D d
h
a
A
B
r
A C
h
p1
R
h
a
R
Q p2
p
y y=n
B
n
x
Un percorso multimediale completo per capire la matematica
Il Progetto Matematika è un supporto multimediale che affianca la tradizionale didattica della matematica. Non è un prodotto commerciale ed i materiali offerti sono rivolti a quanti vogliono capire, imparare e verificare le proprie conoscenze matematiche. In particolare, i prodotti sono rivolti agli allievi e ai docenti delle scuole medie superiori ed inferiori. Il progetto propone a studenti e professori dei percorsi didattici completi, di facile e immediata fruibilità, esso si sviluppa in 4 ambienti: Lezioni animate, Test online, Formulario ed Esercizi. I materiali didattici sono organizzati per rendere l’apprendimento semplice e facilitato. La comunicazione audio-visiva immediata e di breve durata, i test on line e l’organizzazione delle schede in forma tabulare rendono i materiali idonei ad essere utilizzati come strumenti compensativi nei disturbi specifici di apprendimento. Questi strumenti, sono testati da una costante sperimentazione e sono continuamente aggiornati e arricchiti in modo da offrire un prodotto sempre al passo con i tempi.
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Indice 05
SIMBOLI, NUMERI, INSIEMI, INTERVALLI
14
ARITMETICA
30
ALGEBRA
111
GEOMETRIA PIANA
127
GEOMETRIA SOLIDA
131
GEOMETRIA ANALITICA
152
LOGARITMI
177
GONIOMETRIA
208
TRIGONOMETRIA
214
ANALISI
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_____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________
simboli insiemi
Insiemi e loro rappresentazione rappresentazione di insiemi
1
Scrivere l’insieme delle vocali della parola VIENNA
3
Scrivere l’insieme dei numeri naturali che si trovano sommando le cifre del numero 364 in tutti i modi possibili R. :
2
4 5 6 7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 v 1.0
Scrivere l’insieme dei numeri naturali maggiori di 5 e minori di 11
R. :
R. :
Rappresenta l’insieme dei fiumi italiani più lunghi di 700 km Dato l’insieme
darne la definizione per proprietà caratteristica
R.:
R.:
Dato l’insieme
darne la definizione per proprietà caratteristica R.:
Sia A l’insieme dei punti che sono sul perimetro di un triangolo e B l’insieme dei vertici del triangolo. Indica la relazione tra A e B. R.: Dati gli insiemi sono vere: 1. 2. 3. 4.
,
e
indica quali delle seguenti relazioni
R.: sono vere la 3. e la 4.
intersezione di insiemi
Dato l’insieme trova l’insieme intersezione
R.:
e l’insieme
In una classe di 30 studenti, 15 studiano il francese, 12 studiano l’inglese, 5 studiano entrambe le lingue. Quanti alunni studiano il francese e quanti solo l’inglese? Quanti non studiano alcuna lingua? Dato l’insieme intersezione
R.: 10 studiano solo il francese, 7 studiamo solo l’inglese, 8 non studiano nessuna lingua
e l’insieme
Dati gli insiemi intersezione
,
Dati gli insiemi l’insieme intersezione
Dato l’insieme dei mammiferi
,
ed
e dato l’insieme dei rettili
trova l’insieme
Dati gli insiemi l’insieme intersezione
,
,
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trova l’insieme R.:
ed
determina l’insieme
Dati gli insiemi dei cubi dei numeri naturali e numeri naturali dispari di due cifre, trova l’insieme intersezione
R.:
e
trova R.:
R.:
, dei R.:
trova
R.: 5
Insiemi e loro rappresentazione
simboli insiemi
17
18
In una classe di 60 studenti, 21 studiano il francese, 32 studiano l’inglese, 28 il tedesco. Inoltre si sa che: 11 studiano il francese e l’inglese, 9 il francese e il tedesco, 16 l’inglese e il tedesco e 7 studiano tre lingue. Quanti alunni studiano una sola lingua? Quanti non studiano alcuna lingua? R.: 8 studiano solo il francese, 12 studiano solo l’inglese, 10 solo il tedesco 8 non studiano nessuna lingua
In un quartiere di 67 case 27 non hanno né terrazza né giardino, 21 hanno il giardino e 8 di queste hanno anche la terrazza. Quante case hanno la terrazza e quante la terrazza ed il giardino? R.: 27 case hanno la terrazza, 19 hanno il giardino unione di insiemi
19
Dati gli insiemi elementi appartengono ad
ed oppure ad entrambi.
,
vario tipo
20
21
22
23 24
Dati gli insiemi 1. 2. 3.
,
trova l’insieme i cui
R.:
e
calcola: R.: 1. A; 2.
Dati gli insiemi e stabilire: 1. la relazione di inclusione esistente tra i due insiemi 2. se A è un sottoinsieme proprio o improprio di B 3. se A è finito o infinito Dato l’insieme elencazione: 1. l’insieme A 2. l’insieme delle parti di A Scrivere l’insieme delle parti di
Dati gli insiemi e 1. il tipo di relazione esistente tra A e B 2. se i due insiemi sono equipotenti
R.: 1.
R.:
; 3. A
,
; 2. proprio; 3. infinito
rappresentare
R.: 1.
per
; 2.
stabilire:
R.: 1. relazione biunivoca; 2. sì
25
Dati gli insiemi i cui elementi sono i divisori del numero 24 e del numero 36, trovare la loro intersezione e verificare che questa corrisponde all’insieme dei divisori del loro MCD
26
Dati i numeri 15 e 12, consideriamo gli insiemi i cui elementi sono i divisori di 15 e 12. Verificare che l’intersezione tra i due insiemi corrisponde all’insieme dei divisori del loro MCD
v 1.0
R.:
R.:
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6
simboli insiemi
Operazioni e relazioni tra insiemi
Indicare gli elementi dei seguenti insiemi che sono definiti tramite operazioni, se ; (si considerino i complementi rispetto ad R:
1
R:
2
R:
3
R:
4
R:
5
R:
6
R:
7
R:
8
R:
9
R:
10
R:
11
R:
12
R:
13
R:
14 15 16
[che relazione c’è con l’esercizio precedente?]
R: R: R:
17
R:
18
R:
19
R:
20
v 1.0
; )
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7
simboli insiemi
Operazioni e relazioni tra insiemi
21
R:
22
R:
23
R:
24
R:
25
R: R:
26
R:
27
R:
28 29
[è lo stesso insieme dell’esercizio precedente?]
R:
30
R:
31 32
[è lo stesso insieme dell’esercizio precedente?]
[attenzione!
]
R:
Dire se sono verificate le seguenti relazioni, disegnando opportuni diagrammi di Eulero-Venn R: sì, sì
33
R: sì, sì
34
R: no, sì
35
R: sì, no
36
R: sì, no
37
[come mai?]
[come mai?]
R: sì, sì
38
R: no, sì
39
R: no, sì
40 41 v 1.0
R:
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R: sì
8
simboli insiemi
Operazioni e relazioni tra insiemi R: no
42
R: no
43
R: sì
44
R: sì
45
R: sì
46 47
determinare gli insiemi
,
e
R: sì
per ogni coppia d’intervalli
[come mai?]
e
48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 v 1.0
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9
simboli insiemi
Partizione di un insieme
determinare l’insieme che, con gli altri indicati, costituisce una partizione dell’insieme X (nota: di seguito è l’insieme dei numeri naturali compreso lo zero)
;
1 2 3
;
4
R: Impossibile [perché?]
;
6
R: Impossibile [perché?]
;
7
9
;
;
5
8
;
;
;
;
10 11 12
;
13
;
14
;
15 16
;
17 18 19 20 v 1.0
;
;
;
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10
simboli insiemi
Insiemi numerici determina quali dei numeri seguenti appartengono a
1 2 3 4 5
determina quali dei numeri seguenti appartengono a 6 7 8 9 10
determina quali dei numeri seguenti appartengono a 11 12 13 14 15
determina quali dei numeri seguenti appartengono a 16 17 18 v 1.0
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11
Insiemi numerici
simboli insiemi
19 20
determina quali dei numeri seguenti appartengono a 21 22 23 24 25
determina quali dei numeri seguenti appartengono a 26 27 28 29 30
rispondi alle seguenti domande fornendo, quando necessario, degli esempi 31
Dato un numero reale , qual è l’elemento di ℚ ad esso più vicino?
32
Dati due numeri algebrici, esiste sempre tra essi un numero razionale?
33
34
35 v 1.0
[ Se
, è stesso; se invece è irrazionale la domanda non ha risposta]
[ Sì, se i due numeri algebrici sono anche reali; altrimenti, la domanda non ha significato]
Fissato un numero razionale , si considerino tutti gli intervalli del tipo al variare di ℚ. Che insieme è l’unione di tutti questi intervalli? [ L’insieme ℝ dei numeri reali] Riesci a trovare un intervallo interi? E privo di numeri razionali? E se l’intervallo non vuoto esempi ?
[ L’intervallo
non vuoto privo di numeri naturali? E privo di numeri va bene per le prime due domande. Per la terza va bene
]
fosse aperto? Riusciresti ancora a trovare tutti e tre gli
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[ Il terzo no, poiché
è denso in ℝ]
12
Insiemi numerici
simboli insiemi
36
Si scelga
. Che insieme è quello costituito dai numeri
37
Si scelga
. Che insieme è quello costituito dai numeri
38
, al variare di
[ L’insieme dei multipli di . In particolare se [
, se
, al variare di . Invece se
?
si tratta dell’insieme
.]
?
si tratta dell’insieme
]
Sulla base dell’esercizio precedente, com’è in generale il prodotto di un numero razionale e di un numero irrazionale? [ Irrazionale, a meno che il numero razionale non sia 0]
39
Com’è la somma di due numeri trascendenti? Ed il loro prodotto?
40
Se invece è trascendente e
[ Non per forza trascendenti. Riesci a trovare degli esempi ricordando che ,
naturale, come sono
e
e 1/ sono trascendenti? ]
?
[ La somma è sempre trascendente; il prodotto è trascendente a meno che non sia
]
41
A che insieme appartiene, in generale, la somma di due numeri razionali? Riesci a trovare un caso in cui il risultato appartiene a ℤ? E uno in cui appartiene a ?
42
Il prodotto di due numeri irrazionali può essere razionale? E viceversa?
43
A quale insieme numerico appartiene, in generale, la soluzione di un’equazione di II grado?
44
Ci sono numeri irrazionali non trascendenti? E numeri trascendenti non irrazionali?
45
[ All’insieme dei numeri razionali. Basta l’unico esempio [ Sì, poiché
È vero che di ogni sottoinsieme di sottoinsiemi di ℤ?
si può trovare il minimo? Cosa si può dire invece riguardo i [ In
47
Qual è il minimo numero reale non appartenente a
50 v 1.0
?
è vero, in ℤ invece no: si consideri ad esempio il sottoinsieme
Qual è il massimo dell’insieme
49
dei numeri algebrici ]
è un esempio di numero irrazionale non trascendente. Non esistono irrazionali appartenenti a ]
46
48
]
[ All’insieme
[
]
[ Se
]
, il massimo è . Se invece è irrazionale il massimo non c’è]
?Ea
?
[ Nel primo caso, 1; nel secondo caso, non è possibile trovarlo ]
Qual è il minimo numero naturale non appartenente a ? E il minimo numero reale? E il minimo numero razionale? [ ; non c’è un minimo razionale non appartenente a quell’insieme ] Qual è il massimo numero naturale non appartenente a il massimo numero razionale?
? E il massimo numero reale? E [ 0; ¾; ¾ ]
E se gli insiemi dei due esercizi precedenti fossero chiusi, rispettivamente a destra e a sinistra? © 2013 - www.matematika.it
[ 2; non c’è; non c’è. 0; non c’è; non c’è] 13
aritmetica
Operazioni con i numeri naturali addizioni
1 2 3
sottrazioni
4 5 6
espressioni con addizioni e sottrazioni 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 v 1.2
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14
aritmetica
Operazioni con i numeri naturali moltiplicazioni
22 23
divisione
24 25 26
R: Priva di significato
espressioni con le quattro operazioni 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
R: 40
37 38 39 40
v 1.2
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15
M.C.D e m.c.m. tra numeri naturali
aritmetica
calcola il MCD e mcm tra i seguenti gruppi di numeri naturali 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39
v 1.0
2;3
MCD: 1 mcm: 6
2
6 ; 15
MCD: 3 mcm: 30
6
6;8
7 ; 15 12 ; 8
15 ; 20 30 ; 40 32 ; 4
36 ; 45 12 ; 30
144 ; 216 312 ; 416 120 ; 144 210 ; 280
35 ; 50 ; 28 30 ; 50 ; 80 34 ; 51 ; 85
45 ; 55 ; 100
140 ; 700 ; 90
171 ; 456 , 608
MCD: 2 mcm: 24
4
MCD: 1 mcm: 105
8
MCD: 4 mcm: 24
10
MCD:10 mcm: 120
14
MCD: 5 mcm: 60 MCD: 4 mcm: 32
MCD: 9 mcm: 180 MCD: 6 mcm: 60
MCD:72 mcm: 432
MCD:104 mcm: 1248 MCD:24 mcm: 720 MCD:70 mcm: 840 MCD: 1 mcm: 700
MCD:10 mcm: 1200 MCD:17 mcm: 510
MCD: 5 mcm: 9900 MCD:10 mcm: 6300 MCD:19 mcm: 5472
12
16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
3;4
MCD: 1 mcm: 12
4 ; 12
MCD: 4 mcm: 12
6;9
8 ; 10 5 ; 20
10 ; 15 30 ; 50 18 ; 33 16 ; 40 26 ; 13
120 ; 168 258 ; 306 147 ; 252 116 ; 232
48 ; 60 ; 72 36 ; 16 ; 32 65 ; 75 ; 80
81 ; 108 ; 243
260 ; 440 ; 572 462 ; 594 ; 891
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MCD: 3 mcm: 18 MCD: 2 mcm: 40 MCD: 5 mcm: 20 MCD: 5 mcm: 30
MCD:10 mcm: 150 MCD: 3 mcm: 198 MCD: 8 mcm: 80 MCD:13 mcm: 26
MCD:24 mcm: 840
MCD: 6 mcm: 13158 MCD:21 mcm: 1764 MCD:116 mcm: 232 MCD:12 mcm: 720 MCD: 4 mcm: 288
MCD: 5 mcm: 15600 MCD:27 mcm: 972
MCD: 4 mcm: 5720
MCD:33 mcm: 12474
16
aritmetica
Espressioni con le proprietĂ delle potenze:
livello base
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
19
20
v 1.3
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17
aritmetica
Espressioni con le proprietĂ delle potenze:
livello base
21
22
23
24
25
26
v 1.3
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18
aritmetica
Numeri decimali e frazioni generatrici trasforma i numeri decimali in frazioni generatrici
1
2
3
4
5 7
0,13
6 8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
v 1.4
0,15
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19
aritmetica
Operazioni con le frazioni somme e differenze
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12
13 14
moltiplicazioni 15 16 17 18 19
v 1.3
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20
aritmetica
Operazioni con le frazioni
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
divisioni tra frazioni 31 R: priva di significato
32
33 34
35 36 37 38 39
v 1.3
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21
aritmetica
Operazioni con le frazioni
40 41 42 43
potenze di frazioni 44 45 46 47 48 49
esercizi di riepilogo 50 51 52 53 54 55
56
57 v 1.3
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22
aritmetica
Operazioni con le frazioni
58
59 60 61 62 63
64
v 1.3
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23
aritmetica
Operazioni con i numeri decimali trasforma i numeri decimali in frazioni generatrici
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
esegui le seguenti operazioni con i numeri decimali 15 16
0,5
-0,25
17 18 19 20 21 22 23 24
v 1.1
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24
Proporzioni
aritmetica
presi nell’ordine, stabilire se i gruppi di numeri formano una proporzione 1 2 3 4
4
12 9
20 7
3 4
35 4
10
7
21
18
2 8
12
3
20 5
2
4 9
5
8
2
4
10
35 4
7
12
5
ordinare i gruppi di numeri in modo da formare una proporzione 6 7 8
3 2
5
4
1
9
6
5
45
2
15
25
3
10
2
5
1
3
16
8
6
16
4
8
9 10
calcolare il valor medio delle seguenti proporzioni 11 12 13 14 15 16 17
v 1.1
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25
aritmetica
Proporzioni
18 19
calcolare il valore estremo delle seguenti proporzioni 20 21 22 23 24 25 26 27
calcolare il valore medio/estremo delle seguenti proporzioni 28 29 30 31
risolvere le seguenti proporzioni continue 32 33 34
v 1.1
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26
aritmetica
Proporzioni
35 36 37 38 39 40
risolvere le seguenti proporzioni applicando la proprietĂ del comporre 41 42 43 44 45 46 47
risolvere le seguenti proporzioni applicando la proprietĂ dello scomporre 48 49 50 51 52
v 1.1
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27
Proporzioni
aritmetica
53 54
determinare due numeri conoscendo il rapporto, la somma o la differenza 55 56
20
57 58 59 60 61
determinare due numeri conoscendo il rapporto e il prodotto 62 63 64 65 66 67
trovare il valore della
applicando la proprietĂ fondamentale delle proporzioni
68 69 70 71 v 1.1
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28
Proporzioni
aritmetica
72
risolvere i seguenti problemi applicando le proprietà delle proporzioni 73
Trova due numeri sapendo che la loro somma è 108 e il loro rapporto è
74
Trova due numeri sapendo che la loro differenza è 14 e il loro rapporto è
75
Dividi il numero 636 in parti direttamente proporzionali ai numeri 3 4 5
76
77
78
v 1.1
Dividi il numero 6300 in parti direttamente proporzionali ai numeri decimali 1,2 2,5 e 3,3 Dividi il numero 403 in parti inversamente proporzionali ai numeri 2 3 5 Determina i valori di
sapendo che
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e che
29
algebra
Operazioni con i numeri interi addizione
1 2 3
sottrazione
4 5 6
somma algebrica 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
prodotto 19 20
v 1.0
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30
algebra
Operazioni con i numeri interi
21 22
divisione
23 24 25 26
R: Priva di significato
potenze 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
v 1.0
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31
algebra
Operazioni con i numeri interi Esercizi di riepilogo
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
v 1.0
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32
algebra
Espressioni con le proprietĂ delle potenze:
livello avanzato
1 2 3
5
4
1
5
111
6
28
7 8 9 10 11 12
13
14
15
16
17
v 1.3
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33
algebra
Operazioni con i monomi semplifica le seguenti espressioni di monomi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 v 1.0
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34
algebra
Operazioni con i monomi
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
v 1.0
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35
algebra
Operazioni con i polinomi somma algebrica di polinomi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
prodotto di un polinomio per un monomio 11 12 13 14
15
16
17
v 1.0
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36
algebra
Operazioni con i polinomi
18 19 20 21
22
23 24 25
26
27
28
29
prodotto di polinomi 30 31 32
v 1.0
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37
algebra
Operazioni con i polinomi
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
divisione di un polinomio per un monomio 49
50
v 1.0
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38
algebra
Operazioni con i polinomi
51
52
53
54
55
56
57
esercizi di riepilogo 58 59 60 61 62 63 64
v 1.0
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39
algebra
Divisioni tra polinomi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
v 1.2
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40
algebra
Divisioni tra polinomi
15
16
17
18
19
20
21
22
23 24 25 26 27 28 29 30 v 1.2
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41
algebra
Prodotti notevoli prodotto della somma di due monomi per la loro differenza
1 2 3 4 5 6 7
sviluppare i seguenti quadrati di binomi 8 9 10 11 12 13 14
sviluppare i seguenti cubi di binomi 15 16 17 18
v 1.3
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42
algebra
Prodotti notevoli
19 20 21
sviluppare le seguenti potenze n-sime di binomi 22 23 24 25 26 27 28 29
sviluppare i seguenti quadrati di trinomi 30 31 32 33 34 35 36 37 v 1.3
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43
algebra
Prodotti notevoli Esercizi di riepilogo
38 39 40 41 42 43 44
v 1.3
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44
algebra
Scomposizione di polinomi raccoglimento totale
1 2 3 4
raccoglimento parziale
5 6 7 8
differenza di due quadrati
9 10 11 12
sviluppo del quadrato di un binomio
13 14 15 16
sviluppo del quadrato di un trinomio
17 18 19 20 v 1.2
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45
algebra
Scomposizione di polinomi sviluppo del cubo di un binomio
21 22 23 24 25
riducendo prima a differenza di quadrati
26 27 28 29 30
somma e differenza di cubi
31 32 33 34 35
trinomio di secondo grado
36 37 38 39 40 v 1.2
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46
algebra
Scomposizione di polinomi regola di Ruffini
41 42 43 44
esercizi di riepilogo
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 v 1.2
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47
algebra
Scomposizione di polinomi
62 63
esercizi piĂš impegnativi
64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 v 1.2
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48
algebra
Scomposizione di polinomi
83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
v 1.2
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49
M. C. D. e m. c. m. tra monomi
algebra
calcola il M. C. D. e m. c. m. tra i seguenti gruppi di monomi 1 2
;
;
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 v 1.1
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50
M.C.D e m.c.m. tra polinomi
algebra
calcola il MCD e mcm tra i seguenti gruppi di polinomi
1
;
2
3
4
5
6
7
8
9
10
v 1.1
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51
algebra
M.C.D e m.c.m. tra polinomi
11
12
13
14
15
16
17
18
v 1.1
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52
algebra
Equazioni di primo grado numeriche intere
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 v 1.3
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53
algebra
Equazioni di primo grado numeriche intere
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 v 1.3
Š 2013 - www.matematika.it
54
algebra
Equazioni letterali di primo grado
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11 12
13
14 15 16 17
v 1.2
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55
algebra
Equazioni letterali di primo grado
18
19
20
21
22 23 24 25 26 27 28 29 30
v 1.2
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56
algebra
Equazioni di primo grado numeriche frazionarie
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
v 1.3
Š 2013 - www.matematika.it 57
algebra
Equazioni di primo grado numeriche frazionarie
21
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 v 1.3
Š 2013 - www.matematika.it 58
algebra
Sistemi di equazioni di I grado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
v 1.1
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59
algebra
Sistemi di equazioni di I grado
14
15
16
17
18
19
20
21
v 1.1
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60
algebra
Sistemi di equazioni di I grado
22
23
24
25
26
27
28
29
v 1.1
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61
algebra
Sistemi di equazioni di I grado
30
31
32
33
34
35
36
37
v 1.1
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62
algebra
Sistemi di equazioni di I grado letterali
risolvere i seguenti sistemi sapendo che i valori dei parametri a e b rendono i sistemi compatibili 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
v 1.0
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63
algebra
Sistemi di equazioni di I grado letterali
12
13
14
15
v 1.0
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64
algebra
Sistemi di equazioni di I grado letterali
1
2
impossibile determinato
Se Se
indeterminato determinato
C. E.
3
C. E. Se Se
4
Se Se Se
5
impossibile determinato impossibile impossibile indeterminato
C. E.
6
Se Se
7
Se Se Se
8
indeterminato mpossibile
indeterminato impossibile determinato
Se , impossibile Se con indeterminato
9
v 1.1
Se Se
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65
algebra
Sistemi di equazioni di I grado letterali Se Se
10
impossibile determinato
Sistema determinato
11
Se Se Se
12
Se Se
13
Se
indeterminato impossibile determinato impossibile
indeterminato
determinato
Se
Se
14
Se
15
Se Se
16
Se Se
indeterminato
impossibile
determinato impossibile determinato
impossibile determinato
17
v 1.1
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66
algebra
Sistemi di equazioni di I grado letterali
18
19
20
21
22
23
24
25
v 1.1
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67
algebra
Sistemi di equazioni di I grado letterali
26
27
28
29
30
v 1.1
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68
algebra
Disequazioni di primo grado numeriche intere
1 2 3 4 5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16 v 1.3
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69
algebra
Disequazioni di primo grado numeriche intere
17 18 19 20 21 22
23
24
25
26
27
28
29
30
v 1.3
Š 2013 - www.matematika.it
70
algebra
Sistemi di disequazioni di I grado
1
2
3
4
5
6
7
8
v 1.3
Š 2013 - www.matematika.it
71
algebra
Sistemi di disequazioni di I grado
9
10
11
12
13
14
15
16
v 1.3
Š 2013 - www.matematika.it
72
algebra
Sistemi di disequazioni di I grado
17
18
19
20
21
22
23
24
25
v 1.3
Š 2013 - www.matematika.it
73
algebra
Disequazioni di primo grado numeriche fratte
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
v 1.3
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74
algebra
Disequazioni di primo grado numeriche fratte
18
19
20 21 22 23 24 25 26 27 28
29
30
v 1.3
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75
algebra
Sistemi di disequazioni fratte o prodotto di I grado
1
2
3
4
5
6
7
8
v 1.0
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76
algebra
Sistemi di disequazioni fratte o prodotto di I grado
9
10
11
12
13
14
15
16
v 1.0
Š 2013 - www.matematika.it
77
algebra
Sistemi di disequazioni fratte o prodotto di I grado
17
18
19
20
v 1.0
Š 2013 - www.matematika.it
78
algebra
Disequazioni riconducibili al primo grado
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
v 1.3
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79
algebra
Espressioni con radicali
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
13
14 v 1.3
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80
algebra
Razionalizzazione del denominatore di una frazione razionalizzare i denominatori delle seguenti frazioni
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
v 1.3
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81
algebra
Razionalizzazione del denominatore di una frazione
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
v 1.3
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82
algebra
Equazioni di secondo grado equazioni monomie
1 2
equazioni pure
3 4 5 6 7 8 9
equazioni spurie
10 11 12 13 14 15
equazioni complete
16 17 18 19 v 1.3
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83
algebra
Equazioni di secondo grado
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
v 1.3
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84
algebra
Equazioni di secondo grado
38 39 40 41
equazioni di secondo grado frazionarie
42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 v 1.3
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85
algebra
Equazioni di secondo grado equazioni di secondo grado di vario tipo
57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 v 1.3
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86
algebra
Equazioni di secondo grado
76 77 78 79 80
v 1.3
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87
algebra
Equazioni parametriche delle seguenti equazioni parametriche trova il valore di k affinché:
• 1
• • •
• • 2
• • • •
• 3
• • •
• 4
• • •
• 5
• • • •
v 1.2
•
le radici siano reali ed uguali una radice sia 0 una radice sia 3 la somma delle radici sia -3
•
Soluzioni
• •
una radice sia 0 le radici siano coincidenti le radici siano opposte una radice sia reciproca dell’altra il prodotto delle radici sia 1/2 la somma dei reciproci delle radici sia 5
• • • • • •
•
le radici siano non reali le radici siano concordi le radici siano antireciproche una radice sia tripla dell’altra
Soluzioni
•
Soluzioni
• •
le radici siano reali ed uguali le radici siano opposte il prodotto delle radici sia 1 la somma dei quadrati delle radici sia 7
una radice sia -7 le radici siano uguali la media delle radici sia il prodotto delle radici uguale alla somma delle stesse la somma dei reciproci delle radici sia 4/3
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• •
Soluzioni
• •
• •
Soluzioni
• • •
88
algebra
• 6
• • • •
7
• • •
• 8
• • •
Equazioni parametriche
una radice sia 1 la somma dei reciproci delle radici sia la somma dei reciproci dei quadrati delle radici sia 2 la somma dei cubi delle radici sia 1 la somma dei cubi dei reciproci delle radici sia 9/8
una radice sia tripla dell’altra la somma dei quadrati delle radici sia 12 la somma dei quadrati dei reciproci delle radici sia 20/9
le radici siano uguali una radice sia 1/2 una radice sia una radice sia doppia dell’opposto dell’altra
•
• • • •
• •
Soluzioni
•
• •
Soluzioni
• •
•
• 9
•
Soluzioni
•
Soluzioni
•
•
•
•
•
•
10
•
• •
•
Soluzioni
•
•
v 1.2
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89
Equazioni parametriche
algebra
11
•
•
•
•
•
•
•
•
•
12
•
La media delle radici sia 3
•
•
•
•
•
•
soluzioni reali • l’equazione sia spuria • l’equazione sia pura • la somma dei reciproci delle radici sia •
• • •
• soluzioni coincidenti • il quadrato della somma delle radici è quattro volte il • quadrato del prodotto • • la somma dei quadrati dei reciproci delle radici sia 2
soluzioni siano reali • una radice sia -1/4 • la somma dei reciproci delle radici sia -7 • la somma dei cubi dei reciproci delle radici sia 180 •
15
v 1.2
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Soluzioni
•
• 14
Soluzioni
•
•
13
Soluzioni
• •
Soluzioni
Soluzioni
• •
90
algebra
Equazioni di grado superiore al secondo di vario tipo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 v 1.2
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91
algebra
Equazioni di grado superiore al secondo
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
v 1.2
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92
algebra
Sistemi di equazioni di secondo grado fratte
1
2
3
4
5
6
v 1.0
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93
algebra
Equazioni irrazionali di vario tipo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
v 1.4
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94
algebra
Equazioni irrazionali
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
v 1.4
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95
algebra
Equazioni con valore assoluto di vario tipo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 v 1.3
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96
algebra
Equazioni con valore assoluto
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
v 1.3
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97
algebra
Equazioni irrazionali e con valore assoluto riepilogo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 v 1.3
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98
algebra
Disequazioni di secondo grado di vario tipo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
v 1.4
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99
algebra
Disequazioni di secondo grado
18 19 20 21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
v 1.4
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100
algebra
Disequazioni di secondo grado
31
32
33
34
35
36 37 38 39 40 41 42
v 1.4
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101
algebra
Sistemi di disequazioni di secondo grado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 v 1.0
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102
algebra
Sistemi di disequazioni di secondo grado
12
13
14
15
16
17
18
v 1.0
Š 2013 - www.matematika.it
103
algebra
Disequazioni di grado superiore al secondo di vario tipo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 v 1.3
Š 2013 - www.matematika.it
104
algebra
Disequazioni di grado superiore al secondo
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
v 1.3
Š 2013 - www.matematika.it
105
algebra
Disequazioni irrazionali
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
v 1.4
Š 2013 - www.matematika.it
106
algebra
Disequazioni irrazionali
17 18 19 20 21 22 23 24
v 1.4
Š 2013 - www.matematika.it
107
algebra
Disequazioni in valore assoluto
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
v 1.3
Š 2013 - www.matematika.it 108
algebra
Disequazioni in valore assoluto
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
42
v 1.3
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algebra
Disequazioni e sistemi di disequazioni
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11
12
13
14
v 1.4
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110
geometria piana
Problemi di geometria sui criteri di congruenza
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
v 1.5
E’ dato il triangolo isoscele ABC; sulla base AB si prendano i punti R e S tali che AR ≅ BS. Dimostrare che il triangolo CSR è isoscele.
Dato un triangolo ABC, si prolunghi la mediana AM di un segmento MP ≅ AM. Dimostrare che BP ≅ AC e PC ≅ AB.
E’ dato il triangolo isoscele ABC; si prolunghi la base AB da ambo le parti, e su detti prolungamenti si prendano due punti D ed E tali che AD ≅ BE. Dimostrare che CDE è un triangolo isoscele. I triangoli ABC e PQR sono equilateri ed è AB ≅ PQ. Dimostrare che i due triangoli sono congruenti.
E’ dato un triangolo isoscele; dimostrare che i punti medi dei lati sono vertici di un triangolo isoscele. Dimostra che in ogni triangolo isoscele le mediane relative ai lati uguali sono uguali.
Dimostra che in ogni triangolo isoscele le bisettrici relative agli angoli uguali sono uguali.
Nel triangolo isoscele ABC, di base AB, sia G il punto di incontro delle mediane AM e BN relative ai lati uguali; dimostra che i triangoli AGN e BGM sono uguali.
Del triangolo isoscele ABC, di base AB, sia CD la bisettrice dell’angolo . Considera sui lati ≅ obliqui AC e BC, rispettivamente, due punti P e Q tali che AP BQ. Dimostra che il triangolo PDQ è isoscele. Sia X Y un angolo la cui bisettrice è OM; sui lati OX e OY si considerino rispettivamente i punti A e B tali che OA ≅ OB e sia C il punto di intersezione di OM con AB. Dimostrare che AC ≅ BC.
Sia OM la bisettrice di un angolo qualsiasi di vertice ; sui lati dell’angolo si prendano due segmenti congruenti OA e OB. Dimostrare che le congiungenti i punti A e B con un punto qualunque C della bisettrice OM sono congruenti. Del triangolo isoscele ABC si consideri la mediana AH relativa alla base BC ed un suo punto P; la retta BP incontra AC in K e la retta CP incontra AB in T. Dimostrare che BK è congruente a CT.
Si prolunghi l’altezza AH del triangolo ABC di un segmento HP ≅ AH. Dimostrare che i triangoli ABP e ACP sono isosceli. Sia AM una mediana del triangolo qualunque ABC. Sul prolungamento di AM dalla parte di M si costruisca un segmento MP ≅ AM. Dimostrare che il triangolo ACM è congruente al triangolo BMP.
Si conducano le bisettrici di due angoli di un triangolo equilatero e si congiunga il loro punto di intersezione con i tre vertici; dimostrare che si ottengono tre triangoli congruenti tra loro. © 2013 - www.matematika.it
111
geometria piana
Problemi di geometria sulle rette parallele
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
v 1.3
Uno degli angoli coniugati interni che due rette parallele formano con una trasversale misura 55°; calcola le ampiezze degli altri sette angoli.
Considera due rette AB e CD parallele tra loro e una trasversale PQ che incontra AB in O e CD in V; dimostra che le bisettrici degli angoli VOB e QVD sono parallele. Considera due rette AB e CD parallele tra loro e una trasversale PQ che incontra AB in O e CD in V; dimostra che le bisettrici degli angoli VOB e CVO sono parallele.
Considera un triangolo ABC; dal vertice B traccia la parallela ad AC e su questa prendi un segmento BD ≅ AB, in modo che D stia dalla stessa parte di C rispetto ad AB. Dimostra che AD è bisettrice dall’angolo BAC. Dato l’angolo AOB, per il punto C del lato OA conduci la parallela ad OB e su di essa prendi un segmento CD ≅ CO in modo che D stia dalla stessa parte di B rispetto ad AO. Dimostra che OD è la bisettrice dell’angolo dato.
Sia ABC un triangolo isoscele di base AB. Prolunga il segmento BC di un segmento CE ≅ AC e dimostra che AE è parallela alla bisettrice dell’angolo ACB. La retta PQ è parallela al lato AB del triangolo ABC e passa per il vertice C; dimostra che l’angolo PCQ è la somma degli angoli interni del triangolo e deduci che “la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°”. E’ dato il triangolo ABC; la bisettrice dell’angolo esterno al triangolo di vertice C è parallela ad AB; dimostra che il triangolo dato è isoscele.
Si conduca per il vertice C del triangolo isoscele ABC la retta PQ parallela alla base AB; dimostra che PQ è bisettrice dell’angolo esterno del triangolo di vertice C. Due rette parallele a e b incontrano la trasversale t rispettivamente in A e B. L’asse del segmento AB incontra la retta a in P e la retta b in Q. Dimostra che t è la bisettrice dell’angolo PBQ. Dato un punto P del lato AC del triangolo isoscele ABC, da esso si mandi la perpendicolare alla base AB e sia Q il punto in cui questa incontra la retta BC. Dimostra che il triangolo PCQ è isoscele. Per i tre vertici di un triangolo conduci le parallele ai lati opposti. Dimostra che i tre triangoli ottenuti sono congruenti a quello dato. Nel triangolo qualunque ABC prolunga la mediana BM di un segmento MD ≅ BM; dimostra che AD è parallelo a BC.
E’ dato l’angolo X Y; si prendano sulla sua bisettrice un punto P e l’asse del segmento OP che incontra XO in Q. Dimostra che YO è parallelo a QP.
Del triangolo isoscele ABC con base BC si considerino i punti B’ e C’ simmetrici di B e C rispetto ad AC ed AB rispettivamente; dimostra che il segmento B’C’ è parallelo a BC. © 2013 - www.matematika.it
112
geometria piana
Problemi di geometria
sui criteri di congruenza e le proprietà degli angoli di un triangolo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 v 1.4
Dimostra che in un triangolo isoscele le altezze relative ai lati congruenti sono congruenti e che la retta passante per i piedi di tali altezze è parallela alla base.
Del triangolo rettangolo ABC, retto in A, considera la bisettrice AD dell’angolo retto e la perpendicolare a questa passante per B che interseca AC in P; dimostra che DP ≅ BD.
E’ data la bisettrice AO dell’angolo BAC del triangolo acutangolo ABC; la perpendicolare ad AO condotta da B la incontra in P. Dimostrare che la retta parallela ed AC condotta da P incontra AB nel suo punto medio. Determina le misure delle ampiezze degli angoli acuti di un triangolo rettangolo sapendo che l’altezza relativa all’ipotenusa divide l’angolo in due parti di cui una è 4/5 dell’altra.
Dimostra che il punto medio della base di un triangolo isoscele è equidistante dai due lati congruenti. Dimostra che in un triangolo gli estremi di un lato sono equidistanti dalla retta della mediana relativa al lato stesso.
E’ dato un triangolo rettangolo isoscele ABC, retto in A; per A, esternamente al triangolo, traccia una retta qualsiasi e conduci i segmenti ad essa perpendicolari BH e CK. Dimostra che HK è congruente alla somma di BH con CK. Due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato, la mediana e l’altezza ad esso relativa; dimostra che i due triangoli sono congruenti.
L’angolo di vertice A del triangolo ABC misura 45°; la perpendicolare ad AB per il suo punto medio interseca AC nel punto P; dimostra che Sia BH l’altezza relativa al lato AC del triangolo isoscele ABC; dimostra che l’angolo HBC è congruente alla metà dell’angolo al vertice A.
Sia A il vertice dell’angolo retto del triangolo rettangolo ABC; da C si conduca la perpendicolare ad AC e su di essa, nel semipiano contenente B, si prenda il segmento CD ≅ CA. Dimostra che AD è bisettrice dell’angolo in A. Nel triangolo ABC, la mediana relativa al lato maggiore AB è congruente alla metà di AB; dimostra che il triangolo dato è rettangolo in C. E’ dato il triangolo isoscele ABC di vertice A; il punto D del lato AB è tale che l’angolo DCB è congruente alla metà dell’angolo al vertice; dimostra che l’angolo CDB è 90°.
E’ dato il triangolo rettangolo ABC; siano AM, AH e AD rispettivamente la mediana e l’altezza relativa all’ipotenusa BC e la bisettrice dell’angolo retto A; dimostra che AD è anche bisettrice dell’angolo .
Dimostra che in ogni triangolo rettangolo le proiezioni di un cateto sull’ipotenusa e sulla retta della mediana relativa all’ipotenusa sono congruenti. © 2013 - www.matematika.it
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geometria piana
Problemi di geometria quadrilateri particolari
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 v 1.5
Dimostra che se in un trapezio gli angoli adiacenti ad una base sono congruenti allora il trapezio è isoscele.
Dimostra che in un trapezio isoscele gli estremi di una base e il punto medio dell’altra sono i vertici di un triangolo isoscele.
Nel trapezio ABCD, rettangolo in A e D, la base maggiore AB è doppia della base minore CD ed è congruente al lato BC. Dimostra che il triangolo ABC è equilatero. È dato il triangolo rettangolo ABC; sia AD la bisettrice dell’angolo retto A. Preso sul cateto AC un punto E tale che AE ED, dimostra che il quadrilatero ABDE è un trapezio rettangolo in A ed E. Dagli estremi A e C della diagonale minore di un parallelogramma ABCD conduci le perpendicolari AH e CK alla diagonale maggiore. Dimostra che AHCK è un parallelogrammo e che DH è congruente a KB.
Sia ABCD un parallelogramma (AB>BC); dimostra che il punto d’intersezione delle diagonali è equidistante da BC e AD. Dimostra che due parallelogrammi sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e le due diagonali. Nel triangolo ABC, retto in A, la retta della mediana relativa al cateto AB incontra in D la perpendicolare in B ad AB; Dimostra che ADBC è un parallelogramma. Da un punto E qualsiasi della base BC del triangolo isoscele ABC conduci le parallele ai lati AB ed AC. Indica con M ed N le intersezioni di tali parallele con AB e AC; dimostra che AB ME+EN. Dimostra che i punti medi dei lati di un parallelogramma sono vertici di un parallelogramma.
Dimostra che i punti medi dei lati di un rombo sono vertici di un rettangolo; parimenti i punti medi dei lati di un rettangolo sono vertici di un rombo.
Nel parallelogramma ABCD, il lato AB è congruente alla diagonale AC; unito A con il punto medio M di BC, si prolunghi il segmento AM del segmento ME AM. Dimostra che il quadrilatero ABEC è un rombo. Considera un angolo A C e per un punto qualsiasi E della sua bisettrice conduci le parallele ai lati; indica con M ed N i punti in cui esse incontrano rispettivamente i lati AB e BC. Dimostra che il quadrilatero BNEM è un rombo.
E’ dato l’angolo A C; sui lati BC e BA si fissino due punti P e Q tali che BP≅BQ; da P si conducano le perpendicolari ai lati, e così pure da Q; esse si incontrano in D ed E. Dimostra che il quadrilatero DPEQ è un rombo. Dato un rettangolo ABCD, si conduca una retta attraverso ogni vertice in maniera tale che sia perpendicolare alla diagonale avente tale vertice come uno degli estremi. Dimostra che il quadrilatero formato da queste rette è un rombo. © 2013 - www.matematika.it
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geometria piana
Problemi di geometria fascio di rette parallele
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
v 1.4
Le semirette r e s hanno l’origine comune nel punto O; sulla semiretta r prendi due punti A e B tali che OA AB, e sulla semiretta s due punti C e D tali che OC CD. Dimostra che il quadrilatero ABDC è un trapezio la cui base minore misura metà della maggiore. È dato un triangolo qualunque; dimostra che i punti medi dei lati e il piede di un’altezza sono i vertici di un trapezio isoscele.
Dimostra che il segmento che congiunge i punti medi dei lati obliqui di un trapezio è parallelo alle basi ed è uguale alla semisomma delle basi. In un trapezio rettangolo unisci il punto medio del lato obliquo con gli estremi del lato opposto; dimostra che il triangolo ottenuto è isoscele.
Siano M ed N i punti medi dei lati AB e CD del parallelogrammo ABCD. Dimostra che i segmenti AN e CM dividono la diagonale BD in tre parti congruenti. Considera la mediana BM relativa al lato AC del triangolo ABC; sia L il punto medio di BM. Dimostra che la retta AL divide il lato BC in due parti misuranti una il doppio dell’altra.
Di un triangolo isoscele considera il punto medio di un lato e la perpendicolare alla base condotta da questo punto. Dimostra che la base rimane così divisa in due parti tali che una misura il triplo dell’altra. Sia AB la base del triangolo isoscele ABC e AM la mediana relativa al lato BC; detto N il punto medio di AB, dimostra che MN MB.
In un quadrilatero qualunque dimostra che i segmenti che uniscono i punti medi dei lati opposti si dividono scambievolmente a metà. Sia r una retta esterna al parallelogrammo ABCD. Dette A’, B’, C’ e D’ le proiezioni su r di A, B, C e D, dimostra che A’D’ B’C’.
Sia M il punto medio del lato BC del triangolo ABC. Dal punto medio N di AB manda la parallela ad AM che incontra BC in P e la retta AC in Q. Dimostra che CQ 3/2AC e che NM AQ. Siano M, N e P i punti medi dei lati AB, AC e BC del triangolo ABC. Dimostra che i triangoli MNP, ANM, MPB e NCP sono congruenti.
Sull’ipotenusa AB del triangolo rettangolo ABC si prenda un punto P tale che AP 2PB. Dimostra che la distanza del punto P dal cateto BC è congruente alla terza parte di AC.
Si consideri il triangolo ABC e siano M ed N i punti medi rispettivamente dei lati AB e AC; prolungato il segmento MN di un segmento ND MN, dimostra che MBCD è un parallelogrammo con perimetro congruente alla somma di AB e il doppio di BC. Nel parallelogrammo ABCD il punto medio di AB è M e il punto medio di DM è N. Dimostra che la retta AN divide la diagonale BD in due parti di cui una è doppia dell’altra. © 2013 - www.matematika.it
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geometria piana
Problemi di geometria relativi alla circonferenza
Dimostra che in ogni circonferenza il diametro perpendicolare ad una corda dimezza gli archi sottesi.
1
In una circonferenza sono date due corde parallele condotte dagli estremi di un diametro; dimostra che le due corde sono congruenti.
2
Dimostra che due corde sono congruenti se formano, con il diametro passante per il loro eventuale punto comune, angoli congruenti.
3
I prolungamenti di due corde congruenti AB e CD di una circonferenza si incontrano nel punto E esterno alla circonferenza. Dimostra che i segmenti AE e CE, BE e DE sono congruenti.
4
In una circonferenza γ è data una corda che non è un diametro; dimostra che ogni altra corda passante per il suo punto medio è maggiore di quella data.
5
Dimostra che le tangenti ad una circonferenza passanti per gli estremi di un diametro sono parallele; inversamente, dimostra che due tangenti ad una circonferenza parallele tra loro toccano la circonferenza negli estremi di un diametro.
6
Considera due punti P e Q sulla retta t tangente nel punto T ad una circonferenza di centro C in modo che valga PT=QT; dimostra che P e Q sono equidistanti da C.
7
E’ dato il triangolo ABC; conduci la parallela al lato BC che incontra i lati AB e AC rispettivamente in P e Q in modo che la circonferenza APQ sia tangente al lato BC nel punto D. Dimostra che il triangolo PQD è isoscele e che AD è bisettrice dell’angolo in A.
8 9 10 11 12 13 14 15
Sono date due circonferenze di diametri AB e CD paralleli e congruenti. Dimostra che se le due circonferenze sono secanti e il quadrilatero di vertici A, B, C e D è un rettangolo, il lato BC è minore del lato AB.
Due circonferenze congruenti sono secanti nei punti A e B. Dimostra che gli archi delimitati da tali punti su una circonferenza sono congruenti agli archi delimitati dagli stessi punti sull’altra.
Dimostra che l’angolo formato dalle rette che congiungono due vertici di un triangolo con il centro della circonferenza ad esso circoscritta misura il doppio del terzo angolo. Siano A B un angolo alla circonferenza e VC la sua bisettrice; condotta da C la corda CD parallela a VB, dimostra che CD≅AV.
Da un punto A di una circonferenza γ traccia una corda AB e la tangente t; sulla retta t prendi un punto C tale che AC≅AB. Dimostra che il segmento CB interseca la circonferenza in un punto D e che risulta CD≅AD. I punti P e Q dividono la semicirconferenza di diametro AB in tre archi congruenti. Sulla retta AP considera il segmento PD congruente al raggio e sulla retta AQ il segmento QC congruente ad AQ. Dimostra che il quadrilatero ABCD è un rombo.
Due circonferenze γ e γ’ sono secanti nei punti A e B; la tangente in A a γ interseca ulteriormente γ’ in Q; la tangente in A a γ’ interseca γ in P. Dimostra che i triangoli ABP e ABQ hanno gli angoli congruenti.
v 1.3
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116
geometria piana
Problemi di geometria sui punti notevoli del triangolo
1 2 3 4 5
Dimostra che il baricentro del triangolo ABC coincide con il baricentro del triangolo MNP con M, N, P punti medi dei lati del triangolo dato. E’ dato il trapezio rettangolo ABCD, rettangolo in A e D, con la base maggiore AB ≅ 2CD. La perpendicolare a CB in B incontra la retta AD in P; dimostra che l’ortocentro del triangolo BPD coincide col punto medio di AB. Sia O l’ortocentro del triangolo ABC; dimostra che B è l’ortocentro del triangolo AOC.
Dimostra che in un triangolo rettangolo il circocentro è il punto medio dell’ipotenusa.
Il baricentro del triangolo ABC coincide col circocentro. Dimostra che ABC è equilatero.
6
Il circocentro del triangolo ABC coincide con l’incentro. Dimostra che ABC è equilatero.
7
Sia O l’incentro del triangolo ABC; la parallela a BC passante per O incontra AB in P e AC in Q. Dimostra che il segmento PQ è congruente alla somma dei segmenti BP e CQ.
8 9 10 11 12 13 14 15
v 1.3
Nel triangolo rettangolo ABC sia BH l’altezza relativa all’ipotenusa, N il punto medio del segmento HC e M il punto medio del segmento BH. Dimostra che M è l’ortocentro del triangolo ABN. Il triangolo ABC è tale che l’angolo B C misura il doppio dell’angolo A C. Per l’incentro O del triangolo conduci la parallela ad AB che interseca BC in D; dimostra che OA ≅ OD ≅ DB.
Nel triangolo rettangolo ABC retto in B, BC>AB; la circonferenza di centro l’incentro O e raggio AO incontra i prolungamenti di AO ed AB in M ed N rispettivamente. Dimostra che MN è parallelo a BC. In un triangolo ABC le mediane BM e CN sono uguali. Dimostra che il triangolo è isoscele.
Dimostra che gli assi dei segmenti che congiungono l’incentro di un triangolo equilatero con gli estremi di un lato dividono uno dei lati in tre parti congruenti. Del triangolo rettangolo ABC retto in A considera il baricentro G e la sua proiezione P su un cateto. Dimostra che il perimetro del triangolo ABC misura il triplo di quello del triangolo AGP.
Nel triangolo rettangolo ABC sia AH la proiezione del cateto minore AB sull’ipotenusa. Le rette parallele ai cateti condotte da H incontrano la retta della mediana relativa all’ipotenusa in K e L. Dimostra che i circocentri dei triangoli ABC e HKL coincidono. E’ dato un trapezio rettangolo in A e D con la base minore AB congruente al lato BC; la bisettrice dell’angolo B incontra la base CD in P e la retta AD in Q. Dimostra che P è l’ortocentro del triangolo ACQ. © 2013 - www.matematika.it
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geometria piana
Problemi di geometria poligoni inscritti e circoscritti
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
v 1.5
Dimostra che ogni trapezio isoscele con il lato obliquo congruente alla semisomma delle basi è circoscrittibile ad una circonferenza. Considera un trapezio ABCD rettangolo in A e D circoscritto a una semicirconferenza. Dimostra che il centro della semicirconferenza è il punto medio di AD.
Il quadrilatero ABCD ha gli angoli e che misurano rispettivamente 65° e 117°; calcola il valore delle ampiezze degli altri angoli sapendo che il quadrilatero è inscritto in una circonferenza.
Dagli estremi A e B del diametro della circonferenza γ conduci le corde AC e BD parallele tra loro. Dimostra che il quadrilatero ABCD è un rettangolo.
Data una circonferenza γ, dimostra che conducendo le tangenti da due suoi diametri si ottiene un rombo circoscritto alla circonferenza. Dal punto P esterno alla circonferenza γ manda due secanti PA e PC le cui parti esterne sono rispettivamente PB e PD e tali che PB≅BD; dimostra che il triangolo PAC è isoscele.
Il trapezio isoscele ABCD è circoscritto alla circonferenza γ; sapendo che la base maggiore è tripla della minore, dimostra che gli angoli adiacenti alla base maggiore misurano 60°. Da un punto P esterno ad una circonferenza γ manda due secanti che intercettino su γ segmenti di uguale lunghezza. Dimostra che i quattro punti d’intersezione di dette secanti con γ sono i vertici di un trapezio isoscele.
Dimostra che in ogni triangolo equilatero il raggio della circonferenza circoscritta misura il doppio del raggio della circonferenza inscritta al triangolo. E’ dato il triangolo acutangolo ABC; siano AH e BK le altezze relative ai lati BC e AC. Dimostra che il quadrilatero ABHK è inscrivibile in una circonferenza. Dimostra che le bisettrici di un quadrilatero convesso individuano un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza.
E’ dato l’esagono regolare ABCDEF di centro O; sia P il punto in cui si incontrano le rette AB e CD. Dimostra che il quadrilatero APCO è inscrivibile in una circonferenza. Il quadrilatero ABCD ha il perimetro congruente a 4 AD ed è circoscritto ad una circonferenza; dimostra che AB+CD≅2AD. E’ dato l’arco AB della circonferenza γ ed il suo punto medio P; le corde PD e PE intersecano la corda AB in F e H. Dimostra che DEHF si può inscrivere in una circonferenza. Del triangolo rettangolo ABC considera l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC; sul cateto AB prendi il punto P tale che AP≅AH e sul cateto AC il punto Q tale che CQ≅HC; dimostra che il quadrilatero APHQ è inscrivibile in una circonferenza. © 2013 - www.matematika.it
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geometria piana
Problemi di geometria
sulla equivalenza delle figure piane 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
v 1.3
Dimostra che le tre mediane di un triangolo lo dividono in sei triangoli equivalenti.
Dimostra che in un triangolo, congiungendo il baricentro con i tre vertici, si ottengono tre triangoli equivalenti.
In un triangolo ABC, il punto P di AC è tale che i triangoli APB e PBC siano equivalenti. Dimostra che P è il punto medio di AC. Nel triangolo ABC, P è un punto di AB. Considera il punto medio M di CP e dimostra che ABC è equivalente al doppio di AMB.
Dimostra che in un trapezio il punto comune alle diagonali e i lati obliqui individuano due triangoli equivalenti. Inversamente, dimostra che se in un quadrilatero convesso il punto comune alle diagonali e gli estremi di due lati non consecutivi formano triangoli equivalenti, allora il quadrilatero è un trapezio. Considera il triangolo formato dagli estremi di un lato obliquo di un trapezio e il punto medio del lato opposto; dimostra che il triangolo è equivalente alla metà del trapezio.
Dimostra che il segmento che unisce i punti medi delle basi di un trapezio qualsiasi individua due trapezi equivalenti tra loro. Dimostra che qualsiasi trapezio è equivalente a un parallelogramma che ha per altezza quella del trapezio e per base in segmento che unisce i punti medi dei lati del trapezio.
Per i vertici di un quadrilatero convesso manda le parallele alle diagonali. Dimostra che il quadrilatero così ottenuto è un parallelogrammo equivalente al doppio del quadrilatero dato.
Nel triangolo ABC, il cui angolo B è ottuso, sia AD la bisettrice dell’angolo A e P la proiezione di B su detta bisettrice. Dimostra che vale ABC 2APC. Un trapezio rettangolo ha l’altezza congruente alla somma delle basi; dimostra che l’asse del lato obliquo divide il trapezio in due parti equivalenti.
Dimostra che un rettangolo avente per dimensioni i cateti di un triangolo rettangolo è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e l’altezza relativa all’ipotenusa dello stesso triangolo. Un trapezio ha la base maggiore doppia della minore; unisci il punto medio della base maggiore con i punti medi degli altri tre lati e con gli estremi della base minore; dimostra che i sei triangoli così ottenuti sono tra loro equivalenti. Per un punto di una delle diagonali di un parallelogrammo conduci le parallele ai lati. Dei quattro parallelogrammi così ottenuti dimostra che i due che non sono attraversati dalla diagonale sono equivalenti. Il triangolo ABC è retto in B; considera la bisettrice dell’angolo A che incontra il cateto BC in Q. Sul prolungamento dell’ipotenusa, dal lato di C, prendi il punto P tale che CP≅AB; dimostra che ABC AQP. © 2013 - www.matematika.it
119
geometria piana
Problemi di geometria sulla similitudine
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
v 1.3
Dato il triangolo rettangolo ABC, da un punto D dell’ipotenusa BC conduci la perpendicolare a BC che incontra la retta AB in E e la retta AC in F. Dimostra che i triangoli ABC e AEF sono simili. Dimostra che in ogni triangolo i punti medi dei tre lati individuano un triangolo simile al dato.
Dimostra che in ogni triangolo le corde parallele ad un lato sono divise in due parti congruenti dalla mediana relativa allo stesso lato. In un trapezio rettangolo la diagonale minore è perpendicolare al lato obliquo. Dimostra che l’altezza è media proporzionale tra la base minore e la differenza delle basi.
Da un punto P del lato AD di un trapezio ABCD conduci la parallela alle basi AB e DC; questa incontra AC, BD e BC rispettivamente in E, F e Q. Dimostra che i segmenti PQ e EF hanno lo stesso punto medio. Nel triangolo ABC l’angolo ABC misura il doppio di BAC; sia BD la bisettrice dell’angolo ABC. Dimostra che BC è medio proporzionale tra AC e CD.
In un triangolo equilatero ABC si considerino la bisettrice dell’angolo interno di vertice A e la bisettrice dell’angolo esterno di vertice B; detto P il loro punto di intersezione e H la sua proiezione sulla retta AB, dimostra che i triangoli APH e BPH sono simili.
In un triangolo isoscele ABC di base BC la bisettrice dell’angolo alla base di vertice B e dell’angolo esterno di vertice C si incontrano nel punto P; sia PH la distanza di P dalla retta BC; dimostra che i triangoli BPH e CPH sono simili. Su un lato dell’angolo di vertice A si prenda un punto P e sull’altro lato si prendano i punti Q e R tali che AQ=1/2AP e AR=2AP. Dimostra che i triangoli APQ e APR sono simili. Il quadrilatero ABCD è inscritto in una circonferenza; dimostra che le diagonali lo dividono in quattro triangoli dei quali quelli non adiacenti sono simili. Dimostra che in un triangolo la corda parallela ad un lato e passante per il baricentro è congruente ai 2/3 del lato a cui è parallela.
Dimostra che in ogni triangolo le parallele ai tre lati condotte per il baricentro dividono ciascun lato in tre parti congruenti. Due circonferenze congruenti sono secanti nei punti A e B. Da un punto del prolungamento del segmento AB si conducano i segmenti di tangenza alle due circonferenze; dimostra che i due segmenti sono congruenti. Il trapezio isoscele ABCD è inscritto nella circonferenzaγ; preso un punto P su γ, la retta AP interseca CD in Q. Dimostra che i triangoli DPQ e BCP sono simili. Nella semicirconferenza di diametro BC è inscritto il triangolo ABC; da un punto P di BC si tracci la perpendicolare a BC stesso che incontra la semicirconferenza in Q e le rette AC e AB rispettivamente in R e S. Dimostra che PB∙PC=PR∙PS=PQ2. © 2013 - www.matematika.it
120
geometria piana
Problemi di geometria
sul primo teorema di Euclide con risoluzione di equazione di I grado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
v 1.3
In un triangolo rettangolo il rapporto delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa è di 9/16 e il cateto maggiore misura 40 cm. Calcola l’area e il perimetro del triangolo. [600cm2; 120 cm] In un triangolo rettangolo il rapporto tra un cateto e la sua proiezione sull’ipotenusa è di 5/3 e il perimetro del triangolo è di 60 cm. Calcola l’ area del triangolo. [150cm2]
Dal punto P esterno alla circonferenza γ di centro O conduci la secante PO che interseca γ in A e B (AP>BP) e la tangente PT. La proiezione H di T su AB dista 16 cm da A e 4 cm da B. Calcola la misura del segmento BP. [20/3 cm] Un trapezio isoscele è inscritto in un semicerchio; la lunghezza dei suoi lati obliqui è 30 cm e il raggio della semicirconferenza è di 25 cm. Calcola perimetro e area del trapezio. [124 cm, 768cm2]
In un triangolo rettangolo il rapporto tra l’ipotenusa e il cateto minore è 13/5; calcola il rapporto tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. [ ]
In un triangolo rettangolo la differenza delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa è 7 cm e la somma dell’ipotenusa e della proiezione del cateto maggiore su di essa è di 41 cm. Calcola le misure dei cateti. [15 cm, 20cm]
Le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa stanno tra loro come 16 sta 9; determina la misura dei lati del triangolo sapendo che la somma dei cateti è 70 m. [30 m; 40 m; 50 m]
L’ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 25 cm e le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa stanno tra loro come 9 sta a 16. Calcola il perimetro del triangolo. [60 cm]
L’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo la divide in due parti di cui una è 32 m e l’altra è minore del cateto adiacente di 12 m. Determina tale cateto e l’altezza relativa all’ipotenusa. [30 m; 24 m] Il perimetro di un triangolo rettangolo è di 120 cm e il rapporto tra il cateto minore e la sua proiezione sull’ipotenusa è 5/3; determina l’ipotenusa del triangolo. [50 cm]
In un triangolo rettangolo il cateto maggiore supera l’altezza relativa all’ipotenusa di 8 cm, mentre la proiezione dello stesso cateto sull’ipotenusa è di 16 cm. Trova il perimetro del triangolo. [60 cm] Una corda di un circonferenza di raggio 30 cm è 8/5 del raggio; dagli estremi della corda traccia le tangenti alla circonferenza e calcola la distanza tra il punto di incontro delle tangenti e il centro della circonferenza. [50 cm] In un triangolo rettangolo il rapporto delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa è di 16/9. Calcola il perimetro del triangolo sapendo che il doppio del cateto minore supera il maggiore di 5 cm. [ cm]
Un trapezio isoscele è inscritto in una semicirconferenza; la somma della diagonale e dell’altezza del trapezio è di 128 cm e la loro differenza è di 32 cm. Calcola l’area del trapezio. [3072 cm2 ] In un trapezio isoscele le diagonali sono perpendicolari ai lati obliqui; le proiezioni di una diagonale e di un lato obliquo sulla base maggiore misurano rispettivamente 32 cm e 18 cm. Determina l’area e il perimetro del trapezio. [768 cm2; 124 cm] © 2013 - www.matematika.it
121
geometria piana
Problemi di geometria
sul II teorema di Euclide con risoluzione di equazione di I grado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 v 1.3
In un triangolo rettangolo un cateto misura 15 cm e la sua proiezione sull’ipotenusa 9 cm; calcola l’area e il perimetro del triangolo. [150 cm2; 60 cm] Nel triangolo rettangolo ABC le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa BC misurano 36 cm e 64 cm. Calcola l’area e il perimetro del triangolo. [2400 cm2; 240 cm]
Nel rombo ABCD la diagonale maggiore misura 80 cm e il raggio della circonferenza inscritta 24 cm. Trova l’area del rombo. [2400 cm2]
In un trapezio rettangolo la diagonale minore risulta perpendicolare al lato obliquo. Calcola perimetro e area del trapezio sapendo che la base minore misura 9/5 cm e l’altezza 12/5 cm. [66/5 cm; 204/25 cm2]
Un triangolo rettangolo è inscritto nella circonferenzaγ; l’altezza relativa all’ipotenusa vale 12 cm e la proiezione di un cateto su di essa ne misura 9; calcola il raggio di γ. [12,5 cm]
Il rombo ABCD è circoscritto ad una circonferenza di centro O; trova la misura del lato del rombo e quella del raggio della circonferenza sapendo che BO=40 cm e che la sua proiezione sul lato del rombo è 32 cm. [50 cm; 24 cm] La circonferenza γ è circoscritta al triangolo ABC il cui diametro coincide col lato AB; detto T il punto di intersezione tra la tangente alla circonferenza nel punto B e la retta del lato AC, calcola il raggio della circonferenza sapendo che BC=12 cm e TC=9 cm. [10 cm] Nel rettangolo ABCD l’estremo A dista 24 cm dalla diagonale BD e divide la stessa in due parti, di cui la minore misura 18 cm. Trova l’area e il perimetro del rettangolo. [1200 cm ; 140 cm] 2
Il raggio della circonferenza inscritta nel rombo ABCD è 16 cm e la distanza dell’estremo B dal punto di contatto tra il rombo e la circonferenza è 4 cm. Trova l’area e il perimetro del rombo. [272 cm; 2176 cm2] Il punto P dell’altezza CH del triangolo equilatero ABC è tale che l’angolo A B è retto. Sapendo che il lato del triangolo misura 30 cm, calcola la misura di PH. [15 cm]
In una circonferenza di diametro AB=100 cm è inscritto il trapezio isoscele ABCD la cui base minore vale 28 cm; calcola la misura del perimetro e l’area del trapezio. [3072 cm2; 248 cm]
Un quadrilatero ABCD è inscritto in una circonferenza ed ha le diagonali perpendicolari; la diagonale BD coincide col diametro e la diagonale AC la divide in due parti BH e DH che misurano rispettivamente 16 m e 9 m; calcola perimetro e area del quadrilatero. [70 m; 300 m2] Il trapezio isoscele ABCD è circoscritto ad una circonferenza che tocca il lato obliquo BC nel punto T, distante 9 cm da C e 16 cm da B; calcola il perimetro e area del trapezio. [100 cm; 600 cm2] Una circonferenza di centro C ha il diametro AB=50 cm; una corda PQ perpendicolare al diametro dista 7cm da C. Calcola l’area e il perimetro del quadrilatero APBQ. [1200 cm2; 140 cm]
Il trapezio isoscele ABCD è inscritto in una circonferenza di diametro AB=50 cm e ha la base minore di 14 cm; calcola il perimetro e l’area del trapezio. [768 cm2; 124 cm] © 2013 - www.matematika.it
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geometria piana
Problemi di geometria
sul teorema di Pitagora con la risoluzione di equazioni di I grado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
v 1.4
La somma dei cateti di un triangolo rettangolo è di 49 cm e il loro rapporto è ¾; calcola il perimetro e l’area del triangolo. [84 cm; 294 cm2] L’area di un rombo misura 96 cm2 ed il perimetro 40 cm; calcola le misure delle diagonali sapendo che il loro rapporto è 4/3. [12 cm; 16 cm]
In un trapezio isoscele la somma delle basi è di 64 cm. Calcola il perimetro del trapezio sapendo che la base maggiore supera la minore di 36 cm e che l’altezza supera la base minore di 10 cm. [124 cm] Il punto P del cateto AC del triangolo rettangolo ABC dista 20 cm dal vertice A dell’angolo retto. Sapendo che il perimetro del triangolo è 90 cm e che AB:BP=3:5, determina le misure delle aree dei triangoli ABC e ABP. [270 cm2; 150 cm2]
In un rombo la somma di un lato e la metà di una diagonale è 45 cm. Determina il lato sapendo che l’altra diagonale è 30 cm. [25 cm] Il perimetro di un triangolo rettangolo è di 240 m e i cateti stanno tra loro come 12 sta a 5. Calcola la lunghezza del lati del triangolo. [40 m; 96 m; 104 m]
Un trapezio isoscele ha le basi che misurano 25 cm e 13 cm; trova l’area e il perimetro del trapezio sapendo che il lato obliquo supera di 2 cm l’altezza del trapezio. [152 cm2; 58 cm] Nel triangolo rettangolo ABC l’ipotenusa BC è 13/12 del cateto maggiore AB, e l’altro cateto misura 5 cm. Calcola perimetro e area del triangolo. [30 cm; 30 cm2] In un triangolo rettangolo un cateto è i ¾ dell’altro e la loro somma misura 35 m; determina la misura del raggio della circonferenza inscritta nel triangolo. [5 m]
Una dimensione di un rettangolo è 27 cm ed è congruente ai 9/4 dell’altra. Determina la lunghezza della diagonale di un altro rettangolo equivalente ai 4/3 del rettangolo precedente ed avente un lato di 18 cm. [30 cm] Determina le misure dell’area e del perimetro di un trapezio rettangolo avente la base minore congruente ai 6/5 del lato obliquo, che misura 10 cm, sapendo che la base maggiore è lunga i 3/2 della minore. [120 cm2; 48 cm] L’asse dell’ipotenusa AB del triangolo rettangolo ABC interseca il cateto maggiore AC nel punto P distante 25 cm da A e 7 cm da C. Trova le misure del perimetro e dell’area del triangolo ABC. [96 cm; 384 cm2]
In un triangolo rettangolo un cateto misura 6 cm e la somma degli altri lati è di 18 cm; trova le misure dell’area e del perimetro del triangolo. [24 cm; 24 cm2] L’ipotenusa di un triangolo rettangolo è congruente ai 5/3 del cateto minore; calcola l’area sapendo che il perimetro del triangolo misura 96 cm. [384 cm2]
L’altezza di un rettangolo misura 48 cm e la diagonale è congruente ai 5/3 della base. Calcola il perimetro del rettangolo. [168 cm]
La somma delle diagonali di un rombo è 84 cm; calcola area e perimetro del rombo sapendo che la differenza tra la diagonale minore e i 5/12 della maggiore è 16 cm. [864 cm2; 120 cm] © 2013 - www.matematika.it
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geometria piana
Problemi di geometria
sull’applicazione del teorema di Pitagora 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 v 1.4
In un triangolo rettangolo la mediana e l’altezza relativa all’ipotenusa sono rispettivamente di 25 cm e 24 cm; calcola perimetro e area del triangolo. [600 cm2; 120 cm] Da un punto P, esterno ad una circonferenza di centro O e raggio 12 cm, si mandi la secante PO che taglia la circonferenza in A e B (AP>BP). Calcola le lunghezze dei segmenti di tangenza condotti da P alla circonferenza sapendo che BP = 8 cm. [16 cm] Un trapezio isoscele ha le basi e l’altezza che misurano rispettivamente 16 m, 10 m e 4 m. Trova la misura del perimetro del trapezio. [36 m] Un triangolo rettangolo ha l’ipotenusa di 130 cm e un cateto di 120 cm. Calcola le lunghezze delle mediane relative ai cateti. [ cm]
L’area di un triangolo rettangolo è di 150 cm2 e la lunghezza di un cateto è di 20 cm. Calcola le misure dell’ipotenusa e dell’altezza relativa all’ipotenusa.
Un cateto di un triangolo rettangolo è di 40 cm e la sua proiezione sull’ipotenusa è di 32 cm. Sapendo che la proiezione dell’altro cateto sull’ipotenusa è di 18 cm, calcola il perimetro e l’area del triangolo. [600 cm2; 120 cm]
Un quadrilatero ABCD è formato da due triangoli rettangoli aventi l’ipotenusa in comune. Il triangolo ABD ha l’area di 1014 cm2 e il cateto AB lungo 52 cm; il triangolo BCD ha un cateto lungo 60 cm. Calcola il perimetro e l’area del quadrilatero. [1764 cm2; 176 cm] Un rettangolo ha la diagonale e l’altezza che misurano rispettivamente 20 cm e 16 cm. Trova le misure del perimetro e dell’area del rettangolo. [192 cm2; 56 cm]
Il perimetro di un triangolo isoscele è di 16 cm e la base è lunga 6 cm. Calcola l’area del triangolo. [12 cm2] Calcola l’area di un quadrilatero ABCD sapendo che la diagonale AC, lunga 60 cm, lo divide in due triangoli, uno rettangolo in B avente il lato AB lungo 36 cm e l’altro isoscele sulla base AC avente il perimetro di 160 cm. [2064 cm2]
Un rettangolo ha la base e l’altezza lunghe rispettivamente 30 e 40 centimetri. Trova la lunghezza della diagonale di un quadrato avente il lato uguale alla metà della diagonale del rettangolo. Calcola l’area di un rombo sapendo che il lato è lungo 10 cm e che la diagonale minore misura 12 cm. [96 cm2]
La base maggiore, la base minore, e l’altezza di un trapezio rettangolo misurano 10 cm, 6 cm e 3 cm rispettivamente; calcola area e perimetro del trapezio. [24 cm2; 24 cm]
Un trapezio rettangolo ha l’area di 600 cm2 mentre l’altezza e la base maggiore sono lunghe rispettivamente 15 cm e 60 cm. Trova la lunghezze delle diagonali del trapezio. [25 cm; cm]
L’area di un trapezio rettangolo è di 46 cm2 e l’altezza misura 4 cm. Sapendo che la proiezione del lato obliquo sulla base maggiore è di 3 cm, calcola il perimetro del trapezio. © 2013 - www.matematika.it
124
geometria piana
Problemi di geometria
Problemi sui triangoli rettangoli con angoli di 60°, 30°, 45°
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
v 1.1
In un triangolo equilatero l’altezza è pari a
cm; calcola l’area e il perimetro.
In un triangolo rettangolo isoscele l’ipotenusa misura cm. Calcola l’ipotenusa di un triangolo rettangolo equivalente al primo triangolo avente un cateto metà dell’ipotenusa. Il perimetro di un triangolo rettangolo misura uno degli angoli acuti del triangolo misura 30°.
Nel triangolo ABC l’angolo misura 30° e l’angolo perimetro e l’area sapendo che il lato BC misura cm.
dm. Calcola l’area sapendo che
. Calcola la misura del
L’area di un rettangolo è . Calcola la lunghezza della diagonale sapendo che questa divide l’angolo retto in due parti di cui una è metà dell’altra.
Gli angoli adiacenti alla base minore di un trapezio misurano 120° e 135°. Sapendo che l’altezza del trapezio misura cm e che il perimetro vale cm, calcola l’area del trapezio.
Il perimetro di un trapezio rettangolo misura cm. Sapendo che la base maggiore è doppia della minore e che l’angolo acuto adiacente alla base maggiore misura 45°, calcola l’area del trapezio. Nel triangolo equilatero ABC sia D il punto in cui la bisettrice dell’angolo esterno in A incontra la perpendicolare alla stessa condotta dal punto C. Sapendo che l’area di ABCD è , calcola il perimetro dello stesso quadrilatero.
L’ipotenusa di un triangolo rettangolo ABC misura 4 cm e inoltre . Traccia la bisettrice AM dell’angolo retto, e da M conduci le perpendicolari ai cateti che incontrano AC in N e AB in P. Calcola l’area dei quadrilateri ANMP e PBMN. In un triangolo i lati che formano un angolo di 120° misurano 20 cm e 24 cm. Trova la misura dell’area e del perimetro del triangolo. Nel triangolo ABC il lato AB misura perimetro e l’area del triangolo.
cm, l’angolo
e l’angolo
. Calcola il
Nel triangolo ottusangolo ABC, ottuso in C, le proiezioni dei lati minori sul maggiore misurano 21 cm e 5 cm. Sapendo che l’altezza CH relativa ad AB misura cm, verifica che l’angolo . Sul cateto minore AB del triangolo rettangolo ABC, retto in B, prendi il punto D distante 2a dal vertice A. Sapendo che l’angolo e che AD:BD=AC:AB, trova la misura dell’area del triangolo ABC e il perimetro di BCD. Nel trapezio isoscele ABCD la base minore AB e i lati obliqui AD e BC misurano 12 cm; inoltre . Dopo aver dimostrato che le diagonali sono perpendicolari ai lati obliqui, calcola le misure dell’area e delle diagonali. [ ] I segmenti di tangenza PA e PB condotti dal punto P esterno alla circonferenza di centro O formano angoli di 30° con OP. Calcola il perimetro e l’area del quadrilatero APBO sapendo che OP misura 30 cm. © 2013 - www.matematika.it 125
geometria piana
Problemi di geometria
sulla sezione aurea del segmento
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 v 1.3
È dato un triangolo isoscele tale che il suo angolo al vertice è congruente alla metà di ciascun angolo alla base; dimostra che la base del triangolo è la sezione aurea del lato del triangolo.
Sia ABCDE un pentagono regolare; le diagonali AD e BD tagliano il segmento EC in tre parti. Dimostra che quella centrale è la sezione aurea di ciascuna delle due laterali, che infatti sono uguali. Dimostra che le diagonali di un pentagono regolare si dividono in parti tali che una è sezione aurea dell’altra.
Dimostra che il lato di un decagono regolare è sezione aurea del raggio della circonferenza ad esso circoscritta. Dimostra che la diagonale di un pentagono regolare è congruente alla somma del lato del pentagono con la sezione aurea del lato stesso.
Il triangolo isoscele ABC ha l’angolo al vertice A congruente ai 3/5 dell’angolo piatto. Dimostra che il lato AB è la sezione aurea della base BC.
Il triangolo rettangolo ABC retto in A ha altezza AH, e inoltre è tale che il cateto AB≅HC; dimostra che HC è la sezione aurea di BC; inversamente se HC è sezione aurea dell’ipotenusa BC, dimostra che HC≅AB. E’ dato il triangolo rettangolo ABC retto in A; la circonferenza di diametro AB (>AC), interseca ulteriormente l’ipotenusa BC in R tale che AC≅BR. Dimostra che BR è la sezione aurea di AB. Inversamente dimostra che se BR è sezione aurea di BC allora AC≅BR. Nel triangolo ABC, il lato AB è la sezione aurea di BC e AC è medio proporzionale tra AB e BC. Dimostra che il triangolo è rettangolo in A. Nel triangolo rettangolo ABC, retto in C, il cateto AC è sezione aurea dell’ipotenusa. Prolungato AC di un segmento CD≅AB, dimostra che il triangolo ACD è rettangolo.
Nel triangolo rettangolo ABC il cateto AC è la sezione aurea dell’ipotenusa AB. Dimostra che il quadrato costruito su CB è equivalente al rettangolo di lati AB e AC. Nel trapezio ABCD, rettangolo in A e B, la base minore BC è la sezione aurea di AD; sapendo che la diagonale AC è perpendicolare al lato obliquo, dimostra che CD≅BC.
Nel triangolo rettangolo ABC retto in A, sia H la proiezione del vertice A sull’ipotenusa BC e sia HP la distanza del punto H da AC. Sapendo che BH≅HP, dimostra che AB è la sezione aurea di BC.
Nel triangolo rettangolo ABC retto in A sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa BC e D il punto in cui la bisettrice dell’angolo C interseca AB. Supposto che AD sia congruente alla distanza di H da AC, dimostra che AD è la sezione aurea di AH.
Nel triangolo rettangolo ABC retto in B di altezza BH, il cateto minore è la sezione aurea di AC; preso su AC il segmento AP≅AB, dimostra che i baricentri dei triangoli ABC e HBP coincidono. © 2013 - www.matematika.it
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geometria solida
Prismi e Piramidi: aree e volumi prisma retto
1 2 3 4 5 6
Calcolare l’area totale di un prisma avente come base un triangolo rettangolo con i cateti uguali a 3 e 4 ed altezza uguale a 0,5
Calcolare l’area laterale di un prisma a base esagonale avente lo spigolo di base uguale a 15 e l’altezza uguale alla sua terza parte Calcolare il volume di un prisma a base pentagonale avente l’area di base uguale a 3,5 ed altezza uguale allo spigolo di un cubo avente la stessa area di base Calcolare l’area laterale e quella totale di un prisma quadrangolare regolare alto 6,4 e avente il perimetro di base uguale a 2,4
Calcolare l’area laterale e quella totale di un prisma retto avente come base un trapezio isoscele e altezza uguale a 5. Le basi del trapezio misurano rispettivamente 20 e 38 e la sua altezza è uguale al doppio della base minore
Calcolare l’area laterale di un prisma obliquo avente come base un triangolo equilatero di lato uguale a 6 e di area totale uguale a 36 parallelepipedo rettangolo
7 8 9 10 11
Calcolare la superficie laterale del parallelepipedo rettangolo che ha un lato lungo 10 cm, l’altro 8 cm e l’altezza uguale a 3 cm Calcolare la superficie laterale del parallelepipedo rettangolo che ha un lato lungo 6, l’altro i del precedente e l’altezza uguale a 1
Calcolare l’area totale del parallelepipedo rettangolo avente l’area di base uguale a 20 e le dimensioni nel rapporto 2:5. L’altezza di tale figura è uguale alla differenza tra le dimensioni di base
Calcolare il volume di un parallelepipedo rettangolo la cui diagonale è uguale a 15 , il perimetro di base è uguale a 7 e le due dimensioni differiscono di 3 Le tre dimensioni di un parallelepipedo rettangolo sono 2,3,5. Calcolare l’area totale, il volume e l’area di base cubo
12 13 14 15 16
v 1.0
Un cubo ha l’area totale uguale a 18. Calcolare la sua diagonale
Calcolare la superficie totale di un cubo avente la diagonale uguale a 72
Calcolare l’area di base di un cubo che ha le dimensioni uguale all’altezza del parallelepipedo rettangolo di volume 16 e area di base doppia rispetto a quella del cubo Il volume di un cubo è 729. Qual è la sua area totale?
Calcolare il peso in grammi di un cubo di marmo di peso specifico e area di base uguale a
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127
geometria solida
17
18
19
20 21 22
23 24 25 26 27 28
v 1.0
Prismi e Piramidi: aree e volumi
piramide Nel triangolo rettangolo ABC il triplo del cateto AB è uguale al quadruplo del cateto AC e l’ipotenusa BC misura . Determinare il volume e l’area della superficie laterale della piramide di vertice V, base ABC e altezza VC sapendo che i triangoli ABC e BCV sono isoperimetri. (Si considera: V B = 90°) Nel triangolo ABC la bisettrice dell’angolo C interseca AB nel punto D che dista da A e da B. Sapendo che BC = , determinare l’area della superficie totale della piramide retta la cui base è ABC e la cui altezza misura
Il lato del triangolo equilatero ABC misura . Il punto P divide un’altezza in due parti di cui quella contenente il vertice è la metà dell’altra. Calcolare l’area della superficie laterale della piramide di vertice V, base ABC e altezza VP =
Nel trapezio isoscele ABCD la base maggiore AB, la base minore e il lato obliquo misurano rispettivamente . Detto M il punto medio di AB, determinare l’area delle superfici laterali delle piramidi rette aventi per base i triangoli AMD e BCD e altezza per entrambe
270 a2 378 a2
Calcolare l’area di base e il volume di una piramide avente per base un rettangolo di dimensioni 15 e 25 ed altezza uguale a 30
Nel triangolo rettangolo ABC l’ipotenusa AC supera il cateto BC di . Nella piramide di base ABC, vertice V e altezza VC, lo spigolo VA supera lo spigolo VB di . Sapendo che VB è il triplo di B determinare il volume della piramide VABC Una piramide ha per base un triangolo i cui lati misurano , , . Determinare gli spigoli laterali sapendo che ciascun lato della base è uguale alla semisomma dei due spigoli laterali uscenti dai suoi estremi
Una piramide triangolare regolare ha l’altezza di e lo spigolo di base . Determinare l’area della superficie laterale della piramide ed il raggio della sfera in essa inscritta Una piramide regolare quadrangolare di vertice V, altezza VO ed apotema VM, ha l’area della superficie laterale di . Sapendo che , determinare la misura dell’altezza della piramide
Una piramide di vertice V ed altezza VH ha per base un triangolo ABC rettangolo in A. Sapendo che ed , determinare il volume della piramide
Una piramide di vertice V ha per base un triangolo ABC rettangolo in B e per altezza . Sapendo che e , determinare l’area della superficie totale della piramide Una piramide di vertice V ha per base un triangolo ABC rettangolo in B e per altezza . Sapendo che e , determinare l’area della superficie totale della piramide
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128
geometria solida
Prismi e Piramidi: aree e volumi tronco di piramide
29
30
31
32
33
34
35 36 37 38 39
v 1.0
Un tronco di piramide regolare quadrangolare ha l’altezza, l’apotema e la superficie laterale rispettivamente di e 480 . Determinare la diagonale del tronco ed il raggio della sfera ad esso circoscritta
Un tronco di piramide regolare quadrangolare ha le diagonali delle basi e lo spigolo laterale rispettivamente di e 14 . Determinare l’area della superficie laterale del tronco ed il raggio della sfera ad esso circoscritta Nel triangolo rettangolo ABC, i cateti AB e BC misurano rispettivamente e . Condotto per C il segmento perpendicolare al piano del triangolo, determinare: a) la distanza BH del vertice B dallo spigolo VA b) l’area della superficie laterale del tronco che si ottiene sezionando la piramide VABC con il piano condotto per H parallelamente alla base ABC Un tronco di piramide regolare quadrangolare ha l’area della superficie laterale di e le facce laterali inclinate di 45° sul piano della base maggiore. Determinare l’altezza del tronco ed il raggio della sfera ad esso circoscritta, sapendo che il lato della base maggiore misura 7
2
Un tronco di piramide a base quadrata di apotema ed altezza , ha il lato della base maggiore lungo . Calcolare volume e superficie totale Una piramide retta a base quadrata ha l'altezza e l'apotema è i 13/12 dell'altezza. Determinare il volume della piramide e quella del tronco che si ottiene tagliando la piramide con un piano parallelo alla base e distante dalla base
Un tronco di piramide a base quadrata ha il lato della base maggiore lungo . Sapendo che il lato della base minore è 2/5 di e che il volume è di , trovarne l’ altezza
Un tronco di piramide triangolare regolare ha un volume di . Sapendo che la base maggiore ha altezza di 5 , e che il lato della base minore è 2/7 del lato della base maggiore, trovarne l’ altezza Un tronco di piramide a base quadrata ha il lato della base maggiore uguale a e quello della base minore uguale a di . Sapendo che l’apotema misura , calcolare l’area della superficie laterale Un tronco di piramide regolare a base qualsiasi ha superficie laterale Sapendo che i perimetri delle basi sono in rapporto 3/2 e che la loro somma misura , calcolare l’apotema Un tronco di piramide a base quadrata ha e =7/5 di . Sapendo che la superficie laterale misura 48 cm2, calcolarne il volume
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129
geometria solida
Solidi di rotazione cilindro
1 2 3
Determinare il raggio di base di un cilindro equilatero avente volume uguale a 32 π Determinare l’area totale del cilindro di volume 72π che si ottiene facendo ruotare un rettangolo di perimetro 16 intorno al suo lato minore
Determinare il rapporto tra i volumi dei solidi che si ottengono ruotando un rettangolo rispettivamente intorno al lato maggiore e intorno al lato minore cono
4 5 6 7
Calcolare il volume di un cono avente diametro di base uguale a 48 ed altezza pari a 5 Calcolare l’area totale di un cono avente altezza uguale a 7 e raggio doppio
Considerato il triangolo rettangolo di ipotenusa 10 e perimetro 24, calcolare l’area di base del cono che si ottiene ruotando il triangolo di 360° intorno al cateto minore Dato il cono di volume 36 e apotema uguale a 2,2, determinare l’apotema del cono che ha il raggio uguale alla metà di quello del cono di partenza e stessa altezza tronco di cono
8 9
Facendo ruotare un trapezio rettangolo di area uguale a 34 intorno alla sua altezza, si descrivono due circonferenze aventi perimetro rispettivamente 16 e 18. Determinare il volume del solido così individuato
Calcolare la superficie laterale del tronco di cono avente area totale uguale a 108 π, i raggi di base uno triplo dell’altro e apotema pari alla differenza dei raggi sfera
10 11 12 13
v 1.0
Determina la superficie ed il volume della sfera di raggio 3
Considerata la sfera di volume 72π, determinare il suo raggio e la sua superficie
Determinare il volume della sfera il cui diametro è medio proporzionale tra 3 e5 Determinare il raggio della circonferenza inscritta al triangolo rettangolo isoscele di perimetro 12 e poi calcolare la superficie della sfera avente tale raggio
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130
Punti
geometria analitica
calcolare la distanza 1 2
,
,
3 4
,
5 6
,
7 8
9 10 11 12
,
,
tra le seguenti coppie di punti
calcolare il perimetro
,
,
,
, ,
dei poligoni di vertici
, ,
,
Stabilire se il triangolo di vertici triangolo rettangolo
Verificare che il triangolo di vertici equilatero
,
, C ,
è un , C
Determinare il punto P appartenente all’asse x equidistante da e da
è
(le misure dei lati soddisfano il teorema di Pitagora) equilatero
Determinare per quali valori di k la distanza tra i punti e è uguale a
determinare le coordinate del punto medio del segmento AB
13 14 15 16
17
v 1.0
, ,
,
,
Il segmento AB ha come punto medio . Determinare le coordinate del punto B, sapendo che A ha coordinate © 2013 - www.matematika.it
131
Punti
geometria analitica
18 19 20
Nel triangolo ABC , di vertici A , determinare i punti medi dei lati e la misura delle mediane
,
;
Dati i punti , , determinare in modo che il punto medio del segmento AB abbia ordinata doppia dell’ascissa
I punti A , sono vertici consecutivi del parallelogramma ABCD. Calcolare le coordinate del vertice D
dividere un segmento in parti proporzionali ad un numero k
21 22
Determinare le coordinate del punto C che divide il segmento di estremi A , nel rapporto 2 Determinare le coordinate del punto C che divide il segmento di estremi A , nel rapporto baricentro di un triangolo
23 24 25 26
27 28
v 1.0
Determina le coordinate del baricentro del triangolo di vertici A ,C
,
Determina le coordinate del baricentro del triangolo di vertici A , ,C Dato il triangolo di vertici , e baricentro , calcolare le coordinate del terzo vertice C
E’ dato il triangolo di vertici A . Trovare
sia A A
e
di
, , in modo che il baricentro del triangolo
calcolare l’area del triangolo di vertici A,B,C assegnati ,
,
,C
,C
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132
Retta
geometria analitica
rappresentare nel piano cartesiano le rette di equazioni: 1 2
stabilire quali tra i seguenti punti appartengono alla retta di equazione 3 4
condizione di appartenenza 5 6 7
Determinare l’ordinata del punto P di ascissa equazione Data la retta di equazione parametro k affinché il punto
appartenente alla retta di
determinare il valore del appartenga alla retta
Determinare le coordinate dei punti appartenenti alla retta di equazione e che hanno distanza da uguale a 1 determinare il coefficiente angolare
e l’ordinata all’origine
delle rette di equazione:
8 9
calcolare il coefficiente angolare 10 11
delle rette passanti per i punti:
, ,
equazione della retta passante per un punto avente un dato coefficiente angolare 12 13
Scrivere l’equazione della retta che passa per il punto coefficiente angolare
ed ha
Scrivere l’equazione della retta che passa per il punto P(-1,-2) ed è parallela alla retta di equazione equazione della retta passante per due punti
14 15 v 1.0
Scrivere l’equazione della retta che passa per i punti Scrivere l’equazione della retta che passa per i punti
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,
,
133
Retta
geometria analitica
16 17
18 19
20
21
Scrivere le equazioni dei lati del triangolo di vertici A C Verificare diagonali
che
il
,
,
quadrilatero di vertici A , , è un parallelogramma e scrivere le equazioni delle intersezione tra rette
Determinare il punto di intersezione delle rette di equazione e Determinare il punto di intersezione delle rette di equazione e
Indicare quali tra le seguenti coppie di rette sono incidenti, quali parallele e quali coincidenti: a) , ; b) , c) ,
Determinare le coordinate dei vertici del triangolo i cui lati appartengono alle rette ,4 e parallelismo e perpendicolarità
22 23 24 25
Scrivere l’equazione della retta che passa per il punto perpendicolare alla retta di equazione Determina per quale valore del parametro e
Scrivere l’equazione della retta passante per passante per i punti – – e
le rette di equazioni risultano parallele
ed è
e perpendicolare a quella
Determinare le equazioni delle rette parallele alla retta di equazione 4 −3 −1= che intercettano sugli assi cartesiani una corda di lunghezza 4 distanza di un punto da una retta
26 27 28 29
30 31 v 1.0
Determinare Determinare
la
la
distanza
distanza
del
del
punto
punto
Trovare le rette parallele alla retta di equazione distanza uguale a dal punto Determinare i valori del parametro retta di equazione
affinché il punto
dalla
dalla
retta
retta
che hanno
disti
dalla
asse di un segmento
Scrivere l’equazione dell’asse del segmento di estremi Scrivere l’equazione dell’asse del segmento di estremi © 2013 - www.matematika.it
e 134
Retta
geometria analitica
32 33
Determinare le coordinate del circocentro del triangolo di vertici Il segmento AB ha per estremi il punto e il punto B che appartiene all’asse . Trovare la sua ascissa sapendo che l’asse di AB interseca l’asse nel punto di ordinata 11 bisettrice di un angolo
34 35
Determinare le equazioni delle bisettrici degli angoli formati dalle rette incidenti di equazione: e Determinare
le
coordinate
dell’incentro
del
triangolo
di
vertici
fasci di rette 36
Verificare che il fascio di rette di equazione:
è un fascio improprio e determinare le rette che distano Dopo aver verificato che il fascio di rette di equazione:
37
dal punto
è un fascio proprio, determinare: a) le equazioni delle rette parallele agli assi; b) il centro C del fascio; c) la retta passante per ; d) la retta perpendicolare a Tra le rette del fascio di equazione:
38
39
determinare: a) le rette che intersecano l'asse in punti di ordinata positiva; ; b) la retta r parallela alla retta c) la retta s perpendicolare alla retta ; d) le bisettrici degli angoli formati da r e s Scrivere l'equazione del fascio generato dalle rette:
e e determinare le equazioni delle rette che intersecano gli assi cartesiani in due punti A e B tali che l'area del triangolo AOB sia 1 esercizi di riepilogo
40
41
v 1.0
Determinare la distanza e
tra le rette di equazione:
Determinare sulla retta un punto C che forma con e con un triangolo retto in A. Determinare inoltre le misure del perimetro e dell’area del triangolo
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135
Retta
geometria analitica
42
43 44
45
46
Dati i punti , , determinare: a) le coordinate del quarto vertice D del parallelogramma ABCD; b) l’equazioni delle diagonali; c) l’area
;
Determinare le coordinate dell’ortocentro del triangolo di vertici di vertici , ,
Tra tutte le rette passanti per il punto determinare quelle che formano, se esistono, con gli assi cartesiani un triangolo di area
Il vertice A di un triangolo ABC ha coordinate – . Si sa che l’altezza uscente dal vertice C ha equazione – – e che l’equazione della mediana uscente dallo stesso vertice C è – . Calcolare le coordinate degli altri vertici del triangolo e la sua area Determinare per quale valore di le rette di equazione: e a) sono tra loro perpendicolari; un segmento di misura 6 b) staccano sulla retta c) si incontrano in un punto di ordinata
47
v 1.0
Per il punto condurre la parallela r alla retta di equazione e per il punto la perpendicolare s alla retta 3 . Determinare le coordinate del punto C di intersezione delle rette r ed s e calcolare l’area del triangolo ABC
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136
geometria analitica
Parabola
scrivere l’equazione della parabola del tipo
conoscendo le seguenti condizioni:
scrivere l’equazione della parabola del tipo
conoscendo le seguenti condizioni:
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
delle seguenti parabole trovare le coordinate del vertice, del fuoco e le equazioni della retta direttrice e dell’asse di simmetria: 13 14 15 16 17 18 19 v 1.1
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137
Parabola
geometria analitica
20 21 22 23 24
parabola di equazione 25 26 27 28
Tracciare il grafico della parabola di equazione fuoco e direttrice
30
31 32 33 34 35
v 1.1
determinandone
Determinare il valore del parametro passi per il punto
in modo che la parabola di equazione
Determinare il valore del parametro abbia il fuoco nel punto
in modo che la parabola di equazione
Determinare i punti della parabola di equazione coordinate uguali
parabola di equazione
29
oppure
che hanno
oppure
Determinare le coordinate del vertice, del fuoco e l’equazione dell’asse di simmetria e della direttrice della parabola di equazione e rappresentarla in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Determinare le coordinate del vertice, del fuoco e l’equazione dell’asse di simmetria e della direttrice della parabola di equazione e rappresentarla in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale
Scrivere l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse , passante per i punti Determinare l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse , passante per il punto e avente il vertice in
Determinare l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse , passante per i punti A e avente il vertice appartenente alla retta di equazione Determinare l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse , che ha il fuoco nel punto e il vertice nel punto Determinare l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse , passante per i punti e avente per direttrice la retta di equazione © 2013 - www.matematika.it
138
geometria analitica
36
Parabola
Determinare l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse, di vertice che ha per fuoco il punto tangenti ad una parabola
37 38 39 40
41
42
43
44
Determinare l’equazione della retta tangente alla parabola di equazione e parallela alla retta di equazione
Determinare l'equazione della retta tangente alla parabola di equazione nel punto –
Determinare per quale valore di m la retta di equazione è tangente alla parabola di equazione ; determinare anche le coordinate del punto di contatto T Determinare l'equazione delle rette tangenti alla parabola di equazione condotte dal punto
Determinare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate che è tangente alla retta nel punto e passa per il punto Determinare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle ascisse che passa per i punti e e che in tale punto è tangente alla retta di coefficiente angolare
Determinare l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse delle ascisse avente il vertice in e tangente alla retta di equazione
Determinare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate che passa per i punti e e che è tangente alla retta di equazione fasci di parabole
45
46
47
48 v 1.1
Dopo aver scritto l’equazione del fascio di parabole con asse parallelo all’asse y, tangenti alla retta di equazioni nel suo punto di ascissa 1, determinare la parabola avente il vertice appartenente alla retta di equazione Dopo aver analizzato le caratteristiche del fascio di parabole di equazione determinare la parabola: a) passante per il punto ; b) avente il vertice di ascissa nulla; c) tangente alla retta di equazione Nel fascio di parabole individuato dalle due parabole di equazione: e determinare la parabola: a) passante per l’origine degli assi; b) tangente alla retta
Determinare l’equazione del luogo geometrico dei vertici delle parabole di equazione © 2013 - www.matematika.it
139
geometria analitica
Parabola esercizi di riepilogo
49
50
51 52
53
54 55 56
57
58
59 60
v 1.1
Determinare l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse , passante per , per – e ivi tangente alla retta di equazione
Scrivere l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse , passante per i punti Trovare le coordinate dei punti di intersezione della parabola con la retta di equazione e la misura della corda intercettata dalla parabola Determinare l’equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse , passante per il punto e avente il vertice in Inscrivere nella porzione di piano limitata dalla parabola e dall’asse un rettangolo in cui la base è doppia dell’altezza e determinare l’altezza Determinare l’equazione della parabola del fascio di equazione tangente alla retta di equazione
Una parabola con l’asse parallelo all’asse delle passa per il punto ed ha il vertice nel punto . Scriverne l’equazione e rappresentarla. La retta passante per , e di coefficiente angolare 1, interseca detta parabola in e . Da A e B si conducono le perpendicolari all’asse delle che intersecano l’asse stesso in D e C. Calcolare la misura del perimetro e l’area del quadrilatero ABCD Scrivere l’equazione della parabola tangente in all’asse passante per e trovare sull’arco un punto che abbia distanza uguale a 2 dall’asse
Determinare le coordinate del punto comune alle rette tangenti alla parabola di equazione condotte nei suoi punti di intersezione con la retta Data la parabola condurre una retta parallela all'asse x in modo che la corda intercettata dalla parabola su questa retta sia lunga 4 Dato il fascio di parabole generato dalle parabole di equazione , determinare: a) la natura del fascio; b) l’equazione della parabola che passa per l’origine degli assi; c) la parabola del fascio con il vertice appartenente alla bisettrice I-III quadrante
Dopo aver scritto l’equazione della parabola Γ, con asse parallelo all’asse delle ordinate, passante per i punti , calcolare l’area del segmento parabolico delimitato dalla parabola Γ e dalla retta di equazione
Date le parabole di equazioni e , determinare a quale distanza dall’asse deve essere condotta una retta parallela all’asse, affinché risultino uguali le due corde da essa determinata sulle due parabole Condurre dal punto
le tangenti alla parabola di equazione
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140
Circonferenza
geometria analitica
scrivere l’equazione della circonferenza dato il centro
e il raggio
;
1
;
2
;
3
;
4
stabilire quali delle seguenti equazioni rappresentano una circonferenza 5 6 7 8
determinare le coordinate del centro
ed il raggio
delle seguenti circonferenze
9 10 11 12
13 14 15 16
Scrivere
l’equazione
della
circonferenza
di
Scrivere l’equazione della circonferenza di centro punto Determinare per quale valore di k il punto circonferenza di equazione
Scrivere l’equazione della circonferenza di centro
diametro
di
estremi
e passante per il
appartiene alla
e tangente all’asse
ricerca delle equazioni delle rette tangenti ad una circonferenza 17 18 v 1.0
Determinare l’equazione della retta tangente alla circonferenza di equazione nel suo punto Determinare l’equazione della retta tangente alla circonferenza di equazione nel suo punto © 2013 - www.matematika.it
141
geometria analitica
19 20
Circonferenza
Determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione condotte dal punto Determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione parallele alla retta di equazione ricerca dell’equazione di una circonferenza
21 22 23 24
Determinare l’equazione della circonferenza che passa per i punti
Scrivere le equazioni delle circonferenze di raggio 3 che passano per i punti Scrivere l’equazione della circonferenza che passa per i punti ed ha il centro sulla retta di equazione Scrivere l’equazione della circonferenza che passa per i punti ed è tangente alla retta di equazione
e
fasci di circonferenze
25
26
Dato il fascio di circonferenze generato dalle due circonferenze di equazioni e , individuare, se esistono: i punti basi, l’asse radicale e la retta dei centri Considerare il fascio di circonferenze generato dalle circonferenze di equazioni , individuare, se esistono: i punti basi, l’asse radicale e la retta dei centri. Determinare, inoltre, la circonferenza del fascio che: ; a) passa per il punto b) ha il centro di ascissa 4; c) è tangente alla retta di equazione esercizi di riepilogo
27 28 29
30
31
32 v 1.0
Determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione parallele alla retta di equazione
Determinare l’equazione della circonferenza tangente nell’origine alla retta di equazione e avente il centro sulla retta di equazione
Scrivere l’equazione della circonferenza Γ circoscritta al triangolo di vertici Scrivere l’equazione della retta r parallela alla retta che stacca su Γ una corda di lunghezza Determinare le equazioni delle rette tangenti comuni alle due circonferenze di equazioni e
Scrivere l’equazione della retta tangente alla circonferenza nel suo punto P(1,-3). Detti A e B i punti di intersezione della tangente con gli assi cartesiani, determinare le misure del perimetro e dell’area del triangolo AOB Determinare l'equazione della circonferenza di centro alla retta di equazione
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e tangente
142
geometria analitica
Circonferenza
Dopo aver studiato la natura del fascio di circonferenze:
33
34 35
v 1.0
Determinare il valore di per cui si ottiene : a) la circonferenza passante per b) la circonferenza tangente nell’origine alla retta c) la circonferenza che ha il centro sulla retta d) la circonferenza che ha il raggio pari a
;
Determinare l’equazione della circonferenza tangente alla retta nel suo punto di ascissa 1 e che stacca sulla retta una corda di lunghezza
Determinare l’equazione della circonferenza tangente alla retta di equazione nel suo punto di ascissa 0 e passante per P(4,3)
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143
Ellisse
geometria analitica
ricerca dell’equazione della ellisse con il centro nell’origine del sistema di riferimento 1
2
Determinare l’equazione del luogo geometrico dei punti del piano tali che la somma delle distanze dai due punti fissi e è uguale a 10 Scrivere l’equazione dell’ellisse passante per i punti .
e
3
Scrivere l’equazione dell’ellisse con un fuoco nel punto
4
Determinare l’equazione dell’ellisse con il fuoco nel punto F
5
Determinare l’equazione dell’ellisse avente il semiasse maggiore lunghezza 6 e passante per il punto
6
Scrivere l’equazione dell’ellisse con gli assi
7
Determinare per quali valori di
8
di
.
Descrivere le caratteristiche della curva che si ottiene un’ellisse
la seguente equazione rappresenta
circonferenza di centro O e raggio
con i fuochi sull’asse
Data l’ellisse di equazione , tracciarne il grafico ed individuare i semiassi, i fuochi, l’eccentricità
ricerca dell’equazione della ellisse traslata
9
10
11
v 1.0
Data l’ellisse traslata di equazione
, determinare:
le coordinate del centro e dei fuochi ed • l’eccentricità dell’ellisse. Rappresentare poi nel sistema di riferimento cartesiano ortogonale •
Determinare le coordinate del centro e dei fuochi e l’eccentricità dell’ellisse di equazione
e rappresentarla in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Scrivere l’equazione dell’ellisse traslata con il centro sulla retta che ha un fuoco nel punto , un vertice nel punto di intersezione tra la retta e la curva © 2013 - www.matematika.it
144
Ellisse
geometria analitica
Stabilire quali delle seguenti equazioni rappresenta un’ellisse e scriverla in forma canonica: 12
13
14
a)
b) c) d) e) f)
Considerato il grafico a lato, scrivere l’equazione dell’ellisse rappresentata ed individuare le sue principali caratteristiche
Determinare l’equazione dell’ellisse traslata (con ), che ha un fuoco nel punto , e distanza focale uguale a 16
ricerca delle equazioni delle rette tangenti ad una ellisse
15
16
17
18 19
20
v 1.0
Determinare se la retta di equazione esterna o secante all’ellisse
Determinarne gli eventuali punti di contatto
.
è tangente,
Considerata l’ellisse di equazione con i fuochi sull’asse , determinare le condizioni affinché la retta sia tangente, secante o esterna alla curva data. Quante tangenti ad una ellisse è possibile trovare per ogni suo punto? Data l’ellisse di equazione determinare la tangente nel vertice positivo dell’asse . Determinare inoltre l’area del triangolo che si forma tra la tangente e la secante all’ellisse passante per altri due vertici.
Tramite la formula dello sdoppiamento trovare la tangente all’ellisse di equazione negativa
nel suo punto di ascissa
Determinare le equazioni delle rette passanti per il punto tangente all’ellisse
e ordinata e
Scrivere l’equazione della tangente all’ellisse nel suo punto di ascissa e ordinata negativa. Calcolare poi l’area del triangolo che si ottiene dall’intersezione di questa retta con gli assi cartesiani.
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145
Ellisse
geometria analitica
21
22
23
Scrivere l’equazione delle tangenti all’ellisse di equazione nel punto in cui questa interseca la retta nel terzo quadrante Determinare l’equazione dell’ellisse tangente alla retta passante per il punto
,
e un vertice nel punto
Considerato il fascio di rette
.
determinare la retta del
fascio che intersecandosi con l’ellisse di equazione una corda lunga
stacca
fasci di ellissi
Considerato il fascio di ellissi descritto dall’equazione 24
determinare il tale che l’equazione: a) rappresenti delle ellissi b) rappresenti una ellisse con i fuochi sull’asse
c) abbia eccentricità d) passi per il punto
25
26
Determinare l’equazione del fascio di ellissi tale che l’asse maggiore sia sempre un multiplo di 5, e il semiasse minore sia uguale a 3. Determinare l’ellisse del fascio tangente alla retta Determinare i valori di affinché l’ellisse di equazione: abbia a) i fuochi sull’asse b) i fuochi sull’asse c) distanza focale uguale a 2 Trovare inoltre il valore di circonferenza
27
per cui l’ellisse degenera in una
Considerato il fascio di ellissi determinare il parametro in modo che l’equazione rappresenti: a) una ellisse con vertice nel punto b) una ellisse con
c) una iperbole d) una circonferenza
v 1.0
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146
geometria analitica
Ellisse esercizi di riepilogo
28
29
30
31
32
33
34
v 1.0
Considerata l’equazione tangente alla retta
trovare
in modo che la curva sia
Determinare l’equazione dell’ellisse inscritta nel rettangolo avente perimetro 20, sapendo che i vertici del rettangolo di ordinata 5 appartengono alle rette e Determinare l’equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse eccentricità e tangente alla retta Determinare la retta tangente alla curva in A Data l’ellisse di equazione
con
nel punto A.
verificare che la retta
è secante ad essa e determinare i punti di intersezione A e B, con A di ascissa di minore. Trovare infine l’area del triangolo OAB Determinare l’equazione dell’ellisse traslata in sapendo che i semiassi sono in rapporto 2:3 e la loro somma è 15, che il centro appartiene alla retta di equazione e che ha un vertice nel punto
Scrivere l’equazione dell’ellisse avente come assi di simmetria i segmenti di estremi: , , e . Determinare poi l’equazione della parabola passante per C e con vertice in A. Determina infine la tangente ad essa nel punto A Considerata l’ellisse , determinare l’equazione di un’altra ellisse avente lo stesso centro di simmetria, il semiasse minore e un fuoco nel punto . Determinare infine l’equazione del fascio di ellissi che hanno gli stessi fuochi
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147
Iperbole
geometria analitica
ricerca dell’equazione della iperbole con i fuochi sull’asse delle 1 2 3 4 5
6
Determinare l’equazione del luogo geometrico dei punti del piano tali che la differenza in valore assoluto delle distanze dai due punti fissi e è uguale a Scrivere l’equazione dell’iperbole passante per i punti
Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha un fuoco nel punto e come asintoto la retta di equazione
Scrivere l’equazione dell’iperbole con distanza focale uguale a e passante per il punto Data l’iperbole di equazione , tracciarne il grafico ed individuarne i fuochi, i vertici, l’eccentricità, gli asintoti Determinare per quali valori di un’iperbole: a)
8
9
10
11
le seguenti equazioni rappresentano
b) c)
7
e
ricerca dell’equazione della iperbole con i fuochi sull’asse delle
Determinare il luogo geometrico dei punti del piano tali che la differenza in valore assoluto delle distanze dai due punti fissi è uguale a Scrivere l’equazione dell’iperbole passante per i punti
e
e
Determinare l’equazione dell’iperbole che ha un fuoco di ordinata e un vertice di ordinata negativa appartenente alla retta Determinare le coordinate dei fuochi, dei vertici e l’eccentricità dell’iperbole di equazione
.
Rappresentarla in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Riconoscere quali delle seguenti equazioni rappresentano delle iperboli e scriverle in forma canonica: a) b) c) d)
equazione della iperbole equilatera riferita ai propri assi di simmetria
12
v 1.0
Determina l’equazione dell’iperbole equilatera passante per il punto © 2013 - www.matematika.it
148
Iperbole
geometria analitica
13
Determina l’equazione dell’iperbole equilatera avente un fuoco nel punto punto
14
15
. Valutare se questa curva passa per il punto
e calcolare l’eventuale tangente all’iperbole in questo
Data l’iperbole equilatera di equazione , tracciarne il grafico ed individuarne le coordinate dei fuochi e dei vertici, l’eccentricità e le equazioni degli asintoti Riconoscere quali tra le seguenti equazioni rappresentano una iperbole equilatera riferita ai propri assi di simmetria: a) b) c) d)
equazione della iperbole equilatera riferita agli asintoti
16
Determina l’equazione dell’iperbole equilatera (con ) il cui vertice dista dalla retta di equazione . Determinare poi la tangente all’iperbole in questo vertice e calcolare i punti di intersezione tra la retta e la tangente equazione della iperbole omografica
17
18
Data l’iperbole equilatera di equazione ed individuarne le principali caratteristiche
tracciarne il grafico
Determinare l’equazione della funzione omografica
sapendo
che il centro ha coordinate e che passa per il punto Determinare l’equazione delle tangenti questa curva nel punto di intersezione con la bisettrice del primo e terzo quadrante
.
equazione della iperbole traslata
19 20 21
22
v 1.0
Ricondurre alla forma canonica l’iperbole di equazione: e descriverne le principali caratteristiche Determinare l’equazione dell’iperbole che si ottiene dalla curva traslandola di vettore
Scrivere l’equazione dell’iperbole che ha il fuoco traslato nel punto corrispondente all’iperbole di equazione
Determinare l’equazione delle iperboli con i fuochi sulla retta con un vertice nel punto e semiasse non trasverso di lunghezza 9 © 2013 - www.matematika.it
149
Iperbole
geometria analitica
ricerca delle equazioni delle rette tangenti ad una iperbole
23
24
25
26
Trovare le tangenti all’iperbole di equazione di ordinata Data l’iperbole di equazione essa nel vertice negativo dell’asse
nel suo punto
determinare la tangente ad
Determinare l’equazione dell’iperbole equilatera tangente alla retta con un vertice nel punto Considerata l’iperbole di equazione , determinare la tangente in un suo punto del primo quadrante che incontra gli assi cartesiani in A e B e in modo tale che il triangolo PAB abbia area minima fasci di iperboli
27
28
29
30
v 1.0
Considerato il fascio di iperboli descritto dall’equazione determinare il parametro tale che : a) l’equazione rappresenta effettivamente delle iperboli b) le iperboli hanno un vertice nel punto c) il punto , intersezione dell’iperbole con l’asse , dista dall’origine 14 d) le iperboli passano per il punto ) Determinare il valore di affinché il fascio di iperboli rappresenti: a) una ellisse b) una circonferenza c) una iperbole d) una iperbole con i fuochi sull’asse e) una iperbole con i fuochi sull’asse Studia le principali caratteristiche del fascio n
al variare di
Determina il luogo dei centri di simmetria e gli eventuali punti base del fascio di iperboli di equazione . © 2013 - www.matematika.it
150
Iperbole
geometria analitica
esercizi di riepilogo
31
32
33
34
v 1.0
Determinare la lunghezza della corda staccata dall’iperbole sulla retta
Determinare la funzione omografica passante per il punto avente asintoti di equazione e
ed
Scrivere l’equazione del fascio di iperboli con i fuochi su parallele della retta i cui vertici hanno coordinate e caratterizzare il fascio nel caso in cui: a) gli asintoti sono rette del tipo
b) un vertice appartiene alla retta c) rappresenta delle iperboli equilatere
Considerata la retta passante per i punti e la retta passante per i punti e determinare il luogo dei punti del piano comuni alle due rette al variare di
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151
logaritmi
Logaritmi: definizione ricava il valore della x applicando la definizione di logaritmo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19 20
v 1.2
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152
logaritmi
Logaritmi: definizione
21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31
esercizi di riepilogo 32 33 34 35 36 37 38 39
v 1.2
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153
logaritmi
Logaritmi: definizione
40 41 42 43 44 45
v 1.2
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154
logaritmi
Logaritmi: espressioni numeriche risolvere con l’uso della calcolatrice le seguenti espressioni numeriche di logaritmo
2
3
4
5
6
8
9
10
12
13
15
16 17 18
20 v 1.2
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155
logaritmi
cambiare in base
Logaritmi:
cambio di base
i seguenti logaritmi e calcolarne il valore con l’aiuto della calcolatrice
1 2 3 4 5 6 7 8
cambiare in base
i seguenti logaritmi e calcolarne il valore con l’aiuto della calcolatrice
9 10 11 12 13 14 15 16
v 1.2
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156
logaritmi
Logaritmi: teoremi applicando i teoremi sui logaritmi riduci ad un unico logaritmo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
v 1.3
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157
logaritmi
Logaritmi: teoremi applicando i teoremi sui logaritmi sviluppa le seguenti espressioni
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
v 1.3
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158
logaritmi
Logaritmi: teoremi esercizi di riepilogo
33 34 35 36 37 38 39 40 41
42
43
44
45
46
47
48 v 1.3
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159
logaritmi
Disequazioni esponenziali disequazioni esponenziali risolubili mediante applicazione delle proprietĂ delle potenze
1 2 3 4 5 6 7 8 9
equazioni esponenziali risolubili mediante una posizione 10 11 12 13 14 15 16 17 18
v 1.3
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160
logaritmi
Disequazioni esponenziali
19
equazioni esponenziali con basi diverse risolubili mediante logaritmi 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
equazioni esponenziali di riepilogo miste 32 33 34 35 36
v 1.3
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161
logaritmi
Disequazioni esponenziali
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 v 1.3
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162
logaritmi
Equazioni logaritmiche
equazioni logaritmiche risolubili mediante definizione ed applicazione dei teoremi sui logaritmi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
equazioni logaritmiche risolubili mediante una posizione 12 13 14 15 16 17 18 19
v 1.3
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163
logaritmi
Equazioni logaritmiche
20 21 22 23
equazioni logaritmiche con argomento esponenziale 24 25 26 27 28 29 30 31
equazioni logaritmiche di riepilogo 32 33 34 35 36 37 38 39 v 1.3
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164
logaritmi
Equazioni logaritmiche
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58
v 1.3
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165
logaritmi
Disequazioni logaritmiche
disequazioni logaritmiche risolubili mediante definizione ed applicazione dei teoremi sui logaritmi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
disequazioni logaritmiche risolubili mediante una posizione 12 13 14 15 16 17 18 19
v 1.4
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166
logaritmi
Disequazioni logaritmiche
20 21 22
disequazioni logaritmiche con argomento esponenziale 23 24 25 26 27 28 29 30 31
disequazioni logaritmiche di riepilogo 32 33 34 35 36
v 1.4
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167
logaritmi
Disequazioni logaritmiche
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 v 1.4
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168
logaritmi
Sistemi di equazioni esponenziali
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
v 1.1
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169
logaritmi
Sistemi di equazioni esponenziali
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
v 1.1
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170
logaritmi
Sistemi di equazioni esponenziali
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
v 1.1
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171
logaritmi
Sistemi di equazioni esponenziali
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54 v 1.1
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172
logaritmi
Sistemi di equazioni logaritmiche
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
v 1.1
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173
logaritmi
Sistemi di equazioni logaritmiche
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
v 1.1
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174
logaritmi
Sistemi di equazioni logaritmiche
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
v 1.1
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175
logaritmi
Sistemi di equazioni logaritmiche
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55 56 57 v 1.1
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176
goniometria
Passaggio tra unitĂ di misura di angoli converti il valore dei seguenti angoli da gradi, primi e secondi a gradi decimali
1 2 3 4 5 6 7
converti il valore dei seguenti angoli da gradi decimali a gradi, primi e secondi 8 9 10 11 12 13 14
converti il valore dei seguenti angoli da radianti a gradi, primi e secondi 15 16 17 18 19 v 1.0
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177
goniometria
Passaggio tra unitĂ di misura di angoli
20 21
converti il valore dei seguenti angoli da gradi, primi e secondi a radianti 22 23 24 25 26 27 28
v 1.0
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178
goniometria
Espressioni goniometriche risolubili con la calcolatrice con l’aiuto della calcolatrice calcola il valore numerico delle seguenti espressioni
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 v 1.1
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179
goniometria
Espressioni goniometriche risolubili con la calcolatrice
18 19 20
con l’aiuto della calcolatrice calcolare il valore delle seguenti espressioni; poi, senza calcolatrice, esprimere i risultati in gradi con decimali, gradi con primi e radianti 21
Espressioni
Gradi con decimali
Gradi con primi
Radianti
22 23 24 25 26 27 28 29
Nessuna soluzione (come mai?)
30 31
v 1.1
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180
goniometria
Espressioni riconducibili ad una unica funzione
ricondurre le espressione date ad altre equivalenti che contengano solo la funzione R:
1
R:
2 3
R:
5
R:
4
R:
R:
6
R:
7
ricondurre le espressione date ad altre equivalenti che contengano solo la funzione 8
R:
9
R:
10
R:
11
R:
12
R:
13
R:
14
R:
ricondurre le espressione date ad altre equivalenti che contengano solo la funzione 15
R:
16
R:
v 1.0
:
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:
:
181
goniometria
Espressioni riconducibili ad una unica funzione
17
R:
18
R:
19
R:
20
R:
21
R:
v 1.0
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182
goniometria
Espressioni ed equazioni in cui compaiono funzioni inverse
ricondurre le seguenti espressioni ad altre equivalenti prive di funzioni trigonometriche inverse: 1 2 3
,
[è uguale all’esercizio 1?]
R:
[come mai non fa ?]
R: R:
4
R:
5
[è uguale all’esercizio 6?]
6 7
R: R:
8
R:
9
R:
10
con
R:
11
R:
12
R:
13
R:
14
R: impossibile
15
trovare i valori di
[come mai?]
che verificano le seguenti equazioni con funzioni trigonometriche inverse: R:
16
R: impossibile
17
R:
18
[come mai?]
R:
19
v 1.0
R:
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183
goniometria
Espressioni ed equazioni in cui compaiono funzioni inverse R: impossibile
20
R:
21
R:
22
R:
23
R:
24
R:
25
R:
26
R:
27
R:
28
R:
29
R:
30
v 1.0
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184
goniometria
Espressioni goniometriche di angoli notevoli
1 2 3 4 5
6
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
v 1.9
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goniometria
Espressioni goniometriche
17
18 19 20 21 22 23
24
25 26 27 28 29 30 31 32 v 1.9
Š 2013 - www.matematika.it 186
goniometria
Espressioni goniometriche
33 34
con angoli superiori a 360° 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 v 1.9
Š 2013 - www.matematika.it 187
goniometria
Espressioni goniometriche
49
50
51
52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 v 1.9
Š 2013 - www.matematika.it 188
goniometria
Espressioni goniometriche
65
66
67
68
con angoli associati 69 70 71 72 73 74 75 76
77 78 79
v 1.9
Š 2013 - www.matematika.it 189
goniometria
Espressioni goniometriche
80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91 92
93 94 95
v 1.9
Š 2013 - www.matematika.it 190
goniometria
Espressioni goniometriche
96 97 98 99 100
di riepilogo con angoli associati 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 v 1.9
Š 2013 - www.matematika.it 191
goniometria
Espressioni goniometriche
112 113 114 115 116
risolubili con le formule di addizione e sottrazione 117 118 119 120 121 122 123 124
risolubili con le formule di duplicazione e bisezione 125 126
v 1.9
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goniometria
Espressioni goniometriche
127 128 129 130 131 132
risolubili con le formule di prostaferesi e Werner 133 134 135 136 137 138 139 140
di riepilogo con formule goniometriche 141 142
v 1.9
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goniometria
Espressioni goniometriche
143 144 145 146
147
148 149
R:
150
R:
151
R:
152
R:
153
[come si risolve in maniera semplice?]
R:
154
R:
155
R:
156
R:
157
R:
158
v 1.9
[esercizio difficile]
R:
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goniometria
IdentitĂ goniometriche risolubili mediante le relazioni fondamentali
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
risolubili mediante angoli associati 17 18 v 1.2
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195
goniometria
IdentitĂ goniometriche
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
risolubili mediante formule goniometriche 33 34 35 36 37 v 1.2
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196
goniometria
IdentitĂ goniometriche
38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
di riepilogo 49 50 51 52 53 54 55 56 v 1.2
+1
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197
goniometria
IdentitĂ goniometriche
57 58 59 60 61 62 63 64
v 1.2
Š 2013 - www.matematika.it
198
goniometria
Equazioni goniometriche elementari
1 2 3 4
riconducibili ad elementari 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
di secondo grado 18 v 1.2
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199
goniometria
Equazioni goniometriche
19 20 21 22 23 24 25 26 27
lineari in seno e coseno 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 v 1.2
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200
goniometria
Equazioni goniometriche
38 39 40 41 42 43 44 45
simmetriche 46 47 48 49
di riepilogo prima parte 50 51 52 53 54 55 56
v 1.2
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201
goniometria
Equazioni goniometriche
57
riducibili ad una sola funzione goniometrica 58 59 60 61
risolubili mediante formule di addizione e sottrazione 62 63 64 65
risolubili mediante formule di duplicazione 66 67 68 69
risolubili mediante formule di bisezione 70 71 72 73 v 1.2
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202
goniometria
Equazioni goniometriche risolubili mediante formule di prostaferesi e Werner
74 75 76 77
di riepilogo 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92
v 1.2
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203
goniometria
Equazioni goniometriche
93 94 95 96
97 98 99 100 101 102
v 1.2
Š 2013 - www.matematika.it
204
goniometria
Disequazioni goniometriche elementari
1 2 3 4 5 6 7 8 9
di secondo grado 10 11 12 13 14 15 16 17 18
v 1.2
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205
goniometria
Disequazioni goniometriche lineari
19 20 21 22 23 24 25 26
Omogenee di secondo grado (o riconducibili ad omogenee) 27 28 29 30 31 32 33 34 35
di riepilogo 36 37
v 1.2
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206
goniometria
Disequazioni goniometriche
38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
v 1.2
Š 2013 - www.matematika.it
207
Problemi sui Triangoli Rettangoli
trigonometria
in riferimento al triangolo rettangolo in figura, risolvi i triangoli di cui sono noti:
γ
a
b α
β
c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 v 1.0
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208
trigonometria
Problemi sui Triangoli Rettangoli
18 19 20
sempre in riferimento al triangolo rettangolo in figura, verifica la correttezza delle seguenti relazioni algebriche tra gli elementi del triangolo 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 v 1.0
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209
Problemi sui Triangoli Qualsiasi
trigonometria
in riferimento al triangolo in figura, risolvi i triangoli di cui sono noti:
b
a
γ
β
α c 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 v 1.0
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210
trigonometria
Problemi sui Triangoli Qualsiasi
14
15
16
17
18
19
20
sempre in riferimento al triangolo in figura, verifica la correttezza delle seguenti relazioni algebriche tra gli elementi del triangolo 21
22 23 24 25
26 27
v 1.0
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211
trigonometria
Problemi sui Triangoli Qualsiasi
28 29 30 31
32 33 34 35
36 37 38 39
v 1.0
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212
trigonometria
1
Calcola il rapporto tra l'area del triangolo di lati l'area del cerchio ad esso circoscritto
2
Calcola l'area del triangolo formato dall'origine e dall'intersezione della retta l'asse delle ascisse e la retta
3
Calcola l'altezza di una torre sapendo che l'ombra che essa proietta è lunga 30 m e l'angolo di visuale dal punto dove termina l'ombra alla cima della torre è di 60°
4
Calcola l'area di un parallelogramma avente un lato di misura 15, l'altro di misura 7 e l'angolo tra essi compreso pari a 30°
5
6
v 1.0
Applicazioni della trigonometria con
e con
Calcola l'area di un appezzamento di terreno di forma triangolare avente un lato pari a 55 m, un altro pari a 36 m e sapendo che l'angolo che questi due lati formano è di 54°
Calcolare l'area e la lunghezza della mediana uscente dal vertice A di un triangolo avente lati AB=7, AC=6, BC=11
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213
analisi
Disequazioni di vario tipo piĂš impegnative
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 v 1.6
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214
analisi
Disequazioni di vario tipo
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30 v 1.6
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215
analisi
Disequazioni di vario tipo
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
v 1.6
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216
analisi
Calcolo di Domini funzioni algebriche
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
v 1.6
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217
analisi
Calcolo di Domini
15
funzioni logaritmiche o esponenziali 16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26 v 1.6
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218
analisi
Calcolo di Domini
27
28
29
30
funzioni goniometriche ,
31
,
32
33
34
,
35
,
36
,
37
,
38
39 v 1.6
Š 2013 - www.matematika.it
219
analisi
Calcolo di Domini
40
,
41
,
42
43
,
44
45
,
46
di riepilogo 47
,
48
49
50
51
52
53 v 1.6
Š 2013 - www.matematika.it
220
analisi
Calcolo di Domini
54
55
56
57
58
59
60
61
62
v 1.6
Š 2013 - www.matematika.it
221
analisi
Limiti verifica i seguenti limiti utilizzando la definizione:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36 v 1.8
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222
analisi
Limiti calcola i seguenti limiti che si presentano nella forma Determinata
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70 v 1.8
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223
analisi
Limiti calcola i seguenti limiti che si presentano nella forma indeterminata
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
calcola i seguenti limiti che si presentano nella forma indeterminata 91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108 v 1.8
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224
analisi
109
Limiti 110
calcola i seguenti limiti che si presentano nella forma indeterminata 111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
calcola i seguenti limiti utilizzando i limiti notevoli delle funzioni goniometriche 131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144 v 1.8
Š 2013 - www.matematika.it
225
analisi
Limiti
145
146
147
148
calcola i seguenti limiti utilizzando i limiti notevoli delle funzioni esponenziali e logaritmiche 149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
esercizi di riepilogo 169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
v 1.8
Š 2013 - www.matematika.it
226
analisi
Limiti
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218 v 1.8
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227
analisi
Limiti
219
220
221
222
223
224
225
226
v 1.8
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228
analisi
Discontinuità individuare gli eventuali punti di discontinuità, indicandone la specie
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11 12 13 14 15 16 17
v 1.2
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229
analisi
Asintoti determinare le equazioni degli asintoti delle seguenti funzioni
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
21
23
22
25
24
27
26
29
30
31
32
33
34
v 1.2
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230
analisi
Calcolo di Derivate di una costante
1 2 3
del prodotto di una costante per una funzione 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
della somma di funzioni 15 16 17 18 19 v 1.4
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231
analisi
Calcolo di Derivate
20
del prodotto di funzioni 21 22 23 24 25 26 27
del rapporto di due funzioni 28 29 30 31 32 33
di funzioni composte 34 35 36 37
v 1.4
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232
analisi
Calcolo di Derivate
38 39 40 41 42
di una funzione elevata a funzione 43 44 45 46 47 48 49 50
di riepilogo 51 52 53 54 55 56
v 1.4
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233
analisi
Calcolo di Derivate
57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71
v 1.4
Š 2013 - www.matematika.it
234
analisi
Calcolo di Derivate
72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 v 1.4
Š 2013 - www.matematika.it
235
analisi
Calcolo di Derivate
90 91 92 93 94 95
96
97
98
99
v 1.4
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236
analisi
Equazione retta tangente al grafico di una funzione date le seguenti funzioni, determinare l’equazione della tangente al grafico nel punto di ascissa indicata
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
v 1.2
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237
analisi
Continuità e Derivabilità con parametro determinare il valore del parametro
per il quale sono continue le seguenti funzioni
1
2
3
determinare i valori dei parametri
e
per i quali è continua la seguente funzione
4
verificare la continuità della seguente funzione
5
verificare che le seguenti funzioni sono continue ma non derivabili
6
7
verificare per quali valori dei parametri
e
le seguenti funzioni sono continue e derivabili
8
9
v 1.0
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238
analisi
Continuità e Derivabilità con parametro
10
11
12
13
14
15
v 1.0
© 2013 - www.matematika.it
239
analisi
Punti di non derivabilitĂ di una funzione individuare e classificare i punti di non derivabilitĂ delle seguenti funzioni
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
v 1.0
Š 2013 - www.matematika.it
240
analisi
Massimi e minimi assoluti calcolare per le seguenti funzioni nell’intervallo indicato le ascisse dei punti di massimo e minimo assoluto
1
R:
2
R:
3
R:
4
R:
5
R:
6
R:
7
R:
8
R:
9
R:
10
R:
11
R:
12
R:
13
R:
14
R:
15
R:
16
R:
v 1.0
Š 2013 - www.matematika.it
ed
241
Massimi e minimi assoluti
analisi
calcolare le ascisse
ed
degli eventuali punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni
1
2
3
4
5
6
7
8
;
;
9
10
11
12 v 1.0
Š 2013 - www.matematika.it
242
analisi
Massimi e minimi assoluti
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
v 1.0
Š 2013 - www.matematika.it
243
analisi
Studio della monotonia di una funzione ricercare gli intervalli di monotonia delle seguenti funzioni
1 2 3 4
5
6 7 8 9 10
;
11
12 13 14
15
v 1.0
Š 2013 - www.matematika.it
244
analisi
Studio della concavità di una funzione ricercare gli intervalli di concavità verso l’alto e verso il basso delle seguenti funzioni ;
1 2 3
4
5 6 7 8 9 10 11 12
13
14
15 v 1.0
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245
Punti di flesso
analisi
calcolare le ascisse
degli eventuali punti di flesso delle seguenti funzioni
1
2 3 4
5
6
7
8 9 10 11
12 13 14
15
v 1.0
Š 2013 - www.matematika.it
246
Teoremi di Rolle e Lagrange
analisi
verificare se le seguenti funzioni, nell’intervallo affianco indicato, soddisfano le ipotesi del teorema di Rolle. In caso affermativo determinare il punto o i punti dove si annulla la derivata prima 1
2
3
4
5
6
tgx
7
Teorema non applicabile
Teorema non applicabile
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Teorema non applicabile
Teorema non applicabile
verificare se le seguenti funzioni, nell’intervallo affianco indicato, soddisfano le ipotesi del teorema di Lagrange. In caso affermativo determinare il punto o i punti che verificano il teorema 17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Teorema non applicabile
31 v 1.2
Teorema non applicabile
Teorema non applicabile
32
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247
analisi
Teorema di Cauchy, Teorema di De L’Hopital
verificare se le seguenti funzioni, nell’intervallo affianco indicato, soddisfano le ipotesi del teorema di Cauchy. In caso affermativo determinare il punto o i punti che verificano il teorema 1
2
3
4
5
6
=senx-cosx -1
applicando la regola di de l’Hopital calcolare i seguenti limiti: 7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
34
36
v 1.2
© 2013 - www.matematika.it
248
Studio di funzione
analisi
studiare le seguenti funzioni razionali 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
studiare le seguenti funzioni irrazionali 28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
v 1.4
Š 2013 - www.matematika.it
249
Studio di funzione
analisi
49
50
51
52
53
54
studiare le seguenti funzioni goniometriche 55
56
58
59
–
57 60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
studiare le seguenti funzioni esponenziali e logaritmiche 82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
v 1.4
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250
Studio di funzione
analisi
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
studiare le seguenti funzioni con i valori assoluti 109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
esercizi di riepilogo
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
v 1.4
Š 2013 - www.matematika.it
251
analisi
Studio di funzione
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
v 1.4
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252
Studio di funzione
analisi
soluzioni
funzioni razionali
v 1.2
funzione n. 1
funzione n. 2
funzione n. 3
funzione n. 4
funzione n. 5
funzione n. 6
funzione n. 7
funzione n. 8
funzione n. 9
funzione n. 10
funzione n.11
funzione n. 12
funzione n. 13
funzione n. 14
funzione n. 15
funzione n. 16
funzione n. 17
funzione n. 18
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253
Studio di funzione
analisi
soluzioni
funzione 19
funzione 20
funzione 21
funzione 22
funzione 23
funzione 24
funzione 25
funzione 26
funzione 27
funzioni irrazionali
v 1.2
funzione 28
funzione 29
funzione 30
funzione 31
funzione 32
funzione 33
funzione 34
funzione 35
funzione 36
Š 2013 - www.matematika.it
254
Studio di funzione
analisi
v 1.2
soluzioni
funzione 37
funzione 38
funzione 39
funzione 40
funzione 41
funzione 42
funzione 43
funzione 44
funzione 45
funzione 46
funzione 47
funzione 48
funzione 49
funzione 50
funzione 51
funzione 52
funzione 53
funzione 54
Š 2013 - www.matematika.it
255
Studio di funzione
analisi
soluzioni
funzioni goniometriche
v 1.2
funzione 55
funzione 56
funzione 57
funzione 58
funzione 59
funzione 60
funzione 61
funzione 62
funzione 63
funzione 64
funzione 65
funzione 66
funzione 67
funzione 68
funzione 69
funzione 70
funzione 71
funzione 72
Š 2013 - www.matematika.it
256
Studio di funzione
analisi
soluzioni
funzione 73
funzione 74
funzione 75
funzione 76
funzione 77
funzione 78
funzione 79
funzione 80
funzione 81
funzioni esponenziali e logaritmiche
v 1.2
funzione 82
funzione 83
funzione 84
funzione 85
funzione 86
funzione 87
Š 2013 - www.matematika.it
257
analisi funzione 88
v 1.2
Studio di funzione
soluzioni
funzione 89
funzione 90
funzione 91
funzione 92
funzione 93
funzione 94
funzione 95
funzione 96
funzione 97
funzione 98
funzione 99
funzione 100
funzione 101
funzione 102
funzione 103
funzione 104
funzione 105
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258
analisi funzione 106
Studio di funzione
soluzioni
funzione 107
funzione 108
funzioni con i valori assoluti
v 1.2
funzione 109
funzione 110
funzione 111
funzione 112
funzione 113
funzione 114
funzione 115
funzione 116
funzione 117
funzione 118
funzione 119
funzione 120
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259
Studio di funzione
analisi
soluzioni
esercizi di riepilogo
v 1.2
funzione 121
funzione 122
funzione 123
funzione 124
funzione 125
funzione 126
funzione 127
funzione 128
funzione 129
funzione 130
funzione 131
funzione 132
funzione 133
funzione 134
funzione 135
funzione 136
funzione 137
funzione 138
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260
Studio di funzione
analisi
v 1.2
soluzioni
funzione 139
funzione 140
funzione 141
funzione 142
funzione 143
funzione 144
funzione 145
funzione 146
funzione 147
funzione 148
funzione 149
funzione 150
funzione 151
funzione 152
funzione 153
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261
analisi
Calcolo di Integrali Indefiniti integrali immediati
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
v 2.0
Š 2013 - www.matematika.it
262
analisi
Calcolo di Integrali Indefiniti integrali immediati generalizzati:
per la verifica calcola la derivata del risultato
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
v 2.0
Š 2013 - www.matematika.it
263
analisi
Calcolo di Integrali Indefiniti integrali per decomposizione in somma
69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 v 2.0
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264
analisi
Calcolo di Integrali Indefiniti integrali per parti
87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105
v 2.0
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265
analisi
Calcolo di Integrali Indefiniti integrali per sostituzione
106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
porre sent = x
120
porre
121
porre x
122
v 2.0
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266
analisi
Calcolo di Integrali Indefiniti integrali funzioni razionali fratte
123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 v 2.0
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267
analisi
Calcolo di Integrali Indefiniti esercizi di riepilogo
140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152
Porre
153
Porre
154 155 156
v 2.0
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268
analisi
Integrali indefiniti immediati generalizzati
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
v 1.0
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269
analisi
Integrali indefiniti immediati generalizzati
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analisi
Calcolo di Aree e Volumi
Calcolare l’area della parte di piano delimitata dall’asse della ascisse e dal grafico della funzione nell’intervallo indicato 1
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Calcolare l’area della parte di piano delimitata dal grafico delle funzioni nell’intervallo indicato 19
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Calcolo di Aree e Volumi
analisi
calcolare il volume del solido generato dalla rotazione, attorno all’asse delle ascisse, del grafico della funzione nell’intervallo indicato 33
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Calcolo di aree e volumi 47
Quesiti Esame di stato Liceo scientifico (ordinamento e P.N.I) :
Si consideri la regione delimitata da dall’asse e dalla retta e si calcoli il volume del solido che essa genera ruotando di un giro completo intorno all’asse . (Quesito 10 ordinamento-2010)
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La regione R delimitata dal grafico di dall’asse e dalla retta è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all’asse , sono tutte triangoli equilateri. Si calcoli il volume di S. (Quesito 1 ordinamento-2007) 49
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v 1.3
La regione del piano racchiusa tra il grafico della funzione e l’asse , con è la base di un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S con piani perpendicolari all’asse sono tutte rettangoli aventi l’altezza tripla della base. Si calcoli il volume di S e se ne dia un valore approssimato a meno di . (Quesito 2 P.N.I.-2007) Si calcoli il volume del solido generato in una rotazione completa attorno all’asse delle della regione finita di piano delimitata dalla curva e dalla retta di equazione . (Quesito 1 suppletiva P.N.I.-2007)
Si determini l’area della regione piana limitata dalla curva di equazione , dalla curva di equazione e dalle rette e . (Quesito 8 suppletiva ordinamento-2007)
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