Tema 3 ángulos tiedros 5to

Ă ngulos Poliedros Aldo Felipe Huayanay Flores

Problemas Propuestos Problema 01 Decir si existen ångulos triedros cuyas caras tengan las medidas siguientes: A) 40°; 50°; 90° C) 200°; 100°; 80° E) 3°; 5°; 7°

B) 90°; 90°; 90° D) 150°; 140°; 130°

Problema 02 Decir si existen ångulos triedros cuyos diedros tengan las medidas siguientes: A) 90°; 90°; 90° C) 200°; 300°; 100° E) 125°; 165°; 195°

B) 60°; 60°; 60° D) 120°; 200°; 15°

Problema 03 Decir si existen ångulos poliedros cuyas caras tengan las medidas siguientes: A) 40°; 60°; 30°; 150° B) 108°; 108°; 108° C) 100°; 120°; 130°; 70° D) 4°; 5°; 6°; 7°; 8° E) 60°; 60°; 60°; 60° Problema 04 Si dos caras de un triedro miden 127° y 142°, hallar el måximo valor entero de la tercera cara.

A) 110° D) 90°

B) 95° E) 105°

C) 80°

Problema 05 Si dos caras de un ångulo triedro miden 150° y 170°, hallar el måximo valor entero de la tercera cara.

Problema 07 En un triedro TrirrectĂĄngulo O – ABC, Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘‚đ??´ = Ě…Ě…Ě…Ě… = đ?‘‚đ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… = 6. Hallar la distancia del đ?‘‚đ??ľ baricentro del triĂĄngulo ABC a la arista Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘‚đ??´.

A) 3√2 D) 4√2

B) 2√2 E) 2,5√2

C) 2√3

Problema 08 Se tiene un ångulo triedro, dos caras miden 45° y el diedro entre ellas es recto. Halle la medida de la otra cara.

A) 30° D) 75°

B) 45° E) 90°

C) 60°

Problema 09 El triedro O – ABC, las caras AOB y AOC miden 45°. Si đ?‘ƒ ∈ ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘‚đ??´, đ?‘„ ∈ ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘‚đ??ś đ?‘Ś đ?‘… ∈ ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘‚đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě…â?Šđ?‘‚đ??´ Ě…Ě…Ě…Ě…, đ?‘…đ?‘ƒ Ě…Ě…Ě…Ě…, đ?‘„đ?‘… Ě…Ě…Ě…Ě… = Ě…Ě…Ě…Ě…â?Šđ?‘‚đ??´ tales que đ?‘„đ?‘ƒ 2√2 + √3 đ?‘Ś Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘‚đ?‘ƒ = 2, entonces la medida Ě…Ě…Ě…Ě… es: del diedro đ?‘‚đ??´ A) 60° D) 150°

B) 75° E) 165°

C) 120°

Problema 10 Se tiene un ångulo triedro, donde cada diedro mide 120°. ¿Cuånto mide la cara de un ångulo triedro?

A) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘?đ?‘œđ?‘ (−1/7) B) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘?đ?‘œđ?‘ (−1/5) E) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘?đ?‘œđ?‘ (−2/3)

B) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘?đ?‘œđ?‘ (−1/6) C) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘?đ?‘œđ?‘ (−1/3)

Problema 06 En un triedro TrirrectĂĄngulo V – ABC, AB = 9, BC = 13 y AC = 10. Si M es punto medio de AC, hallar đ?‘šâˆĄđ?‘‰đ?‘€đ??ľ.

Problema 11 En el triedro O – ABC, ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘‚đ??ś determina con la ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ bisectrĂ­z đ?‘‚đ??ˇ de la cara opuesta, un ĂĄngulo de medida igual a la mitad de dicha cara. Si la suma de las medidas de los diedros ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘Ś đ?‘‚đ??ľ ⃗⃗⃗⃗⃗ es 120°. Calcule la medida del đ?‘‚đ??´ diedro en ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘‚đ??ś .

A) 45° D) 60°

A) 90° D) 145°

A) 21° D) 39°

B) 24° E) 41°

B) 75° E) 37°

C) 30°

C) 53°

B) 120° E) 153°

C) 135°

Problema 12 Un plano intercepta a las aristas de un triedro O – ABC con los puntos M, N y P respectivamente tal que: đ?‘šâˆĄđ?‘€đ?‘‚đ?‘ = đ?‘šâˆĄđ?‘ƒđ?‘‚đ?‘ = 60° đ?‘Ś đ?‘šâˆĄđ?‘€đ?‘‚đ?‘ƒ = đ?‘šâˆĄđ?‘€đ?‘ đ?‘ƒ = Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… + đ?‘‚đ?‘ƒ Ě…Ě…Ě…Ě… = 8, calcule Ě…Ě…Ě…Ě… 90°. Si đ?‘‚đ?‘€ đ?‘‚đ?‘ .

A) 2 D) 5

B) 3 E) 6

C) 4

Problema 13 En un triedro las medidas de dos de sus diedros son 60° y 70°. ¿Cuåntos valores enteros tiene la medida del tercer diedro?

A) 110 D) 122

B) 115 E) 125

C) 119

Problema 14 Sea un triedro equilåtero cuyas caras miden 108° cada una. ¿Cuånto mide uno de los ångulos diedros?

A) 100° D) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘?đ?‘œđ?‘ (−

B) 135° 1 ) E) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘?đ?‘œđ?‘ (−

√5

C) 120° 1 ) √6

Problema 15 En el triedro trirrectĂĄngulo O – ABC, se ubican los puntos M, N y P sobre Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘‚đ??´, Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘‚đ??ľ đ?‘Ś Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘‚đ??ś respectivamente tales que Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… = Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… , ÂżcuĂĄnto mide el diedro đ?‘‚đ?‘€ đ?‘‚đ?‘ = đ?‘‚đ?‘ƒ Ě…Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘€đ?‘ƒ en el triedro M – OPN. √3 A) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘?đ?‘œđ?‘ ( 3 ) √2 D) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘?đ?‘œđ?‘ ( 3 )

B) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?

√3 đ?‘?đ?‘œđ?‘ ( 4 )

C) 30°

E) 60°

Problema 16 En el triedro O – ABC la cara BOC mide 90°, la medida del ångulo diedro B es igual a la medida del ångulo diedro C y son iguales a 135°. Halle la medida del ångulo diedro A. A) 60° D) 150°

B) 90° E) 135°

C) 120°

Problema 17 Si dos ångulos diedros de un ångulo triedro miden 111° y 82°, entre que valores estarå comprendido la medida del tercer ångulo.

A) Entre 13° y 151° C) Entre 16° y 152° E) Entre 22° y 135°

B) Entre 15° y 146° D) Entre 18° y 122°

Problema 18 En un ĂĄngulo triedro O – ABC, las medidas de las caras AOB, BOC y COA son 45°, 90° y 60°. Calcular la medida del ĂĄngulo que forma ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘‚đ??ś con la cara AOB. A) 15° D) 45°

B) 25° E) 60°

C) 30°

Problema 19 Dado un ĂĄngulo poliedro O – ABCDE, las medidas de cada una de las caras es 60°. ⃗⃗⃗⃗⃗ .

Halle la medida del diedro đ?‘‚đ??´ √5 ) 3 √6 đ?‘?đ?‘œđ?‘ ( 3 )

A) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘?đ?‘œđ?‘ (−

B) 45°

D) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘?

E) 60°

C) 53°

Problema 20 En un ĂĄngulo triedro polar o suplementario de un ĂĄngulo trirrectĂĄngulo es: A) Un ĂĄngulo triedro trirrectĂĄngulo.

B) Un ĂĄngulo triedro birrectĂĄngulo.

C) Un ĂĄngulo triedro rectĂĄngulo.

D) Un ĂĄngulo triedro cualquiera.

E) Un ĂĄngulo triedro equilĂĄtero.

Problema 21 Ě…Ě…Ě…Ě… = đ??ľđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… , đ?‘‚đ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě… = En un tetraedro O – ABC, đ?‘‚đ??´ Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… Ě…Ě…Ě…Ě… đ??´đ??ś y đ?‘‚đ??ś = đ??´đ??ľ. AdemĂĄs se cumple que Ě…Ě…Ě…Ě… > đ?‘‚đ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… > đ??´đ?‘‚ Ě…Ě…Ě…Ě…. Halle la suma del đ??´đ??ś mĂĄximo y mĂ­nimo entero de la cara AOC. A) 90° D) 150°

B) 100° E) 160°

C) 120°

Problema 22 Dos caras de un triedro miden 80° y 118° respectivamente. Halle los valores enteros mínimos y måximos de la medida de la tercera cara.

A) 40° y 161° B) 60° y 161° C) 30° y 161° D) 28° y 161° E) 39° y 161°

Problema 23 ⃗⃗⃗⃗⃗ y đ?‘‚đ??ś ⃗⃗⃗⃗⃗ En un triedro O – ABC, los diedros đ?‘‚đ??ľ ⃗⃗⃗⃗⃗ , miden 164°. Halla la medida del diedro đ?‘‚đ??´ si su medida es menor a 150° y es entero.

A) 145° D) 149°

B) 130° E) 148°

C) 140°

Problema 24 ABC es un triĂĄngulo equilĂĄtero y BDC un triĂĄngulo rectĂĄngulo contenidos en planos Ě…Ě…Ě…Ě… = 8, đ??ˇđ??ś Ě…Ě…Ě…Ě… = 4. perpendiculares , đ??´đ??ś Deteminar la medida de la cara ADC en el triedro D - BAC 1

1

1 5

1 6

1

A) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘?đ?‘œđ?‘ (2) B) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘?đ?‘œđ?‘ (3) C) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘?đ?‘œđ?‘ (4) D) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘?đ?‘œđ?‘ ( ) E) đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? đ?‘?đ?‘œđ?‘ ( ) Problema 25 Se tiene un ĂĄngulo triedro isĂłsceles O – ABC. Las caras miden: đ?‘šâˆĄđ??´đ?‘‚đ??ľ = đ?‘šâˆĄđ??´đ?‘‚đ??ś = 45°, đ?‘šâˆĄđ??ľđ?‘‚đ??ś = 60° đ?‘Ś Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘‚đ??´ = 8. Hallar la longitud de la proyecciĂłn Ě…Ě…Ě…Ě… đ?‘‚đ??´ sobre la cara BOC. A)

4√6 3

D) 2√6

B)

8√6 3

E) √6

C) 3√6