La matematika in 100 schede versione 1.0

La Matematika in 100 schede www.matematika.it

Progetto Matematika y y=n n C

x

h

A

Q p2

p 1

R

B

p

2

r

a

r

P

h

R

C( α

,β)

Simboli e Insiemi Aritmetica Algebra Geometria piana Geometria solida Geometria analitica Logaritmi Goniometria Trigonometria

Analisi Analisi per l’università Elementi di logica Progressioni Calcolo combinatorio Probabilità Numeri complessi Grandezze fisiche Curiosità

Versione 2.2 ON LINE PUBBLICATA nel mese di febbraio 2012

< _ b x a < _

a

b

Presentazione Questa guida è una raccolta dei principali argomenti di matematica trattati nella scuola media inferiore e nella scuola media superiore e con alcuni moduli di analisi matematica per l’università.

La guida è organizzata in schede compatte di facile consultazione dove lo stile essenziale, basato sulla comunicazione grafica e tabulare, non deve però trarre in inganno: questo lavoro non è una semplice raccolta di formule matematiche. Esso è il frutto di un’operazione complessa di strutturazione e sintesi che ha richiesto molti anni di ricerca. Il materiale è tuttora oggetto

di

una

continua

sperimentazione

e

di

un

conseguente

aggiornamento ed integrazione dei contenuti.

Le ultime versioni delle singole schede, consultabili e stampabili ad uso esclusivamente

personale,

sono

disponibili

in

rete

all’indirizzo

www.matematika.it sotto la voce Formulario.

Per eventuali suggerimenti, segnalazioni o contatti, scrivere all’indirizzo di posta elettronica: progettomatematika@gmail.com

Le icone suggerimenti ed approfondimenti sull’argomento segnalazioni e soluzioni a possibili fonti di errore suggerimenti per l’utilizzo della calcolatrice scientifica

Versione 2.2 stampata nel mese di Febbraio dell’anno 2012 Tutti i diritti sono riservati © 2000-2012 La presente guida è stata registrata: nessuna parte dell’opuscolo, immagine o testo, può essere riprodotta o utilizzata per scopi commerciali senza il consenso scritto degli autori.

Indice •

SIMBOLI, INSIEMI, INTERVALLI alfabeto greco simbologia insiemi intervalli

→ 6 → 7 → 8 → 10

» » » »

classificazione dei numeri reali criteri di divisibilità, frazioni generatrici, frazioni con lo zero proporzioni sezione aurea, percentuale, pendenza

→ → → →

»

prodotti notevoli, scomposizioni

→ 15

» » » » » » » »

radicali proprietà delle potenze equazioni di secondo grado equazioni parametriche equazioni binomie, biquadratiche, trinomie disequazioni di secondo grado equazioni irrazionali ed in valore assoluto disequazioni irrazionali

→ → → → → → → →

»

disequazioni in valore assoluto

→ 25

» » » »

•

•

•

ARITMETICA

ALGEBRA

•

26 27 28 29 49

volumi e superfici delle principali figure solide

→ 63

»

assi e punti

→ 65

» »

la retta geometria analitica in sintesi

→ 67 → 71

definizione e proprietà

→ 76

LOGARITMI GONIOMETRIA » » » » » » »

•

→ → → → →

GEOMETRIA ANALITICA

»

•

area delle principali figure piane teorema di Pitagora, primo e secondo teorema di Euclide triangoli rettangoli particolari postulati e definizioni teoremi

GEOMETRIA SOLIDA »

•

16 18 19 20 21 22 23 24

GEOMETRIA PIANA » » » » »

•

11 12 13 14

angoli: misura e conversioni funzioni goniometriche: definizioni e proprietà le relazioni fondamentali, i grafici le cinque relazioni fondamentali: dimostrazioni valori numerici delle funzioni goniometriche in alcuni angoli angoli o archi associati formule goniometriche

→ → → → → → →

77 78 79 80 81 82 83

TRIGONOMETRIA » » »

teoremi sui triangoli rettangoli teoremi sui triangoli qualsiasi formule di trigonometria © 2012 - www.matematika.it

→ 84 → 85 → 86

Indice •

•

•

ANALISI » » » » » »

elementi di topologia della retta funzioni: definizioni e tipi grafici delle funzioni elementari grafici di funzioni: trasformazioni campo di esistenza o dominio di funzioni definizione di limite

→ → → → → →

88 90 92 93 94 95

» » » » » » » »

tutte le definizioni di limite algebra e calcolo di limiti limiti notevoli definizione di funzione continua, crescenza e decrescenza di una funzione definizione dei punti di massimo e di minimo relativi ed assoluti definizione di concavità, di punti di flesso, di punti angolosi e cuspidali definizione di rapporto incrementale e di derivata di una funzione derivate delle funzioni elementari, regole di derivazione

→ → → → → → → →

96 97 98 99 100 101 102 103

» » » »

studio del grafico di una funzione: procedimento generale ricerca dei punti di massimo e di minimo di una funzione integrali indefiniti immediati principali teoremi di analisi

→ → → →

104 106 107 108

ANALISI PER L’UNIVERSITA’ » »

sviluppo in serie di funzioni elementari, formula di Taylor e di Mac Laurin serie numeriche: definizione, serie notevoli, criteri di convergenza

→ 111 → 112

» » »

funzioni iperboliche: definizioni, grafici, dominio e derivate funzioni iperboliche: sviluppo in serie coordinate polari, equazioni parametriche di curve notevoli

→ 114 → 115 → 116

ELEMENTI DI LOGICA »

•

definizioni, probabilità composta e subordinata, teorema di Bayes

→ 120

numeri immaginari, numeri complessi in forma algebrica, operazioni rappresentazione grafica, forma trigonometrica ed esponenziale

→ 124 → 125

LE GRANDEZZE FISICHE le grandezze fisiche elaborazione di dati sperimentali

→ 126 → 128

» » »

altri criteri di divisibilità “ π ” le prime 2.000 cifre “ e ” il numero di Nepero le prime 2.000 cifre

→ 129 → 130 → 131

» » »

quante volte si può piegare un foglio di carta tavola pitagorica numeri primi minori di 5.000

→ 132 → 133 → 134

» »

•

fattoriale, coefficiente binomiale, permutazioni, disposizioni, combinazioni → 119

NUMERI COMPLESSI » »

•

→ 118

PROBABILITA’ »

•

progressioni aritmetiche e geometriche

CALCOLO COMBINATORIO »

•

→ 117

PROGRESSIONI »

•

definizioni, principi, operatori logici e tavole di verità, proprietà e leggi

CURIOSITA’

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Alfabeto Greco

simboli insiemi

v 1.6

minuscole

maiuscole

α β γ δ ε ζ η ϑ ι κ λ µ ν ξ ο π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω

Α Β Γ ∆ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω

come si legge

alfa beta gamma delta epsilon zeta eta teta iota cappa lambda mu ni csi omicron pi ro sigma tau ipsilon fi chi psi omega

© 2012 - www.matematika.it 6

Simbologia

simboli insiemi

simbolo

significato

simbolo

uguale

minore

circa uguale, approssimato

valore assoluto di

diverso

maggiore

maggiore e uguale

minore e uguale più infinito

o modulo di

meno infinito

insieme vuoto

insieme dei numeri naturali insieme dei numeri interi per ogni

esiste (almeno un)

insieme dei numeri razionali insieme dei numeri reali

insieme dei numeri complessi tale che tale che

esiste ed è unico

incluso strettamente

non esiste

incluso

appartiene

unione

non appartiene

intervallo chiuso, cioè contiene gli estremi intervallo aperto, cioè esclude gli estremi parallelo

perpendicolare

intersezione

intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra

intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra lunghezza del segmento AB vettore v

identico, coincidente

simmetria centrale di centro C

congruente

simmetria assiale di asse r

equivalente

traslazione di vettore v

rotazione di centro O e angolo α

simile

e

vero

falso

implica (se … allora)

o

doppia implicazione (se e solo se)

media aritmetica

prodotto:

somma:

probabilità di E2 condizionata a E1

scarto quadratico medio

v 2.0

significato

…

probabilità dell’evento E

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7

Insiemi

simboli insiemi

definizione

l’insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto

secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi, “per insieme si intende un raggruppamento, concepito come un tutto, di oggetti ben distinti della nostra intuizione o pensiero”

rappresentazione

per elencazione gli elementi dell’insieme sono indicati tra parentesi graffe

per caratteristica

grafica (o di Eulero-Venn)

si descrivono le caratteristiche degli elementi dell’insieme

si usano delle linee chiuse che contengono gli elementi dell’insieme

2 3

1

4

operazioni tra insiemi unione

l’unione tra due o più insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo o al secondo insieme presi una sola volta 3

1

2

4

2

4

3

1

3

2

5

5 4

intersezione l’intersezione tra due o più insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo e al secondo insieme, cioè dagli elementi comuni. Se gli insiemi non hanno elementi comuni si dicono disgiunti

3

1

4

5

2

differenza

la differenza tra due insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo insieme esclusi quelli del secondo insieme 3

1

4

2

5

insieme complementare l’insieme complementare di un insieme rispetto ad un altro che lo contiene è l’insieme differenza dei due

il complementare di C rispetto ad A si indica con cioè: Analogamente:

v 2.0

ed è uguale a B

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6

5

1 3

7

2 4

8

8

Insiemi

simboli insiemi

prodotto cartesiano tra due insiemi il prodotto cartesiano tra due insiemi è l’insieme di tutte le possibili coppie ordinate in cui il primo elemento appartiene al primo insieme e il secondo elemento al secondo insieme

il prodotto cartesiano NON è commutativo

insieme delle parti di un insieme

l’insieme delle parti di un insieme è l’insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi dell’insieme dato 1 2 se l’insieme è formato da elementi, l’insieme delle parti Nell’esempio precedente è formato da 3 elementi e quindi

13

3

1 2

2

3 3

1

2

A

è formato da elementi. è formato da elementi

partizione di un insieme

la partizione di un insieme è l’insieme formato da suoi sottoinsiemi (o parti) che verificano le seguenti proprietà:

• nessuna delle parti è vuota • le parti sono a due a due disgiunte, cioè non hanno elementi in comune • l’unione delle parti è uguale all’insieme iniziale i sottoinsiemi

oppure

e

rappresentano due diverse partizioni di A consideriamo l’insieme delle classi della scuola tale insieme costituisce una partizione dell’insieme S perché soddisfa le tre proprietà della definizione

1A

2A

3A

1B

2B

3B

relazioni di De Morgan

I relazione

II relazione

il complemento dell’unione di due insiemi è uguale all’intersezione dei complementi degli insiemi

il complemento dell’intersezione di due insiemi è uguale all’unione dei complementi degli insiemi

I complementari sono considerati rispetto ad un terzo insieme (detto Universo) che contiene A e B

v 2.0

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9

Classificazione dei numeri reali

aritmetica

numeri naturali N

numeri interi Z

numeri razionali Q

numeri irrazionali I

un numero si dice razionale se può essere espresso come rapporto di due numeri interi.

I numeri razionali sono formati: da numeri interi, da numeri con la virgola con un numero finito di cifre decimali oppure con un numero infinito di cifre decimali periodiche

un numero si dice irrazionale se NON può essere espresso come rapporto di due numeri interi.

I numeri irrazionali sono formati da una parte intera e da una parte decimale con infinite cifre non periodiche

numeri reali R i numeri reali sono formati dall’unione dell’insieme dei numeri razionali Q e l’insieme dei numeri irrazionali I

R

Q

Z

-3 -12

15,35671.…

N

1 5

0

I

=1,7099…

8

numeri algebrici e numeri trascendenti esiste anche un’altra classificazione che divide i numeri reali in: numeri algebrici e numeri trascendenti

• •

un numero si dice algebrico se è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti razionali un numero si dice trascendente se NON è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti razionali esempi

• •

5

è un numero algebrico perché è soluzione dell’equazione è un numero algebrico perché è soluzione dell’equazione

•

è un numero trascendente perché non è soluzione di nessuna equazione polinomiale a coefficienti razionali.

Nota che è soluzione dell’equazione polinomiale che non è a coefficienti razionali

i numeri razionali Q sono tutti algebrici

i numeri irrazionali I possono essere sia algebrici che trascendenti

oltre i numeri reali

(vedi scheda sui numeri complessi)

numeri immaginari = v 2.0

numeri complessi © 2012 - www.matematika.it

10

simboli insiemi

Intervalli: classificazione e rappresentazione definizioni

Si definisce intervallo l’insieme di tutti i valori compresi tra due estremi e . Gli estremi e possono essere finiti o infiniti. è detto estremo sinistro o inferiore, è detto estremo destro o superiore dell’intervallo • •

Un intervallo si dice:

limitato se gli estremi sono finiti illimitato se almeno uno degli estremi è infinito

• •

intervalli limitati

intervallo

intervallo chiuso intervallo aperto

intervallo chiuso inferiormente e aperto superiormente intervallo aperto inferiormente e chiuso superiormente intervallo

intervallo chiuso inferiormente e illimitato superiormente intervallo aperto inferiormente e illimitato superiormente intervallo illimitato inferiormente e chiuso superiormente

intervallo illimitato inferiormente e aperto superiormente intervallo illimitato

rappresentazione grafica

a

b

a

b

a

b

a

b

chiuso se gli estremi sono compresi aperto se gli estremi non sono compresi

rappresentazione insiemistica

rappresentazione algebrica

intervalli illimitati

rappresentazione grafica

rappresentazione insiemistica

rappresentazione algebrica

a a b b

osservazione su alcuni testi l’intervallo aperto è indicato con le parentesi tonde per cui si trova equivalentemente:

v 1.8

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11

aritmetica

Criteri di divisibilità - Frazioni generatrici - Frazioni con lo zero Criteri di divisibilità divisibilità per 2

un numero è divisibile per 2 quando l’ultima cifra è pari cioè quando termina per: 0, 2, 4, 6, 8

• •

316 è divisibile per 2 perché l’ultima cifra (6) è pari 315 non è divisibile per 2 perché l’ultima cifra (5) non è pari

divisibilità per 3 •

un numero è divisibile per 3 quando la somma delle sue • cifre è un multiplo di 3

342 è divisibile per 3 perché che è multiplo di 3 89757 è divisibile per 3 perché 8+9+7+5+7=36 ed ancora 3+6=9 che è un multiplo di 3

divisibilità per 5

un numero è divisibile per 5 quando l’ultima cifra è 0 o 5

• •

345 è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 5 346 non è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 6

divisibilità per 11

un numero è divisibile per 11 quando la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quelle di posto pari è 0 o un multiplo di 11

• •

3465 è divisibile per 11 perché e e 27981 non è divisibile per 11 perché e e che è diverso da 0 e non è un multiplo di 11

Frazioni generatrici

come trasformare un numero razionale in frazione frazione generatrice di un numero decimale • •

al numeratore si scrive il numero dato senza virgola al denominatore si scrive il numero 1 seguito da tanti 0 quante sono le cifre decimali del numero dato

frazione generatrice di un numero periodico semplice

• •

al numeratore si scrive il numero dato senza virgola e si sottrae la parte non periodica al denominatore si scrivono tanti 9 quante sono le cifre del periodo

frazione generatrice di un numero periodico misto

• •

al numeratore si scrive il numero dato senza virgola e si sottrae la parte non periodica al denominatore si scrivono tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguite da tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo

dalla frazione al numero

•

per trasformare una frazione in numero basta dividere il numeratore per il denominatore

frazioni con lo zero

è uguale a zero perché il risultato moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore v 2.0

è impossibile perché non esiste nessun numero che moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore © 2012 - www.matematika.it

è indeterminata perché qualunque numero moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore 12

Proporzioni

aritmetica

definizione una proporzione è una uguaglianza tra rapporti

medi estremi

proprietà delle proporzioni

il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi:

proprietà fondamentale

scambiando fra loro i medi o gli estremi si ottiene ancora una proporzione

proprietà del permutare

scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione

proprietà dell’invertire

sommando ad ogni antecedente il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione

proprietà del comporre

proprietà dello scomporre

trovare un medio in una proporzione •

sottraendo ad ogni antecedente il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione

si moltiplicano gli estremi e si divide per l’altro medio

trovare un estremo in una proporzione •

si moltiplicano i medi e si divide per l’altro estremo

proporzione continua

una proporzione si dice continua se i medi sono uguali

x si chiama “medio proporzionale” tra a e b

esempi proprietà dello scomporre

trovare un medio in una proporzione proporzione continua

la proporzione

• •

si può risolvere trasformandola in equazione:

si applica la proprietà fondamentale: si risolve l’equazione ottenuta:

questo metodo è utile quando l’incognita è presente più volte nella proporzione: v 2.1

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13

Sezione aurea - Percentuale - Pendenza

aritmetica

Sezione aurea di un segmento dato un segmento di lunghezza ( ) la sua sezione aurea ( ) è la parte di segmento medio proporzionale tra il segmento stesso e la parte rimanente cioè:

l l-x

x

per trovare la lunghezza della sezione aurea di un segmento basta risolvere la proporzione trasformandola in equazione: • • •

si applica la proprietà fondamentale: si sviluppano i calcoli:

si risolve l’equazione di II grado in :

il numero

è chiamato numero aureo, di solito viene indicato con la lettera esempio

Per calcolare la sezione aurea di un segmento di lunghezza

e vale circa 0,6180339887…

basta applicare la formula dimostrata precedentemente

•

Percentuale e Calcolo percentuale La percentuale

rispetto ad un valore iniziale

Ad esempio, per calcolare quanti alunni •

, è definita dalla proporzione:

su una classe di 25

alunni

rappresentano il 20% si applica la proporzione

esempi •

Calcolare il costo di un capo di abbigliamento dal prezzo di 160 euro scontato del 25% (quindi n = − 25%)

•

Quanto si è ridotto percentualmente un volume se passa da 300 cl a 270 cl?

(il segno meno indica che si tratta di una riduzione)

Pendenza

Δx

Δh

10 % indica che in 100 metri orizzontali (∆x) c’e un dislivello di 10 metri in verticale (∆h)

esempio •

v 2.2

Calcolare la pendenza in percentuale di una strada con dislivello verticale di 25 m su una distanza orizzontale di 120 m

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14

Prodotti notevoli e Scomposizioni

algebra

prodotti notevoli somma per differenza

quadrato di un binomio cubo di un binomio

quarta potenza di un binomio quinta potenza di un binomio quadrato di un trinomio cubo di un trinomio

particolari prodotti notevoli

scomposizioni raccoglimento totale a fattore comune

raccoglimento parziale a fattore comune differenza di due quadrati somma di cubi

differenza di cubi

somma di due potenze di esponente 5

differenza di due potenze di esponente 5 somma di due potenze di esponente 7

differenza di due potenze di esponente 7 quadrato di binomio =s e • • • •

trovare due numeri m ed n tali che:

e

si sostituisce si effettua un raccoglimento parziale

trinomio notevole con esponente pari trinomio con somma e prodotto caso

trinomio con somma e prodotto caso cubo di binomio

riduzione a differenza di quadrati quadrato di un trinomio puoi scomporre v 1.7

cubo di un trinomio

come

non si può scomporre cioè è un binomio irriducibile

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15

Radicali

algebra

definizione si definisce radice n-sima di un numero reale a, con

, quel numero reale b tale che:

cioè

nomenclatura

m è l’esponente del

si chiama radicale

n = è l’indice della radice non ha significato

radice con indice pari

non esiste in

radicando

è il radicando

proprietà

osservazioni

radice con indice dispari

la radice di zero è sempre zero

la radice di indice pari esiste solo per numeri maggiori o uguali a zero la radice di indice pari di un numero positivo ha due risultati opposti. Se si considerano entrambi, la radice si dice algebrica in alcuni contesti, dei due risultati della radice di indice pari si considera solo quello con il segno positivo. In questo caso la radice si dice aritmetica

operazioni con i radicali semplificazione

riduzione allo stesso indice prodotto di radicali

e

rapporto di radicali trasporto di fattore dentro il segno di radice trasporto di fattore fuori il segno di radice potenza di radicali radice di radice somma algebrica di radicali simili osservazioni

la radice di indice pari ammette radicando maggiore o uguale a zero, quella di indice dispari ammette radicando con qualunque segno

v 2.7

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16

Radicali

algebra

razionalizzazione del denominatore di una frazione caso:

al denominatore una sola radice quadrata cosa fare

osserva che:

esempi

e che:

caso:

al denominatore una sola radice non quadrata cosa fare

osserva che:

esempi

e che:

caso:

al denominatore un polinomio con una o piĂš radici quadrate cosa fare

osserva che il prodotto notevole

caso:

esempi

si può applicare anche ai seguenti casi 2

al denominatore un binomio con una o due radici cubiche

cosa fare

esempio

ricorda i prodotti notevoli:

radicale doppio la formula si applica

formula

solo se è un quadrato perfetto

esempio

v 2.7

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17

algebra

Potenze definizione

si definisce potenza n-sima di base a e di esponente n , il prodotto di tanti fattori uguali alla base quante volte sono le unità dell’esponente: n volte

proprietà

potenze con la stessa base prodotto di potenze con la stessa base

rapporto di potenze con la stessa base potenza di potenza

potenze con lo stesso esponente prodotto di potenze con lo stesso esponente

rapporto di potenze con lo stesso esponente potenza ad esponente negativo frazione ad esponente negativo potenza ad esponente frazionario frazione ad esponente frazionario potenza ad esponente frazionario negativo altri esempi

fai attenzione alle parentesi e fai anche attenzione all’esponente che può essere pari o dispari

frazioni con lo zero

è uguale a zero perché il risultato moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore v 2.3

è impossibile perché non esiste nessun numero che moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore © 2012 - www.matematika.it

è indeterminata perché qualunque numero moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore 18

Equazioni di secondo grado

algebra

formule risolutive equazione

nome

procedimento

equazione completa

si applica la formula

equazione completa con b pari

si applica la formula ridotta

equazione pura b = 0

si isola e si estrae la radice quadrata algebrica

soluzioni o radici

si raccoglie la x e si applica la equazione spuria c = 0 legge di annullamento del prodotto equazione monomia

ha sempre due soluzioni nulle

le soluzioni di una equazione sono dette anche radici dell’equazione

significato del delta

un’equazione di 20 grado ammette sempre due soluzioni che sono distinte, coincidenti o non reali secondo il segno del soluzioni reali e distinte

soluzioni reali e coincidenti

soluzioni non reali (o complesse)

proprietà somma delle soluzioni dell’equazione in funzione dei coefficienti (solo se )

prodotto delle soluzioni dell’equazione in funzione dei coefficienti (solo se )

testo dell’equazione di 20 grado conoscendo la somma e il prodotto delle soluzioni scomposizione del trinomio di secondo grado dove le soluzioni dell’equazioni di secondo grado

e

sono

regola di Cartesio: segno delle soluzioni data l’equazione di 20 grado con •

permanenza variazione v 3.2

•

•

:

si osservano i segni dei coefficienti a, b, c

ad ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa ad ogni variazione corrisponde una soluzione positiva

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19

algebra

Equazioni parametriche:

tabella delle condizioni

condizioni sotto forma di enunciato

cosa fare

sotto forma algebrica

soluzione

una soluzione è nulla

nell’equazione data porre

la somma delle soluzioni è uguale al numero n

porre la somma uguale a n

una soluzione è uguale ad un numero n il prodotto delle soluzioni è uguale al numero n le soluzioni sono opposte

le soluzioni sono reciproche le soluzioni sono antireciproche

le soluzioni sono concordi le soluzioni sono discordi

le soluzioni sono coincidenti le soluzioni sono reali

le soluzioni sono reali e distinte

le soluzioni sono non reali l’equazione è pura

l’equazione è spuria

la somma dei reciproci delle soluzioni è uguale a n la somma dei quadrati delle soluzioni è uguale a n la somma dei quadrati dei reciproci delle soluzioni è uguale a n

nell’equazione data porre

porre il prodotto uguale a n porre la somma uguale a 0

porre il prodotto uguale a 1

porre il prodotto uguale a -1 porre il prodotto > 0 porre il prodotto < 0 porre il porre il porre il porre il

nell’equazione data porre nell’equazione data porre porre porre porre

uguale a n

uguale a n

la somma dei cubi delle soluzioni è uguale a n

porre

una soluzione è multipla dell’altra secondo il fattore n

risolvere il sistema

la somma dei cubi dei reciproci delle soluzioni è uguale a n

• •

porre

uguale a n

ricorda che

è la relazione tra la somma delle soluzioni e i coefficienti dell’equazione di II grado

è la relazione tra il prodotto delle soluzioni e i coefficienti dell’equazione di II grado

osserva che le soluzioni di una equazione parametrica si possono accettare solo se appartengono al campo di esistenza della equazione. Esso si calcola imponendo il Δ ≥ 0 cioè v 2.3

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20

algebra

Equazioni binomie – biquadratiche - trinomie equazioni binomie ha due soluzioni (opposte) solo se il radicando è maggiore o uguale a 0

n = pari

ha una soluzione ed il segno dipende dal segno del radicando

n = dispari

cosa è: un’equazione si dice binomia se è formata da un termine di grado n ed un termine noto come si risolve: si ricava xn e si estrae la radice algebrica n-sima distinguendo i casi con n pari e quelli con n dispari esempi caso n pari

• •

nessuna soluzione

esempi caso n dispari

• •

equazioni biquadratiche

cosa è: un’equazione si dice biquadratica se è formata da un termine di 4° grado uno di 2° grado ed un termine noto come si risolve: si sostituisce la con la variabile ottenendo una equazione di 20 grado in che risolta da’ origine a due equazioni binomie. Le soluzioni delle equazioni binomie sono le soluzioni della equazione biquadratica data esempio di 4 soluzioni: caso

e

positivi

• esempio di 2 soluzioni: caso

negativo e

positivo (o viceversa) nessuna soluzione

• esempio di nessuna soluzione: caso

e

negativi nessuna soluzione

•

equazioni trinomie

nessuna soluzione

cosa è: un’equazione si dice trinomia se è formata da un termine di grado 2n uno di grado n ed un termine noto come si risolve: si sostituisce la con la nuova variabile ottenendo una equazione di 20 grado in che risolta da’

origine a due equazioni binomie. Le soluzioni delle equazioni binomie sono le soluzioni della equazione trinomia data esempio

• nessuna soluzione

• v 2.2

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21

Disequazioni di Secondo Grado

algebra

l’equazione associata ha due soluzioni reali e distinte:

l’equazione associata ha due soluzioni reali e coincidenti:

x1

x2

valori esterni

l’equazione associata ha due soluzioni reali e coincidenti:

l’equazione associata non ammette soluzioni reali

x2

valori interni

x

x nessuna soluzione

tutti i numeri tranne

x

l’equazione associata non ammette soluzioni reali

l’equazione associata ha due soluzioni reali e distinte:

x1

x1

nessuna soluzione

x2

x1

valori esterni con estremi compresi

x

x2

valori interni con estremi compresi

x

x solo

x

disequazioni di secondo grado immediate

nessuna soluzione

x

per risolvere una disequazione di II grado completa, pura o spuria bisogna: • • •

v 2.5

trasformarla in equazione (equazione associata) risolvere l’equazione associata consultare le tabelle tenendo conto del e del segno della disequazione © 2012 - www.matematika.it

22

Equazioni irrazionali e in valore assoluto

algebra

equazioni irrazionali equazioni irrazionali con una radice quadrata con un polinomio a secondo membro

con un numero positivo a secondo membro

con lo zero a secondo membro

con un numero negativo a secondo membro nessuna soluzione

equazioni irrazionali con due radici quadrate

si applica lo schema risolutivo per equazioni irrazionali con una sola radice quadrata equazioni irrazionali con radici cubiche

per risolvere una equazione irrazionale con radici cubiche basta isolare la (o le) radici ed elevare entrambi i membri al cubo

equazioni in valore assoluto definizione di valore assoluto il valore assoluto di • •

–

se

se

è uguale a:

è maggiore o uguale a zero

è minore di zero

equazioni con un solo valore assoluto con un polinomio a secondo membro

con un numero positivo a secondo membro

con un numero negativo a secondo membro

con lo zero a secondo membro

nessuna soluzione

equazioni con due o più valori assoluti • si studia il segno di A e B

• II

I

A>0

si risolvono le disequazioni A > 0 e B > 0 e dette ad esempio x > a e x > b le loro soluzioni, si rappresentano su grafico

dall’osservazione del grafico l’equazione si scinde nei seguenti sistemi: III

B>0 b

a

I v 2.3

II

III © 2012 - www.matematika.it

23

Disequazioni irrazionali

algebra

disequazioni con una radice quadrata ed un polinomio a secondo membro

disequazioni con una radice quadrata: casi particolari con un numero positivo

con un numero negativo

a secondo membro

con lo zero

a secondo membro

a secondo membro

nessuna soluzione

nessuna soluzione

nessuna soluzione

disequazioni con due radici quadrate

(o in generale con due radici ad indice pari)

per risolvere una disequazione con due radici quadrate basta isolare le radici ai due membri e risolvere il sistema formato dai radicandi posti maggiori o uguali a zero e dalla disequazione ottenuta elevando al quadrato entrambi i membri gli schemi precedenti si possono applicare solo se, una volta isolate le radici ai due membri, esse risultano entrambe positive

disequazioni con radici cubiche

(o in generale con due radici ad indice dispari)

con una sola radice cubica

con due radici cubiche

per risolvere una disequazione con due radici cubiche basta isolare la (o le) radici ed elevare entrambi i membri al cubo

disequazioni con radici ad indice diverso

nel caso di disequazioni con radici ad indice diverso, si calcola il m c m degli indici, si portano le radici allo stesso indice (il m c m degli indici), si sviluppano i calcoli e si risolve la disequazione ottenuta applicando uno degli schemi precedenti

v 2.4

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24

Disequazioni in valore assoluto

algebra

definizione di valore assoluto il valore assoluto di è uguale a: • se è maggiore o uguale a zero •

–

se

è minore di zero

disequazioni con un solo valore assoluto ed un polinomio a secondo membro

nei quattro casi precedenti (ed in generale) l’ultima disequazione del secondo sistema è riportata con il segno cambiato rispetto alla definizione di valore assoluto. Ciò è una consuetudine diffusa ed è algebricamente corretto perché del tutto equivalente alla disequazione ottenuta dalla definizione di valore assoluto

disequazioni con un solo valore assoluto: casi particolari

con un numero positivo n

con un numero negativo - n

a secondo membro

con lo zero

a secondo membro

a secondo membro

nessuna soluzione

nessuna soluzione

nessuna soluzione

disequazioni con due o più valori assoluti • si studia il segno di A e B II

I

A>0

•

si risolvono le disequazioni A > 0 e B > 0 e dette ad esempio x > a e x > b le loro soluzioni, si rappresentano su grafico dall’osservazione del grafico la disequazione si scinde nei seguenti sistemi: III

B>0 a

I v 3.0

b

II © 2012 - www.matematika.it

III 25

Aree

geometria piana

delle principali figure piane

triangolo

quadrato

rettangolo

b

b

parallelogramma

rombo

cerchio

O

circonferenza

sia:

il semiperimetro, • •

B

settore circolare

O

triangolo equilatero

b

d

D

b

trapezio

quadrato

il lato,

α

segmento circolare ad una base

A

O

B

α

A B

poligoni regolari pentagono

esagono

ottagono

decagono

l’apotema (cioè il segmento che dal centro cade perpendicolarmente ad un lato)

l’apotema di un poligono regolare coincide con il raggio della circonferenza inscritta al poligono: l’apotema si può calcolare moltiplicando la lunghezza di un lato per un numero fisso tabella dei numeri fissi f di alcuni poligoni regolari

poligono

triangolo equilatero quadrato

pentagono v 2.1

numero fisso

poligono

0,289

esagono

0,688

ottagono

0,500

ettagono

numero fisso

poligono

0,866

ennagono

1,207

dodecagono

1,038

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decagono

numero fisso 1,374 1,539 1,866 26

geometria

Teorema di Pitagora – Primo e secondo teorema di Euclide nomenclatura considerato un triangolo rettangolo ABC

C

c2

c1 h

p1

A

p2

H

i

B

AB = i = ipotenusa AC = c1 = primo cateto BC = c2 = secondo cateto CH = h = altezza relativa all’ipotenusa AH = p1 = proiezione di c1 sull’ipotenusa HB = p2 = proiezione di c2 sull’ipotenusa

teorema di Pitagora

enunciato secondo l’equivalenza

Q1

in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti:

Q2

C c2

c1

A

B

i

Q

enunciato in formula

in un triangolo rettangolo l’ipotenusa al quadrato è uguale alla somma dei quadrati dei cateti :

primo teorema di Euclide enunciato secondo l’equivalenza

C

Q c1 A

c2

p1

R

B i

in un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensione la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa:

enunciato secondo la similitudine

in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa:

secondo teorema di Euclide enunciato secondo l’equivalenza

C h

A

v 1.7

p2

p1

R

Q

p2

B

in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni del cateti sull’ipotenusa:

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enunciato secondo la similitudine

in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa:

27

Triangoli rettangoli particolari

geometria piana

triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°

i = ipotenusa cm = cateto minore cM = cateto maggiore

C

cM

cm 60°

30°

A

B

i

triangolo rettangolo con angoli di 45° (isoscele) C

c

c

45°

45°

A

i = ipotenusa c = cateto

B

i

triangolo rettangolo con angoli di 18° e 72°

i = ipotenusa cm = cateto minore cM = cateto maggiore

C

cM

cm

18°

72° A

B

i

applicazioni TRIANGOLO EQUILATERO: applicazione del triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°

l

TRIANGOLO ISOSCELE: applicazione del triangolo rettangolo con angoli di 18° e 72°

l

30° 30°

l

h 60°

18°

h 72°

60°

l

72°

l l = lato

l = lato

h = altezza

h = altezza

raggio della circonferenza inscritta e circoscritta ad un triangolo qualsiasi

C

C b

r A

A

R

a

c

B v 2.0

B

= raggio circonferenza inscritta = raggio circonferenza circoscritta = area del cerchio = semiperimetro del triangolo

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28

geometria piana

Postulati e definizioni di geometria piana I cinque postulati di Euclide I postulato

Adimandiamo che ce sia concesso, che da qualunque ponto in qualunque ponto si possi condurre una linea retta.

Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta II postulato

Anchora adimandiamo che ci sia concesso, che si possi slongare una retta linea terminata direttamente in continuo quanto ne pare.

La linea retta si può prolungare indefinitamente III postulato

Anchora adimandiamo che ce sia concesso, che sopra a qualunque centro ne piace puotiamo designare un cerchio di che grandezza ci pare.

Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio IV postulato

Similmente adimandiamo, che ci sia concesso tutti li angoli retti esser fra loro equali.

Tutti gli angoli retti sono uguali

V postulato

Adimandiamo etiam che ci sia concesso, che se una linea retta cascarà sopra due linee rette, e che duoi angoli da una parte siano minori di duoi angoli retti, che quelle due linee senza dubbio, protratte in quella medesima parte sia necessario congiongersi.

Due rette tagliate da una trasversale si incontreranno in un punto posto dalla parte in cui la trasversale forma due angoli interni la cui somma è minore di un angolo piatto V postulato: enunciato equivalente

Per un punto esterno ad una retta passa una ed una sola parallela alla retta data

v 2.0

Gli enunciati dei 5 postulati di Euclide sono tratti da "Gli Elementi di Euclide" nella traduzione di Niccolò Tartaglia, edizione del 1565 © 2012 - www.matematika.it

29

Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

Definizioni segmento

Il segmento è quella parte di retta compresa da due suoi punti

I due punti si chiamano estremi del segmento

segmenti consecutivi consecutivi

Due segmenti sono consecutivi se hanno un estremo in comune

Due segmenti sono adiacenti se sono consecutivi e giacciono sulla stessa retta

adiacenti

punto medio di un segmento

M

Il punto medio di un segmento è quel punto che divide il segmento in due parti congruenti Il punto medio di un segmento è unico

semiretta

La semiretta è ciascuna delle due parti in cui una retta è divisa da un suo punto Il punto si chiama origine della semiretta

semipiano

Il semipiano è ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da una sua retta La retta si chiama origine del semipiano

angolo

L’angolo è ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi la stessa origine Le due semirette si chiamano lati dell’angolo L’origine comune delle due semirette si chiama vertice dell’angolo v 2.0

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30

Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

angolo concavo e angolo convesso concavo

Un angolo si dice concavo se contiene i prolungamenti dei lati

Un angolo si dice convesso se non contiene i prolungamenti dei lati

convesso

angoli consecutivi e adiacenti

Due angoli sono consecutivi se hanno il vertice ed un lato in comune

consecutivi

Due angoli sono adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni sono semirette opposte

adiacenti

angoli opposti al vertice

Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell’uno sono i prolungamenti dei lati dell’altro bisettrice di un angolo

b

La bisettrice di un angolo è la semiretta che divide l’angolo in due parti congruenti angolo piatto e angolo retto

Un angolo si dice piatto se i suoi lati sono semirette opposte

180° 90°

Un angolo si dice retto se è metà di un angolo piatto Un angolo piatto misura 180° Un angolo retto misura 90°

angolo giro e angolo nullo 360° 0°

v 2.0

Un angolo giro è la parte concava dell’angolo che ha per lati due semirette coincidenti

Un angolo nullo è la parte convessa dell’angolo che ha per lati due semirette coincidenti Un angolo giro misura 360° Un angolo nullo misura 0° ed è privo di punti interni © 2012 - www.matematika.it

31

Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

angoli acuti e ottusi acuto

ottuso

Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto

Un angolo si dice ottuso se è maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto angoli complementari, supplementari, esplementari

complementari

supplementari

Due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto

Due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto Due angoli sono esplementari se la loro somma è un angolo giro

esplementari

rette perpendicolari

Due rette sono perpendicolari se incontrandosi formano quattro angoli retti rette parallele

Due rette che appartengono allo stesso piano sono parallele se • sono coincidenti oppure se • non hanno alcun punto in comune asse di un segmento

L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio

M

poligonale o spezzata

lato vertice

v 2.0

Una poligonale (o spezzata) è una figura formata da più segmenti ordinatamente consecutivi, appartenenti allo stesso piano I segmenti si chiamano lati della poligonale Gli estremi dei segmenti si chiamano vertici della poligonale © 2012 - www.matematika.it

32

Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

poligonale aperta/chiusa

chiusa

aperta

Una poligonale è aperta se si distingue un primo ed un ultimo punto

Una poligonale è chiusa se l’ultimo punto coincide con il primo punto poligonale intrecciata

Una poligonale è intrecciata quando almeno due lati non consecutivi si intersecano poligono

Un poligono è la parte di piano racchiusa da un poligonale chiusa non intrecciata poligoni concavi e convessi

Un poligono è convesso se un qualunque segmento che unisce due suoi punti è contenuto interamente nella figura convesso

concavo

Un poligono è concavo se esiste almeno un segmento che unisce due suoi punti che non è contenuto interamente nella figura angolo interno e angolo esterno di un poligono convesso

interno

esterno

Un angolo interno di un poligono convesso è l’angolo convesso formato da due lati consecutivi del poligono

Un angolo esterno di un poligono convesso è l’angolo adiacente ad un angolo interno del poligono diagonale e corda di un poligono

Una diagonale di un poligono è un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi del poligono Una corda di un poligono è un qualsiasi segmento che unisce due punti del poligono appartenenti a lati diversi

v 2.0

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33

Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

perimetro di un poligono

Il perimetro di un poligono è la somma di tutti i suoi lati

Due poligoni sono detti isoperimetrici se hanno i perimetri congruenti triangolo b

c

Un triangolo è un poligono formato da tre lati

a

triangolo isoscele

Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti

I lati congruenti si chiamano lati del triangolo Il lato disuguale si chiama base del triangolo Gli angoli adiacenti alla base si chiamano angoli alla base L’angolo compreso tra i due lati congruenti si chiama angolo al vertice triangolo scaleno ed equilatero

Un triangolo si dice scaleno se ha i tre lati disuguali

Un triangolo si dice equilatero se ha i tre lati congruenti classificazione dei triangoli rispetto agli angoli

rettangolo acutangolo

ottusangolo

Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto Un triangolo si dice acutangolo se ha i tre angoli acuti Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso

Nel triangolo rettangolo i lati che formano l’angolo retto si chiamano cateti, il lato maggiore, opposto all’angolo retto, si chiama ipotenusa altezza di un triangolo

h

v 2.0

L’altezza relativa ad un lato di un triangolo è il segmento perpendicolare al lato, condotto dal vertice opposto al lato stesso Il triangolo ha tre altezze Se il triangolo è acutangolo le altezze sono tutte interne Se il triangolo è rettangolo due altezze coincidono con i cateti Se il triangolo è ottusangolo due altezze sono esterne al triangolo © 2012 - www.matematika.it

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geometria piana

Postulati e definizioni di geometria piana bisettrice di un angolo di un triangolo

La bisettrice relativa ad un angolo di un triangolo è il segmento di bisettrice dell’angolo considerato Il triangolo ha tre bisettrici mediana di un lato di un triangolo

La mediana relativa al lato di un triangolo è il segmento di estremi il punto medio del lato ed il vertice opposto al lato Il triangolo ha tre mediane

asse di un lato di un triangolo

L’asse di un lato di un triangolo è la retta perpendicolare al lato passante per il punto medio del lato ortocentro

L’ortocentro è il punto di incontro delle altezze di un triangolo Nel triangolo rettangolo l’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo retto

incentro

L’incentro è il punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni di un triangolo L’incentro è il centro della circonferenza inscritta al triangolo

baricentro

Il baricentro è il punto di incontro delle mediane di un triangolo

v 2.0

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35

Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

circocentro

Il circocentro è il punto di incontro degli assi dei lati di un triangolo Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo Il circocentro può essere anche esterno al triangolo Nel triangolo rettangolo il circocentro coincide col punto medio dell’ipotenusa

excentro

L’excentro è il punto di incontro delle bisettrici di due angoli esterni del triangolo Ogni triangolo ha tre excentri

proiezione di un punto su una retta P

La proiezione di un punto su una retta è il punto d’intersezione tra la retta perpendicolare condotta dal punto alla retta e la retta stessa

P’

distanza di un punto da una retta P

d

La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta proiezione di un segmento su una retta

B A

B’

A’

distanza tra rette parallele

d

v 2.0

La proiezione di un segmento su una retta è il segmento sulla retta che ha per estremi le proiezioni degli estremi del segmento dato

La distanza tra due rette parallele è la distanza di un qualsiasi punto di una di esse dall’altra retta

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Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

angoli formati da due rette tagliate da una trasversale 1

2

4

3 6

5 7 8

Due rette tagliate da una trasversale formano le seguenti coppie di angoli: alterni interni (4, 6) (3, 5) alterni esterni (1, 7) (2, 8) corrispondenti (1, 5) (2, 6) (3, 7) (4, 8) coniugati interni (4, 5) (3, 6) coniugati esterni (1, 8) (2, 7) trapezio

Il trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli I due lati paralleli si chiamano basi del trapezio parallelogrammo

Il parallelogrammo è un quadrilatero con i lati a due a due paralleli rettangolo

Il rettangolo è un quadrilatero con quattro angoli retti rombo

Il rombo è un quadrilatero con quattro lati congruenti quadrato

Il quadrato è un quadrilatero con gli angoli e i lati congruenti Il quadrato è un poligono regolare

v 2.0

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37

Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

luogo geometrico I luoghi geometrici più conosciuti sono: • l’asse di un segmento • la bisettrice di un angolo • la circonferenza

C

r

P

Un luogo geometrico è l’insieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una stessa proprietà La proprietà è detta proprietà caratteristica del luogo geometrico

circonferenza

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro La distanza di un punto della circonferenza dal centro si chiama raggio

cerchio

Il cerchio è la figura formata dai punti della circonferenza e dai punti interni ad essa corda di una circonferenza

Una corda di una circonferenza è il segmento che unisce due punti qualsiasi della circonferenza La corda che passa per il centro si chiama diametro

arco di circonferenza

Un arco di circonferenza è ciascuna delle due parti in cui una circonferenza è divisa da due suoi punti angolo al centro

Un angolo al centro di una circonferenza o di un cerchio è un qualsiasi angolo con il vertice nel centro della circonferenza

v 2.0

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38

geometria piana

Postulati e definizioni di geometria piana settore circolare

Il settore circolare è ciascuna delle due parti di cerchio delimitate da un angolo al centro segmento circolare ad una base

Il segmento circolare ad una base è ciascuna delle due parti in cui un cerchio rimane diviso da una sua corda L’ altezza del segmento circolare ad una base è il segmento sull’asse della corda compreso tra la circonferenza e il punto medio della corda

segmento circolare a due basi

Il segmento circolare a due basi è la parte di cerchio delimitata da due corde parallele L’altezza del segmento circolare a due basi è la distanza tra le due corde

corona circolare

Una corona circolare è la parte di cerchio compresa tra due circonferenze concentriche retta secante ad una circonferenza

Una retta si dice secante ad una circonferenza se ha due punti in comune con la circonferenza retta tangente ad una circonferenza

Una retta si dice tangente ad una circonferenza se ha un solo punto in comune con la circonferenza La retta tangente è perpendicolare al raggio nel suo punto di tangenza

retta esterna ad una circonferenza

Una retta si dice esterna ad una circonferenza se non ha punti in comune con la circonferenza v 2.0

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39

geometria piana

Postulati e definizioni di geometria piana angolo alla circonferenza

Un angolo alla circonferenza è un angolo con il vertice sulla circonferenza e i lati o entrambi secanti alla circonferenza o uno secante e l’altro tangente poligono inscritto in una circonferenza

Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono sulla circonferenza poligono circoscritto ad una circonferenza

Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza figure equivalenti

Due figure sono equivalenti se hanno la stessa estensione grandezze omogenee

a

a=b

b

b<c

c

Due o più grandezze sono omogenee se è possibile confrontarle tra loro, cioè se è possibile stabilire tra loro una relazione di uguaglianza o di disuguaglianza grandezze commensurabili

u

3u 5u

v 2.0

Due o più grandezze omogenee sono commensurabili se hanno una grandezza sottomultipla in comune

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40

Postulati e definizioni di geometria piana

geometria piana

grandezze incommensurabili

Due grandezze omogenee sono incommensurabili se non hanno una grandezza sottomultipla in comune

d

Il lato di un quadrato e la sua diagonale sono un esempio classico di grandezze incommensurabili

misura di una grandezza

u a

a=5u

La misura di una grandezza rispetto ad una grandezza omogenea assegnata è il rapporto tra le due grandezze grandezze direttamente proporzionali

a ● b ● c ●

● a’ ● b’ ● c’

a ● b ● c ●

● a’ ● b’ ● c’

Le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca sono direttamente proporzionali se il rapporto tra due qualunque grandezze di una classe è uguale al rapporto tra le grandezze corrispondenti dell’altra classe grandezze inversamente proporzionali

Le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca sono inversamente proporzionali se il rapporto tra due qualunque grandezze di una classe è uguale al rapporto inverso tra le grandezze corrispondenti dell’altra classe poligoni simili

Due poligoni sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati da essi formati in proporzione parte aurea o sezione aurea di un segmento

La parte aurea o sezione aurea di un segmento è la parte di segmento media proporzionale tra il segmento e la parte rimanente Se è la lunghezza del segmento ed

la sua sezione aurea, la proporzione si scrive:

che risolta in

dà:

circonferenza rettificata

La circonferenza rettificata è l’unico segmento che sia: • minore del perimetro di ogni poligono regolare circoscritto ad essa • maggiore del perimetro di ogni poligono regolare inscritto in essa v 2.0

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41

Teoremi di geometria piana

geometria piana

la congruenza teoremi sugli angoli teorema sugli angoli complementari

γ α

β

Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo allora sono congruenti In generale: Se due angoli sono complementari di due angoli congruenti allora sono congruenti

teorema sugli angoli supplementari

γ α

β

Se due angoli sono supplementari di uno stesso angolo allora sono congruenti In generale: Se due angoli sono supplementari di due angoli congruenti allora sono congruenti

teorema sugli angoli esplementari

γ α

β

Se due angoli sono esplementari di uno stesso angolo allora sono congruenti In generale: Se due angoli sono esplementari di due angoli congruenti allora sono congruenti

teorema sugli angoli opposti al vertice

Gli angoli opposti al vertice sono congruenti teoremi sui triangoli I criterio di congruenza

Se due triangoli hanno due lati e l’angolo tra essi compresi congruenti allora sono congruenti II criterio di congruenza

Se due triangoli hanno due angoli e il lato tra essi compreso congruenti allora sono congruenti v 2.0

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42

geometria piana

Teoremi di geometria piana III criterio di congruenza

Se due triangoli hanno i tre lati congruenti allora sono congruenti I teorema sul triangolo isoscele

Se un triangolo è isoscele allora gli angoli adiacenti alla base sono congruenti Vale anche l’inverso: Se un triangolo ha due angoli congruenti allora il triangolo è isoscele

II teorema sul triangolo isoscele

Se un triangolo è isoscele allora la bisettrice dell’angolo al vertice è mediana e altezza relativa alla base

Vale anche: In un triangolo isoscele • la mediana relativa alla base è bisettrice dell’angolo al vertice e altezza relativa alla base

•

l’altezza relativa alla base è mediana relativa alla base e bisettrice dell’angolo al vertice

I teorema sul triangolo equilatero

Se un triangolo è equilatero allora gli angoli sono tutti congruenti

Vale anche l’inverso: Se un triangolo ha tutti gli angoli congruenti allora è un triangolo equilatero

II teorema sul triangolo equilatero

Se un triangolo è equilatero allora le tre mediane coincidono con le tre bisettrici e con le tre altezze II criterio di congruenza generalizzato

Se due triangoli hanno due angoli e un lato congruenti allora sono congruenti v 2.0

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43

geometria piana

Teoremi di geometria piana I criterio di congruenza dei triangoli rettangoli

Se due triangoli rettangoli hanno i due cateti congruenti allora sono congruenti II criterio di congruenza dei triangoli rettangoli

Se due triangoli rettangoli hanno un cateto e l’angolo acuto opposto congruenti allora sono congruenti Vale anche: Se due triangoli rettangoli hanno un cateto e l’angolo acuto adiacente congruenti allora sono congruenti

III criterio di congruenza dei triangoli rettangoli

Se due triangoli rettangoli hanno l’ipotenusa e un angolo acuto congruenti allora sono congruenti IV criterio di congruenza dei triangoli rettangoli

Se due triangoli rettangoli hanno l’ipotenusa e un cateto congruenti allora sono congruenti teorema della mediana in un triangolo rettangolo

In ogni triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è congruente alla metà dell’ipotenusa stessa teorema inverso della mediana in un triangolo rettangolo

Se in un triangolo la mediana relativa al lato maggiore è congruente alla metà di questo allora il triangolo è rettangolo v 2.0

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44

Teoremi di geometria piana

geometria piana

teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo

In un triangolo la somma degli angoli interni è congruente a un angolo piatto I teorema dell’angolo esterno

In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascun angolo interno non adiacente ad esso Osserva che: La somma di due angoli di un triangolo è minore di un angolo piatto

II teorema dell’angolo esterno

In un triangolo ogni angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti ad esso I teorema sulle disuguaglianze dei lati di un triangolo

Se un triangolo ha due lati disuguali allora al lato maggiore si oppone l’angolo maggiore Vale anche: Se un triangolo ha due angoli disuguali allora all’angolo maggiore si oppone il lato maggiore

II teorema sulle disuguaglianze dei lati di un triangolo

b

c

a

In un triangolo ogni lato: • è minore della somma degli altri due • è maggiore della differenza degli altri due Ad esempio:

• •

relazione tra gli elementi di due triangoli

Se due triangoli hanno due lati congruenti e gli angoli compresi disuguali allora dei terzi lati è maggiore quello opposto all’angolo maggiore Vale anche l’inverso: Se due triangoli hanno due lati congruenti e i terzi lati diseguali allora degli angoli opposti ai terzi lati è maggiore quello opposto al lato maggiore v 2.0

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45

Teoremi di geometria piana

geometria piana

teoremi sui poligoni I criterio di congruenza dei poligoni

Se due poligoni con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i lati e gli angoli compresi ad eccezione di due lati consecutivi e dell’angolo compreso allora essi sono congruenti II criterio di congruenza dei poligoni

Se due poligoni con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i lati e gli angoli compresi ad eccezione di due angoli e del lato compreso allora essi sono congruenti III criterio di congruenza dei poligoni

Se due poligoni con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i lati e gli angoli compresi ad eccezione di tre angoli consecutivi allora essi sono congruenti

a

b

teorema sulle disuguaglianze dei lati di un poligono

d

c b

In un poligono ogni lato è minore della somma di tutti gli altri lati

e

a c

d

e

Ad esempio:

•

relazione tra i perimetri di due poligoni

Se un poligono convesso è inscritto in un altro poligono allora il suo perimetro è minore del perimetro del poligono circoscritto teoremi sulle rette perpendicolari e sulle rette parallele teorema sulle rette perpendicolari

r s

v 2.0

Se due rette incidenti formano un angolo retto allora esse sono perpendicolari © 2012 - www.matematika.it

46

Teoremi di geometria piana

geometria piana

teorema sull’esitenza ed unicità della retta perpendicolare P

Da un punto esterno ad una retta passa una ed una sola perpendicolare alla retta stessa Osserva che: Il teorema vale anche nel caso in cui il punto appartiene alla retta

P

teorema sulla distanza di un punto da una retta

P

La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta

d

Osserva che: La distanza di un punto da una retta è il segmento minore tra tutti i segmenti condotti dal punto alla retta

teorema sull’esistenza di rette parallele

Se due rette sono perpendicolari ad una stessa retta allora esse sono parallele tra loro teorema sulle rette parallele tagliate da una trasversale 2

1

Due rette parallele tagliate da una trasversale formano: • angoli alterni interni ed alterni esterni congruenti • angoli corrispondenti congruenti • angoli coniugati interni e coniugati esterni supplementari

3

4

6

5 8

7

criterio di parallelismo 1

2 4

3 6

5 8

7

Se due rette tagliate da una trasversale formano: • angoli alterni interni o alterni esterni congruenti o • angoli corrispondenti congruenti o • angoli coniugati interni o coniugati esterni supplementari allora le due rette sono parallele proprietà transitiva del parallelismo

r

v 2.0

s

t

Se due rette sono parallele ad una terza retta allora esse sono parallele tra loro © 2012 - www.matematika.it

47

geometria piana

Teoremi di geometria piana distanza tra due rette parallele

Se due rette sono parallele allora i punti di una retta hanno uguale distanza dall’altra retta cioè le due rette mantengono sempre la stessa distanza

teoremi sulle proiezioni

teorema sulle proiezioni congruenti

Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta hanno proiezioni congruenti allora essi sono congruenti Vale anche l’inverso: Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta sono congruenti allora hanno proiezioni congruenti

teorema sulle proiezioni non congruenti

Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta hanno proiezioni non congruenti allora è maggiore il segmento avente proiezione maggiore Vale anche l’inverso: Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta non sono congruenti allora quello maggiore ha proiezione maggiore

teorema generale sulle proiezioni

La proiezione di un segmento su una retta è minore o uguale del segmento stesso teoremi sui quadrilateri particolari teorema sul trapezio

Se un trapezio è isoscele allora • gli angoli adiacenti alle basi sono congruenti • le diagonali sono congruenti teorema sul parallelogrammo

v 2.0

In un parallelogrammo: • i triangoli in cui esso viene diviso da una diagonale sono congruenti • i lati opposti sono a due a due congruenti • gli angoli opposti sono a due a due congruenti • le diagonali si incontrano nel loro punto medio • gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari © 2012 - www.matematika.it

48

Teoremi di geometria piana

geometria piana

teorema inverso sul parallelogrammo

Se un quadrilatero ha: • i lati opposti a due a due congruenti o • gli angoli opposti a due a due congruenti o • le diagonali che si incontrano nel loro punto medio o • gli angoli adiacenti a ciascun lato supplementari o • due lati opposti congruenti e paralleli allora il quadrilatero è un parallelogrammo teorema sul rettangolo

In un rettangolo le diagonali sono congruenti Vale anche l’inverso: Se un parallelogrammo ha le diagonali congruenti allora è un rettangolo

teorema sul rombo

In un rombo le diagonali sono • perpendicolari tra loro • bisettrici degli angoli interni

Vale anche l’inverso: Se in un parallelogrammo le diagonali sono • perpendicolari tra loro o • bisettrici degli angoli interni allora il parallelogrammo è un rombo

primi teoremi sul fascio di rette parallele

teorema sul fascio di rette parallele

t’

t

Se un fascio di rette parallele è tagliato da due trasversali allora a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale

teorema della parallela dal punto medio di un lato di un triangolo

M

M’

Se dal punto medio di un lato di un triangolo si conduce la parallela ad un secondo lato allora questa incontra il terzo lato nel suo punto medio teorema sulla corda dei punti medi di due lati di un triangolo

M

v 2.0

M’

Se una corda di un triangolo ha per estremi i punti medi di due lati allora essa è parallela al terzo lato ed uguale alla sua metà © 2012 - www.matematika.it

49

geometria piana

Teoremi di geometria piana teoremi sulla circonferenza teorema sulla relazione tra diametro e corda

In una circonferenza, un diametro è maggiore di qualunque corda teorema sull’asse di una corda

Se un diametro di una circonferenza è perpendicolare ad una corda allora il diametro la dimezza Vale anche: L’asse di una corda passa per il centro della circonferenza

teorema sui punti di una circonferenza

Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza Vale anche: Tre punti di una circonferenza non possono essere allineati

I teorema sulle corde e loro distanza dal centro

Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono congruenti allora sono equidistanti dal centro

Vale anche l’inverso: Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, hanno la stessa distanza dal centro allora sono congruenti

II teorema sulle corde e loro distanza dal centro

Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono disuguali allora la corda maggiore ha distanza minore dal centro

Vale anche l’inverso: Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, hanno distanza disuguale dal centro allora è maggiore la corda con distanza minore dal centro

teorema sulla relazione tra archi, corde e angoli al centro

Se due angoli al centro di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono congruenti allora gli archi e le corde corrispondenti sono congruenti

Vale anche l’inverso: Se due archi (corde) di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono congruenti allora le corde (gli archi) e gli angoli al centro corrispondenti sono congruenti v 2.0

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Teoremi di geometria piana

geometria piana

teorema sulla posizione reciproca di una retta e di una circonferenza

Se la distanza di una retta dal centro di una circonferenza è minore, uguale o maggiore del raggio allora la retta ha in comune con la circonferenza rispettivamente due punti (secante), un punto (tangente), nessun punto (esterna)

Vale anche l’inverso: Se una retta ha in comune con una circonferenza due punti o un punto o nessun punto allora la retta ha distanza dal centro della circonferenza, rispettivamente, minore, uguale o maggiore del raggio

teorema sulla retta tangente ad una circonferenza

Se una retta è tangente in un punto ad una circonferenza allora è perpendicolare al raggio in quel punto

Vale anche l’inverso: Se una retta è perpendicolare al raggio in un punto appartenente alla circonferenza allora la retta è tangente alla circonferenza in quel punto

I teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze esterne

C

r

r’

C’

Se due circonferenze hanno i punti dell’una esterni all’altra allora la distanza tra i centri è maggiore della somma dei raggi

Vale anche l’inverso: Se la distanza tra i centri di due circonferenze è maggiore della somma dei raggi allora le due circonferenze hanno i punti dell’una esterni all’altra (circonferenze esterne)

II teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze tangenti esterne

Se due circonferenze hanno un punto in comune e i punti dell’una esterni all’altra allora la distanza tra i centri è congruente alla somma dei raggi

Vale anche l’inverso: Se la distanza tra i centri di due circonferenze è congruente alla somma dei raggi allora le due circonferenze hanno un punto in comune (circonferenze tangenti esterne)

III teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze secanti

Se due circonferenze hanno due punti in comune allora la distanza tra i centri è minore della somma dei raggi e maggiore della differenza dei raggi

Vale anche l’inverso: Se la distanza tra i centri di due circonferenze è minore della somma dei raggi e maggiore della differenza dei raggi allora le due circonferenze hanno due punti in comune (circonferenze secanti)

IV teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze tangenti interne

Se due circonferenze hanno un punto in comune e i punti dell’una interni all’altra allora la distanza tra i centri è congruente alla differenza dei raggi Vale anche l’inverso: Se la distanza tra i centri di due circonferenze è congruente alla differenza dei raggi allora le due circonferenze hanno un punto in comune (circonferenze tangenti interne) v 2.0

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51

geometria piana

Teoremi di geometria piana V teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze interne

Se due circonferenze hanno i punti dell’una interna all’altra allora la distanza dei centri è minore della differenza dei raggi Vale anche l’inverso: Se la distanza dei centri di due circonferenze è minore della differenza dei raggi allora i punti dell’una sono interni all’altra (circonferenze interne)

teorema sugli angoli alla circonferenza

In ogni circonferenza un angolo alla circonferenza è congruente alla metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco o sulla stessa corda I teorema sugli angoli alla circonferenza

Se due angoli alla circonferenza insistono sullo stesso arco o sulla stessa corda allora sono congruenti II teorema sugli angoli alla circonferenza

Se due angoli alla circonferenza insistono su archi o su corde congruenti allora sono congruenti Vale anche l’inverso: Se due angoli alla circonferenza sono congruenti allora gli archi e le corde su cui insistono sono congruenti

III teorema sugli angoli alla circonferenza

Se un angolo alla circonferenza insiste su una semicirconferenza allora è retto Osserva che:

Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo

teorema delle tangenti ad una circonferenza

Se da un punto esterno ad circonferenza si tracciano le tangenti ad essa allora i segmenti compresi tra il punto esterno e i punti di tangenza alla circonferenza sono congruenti v 2.0

Vale anche: La retta che congiunge il punto esterno alla circonferenza con il suo centro è bisettrice dell’angolo formato dalle due tangenti © 2012 - www.matematika.it

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Teoremi di geometria piana

geometria piana

luoghi geometrici asse di un segmento

M

L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento bisettrice di un angolo

La bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti equidistanti dai lati dell’angolo punti notevoli di un triangolo circocentro

Gli assi dei tre lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto circocentro Osserva che:

Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo

incentro

Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo passano per uno stesso punto detto incentro Osserva che: L’incentro è il centro della circonferenza inscritta al triangolo

baricentro

G

Le mediane dei lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto baricentro. Il baricentro divide ciascuna mediana in due parti tale che quella contenente il vertice è doppia dell’altra Osserva che: Il baricentro di una figura viene indicato tradizionalmente con la lettera G

ortocentro

Le altezze relative ai lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto ortocentro v 2.0

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Teoremi di geometria piana

geometria piana

triangolo equilatero

In un triangolo equilatero i punti notevoli coincidono Osserva che:

In un triangolo equilatero il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo è doppio del raggio della circonferenza inscritta al triangolo stesso

distanza del baricentro dai lati di un triangolo

In ogni triangolo la distanza del baricentro da un lato è congruente alla terza parte dell’altezza relativa allo stesso lato

G

teorema di Eulero

C

G

O

In ogni triangolo il circocentro, il baricentro e l’ortocentro sono allineati cioè giacciono sulla stessa retta detta retta di Eulero.

La distanza tra il baricentro e l’ortocentro è doppia della distanza tra baricentro e circocentro corollario al teorema di Eulero

C

G

O

La distanza del circocentro da un lato è congruente alla metà del segmento che congiunge l’ortocentro con il vertice opposto a tale lato poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza teorema sui quadrilateri inscritti

Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora gli angoli opposti sono supplementari Vale anche l’inverso:

Se un quadrilatero ha gli angoli opposti supplementari allora è inscrittibile in una circonferenza

corollario

Se un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza allora un suo angolo esterno è congruente all’angolo interno opposto al suo adiacente Vale anche: Se un quadrilatero ha due angoli opposti retti allora è inscrittibile in una circonferenza v 2.0

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Teoremi di geometria piana

geometria piana

d a

a

teorema sui quadrilateri circoscritti

c

c

b

Se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza allora la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due lati

b

Vale anche l’inverso:

Se in un quadrilatero la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due allora il quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza

d

corollario

b

l

l

B

B

l

l

b

Se in un trapezio isoscele la somma della basi è congruente al doppio del lato obliquo allora il trapezio è circoscrittibile ad una circonferenza Vale anche:

Ogni quadrilatero equilatero è circoscrittibile ad una circonferenza

teorema sulla inscrittibilità e circoscrittibilità dei poligoni regolari

Se un poligono è regolare allora si può inscrivere e circoscrivere con due circonferenze concentriche teorema sui poligoni regolari

Se si divide una circonferenza in tre o più archi congruenti allora il poligono ottenuto congiungendo successivamente i punti di divisione e il poligono ottenuto conducendo le tangenti alla circonferenza negli stessi punti sono poligoni regolari teorema sul lato dell’esagono regolare

O

v 2.0

Il lato di un esagono regolare è congruente al raggio della circonferenza circoscritta ad esso

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Teoremi di geometria piana

geometria piana

l’equivalenza e la similitudine teoremi sull’equivalenza teorema sull’equivalenza di parallelogrammi

Se due parallelogrammi hanno le basi e le altezze congruenti allora essi sono equivalenti secondo teorema sull’equivalenza di parallelogrammi

Se due parallelogrammi sono equivalenti ed hanno le basi congruenti allora essi hanno anche le altezze congruenti Vale anche: Se due parallelogrammi sono equivalenti ed hanno le altezze congruenti allora essi hanno anche le basi congruenti

teorema sull’equivalenza del triangolo e del parallelogrammo

Se un triangolo ha la stessa altezza di un parallelogrammo e la base congruente al doppio di quella del parallelogrammo allora il triangolo e il parallelogrammo sono equivalenti Vale anche: Se due triangoli hanno le basi e le altezze congruenti allora essi sono equivalenti

teorema sull’equivalenza di due triangoli

Se due triangoli hanno le basi e le altezze congruenti allora essi sono equivalenti

Vale anche: Se due triangoli sono equivalenti ed hanno le basi (o le altezze) congruenti allora essi hanno anche le altezze (o le basi) congruenti

teorema sull’equivalenza del triangolo e del trapezio

Se un triangolo ha la stessa altezza di un trapezio e la base congruente alla somma delle basi del trapezio allora il triangolo e il trapezio sono equivalenti b

r

v 2.0

a a

r

teorema sull’equivalenza di un poligono circoscritto ad una circonferenza e di un triangolo

c d b

c

d

Se un poligono è circoscritto ad una circonferenza allora è equivalente ad un triangolo che ha la base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della circonferenza © 2012 - www.matematika.it

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Teoremi di geometria piana

geometria piana

b r

c

d

r

a

a

teorema sull’equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo e

b

c

d

e

Se un poligono è regolare allora è equivalente ad un triangolo avente la base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente all’apotema del poligono (cioè al raggio della circonferenza inscritta nel poligono) teorema sull’equivalenza del trapezio rettangolo e del rettangolo

Se un trapezio rettangolo è circoscrittibile ad una circonferenza allora esso è equivalente ad un rettangolo avente i lati congruenti alle basi del trapezio teorema sull’equivalenza del triangolo rettangolo e del rettangolo

Un triangolo rettangolo è equivalente al rettangolo i cui lati sono congruenti ai due segmenti in cui l’ipotenusa è divisa dal punto di contatto con la circonferenza inscritta nel triangolo rettangolo I teorema di Euclide (enunciato secondo l’equivalenza)

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa

Q

R

Q è equivalente ad R

Vale anche l’inverso: Se il quadrato costruito su un lato minore di un triangolo è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del lato minore sul lato maggiore e il lato maggiore allora il triangolo è rettangolo

II teorema di Euclide (enunciato secondo l’equivalenza )

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa

Q

R

Q è equivalente ad R

Vale anche l’inverso: Se il quadrato costruito sull’altezza relativa al lato maggiore di un triangolo è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni degli altri due lati sul lato maggiore allora il triangolo è rettangolo

teorema di Pitagora

Q2

Q1 Q

v 2.0

Q è equivalente a Q1+ Q2

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti

Vale anche l’inverso: Se il quadrato costruito sul lato maggiore di un triangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati allora il triangolo è rettangolo © 2012 - www.matematika.it

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Teoremi di geometria piana

geometria piana

Grandezze omogenee e Grandezze proporzionali teorema sull’incommensurabilità tra il lato e la diagonale del quadrato

Il lato del quadrato e la sua diagonale sono segmenti incommensurabili

Osserva che: Il rapporto tra il lato del quadrato e la sua diagonale è un numero irrazionale, cioè un numero decimale con infinite cifre diverse dopo la virgola Se e sono due grandezze commensurabili allora può essere: 1. un numero intero 2. un numero decimale con finite cifre dopo la virgola 3. un numero periodico Se e sono due grandezze incommensurabili allora è un numero decimale con infinite cifre diverse dopo la virgola

:

=

:

x= a ● b ● c ● allora allora 4

8 2

4

Assegnate tre grandezze se le prime due sono omogenee tra loro allora esiste ed è unica la quarta grandezza omogenea con la terza che è quarta proporzionale dopo le tre Condizione necessaria e sufficiente affinché le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali è che: • a grandezze uguali in una classe corrispondono grandezze uguali dell’altra • alla somma di due o più grandezze qualsiasi di una classe corrisponde la somma delle grandezze corrispondenti dell’altra classe teoremi sui rettangoli proporzionali alle basi

28 7

8 : 28 = 2 : 7 v 2.0

teorema fondamentale sulla proporzionalità

Criterio generale di proporzionalità

● a’ ● b’ ● c’

Se Se

Il rapporto di due grandezze commensurabili è un numero razionale Il rapporto di due grandezze incommensurabili è un numero irrazionale

teorema sulla quarta proporzionale

: x

=

Se il rapporto di due grandezze omogenee è un numero razionale allora le due grandezze sono commensurabili

Condizione necessaria e sufficiente affinché quattro grandezze a due a due omogenee siano in proporzione è che lo siano le loro misure

a : b = c : d

:

teorema sul rapporto di grandezze commensurabili

I rettangoli aventi altezze congruenti sono proporzionali alle rispettive basi Vale anche: I rettangoli aventi basi congruenti sono proporzionali alle rispettive altezze © 2012 - www.matematika.it

58

Teoremi di geometria piana

geometria piana

teorema sugli elementi proporzionali in un cerchio

β

α

a

b

Gli archi di uno stesso cerchio o di cerchi congruenti sono proporzionali ai rispettivi angoli al centro

a : b = α : β 12

3

2

teorema sui rettangoli equivalenti e sui segmenti in proporzione

Se quattro segmenti sono in proporzione allora il rettangolo che ha per lati i segmenti estremi della proporzione è equivalente al rettangolo che ha per lati i segmenti medi della proporzione

12

4

6

Vale anche l’inverso: Se due rettangoli sono equivalenti allora due lati consecutivi dell’uno sono i medi e i due lati consecutivi dell’altro sono gli estremi di una stessa proporzione

4 : 6 = 2 : 3

teorema sui segmenti e sui quadrati in proporzione

3 4 6 8

3:4 = 6:8 9 : 16 = 36 : 64 C

Vale anche l’inverso:

Se un punto interno ad un lato di un triangolo divide il lato in parti proporzionali agli altri due lati allora la congiungente il punto con il vertice opposto è la bisettrice dell’angolo compreso tra gli altri due lati del triangolo

B

CP : PB = AC : AB

teorema sulla bisettrice dell’angolo esterno di un triangolo

Se la bisettrice di un angolo esterno di un triangolo incontra il prolungamento del lato opposto in un punto allora le distanze di questo punto dagli estremi di quel lato sono proporzionali agli altri due lati

P C

A

teorema sulla bisettrice dell’angolo interno di un triangolo

La bisettrice dell’angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati

P

A

Se quattro segmenti sono in proporzione allora i quadrati costruiti su di essi sono in proporzione

Vale anche l’inverso: Se un punto del prolungamento di un lato di un triangolo è tale che le sue distanze dagli estremi di quel lato sono proporzionali agli altri lati allora la congiungente questo punto con il vertice opposto è la bisettrice del corrispondente angolo esterno del triangolo

B

AP : CP = AB : BC

teorema di Talete

a

a’ b’

b

a : b = a’ : b’ v 2.0

Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali i segmenti determinati su una trasversale sono proporzionali ai corrispondenti segmenti sull’altra trasversale © 2012 - www.matematika.it

59

Teoremi di geometria piana

geometria piana

corollario del teorema di Talete

C P

Se una retta è parallela ad un lato di un triangolo allora sulle rette degli altri due lati si determinano segmenti proporzionali

P’

A

Vale anche l’inverso: Se una retta determina sui due lati di un triangolo segmenti proporzionali allora essa è parallela al terzo lato

B

AP : PC = BP’ : P’C

teorema di Tolomeo

D

Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora il prodotto delle misure delle diagonali è congruente alla somma dei prodotti delle misure dei lati opposti

C

A

Vale anche l’inverso: Se il prodotto delle misure delle diagonali di un quadrilatero è congruente alla somma dei prodotti delle misure dei lati opposti allora il quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza

B

teoremi sulla similitudine

teorema fondamentale della similitudine

C P’

P

A

Se una retta passante per un lato di un triangolo è condotta parallelamente ad un altro suo lato allora la retta determina un triangolo simile al triangolo iniziale

B

PP’C è simile ad ABC

I criterio di similitudine

C

Se due triangoli hanno gli angoli congruenti allora essi sono simili

C’

A

B

B’

A’

ABC è simile ad A’B’C’

Vale anche: Se due triangoli hanno due angoli congruenti allora essi sono simili

II criterio di similitudine

C C’

A

B

B’

A’

ABC è simile ad A’B’C’

Se due triangoli hanno due lati in proporzione e gli angoli tra essi compresi congruenti allora essi sono simili III criterio di similitudine

C

C’

A

B

A’

ABC è simile ad A’B’C’ v 2.0

B’

Se due triangoli hanno i tre lati ordinatamente in proporzione allora essi sono simili © 2012 - www.matematika.it

60

Teoremi di geometria piana

geometria piana

I teorema di Euclide (enunciato secondo la proporzionalità) C

A

In un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale tra la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa

B

H

AH : AC = AC : AB

II teorema di Euclide (enunciato secondo la proporzionalità)

C

A

In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa

B

H

AH : CH = CH : HB

teorema delle altezze

C C’

A

B

H

A’ H’

B’

AB : A’B’ = CH : C’H’

Se due triangoli sono simili allora le basi stanno tra loro come le rispettive altezze teorema dei perimetri

C

C’

2p 2p’ A

B

A’

B’

2p : 2p’ = AB : A’B’

teorema delle aree

C

Se due triangoli sono simili allora le aree stanno tra loro come i quadrati di due lati omologhi

C’

S

S’

A

B

S : S’ =

A’

(AB)2

:

B’

(A’B’)2

P

P simile a P’ v 2.0

Se due triangoli sono simili allora i perimetri stanno tra loro come due lati omologhi

In generale: Se due poligoni sono simili allora le aree stanno tra loro come i quadrati di due lati omologhi

I teorema dei poligoni regolari

P’

Se due poligoni sono regolari e hanno lo stesso numero di lati allora essi sono simili

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61

Teoremi di geometria piana

geometria piana

teorema della bisettrice

C

In ogni triangolo il prodotto delle misure di due lati è congruente al quadrato della misura della bisettrice dell’angolo da essi formato aumentato del prodotto delle misure dei segmenti in cui tale bisettrice divide il terzo lato

P

A

B

teorema delle corde

D

B

Se due corde di una stessa circonferenza si intersecano in un punto allora i segmenti formati su una stessa corda sono indifferente medi o estremi di una stessa proporzione

P A

Vale anche l’inverso: Se due segmenti si intersecano in un punto tale che le parti appartenenti ad uno stesso segmento sono medi o estremi di una proporzione allora gli estremi dei segmenti dati appartengono alla stessa circonferenza

C

AP : CP = PD : PB

teorema delle secanti

P

B

Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti allora l’intera parte e la parte esterna di ciascuna secante sono indifferentemente medi oppure estremi di una stessa proporzione

C

A

Vale anche l’inverso: Se due segmenti consecutivi ma non adiacenti sono tali che un segmento e una sua parte sono medi proporzionali tra l’altro segmento e una sua parte allora i quattro punti estremi non comuni dei quattro segmenti in proporzione appartengono alla stessa circonferenza

D

AP : DP = CP : BP

teorema della tangente e della secante

T

P

B

C

PC : PT = PT : PB

Se da un punto esterno ad una circonferenza si conduce una tangente e una secante allora il segmento di tangenza è medio proporzionale tra l’intera secante e la sua parte esterna

Vale anche l’inverso: Se un punto di uno di due segmenti consecutivi ma non adiacenti è tale che determina due parti estremi proporzionali all’altro segmento allora l’altro segmento è tangente alla circonferenza passante per i tre estremi non comuni dei segmenti

teorema sul lato del decagono regolare

Il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è congruente alla sezione aurea del raggio

r

il lato è medio proporzionale tra il raggio e la differenza tra il raggio e il lato cioè

teorema sul lato del pentagono regolare

r r

v 2.0

Il lato del pentagono regolare è congruente all’ipotenusa di un triangolo rettangolo avente per cateti il raggio della circonferenza inscritta e la sezione aurea del lato del pentagono stesso © 2012 - www.matematika.it

62

geometria solida

Volumi

e superfici

delle principali figure solide

cubo

parallelepipedo rettangolo

prisma retto

piramide retta a base regolare

piramide retta

tronco di piramide

cilindro

cono equilatero (

v 2.0

cilindro equilatero (

)

tronco di cono

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)

cono

sfera

63

geometria solida

Volumi

e superfici

segmento sferico ad 1 base

delle principali figure solide

segmento sferico a 2 basi

spicchio sferico

α

20 teorema di Guldino

10 teorema di Guldino la superficie generata da una linea (o da un poligono) in rotazione intorno ad un asse è uguale al prodotto della circonferenza descritta dal suo baricentro per la sua lunghezza (o perimetro)

l

il volume generato da una superficie in rotazione intorno ad un asse è uguale al prodotto della circonferenza descritta dal suo baricentro per la sua superficie

r

r S

solidi platonici o poliedri regolari I solidi platonici sono quei solidi che hanno le facce formate da poligoni regolari e tutte uguali tra loro. Sono solo cinque:

tetraedro

4 triangoli equilateri

esaedro(cubo) 6 quadrati

ottaedro

8 triangoli equilateri

dodecaedro

12 pentagoni regolari

icosaedro

20 triangoli equilateri

formula di Eulero faccia

per tutti i poliedri vale:

poliedro = solido dello spazio la cui frontiera è l’unione delle facce facce = figure piane che compongono il poliedro spigoli = segmenti di incontro delle facce vertici = punti di incontro degli spigoli

spigolo

●

vertice

esempio

verifichiamo la formula di Eulero per: • un cubo, poliedro a 6 facce, 8 vertici e 12 spigoli • un ottaedro, poliedro a 8 facce, 6 vertici e 12 spigoli

v 2.0

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64

geometria analitica

Geometria analitica: assi e punti sistema di assi cartesiani monometrico ortogonale

• • •

distanza tra due punti

è l’origine degli assi cartesiani è l’asse delle ascisse : è l’asse delle ordinate

• O(0,0): origine degli assi cartesiani • : punto di ascissa e ordinata • : punto di ascissa e ordinata • : punto di ascissa e ordinata • : punto simmetrico di rispetto all’asse • : punto simmetrico di rispetto ad • : punto simmetrico di rispetto all’asse

la distanza tra due punti A e B è uguale alla lunghezza del segmento AB. La distanza AB rappresenta l’ipotenusa del triangolo rettangolo ABC e si calcola applicando il teorema di Pitagora:

punto medio

di un segmento di estremi il punto medio del segmento AB è un punto appartenente al segmento ed equidistante dagli estremi del segmento stesso cioè AM = MB Le sue coordinate sono: inversamente: note le coordinate di un estremo e del

punto medio, le coordinate del secondo estremo sono:

il punto B si dice il simmetrico di A rispetto ad M e viceversa A si dice il simmetrico di B rispetto ad M

dividere un segmento in parti proporzionali ad un numero k il punto

, divide il segmento di estremi in parti proporzionali a k, cioè tale che il rapporto tra AP e AB è uguale a k : Le sue coordinate sono:

v 3.0

nel caso che il punto P sia il punto medio del segmento AB le formule precedenti si riducono a quelle del caso precedente del punto medio di un segmento © 2012 - www.matematika.it

65

Geometria analitica: assi e punti

geometria analitica

baricentro

di un triangolo di vertici il baricentro di un triangolo è il punto di incontro delle mediane. Le sue coordinate sono:

inversamente: note le coordinate di due vertici del

triangolo e del suo baricentro, le coordinate del terzo vertice sono:

area di un triangolo metodo del determinante (regola di Sarrus) l’area del triangolo di vertici determinante della matrice dei punti A, B, C

+

+

è uguale ad un mezzo del valore assoluto del

+

metodo geometrico yC

C

F

E

●

yB

yA

●

A

B

D

●

xA

per calcolare l’area del triangolo ABC • si calcola l’area del rettangolo ADEF circoscritto al triangolo ABC • dall’area del rettangolo si sottraggono le aree dei tre triangoli rettangoli ADB, BEC, CFA:

xB

xC

allineamento di tre punti B

●

●

● ●A

C

per verificare se tre punti A,B,C sono allineati cioè se

appartengono alla stessa retta si può:

1. calcolare l’area del triangolo di vertici A,B,C: se l’area è uguale a zero i punti sono allineati oppure: 2. calcolare le distanze AB, BC, AC : se AB + BC = AC i punti sono allineati

per stabilire se un triangolo è rettangolo basta verificare che le lunghezze dei lati soddisfano il teorema di Pitagora, cioè che: v 3.0

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66

Geometria analitica: la retta

geometria analitica

equazione della retta forma implicita

y q

●

r

forma esplicita ●

p

x

forma segmentaria

forma esplicita

forma segmentaria

• m è detto coefficiente angolare

• p è il punto di intersezione tra la retta e l’asse x

• q è il punto di intersezione tra la retta e l’asse y

• q è il punto di intersezione tra la retta e l’asse y

significato geometrico di m di p e di q

y

q

●

y

m<0

m>0 ●

r ●

p

1

p

●

m

m ●

●

x

q

●

●

x

1

r

il coefficiente angolare m è l’ordinata del punto che ha distanza di 1 unità dal punto P di intersezione di r con l’asse x

rette particolari

equazione asse x

y

equazione asse y

y

x

y

equazione retta parallela all’asse x

y=n

●

x

n

●

x

y

y=x x

equazione della bisettrice del I e III quadrante

equazione retta parallela all’asse y

x=n

y

n

x

equazione della bisettrice del II e IV quadrante

y

y=-x x

Per disegnare una retta basta trovare le coordinate di almeno due punti e congiungerli.

Le coordinate di un punto si trovano assegnando alla

Disegnamo ad esempio la retta

v 1.7

x

0 1

un valore a piacere e calcolando la corrispondente y

y

-1 2

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2

-1

1

x

67

Geometria analitica: la retta

geometria analitica

ricerca dell’equazione di una retta B

y

A

coefficiente angolare della retta passante per due punti x

B

y

A

equazione della retta passante per due punti x

y

m

P0

equazione della retta ed il coefficiente angolare m noto un punto equazione del fascio di rette

x

per trovare l’equazione di una retta passante per due punti • calcolare il coefficiente angolare

con la formula precedente

• utilizzare la formula dell’equazione del fascio di rette sostituendo ad m il valore uno qualsiasi dei due punti A o B

si può anche: ed a

le coordinate di

condizione di parallelismo e perpendicolarità tra due rette

r

s

r

s

due rette parallele hanno i coefficienti angolari uguali

due rette perpendicolari hanno i coefficienti angolari antireciproci

punto e retta

ricerca del punto

di intersezione di due rette non parallele per trovare le coordinate del punto di due rette r ed s non parallele:

s

r

•

●

•

•

si mettono a sistema le equazioni delle due rette

si risolve il sistema

le soluzioni del sistema rappresentano le coordinate del punto di intersezione

condizione di appartenenza di un punto

•

P0

●

y0

• •

x0

distanza di un punto

appartiene ad una retta

si sostituiscono le coordinate e alla y nell’equazione della retta si sviluppano i calcoli

del punto alla x

se si ottiene una identità, il punto appartiene alla retta

da una retta r

formula con l’equazione della retta in forma implicita

P0 r

ad una retta

per verificare se un punto r:

r

di intersezione

d

formula con l’equazione della retta in forma esplicita v 1.7

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68

Geometria analitica: la retta

geometria analitica

distanza tra due rette parallele r ed s r

s per trovare la distanza tra due rette parallele :

• si ricavano le coordinate di un punto qualsiasi

P0

appartenente ad una della due rette

• si applica la formula della distanza del punto

trovato

dall’altra retta

equazione delle bisettrici degli angoli formati da due rette r ed s (non parallele)

b2

r

note le equazioni delle rette r ed s in forma implicita r: ed s:

s b1

qualunque siano gli angoli formati dalle due rette, le bisettrici sono sempre perpendicolari tra loro s

la bisettrice di un angolo è definita come l’insieme dei punti del piano equidistanti dai lati.

Sfruttando la definizione si può trovare l’equazione delle bisettrici ponendo .

Calcolando le distanze e sviluppando i calcoli si ottengono le equazioni delle bisettrici.

b

P

r

equazione dell’asse di un segmento AB per trovare l’equazione dell’asse di un segmento AB noti :

P

A

• • •

M ● B

•

si calcola il punto medio

si calcola il coefficiente angolare

del segmento AB

del segmento AB

si ricava il coefficiente angolare dell’asse (è perpendicolare ad AB)

nell’equazione del fascio , si sostituisce ad m il valore e alle coordinate quelle del punto medio ottenendo così l’equazione dell’asse

l’asse di un segmento è definito come il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi.

Sfruttando la definizione si può trovare l’equazione dell’asse ponendo .

Calcolando le distanze e sviluppando i calcoli si ottiene l’equazione dell’asse del segmento

A

P

●

B

allineamento di tre punti A, B, C

per verificare se tre punti A, B, C sono allineati cioè se appartengono alla stessa retta si può: • B

• ●

C

●

• •

A

• •

v 1.7

ricavare

ed

, e verificare che

trovare l’equazione della retta passante per A e C e verificare che B appartiene alla retta calcolare l’area del triangolo di vertici ABC e verificare che è uguale a zero

trovare le equazioni delle rette passanti per A e B e per A e C, e verificare che queste sono uguali

trovare l’equazione della retta passante per A e C e verificare che la distanza di B da tale retta è zero

verificare che la somma delle distanze AB e BC è uguale alla distanza AC cioè AB + BC = AC

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69

Geometria analitica: la retta

geometria analitica

fasci di rette Un fascio di rette è l’insieme delle rette del piano aventi in comune un punto oppure una direzione tipi di fasci

fascio proprio

●

fascio improprio

C

è l’insieme delle rette del piano passanti per uno stesso punto detto centro del fascio

è l’insieme delle rette del piano aventi una direzione comune, cioè aventi lo stesso coefficiente angolare

come si presenta l’equazione di un fascio

l’equazione di un fascio di rette si presenta come quella di una retta (generalmente in forma implicita) nella quale compare, oltre alle incognite ed , almeno una volta anche un’altra lettera ( ) detta parametro Esempio:

classificazione di un fascio di rette

data l’equazione del fascio, per classificarlo bisogna: •

•

calcolare il coefficiente angolare

•

esempio per un fascio di rette proprio

se

contiene il parametro

il fascio è proprio

se il parametro si semplifica, il fascio è improprio

esempio per un fascio di rette improprio

rette generatrici di un fascio • • •

le rette generatrici di un fascio sono le rette che originano il fascio e sono sempre due nel caso di fascio proprio le rette generatrici sono incidenti nel caso di fascio improprio le rette generatrici sono parallele ricerca delle equazioni delle rette generatrici di un fascio • • •

retta all’infinito

retta per k = 0

ricerca del centro

dato il fascio di rette, si sviluppano i calcoli si raccoglie a fattor comune il parametro

le due parti così ottenute rappresentano le equazioni delle rette generatrici del fascio

di un fascio proprio di rette • •

si mettono a sistema le equazioni delle due rette generatrici o di due generiche rette del fascio

le soluzioni del sistema rappresentano le coordinate del centro del fascio

come scrivere l’equazione di un fascio di rette

equazione del fascio di rette date le due rette generatrici r ed s equazione del fascio di rette proprio noto il centro

v 1.7

equazione del fascio di rette improprio noto il coefficiente angolare m

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70

Geometria analitica in sintesi

geometria analitica

punti distanza tra due punti punto medio baricentro

tra due punti

di un triangolo di vertici C

area di un triangolo di vertici

B A

retta forma implicita

equazione della retta

forma esplicita

e

forma segmentaria

q

m = coefficiente angolare

● ●

q = intersezione con l’asse delle y

1

p

m

p = intersezione con l’asse delle x

coefficiente angolare della retta passante per due punti equazione della retta passante per due punti equazione della retta passante per un punto di coefficiente angolare m

//

condizioni di parallelismo tra due rette r ed s

condizioni di perpendicolarità tra due rette r ed s

oppure

s

r

punto di intersezione tra due rette r ed s retta in forma implicita

retta in forma esplicita

● P(x0,y0)

⊥

P(x0,y0) d

distanza di un punto da una retta r

r

equazione delle bisettrici degli angoli formati da due rette r, s

b2

r

s b1

tangente dell’angolo formato da due rette r ed s di coefficiente angolare mr ed ms rette particolari

y

●

n x

v 2.3

asse x

y

y

y

y

y

x

asse y

●

x

parallela asse x

x n

parallela asse y

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x

x

bisettrice I e III q.

bisettrice II e IV q.

71

Geometria analitica in sintesi

geometria analitica

parabola F

● ● ●

d

La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta data detta direttrice:

P

d

parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y

●P

● ●

F

parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x

equazione completa

coordinate del vertice coordinate del fuoco equazione dell’asse

equazione della direttrice

equazione della retta tangente alla parabola in un suo punto : formula di sdoppiamento area del segmento parabolico parabole particolari

b=0

c=0

b=0 c=0

b=0

b=0 c=0

c=0

significato grafico del coefficiente a e del coefficiente c ●

c ●

c

c

●

a<0

a>0

se a = 0 la parabola degenera in una retta

c

●

a>0

a<0

circonferenza

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso C detto centro:

r

●

equazione completa

P

coordinate del centro C

C(α,β)

relazione del raggio r

equazione della circonferenza di centro

e raggio r

equazione della retta tangente alla circonferenza in un suo punto : formula di sdoppiamento v 2.3

equazione dell’asse radicale di due circonferenze

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72

Geometria analitica in sintesi

geometria analitica

circonferenze particolari

se

la circonferenza si riduce al punto

●

●

●

R

r

esterne

origine degli assi cartesiani

posizioni reciproche di due circonferenze

C2

C1

.

●

●

●

●

●

secanti

tangenti esterne

●

●

●

● ●

tangenti interne

interne

ellisse

●

concentriche

P

● ●

●

F1

F2

L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante:

ellisse con i fuochi sull’asse x

F1

●

P

●

ellisse con i fuochi sull’asse y

equazione in forma canonica

2a

2b

lunghezza asse maggiore

2b

distanza focale

2c

lunghezza asse minore

2c

F2●

relazione tra i parametri a, b, c

2a

coordinate dei fuochi eccentricità

equazione della retta tangente alla ellisse nel suo punto : formula di sdoppiamento ellisse traslata

l’ellisse si dice traslata se gli assi X e Y del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani x e y y

●

O(α,β)

v 2.3

coordinate del centro dell’ellisse

Y

X

x

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equazione dell’ellisse riferita al sistema XOY 73

Geometria analitica in sintesi

geometria analitica

iperbole P

L’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la differenza in valore assoluto delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante:

● F1

●

●

F2

iperbole con i fuochi sull’asse x

2b

lunghezza asse trasverso

2b

distanza focale

2c

lunghezza asse non trasverso

2c

●

●P

F1 ●

iperbole con i fuochi sull’asse y

equazione in forma canonica

2a

F2

relazione tra i parametri a, b, c

2a

coordinate dei fuochi

equazione degli asintoti eccentricità

equazione della retta tangente alla iperbole nel suo punto : formula di sdoppiamento iperbole equilatera: a = b equazione

relazione tra a, c

coordinate dei fuochi

equazione degli asintoti

iperbole equilatera ruotata di

F2 ●

F1●

F1 ●

k>0

equazione coordinate dei fuochi

F ● 2

k<0

iperbole equilatera ruotata e traslata o funzione omografica equazione

y

coordinate di O’

O’

x

v 2.3

equazione degli asintoti

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74

Geometria analitica in sintesi

geometria analitica

iperbole traslata

l’iperbole si dice traslata se gli assi del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani y

Y

coordinate del centro dell’iperbole

●

X

O(α,β)

x

equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse X riferita al sistema XOY

proprietà comuni a tutte le coniche

condizione di appartenenza di un punto per stabilire se un dato punto retta r oppure ad una conica :

appartiene ad una

ad una retta r o ad una conica • •

si sostituiscono le coordinate di , in r o in si sviluppano i calcoli. Se si ottiene un’identità, il punto appartiene alla retta o alla conica

posizione di una retta rispetto ad una conica ●

● ●

retta secante

retta tangente

retta esterna

per stabilire se una retta è secante, tangente o esterna ad una conica bisogna: • • • • •

ricavare la y dell’equazione della retta e sostituirla nell’equazione della conica sviluppare i calcoli ed ordinare l’equazione rispetto alla dell’equazione di II grado così ottenuta calcolare il

oppure, se

è pari, il

verificare il segno del se la retta è secante alla conica. Si hanno 2 intersezioni reali e distinte cioè 2 punti in comune se la retta è tangente alla conica. Si hanno 2 intersezioni reali e coincidenti cioè 1 punto in comune se la retta è esterna alla conica. Non si ha nessuna intersezione reale cioè nessun punto in comune

ricerca delle equazioni delle rette tangenti ad una conica

tangenti parallele ad una retta di coefficiente angolare m

tangenti da un punto esterno • • • • •

• •

v 2.3

si scrive l’equazione del fascio di rette proprio di centro : si ricava la y dall’equazione del fascio di rette

•

si sostituisce la y trovata nell’equazione della conica

•

si ricava il e lo si impone uguale a 0: ottenendo una equazione di II grado nell’incognita

•

si sostituiscono uno alla volta i valori ed nell’equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni delle due rette tangenti

•

si sviluppano i calcoli e si ordina rispetto alla ottenendo un’equazione di II grado in x si risolve l’equazione in

ottenendo

ed

•

•

si scrive l’equazione del fascio di rette improprio con assegnato: si sostituisce la y trovata nell’equazione della conica

si sviluppano i calcoli e si ordina rispetto alla ottenendo un’equazione di II grado in x si ricava il e lo si impone uguale a 0: ottenendo una equazione nell’incognita si risolve l’equazione in

ottenendo

e

si sostituiscono uno alla volta i valori e nell’equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni delle due rette tangenti

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75

Logaritmi

logaritmi

definizione il logaritmo di un numero è l’esponente

da dare alla base

si chiama base si chiama argomento è il logaritmo in base di

per ottenere l’argomento

proprietà

la base

deve essere

l’argomento il logaritmo

cioè:

deve essere

è un numero reale

teoremi principali sui logaritmi teorema del prodotto

teorema del rapporto

teorema della potenza

proprietà derivate dai teoremi principali potenza alla base e all’argomento base frazionaria

argomento frazionario

base e argomento frazionario scambiare la base con l’argomento formula del cambio di base

trasformare un numero n in logaritmo in base a

con il simbolo

trasformare un numero n in potenza

si indica il logaritmo in base e dove

è detto “numero di Nepero”

sulle calcolatrici scientifiche sono presenti i tasti lg e ln che consentono di calcolare i logaritmi in base 10 e in base “e”. Per calcolare un logaritmo in una base diversa è necessario utilizzare la formula del cambio di base

grafici delle funzioni logaritmo ed esponenziale

logaritmo con base a > 1 v 3.4

logaritmo con base 0 < a < 1

esponenziale con base a > 1

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esponenziale a base 0 < a < 1 76

Angoli: misura e conversioni

goniometria

grado sessagesimale

radiante

grado centesimale 100c

90o

180o

200c

0

0o 360o

300c

270o

Il grado sessagesimale è la 360a parte dell’angolo giro

0c 400c

Il radiante è l’angolo il cui arco Il grado centesimale è la 400a è uguale al raggio parte dell’angolo giro un radiante vale circa 57° 17′ 44′′

nelle calcolatrici scientifiche nelle calcolatrici scientifiche nelle calcolatrici scientifiche questo sistema di misura è questo sistema di misura è questo sistema di misura è indicato con il simbolo DEG o D indicato con il simbolo RAD o R indicato con il simbolo GRAD o G

conversioni

da gradi sessagesimali a radianti

da radianti a gradi sessagesimali

• • Es.:

perché

Es.:

sostituire

semplificare

da gradi centesimali a sessagesimali

con

perché

Es.:

perché

conversione da gradi sessagesimali decimali a gradi (°) primi (‘) e secondi (‘’) data la misura sotto forma di gradi decimali, si separa la parte intera dalla parte decimale si moltiplica la parte decimale per 60

la misura così ottenuta si separa ancora in parte intera e parte decimale, la parte intera rappresenta i primi

la parte decimale si moltiplica ancora per 60, il risultato rappresenta i secondi si ottiene così la conversione richiesta

conversione da gradi (°) primi (‘) e secondi (‘’) a gradi sessagesimali decimali data la misura sotto forma di gradi, primi e secondi, si isolano i secondi e si dividono per 60 il valore ottenuto si somma ai primi

il valore ottenuto si divide ancora per 60 la misura ottenuta si somma ai gradi

si ottiene così la conversione richiesta v 2.0

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77

Funzioni goniometriche: definizioni e proprietà

goniometria

Data la circonferenza goniometrica di centro l’origine degli assi cartesiani e raggio 1 si definiscono le funzioni:

seno

90°

P

angoli

1

α

180°

valori

0°

O

360°

H

270°

0

0° 90° 180° 270°

coseno

angoli

valori

0

segno e crescenza nei quadranti quadrante 1° 2° 3° 4°

α O

0°

90°

180° 270°

P

0 0

tangente

angoli A

0°

90°

180°

B

segno e crescenza nei quadranti quadrante 1°

segno

4°

+

crescenza

+

2° 3°

T

valori

α O

0 0

270°

cotangente

angoli

valori

segno e crescenza nei quadranti quadrante

segno

1°

+

2°

crescenza

+

3° 4°

C P α

O

secante

0° 90° 180° 270°

0 0

segno e crescenza nei quadranti quadrante 1° 2° 3° 4°

E

segno

crescenza

+ +

cosecante P

P α

α

v 1.5

crescenza

+ +

P

K

O

segno

O

S

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78

Funzioni goniometriche, relazioni fondamentali

goniometria

e

grafici

definizione delle funzioni goniometriche sulla circonferenza goniometrica di centro l’origine degli assi e raggio 1

seno α

P ●

α●

O

α

coseno α

B

●P

α

●

α

O

tangente α

secante α ●

C ● ●P

P

α

● A

O

H

K●

T P● ●

O

cotangente α

E

●

● S

cosecante α P ●

α

O

O

le cinque relazioni fondamentali

relazioni che esprimono una funzione goniometrica rispetto alle altre in funzione di …

il segno

in funzione di …

in funzione di …

in funzione di …

o – va preso a seconda del segno della funzione nel quadrante in cui si trova l’angolo grafici di funzioni goniometriche

seno

v 2.2

coseno

tangente

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cotangente

79

goniometria

Le cinque relazioni fondamentali dimostrazioni

• • •

si considera il triangolo rettangolo POH si applica il teorema di Pitagora: dove: sostituendo si ottiene la tesi

• •

si considerano i triangoli rettangoli TOA e POH essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( α e l’angolo retto) e dunque hanno i lati in proporzione:

•

•

•

• • • •

• • • •

• • • • v 1.9

dove: sostituendo si ottiene:

cioè la tesi

si considerano i triangoli rettangoli CBO e PKO essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( 90°− α e l’angolo retto) e dunque hanno i lati in proporzione: dove: sostituendo si ottiene:

cioè la tesi

si considerano i triangoli rettangoli POS e POH essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( α e l’angolo retto) e dunque hanno i lati in proporzione: dove: sostituendo si ottiene:

cioè la tesi

si considerano i triangoli rettangoli PEO e PKO essi sono simili perché hanno due angoli uguali (90°− α e l’angolo retto) e dunque hanno i lati in proporzione: dove: sostituendo si ottiene:

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cioè la tesi 80

goniometria

Tabella dei valori di funzioni goniometriche di angoli ricorrenti

gradi

radianti

seno

coseno

tangente

cotangente

0°

0

0

1

0

∞

π

3+ 5 − 5− 5 4

3+ 5 + 5− 5 4

4 − 10 + 2 5 5 −1

4 − 10 + 2 5

6− 2 4

6+ 2 4

2− 3

2+ 3

5 −1 4

10 + 2 5 4

25 − 10 5 5

5+ 2 5

2− 2 2

2+ 2 2

2 −1

2 +1

1 2

3 2

3 3

3

10 − 2 5 4

5 +1 4

5− 2 5

25 + 10 5 5

4

2 2

2 2

1

1

3π 10

5 +1 4

10 − 2 5 4

25 + 10 5 5

5− 2 5

3

3 2

1 2

3

3 3

3π 8

2+ 2 2

2− 2 2

2 +1

2 −1

2π 5

10 + 2 5 4

5 −1 4

5+ 2 5

25 − 10 5 5

5π 12

6+ 2 4

6− 2 4

2+ 3

2− 3

9π 20

3+ 5 + 5− 5 4

3+ 5 − 5− 5 4

4 − 10 + 2 5

4 − 10 + 2 5 5 −1

1

0

∞

0

9°

15° 18°

22°30 30° 36°

45° 54°

60° 67°30 72° 75° 81°

90°

20

π 12

π 10

π 8

π 6

π 5

π

π

π 2

5 −1

5 −1

180°

π

0

−1

0

∞

270°

3π 2

−1

0

∞

0

360°

2π

0

1

0

∞

v 1.8

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81

Angoli associati

goniometria

angoli supplementari

angoli complementari

secondo quadrante

primo quadrante

angoli che differiscono di un angolo piatto

angoli che differiscono di un angolo retto

terzo quadrante

secondo quadrante

angoli esplementari

angoli la cui somma è 270°

quarto quadrante

terzo quadrante

angoli opposti

angoli che differiscono di 270°

quarto quadrante

quarto quadrante

90°

90°

180°- α 180°

α α α

O

α α

α

α α 0°

α

180°

O

360°

0° 360°

α α

-α 360°- α

180°+ α

270°- α

270° v 2.0

90°- α

90°+ α

270°+ α 270°

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82

goniometria

Formule goniometriche addizione e sottrazione

duplicazione

triplicazione

bisezione

parametriche o razionali

(

)

prostaferesi

Werner

v 1.7

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83

Teoremi sui triangoli rettangoli

trigonometria

relazioni fondamentali dei triangoli rettangoli dalla definizione di seno di un angolo si ha:

B

dalla similitudine dei triangoli rettangoli OHP e OCB si ha: In generale in ogni triangolo rettangolo vale la relazione:

P O

α

C

H

Analogamente in ogni triangolo rettangolo per il coseno vale la relazione:

esempio B

c

a

α O

b

C relazioni dei triangoli rettangoli

esempi

e

C

γ

e

e

a

b

e

β A

v 1.9

c

B

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e

e

e 84

Teoremi sui triangoli qualsiasi

trigonometria

teorema della corda in una circonferenza la lunghezza di una corda è uguale al prodotto del diametro per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda:

B β

α

A

oppure

corollario

per il teorema della corda, in un triangolo il rapporto tra un lato (inteso come corda) e il seno dell’angolo opposto è uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo:

C γ

a

b

β

α A

B

c

teorema dei seni o di Eulero in un triangolo ogni lato è direttamente proporzionale al seno dell’angolo opposto:

C

b

a

γ

α

β

A

B

c

teorema delle proiezioni in un triangolo un lato è uguale alla somma dei prodotti degli altri due lati per il coseno dell’angolo che ogni lato forma con il primo:

C b

γ

a

α

β

A

c

B

teorema del coseno o di Carnot C b

a

γ

β

α A

c

B

in un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, meno il doppio prodotto dei due lati per il coseno dell’angolo tra essi compreso.

area di un triangolo l’area di un triangolo è uguale al prodotto di due lati per il seno dell’angolo tra essi compreso diviso due

C b

a

γ

α A v 2.3

β c

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85

Formule di Trigonometria

trigonometria

formule di Briggs C

b

a

γ

α

β

A

B

c

dato un triangolo qualsiasi di cui siano note le misure dei lati a, b, c e il semiperimetro p, i seni, i coseni, le tangenti e le cotangenti delle semiampiezze degli angoli sono espresse dalle seguenti relazioni:

formula di Erone C

a

b A

B

c

l’area di un triangolo qualsiasi si esprime in funzione delle lunghezze dei lati a, b, c e del semiperimetro p come:

teorema delle tangenti o di Nepero C

a

b α A

β c

B

applicazioni della trigonometria alla geometria analitica

α

r α

significato del coefficiente angolare m di una retta di equazione in forma esplicita

tangente dell’angolo formato da due rette r ed s di coefficiente angolare ed

s

v 2.0

se se

è acuto la tangente è positiva è ottuso la tangente è negativa

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86

Formule di Trigonometria

trigonometria

applicazioni della trigonometria alla geometria raggio R della circonferenza circoscritta ad un triangolo

C γ

b α

A

a

R O

β

c

raggio r della circonferenza inscritta in un triangolo

C γ

b

a r

α A

= area del cerchio

oppure

B

β B

c

= area del cerchio

oppure

p = semiperimetro del triangolo

raggio delle circonferenze ex-inscritte ad un triangolo (cioè tangenti a un suo lato e ai prolungamenti degli altri due)

ra

oppure

C

oppure

γ b

a α

oppure

β

A

B

c

C

= area del cerchio

mediane di un triangolo

a

b

M

p = semiperimetro del triangolo

ma A

B

c

bisettrici di un triangolo

C γ

b

ba

α/2

A

D

a β B

c

area di un parallelogramma

D

C

area di un quadrilatero D

b A

v 2.0

α

A

a

B

α

C

d1

d2 B

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87

Elementi di topologia della retta

analisi

insieme l’insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto

secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi, “per insieme si intende un raggruppamento, concepito come un tutto, di oggetti ben distinti della nostra intuizione o pensiero”

intervallo

un intervallo è l’insieme di tutti i valori compresi tra due estremi (finiti o infiniti) oppure

oppure

per approfondimenti sull’argomento consulta le schede ‘Insiemi’ e ‘Intervalli: classificazione e rappresentazione’

intorno completo di un punto

l’intorno completo di un punto

è un intervallo che contiene il punto

e può essere aperto o chiuso

intorno circolare di un punto l’intorno circolare di un punto

è un intervallo di centro il punto

5

4

e può essere aperto o chiuso

minimo di un insieme

5

3

il minimo m di un insieme I è l’elemento più piccolo appartenente all’insieme: dato l’insieme dato l’insieme

il minimo è il minimo

massimo di un insieme

dato l’insieme

il massimo è il massimo

ed 5

2

5

2

minorante di un insieme

7

2

il massimo M di un insieme I è l’elemento più grande appartenente all’insieme: dato l’insieme

10

2

ed

5 5

un minorante di un insieme è un elemento, non necessariamente appartenente all’insieme, che è minore o uguale a tutti gli elementi dell’insieme dato l’insieme

, 1 è ad esempio un minorante mentre l’intervallo

maggiorante di un insieme

è l’insieme dei minoranti

un maggiorante di un insieme è un elemento, non necessariamente appartenente all’insieme, che è maggiore o uguale a tutti gli elementi dell’insieme dato l’insieme v 2.1

, 5 è ad esempio un maggiorante mentre l’intervallo

è l’insieme dei maggioranti

osserva che l’insieme dei minoranti è sempre chiuso a destra; l’insieme dei maggioranti è sempre chiuso a sinistra © 2012 - www.matematika.it

88

Elementi di topologia della retta

analisi

estremo inferiore di un insieme l’estremo inferiore di un insieme I inf I è il massimo dell’insieme dei minoranti di dato l’insieme

infatti l’insieme dei minoranti di è

ed il massimo è proprio 2

estremo superiore di un insieme

l’estremo superiore di un insieme I sup I è il minimo dell’insieme dei maggioranti di dato l’insieme

•

infatti l’insieme dei maggioranti di è esempio

2 è il minimo

•

dato l’insieme

• è l’insieme

dei minoranti

•

ed il minimo è proprio 5

2 è l’estremo inferiore

5 NON è il massimo

•

è l’insieme

dei maggioranti

•

insieme dei maggioranti

insieme dei minoranti 2

5 è l’estremo superiore

5

osserva che se l’insieme è chiuso il minimo e il massimo esistono e coincidono con l’estremo inferiore e superiore; se l’insieme è aperto il minimo e il massimo non esistono mentre esistono sempre l’estremo inferiore e superiore

punto di accumulazione

per un insieme

un punto si dice di accumulazione per un insieme se in ogni intorno del punto cade almeno un elemento dell’insieme distinto dal punto stesso fai attenzione che l’appartenenza o meno del punto all’insieme non è legata all’essere o meno di accumulazione per l’insieme stesso come vedremo meglio nei successivi quattro esempi esempi

ed è di accumulazione

ed è di accumulazione

e non è di accumulazione

e non è di accumulazione

sia

ed

sia

ed

sia

ed

2

3 appartiene ad I ed è di accumulazione

sia

ed

1 appartiene ad I e non è di accumulazione

6

2

6

1

2

6

1

2

6

2 non appartiene ad I ed è di accumulazione

1 non appartiene ad I e non è di accumulazione

3

un punto che appartiene ad un insieme ma non è di accumulazione per l’insieme stesso si dice punto isolato

v 2.1

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89

Funzioni: definizione e tipi

analisi

definizione Una funzione è una legge che associa ad ogni elemento di un insieme X uno ed un solo elemento di un insieme Y Una funzione si indica con • • •

dove:

è un generico elemento di X ed

o

si chiama immagine di

l’insieme X viene chiamato dominio o campo di esistenza di f

ed appartiene all’insieme Y

il sottoinsieme di Y formato dalle immagini di tutti gli elementi del dominio si chiama codominio di f

tipi di funzione: iniettiva, suriettiva, biunivoca

d ●

Y ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5

X

Y

a ●

● 1

b ●

● 2

X a ● b ● c ●

c ● d ●

X

Y

a ●

● 1

b ●

● 2

c ●

● 3

d ●

● 4

X a ● b ● c ● d ●

X a ● b ● c ● d ●

v 3.5

● 3

Y ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5

Y ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5

• • ⋅ ⋅

• • ⋅ ⋅ •

• ⋅

funzione iniettiva

una funzione si dice iniettiva quando ad elementi distinti dell’insieme X corrispondono elementi distinti dell’insieme Y f(x) iniettiva

x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2)

la funzione della figura a sinistra è iniettiva ma non suriettiva l’insieme X è il dominio, il sottoinsieme di Y contenente gli elementi associati ad elementi di X, rappresenta il codominio di f

funzione suriettiva

una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento dell’insieme Y è immagine di almeno un elemento dell’insieme X f(x) suriettiva

la funzione della figura a sinistra è suriettiva ma non iniettiva l’insieme X è il dominio, l’insieme Y è il codominio di f

funzione biunivoca o biettiva

una funzione si dice biunivoca (o biettiva) quando è sia iniettiva che suriettiva, cioè quando ad ogni elemento dell’insieme X corrisponde uno ed un solo elemento dell’insieme Y e viceversa f(x) biunivoca

e viceversa

l’insieme X è il dominio, l’insieme Y è il codominio di f

funzione non iniettiva, non suriettiva

la funzione della figura a sinistra: • •

⋅

NON è iniettiva perché gli elementi distinti “b, c” dell’insieme X hanno la stessa immagine “2” NON è suriettiva perché non tutti gli elementi dell’insieme Y (“4, 5”) sono immagine di un elemento dell’insieme X

l’insieme X è il dominio, il sottoinsieme di Y, che contiene gli elementi associati ad elementi di X, rappresenta il codominio di f

corrispondenza

la figura a sinistra non rappresenta una funzione perché non ne soddisfa la definizione, infatti: all’elemento “b” dell’insieme X sono associati più elementi (“2, 3”) dell’insieme Y. In tal caso la legge non è una funzione ma prende il nome di corrispondenza © 2012 - www.matematika.it

90

Funzioni: definizione e tipi

analisi

funzioni numeriche •

• •

una generica funzione si indica con

è detta variabile indipendente ed appartiene al dominio è detta variabile dipendente ed appartiene al codominio

se ed

sono numeri reali allora la funzione si dice funzione reale di una variabile reale

in tutte le funzioni reali ad ogni coppia di numeri associati corrisponde un punto nel piano cartesiano; l’insieme di tali punti genera una curva che prende il nome di grafico della funzione

grafico di una funzione reale

consideriamo ad esempio la funzione radice cubica

x

Y

X

0

● 0 ● ● 1 ● ● ●

0● ● 1● ● ● ●

rappresentazione insiemistica Y

-2

X

•

X Y

2

tipi di funzione

•

●

●

●

●

●

●

●

X

●

grafico della funzione

la funzione in figura è iniettiva perché punti distinti dell’asse X hanno ordinate distinte sull’asse Y la funzione non è suriettiva perché non tutti i punti dell’asse Y sono associati a punti dell’asse X. La parte negativa dell’asse Y colorata in blù non è infatti associata a nessun punto dell’asse X la funzione in figura è suriettiva perché tutti i punti dell’asse Y sono associati a punti dell’asse X la funzione non è iniettiva perché punti distinti dell’asse X hanno la stessa ordinata sull’asse Y

la funzione in figura è biunivoca cioè sia iniettiva che suriettiva, infatti: • è iniettiva perché punti distinti dell’asse X hanno ordinate distinte sull’asse Y • è suriettiva perché tutti i punti dell’asse Y sono associati a punti dell’asse X

X

Y

v 3.5

-8

1

coppie di numeri associati

•

Y

-1

8

•

Y

0

-1 1

Y

X

X

la funzione in figura non è iniettiva e non è suriettiva, infatti: • non è iniettiva perché punti distinti dell’asse X hanno la stessa ordinata sull’asse Y • non è suriettiva perché non tutti i punti dell’asse Y sono associati a punti dell’asse X. La parte negativa dell’asse Y colorata in blù non è infatti associata a nessun punto dell’asse X la curva in figura non è una funzione perché ai punti sull’asse delle X corrisponde più di un’ordinata sull’asse delle Y. In questo caso la legge non è una funzione ma prende il nome di corrispondenza © 2012 - www.matematika.it

91

Grafici delle funzioni elementari

analisi

v 2.8

potenza con n pari

radice con n pari

potenza con n dispari

radice con n dispari

coseno

arcocoseno

logaritmo con a > 1

esponenziale con a > 1

tangente

arcotangente

logaritmo con 0 < a < 1

esponenziale con 0 < a < 1

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seno

cotangente

arcoseno

arcocotangente 92

Grafici di funzioni: trasformazioni

analisi

Noto

grafico di una funzione in alcuni casi è possibile disegnare il grafico di una nuova funzione ottenuta da quella nota mediante una semplice trasformazione. funzione iniziale

il

Di seguito si riportano i casi più comuni per una funzione a dominio positivo

traslazione verso l’alto di

unità

dilatazione sull’asse y di un fattore

ribaltamento rispetto all’asse x

ribaltamento della parte negativa rispetto all’asse delle x

traslazione verso sinistra di

unità

contrazione sull’asse x di un fattore

ribaltamento rispetto all’asse y

riflessione rispetto all’asse delle y

traslazione verso il basso di

unità

contrazione sull’asse y di un fattore

ribaltamento rispetto all’asse x e all’asse y

ribaltamento della parte negativa rispetto all’asse x e successiva riflessione rispetto all’asse delle y

traslazione verso destra di

v 2.4

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unità

dilatazione sull’asse x di un fattore 93

analisi

Campo di esistenza o Dominio di funzioni funzione

condizione funzione fratta

si pone il denominatore diverso da 0

funzione radice ad indice pari

n pari

si pone il radicando maggiore o uguale di 0

funzione logaritmo

si pone l’argomento maggiore di 0

funzione logaritmo con una funzione alla base si pone

α α

funzione potenza con esponente una frazione positiva o un numero irrazionale positivo

frazione positiva o irrazionale positivo

si pone la funzione maggiore o uguale di 0

funzione potenza con esponente una frazione negativa o un numero irrazionale negativo

frazione negativa o irrazionale negativo

si pone la funzione maggiore di 0

funzione elevata ad una funzione

si pone la funzione alla base maggiore di 0

funzione tangente

si pone l’argomento diverso da

funzione cotangente

si pone l’argomento diverso da

funzione arcoseno

si pone l’argomento compreso tra

funzione arcocoseno

si pone l’argomento compreso tra

e e

• le funzioni che non compaiono in questa tabella (ad esclusione di quelle iperboliche) sono •

v 2.4

definite se sono necessarie più condizioni esse vanno messe a sistema © 2012 - www.matematika.it

94

Definizione di limite di una funzione

analisi

premessa

definizione

considerata una funzione •

sia D il suo dominio

•

sia

un punto di accumulazione per D

si dice che è il limite per che tende a e si scrive

di

se:

:

• per ogni intorno • esiste un intorno • tale che per ogni : • appartenente all’intorno • appartenente al dominio D • diverso dal punto • si ha che appartiene all’intorno

definizione insiemistica

La definizione insiemistica di limite di una funzione in un punto è una definizione generale. Essa è infatti valida per ogni valore finito o infinito di e di .

La lettura di tale definizione è riportata in alto nel riquadro “definizione” definizione algebrica

)

La definizione algebrica di limite è una “traduzione” di quella insiemistica, quella qui sopra riportata si riferisce al caso in cui ed sono numeri finiti. rappresentano numeri positivi molto piccoli, in particolare: • rappresenta il raggio dell’intorno i cui estremi sono “ ” ed “ ” • rappresenta il raggio dell’intorno di centro i cui estremi sono ” “ ed “ “ definizione mista

La definizione mista di limite è una “composizione” delle precedenti definizioni. In particolare essa prende la simbologia della definizione algebrica in riferimento all’asse delle y (quella nella prima e nell’ultima parte) e prende la simbologia della definizione insiemistica in riferimento all’asse delle x (quella nella parte centrale) La definizione qui sopra riportata si riferisce al caso in cui ed sono numeri finiti. osservazioni

L’esistenza del limite di una funzione in un punto è indipendente dal comportamento della funzione nel punto stesso. Può infatti accadere che: • nel punto esiste il limite della funzione, esiste il valore della funzione e sono uguali • nel punto esiste il limite della funzione, esiste il valore della funzione ma sono diversi • nel punto esiste il limite della funzione ma non esiste il valore della funzione v 3.7

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95

analisi

Tutte le definizioni di limite di una funzione: insiemistica, algebrica, mista

Data una funzione

l

●

sia D il suo dominio e sia

un punto di accumulazione per il dominio

●

xo

x0

x0

l

l

v 2.1

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96

Algebra e calcolo

analisi

di

limiti

algebra dei limiti

il segno davanti a nel risultato va stabilito in base alla regola dei segni

forme indeterminate

calcolo di limiti di funzioni algebriche che si presentano in forma indeterminata forma indeterminata che si ottiene dal calcolo

• • •

• • • • •

cosa fare:

mettere in evidenza la

di grado massimo

ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

al numeratore mettere in evidenza la di grado massimo del numeratore e al denominatore mettere in evidenza la di grado massimo del denominatore semplificare dove è possibile

ricalcolare il limite tenendo conto dei segni scomporre numeratore e denominatore semplificare

ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

osservando che: • • •

moltiplicare e dividere per sviluppare i calcoli

ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

osservando che: • • • per risolvere per risolvere •

• • • •

bisogna considerare il grado del polinomio al numeratore e il grado del polinomio al denominatore •

v 2.6

moltiplicare e dividere per sviluppare i calcoli

ricalcolare il limite tenendo conto dei segni

sostituire o alla di grado massimo e trascurare gli altri termini del polinomio tenere conto dei segni

se il polinomio al numeratore ha grado maggiore il risultato è tenendo conto dei segni

se i gradi sono uguali il risultato è il rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo

se il denominatore ha grado maggiore il risultato è zero

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97

Limiti notevoli

analisi

funzioni goniometriche

funzioni esponenziali e logaritmiche

l’ uguaglianza a sinistra può essere utile per risolvere alcuni limiti che si presentano nelle forme indeterminate

ad ogni limite notevole si possono applicare le seguenti proprietà che lasciano invariato il risultato limite iniziale

se il testo del limite è invertito anche il risultato sarà invertito

se nel limite al posto di x c’è nx il risultato del limite resta lo stesso

se il testo del limite è invertito anche il risultato sarà invertito

frazioni equivalenti per il calcolo dei limiti notevoli può essere utile ricordare alcune delle possibili operazioni con le frazioni:

scomporre la frazione iniziale in due frazioni

v 3.0

dividere ogni monomio del numeratore e del denominatore per la stessa quantità n

moltiplicare e dividere la frazione per la stessa quantità n

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moltiplicare e dividere il numeratore per n e/o moltiplicare e dividere il denominatore per m

98

analisi

Definizione di funzione continua, crescenza e descrescenza di una funzione definizione di funzione continua in un punto

f(x0 ) = l

f(x)

●

●

• • •

•

xo

data una funzione della funzione

la funzione

ed un punto

appartenente al dominio D

si dice continua nel punto

diversamente il punto

se:

cioè:

si dice punto di discontinuità per

si osservi che in un punto isolato la funzione è continua

Una funzione si dice continua in un intervallo se è continua in tutti punti dell’intervallo

classificazione dei punti di discontinuità

per classificare un punto

di discontinuità si calcolano separatamente il limite sinistro ed il limite destro A seconda dei valori di ed i punti si classificano in tre specie: •

l2 l1

● ●

il punto si dice punto di discontinuità di prima specie se i limiti sinistro e destro della funzione in sono diversi e finiti, cioè:

con

●

xo •

●

xo

l1 = l2

• ●

●

si dice salto della funzione

il punto si dice punto di discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due limiti sinistro o destro della funzione in è uguale a infinito, cioè:

oppure

il punto si dice punto di discontinuità di terza specie o eliminabile se i limiti sinistro e destro della funzione in sono uguali e finiti cioè:

con

xo

in questo caso la discontinuità si può eliminare ponendo

definizione di funzione crescente e decrescente in un intervallo f(x2)

●

f(x1)

●

f(x) ●

f(x1) f(x2)

b

f(x)

● ●

a v 1.5

●

x2

x1

a

●

x1

●

x2

b

una funzione

si dice crescente in un intervallo chiuso

una funzione se:

si dice strettamente crescente in un intervallo chiuso

una funzione

si dice decrescente in un intervallo chiuso

una funzione chiuso se:

si dice strettamente decrescente in un intervallo

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se:

se:

99

Definizione dei punti di massimo e di minimo relativi ed assoluti

analisi

punti minimorelativi relativididiuna unafunzione funzione puntididimassimo massimoe ediminimo sia

una funzione definita nel dominio , sia

f(x)

Ix0

● ●

f(x)

massimo se

●

x0

x

un punto si dice di minimo relativo per una funzione se esiste un intorno I di tale che l’ordinata di sia minore o uguale delle ordinate di tutti i punti di I

●

Ix0

m

f(x0) ● ●

minimo se

●

x0

x

un intorno di

un punto si dice di massimo relativo per una funzione se esiste un intorno I di tale che l’ordinata di sia maggiore o uguale delle ordinate di tutti i punti di I

M

f(x0) ●

un punto appartenente al dominio, sia

punti di massimi e minimi assoluti di una funzione sia

f(b)

una funzione continua in un intervallo

f(x1) f(a) f(x2) x1

x2

massimo relativo

minimo assoluto

a

b massimo assoluto

e sia

un punto appartenente ad

un punto intervallo

si dice di massimo assoluto per una funzione in un se è il punto di ordinata maggiore in cioè se

un punto intervallo

si dice di minimo assoluto per una funzione in un se è il punto di ordinata minore in cioè se

relazione tra i punti di massimo e minimo relativi ed assoluti Osserva che un punto di massimo o di minimo assoluto non deve necessariamente essere un punto di massimo o di minimo relativo (e viceversa).

Ad esempio nel grafico precedente nell’intervallo [a, b] si ha che: • • • •

il punto il punto il punto

il punto

non è né di massimo nè di minimo assoluto o relativo è di massimo relativo ma non di massimo assoluto

è un punto di minimo relativo ma anche di minimo assoluto

è di massimo assoluto ma non di massimo relativo osservazione

f(b)

nel grafico di sinistra nell’intervallo [a, b] si ha che: • il punto

f(a) a

minimo assoluto v 1.2

b

massimo assoluto

• il punto

è di minimo assoluto ma non di minimo relativo

è di massimo assoluto ma non di massimo relativo

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100

Definizione di concavità, punti di flesso, punti angolosi e punti cuspidali definizione di funzione concava in un intervallo sia

una funzione definita nel dominio D, sia

t

●

●

a

b

●

una funzione si dice concava verso il basso in un intervallo se il grafico della funzione in per ogni punto appartenente ad è al di sotto della retta tangente al grafico della funzione nel punto P0 di coordinate

b F

punti di flesso

t

●

una funzione si dice concava verso l’alto in un intervallo se per il grafico della funzione in è al ogni punto appartenente ad di sopra della retta tangente al grafico della funzione nel punto P0 di coordinate

t

●

a

un intervallo interno al dominio

un punto si dice punto di flesso per una funzione se la retta tangente in F ( ) attraversa il grafico della funzione punti angolosi e punti cuspidali un punto si dice punto angoloso per una funzione se i limiti dei rapporti incrementali da sinistra e da destra sono diversi ed almeno uno dei due è finito con almeno uno dei due limiti finito

un punto si dice punto cuspidale se i limiti dei rapporti incrementali da sinistra e da destra sono entrambi uguali ad infinito ●

osservazioni

v 1.1

o viceversa

• I punti angolosi e cuspidali sono un esempio di punti in cui la funzione è continua ma non derivabile.

• I punti angolosi e cuspidali possono essere punti di massimo o di minimo per la funzione ma non possono essere individuati con i metodi tradizionali per la ricerca dei massimi e dei minimi poiché in essi la funzione è continua ma non derivabile. Per essi va fatta una specifica indagine basata sulla studio della crescenza e decrescenza della funzione nell’intorno sinistro e nell’intorno destro del punto angoloso o del punto cuspidale. © 2012 - www.matematika.it

101

Rapporto incrementale – Derivata

analisi

definizione di rapporto incrementale di una funzione in un punto

f(x0)

•

y = f(x)

f(x0+h) Δy

•

Δx

xo

data una funzione dominio D della funzione

nel punto

si chiama incremento della variabile x

•

il rapporto incrementale ha senso per ogni

appartenente al

si chiama rapporto incrementale della funzione il rapporto:

•

xo+h

ed un punto

tale che

si chiama incremento della funzione

appartiene ancora al dominio D della funzione

definizione di derivata prima di una funzione in un punto

•

data una funzione

•

ed un punto

si definisce derivata prima di

appartenente al dominio D della funzione

nel punto

il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale di

se una funzione è derivabile in tutti i punti di un intervallo o del dominio si dice che dominio e per indicare la derivata prima si usano equivalentemente i simboli: ,

in

:

è derivabile nell’intervallo o nel ,

definizione di derivata prima sinistra e destra di una funzione in un punto

si definisce derivata prima sinistra di nel punto il si definisce derivata prima destra di nel punto il limite sinistro, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale limite destro, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale in : in : di di

significato geometrico di derivata

y = mx+q f(x0)

la derivata prima di una funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa cioè nel punto :

P0

x0 per trovare l’equazione della retta • • • v 1.6

tangente al grafico di una funzione

si calcola la derivata prima della funzione nel punto

nell’equazione del fascio di rette e ad

si ottiene così l’equazione della retta tangente:

e si ottiene

si sostituiscono ad

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ed

nel punto

:

le coordinate del punto

102

analisi

Derivate derivate delle funzioni elementari dove k è una costante

regole di derivazione prodotto di una costante k per una funzione somma di due o piĂš funzioni prodotto di due funzioni prodotto di tre funzioni

rapporto di due funzioni

funzione composta funzione elevata ad una funzione v 1.6

Š 2012 - www.matematika.it 103

Studio del grafico di una funzione

analisi

ricerca del dominio (o campo di esistenza) della funzione

1

n pari

Le funzioni che non compaiono in questa tabella (ad esclusione di quelle iperboliche) sono definite

studio del segno della funzione

2

+ ―

●

●

―

+ +

+

+ ● ―

●

●

•

si pone la funzione maggiore di zero

•

si risolve la disequazione

•

si individuano le regioni di piano dove la funzione è positiva (+) o negativa ( ) all’interno del dominio

•

si cancellano le regioni di piano dove la funzione non esiste

studio delle intersezioni della funzione con gli assi cartesiani

3

●

●

intersezioni con l’asse x o zeri della funzione: •

●

si pone la funzione uguale a zero, si risolve l’equazione

•

le soluzioni dell’equazione sono gli zeri della funzione

intersezione con l’asse y (solo se il dominio lo consente):

●

•

si sostituisce 0 alla x nella funzione

•

si svolgono i calcoli e si ottiene l’ordinata del punto di intersezione con l’asse delle y

gli eventuali punti di intersezione con l’asse x (o zeri della funzione) si possono anche dedurre dalla osservazione del grafico relativo allo studio del segno della funzione

studio delle eventuali simmetrie e periodicità di una funzione

4

una funzione simmetrica rispetto all’asse delle y si dice pari

• • • •

si sostituisce x con − x si sviluppano i calcoli se la funzione è pari

una funzione simmetrica rispetto all’origine degli assi si dice dispari

• •

• •

si sostituisce x con

−x

una funzione che ripete periodicamente la forma si dice periodica

•

si sviluppano i calcoli e si raccoglie il “ “ •

se la funzione è dispari

• •

si sostituisce x con si sviluppano i calcoli se la funzione è periodica di periodo T

lo studio delle simmetrie si effettua solo se il dominio e il segno sono a loro volta entrambi simmetrici

v 2.8

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104

Studio del grafico di una funzione

analisi

asintoti di una funzione

5

asintoto verticale dove si cerca: • nei punti di discontinuità della funzione • nei punti agli estremi del dominio di se sono finiti e non appartenenti al dominio stesso

f(x)

●

come si cerca:

xo

asintoto orizzontale

dove si cerca: •

f(x) n

a

se il dominio lo consente

come si cerca:

●

•

solo se l’asintoto orizzontale non esiste, si cerca l’asintoto obliquo

asintoto obliquo

dove si cerca: •

se il dominio lo consente e se non esiste già l’asintoto orizzont

come si cerca:

f(x)

studio della monotonia di

6

a

e ricerca dei massimi e minimi relativi •

monotonia

•

f cresce

+

7

f decresce

-

max

•

f cresce

min

+

•

•

verso l’alto

+

si risolve la disequazione

e la si pone maggiore di 0

si individuano le regioni di piano dove: è crescente

è decrescente

osservando il grafico della crescenza e decrescenza si individuano i punti di massimo e di minimo. Essi vanno considerati solo se appartengono al dominio della funzione

studio della concavità e ricerca dei flessi di una funzione •

concavità

si calcola la derivata prima di

verso il basso

flesso

-

verso l’alto

flesso

+

•

•

si calcola la derivata seconda di si risolve la disequazione

e la si pone maggiore di 0

si individuano le regioni di piano dove:

è concava verso l’alto

è concava verso il basso

osservando il grafico della concavità si possono individuare i punti di flesso. Essi vanno considerati solo se appartengono al dominio della funzione

Per ottenere una maggiore precisione nel disegno del grafico si possono calcolare le coordinate di alcuni suoi punti attribuendo valori arbitrari (appartenenti al dominio) alla x nel testo della funzione e calcolando le rispettive y v 2.8

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105

Ricerca dei punti di massimo e di minimo di una funzione

analisi

ricerca diretta dei punti di massimo e minimo relativi e di flesso orizzontale per una funzione sia

una funzione definita nell’intervallo

e sia

M

f(x0)●

un punto appartenente all’intervallo F

t

m f(x0)● ●

a

●

b

●

b

a

i punti di massimo e minimo relativi per una funzione sono da ricercare tra i punti che annullano la derivata prima ma non annullano le derivate di ordine pari. I punti di flesso orizzontale sono da ricercare tra i punti che annullano la derivata prima ma non annullano le derivate di ordine dispari successive alla prima

• • •

•

•

•

si calcola la derivata prima di si pone

si risolve l’equazione ottenendo le soluzioni

•

i punti

•

possono essere di massimo, di

minimo o di flesso orizzontale

i punti così trovati si analizzano uno alla volta

se:

è un punto di minimo relativo è un punto di massimo relativo si calcola

se:

è un punto di flesso orizzontale si calcola

se:

è un punto di minimo relativo è un punto di massimo relativo si calcola ………. e così via

sostituendoli nelle derivate di ordine successivo

ricerca dei punti di massimo e minimo assoluti di una funzione in un intervallo [a, b]

f(b)

f(b)

f(x1) f(a) f(x2)

f(a) a

x1 massimo relativo

x2 minimo assoluto

b

massimo assoluto

a

minimo assoluto

b

massimo assoluto

per trovare i punti di massimo e minimo assoluto di una funzione in un intervallo [a, b] si può procedere nel seguente modo: • • • • •

v 1.1

si cercano i punti di massimo e minimo relativi della funzione con uno dei metodi conosciuti

dei punti così trovati si considerano solo quelli appartenenti all’intervallo [a, b] di ognuno di questi punti si calcola il valore della funzione (l’ordinata)

si calcola anche il valore della funzione (l’ordinata) nei punti a e b estremi dell’intervallo

tra tutti i punti di cui abbiamo calcolato l’ordinata, quello di ordinata maggiore è il massimo assoluto, quello di ordinata minore è il minimo assoluto della funzione nell’intervallo [a, b] © 2012 - www.matematika.it

106

Integrali indefiniti

analisi

immediati

immediati generalizzati dove è una ostante

un integrale generalizzato si ottiene da un integrale immediato sostituendo con e con

in generale lâ&#x20AC;&#x2122;integrale di una funzione composta per la derivata della funzione interna primitiva della funzione esterna

moltiplicata è uguale alla

alcuni metodi di integrazione

prodotto di una costante k per una funzione metodo di decomposizione in somma metodo per parti v 2.3

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107

Principali teoremi di Analisi

analisi

teoremi sui limiti 2 ●

f(x)





1 ● x0 f(x)

f(x2)>0

> 0

f(x1)>0

x0

x2

teorema della permanenza del segno

Se una funzione in un punto x0 è dotata di limite  ≠ 0 allora esiste almeno un intorno I di x0 tale che per tutti i punti di I (escluso al più x0 ) i valori della funzione hanno lo stesso segno del limite teorema del confronto detto anche dei “carabinieri”

h(x)



g(x)

f(x)

 x0



Se una funzione in un punto è dotata di limite finito allora esso è unico

Dalla definizione di funzione, basta ricordare che ad ogni valore della x deve corrispondere uno ed un solo valore della y. Quindi, se per assurdo la funzione f(x) avesse nello stesso punto x0 due limiti diversi, essa non sarebbe più una funzione e ciò contraddice l’ipotesi del teorema



x1

teorema di unicità del limite

Date tre funzioni f(x) , g(x), h(x): 1. se esiste un intorno I del punto x0 in cui g(x) è compresa tra f(x) e h(x) in tutti i punti dell’intorno I escluso al più x0 stesso 2. se f(x) e h(x) tendono nel punto x0 allo stesso limite finito  allora anche g(x) avrà in x0 limite uguale ad  teoremi sulle funzioni continue

teorema di Weierstrass

M ●

 m

f(x)



●

a M●

 k

b

●

●

f(x)

●



m●

x1

a

b f(x)

f(b)

 

f(a) v 1.9

●

a

● z1

● z2

●

b

Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora è dotata di massimo e minimo (assoluti)

Osserva che un massimo o minimo assoluto non deve necessariamente essere un massimo o un minimo relativo: vedi, ad esempio, il punto m sul grafico che è un minimo assoluto e non un minimo relativo

teorema dei valori intermedi o di Bolzano

Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] allora assume tutti i valori compresi tra il suo minimo “m” ed il suo massimo “M” In altre parole, il teorema afferma che ogni punto k dell’intervallo [m, M] è immagine di almeno un punto (x1,…) dell’intervallo [a, b]

teorema degli zeri

Se una funzione f(x): 1. è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. e assume valori di segno opposto in a e b cioè f(a) • f(b) < 0 allora esiste almeno un punto z interno all’intervallo ]a, b[ in cui la funzione si annulla cioè f(z) = 0 © 2012 - www.matematika.it

108

Principali teoremi di Analisi

analisi

teoremi sul calcolo differenziale teorema sulla relazione tra derivabilità e continuità

f(x)

Se una funzione f(x) è derivabile in un punto x0 allora la funzione è ivi anche continua

Si osservi che il teorema non si può invertire, infatti: nel punto angoloso x0 della figura la funzione è continua ma non derivabile in quanto la derivata sinistra è diversa dalla derivata destra

x0

teorema sulla derivata della funzione inversa

il teorema può essere utilizzato per calcolare la derivata di funzioni inverse. Si voglia ad inesempio calcolare la derivata di versa della funzione

Se una funzione è derivabile in x0 e la sua derivata è diversa da zero, allora anche la funzione inversa x = f-1(x0) è derivabile nel punto corrispondente y0 = f(x0) e si ha:

teorema di Rolle

f(a)=f(b)

a

f(b) f(a)

●

●

c1

c2

b

 P





B

●



A

f(x)

f(x)

●



a



c



b

Se una funzione f(x) è: 1. continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. derivabile nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ 3. e assume valori uguali agli estremi dell’intervallo cioè f(a) = f(b) allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo in cui la derivata prima si annulla cioè f ′(c) = 0 teorema di Lagrange

Se una funzione f(x) è: 1. continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. e derivabile nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo tale che:



il teorema è detto degli incrementi finiti e si può enunciare anche dicendo: se le funzioni f(x) e g(x) verificano le ipotesi indicate, in un opportuno punto c dell’intervallo ]a, b[ il rapporto tra le rispettive derivate in c è uguale al rapporto tra gli incrementi delle funzioni calcolate agli estremi a e b dell’intervallo [a, b]

teorema di Cauchy

Se f(x) e g(x) sono funzioni: 1. continue nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. derivabili nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ 3. e inoltre g ‘(x) in ogni punto interno dell’intervallo ]a, b[ allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo ]a, b[ tale che: teorema di de L’Hopital

si osservi che: 1. il teorema si estende anche al caso in cui e il imite si presenta nella forma indeterminata 2.

il teorema, quando opportuno, può essere applicato più volte consecutivamente

v 1.9

Se f(x) e g(x) sono funzioni: 1. derivabili in un intorno I di x0 2. con derivate continue e g′(x) ≠ 0 in detto intorno 3. il limite del loro rapporto si presenta nella forma allora

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109

Principali teoremi di Analisi

analisi

f ’(x) > 0

teorema sulla monotonia di una funzione in un intervallo

f ’(x) < 0

a

Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso I e derivabile nei punti interni di I e se la derivata prima in I è positiva (negativa) allora la funzione f(x) è crescente (decrescente) nell’intervallo I b

M

vale anche il teorema inverso cioè

Se la funzione è crescente (decrescente) in un intervallo I allora la derivata prima in tale intervallo sarà positiva (negativa) teorema sui massimi e minimi di una funzione (di Fermat)

●

m

F ●

Se una funzione f(x) ammette un massimo o un minimo in un punto x0

x0

Il teorema non si può invertire infatti i punti in cui la derivata prima è nulla, cioè f ′(x0) = 0, detti punti stazionari , possono essere punti di massimo, di minimo o di flesso orizzontale

allora la derivata prima in x0 è nulla cioè f ′(x0) = 0

●

x0

x0

teorema sulla concavità di una funzione in un intervallo

f ’’(x) < 0

f ’’(x) > 0

a

Se una funzione f(x) è derivabile due volte nei punti interni di un intervallo I e se la derivata seconda è positiva (negativa) allora la funzione è concava verso l’alto (il basso) nell’intervallo I b

vale anche il teorema inverso cioè

Se la funzione è concava verso l’alto (il basso) in un intervallo I allora la derivata seconda sarà positiva (negativa) teorema sui flessi di una funzione

Se una funzione f(x) è dotata di derivata prima e di derivata seconda continua in x0 e se tale punto è un flesso allora la derivata seconda in x0 è nulla, cioè f ′′(x0) = 0

F

Il teorema non si può invertire, basti pensare alla funzione y=x4 che nell’origine degli assi cartesiani ha derivata seconda uguale a 0: f ′′(x4) =12x2 che calcolata in 0 risulta nulla. In tale punto però non vi è un flesso, bensì un punto di minimo come illustrato nel disegno affianco

x0

O

teoremi sul calcolo integrale

teorema della media

Se una funzione f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b],

f(c) a

c

b

dal teorema deriva la formula che permette di calcolare il valore dell’integrale definito di una funzione f(x) conoscendo una sua primitiva F(x):

v 1.9

allora esiste almeno un punto c appartenente all’intervallo [a, b] tale che: teorema fondamentale del calcolo integrale

Se f(x) è una funzione continua in [a, b] e una funzione detta funzione integrale allora esiste la derivata prima della funzione integrale in ogni punto x dell’intervallo [a, b] e si ha:

F ′(x) = f(x)

In altre parole il teorema, nell’ipotesi indicata, afferma che la funzione integrale è una primitiva di f(x) © 2012 - www.matematika.it

110

analisi per l’università

Sviluppo in serie di funzioni elementari sviluppo in serie di Taylor

• • •

f(x) è una funzione derivabile almeno n volte in

è detto resto di Peano e si legge: o piccolo di

o piccolo è un infinitesimo di ordine superiore a

, cioè:

algebra degli o piccoli: per

se

si ha:

si ha lo sviluppo in serie di Mac Laurin

sviluppo in serie di Mac Laurin di alcune funzioni elementari funzione potenza con funzione radice quadrata funzione esponenziale con base funzione esponenziale con base funzione logaritmo in base funzione seno funzione coseno funzione tangente funzione cotangente funzione secante

funzione cosecante funzione arcoseno funzione arcocoseno funzione arcotangente v 2.1

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funzione arcocotangente

111

Serie numeriche

analisi per l’università

definizioni Data la successione

si considerino le somme parziali

si dice serie di termine generale

e si indica con

cioè:

oppure con

carattere della serie

se S è finito

•

altrimenti

•

•

se

Se

converge

se

converge

se

la serie

si dice convergente

la serie

è indeterminata

la serie

si dice divergente

prime proprietà

condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza di una serie è che il termine generico sia infinitesimo

assegnate

converge

e

e

e

convergenza del prodotto di una costante per una serie

converge

convergono

convergenza della somma di due serie

serie notevoli simbologia

carattere

divergente

divergente

convergente irregolare

convergente divergente irregolare

convergente

...

divergente

convergente v 1.9

(positivamente o negativamente)

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nome

serie armonica serie armonica generalizzata serie geometrica di ragione serie geometrica di punto iniziale e ragione serie di Mengoli 112

Serie numeriche

analisi per l’università

Criteri di convergenza criterio del confronto per serie a termini non negativi

Date le successioni •

e

se

sia:

converge

se

converge

diverge

diverge

criterio del confronto mediante i limiti per serie a termini non negativi

Date le successioni • •

e

,

se

sia:

se

e

se

le serie e sono entrambe convergenti oppure divergenti

converge

e

converge

diverge

criterio degli infinitesimi per serie a termini non negativi

Data la successione

sia:

•

con

•

diverge

converge

se se

diverge

e

se

converge

e

criterio della radice o di Cauchy per serie a termini positivi

Data la successione • •

se

sia: con

converge

se

,

può essere utile in caso di serie con esponenziali

diverge

diverge

se

non si può dire nulla

criterio del rapporto o di D’Alembert per serie a termini positivi

Data la successione • •

se

sia: con

,

converge

se

può essere utile in caso di serie con fattoriali

diverge

se

non si può dire nulla

criterio di Leibnitz per serie con termini a segno alterno decrescente

Data la successione

Data la serie alternante Data la serie v 1.9

sia:

e la serie

• •

se

converge

se

criterio di convergenza assoluta

se

converge

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converge 113

analisi per lâ&#x20AC;&#x2122;universitĂ

Funzioni iperboliche: Grafici - Domini - Derivate seno iperbolico

settore seno iperbolico

dominio:

dominio:

coseno iperbolico

settore coseno iperbolico

1 1 dominio:

dominio:

tangente iperbolica

settore tangente iperbolica

1

1

-1 -1

dominio:

dominio:

cotangente iperbolica

settore cotangente iperbolica

1 -1

-1

dominio:

v 1.5

1

dominio:

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114

analisi per lâ&#x20AC;&#x2122;universitĂ

Funzioni iperboliche: Definizioni e Sviluppo in serie definizione delle funzioni iperboliche

seno iperbolico

coseno iperbolico

tangente iperbolica

cotangente iperbolica

secante iperbolica

cosecante iperbolica

definizione delle funzioni iperboliche inverse settore seno iperbolico

settore coseno iperbolico

settore tangente iperbolica

settore cotangente iperbolica

settore secante iperbolica

settore cosecante iperbolica

sviluppo in serie di Mac Laurin per alcune funzioni iperboliche

funzione seno iperbolico funzione coseno iperbolico funzione tangente iperbolica funzione cotangente iperbolica funzione secante iperbolica funzione cosecante iperbolica settore seno iperbolico settore tangente iperbolica v 1.6

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115

analisi per l’università

Coordinate polari

ed

Equazioni di curve notevoli

coordinate polari

y

●

coordinate cartesiane del punto P

P

coordinate polari del punto P

ρ

distanza di P dall’origine

θ x

passaggio di coordinate da cartesiane a polari

misura dell’angolo orientato in senso antiorario e formato da con il semiasse positivo delle x

da polari a cartesiane

equazione cartesiana parametrica e polare di curve notevoli grafico

equazione cartesiana

equazione parametrica

equazione polare

retta

con segmento di estremi Q

con

P x2

x1

con

con

e

parabola con asse parallelo all’asse y

con circonferenza

●

di centro

e raggio r

con circonferenza

di centro l’origine e raggio r

con ellisse ●

con ellisse traslata di centro ●

con v 2.2

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116

Elementi di logica delle proposizioni

logica

definizioni

Una proposizione (o enunciato) è una affermazione che può essere Vera o Falsa • •

“Parigi è la capitale della Francia” ; “Roma è la capitale della Francia” sono proposizioni la prima è Vera, la seconda è Falsa “Il colore giallo non mi piace” ; “ Londra è la città più bella del mondo” non sono proposizioni

Una tautologia è una proposizione sempre Vera •

“Ora sono le nove o non sono le nove”

è una tautologia perché è una proposizione sempre Vera

“Ora sono le nove e non sono le nove”

è una contraddizione perché è una proposizione sempre Falsa

“Questa frase è falsa”

è un paradosso perchè se supponiamo la frase Vera allora risulta Falsa Viceversa se supponiamo la frase Falsa allora risulta Vera

Una contraddizione è una proposizione sempre Falsa •

Un paradosso è una proposizione che, se si suppone Vera risulta Falsa e se si suppone Falsa risulta Vera •

principi

una proposizione non può essere contemporaneamente Vera e Falsa

Principio di non contraddizione

se una proposizione è Vera allora la sua negazione è Falsa e non esiste una terza possibilità

Principio del terzo escluso

proposizioni

V V F F

non

V F V F

p∧q =q∧ p p∨q =q∨ p

F F V V

p ∧ (q ∧ r ) = ( p ∧ q) ∧ r p ∨ (q ∨ r ) = ( p ∨ q) ∨ r p ∧ (q ∨ r ) = ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r ) p ∨ (q ∧ r ) = ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )

p∧ p = p p∨ p = p p ∧ ( p ∨ q) = q p ∨ ( p ∧ q) = p p∧q = p∨q p∨q = p∧q v 2.3

operatori logici e tavole di verità e o xor implicazione

V F F F

V V V F

proprietà e leggi

F V V F

V F V V

doppia implicazione

V F F V

proprietà commutativa proprietà associativa proprietà distributiva proprietà di idempotenza proprietà di assorbimento 1a legge di De Morgan: 2a legge di De Morgan:

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“non p e q è uguale a non p o non q” “non p o q è uguale a non p e non q” 117

Progressioni

progressioni

Progressioni Aritmetiche una progressione aritmetica è una successione di numeri reali tali che la differenza tra un elemento ed il suo precedente è costante: La differenza tra un elemento ed il suo precedente è detta ragione e si indica con Esempio:

è una progressione aritmetica di primo elemento

formula

cosa fa

esempio

assegnata ad esempio la progressione aritmetica

calcola l’elemento di posto n conoscendo il primo elemento e la ragione calcola l’elemento di posto n conoscendo l’elemento di posto m e la ragione calcola la somma elementi:

e di ragione

dei primi n

con

Calcolo di

e ragione

e

noto

e Calcolo della somma dei primi 5 termini

Progressioni geometriche una progressione geometrica è una successione di numeri reali tali che il rapporto tra un elemento ed il suo precedente è costante: Il rapporto tra un elemento ed il suo precedente è detto ragione e si indica con Esempio:

è una progressione geometrica di primo elemento

cosa fa

formula

esempio

assegnata ad esempio la progressione geometrica

calcola l’elemento di posto n conoscendo il primo elemento e la ragione calcola l’elemento di posto n conoscendo l’elemento di posto m e la ragione calcola la somma elementi:

calcola il prodotto elementi: v 2.2

e di ragione

dei primi n

con

Calcolo di

noto

e ragione e

e Calcolo della somma dei primi 5 termini:

dei primi n Calcolo del prodotto dei primi 5 termini:

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118

calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio fattoriale di un numero n

Si chiama fattoriale di un numero naturale è anche uguale a

esempi

e si indica con

oppure a

(si legge n fattoriale) il prodotto:

per convenzione

coefficiente binomiale

Il simbolo si chiama coefficiente binomiale di n su k.

Il suo valore è dato da: proprietà

calcolo combinatorio Permutazioni

•

senza ripetizione di oggetti

con ripetizione di oggetti

•

Disposizioni

• •

c

•

≠

Combinazioni

≠

•

esempi

Permutazioni

• •

• •

c

• •

v 2.6

con ripetizione di oggetti

quanti anagrammi anche senza senso si possono quanti anagrammi anche senza senso si possono formare con la parola LIBRO? n = 5 formare con la parola MAMMA? n =5 r1 =3 r2 =2

Disposizioni

in quanti modi diversi 5 alunni si possono sedere utilizzando le cifre 1, 2, 3 quanti numeri di 4 cifre si su 3 sedie numerate? n = 5 k = 3 possono formare? n=3 k=4

Combinazioni

un negoziante vuole esporre 4 paia di scarpe si vogliono distribuire 7 matite identiche a 4 scelte tra 10 modelli diversi. In quanti modi si bambini, in quanti modi diversi si possono possono esporre le scarpe? n =10 k = 4 distribuire? fai attenzione n = 4 e k = 7

≠

≠

senza ripetizione di oggetti

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119

Probabilità

probabilità

definizione classica di probabilità

E rappresenta un evento;

è la probabilità che si verifichi l’evento

alcune proprietà

evento impossibile

Due eventi ed si dicono complementari se uno è la negazione dell’altro.

Vale la relazione:

evento certo

esempi

Consideriamo il lancio di un dado. Ai seguenti eventi sono associate le seguenti probabilità: esce il numero 2

esce un numero maggiore di 4

esce il numero 7

esce un numero compreso tra 1 e 6

tipi di eventi

eventi incompatibili Due o più eventi si dicono incompatibili quando il verificarsi di uno esclude gli altri

esempio: consideriamo il lancio di un dado con i seguenti eventi esce il numero 2 esce il numero 3 Nel lancio di un solo dado se si verifica non si può verificare quindi i due eventi sono incompatibili

eventi compatibili

Due o più eventi si dicono compatibili quando il verificarsi di uno non esclude il verificarsi degli altri

esempio: consideriamo il lancio di due dadi contemporaneamente ed i seguenti eventi esce il numero 2 su uno dei due dadi esce il numero 3 sull’altro dado I due eventi ed sono compatibili perché il verificarsi di uno NON esclude il verificarsi dell’altro

Nell’ambito degli eventi compatibili si distinguono eventi indipendenti ed eventi dipendenti

eventi indipendenti

Due o più eventi si dicono indipendenti quando il verificarsi di uno non modifica la probabilità di verificarsi degli altri

eventi dipendenti

Due o più eventi si dicono dipendenti quando il verificarsi di uno modifica la probabilità di verificarsi degli altri esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52 carte ed i seguenti eventi esce una carta di cuori esce una figura Se la prima carta estratta è rimessa nel mazzo e si procede all’estrazione della seconda carta, i due eventi ed sono indipendenti Se invece la prima carta estratta è lasciata fuori, la seconda estrazione dipenderà dalla prima ed i due eventi ed sono dipendenti

v 1.9

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120

Probabilità

probabilità

calcolo della probabilità di due o più eventi probabilità totale Si parla di probabilità totale di due o più eventi quando si vuole calcolare la probabilità che si verifichi uno solo degli eventi Per il calcolo bisogna distinguere tra eventi incompatibili ed eventi compatibili

probabilità totale di due o più eventi incompatibili

generalizzando

La probabilità totale di due o più eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi esempio: consideriamo il lancio di un dado. Si vuole calcolare la Probabilità che si verifichi uno dei seguenti eventi incompatibili:

esce il numero 2 esce un numero dispari

probabilità totale di due o più eventi compatibili dove

è la probabilità che si verifichino contemporaneamente i due eventi

La probabilità totale di due eventi compatibili è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi meno la probabilità che si verifichino contemporaneamente i due eventi Più complessa è la probabilità totale di tre eventi compatibili: esempio: consideriamo il lancio di un dado. Si vuole calcolare la Probabilità che si verifichi uno dei seguenti eventi compatibili:

esce il numero 2 esce un numero pari

probabilità composta Si parla di probabilità composta di due o più eventi quando si vuole calcolare la probabilità che si verifichino tutti gli eventi contemporaneamente.

Nel caso di eventi incompatibili la probabilità composta è nulla.

Nel caso di eventi compatibili bisogna distinguere tra eventi indipendenti ed eventi dipendenti.

probabilità composta di due o più eventi compatibili indipendenti

generalizzando

La probabilità composta di due o più eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52. Si estrae la prima carta e la si rimette nel mazzo quindi si estrae la seconda carta. Calcoliamo la Probabilità che si verifichino contemporaneamente i seguenti eventi indipendenti

esce una carta di cuori esce una figura

v 1.9

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121

Probabilità

probabilità

probabilità composta di due o più eventi compatibili dipendenti dove

è la probabilità che si verifichi l’evento

Tale probabilità è detta probabilità condizionata di

una volta verificatosi l’evento

al verificarsi di

La probabilità di due eventi dipendenti è uguale al prodotto della probabilità che si verifichi probabilità condizionata di al verificarsi di Più complessa è la probabilità composta di tre eventi dipendenti:

per la

esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52. Si estrae la prima carta e non la si rimette nel mazzo quindi si estrae la seconda carta. Calcoliamo la Probabilità che si verifichino contemporaneamente i seguenti eventi dipendenti:

esce una carta di cuori esce una figura

approfondimento: probabilità subordinata Consideriamo una situazione più complessa: supponiamo di avere tre scatole contenenti palline blù e gialle come indicato in figura e, scelta una scatola a caso, calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina gialla dalla scatola scelta 1a scatola

2a scatola

3a scatola

Consideriamo i seguenti eventi scelta della prima scatola scelta della seconda scatola scelta della terza scatola estrazione della pallina gialla nel caso in cui si è scelta la prima scatola estrazione della pallina gialla nel caso in cui si è scelta la seconda scatola estrazione della pallina gialla nel caso in cui si è scelta la terza scatola Calcoliamo la Probabilità di estrarre una pallina gialla da una scatola scelta a caso

teorema di Bayes Consideriamo l’esempio del riquadro precedente con in più i seguenti eventi: estrazione della pallina gialla dalla prima scatola estrazione della pallina gialla dalla seconda scatola estrazione della pallina gialla dalla terza scatola Calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina gialla da una precisa scatola

ognuna delle tre formule precedenti rappresenta una applicazione del teorema di Bayes v 1.9

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122

Probabilità

probabilità

tutte le definizioni di probabilità: classica, frequentista, soggettivista definizione classica di probabilità (da Fermat a Laplace) La probabilità classica di un evento casuale è uguale al rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili: La definizione classica, detta anche a priori, si utilizza quando: • gli eventi hanno tutti la stessa probabilità di verificarsi • è possibile calcolare il numero dei casi favorevoli e dei casi possibili esempio: vedi gli esempi delle pagine precedenti

definizione frequentista di probabilità (di Venn e Von Mises)

La probabilità frequentista di un evento è uguale al rapporto tra il numero di prove riuscite ed il numero di prove effettuate (tutte nelle stesse condizioni): è detta anche frequenza dell’evento E

La definizione frequentista, detta anche a posteriori, si utilizza quando: • gli eventi non hanno tutti la stessa probabilità di verificarsi • è possibile effettuare un certo numero di prove sperimentali tutte nelle medesime condizioni

esempio: consideriamo una puntina da disegno e lanciamola verso l’alto. Essa può cadere in due posizioni diverse:

Si effettuano

con la punta rivolta verso l’Alto oppure con la punta rivolta verso il Basso.

Si vuole calcolare, ad esempio, la probabilità che cada con la punta rivolta verso il Basso.

In casi come questo non si può applicare la probabilità classica ma la probabilità frequentista.

lanci, si conta il numero

di volte in cui la puntina si ferma con la punta verso il Basso e si ha:

maggiore è il numero di lanci e più attendibile sarà il valore trovato

alcune proprietà come per la probabilità classica anche la frequenza è un numero compreso tra 0 e 1

non vuol dire che l’evento è impossibile ma solo che non si è mai verificato nelle prove

non vuol dire che l’evento è certo ma solo che si è sempre verificato durante le prove

legge dei grandi numeri Al crescere delle prove effettuate la probabilità frequentista di un evento si avvicina sempre più alla probabilità classica dello stesso evento

Tale legge, detta anche legge empirica del caso, stabilisce una relazione tra la definizione classica di probabilità e quella frequentista. Un enunciato equivalente della legge dei grandi numeri è il seguente:

Su un numero molto alto di prove effettuate la frequenza di un evento assume un valore molto vicino alla sua probabilità classica definizione soggettivista di probabilità (di Bruno De Finetti) La probabilità soggettivista di un evento è la misura del grado di fiducia che una persona, in base alle informazioni in suo possesso e alla sua opinione, assegna al verificarsi dell’evento

La definizione soggettivista si utilizza quando non ci sono le condizioni per utilizzare le definizioni precedenti.

vediamo alcuni esempi nei quali si può applicare solo la probabilità soggettivista. Si vuole calcolare la probabilità • che una nuova trasmissione televisiva incontri il favore del pubblico • che una squadra di calcio con una formazione rinnovata vinca una partita • che un nuovo prodotto commerciale incontri il favore dei consumatori v 1.9

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123

Numeri Complessi

numeri complessi

numeri immaginari

• •

si chiama unità immaginaria e si indica con la radice quadrata di

:

un numero immaginario si ottiene dalla radice quadrata di un numero negativo ad esempio:

•

le potenze di

in generale

si ripetono di 4 in 4 infatti: con r resto della divisione di n per 4. Ad esempio:

perchè

numeri complessi (forma algebrica)

•

•

con resto r = 3

un numero complesso z è la somma di un numero reale e di un numero immaginario: Esempio:

due numeri complessi si dicono coniugati se hanno la stessa parte reale e la parte immaginaria opposta.

Esempio:

Somma:

e

sono numeri complessi coniugati

operazioni tra numeri complessi

Dati due numeri complessi

si sommano le parti reali e le parti

e

immaginarie

Prodotto: si effettuano i prodotti tra i due binomi ricordando che

Rapporto: si moltiplica e si divide il rapporto dei due numeri per il complesso

Potenza:

coniugato del denominatore

si effettua la potenza del binomio

Per la potenza : se l’esponente è maggiore di 3 conviene usare la formula di De Moivre (vedi scheda di approfondimento)

esempio

risolviamo la seguente equazione di secondo grado a coefficienti reali nel campo complesso:

v 2.6

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124

Numeri complessi: approfondimento

numeri complessi

rappresentazione nel piano complesso (piano di Gauss) di un numero complesso z forma algebrica

forma trigonometrica i

i

z

z

b

ρ

a

R

= parte reale

b

θ

= parte immaginaria

a

R

passaggio dalla forma algebrica a quella trigonometrica

•

= modulo

= anomalia

per il teorema di Pitagora

•

per le relazioni di trigonometria dei triangoli rettangoli si ha:

per determinare l’angolo è necessario tenere conto dei segni di a e b per individuare il quadrante in cui si trova il punto e di conseguenza l’angolo (vedi i seguenti esempi)

per passare dalla forma trigonometrica a quella algebrica basta calcolare i valori del seno e coseno e sviluppare i calcoli

potenza n-sima di un numero complesso in forma trigonometrica (formula di De Moivre)

Esempio:

radice n-sima di un numero complesso in forma trigonometrica con k = 0,1,2,…,n-1 Esempio:

con k = 0 e k = 1 cioè:

k =0

k =1

nel campo complesso la radice n-sima di un numero ha sempre n soluzioni, ciò implica che non si può effettuare la semplificazione tra l’indice della radice e l’esponente del radicando, cioè: altrimenti si perdono soluzioni

forma esponenziale di un numero complesso

la forma esponenziale di un numero complesso z è: si ottiene applicando alla forma trigonometrica v 2.5

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la formula di Eulero 125

Le grandezze fisiche

fisica

grandezze fondamentali del Sistema Internazionale (S.I.) nome della grandezza lunghezza massa

intervallo di tempo carica elettrica temperatura

intensità di corrente elettrica intensità luminosa

quantità di sostanza

simbolo

unità di misura

simbolo

l, h, L

Metro

m

m, M

Chilogrammo

kg

T

Coulomb

grado Kelvin

C

K

m

Candela Mole

cd

mol

Steradiante

sr

t,

q

i, I L

angolo piano

angolo solido

nome della grandezza area

volume densità

velocità

accelerazione frequenza

velocità angolare forza

pressione

quantità di moto

momento angolare energia lavoro

potenza calore

capacità termica calore specifico calore latente

intensità di campo elettrico

differenza di potenziale elettrico forza elettromotrice capacità elettrica resistenza resistività

intensità di campo magnetico flusso magnetico

induttanza elettrica v 2.2

Secondo Ampere

Radiante

alcune grandezze derivate simbolo A, S V v

P

q, Q, p p, P

E, K

L, W

W, P Q C

A

rad

unità di misura (SI)

simbolo

metro quadrato

m2

chilogrammo su metro cubo

kg/m3

metro su secondo quadrato

m/s2

metro cubo

metro su secondo

F, f

s

m3

m/s

Hertz

Hz = 1/s

Newton

N = kg⋅m/s2

chilogrammo per metro su secondo

kg⋅m/s

radiante su secondo Pascal

rad/s

Pa = N/m2

chilogrammo per metro al quadrato su secondo

kg⋅m2/s

Joule

J = N⋅m

Joule

J = N⋅m

Watt

W = J/s

Joule su Kelvin

J/K

Joule

J = N⋅m

c

Joule su Kelvin per chilogrammo

J/(K⋅kg)

E

Newton su Coulomb

N/C

Joule su chilogrammo

, f.e.m.

C

R M L

J/kg

Volt

V = J/C

Farad

F = C/V

Volt

V = J/C

Ohm

Ω = V/A

Tesla

T = N/A⋅m

Ohm per metro Weber Henry

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Ω⋅m

Wb = T⋅m2 H = V⋅S/A

126

Le grandezze fisiche

fisica

tabelle di conversione al Sistema Internazionale lunghezze 3,09 1016 m

1 parsec (pc)

1 anno luce (a.l.)

9,461∙1015 m

1 unità astronomica (UA)

0,9144 m

1 piede (ft)

0,3048 m

1 pollice (in)

2,54

1 micron (μm)

1 bar (bar)

1 grano (grain) 1 m3

simbolo Y Z E P T G M k h da km hm dam m dm cm mm

v 2.2

m

1,602 ∙

1000 litri

masse

1000 kg 100 kg

1 carato (car) 1 oncia (oz)

2

3,2

kg

kg

temperatura

gradi Celsius (°C)

gradi Fahrenheit (°F)

volumi 1 gallone britannico (gal) 4,54 1 litro (l)

1,013 Pa

1 pinta britannica (pt)

altre unità di misura 1 ettaro (ha) 10.000 m2 1 B.T.U.

1055 J

0,57

1 acro (ac) 1 nodo (k)

multipli e sottomultipli delle unità di misura fattore 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

nome Yotta Zetta Exa Peta Tera Giga Mega Chilo Etto Deca

lunghezze chilometro ettometro decametro metro decimetro centimetro millimetro

60 s

1 quintale (qt)

133 Pa

0,064 g

3600 s

1 tonnellata (ton)

J

pressione 105 Pa

86.400 s

1 minuto (min)

m

energia 4,186 J

1 mm di mercurio (mmHg) 1 atmosfera (atm)

m

2.600.000 s

1 ora (h)

1609,3 m

1 yarda (yd)

1 elettronVolt (eV)

1 giorno (d)

5556 m

1 miglio (mi)

1 caloria (cal)

1 mese

1,50∙1011 m

1 lega marina (lea)

1 Ångstrom (Å)

1 anno (a)

intervalli di tempo 31.600.000 s

simbolo d c m μ n p f a z y

nome

m3

m3

m3

0,40 ha

1,852 km/h fattore

deci centi milli micro nano pico femto atto zepto yocto

scale di misura per le grandezze più utilizzate kg hg dag g dg cg mg

masse chilogrammo ettogrammo decagrammo grammo decigrammo centigrammo milligrammo

tempo --secolo a. anno --mese d giorno h ora min minuto s secondo

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volumi --hl dal l dl cl ml

--ettolitro decalitro litro decilitro centilitro millilitro

127

Elaborazione dei dati sperimentali

fisica

nome

definizione

formula

media aritmetica

somma di tutti i dati diviso il numero di dati

errore relativo

semidispersione diviso la media aritmetica

valore massimo meno valore minimo diviso due

errore assoluto

errore percentuale scarto

differenza tra il valore del dato di posto e la media aritmetica

deviazione standard

radice quadrata dello scarto quadratico medio

somma dei quadrati degli scarti diviso il numero di dati

scarto quadratico medio

frequenza assoluta

numero di volte in cui un dato si presenta

frequenza percentuale

frequenza relativa

mediana

valore a metà dell’insieme numericamente la media aritmetica dei due dati ordinato dei dati centrali

frequenza relativa

frequenza assoluta diviso il numero n di dati

vanno riportati i valori delle misure che si presentano lo stesso numero di volte

valore o valori che compaiono più frequentemente nei dati sperimentali

moda

se il numero di dati è pari si calcola

esempio

in un esperimento, per ricavare il tempo di caduta di un oggetto da un’altezza di 10 m, si ripete il lancio dieci volte raccogliendo i seguenti dati (in secondi): n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

v 1.1

misure misure raccolte ordinate

1,43

1,38

1,38

1,41

1,42 1,40 1,42 1,41 1,44 1,42 1,48 1,43

1,40 1,42 1,42 1,42 1,43

scarto

scarto al quadrato

0,02

0,0004

0,04 0,01 0,00 0,00 0,00

media

0,0001

errore relativo

0,00 0,00 0,00

0,01

0,0001

0,02

0,0004

1,43

0,01

1,48

0,06

1,44

0,0016

0,0001 0,0036

misure ordinate senza ripetizioni

1,38 1,40

errore assoluto errore percentuale

%

1,43 1,48

deviazione standard

mediana

1,42 1,44

scarto quadratico medio

moda

1,41

assoluta

1 1 1 3 2 1 1

frequenza

relativa percentuale

0,1

10%

0,1

10%

0,1 0,3 0,2 0,1 0,1

10% 30% 20% 10% 10%

1,42 1,42

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128

curiosità

Altri criteri di divisibilità divisibilità per 4

un numero è divisibile per 4 se lo è il numero formato dalle ultime due cifre

• •

316 è divisibile per 2 perché 16 è multiplo di 4 310 non è divisibile per 4 perché 10 non è multiplo di 4

divisibilità per 7

un numero è divisibile per 7 quando la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è 0 o un multiplo di 7

• •

287 è divisibile per 7 perché

376 non è divisibile per 7 perché

divisibilità per 9 •

un numero è divisibile per 9 quando la somma delle sue cifre è un multiplo di 9

•

che è multiplo di 7

che non è multiplo di 7

873 è divisibile per 9 perché multiplo di 9

546 non è divisibile per 9 perché non è multiplo di 9

che è

che

divisibilità per 13 •

un numero è divisibile per 13 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il quadruplo di quest’ultima è un multiplo di 13

•

845 è divisibile per 13 perché e che è multiplo di 13 1467 non è divisibile per 13 perché 146 +(7 ∙ 4)=146 + 28 =174 e 17 + (4 ∙ 4) = 14 +16 =33 che non è multiplo di 13

divisibilità per 17 un numero è divisibile per 17 quando la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il quintuplo di quest’ultima è 0 o un multiplo di 17

• •

1071 è divisibile per 17 perché e 1467 non è divisibile per 17 perché e diverso da 0 o da un multiplo di 17

che è

divisibilità per 19

un numero è divisibile per 19 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è un multiplo di 19

• •

1216 è divisibile per 19 perché e 1467 non è divisibile per 19 perché e 15+(2∙0)=15 che è diverso da un multiplo di 19

divisibilità per 23 un numero è divisibile per 23 se la somma fra il numero senza la cifra delle unità e il settuplo del numero delle sue unità è 0, 23 o multiplo di 23

• •

345 è divisibile per 23 perché di 23 102 non è divisibile per 23 perché multiplo di 23

è multiplo non è

divisibilità per 25

un numero è divisibile per 25 se finisce con 0, 25, 50, 75 v 1.6

• •

375 è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono 75 346 non è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono 46

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129

∏ Pigreco

curiosità

le prime 2.000 cifre

3,14159 74944 06647 05559 83165 41273 90360 91953 52724 24737 05132 40901 21960 49951 85035 47303 80532 85863 13891 27855 24012 55379 52104 73263 15030 02955 07426 49192 49468 22184 84383 84896 94945 32645

26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989 38095 25720 10654 27886 59361 53381 82796 82303 01952 03530 18529 68995 77362 25994 24972 17752 83479 13151 55748 57242 45415 06959 50829 53311 68617 88907 50983 81754 63746 49393 19255 06040 09277 01671 13900 98488 85836 16035 63707 66010 47101 81942 95559 61989 46767 83744 94482 77472 68471 04047 53464 62080 46684 25906 94912 93313 67702 89891 75216 20569 66024 05803 81501 93511 25338 24300 35587 64024 74964 91419 92726 04269 92279 67823 54781 63600 93417 21641 21992 45863 28618 29745 55706 74983 85054 94588 58692 69956 90927 21079 75093 32116 53449 87202 75596 02364 80665 49911 98818 34797 75356 63698 54252 78625 51818 41757 46728 90977 77279 38000 81647 06001 61452 17321 72147 72350 14144 19735 68548 16136 11573 52552 13347 57418 43852 33239 07394 14333 45477 62416 86251 89835 69485 56209 92192 27255 02542 56887 67179 04946 01653 46680 49886 27232 79178 60857 82796 79766 81454 10095 38837 86360 95068 00642 25125 20511 73929 08412 84886 26945 60424 19652 85022 21066 11863 06744 27862 20391 04712 37137 86960 95636 43719 17287 46776 46575 73962 41389 08658 99581 33904 78027 59009 94657 64078 95126 94683 98352 59570 98 …i..

è il numero irrazionale trascendente che rappresenta il valore del rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro. Per determinare il suo valore Archimede usò il metodo dei perimetri, cioè considerò i perimetri dei poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza di raggio che approssimano la lunghezza della stessa circonferenza. All’aumentare del numero dei lati dei poligoni, si ottiene una coppia di classi contigue di numeri che ammette come elemento di separazione. v 1.7

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130

curiosità

e numero di Nepero le prime 2.000 cifre

2,718281 828459 045235 360287 471352 662497 757247 093699 959574 966967 627724 076630 353547 594571 382178 525166 427427 466391 932003 059921 817413 596629 043572 900334 295260 595630 738132 328627 943490 763233 829880 753195 251019 011573 834187 930702 154089 149934 884167 509244 761460 668082 264800 168477 411853 742345 442437 107539 077744 992069 551702 761838 606261 331384 583000 752044 933826 560297 606737 113200 709328 709127 443747 047230 696977 209310 141692 836819 025515 108657 463772 111252 389784 425056 953696 770785 449969 967946 864454 905987 931636 889230 098793 127736 178215 424999 229576 351482 208269 895193 668033 182528 869398 496465 105820 939239 829488 793320 362509 443117 301238 197068 416140 397019 837679 320683 282376 464804 295311 802328 782509 819455 815301 756717 361332 069811 250996 181881 593041 690351 598888 519345 807273 866738 589422 879228 499892 086805 825749 279610 484198 444363 463244 968487 560233 624827 041978 623209 002160 990235 304369 941849 146314 093431 738143 640546 253152 096183 690888 707016 768396 424378 140592 714563 549061 303107 208510 383750 510115 747704 171898 610687 396965 521267 154688 957035 035402 123407 849819 334321 068170 121005 627880 235193 033224 745015 853904 730419 957777 093503 660416 997329 725088 687696 640355 570716 226844 716256 079882 651787 134195 124665 201030 592123 667719 432527 867539 855894 489697 096409 754591 856956 380236 370162 112047 742722 836489 613422 516445 078182 442352 948636 372141 740238 893441 247963 574370 263755 294448 337998 016125 492278 509257 782562 092622 648326 277933 386566 481627 725164 019105 900491 644998 289315 056604 725802 778631 864155 195653 244258 698294 695930 801915 298721 172556 347546 396447 910145 904090 586298 496791 287406 870504 895858 671747 985466 775757 320568 128845 920541 334053 922000 113786 300945 560688 166740 016984 205580 403363 795376 452030 402432 256613 527836 951177 883863 874439 662532 249850 654995 886234 281899 707733 276171 783928 034946 501434 558897 071942 586398 772754 710962 953741 521115 136835 062752 602326 484728 703920 764310 059584 116612 054529 703023 647254 929666 938115 137322 753645 098889 031360 205724 817658 511806 303644 281231 496550 704751 025446 501172 721155 519486 685080 036853 228183 152196 003735 625279 449515 828418 829478 761085 263981 395599 006737 648292 244375 287184 624578 036…xx

Il numero e, detto numero di Nepero, è la base dei logaritmi naturali che generalmente vengono indicati con ln(x).

Il numero e, come il numero π, è un numero irrazionale trascendente. v 1.7

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131

Quante volte si può piegare un foglio di carta?

curiosità

risposta Non più di 7 volte perché lo spessore che si viene a creare ad ogni piega del foglio cresce in modo molto veloce secondo una legge che prende il nome di progressione geometrica di ragione 2 ciò vuol dire che ad ogni nuova piega lo spessore del foglio ed il numero di strati raddoppiano.

spiegazione pratica

pieghiamo un foglio di carta, di qualunque dimensione, lungo il lato lungo come in figura.

Otteniamo 1 piega e 2 strati di carta comprimiamo bene il pacchetto e ripieghiamo ancora sul lato lungo.

Otteniamo 2 pieghe e 4 strati di carta ripetiamo ancora l’operazione comprimendo bene il pacchetto e ripieghiamo sul lato lungo.

Otteniamo 3 pieghe e 8 strati di carta

con difficoltà crescente possiamo continuare a piegare fino ad ottenere 7 pieghe e 128 strati di carta L’ottava piega è praticamente impossibile perché impedita dallo spessore dei 256 strati di carta

nel 2001 la studentessa americana Britney Gallivan ha stabilito il record di 12 pieghe usando un foglio di carta stagnola

spiegazione matematica se consideriamo un normale foglio per fotocopie di formato A4 dello spessore di 0,1 mm otteniamo: Pieghe

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Strati

1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

2048

4096

8192 16384 32768

Spessore in mm

0,1

0,2

0,4

0,8

1,6

3,2

6,4

12,8

25,6

51,2

102,4

204,8

409,6

819,2

1638,4

15

3276,8

Spessore 0,0001 0,0002 0,0004 0,0008 0.0016 0,0032 0,0064 0,0128 0,0256 0,0512 0,1024 0,2048 0,4096 0,8192 1,6384 3,2768 in metri

si definisce progressione geometrica una successione di numeri tali che il rapporto tra un numero e il suo precedente è sempre lo stesso. Tale rapporto si chiama ragione.

Ad esempio i valori della riga “Strati” crescono secondo una progressione geometrica la cui ragione è 2. osservazione

v 1.1

oltre la soglia di 8 pieghe si può procedere solo in termini teorici, che portano a situazioni paradossali.

Ad esempio piegando per 42 volte un foglio di formato A4 spesso 0,1 mm si produce una pila di 4 mila miliardi di strati di carta, alta oltre 400 mila km, cioè più della distanza Terra-Luna, stimata in circa 384.mila km. © 2012 - www.matematika.it

132

Tavola Pitagorica

curiosità

1

2

3

4

3

6

9

12

15

20

2 4

4 8

12

12

18

5

10

7

14

6 8 9

10 11 12 13 14 15

6

16 18 20 22 24 26 28 30

21 24 27 30 33 36 39 42 45

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

27

30

33

36

39

42

45

8

10

12

14

16

18

16

20

24

28

32

36

24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

15 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75

18 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90

21 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98

24 40 48 56 64 72 80 88 96

20 40

45

50

54

60

63

70

72 81 90 99

80 90

22 44 55 66 77 88 99

24 48 60 72 84 96

26 52 65 78 91

28 56 70 84 98

30 60 75 90

105

104 112 120

108 117 126 135

100 110 120 130 140 150 110 121 132 143 154 165

108 120 132 144 156 168 180

104 117 130 143 156 169 182 195 112 126 140 154 168 182 196 210

105 120 135 150 165 180 195 210 225 LA TAVOLA PITAGORICA “ I pitagorici, che si manifestarono sempre pieni di genio inventivo sottile, per evitare di commettere errori nelle moltiplicazioni, divisioni e misure, si servirono di una figura tracciata in modo particolare la quale, in onore del loro maestro, chiamavano Tavola Pitagorica (mensa pythagorea) perché, riguardo alle cose ivi rappresentate, le prime discipline erano dovute a quel maestro.

Chi venne dopo chiamò tale figura Abaco. Essi pensavano che quando era frutto di una meditazione profonda sarebbe stato più facilmente conosciuto da tutti, ove fosse stato presentato dinnanzi agli occhi in un certo modo; in conseguenza diedero a quella figura il seguente aspetto”.

Gino Loria, Storia della matematiche (Boezio pag. 801)

v 1.8

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133

Numeri primi minori di 5.000

curiositĂ

un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 divisibile solo per se stesso e per 1 ---

37 89

2

41

593 659 743 827 911

59

13 61

17 67

19 71

23 73

29 79

31 83

107

109

113

127

131

137

139

149

283

293

307

311

313

317

331

337

347

349

353

367

503

53

11

103

359 433

47

7

101

157

281

43

5

97

151 223

3

227 439 509 599 661 751 829 919

163 229 373 443 521 601 673 757 839 929

167 233 379 449 523 607 677 761 853 937

173 239 383 457 541 613 683 769 857 941

179 241 389 461 547 617 691 773 859 947

181 251 397 463 557 619 701 787 863 953

191 257 401 467 563 631 709 797 877 967

193 263 409 479 569 641 719 809 881 971

197 269 419 487 571 643 727 811 883 977

199 271 421 491 577 647 733 821 887 983

211 277 431 499 587 653 739 823 907 991

997

1009

1013

1019

1021

1031

1033

1039

1049

1051

1061

1063

1249

1259

1277

1279

1283

1289

1291

1297

1301

1303

1307

1319

1069 1163 1321 1439 1511 1601 1693 1783 1877 1987 2069 2143 2267 2347 2423 2543 2657 2713 2801 2903 3011 3119 3221 3323 3413 3527 3607 3697 3797 3907 4003 4093 4211 4283 4409 4513 4621 4721 4813

v 1.1

1087 1171 1327 1447 1523 1607 1697 1787 1879 1993 2081 2153 2269 2351 2437 2549 2659 2719 2803 2909 3019 3121 3229 3329 3433 3529 3613 3701 3803 3911 4007 4099 4217 4289 4421 4517 4637 4723 4817

1091 1181 1361 1451 1531 1609 1699 1789 1889 1997 2083 2161 2273 2357 2441 2551 2663 2729 2819 2917 3023 3137 3251 3331 3449 3533 3617 3709 3821 3917 4013 4111 4219 4297 4423 4519 4639 4729 4831

1093 1187 1367 1453 1543 1613 1709 1801 1901 1999 2087 2179 2281 2371 2447 2557 2671 2731 2833 2927 3037 3163 3253 3343 3457 3539 3623 3719 3823 3919 4019 4127 4229 4327 4441 4523 4643 4733 4861

1097 1193 1373 1459 1549 1619 1721 1811 1907 2003 2089 2203 2287 2377 2459 2579 2677 2741 2837 2939 3041 3167 3257 3347 3461 3541 3631 3727 3833 3923 4021 4129 4231 4337 4447 4547 4649 4751 4871

1103 1201 1381 1471 1553 1621 1723 1823 1913 2011 2099 2207 2293 2381 2467 2591 2683 2749 2843 2953 3049 3169 3259 3359 3463 3547 3637 3733 3847 3929 4027 4133 4241 4339 4451 4549 4651 4759 4877

1109 1213 1399 1481 1559 1627 1733 1831 1931 2017 2111 2213 2297 2383 2473 2593 2687 2753 2851 2957 3061 3181 3271 3361 3467 3557 3643 3739 3851 3931 4049 4139 4243 4349 4457 4561 4657 4783 4889

1117 1217 1409 1483 1567 1637 1741 1847 1933 2027 2113 2221 2309 2389 2477 2609 2689 2767 2857 2963 3067 3187 3299 3371 3469 3559 3659 3761 3853 3943 4051 4153 4253 4357 4463 4567 4663 4787 4903

Š 2012 - www.matematika.it

1123 1223 1423 1487 1571 1657 1747 1861 1949 2029 2129 2237 2311 2393 2503 2617 2693 2777 2861 2969 3079 3191 3301 3373 3491 3571 3671 3767 3863 3947 4057 4157 4259 4363 4481 4583 4673 4789 4909

1129 1229 1427 1489 1579 1663 1753 1867 1951 2039 2131 2239 2333 2399 2521 2621 2699 2789 2879 2971 3083 3203 3307 3389 3499 3581 3673 3769 3877 3967 4073 4159 4261 4373 4483 4591 4679 4793 4919

1151 1231 1429 1493 1583 1667 1759 1871 1973 2053 2137 2243 2339 2411 2531 2633 2707 2791 2887 2999 3089 3209 3313 3391 3511 3583 3677 3779 3881 3989 4079 4177 4271 4391 4493 4597 4691 4799 4931

1153 1237 1433 1499 1597 1669 1777 1873 1979 2063 2141 2251 2341 2417 2539 2647 2711 2797 2897 3001 3109 3217 3319 3407 3517 3593 3691 3793 3889 4001 4091 4201 4273 4397 4507 4603 4703 4801 4933

134

y

x

y=

x

r

a

h

h

a AB

R

C h

A

Q

p1 p2

R

P

r

B

p

C( α

,β)

a

h

D

Q y Q1

c

y=n

1

C

A

n x

c

r

d 2

2

B

i

Q

r

FORMULARIO