presenta índice.

Documentos de evidencias

Evaluación diagnóstica sin error. Actividades 1,2 y 3 sin error $FWLYLGDG GH UHÀH[LyQ Comparte sus ideas y acepta las de sus compañeros.

Actitud

Valora la importancia del orden y limpieza en los trabajos. Realizó sus trabajos de forma colaborativa.

Total de puntos

299

loque VII

Resuelves ecuaciones lineales II

Si en la lista de cotejo lograste los 10 puntos considera tu resultado como Excelente y si lograste 8 a 9 puntos es Bien, de 6 a 7 es Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 6 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que atiendas tus áreas de oportunidad. ([FHOHQWH ¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

300

Resuelves ecuaciones lineales II

Registro del avance Competencias genĂŠricas y disciplinares del bloque VII Instrucciones: Al concluir el bloque registra el nivel de avance que lograste en el desarrollo de las competencias genĂŠricas y disciplinares. Utiliza la siguiente escala: A = Alto (Desarrollada) M = Medio (EstĂĄ en vĂa de desarrollo) B = Bajo (No la he desarrollado) Competencias genĂŠricas

Atributos

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizaciĂłn de medios, cĂłdigos y herramientas apropiados.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingĂźĂsticas, matemĂĄticas o JUiÂżFDV

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mĂŠtodos establecidos.

Nivel de avance

'HÂżQH PHWDV \ GD VHJXLPLHQWR D VXV SURFHsos de construcciĂłn de conocimiento. 7. Aprende por iniciativa e interĂŠs propio a lo largo de la vida.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

301

loque VII

Resuelves ecuaciones lineales II

Competencias disciplinares

Nivel de avance

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemĂĄticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. $UJXPHQWD OD VROXFLyQ REWHQLGD GH XQ SUREOHPD FRQ PpWRGRV QXPpULFRV JUiÂżcos, analĂticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemĂĄtico y el uso de las tecnologĂas de la informaciĂłn y la comunicaciĂłn.

Cuando concluyas la tabla presĂŠntala a tu profesor y valoren los avances registrados.

302

Bloque VIII. Resuelves ecuaciones lineales III

Bloque VIII Resuelves ecuaciones lineales III

303

loque VIII

Resuelves ecuaciones lineales III

IntroducciĂłn

En el bloque anterior analizamos problemas que se resolvĂan con un sistema de ecuaciones lineales con dos incĂłgnitas. La posibilidad de incĂłgnitas de una ecuaciĂłn lineal segĂşn los requerimientos de un problema puede aumentar, de una y dos que se han trabajado en los bloques anteriores, es posible encontrarse con tres cantidades desconocidas, por ejemplo cuando Lupita va a la tienda a comprar papas, refresco y una torta pagando $48.00, si se representa al precio de papas como x, al precio del refresco con y y z para el precio de la torta la situaciĂłn se plasma en la ecuaciĂłn lineal x + y + z = 48. Pero, si en la tienda se encuentra a su amigo Juan el cual compra una torta y un refresco por $37.00, que se simboliza por y + z = 37 y su primo Sergio compra dos refrescos y dos bolsas de papas pagando $46.00, 2x + 2y = 46; de estas situaciones puede surgir la pregunta ÂżCuĂĄnto cuesta cada bolsa de papas, la torta y el refresco? Estas situaciones forman un sistema de tres ecuaciones con tres incĂłgnitas, x, y, z. Para dar respuesta a la pregunta es necesario resolver el sistema de ecuaciones lineales 3 Ă&#x2014; 3 obtenido de la traducciĂłn del lenguaje comĂşn al leguaje algebraico. Al igual que como en la soluciĂłn de sistemas lineales con dos incĂłgnitas, es posible encontrar el valor de la variables desconociGDV D WUDYpV GH PpWRGRV DOJHEUDLFRV \ JUiÂżFRV En este bloque VIII, el objetivo es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales FRQ WUHV LQFyJQLWDV VXV SURFHVRV GH VROXFLyQ DOJHEUDLFRV \ JUiÂżFRV HQ OD DSOLFDFLyQ de problemas o situaciones de la vida cotidiana. Los primeros sistemas de ecuaciones lineales de 3 Ă&#x2014; 3 aparecen en los siglos III y IV aC. con los matemĂĄticos chinos quienes continuaron el pensamiento lineal de los babilonios. Ejemplo de ello es que en el tratado sobre el arte matemĂĄtico publicado en la dinastĂa Han, aparece un sistema lineal y su mĂŠtodo de soluciĂłn conocido como la regla "fan-chen" o el mĂŠtodo de eliminaciĂłn. El problema que dio origen a un sistema de 3 Ă&#x2014; 3 es: Âł+D\ WUHV FODVHV GH JUDQRV WUHV JUDYLOODV PRQWRQHV GH SULPHUD FODVH GRV GH VHgunda y una de la tercera hacen 39 medidas; dos de la primera, tres de la segunda y una de la tercera hacen 34 medidas; y una de la primera, dos de la segunda y tres de la tercera hacen 26 medidas. ÂżCuĂĄntas medidas de granos estĂĄn contenidas en XQD JDYLOOD GH FDGD FODVH"Â´ Este problema originĂł el sistema de ecuaciones lineales de tres incĂłgnitas, (x, y, z): 2y

z 39 Â3 x

Â° 3y

z 34 ÂŽ2 x

Â°x

3z 26 ÂŻ 2y

304

Resuelves ecuaciones lineales III

El arte matemĂĄtico REUD GH QXHYH FDStWXORV IXH FRPSXHVWD SRU HO FLHQWtÂżFR &KXDQ Tsanom en el aĂąo 152 aC, posteriormente en el siglo XVII la obra fue consultada por Gauss, quien mĂĄs tarde propuso el mĂŠtodo que hasta hoy lleva su nombre: mĂŠtodo de Gauss, para dar soluciĂłn a sistemas lineales de n incĂłgnitas y m ecuaciones. (Collette, 1985).

8.1. El arte matemĂĄtico.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mĂŠtodos establecidos.

Atributos Â&#x2021;

([SUHVD LGHDV \ FRQFHSWRV PHGLDQWH UHSUHVHQWDFLRQHV OLQJÂ tVWLFDV PDWHPiWLFDV R JUiÂżFDV

Â&#x2021;

6LJXH LQVWUXFFLRQHV \ SURFHGLPLHQWRV GH PDQHUD UHĂ&#x20AC;H[LYD FRPSUHQGLHQGR FyPR FDGD XQR GH VXV SDVRV FRQWULEX\H DO DOFDQFH GH XQ objetivo. &RQVWUX\H KLSyWHVLV \ GLVHxD \ DSOLFD PRGHORV SDUD SUREDU VX YDOLGH]

Â&#x2021;

Â&#x2021; 7. Aprende por iniciativa e interĂŠs propio a lo largo de la vida.

Â&#x2021;

'HÂżQH PHWDV \ GD VHJXLPLHQWR D VXV SURFHsos de construcciĂłn de conocimiento. $UWLFXOD VDEHUHV GH GLYHUVRV FDPSRV \ HVWDblece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

ContinĂşa...

305

loque VIII

Resuelves ecuaciones lineales III

Â&#x2021; 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Â&#x2021;

Competencias disciplinares Â&#x2021;

Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021;

Â&#x2021;

Construye e interpreta modelos matemĂĄticos mediante la aplicaciĂłn de procedimientos aritmĂŠticos, algebraicos, geomĂŠtricos y variacionales, para la comprensiĂłn y anĂĄlisis de situaciones reales, hipotĂŠticas o formales. Formula y resuelve problemas matemĂĄticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemĂĄticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales $UJXPHQWD OD VROXFLyQ REWHQLGD GH XQ SUREOHPD FRQ PpWRGRV QXPpULFRV JUiÂżFRV DQDOtWLFRV o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemĂĄtico y el uso de las tecnologĂas de la informaciĂłn y la comunicaciĂłn. ,QWHUSUHWD WDEODV JUiÂżFDV PDSDV GLDJUDPDV \ WH[WRV FRQ VtPERORV PDWHPiWLFRV \ FLHQWtÂżFRV

ÂżCon quĂŠ propĂłsito? ,GHQWLÂżFDV FDQWLGDGHV R PDJQLWXGHV GH OD YLGD FRWLGLDQD \ ODV UHSUHVHQWDV D WUDYpV de un sistema de ecuaciones lineal con tres incĂłgnitas y aplica u mĂŠtodo para resolver el sistema e interpreta los resultados obtenidos.

ÂżQuĂŠ aprenderĂĄs y cĂłmo? Contenidos curriculares

DescripciĂłn

MetodologĂa Â&#x2021;

Â&#x2021;

Conceptuales

306

Sistema de EcuaciĂłn lineales con tres incĂłgnitas: - Estructura Â&#x2021; - MĂŠtodos Determinantes, suma \ UHVWD VXVWLWXFLyQ \ JUiÂżFR Â&#x2021; - 5HSUHVHQWDFLyQ JUiÂżFD

Reconoce cantidades que se relacionan entre sĂ, las cuales se representan por sistema de ecuaciones lineales 3 Ă&#x2014; 3. Analiza y comprende los procesos de soluciĂłn. Resuelve problemas contextualizados, haciendo uso de sistemas de ecuaciones lineales.

Resuelves ecuaciones lineales III

Â&#x2021;

Procedimentales

Â&#x2021; Actitudinales

Â&#x2021; Â&#x2021;

Utiliza el concepto de sistemas de ecuaciones lineales con tres incĂłgnitas para representar situaciones de la vida cotidiana y aplica mĂŠtodos de soluciĂłn, para posteriormente realizar VX UHSUHVHQWDFLyQ JUiÂżFD \ HO anĂĄlisis del mismo. Valora la importancia del trabajo con orden y limpieza. Comparte su ideas y acepta las de sus compaĂąeros. ,GHQWLÂżFD HO DOFDQFH GHO WUDEDMR colaborativo.

Â&#x2021; Â&#x2021;

Â&#x2021;

Realiza ejercicios. Resuelve problemas contextualizados y analiza los resultados obtenidos. Observa e interpreta JUiÂżFDV

ExposiciĂłn de actividades y trabajos de manera ordenada y con limpieza. Expresa su ideas y acepta con respeto las d sus compaĂąeros.

ÂżQuĂŠ tiempo vas a emplear? El tiempo necesario para cumplir el propĂłsito de este bloque es aproximadamente ocho horas, es conveniente utilizar cuatro horas para la comprensiĂłn temĂĄtica y cuatro horas para la realizaciĂłn de las actividades y el desarrollo de la maqueta 3D.

EvaluaciĂłn del aprendizaje: productos Durante este bloque obtendrĂĄs los siguientes productos de aprendizaje que ponGUiQ GH PDQLÂżHVWR HO GHVDUUROOR GH WXV FRPSHWHQFLDV Â&#x2021; Â&#x2021;

Problemario Maqueta 3D

307

loque VIII

Resuelves ecuaciones lineales III

3DUD LQLFLDU UHĂ H[LRQD ÂżCĂłmo ayudar a Lupita, IvĂĄn y Sergio para hallar el costo de las papas, el refresco y la torta? Dado que la situaciĂłn problemĂĄtica inicial tiene una simbologĂa matemĂĄtica a travĂŠs de: y

z 48 Âx

Â° z 37 ÂŽy

Â°2 x

ÂŻ 2y 46 Instrucciones: Para dar soluciĂłn al sistema utiliza los elementos como las operaciones bĂĄsicas suma y producto, para ir probando los valores de x, y, z hasta encontrar el que cumple las tres ecuaciones. x

]

[ \ ]

\ ]

x+y

De tus operaciones ÂżcuĂĄles son los valores para x, y, z que cumplen con las tres ecuaciones? ÂżFue posible encontrar la soluciĂłn al sistema? EfectĂşa las operaciones y procesos en tu cuaderno, coloca tu respuesta a continuaciĂłn:

308

Resuelves ecuaciones lineales III

ÂżCon quĂŠ conocimientos cuentas? EvaluaciĂłn diagnĂłstica 3DUD ORJUDU ODV FRPSHWHQFLDV GH HVWH EORTXH HV LPSRUWDQWH LGHQWLÂżFDU ODV IRUWDOH]DV y oportunidades de aprendizaje que posees, como resultado de tus conocimientos y habilidades adquiridas en tu educaciĂłn secundaria y los bloques anteriores. InstrucciĂłn: Lee cuidadosamente, analiza y determina lo que se te pide en cada caso. Recuerda escribir en tu libreta los procesos de soluciĂłn de manera ordenada y con limpieza. 1. Escribe 3 ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales 2 Ă&#x2014; 2, los cuales cumplan con: uno compatible, otro que sean incompatible y uno indeterminado. (3 puntos) 'H OD SUHJXQWD DQWHULRU HVFULEH FRQ WXV SURSLDV SDODEUDV TXH VLJQLÂżFD FDGD XQR de los tres tipos de sistemas de ecuaciones 2 Ă&#x2014; 2. (3 puntos) 3. El perĂmetro del terreno de Ulises es igual a 100 metros y el de ToĂąo 112 metros, OD VLJXLHQWHV ÂżJXUDV PXHVWUDQ ORV YDORUHV GH ODV GLPHQVLRQHV GH FDGD WHUUHQR x

2x y 2

Figura 8.2. Figura 8.3.

Tomando en cuenta la informaciĂłn anterior, contesta las siguientes preguntas: a) ÂżQuĂŠ representa x y y? b) Determina la expresiĂłn algebraica que representa el perĂmetro de cada terreno ÂżQuĂŠ relaciĂłn encuentras entre las expresiones obtenidas? c) ÂżCĂłmo se llama al sistema formado por esas expresiones? d) ÂżQuĂŠ tipo de mĂŠtodos puedes aplicar para resolver el problema? e) ÂżCuĂĄl es el valor de y y x? ÂżQuĂŠ mĂŠtodo usaste para resolver el sistema?

309

loque VIII

Resuelves ecuaciones lineales III

f) Si por cada metro cuadrado se siembran dos ĂĄrboles ÂżcuĂĄntos ĂĄrboles contendrĂĄ cada terreno? g) Realiza una tabla para x = 8, 10, 12, 14,16, 18, 20 metros y con las dos ecuaciones. K 7UD]D OD JUiÂżFD GH ODV DPEDV HFXDFLRQHV i) ÂżQuĂŠ representa el punto de intersecciĂłn de ambas rectas? j) ÂżCuĂĄl es tu conclusiĂłn? (19 puntos)

Observa los puntos que se te otorgan por cada secciĂłn de la evaluaciĂłn, si obtuviste 25 a 19 puntos considera tu resultado como Bien, de 18 a 12 como Regular y si fueron menos de 12 considera tu desempeĂąo como 1R VXÂżFLHQWH, lo que exige que refuerces tus conocimientos previos.

ÂżCĂłmo evalĂşas el nivel de tus conocimientos previos en funciĂłn de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXĂ&#x20AC;FLHQWH

310

Resuelves ecuaciones lineales III

Aprende mĂĄs Sistemas de ecuaciones lineales con tres incĂłgnitas AsĂ como los babilonios, los griegos y chinos plantearon en su ĂŠpoca sistemas de tres ecuaciones e inventaron mĂŠtodos para darles soluciĂłn. Te invitamos ahora a utilizar lo estudiado en los bloques anteriores para plantear un sistema que represente o modele la siguiente situaciĂłn real. La edad de tres amigos es 25 aĂąos, ademĂĄs la edad del tercero menos el segundo es 3 y el tercero menos el primero es 2. ÂżCuĂĄl es la edad de cada amigo? Si x representa la edad del menor, y la edad del mediano y z la edad de la mayor, esta situaciĂłn se puede modelar con un sistema de tres ecuaciones lineales:

z 25 Â x Â° y

z 3 ÂŽ 0 x Â°

z 2 ÂŻ x Al conjunto de tres ecuaciones con tres incĂłgnitas de grado uno, es a lo que se sistema lineal de 3 Ă&#x2014; . 3. La estructura es la siguiente: le conoce como un VLVWHPD OLQHDO GH Ă&#x2014;

a12 y

a13 z c1 Â a 11 x Â°

a22 y

a23 z c2 ÂŽ a 21 x Â° a x

a33 z c3 ÂŻ 31 a32 y Otros ejemplos de este tipo de sistemas:

5 y 23 Â 2 x Â° y z 18 ÂŽ x Â° 2 x

3z 45 ÂŻ y

w 20 Ât Â°

3w 12 ÂŽ t Â° 3t

w 30 ÂŻ z

t 23 Âp

Â° 2q 24 ÂŽ2 p

Â°p ÂŻ t 18

Es importante recordar que al igual que en los sistemas de ecuaciones lineales de dos por dos, si tienen una sola soluciĂłn son FRPSDWLEOHV VL WLHQH LQÂżQLWDV VROXFLRQHV son indeterminados o si no hay soluciĂłn son LQFRPSDWLEOHV.

311

loque VIII

Resuelves ecuaciones lineales III

MÃ©todo de determinantes $O LJXDO TXH HQ HO PpWRGR GH GHWHUPLQDQWHV GH Ã® VH WLHQH TXH GHÂ¿QLU FRPR encontrar los determinantes detS, detx, dety y detz, retomando la representaciÃ³n matricial del problema de las edades, obtenemos: 1 0

1 1 25 1 1 3

1 0

1 2

El GHWHUPLQDQWH SULQFLSDO es: 1 1 0 1 det p 1 0 1 1 0 1

1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 0 1 1 0 1

1 1 1 = Ã Ã Ã Ã 1 Ã Ã

1 det p 3

Determinante en [ x: 25 1 1 25 1 1 3 1 1 3 1 1 det x 2 0 1 2 0 1 Ã Ã Ã Ã

25 1 1 25 1 1 3 1 1 3 1 1 Ã

det x 24 Determinante en \ y: 1 25 1 1 25 1 0 3 1 0 3 1 det y 1 2 1 1 2 1 1 25 1 1 25 1 0 3 1 0 3 1

Ã Ã Ã Ã + 1(25)(0) det y 21

312

Resuelves ecuaciones lineales III

Determinante en z: 1 0

1 25 1 3

det z 1 0 1 1 0

1 0

1 25 1 3

2 1 0 25 1 1 3

2 Ă Ă Ă Ă Ă 25 Ă

1 3 det z 30

Una vez obtenidos los determinantes, se procede a calcular el valor de las variables desconocidas: x

det x 24 8 det p 3

det y det p

21 7 3

det z 30 10 det p 3

Por lo tanto las edades de son 8, 7 y 10 aĂąos que sumados dan 25 aĂąos. Esto permite concluir que el sistema es compatible en una soluciĂłn Ăşnica.

Aplica lo aprendido

Actividad 1 Instrucciones: Lee con atenciĂłn los problemas y responde a lo se te solicita, aplica el mĂŠtodo aprendido anteriormente. Al concluir comparte con tus compaĂąeros las soluciones obtenidas y escucha las opiniones de ellos. 1. El Sr. Juan fue a la fonda de doĂąa Lola, pidiĂł 2 tostadas, 2 jugos y una memela pagando $54.00, se encontrĂł a su compadre que comiĂł 1 jugo y 4 memelas por $44.00 y a su tĂa que pagĂł $67.00 por 3 tostadas y 2 jugos ÂżCuĂĄl es el precio de cada tostada, memela y el jugo? Si deseo comprar 6 tostadas ÂżcuĂĄnto pagarĂŠ? 2. Un niĂąo ha estado ahorrando dinero en tres distintos y pequeĂąos costales, el primero tiene la cantidad de $58.00, el segundo $41.00 y el Ăşltimo con $35.00. Si los costales contienen tres distintas monedas de diferente denominaciĂłn con

313

loque VIII

Resuelves ecuaciones lineales III

las siguientes cantidades de monedas para cada costal: en el primer costal (6,8 y 10); en el segundo costal (3 y 10); y en el tercer costal (7, 4 y 1) ÂżCuĂĄl es la denominaciĂłn de cada moneda? 3. Si en el problema anterior se varĂa el total de dinero y el nĂşmero de monedas de manera tal que se determinan los siguientes dos sistemas de ecuaciones, encuentra la denominaciĂłn de las monedas para cada uno de los sistemas resultantes de estos cambios.

z 26 Â2 x Â°

2z 35 a) ÂŽ 3 x Â° ox

z 18 ÂŻ 4 y

2z 12 Â 5 x Â°

4z 10 b) ÂŽ 4 x Â° 7 x

6z 12 ÂŻ y

Aprende mĂĄs

MĂŠtodo eliminaciĂłn reducciĂłn (suma y resta) Consideremos el mismo problema que involucra la edad de tres amigos, pero ahora supongamos que la suma de sus edades es 65 aĂąos ademĂĄs, la edad del tercero menos la edad del segundo es 2 aĂąos y la edad del tercero menos la edad del primero es 8 aĂąos. ÂżCuĂĄl es la edad de cada amigo? Si [x representa la edad del primero; \ y la edad del segundo y z la edad del tercero el problema se modela con el siguiente sistema de ecuaciones lineales 3 Ă&#x2014; 3:

z 65 Âx Â° y

z 2 ÂŽ Â°

z 8 ÂŻ x

314

Resuelves ecuaciones lineales III

Dado un sistema de ecuaciones lineales de tres incĂłgnitas es posible encontrar XQD VROXFLyQ LQÂżQLWDV VROXFLRQHV R QLQJXQD VROXFLyQ HQ HVWH DSDUWDGR VH GHVFULEH el mĂŠtodo de suma y resta. En seguida te presentamos los pasos a seguir: 1. Multiplica la primera y segunda ecuaciĂłn por un nĂşmero de tal forma que al sumar las dos ecuaciones, una variable se elimine, en este caso z.

z 65 Âx

ÂŽ y

z 2)( 1) ÂŻ (

2. Ahora se toman la segunda y tercera ecuaciĂłn para multiplicarse por un nĂşmero de tal manera que al sumarlas se elimine la variable z.

z 2 Â ÂŽ x

z 8)( 1) ÂŻ (

3. Multiplica por un nĂşmero las ecuaciones resultantes, marcadas con 1 y 2, [ para sumarlas y eliminar la variable x, \. posteriormente despejar y.

2y 63 (1)

x y 6 6 (2) x

2y 63 (x y 6)( 1)

4. Sustituye y\ en la ecuaciĂłn 2 y despejar [. x.

2y 63 x

y 6

3 y 69 69 y 23 3 x y 6 x 23 6 x 6

23 17

5. Sustituye y\ y x[ en alguna de las ecuaciones principales del sistema y\ despejar z.

z 65 x

z 65 17

40 25 z 65 x 17,

Las edades son:

y 23,

z 25

Este sistema resulto ser compatible, ya que se encontrĂł una soluciĂłn. Con la intenciĂłn de que practiques y consolides el mĂŠtodo para resolver un sistema de ecuaciones lineales 3 Ă&#x2014; 3, observa un ejemplo mĂĄs: 2y

z 1 Â3 x

Â° 3y

4z 2 ÂŽ5 x

Â°x

z 1 ÂŻ y

315

loque VIII

Resuelves ecuaciones lineales III

1. Multiplica la primera y segunda ecuaciĂłn por un nĂşmero de tal forma que al sumar las dos ecuaciones una variable se elimine.

z 1)(5) Â (3 x ÂŽ

4z 2)( 3) ÂŻ (5 x

2. ahora se toman las segunda y tercera ecuaciĂłn se multiplican por un nĂşmero de tal manera que al sumarlas se elimine la variables \. y.

4z 2)(1) Â (5 x ÂŽ

y z 1)( 5) ÂŻ ( x

ÂÂ°

10 y

5z 5 15 x ÂŽ 15 x 9y 12z 6 Â°ÂŻ y 7z 1

4z 2 Â 5 x ÂŽ 5 x 5y

5z 5 ÂŻ 2y

9z 3

3. Multiplica por un nĂşmero las ecuaciones resultantes, marcadas con 1 y 2, para sumarlas y eliminar la variable \ yy posteriormente despejar z.

(y 7z 2)(2) ( 2 y

9z 3)(1) 5z 5 z

4. Sustituye z en la ecuaciĂłn 2 y despejar y. \.

2y 2 14z 2 y

9z 3

5 1 5

9z 3 2y Â´

9(1) 3 2y 3 9 y

5. Sustituye \y y z en alguna de las ecuaciones principales del sistema y despejar [. x.

12 6 2

z 1 3x

2(6)

1 1 3x

13 1

6. Se obtienen y comprueban las soluciones. Un sistema con una Ăşnica soluciĂłn, por lo tanto, compatible.

316

1 13 12 4 3 2

x 4 y 6 z 1

Resuelves ecuaciones lineales III

Aplica lo aprendido

Actividad 2 Instrucciones: Lee, recuerda y aplica lo aprendido para resolver los siguientes problemas, aplicando el método de eliminación. Al concluir comparte con tus compañeros las soluciones obtenidas y escucha las opiniones de ellos. 1. Un granjero tiene tres granjas y tres presentaciones distintas de huevo, la siguiente tabla muestra las ventas de cada presentación y granja. Granja El girasol Los polluelos El buen gallo

12 huevos

18 huevos

30 huevos

Venta

10 8 12

12 9 8

5 11 9

$858 $1039 $994

Según los datos anteriores ¿Cuál es el costo de cada presentación? 2. Un artesano durante tres semana anoto las ventas de llaveros, porta retratos y ceniceros. La venta por semana fue: 1ra. Semana: 8 llaveros, 3 porta-retratos y 7 ceniceros, por $486. 2da. Semana: 4 porta-retratos y 2 ceniceros, por $270. 3ra. Semana: 5 llaveros y 4 porta-retratos, por $240. a) ¿Cuál es el precio de cada producto? b) Si desea realizar un incremento de 5% sobre el precio de cada artesanía ¿Cuál es el nuevo costo de cada artículo? 3. Don Pedro un granjero productor de leche tiene un rancho en el cual elaboran tres presentaciones distintas de envasado de leche, si la siguiente tabla muestra el llenado de botellas por etapas. Encuentra los datos en la página siguiente.

317

loque VIII

Resuelves ecuaciones lineales III

Etapa 1

Etapa 2

Etapa 3

2 1

1 3

2 2

Botella 1 Botella 2

1 11.5

1 14.3

5 21.9

Botella 3 Litros

a) ¿Qué elementos matemáticos te permitirán resolver el problema? b) ¿Cuál sería el modelo algebraico para representar esta situación? c) ¿Cuál es la capacidad, en litros, de cada botella? 4. Tres compuestos se combinan para formar 3 tipos de fertilizantes. Una unidad de fertilizante del tipo 1 requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere 20 kg del compuesto A, 30 kg del B y 60 kg del compuesto C. Para la unidad del III requiere 50 kg del A, y 50 kg del C. Si se tiene disponible 1600 kg del A, 1200 kg del B y 3200 del C. ¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se usa todo el material químico disponible?

Aprende más

*Ui¿FD GH XQ VLVWHPD GH HFXDFLRQHV OLQHDOHV GH LQFyJQLWDV Recuerda que en el bloque VII, un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas VH UHSUHVHQWD JUi¿FDPHQWH FRQ GRV UHFWDV TXH SXHGHQ VHU SDUDOHODV R FUX]DUVH en un punto o coincidir en todos sus puntos, originando con ello que el sistema no WHQJD VROXFLyQ R XQD VROXFLyQ R LQ¿QLWDV VROXFLRQHV

318

Resuelves ecuaciones lineales III

$Vt FRPR XQ VLVWHPD GH HFXDFLRQHV OLQHDOHV Ã® VH SODVPD JUiÂ¿FDPHQWH HQ XQ plano cartesiano de dos dimensiones a travÃ©s de los ejes X y Y, para plasmar la UHSUHVHQWDFLyQ JUiÂ¿FD GH XQ VLVWHPD GH HFXDFLRQHV OLQHDOHV Ã® VH QHFHVLWD HO sistema cartesiano tridimensional de Fermat que consiste en un espacio formado por la intersecciÃ³n de tres rectas en un Ã¡ngulo de 90Â°, los ejes X, Y y Z. /D UHSUHVHQWDFLyQ JUiÂ¿FD GH XQD HFXDFLyQ OLQHDO FRQ GRV YDULDEOHV HV XQD OtQHD UHFWD SHUR OD UHSUHVHQWDFLyQ JUiÂ¿FD GH XQD HFXDFLyQ OLQHDO FRQ WUHV YDULDEOHV QR resulta ser una recta, sino un plano.

Plano: regiÃ³n del espacio que posee dos dimensiones, contiene infinitos puntos y rectas.

Figura 8.4.

Ejemplo de distintos planos que no son mÃ¡s que ecuaciones lineales con tres incÃ³gnitas, son las paredes de tu escuela o de tu casa.

Figura 8.5.

/D JUiÂ¿FD GH OD HFXDFLyQ x + 2y - z UHSUHVHQWD HO SODQR GH OD VLJXLHQWH Â¿JXUD

Figura 8.6.

319

loque VIII

Resuelves ecuaciones lineales III

6H REVHUYD GH ORV JUi¿FRV GH GLVWLQWRV SODQRV TXH HVWRV VH LQWHUVHFWDQ HQ XQD UHFWD o en un plano o en un punto, lo cual permite visualizar las posibles soluciones, recuerda que en los sistemas lineales de dos por dos la intersección o no intersección proporcionaba la solución o no solución del sistema, por consiguiente se tiene que un sistema lineal 3 × 3 cuenta con:

III

Solución única: los tres planos coinciden en un solo punto.

La solución es una recta: los planos coinciden un conjunto de puntos formando una recta.

No hay solución: planos paralelos entre sí.

,Q¿QLWDV VROXFLRQHV ORV WUHV planos coinciden.

III

Figura 8.7. Soluciones de un sistema lineal 3 × 3.

320

Resuelves ecuaciones lineales III

3DUD JUDÂ¿FDU XQ VLVWHPD OLQHDO GH WUHV SRU WUHV

z 1 Â 3 x Â°

4z 2 Â® 5 x Â° x z 1 Â¯ y Y poder encontrar el valor de las incÃ³gnitas, primero se despeja de las tres ecuaciones la misma variable, puede ser cualquiera de las tres, en este caso, despejaremos a la variable z. 3x 2y Â z 1 Â° 1.25 x 0.75 y Â® z 0.5 Â° z 1

y Â¯ 3RVWHULRUPHQWH VH JUDÂ¿FDQ HQ HO SODQR WULGLPHQVLRQDO [, 3RVWHULRUPHQWH VH JUDÂ¿FDQ HQ HO SODQR WULGLPHQVLRQDO x, \, y, z).

3ODQR ] Ã [ Ã \

Punto de intersecciÃ³n de los WUHV SODQRV [ Ã y = 6, z =1

3ODQR ] Ã [ Ã \ 3ODQR ] Ã [ \

Figura 8.8.

$O REVHUYDU HO JUDÂ¿FR GH ORV SODQRV VH WLHQH TXH HO SXQWR GH LQWHUVHFFLyQ GH ORV WUHV planos resulta ser el punto (Ã4, 6, 1). Concluyendo que el sistema es compatible.

321

loque VIII

Resuelves ecuaciones lineales III

Aplica lo aprendido

Actividad 3 Instrucciones: Lee con atención la siguiente indicación y responde lo se te solicita. Al concluir comparte con tus compañeros las soluciones obtenidas y escucha ODV RSLQLRQHV GH HOORV 3DUD FDGD XQR GH ORV VLJXLHQWHV JUi¿FRV HVFULEH VL WLHQH XQD VROXFLyQ ~QLFD R QR WLHQH VROXFLyQ R LQ¿QLWDV VROXFLRQHV R XQD UHFWD FRPR VROXFLyQ

322

Resuelves ecuaciones lineales III

5HÀH[LRQHPRV VREUH OD DFWLYLGDG

¿De qué te das cuenta? ¿Cómo se aplican un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas en problemas de la vida cotidiana? Expone de manera coherente y breve.

/RV SURFHGLPLHQWRV \ RSHUDFLRQHV SDUD OOHJDU D OD VROXFLyQ GH HVWRV HMHUFLFLRV IRUPDUiQ SDUWH GH WX SUREOHPDULR

Actividad 4 Producto de aprendizaje: maqueta 3D Se trata de hacer tangible el manejo simultáneo de tres variables a través de una maqueta que represente un espacio tridimensional para localizar en él objetos a través de sus coordenadas de tres entradas. Instrucciones:

Elaborarán en equipos de tres integrantes una maqueta de dimensiones (largo, ancho y espesor) 40 x 40 x 40 cm. Debe ser un cubo, pero sólo con tres paredes o con las seis que conforman un hexaedro pero tres de ellas deberán ser transparentes para poder apreciar la ubicación de objetos dentro de ella.

323

loque VIII

Resuelves ecuaciones lineales III

Â&#x2021;

Investiguen el procedimiento para ubicar objetos en un espacio tridimensional a travĂŠs de sus coordenadas de tres entradas.

Â&#x2021;

Establezcan, al menos cinco, coordenadas de objetos que pueden ubicarse en un espacio tridimensional, pueden ser una lĂĄmpara, un ventilador, una televisiĂłn o hasta el cuadro de tu fotografĂa colgado en la pared de tu cuarto. Puedes seleccionar otros espacios distintos al de una habitaciĂłn de tu hogar, quizĂĄ preÂżHUDV HVFRJHU HO DXOD GH XQD HVFXHOD R XQD VDOD GH FLQH HQWUH RWURV TXH VH OHV ocurran.

Â&#x2021;

Los materiales que utilicen, preferentemente reciclados, pueden ser diversos y quedan libres a tu elecciĂłn.

Â&#x2021;

Preparen la exposiciĂłn de su maqueta explicando la importancia de poder ubicar objetos en espacios tridimensionales y, tambiĂŠn narren, en un reporte, el proceso de construcciĂłn de su maqueta con las complicaciones a las que se enfrentaron para lograrla.

Actividad 5 Producto de aprendizaje: elaboraciĂłn de tu problemario Esta actividad consiste en conformar tu problemario con los problemas y ejercicios que resolviste de manera individual o grupal en las tres actividades y tu actividad de UHĂ&#x20AC;H[LyQ SUHVHQWDGDV D OR ODUJR GHO EORTXH En tu libreta o cuaderno que hayas destinado para este producto de aprendizaje, colocarĂĄs cada uno de los ejercicios que se te indicaron que formarĂan parte del problemario, sĂłlo asegĂşrate antes de colocarlos que los procedimientos y resultados VHDQ FRUUHFWRV 7H VXJHULPRV TXH HO UHVXOWDGR ÂżQDO GH FDGD HMHUFLFLR R SUREOHPD OR puedas resaltar con una tinta de color diferente al color utilizado en el procedimiento. Te invitamos a consultar la lista de cotejo que se encuentra en la secciĂłn de evaluaciĂłn que se encuentra enseguida, para que consideres los criterios de evaluaciĂłn que debes cubrir. Para presentar tu problemario a tu Profesor, es importante que mantengas limpieza y orden, ademĂĄs coloca una carĂĄtula al inicio con tus datos (nombre, de la escuela, asignatura, del estudiante, bloque, tĂtulo del problemario, semestre, grupo y fecha de entrega) y un Ăndice.

324

Resuelves ecuaciones lineales III

Lista de cotejo para evaluar el producto de aprendizaje: maqueta 3D Criterios

Contenido

Indicadores

Sí cumple

No cumple

Observaciones

Realizó la construcción de una maqueta para representar un espacio tridimensional ubicando cinco objetos en ella. El reporte fue coherente, ordenado y limpio, dejando claro el proceso seguido en la elaboración de su maqueta. La estructura de la maqueta HV VyOLGD \ ¿UPD Las medidas de largo, ancho y espesor se respetaron, 40 cm cada una.

Presentación

El diseño permite observar el interior de la maqueta y apreciar la ubicación de los cinco objetos seleccionados. Las coordenadas presentadas son congruentes con la localización de los objetos en el espacio tridimensional. La exposición del proyecto es clara y precisa mostrando interés por compartir su trabajo.

Actitudes Su comportamiento es respetuoso tanto hacia el interior del equipo como hacia los demás compañeros.

Total de puntos

Si en la lista de cotejo lograste los 8 a 7 puntos, considera tu resultado como Excelente, y si lograste 6 a 5 puntos es Bien, de 4 es Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 4 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que atiendas tus áreas de oportunidad.

325

loque VIII

Resuelves ecuaciones lineales III

([FHOHQWH ¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

Lista de cotejo para evaluar el producto de aprendizaje: problemario Criterios

Indicadores

Sí cumple

Presenta carátula con los datos de: nombre de la escuela, estudiante, asignatura, bloque, título del poblemario, semestre, grupo, fecha. Presentación

Las actividades incluidas muestran orden y limpieza. El planteamiento de la actividad a tinta. Proceso de solución a lápiz. Presenta índice.

Planteamiento de ecuaciones

,GHQWL¿FD FRUUHFWDPHQWH HO tipo de ecuación a utilizar. Utiliza el método solicitado.

Procedimientos Escribe todos los pasos. Comprueba las soluciones obtenidas. Solución Las interpreta de acuerdo al contexto. Trabaja de forma colaborativa. Actitud

Respeta las opiniones de otros Sigue con atención instrucciones y las interpreta.

Total de puntos

326

No cumple

Observaciones

Resuelves ecuaciones lineales III

Si en la lista de cotejo lograste los 11 puntos considera tu resultado como Excelente y si lograste 9 a 10 puntos es Bien, de 6 a 8 es Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 6 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que atiendas tus áreas de oportunidad. ([FHOHQWH ¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

327

loque VIII

Resuelves ecuaciones lineales III

Registro del avance Competencias genĂŠricas y disciplinares del bloque VIII

Atributos

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizaciĂłn de medios, cĂłdigos y herramientas apropiados.

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingĂźĂsticas, matemĂĄticas o JUiÂżFDV

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mĂŠtodos establecidos.

'HÂżQH PHWDV \ GD VHJXLPLHQWR D VXV SURFHsos de construcciĂłn de conocimiento. 7. Aprende por iniciativa e interĂŠs propio a lo largo de la vida.

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

328

Nivel de avance

Resuelves ecuaciones lineales III

Competencias disciplinares

Nivel de avance

Cuando concluyas la tabla presĂŠntala a tu profesor y valoren los avances registrados.

329

Bloque IX. Resuelves ecuaciones cuadrรกticas I

Bloque IX Resuelves ecuaciones cuadrรกticas I

331

loque IX

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

IntroducciĂłn

Al plantear un enunciado a una expresiĂłn con letras, nĂşmeros, sĂmbolos y operaciones y si ĂŠsta la igualamos a otra expresiĂłn o un nĂşmero a la que denominamos ecuaciĂłn es como la traducciĂłn de un lenguaje a otro. Esta comparaciĂłn, usada por Newton en su Arithmetica Universalis, puede ayudar a aclarar la naturaleza de FLHUWDV GLÂżFXOWDGHV FRQ TXH D PHQXGR VH HQFXHQWUDQ WDQWR ORV HVWXGLDQWHV FRPR ORV SURIHVRUHV /DV GLÂżFXOWDGHV GH WUDGXFFLyQ REHGHFHQ SRU HMHPSOR DO PDO XVR \ OD GLYHUVLGDG GH OD VLPERORJtD PDWHPiWLFD HQ PXFKDV RFDVLRQHV OD H[SUHVLyQ ÂłHO GREOH GH XQ Q~PHURÂ´ OD DVRFLDPRV FRQ OD H[SUHVLyQ x2 cuando en realidad la correcta es: 2x o tambiĂŠn x + x. 3ODQWHDU XQD HFXDFLyQ VLJQLÂżFD H[SUHVDU HQ VtPEROR PDWHPiWLFRV XQD FRQGLFLyQ formulada con palabras; es una traducciĂłn de un lenguaje corriente al lenguaje de fĂłrmulas matemĂĄticas. Para traducir una frase del idioma inglĂŠs al francĂŠs se necesitan dos cosas. Primero comprender totalmente la frase en idioma inglĂŠs y segundo, estar familiarizados con las formas de expresiĂłn peculiares de la lengua francesa. La situaciĂłn es muy semejante cuando tratamos de expresar en sĂmbolos matemĂĄticos una condiciĂłn propuesta en palabras. En primer lugar, tienes que comprender totalmente la condiciĂłn de la frase y en segundo lugar, debes estar familiarizado con las formas de expresiĂłn matemĂĄtica. Para el planteamiento y resoluciĂłn de ecuaciones cuadrĂĄticas, en este noveno bloque te presentamos una serie de actividades que te ayudarĂĄn a consolidar tu aprendizaje del ĂĄlgebra. En los tres bloques anteriores estudiamos como tema central las ecuaciones lineales y de este estudio se desprendiĂł el concepto de sistemas de ecuaciones lineales, tanto de dos como de tres ecuaciones. El objetivo, en tĂŠrminos generales, es el mismo: determinar los valores asociados a las variables de tal modo que las ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones cuadrĂĄticas se satisfagan, es decir, se cumplan las igualdades correspondientes.

Arithmetica Universalis: obra basada en las notas de clase de Newton donde se estudia la notaciĂłn algebraica, la relaciĂłn entre geometrĂa y ĂĄlgebra, asĂ como la soluciĂłn de ecuaciones. Publicada en 1707.

332

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

ÂżQuĂŠ competencias desarrollarĂĄs? Competencias genĂŠricas

Atributos Â&#x2021;

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizaciĂłn de medios, cĂłdigos y herramientas apropiados.

Â&#x2021;

Â&#x2021; 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mĂŠtodos establecidos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interĂŠs y relevancia general, considerando otros puntos de vista de PDQHUD FUtWLFD \ UHĂ&#x20AC;H[LYD

7. Aprende por iniciativa e interĂŠs propio a lo largo de la vida.

Â&#x2021;

Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintĂŠtica.

Â&#x2021;

Â&#x2021; 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Â&#x2021;

333

loque IX

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

Competencias disciplinares Â&#x2021;

Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021;

ÂżCon quĂŠ propĂłsito? Modelas y resuelves problemas de tu entorno, por medio de la soluciĂłn de ecuaciones cuadrĂĄticas, tanto completas como incompletas.

ÂżQuĂŠ aprenderĂĄs y cĂłmo? Contenidos curriculares

DescripciĂłn Â&#x2021;

Conceptuales

Â&#x2021;

Â&#x2021; Procedimentales

Â&#x2021; Â&#x2021;

334

Ecuaciones cuadrĂĄticas - Completas - Incompletas

,GHQWLÂżFDV HO PRGHOR DOJHEUDLFR de una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica con una variable. Comprendes los mĂŠtodos de soluciĂłn de una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica completa e incompleta. Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas aplicando distintos mĂŠtodos. Interpretas las soluciones de una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica. Formulas y resuelves problemas diversos de tu entorno por medio de la soluciĂłn de ecuaciones cuadrĂĄticas. Interpretas las soluciones de un problema a travĂŠs de su conexiĂłn con el mundo real.

MetodologĂa Â&#x2021;

Â&#x2021;

,GHQWLÂżFDV HO PRGHOR GH una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica con una variable. Formulas o planteas problemas de su entorno.

Recuperas y generalizas los mĂŠtodos de soluciĂłn de ecuaciones lineales. Realizas ejercicios aplicando los mĂŠtodos: despeje, factorizaciĂłn y fĂłrmula general para resolver una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica. Analizas y presentas el proceso para llegar a la soluciĂłn de ecuaciones cuadrĂĄticas. Expresas el procedimiento y soluciĂłn de problemas.

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

Â&#x2021;

Â&#x2021; Â&#x2021; Actitudinales Â&#x2021;

Valora la importancia del trabajo con orden y limpieza. Promueve el trabajo colaborativo. Respeta las opiniones de los demĂĄs e interpreta instrucciones. Â&#x2021;

Realizas y expones trabajos con criterios de orden y limpieza. Respetas y escuchas las opiniones y/o argumentos de otras personas. Compartes ideas mediante productos, principalmente al hacer trabajo colaborativo. Sigues con atenciĂłn e interpretas instrucciones tanto de forma oral como escrita.

ÂżQuĂŠ tiempo vas a emplear? Considera ocho horas para el desarrollo de este bloque, lo mĂĄs recomendable es que utilices dos horas para revisar los contenidos temĂĄticos y seis horas para realizar las actividades propuestas y la elaboraciĂłn del memorama de crucigramas cuadrĂĄticos.

EvaluaciĂłn del aprendizaje: productos Durante este bloque obtendrĂĄs los siguientes productos de aprendizaje que ponGUiQ GH PDQLÂżHVWR HO GHVDUUROOR GH WXV FRPSHWHQFLDV Â&#x2021; Â&#x2021;

Problemario Memorama de crucigramas cuadrĂĄticos

Problemario. Lo elaborarĂĄs trabajando tanto en tu libro como en tu libreta con la resoluciĂłn de problemas y ejercicios de manera individual y grupal. Al termino del bloque, integrarĂĄs tu problemario con las cinco actividades que hallas realizado a OR ODUJR GHO EORTXH FRQVXOWD OD OLVWD GH FRWHMR TXH HVWi XELFDGD DO ÂżQDO GHO EORTXH para tener idea clara de los criterios de evaluaciĂłn que debes cubrir para entregarlo a tu profesor. Memorama de crucigramas cuadrĂĄticos. Este juego lo elaborarĂĄs con los ejercicios de los acertijos cuadrĂĄticos y ecuaciones cuadrĂĄticas que modelan a los acertijos que irĂĄs resolviendo a lo largo del bloque. Las indicaciones las podrĂĄs ver en la actividad nĂşmero 6, te invitamos a que revises los criterios de evaluaciĂłn que debes considerar para presentarlo y entregarlo a tu profesor, estos estĂĄn indicados en la secciĂłn de evaluaciĂłn del bloque.

335

loque IX

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

3DUD LQLFLDU UHĂ H[LRQD Las ecuaciones cuadrĂĄticas ÂĄdesde los babilonios! Al igual que en el bloque VI, donde te mostramos que ya habĂas resuelto ecuaciones lineales desde la primaria, ahora te mostraremos que tambiĂŠn en la primaria o en la secundaria resolviste ecuaciones cuadrĂĄticas o de segundo grado. Para que te convenzas, observa y resuelve los siguientes ejercicios: 1. Encuentra el elemento perdido en: a) ( )2 5 20 3 Â§ b) Â¨ 4 Â¨ÂŠ

Âˇ 1 Â¸Â¸8 8 Âš 2

c) ( )2

( )2 100 (Teorema de PitĂĄgoras)

2. Adivina el nĂşmero de naranjas que hay en un costal, la pista es que al elevar al cuadrado dicho nĂşmero de naranjas y restarle cuatro docenas te da como resultado 33. Â˘6XÂżFLHQWH FRQ HVWRV HMHPSORV" 'H PDQHUD LPSOtFLWD H LQIRUPDO DSUHQGLVWH HQ OD Primaria el concepto de ecuaciĂłn cuadrĂĄtica. Ahora en el desarrollo de este bloque, utilizaremos lo que ya hemos estudiado a partir del bloque VI, es decir, ampliaremos las propiedades y mĂŠtodos de soluciĂłn de una ecuaciĂłn lineal para una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica. Los babilonios, en el periodo del 600 aC al 300 dC, desarrollaron ampliamente conceptos y procedimientos algebraicos tales como los relacionados con las ecuaciones, se nota en sus escritos que casi no le prestaron atenciĂłn a las ecuaciones lineales, quizĂĄ por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron mĂĄs los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado. Los matemĂĄticos griegos, del periodo 100 dC al 300 dC, tampoco tuvieron problemas con las ecuaciones lineales y dirigieron su mayor atenciĂłn hacia el estudio de las ecuaciones de segundo grado e incluso las de grado tres.

336

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

Esperamos que en tu caso, tampoco tengas problemas con el manejo de las ecuaciones ni lineales ni cuadrĂĄticas, para ello te sugerimos hacer uso de todas tus habilidades matemĂĄticas desarrolladas hasta el momento, recordando que siempre serĂĄn Ăştiles los conocimientos por muy antiguos que estos parezcan.

ÂżCon quĂŠ conocimientos cuentas? EvaluaciĂłn diagnĂłstica Para facilitar el estudio de las ecuaciones cuadrĂĄticas es importante que tengas ya desarrollada tu habilidad en el manejo de operaciones algebraicas y en la soluciĂłn de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales. InstrucciĂłn: En equipos de tres participantes lean los siguientes problemas y resuĂŠlvelos poniendo en prĂĄctica tus conocimientos, habilidades y una actitud de respeto, que muestre tu disposiciĂłn entusiasta hacia el trabajo colaborativo. 1. En un experimento de nutriciĂłn, una persona debe consumir exactamente 500 mg de potasio, 75 g de proteĂna y 1150 unidades de vitamina D cada dĂa. Los Ăşnicos alimentos que consumirĂĄ son: Fortex, Esbelta y Redumax. Los siguientes datos representan las cantidades de esos nutrientes por onza de cada alimento.

Potasio (mg) ProteĂna (g) Vitamina D (unid)

Fortex 50 5 90

Esbelta 75 10 100

Redumax 10 3 50

ÂżCuĂĄntas onzas de cada producto debe consumir la persona para cumplir con lo indicado por el experimento? 2. En la ecuaciĂłn 2(x + 5) + n = 4x Ă Â˘TXp Q~PHUR UHDO GHEH VHU Q SDUD TXH OD VROXFLyQ VHD Ă " (Q HO PXVHR LQWHUDFWLYR ÂłSLHQVD \ DFW~DÂ´ ORV EROHWRV FXHVWDQ SDUD DGXOWRV \ $15 para niĂąos. Cierto domingo se vendieron 225 boletos y con ello se juntaron $5000, ÂżcuĂĄntos boletos para adulto y niĂąo se vendieron ese dĂa? 4. El papĂĄ de Fausto quiere construir una alberca rectangular, si debe cumplir con

337

loque IX

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

un perĂmetro de 22 m y sabe que su largo es 2 metros mayor que el doble de su ancho, ÂżcuĂĄles deben ser las dimensiones de la alberca? 5HODFLRQD ODV VLJXLHQWHV FROXPQDV XWLOL]DQGR Ă&#x20AC;HFKDV SDUD KDFHU FRUUHVSRQGHU la expresiĂłn algebraica con su correspondiente factorizaciĂłn: x2 Ă x Ă

(3k + 2x - y)(3k - 2x+ y)

25x2 Ă xy + y2

(x + 3y)(2x Âą

36x4k6 Ă

(3x - 2y)(2x + y)

2x2 + 6xy Ă x Ă y

(x - 6)(x + 2)

9k2 Ă x2 + 4xy Ă y2

(5x Âą y)2

6x2 Ă xy Ă y2

(x - 12)(x + 1) (6x2k3 Âą x2k3 Âą

6. Determina la soluciĂłn de las siguientes g ecuaciones: 3x

x 1 5

5x 5 5

3x 1 x 2 x 3

8 x 2

3DUD YHULÂżFDU ORV ORJURV REWHQLGRV HQ HVWD DFWLYLGDG \ UHDOL]DU WX DXWRHYDOXDFLyQ FRQVXOWD HO DQH[R GH UHVSXHVWDV

Si de la evaluaciĂłn anterior respondiste correctamente de 5 a 6 preguntas considera tu resultado como Bien, de 3 a 4 como Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 4 considera tu desempeĂąo como 1R VXÂżFLHQWH, lo que exige que refuerces tus conocimientos previos.

ÂżCĂłmo evalĂşas el nivel de tus conocimientos previos en funciĂłn de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXĂ&#x20AC;FLHQWH

338

Resuelves ecuaciones cuadráticas I

Ahora que ya te has dado cuenta de tus fortalezas y oportunidades, refuerza tus conocimientos consultando, en las secciones anteriores, los siguientes conceptos: ecuaciones de primer grado, sistema de ecuaciones simultáneas con dos y tres variables y operaciones algebraicas básicas.

/RV SURFHGLPLHQWRV \ RSHUDFLRQHV SDUD OOHJDU D OD VROXFLyQ GH HVWRV HMHUFLFLRV IRUPDUiQ SDUWH GH WX SUREOHPDULR

Aprende más Ecuaciones cuadráticas incompletas triviales En este bloque utilizaremos las operaciones aritméticas y algebraicas básicas (suma, resta, multiplicación, división, potencia y raíz), ellas son la base del proceso para resolver ecuaciones, tanto lineales como cuadráticas. Para demostrarte lo anterior, te invitamos a resolver los siguientes acertijos matemáticos: a) Encuentra el número de peras en una canasta, ese número al elevarlo al cuadrado te da como resultado cero. b) Determina el número que al elevarlo al cuadrado y multiplicarlo por nueve te dé como resultado cero. c) ¿Cuál es el número cuyo cuadrado multiplicado por menos seis te da como resultado cero? ¿La respuesta que encontraste para todos los acertijos fue la misma? ¿Acaso cero? Así es, la respuesta para estos acertijos es cero. Quizás te estés preguntando: ¿y esto a que se debe? Analicemos algebraicamente el trasfondo de los tres acertijos, nombremos al núme-

339

loque IX

Resuelves ecuaciones cuadrรกticas I

ro desconocido en los tres casos como [, x, su traducciรณn algebraica serรญa: 2 b) 9x 2 0 c) a) x 0 6x 2 0 Las tres ecuaciones que hemos obtenido se pueden resolver รบnicamente si a la variable representada por [x le asignamos el valor cero. ร sta soluciรณn la podemos obtener con los principios o normas que rigen un despeje de ecuaciones, observa: x, obtenemos: x 0 , x 0 a) En x 2 0, al despejar [, b) En 9x 2 0 , el 9[ 9x despeje resulta: x

6x 2 0 , el despeje resulta: x c) En

0 , x 0 9 0 , x 0 6

En general, la ecuaciรณn ax 2 0 con tiene como soluciรณn: x

0 , a

Las ecuaciones cuadrรกticas de este tipo siempre tendrรกn como soluciรณn el nรบmero cero, por esta razรณn se les llama ecuaciones cuadrรกticas incompletas triviales. Una HFXDFLyQ FXDGUiWLFD LQFRPSOHWD WULYLDO sรณlo tiene el tรฉrmino cuadrรกtico igualado a cero. Su forma general es: ax 2 0 Su soluciรณn siempre es cero.

Aprende mรกs Ecuaciones cuadrรกticas incompletas puras En esta secciรณn avanzaremos en el estudio de las ecuaciones cuadrรกticas incompletas, este tipo de ecuaciones lo podemos utilizar en situaciones donde desconocemos algunos datos para llegar a la soluciรณn, por ejemplo: Para una huerta, es comรบn medir el terreno a utilizar en hectรกreas. Si se ha desti-

340

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

QDGR XQ WHUUHQR FXDGUDQJXODU FRQ XQD VXSHUÂżFLH GH XQD KHFWiUHD ÂżCuĂĄl es la longitud de cada uno de sus lados? En otras palabras, ÂżCuĂĄl es el nĂşmero que al elevarlo al cuadrado da como resultado 10000? Si llamas a cada lado del terreno cuadrangular como x, para representar al nĂşmero desconocido obtenemos la ecuaciĂłn:

Figura 9.1.

x 2 10000 FactorizaciĂłn de una diferencia de cuadrados:

Despejando x:

x 10000 x r (100

b 2 (a b )(a

b) a2

100, x2 100 2EVHUYD TXH PDWHPiWLFDPHQWH ODV GRV VROXFLRQHV \ Ă FXPSOHQ TXH DO elevarlas al cuadrado se obtiene 10000. Pero, considerando nuestro problema de hallar la longitud de cada lado del terreno cuadrangular, la opciĂłn que se ajusta a la realidad es:

100 Es decir, cada lado del cuadrado mide 100 metros. Otra manera de resolver la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica x 2 10000 se basa en la factorizaciĂłn de una diferencia de cuadrados: Primero igualamos a cero:

x2 10000 0 Factorizando como diferencia de cuadrados, obtenemos:

7HRUHPD GHO )DFWRU &HUR Teorema del Factor Cero: operaciĂłn de igualar a cero cada factor:

(x 100)( x

100) 0

a Â&#x2DC;=b 0

Para que el resultado de una multiplicaciĂłn sea cero, al menos uno de sus factores tiene que ser cero. A lo anterior se le conoce como Factor Cero.

entonces a 0 Ăłb 0

341

loque IX

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

Aplicando el Teorema del Factor Cero: x 100 0 Ăł x

100 0

x1 100 Ăł x2 100 Hemos obtenido las mismas soluciones que cuando se aplicĂł la raĂz cuadrada. En general una ecuaciĂłn de la forma ax 2

c 0 se puede resolver despejando [. x. Una HFXDFLyQ FXDGUiWLFD LQFRPSOHWD SXUD se forma por un tĂŠrmino elevado al cuadrado mĂĄs un tĂŠrmino independiente igualado a cero.

c 0 donde a z Su forma general es: ax 2 0 y c z 0 Para resolverlas utiliza el despeje o factorizaciĂłn de una diferencia de cuadrados. Sus soluciones son: x r (

c a

Aplica lo aprendido

Actividad 1 Hasta aquĂ hemos estudiado dos tipos de ecuaciones cuadrĂĄticas incompletas las de tipo trivial y puras. Instrucciones: Sigue con atenciĂłn las indicaciones que se te presenten en los numerales del I al IV para consolidar tu aprendizaje: , ,GHQWLÂżFD \ FODVLÂżFD ODV VLJXLHQWHV HFXDFLRQHV FXDGUiWLFDV LQFRPSOHWDV HQ WULviales y puras, posteriormente escrĂbelas en el recuadro que le corresponde, utilizando su forma general:

342

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

6x 2 36 0

0 8x 2

12 x 2 32 x 2

x2 121 0

4x 2 4 54

7.5

8 x 2 52.5 4x2

Ecuaciones cuadrĂĄticas incompletas

Triviales:

Puras:

II. Modela o plantea los siguientes problemas a travĂŠs de una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica, determina la soluciĂłn de cada ecuaciĂłn e interpreta los resultados en funciĂłn del contexto del problema. Los procedimientos y operaciones los harĂĄs en tu cuaderno: En una fruterĂa: a) El nĂşmero de piĂąas inicial elevado al cuadrado menos siete es igual a 137. ÂżCuĂĄntas piĂąas habĂa inicialmente? b) Las sandĂas eran, al inicio, 15 mĂĄs que el nĂşmero de piĂąas, ÂżcuĂĄntas sandĂas habĂa al inicio? c) La cantidad de melones elevado al cuadrado mĂĄs 13 es igual a 209, ÂżcuĂĄntos melones habĂa originalmente? III. Georgina observa detenidamente los precios en el puesto de frutas y se confunde con ellos, algunos no estĂĄn escritos de forma convencional, ayĂşdala contestando las preguntas siguientes: x 2 25 0 2

x 81

2x 2 288 0

4 x 2 64 x2 1

Figura 9.2.

343

loque IX

Resuelves ecuaciones cuadrรกticas I

a) El precio del kilogramo de uva verde es igual al producto de las soluciones positivas de las ecuaciones mostradas en su cartel. ยฟCuรกnto deberรก pagar Georgina si desea comprar 1.750 kg de uvas verdes? b) El kilogramo de naranjas equivale a la suma de las soluciones positivas mostradas en su cartel. ยฟCuรกnto dinero necesita Georgina para comprar siete kilogramos de naranjas? c) Los duraznos son los mรกs caros, por un kilogramo de ellos se deben pagar cuatro veces la raรญz positiva de la ecuaciรณn mostrada en su cartel. Si Georgina quiere comprar tres kilogramos y medio de duraznos, ยฟcuรกnto debe pagar por ellos? ,9 &RQ HO ยฟQ GH HMHUFLWDU HO SURFHGLPLHQWR HVWXGLDGR GHWHUPLQD ODV VROXFLRQHV GH las siguientes ecuaciones cuadrรกticas: a) 6 x 2 36 0

d) 4 x 2 4 54

8x 2 b) 0

e) 12 x 2 32 x 2

121 0 c) x 2

7.5

8 x 2 52.5 4x2

&RQVWUX\H ODV SULPHUDV WDUMHWDV SDUD WX PHPRUDPD GH DFHUWLMRV FXDGUiWLFRV. De los ejercicios que has resuelto en esta actividad 1 en su nรบmero II, elabora tarjetas de papel o de cartulina de 5 x 13 cm. En una tarjeta escribe el acertijo, en la segunda tarjeta el modelo matemรกtico (ecuaciรณn cuadrรกtica) y en la tercera tarjeta la soluciรณn. Con tu creatividad inventa 2 acertijos diferentes con sus respectivas ecuaciones y soluciones. Elaborarรกs los cinco primeros trรญos (15 tarjetas) de tu memorama. 13 cm 5 cm

(Acertijo)

(Ecuaciรณn cuadrรกtica)

(Soluciรณn)

Figura 9.3. Ejemplo de tarjetas para memorama de acertijos cuadrรกticos.

344

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

Aprende mĂĄs Ecuaciones cuadrĂĄticas incompletas mixtas El tercer y Ăşltimo tipo de ecuaciĂłn cuadrĂĄtica incompleta es el mixto, en esta secciĂłn estudiaremos su forma general y la manera de encontrar sus soluciones. Para ello te invitamos a analizar la siguiente situaciĂłn:

7 x 2 147 x

3x2 54 x 0

El precio, en pesos, de cada kilogramo de manzana verde o roja es igual a la soluciĂłn distinta de cero de las ecuaciones cuadrĂĄticas mixtas mostradas en cada caso.

Figura 9.4.

ÂżQuĂŠ resulta mĂĄs caro? ÂżComprar un kilogramo de manzanas rojas o verdes? Para poder contestar la pregunta anterior, resolvamos las ecuaciones cuadrĂĄticas escritas en cada caso, observa que ambas tienen un tĂŠrmino cuadrĂĄtico y un tĂŠrmino lineal dependiendo de la misma variable representada por [. x. Haremos uso del caso de factorizaciĂłn por tĂŠrmino comĂşn que ya estudiamos en el bloque IV.

FactorizaciĂłn de un binomio con tĂŠrmino comĂşn: ax 2

bx x (ax

Para resolver la ecuaciĂłn 7 x 2 147 x Igualamos a cero: 7x 2 147 x 0 Factorizamos considerando a 7[ 7x como el factor comĂşn, obteniendo: 7 x( x 21) 0 Aplicando el Teorema del Factor Cero: 7 x 0 Ăł x 21

345

loque IX

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

Por lo tanto, resolviendo ambas ecuaciones lineales obtenemos: x1 0 Ăł x2 21 Interpretando las soluciones, deducimos que el precio de las manzanas verdes es de $21.00 De manera similar, resolvamos la ecuaciĂłn 3 x 2 54 x 0 para determinar el precio de las manzanas rojas. Tomando a 3[ 3x como factor comĂşn obtenemos: 3 x( x 18) 0 Por tanto, aplicando el Teorema del Factor Cero y despejando:

x1 0 Ăł x2 18 El precio de las manzanas rojas es de $18.00 Una HFXDFLyQ FXDGUiWLFD LQFRPSOHWD PL[WD tiene un tĂŠrmino cuadrĂĄtico y un tĂŠrmino lineal igualados a cero. Su forma general es:

bx 0 con a z ax 2 0z b Para resolverlas utiliza el caso de factorizaciĂłn a travĂŠs del factor comĂşn. Una de sus soluciones siempre serĂĄ cero.

Aplica lo aprendido

Actividad 2 Con ĂŠsta secciĂłn, cubrimos el estudio de los tres tipos de ecuaciones cuadrĂĄticas incompletas que existen (triviales, puras y mixtas). Instrucciones: 3DUD UHDÂżUPDU WX DSUHQGL]DMH GH FyPR UHVROYHU HFXDFLRQHV FXDGUi-

346

Resuelves ecuaciones cuadrรกticas I

ticas incompletas mixtas realiza los siguientes ejercicios; al concluirlos comparte con tus compaรฑeros los resultados y respeta las opiniones de los demรกs. Descubre la frase escondida:

Para lograrlo debes resolver las ecuaciones del recuadro, ello te harรก saber quรฉ letra estรก asignada a su soluciรณn distinta de cero. Ecuaciรณn

Soluciรณn distinta de cero

Letra asignada

39 x 0 13 x 2

x2 x 0

3 x 2 21x

5 x 2

50 x 0

65 x 13 x 2

9 x 2

72 x 0

84 x 21x 2

22 x 11x 2 0

14 x 2 84 x 0

9x x 2

347

loque IX

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

Aprende mĂĄs Ecuaciones cuadrĂĄticas completas En esta secciĂłn estudiaremos los elementos y soluciones de las ecuaciones cuadrĂĄticas completas, retomaremos la factorizaciĂłn de trinomios de la forma: ax 2 bx c Esta forma es la base del mĂŠtodo de soluciĂłn mĂĄs usado para este tipo de ecuaciones. Analicemos la siguiente situaciĂłn: Ă lamo Temapache es un municipio de Veracruz reconocido FRPR OD ÂłFDSLWDO PXQGLDO GH ORV FtWULFRVÂ´ SRU VX SURGXFFLyQ anual de cerca de un millĂłn de toneladas de naranjas.

Figura 9.6. Monumento "El Colotero" en Ă lamo Temapache.

Un cultivador de naranjas de esta zona compra un pequeĂąo terreno rectangular con 3 metros mĂĄs de largo que de DQFKR \ FRQ XQD VXSHUÂżFLH GH PHWURV FXDGUDGRV SDUD utilizarlo como bodega; desea construir las paredes y necesita saber el perĂmetro del terreno. ÂżCuĂĄntos metros lineales debe considerar para la barda?

Para problemas relacionados con la GeometrĂa resulta conveniente trazar un bosquejo y asĂ obtener una idea mĂĄs clara de la situaciĂłn involucrada en el problema. En este caso, el bosquejo serĂa el siguiente: [ x

Figura 9.7.

Llamemos a la longitud desconocida del ancho x, asĂ, x + 3 representa la longitud del largo. Y como el ĂĄrea del terreno es de 70 m2 multiplicamos la base por la altura para obtener: x ( x 3) 70

348

Resuelves ecuaciones cuadrรกticas I

Multiplicando: x 2

3 x 70 Igualando a cero: x 2

3x 70 0 Observa que la ecuaciรณn anterior ya no corresponde a ninguna de las formas generales de las ecuaciones cuadrรกticas incompletas ya estudiadas, se trata de una ecuaciรณn cuadrรกtica completa, tiene tres tรฉrminos llamados: cuadrรกtico, lineal e independiente. Para resolver este tipo de ecuaciones utilizaremos la factorizaciรณn de trinomios de la forma D[ ax2 + E[ bx +c. +F. Retomando la ecuaciรณn x 2

3x 70 0 la resolveremos de la siguiente manera: Factorizando la expresiรณn en el miembro izquierdo tenemos: (x

10)( x 7) 0 Usando el teorema del factor cero: x

10 0 รณ x 7 0

Despejando en ambas ecuaciones [, x, las soluciones son: x 10 รณ x 7

Interpretando las dos soluciones, descartamos la negativa (porque no hay distanFLDV R H[WHQVLRQHV QHJDWLYDV \ YHULยฟFDUHPRV TXH x = 7 es la adecuada para dar soluciรณn al problema planteado. Es decir, el ancho del terreno rectangular serรก de 7 metros y el largo de 10 metros lo cual cumple con los 70 metros cuadrados de รกrea. Por lo tanto, el perรญmetro del terreno serรก de 2(7) + 2(10) = 34 metros lineales. Una HFXDFLyQ FXDGUiWLFD FRPSOHWD tiene tres tรฉrminos: cuadrรกtico, lineal e independiente igualados a cero. Su forma general es: ax 2 bx c 0 con a, b, c diferentes de cero Para resolverlas utiliza la factorizaciรณn de un trinomio de la forma ax 2 bx c

349

loque IX

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

Aplica lo aprendido

Actividad 3 Ahora que hemos estudiado los tres tipos de ecuaciones cuadrĂĄticas incompletas y el correspondiente a las completas, te invitamos a realizar los siguientes ejercicios SDUD UHDÂżUPDU WXV GHVWUH]DV Instrucciones: Sigue con atenciĂłn las indicaciones que se presentan en los numerales del I al III. Realiza tu trabajo con orden y limpieza. , &ODVLÂżFD ODV VLJXLHQWHV HFXDFLRQHV FXDGUiWLFDV HVFULELHQGR GHQWUR GHO SDUpQWHsis: Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021;

C, si se trata de una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica completa. M, si se trata de una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica mixta. P, si se trata de una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica pura. T, si se trata de una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica trivial.

(

) x2

18 0

(

8 6x 0 ) x2

(

) 8x 12 x 2 0

(

) 2x 2 0

(

) x 2

7x 10 0

(

) 5x 2 20 0

(

) 10 x

4x 2 0

(

) 0 4x 2

(

) 72 2x 2 0

(

) 9 x 3x 2 0

II. A travĂŠs de una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica para cada caso, plantea y resuelve los siguientes problemas, al concluirlos comparte tus soluciones con tus compaĂąeros y escucha las opiniones de ellos, es posible que te ayuden a mejorar tus soluciones: 1. Un arquitecto diseĂąĂł el plano de construcciĂłn para una fruterĂa en un terreno que tiene lo triple de largo que de ancho. Si el ĂĄrea del terreno es de 147 m2. a) Realiza un bosquejo, a escala, del terreno correspondiente. b) Escribe la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica que modela el problema. ÂżDe quĂŠ tipo es? c) ÂżCuĂĄles son las dimensiones del terreno?

350

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

d) Calcula el perĂmetro de la fruterĂa e) ÂżCuĂĄntos metros mide la diagonal del terreno destinado a la fruterĂa? 2. RaĂşl y Leonel son hermanos, la diferencia de sus edades es de cuatro aĂąos. El producto de sus edades es igual a 165. a) b) c) d) e)

Escribe la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica que modela el problema. ÂżDe quĂŠ tipo es? ÂżQuĂŠ edad tiene cada uno? ÂżHace cuĂĄntos aĂąos, SaĂşl tenĂa el doble de edad que Leonel? ÂżHace cuĂĄntos aĂąos, Leonel tenĂa la mitad de la edad de SaĂşl? ÂżDentro de cuĂĄntos aĂąos, la suma de sus edades serĂĄ 62 aĂąos?

3. A un publicista le solicitan crear folletos cuadrangulares de dos tamaĂąos distintos para la propaganda de un nuevo restaurante, si la longitud del lado del folleto pequeĂąo se aumenta en 6 cm, su ĂĄrea se cuadruplica. a) b) c) d)

Escribe la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica que modela el problema. ÂżDe quĂŠ tipo es? ÂżCuĂĄl es la medida del lado del folleto inicial? ÂżCuĂĄl es el ĂĄrea de ambos folletos? ÂżCuĂĄl es la diferencia entre los perĂmetros de los folletos?

4. El ĂĄrea de una estructura triangular utilizada para sostener el techo de una bodega mide 30 m2. La altura es de 7 m mayor que la base: a) b) c) d)

Realiza un bosquejo que represente el problema Escribe la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica que modela el problema. ÂżDe quĂŠ tipo es? ÂżCuĂĄnto mide su base y su altura? ÂżDe quĂŠ tipo es el triĂĄngulo de la estructura?, ÂżequilĂĄtero, isĂłsceles o escaleno? ÂżPor quĂŠ?

5. Adriana desea alfombrar la parte central de una sala de juntas que mide 12 m de largo por 9 m de ancho, pero quiere dejar un pasillo del mismo ancho por los FXDWUR ODGRV GH PDQHUD TXH OD VXSHUÂżFLH DOIRPEUDGD PLGD P2. a) b) c) d) e)

Realiza un bosquejo que represente el problema Escribe la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica que modela el problema. ÂżDe quĂŠ tipo es? ÂżCuĂĄles son las dimensiones de la alfombra? ÂżQuĂŠ ancho tendrĂĄ el pasillo? ÂżCuĂĄl es el ĂĄrea de todo el pasillo?

III. Determina, por factorizaciĂłn, las soluciones de las siguientes ecuaciones cuadrĂĄticas completas. 3 x 10 a) x 2

351

loque IX

Resuelves ecuaciones cuadrรกticas I

b) 11x 21 2 x 2 8x

7 0 c) x 2 15 x 2x 45 0 d) 6 x 2

x2 19 x e) 84

Construye otras 15 tarjetas para tu memorama de acertijos cuadrรกticos. De los cinco problemas que has resuelto en este actividad 3 en su nรบmero II, elabora tarjetas de papel o de cartulina de 5 x 13 cm. En una tarjeta escribe el acertijo, en la segunda tarjeta el modelo matemรกtico (ecuaciรณn cuadrรกtica) y en la tercera tarjeta la soluciรณn.

Aprende mรกs Fรณrmula general para resolver ecuaciones cuadrรกticas Para resolver cualquier tipo de ecuaciรณn cuadrรกtica, incompleta o completa, existe un recurso muy valioso: la formula general. Para obtener esta fรณrmula es importante recuperar el concepto de Trinomio Cuadrado Perfecto, ya que al completarlo y factorizarlo podemos obtener las soluciones de cualquier ecuaciรณn cuadrรกtica, ya sea completa o incompleta.

Factorizaciรณn de un trinomio cuadrado perfecto: x 2 2ax a 2 ( x a )2 0pWRGR FRPSOHWDQGR HO 7ULQRPLR &XDGUDGR 3HUIHFWR 7&3 Recordemos que si tenemos una expresiรณn de la forma:

352

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

Â§ b Âˇ x

bx al sumar Â¨ Â¸8 ÂŠ 2 Âš 2

(V GHFLU HO FXDGUDGR GH OD PLWDG GHO FRHÂżFLHQWH GH [ (V GHFLU HO FXDGUDGR GH OD PLWDG GHO FRHÂżFLHQWH GH x, completaremos el TCP. Teniendo entonces que: 2

b Âˇ Â§ b Âˇ Â§ x2

Â¨ Â¸8 Â¨ x

Â¸8 2 Âš ÂŠ 2 Âš ÂŠ

Aplicando este concepto resolvamos la ecuaciĂłn anterior por este mĂŠtodo: x 2 - 6x

5 0 Pasando el tĂŠrmino independiente al segundo miembro de la ecuaciĂłn: x2 6x 5 2

Â§ b Âˇ Completando el Trinomio Cuadrado Perfecto. Sumando: Â¨ Â¸8 ÂŠ 2 Âš x2 6x

9 5

9 Factorizando el TCP: 2

x 3 4 Despejando: x 3 r ( 4 x 3 r (2 Las ecuaciones resultantes: x 3 2

Ăł

x 3 2

Despejando: x1 5

Ăł

x2 1

De manera general, resolvamos la siguiente ecuaciĂłn completando el trinomio cuadrado perfecto: ax 2

c 0

353

loque IX

Resuelves ecuaciones cuadrÃ¡ticas I

Observa lo escrito en color rojo, es lo que se va realizando en cada paso de acuerdo a las explicaciones anteriores: bx ax 2

c x2

b c x a a 2

b Â§ b Â· Â§ b Â· c x

Â¨ Â¸ Â¨ Â¸ 8 8 a Â© 2a Â¹ Â© 2a Â¹ a 2

4ac b Â· b 2 Â§

Â¨ x Â¸ 8 2a Â¹ 4a 2 Â©

b b2 4ac r ( 2a 4a 2

b b2 4ac r x ( 2a 4a 2

b r ( b2 4ac 2a

Para resolver cualquier ecuaciÃ³n cuadrÃ¡tica, ya sea incompleta o completa puedes utilizar la fÃ³rmula: x

b r ( b2 4ac 2a

Donde a, E b y F VRQ ORV FRHÂ¿FLHQWHV GHO WpUPLQR FXDGUiWLFR OLQHDO H LQGHSHQGLHQWH c VRQ ORV FRHÂ¿FLHQWHV GHO WpUPLQR FXDGUiWLFR OLQHDO H LQGHSHQGLHQWH respectivamente. Antes de aplicar la fÃ³rmula, debes escribir la ecuaciÃ³n cuadrÃ¡tica a resolver en su forma general: ax 2

c 0

354

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

Aplica lo aprendido

Actividad 4 Instrucciones: Los siguientes ejercicios tienen la intenciĂłn de consolidar tu identiÂżFDFLyQ GH ORV FXDWUR WLSRV GH HFXDFLRQHV FXDGUiWLFDV \ TXH D FXDOTXLHUD GH HOODV seas capaz de aplicarle la fĂłrmula general para encontrar sus soluciones. I. El Profesor Juan Carlos que me da QuĂmica y MatemĂĄticas, me pidiĂł lleve a mi prĂĄctica los siguientes materiales, agua, tierra, alcohol y cal. Pero me dice que para encontrar las cantidades de cada sustancia, tengo que reducir las siguientes ecuaciones a su forma general: ax 2 bx c 0 , ax 2 bx 0 , ax 2 c 0 Ăł ax 2 0 $GHPiV FODVLÂżFDUODV VHJ~Q FRUUHVSRQGD H LQGLFDU D TXp WLSR SHUWHQHFHQ \ UHVROverlas por fĂłrmula general. ÂżQuĂŠ cantidad tengo que llevar de cada sustancia? a) Agua: ( y

1)2 2( y 3) litros b) Tierra: 2( x 2

4x 1) 3( x 1)2 kilogramos c) Alcohol: 2(m 2)2 8(1 m ) litros d) Cal: 5(a 2

3a 1) 5(2a 1) kilogramos II. A travĂŠs de la fĂłrmula general, resuelve y comprueba las siguientes ecuaciones cuadrĂĄticas: a) ( x 2)2

2 x b) 15v 2 8

2v c)

z 1 z 2

1 z

3 z

d) 2( p

2)2 (p 1)2 2 p

355

loque IX

e) q f)

Resuelves ecuaciones cuadrÃ¡ticas I

10 6 q

4s 5

g) 6m

3 2m 2 h)

2x 2 1 x

y2 cy 6c 2 0 considera a c como constante

z4 20z 2

64 0

Aprende mÃ¡s Ecuaciones cuadrÃ¡ticas con soluciones complejas Siempre que elevamos cualquier nÃºmero real al cuadrado obtenemos como resultado un nÃºmero positivo, por ejemplo: 2

( 5) 25

(0.31) 0.961

1 Â§ 1 Â· Â¸8 Â¨ Â© 4 Â¹ 16

Es decir, no existe un nÃºmero real cuyo cuadrado sea un nÃºmero negativo. Observemos la situaciÃ³n anterior al intentar resolver la siguiente ecuaciÃ³n cuadrÃ¡tica pura: x2

1 0 , equivalente a: x 2 1

356

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

Resolver esta ecuaciĂłn implica encontrar un valor para x que elevado al cuadrado Gp FRPR UHVXOWDGR Ă 'HQWUR GH ORV Q~PHURV UHDOHV HVWH YDORU QR H[LVWH 3DUD UHVROYHU HVWH WLSR GH HFXDFLRQHV VH GHÂżQHQ RWUR WLSR GH Q~PHURV OODPDGRV complejos los cuales se basan en la unidad imaginaria i cuyo cuadrado: i2 1 i 1 Un nĂşmero complejo tiene una parte real y una imaginaria, su forma es: a

Donde a y E b son nĂşmeros reales, a representa la parte real y E b la imaginaria. Si b 0 , el nĂşmero complejo sĂłlo es real . a

Si a 0, el nĂşmero complejo sĂłlo es imaginario.

Es decir, todos los nĂşmeros reales son complejos. El conjunto de los nĂşmeros reales es subconjunto del de los nĂşmeros complejos.

NĂşmeros:

De esta manera, la soluciĂłn de la ecuaciĂłn x 2 1 es x i

` Äş &RPSOHMRV ^ Äş 5HDOHV i Äş ,PDJLQDULRV

Analicemos la ecuaciĂłn pura 6 x 2

24 0 Despejando: x2

24 6

Obteniendo el valor de [: x: x 4 4( 1) 4 1 r (2 1 3RU GHÂżQLFLyQ GH L, 3RU GHÂżQLFLyQ GH i, tenemos que x r (2i Por lo tanto, las dos soluciones son: x1 2i y x2 2i

357

loque IX

Resuelves ecuaciones cuadrÃ¡ticas I

Ahora, analicemos una ecuaciÃ³n cuadrÃ¡tica completa x 2 6x

10 0 Recordemos la fÃ³rmula general: x

b r ( b2 4ac 2a

6XVWLWX\HQGR ORV YDORUHV GH ORV FRHÂ¿FLHQWHV a 1, b 6, c 10 : x

( 6) r ( ( 6)2 4(1)(10) 2(1)

Resolviendo operaciones: x

6r ( 4 6 r (2 1 3r (1 1 2 2

$SOLFDQGR OD GHÂ¿QLFLyQ GH i: x 3 r $SOLFDQGR OD GHÂ¿QLFLyQ GH L: ( 1i Por tanto las dos soluciones son: x1 3

i y x2 3 i

Aprende mÃ¡s Discriminante de una ecuaciÃ³n cuadrÃ¡tica &RQ IUHFXHQFLD GHVDIRUWXQDGDPHQWH HO VLJQLÂ¿FDGR DVRFLDGR D OD SDODEUD GLVFULPLQDU HV HO GH UHFKD]DU R Â³KDFHU PHQRVÂ´ D XQD SHUVRQD SRU VXV FDUDFWHUtVWLFDV ItVLFDV tales como su estatura, color de piel o peso. Sin embargo, discriminar tambiÃ©n sigQLÂ¿FD GLIHUHQFLDU R GLVWLQJXLU XQD FRVD GH RWUD Una ecuaciÃ³n cuadrÃ¡tica escrita en su forma general ax 2

c 0 , tiene como discriminante: D b2 4ac

358

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

El discriminante nos servirĂĄ para distinguir su tipo de soluciones. Sin resolver una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica, a travĂŠs de su discriminante sabremos si sus soluciones son reales o complejas. Si observamos, podremos reconocer al discriminante como una parte de la fĂłrmula general: x

4ac b r ( b2 2a

En la siguiente tabla mostramos los tres casos del valor del discriminante. Discriminante

RaĂces

D=0

Si el discriminante es cero, su raĂz es cero y ambas raĂces resultan el mismo nĂşmero, entonces sĂłlo tiene una raĂz real.

D>0

Si el discriminante es positivo, entonces su raĂz cuadrada es un nĂşmero real y se generan dos raĂces reales distintas.

D<0

Si el discriminante es negativo, su raĂz cuadrada es imaginaria, produciĂŠndose dos raĂces complejas

Un caso interesante es el que resulta de analizar el discriminante de ecuaciones cuadrĂĄticas incompletas del tipo mixto, observa: Dada ax 2

bx 0 , su discriminante D b 2 4ac se reduce a D b 2 (recuerda que en una ecuaciĂłn mixta el tĂŠrmino independiente es igual a cero) y como b 2 siempre serĂĄ positivo, entonces no existen raĂces complejas para este tipo de ecuaciones. Del caso trivial ax 2 0 tenemos que su discriminante es D 0 , por tanto este tipo de ecuaciones tampoco tendrĂĄn raĂces complejas, ademĂĄs ya sabemos que su soluciĂłn siempre es cero. AsĂ, podemos decir que los dos tipos de ecuaciones cuadrĂĄticas que pueden tener raĂces complejas son las completas y las incompletas puras. Por ejemplo, para la ecuaciĂłn pura 3 x 2

18 0 Su discriminante tiene el valor: D (0)2 4(3)(18) 216

359

loque IX

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

Como el discriminante es negativo, la ecuaciĂłn tiene dos raĂces complejas. Para la ecuaciĂłn completa x 2 3x

5 0 Su discriminante tiene el valor: D ( 3)2 4(1)(5) 11 Como el discriminante es negativo, la ecuaciĂłn tiene dos raĂces complejas.

Aplica lo aprendido

Actividad 5 Instrucciones: Lee con atenciĂłn los ejercicios de los nĂşmeros I, II y III sigue sus indicaciones y en forma colaborativa encuentra las soluciones. , (Q ORV VLJXLHQWHV HMHUFLFLRV LGHQWLÂżFD ODV UDtFHV UHDOHV H LPDJLQDULDV UHDOL]D ODV operaciones indicadas entre ellas (considera sĂłlo la raĂz positiva en todos los casos), y escribe la letra dentro del parĂŠntesis que le corresponda como su resultado. a)

4 2 25

b) 3 121

5 60 200 1 9 c) 4 9

12 81

360

(

) 4

(

) 8

17i

(

) 5 3 9

(

) 33i

10 15i 10 2

Resuelves ecuaciones cuadrรกticas I

II. Calcula el discriminante de las siguientes ecuaciones cuadrรกticas y determina el tipo de sus soluciones. Ecuaciรณn

Valor del discriminante

Tipo de soluciones

x2 2x

1 0 2x 3 0 2x 2 3x 2 4x

2 0 3x 2 x

5 0 4x 2 3x 1 0 III. Determina las soluciones, reales o complejas, de las siguientes ecuaciones: a) 6 x 2 2x 54 2x b) 2 x 2

5x 5x 32 c) 3 x 2 x

5 0 d) 2 x 2

3x 5 0 e) x 2 2x 3 0

361

loque IX

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

5HĂ&#x20AC;H[LRQHPRV VREUH OD DFWLYLGDG

ÂżDe quĂŠ te das cuenta? A la plaza principal de una ciudad o poblaciĂłn con sus calles aledaĂąas se le denomina primer cuadro, Âżte has preguntado por quĂŠ lleva ese nombre? y Âżal mencionar cuadro tendrĂĄ alguna relaciĂłn con las ecuaciones cuadrĂĄtiFDV" 3DUD GDU UHVSXHVWD D ODV SUHJXQWDV REVHUYD OD ÂżJXUD \ DQRWD HQ HO siguiente espacio, tus conclusiones sobre ello.

Figura 9.8.

362

Resuelves ecuaciones cuadráticas I

Actividad 6 Producto de aprendizaje: memorama de acertijos cuadráticos Instrucciones:

Realizarás 30 tarjetas rectangulares, en diez de ellas escribirás acertijos matemáticos realizados en la actividad número uno; en otras diez, las ecuaciones cuadráticas que modelan los acertijos anteriores, tanto completas como incompletas y; en las diez restantes, escribirás sus correspondientes soluciones.

En tarjetas de cartulina o papel de 5 x 13 cm. elabora tus primeros tríos (15 tarjetas) con los ejercicios que resolviste en la actividad 1 en su numeral II, en una tarjeta escribe el acertijo, en la segunda tarjeta el modelo matemática (ecuación cuadrática) y en la tercera la solución.

En segundo trio de tarjetas lo realizarás con los cinco problemas de la actividad número tres en su numeral II, recuerda escribir en una el acertijo, en la siguiente el modelo matemático y en otra tarjeta la solución.

Una vez hecho tu memorama, jugarás con otros compañeros en parejas, coloFDQGR ³ERFD DEDMR´ VXV WDUMHWDV HQ WRWDO

Revuelvan las tarjetas y enseguida un jugador escoge tres, si las tres que escogió contienen: una el acertijo, en la segunda el modelo matemático o la ecuación cuadrática y en la tercera la solución de la ecuación, tiene derecho a escoger otras tres tarjetas, pero si éstas no mantienen relación entre ellas las coloca boca abajo en el mismo lugar y deben procurar recordar cuales eran las cartas, cediendo el turno a su compañero.

El siguiente jugador selecciona tres tarjetas, con la ventaja de que si puso atención en las tarjetas que volteo su compañero anterior puede escoger alguna de ellas y seleccionar otras dos, si las tres tarjetas que seleccionó no muestran el

363

loque IX

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

acertijo, la ecuaciĂłn y la soluciĂłn, las volverĂĄ a colocar en el mismo lugar boca abajo. Â&#x2021; (O MXJDGRU TXH FRQVLJD PiV WUtRV ÂłDFHUWLMR HFXDFLyQ VROXFLyQÂ´ VHUi HO JDQDGRU

Recomendaciones: Â&#x2021;

Cuiden, con la ayuda del profesor, que las tarjetas tengan el mismo diseĂąo.

Â&#x2021; -XHJXHQ DO ÂżQDO GHO EORTXH XQD YH] TXH \D GRPLQHQ ORV PpWRGRV GH VROXFLyQ GH una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica. Â&#x2021; -XVWLÂżTXHQ HO SURFHGLPLHQWR D WUDYpV GHO FXDO VH SXHGHQ REWHQHU ODV VROXFLRQHV de cada ecuaciĂłn cuadrĂĄtica.

Actividad 7 Producto de aprendizaje: elaboraciĂłn de tu problemario Esta actividad consiste en conformar tu problemario con los problemas y ejercicios que resolviste de manera individual o grupal en las tres actividades y tu actividad de UHĂ&#x20AC;H[LyQ SUHVHQWDGDV D OR ODUJR GHO EORTXH En tu libreta o cuaderno que hayas destinado para este producto de aprendizaje, colocarĂĄs cada uno de los ejercicios que se te indicaron que formarĂan parte del problemario, sĂłlo asegĂşrate antes de colocarlos que los procedimientos y resultados VHDQ FRUUHFWRV 7H VXJHULPRV TXH HO UHVXOWDGR ÂżQDO GH FDGD HMHUFLFLR R SUREOHPD OR puedas resaltar con una tinta de color diferente al color utilizado en el procedimiento. Te invitamos a consultar la lista de cotejo que se encuentra en la secciĂłn de evaluaciĂłn que se encuentra enseguida, para que consideres los criterios de evaluaciĂłn que debes cubrir. Para presentar tu problemario a tu Profesor, es importante que mantengas limpieza y orden, ademĂĄs coloca una carĂĄtula al inicio con tus datos (nombre, de la escuela, asignatura, del estudiante, bloque, tĂtulo del problemario, semestre, grupo y fecha de entrega) y un Ăndice.

364

Resuelves ecuaciones cuadráticas I

Lista de cotejo para evaluar el producto de aprendizaje: memorama de acertijos cuadráticos Criterios

Contenido

Indicadores

Sí cumple

No cumple

Observaciones

Relación congruente entre acertijo, ecuación y soluciones (10 tríos). Tarjetas con diseño muy bien GH¿QLGR Material manipulable (30 tarjetas). Creatividad en la elaboración de las tarjetas.

Presentación Escritura clara de acertijo, ecuaciones y soluciones. ,GHQWL¿FD HO WLSR GH HFXDFLyQ de cada tarjeta. Presenta en las tarjetas los tres tipos de ecuaciones cuadráticas (completas, incompletas y mixtas). Dominio Conceptual y Procedimental

Demuestra de forma precisa y coherente el procedimiento matemático para resolver ecuaciones cuadráticas para llegar al resultado correcto. Presenta trabajos con orden, limpieza. Trabaja de forma colaborativa.

Actitud

Respeta las opiniones de otros. Sigue con atención instrucciones y las interpreta.

Total de puntos

Si en la lista de cotejo lograste los 12 puntos, considera tu resultado como Excelente, y si lograste 9 a 11 puntos es Bien, de 6 a 8 es Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 6 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que atiendas tus áreas de oportunidad.

365

loque IX

Resuelves ecuaciones cuadráticas I

([FHOHQWH ¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

Lista de cotejo para evaluar el producto de aprendizaje: problemario Criterios

Indicadores

Sí cumple

Presenta carátula con los datos de: nombre de la escuela, estudiante, asignatura, bloque, título del poblemario, semestre, grupo, fecha. Presentación Actividades: orden y limpieza. El planteamiento de la actividad a tinta. Proceso de solución a lápiz. Presenta índice. Planteamiento de ecuaciones

,GHQWL¿FD FRUUHFWDPHQWH HO tipo de ecuación a utilizar. Utiliza el método solicitado.

Procedimientos Escribe todos los pasos. Comprueba las soluciones obtenidas. Solución Las interpreta de acuerdo al contexto. Trabaja de forma colaborativa. Actitud

Respeta las opiniones de otros. Sigue con atención instrucciones y las interpreta.

Total de puntos

366

No cumple

Observaciones

Resuelves ecuaciones cuadráticas I

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

367

loque IX

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

Registro del avance Competencias genĂŠricas y disciplinares del bloque IX

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizaciĂłn de medios, cĂłdigos y herramientas apropiados.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mĂŠtodos establecidos.

Atributos Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingĂźĂsticas, matemĂĄticas o JUiÂżFDV Aplica distintas estrategias comunicativas segĂşn quienes sean sus interlocutores, el contexto en el que se encuentra y los objetivos que persigue. Sigue instrucciones y procedimientos de PDQHUD UHĂ&#x20AC;H[LYD FRPSUHQGLHQGR FRPR cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. Construye hipĂłtesis y diseĂąa y aplica modelos para probar su validez.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interĂŠs y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crĂtica \ UHĂ&#x20AC;H[LYD

Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintĂŠtica.

'HÂżQH PHWDV \ GD VHJXLPLHQWR D VXV SURFHsos de construcciĂłn de conocimiento. 7. Aprende por iniciativa e interĂŠs propio a lo largo de la vida.

368

Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

Nivel de avance

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas I

Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, GHÂżQLHQGR XQ FXUVR GH DFFLyQ FRQ SDVRV HVSHFtÂżFRV 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Competencias disciplinares

Nivel de avance

Analiza las relaciones entre dos o mĂĄs variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

,QWHUSUHWD WDEODV JUiÂżFDV PDSDV GLDJUDPDV \ WH[WRV FRQ VtPERORV PDWHPiWLFRV \ FLHQWtÂżFRV

Cuando concluyas la tabla presĂŠntala a tu profesor y valoren los avances registrados.

369

Bloque X. Resuelves ecuaciones cuadrรกticas II

Bloque X Resuelves ecuaciones cuadrรกticas II

371

loque X

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas II

IntroducciĂłn En la vida cotidiana encontramos muchos objetos en movimiento a nuestro alrededor, la FĂsica estudia el tiro parabĂłlico como un ejemplo de movimiento realizado por un cuerpo en dos dimensiones o sobre un plano. Algunos ejemplos de cuerpos cuya trayectoria corresponde a un tiro parabĂłlico son: proyectiles lanzados desde la VXSHUÂżFLH GH OD 7LHUUD R GHVGH XQ DYLyQ HO GH XQD SHORWD GH I~WERO DO VHU GHVSHMDGD por el portero, el de una pelota de golf al ser lanzada con cierto ĂĄngulo respecto al eje horizontal y hasta en la simulaciĂłn del movimiento de video juegos actuales. Las funciones cuadrĂĄticas son utilizadas en diversas disciplinas como en la FĂsica, EconomĂa, BiologĂa, Arquitectura. Son Ăştiles para describir movimientos con aceleraciĂłn constante, trayectoria de proyectiles, ganancias y costos de empresas, variaciĂłn de la poblaciĂłn de una determinada especie que responde a este tipo de ecuaciĂłn, y obtener asĂ informaciĂłn sin necesidad de recurrir a la experimentaciĂłn. ÂżEs lo mismo ecuaciĂłn que funciĂłn? (Q HO EORTXH 9, DO H[SOLFDU FyPR UHDOL]DU HO JUiÂżFR GH XQD IXQFLyQ OLQHDO D SDUWLU GH XQD HFXDFLyQ GLPRV UHVSXHVWD D HVWD SUHJXQWD 3DUD JUDÂżFDU XQD IXQFLyQ FXDGUiWLca utilizaremos las mismas ideas, interpretaremos a una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica como el estudio local de una situaciĂłn en a los mĂĄs dos momentos dados, en aquellos donde obtiene sus soluciones o raĂces; y la funciĂłn cuadrĂĄtica la consideraremos como el anĂĄlisis global de la misma situaciĂłn abordada. EcuaciĂłn y funciĂłn estĂĄn estrechamente ligadas, en el bloque VI ya abordamos la relaciĂłn entre ecuaciĂłn de primer grado y funciĂłn lineal, en este bloque X analizaUHPRV D GHWDOOH OD UHODFLyQ HQWUH HOODV KDFLHQGR XVR GH JUiÂżFRV SDUDEyOLFRV HQ HO plano cartesiano para mostrar en ellos el comportamiento de una funciĂłn cuadrĂĄtica y las soluciones de una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica.

ÂżQuĂŠ competencias desarrollarĂĄs? Competencias genĂŠricas

Atributos Â&#x2021;

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizaciĂłn de medios, cĂłdigos y herramientas apropiados.

372

Â&#x2021;

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas II

Â&#x2021; 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mĂŠtodos establecidos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interĂŠs y relevancia general, considerando otros puntos de vista de PDQHUD FUtWLFD \ UHĂ&#x20AC;H[LYD

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Â&#x2021;

Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintĂŠtica.

Â&#x2021;

Competencias disciplinares Â&#x2021;

Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021;

ÂżCon quĂŠ propĂłsito? 0RGHODV JUiÂżFDPHQWH ODV IXQFLRQHV FXDGUiWLFDV \ UHVXHOYHV SUREOHPDV GH WX HQWRUno, como el cĂĄlculo de trayectorias parabĂłlicas descritas por distintos mĂłviles, por ejemplo los proyectiles (piedras) lanzadas por una catapulta.

373

loque X

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas II

ÂżQuĂŠ aprenderĂĄs y cĂłmo? Contenidos curriculares

DescripciĂłn

MetodologĂa Â&#x2021; Â&#x2021;

Conceptuales

Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021;

Funciones cuadrĂĄticas ParĂĄbola

Â&#x2021; Â&#x2021;

,GHQWLÂżFD OD UHODFLyQ HQWUH ecuaciones y funciones cuadrĂĄticas. Reconoce la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica en dos variables como una funciĂłn cuadrĂĄtica. ,GHQWLÂżFD TXH WRGD IXQFLyQ cuadrĂĄtica es una parĂĄbola, que puede ser cĂłncava hacia arriba o abajo. Transforma la funciĂłn cuadrĂĄtica a la forma estĂĄndar

Â&#x2021; Â&#x2021;

Procedimentales

Â&#x2021; Â&#x2021;

y a( x h )2 k , asĂ obteniendo las coordenadas del V(K, V(h, k) para WUD]DU VX JUiÂżFD Interpreta que las intersecciones de la parĂĄbola con el eje X son las soluciones de la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica y que dependen del

Â&#x2021; Â&#x2021;

,GHQWLÂżFD HO JUiÂżFR GH XQD funciĂłn cuadrĂĄtica. Formula y resuelve problemas de su entorno.

Relaciona las ecuaciones cuadrĂĄticas con las funciones de segundo grado a travĂŠs del trazo de parĂĄbolas. Analiza el comportamiento de las parĂĄbolas para determinar su vĂŠrtice y raĂces y con ello, resolver problemas. Aborda situaciones que involucren dos variables para modelarlas a travĂŠs GH XQD WDEOD R JUiÂżFR GH una funciĂłn.

valor del discriminante b 2 4ac para ser reales o imaginarias. Â&#x2021; Â&#x2021;

Â&#x2021; Â&#x2021;

Actitudinales

374

Valora la importancia del trabajo con orden y limpieza. Promueve el trabajo colaborativo. Respeta las opiniones de los demĂĄs, UHĂ&#x20AC;H[LRQD VREUH OR TXH HVFXFKD expresa sus puntos de vista e interpreta instrucciones.

Â&#x2021; Â&#x2021;

Realiza y expone trabajos con criterios de orden y limpieza. Respeta y escucha las opiniones y/o argumentos de otras personas, compartir ideas mediante productos, principalmente al hacer trabajo colaborativo. Sigue con atenciĂłn e interpreta instrucciones tanto de forma oral como escrita.

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas II

ÂżQuĂŠ tiempo vas a emplear? Considera ocho horas para el desarrollo de este bloque, lo mĂĄs recomendable es que utilices dos horas para revisar los contenidos temĂĄticos y seis horas para llevar a cabo tu evaluaciĂłn diagnostica, las cuatro actividades propuestas y la construcciĂłn, en equipo, de su catapulta 100 g.

EvaluaciĂłn del aprendizaje: productos Durante este bloque obtendrĂĄs los siguientes productos de aprendizaje que ponGUiQ GH PDQLÂżHVWR HO GHVDUUROOR GH WXV FRPSHWHQFLDV Â&#x2021; Â&#x2021;

Problemario Catapulta 100 g

Problemario. Lo elaborarĂĄs trabajando tanto en tu libro como en tu libreta con la resoluciĂłn de problemas y ejercicios de manera individual y grupal. Al termino del bloque, integrarĂĄs tu problemario con las cuatro actividades que hallas realizado a OR ODUJR GHO EORTXH FRQVXOWD OD OLVWD GH FRWHMR TXH HVWi XELFDGD DO ÂżQDO GHO EORTXH para tener idea clara de los criterios de evaluaciĂłn que debes cubrir para entregarlo a tu profesor. &DWDSXOWD En equipo construirĂĄs una catapulta que logre lanzar un proyectil del 100 g. a una distancia de 3, 5 y 10 m. primero sin ningĂşn obstĂĄculo de por medio y despuĂŠs por encima de un obstĂĄculo de una altura de 2 m. Las indicaciones las podrĂĄs ver en la actividad nĂşmero cuatro. Te invitamos a que revises los criterios de evaluaciĂłn que debes considerar antes de presentar tu producto de aprendizaje al 3URIHVRU HVWRV ORV SRGUiV HQFRQWUDU DO ÂżQDO GHO EORTXH HQ OD VHFFLyQ GH HYDOXDFLyQ

Figura 10.1.

375

loque X

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas II

3DUD LQLFLDU UHĂ H[LRQD ÂĄParĂĄbolas por todos lados! A Los primeros estudios de las curvas que despuĂŠs se llamarĂan cĂłnicas fueron hechos por el griego Menecmo (370-325 aC) al tratar de resolver el problema de la duplicaciĂłn del cubo, donde demuestra la existencia de una soluciĂłn mediante el FRUWH GH XQD SDUiEROD FRQ XQD KLSpUEROD OR FXDO HV FRQÂżUPDGR SRVWHULRUPHQWH SRU Proclo y EratĂłstenes. Sin embargo, el primero en usar el tĂŠrmino parĂĄbola fue el griego Apolonio de Perge (260- 200 aC) en su tratado CĂłnicas, obra mĂĄs importante de ĂŠl donde se muestra el estudio mĂĄs avanzado (para su ĂŠpoca) de las tangentes a secciones cĂłnicas. Entre las valiosas aportaciones de Apolonio se encuentra su descubrimiento de que en XQ HVSHMR SDUDEyOLFR VH UHĂ&#x20AC;HMDQ ORV UD\RV HPLWLGRV GHVGH VX IRFR HQ IRUPD SDUDOHOD hecho utilizado actualmente en las antenas satelitales.

Figura 10.2.

El hombre, a lo largo de la historia, ha utilizado las propiedades de la parĂĄbola en GLVWLQWRV iPELWRV D FRQWLQXDFLyQ GHVFULELPRV DOJXQRV GH HOORV SDUD HMHPSOLÂżFDU HVWD situaciĂłn, aunque tĂş puedes encontrar muchos mĂĄs en los lugares menos pensados, la parĂĄbola se encuentra en todos lados. En la balĂstica, ciencia que estudia el movimiento de los cuerpos pesados lanzados al espacio, es determinante para lograr la precisiĂłn del lanzamiento de proyectiles. 'HVDIRUWXQDGDPHQWH HO GHVDUUROOR GH HVWD FLHQFLD KD SHUVHJXLGR ÂżQHV EpOLFRV SHUR sus principios se han aplicado en otro tipo de actividades, prueba de ello se tiene en el ĂĄrea de la comunicaciĂłn al invertir grandes cantidades de dinero en el lanzamiento de satĂŠlites al espacio. Para lograr expresiones artĂsticas se ha usado la parĂĄbola, al diseĂąar fuentes donde varios chorros de agua salen desde distintos puntos a la misma velocidad pero con

376

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas II

distintas direcciones para formar una familia de parĂĄbolas que al ser iluminadas causan efectos Ăłpticos muy gratos para el espectador. En la ingenierĂa civil, en la construcciĂłn de puentes se han puesto en prĂĄctica las propiedades de resistencia de la parĂĄbola, puesto que con su forma se logran estructuras fuertes y sĂłlidas.

Figura 10.3.

Otra aplicaciĂłn de la parĂĄbola se da en actividades deportivas como es el caso de bĂĄsquet bol donde se ha analizado la trayectoria que describe el balĂłn al realizar un tiro libre encontrando que en el rango de 60 a 70Â° son los mejores ĂĄngulos de salida (cuando el balĂłn abandona la mano del tirador) para lograr en enceste A lo largo de las actividades de este bloque analizaremos los elementos de la parĂĄbola y su relaciĂłn con las ecuaciones cuadrĂĄticas para poder modelar y resolver problemas de nuestro entorno.

ÂżCon quĂŠ conocimientos cuentas? EvaluaciĂłn diagnĂłstica Para facilitar el estudio de las funciones cuadrĂĄticas es importante que tengas ya GHVDUUROODGD WX KDELOLGDG GH LGHQWLÂżFDU \ UHVROYHU HFXDFLRQHV FXDGUiWLFDV DGHPiV de que con ellas, seas capaz de modelar problemas de diversa Ăndole, asĂ como interpretar las soluciones obtenidas. InstrucciĂłn: Lee con atenciĂłn los siguientes ejercicios y problemas para resolverlos poniendo en prĂĄctica tus conocimientos, habilidades y una actitud de perseverancia que muestre tu disposiciĂłn entusiasta hacia el trabajo colaborativo.

377

loque X

Resuelves ecuaciones cuadrรกticas II

&ODVLยฟFD ODV VLJXLHQWHV HFXDFLRQHV FXDGUiWLFDV HVFULELHQGR HQ ORV SDUpQWHVLV OD letra correspondiente para relacionar la ecuaciรณn con su nombre: a) 3 x 2 7 x 4 x trivial

(

) Ecuaciรณn cuadrรกtica

b) 7 4 x 2 10

(

) Ecuaciรณn cuadrรกtica pura

2 2 x 2

12 c) 3 x

(

) Ecuaciรณn cuadrรกtica mixta

4 7x 2

4(2 x 1) d) 8 x

(

) Ecuaciรณn cuadrรกtica completa

2. Un campo de fรบtbol mide 30 m mรกs de largo que de ancho y su รกrea es de 7000 m2, calcula la dimensiรณn de su largo. 3. La diagonal de un folleto publicitario rectangular mide 10 cm. Halla la medida de su ancho, si el ancho mide 2 cm menos que el largo. 4. El papรก de Fausto quiere construir una alberca rectangular, si debe cumplir con un perรญmetro de 22 m y sabe que su largo es 2 m mayor que el doble su ancho, ยฟcuรกles deben ser las dimensiones de la alberca? 5HODFLRQD ODV VLJXLHQWHV FROXPQDV XWLOL]DQGR ร HFKDV SDUD KDFHU FRUUHVSRQGHU cada ecuaciรณn cuadrรกtica con sus respectivas soluciones:

x2 11x 12 0

x1 4i

5x 2

3x 3 x 1

x1 .4

1.74i

3( x 2

16) 0

x1 0

x (5 x

4) 16

x1 .2

12 6( x 2

x1 12

x 2 4i

x2 3

x1 2.5

378

x2 1 x2 1 x2 0

x2 .4 1.74i

Resuelves ecuaciones cuadráticas II

6. En una fábrica de playeras, el costo de producción de n playeras está dado por la función: C = f(n) = 35n + 500 pesos. a) ¿Cuál es el costo de producción de 100 playeras? b) Si se cuenta con $1200.00 para invertirlos en la producción de este tipo de playeras. ¿Cuántas se podrán fabricar?

Si de la evaluación anterior respondiste correctamente de 5 a 6 preguntas considera tu resultado como Bien, de 3 a 4 como Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 4 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que refuerces tus conocimientos previos.

¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

Ahora que ya te has dado cuenta de tus fortalezas y oportunidades. Refuerza tus conocimientos consultando los siguientes conceptos: ecuaciones y funciones lineales y ecuaciones de segundo grado.

379

loque X

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas II

Aprende mĂĄs 3DUiEROD JUiÂżFR GH IXQFLRQHV FXDGUiWLFDV Cuando lanzamos un objeto su trayectoria podrĂa ser recta si no existiera el efecto de la gravitaciĂłn para hacerle caer, una parĂĄbola es la curva simĂŠtrica que representa esta trayectoria, como se muestra en la situaciĂłn siguiente:

Figura 10.4.

Supongamos que en un partido de voleibol se ha calculado que la distancia d, en metros, a la que se encuentra el balĂłn sobre el piso en el tiempo t segundos estĂĄ dada por: d (t ) 4.9t 2

9.8t 'H OD PLVPD PDQHUD TXH WDEXODPRV \ JUDÂżFDPRV XQD IXQFLyQ OLQHDO OR KDUHPRV para esta funciĂłn cuadrĂĄtica, asignaremos valores a la variable independiente tiempo (t) y calcularemos a travĂŠs de la regla de correspondencia los valores de d y con estos se tendrĂĄn las coordenadas para localizarlas en un plano cartesiano. Tabla 1.

380

Variable independiente (t)

Variable dependiente d(t ĂŽ t2 + 9.8t

Coordenadas (t, d)

(0, 0)

0.5

3.675

(0.5, 3.675)

4.9

(1, 4.9)

1.5

3.675

(1.5, 3.675)

(2, 0)

Resuelves ecuaciones cuadráticas II

Figura 10.5.

El uso de la parábola es diverso, pues en muchas ciencias se aplica, como en la Física ya que su forma corresponde a las trayectorias ideales de los cuerpos que se PXHYHQ EDMR OD LQÀXHQFLD GH OD JUDYHGDG Tres elementos de una parábola son: vértice, eje de simetría y brazos o ramas.

Figura 10.6.

El YpUWLFH vértice es el punto máximo o mínimo de la parábola dependiendo de su orientación, la abscisa de este punto se puede calcular con la fórmula: b 2a y la ordenada, evaluando la función de la parábola en éste valor, es decir: § b b · · § v ¨ , f ¨ ¸8¸8 © 2a © 2a ¹ ¹

381

loque X

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas II

El eje de simetrĂa, que divide por la mitad a la parĂĄbola, se puede describir a travĂŠs de la ecuaciĂłn de la recta: x

b 2a

5HWRPDQGR OD JUiÂżFD GH OD IXQFLyQ TXH GHVFULEH OD DOWXUD GHO EDOyQ GH YROHLERO VX vĂŠrtice lo podemos determinar haciendo uso de la formula anterior: d (t ) 4.9t 2

9.8t con: a 4.9

Â§ b v Â¨ , ÂŠ 2a Y el eje de simetrĂa: t

b 9.8

c 0

Âˇ b Â§ Âˇ f 1, 4.9 Â¸ Â¨ 2a 8 Â¸8 ÂŠ Âš Âš

b 1 WDO \ FRPR VH PXHVWUD HQ HO JUiÂżFR VLJXLHQWH 2a

v 1, 4.9

t 1

Figura 10.7.

/D RULHQWDFLyQ GH XQD SDUiEROD GHSHQGH GHO VLJQR GHO FRHÂżFLHQWH GHO WpUPLQR FXDdrĂĄtico ax2, si a > 0 parĂĄbola abre hacia arriba y si a < 0 parĂĄbola abre hacia abajo.

382

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas II

La relaciĂłn entre ecuaciones y funciones cuadrĂĄticas se establece a travĂŠs de la parĂĄbola: (FXDFLyQ Äş ax 2

c 0

c )XQFLyQ Äş y ax 2 Â§ b VĂŠrtice: v Â¨ , ÂŠ 2a

b Âˇ Âˇ Â§ f Â¨ Â¸8Â¸8 ÂŠ 2a Âš Âš

Eje de simetrĂa: x

b 2a Figura 10.8.

Aplica lo aprendido

Actividad 1 Instrucciones: Realiza los siguientes ejercicios. I. Las siguientes funciones determinan la altura a la que se encuentran tres diferentes proyectiles en el tiempo (W): (t): d 4.9t 2

d 4.9t 2

a) Realiza sus tabulaciones considerando t = 1, 2, 3, 4 y 5 seg. E *UDÂżFD ODV WUHV IXQFLRQHV HQ XQ PLVPR SODQR FDUWHVLDQR c) ÂżCuĂĄl de los tres proyectiles alcanzarĂĄ una mayor altura? d) ÂżCuĂĄl de los tres proyectiles se encontrarĂĄ mayor tiempo en el aire?

383

loque X

Resuelves ecuaciones cuadrรกticas II

II. Determina y escribe la coordenada del vรฉrtice, la ecuaciรณn del eje de simetrรญa y orientaciรณn de las siguientes parรกbolas:

3x 2 a) y x 2 3 x 2 5x

4 b) y 6x c) y 3 x 2

,,, 5HDOL]D ODV JUiยฟFDV GH ODV SDUiERODV SURSXHVWDV HQ ,,

Aprende mรกs

6ROXFLRQHV GH HFXDFLRQHV FXDGUiWLFDV LGHQWLยฟFDGDV HQ ODV parรกbolas Hemos visto que una funciรณn cuadrรกtica de la forma y = D[ ax2 +E[ +bx +c +F tiene su repreVHQWDFLyQ JUiยฟFD HQ HO SODQR FDUWHVLDQR D WUDYpV GH XQD SDUiEROD &XDQGR D VH OH asigna el valor cero obtenemos 0 = D[ ax2 +E[ +bx +c +F que que es su correspondiente ecuaciรณn cuadrรกtica, las soluciones de esta ecuaciรณn coinciden con los puntos de intersecciรณn entre la parรกbola y el eje X. Reconsiderando la situaciรณn analizada de la altura del balรณn de voleibol determinada por la funciรณn d(W d(t รญ W รญ t2 + 9.8W transformando 9.8t, transformando 2 VX HFXDFLyQ REWHQHPRV รญ W รญ t + 9.8W 9.8t cuyas soluciones obtenemos con el siguiente procedimiento. Factorizando: 0 4.9t 2

9.8t 0 4.9t (t 2)

384

Resuelves ecuaciones cuadrรกticas II

Aplicando el teorema del factor cero: 4.9t 0 t 0

(t 2) 0 t 2

&RPR VH REVHUYD HQ HO JUiยฟFR HVWRV SXQWRV \ VRQ ORV TXH LQWHUVHFWDQ el eje X.

Figura 10.9.

(Q JHQHUDO HO JUiยฟFR GH XQD IXQFLyQ GH OD IRUPD \ ax2 +bx +c tendrรก cero, una o dos intersecciones con el eje X dependiendo del nรบmero de soluciones reales que tenga su ecuaciรณn correspondiente. Es decir, la parรกbola se podrรก no intersectar con el eje X, o bien, lo harรก en uno o dos puntos.

Figura 10.9.

(Q OD LPDJHQ DQWHULRU HO JUiยฟFR GH OD L]TXLHUGD PXHVWUD HO JUiยฟFR GH XQD IXQFLyQ FXDGUiWLFD FX\D HFXDFLyQ WLHQH GRV VROXFLRQHV UHDOHV HO JUiยฟFR GH HQ PHGLR FRUUHVSRQGH D XQD IXQFLyQ FX\D HFXDFLyQ WLHQH XQD VROD VROXFLyQ UHDO \ HO JUiยฟFR de la derecha representa una funciรณn cuya ecuaciรณn tiene soluciones complejas.

385

loque X

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas II

Retomaremos los casos de ecuaciones cuadrĂĄticas tanto incompletas como completas, tambiĂŠn haremos uso del proceso de tabulaciĂłn de una funciĂłn para lograr HO JUiÂżFR TXH OHV UHSUHVHQWH

Iniciemos con las ecuaciones cuadrĂĄticas incompletas triviales, aquellas que sĂłlo tienen el tĂŠrmino cuadrĂĄtico igualado a cero, por ejemplo x2 = 0 como toda ecuaciĂłn trivial sabemos que su soluciĂłn es x = 0, para transformar esta ecuaciĂłn a una funciĂłn basta cambiar el cero por una segunda variable representada por y con la ÂżQDOLGDG GH ORJUDU OD UHODFLyQ HQWUH HVDV GRV YDULDEOHV EcuaciĂłn x2 = 0, funciĂłn y = x2 GH OD PLVPD PDQHUD TXH WDEXODPRV \ JUDÂżFDPRV una funciĂłn lineal lo haremos para esta funciĂłn cuadrĂĄtica, asignaremos valores a la variable independiente representada por x y calcularemos a travĂŠs de la regla de correspondencia los valores de y y con estos se tendrĂĄn las coordenadas para poder localizarlas en un plano cartesiano.

Tabla 2. Variable independiente x

Variable dependiente y = x2

Coordenadas (x, y)

(0,0)

(1,1)

(2,4)

Figura 10.10.

Nota que la parĂĄbola se intersecta con el eje X en el origen de coordenadas (0, 0), lo cual hace coincidir la abscisa de este punto con la soluciĂłn de la ecuaciĂłn x2 = 0. 5HFXHUGD VL XQD HFXDFLyQ FXDGUiWLFD WLHQH XQD VROXFLyQ UHDO HQWRQFHV HO JUiÂżFR GH la funciĂłn correspondiente se intersectarĂĄ en un punto con el eje X. Ahora abordemos el caso de las ecuaciones cuadrĂĄticas incompletas puras a travĂŠs del anĂĄlisis de la siguiente situaciĂłn: 'HWHUPLQHPRV HO JUiÂżFR GH OD WUD\HFWRULD TXH GHVFULEH XQD SHORWD DUURMDGD GHVGH una altura de 25 m. La funciĂłn y = x2 + 25 determina la distancia entre la pelota y el piso en el tiempo x segundos.

386

Resuelves ecuaciones cuadrÃ¡ticas II

7DEXOHPRV \ JUDÂ¿TXHPRV OD WUD\HFWRULD SDUD [ Tabla 3. Variable independiente x

Variable dependiente y Ã®x2 + 25

Coordenadas (x, y)

(0, 25)

(1, 24)

(2, 21)

(3, 16)

(4, 9)

(5, 0)

Figura 10.11.

Observa que para valores negativos de x PDWHPiWLFDPHQWH OD JUiÂ¿FD H[LVWH SHUR no tiene una interpretaciÃ³n real pues se interpretarÃa como retroceso en el tiempo, OR FXDO QR HV SRVLEOH 6L UHVROYHPRV OD HFXDFLyQ SXUD Ãx2 + 25 obtenemos sus raÃces x1 = 5 y x2 = 5 mismas que coinciden con las abscisas de los dos puntos de LQWHUVHFFLyQ FRQ HO HMH ; Ã \ GRV UDtFHV UHDOHV GRV LQWHUVHFFLRQHV Para el caso de ecuaciones cuadrÃ¡ticas completas tenemos el siguiente planteamiento: la altura de un proyectil en metros, para t segundos estÃ¡ dada por: y 5 x 2

40 x

1.2 7DEXOHPRV \ JUDÂ¿TXHPRV OD WUD\HFWRULD GH VX PRYLPLHQWR Tabla 4. Variable Variable Coordenadas independiente dependiente (x, y) y Ã® x2 + 40x + 1.2 x 0

1.2

(0, 1.2)

36.2

(1, 36.2)

61.2

(2, 61.2)

76.2

(3, 76.2)

81.2

(4, 81.2)

76.2

(5, 76.2)

61.2

(6, 61.2)

36.2

(7, 36.2)

1.2

(8, 1.2)

Figura 10.12.

387

loque X

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas II

&RPR VH REVHUYD HQ OD JUiÂżFD VH WLHQHQ GRV LQWHUVHFFLRQHV GH OD SDUiEROD FRQ HO eje X en los puntos (0,0) y (8,0), cuyas abscisas son las soluciones reales de la ecuaciĂłn respectiva. Para el caso de ecuaciones cuadrĂĄticas con soluciones complejas resolveremos la ecuaciĂłn: 0 x2 x 4 < JUDÂżFDUHPRV OD IXQFLyQ y x2 x 4

Tabla 5. Variable independiente x

Variable dependiente y = x2 + x + 4

Coordenadas (x, y)

(0, 4)

(1, 6)

(2, 10)

Figura 10.13.

&RPR REVHUYDPRV HQ OD JUiÂżFD QR H[LVWHQ LQWHUVHFFLRQHV GH OD IXQFLyQ FRQ HO HMH ; y al resolver la ecuaciĂłn obtenemos las soluciones: x1

15i 2

1 15i 2

Las anteriores soluciones son complejas, por lo tanto, no aparecen en un eje de coordenadas de nĂşmeros reales.

388

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas II

Aplica lo aprendido

Actividad 2 Hasta aquĂ hemos estudiado dos tipos de ecuaciones cuadrĂĄticas incompletas las de tipo trivial y mixto. Instrucciones (1): Realiza lo que se te indica en los tres casos para consolidar tu aprendizaje. , 6LQ UHDOL]DU ODV JUiÂżFDV GH ODV IXQFLRQHV FRPSOHWD OR VLJXLHQWH

FunciĂłn

Discriminante de la ecuaciĂłn respectiva

NĂşmero de intersecciones con el eje X

Coordenadas de las raĂces

y 6x 2 36 y 8 x 2 y x2 121 ( 8,0) (-1,0) D 32 4(1)(4)

Instrucciones (2): Modela o plantea los siguientes problemas a travĂŠs de una ecuaciĂłn cuadrĂĄtica, determina la soluciĂłn de cada ecuaciĂłn e interpreta los resultados en funciĂłn del contexto del problema. Los procedimientos y operaciones los harĂĄs en tu cuaderno:

389

loque X

Resuelves ecuaciones cuadrรกticas II

II. Observa con atenciรณn las parรกbolas en el siguiente plano cartesiano y relaciรณnaODV FRQ VXV HFXDFLRQHV FRUUHVSRQGLHQWHV HVFULELHQGR OD OHWUD GHO JUiยฟFR GHQWUR del parรฉntesis ubicado a la izquierda de cada ecuaciรณn.

e a

(

18 y ) x2

(

8 6x y ) x2

(

) 2x 2 y

(

x 2

7x 10 y )

(

4 x 2 ) y

(

9 x 3x 2 y )

f d Figura 10.14.

,,, /DV JUiยฟFDV PRVWUDGDV UHSUHVHQWDQ ORV FRVWRV \ ORV LQJUHVRV SRU OD SURGXFFLyQ y venta de balones de basquetbol por parte de la empresa Malten.

Costos Ingresos

Figura 10.15.

390

Resuelves ecuaciones cuadrรกticas II

a) ยฟCuรกl es el costo, el ingreso y la ganancia por producir y vender 0, 200, 400 y 600 balones? b) ยฟCuรกl es el monto de balones que se deben ofertar para que se obtenga ganancia? c) ยฟCuรกl es el ingreso mรกximo? ยฟCuรกntos balones se necesitan vender para lograr este? d) ยฟCon cuรกntos balones se logra la ganancia mรกxima? e) ยฟCuรกl es el otro punto de intersecciรณn de la parรกbola con el eje X?

Aprende mรกs Transformaciรณn de y = ax2 +bx + c a y = a(x รญ K)2 + k En esta รบltima secciรณn el propรณsito central serรก transformar una funciรณn cuadrรกtica expresada en forma general: y ax 2

c A la forma estรกndar o de vรฉrtice: y a( x h )2

k Para mostrarte como se realiza dicha transformaciรณn, retomemos una vez mรกs la funciรณn dada anteriormente para determinar la altura a la que se encuentra el balรณn en un partido de voleibol.

391

loque X

II. Observa con atenciรณn las pa

Resuelves ecuaciones cuadrรกticas II

La funciรณn propuesta equivalente a:

c y ax 2 es 4.9t 2

d 9.8t El procedimiento a seguir para llegar a la for h )2

k es el siguiente: ma estรกndar y a( x Sacando factor comรบn: 4.9(t 2

2t ) d

Figura 10.16.

Completando el trinomio cuadrado perfecto:

Figura 10.16.

4.9(t 2

4.9 d

Factorizando el trinomio: d 4.9(t

1)2

4.9 Por comparaciรณn de esta funciรณn de forma estรกndar se pueden encontrar las coordenadas del vรฉrtice (h,k) que son V(1, 4.9). Con lo aprendido en el bloque IX y X se puede realizar el anรกlisis de una funciรณn cuadrรกtica que abarca los siguientes puntos: Dada la funciรณn cuadrรกtica y x 2 6x

8 , determinaremos: ย ย +DFLD GRQGH VH DEUH OD JUiยฟFD GH OD IXQFLyQ FRQFDYLGDG 2EVHUYDPRV TXH a=1

a>0

Entonces la parรกbola abre hacia arriba. ย ย La intersecciรณn con el eje Y. Para obtener el punto donde se intersecta la parรกbola con el eje Y se asigna el valor de cero a la variable [: x: y 02 6(0)

8 8 Por tanto, la intersecciรณn con el eje Y en este caso se da en el punto (0, 8).

392

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas II

Â&#x2021;

Las intersecciones con el eje X (ceros o raĂces de la funciĂłn). Se obtienen resolviendo la ecuaciĂłn correspondiente: 0 x2 6x

8 0 (x 4)( x 2) x1 4 x1 2

Â&#x2021; /D HFXDFLyQ HQ OD IRUPD YpUWLFH R HVWiQGDU Â&#x2021; La ecuaciĂłn en la forma vĂŠrtice o estĂĄndar: y x2 6x

8 y (x2 6x

8 9 3)2 1 y (x Â&#x2021; /DV FRRUGHQDGDV GHO YpUWLFH /H\HQGR ODV FRRUGHQDGDV HQ OD HFXDFLyQ HQ OD IRUÂ&#x2021; Las coordenadas del vĂŠrtice. Leyendo las coordenadas en la ecuaciĂłn en la forma vĂŠrtice: V Ă Â&#x2021; Â&#x2021; (O YDORU Pi[LPR R PtQLPR GH OD IXQFLyQ (Q HVWH FDVR HV HO YDORU PtQLPR \ VX El valor mĂĄximo o mĂnimo de la funciĂłn. En este caso es el valor mĂnimo y su valor es el de la ordenada del vĂŠrtice: \ y Ă Â&#x2021; Â&#x2021; /D HFXDFLyQ GHO HMH GH VLPHWUtD [ La ecuaciĂłn del eje de simetrĂa. x = 3 Â&#x2021; 7UD]D OD JUiÂżFD GH OD IXQFLyQ $ WUDYpV GH HVWH DQiOLVLV DGHPiV GH WHQHU PiV FODUR HO FRPSRUWDPLHQWR GH OD IXQFLyQ VH SXHGH REWHQHU VX JUiÂżFR VLQ QHFHVLGDG de realizar la tabulaciĂłn como se hizo en los ejercicios anteriores

Figura 10.17.

393

loque X

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas II

Aplica lo aprendido

Actividad 3 Instrucciones: Realiza lo que se te indica en los tres casos para consolidar tu aprendizaje. I. Descubre la frase escondida:

39 26

1 2

9 2

39 26

65 26

21 6

72 18

Para lograrlo debes resolver las ecuaciones del recuadro, ello te harĂĄ saber quĂŠ letra estĂĄ asignada a su soluciĂłn distinta de cero. FunciĂłn 2

394

Abscisa del vĂŠrtice

Letra asignada

f ( x ) 13 x 39 x

f (x) x2 x

f ( x ) 3x 2 21x

f ( x ) -5 x 2

50 x

f ( x ) 65 x 13 x 2

f ( x ) -9 x 2

72 x

f ( x ) 84 x - 21x 2

f ( x ) 22 x 11x 2

f ( x ) 14 x 2 - 84 x

f ( x ) 9x x2

Resuelves ecuaciones cuadrรกticas II

II. Realiza el Anรกlisis de las siguientes funciones cuadrรกticas determinando los elementos estudiados: a) y x 2 x 6 ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย ย

+DFLD GRQGH VH DEUH OD JUiยฟFD GH OD IXQFLyQ FRQFDYLGDG La intersecciรณn con el eje y. /D LQWHUVHFFLyQ FRQ HO HMH \ /DV LQWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH [ FHURV R UDtFHV GH OD IXQFLyQ Las intersecciones con el eje x (ceros o raรญces de la funciรณn). /D HFXDFLyQ HQ OD IRUPD YpUWLFH R HVWiQGDU La ecuaciรณn en la forma vรฉrtice o estรกndar. /DV FRRUGHQDGDV GHO YpUWLFH Las coordenadas del vรฉrtice. 9DORU Pi[LPR R PtQLPR GH OD IXQFLyQ Valor mรกximo o mรญnimo de la funciรณn /D HFXDFLyQ GHO HMH GH VLPHWUtD La ecuaciรณn del eje de simetrรญa. 7UD]D OD JUiยฟFD GH OD IXQFLyQ

b) y 2 x 2

13 x 20 c) y 4 x 2 16 d) y x 2 4x

7 ,,, $KRUD D SDUWLU GHO JUiยฟFR PRVWUDGR D FRQWLQXDFLyQ GHO ODQ]DPLHQWR GH GRV SUR\HFWLOHV SRU OD PLVPD FDWDSXOWD LGHQWLยฟFD \ HVFULEH ORV HOHPHQWRV GHO DQiOLVLV completo de dichas parรกbolas, bรกsate en los ejercicios anteriores.

Figura 10.18.

395

loque X

Resuelves ecuaciones cuadrÃ¡ticas II

5HÃ&#x20AC;H[LRQHPRV VREUH OD DFWLYLGDG

Â¿De quÃ© te das cuenta? $KRUD TXH KDV Â¿QDOL]DGR HO EORTXH ; HV LPSRUWDQWH TXH UHÃ&#x20AC;H[LRQHV VREUH lo que has aprendido. Anota en el siguiente espacio, tus conclusiones sobre ello. Incluye cuales han sido los conocimientos de este bloque en cuanto a ODV IXQFLRQHV FXDGUiWLFDV OD SDUiEROD FRPR VX JUiÂ¿FR \ OD WUDQVIRUPDFLyQ GH su forma general a su forma estÃ¡ndar. Menciona una ejemplo, distinto a los ya estudiados en el bloque, en el cual se registre una trayectoria parabÃ³lica.

396

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas II

Actividad 4 Producto de aprendizaje: catapulta 100 mg Instrucciones: Es el momento de mostrar la efectividad de tu catapulta, recuerda que por equipos deberĂĄn lograr lanzamientos, de un proyectil de 100 g, a una distancia de 3, 5 y 10 m, primero sin obstĂĄculos y luego deberĂĄn hacerlo por encima de un obstĂĄculo de 2 m de altura. 9HULÂżFD TXH KD\DV VHJXLGR ODV UHFRPHQGDFLRQHV KHFKDV HFKDV DO LQLFLR GHO EORTXH Â&#x2021;

Investiga quĂŠ es una catapulta, sus elementos esenciales y cĂłmo funciona.

Â&#x2021;

Realiza un bosquejo previo del diseĂąo que construirĂĄs.

Â&#x2021;

La elecciĂłn de los materiales es libre, preferentemente usa reciclados de madera, cartĂłn o metales.

Â&#x2021;

Ensayen tantas veces como sea necesario hasta lograr el dominio de fuerza y ĂĄngulo de lanzamiento para lograr las distancias requeridas, tanto horizontal FRPR YHUWLFDOPHQWH (OLMDQ XQ SUR\HFWLO ÂłVXDYHÂ´ TXH QR GDxH FRQ VX LPSDFWR

Â&#x2021; -XVWLÂżTXHQ HO SURFHGLPLHQWR D WUDYpV GH ODV IXQFLRQHV FXDGUiWLFDV TXH PRGHOHQ la trayectoria parabĂłlica del proyectil lanzado. Utilicen los mismos elementos de anĂĄlisis aprendidos. Â&#x2021;

Considera el tamaĂąo de la catapulta en funciĂłn de la masa del proyectil al lanzar, ni tan pequeĂąo ni tan grande.

Â&#x2021;

Consulta los criterios e indicadores de evaluaciĂłn que de debes cumplir en este WUDEDMR HVWRV ORV HQFRQWUDUiV HQ OD VHFFLyQ GH HYDOXDFLyQ XELFDGD DO ÂżQDO GHO bloque.

Figura 10.18

Figura 10.19

397

loque X

Resuelves ecuaciones cuadráticas II

Actividad 5 Producto de aprendizaje: elaboración de tu problemario Esta actividad consiste en conformar tu problemario con los problemas y ejercicios que resolviste de manera individual o grupal en las tres actividades y tu actividad de UHÀH[LyQ SUHVHQWDGDV D OR ODUJR GHO EORTXH En tu libreta o cuaderno que hayas destinado para este producto de aprendizaje, colocarás cada uno de los ejercicios que se te indicaron que formarían parte del problemario, sólo asegúrate antes de colocarlos que los procedimientos y resultados VHDQ FRUUHFWRV 7H VXJHULPRV TXH HO UHVXOWDGR ¿QDO GH FDGD HMHUFLFLR R SUREOHPD OR puedas resaltar con una tinta de color diferente al color utilizado en el procedimiento. Te invitamos a consultar la lista de cotejo que se encuentra en la sección de evaluación que se encuentra enseguida, para que consideres los criterios de evaluación que debes cubrir. Para presentar tu problemario a tu Profesor, es importante que mantengas limpieza y orden, además coloca una carátula al inicio con tus datos (nombre, de la escuela, asignatura, del estudiante, bloque, título del problemario, semestre, grupo y fecha de entrega) y un índice.

398

Resuelves ecuaciones cuadráticas II Lista de cotejo para evaluar el producto de aprendizaje: catapulta 100 mg Criterios

Indicadores

Sí cumple

No cumple

Observaciones

Catapulta hecha con materiales apropiados y creativamente empleados. Presentación

La construcción de la catapulta es ordenada, atractiva y precisa. Se reconoce la función de cada una de las partes de la catapulta. Logran el lanzamiento de 3 metros del proyectil de 100 mg. Logran el lanzamiento de 5 metros del proyectil de 100 mg.

Dominio procedimental

Logran el lanzamiento de 10 metros del proyectil de 100 mg. Logran el lanzamiento de 3, 5 o 10 metros del proyectil de 100 mg por encima de un obstáculo de 2 metros. Se muestra el análisis de la parábola formada con el lanzamiento de 3 metros

Dominio conceptual

Se muestra el análisis de la parábola formada con el lanzamiento de 5 metros Se muestra el análisis de la parábola formada con el lanzamiento de 10 metros

Actitud

Trabajar de forma colaborativa la catapulta y presentar su funcionamiento con disciplina y de forma organizada.

Total de puntos

399

loque X

Resuelves ecuaciones cuadráticas II

Si en la lista de cotejo lograste los 11 puntos, considera tu resultado como Excelente, y si lograste 9 a 10 puntos es Bien, de 6 a 8 es Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 6 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que atiendas tus áreas de oportunidad. ([FHOHQWH ¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

Lista de cotejo para evaluar el producto de aprendizaje: problemario Criterios

Indicadores Presenta carátula con los datos de: nombre de la escuela, estudiante, asignatura, bloque, título del poblemario, semestre, grupo, fecha.

Presentación Actividades: orden y limpieza. El planteamiento de la actividad a tinta. Proceso de solución a lápiz. Presenta índice.

*Ui¿FR GH funciones

Procedimientos

Logra tabular una función cuadrática en al menos 5 puntos. Localiza correctamente los puntos de la tabulación en un plano cartesiano. Relaciona las soluciones de una ecuación cuadrática con ODV LQWHUVHFFLRQHV GHO JUi¿FR de una función con el eje X. Es capaz de transformar una función en su forma general a su forma estándar

400

Sí cumple

No cumple

Observaciones

Resuelves ecuaciones cuadráticas II

Determina el vértice de una parábola como mínimo o máximo. Reconoce la orientación de $QiOLVLV GHO JUi¿FR una parábola. de funciones Determina las intersecciones con el eje X. Determina la intersección con el eje Y.

Total de puntos

Si en la lista de cotejo lograste los 12 puntos considera tu resultado como Excelente y si lograste 10 a 9 puntos es Bien, de 8 a 7 es Regular y si tus respuestas correctas fueron menos de 7 considera tu desempeño como 1R VX¿FLHQWH, lo que exige que atiendas tus áreas de oportunidad. ([FHOHQWH ¿Cómo evalúas el nivel de tus conocimientos previos en función de las respuestas correctas que tuviste?

Bien Regular 1R VXÀFLHQWH

401

loque X

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas II

Registro del avance Competencias genĂŠricas y disciplinares del bloque X

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizaciĂłn de medios, cĂłdigos y herramientas apropiados.

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mĂŠtodos establecidos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interĂŠs y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crĂtica \ UHĂ&#x20AC;H[LYD

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintĂŠtica.

Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, GHÂżQLHQGR XQ FXUVR GH DFFLyQ FRQ SDVRV HVSHFtÂżFRV Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera UHĂ&#x20AC;H[LYD

402

Nivel de avance

Resuelves ecuaciones cuadrĂĄticas II

Competencias disciplinares

Nivel de avance

Analiza las relaciones entre dos o mĂĄs variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

,QWHUSUHWD WDEODV JUiÂżFDV PDSDV GLDJUDPDV \ WH[WRV FRQ VtPERORV PDWHPiWLFRV \ FLHQWtÂżFRV

Cuando concluyas la tabla presĂŠntala a tu profesor y valoren los avances registrados.

403

Glosario

404

Análisis numérico o cálculo numérico: rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real. Ángulo: unidad de medida que nos permite conocer la amplitud con la que dos rectas se interceptan entre sí. Área: VXSHU¿FLH FRPSUHQGLGD GHQWUR GH XQ SHUtPHWUR Binomio al cuadrado: multiplicación de un binomio por sí mismo. Siendo un producto notable común. Binomios con término común: dos binomios que tienen un término igual. Binomios conjugados: dos binomios semejantes donde la única diferencia es un signo. &RH¿FLHQWH número que se escribe antes de una variable, indicando el número de veces que se ha sumado ésta. Constante: aquella magnitud cuyo valor es único. Coordenadas cartesianas: sistema de coordenadas formado por dos rectas que se interceptan perpendicularmente, llamadas también coordenadas rectangulares. Discriminante: cantidad subradical de la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas cuya expresión es b2 ± ac, con la que se puede investigar el tipo de solución que tienen estas ecuaciones. Ecuación cuadrática: igualdad de segundo grado que se satisface con dos valores de la variable. Ecuación lineal o de primer grado: ecuación que contiene la incógnita a la primera potencia y en el numerador. Ecuación: igualdad donde sólo algún valor o algunos valores de la variable satisfacen a ésta. Equidistante: dos puntos que están a la misma distancia de otro tomado como referencia. Estilo APA: es el estándar adoptado por la Asociación Estadounidense de Psicología (APA) que los autores utilizan al momento de presentar sus documentos o textos para las revistas publicadas por la entidad. Evaluación numérica: consiste en sustituir por números cada una de las variaEOHV GH XQD H[SUHVLyQ SDUD ORV FXDOHV HVWi GH¿QLGD \ VH UHDOL]DQ ORV FiOFXORV D través de las operaciones indicadas. Exponente: número escrito arriba y a la derecha de otro número, llamado base, que indica el número de veces que se multiplicará dicha base. Factor común: un número o expresión algebraica que es factor de todos los términos de la expresión algebraica propuesta. Factor: cada una de las expresiones o cantidades que se multiplican para formar un producto. Factorización: proceso de expresar un polinomio como un producto de factores. Identidad algebraica: igualdad que se cumple para cualquier valor de las variables involucradas.

Glosario

Incógnita: valor o cantidad desconocida que interviene en una ecuación y que VyOR VH YHUL¿FD SDUD XQR R YDULRV YDORUHV GHWHUPLQDGRV Lenguaje algebraico: lenguaje cuyos caracteres son símbolos del Álgebra y las reglas gramaticales corresponden a propiedades matemáticas. Resulta muy útil para expresar de forma abreviada enunciados derivados de situaciones cotidianas. La mínima expresión del lenguaje algebraico es el término algebraico. Lugar geométrico: conjunto de puntos que satisfacen una condición dada, por ejemplo, la circunferencia es el lugar geométrico que forman todos los puntos TXH HTXLGLVWDQ D XQ SXQWR ¿MR OODPDGR FHQWUR Magnitud: es la distancia del cero a cualquier número en una recta numérica y se denomina valor absoluto. Máximo común divisor (MCM): el mayor divisor común de un grupo de números propuestos. Modelo matemático: serie de expresiones matemáticas para describir o representar un suceso realizado en un contexto, esto puede ser mediante ecuaciones de diferente orden, sistemas de ecuaciones y matrices entre otros. Notación matemática: lenguaje simbólico formal que sigue convenciones propias mediante símbolos que permiten representar conceptos, operaciones y todo tipo de entidades matemáticas. Numeral: símbolo con el que se representa a un número Número: cantidad de elementos que tiene un conjunto Número complejo: número formado por la suma de un número real y un imaginario. Numero imaginario: raíz cuadrada de un número negativo. Número irracional: número real que no puede expresarse como el cociente de dos enteros. Números naturales: forman un conjunto bien ordenado: dado un número natural, siempre es posible saber cuál es su antecesor y cuál su sucesor Números racionales: número real que puede expresarse como el cociente de números enteros. Números reales: conjunto de números que comprende los números racionales y los irracionales. Parámetro: magnitud que una vez asignado su valor no lo cambiará dentro del mismo contexto, podrá cambiarlo si el contexto varía. Conceptualmente, los parámetros ocupan el lugar intermedio entre variables y constantes. Perímetro: VXPD GH OD ORQJLWXG GH ORV ODGRV GH XQD ¿JXUD FHUUDGD Potenciación: es la elevación de una cantidad o una expresión a una potencia. Producto notable: SURGXFWR TXH VH ULJHQ SRU UHJODV ¿MDV \ FX\R UHVXOWDGR SXHGH hallarse por simple inspección. Radicación: es la operación de extraer la raíz de una cantidad o de una expresión. Raíz de una ecuación: valor o valores de la incógnita que satisface la ecuación. Sistema de ecuaciones: conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas.

405

Glosario Â&#x2021;

Â&#x2021; Â&#x2021;

406

SoluciĂłn para un sistema de ecuaciones: consiste en proporcionar un valor para cada incĂłgnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una contradicciĂłn, es decir, cada una de las ecuaciones del sistema se satisface simultĂĄneamente. Teorema: proposiciĂłn lĂłgica susceptible de comprobaciĂłn. En MatemĂĄticas el Teorema de PitĂĄgoras en uno de los mas conocidos. TĂŠrmino algebraico: mĂnima expresiĂłn del lenguaje algebraico, compuestos SRU FXDWUR SDUWHV VLJQR FRHÂżFLHQWH EDVH OLWHUDO \ ORV H[SRQHQWHV GH FDGD OHWUD de la base. Teorema del factor cero: si dos o mĂĄs factores dan como resultado cero, entonces al menos uno de ellos tiene el valor de cero. Tiro parabĂłlico: movimiento curvilĂneo cuya trayectoria es una parĂĄbola, se describe en movimientos tales como el lanzamiento de un tiro libre en basquetbol, lanzamiento de proyectiles, despeje de una pelota de futbol, etcĂŠtera. Trinomio cuadrado perfecto: resultado de elevar un binomio al cuadrado. Variable: cantidad que puede tomar distintos valores, pero cuyo valor en una situaciĂłn dada es a menudo desconocido.

6LVWHPD ELQDULR \ QXPHUDFLyQ PD\D SRU HMHPSOR Sistema romano Mayas (JLSFLD Sistema Decimal 6X SHUtPHWUR HV FP \ FP2 1~PHURV WDFKDGRV 3 , 9,18, 19 , 25, 39.

)RUPD GHFLPDO )RUPD JUiÂ¿FD

/D UHVSXHVWD GH 3HGUR HV OD FRUUHFWD SRUTXH OD SULRULGDG GH RSHUDFLRQHV LQGLFD HIHFWXDU SULPHUR ODV PXOWLSOLFDFLRQHV \ SRU ~OWLPR ODV VXPDV \ ODV UHVWDV Actividad 1

8Q PLVPR VtPEROR WLHQH GLVWLQWR YDORU VHJ~Q OD SRVLFLyQ TXH RFXSH GLH]

3x10 5

4x10 4

5 x10 3

6x10 2

6x101

6x10 0

4x10 1

3x10 2

2x10 3

D 3x10 2

2x101

7 x10 0

4x10 1

5 x10 2 2 1 0 1 E 6x10

7 x10

8x10

1x10

2x10 2

0x10 3 Actividad 2 1.

-9

-11

-13

-1

-12

-9

-7

-10

-7

-12

-5

-13

-10

-15

-17

407

ApÃ©ndice 2. Ã

-11

-9

-7

-11

-13

-11

-9

-2

-3

-5

Ã&#x2014;

-15

-25

-32

-12

-20

-22

-30

Ã·

2.5

-5/7

-5/9

-1

1/2

-5.5

11/9

-2/3

9/7

-3/2

5. D E F G H I

408

P F P P F G P F P P F G P F P P F G P F P P F G P F P P F G P F P P F G

M S

/DV UHVSXHVWDV D ODV SUHJXQWDV VRQ D 3RU HMHPSOR

10 2

E 3RU HMHPSOR

8 4

/D IUDVH FRPSOHWD TXHGD DVt $O DQDOL]DU ODV IUDFFLRQHV FRPXQHV VH SXHGH REVHUYDU TXH HO GHQRPLQDGRU QRV LQGLFD HQ FXDQWDV SDUWHV VH KD GLYLGLGR OD XQLGDG, y el numerador nos indica FXDQWDV SDUWHV VH WRPDQ de la unidad. 5. PosiciÃ³n en la recta numÃ©rica de las fracciones comÃºnes: 0 ÃÂ&#x2019;

3 4

3 2

8 3

18 6

Â&#x2019;

D (O SHULRGR VH SXHGH H[SUHVDU HVFULELHQGR XQ DUFR HQFLPD GH ODV FLIUDV UHSHWLGDV HMHPSOR 12 2 q 0.6; 1.09 3 11

E 'DGR XQ Q~PHUR SHULyGLFR HQ VX UHSUHVHQWDFLyQ GHFLPDO HV SRVLEOH HQFRQWUDU OD IUDFFLyQ TXH OR SURGXFH IUDFFLyQ JHQHUDWUL] (MHPSOR x 0.333333... 10 x 3.333333... (multiplicando por 10 ambos miembros) 9x 3 (restando segunda fila menos priemra fila)

3 1 9 3

(simplificando)

2WUR HMHPSOR x 2.85636363... 100x 285.63636363... (multiplicando por 10 ambos miembros) 99x 282.78 (restando segunda fila menos primera fila)

282.78 28278 1571 = (simplificando) 99 9900 550

409

36 x % % ; x = 11 goles 100 30

Actividad 4 5HVSXHVWDV

5HVSXHVWDV

1. $VRFLDWLYD Asociativa 2. &RQPXWDWLYD Conmutativa 3. 'LVWULEXWLYD Distributiva 'LVWULEXWLYD Distributiva 5. &RQPXWDWLYD Conmutativa 'LVWULEXWLYD Distributiva 7. &RQPXWDWLYD Conmutativa $VRFLDWLYD Asociativa 9. 'LVWULEXWLYD Distributiva 'LVWULEXWLYD 10. Distributiva

1. 2. 3. 5.

9 9 9 9 9

3 ab 2. 4 3.

n p r

2 Â· Â§ 3 Â¨ m

5. mx 2

5HVSXHVWDV

Â§ m Â· Â§ n Â· ) Â¨ Â¸8 Â¸8

410

1 2ab

3y 4x

3 m m

D E Â&#x2022; F G

Actividad 6 D (V OD UHODFLyQ HQWUH OD ORQJLWXG GH OD FLUFXQIHUHQFLD \ VX GLiPHWUR E /D DULWPpWLFD H[SUHVD ODV FDQWLGDGHV FRQ Q~PHURV TXH VRQ YDORUHV FRQVWDQWHV \ HO iOJHEUD WUDEDMD FRQ OHWUDV TXH SXHGHQ WRPDU FXDOTXLHU YDORU < VH FRQVLGHUD FRPR OD matemÃ¡tica generalizada. F [ G 8Q SURGXFWR H (VWD H[SUHVLyQ VH XVD SDUD FDOFXODU HO iUHD GH XQ WULDQJXOR I \ [ J 7LSR GH P~VLFD 0 Â¢SRU TXp" 9DUtD GH DFXHUGR D ORV JXVWRV PXVLFDOHV GH ORV HVWXGLDQtes. K (O FHUR HV UHDO SRUTXH SHUWHQHFH DO FRQMXQWR GH ORV Q~PHURV HQWHURV \ ORV HQWHURV SHUtenecen al conjunto de los nÃºmeros reales. L (V XQD H[SUHVLyQ DOJHEUDLFD TXH UHODFLRQD YDULDEOHV SDUD UHDOL]DU GLIHUHQWHV WLSRV GH cÃ¡lculos. M A

5 B h 10

2 15 cm2 2

kg Â· Â¸8( 3m ) 29430 ms 2 Â¹

7 Â· Â§ P F 20000 Â¨ 1

d 300 km km 150 t 2 hr hr

411

1 8

6RQ P~OWLSORV GH 3. El Ã¡rea del cuadrado es de 25 cm2 \ HO iUHD GHO WULiQJXOR HV GH FP2. ConclusiÃ³n el FXDGUDGR WLHQH PiV VXSHUÂ¿FLH 6000 $3000.00 2 6000 $1500.00 7UDQVSRUWH 4

*DVWRV

$KRUUR Ã JDVWRV WUDQVSRUWH /RV DOXPQRV TXH QR SUHÂ¿HUHQ OD P~VLFD SDUD HVWXGLDU VRQ x

30 850 255 alumnos 100

(O 0 & ' PLQXWRV 2

1 Â§ 1 1 Â· Â§ 1 Â· 17 7. /D VROXFLyQ HV La soluciÃ³n es: 3 Â¨

500 510 6H LQFUHPHQWy HQ XQ . Se incrementÃ³ en un 2%. 100% 102%

Actividad 1 D

23 5

D 4

412

39 37 F 5 7

4 1 2 E 5 F 3 5 4 7

35 4

G 6

3 6

4 6 8 10 12 8 12 16 20 24 10 15 20 25 30 E F 6 9 12 15 18 10 15 20 25 30 4 6 8 10 12

ApÃ©ndice

10 15 20 25 30 14 21 28 35 42 H 8 12 16 20 24 12 18 24 30 36

2 3

D 0.6

3 1 9 9 F G H 2 6 5 2

E 3.3 F 0.916 G 0.8

42 21 2 33 E F 100 50 9 125

9 11

Actividad 2

247 7 2 120 120

3 5

11 18

2 Â· 416 11 Â§ 3 /D VROXFLyQ SDUD REWHQHU HO SHUtPHWUR HV OD VLJXLHQWH 2 9 Â¸8

Actividad 3

, I. 1.

5 4

10 4 3 $SUREDURQ DOXPQRV 3. 3 15 5

17 Â§ 3 Â· Â§ 2 Â· 1247 (O iUHD GHO UHFWiQJXOR VH FDOFXOD GH OD VLJXLHQWH IRUPD Â¨ 4 Â¸8 41 Â¨ 9 Â¸8 10 3 30 30 Â© Â¹ Â© Â¹

,, II. 7.

32 45

4 15

3 100 botellas 5 2 84 11. La soluciÃ³n es: 60

/D VROXFLyQ HV 60 5 4 12. Gastos mensuales = 12000 9600 *DVWRV PHQVXDOHV 5 /D VROXFLyQ HV 10. La soluciÃ³n es: 60 y

413

Apรฉndice $KRUUR PHQVXDO Ahorro mensual = 12000 12000 9600 2400 $KRUUR DQXDO Ahorro anual = 2400 u 12 28800 Actividad 4 1. 2 x101

7 x10 0

4 x10 1

3 x10 2 2.

844 99

3. 7RGRV PHQRV Todos menos S p 3HUWHQHFH DO FRQMXQWR GH ORV b, a, _, ^ D E F Actividad 5 D [ E [ F [ G [ 2. 7200 3. 1000 /D VROXFLyQ HV OD VLJXLHQWH

7 x ; x 5.25 m 4 3

5. La soluciรณn es la siguiente:

50 10 Por cada 10 hombres hay 3 mujeres. 15 3

/D VROXFLyQ HV

6 42 ; x 63 billetes de 50 9 x

Total en caja registradora = 7350

7. La soluciรณn es: KRUDV KRUDV

414

275 x ; x 96.25 g 100 35

3 20 ; x $66.66 10 x

GtDV 3. y

(O PRGHOR GH YDULDFLyQ HV \ [ HQ FDGD FROXPQD VH YD FDOFXODQGR HO GDWR TXH IDOWD TXH SXHGH VHU [ R \ (V XQ SUREOHPD GH YDULDFLyQ GLUHFWD Â³D PD\RU FDQWLGDG GH OLWURV GH JDVROLQD VHUi PD\RU la distancia recorrida. El modelo es y = kx: k

y 6l l 0.1111111 x 54km km

&RQ OLWURV GH JDVROLQD UHFRUUHUi NP (O PRGHOR HV \ N[ SRU OR WDQWR OD DOEHUFD VH OOHQDUi HQ KRUDV (O PRGHOR HV \ N[ SRU FDGD NJ 6H QHFHVLWD XQ SHUUR OXHJR HQWRQFHV SDUD NJ 6H QHFHVLWDQ SHUURV 7. El modelo es y = kx, de regreso debe viajar a una velocidad de 75 km/hr.

Soluciones del bloque III 3DUD LQLFLDU UHÃ&#x20AC;H[LRQD 3DUD HQFRQWUDU FXDQWRV WURQFRV VH FRORFDUDQ HQ HO SULPHU QLYHO GH OD SLUiPLGH R SULPHUD FDPD OD RSHUDFLyQ TXH VH UHDOL]D HV 4m 10 troncos 0.40 m 6H SXHGHQ FRORFDU WURQFRV HQ HO SULPHU QLYHO WURQFRV HQ HO VHJXQGR QLYHO \ WURQFRV

415

ApÃ©ndice HQ HO FXDUWR QLYHO /D SLUiPLGH WHQGUi QLYHOHV EvaluaciÃ³n diagnÃ³stica 1. 55 2. 1 3S a 6 /D VROXFLyQ HV b 5 5. 3 Actividad 1 D a2 5a1 1031

1 a3 5a2

1 a4 5a3

1 a5 5a4

1 E /D GLIHUHQFLD HQWUH VXFHVRU \ DQWHFHVRU GHEH VHU FRQVWDQWH &RQFOXVLyQ QR HV XQD VXFHVLyQ DULWPpWLFD SRUTXH ODV GLIHUHQFLDV QR VRQ FRQVWDQWHV F (O SUREOHPD VROLFLWD KDOODU HO WpUPLQR \

n 1 d 1001

(6 1)( 101) 496 7pUPLQR an a1

G (O SUREOHPD VROLFLWD KDOODU HO WpUPLQR

n 1 d 80

( 20 1)( 23 ) 517 7pUPLQR TÃ©rmino 20: a20 a1 H (O SUREOHPD VROLFLWD KDOODU HO SDJR 3DUD SRGHU FDOFXODU HO SDJR VH GHEH FRQRFHU OD FDQWLGDG GHO SULPHU SDJR \ OD GLIHUHQFLD FRQVWDQWH HQWUH ORV SDJRV d

416

aj ai j i

200 340 35 11 7

ApÃ©ndice

a1 ai i 1 d 340 (7 1)( 35 ) 550 n d 550

(15

1 1)( 35 ) 60 Pago 15: a15 a1 3DJR I 3DUD SRGHU FDOFXODU OD VXPD GH ORV SULPHURV WpUPLQRV GH XQD VXFHVLyQ VH GHEH FRQRFHU HO SULPHU WpUPLQR OD GLIHUHQFLD FRQVWDQWH \ HQ HVWH FDVR HO WpUPLQR

n 1 d 27

an a1

d a1

an ( 333

15 )( 27

333 ) 3825 2d

2(15 )

Actividad 2 5HVSXHVWDV $SOLFD OD H[SUHVLyQ

an a1

(n 1)( d )

a 1 = 7 'LIHUHQFLD Diferencia = 5 Q n = 5 6XVWLWX\H YDORUHV Sustituye valores 7pUPLQR JHQHUDO TÃ©rmino general &DOFXOD HO WpUPLQR

an a1

(n 1)( d ) a80 7

(80 1)(7 ) 560

5HVSXHVWDV D 3DUD FDOFXODU OD JUiÂ¿FD GH OD VXFHVLyQ VH DSOLFD HO WpUPLQR JHQHUDO TXH HV

y a1

x 1 d

'H GRQGH VH VDEH TXH HO SULPHU WpUPLQR HV Ã \ OD GLIHUHQFLD FRQVWDQWH HV GH 6XVWLWX\HQGR YDORUHV y 2

x 1 4 4x 6

\ [ Ã

417

x 1 d

La diferencia d /D GLIHUHQFLD

aj ai j i

11 7 6 5 2

\ [

(FXDFLyQ SDUD JUDÂ¿FDU y 13

x 1 6 Â&#x; y 6 x

19 *UiÂ¿FD Ã

\ [

G 3DUD GHWHUPLQDU OD JUiÂ¿FD VH GHEH HQFRQWUDU HO WpUPLQR an GH OD IyUPXOD de la fÃ³rmula Sn donde 180 GRQGH

10 , con este valor se debe calcular la diferencia de los 0

an Â&#x; an 175 FRQ HVWH YDORU VH GHEH FDOFXODU OD GLIHUHQFLD GH ORV 2

n 1 Q~PHURV GH OD VXFHVLyQ nÃºmeros de la sucesiÃ³n an a1

d d

175 19.44 9

/D HFXDFLyQ HV La ecuaciÃ³n es y 0

x 1 19.44 Â&#x; y 19.44 x 19.44 /D JUiÂ¿FD VH PXHVWUD D FRQWLQXDFLyQ

418

n a1

ApÃ©ndice

\ [ Ã

H /D HFXDFLyQ SDUD UHDOL]DU OD JUiÂ¿FD HV y

1 x

5 2

Actividad 3 D /D VHULH QXPpULFD QR HV XQD SURJUHVLyQ JHRPpWULFD 2

3 1 E a2 ; a3 2 2

17 1 5

3 41 5 17 2 4 ; a4 ; a5 8 2 8 2 16 2 4

54 18 6 3 18 6 2 5 1

162 3DUD OD VXPD VH XWLOL]D OD IyUPXOD Para la suma se utiliza la fÃ³rmula S

G Â¦ i 1

a1 rn 1 2 3 5 1

122 r 1 3 1

1 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1 3 5

1 20 3i 1 3

2 2 2 2 2 2

419

ApÃ©ndice H /D VHULH QXPpULFD Vt HV XQD SURJUHVLyQ JHRPpWULFD 9 3 3 5 1 3 81 3DUD HO Â&#x17E; WpUPLQR Para el 5Âº tÃ©rmino a5 a1 Â&#x2DC;=r n 1 1 /D UD]yQ JHRPpWULFD HV La razÃ³n geomÃ©trica es r

3DUD OD VXPD VH XWLOL]D OD IyUPXOD Para la suma se utiliza la fÃ³rmula S

I /D UD]yQ JHRPpWULFD HV r

j i

aj ai

a1 rn 1 1 35 1

121 r 1 3 1

5 2

81 4 3 27 3 3 4

3 ai 1 (O SULPHU WpUPLQR HV a1 i 1 43 1 r 3 12 1 6 3 1

a1 rn 1 12 91 /D VXPD HV La suma es: S r 1 3 1 3

J 3DUD FDOFXODU HO SULPHU WpUPLQR VH GHEH GHVSHMDU a1 GH de: 63 2 1 a1 rn 1

S r 1

1 6 1 8 2 4

Actividad 4 D /D IXQFLyQ SDUD JUDÂ¿FDU HV y a1 Â&#x2DC;=r x 1

6XVWLWX\HQGR ORV YDORUHV TXH VH FRQRFHQ Sustituyendo los valores que se conocen: x 1

y 5 4

Â&#x2DC;=

420

*UiÂ¿FD

\ [Ã

Soluciones del bloque IV 3DUD LQLFLDU UHÃ&#x20AC;H[LRQD 1. EcuaciÃ³n a utilizar: t

2h g

(O WLHPSR TXH WDUGD HQ FDHU OD SHORWD HV GH VHJ

421

Apรฉndice

2. Ecuaciรณn a utilizar: v f gt Sustituyendo los datos: m ยท ยง vf 5s ยจ 9.8 2 ยธ8 s ยน ยฉ

v f 49

/D YHORFLGDG FRQ TXH OOHJD DO VXHOR HV GH La velocidad con que llega al suelo es de 49

m s

Evaluaciรณn diagnรณstica D 0XOWLSOLFDQGR HO ODUJR SRU HO DQFKR E A Q( x )

P( x )

H(x) Q( x )

P( x )

Q x

A x 4x

2x 8

1 x 4x

2x 8

x 4x

A x2

x 7 3 x 8

/D H[SUHVLyQ DOJHEUDLFD TXH UHSUHVHQWD HO iUHD GH OD FDVD HV A 3x 3 โ 11x 2

13x

56 F

5HFiPDUD $]XO Recรกmara Azul: A H( x ) F( x )

A ( x2

1) x2 1 A x4 x2

2 x3 2x

x2 1 A x4

2 x3 2x 1

5HFiPDUD PRUDGD Recรกmara morada: A F( x ) P( x )

A x2 1 2x 8

A 2 x3 8 x2 2x

8 ร rea de la recรกmara azul: ร UHD GH OD UHFiPDUD D]XO

A x4

2x 3 2x 1

422

P( x )

Q( x )

P( x )

H( x )

F( x )

Q( x )

P( x )

H( x ) P 5Q( x )

3P( x ) 2H( x ) 2F( x )

P 5 x 4

3 2x 8 x2

2 x2 1

2 P 5x 20 2x 2

6x 24

2x 2 2

P 4x 2

15 x 44 (O SHUtPHWUR GH OD FDVD P 4x 2

15 x 44 H 6XPDV \ PXOWLSOLFDFLyQ GH SROLQRPLRV Actividad 1 , /DV IUDVHV FRPSOHWDV VRQ

D 8QD H[SUHVLyQ DOJHEUDLFD HV XQD H[SUHVLyQ PDWHPiWLFD HQ OD TXH VH FRPELQDQ letras 8QD H[SUHVLyQ DOJHEUDLFD HV XQD H[SUHVLyQ PDWHPiWLFD HQ OD TXH VH FRPELQDQ OHWUDV y nÃºmeros. \ Q~PHURV E /DV OHWUDV UHSUHVHQWDQ ODV LQFyJQLWDV /DV letras UHSUHVHQWDQ ODV LQFyJQLWDV F 8QD H[SUHVLyQ DOJHEUDLFD FRQ WUHV WpUPLQRV VH OODPD trinomios. 8QD H[SUHVLyQ DOJHEUDLFD FRQ WUHV WpUPLQRV VH OODPD WULQRPLRV. G /RV H[SRQHQWHV GH XQ SROLQRPLR GHEHQ VHU enteros /RV H[SRQHQWHV GH XQ SROLQRPLR GHEHQ VHU HQWHURV \ SRVLWLYRV. y SRVLWLYRV. ,, /D UHODFLyQ GH UHVSXHVWDV TXHGD FRPR VLJXH (E b ) 8y 4 z 4 (

)

1 3 x y 3

( D ) a) 4b3 ( Fc ) 3y 9 Actividad 2 1. D Ã&#x2C6;UHD GH OD FDMD GH DUHQD A L2 A 4 2 16

Sustituyendo los datos: A L2 A x2

423

Apรฉndice ร rea del Terreno: A L2 A x2

ร UHD OLEUH iUHD GHO WHUUHQR รญ iUHD GH OD FDMD GH DUHQD Alibre x 2 16

E 4 x 2

4 x2

2x 4x

2 8 x2 2x

4 F

P x 4 x2 2

2 2

2 x 3 P x 12 x 2

6 4 P x 12 x 2

Q x 4 x 2

5 2

2 Q x

8x 2 4x 10 P x 12x 12 x 2

2x 2x

2 8x 8 x2

4x 4x

Q x

P x

Q x

12x 2 2x 2 8x 2 4x 10 P x

Q x

4x 2 6x 12 P x 12x 2

Q x

8x 2 4x 10

P x 2

8x 2 12x 2

4x 10

Q x P x 20 x 2 2x 8

Q x

3 2 2 H x r

G x

F x

pS ยงยจ r 8ยทยธ pS

pS 1.5r

ยฉ4 ยน 9 H x 2.25r 2

G x

F x

pS ยงยจ r 2 8ยทยธ pS r 2 pS ยฉ 16 ยน H x r2

G x

F x

pS 0.5625

r 2 pS r 2 pS 2.25 H x

G x

F x

3.8125pS r 2 H x

G x

F x

11.9773r 2

424

3x 18x

5 x 11x E P 6 D P 2x 5HVSXHVWDV 3 xy ( ) (

) 2 m3

( d ) 6xy 2x 2 y ( D ) a) a ( ) 136x

153y (E b ) 3xy

2 m 3 ( Fc ) (e) 136x 153y Actividad 3 Â§ 4 Â· A 2ab2 Â¨ ab 2 Â¸8 2 A 3 x y 4 x

3x y A a2 b4 3

Actividad 4 1. 2

A x

6 x

A x

6 x

6 2

D A E A x

9 x

6 9 x

2 x 6

6 A x2

15 x

54 A x2

12 x

36 A x

3 x 3

F A ( x )2 3 A x2 9 2. La arista del cubo es de 3 64 4 OD H[SUHVLyQ GHO QXHYR YROXPHQ HV /D DULVWD GHO FXER HV GH 3

V x

V x 4

3 x

4 V x3

12 x 2

48 x

(O QXHYR YROXPHQ HV El nuevo volumen es: V x3

12x 2

48x

425

ApÃ©ndice H Â¢4Xp SDWUyQ HQFRQWUDVWH" 6RQ WRGRV LJXDOHV Actividad 5 5HVSXHVWDV D ODV SUHJXQWDV 1. Obteniendo su mÃ¡ximo comÃºn divisor. 2. D 6DFDPRV [ IDFWRU FRP~Q VL HOOR HV SRVLEOH \ WDQWDV YHFHV FRPR VH SXHGD E 6L HO SROLQRPLR 3 [ HV GH JUDGR GRV P( x ) ax 2 bx c Resolvemos la ecuaciÃ³n: P( x ) ax 2 bx c 0 6L HVWD HFXDFLyQ QR WLHQH VROXFLyQ HO SROLQRPLR 3 [ HV LUUHGXFLEOH SHUR VL OD HFXDFLyQ anterior tiene soluciones r1 y r2 HQWRQFHV SRGHPRV IDFWRUL]DU 3 [ GH OD VLJXLHQWH PDQHUD P( x ) a Â&#x2DC;= x r1 x r2

Â&#x2DC;=

3XHGH RFXUULU TXH U Puede ocurrir que r 1 \ U y r 2 FRLQFLGDQ VHDQ LJXDOHV

an 1 Â&#x2DC;=x n 1

...

a1 Â&#x2DC;=x

a0 F 6L HO SROLQRPLR P( x ) an Â&#x2DC;=x n Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021;

HV GH JUDGR PD\RU TXH GRV \ es de grado mayor que dos y VXV FRHÂ¿FLHQWHV VRQ HQWHURV

LQWHQWDPRV HQFRQWUDU ODV UDtFHV UHDOHV GHO SROLQRPLR 3 HQWUH ORV Q~PHURV UDFLRQDOHV GH OD IRUPD D E GRQGH D HV XQ GLYLVRU GH D forma a/b donde a es un divisor de an \ E HV XQ GLYLVRU GH D y b es un divisor de a 0 XWLOL]DQGR SDUD HOOR OD UHJOD GH 5XIÂ¿QL FRQ FDGD XQD GH HVWDV IUDFFLRQHV \ FRQ HO SROLQRPLR 3 3 D 6L \ VROR VL [ Ã D HV GLYLVRU GH 3 [

$Vt VL OOHJDGR D XQ FLHUWR SXQWR HQ HO SURFHVR GH IDFWRUL]DFLyQ KHPRV HQFRQWUDGR UDtFHV r 1 U ,r 2 Â«U ,â&#x20AC;¦rQ GHO SROLQRPLR 3 HQWRQFHV H[LVWH XQ SROLQRPLR 4 WDO TXH n P( x ) x r1 x r2 Â&#x2DC;=... Â&#x2DC;= x rn

Â&#x2DC;=

Â&#x2DC;=Q( x ) H LQWHQWDUtDPRV GHVFRPSRQHU PiV 3 IDFWRUL]DQGR 4

426

ApÃ©ndice

&XDQGR VH WLHQHQ FXDWUR R PiV WpUPLQRV VH DJUXSDQ GH WDO IRUPD TXH VXV IDFWRUHV HQ FRP~Q HQ FDGD JUXSR /RV ODGRV GH OD UHFiPDUD H(x) = [x 2 Ã [ H([) Ã x + 1

F([) F(x) = [x 2 Ã RecÃ¡mara

H( x ) x 2

1 Factorizando: x2 x 1 1 2 x 1 2x

H( x ) x 2 x

1 1 F( x ) x 2 Factorizando: x2 x 1 1 1

1 1 F( x ) x 2 x x

Actividad 6 1. 11k

17m 11k 17m 7 Â§ 12 Â· Â§ 12 2 7 Â· 2. Â¨ x 2

3. 7v

5u 7v 5u

427

ApÃ©ndice

6y x 6y x x x

sen x

cos x sen x cos x

Actividad 7 /DV IDFWRUL]DFLRQHV VRQ Las factorizaciones son: 1. x y x2

2. a

3 a2 3a

3. 4b

2 16b 2 8b

a2 b4 a2

a2 b4

b8 1 Â· 1 Â· Â§ 1 Â§1 2 1 5. Â¨ a b Â¸8

Actividad 8 3URFHGLPLHQWR 1. Procedimiento: D ([WUDHU UDt] GHO SULPHU WpUPLQR [ DVt FRPR HO WHUFHU WpUPLQR

x 7 E 0XOWLSOLFDU GRV YHFHV OD UDt] GHO SULPHU WpUPLQR \ HO WHUFHU WpUPLQR 2

14x F &RPR HO SULPHU WpUPLQR \ HO WHUFHU WpUPLQR WLHQHQ UDt] \ HO GREOH SURGXFWR GH VXV UDtFHV GD FRPR UHVXOWDGR HO VHJXQGR WpUPLQR VH WLHQH XQ WULQRPLR FXDGUDGR SHUIHFWR 2

G 6H IDFWRUL]D x 2

14x

49 x

7 x

7 3URFHGLPLHQWR 2. Procedimiento: D ([WUDHU UDt] GHO SULPHU WpUPLQR [ DVt FRPR GHO WHUFHU WpUPLQR \

x 3y 6xy E 0XOWLSOLFDU GRV YHFHV OD UDt] GHO SULPHU WpUPLQR \ HO WHUFHU WpUPLQR 2

F &RPR HO SULPHU WpUPLQR \ HO WHUFHU WpUPLQR WLHQHQ UDt] \ HO GREOH SURGXFWR GH VXV UDtFHV GD FRPR UHVXOWDGR HO VHJXQGR WpUPLQR VH WLHQH XQ WULQRPLR FXDGUDGR SHUIHFWR 2

G 6H IDFWRUL]D x 2 6yx

9y 2 x 3 x 3 x 3

3. Procedimiento: D ([WUDHU UDt] GHO SULPHU WpUPLQR D \ HO WHUFHU WpUPLQR

428

ApÃ©ndice

5a 8 80a E 0XOWLSOLFDU GRV YHFHV OD UDt] GHO SULPHU WpUPLQR \ HO WHUFHU WpUPLQR 2

F &RPR HO SULPHU WpUPLQR \ HO WHUFHU WpUPLQR WLHQHQ UDt] \ HO GREOH SURGXFWR GH VXV UDtFHV GD FRPR UHVXOWDGR HO VHJXQGR WpUPLQR VH WLHQH XQ WULQRPLR FXDGUDGR SHUIHFWR 2

G 6H IDFWRUL]D Se factoriza: 25a 2

80a

64 5a

8 5a

8 3URFHGLPLHQWR D ([WUDHU UDt] GHO SULPHU WpUPLQR Q \ HO WHUFHU WpUPLQR

4n 5 40n E 0XOWLSOLFDU GRV YHFHV OD UDt] GHO SULPHU WpUPLQR \ HO WHUFHU WpUPLQR 2 F &RPR HO SULPHU WpUPLQR \ HO WHUFHU WpUPLQR WLHQHQ UDt] \ HO GREOH SURGXFWR GH VXV UDtFHV GD FRPR UHVXOWDGR HO VHJXQGR WpUPLQR VH WLHQH XQ WULQRPLR FXDGUDGR SHUIHFWR 2

G 6H IDFWRUL]D Se factoriza: 16n 2

40n

25 4n

5 4n

4n 5

5. 6ROXFLyQ SoluciÃ³n: 7z 1 7z 1

7 z 1

Actividad 9 (SoluciÃ³n de problemas diversos) $ /RV SURGXFWRV QRWDEOHV TXHGDQ GH OD VLJXLHQWH IRUPD 2

2.( 4

5 x )2 16

40 x

25 x 2

3. 2x

4x 2 20x 25

4. 5x 3 25 x 2 30x

5. x

5 x

2 x2

6.(x

8 )(x

3 ) x2

11x

1. x

x 2 4xy 4y 2

7y 8x 7 y 7.4 y 2 49x 2 2y

7 x 2y 7x

8.(64x 2 49y 2 ) 3

9. x 3 x3 9x 2

27 x 27

10. 2x

1 8x 3

12x 2

B. (O WULQRPLR TXH UHSUHVHQWD HO iUHD HV 2 Âª 5 Âº Âª3 Âº 15 A Â« x 4 x 4 x 4 Â» Â« Â» Â¬ 2 Â¼ Â¬2 Â¼ 4 15 2 15 2 Âª x A 8x

16 ÂºÂ¼ 30x

60 4 x 4 Â¬

429

ApÃ©ndice

2. (O YROXPHQ GH OD FDMD HV El volumen de la caja es: V x x2 2 2 2

3 x

x 3 3

V x3

6 x2

12 x

3. (O YROXPHQ GH OD FDMD HV El volumen de la caja es: 2

V 5 x 10 x 10 5 x 10 V 5 x2 20x 20 x

100

V 5 x2 100x

500

8 x 4 /DGR \ ODGR y lado Ã&#x2C6;UHD GH OD Â¿JXUD x

8 x 4 x2

(8 4 )x

8 4 x2

4x 32 /D H[SUHVLyQ DOJHEUDLFD GHO iUHD GH OD VDOD HV 2

A x 0.6 x 0.8 x 0.8

0.6 0.8

x 0.6

A x2 1.4x

0.48

C. 2

1. 16r 2

2. m

n a b

k 1 k

1 a2

5. x

4 9a

12 9a 12

7. 13 x 2

16r 2 9

430

3 x

5 x

3 5 x2

3 5

x 4 x 9 x

4 9 x

4 9 x2 13x

2 x 9 x

2 9 x2 7x 18

2 9

II. D 6RQ WULQRPLRV FRQ XQ WpUPLQR FRP~Q Son trinomios con un tÃ©rmino comÃºn. E 6H REWLHQH HO FRHÂ¿FLHQWH GHO VHJXQGR WpUPLQR F &RUUHVSRQGH DO WHUFHU WpUPLQR

III. a) x 2

6 6H H[WUDH OD UDt] GHO SULPHU WHUPLQR 6H EXVFDQ GRV IDFWRUHV TXH VXPDGRV R UHVWDGRV GHQ FRPR UHVXOWDGR HO FRHÂ¿FLHQWH GHO VHgundo tÃ©rmino en este caso son JXQGR WpUPLQR HQ HVWH FDVR VRQ 3

/RV IDFWRUHV DGHPiV GH TXH VXPDGRV R UHVWDGRV GDQ HO VHJXQGR WpUPLQR PXOWLSOLFDGRV QRV GHEHQ GDU HO WHUFHU WpUPLQR deben dar el tercer tÃ©rmino 3 2

6 6H HVFULEHQ GRV SDUpQWHVLV HQ FDGD SDUpQWHVLV VH HVFULEH OD UDt] GHO SULPHU WpUPLQR \ GHVSXpV XQ IDFWRU HQ FDGD SDUpQWHVLV FRQ VXV UHVSHFWLYRV VLJQRV \ VH WLHQH OD H[SUHVLyQ IDFWRUL]DGD torizada. x2 x x

E x 2 13 x

36 6H H[WUDH OD UDt] GHO SULPHU WHUPLQR 6H EXVFDQ GRV IDFWRUHV TXH VXPDGRV R UHVWDGRV GHQ FRPR UHVXOWDGR HO FRHÂ¿FLHQWH GHO VHJXQGR WpUPLQR HQ HVWH FDVR VRQ gundo tÃ©rmino en este caso son 9 4 DPERV QHJDWLYRV \D TXH HO VLJQR GHO VHJXQGR ambos negativos ya que el signo del segundo

431

Apรฉndice WpUPLQR HV QHJDWLYR \ HO GHO WHUFHU WpUPLQR SRVLWLYR /RV IDFWRUHV DGHPiV GH TXH VXPDGRV R UHVWDGRV GDQ HO VHJXQGR WpUPLQR PXOWLSOLFDGRV QRV deben dar el tercer tรฉrmino 9 4 36 GHEHQ GDU HO WHUFHU WpUPLQR 6H HVFULEHQ GRV SDUpQWHVLV HQ FDGD SDUpQWHVLV VH HVFULEH OD UDt] GHO SULPHU WpUPLQR \ GHVSXpV XQ IDFWRU HQ FDGD SDUpQWHVLV FRQ VXV UHVSHFWLYRV VLJQRV \ VH WLHQH OD H[SUHVLyQ IDFWRUL]DGD factorizada. x2 13x

36 x 9 x 4 Actividad 1 1. ร UHD GH OD UHJLyQ QDUDQMD ร rea de la regiรณn naranja = iUHD WRWDO รญ iUHD GHO FXDGUDGR FDIp รกrea total รญ รกrea del cuadrado cafรฉ 2. 3a 10 a 5 a

2 D a2 E c 2

12 c

3 c

F y 2 22y

120 y 12 y 10

Actividad 2 x

10 D 3 x 2 'HWHUPLQDPRV ORV IDFWRUHV GHO WpUPLQR FXDGUiWLFR ORV FXDOHV VRQ \ ORV ~QLFRV IDFWRUHV VRQ Determinamos los factores del tรฉrmino cuadrรกtico los cuales son y los รบnicos factores son: 3x x Escribimos todos los factores de la constante c: (VFULELPRV WRGRV ORV IDFWRUHV GH OD FRQVWDQWH F 2 5 10; 2 5 10; 1 10 10; 1 10 10 (QXPHUDPRV WRGDV ODV SRVLEOHV FRPELQDFLRQHV GH ORV IDFWRUHV \ UHDOL]DPRV ORV SURGXFWRV KDVWD HQFRQWUDU HO WpUPLQR PHGLR FRUUHFWR HV GHFLU E[ hasta encontrar el tรฉrmino medio correcto es decir bx: 3x 5 x 2 3 x2 6x 5x

10 3 x 2 11x

10 2 2 3x 2 x 5 3x 15 x 2x

10 3 x 17 x

10 2 2 3x 10 x 1 3x 3x 10 x

10 3 x 13 x

10 3x 1 x 10 3 x2 30 x x

10 3 x 2 31x

432

ApÃ©ndice &RPR QLQJXQR GH ORV SURGXFWRV GD HO WpUPLQR PHGLR OD H[SUHVLyQ QR HV IDFWRUL]DEOH SRU HVWH mÃ©todo. E 5 x 2 14x 3

'HWHUPLQDPRV ORV IDFWRUHV GHO WpUPLQR FXDGUiWLFR ORV FXDOHV VRQ \ ORV ~QLFRV IDFWRUHV VRQ Determinamos los factores del tÃ©rmino cuadrÃ¡tico los cuales son y los Ãºnicos factores son: 5 x x Escribimos todos los factores de la constante c: (VFULELPRV WRGRV ORV IDFWRUHV GH OD FRQVWDQWH F 3 3; 1 3; 3 3; 1 3 1 3 1 3

(QXPHUDPRV WRGDV ODV SRVLEOHV FRPELQDFLRQHV GH ORV IDFWRUHV \ UHDOL]DPRV ORV SURGXFWRV hasta KDVWD HQFRQWUDU HO WpUPLQR PHGLR FRUUHFWR HV GHFLU E[ encontrar el tÃ©rmino medio correcto es decir bx: 5x 1 x

3 5 x2

15 x x 3 5 x2

14x 3 2 2 5x

3 x 1 5x 5x

3x 3 5x 2x 3

x 3 5 x2 15 x

x 3 5 x2 14x 3 5 x 1

/RV IDFWRUHV GHO WHUFHU UHQJOyQ QRV SURSRUFLRQD HO VHJXQGR WpUPLQR \ HO WULQRPLR IDFWRUL]DGR HV es: 5 x2 5x x 14x 3

1 3

5x 3 F 2x 2 'HWHUPLQDPRV ORV IDFWRUHV GHO WpUPLQR FXDGUiWLFR ORV FXDOHV VRQ \ ORV ~QLFRV IDFWRUHV VRQ Determinamos los factores del tÃ©rmino cuadrÃ¡tico los cuales son y los Ãºnicos factores son 2x x Escribimos todos los factores de la constante c: (VFULELPRV WRGRV ORV IDFWRUHV GH OD FRQVWDQWH F 3 1 3; 3 1 3; 1 3 3; 1 3 3

(QXPHUDPRV WRGDV ODV SRVLEOHV FRPELQDFLRQHV GH ORV IDFWRUHV \ UHDOL]DPRV ORV SURGXFWRV KDVWD HQFRQWUDU HO WpUPLQR PHGLR FRUUHFWR HV GHFLU E[ hasta encontrar el tÃ©rmino medio correcto es decir bx: 2x 1 x

3 2x 2

6x x 3 2x 2

5x 3

(VWH IDFWRU QRV SURSRUFLRQD HO VHJXQGR WpUPLQR /D H[SUHVLyQ IDFWRUL]DGD HV 2x 2

5x 3 2x 1 x

433

s2 7s

10 s 5

)DFWRUL]DPRV HO QXPHUDGRU \ VLPSOLÂ¿FDPRV v

s 5 s 2

s2 7s

10 s 2 s 5 s 5

La velocidad del auto es v s /D YHORFLGDG GHO DXWR HV 2 6XVWLWXLPRV ODV H[SUHVLRQHV GH YROXPHQ \ WLHPSR HQ OD HFXDFLyQ GHO JDVWR

Gasto G

volumen tiempo

3x 4

7 x3

2x 2 x3

7 x2

10x

)DFWRUL]DQGR QXPHUDGRU DGHPiV GHO GHQRPLQDGRU \ VLPSOLÂ¿FDQGR G

2 3 x2

2 x 2 ÂªÂ¬ 3x

1 x

2 ÂºÂ¼ 3x

1 3 x4

7 x3

2 x 2 x x 3 2 2

10 x

5 x x 2 5 Âº x

10 x ÂªÂ¬ x x Â¼

El gasto de agua es G (O JDVWR GH DJXD HV

(O WLHPSR VH FDOFXOD tiempo

x 3x

1 x

dis tan cia velocidad

6XVWLWXLPRV ODV H[SUHVLRQHV GH GLVWDQFLD \ YHORFLGDG HQ OD HFXDFLyQ

2s 16s

24 t 2

2s 12

)DFWRUL]DQGR \ VLPSOLÂ¿FDQGR

2 s 8s

12 2 Âª s 6 s 2

2s 16s 24 Â¼Âº t Â¬ s 2 2

2s 12

2 s 6

(O WLHPSR GHO UHFRUULGR HV t s 2

434

x2 5x

6 2 x 2x

x x 2 3 x x 2

x 3 x

3b 3a

2b 2. 2b 3a 2b 3a 2a

3b 3a 2b 3a 2b a

b 3a 2b

4 2 m 3.

2 1 m 1 m

1 m

2 m

m m 1

1 m m 1

m2 m

6 4 m2

1 1

1 1 m m m m

x x 1 x3 y

1 x

x x

10z

16 z 2 10z

21 z2 Â&#x2DC;= 2 2 9z

14 z

2z 15 z z 8 z 2 z 3 z 7 = Â&#x2DC; z 7 z 3 z

5 z 2

z 8 z 2 z 3 z 7

z z z z

2 7 3 5

4 2 m

1 m 1 m 1 m

x x2 1 x 1 y x x

1 x x x

1 1

x 1 y x x

1 x x x x

1 1

x x

1 1

3x 2 10x 3 2 x 4x

z 8 z

x x2

3x 10 x x2 4x

5 x 2 2 2 x x

5 x 2 x

Actividad 5 5HFRUGDU TXH HO iUHD GHO UHFWiQJXOR VH SXHGH H[SUHVDU FRPR Area largo ancho

435

ApĂŠndice

Entonces el ancho es:

ancho

ĂĄrea largo

6XVWLWX\HQGR ODV H[SUHVLRQHV DOJHEUDLFDV GHO iUHD \ HO DQFKR VH REWLHQH ancho

12x 2 16x 16 4x 8

Â§ 4 4x 4 3 x2

ÂˇÂ¸ 8 ancho Â¨ Â¨ 4 x 2 Â¸8 ÂŠ Âš 4x 4 3x

ancho

2 x

2. PerĂmetro:

Ă&#x2C6;UHD Ă rea: b Âˇ Â§ a

b Âˇ Â§ a

2 Â¨ P 2 Â¨ Â¸8 Â¸8 ÂŠ a Âš ÂŠ a Âš P P

b Âˇ

b Âˇ Â§ a Â§a A Â¨ Â¸8 Â¨ Â¸8 ÂŠ a Âš ÂŠ a Âš a a ÂŞ b

b Âş Âź A ÂŹ 2 a a2 b2 A a2

2 ÂŞ a

b b

ÂşÂź ÂŹ a 2 a b

a 2 2a 4 P a

PerĂmetro:

Ă&#x2C6;UHD Ă rea: Â§ x

2y Âˇ Â§ x

2y Âˇ P 2 Â¨ 2

Â¸8 Â¨ Â¸8 ÂŠ y Âš ÂŠ y Âš 2x

4y 2x

4y P y 8y P 8 y

Â§ x Â§

2y Âˇ x

2y Âˇ A Â¨ Â¸8 Â¨ Â¸8 y y ÂŠ Âš ÂŠ Âš 2 x

2 xy 2 xy

4y 2 A 2 y A

2 x

4y 2 y2

3. V1 x

2 x

1 x

V2 4x 4x 6x

12 8x 8x

8 4 x 6 x

2 8 x

1 6x

4x 192x x

2 x

1 V2 V1 x

2 x

1 x V2 192 V1

436

(O FRHÂ¿FLHQWH GHO SULPHU WpUPLQR HV

Â&#x2021;

/D YDULDEOH GHO VHJXQGR WpUPLQR HV OD PLVPD TXH OD GHO SULPHU WpUPLQR SHUR FRQ H[SRnente igual a la unidad.

Â&#x2021;

(O WHUFHU WpUPLQR HV LQGHSHQGLHQWH GH OD OHWUD TXH DSDUHFH HQ HO SULPHU \ VHJXQGR WpUPLnos del trinomio.

2. 3 3 3DUD IDFWRUL]DU Para factorizar x 2 y x VH GHEHQ EXVFDU GRV Q~PHURV TXH PXOWLSOLFDGRV GHQ \ 4 4 sumados den -1 VXPDGRV GHQ

)DFWRUHV 0XOWLSOLFDGRV 6XPDGRV 1 3 \ y 2 2

1 3 \y 2 2

1 3 2

1 2 2 2

1 3 2 1 2 2 2

(O VHJXQGR UHQJOyQ FXPSOH FRQ ODV GRV FRQGLFLRQHV HQWRQFHV SDUD IDFWRUL]DU OD H[SUHVLyQ VH DFRPRGDQ HQ ORV IDFWRUHV HO WpUPLQR LJXDO TXH HQ HVWH FDVR HV [ \ ORV Q~PHURV HQFRQse acomodan en los factores el tÃ©rmino igual, que en este caso es x, y los nÃºmeros enconWUDGRV FRPR VH PXHVWUD D FRQWLQXDFLyQ trados, como se muestra a continuaciÃ³n: /D IDFWRUL]DFLyQ UHVXOWDQWH HV La factorizaciÃ³n resultante es:

x2 x

3 Â§ 1 Â· 3 Â· Â§

3. Â&#x2021;

(O FRHÂ¿FLHQWH GHO SULPHU WpUPLQR HV GLIHUHQWH GH

Â&#x2021;

/D YDULDEOH GHO VHJXQGR WpUPLQR HV OD PLVPD TXH OD GHO SULPHU WpUPLQR SHUR FRQ H[SRnente igual a la unidad.

Â&#x2021;

(O WHUFHU WpUPLQR HV LQGHSHQGLHQWH GH OD OHWUD TXH DSDUHFH HQ HO SULPHU \ VHJXQGR WpUPLnos del trinomio.

437

7x 2 )DFWRUL]DFLyQ FactorizaciÃ³n: D /RV ~QLFRV IDFWRUHV GH VRQ \ SRU WDQWR HVFULELPRV [ [ E (O Q~PHUR WLHQH IDFWRUHV SRVLWLYRV \ QHJDWLYRV ORV FXDOHV VRQ \ F (QXPHUDPRV ORV IDFWRUHV SRVLEOHV %XVFDPRV HO IDFWRU TXH SURSRUFLRQH HO WpUPLQR PHdio GLR )DFWRU SRVLEOH 6XPD GH ORV SURGXFWRV GH ORV WpUPLQRV LQWHUQRV H[WHUQRV 5x

2 3x 1

1 5 x - 2 3x

2 5x 1

3x 2 5x

1 5 x 6x 5x x 3 x 3 x 2

1 5 x 6 x

5x x 3 x 1

2 5 x 3 x

10 x 7 x 3x 1

2 5 x 3x 10x 7 x

/RV IDFWRUHV GHO WHUFHU UHQJOyQ SURSRUFLRQD HO VHJXQGR WpUPLQR SRU OR TXH HO WULQRPLR SURSXHVWR TXHGD IDFWRUL]DGR GH OD VLJXLHQWH PDQHUD 3x

2 5x 1

5. (O SROLQRPLR HV

P( x ) x 3 6x 2

13x 10 6H PXOWLSOLFD HO FRFLHQWH SRU HO GLYLVRU \ VH VXPD HO UHVLGXR \ FRPR UHVXOWDGR QRV GD HO GLYLGHQGR videndo: P( x ) x2 3x

4 x 3

P x

x 3 3x 2 3x 2 9x 4x 12 2 P( x ) x 3 6x 2

13x 10 Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021; Â&#x2021;

438

6L HO SROLQRPLR QR HV FRPSOHWR VH OH FRPSOHWD DxDGLHQGR ORV WpUPLQRV TXH IDOWDQ FRQ ceros. &RORFDQGR ORV FRHÂ¿FLHQWH GHO GLYLGHQGR HQ XQD OtQHD $EDMR D OD L]TXLHUGD FRORFDPRV HO RSXHVWR GHO WpUPLQR LQGHSHQGLHQWH GHO GLYLVRU 7UD]DPRV XQD UD\D \ EDMDPRV HO SULPHU FRHÂ¿FLHQWH 0XOWLSOLFDPRV HVH FRHÂ¿FLHQWH SRU HO GLYLVRU \ OR FRORFDPRV GHEDMR GHO VLJXLHQWH tÃ©rmino. 6XPDPRV ORV GRV FRHÂ¿FLHQWHV 5HSHWLPRV HO SURFHVR DQWHULRU

El Ãºltimo nÃºmero obtenido es el resto. (O FRHÂ¿FLHQWH HV XQ SROLQRPLR GH JUDGR LQIHULRU HQ XQD XQLGDG DO GLYLGHQGR \ FX\RV FRHÂ¿FLHQWHV VRQ ORV TXH KHPRV REWHQLGR

7. [ UHVLGXR /D UHVSXHVWD HV /D UHVSXesta es: x

36 x 5

Soluciones del bloque VI 3DUD LQLFLDU UHÃ&#x20AC;H[LRQD /DV RSHUDFLRQHV TXHGDQ FRPSOHWDV GH OD VLJXLHQWH IRUPD

3 1 2 1 4 4 4 2

Ã&#x201A;

[ Ã HQWRQFHV Ã Ã 8QD WRURQMD HV HTXLYDOHQWH D GRV PDQ]DQDV \ XQ PHOyQ LJXDO D GRV WRURQMDV SRU OR WDQWR XQ PHOyQ HV LJXDO D XQD WRURQMD \ GRV PDQ]DQDV /D UHVSXHVWD HV F EvaluaciÃ³n diagnÃ³stica 1. 12, 20, 17, 25, 22, 30, 27. (O FXDGUDGR PiJLFR FRPSOHWR HV D Ã E

D Ã E

Ã D E

D Ã E

439

5b 2 1) (11ab 7a 2

10 ) 8ab

10b 2 2 11ab

7a 2 10 19ab

10b 2

7a 2 12 E

( 4ab

5b2 1)( 7 a

5 b2 ) (11ab 7a 2

10 )( 7a

5b2 ) 28a2 b 20ab 3 35ab 2

25b 4

7a 5b 2

77a 2 b 55ab 3 49a 3

35a 2 b 2

70a 50b 2 105a 2 b 75ab 3 35ab 2

25b 4

77a 55b 2 49a 3

35a 2 b 2 F

(11ab 7a 2

4ab 5b 2

1)(( 7 a

5 b2 ) (15ab 7a2 5b2

11)( 7 a

5 b2 ) 105a 2 b

75ab 3

49a 3 35a 2 b 2

35ab 2 25b 4 77a 55b 2 /D WDEOD TXHGD FRPSOHWD GH OD VLJXLHQWH IRUPD 'HVFULSFLyQ (O GREOH GH OD VXPD GH ORV FXDGUDGRV GH GRV Q~PHURV El doble de la suma de los cuadrados de dos nÃºmeros.

/D WHUFHUD SDUWH GHO FXDGUDGR GH OD GLIHUHQFLD GH GRV Q~PHURV

2( x 2

y2 ) (x y )2 3

/D HGDG GH (QULTXH HV FXDWUR YHFHV OD GH VX SULPR DXPHQWDGD FLQFR DxRV

e 4( p

(O SHVR GH -XOLR HV FLQFR NLORJUDPRV PiV TXH FXDWUR YHFHV HO SHVR GH VX KLMR de su hijo.

j 5

/D FXDUWD SDUWH GH OD VXPD GHO FXDGUDGR GH GRV Q~PHURV

5. P 2( 3a

2( 2 x 1) 6a

4x 2 6a

8 A ( 3a

5 )( 2x 1) 6ax

10x 3a 5

440

/HQJXDMH DOJHEUDLFR

y2 x2 4

Apรฉndice

Actividad 1 1. Los grados y nombres son:

6LWXDFLyQ

(FXDFLyQ

*UDGR

x 3 2x 9

Tres

Cรบbica con una incรณgnita

El costo de un SURGXFWR

y 3000 20x

Uno

Lineal con dos incรณgnitas

La cantidad total /D FDQWLGDG WRWDO de alimento del tres GH DOLPHQWR GHO WUHV WLSRV GLVWLQWRV

9y 9z 80 x

8QR Uno

/LQHDO FRQ WUHV LQFyJQLWDV Lineal con tres incรณgnitas

El รกrea de un terreno cuadrangular

x 2 36

Dos

Cuadrรกtica de una incรณgnita

El costo de la HOHFWULFLGDG SRU [ kilowatts consumidos

C 0.7 x 10.5

Uno

Lineal de una incรณgnita

El volumen de un SULVPD UHFWDQJXODU

1RPEUH

441

Actividad 2 1. (( cF ) ) x 5 ( ( )) x 3 (( G ) d) x

13 2

( H ) (e) x 8 ( ) ( ) x 6 32 13 18 ( E ) (b) x 23

( D ) a) x

2. D E

j c

8 c

8 30 2c

8 30 2c 30 8 22

j 4 105

c 11

3j 3 105 3 j 105

3 108

j c

8 11

8 19

j 108 / 3 36

-RUJH WRQ \ &DUORV

442

/D HGDG GH -RUJH - GH /XLV / \ GH &DUORV & DVt VH WLHQH TXH Carlos C, asÃ se tiene que:

3RU OR WDQWR -RUJH WLHQH /XLV \ &DUORV 37 y Carlos 32.

ApÃ©ndice F G

x x

1330 x 2 4

x 4x 1330 4 7 x 5320 x 5320 / 7 760

x sueldo de su amigo entonces se tiene: [ VXHOGR GH VX DPLJR HQWRQFHV VH WLHQH

120

(O SULPHU GtD VHJXQGR \ HO WHUFHUR

H x los kilogramos [ ORV NLORJUDPRV 3 x 15 45 del bulto: GHO EXOWR 4 3 x 45

15 4

4 2 30 4 60 3 3 x 80 kg

3RU OR WDQWR HO EXOWR Por lo tanto el bulto WLHQH NLORJUDPRV

Actividad 3 1. +RUDV H[WUDV WUDEDMDGDV DO GtD [ 3DJR SRU GtD \ \ [

100

120

200

220

443

[ OH UHVWDQ SRU VHPEUDU KHFWiUHDV FRQ XQ WRWDO GH iUEROHV

9750 3800 3.01 1950 1950( 3 ) 5850 x

3. D 7000 0 E m 500 Ã 0 14 y 500( x 0)

7000 F y 500 x

7000 G \ H [

5HÃ&#x20AC;H[LRQHPRV VREUH OD DFWLYLGDG Â¢'H TXp WH GDV FXHQWD" 8QD SRVLEOH UHVSXHVWD D ODV GRV SUHJXQWDV SODQWHDGDV SXHGH VHU

444

Â&#x2021;

6H GLFH TXH HO REMHWLYR GH DXPHQWDU PHQVXDOPHQWH HO SUHFLR GH OD JDVROLQD HV UHGXFLU ORV VXEVLGLRV RWRUJDGRV \ PDQWHQHU FRPR XQD HPSUHVD Â³IXHUWHÂ´ D 3(0(;

Â&#x2021;

6t KD\ UHODFLyQ HQWUH HVWH WLSR GH VLWXDFLRQHV GH LQFUHPHQWR \ ODV HFXDFLRQHV OLQHDOHV HQ VX JUiÂ¿FR VH REVHUYD GH PHMRU PDQHUD OD UHODFLyQ SURSRUFLRQDO TXH JXDUGDQ HQWUH Vt

5 7 5 7

5.5 7.5 9.9

[ \

/RV YDORUHV GH Â³[Â´ \ GH Â³\Â´ TXH VXVWLWXLGRV HQ [ \ GDQ FRPR UHVXOWDGR VRQ [ \ /RV YDORUHV GH Â³[Â´ \ GH Â³\Â´ TXH VXVWLWXLGRV HQ [ \ GDQ FRPR UHVXOWDGR VRQ [ \ /RV YDORUHV \ UHSUHVHQWDQ HO FRVWR GHO SDVDMH SDJDGR SRU ,YiQ EvaluaciÃ³n diagnÃ³stica 1. D /D YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH HV HO FRQVXPR GH :DWWV \ OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH HV HO SDJR del recibo de la luz. E /D YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH HV HO Q~PHUR GH FRPELV \ OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH HV HO SDJR WRWDO GHO WUDQVSRUWH F /D YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH HV HO Q~PHUR GH OLWURV GLDULRV GH OHFKH \ OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH HV OD SURGXFFLyQ WRWDO GH OHFKH SRU VHPDQD 2. 6ROXFLyQ SoluciÃ³n: 24x

40 1000 1000 40 x 40 refrescos 24

445

ApÃ©ndice D &RVWR YDULDEOH GHSHQGLHQWH \ Q~PHUR GH UHIUHVFRV YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH E [ F (FXDFLyQ OLQHDO FRQ XQD LQFyJQLWD G [ UHIUHVFRV H

\ [

10 20 30 50

Ã Ã Ã Ã 720 Ã Ã Ã 1200 Ã

I [ HV HO Q~PHUR GH UHIUHVFRV TXH FRPSUR 3. 2( 4b 2)

2( b

1) 2( 3b

2( b

2) 8b 4

2 6b

4 10b 8b 6

2 2b 8 b 4

446

ApÃ©ndice 6H WLHQH XQD HFXDFLyQ OLQHDO FRQ XQD LQFyJQLWD 'RQGH E /DV PHGLGDV GHO WHUUHQR VRQ ODUJR Ã \ DQFKR 3DUD HO WHUUHQR ODUJR \ DQFKR /RV PHWURV FXDGUDGRV GH SDVWR SDUD HO WHUUHQR VRQ Ã&#x2014; P2 3DUD HO WHUUHQR VRQ P2 GH SDVWR Actividad 1 1. L 12 1 1 12 ÂP Â® 156

2 L) 156 2 2 Â¯ 2 P det p 1( 2 ) 2( 1) 2

2 4 detP 12( 2 ) 156( 1) 24

156 180 detL 156(1) 12( 2 ) 156 24 132 P

detP 180 45 det p 4

detL 132 33 det p 4

3RU OR WDQWR ODV HGDGHV VRQ \ DxRV 2. 10 x

5y 1130 10 Â10x Â® 1

y 178 Â¯ x

5 1130 1 178

det p 10(1) 1(5 ) 10 5 5 det x 1130(1) 178(5 ) 240 det y 178(10 ) 1130(1) 650 x y

det x 240 48 det p 5 det y det p

650 130 5

3RU OR WDQWR KD\ PRQHGDV GH \ GH

447

ApÃ©ndice 3.

y 8 Â x

y 8 )( 5 ) Â 5 x 5y 40 Â ( x Â° Â® x y Â® Â®

5y 45

1 Â¯ 9x Â¯ 9x Â°Â¯ 5 9 5 x 5y 40 Â Â®

5y 45 Â¯ 9x 4x 5 x 5 / 4 1.25

y 8 x 8 1.25 6.75

3RU OR WDQWR HO HVWXGLDQWH FDPLQD NLOyPHWURV \ NLOyPHWURV WURWD

I 50 Â C Â® I 64 Â¯ 2C

1 1 50 2 1 64

det p 1( 1) 2(1) 1 2 3 detc 50( 1) 64(1) 50 64 114 detI 1(64 ) 2(50 ) 64 100 36 C I

detc 114 38 det p 3

detI 36 12 det p 3

&RQFOX\HQGR TXH FRQWHVWR SUHJXQWDV FRUUHFWDPHQWH \ LQFRUUHFWDV 5. D

0.5y 40 Â ( x

y 80 )(.5 ) Â 0.5 x Â® Â® 0.5y 60 0.5y 60 Â¯ 1.5 x Â¯ 1.5 x

0.5y 40 Â 0.5 x Â® 0.5y 60 Â¯ 1.5 x 2x 100 x 100 / 2 50 y 80 50 30

(QWRQFHV FRQWHVWR FRUUHFWDPHQWH SUHJXQWDV \ LQFRUHFWDPHQWH

448

2y 40 Â2 x Â® y 22 )( 2 ) Â¯ ( 2.5 x

2(12 )

2y 40 24

2y 40

2y 40 Â2 x Â® 2y 44 Â¯ 5 x

40 24 16 8 2 2

0 84 x

84 12 7

3RU OR WDQWR FRQWHVWR FRUUHFWDPHQWH H LQFRUUHFWDPHQWH F

y 60 Â°Â Â® 0.5y 85 Â°Â¯ 2x 8VDQGR GHWHUPLQDQWHV Usando determinantes:

det p 1( 0.5 ) (1)( 2 ) 0.5 2 2.5

det x 60( 0.5 ) 1(85 ) 30 85 115 det y 1(85 ) 2(60 ) 85 120 35 3RU OR WDQWR HO Q~PHUR GH UHVSXHVWDV FRUUHFWDV H LQFRUUHFWDV HV x

115 46 2.5

35 14 2.5

Actividad 2 1.

g 60 Â c D Â®

2g 190 Â¯ 4c

$SOLFDQGR HO PpWRGR GH VXVWLWXFLyQ 2g 190 4c g 95 2c 6XVWLWX\HQGR J HQ OD SULPHUD HFXDFLyQ

449

ApĂŠndice c

95 2c 60 c 60 95 c 35 / 1 35 (QFRQWUDQGR ÂłJÂ´ g 95 2( 35 ) 95 70 25

&RQFOX\HQGR VH WLHQH FRQHMRV \ JDOOLQDV Concluyendo se tiene 35 conejos y 25 gallinas. E

y 80 Â x ÂŽ

18y 1104 ÂŻ 12x

'HVSHMDQGR Âł[Â´ x 80 y

6XVWLWX\HQGR HVWH YDORU HQ OD VHJXQGD HFXDFLyQ Sustituyendo este valor en la segunda ecuaciĂłn: 12(80 y)

18y 1104 960 12y

18y 1104 6y 1104 960 y 144 / 6 24 x 80 24 56

3RU FRQVLJXLHQWH VH HPSDTXHWDURQ SDTXHWHV GH \ GH KXHYRV FDGD XQR F 8VDQGR HO PpWRGR GH LJXDODFLyQ Usando el mĂŠtodo de igualaciĂłn: [FALTA APLICACIĂ&#x201C;N DEL MĂ&#x2030;TODO] >)$/7$ $3/,&$&,Ă?1 '(/ 0e72'2@ 'HVSHMDQGR GH DPEDV HFXDFLRQHV K h 50 2 j

h j 4

,JXDODQGR HVWDV GRV H[SUHVLRQHV \ GHVSHMDQGR M

450

54 18 3

(QFRQWUDQGR K Encontrando "h": h 50 2 j 50 2(18 ) 50 36 14

$Vt OD HGDG GH -XOLD HV WLHQH DxRV \ VX KHUPDQD 2.

2y 180 Â 2x D Â®

4y 240 Â¯ 2x

8VDQGR VXPD \ UHVWD Usando suma y resta:

2y 180 )( 2 ) ÂÂ° ( 2 x Â® 4y 240 Â°Â¯ 2 x

4 x 4y 360 ÂÂ° Âº o Â® 4y 240 Â°Â¯ 2 x

4x 4y 360 Â Â° Â®

4y 240 Â° Â¯ 2x

2(60 )

4y 240

0 120

120

4y 240

120 60 2

240 120 120 30 4 4

SDTXHWHV GH KXHYRV \ GH KXHYRV

y 50 Â x E Â®

8y 268 Â¯ 4x

$SOLFDQGR GHWHUPLQDQWHV 1( 4 ) 8 4 4 det p 1(8 ) 1( 268 ) 400 268 132 det x 50(8 ) 50( 4 ) 268 200 68 det y 1( 268 ) x

132 33 4

68 17 4

451

F Â®2 2 Â°Â¯2x

4y 440

2y x 220

y 220 2y 150 y

2y 220 150 y 70 70 80 x 150 (QWRQFHV VH WLHQH SDTXHWHV GH \ GH KXHYRV 8WLOL]DQGR HO PpWRGR JUiÂ¿FR

9n 512 Â 10a D Â®

17n 831 Â¯ 15a

6H GHVSHMD Q \ VH WDEXODQ \ JUDÂ¿FDQ ODV H[SUHVLRQHV UHVXOWDQWHV

a 5 10 15 20 25 30

831 15a 17 13.59

512 10a 9 51.33 29.11

&RPR VH REVHUYD HO SXQWR GH LQWHUVHFFLyQ GH ODV GRV UHFWDV HV HO SXQWR

(VWR LPSOLFD TXH HO FRVWR GHO EROHWR GH DGXOWR HV \ GH QLxR HV

452

ApÃ©ndice

y 27 Â x E Â®

34y 822 Â¯ 26 x

6H GHVSHMD \ \ VH WDEXODQ \ JUDÂ¿FDQ ODV H[SUHVLRQHV UHVXOWDQWHV

y 27 x

9 10 15

17 13 12 11 9

26x 822 34 17.29 12.71

6H REVHUYD TXH HO SXQWR GH LQWHUVHFFLyQ HV HO SXQWR 3RU OR WDQWR VH FRPSUy FDMDV GH KXHYRV \ GH KXHYRV

F 8Q SRVLEOH GLDJUDPD SDUD H[SOLFDU HO SURFHVR GH VROXFLyQ GHO SUREOHPD DQWHULRU HV

453

]

[ \ ]

\ ]

2x + 2y

10 11 11 10 11

20 25 25 25 25

11 11 12 13 10

31 37 35

/RV YDORUHV SDUD VRQ [ \ \ ] EvaluaciÃ³n diagnÃ³stica 5HVSXHVWDV D ORV QXPHUDOHV \ 4y 11 Â3x

(V FRPSDWLEOH WLHQH XQD VROXFLyQ Â® 5y y 5 9 Â¯ x

7 y 20 Â 3x Â® 14y 30 Â¯ 6x

3 20 x (V LQFRPSDWLEOH VXV UHFWDV VRQ SDUDOHODV \D TXH 7 7 WLHQHQ PLVPD SHQGLHQWH 3RU OR WDQWR QR WLHQH 15 3 VROXFLyQ soluciÃ³n. y x 7 7 y

4y 8 Â x (V LQGHWHUPLQDGR WLHQH LQÂ¿QLWDV VROXFLRQHV Â® 12y 24

3x Â¯ 3. 3HUtPHWUR GHO WHUUHQR GH 8OLVHV [ \ 3HUtPHWUR GHO WHUUHQR GH 7RxR [ \ D [ UHSUHVHQWD HO ODUJR GHO SULPHU UHFWiQJXOR \ \ HO ODUJR GHO VHJXQGR UHFWiQJXOR

y 100 Â 2x E Â® 6H WLHQH GRV HFXDFLRQHV OLQHDOHV FRQ GRV LQFyJQLWDV Se tiene dos ecuaciones lineales con dos incÃ³gnitas. 2x 8 Â¯ 2y 112

454

ApÃ©ndice F 6LVWHPD GH HFXDFLRQHV OLQHDOHV GH GRV SRU GRV G 0pWRGRV VXVWLWXFLyQ LJXDODFLyQ GHWHUPLQDQWHV UHGXFFLyQ R JUiÂ¿FR H Â 2x

y 100 Â® 2x

2y 104 Â¯ 2x y 100 Â Â®

2y 104 Â¯ 2x y 4

I A1 48 u 2 96

y 100 2x

4 100 100 4 x 48 2

Por lo tanto: 3RU OR WDQWR [ P \ P El sistema se resolviÃ³ con reducciÃ³n. (O VLVWHPD VH UHVROYLy FRQ UHGXFFLyQ

A2 52 u 4 208

Total de Ã¡rboles en los terrenos uno y dos: 7RWDO GH iUEROHV HQ ORV WHUUHQRV XQR \ GRV T1 96( 2 ) 192

T2 208( 2 ) 416

J x

\ Ã [

10 20 30 50

32 22 12 2

20 0

L /D LQWHUVHFFLyQ GH ODV GRV UHFWDV UHSUHVHQWD OD VROXFLyQ GHO VLVWHPD

455

ApÃ©ndice Actividad 1 6L 7 UHSUHVHQWD HO SUHFLR GH ODV WRVWDGDV M HO SUHFLR GHO MXJR P HO SUHFLR GH ODV PHPHODV GHO SUREOHPD VH SODQWHDQ ODV VLJXLHQWHV HFXDFLRQHV

m 54 2 2 1 54 Â 2t Â°

4m 44 0 1 4 44 Â® 0t Â° 3t 3 2 0 57

0m 57 Â¯ 2 j

det p 24 (3

16 ) 5

dett 544 489 55

det j 648 (132

456 ) 60

det m (114

264 ) (162

176 ) 378 338 40 3RU OR WDQWR HO SUHFLR GH FDGD SURGXFWR HV t

55 $11 5

60 40 $12 m $8 5 5

6L VH GHVHD FRPSUDU WRVWDGDV SDJDUH 2. Sean 6HDQ [ \ ] ODV WUHV GLVWLQWDV GHQRPLQDFLRQHV GH PRQHGDV GH ORV WUHV FRVWDOHV \ HO Q~x, y, z las tres distintas denominaciones de monedas de los tres costales y el nÃºPHUR GH PRQHGDV VH WLHQH HO VLJXLHQWH VLVWHPD mero de monedas se tiene el siguiente sistema:

10z 58 6 8 10 58 Â6 x Â°

10z 35 3 0 10 35 Â® 3 x Â° 7 x 7 4 1 41

z 41 Â¯ 4y

det p (120

560 ) ( 240

24 ) 680 264 416

det x ( 35( 40 )

41(80 )) (58( 40 )

35(8 )) 4680 2600 2080 det y ( 210

1230

4060 ) ( 2450

2460

174 ) 5500 5084 416

det z (696

1960 ) (840

984 ) 2656 1824 832 2EWHQLHQGR ORV YDORUHV SDUD [ \ ] x

2080 5 416

416 832 1 z 2 416 416

Los valores de las monedas son $5, $2 y $1.

456

ApÃ©ndice 3. D

z 26 Â2 x Â°

2z 35 Â® 3 x Â° 0 x

z 18 Â¯ 4y

2 3 1 26 3 0 2 35 0 4 1 18

det p 12 25 13 det x (140

108 ) ( 208

105 ) 248 313 65

det y (70

54 ) (72

78 ) 26 det z 312 ( 280

162 ) 312 442 130

Por lo tanto las soluciones del sistema son: 3RU OR WDQWR ODV VROXFLRQHV GHO VLVWHPD VRQ x

65 5 13

26 2 13

130 10 13

/D GHQRPLQDFLyQ GH FDGD PRQHGD HV \ La denominaciÃ³n de cada moneda es $5, $2 y $10 E

2z 12 5 3 2 12 Â 5 x Â°

4z 10 4 2 4 10 Â® 4 x Â° 7 x 7 1 6 12

6z 12 Â¯ y

det p (60

84 ) ( 28

72 ) 152 120 32

det x (144

144 ) ( 48

180 ) 308 276 32 det y ( 300

336 ) (140

240

288 ) 732 668 64

det z (120

210 ) (168

144 ) 378 362 16 &RQ OR DQWHULRU VH WLHQH TXH ODV VROXFLRQHV VRQ Con lo anterior se tiene que las soluciones son: x

32 64 $1 y $2 32 32

16 $0.50 32

Actividad 2 6L [ \ ] UHSUHVHQWDQ ORV FRVWRV SDUD ODV SUHVHQWDFLRQHV UHVSHFWLYDV \ HQWRQFHV HO SUREOHPD VH SODQWHD FRQ HO VLVWHPD

12y

5z 858 Â 10 x Â°

11z 1039 Â® 8 x Â° 12 x

9z 994 Â¯

457

ApÃ©ndice

5HVROYLHQGR SRU HOLPLQDFLyQ

(10 x

12y

5z 858 )( 8 )

80 x 96y 40z 6864

(8 x

11z 1039 )(10 )

80 x

90y

110z 10390

70z 3526

(8 x

11z 1039 )(12 ) 96 x

108y

132z 12468 (12 x

9z 994 )( 8 )

96 x 64y 72z 7952

60z 4516

44y 7RPDQGR DKRUD \ Tomando ahora 1 y 2:

( 6y

70z 3526 )( 22 )

132y

1540z 77572

( 44y

60z 4516 )( 3 )

132y

180z 13548 1720z 91120 z

91120 $52.9 1720

44y

60z 4516 44y

60(52.9 ) 4516 44y

3174 4516 44y 4516 3174 1342 y

1342 $30.5 44

11z 1039

9( 30.5 )

11(52.9 ) 1039 8x 8x 1039 856.5 182.6 182.6 x $22.8 8

6L [ UHSUHVHQWD HO FRVWR GHO OODYHUR \ HO FRVWR GHO SRUWD UHWUDWR \ ] GHO FHQLFHUR HO SUREOHPD VH SODQWHD FRQ HO VLVWHPD

458

ApÃ©ndice

7 z 486 Â8 x Â°

2z 270 Â® 0 x Â° 5 x

0z 240 Â¯ 4y

32x

12y

28z 1944

(8x

7 z 486 )( 4 )

12y 6z 810

(0x

2z 270 )( 3 )

22z 1134 32x

2z 270

(5 x

0z 240 )( 1) 5 x 4y

0z 240

5 x

2z 30 6XPDQGR \ Sumando 1 y 2: 32 x

22z 1134 5 x

2z 30( 11)

32x

22z 1134 55 x 22z 330 87 x 804 x

804 9.2 87

5(9.2 )

2z 30 z

46 38 2

8x 8x

7 z 486 8(9.2 )

7( 38 ) 486 y

486 73.6 266 146.4 48.8 3 3

/ODYHURV SRUWD UHWUDWR \ FHQLFHURV &RQ LQFUHPHQWRV GHO \ 6HD [ OD FDSDFLGDG GH OD ERWHOOD \ OD FDSDFLGDG GH OD ERWHOOD \ ] OD FDSDFLGDG GH OD ERWHOOD HVWR SHUPLWLUi UHSUHVHQWDU HO SUREOHPD HQ HO VLVWHPD

2z 11.5 Â 2 x Â°

2z 14.3 Â® x Â° x

5z 21.9 Â¯ y

459

2z 11.5

x 3y 2z 14.3 x 2y 2.8 5 x 15y 10z 71.5 (x

2z 14.3 )( 5 )

5z 21.3 )( 2 ) 2x

10z 42.6 ( x 3x 13y 28.9 x

2z 14.3( 1)

5HGXFLHQGR \ Reduciendo 1 y 2:

(x 2y 2.8 )( 3 ) 3x 13y 28.9

3x 6y 8.4

3x 13y 28.9 19y 37.3

x 2y 2.8

37.9 litros 1.9 OLWURV 19

x 2(1.9 ) 2.8 x 3.8 2.8 2.8

3.8 1 OLWUR litro x

2z 14.3 1

3(1.9 )

2z 14.3 1

5.7

2z 14.3

14.3 6.7 7.6 litros 3.8 OLWURV 2 2

3RU FRQVLJXLHQWH ODV SUHVHQWDFLRQHV VRQ GH \ OLWURV FDGD ERWHOOD 6HDQ W 1 FDQWLGDG GH PDWHULDO GHO WLSR W 2 FDQWLGDG GH PDWHULDO GHO WLSR \ W 3 FDQWLGDG cantidad GH PDWHULDO GHO WLSR HVWR WUDGXFH HO SUREOHPD HQ HO VLJXLHQWH VLVWHPD

20t 2

50t3 1600

2t 2

5t3 160 Â10t1 Â t1 Â° Â°

30t2

0t3 1200

3t2

0t3 120 Â® 30t1 Â® 3t1 Â° 60t Â°

50t3 3200 6t

6t2

5t3 320 Â¯ 1 60t2 Â¯ 1

460

2t 2

5t3 160( 3 )

3t1

3t2

0t3 120 3t2 15t3 360

3t1

3t2

0t3 120

6t1 6t2

0t3 240

3t1

3t2

0t3 120( 2 ) 6t1

6t2

5t3 320

6t1

6t2

5t3 320

5t3 80 80 t3 16 5 en 1: 6XVWLWX\HQGR W Sustituyendo t 3 HQ

3t2 15t3 360 3t2 15(16 ) 360 3t2 240 360

360

240 120 40 3 3

6XVWLWX\HQGR W Sustituyendo t 3 \ W y t 2 HQ OD SULPHUD HFXDFLyQ GHO VLVWHPD

2t2

5t3 160 t1

80 160

160 0 t1 160 'HO WLSR XQR GHO WLSR GRV \ GHO WLSR WUHV NLORJUDPRV Actividad 3 1. D 1R WLHQH VROXFLRQHV ORV SODQRV VRQ SDUDOHORV E 7LHQH FRPR VROXFLyQ XQD UHFWD GH SXQWRV F &XHQWD FRQ XQD VROXFLyQ HQ XQ SXQWR

461

1 2

F \

2. 9 naranjas hay en el costal.

EvaluaciÃ³n diagnÃ³stica \ RQ]DV GH )RUWH[ (VEHOWD \ 5HGXPD[ UHVSHFWLYDPHQWH 2. Ã Q Ã Ã Q Ã Ã Q Ã Q Ã Ã Q Ã 3. x

y 225 x 225 y

40x

15y 5000 40( 225 y)

15 y 5000

40x

15(160 ) 5000 40x

2400 5000 2600 x 40

9000 40y

15y 5000 25 y 4000 y

x 65

4000 25 y 160

6H YHQGLHURQ EROHWRV GH DGXOWRV \ EROHWRV GH QLxRV Ancho = [ x $QFKR /DUJR [ (O DQFKR GHEH VHU GH P \ HO ODUJR GH P

462

2( 2x

2 ) 22 2x

4 22 6x 22 4 18 18 x 3 6

N [ \ N [ \

[ [\ \ 25x

[ \ [ Â±

â&#x20AC;&#x201C; 121 [ k Â±

[ \ [ \

[ 2x 2 [\ Â± [ Â± \

[ [

9k 2 [ 2 [\ \ 2

[ Â± \ 2

[ 2 [\ \ - xy - 2y 2

[ [

[ 2k 3 Â± [ 2k 3 Â±

x 1 5

5x 5 5 x 1

5 3x 5 5 9x 26 5 5 26 x 9

9x 2 6x

1 8x 2

x2 5x

6 6x

1 5 x

6 x 5

Actividad 1 I. Ecuaciones cuadrÃ¡ticas incompletas

Triviales:

Puras:

6x 2 36 0 8x 2 0

x2 121 0

20x 2 0

4x 2 58 0 12x 2 60 0

II. D 1RPEUDQGR S DO Q~PHUR LQLFLDO GH SLxDV VH WLHQH

p2 7 137 p 144 p 12

463

ApÃ©ndice (O Q~PHUR LQLFLDO GH SLxDV HV GH E 6DQGLDV S VDQGtDV F 1RPEUDQGR P D OD FDQWLGDG GH PHORQHV VH WLHQH m 2 13 209 m 196 m 14

III. D

x2 25 0

4x 2 64 x 4

2x 2 288 0 x 12

x2 1 x 1 Precio 4

1 5

(O SUHFLR GH ORV GXUD]QRV HV GH

x 25 5 x 2 81 x 81 9 Precio 5(9 ) 45

*HRUJLQD GHEHUi SDJDU

'HEHUi SDJDU

*HURUJLQD GHEHUi SDJDU SRU ORV GXUD]QRV

IV.

464

6x 2 36 0 36 x2 6 x r ( 6

0 8x 2 0 x2 8 x 0 0

x 2 121

4x 2 54

4 58

x r ( 121 r (11

12x 2 32x 2

7.5

8x 2 52.5 4x 2

20x 2 0 x 0

12x 2 60 ( x r

60 r ( 5 12

58 4 58 58 x r ( r ( 4 2

ApĂŠndice Actividad 2 La frase escondida es: C

EcuaciĂłn 13x 2 39x 0

x2 x 0

3x 2 21x

5 x 2

50x 0

65 x 13x 2

9x 2

72x 0

84x 21x 2

22x 11x 2 0

14x 2 84x 0

9x x 2

SoluciĂłn distinta de cero 13x( x 3) 0 x 3 x( x 1) 0 x 1 3x( x 7 ) 0 x 7 5 x( x 10 ) 0 x 10 13x( x 5 ) 0 x 5 9x( x 8) 0 x 8 21x( x 4) 0 x 4 11x( x 2) 0 x 2 14x( x 6 ) 0 x 6 x( x 9) 0 x 9

Letra asignada M

465

Apรฉndice Actividad 3 I. ( C )) x 2

18 0

( C ) x2

8 6x 0

12x 2 0 ( M ) 8x

( T ) 2x 2 0

7x 10 0

( M ) 5 x2 20 0

10x

4x 2 0 (M)

(T) 0 4x 2

( P ) 72 2x 2 0

(M) 9x 3x 2 0

II. 1. D

Deberรกs realizar un bosquejo a escala del terreno.

x( 3x ) 147

3x 2 147 147 x2 3 x ( 49 x (7

Es una ecuaciรณn FXDGUiWLFD LQFRPSOHWD SXUD

El ancho mide 7 m y el largo 21 m.

3HUtPHWUR P

d 7 2 212 d 49 441 d 490

466

ApÃ©ndice 2. D

Llamemos "s" a la edad /ODPHPRV V D OD HGDG de Saul y "e" a la edad GH 6DXO \ H D OD HGDG de Leonel: GH /HRQHO

15 )( e 11) 0 (e 15 e 11 e

s 2e e 4 s 2e e 4

/HRQHO WLHQH DxRV \ 6D~O DxRV

s e 4 s 4

e s( e ) 165 (4

e )e 165

e 4 +DFH DxRV FXDQGR /HRQHO WHQtD DxRV \ 6D~O WHQtD DxRV

e2 165 e2

4e 165 0

(Q UHDOLGDG HV OD PLVPD En realidad es la misma SUHJXQWD GHO LQFLVR F

e 62 s e 4 2s 66 s 33 e 29

'HQWUR GH DxRV OD VXPD GH VXV HGDGHV VHUi GH DxRV

3. D

( x 6 )2 4x 2

( x 6 ) 4 x2

)ROOHWR LQLFLDO FP2

x 6 2x 6 x

)ROOHWR DPSOLDGR FP2

El lado del folleto inicial HV GH FP

3HUtPHWUR LQLFLDO FP 3HUtPHWUR DPSOLDGR FP 'LIHUHQFLD HQWUH SHUtPHWURV FP

467

Apรฉndice D

K E $ A = P 30 m 2

bh 30 2 b( b

7 ) 60

12 )( b

5) 0 b 12 b 5

7b 60 0

/D EDVH GH OD HVWUXFWXUD La base de la estructura WULDQJXODU PLGH P \ VX triangular mide 5 m y su DOWXUD P altura 12 m

E b

3XHGH VHU FXDOTXLHUD GH ORV WLSRV SRUTXH HQ HOOR VH FXPSOHQ ODV UHVWULFFLRQHV GHO SUREOHPD ma.

5. E

(12 2x )(9 2x ) 70

(2 19 )( x 1) 0

108 18x 24x

4x 70 2

$ A = P 70 m

9m P

4x 2 42x

38 0 2x 2 21

19 0

12 m P

(V XQD HFXDFLyQ FXDGUiWLFD Es una ecuaciรณn cuadrรกtica FRPSOHWD

Las dimensiones de la alfombra son 10 y 7 m.

(O iUHD GHO SDVLOOR HV GH P2

468

19 2

x 1

(O SDVLOOR VHUi GH P GH ancho. DQFKR

(x 5 )( x

2) 0

( 2x 3 )( x

7 ) 0

(x 7 )( x 1) 0

x1 5

x2 2

3 2

5 )( 2x 9) 0 ( 3x 5 9 x1 x2 3 2

7 )( x 12 ) 0 x1 7

x1 7

x2 7

x2 1

x2 12

Actividad 4 I.

7 0 D y 2

,QFRPSOHWD SXUD

14x

5 0 E x 2 F 2m 2 0

&RPSOHWD

,QFRPSOHWD 7ULYLDO

5a 0 G 5a2

,QFRPSOHWD PL[WD

II. D

x2 4x

6 0

15v 2 2v 8 0

( 5 ) r ( ( 5 )2 4(1)(6 ) 2(1)

5r ( 25 24 2 5r (1 x 2 x1 3 x2 2 x

( 2 ) r ( ( 2 )2 4(15 )( 8 ) 2(15 )

2r ( 4

480 30 2r ( 22 v 30 4 2 v1 v2 5 3 v

469

ApĂŠndice F

(z 1)( z

3 )( z 2) (z

3 )( z

8 p2

2p 1 20

z2 1

z 6 z 2 4z

8p 0

z2 3z 10 0 z

( 3 ) r ( ( 3 )2 4(1)( 10 ) 2(1)

3r ( 9

49 2 3r (7 z 2 z1 5 z2 2 z

8 r ( 64 2 8 r (8 p 2 p1 0 p2 8 p

10 6q s

q 6q

10 0 q

( 6 ) r ( ( 6 )2 4(1)(10 ) 2(1)

6r ( 36 40 2 6r ( 4 q 2 6

4 q1 2 q

4 r ( 42 4(1)( 5 ) 2(1)

4 r ( 16

20 2 4 r (6 s 2 s1 1 s2 5

6 4 2

( 6 ) r ( ( 6 )2 4( 2 )( 3 ) m 2( 2 )

x2 1 0

6r ( 36

24 4 6r ( 60 m 4 3 3

15 15 m1 m2 2 2

470

8 r ( 82 4(1)(0 ) 2(1)

0 r ( 02 4(1)( 1) 2(1)

( 4 r 2 x1 1 x

x2 1

ApÃ©ndice L y

( c ) r ( ( c )2 4(1)( 6c 2 ) 2(1)

cr ( c2

24c 2 y 2 cr ( 25c 2 2 cr ( 5c y 2 y1 3c y2 2c y

Sea x z 2 HQWRQFHV 6HD entonces x 2 z 4 x2 20 x

64 0 x

( 20 ) r ( ( 20 )2 4(1)(64 ) 2(1)

20 r ( 400 256 2 20 r ( 144 x 2 20 r ( 12 x 2 x1 16 x2 4 x

3RU OR WDQWR Por lo tanto: z1 r ( 16

z3 r ( 4

z1 4 , z2 4 ; z3 2 , z4 2 Actividad 5 I.

8i 8

17i D 9i

2 2(5 )

10 15i 10 2 E 33i

4i( 3i ) 12i 2 4 3 3

3 3i

2 3i 5 3i 5 3 9i 9i 9

II. D x 2 2x

1 0

D ( 2 )2 4(1)(1) 0

E 2x 2 2x 3 0

D ( 2 )2 4( 2 )( 3 ) 28

471

ApÃ©ndice 4x

2 0 F 3x 2

G 3x 2 x

5 0

D ( 4 )2 4( 3 )( 2 ) 8

D ( 1)2 4( 3 )(5 ) 59

H 4x 2 3x 1 0

D ( 3 )2 4( 4 )( 1) 25

III. D

6x 2 2x 54 2x

2x 2

5x 5x 32

6x 2 54 54 x2 6 x r ( 9

2x 2 32 32 x2 2 x r ( 16

x r (3i x1 3i

x r (4i x1 4i

x2 3i

3 ( r ( 3 )2 4( 2 )( 5 ) 2( 2 )

3 ( r 49 3 ( r7 4 4 5 x1 1 x2 2 x

472

( 1) r ( ( 1)2 4( 3 )(5 ) 2( 3 )

1r ( 59 6 1

59 x1 6 x

x2 4i

G x

( 2 ) r ( ( 2 )2 4(1)( 3 ) 2(1)

2r ( 16 2 r (4 2 2 x1 3 x2 1 x

1 59 6

G (FXDFLyQ FXDGUiWLFD WULYLDO E (FXDFLyQ FXDGUiWLFD SXUD D (FXDFLyQ FXDGUiWLFD PL[WD F (FXDFLyQ FXDGUiWLFD FRPSOHWD

2. (a

30 )a 7000 a2

30a 7000 0 (x

100 )( x 70 ) 0 x

100 0

x 70 0

x1 100

x2 70

(O ODUJR GHO FDPSR HV GH P 3.

l 2 10 2 a2 2

2 10 2 a2 a

4 100 a2 2

4 100 2a

4a 96 0 2a2 2

2a 48 0 a a

8 a â&#x20AC;&#x201C; 6 0

a 8, a 6 (O DQFKR PLGH D FP a

2( 2a

2 ) 22 2a

4 22 6a 18 a 3

473

ApÃ©ndice

El ancho es de 3 m y el largo de [ 2( 3 ) 2 ] 8 m 5.

x2 11x 12 0

x1 4i , x2 4i

5 x2

3x 3x 1

x1 .4

1.74i , x2 .4 1.74i

3( x 2

16 ) 0

x1 0, x2 3

x(5 x

4) 16

x1 .2, x2 1

12 6( x 2

x1 12, x2 1 x1 2.5, x2 0

C f (100 ) 35(100 )

500 C 4000

(O FRVWR GH SURGXFFLyQ GH SOD\HUDV HV GH

500 1200 C f ( n ) 35( n ) 35n 700 n 20

6H SRGUiQ IDEULFDU SOD\HUDV

Actividad 1 I. D

474

9DULDEOH LQGHSHQGLHQWH Wt

9DULDEOH GHSHQGLHQWH d( t ) 4.9t 2

&RRUGHQDGDV Coordenadas W G

0 1 2 3 5

19.1 Ã Ã Ã

9DULDEOH GHSHQGLHQWH d( t ) 4.9t 2

&RRUGHQDGDV Coordenadas W G

0 1 2 3 5

11.1 Ã Ã Ã Ã

9DULDEOH LQGHSHQGLHQWH Wt

9DULDEOH GHSHQGLHQWH d( t ) 4.9t 2

&RRUGHQDGDV Coordenadas W G

0 1 2 3 5

31.1 Ã Ã Ã

475

ApÃ©ndice

F (O GH OD WUD\HFWRULD d( t ) 4.9t 2

36 P 4.9t 2

36 VHJXQGRV DSUR[LPDGDPHQWH G (O GH OD WUD\HFWRULD d( t ) II. D y x 2

3x 2

3 Â§ 3 17 Â· , eje de simetrÃa x RULHQWDFLyQ KDFLD DUULED , orientaciÃ³n hacia arriba. 9pUWLFH 9 VÃ©rtice V Â¨ , Â¸8 HMH GH VLPHWUtD 2 4 Â¹ Â© 2 E y 3x 2 5x

4 5 Â§ 5 219 Â· , eje de simetrÃa x RULHQWDFLyQ KDFLD DEDMR , orientaciÃ³n hacia abajo. 9pUWLFH 9 VÃ©rtice V Â¨ , Â¸8 HMH GH VLPHWUtD 6 36 Â¹ Â© 6 F y 3x 2 6x 1, 3 HMH GH VLPHWUtD , eje de simetrÃa x 1 RULHQWDFLyQ KDFLD DUULED , orientaciÃ³n hacia arriba. 9pUWLFH 9 VÃ©rtice V III.

476

FunciÃ³n )XQFLyQ

NÃºmero de 1~PHUR GH Discriminante de la 'LVFULPLQDQWH GH OD intersecciones &RRUGHQDGDV GH ODV UDtFHV Coordenadas de las raÃces LQWHUVHFFLRQHV HFXDFLyQ UHVSHFWLYD con el eje X FRQ HO HMH ;

y 6x 2 36

D 02 4(6 )( 36 )

y 8 x 2

D 02 4( 8 )(0 )

y x2 121

D 02 4(1)( 121)

x1 11, x2 11

y x2

D 02 4(1)( 121)

(-8,0 )

y x2

D 32 4(1)( 4 )

x1 6

x2 6 x 0

7i 2

(-1,0 )

3 7i 2

,, /D UHODFLyQ GH SXQWRV TXHGD GH OD VLJXLHQWH IRUPD

D x 2

18 y

H x 2

8 6x y

F 2x 2 y

I x 2

7x 10 y

G y 4x 2

E 9x 3x 2 y

III.

477

ApÃ©ndice D $O SURGXFLU EDORQHV HO LQJUHVR HV GH \ KD\ XQD SpUGLGD GH $O SURGXFLU EDORQHV HO LQJUHVR HV GH \ OD JDQDQFLD HV GH $O SURGXFLU EDORQHV HO LQJUHVR HV GH \ OD JDQDQFLD HV GH $O SURGXFLU EDORQHV HO LQJUHVR HV GH \ KD\ XQD SpUGLGD GH E (QWUH \ EDORQHV DSUR[LPDGDPHQWH F (O LQJUHVR Pi[LPR HV GH DSUR[LPDGDPHQWH 6H GHEHQ YHQGHU EDORQHV DSUR[LPDGDPHQWH G (QWUH \ EDORQHV H 3RU VLPHWUtD HQ DSUR[LPDGDPHQWH

Actividad 3 I.

La frase que se obtiene es: C

39 26

1 2

9 2

39 26

65 26

21 6

72 18

II. D y x 2 x 6 Â&#x2021; Â&#x2021; +DFLD DUULED Hacia arriba

Â&#x2021;

Â&#x2021; Ã

Â&#x2021; Â&#x2021; 0tQLPR GH MÃnimo de Â&#x2021; x Â&#x2021;

478

1 2

25 4

/D JUiÂ¿FD HV OD VLJXLHQWH

ApÃ©ndice

E y 2x 2

13x 20 Â&#x2021;Â&#x2021; Hacia abajo +DFLD DEDMR

Â&#x2021; /D JUiÂ¿FD HV OD VLJXLHQWH

Â&#x2021; Ã

Â§5 Â· Â&#x2021;Â&#x2021; Â¨ ,0 8 Â¸

Â©2 Â¹ 2

13 9 Â§ Â· Â&#x2021;Â&#x2021; y 2 8 Â¨x Â¸

Â&#x2021;Â&#x2021; MÃ¡ximo de 0i[LPR GH Â&#x2021;Â&#x2021; x

9 8

13 4

F y 4x 2 16 Â&#x2021;

/D JUiÂ¿FD HV OD VLJXLHQWH

Â&#x2021;Â&#x2021; Hacia arriba +DFLD DUULED Â&#x2021; Ã

Â&#x2021; Ã

Â&#x2021;Â&#x2021; y 4 x 0

16 Â&#x2021;Â&#x2021; V 0, 16

Â&#x2021;Â&#x2021; 0tQLPR GH Ã Â&#x2021;Â&#x2021; x 0

479

ApÃ©ndice

G y x 2 4x

7 Â&#x2021; Â&#x2021; +DFLD DUULED Hacia arriba

Â&#x2021;

Â&#x2021; Â&#x2021; 1R KD\ LQWHUVHFFLRQHV No hay intersecciones UHDOHV HQ HO HMH GH ODV [ 2

Â&#x2021; Â&#x2021; y x 2

3 Â&#x2021; V Â&#x2021; 2,3 Â&#x2021; Â&#x2021; MÃnimo 0tQLPR GH de 3 Â&#x2021;Â&#x2021; x 2

III.

3DUD OD SDUiEROD DOWD

480

Â&#x2021;

/D JUiÂ¿FD DEUH KDFLD DEDMR

Â&#x2021;

/D LQWHUVHFFLyQ FRQ HO HMH \

/D JUiÂ¿FD HV OD VLJXLHQWH

ApÃ©ndice

Â&#x2021;

/DV LQWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH [ FHURV R UDtFHV GH OD IXQFLyQ \

Â&#x2021; Â&#x2021;

Â&#x2021;

9DORU Pi[LPR R PtQLPR GH OD IXQFLyQ Pi[LPR GH

Â&#x2021; Â&#x2021;

La ecuaciÃ³n del eje de simetrÃa: x 7 /D HFXDFLyQ GHO HMH GH VLPHWUtD

3DUD OD SDUiEROD EDMD Â&#x2021;

/D JUiÂ¿FD DEUH KDFLD DEDMR

Â&#x2021;

/D LQWHUVHFFLyQ FRQ HO HMH \

Â&#x2021;

/DV LQWHUVHFFLRQHV FRQ HO HMH [ FHURV R UDtFHV GH OD IXQFLyQ

Â&#x2021; Â&#x2021;

9DORU Pi[LPR R PtQLPR GH OD IXQFLyQ Pi[LPR GH Valor mÃ¡ximo o mÃnimo de la funciÃ³n: mÃ¡ximo de 25

Â&#x2021; Â&#x2021;

/D HFXDFLyQ GHO HMH GH VLPHWUtD La ecuaciÃ³n del eje de simetrÃa: x 5

481

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Bloque II PĂĄgina 80 -XOLXV :LOKHOP 5LFKDUG 'HGHNLQG ÂŠ Wikimedia Commons 'LVSRQLEOH HQ KWWS FRPPRQV wikimedia.org/wiki/File:Dedekind. MSHJ $XWRU GHVFRQRFLGR 8VHU -HDQ /XF : 7KLV LPDJH RU RWKHU PHGLD ÂżOH LV LQ WKH SXEOLF GRPDLQ EHFDXVH LWV FRS\ULJKW KDV H[SLUHG Georg cantor ÂŠ Wikimedia Commons Disponible en: http:// commons.wikimedia.org/wiki/ File:Matematiker_georg_cantor.jpg Autor: Rudolf 1922 (user). This LPDJH RU RWKHU PHGLD ÂżOH LV LQ WKH public domain because its copyright has expired.

Bloque IV PĂĄgina 169 Al-Khwarizmi ÂŠ Hunter Johnson Tomado de: Wikimedia Commons Disponible en: http://commons. wikimedia.org/wiki/File:AlKhwarizmi,_Khiva.jpg Autor: Rudolf ; http://cunymathblog. commons.gc.cuny.edu/2013/01/27/ meaning-and-use/al-khwarizmi/ User: Mvtayefeh Portrait of Galileo Galilei -XVWXV 6XVWHUPDQV ÂŠ Wikimedia commons. Disponible en: http://commons.wikimedia.org/ wiki/File:Galileo.arp.300pix.jpg; http://www.nmm.ac.uk/mag/pages/ mnuExplore/ViewLargeImage. cfm?ID=BHC2700 PĂĄgina 175 Ă&#x2039;QGLFH GH JUDVD FRUSRUDO

Tomado de: Ă?ndice de Grasa &RUSRUDO Âą 0HMRUD WX LPDJHQ Disponible en: http:// indicedegrasacorporal.com/elindice-de-grasa-corporal/

Bloque V PĂĄgina 214 3RUWUDLW RI ,VDDF 1HZWRQ

Sir Godfrey Neller (1689) ÂŠ Wikimedia Commons. Disponible en: http://commons. wikimedia.org/wiki/File:Sir_Isaac_ Newton_(1643-1727).jpg FotografĂa: http://www.phys. uu.nl/~vgent/astrology/images/ newton1689.jpg]; User: Thomas Gun 7KLV ÂżOH KDV EHHQ LGHQWLÂżHG DV being free of known restrictions under copyright law, including all related and neighboring rights

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PĂĄgina 252 3DSLUR GH 5KLQG ÂŠ Paul James Cowie (Pjamescowie) Tomado de: Wikimedia Commons Disponible en: http://commons. wikimedia.org/wiki/File:Rhind_ Mathematical_Papyrus.jpg; http://www.archaeowiki.org/ Image:Rhind_Mathematical_ Papyrus.jpg User: Tedmek

Bloque VII PĂĄgina 290 &KDOXSDV SREODQDV ÂŠ HĂŠctor Ledezma Tomado de: Union Puebla Disponible en: http://www. unionpuebla.mx/articulo/2013/12/06/ turismo/las-8-mas-famosas-deliciasde-puebla-fotos

Bloque VIII PĂĄgina 307 El arte matemĂĄtico Tomado de: Wikimedia Commons Disponible en: http://commons. wikimedia.org/wiki/File:%E4%B9%9 D%E7%AB%A0%E7%AE%97%E8 %A1%93.gif http://www.chinapage.com/jiuzhang. gif User: HELLO, WORLD!

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Secretaría de Educación Pública Subsecretaría de Educación Media Superior Dirección General del Bachillerato