UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACION A DISTANCIA Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Dpto. de Análisis Económico II Paseo Senda del Rey, 11, 28040 Madrid
Macroeconomía IV (código asignatura (43504)) Junio 2005. Nacional, 2º semana El alumno deberá contestar a las cuatro preguntas que se plantean, dos preguntas teóricas y dos problemas. El tiempo disponible es de dos horas.
PROBLEMA 1. Bajo los supuestos establecidos por el modelo de Solow-Swan, y supuesto que la función de producción es Cobb-Douglas, calcular el capital per cápita, de la regla de oro. Calcular también el consumo per cápita y la producción per cápita asociada a ese nivel de capital. -
Tasa de ahorro igual al 15%, ( s = 0,15 ) Tasa de depreciación igual al 1%, ( δ = 0,01 ) Tasa de crecimiento de la población igual al 10%, ( n = 0,10 ) Participación del capital en la función de producción igual al 30%, ( α = 0,3 ) Valor del índice tecnológico igual a 50, ( A = 50 ) SOLUCIÓN
En el modelo de Solow-Swan, el consumo de estado estacionario se calcula como: c* = y * − (n + δ )k *
Por definición, el stock de capital de la regla de oro es aquel que hace máximo el consumo de estado estacionario: Max k
cpo :
c* = y * − (n + δ )k *
dc = 0 ⇒ αAk α −1 − ( n + δ )k = 0 dk αAk α −1 = ( n + δ )k
1
k
oro
αA 1−α = n +δ 1
k
oro
0.3 ×50 1−0.3 = =1120.9 0.1 +0.01
(
y oro = A k oro
)α
y oro = 50(136.36 ) 0.3 = 411
(
c oro = (1 − s ) A k oro
)α
c oro = (1 −0.15) 411 = 349.34
PROBLEMA 2. En el contexto de modelo de crecimiento de Solow y Swan pero con la siguiente función de α 1−α producción: Yt = AK t Gt , donde K representa el stock de capital agregado, y G el gasto público. Calcular las tasas de crecimiento del capital per cápita, la producción per cápita y el consumo per cápita. Para resolver este ejercicio, suponer que el gasto público es financiado mediante impuestos, es decir, Gt = T . Suponer además que la recaudación impositiva es un porcentaje de la producción, es decir, T =τ Y , donde τ es el tipo impositivo. Para responder a esta pregunta utilizar la siguiente información: - Tasa de depreciación igual al 1%, ( δ = 0,01 ) - Tasa de ahorro igual al 5%, ( s = 0,05 ) - Tasa de crecimiento de la población igual al 10%, ( n = 0,1 ) - Participación del capital en la función de producción igual al 30%, ( α = 0,3 ) - Valor del índice tecnológico igual a 60, ( A = 60 ) - El tipo impositivo es igual al 10%, ( τ = 0,1 ) SOLUCIÓN Bajo los supuestos establecidos por el modelo de Solow y Swan, pero considerando la existencia de un gobierno que cobra impuestos, la ley de evolución del capital per cápita viene dada por la siguiente expresión:
k = s (1 −τ ) y − ( n + δ )k donde
τ
es el tipo impositivo.
Y la producción per cápita es la siguiente: y = Ak α g 1−α , donde
g es el gasto público per cápita.
Sabiendo que el presupuesto del gobierno es equilibrado, es decir que el gasto es igual al ingreso tenemos que:
g =τ y Sustituyendo en la función de producción per cápita nos queda la siguiente expresión: 1−α
1/ α
y=A τ α k Sustituimos la expresión anterior en la ecuación que describe el comportamiento del capital per cápita:
k = s (1 − τ ) A1 / ατ
1−α
α
k = s (1 − τ ) A1 / ατ k
k − (n + δ )k
1−α α
− (n + δ )
1−0.3 k = 0.05(1 − 0.1)601 / 0.3 ( 0.1) 0.3 − (0.1 + 0.01) = 176.6 − 0.11 = 176.5 k
y k = y k y =176.5 y
PREGUNTAS TEÓRICAS 1. Comentar cuales son las principales implicaciones del modelo neoclásico de crecimiento de Solow-Swan con relación al tema de convergencia económica entre países. 2. En el modelo de Ramsey se asume que las familias toman sus decisiones de consumo y ahorro de tal forma que maximizan la siguiente función de utilidad: ∞
U (0) = ∫ e −( ρ−n)t ln(ct )dt 0
donde el parámetro ρ , representa el factor de descuento; n es la tasa de crecimiento de la población. ct es el consumo per cápita. A la hora de tomar sus decisiones de consumo y ahorro las familias se enfrentan a la restricción (1) que es su restricción presupuestaria expresada en términos per cápita:
Ct + Bt = wLt + (1 + r ) Bt −1
(1)
donde B representa el ahorro agregado, C representa el consumo agregado, es el salario y representa la rentabilidad del capital.
r
w
Supuesto que ρ > n y que b(0) > 0 , derivar analíticamente le ley de evolución del consumo per cápita, es decir, la ecuación que describe el comportamiento del consumo.
RESPUESTA
Construimos el Hamiltoniano: ∞
H () = ∫ e −( ρ −n )t ln(ct )dt + v ( w + rb − c − nb) 0
derivamos el hamiltoniano respecto a la variable de control, que es el consumo:
∂H 1 1 = 0 ⇒ e − ( ρ − n )t − v = 0 ⇒ e − ( ρ − n )t =v ∂c ct ct
(1)
derivamos el hamiltoniano respecto a la variable de estado, que es b.
∂H = −v ⇒ v (r − n) = −v ∂b
(2)
derivamos la expresión (1) respecto al tiempo:
v = −
1 ( ct ) 2
( ρ − n)e − ( ρ − n)t ct − e − ( ρ − n)t c t
dividimos la expresión (3) por v:
1 ( ct ) 2
(3)
v = v
−
1 (ct )
2
( ρ − n ) e − ( ρ − n )t c t e − ( ρ − n )t e − ( ρ − n )t
(c t ) 2 1 e − ( ρ − n )t ct
1 ct
v = v
1
c t
c − ( ρ − n) − t ct
c = − ( ρ − n) − t ct
(4)
Sustituimos la expresión (4) en (2)
− (r − n) = −( ρ − n) −
γc = γc =
c c
c = (− ρ + n − n + r ) c
c = (r − ρ ) Ecuación que describe el comportamiento del consumo privado. c