ACADEMIA PRE POLICIAL FORTALEZA
C.T.A.
MAGNITUDES ESCALARES Son magnitudes que sólo necesitan de un número y una unidad de medida para quedar bien determinada MAGNITUDES VECTORIALES Son aquellas que además de un número y una unidad necesita de una dirección y sentido para estar bien definidas. En pocas palabras es aquella que se determinar por tres características: módulo, dirección y sentido.
Vectores Opuestos Se llama vector opuesto (–A) de un vector A cuando tienen el mismo módulo la misma dirección pero sentido contrario
VECTOR Es un segmento de recta orientado (flecha) que tiene el módulo y dirección.
* A A * ∢ A = ∢– A * A ; –A SUMA VECTORIAL Sumar dos o más vectores, es representarlos por uno sólo llamado RESULTANTE. Este vector resultante produce el mismo efecto que todos juntos. Hay que tener en cuenta que la suma vectorial no es lo mismo que la suma aritmética. . R A B C D E
0 : Origen del vector P : Extremo del vector
A : Módulo del vector ELEMENTOS DE UN VECTOR 1. Módulo: es el tamaño de vector. 2. Dirección: es la línea recta en la cual actúa, caracterizada por el ángulo que forma con el eje horizontal positivo. 3. Sentido: dada una dirección, hay dos sentidos posibles. El sentido de un vector lo define la punta o cabeza de flecha. 4. Línea de Acción (L.A.): es aquella recta discontinua que contiene al vector. Esta recta no es necesario graficarlo. TIPOS DE VECTORES Vectores Colineales Son aquellos vectores que están contenidos en una misma línea de acción.
Vectores Concurrentes Son aquellos vectores cuyas líneas de acción se cortan en un solo punto.
.
Método del Paralelogramo Sirve para sumar dos vectores con origen común. Se construye el paralelogramo trazando paralelas a los vectores dados. La resultante es la diagonal trazada desde el origen de los vectores.
Vectorialmente
. R AB . . R2 A2 B2 2 . A . Bcos .
Para calcular su valor
O también: R n A2 B2 2 . A . B . cos α Dónde: n divisor común Vector Diferencia Se obtiene uniendo los extremos de los vectores.
A , B y C son concurrentes
Vectores Coplanares Son aquellos vectores que están contenidos en un mismo plano.
A , B y C son coplanares
Vectores Paralelos Son aquellos vectores que tienen sus líneas de acción paralelas.
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.
=
–
.
. D2 A2 B2 2 . A . B cos . Caso Particular Si los vectores forman un ángulo de 90º, la resultante se obtiene usando el “Teorema de Pitágoras”
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C.T.A. EJERCICIOS DE APLICACIÓN En los siguientes casos hallar el vector resultante. 1. a) 2d
d
b) a 2
2
. R =A +B
2
.
c) 2a
Método del Polígono Este método consiste en colocar un vector a continuación del otro, conservando cada uno de ellos sus respectivos elementos, donde el vector resultante se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector.
a
c
d) 2b
b
e) c 2. a) b
b
b) 2c
a
c) 3c
c
d) 2a .
=
+
+
.
e) 3a 3. a) 2a
NOTA: SI AL COLOCAR LOS VECTORES UNO A CONTINUACIÓN DEL OTRO SE OBTIENE UN POLÍGONO CERRADO, LA RESULTANTE ES CERO.
b
b) 3c c) 3d
Componentes Rectangulares de un Vector Son aquellos vectores componentes de un vector que forman entre sí un ángulo de 90º.
c
a
e
d
d) 3f
f
e) 2b 4. a) 2b
b
a
b) 3c
c
c) 3e d) Cero
d
e) 2a Descomposición Rectangular Al sumar varios vectores por el método de la descomposición rectangular, se sigue los siguientes pasos: 1. Descomponer rectangularmente cada uno de los vectores, según un par de ejes perpendiculares previamente elegidos X e Y. 2. Determinar la resultante de cada eje: Rx = Vectores en x Ry = Vectores en y 3.
5. a) a b) c
b
d) 2e e) 2f 6.
a) c
g
d
a
c) e
Encontramos el vector suma total o “Resultante” por medio del Teorema de Pitágoras.
R 2 Rx2 RY2
e
c
e
c d
c) 3 c
e) 5 c
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b
a
b) 2 c
d) 4 c
f
f
e
g
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7.
12. a) 2f
a
b
b) 3a
Halla el módulo de la resultante de los vectores mostrados:
a) 10 6
f
c) 3c
y
20 2 m
50 m
b) 10 19
d) 3f
c
e) 2d
e
d
45º
c) 10 13
37º x
d) 10 29
Hallar el módulo de la resultante en los siguientes casos:
8.
cos37º
e) 50
4 5
a) 3 2 b)
13.
y
c) 7
10
a) 1
37º
d) 3
b) 2
5
e) 4 5 9.
Calcular la magnitud de la resultante.
2
3 5
53º
5 c)
5 cos 16
2
x
7
d) 2 2
a) 2 b) 5
e) 3
2
c) 6 d) 7
14.
4
e) 8
Hallar el módulo de la resultante.
y
5 2 a) 1
10.
45º
b) 2 a) 2 3
13 x
c) 3 b) 3 3 c) 6 3
53º
3 3
d) 4 e) 5
60º
d) 9
3 3
e) 12 11.
10
15.
Calcular el módulo de la resultante.
Hallar la magnitud de la resultante.
y
y
a) 4 cm
a) 40 cm
80 cm
b) 5
b) 50 c) 55 d) 60
c) 4 2
28 cm
37º
e) 75
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x
d) 8 e) 3 2
3 cm
1 cm 5 cm
7 cm
x
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Hallar el módulo de la resultante:
a) 1
y a) 10 N
3N
c) 3
37º
c) 12
x
45º 10 53º 13
d) 4
6N
d) 13
e) 5
e) 14
y 6 2
21.
x
b) 2
10N
b) 11
2 2
y
20.
a) 1
En los siguientes casos hallar el módulo de la resultante.
b) 2
y
17. a) 7N
10 x
53º
45º
c) 3
12N
b) 24
3N
c) 25
d) 4
x
4N
10
e) 5
d) 16
12N
e) 15
22. a) 20
18. a)
2m
c)
e)
45º
3
25
e) 25
y
15m
23.
5m
50
a) 20
19.
y
a) 2 cm
2
x
d) 24
x
b) 21
b)
37º
c) 22
53º
d) 2
40 53º
10 2
b) 1
y
b) 21
y
10m
20
16º x
c) 22
5 cm 5 cm
24
d) 24
x
53º
7
e) 25
c) 2 2 d) 3
45º
e) 4
3 2 cm
y 24. a) 13 b) 14
25
12
16º
x
c) 15 d) 17 e) 19
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2
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C.T.A. 34.
a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 80
y
25. a) 1N b) 2
5N 4N
Calcular la resultante del sistema de vectores mostrados: y 100
37º
40
37°
c) 3
x
x 90
d) 4 35. Determinar el módulo de la resultante del conjunto mostrado. A= 20m, B=12m, C=9m
e) 5
26.
Dos vectores poseen módulos A = 6, B = 10, formando entre sí un ángulo “”. Hallar “”, si su resultante R = 14.
a) 3 rad
b) 60°
c) 30°
d) 37°
e) a y b
27.
Dos vectores A y B tienen una resultante máxima de 16 y una mínima de 4. ¿Cuál será el módulo de la resultante cuando formen 53° entre sí? a) 8 b) 10 c) 12 d) 6 e) N.A.
28.
Si la resultante máxima de dos vectores posee un módulo de 40 unidades y la resultante mínima de 10. Encontrar el módulo del mayor vector. a) 25 b) 15 c) 10 d) 30 e) 20
29.
a) 6m b) 5m c) 4m d) 3m e) 2m
Hallar el módulo de la resultante de dos vectores de 3 y 5 unidades, que forman entre si 60. a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 2
36.
16 60° 8
a) 8 2N
b) 8 3N
d) 2 3N
e) 8 5N
37. 30.
Si el módulo de la resultante máxima de dos vectores es 31 unidades y la mínima es 17 unidades. Calcular el módulo de su resultante cuando forman 90°. a) 25 b) 48 c) 50 d) 14 e) 35
31.
Se tienen dos vectores de igual módulo cuya resultante es 83 y forman 30° con uno de ellos. Encontrar el módulo de la resultante máxima de dichos vectores. a) 8 b) 83 c) 16 d) 163 e) 24
32.
33.
La resultante máxima de dos vectores es 12 y la resultante mínima es 6, ¿Cuál es el módulo de cada vector?. a) 9 y 2 b) 7 y 4 c) 3 y 9 d) 5 y 15 Dos vectores tienen una resultante mínima que vale 2 y una resultante máxima cuyo módulo es 8. Cuál es el módulo de la resultante de estos vectores cuando forman 60°?. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
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Encuentre el módulo de la diferencia de los vectores sabiendo que los módulos son de 8 y 16 N.
c) 8 7N
En el diagrama se muestran cuatro vectores, halle el módulo del vector resultante y su respectiva dirección.
10 37° 4
4 60°
a) 3 2
b) 5 2
d) 8 3
e) 7 2
c) 8 2