ENHANCING UNDERSTANDING OF TRANSFORMATION MATRICES Mejorando la comprensión de las Matrices de Transformaciones Lineales MATHEMATICS TEACHER Vol. 105, No8 April 2012 Pages: 622-626
Introducción En 1872 Felix Klein, a través del famoso Programa de Erlanger, redefine la Geometría en términos de transformaciones. Desde entonces, el concepto de transformación ha permeado casi todo currículo de geometría. Su lugar en la Educación Secundaria Americana se ha cimentado desde 2000 en Principles and Standards for School Mathematics de la National Council of Teachers of Mathematics. Con respecto al tema tratado dice: “Los estudiantes deberían comprender y representar traslaciones, reflexiones, rotaciones y dilataciones de objetos en el plano usando coordenadas, vectores, notación de funciones y matrices”. El estudio de las transformaciones comienza y, por lo general, termina con estos cuatro elementos: Tres reflexiones simples (eje OX, eje OY y recta Y=X), tres rotaciones simples ( 90º, 180º y 270º en sentido contrario al horario), dilatación centrada en el origen y traslación. Lecciones simples de familiarización mediante programas dinámicos de geometría o construcciones con lápiz y papel pueden hacer que los alumnos descubran las descripciones algebraicas de estas transformaciones. Sin embargo, cuando se trata de cambiar a la notación matricial de las transformaciones, a menudo se pierde la comprensión. Una matriz de transformación T 2x2 se puede multiplicar por una matriz de vértices P2x3 (por ejemplo, un triángulo) para obtener una transformación en forma de matriz M. La pregunta que cabe hacerse es si deberían los profesores dedicar el valioso tiempo de clase a enseñar la multiplicación de matrices si el resultado es solamente adquirir la habilidad de manipular unas pocas ecuaciones matriciales. Aunque adquieran esta habilidad, con el poco tiempo dedicado, difícilmente conectarán la descripción algebraica
con la matriz
.
Descomponiendo la Multiplicación de Matrices En vez de la multiplicación de matrices, se propone descomponer la matriz en vectores fila como se muestra a continuación:
porque
; también que
porque
.
Entonces pasar a la multiplicación de matrices mediante ejemplos, con aumento paulatino de complejidad, como el que se muestra:
Es importante utilizar una buena variedad de matrices de vértices para que los estudiantes practiquen mucho y puedan luego comprender y aplicar transformaciones de puntos, segmentos, vectores y figuras. Enlazando con las transformaciones Por ejemplo, la expresión
podemos describirla diciendo que
dobla y llevándola arriba,
mientras que invierte el signo de x y lo lleva abajo. Ese tipo de ejemplos, pese a no ser simétricos, proporcionan a los alumnos práctica en la manipulación de matrices. Se propondrían tres tipos de problemas, en primer lugar describir los efectos geométricos de una matriz de transformación dada al multiplicarla por una de vértices. El segundo tipo sería a la inversa, pidiendo así una determinada transformación para que buscasen la matriz asociada. Por último se les enseñaría a realizar manipulaciones con las matrices. Generalizando a otras transformaciones Una vez que se hayan familiarizado con las multiplicaciones de matrices y su relación con las transformaciones, estarán preparados para crear matrices adecuadas a las transformaciones necesarias. Y pasado este periodo no les 3 resultará, en general, excesivamente difícil comprender el salto a , como por ejemplo la expresión algebraica de la rotación de 90º sobre el eje z y que se corresponde con la matriz:
Conclusiones La enseñanza de transformaciones matriciales centrándonos en los vectores fila proporciona herramientas a los estudiantes para crear matrices que realicen transformaciones. Esta enseñanza abre muchas puertas: Los 3 estudiantes son capaces de crear matrices para a composición de transformaciones y saltar a ℝ . Más importante es que también comprenden la conexión entre la descripción algebraica y la matricial de las transformaciones. Esta comprensión es fundamental para los estudiantes, no solamente para continuar estudios, sino también por las aplicaciones que tienen desde la mecánica cuántica hasta los ajustes de color en programas de imágenes o video digitales, lo que proporciona a los alumnos la habilidad de resolver problemas complejos, que en definitiva es el propósito de la educación matemática.