Ejercicios de gráficas

CALCULO PARA CIENCIAS DE LA ECONOMIA Ejemplo 1: 1. Grafique los siguientes puntos:

 2, 5 ;  1, 4  ;  0, 2  ;  3, 2  : 5, 0  2. Determine los cuadrantes donde se ubican los puntos anteriores.

3. Encuentre la distancia entre cada pareja de puntos. a.  4, 1 y  2, 0  b.  3,1 y  2, 3

1  c.  , 2  y  2, 0  2 

Fórmula

d

 x2  x1    y2  y1  2

2

d.  a, 2  y  b, 2 

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1

4. La ordenada de un punto es 6 y su distancia al punto  3, 2  es 5. Determine la abscisa del punto.

Ejemplo para poder resolver este ejercicio: La abscisa de un punto es 7 y su distancia al punto 1, 2  es 10. Determine la ordenada del punto.

Solución: Sea P el punto cuya ordenada se requiere y A el punto 1, 2  . Sea " y " la ordenada del punto P . Entonces las coordenadas de P son  7, y  , dado que su abscisa se hizo igual a 7. Del enunciado del problema, tenemos que

PA  10 Ahora, identificando los puntos P y A como:

 7, y    x1 , y1  y 1, 2    x2 , y2  Y utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos, tenemos:

PA  10 

 x2  x1    y2  y1  2

1  7    2  y  2

100  36   2  y 

2

2

2

100  36  4  4 y  y 2 Por tanto:

y 2  4 y  60  0

 y  10  y  6   0 y  10  0 y  10

y6  0 y6

¿La ordenada del punto requerido P es 6 o -10?, conteste usted.

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5. Si P es el punto 1, a  y su distancia al punto  6, 7  es 13, determine el valor de a .

6. Se nos da el punto P  x, 2  . La distancia de P al punto A  9, 6  es dos veces la distancia al punto B  1,5 . Encuentre el valor de " x " .

7. La compañía TANIA puede vender " x " unidades de lápices labiales por semana. El precio de venta p está relacionado con el número de unidades vendidas, de tal modo que p  800  2 x colones. Por otra parte, el costo de producción, por semana, de " x " unidades es C  50000  40 x . a. ¿Cuántas unidades debe vender la compañía para producir un ingreso de ¢80000 por semana? b. ¿Cuántas unidades debería producir y vender cada semana para producir utilidades semanales de ¢22200?

Ejemplo de ecuación de demanda: Si un artículo se ofrece a la venta al precio p por unidad, la cantidad q demandada en el mercado está dada por la relación 3q  p  10 . Dibuje la gráfica de esta relación.

Solución: Graficaremos el precio p a lo largo del eje vertical, como se acostumbra hacer en las relaciones de demanda. En este caso, dado que ni el precio p ni la cantidad demandada pueden ser negativos, sólo tiene interés práctico la porción de la gráfica situada en el primer cuadrante.

Resolviendo tenemos la ecuación siguiente:

p  10  3q En la tabla 3 se dan valores de p que corresponden a un número de diferentes valores de q . Por ejemplo, cuando el precio es 7, la cantidad demandada sólo es de una unidad. Cuando el precio se reduce a 4, en el mercado se demandan 2 unidades.

q 0 1 2 3 p 10 7 4 1 Tabla 3

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3

Graficando estos puntos, obtenemos la gráfica que aparece a continuación.

Observe que la gráfica de nuevo es una línea recta, o más bien, la porción de una línea recta que está situada en el primer cuadrante.

8. Resuelva los siguientes ejercicios utilizando sistema de ecuaciones.

2x  3y  x  2y  2   3 4 a.  3x  2 y  y  5 x  11    2 4

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b. Decisión de producción.

Una empresa fabrica dos productos A y B . Cada producto tiene que ser procesado por dos máquinas, I y II . Cada unidad del tipo I requiere 1 hora de procesamiento de la máquina I y 1.5 horas por la máquina II y cada unidad del tipo B requiere de 3 horas en la máquina I y 2 horas en la máquina II . Si la máquina I está disponible 300 horas al mes y la máquina II 250 horas, ¿cuántas unidades de cada tipo podrá fabricar al mes si utiliza el tiempo total disponible en las dos máquinas?

Ejemplos de Sistemas de Ecuaciones - Resuelva el sistema siguiente:

 x  y y 1  3  4   4x  5 y  x  7  7

Solución: La primera etapa consiste en eliminar las fracciones de las dos ecuaciones. Multiplicamos ambos lados de la primera ecuación por 12, el denominador común y simplificamos.

4  x  y   3  y  1 4x  4 y  3y  3 4 x  7 y  3 Multiplicamos en la segunda ecuación por 7 ambos lados y simplificamos:

4x  5 y  7  x  7 4 x  5 y  7 x  49 3x  5 y  49 LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY

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Multiplicamos la ecuación completa por -1, resulta:

3x  5 y  49 De manera que el sistema de ecuaciones es equivalente al sistema de ecuaciones lineares siguientes:

4 x  7 y  3  3x  5 y  49 Usamos el método de sustitución. Despejamos " x " en la primera ecuación:

4x  7 y  3 1 x   7 y  3 4 Sustituimos este valor de " x " en la segunda ecuación y obtenemos:

3  7 y  3  5 y  49 4 Multiplicamos ambos lados por 4 y despejamos " y "

3  7 y  3  20 y  196 21 y  9  20 y  196 41 y  196  9 41 y  205 205 y 5 41 Haciendo y  5 en la ecuación segunda tenemos:

x

1  35  3  8 4

En consecuencia, la solución requerida es x  8 y y  5 .

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- Mezclas: La tienda El Sol que se especializa en todo tipo de frituras, vende maní a ¢ 0.70 el kilo y almendras a ¢ 1.60 el kilo. Al final de un mes, el propietario se entera que el maní no se vende muy bien y decide mezclar maní con almendras para producir una mezcla de 45 kilos, que venderá a ¢ 1.00 el kilo. ¿Cuántos kilos de maní y de almendras deberá mezclar para mantener los mismos ingresos?

Solución: Sea " x " los kilos de maní que la mezcla contiene y " y " los kilos correspondientes de almendras. Dado que el peso total de la mezcla es de 45 kilos.

x  y  45 El ingreso de " x " kilos de maní a ¢ 0.70 el kilo es de 0.70x colones y el ingreso de " y " kilos de almendras a ¢ 1.60 el kilo es de 1.60y colones. El ingreso obtenido de la mezcla de 45 kilos a ¢ 1.00 por kilo será de ¢ 45. Dado que el ingreso d la mezcla deberá ser el mismo que el de las frutas separadas, tenemos la ecuación siguiente: Ingreso de maní + ingreso de almendras = Ingreso de la mezcla

0.7 x  1.6 y  45 7 x  16 y  450 De esta manera, llegamos al sistema de ecuaciones lineales siguiente:

 x  y  45  7 x  16 y  450 De la primera ecuación, obtenemos que x  45  y . Luego sustituimos este valor de " x " en la ecuación de abajo y despejamos " y " .

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7  45  y   16 y  450 315  7 y  16 y  450 9 y  450  315 9 y  135 135 y  15 9 Por lo tanto:

x  45  y x  45  15 x  30 En consecuencia, 30 kilos de maní deberán mezclarse con 15 kilos de almendras para formar la mezcla.

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