Unidad 1. Números Reales by Mariana Bovi

Unidad 1: NĂşmeros Reales

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2°AÑO A Y B Secundario UNIDAD N°1: NUMEROS REALES

UNIDAD N°1: NÚMEROS RACIONALES El conjunto de los números racionales está formado por todos aquellos números que pueden expresarse como el cociente entre dos números enteros, con denominador distintos de cero.

Pasaje de expresión decimal a fracción Expresión decimal finita:

0, 4  ............................ 0, 25  ..........................

Expresión decimal infinita periódica:

0, 2  ......................................... 3,15  ........................................

2, 054  .....................................

Operaciones con fracciones Suma:

1 3   .................................... 2 5

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3 5   .................................... 4 8

Resta:

Multiplicación:

4  15  .     ............................. 3 8

 1 5    :  ..............................  2 6

División:

Potenciación La potenciación de un número fraccionario es igual a la potencia del numerador y a la potencia del denominador. Recordemos que la potencia es el producto repetido tantas veces como indica el exponente. n

a a a a an a    . . ........  n b b b b b b n veces

a  base b n  exp onente

2 1 1 1     2 9 3 3 2

4    .................................... 7 3

2    ..................................... 3 2

RECORDEMOS

0, 2  ......................................

 Debemos aplicar la Regla de los Signos.  Si el exponente es un número par, el signo de la base es SIEMPRE …………………………………………………………………………..  Si el exponente es un número impar, el signo de la base ……………………………………………………………………………

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Ejercicio N°1: Calcular las siguientes potencias a ) 0, 22 

 3 b)      4



d )  0,33 



g ) 1, 6 

2 e)    5

h)  1, 25   3

4 2

c) 0,3 



 2 i)      3

f )  1, 2   2

Propiedades: m

mn

mn

Producto de potencias de igual base:

a a a   .     b b b

Cociente de potencias de igual base:

a a a   :     b b b n

 a  m   a  m .n        b    b 

Potencia de potencias:

Distributiva respecto del producto:

a c  a  .    b d  b m

Distributiva respecto del cociente:

c .  d  m

a c a  c   :     :  b d  b d 

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Ejemplos: Producto de potencias de igual base:

2   3 7

2 2 .     3 3

2 3

 2     .......................  3

Cociente de potencias de igual base:

2   3

 2 :    .................................................  3

Potencia de potencias:

 1 3      .......................................................  2  

Distributiva respecto del producto:

3 2  .   ......................................................... 5 7

Distributiva respecto del cociente:

3 7  :   ......................................................... 5 2

Ejercicio N°2: Resolver aplicando las propiedades potenciación

1 b)   5

8

 3  2   3  4 c )     .      4    4 

10 4  2   2   d )    .       7   7  

2 2 a)   .    3 3

1 :   5

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Exponente Negativo Si el exponente es negativo, la potenciación se aplica al inverso multiplicativo de la misma. Es decir:

a   b

n

b   a

6 2

 2     3 3

 4     5

 3

3



4

 1     2

 2 

2



31 

Ejercicio N°3: Unir las potencias iguales

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Radicación La radicación de un número fraccionario es igual a la raíz del numerador y a la raíz del denominador. n

a na  b nb

a  radicando b n  índice

25 25   ............................. 64 64

1  ........................................... 8

3,375  .....................................

RECORDEMOS

 Si el índice es un número impar, el signo de la raíz ……………………… ………………………………………………………………………………..  Si el índice es un número par y el radicando es positivo, el signo de la raíz tiene ……………………..…………………………………………..  Si el índice es un número par y el radicando es negativo, la raíz ……………………………………………………………………………

Ejercicio N°4: Calcular las siguientes raíces

49  25

b) 0,36 

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c) 0, 4 

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d) 3 

8  125

81  16

e) 0, 0049 

f ) 2, 7 

h) 3 0, 000027 

i) 4 0, 0081 

8 Ejercicio N°5: Calcular los ejercicios combinados a)

2 1 3 5  c)  32   :      2  3 7 2 6 

 2  0, 4  .0, 4  5 : 2  0, 22 

2

b) 0,83  0,9. 1  0, 6   7 : 4 



1  3 3   1  .  2    1    2  32  8  3

Propiedades: a m.n a  b b

Raíz de otra raíz:

m n

Distributiva respecto del producto:

a c na n c .  . b d b d

Distributiva respecto del cociente:

a c na n c :  : b d b d

Ejemplos: Raíz de otra raíz:

1 1  3.2  ................................. 64 64

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Distributiva respecto del producto:

1 9 .  ............................................. 4 16

Distributiva respecto del cociente:

1 16 :  ............................................. 4 9

Ejercicio N°6: Resolver las siguientes operaciones a)

1  625

1 1 .  25 10000

1 :4  100

9 64  729

4 16 .  9 25

27 1000 :  125 27

Simplificación de Potencias y Raíces Sólo se puede simplificar las potencias y las raíces cuando éstas son múltiplos. n

1    ................................  3

 2    ................................  5

a a a n  n       b b b

 a n a a  n      b  b  b

Ejercicio N°7: Resolver las siguientes operaciones combinadas 6

1 a) 3    2

2 b)   3

4



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2°AÑO A Y B Secundario UNIDAD N°1: NUMEROS REALES 6

 1 c)  3    4

 1 d )     5

QR1

QR2

Actividad:Realiza las actividades planteadas en los QR1 y QR2.

Representación gráfica en la Recta Numérica Pasos a seguir:    

Dibujamos la recta numérica. Marcamos sobre la misma recta las unidades. Trazamos una semirrecta auxiliar desde el origen y la dividimos en tantas veces como indica el denominador de la fracción. Unimos el último punto de la semirrecta con la unidad y trazamos segmentos paralelos en cada uno de los puntos, determinando así la fracción que deseábamos ubicar.

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Ejemplo: Graficar

3 4

Ejercicio N°8: Graficar:

3 2 5 2 5 8 ; ; ;  ;  ;  4 5 2 3 3 5

Con el siguiente QR verifica los ejercicios realizados en la actividad N°8 con GeoGebra

Existen tres tipos de fracciones: las fracciones propias, impropias y aparentes.

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Fracciones propias:

El numerador es menor que el denominador y representan números menores que un entero. Ejemplos:

Fracciones impropias:

1  0, 25 4

1   0,125 8

El numerador es mayor que el denominador y representan números mayores que un entero. Ejemplos:

Fracciones aparentes:

2  0, 4 5

3 1  1  1,5 2 2

7 1   1  1,75 4 3

13 3  2  2,6 5 5

El numerador es múltiplo del denominador y representan números enteros. Ejemplos:

6 2 3



30  6 5

56 7 8

Fracciones propias

1 2

1 4

3 8

Fracciones impropias

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3 7 1  4 4

1 3 1  2 2

Fracciones aparentes

4 1 4

2 1 2

8 2 4

NÚMEROS IRRACIONALES Hasta ahora trabajamos con números racionales. Además de ellos existen los números irracionales, surgidos de resolver la radicación, cuando la razón no es exacta.

Los números irracionales son aquellas expresiones decimales con infinitas cifras decimales no periódicas, que no pueden expresarse como el cociente entre dos enteros.

2  1, 414213562... 3  1, 732050808...   3,141592654... e  2, 718281828...

Representación gráfica de los Números Irracionales También los números irracionales se representan en la recta numérica. Para representarlos se debe recurrir a los triángulos rectángulos. Profesoras Mariana Bovi e Irene Quadarella

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Por ejemplo, para calcular el punto que representa el número siguientes pasos:

2 se realiza los

Paso 1: construir sobre la recta numérica un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1unidad de ancho 1unidad de alto y vamos a llamar “x” a la hipotenusa.

Paso 2: aplicar el Teorema de Pitágoras como sigue: 14

Paso 3: la medida de la hipotenusa tiene como valor

2 , luego con la ayuda de un compás

2 de la siguiente manera. Con tu compás toma la dimensión de la hipotenusa, que en este caso es 2 , y toma como centro el cero. podemos representar en la recta el valor de

Luego trazas un arco de circunferencia y el punto de corte con la recta numérica será el valor de

2 (longitud desde el punto cero al punto P).

Así podemos representar exactamente

2 en la recta numérica.

Ejercicio N°9: Graficar los siguientes números irracionales

3,  2,  7

Con el siguiente QR verifica los ejercicios realizados en la actividad N°9 con GeoGebra

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NÚMEROS REALES Números Naturales (N+) 0 (cero) Números Negativos (N-)

Números Enteros (Z) Números Fraccionarios

Números Racionales (Q) Números Irracionales (I)

Números Reales (R)

El conjunto de los Números Reales (R) es la unión de los Números Racionales (Q) y los Números Irracionales (I).

Intervalos Reales El conjunto de los números reales es denso (entre dos números reales hay infinitos números reales) y completo (incluye o abarca a otros conjuntos infinitos: a los números naturales, a los números enteros y a los números racionales), por lo tanto es imposible determinar todos los números comprendidos entre dos reales cualesquiera. Para ello recurrimos a las distintas formas:

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Lenguaje coloquial

Lenguaje simbólico

Intervalo

x / x  R  a xb

 a; b 

x / x  R  a  xb

 a; b 

x / x  R  a x  b

 a; b

x / x  R  a  x  b

 a; b

x / x  R  a  x

 a;  

Todos los números reales mayores o que a.

x / x  R  a x

 a;  

Todos los números reales menores o iguales que b.

x / x  R  x  a

 ; a 

Todos los números reales menores que b.

x / x  R  xa

 ; a 

Todos los números reales mayores que a y menores que b. Todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b. Todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b. Todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. Todos los números reales mayores o iguales que a.

Representación en la recta

Ejemplo: Representar gráficamente, escribir el intervalo y simbólicamente los siguientes conjuntos de números reales. a) b) c) d) e) f)

Todos los números reales mayores que -2 y menores que 5. Todos los números reales mayores que 0 y menores o iguales que 6. Todos los números reales mayores o iguales que -5 y menores que 1. Todos los números reales mayores o iguales que 2 y menores o iguales que 7. Todos los números reales mayores que 3. Todos los números reales menores o iguales que -1.

Ejercicio N°10: Representar en la recta cada uno de los siguientes intervalos. Profesoras Mariana Bovi e Irene Quadarella

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a) 0;4 

b)  3 x  1

c)  ;2

d ) x  7

Ejercicio N°11: Escribir el intervalo representado en cada recta numérica.

-8

-3

-9

-4

Ejercicio N°12: Escribir en lenguaje simbólico los siguientes intervalos.

a)  1 ;  0,5

c) 0,5 ; 1

b)  0 ;  

d )   ;  1,5 

APROXIMACIÓN Hay ocasiones en las que no se necesita trabajar con muchas cifras decimales, y se puede aproximar el números a las unidades que interese en cada caso. Para aproximar un número se suelen utilizar dos técnicas: truncamiento y redondeo. En ambas técnicas tenemos que conocer a qué unidad hay que aproximar: centésimas, décimas, etc.…

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Aproximación por truncamiento Para truncar un número se eliminan las cifras que están a la derecha de la unidad a la que debemos truncar. Dado el número 84,5732

Truncar a los décimos

nos queda 84,5

Truncar a los centésimos

nos queda 84,57

Truncar a los milésimos

nos queda 84,573

Aproximación por redondeo Para redondear un número a una unidad determinada, debemos fijarnos en la cifra inmediatamente posterior (la que le sigue) y: a) si es mayor o igual que 5 (5, 6, 7, 8, 9) se aumenta en uno la cifra anterior. b) si es menor que 5 (0, 1, 2, 3, 4) se deja la cifra igual. Dado el número 84,5739 Redondear a los décimos

nos queda 84,6

Redondear a los centésimos

nos queda 84,57

Redondear a los milésimos

nos queda 84,574

Ejercicio N°13: Aproxima, por truncamiento y redondeo, a los décimos, centésimas y milésimos estos números decimales:

Decimal

Truncar a los décimos

Truncar a los centésimos

Redondear a los décimos

1,41423562… 2,23606797… 3,14622776…

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Redondear a los centésimos

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NOTACIÓN CIENTÍFICA Investiga en Internet las siguientes preguntas: a) ¿Quién tiene mayor masa: el Sol, la Tierra o la Luna? b) ¿Qué distancia hay entre el Sol y la Tierra? ¿Y entre la Tierra y la Luna? Expresen el resultado en metros. c) ¿Cuánto puede medir una célula y una neurona? Expresa los resultados encontrados en metros. d) ¿Cuánto es el diámetro de un protón? Expresa el resultado en metros. La matemática ha desarrollado una forma de escritura de números que permite escribir números grandes en una forma más simple: la Notación Científica.

La Notación Científica puede definirse como el producto de un número (comprendido entre el 1 y 9) y una potencia de 10.

Algunas de las potencias de 10 que conocemos son:

101  10 102  100 103  1 000 104  10 000 105  100 000

1  0,1 10 1 102   0, 01 100 1 103   0, 001 1 000 1 104   0, 0001 10 000 1 105   0, 00001 100 000

101 

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¿Cómo transformar un número a notación científica?

5000  5 . 1000  5 . 103 2 1 0, 02   2.  2 . 102 100 100 270 000  2, 7 . 100 000  2, 7 . 105 18 1 0, 0000018   1,8.  1,8 . 106 10 000 000 1 000 000 453 000 000  4,53 100 000 000  4,53 . 108 728 1 0, 00000000728   7, 28.  7, 28 . 109 100 000 000 000 1 000 000 000

Consigna

Cantidad expresada en notación tradicional

Masa de la Luna (en kg)

73490000000000000000000 kg

Masa de la Tierra (en kg)

5972200000000000000000000 kg

Masa del Sol (en kg)

198910000000000000000000000000 kg

Distancia entre el Sol y la Tierra (en km)

150000000 km

Longitud de una célula (en metros) Longitud de una neurona (en metros) Diámetro de un protón (en metros)

0,0000000034 m 0,0001 m 0,000000000000000000000000017 m

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Cantidad expresada en notación científica

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Cómo usar la calculadora en notación científica Para expresar un número en notación científica se emplea la tecla (EXP) o (x10x). Esta tecla equivale a “multiplicar por 10 elevado a una cierta potencia”.

Por ejemplo para escribir este número en la calculadora 3,1.105

Pulsamos las siguientes teclas:3 [.] 1 [EXP] 5 [=] El resultado que nos aparece en la pantalla será 310 000 Ahora escribiremos 2,5 x 10-7 2 [.] 5 [EXP][-] 7 Diferencia entre los Modos FIX, SCI y NORM de la calculadora:

Modo FIX: aproxima por redondeo a (0 - 9) decimales.

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Modo SCI: expresa un número en notación científica con (0 - 9) dígitos. Modo NORM: ˜1: muestra todos los decimales y expresado en notación científica. ˜2: muestra todos los decimales de un número.

La Notación Científica puede utilizarse en las Operaciones Algebraicas Básicas que conocemos: Suma, Resta, Multiplicación y División. Por ahora vamos a realizar multiplicación y división.

Para multiplicar números en notación científica debemos:

200 000 . 40 000   2.105  .  4.104    2.4  . 105.104   8 . 109 Para dividir números en notación científica debemos:

0, 000000006 : 2 000   6.109  :  2.103    6 : 2  . 109 :103   3 . 106

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TRABAJO PRÁCTICO N°1

1) Transformar a fracción irreducible las siguientes expresiones. a) 0,55  ..........

e) 0, 2  ..........

i)  2,31  ..........

b)  0,32  ..........

f )  0, 25  ..........

j)  1,16  ..........

c) 1, 4  ..........

g ) 0,16  ..........

k ) 4, 235  ..........

d )  10, 6  ..........

h) 2, 4  ..........

l ) 0, 253  ...........

2) Resolver las siguientes sumas y restas. 2 1  1  3 2 5 1 b)    2  3 5

3 4 3    10 5 2 5 2 7 d)     6 3 12

3) Resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones. 3 4  1 a)  . .     2 9  5

5  2 1 :   .  4  3 2

5 15  3  b)  . :     3 2  4

d) 

12  20   10  :    .    5  9  3

4) Separar en términos y resolver los siguientes cálculos.

8  11  d ) . 1    0,5.4,5  5  2

3 3 13  0, 2.   4 2 5

1  10  3 b) .     1, 2.  5  3 2 7 13 c)  : 0, 25   0,3  8 4





4 e)  0, 02.15  : 1  1,3  5 21 3 f)  . 2, 2  0,3  0,12  3 10

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



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5) Resolver de dos maneras diferentes, aplicando propiedades, cuando sea posible. 2

2 2 a)   :  3 3

4 9 .  25 36

1 1 b)  .   2 2

9 f)    4 4

1

 3  2  c )      2  

121 36 :  4 9

9 1  16

 3 1 d)     2 3

6) Resolver aplicando propiedades, cuando sea posible. 1

 3  2  5  3  a )   .      5   3  

4  2  2 1   3  f )   : 0, 6  :     3    2 

 2  2  2  3   2 8 b )   .    :     3   3    3    1  7  1  4   1  2  c)   :    :   .4    4   4    4    1 1  1 3 2  1 d )   :   .3  : 3   3   3   27 e)

81  3  .  16  2 

1

3 7 5 5. 5  3   3  3 g )   .    11  3 3  4  4 3

3

8. 10  1     5 5

1

712  2

2 2       3

25 i) 8  2 3   2 

2

2 :   3

318  3  1 j ) 10     3  33  9 729 2

7) Resolver en forma fraccionaria.

2  4  a)   0, 4  : 31    0, 6  : 5  3  5 

1 5  3  c) 1  : 2 2   1, 08 :   5 24  8 

2

25  2 b) 0, 2 :  0, 016      0,3  3  3

8 2 .0,15  0, 26  1  0, 25   7

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3

41 4  e)  : 0, 48  1  0,5   16 5  f) g)

 0,17  0,3 : 5 : 83   2  76  .5

  3

4

 3 21 : 16 

 8 3

2

1



:2  3

1  1  1  3  2 1 h)    : 8 :    :  2     1   4  3 2  2  

8  3  16     . .3  1 27  8  9    1   2 3 :   2   1 :  2  7       

  1 1   2    3   1 .   2     81  2  3  1 625 2  3 1 1 5

2. 3 :

1



3

  1 3 4    0, 25  .  0,5  .  2   4 1  65   3 0,5. 3 0, 25  k)  1  81   1 1    .    3 12   

 

14   1   . 0,3 15.3   l) 3,93

1



 0,5

1

2 2 .  2 : 0,3   3  .  3,5  1    3 1 3. 08.  2,5  . 5

8) Responder V o F según corresponda. a) El 0 es un número entero. 1 b) es una fracción, y por lo tanto pertenece a los irracionales. 2 El 2 es un número racional porque pertenece al conjunto de los racionales. c) Las raíces cuadradas inexactas son todos números irracionales. Profesoras Mariana Bovi e Irene Quadarella

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 pertenece a los racionales, pues es una fracción. 2

e) f) g) h) i)

Todos los naturales son números reales. Todos los reales son números naturales. Los enteros negativos son números naturales. Los números naturales pueden tener como máximo 20 cifras. 5,4 es un número racional.

26 9) Ubicar en la recta numérica los siguientes números reales. 1, 

1 4 , , , 3 2

3, 5,

9 , 0,  2, 2, 4 2

10) Colocar dentro de cada conjunto, los números que le pertenezcan.

3;  2; 1, 22;

1 3 ; 2,1;  ;  ; 2 4

1; 9;

8 5 ;  ;  0,5; e 4 6

R Q

I Z

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11) Representar en la recta cada uno de los siguientes intervalos.

a)  2;5

c)  1;  

b) 0  x 3

d) x  4 27

12) Escribir el intervalo representado en cada recta real.

-1

-3

-8

-1

13) Colocar V o F según pertenezca o no pertenezca.

a) 3   2,5

c) 3  3,5

e)  3   3,5

b)  3   2, 4

d )  3   3,3

f ) 2   2,5

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14) Completar el cuadro. Lenguaje coloquial

Lenguaje simbólico

Intervalo

Representación en la recta

Todos los números reales mayores que 3 y menores o iguales que 5.

-1

x / x  R  7  x  10

 2;1 Todos los números reales mayores que 2.

x / x  R  3  x4  ;5

15) Aproximar las expresiones decimales y fracciones. Expresión fraccionaria

Expresión decimal

Aproximación por truncamiento a los centésimos

16 125

0,625 627 500 5,3

3 200 16) Unir con una flecha cada número con su notación científica. Profesoras Mariana Bovi e Irene Quadarella

Aproximación por redondeo a los centésimos

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

a ) 520 b) 0, 0052 c) 52 000 d ) 520 000 000 e) 0, 000000052

    

29 17) Escribir los siguientes números expresados en notación científica. a) 8.102 

e) 4.105 

b) 7.106 

f ) 3, 7.101 

c) 9,3.109 

g ) 7, 6.108 

d ) 6,318.108 

h) 8, 752.107 

18) Escribir cada número en notación científica y resolver las operaciones. a ) 72 000 000 . 20 000 . 0, 00005  b) 160 000 . 0, 0000003 . 9 300 000  51 200 000 . 350 000 c)  0, 000032 . 0, 02 0, 0000006 . 240 000 d)  0, 00005 360 000 000 . 240 000 e)  0, 0000000015 . 1 200 000 0, 0000000036 . 235 000 000 f)  2 000

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RESPUESTAS 11 20 1 g) 6

8 25 22 h) 9

2) a)

7 6

b) 

3) a)

2 15

4) a) 

5) a)

3 5 3 f) 2

6) a)

7 15 5 h)  12

7) a)

8) a) V

52 15

7 6

b) F

c) 

g) 0

15 16

c) 

4 9

b) 

d) 

c) 1

1 16

7 4

6 35 c) V

53 5 7 j)  6

77 12

d) 

121 36

d ) 27

h)  72

i) 2

10 9 7 k)  8 d) 

c) 2 j) 

d) V

13 20 e) F

25 99

19 75

18 5

1 16

g) 

3 4

d) 

4 9

2 9 4193 k) 990

d) 

50 3

131 60

2 3

7 5 104 i)  45

b) 

1) a)

f)V

97 10

e) 

1 5

41 15

3 2

11 4

469 90

5 4

27 8 2 j) 3

13 8

7 10 2 m) 7 f)

l )  14

g) F

10)

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h) F

i) F

1 3 3 n) 8

j) V

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R Q

1, 22 Z

1 2

 0,5

2,1



2

3 4

 5 6



8 4

1 9

11) a)

c) 2

1

d) 0

12) a)  1;3 13) a) V

b)  6;   b) V

c) F

c)  ; 3 d) V

d )  8; 1 e) F

f)V

14) Lenguaje coloquial

Lenguaje simbólico

Intervalo

Todos los números reales mayores que 3 y menores o iguales que 5.

x / x  R  3 x  5

 3;5

Todos los números reales mayores que -1.

x / x  R  x  1

Todos los números reales mayores o iguales que 7 y menores o iguales que 10.

x / x  R  7  x  10

Todos los números reales mayores que -2 y menores que 1. Todos los números reales mayores que 2.

x / x  R  2 x1

Representación en la recta

 1;   -1

7;10 7

-2

x / x  R  x 2

x / x  R  2 x  5

 2;1  2;  2

Todos los números reales mayores que 2 y menores o iguales que 5.

 2;5

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2°AÑO A Y B Secundario UNIDAD N°1: NUMEROS REALES

Todos los números reales mayores o iguales que -3 y menores que 4.

x / x  R  3  x4

Todos los números reales menFJ ores o iguales que 5.

x / x  R  x  5

-3

 3; 4   ;5 5

15)

Expresión fraccionaria

16 125 5 8 627 500 16 3 3 200

Expresión decimal

Aproximación por truncamiento a los centésimos

Aproximación por redondeo a los centésimos

0,128

0,12

0,13

0,625

0,62

0,63

1, 254

1, 25

5,3

5,33

0, 015

0, 01

0, 02

16) a) 520  5, 2 . 102

b) 0,0052  5, 2 . 103

d ) 520 000 000  5, 2 . 108 17) a) 800 e) 0,00004

b) 7 000 000 f ) 0,37

18) a) 7, 2 . 107

b) 4, 464 . 105

e) 4,8 . 1016

f ) 4, 23 . 102

c) 52 000  5, 2 . 10 4

e) 0,000000052  5, 2 . 10 8 c) 9.300.000.000 g ) 0,000000076 c) 2,8 . 1019

d ) 631.800.000 h) 0,0000008752 d ) 2,88 . 103

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