Límites y Continuidad

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INDICE INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE LÍMITES DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO LÍMITES LATERALES CÁLCULO DE LÍMITES LÍMITES EN EL INFINITO FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO ÁLGEBRA DE FUNCIONES CONTÍNUAS DISCONTINUIDAD Y SUS TIPOS INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES INICIO Las dos operaciones matemáticas fundamentales del Cálculo son la diferenciación y la integración. Estas operaciones se basan en la determinación de la derivada y la integral definida, ambas basadas a su vez en el concepto de límite. El concepto de límite es una de las ideas fundamentales del cálculo. De hecho, cualquier desarrollo teórico del cálculo se apoya en una amplia utilización de la teoría de los límites.

CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE INICIO Si f es una función definida en un entorno reducido de a, el limite de f cuando x se aproxima (tiende) al punto a lo escribimos como:

Esto nos lleva a dar la definición formal DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE INICIO Sea f una función definida en un entorno reducido de a y L un número real. El limite de una función f(x) cuando la variable x se acerca (tiende) al punto significa que para todo mayor que cero existe un mayor que cero tal que si la distancia de x al punto a es menor que, entonces la distancia de la función f(x) a L es menor que . En lenguaje matemático podemos escribirlo así:

gráficamente lo podemos intentar reproducir así:

Figura 2-1: Aproximaciones a la idea de límite Aqui vemos que:

es decir:

Ejemplo: 1) Demostrar que: Demostración: para demostrar lo que nos piden debemos basarnos en la definición de limite, es decir en la expresión:

donde sustituyendo por los valores dados, nos queda:

veamos: debemos realizar una exploración para ver el posible valor que debe asumir esta la realizamos partiendo de la segunda parte de la expresión, es decir:

y tratando de llegar a la primera parte de dicha expresión, es decir:

asi que operando, tenemos que: Eliminando los parentesis

,

Aplicando Factor Común Aplicando Triangular Despejando Absoluto

Desigualdad el

Valor

donde el resultado es la expresión a la que necesitabamos llegar, para demostrar lo propuesto.

Así que formalmente decimos, que si tomamos un de la expresión, nos queda:

y lo sustituimos en la primera parte

demostrando de manera inversa que realmente, el valor obtenido para que:

es corecto, asi

LÍMITES DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO INICIO En las explicaciones anteriores, se demostró que el límite de una función es un número específico, aplicando la definición de límite. Ahora, estudiaremos una manera más sencilla para encontrar el límite de una función, es decir, utilizando teoremas, cuyas demostraciones se basan en la definición de límite; a estos teoremas asi como a otros relativos a los límites de funciones se les conoce como "Teoremas de Límites".

TEOREMAS. Sea

, a una constante, f(x) y g(x) funciones con límites en el punto

, entonces: TEOREMA 1: "ALGUNOS LÍMITES BÁSICOS" Sean b y c números reales y n un entero positivo. Entonces: 1.2.3.TEOREMA 2: "PROPIEDADES DE LOS LÍMITES" Sean b y c números reales, n un entero positivo y f y g funciones con los siguientes límites.

1.- Múltiplo Escalar: 2.- Suma o Diferencia: 3.- Producto: 4.-Cociente: , con 5.-Potencias:

TEOREMA 3: "LIMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES" Sea p una función polinómica y c un número real. Entonces:

Sean r(x) = p(x)/q(x) una función racional, y c un número real tal que Entonces:

.

Nota: A través de la utilización de cada uno de estos teoremas, los límites pueden calcularse por sustitución directa.

TEOREMA 4: "LIMITE DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS" Sea c un número real en el dominio de la función trigonométrica dada, entoces.

TEOREMA 5: "TEOREMA DEL ENCAJE" Si para todo x en un intervalo abierto que contiene c, excepto posiblemente en el propio c, si

entonces

existe y es igual a L.

TEOREMA 6: "DOS LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS ESPECIALES" 1.2.-

Nota: Para la desmostración de este teorema se utiliza el Teorema del Encaje.

LÍMITES LATERALES INICIO En algunos casos, al estudiar el comportamiento de una función f(x) en las cercanías de un punto a, es conveniente estudiar por separado lo que ocurre a la izquierda y a la derecha del punto, es decir, hallar o estudiar los limites laterales.

DEFINICIÓN: Si al acercarnos por la derecha de a, los valores que toma la función se aproximan a un valor L, decimos que existe el limite lateral derecho de la función en el punto a, es decir que dado:

y se denota como: Límite Derecho

Lateral

ahora, si al considerar el límite de una función, la variable independiente x se restringe a valores menores que un número a, decimos que x se aproxima a a por la izquierda; este límite se llama límite por la izquierda, llevándonos a la siguiente definición.

DEFINICIÓN: Si al acercarnos por la izquierda de a, los valores que toma la función se aproximan a un valor L, decimos que existe el limite lateral izquierdo de la función en el punto a, es decir que dado:

y se denota como: Límite Izquierdo

Lateral

De lo anterior se establece el siguiente Teorema: TEOREMA: La función f(x) tiene limite en el punto a, sí y sólo sí, los limites laterales existen y son iguales, es decir:

Demostración: Utilizando la definición de limite se resuelve de manera sencilla, por lo tanto, esta demostración se deja como ejercicio de practica para el alumno.

Ejemplo: 1) Dada la siguiente gráfica de la función f(x), hallar los limites que se solicitan en el punto dado, en caso de no existir dar una breve explicación:

Hallar el límite cuando x tiende a 1,2, 3 y 4. (Nota: estudiar la función tomando como dominio todos los números reales) Solución: debemos estudiar límites laterales en cada uno de los puntos dados, recordemos que para ello utilizaremos gráfica dada cuya representación pertenece a una función por partes, además aplicaremos el teoremas para este tipo de límites (sustitución directa), veamos:

En x=1; el limite no existe, porque a pesar de existir los limites laterales, estos son distintos.

En x=2; el límite existe y tiene como valor 1, es decir que Observación: Se puede notar que la función no existe en el punto x = 2, sin embargo el límite si existe, debido a que nos importa el comportamiento de la función alrededor del punto más no en el punto mismo.

En x=3; el límite existe y tiene como valor 2, es decir que

En x=4; el límite no existe, porque uno de los limites laterales (el derecho) no existe.

CÁLCULO DE LÍMITES INICIO Hasta ahora, se ha estudiado el límite de funciones de forma numérica y gráficamente. Cada uno de estos procedimientos producen un valor aproximado del límite. En este punto se estudiarán técnicas analíticas para evaluar límites, con el apoyo de los teoremas dados. Lo escencial dentro del cálculo en general es desarrollar el hábito de aplicar el siguiente enfoque desde tres puntos de vista para la resolución de problemas.

1.- Procedimiento Númerico. (Construya una tabla de valores) 2.- Procedimiento Gráfico. (Dibuje una gráfica, a mano o con una calculadora) 3.- Procedimiento Analítico. (Utilice el Álgebra o el Cálculo)

Ejemplo: 1) Sea f definida por:

Hallar si existen, cada uno de los siguientes límites:

Solución: a) Trazando la gráfica tenemos que:

b) Calculado los límites propuestos, tenemos:

Como

, entonces

NO EXISTE

Como

, entonces

EXISTE

Nota: Como podemos ver hemos realizado un análisis detallado del límite de una función por parte donde se integraron los tres elementos antes mencionados.

LÍMITES EN EL INFINITO INICIO Decir que una propiedad es cierta cuando x crece sin cota significa que, para algún número (grande) M, esa propiedad es cierta para todo x en el intervalo {x : x > M }. La próxima definición utiliza este concepto.

DEFINICIÓN: (Límites en el Infinito) Sea L un número real.

1.significa que para cada siempre que x > M.

> 0 existe un M >0 tal que |f(x) - L| >

2.significa que para cada siempre que x < N.

> 0 existe un N <0 tal que |f(x) - L| <

DEFINICIÓN: (Asintota Horizontal) La recta y = L es asintota horizontal de la gráfica de f si:

Nota: De la definición se sigue que la gráfica de f puede tener a lo sumo dos asintotas horizontales, una por la izquierda y otra por la derecha.

TEOREMA: (Límites en el Infinito) Si r es número real positivo y c cualquier número real, entonces:

Para resolver estos limites seguimos los siguientes pasos: i.- Dividimos individualmente los términos de la función, entre la mayor potencia de la variable del limite. ii.- Aplicamos el criterio que nos dice que:

donde a es una constante y n un número real iii.- Obtenemos el valor del limite. Recuerda Nota: cuando hallamos limites infinitos, podemos aplicar la siguiente propiedad:

entonces decimos que: a) Si m < n entonces lim = 0 b) Si m > n entonces lim no existe c) Si m = n entonces lim =

Ejemplo: 1) Determinar el limite de la siguiente función, aplicando los pasos antes descritos para limites en el infinito.

Solución:

Dividiendo numerador y denominador entre la potencia mas alta de x que aparece en el numerador o en el denominador, la cual, en este caso, es Separando el divisor para cada uno de los términos del numerador y denominador.

Realizando la división términos semejantes

para

Aplicando las propiedades de limite

eliminar

Operando los resultados encontramos el valor del limite.

obtenidos

Por lo tanto, el límite de la función dada es igual a cero.

FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO INICIO En matemáticas, el término contínuo tiene el mismo significado que en su uso cotidiano.

Decir que una función es continua en un punto x = c significa que no hay interrupción de la gráfica de f(x) en c, es decir la gráfica allí no tiene saltos ni aberturas, de modo informal, se podría decir que una función es contínua en un intervalo abierto, si se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Augustin-Louis Cauchy introdujo por primera vez el concepto de función continua en 1821. La definición dada en su libro Cours d’Analyse establecía que cambios infinitamente pequeños en Y eran resultado de cambios infinitamente pequeños en X. “… se llamará una función continua si ....…. los valores numéricos de la diferencia de f(x + ) - f(x) decrecen infinitamente con los de …”. Nos queda entonces dar la definición formal de este concepto que es fundamental en el estudio del calculo diferencial.

DEFINICIÓN: Una función f(x) es continua en el punto de las siguientes condiciones:

si se cumplen todas y cada una

i. f(c) esta definida, con c que pertenece al dominio de la función f(x). f(c) existe

ii. Existe un número real L, tal que lim existe

f(c)

iii. Que la función y el límite sean iguales. f(x)

Ejemplos:

=

1) Dada la siguiente función , estudiar su continuidad en c = 2.

Solución: Para estudiar su continuidad debemos comprobar que cumple con las tres condiciones que exige la definición, veamos: i. Debemos comprobar que f(x) existe en c = 2, asi que a través de la sustitución directa lo verificamos.

la función f(x) evaluada en c, EXISTE ii. Debemos ver que existe el limite en el punto c = 2, asi que aplicando limítes tenemos que:

el limite de la función f(x) en c, EXISTE iii. Ahora verificamos que sean iguales: el valor de la función en el punto c=2 es igual al limite de la función en ese mismo punto. la función f(x) es CONTÍNUA en el punto c=2 2) Estudiar la continuidad de la función en c=2.

Solución: Recuerda que debes comprobar las tres condiciones de continuidad. i. f(2) = No Existe. ¿Por qué? ii. ¿Por qué? iii. No se cumple ya que la función existe. ¿Por qué? la función

NO ES CONTÍNUA en el punto c=2

3) Será contínua la función por parte en x=0?

Solución: Si se quiere puede esbozar una gráfica de la función dada, para que tener una mejor visión de la solución, veamos:

Ahora que estamos más claros de como es la función, veamos si cumple las condiciones: i. f(0) = 0, osea que esta definida en el punto. ii. Veamos si existe el , por lo que observamos en la gráfica de la función, este limite se debe calcular a través del estudio de limites laterales, asi que:

. ¿Por qué? iii. No se cumple con las condiciones necesarias, asi que: la función f(x) NO ES CONTÍNUA en el punto x=0 ÁLGEBRA DE FUNCIONES CONTÍNUAS INICIO TEOREMA: si b es un número real, f(x) y g(x) son funciones continuas en x=c, entonces las siguientes funciones también son contínuas en c.

a) Múltiplo Escalar: b.f(x) es continua en c b) Suma y Diferencia: f(x) ± g(x) es continua en c c) Producto: f(x) . g(x) es continua en c d) Cociente: f(x) / g(x) es continua en c. Si g(c)

0

e) Función Compuesta: En particular, si g(x) es continua en c y f(x) es continua en g(c), entonces, (f o g)(x) es continua en c

Demostración: Estas se realizan idénticamente como las de limite, por lo que se deja al lector para que las realice como practica. Otro teorema que surge de lo anterior, es un complemento a lo que estamos tratando.

TEOREMA: Si

y si f(x) es continua, entonces:

Ejemplos: 1) La función f(x) = Ln(sen x) es continua en el intervalo (0, continuas las funciones Ln x y sen x.

2) La función h(x) =

), puesto que allí son

es continua en

Nota: Esto porque -2 y 3 son las raíces del denominador y allí se anula la función, es decir, se hace cero, por ello las excluimos.

Veamos ahora un teorema que nos será de mucha utilidad, y que concierne al comportamiento de funciones continuas en un intervalo cerrado.

TEOREMA: (Valor Intermedio) Si f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] y m es cualquier número entre f(a) y f(b), entonces existe un número c con a < c < b, tal que f(c) = m.

Demostración: en nuestro caso vamos a asumir como cierto dicho teorema.

El teorema de valor intermedio establece que para una función continua, si x recorre todos los valores desde a hasta b, entonces f(x) debe tomar todos los valores intermedios entre f(a) y f(b). Como ilustración sencilla de este hecho, si un niño media 1,50 mts al cumplir 13 años y 1,62 al cumplir 14 años, en algún momento entre esos dos cumpleaños media 1,55. Esto parece razonable, ya que damos por supuesto que la altura de un ser humano varía de forma continua, sin cambios o saltos bruscos.

El teorema de valor intermedio asegura la existencia de al menos un número c en el intervalo [a,b]. Puede, claro está, haber más de uno. Este teorema puede ser útil para localizar los ceros de una función continua en un intervalo cerrado. Específicamente, si f es continua en [a,b] y f(a), f(b) difieren de signo, entonces el citado teorema nos asegura la existencia de al menos un cero de f(x) en dicho intervalo.

Ejemplo: Demostrar que la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo [2,3].

Solución: Debemos recordar que la ó las soluciones de una ecuación son aquellas donde dicha ecuación se hace cero.

Veamos si cumple las condiciones del teorema de valor intermedio y con ello conseguimos la solución o raíz.

1) La función

es continua en [2,3] ¿Por qué?

2)

3) por lo que -5 < 0 < 127, es decir, o esta entre f(2) y f(3) entonces como cumple las condiciones exigidas por el teorema del valor intermedio decimos que: un c, con 2 < c < 3 tal que f(c) = 0, es decir la ecuación posee al menos una raíz en el intervalo [2,3].

DISCONTINUIDAD Y SUS TIPOS INICIO Existen funciones en las cuales no se cumple alguna de las condiciones de continuidad, estas funciones son llamadas DISCONTINUAS. Consideremos un intervalo abierto (a,b) que contiene un número real c. Si una función f esta definida en (a,b) y no es continua en c, se dice que f tiene una discontinuidad en c. Las discontinuidades se distribuyen en dos categorías: evitables y no evitables. Dentro de las no evitables tenemos la infinita y la de salto.

Una DISCONTINUIDAD se denomina EVITABLE en el punto c, cuando el valor de la función evaluada en el punto, es distinta del limite que existe, es decir f(c) lim f(c).

Esta función se puede hacer CONTÍNUA redefiniendo apropiadamente la función en el punto.

Una DISCONTINUIDAD se denomina NO EVITABLE en el punto c, cuando el valor de la función en el punto no existe, es decir f(c) no existe. Esta función no se puede hacer continua en dicho punto.

Ejemplo: 1) Estudiar la continuidad de la función:

en el punto x= 1 Solución: Vamos a realizar una grafica para visualizar la función:

Aquí podemos observar que:

Por lo tanto la función es DISCONTINUA en x = 1, pero posee una discontinuidad evitable ya que el limite existe, por lo que podemos REDEFINIR la función y hacerla continua, veamos:

en x=1 2) Estudiar la continuidad de la función: ,

en x=0

Solución: : Vamos a realizar una grafica para visualizar la función:

Vemos aqu铆 que la funci贸n en el punto x=0, NO EXISTE, por lo que la recta x = 0 (eje Y) es una Asintota Vertical, es decir, tiene una DISCONTINUIDAD NO EVITABLE.