Tema 7 esfera

Esfera Aldo Felipe Huayanay Flores

Problemas Propuestos Problema 01 La figura muestra un empaque de forma cilĂ­ndrica que contiene pelotas de tenis. Si el ĂĄrea dela superficie lateral interna del cilindro tangente a las pelotas es 507 đ?‘?đ?‘š2 , halle el ĂĄrea de la superficie de una pelota.

A) 169 đ?‘?đ?‘š2 D) 150 đ?‘?đ?‘š2

B) 144 đ?‘?đ?‘š2 E) 136 đ?‘?đ?‘š2

A) 30√5đ?œ‹ đ?‘š3 B) 12√2đ?œ‹ đ?‘š3 C) 15√2đ?œ‹ đ?‘š3 D) 20√5đ?œ‹ đ?‘š3 E) 20√2đ?œ‹ đ?‘š3 Problema 04 En la figura, la regiĂłn sombreada es una secciĂłn de diĂĄmetro AB, đ?‘†1 đ?‘Ś đ?‘†2 son las ĂĄreas de los casquetes esfĂŠricos. Si đ?‘†2 = 3đ?‘†1 y đ??´đ??ľ = 3√3 đ?‘š, halle el ĂĄrea de la superficie esfĂŠrica.

C) 121 đ?‘?đ?‘š2

Problema 02 En la figura, la esfera de centro O estĂĄ inscrita en el cono de revoluciĂłn. Si el volumen del cono es 81đ?œ‹ đ?‘š3 y VO = OB, halle el volumen de la esfera.

A) 38đ?œ‹ đ?‘š2 D) 36đ?œ‹ đ?‘š2

B) 32đ?œ‹ đ?‘š2 E) 39đ?œ‹ đ?‘š2

C) 42đ?œ‹ đ?‘š2

Problema 05 En la figura, AOB es un cuadrante. Si đ??´đ?‘ƒ = 4 đ?‘š đ?‘Ś đ?‘‡đ??ľ = 2 đ?‘š, halle el volumen del sĂłlido generado al girar 360°la regiĂłn âƒĄ . sombreada alrededor de đ?‘‚đ??´ A) 27đ?œ‹ đ?‘š3 B) 20√2đ?œ‹ đ?‘š3 D) 16√3đ?œ‹ đ?‘š3 E) 30đ?œ‹ đ?‘š3

C) 36đ?œ‹ đ?‘š3

Problema 03 En la figura, O es el centro de la esfera. Si el ĂĄrea total de la cuĂąa esfĂŠrica correspondiente al huso esfĂŠrico sombreado es 30đ?œ‹ đ?‘š2 , halle el volĂşmen de la cuĂąa esfĂŠrica.

A) 529đ?œ‹ đ?‘š3 D) 522đ?œ‹ đ?‘š3

B) 500đ?œ‹ đ?‘š3 E) 528đ?œ‹ đ?‘š3

C) 525đ?œ‹ đ?‘š3

Problema 06 En la figura, AT es diĂĄmetro de la semiesfera, T es punto de tangencia. Si el √3đ?œ‹

volumen del cono de revoluciĂłn es 3 đ?‘š3 y AO = OT, halle el ĂĄrea total de la semiesfera.

A) 3đ?œ‹ đ?‘š2 D) 10đ?œ‹ đ?‘š2

B) 12đ?œ‹ đ?‘š2 E) 5đ?œ‹ đ?‘š2

C) 8đ?œ‹ đ?‘š2 A)

Problema 07 Se tiene una esfera cuyo radio mide 1 cm, un cilindro de revoluciĂłn y un cono equilĂĄtero circunscritos a ĂŠsta esfera. Halle la suma de los volĂşmenes de los tres sĂłlidos.

19 đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š3 3 16 D) 3 đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š3

A)

B) E)

26 đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š3 3 14 đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š3 3

C)

19 đ?œ‹ 3

đ?‘?đ?‘š3

12 đ?œ‹ 5

đ?‘š2

8

B) 5 đ?œ‹ đ?‘š2 7

D) 3đ?œ‹ đ?‘š2

E) 3 đ?œ‹ đ?‘š2

C)

15 đ?œ‹ 7

đ?‘š2

Problema 10 En la figura, la esfera estĂĄ inscrita en el cono circular recto y N es punto de tangencia. Si VN = 20 m y NB = 30 m, halle el volumen de la esfera.

Problema 08 Los casquetes esfĂŠricos correspondientes a la superficie esfĂŠrica de centro O serĂĄn usados en la elaboraciĂłn de sombrillas. Si el đ??´đ??ľ costo del menor casquete es S/.5 y 5 = đ??ľđ??¸ 15

=

đ??śđ??ˇ , 24

halle el costo del mayor casquete.

A) 4200đ?œ‹ đ?‘š3 B) 3360đ?œ‹ đ?‘š3 C) 2890đ?œ‹ đ?‘š3 D) 3610đ?œ‹ đ?‘š3 E) 4500đ?œ‹ đ?‘š3 Problema 11 Una cuĂąa metĂĄlica esfĂŠrica cuyo ĂĄngulo diedro y radio miden 90° y 8 cm respectivamente, serĂĄ fundida para obtener 16 canicas de forma esfĂŠrica. Halle el ĂĄrea de la superficie de una canica.

A) S/. 15 D) S/. 23

B) S/. 20 E) S/. 18

C) S/. 27

Problema 09 En la figura, la esfera estĂĄ inscrita en el cubo cuya arista mide 2√3 đ?‘š y G es centro de la cara ABCD. Halle el ĂĄrea de la secciĂłn determinada en la esfera por el plano que contiene a los puntos E, F y G.

A) 5đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š2 D) 14đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š2

B) 8đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š2 E) 10đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š2

C) 16đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š2

Problema 12 En la figura, AB es diĂĄmetro de la semiesfera y el volumen del cono equilĂĄtero mayor es 3

(√3 + 1) đ?œ‹ đ?‘š3 . Halle el volumen de la semiesfera.

equivalentes. Si AB = 3 m, halle el ĂĄrea de la zona esfĂŠrica sombreada.

A) 16đ?œ‹âˆš2 đ?‘š2 B) 9√5đ?œ‹ đ?‘š2 C) 36đ?œ‹âˆš2 đ?‘š2 D) 16đ?œ‹âˆš5 đ?‘š2 E) 18đ?œ‹ đ?‘š2 A) 8đ?œ‹ đ?‘š2 D) 7đ?œ‹ đ?‘š2

B) 9đ?œ‹ đ?‘š2 E) 5đ?œ‹ đ?‘š2

C) 6đ?œ‹ đ?‘š2

Problema 13 Un arquitecto diseĂąa un parque, donde quiere colocar un monumento en forma de esfera y cilindro tal como se muestra en la figura. Si el volumen del cilindro es 243 đ?œ‹ đ?‘š3 y ambas figuras tienen igual 16 volumen, halle el ĂĄrea de la superficie esfĂŠrica.

Problema 16 En una pirĂĄmide regular P – ABCD, AD = 6 m y đ??´đ?‘ƒ = √34, la altura de la pirĂĄmide PO es el diĂĄmetro de una superficie esfĂŠrica. Halle el ĂĄrea del menor uso esfĂŠrico determinado en dicha superficie esfĂŠrica por el ĂĄngulo diedro D – OP – C. A) đ?œ‹ đ?‘š2 D) 4đ?œ‹ đ?‘š2

B) 2đ?œ‹ đ?‘š2 E) 6đ?œ‹ đ?‘š2

C) 3đ?œ‹ đ?‘š2

Problema 17 En un hexaedro regular ABCD – EFGH, una esfera de centro O (O en el exterior del hexaedro) es tangente a la cara CDHG y a los planos que contienen a las caras ABCD, BCGF y EFGH. Si đ?‘‚đ??´ = 3√11, halle el volumen de la esfera.

81 đ?œ‹ đ?‘š2 5 81 D) 4 đ?œ‹ đ?‘š2

A)

B) E)

81 đ?œ‹ 2 81 đ?œ‹ 6

đ?‘š2 đ?‘š2

C)

81 đ?œ‹ 3

đ?‘š2

Problema 14 En el interior de un cuadrado ABCD, se trazan el cuadrante BAD y la semicircunferencia de diĂĄmetro AD. Halle la razĂłn de las ĂĄreas de las superficies generadas por los arcos BD y AD al girar una âƒĄ . vuelta alrededor de đ??´đ??ˇ A) 1 D) 2

B) √2 E) √5

A) 12đ?œ‹ đ?‘š3 D) 24đ?œ‹ đ?‘š3

B) 18đ?œ‹ đ?‘š3 E) 40đ?œ‹ đ?‘š3

C) 36đ?œ‹ đ?‘š3

Problema 18 En la figura, la zona esfĂŠrica sombreada es equivalente al cĂ­rculo mĂĄximo de la Ě‚. semiesfera de centro O. Halle la đ?‘šđ??´đ?‘ƒ

C) √3

Problema 15 En la figura, O es el centro de la semiesfera, la corona circular sombreada y la superficie lateral del cilindro de revoluciĂłn son

A) 30° D) 53°

B) 37° E) 60°

C) 45°

Problema 19 Un cono de revoluciĂłn cuyo radio de la base y altura miden 12 m y 18 m, respectivamente, estĂĄ inscrito en una esfera. Halle el volumen del menor segmento esfĂŠrico determinado por la base del cono en la esfera.

1981 đ?œ‹ đ?‘š3 3 1990 D) 3 đ?œ‹ đ?‘š3

A)

1988 đ?œ‹ đ?‘š3 3 1994 E) 3 đ?œ‹ đ?‘š3

B)

C)

1984 đ?œ‹ 3

Problema 23 En la figura, O es centro. Si BE = 2 cm y AB = 4BD, halle el volumen de la esfera.

đ?‘š3

Problema 20 En la figura, AOB es un cuadrante, OM = MA y el ĂĄrea del sector AOB es S. Halle el ĂĄrea de la superficie generada por el arco NB al girar 45°alrededor de âƒĄđ?‘‚đ??´.

235

A) 4 đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š3 D) 85đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š3

256

B) 3 đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š3 E) 89đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š3

C)

233 đ?œ‹ 5

đ?‘?đ?‘š3

Problema 24 En una superficie esfĂŠrica cuyo radio mide 12 cm, se tiene una zona esfĂŠrica y un huso esfĂŠrico equivalentes. Si la altura de la zona esfĂŠrica mide 3 cm, halle el volumen de la cuĂąa esfĂŠrica.

A) 248đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š3 B) 268đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š3 D) 288đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š3 E) 300đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š3 A) S D) 3S/2

B) S/2 E) S/4

C) 2S

Problema 21 Se tienen dos segmentos esfĂŠricos de una base congruente y de base comĂşn; en su interior se tiene la mayor esfera inscrita cuyo volumen es 36đ?œ‹ đ?‘š3 y determina en la base comĂşn de los segmentos esfĂŠricos una corona circular de ĂĄrea 16đ?œ‹ đ?‘š2 . Halle el ĂĄrea de la base de los segmentos esfĂŠricos.

A) 16đ?œ‹ đ?‘š2 D) 25đ?œ‹ đ?‘š2

B) 18đ?œ‹ đ?‘š2 E) 32đ?œ‹ đ?‘š2

C) 278đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š3

Problema 25 En la figura, AOB es un cuadrante. Si OA = 4 y BL = LO, halle la superficie generada por el perímetro de la superficie sombreada al girar 360°alrededor de OB.

C) 20đ?œ‹ đ?‘š2

Problema 22 Un tronco de cono de revoluciĂłn cuyos radios de las bases miden 3 cm y 6 cm estĂĄ inscrita en una esfera. Si el ĂĄrea lateral del tronco de cono es 54đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š2 , halle el ĂĄrea de la superficie esfĂŠrica.

A) 120đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š2 B) 121đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š2 C) 144đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š2 D) 145đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š2 E) 169đ?œ‹ đ?‘?đ?‘š2

A) 4đ?œ‹(6 + √2)đ?‘?đ?‘š2 C) 5đ?œ‹(4 + √2)đ?‘?đ?‘š2 E) 6đ?œ‹(3 + √2)đ?‘?đ?‘š2

B) 2đ?œ‹(5 + √2)đ?‘?đ?‘š2 D) 7đ?œ‹(6 + √2)đ?‘?đ?‘š2