Curso: Ă lgebra
1
Curso: Álgebra Ecuaciones de Segundo Grado
Naturaleza de Raíces Propiedades de las Raíces
Formación de la Ecuación
suma
se debe tener
depende = b - 4ac 2
Discriminante Suma = S si
>0
=0
Producto = P
product o
<0
Raíces reales diferentes
Raíces iguales
Raíces complejas y conjugadas
x1 x2
x1 = x2
x1 = m + ni
>0 Raíces reales
Diferencia
donde x2 – Sx + P = 0
x2 = m – ni m; n R además:
2
Curso: Álgebra
Observaciones
Raíces Simétricas u Opuestas
Raíces Recíprocas o Inversas
Ecuaciones Cuadráticas Equivalentes
si
si
si las ecuaciones
Una raíz es: x1 = m, la otra es: x2 = -m
Una raíz es: x1 = m, la
ax2 + bx + c = 0 ; a 0
otra es:
se cumple
mx2 + nx + p = 0 ; m 0
tienen
se cumple x1x2 = 1
x1 + x2 = 0
Las mismas raíces o soluciones se cumple
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Resolver
la
x2 (2a 5b)x 10ab 0
ecuación indicando la
mayor solución (a>0 b<0 a) 2a b) 5b c) -2a d) -5b e) 2a+5b
2. Resolver: 3 x2 5 4x 1 a) 2 b) 2 2 7 c) 4 d) 4 4 7 e) 1 8 3. Si una raíz de la ecuación: x2 mx 2 0 es 2 Hallar: m a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5 4. Calcular m si las raicees de la ecuación son reciprocas: (m 3)x2 (2m 5)x 2m 10 0 a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 5. Calcular k en la ecuación: x2 kx 72 0 1 1 7 x1 x 2 18
si:
a) 7 b) 14 c) 21 d) 28 e) 42
6. Si la ecuación cuadrática: ax2 bx c 0 tiene raíces simétricas x1 y x2 calcular: 2005
M x1
x2
2005
3
Curso: Álgebra a) 1/3 b) 3 c) ¼ d) 4 e) 0 7. Formar la ecuación de segundo grado cuyas raíces son: x1 4 3
b) 1197 c) 1161 d) 2214 e) 2050 14. Indicar una de las raíces de la ecuación cuadrática
9nx2 12(n 1)x 8 n3 0
en x:
x2 4 3 2 a) x 8x 3 0 2 b) x 8x 13 0
a) n 3
2
2
c) x 8x 13 0 2 d) x 8x 13 0 e) N.A. 8. Hallar
el
valor
b) n 1 2 c) n 4 de
k
en
la
ecuación:
x2 6x k 0 si sus raíces son iguales a) 1 b) 4 c) 9 d) -9 e) -4 9. Ai
3
e) n 3
3
a
y
b
son
raíces
de
la
x2 5x 3 0 N (a 4)(b 2)(b 4)(a 2) 5
ecuación: hallar:
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) N. A. 10. Siendo a y b las 2x2 4x 1 0
raíces hallar
de la ecuación: el valor de:
1 1 b
M [( a 1)(b 1)] a a) 16/625 b) 1/625 c) 1/125 d) 8/125 e) 4/25
x1 x2 las raíces de la ecuación :
x 7x 1 0
E x1 4
2 c) x 6x 14 0 2 d) x 6x 14 0 e) N.A.
12. Si el producto de raíces de: x 2 2 3x k 0 es igual a la diferencia de las mismas ; hallar el mayor valor de k: a) -6 b) 4 c) -4 d) 2 e) 3 son
16. Hallar el valor de m en: x 2 mx 1 0 si la suma de los cubos de sus raíces es 18 a) 2 b) 4 c) -4 d) -3 e) 3
2
2 a) x 6x 16 0 2 b) x 6x 16 0
x1 x2
15. Hallar la suma de los cuadrados de las raíces de: (k 1)x2 (5 2k)x 4k 5 0 si una de las raíces es inversa de la otra a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
17. Sean
11. Formar la ecuación de segundo grado con coeficientes reales que admite como raíz al complejo: 3 5¡
13. Si:
3
d) n 2
raíces
de
la
ecuación:
2
x x 1 0
4
dar
el
valor
de:
x2
a) 1 b) 3 c) 2 d) 5 e) 6 18. Hallar m si la ecuación presenta raíz doble (m 4)x2 1 (2m 2)x m a) 5 b) 3 c) 2 d) 1 e) N.A. 19. Encontrar el valor que tienen k, si una raíz es el doble de la otra en la ecuación: x2 6x k 0 a) 1 b) 6 c) -6 d) -8 e) 8
calcular:
M (5 x1 )(7 x1 )(5 x2 )(7 x2 ) a) 1120
4
Curso: Álgebra 20. Indicar la menor solución de la siguiente ecuación:
x2 x3
x3 5 x2 2
1. Dada la ecuación: (m 1)x2 5x (2m 1) 0 el producto de raíces es 5/3. Hallar: m a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) -4 2. Si a y b son raíces de la ecuación: calcular: x2 2001x 1999 0 (a b)2 2(a b)ab (ab)2 a) 4 b) 16 c) 4000 d) 40000 e) 40000000 3. ¿Para que valor de a la suma y el producto de las raíces de la ecuación tienen el mismo valor? (a>0)
ax2 4x a2 0 a) 1
b) 2 e) 5
c) 3
d)
4
4. Dado las ecuaciones: x2 11x 30 0 de raíces y x 2 11x 10 0 de raíces m y n calcular
1 1 1 1 3m 3n a) 0 b) 1 e) 4
c) 2
d)
3
5. Determinar m de manera que en la ecuación: 2x2 x 4m 0 las raíces sean reciprocas a) 2 b) ½ c) 4 d) ¼ e) 8 6. Si una raíz es el doble de la otra, hallar el valor de k en: x 2 8x (k 1) 0 a) 36
b) 6 e) -6 y
c) 71
d)
72
son raíces de la ecuación:
2
x nx 2n 0 además: ( 1)( 1) 16 hallar: n a) -5 b) 4 c) 2 d) 5 e) 1 8. Si:
y
son raíces de x(x-6)=-3 calcular:
(1 )(1 ) a) 8
c) -1
x2 x a 0 raíces a) -3 b) -2 e) 2
APLICO LO APRENDIDO
b) 2 e) -3
b) 9 e) 12
d)
3
11. Si las ecuaciones tienen una raíz en común: x 2 ax 1 0 a 1 hallar la menor de todas las
a) 7/3 b) 10/3 c) 5/3 d) 4/3 e) 2/3
7. Si:
a) -2
c) 10
d)
11
9. Encontrar el valor de n para que en la ecuación: 3x2 41x n 0 el producto de las raíces sea 7 a) 1 b) 2 c) 10 d) 21 e) 41 10. ¿Para que valor de p la suma y el producto de raíces de: (p 1)x2 px 2 0 tienen el mismo valor?
c) -1
d)
1
12. Si la ecuación x2 (m m2 )x m3 1 0 tiene una única solución, indicar un valor de m2 m a) 2 b) -1 c) -2¡ d) 0 e) ¡ 13. Sea la ecuación: x2 7x 1 0 de raíces a y b Calcular (a 1) 4 (b 1) 4 a) 1175
b) 2000 e) 1279
c) 376
d)
485
14. Hallar el valor de k sabiendo que una raíz excede a la otra en 3 unidades: x 2 (2k 5)x k 0 a) -1
15. Si
el
b) -2 e) -8 conjunto
x 2 5x 1 0 1 1 2 2 a) 3/4
c) -5
d)
solución de la es {; }
b) 3/5 e) 3/8
c) 1/7
-7
ecuación: calcular:
d)
2/7
16. Calcular el mayor valor entero y positivo para que la ecuación: x2 nx 3 0 tenga raíces imaginarias a) 6 b) 5 c) 1 d) 4 e) 3 17. La ecuación: x2 3(n 1)x 27 0 tiene como conjunto solución {n;nk} calcular n+k; n a) 3 b) 5 c) 12 d) -6 e) 9 18. De la ecuación: x2 6x a2 9 0; aR indique el valor de verdad de: I. Si a= 0, entonces existe una única solución . II.Si a<0, tiene raíces no reales III. Si a 0 tiene dos raíces distintas y reales a) VVF b) VFV c) VVV d) FVF e) FFV 19. Resuelva: ax b a 2bx e indique el valor de
2
verdad de las proposiciones.
I. Tiene solución única si a b II. Si a=2b y a=-b la ecuación no tienen solución III. No tienen solución si a b y a 2b IV. Tiene solución única si a=b=c 0 a) VVVV b) VFFV c) VFVV d) e) FFFF
VFVF
20. Si las ecuaciones en x: (m 2)x 2 (n2 3)x 2 0 admite el mismo (m 1)x 2 (n 1)x 1 0 conjunto solución, determine mn
5
Curso: Álgebra a) 0
b) 2 e) 15
c) 3
d)
4
21. Forme una ecuación de segundo grado cuyas raíces sean respectivamente iguales a la suma y al producto de las dos raíces de la ecuación x2 3x 1 0 2
a) x 2x 5 b) x x 1 c) x2 2x 3 d) x2 4x 3 2 e) x 7x 2 2
22. La diferencia entre la mayor raíz y menor raíz de la ecuación (2x 45)2 (x 21)2 0 es: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 23. Siendo r y s raíces de 2x2 4x 1 0 Hallar el valor de: [(r 1)(s 1)] 2
c) 5 24 2
d) 5 23
e) 5 2
2
24. Si:
y
25. Si:
x 1 (a b ) 2
x 2(a2 b2 )x k 0 2
es
22
el
valor
d)
una
d)
de
15
raíz
determinar
a2 b2 a) a 2 2b 2 b) a2 c) a+b e) a2 b2
de
k b2;
b) 2 e) 5
c) 3
d)
4
7. Hallar m+n; si la ecuación cuadrática tiene 1024 x2 (mn 8)x n10 0; m; n R raíces simétricas y reciprocas a) 2( 2 1) b) 2 1 c) 3( 2 1) e)
2 1 2
1 x 1 1 9 3 1 2 x 1 4 x 1 b) {5} c) {4} d)
( x 1 4)(x 2 6)(x 1 6)(x 2 4) a) 1590 b) 1595 c) 2001 e) 1585
d)
2002
9. En las siguientes ecuaciones: x 2 5x k 0...(1) x 2 7x k 0...(2) una raíz de la ecuación (1) es la mitad de una raíz de la ecuación (2), el valor de k es igual. a) 6 b) 4 c) 7 d) 9 e) 3 10. Si y p son raíces de la siguiente ecuación: 2 2 x2 k 4x; k R calcular: p 2k
a) 4
b) 5 e) 8
c) 6
d)
7
11. En la ecuación cuadrática ax2 bx c 0 de
x1 ; x 2
1
x1 x 2 1 x 2 x1 2 indique la relación que existe entre a;b;c para que se cumpla esta condición a) b 2 4ac b) c 2 2b c) c 2 4bc raíces
1. Sea la ecuación: x 2 3 x 2 0 de raíces x1 y x2 determinar: 1 1 2 x12 x 22 a) 5/2 b) 1/3 c) -4/3 d) 3/2 e) -7/3
a)
a) 1
2
2b 2
REFORZANDO
2. Resuelva:
ecuación: 3x2 (n 4)x n 2 0 de modo que: x1 x2 31 x1x2 ¿Cuál es el valor de n?
8. Siendo la ecuación cuadrática: x2 3x 1 0 de raíces y calcular: x1 x2
son raíces de la ecuación
entonces x2 6x c 0 2 2 2c es igual a: 9 a) 2 b) 6 c) 4 e) 10
6. Si: {x1 ; x 2 } es el conjunto solución de la
d) 4( 2 1)
b) 5 20
a) 5/2
3 5. Hallar un valor de luego de resolver: x 3 x 14 3 x 2 1 13 a) 1 b) 2 c) 5 d) 7 e) 9
se cumple:
2 e) a 1 2
d) a 2 b 2 c
b
{3}
e) {2} 3. Al resolver las ecuaciones: ax 2 2(a2 a 1) x a x se observa que tienen el mismo 2 2 6 3 conjunto solución, calcular a a) 10 b) 14 c) 12 d) -5 e) 3 4. Calcular la suma de raíces no reales en la ecuación: x 4 2x 3 2x 2 2x 3 0 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
12. Para cuantos valores del parámetro k el polinomio P( x) (k 1)x2 (k 1)x 1 tiene raíz cuadrada exacta P(x) sobre los racionales a) 1 b) 2 c) 3 e) 5
d)
13. Determinar n para que la tenga raíces x 2 (n 5 ) x 9 0 n R a) 4
b) 7 e) 15
c) 8
d)
4
ecuación: múltiples: 11
6