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Casi todas las cosas que vemos y manipulamos tienen tres dimensiones. Todo va envasado y envuelto, y la fabricación de los envases y envoltorios requiere del cálculo de su capacidad, volumen y superficie. También en el mundo de la tecnología y de la arquitectura es casi imposible entrar en algún ámbito de la vida actual que no requiera estos conceptos. La tarea de dibujar los cuerpos es compleja ya que debemos realizar en un plano las características que tienen los cuerpos en el espacio.
|“CUERPO: es todo objeto que ocupa un lugar en el espacio.” CLASIFICACIÓN Y ELEMENTOS DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS CLASIFICACIÓN Si observamos distintos cuerpos geométricos vemos que unos tienen todas sus caras planas y otros no. Esta diferencia de formas es lo que permite clasificar los cuerpos en: cuerpos poliedros y cuerpos rodantes.
Video Cuerpos geométricos. Elementos y Clasificación
CUERPOS POLIEDROS: son los cuerpos geométricos que tienen todas sus caras planas, es decir polígonos. Se clasifican en Prismas y Pirámides Prisma: Es un poliedro cuyas caras laterales son paralelogramos y las bases son polígonos paralelos e iguales. Los prismas pueden ser: ⌂ Irregulares: ⌂ Regulares: ⌂ Rectos:
Prisma recto triangular regular
sus bases son polígonos irregulares. sus bases son polígonos regulares.
sus caras laterales son rectángulos.
Prisma recto cuadrangular irregular
Prisma recto pentagonal regular
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Prisma recto hexagonal regular
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prisma recto base cuadrada
Pirámide:
prisma de base octogonal
prisma de base trapezoidal
prisma recto cuadrangular regular cubo
Es un poliedro que tiene una sola base y un vértice o cúspide en el que concurren todas las caras menos una, que es la base. Las pirámides pueden ser:
⌂ Irregulares: ⌂ Regulares: ⌂ Rectas:
su base es un polígono irregular. su base es un polígono regular.
sus caras son triángulos isósceles iguales.
pirámide
Pirámide Pirámide recta recta triangular triangular regular regular
Pirámide Pirámide recta recta cuadrangular cuadrangular irregular regular
Pirámide Pirámide recta recta pentagonal pentagonal regular regular
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Pirámide recta hexagonal regular
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CUERPOS REDONDOS O RODANTES: son los cuerpos geométricos que tienen, al menos, una cara que no sea plana y pueden rodar en alguna posición
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esfera
cono
cilindros
ELEMENTOS DE LOS CUERPOS POLIEDROS PRISMA
PIRÁMIDE
arista de la base base arista lateral
vértice o cúspide altura
altura caras laterales
cara lateral base
base
vértice
Base: es la cara que no contiene a la cúspide. Altura: distancia entre la cúspide y la base.
Altura: distancia entre las bases.
CUERPOS RODANTES Cilindro En el cilindro, la longitud de la altura es igual a la longitud de la generatriz.
altura Bases
generatriz
radio de la base
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Cono: . En el cono, la altura junto con el radio de la base y la generatriz determinan un triángulo rectángulo, en el que la altura y el radio son los catetos y la generatriz, la hipotenusa.
vértice altura generatriz
radio de la base
En todos los conos, la generatriz es mayor que la altura.
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base
Esfera:
Es un cuerpo redondo, de rotación. cículos máximos
radio
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POLIEDROS REGULARES
Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polígonos regulares, iguales entre sí. Entre los cuerpos poliedros hay solo cinco poliedros regulares. Son los siguientes: POLIEDRO REGULAR
82 Tetraedro regular:
tiene 4 caras que son triángulos equiláteros iguales.
Hexaedro regular:
tiene 6 caras que son cuadrados iguales.
Octaedro regular:
tiene 8 caras que son triángulos equiláteros iguales.
Dodecaedro regular:
Icosaedro regular:
CARA
tiene 12 caras que son pentágonos regulares iguales.
tiene 20 caras que son triángulos equiláteros iguales.
En todos los cuerpos poliedros se verifica la Propiedad de Euler:
Número de caras + Número de vértices = Número de aristas + 2
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SUPERFICIE LATERAL Y TOTAL La superficie lateral ( SL ) de un poliedro es la suma de la superficie de cada una de las caras laterales. La superficie total ( ST ) de un poliedro es la superficie lateral más la superficie de las bases ( SB ).
CUERPOS POLIEDROS
83
PRISMA
ℓ h
h
Área lateral y total de prismas
Superficie lateral: SL = 6 sup . rectángulo SL = 6 l h
pero 6 . ℓ es el perímetro de la base
SL =
La superficie lateral del prisma es igual al perímetro de la base por la altura del mismo.
SL =
Superficie total:
ST = SL +2 . SB
SB se calcula según el siendo
polígono que corresponda.
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PIRĂ MIDE
h h h base
84
Superficie lateral:
SL = Ă rea lateral y total de pirĂĄmides
Superficie total:
ST = SL + SB
SB se calcula segĂşn el polĂgono que corresponda.
CUERPOS REDONDOS CILINDRO: En un cilindro, la cara lateral es un rectĂĄngulo y sus bases son dos cĂrculos Ă rea lateral y total del cilindro
h r Superficie lateral SL = đ?’‘đ?’†đ?’“Ăđ?’Žđ?’†đ?’•đ?’“đ?’? â‹… đ?’‰
siendo
p = longitud de la circunferencia de la
base SL = 2 ďƒ—ď ° ďƒ— radio de la base ďƒ— h
SL =
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Superficie total: ST = SL + 2. SB
siendo
SB = superficie del círculo de la base
ST = CONO: En un cono, la cara lateral es un sector circular y su base es un círculo círculos 85
base del cono
Sector circular “g” es el radio del sector circular Superficie lateral Para calcular la superficie lateral del cono debemos calcular la superficie del sector circular que se forma al desplegar el cono (ver figura). La longitud del arco del sector circular es igual a la longitud de la circunferencia que es base del cono, es decir 2 r . La generatriz del cono es el radio del sector circular. Por lo tanto, la superficie lateral del cono es igual a la superficie del sector circular. SL =
longitud del arco del sec tor circular radio 2
SL =
longitud de la circunferencia de la base generatriz 2
SL =
2 r g 2
Video área lateral y total del cono
donde
g 2 = r 2 + h 2 por aplicación del Teorema de Pitágoras
r : el radio de la circunferencia de la base
SL =
siendo
g : la generatriz del cono
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Superficie total: ST = SL + SB
siendo SB la superficie del círculo de la base
ST =
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ESFERA La esfera no tiene lados ni base, por lo tanto no tiene superficie lateral pero sí tiene superficie total llamada superficie esférica. Los cuerpos estudiados hasta ahora se podían desarrollar porque su superficie estaba formada por segmentos, como, por ejemplo, la generatriz del cono. Sobre una esfera es imposible encontrar un segmento. Por esto, es imposible recortarla para desarrollarla en forma plana y calcular, de esa manera, su superficie. La obtención de la fórmula de la superficie de la esfera requiere de conocimientos que se estudiarán en cursos superiores. Por lo tanto, aceptaremos sin demostración que la superficie esférica se obtiene mediante la fórmula:
Superficie esférica = VOLUMEN DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS
Video superficie esférica
VOLUMEN: es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo.
Serie de Videos Volumen de cuerpos solidos
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VOLUMEN DE LOS CUERPOS POLIEDROS
Analizar la siguiente situación y responder: Cada cubito del prisma tiene 1 cm de arista. Con los datos del gráfico, ¿cuántos cubitos se necesitan para llenar el prisma?
4 7
3
En la base del prisma hay ............... cubitos porque la superficie de la base del cuerpo es ............................................. 87 Si en la base del prisma hay .............. cubitos, para llenarlo, hay que multiplicar por........................ porque la altura del cuerpo es ................... Cantidad de cubitos para llenarlo = ........... . ........... porque la superficie de la base es ............................. y la altura ...................... Respuesta:
Se necesitan .................... cubitos para llenar el prisma, por lo tanto El volumen del prisma es ...........................................
VOLUMEN DEL PRISMA En la situación anterior, la cantidad de cubitos necesarios para llenar el prisma es el volumen de ese cuerpo. Por lo tanto: Volumen del prisma = 7 cm . 3 cm . 4 cm superficie de la base
altura
Volumen del prisma = sup erficie de la base altura Para cualquier prisma:
Volumen del prisma = SB . h VOLUMEN DEL CUBO En el caso del cubo, todas sus aristas son iguales. Por lo tanto aplicando la fórmula del volumen del prisma, resulta: Volumen del cubo = sup erficie de la base altura Profesoras Mariana Bovi e Irene Quadarella
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Volumen del cubo = a 2 a donde a = arista (lado)
Volumen del cubo = VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE 88 Para obtener la fórmula para calcular el volumen de la pirámide, vamos a comparar la capacidad de este cuerpo con la de un prisma recto de igual base y altura que la pirámide.
Actividad:
Se construyen en cartulina los siguientes cuerpos:
- Una pirámide abierta de base cuadrada y de altura h (envase de papas fritas). - Un prisma recto sin tapa, que tenga la misma base y la misma altura que la pirámide. Se llena la pirámide con arena, o con arroz o con aserrín y se vuelca el contenido en el prisma. La experiencia prueba que, para llenar el prisma, se necesita volcar tres veces el contenido de la pirámide. Como conclusión, decimos que el volumen del prisma es tres veces el volumen de la pirámide, o bien, que el volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma recto de igual base e igual altura. Volumen de la pirámide =
1 sup erficie de la base altura 3
Volumen de la pirámide =
SB . h
VOLUMEN DE LOS CUERPOS REDONDOS VOLUMEN DEL CILINDRO Si a un prisma regular, se le aumenta cada vez más el número de caras, se obtiene una figura geométrica plana que se aproxima a un cilindro. Profesoras Mariana Bovi e Irene Quadarella
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Esto nos indica que para calcular el volumen de un cilindro podemos utilizar la fórmula del volumen de un prisma.
Volumen del prisma = sup erficie de la base altura Volumen del cilindro = sup erficie del círculo altura
Volumen del cilindro =
VOLUMEN DEL CONO Para calcular el volumen del cono se debe realizar un procedimiento similar al del volumen del prisma.
Se construye un cilindro de igual base e igual altura que el cono.
La experiencia demuestra que para llenar el cilindro se necesitan tres conos.
Por lo tanto, el volumen del cono es la tercera parte del volumen del cilindro. Volumen del cono =
1 volumen del cilindro 3
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Volumen del cono =
VOLUMEN DE LA ESFERA
Para determinar el volumen de la esfera, se compara el volumen de una semiesfera de 90
radio igual al radio y a la altura de un cono.
Se verifica, a través de la experiencia, que para llenar el volumen de la semiesfera se necesitan dos conos.
Volumen de media esfera = 2 . volumen del cono Volumen de media esfera = 2 .
1 r 2 r porque h = r 3
Podemos concluir que la relación entre el volumen de una esfera y de un cono de igual altura y radio que el radio de la esfera es:
Volumen de la esfera = 2 . volumen de media esfera Volumen de la esfera = 2 . 2 .
1 r 3 3
Volumen de la esfera =
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MEDIDAS DE VOLUMEN Medir es comparar un objeto con una unidad del mismo tipo que se utiliza como patrón. Cuando se miden longitudes se utiliza como patrón el metro (m), al medir superficies se usa el metro cuadrado (m2) porque es la medida de dos dimensiones. Para medir volúmenes la unidad que se utiliza es el metro cúbico (m3) porque los cuerpos tienen tres dimensiones. 91
Recordar:
La unidad de Volumen es el metro cúbico (m3) que es el volumen que ocupa un cubo de un metro de arista.
Un decímetro cúbico es el volumen que ocupa, un cubo de un decímetro de arista.
Un centímetro cúbico es el volumen que ocupa, un cubo de un dcentímetro de arista.
UNIDADES DE VOLUMEN MÚLTIPLOS kilómetro cúbico
UNIDAD
hectómetro decámetro cúbico cúbico
metro cúbico
SUNMÚLTIPLOS decímetro centímetro cúbico cúbico
milímetro cúbico
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
1000 000 000 m3
1000 000 m3
1000 m3
1 m3
0,001 m3
0,000001 m3
0,000000001 m3
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Recordemos que: 1) Para pasar de una unidad de volumen a otra inmediatamente inferior, hay que multiplicar por 1.000. 2) Para pasar de una unidad de volumen a otra inmediatamente superior, hay que dividir por 1.000.
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EQUIVALENCIAS ENTRE MEDIDAS DE CAPACIDAD Y VOLUMEN En las etiquetas de algunas gaseosas o en envases de tetra brik, aparece el volumen que contienen estos cuerpos, expresados en cm3. Por ejemplo: Si volcamos el contenido de una caja de 500 cm3 (500 cc) en una jarra de 1 litro, vemos que se necesitan dos cajas para completar el volumen de la jarra. 1 litro = 500 cm3 + 500 cm3 1 litro = 1.000 cm3 1 litro = 1 dm3
Las equivalencias entre las unidades de volumen y las de capacidad son:
Ejercicio:
VOLUMEN
1 m3
1 dm3
1 cm3
CAPACIDAD
1 kℓ
1ℓ
1 mℓ
Completar: a)
3 ℓ =................... cm3 4
b) 1.500 cm3 = ..................... ℓ
c) 250 cc = .................. ℓ
d)
Equivalencia entre volumen y capacidad Profesoras Mariana Bovi e Irene Quadarella
1 ℓ = ........................ cm3 2
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FÓRMULAS PARA RECORDAR SUPERFICIES LATERALES, TOTALES Y VOLÚMENES Perímetro base . h (h de las caras) Si el cuerpo tiene vértice, se divide por 2.
Cuerpo
Superficie lateral, más superficie de 1 ó 2 bases.
Nombre
Superficie Lateral
Superficie Total
Prisma
Perímetro base . h
Superficie lateral + 2 superficie de las bases
2
4 . l2 + 2 . l2 =
Superficie base . h (h del cuerpo) Si el cuerpo tiene vértice, se divide por 3.
Volumen
Sup base . h
a3
Cubo
4.l
Pirámide
per base . ap cara 2
Cilindro
2.r.h
2 . r. h + 2 . r2
. r2 . h
Cono
.r.g
. r . g + . r2
.r 2.h
6 . l2
Superficie lateral + superficie de la base
sup base . h 3
3
Esfera
------------
4 . . r2
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4 . .r 3 3
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