CALCULO PARA CIENCIAS DE LA ECONOMIA Ejemplo 1: 1. Grafique los siguientes puntos:
2, 5 ; 1, 4 ; 0, 2 ; 3, 2 : 5, 0 2. Determine los cuadrantes donde se ubican los puntos anteriores.
3. Encuentre la distancia entre cada pareja de puntos. a. 4, 1 y 2, 0 b. 3,1 y 2, 3
1 c. , 2 y 2, 0 2
Fórmula
d
x2 x1 y2 y1 2
2
d. a, 2 y b, 2
LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY
1
4. La ordenada de un punto es 6 y su distancia al punto 3, 2 es 5. Determine la abscisa del punto. Ejemplo para poder resolver este ejercicio: La abscisa de un punto es 7 y su distancia al punto 1, 2 es 10. Determine la ordenada del punto. Solución: Sea P el punto cuya ordenada se requiere y A el punto 1, 2 . Sea " y " la ordenada del punto P . Entonces las coordenadas de P son 7, y , dado que su abscisa se hizo igual a 7. Del enunciado del problema, tenemos que
PA 10 Ahora, identificando los puntos P y A como:
7, y x1 , y1 y 1, 2 x2 , y2 Y utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos, tenemos:
PA 10
x2 x1 y2 y1 2
1 7 2 y 2
100 36 2 y
2
2
2
100 36 4 4 y y 2 Por tanto:
y 2 4 y 60 0
y 10 y 6 0 y 10 0 y 10
y6 0 y6
¿La ordenada del punto requerido P es 6 o -10?, conteste usted. LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY
2
5. Si P es el punto 1, a y su distancia al punto 6, 7 es 13, determine el valor de a . 6. Se nos da el punto P x, 2 . La distancia de P al punto A 9, 6 es dos veces la distancia al punto B 1,5 . Encuentre el valor de " x " . 7. La compañía TANIA puede vender " x " unidades de lápices labiales por semana. El precio de venta p está relacionado con el número de unidades vendidas, de tal modo que p 800 2 x colones. Por otra parte, el costo de producción, por semana, de " x " unidades es C 50000 40 x . a. ¿Cuántas unidades debe vender la compañía para producir un ingreso de ¢80000 por semana? b. ¿Cuántas unidades debería producir y vender cada semana para producir utilidades semanales de ¢22200? Ejemplo de ecuación de demanda: Si un artículo se ofrece a la venta al precio p por unidad, la cantidad q demandada en el mercado está dada por la relación 3q p 10 . Dibuje la gráfica de esta relación. Solución: Graficaremos el precio p a lo largo del eje vertical, como se acostumbra hacer en las relaciones de demanda. En este caso, dado que ni el precio p ni la cantidad demandada pueden ser negativos, sólo tiene interés práctico la porción de la gráfica situada en el primer cuadrante. Resolviendo tenemos la ecuación siguiente:
p 10 3q En la tabla 3 se dan valores de p que corresponden a un número de diferentes valores de q . Por ejemplo, cuando el precio es 7, la cantidad demandada sólo es de una unidad. Cuando el precio se reduce a 4, en el mercado se demandan 2 unidades.
q 0 1 2 3 p 10 7 4 1 Tabla 3
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3
Graficando estos puntos, obtenemos la gráfica que aparece a continuación. Observe que la gráfica de nuevo es una línea recta, o más bien, la porción de una línea recta que está situada en el primer cuadrante.
8. Resuelva los siguientes ejercicios utilizando sistema de ecuaciones.
2x 3y x 2y 2 3 4 a. 3x 2 y y 5 x 11 2 4
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4
b. Decisión de producción. Una empresa fabrica dos productos A y B . Cada producto tiene que ser procesado por dos máquinas, I y II . Cada unidad del tipo I requiere 1 hora de procesamiento de la máquina I y 1.5 horas por la máquina II y cada unidad del tipo B requiere de 3 horas en la máquina I y 2 horas en la máquina II . Si la máquina I está disponible 300 horas al mes y la máquina II 250 horas, ¿cuántas unidades de cada tipo podrá fabricar al mes si utiliza el tiempo total disponible en las dos máquinas?
Ejemplos de Sistemas de Ecuaciones - Resuelva el sistema siguiente:
x y y 1 3 4 4x 5 y x 7 7
Solución: La primera etapa consiste en eliminar las fracciones de las dos ecuaciones. Multiplicamos ambos lados de la primera ecuación por 12, el denominador común y simplificamos.
4 x y 3 y 1 4x 4 y 3y 3 4 x 7 y 3 Multiplicamos en la segunda ecuación por 7 ambos lados y simplificamos:
4x 5 y 7 x 7 4 x 5 y 7 x 49 3x 5 y 49 LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY
5
Multiplicamos la ecuación completa por -1, resulta:
3x 5 y 49 De manera que el sistema de ecuaciones es equivalente al sistema de ecuaciones lineares siguientes:
4 x 7 y 3 3x 5 y 49 Usamos el método de sustitución. Despejamos " x " en la primera ecuación:
4x 7 y 3 1 x 7 y 3 4 Sustituimos este valor de " x " en la segunda ecuación y obtenemos:
3 7 y 3 5 y 49 4 Multiplicamos ambos lados por 4 y despejamos " y "
3 7 y 3 20 y 196 21 y 9 20 y 196 41 y 196 9 41 y 205 205 y 5 41 Haciendo y 5 en la ecuación segunda tenemos:
x
1 35 3 8 4
En consecuencia, la solución requerida es x 8 y y 5 .
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6
- Mezclas: La tienda El Sol que se especializa en todo tipo de frituras, vende maní a ¢ 0.70 el kilo y almendras a ¢ 1.60 el kilo. Al final de un mes, el propietario se entera que el maní no se vende muy bien y decide mezclar maní con almendras para producir una mezcla de 45 kilos, que venderá a ¢ 1.00 el kilo. ¿Cuántos kilos de maní y de almendras deberá mezclar para mantener los mismos ingresos? Solución: Sea " x " los kilos de maní que la mezcla contiene y " y " los kilos correspondientes de almendras. Dado que el peso total de la mezcla es de 45 kilos.
x y 45 El ingreso de " x " kilos de maní a ¢ 0.70 el kilo es de 0.70x colones y el ingreso de " y " kilos de almendras a ¢ 1.60 el kilo es de 1.60y colones. El ingreso obtenido de la mezcla de 45 kilos a ¢ 1.00 por kilo será de ¢ 45. Dado que el ingreso d la mezcla deberá ser el mismo que el de las frutas separadas, tenemos la ecuación siguiente: Ingreso de maní + ingreso de almendras = Ingreso de la mezcla
0.7 x 1.6 y 45 7 x 16 y 450 De esta manera, llegamos al sistema de ecuaciones lineales siguiente:
x y 45 7 x 16 y 450 De la primera ecuación, obtenemos que x 45 y . Luego sustituimos este valor de " x " en la ecuación de abajo y despejamos " y " .
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7
7 45 y 16 y 450 315 7 y 16 y 450 9 y 450 315 9 y 135 135 y 15 9 Por lo tanto:
x 45 y x 45 15 x 30 En consecuencia, 30 kilos de maní deberán mezclarse con 15 kilos de almendras para formar la mezcla.
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8