Los radianes y sus aplicaciones

Los radianes y sus aplicaciones

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I N I C I O En esta lectura lo que se pretende es que: sepas lo que es un radián, cómo se transforma a grados, en qué otros temas de trigonometría y otras materias se requiere de su conocimiento y dominio, y sobre todo que de te des cuenta que tiene una gran cantidad de aplicaciones prácticas tiene en la vida real.

I N T R O D U C C I Ó N En nuestra vida diaria hemos oído hablar de satélites, autos, juegos mecánicos, medios de locomoción, parques de diversiones, rayos x, gamma, ultravioleta, ondas de transmisión y muchas cosas más.

Pues bien todos estos conceptos involucran un conocimiento fundamental que es el radián.

Nuestro objetivo será el de responder a preguntas como: 

¿Qué es un radián?



¿Cómo se transforman radianes a grados y viceversa?



¿Cómo interviene en aplicaciones como longitud de arco, área de un sector circular, velocidad lineal, velocidad angular, rumbo, vectores, funciones trigonométricas, etc.?



¿Cómo es que el radián interviene en todos estos conceptos?



¿Cuáles son sus aplicaciones prácticas?

Radianes Los grados sexagesimales, que son los más frecuentes, se utilizan para dividir a la circunferencia en 360 partes iguales. Si colocamos el eje de coordenadas en la circunferencia tendremos que éste coincide con el 90, 180, 270 y 360 grados.

Otra de las medidas de ángulos más utilizada en trigonometría es el radián.

El radián se define como el ángulo que limita un arco cuya longitud es igual al radio del arco. Por tanto, el ángulo, α, completo en radianes de una circunferencia de radio, r, sería: Su símbolo es rad.

La equivalencia entre grados y radianes la podemos observar en la circunferencia, y calcular para cualquier ángulo: Despejamos y obtenemos que:

Medida de ángulos.

Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas se las llama lados y al origen común vértice.

El ángulo es positivo si se desplaza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj y negativo en caso contrario Para medir ángulos se utilizan las siguientes unidades: Grado sexagesimal (°): Si se divide la circunferencia en 360 partes iguales, el ángulo central correspondiente a cada una de sus partes es un ángulo de un grado (1°) sexagesimal.

Un grado tiene 60 minutos (') y un minuto tiene 60 segundos ('').

Radián (rad): Es la medida de un ángulo cuyo arco mide una longitud igual a la del radio.

2

rad = 360° rad = 180°

30º

/3 rad

rad

º

Aplicaciones de la medida en radianes De la definición de la medida en radianes se deduce que la longitud de un arco circular de radio r y ángulo igual a  radianes es:

S=r· 

,

Con S: arco circunferencia, r: radio y  : ángulo en rad Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio unitario ( 2r  2 ), entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2 .

MÁS SOBRE GRADOS Y RADIANES. Los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales y radianes. Un ángulo de 1 radián es aquel cuyo arco tiene longitud igual al radio.

- 360º = 2  radianes (una vuelta completa)- Un ángulo recto mide

 radianes (un cuarto de vuelta) 2

- 180º =  radianes (media vuelta) - Como 180º =  rad, resulta que 1º =

- Un ángulo de 1 radian tiene

180



 180

rad

= 57,29578 grados = 57º 17’ 45”

Para transformar de una unidad a otra, usamos la regla de tres:

180º  rad  ejemplo: 40º a rad  xº y

40º  rad 4 rad 2 rad 180º  rad  y=    180º 18 9 40º y

Ejercicios: Transformar el ángulo de grados a rad: 1) 15º

2) 35º

6) 90º

7) 60º

3) 80º

4) 150º 8) 45º

9) 30º

5) 200º

Transformar el ángulo de rad a grados: 1)

 5

rad

Ejemplo aplicación

2)

 10

rad

3) 3 rad

4)

17 rad 4

Ahora tú 1) ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las cuatro y media en punto? Y a las 10:20 hrs?

2) Halla el radio r de una rueda que gira 300 vueltas por minuto impulsada por una correa que se mueve a 45 m/s.

3) La rueda de un vehículo tiene un diámetro de 90 cm. ¿Cuántas vueltas da aproximadamente por minuto cuando viaja a 120 km/h?

Movimiento circular uniforme (MCU) -Los movimientos descritos por un disco, las manecillas de un reloj, el plato de un microondas..., son buenos ejemplos de movimientos circulares uniformes.

Espacio recorrido y ángulo girado Observemos el dibujo Espacio recorrido y ángulo girado. Un objeto que se traslade desde el punto P hasta el punto Q ha recorrido un espacio s y ha girado un ángulo φ (se lee fi), medido en radianes. Se puede deducir la expresión del espacio recorrido en metros de una forma muy sencilla:

Espacio recorrido y ángulo girado Si gira 2π radianes, es decir, una vuelta completa, recorre 2πr metros, que es la longitud de una circunferencia.

Por tanto, si gira φ radianes, recorrerá s metros. Luego establecemos la proporción: 2π2πr=φs→s=φ·r El espacio recorrido en un movimiento circular uniforme es igual al radio de la circunferencia multiplicado por el ángulo girado, medido éste en radianes.

Velocidad angular Saber más Grados y radianes Los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales y en radianes. El radián (rad) es la unidad del SI empleada para medir ángulos.

La velocidad angular (ω) representa el ángulo girado en cada unidad de tiempo: ω = φ t La unidad en el SI es el radián/segundo (rad/s), pero también se emplean el °/s, la vuelta/min y la r.p.m. (revoluciones o vueltas por minuto).

Existe una relación entre la velocidad angular, ω, y la velocidad lineal, v, del cuerpo que gira. En el dibujo del apartado Espacio recorrido y ángulo girado, si medimos φ en radianes, entonces: s = φ · r Dividiendo ambos miembros por el tiempo, t, obtenemos la relación entre la velocidad lineal y la angular: =φ·rt→st=φt·r→v=ω·r

st

Ley del movimiento en un MCU Un movimiento circular uniforme se caracteriza porque:  

Su velocidad angular, ω, es constante.

El móvil gira ángulos iguales en tiempos iguales.

El ángulo recorrido es igual a la velocidad angular por el tiempo. φ=ω·t Observa que la ley anterior es muy parecida a la ley del movimiento para el MRU: s = v · t.

El movimiento circular uniforme es periódico. De una forma regular, el cuerpo vuelve a ocupar la misma posición. Al tiempo que tarda en concluir una vuelta se le llama período (T).

T=2πRv=2πω La frecuencia (f) es el número de vueltas que da el cuerpo que se mueve en un segundo. Teniendo en cuenta que el cuerpo recorre v metros en 1 s, la frecuencia es igual a: f=v2πR=1T=ω2π Las unidades que le corresponden a esta magnitud son las de s-1 o hercios (Hz)

Noria

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