apostila: física 4b by marianna schmidt

Universidade Aberta do Brasil Universidade Federal do EspĂrito Santo

FĂsica

Licenciatura 1

A Mecânica Quântica e a Relatividade, desde quando começaram a serem estudadas, têm despertado grande interesse e também mitos. Neste curso iremos tratá-las de uma forma introdutória, mas que nos proporcionará conhecer do que se tratam realmente estas teorias. Inicialmente estaremos estudando qualitativamente e quantitativamente o conceito da dualidade onda-partícula, tanto para as ondas eletromagnéticas quanto para a matéria. No último capítulo estaremos estudando a Relatividade Restrita, onde não podemos confundir com a Relatividade Geral, que não será abordada neste curso.

UNIVERSIDADE F EDER AL DO ESPÍR I TO SAN TO Núcleo de Educação Aberta e a Distância

Rosilene de Sá Ribeiro Vitória 2012 3

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Ribeiro, Rosilene de Sá. Física 4B / Rosilene de Sá Ribeiro, Carlos Augusto Cardoso Passos. - Vitória : UFES, Núcleo de Educação Aberta e a Distância, 2012. 123 p. : il.

ISBN: 978-85-8087-057-2 1. Física. I. Passos, Carlos Augusto Cardoso. II. Título. CDU: 53

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apresentaĂ§ĂŁo

Os conceitos que iremos tratar neste livro, a princípio, são novos e de grande complexidade, pois estaremos introduzindo teorias que não podemos observar no nosso cotidiano e que ainda não foram estudadas em cursos anteriores. Porém, como vocês poderão notar no decorrer do curso, são teorias fascinantes e que irão fornecer uma nova visão do mundo que vivemos. Iremos incialmente dar uma abordagem diferente para a luz, ou melhor, para as ondas eletromagnéticas. Diferentemente da abordagem feita pela disciplina de Física IVA, onde se estudou a ótica e ondas eletromagnéticas, esta disciplina, Física IVB, irá tratar as ondas eletromagnéticas não mais como ondas, mas sim como partículas. Ou seja, estaremos vendo a dualidade onda partícula. Em seguida iremos abordar a matéria como uma onda. Conceitos de Mecânica Quântica serão introduzidos, discutidos e aplicados sem grande aprofundamento, pois um estudo mais detalhado não faz parte desta disciplina, que trata de uma introdução aos conceitos. Após ter sido introduzido os princípios básicos da Mecânica Quântica, iremos estudar um pouco sobre Movimento Relativo e Relatividade Restrita. O livro está dividido em cinco capítulos. O primeiro capítulo aborda o comportamento corpuscular para a luz baseado em experimentos que comprovam tal comportamento. O segundo capítulo estuda o comportamento ondulatório da matéria, ou seja, partículas que possuem massa, dentro de certas condições, apresentam um comportamento ondulatório. Ou seja, os dois primeiros capítulos abordam a dualidade onda-partícula tanto para as ondas eletromagnéticas quanto para a matéria. Os capítulos, três e quatro, irão fornecer as aplicações da teoria ondulatória para a matéria. Por fim, no capítulo cinco será abordada a Relatividade Restrita. No decorrer de cada capítulo vocês irão encontrar alguns exercícios resolvidos a fim de fixar o aprendizado. Por fim, gostaria de agradecer a cooperação do prof. Dr. Carlos Augusto Cardoso Passos pela contribuição do capítulo sobre Relatividade Restrita, que foi de sua autoria.

Dra. Rosilene de Sá Ribeiro

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Até o momento temos estudado a luz e todo o tipo de radiação eletromagnética somente como ondas, abordando os fenômenos da reflexão, refração, interferência e difração. Vários experimentos podem comprovar o comportamento ondulatório da luz. Porém surgem outras comprovações experimentais que somente podem ser compreendidas se a luz for tratada não como onda, mas sim como fluxo de partículas. Neste momento estamos iniciando o estudo da dualidade onda-partícula. Mais adiante iremos ver que também as partículas, em determinadas circunstâncias, também possuem um comportamento ondulatório. Ou seja, tanto a radiação possui a dualidade onda-partícula quanto a partícula comporta-se também como uma onda.

O Efeito Fotoelétrico O Efeito Fotoelétrico é um experimento que comprova o conceito da quantização da energia à natureza da radiação. Ele consiste no fato de ao incidirmos luz a uma frequência v, suficientemente alta, em uma superfície metálica, a luz arrancará elétrons desta superfície. Mas por que a teoria ondulatória clássica falha ao explicar este experimento? E por que, somente com a teoria quântica conseguimos explicá-lo? Sabemos que na teoria ondulatória a intensidade da radiação é proporcional ao quadrado do campo elétrico, ou seja, I ∝ E 2da onda luminosa, isto implica que se aumentarmos a intensidade aumentaríamos o campo elétrico e como consequência aumentaríamos também a força elétrica sobre os elétrons no material, F=eE. Este efeito forneceria aos elétrons arrancados do material uma energia cinética maior. Porém, isto não é observado, pois a energia cinética máxima adquirida pelo elétron independe da intensidade. O efeito fotoelétrico somente pode ser explicado a partir do momento que Einstein propôs que, em certas circunstâncias, a energia da radiação estivesse concentrada em pacotes localizados, estes pacotes de energia foram denominados fótons. Outro problema que surge no efeito fotoelétrico é que, de acordo com a teoria ondulatória, os elétrons poderiam ser arrancados do material em qualquer faixa de frequência incidente, desde que a luz incidente fosse suficientemente intensa. Entretanto experimentos demonstraram que existe uma frequência de corte, que independente da intensidade, o efeito fotoelétrico não ocorre caso a frequência seja menor que esta frequência de corte. A explicação também veio da quantização da energia proposta por Einstein. Por fim, na teoria ondulatória deveria haver um intervalo de tempo para que o átomo absorvesse energia o suficiente para depois ejetar o elétron. Durante este intervalo de tempo o elétron deveria ir acumulando energia até conseguir ter energia suficiente para escapar do átomo. Este retardo do tempo nunca foi observado. Porém, considerando que a energia esteja concentrada em pacotes, ou seja, quantum de energia chamado de fóton, a energia suficiente para arrancar o elétron da placa metálica é fornecida concentrada num pacote. Nas próximas seções iremos detalhar o efeito fotoelétrico e também a teoria de Einstein sobre o fóton.

FÍSICA 4B

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O Efeito Fotoelétrico A figura 1.1 mostra um esquema típico para estudar o efeito fotoelétrico. O experimento consiste em incidirmos luz, a uma determinada frequência em uma placa metálica chamada de Emissor, esta luz consegue fornecer energia suficiente ao elétron ao ponto de arrancá-lo do material. Após arrancá-los, os elétrons são coletados em uma placa conhecida como coletora. Neste momento é estabelecida uma diferença de potencial entre as duas placas, a emissora e a coletora. Estes elétrons, agora chamados de fotoelétrons são detectados através de uma corrente fotoelétrica i. Na figura 1.1 vemos também que existe uma bateria com uma diferença de potencial Vext , a tensão que os elétrons “sentem” é a soma algébrica das duas diferenças de potenciais, ou seja, V = Vext + Ventre as placas

Observa-se que ao reduzirmos Vext a zero, a corrente fotoelétrica não cai a zero, esta ocorre porque os elétrons são emitidos com velocidades não nulas. Porém, ao mudarmos a polaridade da bateria podemos aumentar suficientemente esta diferença de potencial até que a corrente fotoelétrica caia a zero. A este valor de tensão V0, em que a corrente fotoelétrica caia a zero, dá-se o nome de potencial de corte. A energia cinética máxima dos fotoelétrons emitidos com maior velocidade é dada, portanto por: K máx = eV0

1.1

Sendo e a carga do elétron.

Feixe de Luz Placa Emissora

Placa Coletora

µA V

Figura 1.1 14 |

DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA PARA LUZ

Potenciômetro

Bateria

Observa-se experimentalmente que mesmo aumentando a intensidade da luz incidente o potencial de corte permanece inalterado, consequentemente a energia cinética máxima do elétron. Outro fato observado experimentalmente é que existe uma frequência de corte bem definida correspondendo a um potencial de corte nulo, como podemos ver na figura 1.2. V0

α φe

tanα = h e

Figura 1.2

A teoria de Einstein sobre o Fóton Ao contrário da teoria ondulatória, em que se considera que a energia esteja espalhada uniformemente sobre as frentes de onda, Einstein propôs que a energia das ondas eletromagnéticas estivesse concentrada em pacotes, sendo estes pacotes de energias denominados fótons. Ele propôs que a energia de um fóton fosse dada por: E = hv

1.2

Sendo v a frequência da luz e h a constante de Planck, onde h=6,63×10-34 J.s. Em 1921 Einstein recebeu o prêmio Nobel de Física por aplicar a sua teoria ao Efeito Fotoelétrico. Ele supôs que um único fóton com energia hv, incidindo sobre uma placa metálica, fosse capaz de fornecer energia suficiente a um único elétron para que ele fosse arrancado da placa e adquirisse energia cinética. A energia necessária para arrancar o elétron da placa é denominada função trabalho φ , a energia restante é convertida em energia cinética do elétron. Podemos expressar esta teoria pela equação: hv = φ + K máx

1.3

Analisando a equação 1.3 podemos ver que se a energia cinética for zero, a energia do fóton será capaz apenas de arrancar o elétron da placa não tendo nenhuma energia restante para ser convertida em energia cinética, ou seja, não haverá corrente fotoelétrica. Outra observação é que cada material possui uma energia FÍSICA 4B

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mínima para que possamos arrancar os seus elétrons, ou seja, a função trabalho é diferente para diferentes materiais, logo não é qualquer fóton que será capaz de arrancar os elétrons, isto implica que existe uma frequência mínima de corte. Mesmo que incidam vários fótons com frequências menores que a frequência de corte eles não conseguirão arrancar o elétron da placa. Substituindo a equação 1.1 na equação 1.3 podemos reescrevê-la da seguinte forma: h φ  V0 =   v −   e  e 

1.4

Nesta equação 1.4 podemos notar que a tensão de corte é linear com a frequência e que o coeficiente angular desta reta é he , que concorda perfeitamente com os experimentos.

Exemplo 1.1

Potencial de corte, Vcorte ( V )

Determine a função trabalho do sódio a partir dos dados experimentais da figura abaixo (Os dados foram obtidos por R. A. Milikan em 1916). Visível

Ultravioleta

3,0 a

Frequência de corte, f 0

2,0 1,0

(

Frequência da luz incidente, f 1014 Hz

)

A frequência de corte v0 pode ser determinada através dos dados experimentais observando o valor da frequência quando V0=0. Na equação 1.3, a frequência de corte ocorre quando a energia cinética for zero, ou seja, toda a energia do fóton que foi transferida para o elétron foi suficiente somente para arrancá-lo do material. Logo, a função trabalho é dada por:

solução

φ = hv0 = 6,66 × 10 −34 × 5,5 × 1014 φ = 3,6 × 10 −19 J = 2, 3 eV 16 |

DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA PARA LUZ

O Efeito Compton Vimos que o Efeito Fotoelétrico abrange radiações na faixa do visível e ultravioleta. Porém, no efeito Compton, os experimentos envolvem radiações na faixa dos raios-X. Compton descobriu em 1923 que os comprimentos de onda dos raios-X, após serem espalhados pelos elétrons, mudavam. Devido a esta descoberta, em 1927, Compton recebeu o prêmio Nobel de Física. Uma das diferenças entre o efeito fotoelétrico e o efeito Compton é que, no efeito fotoelétrico toda a energia do fóton é transferida para o elétron enquanto que no efeito Compton apenas uma parte da energia do fóton é transferida para o elétron. Quando se estudou a difração dos raios-X usando como rede de difração um sólido, pois a distância entre os átomos da amostra era da ordem de grandeza do comprimento de onda dos raios-X, não foi possível explicar apenas com a teoria ondulatória da luz o fato dos raios-X emergentes possuírem diferentes comprimentos de onda. A explicação somente pôde ser realizada após a introdução do conceito de fótons, ou seja, da quantização da energia. Em 1923, Compton descobriu que estes raios-X emergentes, após uma colisão com átomos, mudavam o seu comprimento de onda. A explicação proposta por Compton foi que na colisão entre os fótons e os elétrons do átomo além de ser transferida energia era também transferido momento linear. Na experiência original de Compton, um feixe de raios-X, de comprimento de onda∆λ , incide sobre um alvo de grafite, como mostra a figura 1.3. β S + P

Raios X primários

θ = 0° M

θ = 45°

Raios X

θ = 90°

bloco de carbono

θ = 135° λ 0

0,04

Figura 1.3

0,08A

FÍSICA 4B

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Para vários ângulos de espalhamento mediu-se o comprimento de onda do feixe espalhado, logo foi possível obter a intensidade dos raios-X após a colisão com os elétrons. Os dados experimentais obtidos por Compton mostraram que embora o feixe incidente contenha apenas um comprimento de onda∆λ , os feixes espalhados apresentavam picos de intensidade em dois comprimentos de onda. Podemos ver na figura 1.3 que para os ângulos 450, 900 e 1350 temos dois picos de intensidade, sendo que o primeiro dos picos coincide com o ângulo de 00. Ou seja, para cada ângulo de espalhamento temos um comprimento de onda temos um comprimento de onda que coincide com o comprimento de onda do feixe incidente, cujo ângulo é de 00, e um outro feixe cujo o comprimento de onda é maior comparado com o comprimento de onda do feixe incidente. A distância entre os dois picos de intensidade é chamada de deslocamento de Compton, ∆ λ . Podemos observar que este deslocamento varia com o ângulo de observação do feixe emergente. De acordo com a teoria ondulatória, os raios-X emergentes deveriam ter o mesmo comprimento de onda, visto que os elétrons ao absorverem energia do fóton deveriam oscilar com a mesma frequência e irradiar ondas eletromagnéticas também na mesma frequência, tal qual acontece nas antenas de rádio. Porém, experimentalmente isto não é observado. Compton propôs que o feixe incidente não se comportava como uma onda, mas sim como partículas. Ou seja, um conjunto de fótons com energia E=hv colidia com os elétrons livres transferindo parte de sua energia, a energia restante permanecia com os fótons espalhados, por esta razão os raios-X espalhados possuíam menor energia logo maior comprimento de onda. Os elétrons neste caso podem ser considerados livres por estarmos tratando de elétrons na última camada eletrônica, ou seja, fracamente ligados ao núcleo, sendo esta energia de ligação muito menor comparada à energia do fóton incidente. A fim de obtermos o deslocamento de Compton em função do ângulo de espalhamento vamos analisar quantitativamente o que ocorre na colisão entre um fóton e um elétron de acordo com a figura 1.4.

Figura 1.4 18 |

DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA PARA LUZ

elétron livre

fóton incidente

on o fót sviad de θ

ϕ elétron desviado

Como foi visto, a energia de repouso do elétron é mc2 , sendo m a massa do elétron e c a velocidade da luz. Como o elétron, após ser atingido pelo fóton, pode adquirir velocidades próximas à velocidade da luz, a energia cinética usada deverá ser a energia cinética relativística, que é   1 K = mc 2  − 1  1− v 2  (c)  

1.5

Pelo princípio da conservação da energia temos então: Ei = E f hv + mc 2 = hv ′ + mc 2 + K

Sendo c= ∆λ v e c= ∆λ’v’ temos,   1  − 1 h = h + mc  1− v 2  λ λ′ (c)   c

1.6

Resta-nos analisar a conservação do momento linear durante esta colisão. De acordo com a teoria eletromagnética clássica, a energia e o momento de uma onda eletromagnética estão relacionados por E=pc, o momento de um fóton está então relacionado ∆λ p = Ec = hvc = p = λh . O momento ao seu comprimento de onda por linear do elétron deverá ser o momento linear relativístico que é p = mvv 2 , logo, pela conservação do momento linear tedado por: 1− ( c ) mos, de acordo com a figura 1.4: Conservação da componente x do vetor momento linear: pix = p fx h

λ′

cos θ +

mv 1− ( vc )

cos ϕ

1.7

Conservação da componente y do vetor momento linear: piy = p fy

λ′

senθ −

mv 1− ( vc )

senϕ

1.8

FÍSICA 4B

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Nas equações 1.7 e 1.8 o ângulo θ é o ângulo que o feixe emergente faz com o eixo-x e o ângulo ϕ é o ângulo que o elétron, após a colisão, faz com o eixo-x. Nas três equações 1.6, 1.7 e 1.8 temos cinco variáveis, são elas ϕ e v referem, θ , λ , λ ′e v, como ϕ se ao elétron e como na experiência de Compton não se analisa o comportamento do elétron, vamos eliminá-las entre as equações. Fazendo isso, e após algum algebrismo, chegamos a: ∆λ = λ ′ − λ =

1.9

h mc

(1 − cos θ )

Na equação 1.9 o termo mc h é conhecido como comprimento de onda de Compton, você pode verificar que este termo tem dimensão de comprimento! Observem também que o deslocamento de Compton independe do comprimento de onda do feixe incidente. Medidas do deslocamento de Compton como função do ângulo de espalhamento tem sido confirmadas experimentalmente, confirmando com isso a natureza corpuscular da luz, ou seja, o conceito do fóton.

Exemplo 1.2 Um fóton de raios-X de comprimento de onda de 6 pm colide frontalmente com um elétron, de tal modo que o fóton espalhado sai na direção oposta à do fóton incidente. O elétron está inicialmente em repouso. a) Quanto maior é o comprimento de onda do fóton espalhado em relação ao comprimento de onda do fóton incidente? b) Qual é a energia cinética do elétron recuado?

solução

a) Através da equação 1.9 podemos encontrar o aumento no comprimento de onda do fóton e com isso o novo comprimento de onda, ou seja: ∆λ = λ ′ − λ =

h mc

(1 − cos θ )

λ ′ − λ = 2, 43pm (1 − cos180° ) ∆λ = λ ′ − λ = 4,86pm

O comprimento de onda do feixe espalhado é, portanto 6 pm + 4,86 pm = 10,86 pm ∆λ = λ ′ = −λ = 4,86pm

20 |

DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA PARA LUZ

b) Usando a conservação da energia podemos encontrar a energia cinética do elétron após a colisão, para isto basta calcularmos a energia do fóton incidente e subtrairmos da energia do fóton emergente, a energia restante é a energia adquirida pelo elétron. Temos então: K e = Ei − E f K e = hv − hv ′ = Ke =

λi

−

λf

1240 eV . nm 1240 eV . nm − 6 pm 10,86 pm K e = 93 keV

FÍSICA 4B

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Vimos no capítulo anterior que as ondas eletromagnéticas possuem comportamento corpuscular, mas também se comportam como ondas, como foi visto em Óptica Geométrica e Ondulatória. Neste capítulo iremos estudar o comportamento ondulatório das partículas, como por exemplo, o comportamento ondulatório do elétron. Ou seja, tanto as ondas eletromagnéticas comportam-se como matéria em determinados casos como a matéria comporta-se como ondas em algumas situações. Estamos acostumados a tratar a matéria somente como matéria, que para a maioria dos casos, como construções de edifícios, jogos de futebol têm a completa descrição através da física macroscópica. Porém, no mundo microscópico observamos em alguns casos um comportamento diferente que não mais pode ser descrito pela física clássica. Quando se estudou a interferência e a difração das ondas eletromagnéticas vimos que somente era possível explicar o observado, que foram os padrões de interferência e a difração, se considerássemos a radiação eletromagnética como ondas. Vimos que a ótica geométrica não mais podia explicar tais observações. Ou seja, a observação dos efeitos da interferência e da difração na radiação veio, na época, comprovar os efeitos ondulatórios da radiação. Para podermos provar se as partículas possuem comportamento ondulatório nada mais coerente do que observarmos o seu comportamento ao serem lançadas através de uma fenda dupla ou através de uma abertura circular, por exemplo. Pois, se ao serem lançadas apresentarem figuras de difração ou interferência poderemos intuir que as partículas possuem um comportamento ondulatório. O que se observou é que realmente os elétrons possuem tal comportamento ondulatório, pois, ao serem lançados através de uma fenda dupla esperava-se que na tela de observação aparecessem apenas duas linhas, visto que são partículas que possuem massa, mas isto não ocorreu, o que se observou foi uma figura de interferência como ocorre nas ondas eletromag24

néticas. Vamos agora comparar as figuras de difração de ondas eletromagnéticas em relação à figura de difração dos elétrons. A figura 2.1 mostra uma foto do resultado do experimento quando um feixe de raios-X atravessa uma fina folha de óxido de Zircônio. Os anéis claros são resultantes das interferências construtivas das ondas de raios-X. A figura 2.2 ilustra a difração dos elétrons em cristais de ouro. Em 1937, Davisson e Germer (USA) e G. P. Thomson (Escócia) ganharam o prêmio Nobel por realizarem a difração de elétrons. Estes cientistas foram impulsionados pela difração dos raios-X para começarem a pesquisar a possibilidade da difração dos elétrons.

Figuras 2.1 e 2.2 Fonte: Eisberg e Resnick, 1994

A partir da comprovação do comportamento ondulatório do elétron, mais tarde, foram feitos experimentos com os nêutrons e prótons e novamente foram observados padrões de difração. Porém, quanto mais pesadas forem as partículas mais difícil será para observarmos estes padrões de difração. A comprovação da dualidade onda-partícula impulsionou o desenvolvimento da Física Quântica uma vez que a Mecânica Newtoniana e o eletromagnetismo de Maxwell não mais conseguiam descrever o comportamento microscópio.

O Comprimento de Onda de De Broglie Antes da comprovação experimental sobre a difração de partículas, um físico francês Louis de De Broglie, baseado, a princípio, na simetria da natureza, propôs em 1924 a dualidade onda-partícula para a matéria. De Broglie imaginou que, como a radiação parecia apresentar uma dualidade onda-partícula, por que a matéria não poderia apresentar um comportamento ondulatório visto que tanto a radiação quanto a matéria são formas de energia? Baseado nesta indagação, De Broglie sugeriu que uma partícula livre com momento linear p estivesse associada a ela uma onda senoidal de comprimento de onda λ e que esta associação fosse dada através da equação: 2.1

λ=

h p

Sendo h a constante de Planck. De acordo com a equação 2.1, este comprimento de onda λ seria o comprimento de onda da partícula livre que é chamado de comprimento de onda de De Broglie desta partícula. A equação 2.1 já nos é familiar, pois, já a estudamos no capítulo anterior, porém em outro contexto, naquele momento estávamos estudando a própria radiação, sendo o comprimentoλ de onda da radiação e p o momento linear do fóton. Para a frequência da onda associada ao elétron, De Broglie usou a equação de Einstein que relaciona a frequência e a energia de um fóton: 2.2

E h

No exemplo a seguir iremos notar que estas equações, mesmo podendo ser aplicadas a qualquer matéria, não se aplica a objetos macroscópicos, pois, como já sabemos, para observarmos o efeito da difração o orifício deve ter no mínimo a ordem de grandeza do comprimento de onda e neste exemplo veremos que o comprimento de onda de De Broglie para uma partícula de 1μg é tão pequeno que torna-se impossível obter qualquer obstáculo ou abertura desta dimensão. Ou seja, uma partícula minúscula de 1μg é considerada como uma partícula de grande massa para que possamos observar os efeitos da difração.

26 |

DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA PARA MATÉRIA

Exemplo 2.1 6 Encontre o comprimento de onda de De Broglie de1uma de × 10 −partícula g −6 se movendo a uma velocidade de 1 × 10 m s .

solução

Usando a equação 2.1 e sabendo que a constante de Planck é, 6,63 × 10 −34 J .s, após substituirmos os dados fornecidos temos:

λ=

h p

(

6,63×10−34

)(

1×10−9 1×10−6

)

λ = 6,63 × 10 −19 m

Na solução acima usamos o momento linear do elétron p=mv, não sendo necessário usar o momento linear relativístico visto que a velocidade é bem pequena. Convertemos também todas as quantidades para as unidades do sistema internacional, sendo m = 1 × 10 −6 g = 1 × 10 −9 kg. Este comprimento de onda é muito pequeno para ser observado, além disso, seria até o momento impossível observarmos os efeitos da difração, pois não conseguiríamos obter orifícios com aberturas nesta dimensão. Para objetos maiores o comportamento é completamente inobservável.

Comprovação Experimental da Hipótese de De Broglie Anteriormente já havíamos comentado ligeiramente sobre o experimento feito por Davisson-Germer sobre a difração e interferência de ondas associadas ao elétron como um estímulo para o estudo que estaria por vir. Agora estamos aptos para estudarmos detalhadamente tal experimento que veio a comprovar a teoria proposta por De Broglie. Em 1927, C. J. Davisson e L. H. Germer acidentalmente observaram a difração de elétrons. Na época, quando trabalhavam nos Laboratórios Bell Telephone, após uma pane acidental no sistema de vácuo, eles tiveram que aquecer o alvo para remover uma camada de óxido que havia acumulado, como consequência observaram que a intensidade dos elétrons espalhados como função do ângulo de espalhamento mostravam máximos e mínimos. Eles observaram a difração do elétron acidentalmente. A partir daí eles começaram a investigar este fenômeno, agora com um alvo monocristalino de níquel. Na figura 2.3 temos a FÍSICA 4B

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forma esquemática do aparato utilizado por Davisson e Germer, nele os elétrons são acelerados por uma diferença de potencial V e o feixe de elétrons, cuja energia cinética é eV, incide sobre um cristal de níquel. O feixe disperso, que faz um ângulo φ com o feixe incidente, incide então em um detector. A figura 2.4 mostra um padrão típico observado. Existe um grande espalhamento com um máximo em um ângulo de 50° (figura 2.4). Sabemos que o ângulo de espalhamento a partir de um cristal depende do comprimento de onda da onda incidente e do espaçamento dos átomos no cristal. A partir do conhecimento do espaçamento dos átomos do cristal de níquel Davisson e Germer puderam calcular o comprimento de onda que poderia produzir os máximos observados e o resultado obtido concordava com o comprimento de onda proposto por De Broglie para a energia do elétron utilizada. Ou seja, Davisson e German sabiam que a distância entre os átomos de níquel era D=215pm, logo, sendo esta situação muito parecida com a reflexão da luz numa rede de difração, foi possível utilizarem a equação: mλ = D senφ

para calcularem os máximos da difração observada. Para m=1, que corresponde a um máximo de difração de primeira ordem, eles obtiλ = 165 pm, sendo que o valor veram um comprimento de onda igual a esperado para um elétron com energia de 54 eV, que foi a energia utilizada no experimento, a partir da teoria de De Broglie era de 167pm, concluindo com isso a concordância entre a teoria e a experiência. A experiência foi reproduzida várias vezes com elétrons com diferentes energias, logo com diferentes comprimentos de onda, com isso conseguiram produzir outras figuras de difração. Em todos os casos, os comprimentos de onda medidos concordaram com a hipótese de De Broglie. “Canhão” de elétrons

Detector de elétrons Feixe incidente

Feixe disperso

Figura 2.3 28 |

DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA PARA MATÉRIA

+54 V

Electron scatlering peak at 50 50

Nickel cristal

Figura 2.4

No mesmo ano que Davisson e Germer demonstraram a natureza ondulatória do elétron G. P. Thomson, filho de J. J. Thonson, observou a difração do elétron através de um método um pouco diferente. A experiência de Thomson consistiu em incidir um feixe de elétrons em uma fina placa de alumínio e através de um filme fotográfico, colocado paralelo ao alvo, foi possível observar as figuras de difração. As figuras 2.5 e 2.6 mostram o que foi registrado por Thomson. Notamos na figura 2.5 que a mancha central do feixe aparece circundada por anéis resultantes da difração do elétron. Na figura 2.6 temos um padrão de difração para os raios-X, podemos notar que são bem parecidas. A energia do feixe de elétrons incidentes foi escolhida de modo que o comprimento de onda de De Broglie fosse igual ao comprimento de onda dos raios-X utilizados.

Figuras 2.5 e 2.6

FÍSICA 4B

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Exemplo 2.2 Os reatores nucleares são geralmente projetados de modo que um feixe de nêutrons de baixa energia emerge após passar através de um cilindro de grafite na parede de blindagem. Após muitas colisões com os átomos de carbono, os nêutrons entram em equilíbrio térmico entre si, à temperatura ambiente de 293 K. Estes nêutrons são denominados nêutrons térmicos. a) Determine o comprimento de onda de De Broglie mais provável num feixe de nêutrons térmicos. b) Suponha que esses nêutrons incidam sobre um cristal C, cujo espaçamento entre os planos de Bragg seja d=0,304nm. Uma intensa difração de Bragg de primeira ordem é observada com nêutrons de comprimento de onda λ p quando o ângulo de espalhamento de Bragg é θ . Determine θ . solução

a) Considerando que as velocidades dos nêutrons apresentam-se segundo a distribuição de Maxwell para as velocidades, podemos demonstrar que o valor mais provável para o comprimento de onda de De Broglie do feixe é dado por:

λp =

h 5mkT

Onde k é a constante de Boltzmann e h a constante de Planck. Temos então: 6,63 × 10 −34 λp = 5 (1,67 × 10 −27 )(1, 38 × 10 −23 ) ( 293)

λp = 1,14 × 10 −10 m b) A fórmula de Bragg para a difração dos raios-X é dada por: 2dsenθ = mλ

(m = 1,2, 3,... )

 (1) (1,14 × 10 −10 )   mλ p  −1  = 10,8º θ = sen   = sen  2 × 0, 304 × 10 −9   2d    −1

30 |

DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA PARA MATÉRIA

A função de Onda Em cursos anteriores já vimos como representar vários tipos de ondas, como por exemplo, ondas em uma corda em que podemos representar a perturbação ondulatória pelo deslocamento transversal y, estando a onda se propagando em x. Vimos também que uma onda sonora pode ser representada através da variação da pressão sofrida pelo meio ao qual a mesma se propaga. As ondas eletromagnéticas por sua vez podem ser representadas através do campo elétrico associado. E as ondas de matéria? Como poderemos representá-las? Para ondas que representam partículas foi introduzida uma função de onda Ψ, se conhecermos a função Ψ( x , y, z, t ) em qualquer lugar do espaço e em qualquer tempo poderemos saber tudo sobre a partícula. Uma onda de matéria, assim como uma onda luminosa é uma onda de probabilidade. A função Ψ, em muitos casos e principalmente nas situações abordadas aqui, pode ser separada, ou seja, podemos separar as variáveis espaciais da variável temporal. A forma mais usual de procedermos é a seguinte: Ψ( x , y, z, t ) = ψ ( x , y, z )e − iωt

2.3

Na equação acima ω é a frequência angular da onda de matéria. Como podemos notar na equação 2.3, a função de onda é uma função complexa. Matematicamente um número complexo é i = −1. Na funescrito da forma a+ib sendo a e b números reais e 2 ção de onda a grandeza que possui significado físico é ψ que é a densidade de probabilidade, que é sempre uma grandeza real e positiva. Max Born propôs que o quadrado da função de onda em qualquer ponto fosse interpretado como a probabilidade por unidade de volume de que a partícula esteja naquele ponto, ou seja, se dV é um elemento de volume localizado em um ponto de coordenadas x, y e z, então a probabilidade da partícula ser encontrada naquele elemento de volume em um determinado instante t é proporcional a Ψ 2dV . Desta forma, a probabilidade de encontrarmos a partícula em algum lugar em todo o espaço é de 100%. Matematicamente temos:

∫

∞

−∞

Ψ 2dV = 1

2.4

A equação 2.4 é a condição de normalização, que significa que devemos multiplicar a função de onda por um fator constante a fim de satisfazer a condição 2.4, desta forma estaremos normalizando FÍSICA 4B

| 31

a função. Mas como dever ser a função de onda para um problema específico? Como por exemplo, para descrever o elétron orbitando em torno do núcleo do átomo de Hidrogênio? Ou para descrever um elétron se movendo em um fio condutor? Ou até mesmo um próton se movimentando em um acelerador de partículas? Em 1926, Erwin Schrodinger pensou que como a ótica geométrica é um caso particular da ótica ondulatória, visto que a luz se movimenta em linha reta quando não encontra obstáculos da dimensão de seu comprimento de onda, será que a mecânica Newtoniana à qual as partículas livres movimentam-se em linha reta (raios) não seria também um caso particular de uma mecânica ondulatória muito mais geral? Baseado nesta suposição e também inspirado pela teoria de De Broglie, Schrodinger propôs a seguinte equação: 2.5

−

2 ∂Ψ ( x , t ) h2 ∂ Ψ ( x , t ) + U ( x ) Ψ ( x , t ) = i 2 ∂x ∂t 2m

A equação 2.5 é a equação de Schrodinger dependente do tempo em uma dimensão, como era de se esperar, é uma equação diferencial parcial no espaço e no tempo, como ocorre com as equações de ondas mecânicas e eletromagnéticas. Esta equação não pode ser deduzida e sua validade encontra-se na concordância com as experiências. Como podemos separar as partes espaciais da parte temporal a equação de Schrodinger independente do tempo em uma dimensão pode ser escrita da forma: 2.6

∂ 2ψ ( x ) 8π 2m + 2  E − U ( x ) ψ ( x ) = 0 ∂x 2 h

Observem que na equação 2.5 usamos a letra grega psi maiúscula, que representa a função de onda dependente do espaço e do tempo, enquanto que na equação 2.6 usamos a letra grega psi minúscula, que representa a função de onda dependente somente do espaço. Na equação 2.6, que representa a equação da onda associada à partícula, podemos observar que a partícula move-se ao longo do eixo-x e que a mesma não está livre, ou seja, sobre a partícula atua uma força, visto que ela possui uma energia potencial U(x) dependente da coordenada espacial, que neste caso é x, sendo E a energia mecânica total (energia cinética mais energia potencial).

32 |

DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA PARA MATÉRIA

Como dissemos, uma partícula livre é uma partícula que não está sujeita a nenhuma força, pois F = −∇U , ou em uma dimensão, F = − ∂∂Ux , logo podemos dizer que, se U=0, a partícula é uma partícula livre. Neste caso, a energia total da partícula será somente 2 cinética, dada por e a equação 2.6 torna-se: K = mv 2 ∂ 2ψ ( x ) 8π 2m  mv 2  + 2  ψ ( x ) = 0 ∂x 2 h  2 

2.7

p = mv ⇒ mv2 = 2pm Sendo o momento linear dado por a equação 2.7 pode ser reescrita da forma: 2

∂ 2ψ ( x ) 8π 2m  p2  + 2  ψ ( x ) = 0 ∂x 2 h  2m  ∂ 2ψ ( x )  p +  2π ψ ( x ) = 0 2 ∂x  h

2.8

Como Schrodinger baseou sua equação na teoria proposta por De Broglie, visto que já havia várias evidências experimentais das propriedades ondulatórias da matéria, nada mais justo que usar o comprimento de onda de De Broglie, λ na = hp ⇒ p = λh = 2hπ , equak ção 2.8. Sendo assim a equação torna-se: ∂ 2ψ ( x ) 2 k ψ (x ) = 0 ∂x 2

2.9

Na equação 2.9 k é o número de onda angular. A solução mais geral desta equação diferencial homogênea de segunda ordem é dada da forma:

ψ ( x ) = Ae ikx + Be − ikx

2.10

Sendo A e B constantes. De acordo com a equação 2.3, a função de onda dependente do tempo que se propaga no eixo-x é da forma: Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) e − iωt

FÍSICA 4B

| 33

Combinado a equação 2.3 com a equação 2.10 temos a função de onda que descreve uma partícula livre, ou seja: Ψ ( x , t ) = ( Ae ikx + Be − ikx ) e − iωt 2.11

Aei ( kx −ωt ) + Be − i ( kx +ωt )

A equação 2.11 pode ser simplificada através da fórmula de Euler, que afirma que: e ± iθ = cos θ ± i senθ = −1. Desta forma podemos ver Sendo i o número imaginário, i com maior facilidade o comportamento ondulatório da solução da equação de Schrodinger. Se considerarmos que a partícula esteja se deslocando no sentido positivo do eixo-x poderemos fazer B = 0 na equação 2.11, pois esta equação, como é uma solução geral, abrange as duas possibilidades, ou seja, da partícula se deslocar no sentido positivo do eixo-x ou se deslocar no sentido negativo do eixo-x. Sendo o termo que contém a constante A o termo que descreve o deslocamento no sentido positivo do eixo-x. Nesse caso, a equação 2.11 torna-se: Ψ ( x , t ) = Ae i (kx −ωt )

2.12

Nosso objetivo agora é determinar a densidade de probabilidade para uma partícula livre, pois é ela que possui significado 2 ψ , porém, como a função físico. Neste caso teremos que calcular 2 ψ ,é multide onda é uma função complexa, a forma de calcular ψ *, ou seja, plicar ψ por seu complexo conjugado 2

ψ = ψψ * 2.13

ψ =  Ae i (kx −ωt )   Ae − i (kx −ωt )  = A2e 0 = A2 2

Para obter o complexo conjugado de uma função complexa, ψ *, basta substituir i por –i na função de onda. como por exemplo A equação 2.13 nos diz que a densidade de probabilidade de uma partícula livre é uma constante, isto quer dizer que esta partícula pode estar em qualquer lugar de -∞ à +∞ sobre o eixo-x. Todas as posições são igualmente prováveis. A figura 2.7 mostra a função 34 |

DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA PARA MATÉRIA

densidade de probabilidade versus a posição x, nela podemos ver que a partícula não tem nenhuma posição privilegiada. Densidade de probabilidade, ψ ( x )

Figura 2.7

O princípio de Incerteza de Heisenberg O princípio de incerteza de Heisenberg nos diz que é impossível medir simultaneamente a posição e o momento linear de uma partícula. Podemos ver mais claramente esta afirmativa se pensarmos que para medir a posição de uma partícula é comum usarmos a luz, pois, a partícula espalha a luz e observamos a sua posição através da luz espalhada. Acontece que ao espalhar a luz, como os fótons transportam momento, o momento linear da partícula é alterado. Desta forma, como para medirmos o momento precisamos conhecer a massa e a velocidade da partícula e a velocidade de uma partícula é determinada se conhecermos duas posições em instantes distintos torna-se impossível medir o momento se já tivermos medido a posição. No exemplo da partícula livre, assumimos na equação de Schrodinger, que o momento linear da onda associada à partícula era p = λh , era possível determinar o momento da partícula com ∆p = 0, isto ocorre porque em uma partícula liprecisão, ou seja, vre não existe nenhuma força atuando sobre ela, logo o momento linear é constante, daí a impossibilidade de prever a sua posição, como mostra a figura 2.7. Matematicamente o princípio de incerteza de Heisenberg foi proposto em 1927 como sendo: ∆x .∆px ≥ ∆y.∆py ≥

2.14

∆z.∆pz ≥

Independente da precisão dos instrumentos de medida é impossível medir simultaneamente, por exemplo, a componente x do vetor posição rp,com a componente x do momento linear p, pois se FÍSICA 4B

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∆x → 0 ⇒ ∆px → ∞. Nas equações 2.14, = 2hπ é a constante de Planck normalizada, ou simplesmente “h cortado”.

Exemplo 2.3 Um elétron livre de 10 eV move-se na direção x com uma velocidade de 1,88×10-6m/s. Suponha que você possa medir sua velocidade com uma precisão de 1%. a) Com que precisão você pode medir, simultaneamente, sua posição? b) Uma bola de golfe tem massa de 45 g e uma velocidade de 40 m/s que você pode medir com uma precisão de 1%. Que limitações o princípio de incerteza de Heisenberg impõe sobre sua capacidade de medir a posição da bola? solução

a) Como sabemos o momento não relativístico para o elétron é dado por: px = mv x = 9,11 × 10 −31 × 1,88 × 106 kg. m s px = 1,71 × 10−24 kg .m s

Como a velocidade tem uma precisão de 1% temos que a precisão do momento linear será de 1% de 1,71×10 -24kg.m/s, que nos fornece Aplicando a equação 2.14, podemos ∆px = 1,71 × 10 −26 kg. m s . determinar a incerteza na posição, que é: ∆x ≥

1, 06 × 10 −34 = = 6,2 × 10 −9 m ∆px 1,71 × 10 −26

Como conhecemos o momento do elétron, não existe nenhum modo de podermos localizá-lo simultaneamente com uma precisão melhor do que 6,2×10-9m, que equivale a 30 diâmetros atômicos. 6,2×10-9m parece ser um número pequeno, mas comparado com o diâmetro atômico este valor é extremamente grande podendo ser considerado indeterminado. b) Procedendo conforme a letra a encontramos ∆x = 6 × 10 −33 m para a bola de golfe, o valor encontrado é muito menor comparado com o valor encontrado para o elétron, visto que a massa da bola é muito maior em comparação com a massa do elétron e que a 36 |

DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA PARA MATÉRIA

velocidade é muito menor. Notamos que o princípio de incerteza não limita a precisão das medidas quando estamos tratando com objetos de grande massa, porém os erros intrínsecos sobrepujam as limitações impostas pelo princípio da incerteza, ou seja, este princípio nunca poderia ser observado em objetos cujas massas sejam relativamente grandes.

FÍSICA 4B

| 37

No capítulo anterior vimos que elétrons e outras partículas comportam-se como ondas em determinadas situações, ou seja, vimos que para cada partícula temos uma onda associada e que esta onda é descrita por uma função de onda que é uma solução da equação de Schrodinger. Neste capítulo iremos discutir algumas aplicações da equação e ver como as condições de contorno conduzem a quantização da energia. Veremos também como é possível uma partícula penetrar em regiões que classicamente são proibidas, este comportamento puramente quântico é conhecido como efeito túnel.

Ondas Mecânicas e Ondas Eletromagnéticas Para melhor compreendermos as ondas de matéria vamos iniciar revendo o comportamento das ondas mecânicas e eletromagnéticas. Em disciplinas anteriores foram estudadas ondas estacionárias. Vimos que ondas estacionárias são ondas obtidas devido a superposição de duas ondas mecânicas se propagando em sentidos opostos, como por exemplo, em uma corda de comprimento L presa em suas extremidades. Ondas estacionárias possuem posições onde a amplitude é sempre igual a zero, conhecidas como nós. Como foi visto, existe um conjunto limitado de comprimentos de ondas permitidos, que podem ser escritos como:

λn =

2L n

( n = 1,2, 3,... )

3.1

Em termos do número de onda podemos escrever: kn =

2π

λn

nπ L

( n = 1,2, 3,... )

3.2

A equação que descreve o comportamento de uma onda estacionária possui uma amplitude dependente da posição, que pode ser escrita como:  nπ x  yn ( x ) = ymáx sen    L 

( n = 1,2, 3,... )

3.3

Onde ymáx é o deslocamento máximo da corda e x é a posição de um elemento da corda. No caso do eletromagnetismo podemos ter uma situação parecida quando uma onda eletromagnética plana oscila entre duas superfícies refletoras, como por exemplo, entre dois espelhos. Considerando o caso em que E=0 em x=0 e x=L, os comprimentos de onda permitidos são dados também pela equação 3.1. Como sabemos, uma onda eletromagnética é composta por um campo elétrico E e um campo magnético B que também obedecem à equação da onda. A amplitude das oscilações do campo elétrico pode ser escrita como:  nπ x  En ( x ) = Emáx sen    L 

( n = 1,2, 3,... )

3.4

FÍSICA 4B

| 41

Sendo a densidade de energia da onda proporcional a En2 e considerando a onda eletromagnética como sendo fótons, o gráfico desta função nos daria a densidade de fótons como uma função da posição x. Para n=1 a maior densidade de fótons estaria localizada em x=L/2 e a menor densidade próximo às paredes. Se pudermos ir reduzindo a intensidade da onda luminosa ao ponto de chegarmos a um único fóton não poderemos mais falar de densidade de fótons, já que agora temos somente um fóton, deveremos tratá-lo estatisticamente, ou seja, o quadrado do campo elétrico em uma determinada coordenada nos forneceria a probabilidade de encontrar o fóton naquela posição. Para n=1 existe uma probabilidade maior de encontrá-lo em x=L/2, isto não quer dizer que ele esteja realmente nesta posição em um determinado instante, existe uma maior probabilidade que o fóton seja encontrado nesta posição. Podemos utilizar estas características das ondas estacionárias mecânicas e eletromagnéticas para as ondas de matéria, porém iremos notar na próxima seção que o comportamento das ondas de matéria tem algo de diferente.

Partículas confinadas Na mecânica clássica sabemos que sendo a energia mecânica a soma das energias cinética e potencial um objeto ao chegar a uma altura máxima a sua energia cinética será igual a zero e ele irá voltar, não podendo ultrapassar aquela altura máxima. Ou seja, se um objeto desliza sem atrito em uma região plana e se depara com uma rampa, este objeto somente conseguirá ultrapassar a rampa se sua energia mecânica inicial for maior que a energia potencial graE > U ( hmáx ) . Se a vitacional associada à altura máxima da rampa energia mecânica for menor que a energia potencial gravitacional que corresponde à altura da rampa, o objeto não irá ultrapassar a rampa, chegará a uma certa altura, menor que a altura da rampa, e então irá retornar. Dizemos neste caso que o objeto não consegue vencer a barreira de potencial, ou seja, a rampa comporta-se como uma barreira de energia potencial. Agora, vamos ver o que ocorre com um elétron, por exemplo. Existem algumas maneiras de aprisionarmos os elétrons, por exemplo, podem-se construir algumas camadas atômicas de material semicondutor cercadas por material isolante, estes dispositivos são usados na comunicação ótica e 42 |

APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRODINGER

nas portas lógicas. Para melhor compreendermos o que ocorre com um elétron aprisionado vamos considerar a seguinte idealização, que obedece aos mesmos princípios de aprisionamentos de elétrons mais complexos: Considerem três fios localizados no eixo-x como mostra a figura 3.1. x L x=0

x=L

Figura 3.1

No fio central cujo comprimento é L, encontra-se o elétron, onde o mesmo pode se mover livremente, pois não atuam forças sobre ele nesta região, temos, portanto uma energia potencial nula em 0<x<L. Ao chegar às extremidades do fio central, o elétron encontra uma região onde o potencial muda rapidamente para -V0 , que é o potencial associado aos dois fios das extremidades do esquema ilustrado pela figura 3.1. A energia potencial do elétron é então zero na região central e U0=eV0 nas extremidades (observem que a energia potencial do elétron é positiva visto que a sua carga é negativa e o potencial nos fios das extremidades também é negativo). O que se espera classicamente é que, se o elétron tiver uma energia cinética na região central menor que U0 ele não conseguirá atravessar a barreira de potencial e irá oscilar para a direita e para a esquerda dentro do condutor central. Mas será que isso acontece realmente? Vamos ver nas próximas seções dois exemplos, o primeiro é quando o potencial das extremidades tende ao infinito e o segundo exemplo é quando possui um valor finito, estes dois exemplos são conhecidos como poço de potencial quadrado infinito e poço de potencial quadrado finito.

FÍSICA 4B

| 43

Uma partícula num poço de potencial quadrado infinito Como estamos interessados nas variações da amplitude com a posição não será necessário encontrarmos a função de onda total Ψ ( x , t ) , iremos considerar apenas a parte espacial, que é repreψ ( x ) . Vimos que esta mesma consideração sentada pela função foi usada nas ondas mecânicas e eletromagnéticas onde usamos as funções y(x) para as ondas mecânicas em uma corda esticada e En(x), para representar o campo elétrico associado à onda eletromagnética. Em nenhuma das duas amplitudes foi considerada a dependência temporal (equações 3.3 e 3.4). O fato de uma onda estacionária poder oscilar apenas em certas frequências permitidas pode-se concluir que o confinamento de uma onda leva a valores discretos para a energia. Ou seja, leva à existência de estados discretos com energias discretas. A onda pode ter apenas essas energias. Para as ondas associadas ao elétron confinado, ondas de matéria, vamos considerar que o mesmo esteja confinado em uma região, onde o poço seja infinitamente profundo, isto quer dizer que na figura 3.1 os fios nas extremidades possuem potencial V0 → −∞, veja figura 3.2. V → −∞

V=0

V → −∞

x L x=0

Figura 3.2

x=L

A energia potencial do poço quadrado infinito é descrita matematicamente por:

3.5

∞  U ( x ) = 0 ∞

x<0 0<x<L x>L

Isto quer dizer que a energia potencial é zero dentro do fio central, onde se encontra o elétron, e infinita nos fios das extremidades. Como a partícula está dentro do fio central, a função de onda para qualquer ponto fora deste fio será zero, ψ ( x ) = 0, visto que, para 44 |

APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRODINGER

que o elétron ultrapasse a barreira ele deveria ter uma energia cinética infinita, já que a barreira de potencial é infinita. Nosso objetivo é resolver a equação de Schrodinger para funções de onda que devem ser nulas em x=0 e x=L. Como no fio central a partícula está livre de forças a solução para a equação de Schrodinger é a solução já estudada, a de uma partícula livre, porém agora com condições de contorno que restringe os possíveis valores para o número de onda angular k. Desta forma temos: ∂ 2ψ ( x ) + k 2ψ ( x ) = 0 ∂x 2

3.6

Onde: k=

2mE h2

3.7

A solução geral para a equação 3.6 pode ser escrita, como:

ψ ( x ) = Asen (kx ) + B cos (kx )

3.8

Para obter a solução 3.8 foi usada a fórmula de Euler (veja seção 2.3). Na equação 3.8, A e B são constantes. Aplicando as condições de contorno à solução 3.8 temos: Em x=0:

ψ ( 0 ) = Asen ( 0 ) + B cos ( 0 ) = 0 + B

3.9

A condição de contorno ψ logo ( 0 ) = 0 em x = 0 leva a B = 0, a solução para a equação de Schrodinger dada pela equação 3.8 torna-se:

ψ ( x ) = Asen (kx )

3.10

A função de onda deste elétron confinado é portando uma onda senoidal onde o número de onda k da onda está relacionado ao comprimento de onda da onda pela equação já conhecida k = 2λπ . Vamos analisar agora a outra condição de contorno, ψ esta con( x ) = 0 em x = L, dição irá restringir os possíveis valores para k e consequentemente para o comprimento de onda λ . Notem na equação 3.7 que a energia total da partícula é proporcional ao número de onda k, logo a energia também terá valores permitidos, ou seja, valores discretos e possíveis. FÍSICA 4B

| 45

Aplicando então a segunda condição de contorno à equação 3.10 temos:

ψ ( L ) = Asen (kL ) = 0

3.11

A equação 3.11 somente será satisfeita se kL for igual a qualquer múltiplo inteiro de π, visto que a constante A é diferente de zero. Temos então: 3.12

kL = nπ

n = 1,2, 3,...

Observem que n=0 também satisfaz a equação, mas como podemos λn = 2nL , n = 0 implicaria em um compriver na equação 3.1, sendo λ → ∞, ou seja, a função de onda não poderia ser mento de onda normalizada. Substituindo os valores permitidos de k, dados pela equação 3.12, na equação 3.7, podemos encontrar os valores permitidos para a energia E, que são: k=

nπ = L

2mE 2 2mE 2

2 2 2  n 2π 2 2 n π ( 2hπ ) 2 h = = n  2 2 2  2mL 2mL  8mL  2

3.13

Na equação 3.13, m é a massa da partícula. n é denominado de número quântico, é ele quem define o estado quântico em que a partícula se encontra. A figura 3.3 ilustra alguns valores de energia permitidos para um elétron no interior de um poço infinito com L=100pm. As linhas horizontais na figura 3.3 são chamadas de níveis de energia que possuem valores bem definidos, como podemos ver no eixo vertical. Os elétrons somente podem assumir os valores dados pela equação 3.13, não podendo assumir valores intermediários, isto porque existe uma onda de matéria associada ao elétron. O estado quântico da partícula para n=1 é denominado de estado fundamental, n=2 é o primeiro estado excitado e assim por diante.

46 |

APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRODINGER

1000

4º excitado

Energia (eV)

800

600

400

200

3º excitado

2º excitado 1º excitado Fundamental

E3 E2 E1

Figura 3.3

Através da equação 3.13 podemos observar algumas características inesperadas que não podemos encontrá-las na solução clássica para uma partícula. Vemos que a energia da partícula, isto é, a energia cinética dela, visto que a energia potencial dentro do poço é zero, não pode ser reduzida a zero. A energia mínima, dada para n=1, que corresponde ao estado de mais baixa energia (estado fundamental) tem o seu valor dado por: E=

h2 8mL2

3.14

Ou seja, a partícula não está em repouso. Mesmo no zero absoluto da temperatura, onde a partícula encontra-se no mais baixo estado possível de energia ela ainda possui movimento e energia. A equação 3.14 é chamada de energia de ponto zero do poço infinito, mesmo em outros sistemas quânticos, a energia de ponto zero pode assumir formas diferentes, mas nunca igual a zero, este fenômeno ocorre em todos os sistemas quânticos. Através do princípio de Incerteza de Heisenberg podemos analisar o que ocorre em relação ao movimento da partícula confinada. Num poço de comprimento L, a incerteza na posição é de aproximadamente L, logo a incerteza correspondente ao momento linear, através da equação 2.14 será: ∆px ∼

h 2π L

FÍSICA 4B

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Ou seja, quanto menor for a região onde confinamos a partícula, maior será a incerteza no seu momento linear. Mas surge a pergunta, já que conhecemos a energia da partícula e sabemos que a energia cinética está relacionada com o momento linear 2 h2 En = 2pmn = n 2 8mL , então porque a incerteza no momento aupor 2 menta quanto mais precisa for a posição, ou seja, quanto menor for L? A resposta é que a energia está relacionada com o módulo do momento e não com o vetor momento linear, a partícula pode estar se movimentando em uma determinada posição para a direita ou para a esquerda, naquela posição mais provável só temos condições de sabermos o módulo do momento e não o vetor momento linear. Outro ponto que devemos destacar é que o elétron passa mais tempo em certas partes do poço que em outras. Já dissemos anteriormente que a função de onda por si só não possui significado físico, mas o quadrado do módulo da função de onda nos fornece a densidade de probabilidade. No caso de uma partícula confinada em um poço infinito teremos:

( )

3.15

2  nπ  x Pn ( x ) = ψ n ( x ) = A 2sen 2   L 

n = 1,2, 3,...

O quadrado da função de onda em uma determinada posição indica a probabilidade de encontrar o elétron naquele local. A figura 3.4 nos mostra a densidade de probabilidade em função da posição para um elétron em um poço infinito para n=1. Notamos que há uma maior probabilidade de encontrarmos o elétron em x=L/2. Na teoria clássica qualquer posição entre x=0 e x=L seria igualmente provável.

L n=1

ψ 12

0 Figura 3.4

50 x (pm)

48 |

APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRODINGER

100

À medida que vamos aumentando a energia do elétron, ou seja, para estados quânticos com números quânticos mais elevados, a distribuição da densidade de probabilidade do elétron no poço se torna mais uniforme, conforme podemos ver nas figuras 3.5 e 3.6. Para números quânticos elevados a previsão quântica começa a se fundir com a teoria clássica. Este fato das previsões quânticas tenderem à clássica para números quânticos altos é denominada de princípio da correspondência.

n=3

ψ 32

100

Figura 3.5

100

Figura 3.6

x (pm)

n = 15

ψ 152

50 x (pm)

Outro fato inesperado e surpreendente é que o elétron pode escapar do poço se a energia potencial for finita, mesmo que sua energia mecânica seja menor que a energia potencial. O que classicamente seria impossível, como exemplificamos no início da seção 3.2. Na próxima seção iremos discutir este tópico.

FÍSICA 4B

| 49

Exemplo 3.1 Considere um elétron confinado por forças elétricas dentro de um poço de potencial de profundidade infinita, cujo comprimento L é de 100pm, que é aproximadamente igual a um diâmetro atômico. Quais são as energias dos três estados de energia mais baixos permitidos e do estado que tem n=15? solução

As energias permitidas para uma partícula confinada em um poço de potencial infinito é dada pela equação 3.13:  h2  E = n2  2   8mL 

Logo, para o estado fundamental (n=1) temos:

(6,63 × 10 ) = 8 × 9,11 × 10 × (100 × 10 ) −34 2

−31

−12 2

E1 = 6, 03 × 10 −18 J = 37,7eV

Para as energias dos estados 2, 3 e 15 respectivamente, usando o mesmo procedimento temos: E2 = 22 × 37,7eV = 151eV E3 = 32 × 37,7eV = 339eV E15 = 152 × 37,7eV = 8480eV

Exemplo 3.2 Considere uma partícula de poeira de 1μg que se move para frente e para trás entre duas paredes rígidas, separadas por uma distância de 0,1mm. Ela se move tão lentamente que são necessários 100s para que atravesse essa distância. Que número quântico descreve este movimento? solução

Para encontrarmos o número quântico correspondente teremos que saber primeiro a energia da partícula, pois, a energia está relacionada ao número quântico, sendo assim temos: E=K= 50 |

APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRODINGER

 h2  pn 2 = n2  2  2m  8mL 

Considerando a energia da partícula como sendo somente a energia cinética, temos: −9 −6 mv 2 (1 × 10 )(1 × 10 ) = = 5 × 10 −22 J E=K = 2 2 2

Na equação acima usamos a velocidade média para calcular a energia cinética, que é ¯ v = ∆∆xt . Resolvendo para n temos: n=

1 × 10 −4 L 8mE = 8 × 10 −9 × 5 × 10 −22 −34 h 6,63 × 10 n ≈ 3 × 1014

Este número quântico é muito grande. É impossível distinguir entre 3×1014 e 3×1014+1. Mesmo a mecânica quântica fornecendo os resultados corretos a natureza quântica deste movimento jamais se revelaria, pois os resultados coincidem com a física clássica, logo as complicações dos cálculos quânticos são desnecessárias. Comparando este resultado com o do exemplo 3.1, notamos que mesmo a massa de poeira sendo muito pequena no mundo quântico, ela ainda é considerada grande em relação à massa do elétron.

Exemplo 3.3 A equação 3.10 é a função de onda de uma partícula aprisionada num poço de profundidade infinita. Qual seria o valor da constante A de tal forma que a função seja normaliza? Considere a largura do poço infinito como sendo L. solução

Para este problema unidimensional, o elemento de volume é um elemento de comprimento e a equação de normalização 2.4 se torna:

∫

Pn ( x ) dx = 1

Sendo L a largura do poço. A equação 3.15 nos fornece a densidade de probabilidade para uma partícula presa em um poço infinito, temos então:

∫

 nπ  A2sen 2  x  dx = 1  L 

FÍSICA 4B

| 51

Para resolvermos esta integral é conveniente trocarmos as variáveis como se segue: nπ θ= x L dθ =

nπ L dx ⇒ dx = dθ L nπ

A integral fica da seguinte forma:

∫

nπ

L nπ

∫

nπ

L sen 2θ dθ = 1 nπ

sen 2θ dθ = A2

L 1 1   θ − sen2θ  4 nπ  2 

nπ 0

Observem que o limite de integração foi mudado, pois mudamos a variável de integração, ou seja, quando x = 0 ⇒ θ = 0 e quanx = L ⇒ θ = nπ . do Após substituirmos os limites de integração na solução da integral e resolvermos a equação chegamos a: A=

2 L

Como a constante de normalização não envolve o número quântico n, ela é a mesma para todos os estados do sistema.

Uma partícula num poço de potencial quadrado finito Vimos no início da seção 3.2 que classicamente um objeto com energia mecânica menor do que uma energia potencial gravitacional de altura h seria incapaz de ultrapassar tal barreira de potencial, seria impossível chegar à altura h, porém, será que um elétron conseguiria vencer uma barreira de potencial? Será que um elétron, com energia cinética menor que a energia potencial, preso em um poço de potencial finito seria capaz de ultrapassar a barreira de potencial? Vamos iniciar considerando um comportamento qualitativo da função de onda para uma função de energia potencial mais geral, um poço quadrado finito. A figura 3.7 ilustra este poço de energia potencial, o valor U0 é conhecido como a profundidade do poço. 52 |

APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRODINGER

U(x) U0

Figura 3.7

Para um poço de potencial finito, a energia potencial é descrita matematicamente com: U 0  U ( x ) = 0 U  0

x<0 0<x<L x>L

3.16

A função é descontínua em x=0 e em x=L, mas é finita em qualquer outro ponto. Para resolvermos a equação de Schrodinger com este tipo de energia potencial devemos saber se E>U0 ou se E<U0. O caso em que E>U0 , a partícula tem energia suficiente para ultrapassar a barreira de potencial, logo ela não está confinada e todos os valores de energia são possíveis. Não existe quantização de energia quando E>U0. O caso que nos interessa é 0≤E<U0. Neste caso, dentro do poço temos U(x)=0 e a equação de Schrodinger independente do tempo é a mesma para o poço infinito, a diferença é que a função de onda, que é a solução da equação, não precisa mais ser zero em x=0. No caso do poço infinito a função de onda era zero em x=0 e em x=L porque para ultrapassá-la a energia da partícula deveria ser infinita, já que a barreira era infinita. Temos então para o poço finito: ∂ 2ψ ( x ) + k 2ψ ( x ) = 0 ∂x 2

3.17

Com k=

A solução é dada por:

2mE 2

ψ ( x ) = Asen (kx ) + B cos (kx )

3.18

3.19

FÍSICA 4B

| 53

ψ ( x ) não necessariamente precisa ser Acontece que agora, como zero em x=0 e em x=L, a constante B não será mais igual a zero, logo a solução não será mais análoga à solução da equação de uma onda mecânica presa em suas extremidades. Pois, não podemos mais garantir que a onda de matéria se anule em x=0 e em x=L. Fora do poço, a equação de Schrodinger independente do tempo fica:

3.20

d 2ψ ( x ) − α 2ψ ( x ) = 0 2 dx

Onde:

α2 =

2m (U 0 − E ) 2

Resolvendo a equação 3.20 podemos encontrar as funções de ψ ( x ) e as energias permitidas para a partícula fora do poço, onda dψ ( x ) ψ ( x ) e desde que façamos as exigências que sejam contídx nuas em x=0 e em x=L. Para a região x>L, a solução da equação ψ ( x ) = Ce −α x e para x<0, a solução tem a diferencial tem a forma +α x ( x ) = Ce . Várias soluções não são bem comportadas fora forma ψ do poço quando se aplica as condições de contorno, embora estas soluções satisfaçam a equação de Schrodinger, tais soluções não são apropriadas porque não podem ser normalizadas. As soluções de Schrodinger são bem comportadas apenas para alguns valores de energia, que são os valores permitidos para as energias para o poço quadrado finito. Para melhor compreensão, vamos atribuir valores numéricos para U0 e L e com isso podermos mostrar os resultados na forma de gráficos. Vamos considerar um poço com U0=450eV e L=100pm. A figura 3.8 mostra a densidade de probabilidade versus a distância x para diferentes números quânticos. 2 A densidade de probabilidade ψ n ( x ) para os três gráficos satisfaz ∞ 2 a condição de normalização dada pela equação , ∫−∞ψ n ( x ) dx = 1 ou seja, a área abaixo das três curvas é igual a 1. Comparando a figura 3.6 com a figura 3.8 notamos nitidamente uma grande diferença, na figura 3.6 do poço quadrado infinito as partículas não penetram na região proibida classicamente, porém, na figura 3.8, notamos que no poço quadrado finito as partículas conseguem penetrar nesta região proibida, ou seja, a onda de matéria é dife54 |

APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRODINGER

rente de zero do lado de fora do poço. Este efeito é conhecido como efeito túnel. Notem que quanto maior for o número quântico maior a probabilidade de encontrarmos a partícula do lado de fora do poço. O fato das extremidades exponenciais da curva de probabilidade se estenderem além das “paredes” de potencial significa que existe uma probabilidade finita de que o elétron seja encontrado fora do poço. O fato da onda de matéria penetrar nas paredes de um poço finito e não penetrar nas paredes de um poço infinito nos informa que em um poço infinito meio comprimento de onda de De Broglie se ajusta perfeitamente entre as suas paredes, enquanto que para o poço finito o comprimento de onda de De Broglie é muito grande para poder se ajustar perfeitamente, estendendo-se além das paredes. Neste caso, para o poço finito, o momento linear tem de ser menor em relação ao poço infinito já que p = λh , isto significa que a energia também tem de ser menor. n=3

ψ 32

n=2

ψ 22

n=1

ψ 12

-50

100

150

Figura 3.8

x (pm) FÍSICA 4B

| 55

Na figura 3.9 está esboçado o diagrama de níveis de energia referente às densidades de probabilidade exibidas na figura 3.8. Observem que neste exemplo, onde U0=450eV e L=100pm, o elétron pode possuir apenas as energias correspondentes aos estados n=1,2,3 e 4. Quando a energia do elétron for igual ou maior que 450 eV ele deixa de estar confinado e pode com isto ter qualquer energia. Não-quantizada

450

Alto do poço E 4 = 393 eV

E 3 = 233 eV

E 2 = 106 eV

Figura 3.9

E 1 = 27 eV

Tunelamento Através de Barreira Vimos na seção anterior que um elétron preso em um poço finito tem uma probabilidade finita de ser encontrado fora do poço, região que classicamente seria impossível de ser encontrado. Isto pode acontecer com elétrons ou outras partículas de massa pequena, porém com objetos de grande massa, não mais podemos observar tal efeito. Não podemos esperar que ao lançarmos uma bola contra uma parede ela vá aparecer do outro lado como se pudesse se desmaterializar. Este efeito conhecido como tunelamento de barreiras tem grande importância prática, como iremos mostrar mais adiante. No momento, vamos considerar um elétron não relativístico de energia mecânica E se movendo em um fio condutor ideal de espessura desprezível em direção a uma barreira de potencial, como mostra a figura 3.10. Sendo a barreira de potencial igual a 56 |

APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRODINGER

-V b, a energia potencial do elétron nesta região será de +eV b=U b. Se este elétron, que se aproxima pela esquerda da barreira de potencial, tiver uma energia mecânica maior que a energia potencial, E>U b, ele irá atravessar a barreira e continuará o seu movimento para a direita, porém se a energia mecânica for menor que a energia potencial, classicamente esperamos que o elétron seja refletido pela barreira e volte. Na mecânica ondulatória existe uma possibilidade finita deste elétron penetrar a barreira e continuar o seu movimento para a direita mesmo que sua energia mecânica seja menor que sua energia potencial. V=0

Vb < 0

V=0 x

L x=0

Figura 3.10 x=L

Já sabemos que a função de onda, que descreve o movimento do elétron, é obtida resolvendo a equação de Schrodinger nas três regiões em questão, que são, antes de penetrar na barreira (x<0), dentro da barreira (0<x<L), e à direita da barreira (x>L). Sabemos também que a densidade de probabilidade pode ser obtida calculando 2

ψ = ψψ * A figura 3.11 ilustra a densidade de probabilidade da onda associada ao elétron para o caso da figura 3.10.

Densidade de probabilidade, ψ ( x )

Figura 3.11

Na figura 3.11 notamos que antes de penetrar na barreira, x<0, temos uma curva periódica que é uma combinação da onda de matéria incidente com a onda de matéria refletida. Esta superposição de ondas gera uma onda de amplitude menor que a onda incidente, porém, mesmo ocorrendo a interferência, em nenhum ponto o cancelamento é total. Dentro da barreira a onda cai exponencialmente, FÍSICA 4B

| 57

exatamente como ocorre fora do poço de potencial finito. Fora da barreira, à direita, temos uma onda de matéria progressiva com pequena amplitude que dá origem a uma densidade de probabilidade constante. A quantidade de elétrons que são refletidos ou que são transmitidos através da barreira pode ser calculada a partir do coeficiente de transmissão T e do coeficiente de reflexão R. A soma dos dois coeficientes tem que ser igual a 1. Por exemplo, se T=0,05 significa que, se 100 elétrons forem atirados contra a parede 5 irão atravessá-la enquanto 95 elétrons serão refletidos. A expressão para o coeficiente de transmissão, que pode ser obtido através da equação de Schrodinger, é dada por: T ≈ e −2kL

3.21

Onde: k=

8π 2m (U − E ) h2

A expressão 3.21 somente é válida se T 1, ou seja, esta aproximação para o coeficiente de transmissão somente é válida se a barreira for alta ou espessa o suficiente. Observando a equação 3.21 notamos que se a massa da partícula for relativamente grande o coeficiente de transmissão tenderá a zero, esta previsão está de acordo com o princípio da correspondência, pois estamos nos aproximando da mecânica clássica à medida que aumentamos a massa da partícula.

Exemplo 3.4 Considere um elétron cuja energia total E seja igual a 5eV e que se aproxima de uma barreira cuja a altura Ub é de 6eV como ilustra a figura abaixo. Seja a espessura L da barreira igual a 0,7nm. a) Qual é o comprimento de onda de De Broglie do elétron incidente? b) Qual é o coeficiente de transmissão segundo a equação 3.21? c) Qual seria o coeficiente de transmissão se a barreira fosse reduzida para 0,30nm? d) E se altura da barreira de potencial fosse aumentada para 7eV? e) E se a partícula fosse um próton?

58 |

APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRODINGER

solução

a) Antes de chegar à barreira de potencial a energia do elétron é puramente cinética, sendo sua energia potencial nesta região igual a zero. Neste caso, usando a expressão para o comprimento de 2 λ = hp sabendo que E = K = 2pm , temos: onda de De Broglie e

λ= λ=

h = p

h 2mk

6,6 × 10 −34

2 ( 9,11 × 10 −31 )(5 × 1,6 × 10 −19 )

= 0,55nm

b) Sendo o coeficiente de transmissão dado por: T ≈ e −2kL

Onde: k=

8π 2m (U − E ) h2

Temos: k=

8π 2 ( 9,11 × 10 −31 ) ( 6eV − 5eV ) (1,6 × 10 −19 J eV )

(6,63 × 10 )

−34 2

k = 5,12 × 10 −9 m −1

Logo, o coeficiente de transmissão será: T =e

(

)(

−2 5,12×10−9 700×10−12

)

= 7,7 × 104

Este resultado nos diz que a cada 100 mil elétrons que atingem a barreira, apenas 77 irão tunelar através dela. Procedendo conforme a letra b e substituindo os valores apropriados encontramos Para L = 0, 30 nm ⇒ T = 0,10 c) Para d) Se Se U = 7, 0 eV ⇒ T = 5, 9 × 10 −5 Se m = 1,836me ⇒ T = 10 −130 e) Se

FÍSICA 4B

| 59

Pelos resultados das letras c e d notamos que é mais fácil o elétron penetrar a barreira mais fina, porém é mais difícil penetrar a mais alta. Quanto aos prótons, pelo resultado da letra e, notamos que por eles possuírem massa maior em relação à massa do elétron eles quase não penetram. Com este exemplo foi possível notar como a taxa de transmissão é sensível não somente à massa da partícula, mas também a altura da barreira de potencial e também à espessura. Energia

Ub E Elétron

Algumas aplicações do tunelamento O tunelamento de ondas de matéria tem muitas aplicações práticas, um exemplo no nosso dia a dia é um fio de cobre desencapado que foi cortado e cujas duas extremidades foram enroladas juntas. Mesmo os fios sendo cobertos por uma fina camada de óxido de cobre, que é um isolante, eles ainda conduzem eletricidade facilmente, ou seja, eles vencem a barreira de potencial devido ao isolante. Outro exemplo prático é o diodo túnel, onde o fluxo de elétrons via tunelamento, através de um dispositivo, pode ser permitido ou impedido através do controle da altura da barreira de potencial por meio de uma voltagem externa. Em 1973, três pesquisadores, Leo Esaki (tunelamento em semicondutores), Ivar Giaver (tunelamento em supercondutores) e Brian Josephson (a junção Josephson, um dispositivo quântico de comutação, baseado no tunelamento) ganharam o prêmio Nobel. O microscópio de varredura ou tunelamento é outra aplicação prática. Com um microscópio de varredura é possível ver detalhes que o microscópio ótico não permite. O microscópio ótico é limitado pelo comprimento de onda da luz utilizada. Assim, para 60 |

APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHRODINGER

ver maiores detalhes são necessários comprimentos de onda bem menores, no caso do microscópio de varredura o comprimento de onda associado ao elétron é bem menor, sendo possível observarmos detalhes menores. Gerd Binning e Heinrich Rohrer ganharam o prêmio Nobel em 1986 pelo desenvolvimento do microscópio de varredura por tunelamento, veja “The Scanning Tunnelling Microscope”, de Gerd Binning e Heinrich Rohrer, Scientific American, agosto de 1985, página 50, para maiores detalhes.

FÍSICA 4B

| 61

Antes de começarmos a estudar o átomo de hidrogênio, vamos ver como é possível um elétron passar de um estado de energia para outro estado. Depois iremos ver o modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio, que é um modelo semiclássico desenvolvido por Niels Bohr em 1913, para explicar o espectro eletromagnético produzido por átomos de hidrogênio. Após estudarmos o modelo de Bohr, vamos então aplicar os conceitos da mecânica quântica através da aplicação da equação de Schrodinger ao átomo de hidrogênio, que como poderemos observar nos fornecerá dados muito mais eficientes.

Mudanças de Níveis de Energia No capítulo anterior vimos que um elétron confinado pode ocupar apenas alguns estados de energia, tendendo a ocupar o estado de menor energia, conhecido como estado fundamental. Ele passará de um estado de menor energia para um estado de maior energia apenas se receber uma quantidade de energia igual à diferença entre os dois estados. Este estado de energia maior do que a energia do estado fundamental é chamado de estado excitado. Portanto, a quantidade de energia necessária para que o elétron mude de estado é dada por: ∆E = Ealta − Ebaixa

4.1

Quando o elétron executa uma transição de um estado de menor energia para um estado de maior energia dizemos que ele realizou um salto quântico. Um elétron pode realizar um salto quântico se, por exemplo, absorver um fóton. A energia do fóton, que é hv, como já vimos, deverá ser igual à diferença de energia entre o estado ao qual o elétron se encontra e o estado excitado permitido ao qual ele irá passar, ou seja: hv = ∆E = Ealta − Ebaixa

4.2

Após o elétron realizar um salto quântico, ele não permanecerá neste estado excitado indefinidamente, ele voltará ao estado fundamental, porém, o elétron poderá voltar direto para o estado fundamental emitindo um fóton com energia igual à diferença entre estes dois estados ou poderá voltar passando pelos estados intermediários, neste último caso ele emitirá vários fótons à medida que for passando de um estado para o outro estado de energia. Isto significa que tanto a luz absorvida pelo elétron quanto a luz emitida por ele somente pode ter certos valores de energia hv, ou seja, somente para certos valores de frequência v e comprimento de onda λ .

Exemplo 4.1 Considere um elétron confinado em um poço de potencial unidimensional infinito de largura L = 100pm. a) Qual é a menor energia possível do elétron? b) Qual a energia que deve ser fornecida ao elétron para que execute FÍSICA 4B

| 65

um salto quântico do estado fundamental para o segundo estado quântico excitado? c) Se o elétron executa o salto quântico da letra b, após absorver luz, qual é o comprimento de onda desta luz? d) Depois que o elétron salta para o segundo estado excitado, que comprimentos de onda ele poderá emitir ao voltar para o estado fundamental? solução

a) Como vimos no capítulo 3, as energias permitidas para uma partícula confinada em um poço infinito é dada pela equação 3.13, pois o confinamento da partícula leva à quantização da energia:  h2  E = n2  2   8mL 

Sendo n o número quântico que deverá ser inteiro. A menor energia possível que a partícula pode ter é para n=1, que é o estado fundamental, logo: 6,63 × 10 −34 ) (  h2  E =n  = 2 2   8mL  8 × 9,11 × 10 −31 × (100 × 10 −12 ) 2

E = 6, 03 × 10 −18 J = 37,7eV

b) O nível de menor energia é para n=1, o segundo nível é para n=2, que corresponde ao primeiro estado excitado, sendo assim, o segundo estado excitado é para n=3, temos então: ∆E31 = E3 − E1  h2  2  h2  ∆E31 = 32  −1  2  2   8mL   8mL   h2  2 2 ∆E31 =  3 −1 ) 2 (  8mL  ∆E31 = 6, 031 × 10 −18 × 8 ∆E31 = 4,83 × 10 −17 J = 301 eV

66 |

O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

c) Como foi dito, para que o elétron mude de um nível de energia para outro é necessário que haja uma transferência de energia. Esta transferência é feita através da absorção de um fóton cuja energia = λ v, logo temos: é hv. Sabemos que a velocidade da luz é c hv = ∆E c = ∆E λ hc λ= ∆E

λ=

6,63 × 10 −34 × 2, 998 × 108 4,83 × 10 −17

λ = 4,12 × 10 −9 m

Que é o comprimento de onda da onda absorvida pelo elétron.

d) Como dissemos, o elétron pode volta ao estado fundamental saltando diretamente do terceiro estado excitado para o estado fundamental ou passando através dos outros estados intermediários. Temos, portanto: i. Se ele pular do terceiro estado excitado para o estado fundamental ele emitirá um fóton com o mesmo comprimento de onda do fóton absorvido, pois o salto direto envolve a mesma diferença de energia que foi calculada, logo o fóton emitido terá o mesmo comprimento de onda do fóton absorvido, ou seja,

λ = 4,12 × 10 −9 m ii. Como o elétron encontra-se no segundo estado excitado, outra possibilidade é o elétron saltar do segundo estado excitado para o primeiro e depois do primeiro para o estado fundamental. Sendo assim, o comprimento de onda do primeiro fóton emitido, quando o elétron salta do segundo para o primeiro estado excitado será:  h2  2  h2  ∆E32 = 32  −2  2  2   8mL   8mL  ∆E32 = 6, 031 × 10 −18 × 5 ∆E32 = 3, 016 × 10 −17 J

Logo,

λ=

hc = 6,60 × 10 −9 m ∆E FÍSICA 4B

| 67

E o comprimento de onda do segundo fóton emitido, quando o elétron salta do primeiro estado excitado (n=2) para o estado fundamental (n=1), será:  h2  2  h2  ∆E21 = 22  −1  2  2   8mL   8mL  ∆E21 = 6, 031 × 10 −18 × 3 ∆E21 = 1,809 × 10 −17 J

Logo,

λ=

hc = 1,10 × 10 −8 m ∆E

O Modelo de Bohr para o Átomo de Hidrogênio Até o momento estudamos o elétron confinado em potenciais hipotéticos, como o poço de potencial finito e infinito, um exemplo realístico de aprisionamento de elétrons é a atração eletrostática entre os elétrons de um átomo e o seu núcleo. Neste curso iremos estudar um átomo mais simples, que é o átomo de hidrogênio. O átomo de hidrogênio é composto por apenas um próton e um elétron. Estando o próton no núcleo do átomo e o elétron orbitando ao seu redor. Mesmo sendo a força eletrostática entre estas duas partículas atrativa, pois o elétron possui carga elétrica negativa e o próton possui carga elétrica positiva, o elétron nunca cairá em direção ao próton. A atração que o próton exerce sobre o elétron, mantendo-o preso ao átomo, é um tipo de aprisionamento, de confinamento para o elétron, logo, a energia do elétron torna-se quantizada, pois, qualquer tipo de aprisionamento de partículas leva à quantização da energia. Nesta seção iremos ver como a questão do átomo de hidrogênio foi tratada antes da interpretação ondulatória para as partículas, ou seja, antes da introdução da teoria da mecânica quântica. Bem antes da mecânica quântica ser introduzida, vários pesquisadores já haviam observado que os átomos emitiam luz quando eram excitados por descargas elétricas. Esta luz emitida pelos átomos aparecia como um conjunto discreto de linhas de diferentes cores, como as cores estão relacionadas ao comprimento de onda, 68 |

O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

estas linhas eram de diferentes comprimentos de onda. Observaram também que o espaçamento das linhas e a intensidade das cores eram propriedades do elemento. Na época foi possível determinar com precisão o comprimento de onda referente a cada linha. Uma fórmula empírica para os comprimentos de onda das linhas do hidrogênio foi desenvolvida por Johann Balmer em 1885. A fórmula de Balmer para o comprimento de onda das linhas do espectro visível do hidrogênio podia então ser representada por:

λ = ( 364,6nm ) mm−4 2

m = 3, 4,5,…

4.3

Em 1890, J.J. Rydberg juntamente com Walter Ritz sugeriram, baseados na fórmula de Balmer, outra fórmula que fornecia o comprimento de onda para todas as linhas do espectro do hidrogênio e também para elementos alcalinos como o lítio e o sódio. Esta fórmula, conhecida como fórmula de Rydberg-Ritz é dada por: 1

(

1 n22

− n12 1

)

n1 e n2 = 3, 4,5,…

4.4

onde n1 e n2 são números inteiros e n1>n2 sendo R a constante de Rydberg, que tem um valor de 1,097×10-7m-1 para o átomo de hidrogênio. Em relação aos outros átomos esta constante varia muito pouco. Muitos teóricos buscaram uma teoria que pudesse descrever estas fórmulas empíricas para o espectro de radiação do átomo de hidrogênio. Porém, somente Niels Bohr, trabalhando no laboratório de Rutherford em 1912, foi capaz de propor um modelo que previa com bastante sucesso os espectros observados. Bohr propôs que o elétron do hidrogênio se movia em órbita circular ou elíptica em torno de um núcleo positivo de acordo com a lei de Coulomb e também da mecânica clássica. Ele se baseou nas órbitas dos planetas que se movem em torno do sol para fazer esta proposição. Por simplicidade foi considerada uma órbita circular. Vamos considerar um elétron em órbita circular em torno do núcleo. Sabemos que o núcleo exerce uma força de atração eletrostática sobre o elétron, cujo módulo, para o átomo de hidrogênio, é igual a:

1 e2 4 πε 0 r 2

4.5

FÍSICA 4B

| 69

De acordo com a segunda lei de Newton, a sua componente radial é dada por: ∑ Fr = mar

4.6

A única força na direção radial à qual o elétron está sujeito é a força eletrostática, logo substituindo a equação 4.5 na equação 4.6 temos: 4.7

1 e2 4 πε 0 r 2

= m vr

Onde v é o módulo da velocidade do elétron e r o raio da sua órbita, sendo m a sua massa. Isolando a velocidade na equação 4.7 e logo = 2Tπ r = 2π rv sendo , após substituindo v T o tempo para uma volta completa, mais precisamente o período, temos: 4.8

v = 2π rv =

4πε 0r m 2

1 16π ε 0r 3m 3

Que é a frequência de revolução do elétron em sua órbita. As energias, cinética e potencial, usando a expressão para a velocidade dada pela equação 4.8, são respectivamente: K (r ) =

mv 2 e2 = 2 8πε 0r

e U (r ) = −

e2 4πε 0r

Logo a energia mecânica do sistema será: 4.9

E (r ) = K (r ) + U (r ) = −

e2 8πε 0r

Tudo parecia estar indo bem até o confronto com a teoria clássica do eletromagnetismo. No eletromagnetismo clássico, uma partícula acelerada, mesmo sendo uma aceleração centrípeta, emite um espectro contínuo de radiação, logo, neste caso o elétron iria perdendo energia e diminuindo com isso o seu raio. Neste ponto de vista o átomo não seria estável, pois o elétron iria caindo em forma 70 |

O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

de espiral em direção ao núcleo. Porém isto não é observado, pois o átomo de hidrogênio é estável. Para resolver este problema, Bohr propôs inicialmente dois postulados, são eles: • Estados estacionários: Bohr propôs que o átomo de hidrogênio poderia existir por longo tempo em um estado estacionário sem emitir radiação. Este estado estacionário seria uma das possíveis órbitas circulares. • O postulado das frequências: Bohr propôs que o átomo de hidrogênio somente iria irradiar ou absorver radiação se mudasse de um estado estacionário para outro. Matematicamente este postulado nos diz: 4.10

Sendo Ei a energia do estado inicial e Ef a energia do estado final, o de menor energia (neste caso o átomo está emitindo fótons). hvif é a energia do fóton emitido. Este postulado é equivalente à conservação de energia quando um fóton de energia hv é emitido. Estes postulados foram propostos aproximadamente 10 anos antes da proposta de onda de matéria de De Broglie e neles já continha a hipótese do fóton e da quantização da energia. Vamos combinar as equações 4.10 e 4.9, desta forma podemos obter a frequência: v=

Ei − E f h

 1 1  −  8πε 0h  r f ri  e2

4.11

Onde rf e r i são respectivamente os raios das órbitas, final e inicial e h a constante de Planck. O objetivo de Bohr na época era obter um modelo teórico que reproduzisse a fórmula empírica de Rydberg-Ritz (equação 4.4), para isto, os raios das órbitas circulares deveriam ser proporcionais ao quadrado dos números inteiros n. Para resolver este novo problema, foi necessário Bohr fazer mais um postulado: • Momento angular quantizado: Bohr postulou que a magnitude do momento angular do elétron em uma órbita estável fosse igual a um número inteiro multiplicado por .

FÍSICA 4B

| 71

Sabemos que o módulo do momento angular é dado por L = rmv senθ ,, onde θ é o ângulo entre o vetor posição e o vetor velocidade. Como a órbita é circular, o ângulo θ neste caso é de 90°, logo o módulo do momento angular torna-se L = rmv. O postulado de Bohr fica então: mvn rn = n

4.12

A equação 4.12 pode ser reescrita da forma:  n  v2 =    mrn 

4.13

A equação 4.7 relaciona também a velocidade com o raio: 1 e2 v2 = m r 4πε 0 r 2

Ou simplesmente: v2 =

4.14

e2 4πε 0m rn 1

Combinando a equação 4.13 com a equação 4.14 temos: 2

 n  1 e2   = 4πε 0m rn  mrn  Resolvendo para r n encontramos: rn = n 2

4.15

4πε 0 2 = n 2a0 me 2

Na equação 4.15, r n são os raios das órbitas de Bohr e a0 é conhecido como raio de Bohr e seu valor é de: a0 =

4πε 0 2 = 0, 0529 nm me 2

Substituindo a equação 4.15 na equação para as frequências, equação 4.11, temos: 4.16

72 |

O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

Ei − E f h

 1 1  1 me 4 1  −    −  = 2 2 8πε 0h  r fi r fi ( 4πε 0 ) 4π 3  n n 2  e2

Comparando a equação 4.16 com a equação 4.4 que é a fórmula de Rydberg-Ritz, obtemos a constante de Rydberg dada por: R=

me 4

( 4πε 0 ) 4π c 3 2

me 4 8ε 02ch 3

4.17

Ao substituirmos a equação 4.4 na equação 4.16 levamos em con= λ v, sideração que c onde c é a velocidade da luz e λ é o seu comprimento de onda. Em 1913 já eram conhecidos os valores para m, me,, e,c,c,k ee , dentro dos seus limites de incertezas, desta forma Bohr foi capaz de reproduzir os valores obtidos pela espectroscopia. Para átomos com outros números atômicos Z, a fórmula 4.16 pode ser escrita da forma: v = Z2

 1 1   2 − 2  n  4π  n fi

me 4

( 4πε 0 )

Outro ponto importante é que a teoria de Bohr prevê a quantização da energia. Na equação 4.9 temos a energia mecânica para o átomo de hidrogênio, podemos ver que ela depende do raio da órbita em que o elétron se encontra, após o postulado dos estados estacionários foi possível obter raios discretos, ou seja, os raios das órbitas de Bohr foram quantizados. Sendo assim a energia mecânica também se tornou quantizada. Vamos substituir a equação 4.15 na equação 4.9 para encontrarmos a expressão para os níveis de energia para o átomo de hidrogênio. Temos então:

E (r ) = − En = −

En = −

e2 8πε 0rn

e2 me 4 =− 2 4πε 0 32π 2ε 02 2n 2 8πε 0 n 2 me 2 e2 me 4 2 = − Z 4πε 0 2 32π 2ε 02 2n 2 8πε 0 n 2 me 2

para o átomo de hidrogênio

para os outros átomos 4.18

Para o átomo de hidrogênio, Z=1, a equação 4.18 pode ser reescrita como: En = −

E0 n2

4.19

FÍSICA 4B

| 73

Sendo: 4.20

E0 =

me 4 32π 2ε 02 2

= 13,6 eV

Na equação 4.20 foram substituídos os valores para a massa e carga do elétron, o valor da constante de permissividade do vácuo e o valor da constante de Planck divida por 2π, todos os valores no sistema internacional, logo a energia obtida foi em Joules. Depois de obtida a energia em Joules fez-se a conversão para elétronsvolts, sendo 1eV = 1, 6 ×10−19 Joules. A equação 4.19 nos fornece as energias quantizadas permitidas para o átomo de hidrogênio. Pela equação 4.19, fazendo n=1, encontramos a energia do estado fundamental para o átomo de hidrogênio que é E1 = −13,6 eV . O modelo de Bohr teve grande sucesso por reproduzir bem os resultados espectroscópicos para o átomo de hidrogênio, não reproduzindo bem os resultados para os átomos de mais elétrons e prótons. Porém, este modelo tinha várias deficiências, a mais importante é que não havia nada que justificasse os postulados dos estados estacionários e a quantização do momento angular. A única justificativa foi o modelo reproduzir bem os dados experimentais. A mecânica quântica consegue resolver estas dificuldades. Na mecânica quântica os estados estacionários do modelo de Bohr são substituídos pela solução de ondas estacionárias da equação de Schrodinger. A quantização da energia pode ser obtida como consequência direta da resolução das equações de Schrodinger. A teoria quântica prevê a quantização do momento angular, sendo que no modelo de Bohr esta quantização teve que ser postulada, além do fato de que para o estado fundamental do átomo de hidrogênio a teoria de Bohr prevê L = em contradição com os dados experimentais que demonstram ser L=0. A mecânica quântica prevê L=0 em concordância com os experimentos. Quanto ao átomo de hidrogênio, as energias quantizadas obtidas através das soluções da equação de Schrodinger concordam muito bem com os dados experimentais e também com a teoria de Bohr.

74 |

O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

A Equação de Schrodinger e o Átomo de Hidrogênio Como vimos, a teoria de Bohr reproduz muito bem as radiações emitidas pelo átomo de hidrogênio, tanto é que reproduz muito bem a fórmula empírica de Rydberg-Ritz. No entanto, por exemplo, esta teoria é incapaz de nos fornecer quais dentre as muitas frequências permitidas tem maior probabilidade de serem emitidas pelo átomo. Para podermos ter uma descrição completa temos que utilizar o método da mecânica ondulatória, que foi desenvolvido nos capítulos anteriores, onde tivemos comprovações da dualidade onda-partícula. Ao resolvermos a equação de Schrodinger encontramos funções de onda correspondentes aos estados de movimento permitidos, nelas podemos encontrar tudo que seja possível a respeito da partícula. Ao resolvermos a equação de Schrodinger para o átomo de hidrogênio podemos, por exemplo, determinar o raio médio do átomo, a probabilidade de encontrarmos o elétron em uma determinada posição, a probabilidade do elétron, ao absorver um fóton, fazer uma transição de um estado inicial conhecido de menor energia para outro estado também conhecido de maior energia e ao emitir um fóton a transição de um estado de maior energia para um estado de menor energia também conhecidos. Podemos também calcular os momentos magnéticos do átomo e assim por diante. Como vimos, na equação de Schrodinger há a necessidade de conhecermos as energias para serem incluídas na equação. Sendo o átomo de hidrogênio considerado como esférico, a energia potencial relacionada é tridimensional, logo há a necessidade de escrevermos as equações de Schrodinger em coordenadas esféricas, este será o nosso próximo passo antes de expormos as soluções e discutí-las.

A equação de Schrodinger em coordenadas esféricas Nos capítulos anteriores vimos a equação de Schrodinger em coordenadas cartesianas, mais precisamente vimos em uma única dimensão, agora surge a necessidade de trabalharmos em mais de uma dimensão, ou melhor, em três dimensões. A equação de Schrodinger em coordenadas cartesianas, para um elétron de massa m se movendo em três dimensões em uma região onde a energia potencial é U, é dada pela equação:

FÍSICA 4B

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2 2 2 2  ∂ ψ ( x , y , z ) ∂ ψ ( x , y , z ) ∂ ψ ( x , y , z )  − + +   + U ( x , y, z )ψ ( x , y, z ) = Eψ ( x , y, z ) 2m  ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 

4.21

Para estudarmos os átomos, a equação 4.21 deverá ser tratada em coordenadas esféricas. Para um único átomo isolado, a energia potencial dependerá apenas da posição radial r à qual se encontra o elétron em relação ao núcleo. Esta posição radial está relacionada com as coordenadas cartesianas por: r = x 2 + y2 + z2

As coordenadas esféricas, r , θ e φ estão relacionadas às coordenadas cartesianas x, y e z, por (veja figura 4.1): z = r cos θ x = r sen θ cos φ y = r sen θ sen φ P (r, θ , ϕ )

aˆ r

aˆ z

aˆ ϕ

θ aˆ x

aˆ θ aˆ y

Figura 4.1

Aplicando estas transformações na equação 4.21, somos capazes de encontrar: −

2 2mr 2

 ∂  2 ∂ψ   1 ∂  ∂ψ  1 ∂ 2ψ   r sen + + + θ    + U ( r )ψ = Eψ   2   ∂θ  sen 2θ ∂φ 2    ∂r  ∂r   sen θ ∂θ 

4.22

Que é a equação de Schrodinger em coordenadas esféricas.

76 |

O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

Para resolver a equação 4.22 usa-se a técnica de separação de (r , θ , φ ) pode ser escrita como variáveis, onde a função de onda ψ o produto de três funções, onde cada função dependerá apenas de umas das três variáveis, desta forma a função de onda pode ser escrita da forma:

ψ ( r , θ , φ ) = R ( r ) f (θ ) g (φ )

4.23

Onde R é uma função somente da coordenada radial r, f é uma função somente da coordenada polar θ . e g é uma função somente da coordenada azimutal ψ ( r , θ , φ ) Ao = Rsubstituirmos (r ) f (θ ) g (φ ) a função de onda dada pela equação 4.23 na equação 4.22, a equação 4.22 pode ser separada em três equações diferenciais ordinárias, uma para cada função. As soluções obtidas através destas equações podem ser aplicadas a qualquer problema cuja energia potencial dependa somente de r. Ao resolvermos cada equação separadamente surgem três números quânticos, cada um associado a cada uma das variáveis. Em coordenadas esféricas, que é o que nos interessa no momento, temos: • n: é o número quântico associado à variável radial r. É conhecido como número quântico principal. Como estamos trabalhando com a função R(r) que é depende da distância radial r, que é parte da função de onda, somos capazes de, a partir dos resultados obtidos, calcularmos a probabilidade de encontrar o elétron em várias distâncias a partir do núcleo. O número quântico principal é também usado para calcular as energias dos estados do átomo. • l: é o número quântico associado à variável θ . É conhecido como número quântico orbital. Está associado ao momento angu lar orbital L . A relação entre o módulo do momento angular orbi tal L. e o número quântico orbital l é dada por: L = l (l + 1)

4.24

• ml: é o número quântico associado à variável φ . É chamado de número quântico magnético. Este número quântico está associado à componente do momento angular orbital ao longo de uma certa direção do espaço. Para um átomo isolado, esta direção não tem nenhuma preferência, podendo ser qualquer uma. Porém, se submetermos o átomo a um campo magnético externo é possível privilegiar uma determinada direção. Foi convencionado que a direção do campo magnético aplicado seja +z, desta forma, a compoFÍSICA 4B

| 77

nente z do momento angular orbital do elétron é dada, pela condição de quantização, por: 4.25

Lz = ml

A exigência de que a função de onda seja contínua e possa ser normalizada foi a responsável pela introdução destes três números quânticos, n, l e ml . A condição de quantização para o momento angular orbital, citada acima, foi imposta pelas condições de contorno para a coordenada azimutal φ , que estabelece que a probabilidade de encontrar o elétron em algum ângulo arbitrário φ1 é igual à probabilidade de encontrá-lo em uma posição angular φ2 = φ1 + 2π , visto que se trata do mesmo ponto no espaço. Como podemos notar os números quânticos l e ml estão associados com o momento angular orbital do elétron e com a dependência angular da função de onda do elétron. Os valores possíveis dos três números quânticos são: n = 1,2, 3,… 4.26

l = 0,1,2, 3,… , n − 1

Foi comprovado experimentalmente que, ao medirmos o momento angular do elétron em unidades de , a magnitude do mol (l + 1) mento angular é quantizada tendo o valor de unidades, e que sua componente ao longo de qualquer direção pode ter somente 2l+1 valores, variando de –l à +l unidades.

Funções de onda e densidades de probabilidade para o átomo de hidrogênio As funções de onda são soluções da equação de Schrodinger, que para o átomo de hidrogênio com uma energia potencial U(r), devido a interação eletrostática entre o elétron e o próton, é da forma U (r ) = −

e2 4πε 0r

e pode ser resolvida exatamente. Resolver a equação de Schrodinger não é o objetivo deste curso, nosso objetivo é discutir os seus resultados. Para o estado fundamental do átomo de hidrogênio, que 78 |

O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

é o estado de mais baixa energia, o número quântico principal n é igual a 1, enquanto que os números quânticos l e ml , são os dois iguais a zero, logo o momento angular do átomo de hidrogênio para o estado fundamental é também zero. Comparando estes resultados com o modelo de Bohr, notamos que as energias entre os dois modelos são iguais, porém no modelo de Bohr o momento angular é diferente de zero, que contradiz os experimentos. Neste ponto já notamos como a teoria quântica é mais completa! As funções de onda em coordenadas esféricas são caracterizadas pelos números quânticos n, l e ml , por este motivo são escritas como no caso do estado fundamental para o átomo de hidrogênio podemos escrevê-la da forma ψ 100 , pois n=1, l=0 e ml =0. Ao resolvermos a equação de Schrodinger para o estado fundamental do átomo de hidrogênio encontramos a seguinte função de onda:

ψ 100 = C100e

−

r a0

4.27

Na equação 4.27, a0 é o raio de Bohr dado por: a0 =

4πε 0 2 = 0, 0529 nm me 2

e C100 é uma constante que é determinada pela condição de normalização. Vamos agora determinar esta constante de normalização. Em três dimensões, a condição de normalização é dada por:

∫ψ

dV = 1

4.28

A integração deve ser feita sobre todo o espaço, sendo dV um elemento de volume. Em coordenadas esféricas, um elemento de volume é dado por (veja figura 4.2 para maior compreensão):

dV = (r senθ dφ )(r dθ ) dr = r 2senθ dθ dφ dr

Figura 4.2

FÍSICA 4B

| 79

Como a integração deve ser feita sobre todo o espaço, os limites de integração para cada variável será: Variável r: de zero à ∞ φ . de zero à 2π Variável : θ ede φ . zero à π Variável : A condição de normalização dada pela equação 4.28, fica da seguinte forma:

∫ψ ∫ψ

dV =

∞

2π

∫ ∫ ∫

∞

2π

∫ ∫ ∫

ψ r 2senθ dθ dφ dr = 1 2 −

C100 e

2r a0

r 2senθ dθ dφ dr = 1

Esta integral tripla pode ser separada em três integrais, como um ψ 100 , é produto das três, isto pode ser feito porque a função de onda θ e φ . Ficando da seguinte forma: independente das variáveis

A integral entre parênteses pode ser resolvida através de sucessivas integrações por partes. Pode-se também encontrá-la em uma tabela de integrais, observando que a integral entre parênteses tem a forma: ∞ n! n − ax ∫0 x e dx = an +1 Onde n é um inteiro positivo e a>0. Comparando este resultado geral com a integral que queremos calcular identificamos que n=2 a = a20 , sendo assim, a solução fica da seguinte forma: e

80 |

O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

Temos então:

 a0 3   4π = 1  4 

2 ∫ ψ dV = C100 

C100 =

π a0 3

A função de onda normalizada para o estado fundamental do átomo de hidrogênio fica da seguinte forma: 4.29

Como já dissemos a função de onda não possui significado físico, o que tem significado físico é a quantidade ψ 2 = ψψ *, que é a probabilidade por unidade de volume de encontrarmos o elétron em uma determinada região, ou seja, a probabilidade de encontrar o elétron 2 em um volume dV é ψ dV . A figura 4.3 mostra a densidade de ψ2 probabilidade para o estado fundamental do átomo de hidrogênio; notamos que esta densidade de probabilidade tem simetria esférica, dependendo somente de r e não de φ e θ .

Figura 4.3

Já que, neste caso, ψ 2 depende somente da variável radial r, é conveniente escolhermos como elemento de volume dV, o elemento entre duas cascas concêntricas, uma de raio r e outra de raio r+dr. Sendo assim, podemos escrever o elemento de volume como: dV = 4π r 2dr

4.30

FÍSICA 4B

| 81

Podemos ver que a equação 4.30 é um infinitesimal de volume lembrando que 4πr2 é a área da esfera interna de raio r e que dr é a distância entre as duas cascas. A probabilidade de encontrarmos o elétron no volume dV a uma distância r, será, portanto: 4.31

2− r a0 20

4 a 2 ee r r P ( rP)(r=) = Na equação 4.31 o termo é a densidade de probaa )3 ( ( a0 ) bilidade radial para o estado fundamental do átomo do hidrogênio. A figura 4.4 mostra o gráfico de P(r) em função de r para o átomo de hidrogênio, a origem representa o centro do átomo e o ponto assinalado em 50pm representa, como podemos ver, o raio de maior probabilidade, que é exatamente o raio obtido através do modelo de Bohr. Devemos lembrar que na mecânica quântica 50pm é o raio mais provável mas que existe a probabilidade, pequena mas existe, de encontrá-lo em qualquer distância do núcleo. Na teoria de Bohr ele considerou que o elétron permanecia em uma órbita bem definida, o que não ocorre. Temos que tratar o elétron e qualquer outra partícula subatômica de forma probabilística. Como sabemos, a probabilidade de encontrarmos o elétron en→ ∞ é igual a 1, pois o elétron com certeza estará em tre r=0 e r algum lugar em torno do núcleo! Logo, a área sob a curva da figura 4.4 é igual a 1, ou seja: −

∞

∫ (a ) 0

−

2r a0

r 2dr = 1

P ( r ) (10 −3 pm)

Figura 4.4

50 100 150 200 250 r (pm)

82 |

O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

Exemplo 4.2 Considere o átomo de hidrogênio em seu estado fundamental. Estime a probabilidade de encontrar o elétron numa casca fina esférica com raio interno r e raio externo r+dr, onde ∆r=0,06 a0 e sendo: a) r= a0 b) r= 2a0 solução

a) Podemos desprezar a variação na densidade de probabilidade radial P(r) na casca por ser ∆r muito pequeno comparado à r. Sendo assim, a probabilidade de encontrar o elétron num intervalo pequeno ∆r é então P(r)∆r, logo: P ( r ) ∆r = P ( a0 ) 0, 06 a0 =

( a0 )

e 3

−

2r a0

r 2 ∆r

e −2a02 ⋅ 0, 06 ⋅ a0 = 0, 0325

b) Procedendo de forma análoga, fazendo agora r=2a0 , temos: P ( 2a0 ) 0, 06 a0 =

( a0 )

e −4 4a02 ⋅ 0, 06 ⋅ a0 = 0, 0176

Pelos resultados obtidos notamos que a probabilidade de encontrarmos o elétron entre r=a0 e r=a0+0,06a0 é maior do que encontrá-lo entre r= 2a0 e r=2a0+0,06a0 como esperávamos. Por que esperávamos isso?

Exemplo 4.3 Mostre que a densidade de probabilidade radial para o átomo do hidrogênio no estado fundamental é máxima para r=a0 . solução

Do cálculo sabemos que para encontrarmos os pontos de máximos e mínimos de uma função devemos derivá-la e igualar a zero. Para sabermos se os pontos encontrados são máximos ou mínimos devemos derivar novamente e igualar a zero, ou seja, a segunda derivada de uma função nos informa se os pontos encontrados são mínimos ou máximos. A função que devemos derivar é a densidade de probabilidade radial para o átomo de hidrogênio, que é dada por: P (r ) =

( a0 )

e 3

−

2r a0

FÍSICA 4B

| 83

Derivando e igualando a zero temos: dP ( r ) 4 − a0 = e 3 dr ( a0 )

( a0 )

 −2  4 − a0 ⋅   r 2 + 2r e =0 3 ( a0 )  a0 

−

2r a0

r ( a0 − r )  = 0

→∞ A igualdade acima pode ser satisfeita se r=0, r ou se r=a0 . Contudo, para os dois primeiros casos podemos mostrar, através da segunda derivada, que são pontos de mínimo e que somente em r=a0 é que temos um ponto de máximo.

O Primeiro estado excitado para o átomo de hidrogênio O primeiro estado excitado corresponde ao número quântico principal n=2. Ao analisarmos os valores permitidos para os números quânticos, magnético e orbital, que podem ser obtidos através da equação 4.26, encontramos que para n=2 podemos ter: l = 0 ou 1

ml = −1, 0 e 1

Para l=0, temos ml=0 e a função de onda que descreve este estado é dada por: 4.32



ψ 200 = C 200  2 − 

 − 2a0 e 

r a0

Analisando a equação 4.32 notamos que a função de onda depende somente da variável radial, temos novamente uma função de onda com simetria esférica. Para l=1, ml pode assumir os valores +1, 0 ou -1, as funções de onda que representam estas três configurações são: 4.33

 r  a0

ψ 210 = C 210 

 − 2a0 cos θ e  r

4.34

84 |

O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

ψ 21±1

 r  − = C 211   e 2a0 senθ e ± iφ  a0 

Onde C200 , C210 e C211 são as constantes de normalização. Podemos obter as densidades de probabilidade das três funções de onda cal2 = ψψ * . culando ψ Procedendo desta forma encontramos: 2

ψ 200 = C 200 2

 r  − a0 2 −  e a0   2

 r  − a0 2  e cos θ  a0 

ψ 2102 = C 2102 

ψ 21±1 = C

2 211

4.35

4.36

 r  − a0 2   e sen θ a  0

4.37

A equação 4.35 nos mostra que a densidade de probabilidade depende somente da variável radial quando l=0. Lembrando que o número quântico angular está relacionado ao momento angular temos que, quando l=0=>L=0, ou seja, o momento angular também é zero e se o momento angular é zero a densidade de probabilidade não pode ter uma direção especial. Já as equações 4.36 e 4.37 dependem da coordenada θ , porém não dependem da coordenada azimutal φ . Na equação 4.37 notamos que as densidades de probabilidade para ml=1 e para ml=-1 são iguais. As figuras 4.5, 4.6 e 4.7 mostram, respectivamente, as densidades de probabilidade para n=2, l=0 e ml=0, n=2, l=1 e ml=0 e n=2, l=1 e ml=±1.

Figura 4.5

FÍSICA 4B

| 85

Figuras 4.6 e 4.7

A soma das três densidades de probabilidade para l=1, ou seja, para ml=0, 1 e-1, resulta em uma densidade de probabilidade de simetria esférica.

Spin e Momento Angular Podemos obter o momento magnético orbital de um elétron em um átomo semiclassicamente. Para isto, vamos iniciar fazendo uso de um modelo clássico para o átomo, ao qual consideraremos um elétron em órbita circular ao redor de um núcleo massivo (como já vimos isso não ocorre realmente). Como elétrons em movimento resultam em corrente elétrica, teremos uma minúscula corrente, e como corrente elétrica gera campo magnético teremos um dipolo magnético (que chamaremos de momento magnético orbital), como ilustrado na figura 4.8.

Figura 4.8 86 |

O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

Na figura, L é o momento angular, que, como sabemos, é dado por, L = r × p = r × mv

4.38

Como o elétron está movendo-se no sentido anti-horário, aplicando a regra da mão direita vemos que L está direcionado verticalmente para cima (o sentido da trajetória circular é horário, pois, estamos sempre considerando que a corrente é devida ao movimento das cargas positivas). O momento magnético orbital µ está no sentido contrário em relação ao vetor L pois, a carga que está em movimento é o elétron e este possui carga negativa. Em uma volta completa, este elétron terá percorrido uma distância de 2πr em um tempo T, que é o período do movimento. Sabemos também que a corrente é que para uma volta completa é igual a i = dq i = Te , sendo e a dt , carga do elétron. Combinando as equações temos: i=

ev 2π r

4.39

Vimos no curso anterior que o momento magnético associado a uma corrente é μ=iA, sendo A a área interna à espira, aqui A será a área interna da órbita do elétron, então teremos: i=

µ ev = 2π r A

4.40

Considerando a órbita circular, a área será A=πr2. Sendo também o vetor velocidade perpendicular ao raio, a equação 4.38 torna-se: L = mrv sen 90°. Combinando estes resultados encontramos:

µ=

π r 2ev rev eL = = 2π r 2 2m  e  L  2me 

µ =

4.41

Este resultado nos mostra que o momento magnético do elétron é diretamente proporcional ao momento angular orbital. Como μ e L são vetores, a equação 4.41 pode ser reescrita da forma,

 e  2me

µ = −

 L 

4.42

FÍSICA 4B

| 87

Onde µ é o momento magnético orbital total do átomo e L é o momento angular orbital total de todos os elétrons no átomo. O sinal negativo foi introduzido na equação 4.42 porque como são elétrons em movimento a corrente tem o sentido oposto ao movimento eletrônico. Ao estudarmos a mecânica quântica vimos que o elétron não fica orbitando em órbitas bem definidas, mas que se tem maior probabilidade de estar em certas regiões, ou seja, as órbitas de Bohr foram substituídas por densidades de probabilidade. Mas, mesmo na mecânica quântica, cada estado de um elétron em um átomo possui um momento angular L e um momento magnético µ que estão orientados em sentidos opostos. Como foi visto neste capítulo, o momento angular orbital é quantizado, ou seja, pode ter apenas certos valores, que são sendo l o número quântico orbital e = 2hπ = 1, 05 × 10 −34 J .s, sendo h a constante de Planck. Desta forma, como o momento angular orbital é quantizado o momento magnético torna-se também quantizado, pois: 4.43

 e  2me

µ =

  e  L =   l (l + 1)   2me 

Os vetores µ e L não podem ser medidos diretamente, mas se apli carmos um campo magnético uniforme B é possível medir as componentes destes vetores em relação a qualquer eixo. Por exemplo, se aplicarmos um campo magnético a um átomo e o colocarmos apontando para o sentido apontando para o sentido positivo do eixo z do nosso sistema de referência, podemos neste caso medir as componentes z dos dois vetores. Através da equação 4.43 vemos que o momento magnético é quantizado, podendo ter somente certos valores, considerando o campo magnético estando direcionado para o eixo z, pode-se medir µorb,z , sendo: a componente z do momento magnético orbital 4.44

 e   l (l + 1) = µB ml  2me 

µorb,z = 

Na equação 4.44 = 9,274x10 -24 J/T é conhecido como magl (l + 1)é o número quântico magnético orbital. néton de Bohr e m l = De acordo com a equação 4.44, o menor valor para o momento magnético orbital do elétron, diferente de zero, ocorre para l=1 e é: 4.45 88 |

O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

 e  2me

µ = 2

  

Experimentos demonstraram que somente o modelo descrito acima era insuficiente para explicar o que se observava nos laboratórios. Em adição ao momento magnético orbital, foi previsto que o elétron possuía propriedades intrínsecas, conhecidas como spin, que também contribui para o momento magnético. Classicamente é como se o elétron girasse em torno dele mesmo, como um pião. Porém, esta ideologia é errônea visto que o elétron é considerado uma partícula pontual de raio igual a zero. Nestas circunstâncias foi necessário introduzir outro tipo de momento magnético para o elétron, chamado de momento magnético de spin Associado a este momento magnético intrínseco temos o momento angular intrínseco S . O módulo do momento angular de spin S . de qualquer elétron, livre ou confinado, é quantizado e é dado por: S = s ( s + 1) .

4.46

Na equação 4.46 ( s = 12 ) é o número quântico de spin do elétron. O momento magnético intrínseco e o momento angular in trínseco S . relacionam-se vetorialmente por:

µs = −

e S. m

4.47

Esta associação é devida ao fato do elétron possuir um dipolo magnético intrínseco que está relacionado ao seu momento angular de spin S . Não podemos confundir o momento magnético da equação 4.44 com o momento magnético da equação 4.47. O primeiro é devido ao movimento orbital da partícula em torno do núcleo e o segundo é intrínseco à partícula, como se ela girasse em torno de si mesma. Através da equação 4.46 vemos que o momento angular de spin é quantizado, logo o momento magnético de spin também é. A equação 4.47 fica então:

µs = −

e e S = s ( s + 1) . m m

4.48

Como ocorre com µ e L , os vetores S . e não podem ser medidos diretamente, podemos medir apenas as suas componentes em rela ção a um eixo qualquer. As componentes z do vetor S . são quantizadas e os valores permitidos são dados por:

FÍSICA 4B

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4.49

Sz = ms

ms é o número quântico magnético de spin, que para o elétron pode 1 ms = − 12 . A componente z do momento magter os valores m s = 2 e nético de spin fica sendo então:

µs , z = −

e ms = −2ms µB m

Vamos ver na próxima seção que estas previsões da mecânica quântica são confirmadas experimentalmente. Os números quânticos n, l, ml, s, ms descrevem perfeitamente o estado quântico de um elétron em um átomo de hidrogênio ou em qualquer outro átomo. Uma camada é formada por todos os estados com o mesmo número quântico n. Uma camada possui 2n2 estados, este valor é encontrado ao multiplicarmos os valores permitidos de l e ml e depois multiplicarmos por 2, que são os dois valores permitidos para ms . Por sua vez, uma subcamada é formada por todos os estados com os mesmo valores de n e l.

O Experimento de Stern-Gerlach Em 1922 Otto Stern e Walther Gerlach elaboraram um experimento a fim de comprovar que o momento magnético era quantizado. O experimento consistia em vaporizar uma amostra de prata através de um forno. Os átomos do vapor de prata escapariam através da parede do forno entrando em um tubo ao qual se fez vácuo. Após entrarem no tubo alguns átomos atravessariam uma fenda, paralela à primeira, a fim de serem colimados, ou seja, a trajetória de cada átomo torna-se paralela uma com a outra. Estando a trajetória de todos os átomos paralela, este feixe de átomos passa em seguida por um eletroímã e logo após atinge uma placa de vidro, formando com isso um depósito de prata no vidro. Na figura 4.9 podemos ver o que a teoria clássica previa e o que foi observado neste experimento. A teoria clássica previa uma mancha contínua e vertical, porém, o que se observou foram duas manchas.

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O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

Previsão clássica O que foi de fato observado Átomos de prata

Forno Campo magnético inomogênio

Figura 4.9

Por que a teoria clássica previa uma mancha vertical? Primeiramente devemos notar que com o eletroímã desligado os átomos não estão na presença de um campo magnético, logo a mancha observada é estreita e paralela à fenda. Ligando-se o eletroímã eles passam a sentir o campo magnético, porém como eles são neutros (mesma quantidade de prótons e elétrons) não surge a força mag nética F = qv × B sobre eles. Mas qual a força que atua sobre eles? Lembrando que os átomos de prata possuem momentos de dipolo magnético, estes dipolos interagem com o campo magnético do eletroímã, podemos então encontrar uma expressão para a força que os átomos passam a sentir sabendo que a relação entre a força e a energia potencial é F = −∇U , ou seja, a força é igual ao negativo do gradiente da energia potencial. Se o campo magnético estiver apontando na direção z, a expressão para a força reduz a F = − ∂∂Uz . A energia potencial de um dipolo magnético, já é conhecida, e é dada por: 4.51 U = − µ .B Colocando o nosso referencial no mesmo sentido do campo magnético da figura 4.9, ou seja, apontando para baixo, e sabendo que o dipolo magnético aponta no mesmo sentido do campo magnético, a equação 4.51 pode ser reescrita em função da componente z do dipolo magnético do átomo de prata da seguinte forma: U = − µz B

Logo, a força magnética à qual um átomo de prata está submetido ao passar por um campo magnético será: F=−

∂ ( − µz B ) ∂U ∂B =− = µz ∂z ∂z ∂z

4.52

FÍSICA 4B

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Na expressão 4.52 vemos que quanto maior for a variação de B em relação a z maior será a força sentida pelos átomos de prata. Na teoria clássica os momentos de dipolos magnéticos deveriam variar de –μ à +μ, analisando a equação 4.52 este intervalo de variação de μ geraria forças para cima e para baixo (considerando o eixo z como estando na direção vertical) fazendo com que os átomos de prata fossem defletidos para cima e para baixo nesta faixa, como consequência apareceria uma mancha vertical alongada na placa de vidro. Mas o que se observou, contrariando a física clássica, foram duas manchas, uma acima e outra abaixo da mancha observada quando o eletroímã estava ligado. Esta observação veio constatar que μ não poderia ter qualquer valor entre –μ e +μ e sim apenas dois valores distintos. Através deste experimento foi comprovado que a componente z do momento de dipolo magnético era quantizada e como consequência o vetor momento de dipolo também era quantizado. Esta conclusão vem do fato de que como na teoria clássica o momento de dipolo está relacionado ao momento angular conclui-se que sendo o momento de dipolo quantizado o momento angular também deve ser quantizado. Mas um problema surgiu, pois, como o feixe de átomos de prata subdividiu-se em duas componentes, que são referentes às duas orientações diferentes do vetor momento magnético do átomo, o vetor momento angular L também se subdividiu em duas componentes, pois os dois estão correlacionados, sendo assim, o número quântico angular l deveria assumir o valor 1/2 que contradiz a restrição de que l deve assumir somente valores inteiros. Resumindo, o número de orientações possíveis de L é 2l+1 e, para que o resultado seja igual a 2, devemos ter l = 12 . A solução para este problema veio dois anos depois do experimento, em 1924, quando Wolfgang Pauli sugeriu a existência de um outro número quântico que descrevesse o estado de um elétron num átomo cujos valores podem ser + 12 ou − 12 . Em 1925 S. Goudsmit e G. Uhlenbeck propuseram a noção de spin do elétron como uma interpretação física do novo número quântico proposto por Pauli. O valor do número quântico de spin s não muda com o estado de movimento do elétron, todos os elétrons possuem spin s = 12 , sendo o spin considerado uma propriedade fundamental da partícula, como é considerada a massa e a carga elétrica. Os números quânticos l e ml , que são relativos ao momento angular e sua projeção magnética respectivamente, surgem naturalmente ao se resolver a equação de Schrodinger para o átomo 92 |

O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

de hidrogênio. Porém o momento angular de spin e sua projeção magnética não surgem ao resolvermos a equação de Schrodinger. Foram introduzidos na teoria sem nenhuma justificativa teórica. Porém, Paul Dirac posteriormente desenvolveu uma equação de onda relativística semelhante à equação de Schrodinger e demonstrou que as soluções da sua equação para o átomo de hidrogênio forneciam o spin do elétron como um novo número quântico. Com a equação de Dirac foi possível descrever completamente o átomo. É possível agora explicar o aparecimento dos dois feixes no experimento de Stern-Gerlach. O elétron de valência num átomo de prata ocupa um estado em que l=0, de modo que o momento angular total do elétron se deve somente ao seu spin. Este vetor de spin tem apenas duas orientações possíveis, em relação ao campo magnético, resultando nas duas componentes do feixe. A tabela 4.1 faz um resumo dos estados quânticos do elétron em um átomo. Estados quânticos do elétron de um átomo

Número Quântico

Símbolo

Principal

Orbital

Magnético Orbital

De spin

Magnético de spin

Valores Permitidos

Relacionado a

1, 2, 3, ... Distância do núcleo Momento angular

0, 1,2 ...., (n-1) orbital 0, ±1, ±2, ..., ±l

1 2

l =± 12

Momento angular orbital (componente z) Momento angular de spin Momento angular de spin (componente z)

A tabela 4.2 mostra os estados do átomo do hidrogênio até n=3. n

0, ±1

0, ±1, ±2

ms Número de estado nas subcamadas Número de estado nas camadas

2 2

1 2

l= 2

1 2

l= 6

1 2

FÍSICA 4B

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A sequência dos números 2, 8 e 18 que aparece na última linha da tabela 4.2 nos é familiar. Se olharmos uma tabela periódica iremos ver que estes números equivalem a quantidade de células das linhas horizontais, ou seja, são os períodos da tabela periódica dos elementos. Olhando a tabela periódica notamos que o período 1 contém 2 elementos, os períodos 2 e 3 contêm 8 elementos cada um e os períodos 4, 5 e 6 contêm 18 elementos. O período 7 ainda está incompleto. Em outro curso será visto como a ordem com a qual aparecem os elementos na tabela periódica surge a partir dos princípios da mecânica quântica. Os núcleos dos átomos também possuem momento magnético associado aos prótons e nêutrons, contudo o momento magnético de um próton ou de um nêutron é muito menor comparado ao do elétron, podendo ser desprezados. Isto ocorre porque o momento de dipolo é inversamente proporcional a massa e a massa do próton e do nêutron são muito maiores em relação à do elétron.

94 |

O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

MOVIMENTO RELATIVO No nosso dia a dia observamos os objetos (carro, avião, bicicleta, etc.) ou mesmo pessoas em movimento. Ou ainda o movimento da natureza, como por exemplo, uma rajada de vento e a correnteza de um rio. É impossível imaginar o nosso mundo e tudo ao seu redor como sendo estático, isto é, imóvel. Assim o estudo deste fenômeno sempre intrigou o homem desde a Grécia Antiga. Entre outras coisas, havia uma necessidade do homem conhecer o movimento das marés e das luas para traçar estratégias para navegação e plantio de alimentos. Desta forma, espera-se que um físico seja capaz de dominar a Mecânica que é a ciência que investiga o movimento. Na história da ciência podemos destacar alguns poucos nomes ilustres que deram contribuições para desenvolvimento da Mecânica: Aristóteles, Arquimedes, Galileu, Huygens, Hamilton e Einstein. O movimento é um conceito relativo que deve ser sempre referido a um referencial específico, escolhido pelo observador. Na maioria das vezes usamos a Terra como um “bom” referencial quando observamos fenômenos nas proximidades da superfície do nosso planeta. Porém, os astrônomos preferem fixar um referencial em corpo celeste chamado de estrelas fixas. No caso do movimento de elétrons em um átomo, um “bom” referencial é o núcleo atômico, visto que ele é bem mais pesado do que o elétron. Assim em qualquer situação, o físico irá escolher um determinado referencial que seja para ele mais fácil tomar os dados e sua análise.

Transformações de Coordenadas de Galileu Consideremos dois objetos A e B, e um observador O (onde o observador está em repouso no referencial) z VA rA

rAB rB

VB B

Figura 5.1

Assim as velocidades relativas ao observador O são: drA vA = dt dr vB = B dt

5.1

5.2

Onde r A é o vetor posição do objeto A e rB é o vetor posição do objeto B. Da figura 5.1 observamos que: rAB = rA − rB

rBA = rB − rA .

5.3

rAB é= roA vetor − rB posição relativo entre os Esta equação nos diz que dois objetos. Então derivando a eq. (5.3) em relação ao tempo encontramos a velocidade relativa: drBA drB drA = − dt dt dt v BA = v B − v A

5.4

1 onde do objeto A medida v BA por = v BB− v,BA v A =e v B são − v Avelociv BA é= velocidade −v AB . dades medidas pelo observador O. Fica como exercício mostrar que v BA = −v AB . Assim a eq. (5.4) é definida como velocidade relativa dos objetos e são obtidas subtraindo as velocidades relativas ao observador O. v BA =é −uma v AB . situação onde você está dentro de um 1 Um exemplo deste tipo de velociade relativa ônibus e ver um outro veículo passando na mesma direção e mesmo sentido, mas com velocidade diferente da sua em relação ao chão. Se sua velocidade é 10 m/s (em relação ao chão) e a do veículo 15 m/s (em relação ao chão), para você o veículo está a 5 m/s.

FÍSICA 4B

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Agora vamos considerar dois observadores e analisar o que eles medem quando uma bola de tênis está se movimentando. Na nossa hipótese inicial, vamos fixar um observador Orlindo no referencial da Terra (referencial O) e o segundo observador Ostracildo se moven do com velocidade constante u (referencial O’). Vamos admitir que não haja rotação dos eixos coordenados. Além disto, em t=0 e x=x’=0 (quando as origens dos sistemas de coordenadas se coincidem) os relógios dos dois observadores foram sincronizados e por algum dispositivo foram disparados juntos)2. y′

r u

r r

0′

Figura 5.2

r r′

00′

x′

z′

Podemos dizer que o observador O vê observador O’ mover-se com velocidade u cujo módulo é constante. Por outro lado, o ob servador O’ vê o observador O se mover com velocidade - u . Assim, depois de um intervalo de tempo t, a distância percorrida pelo observador O’ em relação ao observador O é dado por OO ′ = ut onde estamos admitindo que u = uî . Ainda analisando a figura 5.2, podemos dizer que cada observador localiza a bola de tênis3 com os vetores posições r e r ′ e podemos relacioná-los de acordo com: r = r ′ + OO ′ ou ainda, r ′ = r − ut . 5.5 Podemos reescrever a eq. (5.5) em equações escalares:

5.6

 x ′ = x − ut y′ = y   ′ z = z t ′ = t

2 Nós admitiremos que a bolinha de tênis não sofre influência de nenhuma força externa. Estamos em um sistema isolado. Isto não retrata a realidade, mas simplifica muito o nosso modelo. 3 Vamos admitir que a bola de tênis é um corpo rígido.

100 |

MOVIMENTO RELATIVO E A RELATIVIDADE RESTRITA

Estas equações são denominadas transformações de coordenadas de Galileu. Agora vamos obter as velocidades obtidas por cada observador e relacioná-las. A velocidade medida pelo observador O é: dr dx ˆ dy ˆ dz v= =î +j +k . dt dt dt dt

De forma semelhante, a velocidade medida pelo o observador O’ é dada por: dr ′ dx ′ ˆ dy ′ ˆ dz ′ = î′ + j′ + k′ v′ = . dt dt ′ dt ′ dt ′ Da eq. (5.6), podemos concluir que dt=dt’. E se derivarmos a eq. (5.5) em relação ao tempo, chegaremos a: dr ′ dr d ( ut ) = − dt dt dt 5.7

Lembrando mais uma vez que u é constante em relação ao tempo. Assim podemos reescrever a eq. (5.7),

v x′ ′ = v x − u x  v ′y ′ = v y  v z′ ′ = v z

5.8

Se o movimento relativo da bolinha de tênis é paralelo ao eixo x e x’, assim como o observador Ostracildo, temos que as componentes da velocidade do objeto são dadas por: v x′ = v x − u x ,

5.9

Sendo as outras componentes nulas, isto é, v ′y ′ = v y = 0 e ′ v z ′ = v z = 0. Retomando o caso geral, quando a bolinha tem liberdade para se mover em qualquer direção, podemos então determinar as acelerações medidas pelos dois observadores. Para esta finalidade tomamos a derivada temporal das eq. (5.8) e chegamos a: ax′ ′ = ax  a`′y ′ = ay a′ = a z  z′

5.10

FÍSICA 4B

| 101

Este resultado diz que os observadores medem as mesmas acelerações para a bolinha de tênis. Assim podemos generalizar esta última conclusão: A aceleração de uma partícula é a mesma para todos os observadores em movimento relativo de transformação uniforme. Neste caso a aceleração é um invariante sob transformação de coordenadas.

Exemplo 5.1 O trânsito de veículos automotores em cidades está causando problemas de tráfego. Por causa disso as prefeituras são obrigadas a sincronizar os semáforos e disponibilizar agentes de trânsito nos cruzamentos. Assim, imagine um agente de trânsito organizando um cruzamento cujas vias permitem veículos trafegarem com velocidades máximas de 100 km/h. Para indicar que os carros devem continuar o agente faz um silvo breve com seu apito (fonte sonora). Calcule a velocidade relativa a um observador de um carro que se move a 90 km/h. Considere que a temperatura ambiente é 25oC e a velocidade de propagação do som é 358 m/s. solução

Vamos supor duas situações: a) O observador se afastando da fonte sonora. b) O observador se aproximando da fonte sonora. E ainda vamos admitir que a fonte e o ar estão ambas em repouso relativo ao solo. y

y’ u

o’

x’

a) O observador O’ que está se afastando do observador O (que é justamente a nossa fonte sonora) mede v′ = v − u

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MOVIMENTO RELATIVO E A RELATIVIDADE RESTRITA

Como movimento é em uma única direção, conforme ilustrado na figura da página anterior: v′ = v − u v ′ = 358 m s − 25 m s v ′ = 333 m s

b) Para o caso do observador O’ se aproximando do observador O, y

y’

o’

x’

u = −uî v′ = v + u v′ = v + u v ′ = 358 m s + 25 m s v ′ = 383 m s

Uma consequência das Transformações de Coordenadas de Galileu é que as Leis de Newton parecem iguais no sistema de movimento. Se substituirmos as transformações (5.8) nas Leis de Newton, acharemos que as leis do sistema se transformam nas mesmas leis do sistema com linha; isto é, as leis de Newton têm a mesma forma num sistema em movimento e num sistema estacionário (FEYMMAN 2008): Neste caso as Leis de Newton são invariantes sob transformação de coordenadas de Galileu.

FÍSICA 4B

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Postulados de Einstein Agora vamos analisar a indução de corrente numa bobina (circuito fechado) devido ao movimento relativo com um ímã permanente4. Vejamos o que acontece quando um dos dois objetos se movimenta.

y -

N S

x Figura 5.3

z Vamos fixar o referencial no laboratório e considerar a bobina permanece em repouso e o ímã permanente se movimentando. O resultado é uma corrente elétrica induzida na bobina. Agora fixando o ímã no laboratório e fazendo a bobina se movimentar, também há uma corrente induzida. Isto indica que a Lei de Faraday é a mesma para um observador na bobina e outro no ímã. Porém quando tratamos de fenômenos de eletricidade, do magnetismo e da luz, as transformações de coordenadas não preservam a Lei de Faraday (esta demonstração não será feita aqui por ir além da ementa da presente disciplina). Mais do que isso, estas transformações de coordenadas modificam as equações de Maxwell, sua forma não permanece a mesma. Então como devemos corrigir este problema? Por volta de 1890, um físico holandês Hendrik Lorentz, em conexão com problema do campo eletromagnético de uma carga, foi o primeiro a obter um conjunto de relações que tratavam de forma adequada as transformações de coordenadas para o eletromagnetismo. Nas seções seguintes estas relações serão novamente abordadas. No final do século XIX havia outro paradoxo, a comunidade científica considerava que o espaço vazio era preenchido por uma substância chamada de éter. Os físicos admitiam que as vibrações 4 Este fenômeno foi bem discutido no Fascículo de Física IIIB, se houver alguma dúvida faça uma revisão da Lei de Faraday naquele fascículo.

104 |

MOVIMENTO RELATIVO E A RELATIVIDADE RESTRITA

do éter estavam relacionadas com a velocidade de propagação da luz, da mesma forma que a velocidade de propagação do som está relacionada com o ar. Desta forma a velocidade de propagação de uma onda eletromagnética (inclusive a luz) precisava de um meio material para se propagar. Admitindo o éter em repouso (estacionário) a velocidade da luz tem valor c=2,9979×108m/s em relação ao éter. Vamos admitir também que a Terra se movimenta no éter, mas não ocorre qualquer perturbação. Perguntamos: Como é o movimento relativo de um raio de luz em relação à Terra? Para responder esta pergunta vamos imaginar uma situação parecida com aquela enunciada no exemplo 5.1, ou seja, movimento unidimensional. Vamos usar as transformações de velocidade de Galileu (eq. 5.8). Considere um raio de luz se propagando na mesma direção e sentido da Terra. Assim, a velocidade da luz em relação à Terra é v’=c-v. Se o raio de luz se propaga no sentido contrário, a velocidade relativa é v’=c+v. No entanto, se o raio de luz se movimenta perpendicularmente à Terra, a velocidade será: v′ = c 2 − u2 ,

onde v’ é velocidade da luz em relação a um referencial em movimento (Terra), c é velocidade da luz em relação ao éter (valor fixo) e u é a velocidade da Terra em relação ao éter. Uma consequência deste resultado é: A velocidade de propagação luz depende da direção em relação ao sistema de referência. A fim de verificar esta hipótese, Michelson e Morley em 1881 propuseram um experimento para estudar o movimento da Terra em relação ao referencial do éter. A surpresa que eles tiveram foi que a velocidade de propagação da luz é a mesma em todas as direções. Como as transformações de Galileu prevêem que a velocidade relativa depende da direção do movimento do observador, entramos em uma contradição entre a previsão teórica e os resultados experimentais. Assim somos obrigados a dizer que o conceito do éter não pode ser usado. A solução definitiva foi encontrada por Albert Einstein em 1905 quando ele publicou a Relatividade Especial. Para estudar este FÍSICA 4B

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tópico de física, precisamos nos despir de preconceitos e aceitar duas afirmações feitas por Einstein. Mais adiante veremos que as Transformações de Coordenadas de Galileu é um caso particular da teoria de Einstein. Einstein postulou que: Primeiro Postulado As leis da Física são as mesmas em todos dos referenciais inerciais (isto é, devem permanecer invariantes ou ter a mesma forma). Segundo Postulado A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor c em todas as direções e em todos os referenciais inerciais. Ou a velocidade da luz é um invariante físico tendo um mesmo valor para todos os observadores. Se admitirmos estas hipóteses, afirmamos que as Transformações de Galileu estão incorretas, em especial que t’=t não é uma igualdade totalmente verdadeira. Devemos aceitar que o vácuo é realmente vazio (não há éter), não há referencial privilegiado.

Simultaneidade A proposta de Einstein modificou nossa percepção de simultaneidade. Vejamos como isto acontece. Se dissermos que: Um trem sai da Estação Ferroviária Pedro Nolasco às 7:00 horas, queremos dizer que o ponteiro menor de nosso relógio que indica sete e a saída do trem são eventos simultâneos. Não teremos nenhum problema se estivermos próximo do trem na estação ferroviária. Mas teremos dificuldades se os eventos ocorrem em posições separadas. Para resolver isto precisamos de relógios espalhados ao longo dos trilhos e sincronizados.

B Figura 5.4

106 |

MOVIMENTO RELATIVO E A RELATIVIDADE RESTRITA

Porém, qualquer que seja o método de sincronização, precisaremos de envio de sinais para sincronizar os relógios. Este método não existe. O método mais realista é usar sinais luminosos.

Definição de simultaneidade para eventos separados Considere que um evento que ocorra em um tempo t1 e em uma posição x1 é simultâneo a um evento que ocorra em um tempo t2 e em uma posição x2. Se um pulso luminoso emitido em t1 e x1 e outro pulso emitido em t2 e x2 chegarem simultaneamente ao ponto médio entre em x1 e x2 , medido geometricamente, então os pulsos foram emitidos simultaneamente neste sistema.

Figura 5.5

Sendo assim, para um observador O no ponto médio, xx1 = xx 2

Desta forma podemos dizer que ele recebeu os sinais luminosos simultaneamente. Vamos analisar um observador O’ que se move com veloci = uî , dade u onde u=constante. Os pulsos são emitidos quando O’ está em frente de O. Neste caso os pulsos não chegam ao mesmo tempo, o sinal vindo da direta (x2) chega primeiro do que aquele

FÍSICA 4B

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emitido pela esquerda x1 simplesmente porque O’ se moveu durante um intervalo de tempo finito. Concluímos que O’ não vê os pulsos simultâneos uma vez que x1 x 2 < x1′x 2′ .

Dilatação do tempo Consideremos uma experiência imaginária, a nossa proposta é verificar e comparar os relógios de dois observadores. Vamos supor que Orlindo (O) e Ostracildo (O’) sincronizaram seus relógios quando estavam em repouso um em relação ao outro. Ainda consideremos que Orlindo esteja em pé (em repouso em relação ao chão) numa estação ferroviária e Ostracildo se move num trem com velocidade constante no sentido positivo do eixo x. No interior do trem há um dispositivo que emite luz do assoalho e é refletido no teto, conforme ilustrado na figura 5.6. y′

l′ 0

Figura 5.6

0′

x′

Estação Ferroviária

Ostracildo mede o seguinte intervalo de tempo no interior do trem para que o feixe de luz saia do chão, seja refletido e retorne ao ponto de origem5: 5.11

∆t ′ =

2l ′ . c

Agora vamos analisar o tempo medido por Orlindo na estação. Para ele o feixe luminoso segue um caminho diferente, como se estivéssemos filmando quadro a quadro.

5 Em livros de física básica sobre relatividade especial, Δt’ também é chamado de tempo próprio.

108 |

MOVIMENTO RELATIVO E A RELATIVIDADE RESTRITA

∆r

u ∆t

Figura 5.7

Estação Ferroviária

O caminho percorrido entre os dois eventos (ida e volta do feixe de luz) medido por Orlindo é 2∆r e o tempo total é ∆t. Considerando somente a metade do caminho, temos: ∆r = c

∆t . 2

5.12

E considerando que o triângulo seja isósceles (triângulo formado pelo feixe de luz emitido e refletido pelo espelho) podemos escrever:  u ∆t  ∆r = l +    2  2

5.13

Nossos observadores não discordam sobre medidas perpendiculares à direção do movimento do trem. Desta forma, l = l ′ ⇒ ∆t ′ = l=

2l ′ 2l = , c c

c ∆t ′ . 2

5.14

Substituindo (5.12) e (5.14) em (5.13), teremos: c 2 ∆t 2 c 2 ∆t ′2 u 2 ∆t 2 = + , 4 4 4 ∆t =

∆t ′ u2 1− 2 c

5.15

FÍSICA 4B

| 109

• Δt’ é o intervalo de tempo medido por um observador O’ em repouso relativo ao ponto onde os eventos ocorreram. • Δt é o intervalo de tempo medido por um observador O em relação ao qual o ponto está em movimento quando acontece os eventos. Para o observador O, os dois eventos (ida e volta do feixe de luz) ocorrem em dois lugares diferentes do espaço. 1

2 • Visto que temos um fator 1− u2 que é maior do que c 1, isto implica que ∆t>∆t’, concluímos que há uma dilatação do tempo. O tempo passa mais devagar para o observador O.

Contração do comprimento Consideremos agora a mesma experiência, mas imaginemos uma régua colocada no trem que se move com velocidade u = uî . Vamos usar um pulso de luz para medir o comprimento desta régua tal que o pulso seja emitido na horizontal e refletido por um espelho na vertical, conforme a figura. y

fonte de luz

y′

espelho x A′ 0

0′ x A

x B′ régua

x′

Estação Ferroviária

Figura 5.8

Para o observador O’ (dentro do trem) a régua está em repouso e seu comprimento é 2L′ = c ∆t ′ 5.16

∆t ′ =

2L ′ . c

O fator 2 na equação acima significa que o pulso foi e voltou para fonte, sendo ∆t’ o tempo de ida e volta. Para o observador O, a régua se desloca da esquerda para direita com velocidade constante u durante a propagação de um pul110 |

MOVIMENTO RELATIVO E A RELATIVIDADE RESTRITA

so de luz. Para determinar o comprimento da régua no referencial O, vamos separar o problema: “ida do pulso” e “volta do pulso”. Ida do pulso Vejamos a figura. y d régua 0

u ∆ t1

Estação Ferroviária

Figura 5.9

O pulso se desloca com velocidade c, assim a distância percorrida por ele é c∆t1. Portanto, d = c ∆t1 .

5.17

Mas também podemos escrever que: d = L + u ∆t1 .

5.18

Igualando (5.17) e (5.18), temos: c ∆t1 = L + u ∆t1 ∆t1 =

L . c −u

5.19

Volta do pulso Neste caso o intervalo de tempo gasto para o pulso retornar a fonte é ∆t2 , e a distância pecorrida pelo pulso é dada por: d = c ∆t 2 ,

5.20a

d = L − u ∆t 2 ,

5.20b

ou ainda,

o sinal negativo na velocidade u significa que pulso está indo no sentido negativo do eixo x. Igualando (5.20a) e (5.20b), temos: ∆t 2 =

L . c+u

5.21

FÍSICA 4B

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O tempo total gasto pelo pulso (ida e volta) é de: ∆t = ∆t1 + ∆t 2 , ∆t =

L L 2cL + = 2 c − u c + u c − u2 ∆t =

5.22

2L .  u2  c 1 − 2  c  

Substituindo (5.15) em (5.22), chegamos a ∆t ′ 5.23

1−

u c2

2L .  u2  c 1 − 2  c  

E substituindo (5.16) em (5.23), o resultado é6: L = L′ 1 −

5.24

u2 . c2

• L’ é o comprimento medido por um observador O’ em repouso relativo ao ponto onde os eventos ocorreram. • L é o comprimento medido por um observador O em relação ao qual o ponto está em movimento quando acontece os eventos. Para o observador O, os dois eventos (ida e volta do feixe de luz) ocorrem em dois lugares diferentes do espaço. 1

2 • Visto que temos um fator 1− u2 que é maior do que 1, c isto implica que L< L’, concluímos que há uma contração do comprimento.

6 Em livros textos sobre relatividade especial L’ também é chamado de comprimento próprio.

112 |

MOVIMENTO RELATIVO E A RELATIVIDADE RESTRITA

Exemplo 5.2 Imaginem que Orlindo esteja em repouso na superfície da Terra quando a espaçonave Atlantis (pilotada por Ostracildo) passa com velocidade igual a 0,990c em relação à Terra. Um sinal intermitente muito forte é emitido pela Atlantis com intervalo de tempo constante e a duração de cada pulso medido por Ostracildo seja 2,2×10-6s. a) Então, qual a duração de tempo que Orlindo mede? b) Agora considere que a velocidade da espaçonave seja 300 m/s. Qual será a duração de tempo medido por Orlindo? solução

a) Vamos admitir que a espaçonave se movimente em uma única direção. Temos que ∆t’= 2,2×10-6s e u=0,990c, assim para Orlindo, usando a eq. (5.15) ∆t =

∆t ′ 1−

u2 c2

2,2 × 10 −6 1−

( 0, 990c )2 c2

∆t = 15,6 × 10 −6 s

ou ∆t ≈ 7∆t ′.

b) Estamos também admitindo que a espaçonave se movimente em uma única direção. Aqui a velocidade da espaçonave é bem menor do que a velocidade da luz (c ≅ 3, 0 × 108 m s ). Desta forma podemos expandir o denominador da eq. (5.15): 2

1−

Assim,

u2 1u 1 = 1 −   + = 1 − (1, 0 × 10 −12 ) + 2 c 2 c  2

∆t ≈ ∆t ′.

Este resultado mostra que os dois observadores medem o mesmo intervalo de tempo. Ou seja, no limite de baixas velocidades comparadas com a velocidade da luz, as equações relativísticas reproduzem as equações das transformações de Galileu.

FÍSICA 4B

| 113

Exemplo 5.3 O Múon é uma partícula produzida em certo ponto da atmosfera terrestre e possui vida média própria (medida no referencial do múon) igual a 2,2×10-6s. Para um observador na superfície da Terra, a velocidade do múon é 0,990c. Neste referencial qual é o tempo de vida média, ou seja, qual é o tempo de decaimento? Analise a distância percorrida para cada referencial. Considere que c=3×108m/s. solução

Temos que ∆t’=2,2×10-6s e u=0,990c, usando a eq. (5.15), temos: ∆t =

∆t ′ 1−

u2 c2

2,2 × 10 −6 1−

( 0, 990c )2 c2

∆t = 15,6 × 10 −6 s.

Neste intervalo de tempo o múon percorre uma distância igual a L = v × ∆t = 0, 990c × 15,6 × 10 −6 = 4633,2m.

No referencial do múon, a distância percorrida é L′ = v × ∆t ′ = u = 0, 990c × 2,2 × 10 −6 = 653, 4m.

As transformações de Lorentz Como já afirmamos, no fim do século XIX Hendrik Lorentz obteve um conjunto de relações que corrigiu as Transformações de Coordenadas de Galileu para o Eletromagnetismo. Vamos agora de forma simplificada obter este conjunto de equações. Consideremos novamente dois observadores: um observador Orlindo no referencial da Terra (referencial O) e o segundo obser vador Ostracildo se movendo com velocidade constante u (referencial O’). Vamos admitir que não haja rotação dos eixos coordenados. Além disto, em t=t’=0, as origens se coincidem (x=x’=0) e os relógios dos dois observadores foram sincronizados por algum dispositivo que os acinaram juntos. 114 |

MOVIMENTO RELATIVO E A RELATIVIDADE RESTRITA

y′

0′

x′

Figura 5.10

Então, a distância medida pelo observador O é x = ut + L.

5.25

Substituindo (5.24), mas usando x’ no lugar de L’, temos: x = ut + x ′ 1 −

u2 , c2

5.26

ou x′ =

x − ut u2 1− 2 c

5.27

Para descobrir o tempo t’, façamos as transformações de O’ para O que são as mesmas de O para O’ (exigência do princípio da relativi dade), apenas diferente pela troca de um sinal de u . Logo, u2 . c2

x ′ = −ut ′ + x 1 −

5.28

Usando (5.27) em (5.28) temos: x − ut 1−

u2 c2

= −ut ′ + x 1 −

t′ =

t − ux c 2 u2 1− 2 c

u2 , c2

5.29

De acordo com a direção do movimento temos: y ′ = y.

5.30

z ′ = z.

5.31 FÍSICA 4B

| 115

Vamos também obter as transformções para as velocidades. Para esta finalidade vamos tomar o diferencial de (5.27) e de (5.29): dx ′ =

dx − udt u2 c2

1− dt ′ =

dt − udx c 2 1−

u2 c2

assim, dx −u dx ′ = dt dt ′ 1 − u dx c 2 dt v x′ =

5.32

vx − u u 1 − 2 vx c

v x′ = c. Qualquer partícula que Observe que se vx=c, temos que se desloque com velocidade vx=c em relação ao observador O terá ′ também velocidade v x = c . em relação ao observador O’, qualquer que seja a velocidade relativa entre O e O’. Podemos observar também → ∞, equação que no limite de baixas velocidades, ou seja quando c (5.32) se reduz à equação clássica das transformações de Galileu, v x′ = v x − u.

5.33

Agrupando as equações anteriores, obtemos: x′ =

x − ut 1−

u c2

y′ = y

t′ =

t − ux c 2

z′ = z

Que são as Transformações de Lorentz.

116 |

MOVIMENTO RELATIVO E A RELATIVIDADE RESTRITA

1−

u2 c2

v x′ =

vx − u u 1 − 2 vx c

Momento Linear Relativístico Como já mencionamos, as leis de movimento de Newton têm as mesmas formas para quaisquer referenciais inerciais. Vimos que usando transformações de coordenadas, as leis são invariantes (não mudam). No entanto as transformações de Galileu não preservam a forma das leis do movimento e, por isso, usamos na seção anterior as tranformações de Lorentz. Uma consequência disto será redefinir o momento linear e a energia. Não iremos fazer a dedução que generaliza a expressão para o momento linear, apenas apresentaremos o resultado. O princípio da conservação do momento linear diz que, em um sistema isolado o momento linear total dos corpos que estão interagindo permanece constante. Mas este princípio deve ser válido em todos os referenciais inerciais. Sabemos que o momento linear P de uma partícula é proporcional à sua velocidade v , ou seja, P = mv (proposta de Newton). Vamos usar esta definição para uma colisão de partículas em sistemas de referenciais inerciais, para o observador O e para outro observador O’. Usando as transformações de velocidades de Lorentz, concluiremos que o momento linear não é conservado. Se aceitarmos que os princípios da relatividade e as transformações de Lorentz estão corretos, precisaremos modificar a definção do momento linear para salvar a conservação do momento linear. A modificação que deve ser feita está relacionada com a massa, de tal forma a manter o momento linear total constante em um sistema isolado. Na definição de momento linear em Física 1B, supusemos que a massa era indepente da velocidade. Entretanto, em aceleradores de partículas (elétrons, prótons e nêutrons) modernos esta hipótese deixa de ser válida e é necessário fazer uma correção: m=

m′ 1−

u2 c2

5.34

onde m’ é uma constante denominada de massa de repouso7, ou seja, é a massa da partícula quando ela está em repouso em relação ao observador. A variação da massa com a velocidade de acordo com a eq. (5.34) é dada pela figura 5.11. 7 Nos livros textos a massa de repouso pode receber outro símbolo, como por exemplo mO.

FÍSICA 4B

| 117

m / m’

3 2 1 0 0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

v/c

Figura 5.11

Podemos observar que somente as velocidades muito altas são as que apresentam uma variação de massa considerável da partícula. No limite de baixas velocidades a massa relativística é aproximadamente igual massa de repouso. Podemos então inserir na definição do momento linear a correção da massa. Assim para uma partícula que se move com velocidade u em relação a um observador, o momento é dado por:

5.35

m′ 1−

u cc

Se a partícula está submetida a uma força F paralela a velocida de u da partícula, podemos escrever:

5.36

    dp d m′  F= =  u dt dt  u2   1− c  c  

calculando a derivada temporal, chegamos a: 5.37

m′

(1 − u

)

c 32

Se F é a força resultante, temos a Segunda Lei de Newton generalizada. Além disso, esta expressão é válida para aceleradores lineares. Explicitando o módulo da aceleração, obtemos: (5.38)

118 |

MOVIMENTO RELATIVO E A RELATIVIDADE RESTRITA

Analisando esta expressão, notamos que à medida que a velocidade u aumenta, a aceleração produzida diminui continuamente. Se u=c a aceleração a é igual a zero. Logo é impossível acelerar uma partícula, cuja massa de repouso m’ é diferente de zero, até atingir a velocidade igual ou superior a c. Concluimos que a velocidade da luz no vácuo é o valor limite (velocidade limite). No caso de aceleradores circulares o denominador da eq. (5.36) é constante em relação a derivada temporal, isto é, o módulo de u é constante mas a direção é variável a cada instante. Desse modo, reescrevemos a eq. (5.37) da seguinte forma: F=

m′

(1 − u

)

c 12

5.38

A força resultante, neste caso, é dirigida ao longo do raio da trajetória circular.

Energia Relativística Vamos considerar uma partícula sob ação de uma força F paralela a direção do deslocamento. Considere que a partícula se desloca na direção x. Então, o trabalho realizado por essa força é W =

∫

F ⋅ dx .

Substituindo a eq. (5.37), obtemos: W =

∫

m′

(1 − u

)

c 32

du î ⋅ dx î . dt

5.39

Podemos fazer a seguinte mudança: du du dx dx = dx = du. dt dt dt

Substituindo na eq. (5.39), obtemos: W =

∫

m′u

(1 − u

cc )

du.

5.40

FÍSICA 4B

| 119

Esta integral pode ser resolvida usando a técnica de mudança de variável onde o resultado final é: 5.41

W =

m′c 2

(1 − u

)

2 12

− m′c 2 .

Sabemos que o trabalho realizado em um sistema conservativo é igual a sua energia cinética K, logo: 5.42

m′c 2

(1 − u

)

2 12

− m′c 2 .

utilizando a eq. (5.34), podemos reescrever a eq. (5.42) da seguinte forma: K = (m − m′ ) c 2

5.43

Este resultado é muito interessante, pois indica que o acréscimo ou decréscimo da energia cinética é dado pela variação da massa. Isto ocorre porque a massa da partícula é dependente de sua velocidade. Observamos na eq. (5.42) que a energia inclui um termo devido ao movimento relativístico da partícula m′c 2 1 − u 2 c 2 2 e outro associado, m’c , que não dependo deste movimento. Assim podemos afirmar que a energia cinética da partícula é a diferença entre a energia total E e uma energia constante por causa do estado de repouso da partícula. Assim, reescrevendo a eq. (5.42), temos a seguinte forma para a energia total de uma partícula: 5.44

E = K + m′c 2 =

m′c 2

(1 − u

c2 )

O termo m’c2, associado à massa de repouso, é denominado de energia de repouso da partícula: E ′ = m′c 2 .

5.45

Esta é a equação mais famosa de Albert Einstein. Recombinando as equações (5.35) e (5.44) e depois de algumas manipulações algébricas, encontramos outra relação para a energia total: E=

5.46

(m′c )2 + (cp )2 .

Analisando esta equação, podemos notar que para uma partícula cuja massa de repouso m’ é igual a zero, ou seja, não possui massa de repouso, a partícula terá a seguinte relação entre a energia e o momento linear: 5.47 120 |

MOVIMENTO RELATIVO E A RELATIVIDADE RESTRITA

( 0 )2 + (cp )2 ⇒ E = pc.

Partículas desta natureza existem e sempre se deslocam com velocidade igual à velocidade de propagação da luz no vácuo. Um exemplo é o fóton8, que é o quantum de onda eletromagnética. Em sistemas atômicos e nucleares os fótons são emitidos e absorvidos em processos de variação de estado quando a energia e o momento linear são modificados.

8 No início do século XX, observou-se que a visão clássica ondulatória de Maxwell para a radiação eletromagnética deveria ser revista em determinadas circunstâncias nas quais a energia e o momento se comportam como se estivessem concentrados em pequenos “pacotes” denomindos de fótons.

FÍSICA 4B

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ALOSON, M.; FINN, E. J. Física: um curso universitário. Edgard Blücher, vol. I, p. 114 – 119 e 312 – 334, 2003. FEYMMAN, R. P; LEIGHTON, R. B.; SANDS, M. Lições de Física de Feymman. Bookman, vol. I. p. 15-2, 2008. HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J., Fundamentos de Física. 8a Edição LTC, v. 4 p. 146 – 175, 2008. SEARS, F; ZEMANSKY, M. W.; YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A., Física IV: ótica e física moderna. 10a Ed. Pearson Addison Wesley, vol. IV, p. 142 – 169, 2004. D. Halliday, R. Resnick e K. S. Krane; FÍSICA 4, 4ª Ed., LTC Editora, Rio de Janeiro (1992). P. A. Tipler, Gene Mosca; FÍSICA, volume 3, 6ª ed., LTC Editora, Rio de Janeiro (2009).

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Rosilene de Sá Ribeiro possui graduação, Bacharelado e Licenciatura, em Física pela Universidade Federal do Espírito Santo (1997), mestrado (2000) e doutorado (2007) em Cosmologia na mesma instituição. Tem experiência docente em ensino superior desde 2000 na área de Física. Atualmente leciona no Instituto Federal do Espírito Santo (Ifes) no departamento de Engenharia. Suas pesquisas envolvem fundamentalmente os assuntos em Cosmologia e Gravitação como por exemplo: energia escura, matéria escura, formação de estruturas, ondas gravitacionais e transformação conforme.

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ISBN 978-85-8087-0572

9 788580 870572

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