Universidad d Fermín Toro Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Análisis de Problemas y Toma de Decisiones
Autor: Aranza Martínez 07/02/2012
TÉCNICAS E INSTRUMENTOS PARA LA TOMA DE DECISIONES.
METODOS DETERMINALISTICOS
Un modelo deterministico es un modelo matemático donde las mismas entradas producirán invariablemente las mismas salidas, no contemplándose la existencia del azar ni el principio de incertidumbre. Está estrechamente relacionado con la creación de entornos simulados a través de simuladores para el estudio de situaciones hipotéticas, o para crear sistemas de gestión que permitan disminuir la incertidumbre. La inclusión de mayor complejidad en las relaciones con una cantidad mayor de variables y elementos ajenos al modelo determinístico hará posible que éste se aproxime a un modelo probabilístico o de enfoque estocástico.
Por ejemplo, la planificación de una línea de producción, en cualquier proceso industrial, es posible realizarla con la implementación de un sistema de gestión de procesos que incluya un modelo determinístico en el cual estén cuantificadas las materias primas, la mano de obra, los tiempos de producción y los productos finales asociados a cada proceso.
Ejemplo
La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
PREPARANDO EL
PROGRAMACION SIMPLEX
PROGRAMACION LINEAL
El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución. (Véase método Gráfico) El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.
MODELO Deberá tenerse en cuenta PARA que este método sólo trabaja para restricciones que tengan un tipo de desigualdad "≤" y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de que después de éste proceso, aparezcan (o no varíen) restricciones del tipo "≥" o "=" habrá que emplear otros métodos, siendo el más común el método de las Dos Fases.
ADAPTARLO AL MÉTODO SIMPLEX Sigue el Proceso Una empresa elabora dos tipos de productos, corrales y mochilas para niños. Para la producción se utilizan tres tipos de actividades que son (Doblar, coser y Cortar). La máquina de doblar se puede utilizar hasta 9 Horas, la de coser hasta 5 horas y la cortar hasta 15 horas elaborar una mochila se gastan 2 horas de coser 3 horas en cortar y 1 hora en doblar y para realizar un corral se gastan 2 horas en doblar 3 horas en coser y 5 horas en cortar todo lo que se produce se vende y las utilidades son de 8 Bs las mochilas y 15 Bs los corrales cual es la producción optima de acuerdo al método Simplex?
Ejercicio Método Simplex Definir las Variables:
Definir Función Optima: Z= 15x1+8x2
Definir Restricciones:
Agregar Variables de Holgura
X1= Corrales
a) 3X1+2X2=5
a) 3X1+2X2+Xh1=5
X2= Mochilas
b) 5X1+3X2=15
b) 5X1+3X2+Xh2=15
c) 2X1+X2=9
c) 2X1+X2+Xh3= 9
Elaborar tabla Matriz Simplex a) 5/3= 1.66 Maquina X1 3 Coser 5 Cortar 2 Doblar
V.B Xh1 Xh2 Xh3 Z
X1 3 5 2 15
X2 2 3 1 8
X2 2 3 1
Total 5 15 3
Xh1 Xh2 Xh3 V.V.B 1 0 0 5 0 1 0 15 0 0 1 9 0 0 0 0
V.B = Variable Bases
B) 15/5= 3
V.V.B = Valor Variable Bases
V.B X1 Xh2 Xh3 Z
X1 1 0 0 0
C) 9/2= 4.5
X2 0.66 -0.33
Xh1 0.33 -1.66
Xh2 0 1
Xh3 0 0
V.V.B 1.66 6.67
-2
-5
0
0
-25
Fila Pivote: Valor de la pivote 3/3= 1 2/3= 0.66 1/3= 0.33 0/3= 0 0/3= 0 5/3= 1.66
Fila 2 fila 5-3 (5/3)=0 3-2 (5/3)=-0.33 0-1 (5/3)=-1.66 1-0 (5/3)=1 0-0 (5/3)=0 15-5 (5/3)=6.67
Fila 3 2-3 (2/3)=0 1-2 (2/3)=-0.33 0-1 (2/3)=0.66 0-0 (2/3)=0 1-0 (2/3)=1 9-5 (2/3)=-1
Fila 4 15-3 (15/3)= 0 8-2 (15/3)= 0-2 0-1 (15/3)= -5 0-0 (15/3)= 0 0-0 (15/3)= 0 0-5 (15/3)= -25
Z=15X1+8X2 Z= 15(1.66) +8(0)= 24.99
Conclusión: Se debe Fabricar 1.66 corrales para una utilidad de 25Bs.
El teorema de Bayes fue creado por el clérigo y matemático ingles Tomas Bayes, publicado en 1763 después de su muerte. Este teorema puede ser usado para formular un conjunto de probabilidades previas, llamadas probabilidades a priori, para un conjunto de nuevas probabilidades, llamadas probabilidades posteriori. La formulación está basada en formulación adicional, la cual puede ser obtenida por registros de una muestra. El Teorema de Bayes es un sistema completo de sucesos y sea un suceso B tal que P (B/Ai) son conocidas, entonces. Sea A un sistema complejo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos no es nula. y sea B un suceso cualquiera para el que se conocen las probabilidades P(B/A). El teorema de Bayes establece que estas posibilidades son:
Si los sucesos Ai son una partición y B un suceso tal que P(B) ¹ 0
Donde las probabilidades P(A) se llaman probabilidad a priori; y las probabilidades P(A/B) son llamadas posteriori. Y A es el conjunto de eventos los cuales son mutuamente excluyentes (los dos eventos no pueden ocurrir juntamente) y exhaustivos (la combinación e los dos eventos es el experimento entero); mientras que B es un evento simple, el cual intercepta cada uno de los eventos A. En donde la probabilidad inicial o a priori es aquella que se obtiene de la información conocida del suceso y la probabilidad final o a es el resultado después de haber realizado el experimento y se calcula con las probabilidades compuestas.
Es un caso especial simplificado de método simplex. Recibe su nombre de su aplicación a problemas que tienen que ver con el transporte de productos desde diversos puntos de origen hasta diversos destinos. Los dos objetivos comunes de estos problemas son:
Minimizar el costo de enviar n unidades hasta m destinos ó Maximizar las utilidades de enviara n unidades a m destinos.
Para resolver problemas de trasportes se deben seguir tres pasos generales. Cada uno se examinará en el contexto de un ejemplo sencillo. Este consiste en enviar las unidades de la fábrica a los almacenes más cercanos buscando siempre minimizar los costos en función de la disponibilidad y demanda de los centros que intervienen en el proceso de transporte. Podemos decir que las variables más importantes que intervienen en este método de programación lineal, es que busca minimizar los costos de una unidad de producción a otra, es decir es un método de minimización de los costos. Es decir con el este método se pretende desarrollar la mejor distribución de las unidades en función a las variables más importantes, como son el costo, disponibilidad, demanda y la distancia entre los centros de consumo.
El método de Montecarlo es un método no determinístico o estadístico numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Montecarlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Montecarlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora. El uso de los métodos de Montecarlo como herramienta de investigación, proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial en el Laboratorio Nacional de Los Álamos en EE. UU. Este trabajo conllevaba la simulación de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material de fisión. Esta difusión posee un comportamiento eminentemente aleatorio. En la actualidad es parte fundamental de los algoritmos de Raytracing para la generación de imágenes 3D. En la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y Stanislaw Ulam refinaron esta ruleta rusa y los métodos "de división" de tareas. Sin embargo, el desarrollo sistemático de estas ideas tuvo que esperar al trabajo de Harris y Herman Kahn en 1948. Aproximadamente en el mismo año, Enrico Fermi, Nicholas Metropolis y Ulam obtuvieron estimadores para los valores característicos de la ecuación de Schrödinger para la captura de neutrones a nivel nuclear usando este método. El método de Montecarlo proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinista. A diferencia de los métodos numéricos que se basan en evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para producir una solución aproximada, el método de Montecarlo tiene un error absoluto de la estimación que decrece como límite central.
en virtud del teorema del
Origen de la teoría de juegos La Teoría de Juegos fue creada por Von Neumann y Morgenstern en su libro clásico The Theory of Games Behavior, publicado en 1944. Otros habían anticipado algunas ideas.Los economistas Cournot y Edgeworth fueron particularmente innovadores en el siglo XIX. Otras contribuciones posteriores mencionadas fueron hechas por los matemáticos Borel y Zermelo. El mismo Von Neumann ya había puesto los fundamentos en el artículo publicado en 1928. Sin embargo, no fue hasta que apareció el libro de Von Neumann y Morgenstern que el mundo comprendió cuán potente era el instrumento descubierto para estudiar las relaciones humanas. Todavía encontramos profesores mayores que nos explican que la Teoría de juegos o sirve para nada porque la vida no es un "Juego de suma cero", o porque se puede obtener el resultado que uno quiera seleccionando el apropiado "concepto de solución cooperativa". Afortunadamente las cosas han evolucionado con mucha rapidez en los últimos veinte años, y éste y otros libros modernos sobre teoría de juegos ya no padecen algunos de los presupuestos restrictivos que Von Neumann y Morgenstern consideraron necesarios para progresar. Como resultado, lo que la teoría de juegos prometía en un principio se está empezando a cumplir. En los últimos años, sus repercusiones en la teoría económica sólo se pueden calificar de explosivas. Todavía es necesario, sin embargo, saber algo de la corta historia de juegos, aunque sólo sea para entender por qué se usan algunos términos. Von Neumann y Morgenstern investigaron dos planteamientos distintos de la Teoría de Juegos. El primero de ellos el planteamiento estratégico o no cooperativo. Este planteamiento requiere especificar detalladamente lo que los jugadores pueden y no pueden hacer durante el juego, y después buscar cada jugador una estrategia óptima. Lo que es mejor para un jugador depende de lo que los otros jugadores piensan hacer, y esto a su vez depende de lo que ellos piensan del primer jugador hará. Von Neumann y Morgenstern resolvieron este problema en el caso particular de juegos con dos jugadores cuyos intereses son diametralmente opuestos. A estos juegos se les llama estrictamente competitivos, o de suma cero, porque cualquier ganancia para un jugador siempre se equilibra exactamente por una pérdida correspondiente para el otro jugador. El ajedrez, el backgammon y el póquer son juegostratados habitualmente como juegos de suma cero. La segunda parte del libro de Von Neumann y Morgenstern desarrollaron el planteamiento coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir laconducta óptima en juegos con muchos jugadores. Puesto que éste es un problema mucho más difícil, no es de
sorprender que sus resultados fueran mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y dos jugadores. En particular, Von Neumann y Morgenstern abandonaron todo intento de especificar estrategias óptimas para jugadores individuales. En lugar de ello se propusieron clasificar los modelos de formación de coaliciones que son consistentes con conductas racionales. La negociación, en cuanto a tal, no jugaban papel alguno en esta teoría. De hecho, hicieron suyo el punto de vista, que había predominado entre los economistas al menos desde la época de Edgeworth, según el cual los problemas de negociación entre dos personas son inherentemente indeterminados. A principio de los años cincuenta, en una serie de artículos muy famosa el matemático John Nash rompió dos de las barreras que Von Neumann y Morgenstern se había autoimpuesto. En el frente no cooperativo, estos parecen haber pensado que en estrategias la idea de equilibrio, introducida por Cournot en 1832, no era en sí misma una noción adecuada para construir sobre ella una teoría –de aquí que se restringieran a juegos de suma cero-. Sin embargo, la formulación general de Nash de la idea de equilibrio hizo ver claramente que una restricción así es innecesaria. Hoy día, la noción de equilibrio de Nash, la cual no es otra cosa que cuando la elección estratégica de cada jugador es la respuesta óptima a las elecciones estratégicas de los otros jugadores. A Horace y Maurice les fueron aconsejados, por su consultor especialista en teoría de juegos, que usaran un equilibrio de Nash. Es tal vez, el más importante de los instrumentos que los especialistas en teoría de juegos tienen a disposición. Nash también hizo contribuciones al planteamiento cooperativo de Von Neumann y Morgenstern. Nash no aceptó la idea de que la teoría de juegos debe considerar indeterminados problemas de negociación entre dos personas y procedió a ofrecer argumentos para determinarlos. Sus ideas sobre este tema fueron generalmente incomprendidas y, tal vez como consecuencia de ello, los años que la teoría de juegos paso en Babia se gastaron principalmente desarrollando el planteamiento cooperativa de Von Neumann y Morgenstern en direcciones que finalmente resultaron improductivas. Es difícil explicar hacia donde se dirige la teoría de juegos a una audiencia que no sabe dónde se encuentra. Estas observaciones, por tanto, son para quienes ya saben algo de teoría de juegos. Aplicaciones de la teoría de juegos La Teoría de Juegos actualmente tiene muchas aplicaciones, sin embargo, la economía es el principal cliente para las ideas producidas por los especialistas en Teoría de Juego