Tema 4 poliedros 5to

Poliedros Aldo Felipe Huayanay Flores

Problemas Propuestos Problema 1 En un poliedro, el nĂşmero de caras es la mitad del nĂşmero de aristas. Halle la diferencia entre el nĂşmero de vĂŠrtices y el nĂşmero de caras.

A) 2 D) 4

B) 1 E) 5

Problema 5 En la figura, V – ABC es un tetraedro regular, cuya arista mide 9 cm. Si G es el baricentro de la cara VBC, halle la distancia de G a la base ABC.

C) 3

Problema 2 Un poliedro convexo cuyas caras son 4 regiones triangulares, 4 regiones cuadrangulares y 2 regiones pentagonales, halle su nĂşmero de vĂŠrtices.

A) 9 D) 12

B) 10 E) 13

C) 11

Problema 3 En la figura el poliedro estĂĄ formado por 6 regiones triangulares, 8 regiones cuadrangulares y 10 regiones pentagonales.

Halle el nĂşmero de vĂŠrtices del poliedro.

A) 30 D) 23

B) 26 E) 32

C) 28

Problema 4 La arista de un tetraedro regular mide 6 cm.

Halle el ĂĄrea de la proyecciĂłn de una de sus caras sobre otra cara.

A) √3 D) 3√3

B) 5√3 E) 4√3

C) 2√3

A) 2√6 D) √6

B) √3 E) 3√2

C) √5

Problema 6 En la figura ABCD – EFGH es un hexaedro regular y O es el centro de la cara ABCD. Si đ?‘‚đ?‘€ = √6, halle el volĂşmen del hexaedro.

A) 200 D) 220

B) 216 E) 250

C) 136

Problema 7 En un tetraedro regular O – ABC se traza la altura OH, siendo M y N puntos medios de OH y AO respectivamente. Halle la medida del ångulo entre CM y HN. A) 30° D) 45°

B) 37° E) 60°

C) 53°

Problema 8 En la figura ABC – DEF es un prisma triangular recto, FE = 2ED = 2 y EB = DF. Halle el årea lateral del prisma.

A) 1264 cm2 D) 1450 cm2

A) 2 + √7 D) 2√7

B) 3 + √7 E) 5 + √7

C) 7 + 3√7

Problema 9 El producto de las longitudes de todas las aristas bĂĄsicas de un prisma triangular recto numĂŠricamente es 3600. La altura del prisma y el diĂĄmetro de la circunferencia circunscrita a la base son congruentes. Halle el volumen del prisma en metros cĂşbicos.

A) 20 m3 D) 60 m3

B) 30 m3 E) 40 m3

C) 50 m3

Problema 10 En la figura, la arista del tetraedro regular mide 4 cm, el plano que es perpendicular a la altura, pasa por el punto medio de esta.

Halle el ĂĄrea de la secciĂłn plana determinada.

B) 1164 cm2 E) 2100 cm2

C) 1300 cm2

Problema 12 La secciĂłn recta de un prisma oblicuo estĂĄ determinado por un trapecio rectangular cuya altura mide 4 m y las bases 2 m y 5 m.

Si la altura del prisma mide 8 m y el ångulo entre una arista lateral y una altura mide 37°, halle el årea lateral del prisma.

A) 140 m2 D) 184 m2

B) 160 m2 E) 185 m2

C) 181 m2

Problema 13 En un paralelepípedo rectangular, la proyección de una diagonal sobre la base mide 10 cm. Si uno de los lados de la base mide 8 cm y la diagonal forma con la base un ångulo que mide 45°, halle el årea total del paralelepípedo.

A) 200 cm2 D) 260 cm2

B) 376 cm2 E) 217 cm2

C) 216 cm2

Problema 14 En un prisma oblicuo, la secciĂłn recta es un triĂĄngulo circunscrito a un cĂ­rculo cuyo radio mide 3 m y el ĂĄrea lateral del sĂłlido es 28 m3. Halle el volumen del prisma oblicuo.

A) 28 cm2 D) 45 cm2 A) 3√2 D) √6

B) √3 E) √3/2

C) 2√3

Problema 11 En la figura, BM = 5 cm, EH = 10 cm, AE = 12 cm y đ?‘šâˆĄđ??śđ?‘€đ??ľ = đ?‘šâˆĄđ?‘€đ??ťđ??¸. Halle el ĂĄrea de la superficie total del paralelepĂ­pedo rectĂĄngulo.

B) 40 cm2 E) 42 cm2

C) 49 cm2

Problema 15 En la figura, se muestra el desarrollo de la superficie lateral de un tronco de prisma regular. Si DA = 3, FB = 1, EC = 2 y el ĂĄrea lateral del tronco de prisma es 12 m2, halle el volumen del tronco.

A) 1660° D) 2980°

A) √3 D) 4√3

B) 2√3 E) 6

C) 3√3

Problema 16 En la figura, ABC – DEF es un tronco de prisma triangular. Si AP = 12 cm y el área de la región DEF es 36 m2, halle el volumen del tetraedro A – PCB.

B) 120 m2 E) 150 m2

C) 144 m2

Problema 17 En la figura, ABC – DEF es un tronco de prisma regular. Q, R y T son puntos medios de las aristas básicas. Halle la razón entre las áreas laterales de NPM – RTQ y ABC – DEF.

A) 1/3 D) 2/3

B) 1/2 E) 3/5

C) 2800°

Problema 19 En un poliedro se cumple que el número de caras es igual al número de vértices. Si la razón entre el número de aristas y el número de caras es 12/7, halle la suma de los números de caras, aristas y vértices.

A) 24 D) 36

B) 52 E) 30

C) 26

Problema 20 Un poliedro está formado por x regiones triangulares, 3 regiones cuadrangulares y 5 regiones pentagonales. Si la suma de las medidas de los ángulos internos de todas las caras es 4320°, halle “x”.

A) 3 D) 6

A) 100 m2 D) 140 m2

B) 2880° E) 2120°

B) 4 E) 7

C) 5

Problema 21 La base de un tronco de prisma recto es una región triangular, cuyos lados miden 1m, √5m y 2m. Si las aristas laterales miden 1m, 2m y 3m, halle el volumen del tronco.

A) 1 m3 D) 2 m3

B) 5 m3 E) 3 m3

C) 4 m3

Problema 22 En la figura, se tiene un prisma recto cuya altura mide 11 cm. Si PB = 5 cm, PC = 4√5 cm y la distancia de Q al plano ABCD es 6 cm, halle el volumen.

C) 1/5

Problema 18 Un poliedro convexo tiene 8 caras triangulares y 4 caras cuadrangulares. Halle la suma de los ángulos de todas las caras del poliedro

A) 108 m2 D) 130 m2

B) 116 m2 E) 132 m2

C) 124 m2

Problema 23 El perĂ­metro de la base de un tronco de prisma cuadrangular regular es 20 m. Las longitudes de las aristas laterales miden 16m. Halle su ĂĄrea lateral.

A) 40 m2 D) 60 m2

B) 50 m2 E) 100 m2

Problema 26 En la figura, ABC – DEF es un prisma recto.

Si BE = 20 cm, 2AP = 3QD = 12 y el triångulo equilåtero PCB cuyo lado mide 10, determina con la base un diedro que mide 30°, halle el volumen de tronco PBC – QEF.

C) 80 m2

Problema 24 En la figura, la distancia de A a BC es 4√6 m.

Halle la longitud de la arista del hexaedro regular APBQ – FCDE

A) 625 m3 D) 530 m3 A) 6 m D) 4 m

B) 5 m E) 8 m

C) 7 m

Problema 25 En la figura, V – ABC es un tetraedro regular y đ??´đ??ľ = 18√3. Si G es el baricentro de la cara BVC, halle GP.

A) 5√6 D) 6√5

B) 6√6 E) 4√3

C) 7√6

B) 624 m3 E) 525 m3

C) 621 m3

Problema 27 En la figura, el ĂĄrea de la regiĂłn CKG es 20√3. Si 3(đ??źđ??ś) = 4(đ??źđ?‘‡), halle el volĂşmen del prisma regular.

A) 172√3 cm3 B) 182√3 cm3 C) 193√3 cm3 D) 192√3 cm3 E) 191√3 cm3

ÂĄDesafĂ­o!!

Problema 27 En un poliedro, la razĂłn entre el nĂşmero de aristas y el nĂşmero de caras es 5/3. Hallar el nĂşmero de caras, si el nĂşmero de vĂŠrtices es mayor que 6 y menor que 10.

A) 7 D) 10

B) 8 E) 11

Problema 31 Calcule el volumen del siguiente octaedro V – ABCD – E, si se sabe que AM = MV, DF = FC, đ?‘€đ??š = √3.

C) 9

Problema 28 Se tiene el cubo ABCD – EFGH, calcule el volĂşmen del sĂłlido, si la distancia entre FH y DM es 2√6/3 (M es punto medio de CG).

A) 6 D) 12

B) 8 E) 14

C) 10

Problema 29 En un tetraedro regular O – ABC la longitud de su arista es a, la altura OH intersecta al plano BMC en el punto P, siendo M punto medio de OA. Calcule OP. √6 đ?‘Ž 4 6 √ D) 6 đ?‘Ž

A)

√6 đ?‘Ž 3 3 √ E) 4 đ?‘Ž

B)

C)

√5 đ?‘Ž 3

A) 8√3 D) 8√2/2

B) 5√3 E) 7√2/3

C) 8√2/3

Problema 32 Del grĂĄfico, se muestra un dodecaedro regular; siendo: P, Q, M y N puntos medios de las aristas respectivas. Calcule la medida del ĂĄngulo entre PQ y MN.

Problema 30 Calcule el ĂĄngulo entre AB y CD si se presenta el icosaedro regular.

A) 18° D) 72°

A) 30° D) 108°

B) 90° E) 98°

C) 120°

B) 36° E) 45°

C) 54°