Probabilidad y Estadística parte 1

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PROBABILIDAD Y ESTADĂ?STICA Material para estudiantes de secundaria y universidad Desarrollado por: Lic. Marco Antonio Cubillo Murray }

2018

LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY

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Contenido INTRODUCCIร N ................................................................................................................................... 3 CONCEPTOS FUNDAMENTALES........................................................................................................... 3 Dos reglas bรกsicas de la probabilidad ............................................................................................. 3 Tipos de probabilidad ...................................................................................................................... 4 Eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos ................................................. 6 Uniones e intersecciones de eventos.............................................................................................. 8 Reglas de probabilidad para uniones, intersecciones y probabilidades condicionales .................. 9

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INTRODUCCIĂ“N La vida serĂ­a mĂĄs simple si nosotros supiĂŠramos lo que va a suceder en el futuro, asĂ­ las decisiones serĂ­an muy lĂłgicas y racionales. Si nos sucedieran cosas como quedar atrapado en una lluvia, serĂ­a porque olvidamos el paraguas, si perdemos dinero en una inversiĂłn es porque no estudiamos bien la informaciĂłn sobre las tasas de riesgo o el hecho de construir un edificio mĂĄs grande de lo presupuestado, si todo esto lo podemos prever antes todo serĂ­a muy aburrido.

Fue hasta el siglo XVI que se empieza a medir los posibles riesgos y a aplicar los conceptos de probabilidad de suceso que hasta nuestros dĂ­as ya es algo de uso muy comĂşn, podemos hablar de que hay un 40% de probabilidad de que hoy llueva, que la tasa de riesgos de una inversiĂłn ronda el 2.5% sobre los tĂ­tulos valores o que la posibilidad de cumplir con una obra de construcciĂłn es del 35% de que se ajuste al presupuesto.

Podemos entonces afirmar que la probabilidad es un enunciado numĂŠrico sobre la posibilidad de que en efecto llegue a suceder un evento.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES Las reglas, definiciones y conceptos que se asocian a la probabilidad son muy importante en la toma de decisiones, es por esto que vamos a estudiarlos a continuaciĂłn.

Dos reglas bĂĄsicas de la probabilidad Existen dos reglas fundamentales que se relacionan con las matemĂĄticas y la probabilidad: 1. La probabilidad, P, de que ocurra cualquier evento es mayor o igual que cero y menor o igual que 1.

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Si la probabilidad es igual a cero, esto nos indica que el evento nunca se va a presentar, mientras que, si la probabilidad es igual que 1, esto significa que el evento se va a presentar con toda seguridad.

2. La suma de todas las probabilidades simples para todos los posibles resultados de una actividad debe dar igual a 1.

Ejemplo: Venta de carritos para el segundo semestre Veamos la siguiente tabla de frecuencias sobre la cantidad de carros vendidos en San JosĂŠ en relaciĂłn con la cantidad de dĂ­as transcurridos.

Tabla 1 Cantidad Vendida 0 1 2 3 4 Totales

NĂşmero de dĂ­as 40 80 50 20 10 200

Probabilidad 40/200=0.20 80/200=0.40 50/200=0.25 20/200=0.10 10/200=0.05 ÎŁ1

Tipos de probabilidad Hay dos formas para determinar la probabilidad: -

El enfoque objetivo

-

El enfoque subjetivo

El enfoque objetivo tiene su base en la evaluaciĂłn relativa de la probabilidad, donde asignamos a un evento una frecuencia relativa de que se produzca ese evento, para esto vamos a utilizar la siguiente relaciĂłn:

P(đ?‘’đ?‘Łđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ) =

NĂşmero de ocurrencias del evento NĂşmero total de ensayos o resultados

Como podemos observar en la tabla 1, las ventas de carros en San JosĂŠ han presentado una frecuencia de ventas desde ninguna hasta 4 carros cada cierta cantidad de dĂ­as y cuando se vende determinada cantidad, no puede ser que otro tipo de venta se produzca. El dueĂąo levanto un registro de frecuencias de las ventas y decide tomarlo como un buen indicador de que las ventas a futuro presenten este comportamiento, entonces es posible LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY

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encontrar la probabilidad de que ocurra cada resultado posible en el futuro, mediante la conversiĂłn de los datos a porcentajes.

Entonces, la probabilidad de que las ventas sean de 2 carros en un determinado dĂ­a, luego de pasados cierta cantidad de dĂ­as podrĂ­a ser: P(2 carros)=0.25=25% (se multiplica el resultado relativo por cien y agregamos el signo del porcentaje) Siguiendo la regla de que cualquier probabilidad de venta debe ser mayor o igual a cero y menor o igual a 1, como 0, 1, 2, 3, 4 carros son todos los posibles eventos o resultados posibles, la suma de sus valores de probabilidad debe ser igual a 1.

Existe tambiĂŠn el mĂŠtodo clĂĄsico o lĂłgico de poder determinar la probabilidad objetiva sin necesidad de realizar una serie de ensayos o llevar un registro de frecuencias de ocurrencia, por ejemplo, en el caso de lanzar una moneda al aire una vez y conseguir que salga escudo o corona es:

P(đ?‘’đ?‘ đ?‘?đ?‘˘đ?‘‘đ?‘œ) =

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NĂşmero de formas de obtener un escudo NĂşmero total de ensayos o resultados

Del mismo modo, la probabilidad de sacar un diamante de un mazo de cartas (52 cartas) se puede establecer lĂłgicamente como:

P(��������) =

13 52

NĂşmero de posibilidades de escoger un diamante NĂşmero total de resultados posibles

P(diamante) =

Âź = 0.25 = 25%

Cuando no existe una lĂłgica o datos histĂłricos disponibles o adecuados, los valores de la probabilidad se pueden evaluar de forma subjetiva. La precisiĂłn de las probabilidades subjetivas depende de la experiencia y el juicio de la persona que hace las estimaciones. No es posible determinar una serie de valores de probabilidad a no ser que se utilice el enfoque subjetivo. ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que el precio de la gasolina sea mayor a setecientos en los prĂłximos aĂąos? ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que nuestra economĂ­a estĂŠ en una depresiĂłn severa en el aĂąo 2020? ÂżCuĂĄl es la LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY

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probabilidad de que usted sea presidente de una gran empresa dentro de 20 años?

Existen varios métodos para hacer evaluaciones subjetivas de probabilidad.

Las encuestas de opinión se pueden utilizar para ayudar a determinar las probabilidades subjetivas de posibles resultados de las elecciones y los posibles candidatos políticos. En algunos casos, es necesario usar la experiencia y el juicio para realizar evaluaciones subjetivas de los valores de probabilidad. Un gerente de producción, por ejemplo, podría creer que la probabilidad de que la fabricación de un nuevo producto sin un solo defecto es de 0.85.

Eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes si solo puede ocurrir uno de los eventos en cualquier ensayo. Se les llama colectivamente exhaustivos si la lista de eventos incluye todos los resultados posibles.

Muchas experiencias comunes incluyen eventos que tienen ambas propiedades.

En el lanzamiento de una moneda, los posibles resultados son un escudo o una corona. Dado que no es posible que ocurran los dos resultados en cualquier lanzamiento, los resultados de escudo o corona son mutuamente excluyentes. Como obtener un escudo o una corona representan todos los posibles resultados, también son colectivamente exhaustivos.

Veamos una representación con un diagrama de Venn de eventos mutuamente excluyentes, donde A representa que salga escudo y B que salga corona, podemos observar que los eventos no se tocan y menos se superponen, concluyendo entonces que son eventos mutuamente excluyentes.

A

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B

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La siguiente situación nos proporciona un ejemplo de eventos que no son mutuamente excluyentes; tomando como ejemplo con un mazo de cartas que contiene 52 cartas en total y nos solicitan que saquemos una carta con las siguientes condiciones:

A = evento en el cual se saque un 7 B = evento en el que se saque un corazón Utilizamos de nuevo un diagrama de Venn para visualizar estas condiciones:

B

A

Las probabilidades de estos eventos se pueden asignar usando el enfoque de frecuencia relativa. Hay 4 sietes y 13 corazones. Por lo tanto, tenemos:

P(se saca un 7) = P(A) = 4/52 P(se saca un corazón) = P(B) = 13/52 Estos eventos no son mutuamente excluyentes dado que el 7 de corazones es común a los eventos A y B. Tendríamos entonces una intersección cuando sacamos un 7 de corazones.

A LIC. MARCO ANTONIO CUBILLO MURRAY

7

B

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Uniones e intersecciones de eventos La intersección de dos eventos es el conjunto de todos los resultados que son comunes a ambos eventos. El símbolo que se asocia con el concepto de intersección es: ∩, aunque existen varias notaciones para representar la intersección de dos eventos: Intersección del evento A y el evento B = A y B =A

∩B

= AB

La notación para la probabilidad sería: P(Intersección del evento A y el evento B) = P(A y B) = P(A

∩

B)

= P(AB) En ocasiones, la probabilidad de la intersección se denomina una probabilidad conjunta, lo cual implica que ambos eventos se producen al mismo tiempo o de forma conjunta.

La unión de dos eventos es el conjunto de todos los resultados que están contenidos en cualquiera de estos dos eventos. Por lo tanto, cualquier resultado que está en el evento A se encuentra en la unión de ambos eventos, y cualquier resultado que está en el evento B también se encuentra en la unión de los dos eventos. La palabra “o” se suele asociar con la unión, del mismo modo que el símbolo

∪.

Unión del evento A y el evento B = (A o B) La notación para la probabilidad de la unión de los eventos sería: P(Unión del evento A y el evento B) = P(A o B) = P(A

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∪

B)

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En el ejemplo anterior, la intersección del evento A y el evento B sería: (A y B) = se saca el 7 de corazones La notación para la probabilidad sería: P(A y B) = P(se saca el 7 de corazones) =

1 52

Asimismo, la unión del evento A y el evento B sería: (A o B) = (se saca un 7 o bien se saca un corazón) = Para saber por qué P(A o B) =

16

y no

16 52

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( que es P(A) + P(B)), cuente todas 52 52 las cartas que están en la unión y verá que hay 16. Esto le ayudará a entender la regla general para la probabilidad de la unión de dos eventos que se presentan a continuación.

Reglas de probabilidad para uniones, intersecciones y probabilidades condicionales La regla general para la probabilidad de la unión de dos eventos (a veces llamada la regla aditiva) es como sigue:

P(a o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)

Analicemos esto con una explicación gráfica sobre la relación de la unión de dos probabilidades, utilizando un diagrama de Venn:

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Para ilustrarlo mås con el ejemplo que hemos estado usando, si queremos encontrar la probabilidad de la unión de los dos eventos (se saca un 7 o un corazón), tenemos: P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B) P(A o B) = P(A o B) =

4 52

+

13

1 - 52 52

16 52

Uno de los conceptos de probabilidad mĂĄs importantes en la toma de decisiones es el conjunto de probabilidad condicional, que es la probabilidad de que ocurra un evento dado que ya ha ocurrido otro. La probabilidad del evento A dado que ya se ha producido el evento B se escribe como P(A | B).

Cuando las empresas toman decisiones, a menudo utilizan estudios de mercado de algĂşn tipo para ayudarse a determinar su probabilidad de ĂŠxito.

Dado un buen resultado de la investigaciĂłn de mercado, la probabilidad de ĂŠxito se incrementarĂ­a.

La probabilidad de que A ocurra teniendo en cuenta que el evento B ya se ha producido se puede encontrar dividiendo la probabilidad de la intersecciĂłn de los dos eventos (A y B) entre la probabilidad del evento que ha ocurrido (B):

P(A | B) =

đ?‘ƒ(đ??´đ??ľ) P(B)

De aquĂ­, es posible deducir fĂĄcilmente la fĂłrmula para la intersecciĂłn de dos eventos, la cual se escribe como:

P(AB) = P(A | B) * P(B) En el ejemplo de la carta, ÂżcuĂĄl es la probabilidad de que se saque un 7 (evento A) dado que sabemos que la carta sacada es un corazĂłn (evento B)?

Con lo que ya sabemos, y dada la fĂłrmula de probabilidad condicional, tenemos:

P(A | B) =

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đ?‘ƒ(đ??´đ??ľ) P(B)

=

1 52 13 52

=

1 13

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Con este ejemplo de la carta, podría determinarse esta probabilidad sin necesidad de utilizar la fórmula. Si se tiene en cuenta que se obtuvo un corazón, que hay 13 corazones y que sólo uno de ellos es un 7, podemos 1 determinar que la probabilidad es de .

13 En los negocios, sin embargo, es común que no se tenga la información completa y la fórmula es absolutamente esencial.

Se dice que dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no tiene impacto en la ocurrencia del otro. En caso contrario los eventos son dependientes.

Por ejemplo, suponga que se saca una carta de un mazo y, después, se devuelve al mazo de cartas y se saca una segunda carta. La probabilidad de 4 obtener un 7 en el segundo ensayo es de , sin importar qué se haya 52 sacado en el primer ensayo, porque el mazo es exactamente igual que en el primer ensayo. Ahora compare una situación similar con dos retiros de un mazo de cartas, pero la primera carta no se devuelve al mazo. Ahora sólo hay 51 cartas en el mazo y hay tres o cuatro sietes en éste, dependiendo de cuál haya sido la primera carta obtenida.

Una definición más precisa de la independencia estadística sería la siguiente: el evento A y el evento B son independientes si

P(A | B) = P(A) La independencia es una condición muy importante en la probabilidad, ya que muchos cálculos se simplifican. Uno de ellos es la fórmula para la intersección de dos eventos. Si A y B son independientes, entonces la probabilidad de la intersección es:

P(A y B) = P(A)P(B) Suponga que una moneda legal se lanza dos veces. Los eventos se definen como: A = evento donde el resultado del primer lanzamiento es escudo B = evento donde el resultado del segundo lanzamiento es corona Estos eventos son independientes porque la probabilidad de una cara en el segundo será la misma, sin importar el resultado en el primer lanzamiento.

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Debido a que es una moneda legal, sabemos que hay dos resultados igualmente probables en cada lanzamiento (escudo o corona), por lo que

P(A) = 0.5 y

P(B) = 0.5

Debido a que A y B son independientes,

P(AB) = P(A)P(B) = 0.5(0.5) = 0.25 Por lo tanto, hay una probabilidad de 0.25 de que dos lanzamientos de una moneda resulten en dos escudos.

Si los eventos son independientes, entonces la determinación de probabilidades puede ser un poco más difícil. Sin embargo, los resultados suelen ser muy valiosos para un tomador de decisiones. Un estudio de mercado sobre la apertura de una nueva tienda en un lugar determinado puede tener un resultado positivo, y esto causaría una revisión de la evaluación de la probabilidad de que la nueva tienda tenga éxito.

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