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C
A
h
Q
p1 p2
R
B
p2
r
h a
R
y P
y=n
r
n
)
C( ι,β
x
Simboli e Insiemi Aritmetica Algebra Geometria piana Geometria solida Geometria analitica Logaritmi Goniometria
Un percorso multimediale completo per capire la matematica
Il Progetto Matematika è un supporto multimediale che affianca la tradizionale didattica della matematica. Non è un prodotto commerciale ed i materiali offerti sono rivolti a quanti vogliono capire, imparare e verificare le proprie conoscenze matematiche. In particolare, i prodotti sono rivolti agli allievi e ai docenti delle scuole medie superiori ed inferiori. Il progetto propone a studenti e professori dei percorsi didattici completi, di facile e immediata fruibilità, esso si sviluppa in 4 ambienti: Lezioni animate, Test online, Formulario ed Esercizi. I materiali didattici sono organizzati per rendere l’apprendimento semplice e facilitato. La comunicazione audio-visiva immediata e di breve durata, i test on line e l’organizzazione delle schede in forma tabulare rendono i materiali idonei ad essere utilizzati come strumenti compensativi nei disturbi specifici di apprendimento. Questi strumenti, sono testati da una costante sperimentazione e sono continuamente aggiornati e arricchiti in modo da offrire un prodotto sempre al passo con i tempi.
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Presentazione Questa guida è una raccolta di schede di matematica. Le
schede
sono
realizzate
in
forma
compatta
per
facilitare
la
consultazione. Lo stile essenziale, basato sulla comunicazione grafica e tabulare, non deve però trarre in inganno: questo lavoro non è una semplice raccolta di formule matematiche. Esso è il frutto di un’operazione complessa di strutturazione e sintesi che ha richiesto molti anni di ricerca. Ciascuna scheda è realizzata in modo che ogni parola e dettaglio presentato è fondamentale per la comprensione dell’argomento. Si raccomanda pertanto una lettura attenta che non trascuri nessun rigo e nessuna parola. Le schede possono essere utilizzate nella scuola media inferiore e nella scuola media superiore e per l’esame universitario di analisi matematica. Il materiale è tuttora oggetto di una continua sperimentazione e di un conseguente aggiornamento ed integrazione dei contenuti. Le ultime versioni delle singole schede, consultabili e stampabili ad uso esclusivamente
personale,
sono
disponibili
in
rete
all’indirizzo
www.matematika.it sotto la voce Formulario. Prof. Giampiero Gallina Per eventuali suggerimenti, segnalazioni o contatti, scrivere all’indirizzo di posta elettronica: progettomatematika@gmail.com
Le icone suggerimenti ed approfondimenti sull’argomento segnalazioni e soluzioni a possibili fonti di errore suggerimenti per l’utilizzo della calcolatrice scientifica Versione 4.0 stampata nel mese di Ottobre dell’anno 2013 Tutti i diritti sono riservati © 1999-2014 La presente guida è stata registrata: nessuna parte dell’opuscolo, immagine o testo, può essere riprodotta o utilizzata per scopi commerciali senza un esplicito consenso scritto degli autori.
Indice •
SIMBOLI, NUMERI, INSIEMI, INTERVALLI Alfabeto greco Simbologia Terminologia Insiemi numerici Gli assiomi dei numeri reali e loro conseguenze Insiemi Intervalli Funzioni: definizioni e tipi
7 8 9 10 11 13 15 16
» » » » » » »
Tavola pitagorica Criteri di divisibilità Altri criteri di divisibilità Frazioni generatrici, frazioni con lo zero M.C.D e m.c.m. Proporzioni Percentuale, pendenza
17 18 19 20 21 22 23
» » » » » » » » » » » » » » »
Proprietà delle potenze Prodotti notevoli Scomposizioni Regola di Ruffini Scomposizione di un polinomio con Ruffini Divisione di due polinomi Scomposizione di un polinomio mediante la divisione Radicali Equazioni di secondo grado Equazioni parametriche Disequazioni di secondo grado Equazioni e disequazioni binomie, biquadratiche, trinomie Equazioni irrazionali ed in valore assoluto Disequazioni irrazionali Disequazioni in valore assoluto
24 25 26 27 31 35 38 42 45 46 47 48 50 51 52
» » » » » » » »
•
•
•
ARITMETICA
ALGEBRA
GEOMETRIA PIANA » » » » » » »
•
53 66 88 89 90 91 92
GEOMETRIA SOLIDA »
•
Postulati e definizioni Teoremi Area del triangolo Area delle principali figure piane Teorema di Pitagora, primo e secondo teorema di Euclide Triangoli rettangoli particolari Sezione aurea Volumi e superfici delle principali figure solide
93
GEOMETRIA ANALITICA » » » » » »
Assi e punti La retta La parabola La circonferenza L’ellisse L’iperbole
95 97 101 104 107 110 © 2013 - www.matematika.it
Indice »
•
•
•
Definizione e proprietà
121
GONIOMETRIA » » » » » » »
•
114
LOGARITMI »
•
Geometria analitica in sintesi
Angoli: misura e conversioni Funzioni goniometriche: definizioni e proprietà Le relazioni fondamentali, i grafici Valori numerici delle funzioni goniometriche in alcuni angoli Angoli o archi associati Tabella dei valori di angoli associati ad alcuni angoli notevoli Formule goniometriche
122 123 124 125 126 127 128
TRIGONOMETRIA » » »
Teoremi sui triangoli rettangoli Teoremi sui triangoli qualsiasi Formule di trigonometria
129 130 131
» » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » »
Elementi di topologia della retta Funzioni: definizioni e tipi Grafici delle funzioni elementari Grafici di funzioni: trasformazioni Campo di esistenza o dominio di funzioni Segno, intersezioni, simmetrie, periodicità di una funzione Definizione di limite Tutte le definizioni di limite Limiti delle funzioni elementari Algebra dei limiti Calcolo di limiti Limiti notevoli Definizione di funzione continua, punti di discontinuità Asintoti di una funzione Definizione di monotonia e di punti di massimo e minimo relativi Definizione di concavità e di punti di flesso Definizione di rapporto incrementale e di derivata di una funzione Derivate delle funzioni elementari, regole di derivazione Ricerca dei punti di massimo e minimo relativo e di flesso Definizione e ricerca dei punti di massimo e minimo assoluti Punti di non derivabilità di una funzione Studio del grafico di una funzione Esempi di studio del grafico di una funzione Definizione di integrale indefinito Integrali indefiniti immediati Principali teoremi di analisi
133 137 139 140 141 143 147 148 149 151 153 156 157 158 160 161 162 163 165 166 167 168 170 174 175 178
ANALISI
ANALISI PER L’UNIVERSITA’ » » » » » »
Sviluppo in serie di funzioni elementari Serie numeriche Funzioni iperboliche: grafici, domini, derivate Funzioni iperboliche: definizioni e sviluppo in serie Coordinate polari ed equazioni di curve notevoli Elementi di calcolo differenziale © 2013 - www.matematika.it
181 182 184 185 186 187
Indice •
ELEMENTI DI LOGICA » » »
•
•
Fattoriale e coefficiente binomiale
201
»
Calcolo combinatorio: permutazioni, disposizioni, combinazioni
205
PROBABILITA’ Definizioni, probabilità composta e subordinata, teorema di Bayes
208
NUMERI COMPLESSI Numeri immaginari, numeri complessi in forma algebrica, operazioni Rappresentazione grafica, forma trigonometrica ed esponenziale
212 213
ALCUNE DIMOSTRAZIONI » » » » » » » » » » » » » » » »
•
199 200
»
» »
•
Progressioni aritmetiche e geometriche Quante volte si può piegare un foglio di carta?
CALCOLO COMBINATORIO
»
•
190 193 196
PROGRESSIONI » »
•
Elementi di logica delle proposizioni Introduzione alla logica dei predicati Introduzione alla logica della deduzione
√ è un numero irrazionale Significato geometrico del quadrato di un binomio Formula risolutiva dell’equazione di secondo grado Teorema di Pitagora Teorema delle corde Distanza tra due punti Punto medio di un segmento Equazione della circonferenza Le cinque relazioni fondamentali della goniometria Il seno di un angolo di 30° è uguale ad ½ Teorema dei seni Teorema di unicità del limite Teorema sulla relazione tra derivabilità e continuità Teorema di Fermat Teorema di Rolle Teorema di Lagrange
214 215 216 217 219 220 221 222 223 224 226 227 228 229 230 231
LE GRANDEZZE FISICHE » » » » » »
Le grandezze fisiche e il sistema internazionale Le grandezze fisiche: unità di misura ed equivalenze Gli strumenti di misura Cifre significative L’incertezza delle misure Elaborazione dei dati sperimentali
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232 233 235 236 237 238
Alfabeto Greco
simboli insiemi
v 1.8
minuscole
maiuscole
come si legge
α β γ δ ε ζ η ϑ ι κ λ µ ν ξ ο π ρ σ τ υ ϕ χ ψ ω
Α Β Γ ∆ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω
alfa
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beta gamma delta epsilon zeta eta teta iota cappa lambda mu ni csi omicron pi ro sigma tau ipsilon fi chi psi omega
7
Simbologia e Convenzioni
simboli insiemi
simbolo
significato
simbolo
uguale
minore
circa uguale, approssimato
valore assoluto di
diverso
maggiore
maggiore o uguale
minore o uguale più infinito
o modulo di
meno infinito
insieme vuoto
insieme dei numeri naturali escluso lo zero insieme dei numeri interi
insieme dei numeri razionali insieme dei numeri reali
insieme dei numeri complessi per ogni
esiste (almeno un)
insieme dei numeri immaginari insieme dei numeri naturali compreso lo zero
insieme dei numeri naturali pari
insieme dei numeri naturali dispari
insieme dei numeri algebrici
insieme dei numeri trascendenti tale che tale che
esiste ed è unico
incluso strettamente
non esiste
incluso
appartiene
unione
non appartiene
intervallo chiuso, cioè contiene gli estremi intervallo aperto, cioè esclude gli estremi parallelo
perpendicolare
identico, coincidente congruente
intersezione
intervallo chiuso inferiormente e aperto superiormente
intervallo aperto inferiormente e chiuso superiormente equivalente simile
lunghezza del segmento AB
rotazione di centro O e angolo α
e
vero
falso
implica (se … allora)
o
doppia implicazione (se e solo se)
media aritmetica
scarto quadratico medio somma: v 2.7
significato
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fattoriale di n
probabilità dell’evento E
probabilità di E2 condizionata a E1 8
Terminologia
simboli insiemi
operazione
addizione
nome
addendo
somma o totale
addendo sottrazione
minuendo
differenza
sottraendo moltiplicazione
fattore
prodotto
fattore divisione
dividendo
frazione
numeratore
potenza
radicale
divisore
quoziente o quoto
resto
linea di frazione
denominatore base
esponente esponente del radicando
indice della radice
radicando
logaritmo
argomento
base funzione
v 1.9
variabile indipendente
variabile dipendente
funzione Š 2013 - www.matematika.it
9
Insiemi numerici
simboli insiemi
numeri naturali N
numeri interi (o interi relativi) Z …
numeri razionali Q un numero si dice razionale se può essere espresso come rapporto di due numeri interi, cioè se può essere espresso sotto forma di frazione I numeri razionali possono essere formati: • da numeri interi • da numeri decimali con un numero finito di cifre • da numeri decimali con un numero infinito di cifre periodiche
3,
2,
1,
0,
1,
2,
numeri irrazionali I
3, …
un numero si dice irrazionale se NON può essere espresso come rapporto di due numeri interi, cioè se NON può essere espresso sotto forma di frazione
I numeri irrazionali sono formati • da una parte intera e da una parte decimale con infinite cifre NON periodiche
numeri reali R i numeri reali sono formati dall’unione dell’insieme dei numeri razionali Q e l’insieme dei numeri irrazionali I
R
Q
Z
i r r a z i o n a
N
15,35671.… Osserva che:
l i
numeri algebrici e numeri trascendenti
esiste anche un’altra classificazione che divide i numeri reali in numeri algebrici e numeri trascendenti
• •
un numero si dice algebrico se è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti razionali un numero si dice trascendente se NON è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti razionali esempi
• • •
5
è un numero algebrico perché è soluzione dell’equazione è un numero algebrico perché è soluzione dell’equazione
è un numero trascendente perché non è soluzione di nessuna equazione polinomiale a coefficienti razionali. Nota che è soluzione dell’equazione polinomiale che non è a coefficienti razionali
i numeri razionali Q sono tutti algebrici v 3.1
i numeri irrazionali I possono essere sia algebrici che trascendenti © 2013 - www.matematika.it
10
simboli insiemi
Gli assiomi dei numeri reali e le loro conseguenze premessa agli assiomi dei numeri reali
Si assume che esiste l’insieme dei numeri reali (indicato con R) su cui è possibile eseguire le quattro operazioni elementari e su cui è possibile stabilire quale tra due numeri è il maggiore. In questo sistema valgono gli assiomi delle operazioni, dell’ordinamento e l’assioma di completezza. assiomi delle operazioni
Siano a , b , c tre numeri reali qualsiasi. Tra essi sono definite le operazioni di addizione (+) e moltiplicazione proprietà associativa dell’addizione
con le seguenti proprietà:
proprietà associativa della moltiplicazione proprietà commutativa dell’addizione
proprietà commutativa della moltiplicazione
proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione esistenza dell’elemento all’addizione
neutro
rispetto
esiste in R il numero 0 tale che
esistenza dell’elemento neutro rispetto alla esiste in R il numero 1 tale che moltiplicazione per ogni numero reale che
esistenza dell’opposto
esiste un numero reale –
per ogni numero reale tale che
esistenza dell’inverso
tale
esiste un numero reale
assiomi dell’ordinamento E’ definita la relazione di minore o uguale
tra le coppie di numeri reali con le seguenti proprietà:
dicotomia
per ogni coppia di numeri reali si ha
altri assiomi
se vale
proprietà asimmetrica altri assiomi
se valgono contemporaneamente se
e
allora vale anche
allora valgono anche
assioma di completezza
se A e B sono due insiemi non vuoti di numeri reali tale che per ogni ogni appartenente a B , allora esiste almeno un numero reale c tale che v 1.3
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e
oppure
allora
per ogni c reale e
appartenente ad A e per
11
simboli insiemi
Gli assiomi dei numeri reali e le loro conseguenze alcune conseguenze degli assiomi
Siano a , b , c tre numeri reali qualsiasi. Si dimostrano le seguenti proprietà:
conseguenze degli assiomi relativi alle operazioni
semplificazione rispetto alla somma semplificazione rispetto al prodotto legge di annullamento del prodotto
se se
unicità dell’opposto
e
allora
se e solo se
allora
oppure
unicità dell’inverso altra proprietà altra proprietà altra proprietà
conseguenze degli assiomi relativi all’ordinamento
proprietà dell’equivalenza proprietà transitiva
se
altre proprietà
se
altre proprietà altre proprietà
se
è equivalente a e
allora
e
allora
se e soltanto se e
allora
la relazione di maggiore o uguale è ricondotta a quella di minore o uguale mediante la definizione La relazione di gode delle stesse proprietà della relazione di una conseguenza dell’assioma di completezza
Una importante conseguenza dell’assioma di completezza è che consente di distinguere l’insieme dei numeri razionali Q da quello dei numeri reali R. Tale assioma vale infatti solo per i numeri reali e non vale per i numeri razionali come vediamo nel seguente esempio. Consideriamo i sottoinsiemi A e B dei numeri razionali Q con e . Risulta che
e
tali che
Le ipotesi dell’assioma di completezza sono quindi soddisfatte ma NON esiste un numero razionale c tale che . Infatti l’unico elemento che si trova tra l’insieme A e l’insieme B è che NON è un numero razionale. v 1.3
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12
Insiemi
simboli insiemi
definizione
l’insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto
secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi, “per insieme si intende un raggruppamento, concepito come un tutto, di oggetti ben distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero”
rappresentazione
per elencazione
per caratteristica
gli elementi dell’insieme sono indicati tra parentesi graffe
{
grafica (o di Eulero-Venn)
si descrivono le caratteristiche degli elementi dell’insieme
}
{
si usano delle linee chiuse che contengono gli elementi dell’insieme
2 3
1
}
4
operazioni tra insiemi unione
l’unione tra due o più insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo o al secondo insieme presi una sola volta
{
{
}
}
, 5}
{
1
2
3
2
4
1
3
2
3
4
5
5
4
intersezione
l’intersezione tra due o più insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo e al secondo insieme, cioè dagli elementi comuni. Se gli insiemi non hanno elementi comuni si dicono disgiunti
{
{
}
{
}
3
1
2
4
5
} differenza
la differenza tra due insiemi è l’insieme formato dagli elementi che appartengono al primo insieme esclusi quelli del secondo insieme
{
{
}
}
3
1
{1} {5}
2
4
5
insieme complementare
l’insieme complementare di un insieme rispetto ad un altro che lo contiene è l’insieme differenza dei due
{
{
}
}
{
il complementare di C rispetto ad A si indica con cioè: Analogamente: v 2.5
}
5
1
ed è uguale a B
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3
7
2
6 4
8
13
Insiemi
simboli insiemi
prodotto cartesiano tra due insiemi il prodotto cartesiano tra due insiemi è l’insieme di tutte le possibili coppie ordinate in cui il primo elemento appartiene al primo insieme e il secondo elemento al secondo insieme
{
{
}
}
{ {
} }
il prodotto cartesiano NON è commutativo
insieme delle parti di un insieme
l’insieme delle parti di un insieme è l’insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi dell’insieme dato
{
}
1
{
2
}
se l’insieme è formato da elementi, l’insieme delle parti Nell’esempio precedente è formato da 3 elementi e quindi
13
3
1 2
2
1
3
2
3
A
è formato da elementi. è formato da elementi
partizione di un insieme
la partizione di un insieme è l’insieme formato da suoi sottoinsiemi (o parti ) che verificano le seguenti 3 proprietà:
• nessuna delle parti è vuota • le parti sono a due a due disgiunte, cioè non hanno elementi in comune • l’unione delle parti è uguale all’insieme iniziale
{
i sottoinsiemi
oppure
}
{ {
} }
e
{
{ }
} }
{
rappresentano due diverse partizioni di A
{
}
consideriamo l’insieme delle classi della scuola tale insieme costituisce una partizione dell’insieme S perché soddisfa le tre proprietà della definizione
1A
2A
3A
1B
2B
3B
relazioni di De Morgan
I relazione
II relazione
il complemento dell’unione di due insiemi è uguale all’intersezione dei complementi degli insiemi v 2.5
il complemento dell’intersezione di due insiemi è uguale all’unione dei complementi degli insiemi
I complementi sono considerati rispetto ad un terzo insieme (detto insieme Universo) che contiene A e B © 2013 - www.matematika.it
14
simboli insiemi
Intervalli: classificazione e rappresentazione definizioni
Si definisce intervallo l’insieme di tutti i valori compresi tra due estremi e . Gli estremi e possono essere finiti o infiniti. è detto estremo sinistro o inferiore, è detto estremo destro o superiore dell’intervallo • •
Un intervallo si dice:
limitato se gli estremi sono finiti non limitato se almeno uno degli estremi è infinito
• •
intervalli limitati
rappresentazione grafica
intervallo
intervallo chiuso intervallo aperto
intervallo chiuso inferiormente e aperto superiormente intervallo aperto inferiormente e chiuso superiormente
a
b
a
b
a
b
a
b
rappresentazione insiemistica
intervallo chiuso inferiormente e non limitato superiormente
a
intervallo non limitato inferiormente e chiuso superiormente
b
intervallo non limitato inferiormente e aperto superiormente
b
intervallo non limitato
]
]
[
[
[
]
]
rappresentazione insiemistica
a
intervallo aperto inferiormente e non limitato superiormente
[
rappresentazione algebrica
intervalli non limitati
rappresentazione grafica
intervallo
chiuso se gli estremi sono compresi aperto se gli estremi non sono compresi
[
[
]
[
]
]
]
[
]
[
rappresentazione algebrica
osservazione
] v 2.3
su alcuni testi l’intervallo aperto è indicato con le parentesi tonde per cui si trova equivalentemente:
[
(
)
[
[
[
)
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]
]
(
] 15
Funzione: definizione e tipi
simboli insiemi
definizione Dati due insiemi A e B, si dice funzione una legge che associa ad ogni elemento dell’insieme A uno ed un solo elemento dell’insieme B Una funzione si indica con
•
• •
dove:
è un generico elemento di A ed
o
si chiama immagine di
l’insieme A viene chiamato dominio o campo di esistenza di
ed appartiene all’insieme B
il sottoinsieme di B formato dalle immagini di tutti gli elementi del dominio si chiama codominio di
tipi di funzione: iniettiva, suriettiva, biunivoca
d ●
B ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5
A
B
a ●
● 1
b ●
● 2
A a ● b ● c ●
c ● d ●
A
B
a ●
● 1
b ●
● 2
c ●
● 3
d ●
● 4
A a ● b ● c ● d ●
A a ● b ● c ● d ● v 1.3
● 3
B ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5
B ● 1 ● 2 ● 3 ● 4
• • ⋅ ⋅
• • ⋅ ⋅ •
• ⋅
funzione iniettiva
una funzione si dice iniettiva quando ad elementi distinti dell’insieme A corrispondono elementi distinti dell’insieme B f(x) iniettiva
x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2)
la funzione della figura a sinistra è iniettiva ma non suriettiva l’insieme A è il dominio, il sottoinsieme di B contenente gli elementi associati ad elementi di A, rappresenta il codominio di
funzione suriettiva
una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento dell’insieme B è immagine di almeno un elemento dell’insieme A f(x) suriettiva
la funzione della figura a sinistra è suriettiva ma non iniettiva l’insieme A è il dominio, l’insieme B è il codominio di
funzione biunivoca o biettiva
una funzione si dice biunivoca (o biettiva) quando è sia iniettiva che suriettiva, cioè quando ad ogni elemento dell’insieme A corrisponde uno ed un solo elemento dell’insieme B e viceversa f(x) biunivoca
e viceversa
l’insieme A è il dominio, l’insieme B è il codominio di
funzione non iniettiva, non suriettiva
la funzione della figura a sinistra: • •
⋅
NON è iniettiva perché gli elementi distinti “b, c” dell’insieme A hanno la stessa immagine “2” NON è suriettiva perché non tutti gli elementi dell’insieme B (“4, 5”) sono immagine di un elemento dell’insieme A
l’insieme A è il dominio, il sottoinsieme di B, che contiene gli elementi associati ad elementi di A, rappresenta il codominio di
corrispondenza
la legge rappresentata nella figura a sinistra non è una funzione perché non ne soddisfa la definizione, infatti: • all’elemento “b” dell’insieme A sono associati più elementi (“2, 3”) dell’insieme B. • l’elemento “d” dell’insieme A non è associato ad alcun elemento dell’insieme B. la legge non è una funzione ma prende il nome di corrispondenza © 2013 - www.matematika.it
16
Tavola Pitagorica
aritmetica
*
0
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
0
0
0
2
0
2
1 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15
0 0 0 0 0 0 0 0
3 4
9
12
0
11 13 14 15
6
18 20 22 24 26 28 30
24 27 30 33 36 39 42 45
9
10
11
12
13
14
15
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
27
30
33
36
39
42
45
8
10
12
14
16
18
16
20
24
28
32
36
20
21
8
0
15 18
7
0
12
12 16
0
9
12
14
8
0
8
7
6
0 0
6 10
10
0
4
5
0 0
0
6
24 28 32 36 40 44 48 52 56 60
15 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
0
18 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90
21 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98
0
24 40 48 56 64 72 80 88 96
0
45 54 63 72 81 90 99
0
20 40 50 60 70 80 90
0
22 44 55 66 77 88 99
0
24 48 60 72 84 96
0
26 52 65 78 91
0
28 56 70 84 98
0
30 60 75 90
105
104 112 120
108 117 126 135
100 110 120 130 140 150 110 121 132 143 154 165
108 120 132 144 156 168 180
104 117 130 143 156 169 182 195 112 126 140 154 168 182 196 210
105 120 135 150 165 180 195 210 225
LA TAVOLA PITAGORICA “ I pitagorici, che si manifestarono sempre pieni di genio inventivo sottile, per evitare di commettere errori nelle moltiplicazioni, divisioni e misure, si servirono di una figura tracciata in modo particolare la quale, in onore del loro maestro, chiamavano Tavola Pitagorica (mensa pythagorea) perché, riguardo alle cose ivi rappresentate, le prime discipline erano dovute a quel maestro. Chi venne dopo chiamò tale figura Abaco. Essi pensavano che quando era frutto di una meditazione profonda sarebbe stato più facilmente conosciuto da tutti, ove fosse stato presentato dinnanzi agli occhi in un certo modo; in conseguenza diedero a quella figura il seguente aspetto”. Gino Loria, Storia della matematiche (Boezio pag. 801)
v 2.1
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17
aritmetica
Criteri di divisibilità divisibilità per 2 •
un numero è divisibile per 2 quando
•
l’ultima cifra è pari cioè quando termina per 0, 2, 4, 6, 8
•
210 è divisibile per 2 perché l’ultima cifra è 0
316 è divisibile per 2 perché l’ultima cifra (6) è pari 315 non è divisibile per 2 perché l’ultima cifra (5) non è pari
divisibilità per 3 •
un numero è divisibile per 3 quando
•
la somma delle sue cifre è un multiplo di 3
•
342 è divisibile per 3 perché multiplo di 3
che è
89757 è divisibile per 3 perché 8+9+7+5+7=36 ed ancora 3+6=9 che è un multiplo di 3 271 non è divisibile per 3 perché 2+7+1=10 che non è un multiplo di 3
divisibilità per 5 •
un numero è divisibile per 5 quando
•
l’ultima cifra è 0 o 5
•
250 è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 0
345 è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 5
346 non è divisibile per 5 perché l’ultima cifra è 6
divisibilità per 7 • •
un numero è divisibile per 7 quando
la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è 0 o un multiplo di 7 •
63 è divisibile per 7 perché
287 è divisibile per 7 perché
376 non è divisibile per 7 perché
divisibilità per 11 •
un numero è divisibile per 11 quando
la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quelle di posto pari è 0 o un multiplo di 11
•
che è multiplo di 7
che non è multiplo di 7
3465 è divisibile per 11 perché e
e
27981 non è divisibile per 11 perché e e che è diverso da 0 e non è un multiplo di 11
divisibilità per 13 •
un numero è divisibile per 13 quando
la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il quadruplo di quest’ultima è un multiplo di 13
•
845 è divisibile per 13 perché
e che è multiplo di 13
1467 non è divisibile per 13 perché
146 +(7 ∙ 4)=146 + 28 =174 e 17 + (4 ∙ 4) =17 +16 =33 che non è multiplo di 13
divisibilità per 17 •
un numero è divisibile per 17 quando
la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il quintuplo di quest’ultima è 0 o un multiplo di 17 v 1.3
•
1071 è divisibile per 17 perché e
1467 non è divisibile per 17 perché e che è diverso da 0 o da un multiplo di 17
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18
aritmetica
Altri criteri di divisibilità divisibilità per 4
un numero è divisibile per 4 se lo è il numero formato dalle ultime due cifre
• •
316 è divisibile per 2 perché 16 è multiplo di 4 310 non è divisibile per 4 perché 10 non è multiplo di 4
divisibilità per 7
un numero è divisibile per 7 quando la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è 0 o un multiplo di 7
• •
287 è divisibile per 7 perché
376 non è divisibile per 7 perché
divisibilità per 9 •
un numero è divisibile per 9 quando la somma delle sue cifre è un multiplo di 9
•
che è multiplo di 7
che non è multiplo di 7
873 è divisibile per 9 perché multiplo di 9
546 non è divisibile per 9 perché non è multiplo di 9
che è
che
divisibilità per 13 •
un numero è divisibile per 13 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il quadruplo di quest’ultima è un multiplo di 13
•
845 è divisibile per 13 perché e che è multiplo di 13 1467 non è divisibile per 13 perché 146 +(7 ∙ 4)=146 + 28 =174 e 17 + (4 ∙ 4) = 14 +16 =33 che non è multiplo di 13
divisibilità per 17 un numero è divisibile per 17 quando la differenza tra il numero senza l’ultima cifra e il quintuplo di quest’ultima è 0 o un multiplo di 17
• •
1071 è divisibile per 17 perché e 1467 non è divisibile per 17 perché e diverso da 0 o da un multiplo di 17
che è
divisibilità per 19
un numero è divisibile per 19 quando la somma tra il numero senza l’ultima cifra e il doppio di quest’ultima è un multiplo di 19
• •
1216 è divisibile per 19 perché e 1467 non è divisibile per 19 perché e 15+(2∙0)=15 che è diverso da un multiplo di 19
divisibilità per 23 un numero è divisibile per 23 se la somma fra il numero senza la cifra delle unità e il settuplo del numero delle sue unità è 0, 23 o multiplo di 23
•
un numero è divisibile per 25 se finisce con
• •
•
345 è divisibile per 23 perché di 23 102 non è divisibile per 23 perché multiplo di 23
è multiplo non è
divisibilità per 25
0, 25, 50, 75 v 1.8
375 è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono 75 346 non è divisibile per 25 perché le ultime due cifre sono 46
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19
Frazioni generatrici - Frazioni con lo zero
aritmetica
Frazioni generatrici come trasformare un numero decimale in una frazione frazione generatrice di un numero decimale finito un numero decimale finito è formato da una parte intera (quella prima della virgola) e da una parte decimale (quella dopo la virgola) con un numero finito di cifre. Ad esempio in 3,21 la parte intera è 3 e la parte decimale è 21 • •
al numeratore si scrive il numero dato senza virgola al denominatore si scrive il numero 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero dato
frazione generatrice di un numero periodico semplice
un numero periodico semplice è formato da una parte intera (quella prima della virgola) e da un periodo (la parte dopo la virgola) le cui cifre si ripetono con regolarità. Ad esempio in la parte intera è 12 e il periodo è 34 • •
al numeratore si scrive il numero dato senza virgola e si sottrae la parte non periodica al denominatore si scrivono tanti nove quante sono le cifre del periodo
frazione generatrice di un numero periodico misto
un numero periodico misto è formato da una parte intera (quella prima della virgola) e da una parte decimale (quella dopo la virgola) composta da un antiperiodo e da un periodo le cui cifre si ripetono con regolarità . Ad esempio in • •
la parte intera è 2 l’antiperiodo è 4 e il periodo è 5
al numeratore si scrive il numero dato senza virgola e si sottrae la parte non periodica al denominatore si scrivono tanti nove quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo
un numero con infinite cifre decimali non periodiche è un numero irrazionale e non si può trasformare in frazione come trasformare una frazione in un numero
•
per trasformare una frazione in numero basta dividere il numeratore per il denominatore
frazioni con lo zero
zero diviso un numero (diverso da zero) è uguale a zero perché il risultato moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore
perché
zero diviso zero è indeterminata perché qualunque numero moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore
perché qualunque numero moltiplicato 0 è uguale a 0
un numero (diverso da zero) diviso zero è impossibile perché non esiste nessun numero che moltiplicato per il denominatore è uguale al numeratore
v 1.4
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perché non esiste nessun numero che moltiplicato 0 è uguale a 2
20
aritmetica
Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo Massimo Comune Divisore (M.C.D.)
•
che cos’è : il massimo comune divisore tra due o più numeri è il più grande tra i loro divisori comuni
assegnati i numeri 18, 24 e 30, consideriamo i loro divisori:
i divisori comuni ai tre numeri sono: il divisore comune più grande è il M.C.D.: 6 •
come si calcola : 1. si scompogono in fattori primi i numeri assegnati
2. si prendono i fattori comuni una sola volta con il minimo esponente
3. si moltiplicano i fattori scelti e si ottiene il massimo comune divisore o M.C.D. esempio
calcolare il M.C.D. tra i numeri 12 e 42
1. si scompongono in fattori primi i numeri assegnati:
2. si prendono i fattori comuni una sola volta e con il minimo esponente:
;
3. si moltiplicano i fattori scelti ed il loro prodotto è il M.C.D.: se i numeri assegnati sono primi tra loro, il M.C.D. è 1. Ad esempio: il M.C.D. tra 5 e 7 è 1 perché
e
minimo comune multiplo (m.c.m.)
•
che cos’è : il minimo comune multiplo tra due o più numeri è il più piccolo tra i loro multipli comuni
assegnati i numeri 6, 8 e12 consideriamo i loro multipli: 6
,…
120,…
i multipli comuni ai tre numeri sono: il multiplo comune più piccolo è il m.c.m.: 24 •
come si calcola : 1. si scompogono in fattori i numeri assegnati
2. si prendono i fattori comuni e non comuni una sola volta con il massimo esponente 3. si moltiplicano i fattori scelti e si ottiene il minimo comune multiplo o m.c.m. esempio
calcolare il m.c.m. dei numeri 6, 15 e 18
1. si scompongono in fattori primi i numeri assegnati:
;
2. si prendono i fattori comuni e non comuni una sola volta con il massimo esponente: v 1.0
3. si moltiplicano i fattori scelti ed il prodotto è il m.c.m.:
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;
21
Proporzioni
aritmetica
definizione una proporzione è una uguaglianza tra rapporti
medi estremi
proprietà delle proporzioni
il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi:
proprietà fondamentale
scambiando fra loro i medi o gli estremi si ottiene ancora una proporzione
proprietà del permutare
scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione
proprietà dell’invertire
sommando ad ogni antecedente il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione
proprietà del comporre
proprietà dello scomporre
trovare un medio in una proporzione •
sottraendo ad ogni antecedente il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione
si moltiplicano gli estremi e si divide per l’altro medio
trovare un estremo in una proporzione •
si moltiplicano i medi e si divide per l’altro estremo
proporzione continua una proporzione si dice continua se i medi sono uguali
x si chiama “medio proporzionale” tra a e b
esempi proprietà dello scomporre
trovare un medio in una proporzione proporzione continua
• •
v 2.6
se in una proporzione l’incognita è presente più volte per trovarne il valore basta trasformarla in equazione applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni (il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi trovare il valore della ad esempio data la proporzione si applica la proprietà fondamentale delle proporzioni e si risolve l’equazione così ottenuta
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22
aritmetica
Calcolo percentuale - Pendenza Calcolo percentuale
Per introdurre il concetto di percentuale è utile cominciare con un esempio. “Consideriamo un abito dal costo di 300 euro. 300 euro rappresenta il valore iniziale cioè 100% del valore della grandezza, mentre ad esempio 150 euro è la metà del valore cioè il 50%. Ma quale sarà, per esempio, il 12% del costo dell’abito?” Per risolvere questo problema basta scrivere e risolvere la seguente proporzione: il valore Iniziale della grandezza sta al 100% come il valore finale (percentuale) sta al 12%, cioè da cui
= 36 euro
Generalizzando l’esempio, se indichiamo con Vi il valore della grandezza totale (300 euro), con Vf il valore finale (la percentuale 36 euro), con t il tasso percentuale, o semplicemente, il tasso (12%) , possiamo scrivere che:
il valore iniziale della grandezza sta al 100% come il valore finale sta al tasso
Questa proporzione è impiegata per risolvere i problemi di calcolo percentuale, vediamo alcuni esempi calcolo del Valore iniziale Vi
420 alunni ( ) rappresentano il 35% ( ) di tutti gli alunni di una scuola. Quanti alunni ( )compongono la scuola? calcolo del Valore finale Vf (percentuale)
in una classe di 25 alunni
alunni
quanti alunni
calcolo del tasso percentuale o tasso t
rappresentano il 20% ( ) ? alunni
una borsa di 80 euro ( ) è stata venduta con uno sconto di 20 euro ( ), che tasso percentuale ( ) è stato applicato?
Pendenza la pendenza percentuale è definita come il rapporto tra il dislivello verticale e lo spazio orizzontale moltiplicato 100
Δx esempio
• Calcoliamo la pendenza percentuale di una strada con dislivello verticale di 25 m su una distanza orizzontale di 120 m
v 1.6
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Δh
Nei cartelli stradali il valore indicato rappresenta il dislivello vertcale (∆h) subito in 100 metri orizzontali. Ad esempio 10 % indica che in 100 metri orizzontali c’e un dislivello di 10 metri in verticale
23
Proprietà delle Potenze
algebra
definizione si definisce potenza n-sima di base e di esponente , il prodotto della base moltiplicata n volte per se stessa cioè: con base numero reale e con esponente numero naturale n volte
generalizzazione
la definizione di potenza n-sima si può generalizzare a quella di potenza nel caso in cui l’esponente sia un numero razionale oppure un numero reale, in entrambi i casi: • se l’esponente allora la base deve essere un numero reale • se l’esponente allora la base deve essere un numero reale proprietà
potenze con la stessa base prodotto di potenze con la stessa base
rapporto di potenze con la stessa base potenza di potenza
potenze con lo stesso esponente prodotto di potenze con lo stesso esponente
rapporto di potenze con lo stesso esponente potenza ad esponente negativo frazione ad esponente negativo potenza ad esponente frazionario frazione ad esponente frazionario potenza ad esponente frazionario negativo altri esempi
v 3.3
fai attenzione alle parentesi e fai anche attenzione all’esponente che può essere pari o dispari © 2013 - www.matematika.it
24
Prodotti notevoli
algebra
somma per differenza • •
quadrato del primo termine
•
meno il quadrato del secondo termine
•
quadrato di un binomio
• • •
quadrato del primo termine
•
il doppio prodotto del primo termine per il secondo termine
•
più il quadrato del secondo termine
cubo di un binomio
• • • •
cubo del primo termine
il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo termine
il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo termine
•
•
il cubo del secondo termine
quadrato di un trinomio • • • •
quadrato dei tre termini
il doppio prodotto del primo termine per il secondo termine
il doppio prodotto del primo termine per il terzo termine
il doppio prodotto del secondo termine per il terzo termine
•
•
cubo di un trinomio
•
ricorda che lo sviluppo ha 10 termini
•
cubo del primo più il cubo del secondo
•
particolari prodotti notevoli
•
oppure
• cubo del primo meno il cubo del secondo
•
potenza n-sima di un binomio
consideriamo il seguente esempio con n = 5, da esso possiamo dedurre le regole per lo sviluppo della potenza n-sima di un binomio valide per ogni n
lo sviluppo della potenza n-sima di un binomio è un polinomio completo e omogeneo cioè formato da (n+1) monomi, tutti dello stesso grado e ordinati secondo le potenze decrescenti di e secondo le potenze crescenti di I coefficienti numerici dei monomi si ricavano dal triangolo di Tartaglia noto anche come triangolo di Pascal. potenza ad esponente 0 potenza ad esponente 1 potenza ad esponente 2 potenza ad esponente 3 potenza ad esponente 4 potenza ad esponente 5 -------------
v 1.4
1
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 -------------
-------------
per costruire il triangolo di Tartaglia basta ricordare che: • al vertice in alto della figura c’è il numero 1 • ogni riga inizia con 1 e termina con 1 • ogni numero è la somma di quello che gli sta sopra più il precedente. Ad esempio 10 = 6+4 © 2013 - www.matematika.it
25
Scomposizioni
algebra
raccoglimento totale sono presenti un numero qualsiasi di termini
•
• •
raccoglimento parziale sono presenti un numero pari di termini
•
• •
differenza di due quadrati •
sono presenti solo 2 termini al quadrato
•
sono presenti solo 2 termini al cubo
•
•
differenza di cubi
•
•
somma di cubi sono presenti solo 2 termini al cubo
•
• •
quadrato di binomio sono presenti solo 3 termini
•
• •
trinomio notevole con trovare due numeri ed tali che: • sommati danno cioè: • e moltiplicati danno cioè:
• •
•
trovare due numeri che sommati danno e moltiplicati danno i due numeri sono e
trinomio notevole con trovare due numeri ed tali che: • sommati danno : : • e moltiplicati danno • effettuare un raccoglimento parziale
•
•
• • •
cubo di binomio •
sono presenti 4 termini
trovare due numeri che sommati danno e moltiplicati danno
e i due numeri sono sostituire con effettuare il raccoglimento parziale
• •
quadrato di un trinomio •
sono presenti 6 termini
•
cubo di un trinomio •
v 1.7
sono presenti 10 termini
•
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26
Regola di Ruffini
algebra
premessa La regola di Ruffini è un procedimento utilizzato per dividere due polinomi in cui il divisore sia un binomio di primo grado. Vediamo la regola applicata a qualche esempio
1.
Eseguiamo la seguente divisione: I due polinomi vengono detti :
esempi
DIVIDENDO
DIVISORE
si ordinano i polinomi secondo le potenze decrescenti della variabile e si completa, se necessario, il polinomio dividendo si crea la griglia in figura disponendo sulla riga in alto tutti i . coefficienti del polinomio dividendo
Nell’angolo in basso a sinistra si scrive l’opposto del termine noto del polinomio divisore, in questo caso
si riscrive in basso il primo coefficiente del polinomio (
)
si moltiplica il coefficiente 1 per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato nella seconda colonna
si sommano i numeri della seconda colonna ( scrive il risultato ( ) in basso
v 1.2
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e
) si
27
Regola di Ruffini
algebra
si moltiplica la somma ottenuta ( ) per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato ( ) nella terza colonna
si sommano i numeri della terza colonna ( e ) e si scrive il risultato ( ) in basso
si moltiplica la somma ottenuta ( ) per il numero in basso a sinistra ( ) e si scrive il risultato ( ) nell’ultima colonna
si sommano i numeri dell’ultima colonna ( e ve il risultato ( ) in basso. è il resto della divisione
i numeri dell’ultima riga rappresentano nell’ordine i coefficienti del polinomio risultato detto quoziente. Esso è un polinomio di un grado inferiore al polinomio dividendo
Per definizione di divisione si ha: DIVIDENDO =
v 1.2
) e si scri-
QUOZIENTE
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DIVISORE + RESTO
28
algebra
2.
Eseguiamo la seguente divisione: I due polinomi vengono detti :
Regola di Ruffini DIVIDENDO
DIVISORE
si ordinano i polinomi secondo le potenze decrescenti della variabile e si completa, se necessario, il polinomio dividendo si osserva che il dividendo è completo, cioè contiene tutte le potenze e non è necessario aggiungere coefficienti nulli
si crea la griglia in figura disponendo sulla riga in alto tutti i coefficienti del polinomio .
Nell’angolo in basso a sinistra si scrive l’opposto del termine noto del polinomio divisore, cioè
si riscrive in basso il primo coefficiente del polinomio ( 1 )
si moltiplica il coefficiente 1 per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato ( ) nella seconda colonna
si sommano i numeri della seconda colonna ( 2 e 2 ) e si scrive il risultato (4) in basso
si moltiplica la somma ottenuta ( ) per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato ( ) nella terza colonna
v 1.2
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29
Regola di Ruffini
algebra
si sommano i numeri della terza colonna ( e il risultato ( ) in basso
) e si scrive
si moltiplica la somma ottenuta per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato ( ) nell’ultima colonna
si sommano i numeri dell’ultima colonna ( e il risultato (0) in basso. 0 è il resto della divisione.
) e si scrive
In queso caso la divisione si dice esatta i numeri dell’ultima riga rappresentano nell’ordine i coefficienti del polinomio risultato detto quoziente. Esso è un polinomio di un grado inferiore al polinomio dividendo Per definizione di divisione si ha: DIVIDENDO
v 1.2
=
QUOZIENTE
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DIVISORE
30
Scomposizione di un polinomio con Ruffini
algebra
Se si vuole scomporre un polinomio che non rientra nei metodi di scomposizione con i prodotti notevoli né in altri tipi di scomposizione si può provare a scomporlo mediante la regola di Ruffini. Vediamolo con qualche esempio Fai attenzione che non tutti i polinomi si possono scomporre. Infatti come esistono i numeri primi esistono i polinomi primi esempio
1.
Scomponiamo il seguente polinomio di terzo grado
si ordina, se necessario, il polinomio da scomporre secondo le potenze decrescenti della variabile
si ha
si individuano i divisori del termine noto (+6)
per
si ha
tra i divisori trovati si cerca quello che annulla il polinomio.
per
si ha
per
per
si ha
Si esegue ora alla divisione (
Per fare ciò si sostituiscono i divisori trovati uno alla volta alla variabile del polinomio e si sviluppano i calcoli è il divisore cercato
Esso viene detto “zero” del polinomio
Il polinomio da scomporre ammette come divisore il binomio con la regola di Ruffini
si completa, se necessario, il polinomio da scomporre con i termini mancanti si crea la griglia in figura disponendo sulla riga in alto tutti i coefficienti del polinomio da scomporre 1 .
Nell’angolo in basso a sinistra si scrive lo zero del polinomio trovato precedentemente, in questo caso si riscrive in basso il primo coefficiente del polinomio (1)
si moltiplica il coefficiente e si scrive il risultato v 1.2
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per il numero in basso a sinistra nella seconda colonna 31
algebra
Scomposizione di un polinomio con Ruffini
si sommano i numeri della seconda colonna ( e ve il risultato in basso
) e si scri-
si moltiplica la somma ottenuta ( ) per il numero in basso a sinistra ( ) e si scrive il risultato 4 nella terza colonna
si sommano i numeri della terza colonna ( risultato ( ) in basso
e ) e si scrive il
si moltiplica la somma ottenuta ( ) per il numero in basso a sinistra ( ) e si scrive il risultato ( ) nell’ultima colonna
si sommano i numeri dell’ultima colonna ( e risultato 0 in basso.
) e si scrive il
0 è il resto della divisione. Se i calcoli sono corretti il risultato deve essere zero
Per definizione di divisione si ha:
i numeri dell’ultima riga rappresentano nell’ordine i coefficienti del polinomio risultato detto quoziente. Esso è un polinomio di un grado inferiore al polinomio dividendo
DIVIDENDO =
v 1.2
QUOZIENTE
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DIVISORE
32
Scomposizione di un polinomio con Ruffini
algebra
2. Scomponiamo il seguente polinomio di quarto grado
si ordina, se necessario, il polinomio da scomporre secondo le potenze decrescenti della variabile si individuano i divisori del termine noto (
per
si ha
)
tra i divisori trovati si cerca quello che annulla il polinomio. Per fare ciò si sostituiscono i divisori trovati uno alla volta alla variabile del polinomio e si sviluppano i calcoli è il divisore cercato ed è detto “zero” del polinomio
Si esegue la divisione
Il polinomio da scomporre ammette come divisore il binomio con la regola di Ruffini
si completa, se necessario, il polinomio da scomporre con i termini mancanti
si crea la griglia in figura disponendo sulla riga in alto tutti i coefficienti del polinomio da scomporre
Nell’angolo in basso a sinistra si scrive lo zero del polinomio trovato precedentemente, in questo caso si riscrive in basso il primo coefficiente del polinomio ( )
si moltiplica il coefficiente per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato nella seconda colonna
si sommano i numeri della seconda colonna ( e scrive il risultato (4) in basso
) e si
si moltiplica la somma ottenuta (4) per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato ( ) nella terza colonna v 1.2
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33
algebra
Scomposizione di un polinomio con Ruffini si sommano i numeri della terza colonna ( e risultato ( ) in basso
) e si scrive il
si moltiplica la somma ottenuta ( ) per il numero in basso a sinistra e si scrive il risultato ( ) nella quarta colonna
si sommano i numeri della quarta colonna ( scrive il risultato ( ) in basso
e
)e si
si moltiplica la somma ottenuta per il numero in basso a e si scrive il risultato ( ) nell’ultima colonna sinistra si sommano i numeri dell’ultima colonna ( e 6) e si scrive il risultato (0) in basso. 0 è il resto della divisione. Se i calcoli sono corretti il risultato deve essere zero i numeri dell’ultima riga rappresentano nell’ordine i coefficienti del polinomio risultato detto quoziente. Per definizione di divisione si ha:
Esso è un polinomio di un grado inferiore al polinomio dividendo
DIVIDENDO
=
QUOZIENTE
DIVISORE
Ripetendo nuovamente il procedimento sulla ricerca degli zeri del polinomio ed eseguendo nuovamente la divisione con la regola di Ruffini, si ha che il polinomio iniziale si scompone nel prodotto di quattro binomi di primo grado:
v 1.2
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34
algebra
Divisione di due polinomi premessa
Assegnato un polinomio dividendo di grado ed un polinomio divisore dividere per vuol dire trovare il polinomio quoziente , di grado , di grado minore di , per i quali risulta: cioè:
di grado con , , e il polinomio resto
DIVIDENDO = DIVISORE QUOZIENTE + RESTO
Il polinomio quoziente e il polinomio resto sono unici. Se il polinomio si dice divisibile per il polinomio
e la divisione si dice esatta
Vediamo in dettaglio, con i seguenti esempi, come si trovano i polinomi quoziente e resto esempi
1.
Eseguiamo la seguente divisione:
si ordinano, se necessario, i polinomi secondo le potenze decrescenti della si completa, se necessario, il polinomio dividendo con gli eventuali termini mancanti
si crea la griglia in figura disponendo il polinomio dividendo a sinistra e il polinomio divisore a destra si divide il primo termine ( ) del polinomio dividendo per il primo termine ( ) del polinomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra si moltiplica il monomio trovato ( ) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio dividendo
si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto. Tale operazione porta all’eliminazione del termine di grado massimo
si divide il primo termine ( ) del polinomio ridotto per il primo termine ( ) del polinomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra
v 1.2
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35
Divisione di due polinomi
algebra
si moltiplica il monomio trovato ( ) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto. Poiché il grado del resto parziale ottenuto è uguale a quello del polinomio divisore, si procede ulteriormente con la divisione si divide il primo termine ( ridotto per il primo termine ( divisore e si scrive il risultato basso a destra
) del polinomio ) del polinomio nello spazio in
si moltiplica il monomio trovato ( ) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto
si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto.
Poiché il grado del resto ottenuto è inferiore a quello del polinomio divisore la divisione finisce
Per definizione di divisione si ha: DIVIDENDO
v 1.2
=
QUOZIENTE
DIVISORE
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+ RESTO
36
Divisione di due polinomi
algebra
2.
Eseguiamo la seguente divisione:
si ordinano i polinomi secondo le potenze decrescenti della . Si controlla che il polinomio dividendo sia completo si crea la griglia in figura disponendo il polinomio dividendo a sinistra e il polinomio divisore a destra si divide il primo termine ( ) del polinomio dividendo per il primo termine ( ) del polinomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra si moltiplica il monomio trovato ( ) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio dividendo si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto.
Tale operazione porta all’eliminazione del termine di grado massimo si divide il primo termine ( ) del polinomio dividendo ridotto per il primo termine ( ) del polinomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra si moltiplica il monomio trovato ( ) per ciascun monomio del polinomio divisore e si scrive il risultato, cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio dividendo si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto. Si osserva che, in questo caso, il polinomio resto è zero Per definizione di divisione si ha: DIVIDENDO
v 1.2
= QUOZIENTE
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DIVISORE
37
Scomposizione di un polinomio mediante la divisione
algebra
premessa Per scomporre un polinomio di qualunque grado nel prodotto di più polinomi ciascuno di grado inferiore a quello assegnato, si può ricorrere alla divisione del polinomio per un binomio di primo grado. Vediamolo con qualche esempio Fai attenzione che non tutti i polinomi si possono scomporre. Infatti come esistono i numeri primi esistono i polinomi primi esempi
1.
Scomponiamo il seguente polinomio di terzo grado in
si ordina, se necessario, il polinomio da scomporre secondo le potenze decrescenti della variabile
•
per
si ha
•
per
si ha
•
per
si ha
•
per
si ha
si individuano i divisori del termine noto del polinomio (+6)
tra i divisori trovati si cerca quello che annulla il polinomio. Per fare ciò si sostituiscono i divisori trovati uno alla volta alla variabile del polinomio e si sviluppano i calcoli. è il divisore cercato. Esso è detto “zero” del polinomio.
Il polinomio da scomporre ammette come divisore il binomio si procede alla divisione tra il polinomio da scomporre e il binomio divisore trovato
si completa, se necessario, il polinomio da scomporre con i termini mancanti si crea la griglia in figura disponendo il polinomio dividendo a sinistra e il binomio divisore a destra si divide il primo termine ( ) del polinomio dividendo per il primo termine ( ) del binomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra si moltiplica per ciascun termine del binomio divisore e si scrive il risultato ( ), cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio dividendo v 1.2
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38
algebra
Scomposizione di un polinomio mediante la divisione si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto. Tale operazione porta all’eliminazione del termine di grado massimo si divide il primo termine ( ) del polinomio ridotto per il primo termine del binomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra si moltiplica per ciascun termine del binomio divisore e si scrive il risultato ( ), cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto dividendo
si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto
si divide il primo termine ( ) del polinomio ridotto per il primo termine ( ) del binomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra si moltiplica per per ciascun termine del binomio divisore e si scrive il risultato ( ), cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto dividendo
si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto. Se i calcoli sono corretti il resto è zero Per definizione di divisione: DIVIDENDO =
v 1.2
QUOZIENTE
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DIVISORE
39
algebra
Scomposizione di un polinomio mediante la divisione
2. Scomponiamo il seguente polinomio di quarto grado in
si ordina, se necessario, il polinomio da scomporre secondo le potenze decrescenti della variabile si individuano i divisori del termine noto del polinomio
per
per
si ha
si ha
tra i divisori trovati si cerca quello che annulla il polinomio. Per fare ciò si sostituiscono i divisori trovati uno alla volta alla variabile del polinomio e si sviluppano i calcoli. è il divisore cercato. Esso è detto “zero” del polinomio.
Il polinomio da scomporre ammette come divisore il binomio si procede alla divisione tra il polinomio da scomporre e il binomio divisore trovato
si completa, se necessario, il polinomio da scomporre con i termini mancanti si crea la griglia come in figura disponendo il polinomio dividendo a sinistra e il binomio divisore a destra
si divide il primo termine ( ) del polinomio dividendo per il primo termine ( ) del binomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra
si moltiplica per ciascun termine del binomio divisore e si scrive il risultato ( ), cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto.
Tale operazione porta all’eliminazione del termine di grado massimo v 1.2
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40
algebra
Scomposizione di un polinomio mediante la divisione si divide il primo termine ( ) del polinomio ridotto per il primo termine ( ) del binomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra si moltiplica per ciascun termine del binomio divisore e si scrive il risultato ( ), cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto
si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto
si divide il polinomio ridotto per il binomio divisore e si scrive il risultato nello spazio in basso a destra
si moltiplica per ciascun termine del binomio divisore e si scrive il risultato ( ), cambiato di segno, a sinistra sotto i termini dello stesso grado del polinomio ridotto
si sommano i termini simili e si riporta il risultato ottenuto. Se i calcoli sono corretti il resto è zero
Per definizione di divisione si ha: DIVIDENDO
v 1.2
=
QUOZIENTE
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DIVISORE
41
Radicali
algebra
definizione di radice aritmetica si definisce radice aritmetica n-sima di , e si indica con con
numeri reali
e con
numero intero
nomenclatura
, quel numero
in simboli:
m è l’esponente del radicando
si chiama radicale
n è l’indice della radice
tale che:
proprietà
è il radicando
non ha significato
esempi
operazioni con i radicali operazione
nome
esempio
semplificazione riduzione allo stesso indice
e
prodotto di radicali rapporto di radicali trasporto di fattore dentro il segno di radice trasporto di fattore fuori il segno di radice potenza di radicali radice di radice
v 4.2
somma algebrica di radicali simili © 2013 - www.matematika.it
42
Radicali
algebra
razionalizzazione del denominatore di una frazione •
•
che cosa è: se al denominatore di una frazione compaiono uno o più radicali allora esso è un numero irrazionale.
La razionalizzazione è una operazione che consente di eliminare i radicali al denominatore rendendolo così un numero razionale.
come si fa: per razionalizzare il denominatore di una frazione bisogna moltiplicare il numeratore ed il
denominatore della frazione per uno stesso fattore detto “fattore razionalizzante”. Tale fattore va scelto in modo opportuno a seconda di come è formato il denominatore. Si distinguono quattro casi riportati di seguito, in essi il fattore razionalizzante è evidenziato in colore. caso:
al denominatore una sola radice quadrata
cosa fare
osserva che:
esempi
e che:
caso:
al denominatore una sola radice non quadrata cosa fare
osserva che:
esempi
e che:
caso:
al denominatore un polinomio con una o più radici quadrate cosa fare
osserva che il prodotto notevole
caso:
esempi
si può applicare anche ai seguenti casi 2
al denominatore un binomio con una o due radici cubiche
cosa fare
esempio
ricorda i prodotti notevoli:
v 4.2
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43
Radicali
algebra
radicale doppio •
•
che cosa è: un radicale doppio è formato da una radice quadrata il cui radicando è formato dalla
somma di un monomio e di un altra radice quadrata, cioè: come si risolve: se
è un quadrato perfetto, si applica la formula del radicale doppio che consente di trasformare il radicale doppio nella somma di due radici singole.
ricorda : un quadrato perfetto è un numero la cui radice quadrata è un numero naturale, ad esempio 4, 9, 16, 25 sono quadrati perfetti la formula si applica solo se
formula
è un quadrato perfetto
16 è un quadrato perfetto e la formula si può applicare
esempio
definizione di radice algebrica si definisce radice algebrica n-sima di , e si indica con con
numeri reali qualsiasi e con
numero intero
, quel numero
in simboli:
tale che:
l’esigenza di ampliare la definizione di radice aritmetica a quella di radice algebrica nasce dalla necessità di risolvere equazioni di secondo grado o di grado superiore al secondo del tipo esempi
caso n pari
caso n dispari
osservazioni importanti
v 4.2
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44
Equazioni di secondo grado
algebra
formule risolutive equazione
nome
procedimento
equazione completa
si applica la formula completa
equazione completa con b pari
si applica la formula ridotta
equazione pura b = 0
soluzioni o radici
• si isola
• si estrae la radice quadrata
algebrica
• si raccoglie la x
equazione spuria c = 0 • si applica la legge di annullamento del prodotto equazione monomia
ha sempre due soluzioni nulle
le soluzioni di una equazione sono dette anche radici dell’equazione
significato del delta
un’equazione di 20 grado ammette sempre due soluzioni che sono distinte, coincidenti o non reali secondo il segno del soluzioni reali e distinte
soluzioni reali e coincidenti
proprietà
soluzioni non reali (o complesse)
è la relazione tra la somma delle soluzioni e i coefficienti dell’equazione di II grado. Si applica solo se è la relazione tra il prodotto delle soluzioni e i coefficienti dell’equazione di II grado. Si applica solo se
serve per scrivere il testo dell’equazione di II grado quando si conosce la somma e il prodotto delle soluzioni serve a scomporre un trinomio di II grado dove le soluzioni dell’equazione
e
sono
regola di Cartesio: segno delle soluzioni la regola di Cartesio permette di trovare il segno delle soluzioni di una equazione di II grado. Si può applicare solo se •
permanenza variazione v 3.7
• •
si osservano i segni dei coefficienti a, b, c
ad ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa ad ogni variazione corrisponde una soluzione positiva
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45
algebra
Equazioni parametriche:
tabella delle condizioni
condizioni sotto forma di enunciato
cosa fare
sotto forma algebrica
soluzione
una radice è nulla
sostituire zero al posto di
la somma delle radici è uguale al numero n
porre la somma uguale a n
una radice è uguale ad un numero n il prodotto delle radici è uguale al numero n le radici sono opposte
le radici sono reciproche
le radici sono antireciproche le radici sono concordi le radici sono discordi
le radici sono coincidenti le radici sono reali
le radici sono reali e distinte le radici sono non reali l’equazione è pura
l’equazione è spuria
la somma dei reciproci delle radici è uguale a n la somma dei quadrati delle radici è uguale a n la somma dei quadrati dei reciproci delle radici è uguale a n
sostituire n al posto di
porre il prodotto uguale a n porre la somma uguale a 0
porre il prodotto uguale a 1
porre il prodotto uguale a -1 porre il prodotto > 0 porre il prodotto < 0 porre il porre il porre il porre il
nell’equazione data porre nell’equazione data porre porre porre porre
uguale a n
uguale a n
la somma dei cubi delle radici è uguale a n
porre
una radice è multipla dell’altra secondo il fattore n
risolvere il sistema
la somma dei cubi dei reciproci delle radici è uguale a n
porre
uguale a n
ricorda che
• •
è la relazione tra la somma delle radici e i coefficienti dell’equazione di II grado
è la relazione tra il prodotto delle radici e i coefficienti dell’equazione di II grado
osserva che le radici di una equazione parametrica si possono accettare solo se appartengono al campo di esistenza della equazione. Il campo di esistenza si calcola imponendo il Δ ≥ 0 cioè
v 2.8
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46
algebra
l’equazione associata ha due soluzioni reali e distinte:
l’equazione associata ha due soluzioni reali e coincidenti:
Disequazioni di Secondo Grado
x1
x2
valori esterni
l’equazione associata ha due soluzioni reali e coincidenti:
l’equazione associata non ammette soluzioni reali
x2
valori interni
x
x nessuna soluzione
tutti i numeri tranne
x
l’equazione associata non ammette soluzioni reali
l’equazione associata ha due soluzioni reali e distinte:
x1
x1
nessuna soluzione
x2
x1
valori esterni con estremi compresi
x
x2
valori interni con estremi compresi
x
x solo
x
x nessuna soluzione
disequazioni di secondo grado immediate
v 3.1
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47
algebra
Equazioni e disequazioni binomie – biquadratiche - trinomie equazioni binomie
•
che cos’è : un’equazione si dice binomia se è formata da un termine di grado ed un termine noto:
•
come si risolve : si ricava
e si estrae la radice algebrica n-sima distinguendo i casi con
pari e quelli con
dispari:
ha due soluzioni (opposte) solo se il radicando è maggiore o uguale a 0
se n è pari
ha sempre una sola soluzione che ha lo stesso segno del radicando
se n è dispari
esempi caso n pari
• •
nessuna soluzione
esempi caso n dispari
• •
equazioni biquadratiche •
che cos’è : un’equazione si dice biquadratica se è formata da un termine di 4° grado, uno di 2° grado ed un termine noto:
•
come si risolve : si sostituisce la
con la variabile ausiliaria ottenendo una equazione di 20 grado in ; si risolve l’equazione di 20 grado in ; si risostituisce la al posto di e ; si risolvono le due equazioni binomie:
esempio con 4 soluzioni reali: caso
e
positivi
•
esempio con 2 soluzioni reali: caso
negativo e
positivo (o viceversa) nessuna soluzione
•
esempio con nessuna soluzione reale: caso
e
negativi nessuna soluzione
•
nessuna soluzione
v 3.4
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48
algebra
Equazioni e disequazioni binomie – biquadratiche - trinomie equazioni trinomie
•
che cos’è : un’equazione si dice trinomia se è formata da un termine di grado
•
come si risolve : si sostituisce la 20
grado in ; si risostituisce la
, uno di grado
ed un termine noto:
con la variabile ottenendo una equazione di 20 grado in ; si risolve l’equazione di al posto di e ; si risolvono le due equazioni binomie:
esempi •
nessuna soluzione
•
disequazioni binomie una disequazione binomia si risolve in modo diverso a seconda che l’esponente numero dispari. Distinguiamo i due casi.
sia un numero pari o un
caso pari: una disequazione binomia si risolve con lo stesso procedimento di una disequazione di 20 grado pura, cioè • • •
si trasforma la disequazione binomia nell’equazione binomia associata e si risolve l’equazione se l’equazione associata ha due soluzioni reali e distinte allora ; se non ha soluzioni reali allora si perviene alla soluzione della disequazione binomia consultando la tabella risolutiva delle disequazioni di 20 grado, tenendo conto del segno del e del segno della disequazione esempi caso n pari
perché il primo membro è somma di quantità sempre positive
caso • •
perché il primo membro è sempre positivo
dispari: il procedimento risolutivo è unico, cioè
si isola al primo membro si estrae la radice algebrica n-sima al primo e al secondo membro
esempi caso n dispari
disequazioni biquadratiche e trinomie una disequazione biquadratica • • • • • v 3.4
o una disequazione trinomia
si risolve così:
si sostituisce o con la variabile ausiliaria t esattamente come già fatto per le equazioni biquadratiche e trinomie si ottiene una disequazione di secondo grado nell’incognita t si risolve la disequazione si risostituisce la o la ottenendo due disequazioni binomie nella variabile si risolvono le disequazioni binomie come illustrato nel riquadro precedente © 2013 - www.matematika.it
49
Equazioni irrazionali e in valore assoluto
algebra
equazioni irrazionali equazioni irrazionali con una radice quadrata con un polinomio a secondo membro
con un numero positivo a secondo membro
con lo zero a secondo membro
con un numero negativo a secondo membro nessuna soluzione
equazioni irrazionali con due radici quadrate
si applica lo schema risolutivo per equazioni irrazionali con una sola radice quadrata equazioni irrazionali con radici cubiche
per risolvere una equazione irrazionale con radici cubiche basta isolare la (o le) radici ed elevare entrambi i membri al cubo
equazioni in valore assoluto definizione di valore assoluto il valore assoluto di • •
–
se
se
è uguale a:
è maggiore o uguale a zero
è minore di zero
equazioni con un solo valore assoluto con un polinomio a secondo membro
con un numero positivo a secondo membro
con un numero negativo a secondo membro
con lo zero a secondo membro
nessuna soluzione
equazioni con due o più valori assoluti • si studia il segno di A e B II
I
A>0
•
si risolvono le disequazioni A > 0 e B > 0 e dette ad esempio x > a e x > b le loro soluzioni, si rappresentano su grafico
dall’osservazione del grafico l’equazione si scinde nei seguenti sistemi: III
B>0 b
a
I v 2.6
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III 50
Disequazioni irrazionali
algebra
disequazioni con una radice quadrata ed un polinomio a secondo membro
disequazioni con una radice quadrata: casi particolari con un numero positivo
con un numero negativo
a secondo membro
con lo zero
a secondo membro
a secondo membro
nessuna soluzione
nessuna soluzione
nessuna soluzione
disequazioni con due radici quadrate
(o in generale con due radici ad indice pari)
per risolvere una disequazione con due radici quadrate basta isolare le radici ai due membri e risolvere il sistema formato dai radicandi posti maggiori o uguali a zero e dalla disequazione ottenuta elevando al quadrato entrambi i membri gli schemi precedenti si possono applicare solo se, una volta isolate le radici ai due membri, esse risultano entrambe positive
disequazioni con radici cubiche
con una sola radice cubica
(o in generale con due radici ad indice dispari)
con due radici cubiche
per risolvere una disequazione con due radici cubiche basta isolare la (o le) radici ed elevare entrambi i membri al cubo
disequazioni con radici ad indice diverso
nel caso di disequazioni con radici ad indice diverso, si calcola il m c m degli indici, si portano le radici allo stesso indice (il m c m degli indici), si sviluppano i calcoli e si risolve la disequazione ottenuta applicando uno degli schemi precedenti
v 2.6
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51
Disequazioni in valore assoluto
algebra
definizione di valore assoluto il valore assoluto di è uguale a: • se è maggiore o uguale a zero
•
–
se
è minore di zero
disequazioni con un solo valore assoluto ed un polinomio a secondo membro
disequazioni con un solo valore assoluto: casi particolari con un numero positivo n
con un numero negativo - n
a secondo membro
con lo zero
a secondo membro
a secondo membro
nessuna soluzione
nessuna soluzione
nessuna soluzione
disequazioni con due o più valori assoluti • si studia il segno di A e B II
I
A>0
•
si risolvono le disequazioni A > 0 e B > 0 e dette ad esempio x > a e x > b le loro soluzioni, si rappresentano su grafico dall’osservazione del grafico la disequazione si scinde nei seguenti sistemi: III
B>0 a
I v 3.4
b
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III 52
geometria piana
Postulati e definizioni di geometria piana I cinque postulati di Euclide I postulato
Adimandiamo che ce sia concesso, che da qualunque ponto in qualunque ponto si possi condurre una linea retta. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta II postulato
Anchora adimandiamo che ci sia concesso, che si possi slongare una retta linea terminata direttamente in continuo quanto ne pare. La linea retta si può prolungare indefinitamente III postulato
Anchora adimandiamo che ce sia concesso, che sopra a qualunque centro ne piace puotiamo designare un cerchio di che grandezza ci pare. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio IV postulato
Similmente adimandiamo, che ci sia concesso tutti li angoli retti esser fra loro equali. Tutti gli angoli retti sono uguali
V postulato
Adimandiamo etiam che ci sia concesso, che se una linea retta cascarà sopra due linee rette, e che duoi angoli da una parte siano minori di duoi angoli retti, che quelle due linee senza dubbio, protratte in quella medesima parte sia necessario congiongersi. Due rette tagliate da una trasversale si incontreranno in un punto posto dalla parte in cui la trasversale forma due angoli interni la cui somma è minore di un angolo piatto V postulato: enunciato equivalente
Per un punto esterno ad una retta passa una ed una sola parallela alla retta data
v 2.3
Gli enunciati dei 5 postulati di Euclide sono tratti da "Gli Elementi di Euclide" nella traduzione di Niccolò Tartaglia, edizione del 1565 © 2013 - www.matematika.it
53
Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
Definizioni segmento
Il segmento è quella parte di retta compresa da due suoi punti detti estremi
segmenti consecutivi consecutivi
Due segmenti sono consecutivi se hanno un estremo in comune
Due segmenti sono adiacenti se sono consecutivi e giacciono sulla stessa retta
adiacenti
punto medio di un segmento
M
Il punto medio di un segmento è quel punto che divide il segmento in due parti congruenti Il punto medio di un segmento è unico
semiretta
La semiretta è ciascuna delle due parti in cui una retta è divisa da un suo punto detto origine della semiretta semipiano
Il semipiano è ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da una sua retta detta origine del semipiano
angolo
L’angolo è ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi la stessa origine Le due semirette si chiamano lati dell’angolo L’origine comune delle due semirette si chiama vertice dell’angolo v 2.3
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54
Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
angolo concavo e angolo convesso concavo convesso
Un angolo si dice concavo se contiene i prolungamenti dei lati
Un angolo si dice convesso se non contiene i prolungamenti dei lati angoli consecutivi e adiacenti
Due angoli sono consecutivi se hanno il vertice ed un lato in comune
consecutivi
Due angoli sono adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni sono semirette opposte
adiacenti
angoli opposti al vertice
Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell’uno sono i prolungamenti dei lati dell’altro bisettrice di un angolo
b
La bisettrice di un angolo è la semiretta che divide l’angolo in due parti congruenti angolo piatto e angolo retto
Un angolo si dice piatto se i suoi lati sono semirette opposte
180° 90°
Un angolo si dice retto se è metà di un angolo piatto Un angolo piatto misura 180° Un angolo retto misura 90°
angolo giro e angolo nullo 360° 0°
v 2.3
Un angolo giro è la parte concava dell’angolo che ha per lati due semirette coincidenti
Un angolo nullo è la parte convessa dell’angolo che ha per lati due semirette coincidenti Un angolo giro misura 360° Un angolo nullo misura 0° ed è privo di punti interni © 2013 - www.matematika.it
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Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
angoli acuti e ottusi acuto
ottuso
Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto
Un angolo si dice ottuso se è maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto angoli complementari, supplementari, esplementari
complementari
supplementari
Due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto
Due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto Due angoli sono esplementari se la loro somma è un angolo giro
esplementari
rette perpendicolari
Due rette sono perpendicolari se incontrandosi formano quattro angoli retti rette parallele
Due rette che appartengono allo stesso piano sono parallele se • sono coincidenti oppure se • non hanno alcun punto in comune asse di un segmento
L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio
M
poligonale o spezzata
lato vertice
v 2.3
Una poligonale (o spezzata) è una figura formata da più segmenti ordinatamente consecutivi, appartenenti allo stesso piano I segmenti si chiamano lati della poligonale Gli estremi dei segmenti si chiamano vertici della poligonale © 2013 - www.matematika.it
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Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
poligonale aperta/chiusa
Una poligonale è aperta se si distingue un primo ed un ultimo punto aperta
chiusa
Una poligonale è chiusa se l’ultimo punto coincide con il primo punto poligonale intrecciata
Una poligonale è intrecciata quando almeno due lati non consecutivi si intersecano poligono
Un poligono è la parte di piano racchiusa da un poligonale chiusa non intrecciata poligoni convessi e concavi
Un poligono è convesso se un qualunque segmento che unisce due suoi punti è contenuto interamente nella figura convesso
concavo
Un poligono è concavo se esiste almeno un segmento che unisce due suoi punti che non è contenuto interamente nella figura poligono regolare
Un poligono è regolare se ha lati e angoli congruenti angolo interno e angolo esterno di un poligono convesso
interno
esterno
Un angolo interno di un poligono convesso è l’angolo convesso formato da due lati consecutivi del poligono
Un angolo esterno di un poligono convesso è l’angolo adiacente ad un angolo interno del poligono diagonale e corda di un poligono
Una diagonale di un poligono è un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi del poligono Una corda di un poligono è un qualsiasi segmento che unisce due punti del poligono appartenenti a lati diversi v 2.3
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Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
perimetro di un poligono
Il perimetro di un poligono è la somma di tutti i suoi lati
Due poligoni che hanno i perimetri congruenti sono detti isoperimetrici triangolo b
c
Un triangolo è un poligono formato da tre lati
a
triangolo isoscele
Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti
I lati congruenti si chiamano lati del triangolo Il lato disuguale si chiama base del triangolo Gli angoli adiacenti alla base si chiamano angoli alla base L’angolo compreso tra i due lati congruenti si chiama angolo al vertice triangolo scaleno ed equilatero
scaleno
equilatero
rettangolo acutangolo
ottusangolo
Un triangolo si dice scaleno se ha i tre lati disuguali
Un triangolo si dice equilatero se ha i tre lati congruenti classificazione dei triangoli rispetto agli angoli
Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto Un triangolo si dice acutangolo se ha i tre angoli acuti Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso
Nel triangolo rettangolo i lati che formano l’angolo retto si chiamano cateti, il lato maggiore, opposto all’angolo retto, si chiama ipotenusa altezza di un triangolo
h
v 2.3
L’altezza relativa ad un lato di un triangolo è il segmento perpendicolare al lato, condotto dal vertice opposto al lato stesso Il triangolo ha tre altezze Se il triangolo è acutangolo le altezze sono tutte interne Se il triangolo è rettangolo due altezze coincidono con i cateti Se il triangolo è ottusangolo due altezze sono esterne al triangolo © 2013 - www.matematika.it
58
geometria piana
Postulati e definizioni di geometria piana bisettrice di un angolo di un triangolo
La bisettrice relativa ad un angolo di un triangolo è il segmento di bisettrice dell’angolo considerato Il triangolo ha tre bisettrici mediana di un lato di un triangolo
La mediana relativa al lato di un triangolo è il segmento di estremi il punto medio del lato ed il vertice opposto al lato Il triangolo ha tre mediane
asse di un lato di un triangolo
L’asse di un lato di un triangolo è la retta perpendicolare al lato passante per il punto medio del lato ortocentro
L’ortocentro è il punto di incontro delle altezze di un triangolo Nel triangolo rettangolo l’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo retto
incentro
L’incentro è il punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni di un triangolo L’incentro è il centro della circonferenza inscritta al triangolo
baricentro
Il baricentro è il punto di incontro delle mediane di un triangolo
v 2.3
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59
Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
circocentro
Il circocentro è il punto di incontro degli assi dei lati di un triangolo Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo Il circocentro può essere anche esterno al triangolo Nel triangolo rettangolo il circocentro coincide col punto medio dell’ipotenusa
excentro
L’excentro è il punto di incontro delle bisettrici di due angoli esterni del triangolo Ogni triangolo ha tre excentri
proiezione di un punto su una retta P
La proiezione di un punto su una retta è il punto d’intersezione tra la retta perpendicolare condotta dal punto alla retta e la retta stessa
P’
distanza di un punto da una retta P
d
La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta proiezione di un segmento su una retta
B A
B’
A’
distanza tra rette parallele
d
v 2.3
La proiezione di un segmento su una retta è il segmento sulla retta che ha per estremi le proiezioni degli estremi del segmento dato
La distanza tra due rette parallele è la distanza di un qualsiasi punto di una di esse dall’altra retta
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60
Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
angoli formati da due rette tagliate da una trasversale
5 8
1
2
4
3 6 7
Due rette tagliate da una trasversale formano le seguenti coppie di angoli: alterni interni (4, 6) (3, 5) alterni esterni (1, 7) (2, 8) corrispondenti (1, 5) (2, 6) (3, 7) (4, 8) coniugati interni (4, 5) (3, 6) coniugati esterni (1, 8) (2, 7) trapezio
Il trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli I due lati paralleli si chiamano basi del trapezio parallelogrammo
Il parallelogrammo è un quadrilatero con i lati a due a due paralleli rettangolo
Il rettangolo è un parallelogrammo con quattro angoli retti rombo
Il rombo è un parallelogrammo con quattro lati congruenti quadrato
Il quadrato è un parallelogrammo con gli angoli e i lati congruenti Il quadrato è un poligono regolare
v 2.3
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Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
Esempi di alcuni luoghi geometrici: • l’asse di un segmento • la bisettrice di un angolo • la circonferenza • la parabola • l’ellisse • l’iperbole
C
r
P
luogo geometrico
Un luogo geometrico è l’insieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una stessa proprietà La proprietà è detta proprietà caratteristica del luogo geometrico
circonferenza
La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro La distanza di un punto della circonferenza dal centro si chiama raggio
cerchio
Il cerchio è la figura formata dai punti della circonferenza e dai punti interni ad essa corda di una circonferenza
Una corda di una circonferenza è il segmento che unisce due punti qualsiasi della circonferenza La corda che passa per il centro si chiama diametro
arco di circonferenza
Un arco di circonferenza è ciascuna delle due parti in cui una circonferenza è divisa da due suoi punti angolo al centro
Un angolo al centro di una circonferenza o di un cerchio è un qualsiasi angolo con il vertice nel centro della circonferenza
v 2.3
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geometria piana
Postulati e definizioni di geometria piana settore circolare
Il settore circolare è ciascuna delle due parti di cerchio delimitate da un angolo al centro segmento circolare ad una base
Il segmento circolare ad una base è ciascuna delle due parti in cui un cerchio rimane diviso da una sua corda L’ altezza del segmento circolare ad una base è il segmento sull’asse della corda compreso tra la circonferenza e il punto medio della corda
segmento circolare a due basi
Il segmento circolare a due basi è la parte di cerchio delimitata da due corde parallele L’altezza del segmento circolare a due basi è la distanza tra le due corde
corona circolare
Una corona circolare è la parte di cerchio compresa tra due circonferenze concentriche retta secante ad una circonferenza
Una retta si dice secante ad una circonferenza se ha due punti in comune con la circonferenza retta tangente ad una circonferenza
Una retta si dice tangente ad una circonferenza se ha un solo punto in comune con la circonferenza La retta tangente è perpendicolare al raggio nel suo punto di tangenza
retta esterna ad una circonferenza
Una retta si dice esterna ad una circonferenza se non ha punti in comune con la circonferenza v 2.3
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geometria piana
Postulati e definizioni di geometria piana angolo alla circonferenza
Un angolo alla circonferenza è un angolo con il vertice sulla circonferenza e i lati o entrambi secanti alla circonferenza o uno secante e l’altro tangente poligono inscritto in una circonferenza
Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono sulla circonferenza poligono circoscritto ad una circonferenza
Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza figure equivalenti
Due figure sono equivalenti se hanno la stessa estensione grandezze omogenee
a
a=b
b
b<c
c
Due o più grandezze sono omogenee se è possibile confrontarle tra loro, cioè se è possibile stabilire tra loro una relazione di uguaglianza o di disuguaglianza grandezze commensurabili
u
3u 5u
v 2.3
Due o più grandezze omogenee sono commensurabili se hanno una grandezza sottomultipla in comune
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64
Postulati e definizioni di geometria piana
geometria piana
grandezze incommensurabili
Due grandezze omogenee sono incommensurabili se non hanno una grandezza sottomultipla in comune
d
Il lato di un quadrato e la sua diagonale sono un esempio classico di grandezze incommensurabili
misura di una grandezza
u a
a=5u
La misura di una grandezza rispetto ad una grandezza omogenea assegnata è il rapporto tra le due grandezze grandezze direttamente proporzionali
a ● b ● c ●
● a’ ● b’ ● c’
a ● b ● c ●
● a’ ● b’ ● c’
Le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca sono direttamente proporzionali se il rapporto tra due qualunque grandezze di una classe è uguale al rapporto tra le grandezze corrispondenti dell’altra classe grandezze inversamente proporzionali
Le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca sono inversamente proporzionali se il rapporto tra due qualunque grandezze di una classe è uguale al rapporto inverso tra le grandezze corrispondenti dell’altra classe poligoni simili
Due poligoni sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati da essi formati in proporzione parte aurea o sezione aurea di un segmento
La parte aurea o sezione aurea di un segmento è la parte di segmento media proporzionale tra il segmento e la parte rimanente Se è la lunghezza del segmento ed
la sua sezione aurea, la proporzione si scrive:
che risolta in
dà:
circonferenza rettificata
La circonferenza rettificata è l’unico segmento che sia: • minore del perimetro di ogni poligono regolare circoscritto ad essa • maggiore del perimetro di ogni poligono regolare inscritto in essa v 2.3
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
la congruenza teoremi sugli angoli teorema sugli angoli complementari
γ α
β
Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo allora sono congruenti In generale: Se due angoli sono complementari di due angoli congruenti allora sono congruenti
teorema sugli angoli supplementari
γ α
β
Se due angoli sono supplementari di uno stesso angolo allora sono congruenti In generale: Se due angoli sono supplementari di due angoli congruenti allora sono congruenti
teorema sugli angoli esplementari
γ α
β
Se due angoli sono esplementari di uno stesso angolo allora sono congruenti In generale: Se due angoli sono esplementari di due angoli congruenti allora sono congruenti
teorema sugli angoli opposti al vertice
Gli angoli opposti al vertice sono congruenti teoremi sui triangoli I criterio di congruenza
Se due triangoli hanno due lati e l’angolo tra essi compreso congruenti allora sono congruenti II criterio di congruenza
Se due triangoli hanno due angoli e il lato tra essi compreso congruenti allora sono congruenti v 2.5
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66
geometria piana
Teoremi di geometria piana III criterio di congruenza
Se due triangoli hanno i tre lati congruenti allora sono congruenti I teorema sul triangolo isoscele
Se un triangolo è isoscele allora gli angoli adiacenti alla base sono congruenti Vale anche l’inverso:
Se un triangolo ha due angoli congruenti allora il triangolo è isoscele
II teorema sul triangolo isoscele
Se un triangolo è isoscele allora la bisettrice dell’angolo al vertice è mediana e altezza relativa alla base
Vale anche: In un triangolo isoscele • la mediana relativa alla base è bisettrice dell’angolo al vertice e altezza relativa alla base
•
l’altezza relativa alla base è mediana relativa alla base e bisettrice dell’angolo al vertice
I teorema sul triangolo equilatero
Se un triangolo è equilatero allora gli angoli sono tutti congruenti
Vale anche l’inverso:
Se un triangolo ha tutti gli angoli congruenti allora è un triangolo equilatero
II teorema sul triangolo equilatero
Se un triangolo è equilatero allora le tre mediane coincidono con le tre bisettrici, con le tre altezze e con i tre assi II criterio di congruenza generalizzato
Se due triangoli hanno due angoli e un lato congruenti allora sono congruenti v 2.5
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geometria piana
Teoremi di geometria piana I criterio di congruenza dei triangoli rettangoli
Se due triangoli rettangoli hanno i due cateti congruenti allora sono congruenti II criterio di congruenza dei triangoli rettangoli
Se due triangoli rettangoli hanno un cateto e l’angolo acuto opposto congruenti allora sono congruenti Vale anche:
Se due triangoli rettangoli hanno un cateto e l’angolo acuto adiacente congruenti allora sono congruenti
III criterio di congruenza dei triangoli rettangoli
Se due triangoli rettangoli hanno l’ipotenusa e un angolo acuto congruenti allora sono congruenti IV criterio di congruenza dei triangoli rettangoli
Se due triangoli rettangoli hanno l’ipotenusa e un cateto congruenti allora sono congruenti teorema della mediana in un triangolo rettangolo
In ogni triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa è congruente alla metà dell’ipotenusa stessa teorema inverso della mediana in un triangolo rettangolo
Se in un triangolo la mediana relativa al lato maggiore è congruente alla metà di questo allora il triangolo è rettangolo v 2.5
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68
Teoremi di geometria piana
geometria piana
teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo
In un triangolo la somma degli angoli interni è congruente a un angolo piatto I teorema dell’angolo esterno
In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascun angolo interno non adiacente ad esso Osserva che:
La somma di due angoli di un triangolo è minore di un angolo piatto
II teorema dell’angolo esterno
In un triangolo ogni angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti ad esso I teorema sulle disuguaglianze dei lati di un triangolo
Se un triangolo ha due lati disuguali allora al lato maggiore si oppone l’angolo maggiore Vale anche:
Se un triangolo ha due angoli disuguali allora all’angolo maggiore si oppone il lato maggiore
II teorema sulle disuguaglianze dei lati di un triangolo
b
c
a
In un triangolo ogni lato: • è minore della somma degli altri due • è maggiore della differenza degli altri due • •
Ad esempio: oppure oppure
oppure oppure
relazione tra gli elementi di due triangoli
Se due triangoli hanno due lati congruenti e gli angoli compresi disuguali allora dei terzi lati è maggiore quello opposto all’angolo maggiore Vale anche l’inverso:
Se due triangoli hanno due lati congruenti e i terzi lati diseguali allora degli angoli opposti ai terzi lati è maggiore quello opposto al lato maggiore v 2.5
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
teoremi sui poligoni I criterio di congruenza dei poligoni
Se due poligoni con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i lati e gli angoli compresi ad eccezione di due lati consecutivi e dell’angolo compreso allora essi sono congruenti II criterio di congruenza dei poligoni
Se due poligoni con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i lati e gli angoli compresi ad eccezione di due angoli e del lato compreso allora essi sono congruenti III criterio di congruenza dei poligoni
Se due poligoni con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i lati e gli angoli compresi ad eccezione di tre angoli consecutivi allora essi sono congruenti
a
b
teorema sulle disuguaglianze dei lati di un poligono
d
c b
In un poligono ogni lato è minore della somma di tutti gli altri lati
e
a c
d
e
oppure
Ad esempio:
oppure
…
relazione tra i perimetri di due poligoni
Se un poligono convesso è inscritto in un altro poligono allora il suo perimetro è minore del perimetro del poligono circoscritto teoremi sulle rette perpendicolari e sulle rette parallele teorema sulle rette perpendicolari
r
v 2.5
s
Se due rette incidenti formano un angolo retto allora esse sono perpendicolari © 2013 - www.matematika.it
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
teorema sull’esitenza ed unicità della retta perpendicolare P
Da un punto esterno ad una retta passa una ed una sola perpendicolare alla retta stessa Osserva che:
Il teorema vale anche nel caso in cui il punto appartiene alla retta
P
teorema sulla distanza di un punto da una retta
P
La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta
d
Osserva che:
La distanza di un punto da una retta è il segmento minore tra tutti i segmenti condotti dal punto alla retta
teorema sull’esistenza di rette parallele
Se due rette sono perpendicolari ad una stessa retta allora esse sono parallele tra loro Vale anche:
Se due rette sono parallele allora una terza retta perpendicolare alla prima è anche perpendicolare alla seconda
teorema sulle rette parallele tagliate da una trasversale
2
1
3
4
Due rette parallele tagliate da una trasversale formano: • angoli alterni interni ed alterni esterni congruenti • angoli corrispondenti congruenti • angoli coniugati interni e coniugati esterni supplementari
6
5 8
7
criterio di parallelismo 2
1 4
3 6
5 8
7
Se due rette tagliate da una trasversale formano: • angoli alterni interni o alterni esterni congruenti o • angoli corrispondenti congruenti o • angoli coniugati interni o coniugati esterni supplementari allora le due rette sono parallele proprietà transitiva del parallelismo
r
v 2.5
s
t
Se due rette sono parallele ad una terza retta allora esse sono parallele tra loro
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geometria piana
Teoremi di geometria piana distanza tra due rette parallele
Se due rette sono parallele allora i punti di una retta hanno uguale distanza dall’altra retta cioè le due rette mantengono sempre la stessa distanza
teoremi sulle proiezioni
teorema sulle proiezioni congruenti
Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta hanno proiezioni congruenti allora essi sono congruenti Vale anche l’inverso: Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta sono congruenti allora hanno proiezioni congruenti
teorema sulle proiezioni non congruenti
Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta hanno proiezioni non congruenti allora è maggiore il segmento avente proiezione maggiore Vale anche l’inverso: Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta non sono congruenti allora quello maggiore ha proiezione maggiore
teorema generale sulle proiezioni
La proiezione di un segmento su una retta è minore o uguale del segmento stesso teoremi sui quadrilateri particolari teorema sul trapezio
Se un trapezio è isoscele allora • gli angoli adiacenti alle basi sono congruenti • le diagonali sono congruenti teorema sul parallelogrammo
v 2.5
In un parallelogrammo: • i triangoli in cui esso viene diviso da una diagonale sono congruenti • i lati opposti sono a due a due congruenti • gli angoli opposti sono a due a due congruenti • le diagonali si incontrano nel loro punto medio • gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari © 2013 - www.matematika.it
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
teorema inverso sul parallelogrammo
Se un quadrilatero ha: • i lati opposti a due a due congruenti o • gli angoli opposti a due a due congruenti o • le diagonali che si incontrano nel loro punto medio o • gli angoli adiacenti a ciascun lato supplementari o • due lati opposti congruenti e paralleli allora il quadrilatero è un parallelogrammo teorema sul rettangolo
In un rettangolo le diagonali sono congruenti Vale anche l’inverso: Se un parallelogrammo ha le diagonali congruenti allora è un rettangolo
teorema sul rombo
In un rombo le diagonali sono • perpendicolari tra loro • bisettrici degli angoli interni
Vale anche l’inverso:
Se in un parallelogrammo le diagonali sono • perpendicolari tra loro o • bisettrici degli angoli interni allora il parallelogrammo è un rombo
primi teoremi sul fascio di rette parallele teorema sul fascio di rette parallele
t’
t
Se un fascio di rette parallele è tagliato da due trasversali allora a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale
teorema della parallela dal punto medio di un lato di un triangolo
M
M’
Se dal punto medio di un lato di un triangolo si conduce la parallela ad un secondo lato allora questa incontra il terzo lato nel suo punto medio teorema sulla corda dei punti medi di due lati di un triangolo
M
v 2.5
M’
Se una corda di un triangolo ha per estremi i punti medi di due lati allora essa è parallela al terzo lato ed uguale alla sua metà © 2013 - www.matematika.it
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geometria piana
Teoremi di geometria piana teoremi sulla circonferenza teorema sulla relazione tra diametro e corda
In una circonferenza, un diametro è maggiore di qualunque corda teorema sull’asse di una corda
Se un diametro di una circonferenza è perpendicolare ad una corda allora il diametro la dimezza Vale anche:
L’asse di una corda passa per il centro della circonferenza
teorema sui punti di una circonferenza
Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza Vale anche:
Tre punti di una circonferenza non possono essere allineati
I teorema sulle corde e loro distanza dal centro
Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono congruenti allora sono equidistanti dal centro
Vale anche l’inverso: Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, hanno la stessa distanza dal centro allora sono congruenti
II teorema sulle corde e loro distanza dal centro
Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono disuguali allora la corda maggiore ha distanza minore dal centro
Vale anche l’inverso: Se due corde di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, hanno distanza disuguale dal centro allora è maggiore la corda con distanza minore dal centro
teorema sulla relazione tra archi, corde e angoli al centro
Se due angoli al centro di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono congruenti allora gli archi e le corde corrispondenti sono congruenti
Vale anche l’inverso: Se due archi (corde) di una stessa circonferenza, o di due circonferenze congruenti, sono congruenti allora le corde (gli archi) e gli angoli al centro corrispondenti sono congruenti v 2.5
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
teorema sulla posizione reciproca di una retta e di una circonferenza
Se la distanza di una retta dal centro di una circonferenza è minore, uguale o maggiore del raggio allora la retta ha in comune con la circonferenza rispettivamente due punti (secante), un punto (tangente), nessun punto (esterna) Vale anche l’inverso:
Se una retta ha in comune con una circonferenza due punti o un punto o nessun punto allora la retta ha distanza dal centro della circonferenza, rispettivamente, minore, uguale o maggiore del raggio
teorema sulla retta tangente ad una circonferenza
Se una retta è tangente in un punto ad una circonferenza allora è perpendicolare al raggio in quel punto Vale anche l’inverso:
Se una retta è perpendicolare al raggio in un punto appartenente alla circonferenza allora la retta è tangente alla circonferenza in quel punto
I teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze esterne
C
r
r’
C’
Se due circonferenze hanno i punti dell’una esterni all’altra allora la distanza tra i centri è maggiore della somma dei raggi Vale anche l’inverso:
Se la distanza tra i centri di due circonferenze è maggiore della somma dei raggi allora le due circonferenze hanno i punti dell’una esterni all’altra (circonferenze esterne)
II teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze tangenti esterne
Se due circonferenze hanno un punto in comune e i punti dell’una esterni all’altra allora la distanza tra i centri è congruente alla somma dei raggi Vale anche l’inverso:
Se la distanza tra i centri di due circonferenze è congruente alla somma dei raggi allora le due circonferenze hanno un punto in comune (circonferenze tangenti esterne)
III teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze secanti
Se due circonferenze hanno due punti in comune allora la distanza tra i centri è minore della somma dei raggi e maggiore della differenza dei raggi Vale anche l’inverso:
Se la distanza tra i centri di due circonferenze è minore della somma dei raggi e maggiore della differenza dei raggi allora le due circonferenze hanno due punti in comune (circonferenze secanti)
IV teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze tangenti interne
Se due circonferenze hanno un punto in comune e i punti dell’una interni all’altra allora la distanza tra i centri è congruente alla differenza dei raggi Vale anche l’inverso:
Se la distanza tra i centri di due circonferenze è congruente alla differenza dei raggi allora le due circonferenze hanno un punto in comune (circonferenze tangenti interne) v 2.5
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geometria piana
Teoremi di geometria piana V teorema sulla posizione reciproca di due circonferenze circonferenze interne
Se due circonferenze hanno i punti dell’una interna all’altra allora la distanza dei centri è minore della differenza dei raggi Vale anche l’inverso:
Se la distanza dei centri di due circonferenze è minore della differenza dei raggi allora i punti dell’una sono interni all’altra (circonferenze interne)
teorema sugli angoli alla circonferenza
In ogni circonferenza un angolo alla circonferenza è congruente alla metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco o sulla stessa corda I teorema sugli angoli alla circonferenza
Se due angoli alla circonferenza insistono sullo stesso arco o sulla stessa corda allora sono congruenti II teorema sugli angoli alla circonferenza
Se due angoli alla circonferenza insistono su archi o su corde congruenti allora sono congruenti Vale anche l’inverso:
Se due angoli alla circonferenza sono congruenti allora gli archi e le corde su cui insistono sono congruenti
III teorema sugli angoli alla circonferenza
Se un angolo alla circonferenza insiste su una semicirconferenza allora è retto Osserva che:
Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo
teorema delle tangenti ad una circonferenza
Se da un punto esterno ad circonferenza si tracciano le tangenti ad essa allora i segmenti compresi tra il punto esterno e i punti di tangenza alla circonferenza sono congruenti Vale anche:
v 2.5
La retta che congiunge il punto esterno alla circonferenza con il suo centro è bisettrice dell’angolo formato dalle due tangenti © 2013 - www.matematika.it
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
luoghi geometrici asse di un segmento
M
L’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento bisettrice di un angolo
La bisettrice di un angolo è il luogo geometrico dei punti equidistanti dai lati dell’angolo punti notevoli di un triangolo circocentro
Gli assi dei tre lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto circocentro Osserva che:
Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo ed è equidistante dai vertici del triangolo
incentro
Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo passano per uno stesso punto detto incentro Osserva che:
L’incentro è il centro della circonferenza inscritta al triangolo ed è equidistante dai lati del triangolo
baricentro
G
Le mediane dei lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto baricentro. Il baricentro divide ciascuna mediana in due parti tale che quella contenente il vertice è doppia dell’altra Osserva che:
Il baricentro di una figura viene indicato tradizionalmente con la lettera G
ortocentro
Le altezze relative ai lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto ortocentro v 2.5
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
triangolo equilatero
In un triangolo equilatero i punti notevoli coincidono Osserva che:
In un triangolo equilatero il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo è doppio del raggio della circonferenza inscritta al triangolo stesso
distanza del baricentro dai lati di un triangolo
In ogni triangolo la distanza del baricentro da un lato è congruente alla terza parte dell’altezza relativa allo stesso lato
G
teorema di Eulero
C
G
O
In ogni triangolo il circocentro C, il baricentro G e l’ortocentro O sono allineati cioè giacciono sulla stessa retta detta retta di Eulero. La distanza tra il baricentro e l’ortocentro è doppia della distanza tra baricentro e circocentro corollario al teorema di Eulero
C
G
O
La distanza del circocentro da un lato è congruente alla metà del segmento che congiunge l’ortocentro con il vertice opposto a tale lato poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza teorema sui quadrilateri inscritti
Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora gli angoli opposti sono supplementari Vale anche l’inverso:
Se un quadrilatero ha gli angoli opposti supplementari allora è inscrittibile in una circonferenza
corollario
Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora un suo angolo esterno è congruente all’angolo interno opposto al suo adiacente Vale anche:
Se un quadrilatero ha due angoli opposti retti allora è inscrittibile in una circonferenza v 2.5
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
d a
a
teorema sui quadrilateri circoscritti
c
c
b
Se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza allora la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due lati
b
Vale anche l’inverso:
Se in un quadrilatero la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due allora il quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza
d
corollario
b
l
l
B
B
l
l
b
Se in un trapezio isoscele la somma della basi è congruente al doppio del lato obliquo allora il trapezio è circoscrittibile ad una circonferenza Vale anche:
Ogni quadrilatero equilatero cioè con i lati congruenti è circoscrittibile ad una circonferenza
teorema sulla inscrittibilità e circoscrittibilità dei poligoni regolari r
a
Se un poligono è regolare allora si può inscrivere e circoscrivere con due circonferenze concentriche il centro delle due circonferenze è detto centro del poligono regolare
teorema sui poligoni regolari
Se si divide una circonferenza in tre o più archi congruenti allora il poligono ottenuto congiungendo successivamente i punti di divisione e il poligono ottenuto conducendo le tangenti alla circonferenza negli stessi punti sono poligoni regolari teorema sul lato dell’esagono regolare
O
v 2.5
Il lato di un esagono regolare è congruente al raggio della circonferenza circoscritta ad esso
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Teoremi di geometria piana
geometria piana
l’equivalenza e la similitudine teoremi sull’equivalenza teorema sull’equivalenza di parallelogrammi
Se due parallelogrammi hanno le basi e le altezze congruenti allora essi sono equivalenti secondo teorema sull’equivalenza di parallelogrammi
Se due parallelogrammi sono equivalenti ed hanno le basi congruenti allora essi hanno anche le altezze congruenti Vale anche: Se due parallelogrammi sono equivalenti ed hanno le altezze congruenti allora essi hanno anche le basi congruenti
teorema sull’equivalenza del triangolo e del parallelogrammo
Se un triangolo ha la stessa altezza di un parallelogrammo e la base congruente al doppio di quella del parallelogrammo allora il triangolo e il parallelogrammo sono equivalenti Vale anche: Se due triangoli hanno le basi e le altezze congruenti allora essi sono equivalenti
teorema sull’equivalenza di due triangoli
Se due triangoli hanno le basi e le altezze congruenti allora essi sono equivalenti
Vale anche: Se due triangoli sono equivalenti ed hanno le basi (o le altezze) congruenti allora essi hanno anche le altezze (o le basi) congruenti
teorema sull’equivalenza del triangolo e del trapezio
Se un triangolo ha la stessa altezza di un trapezio e la base congruente alla somma delle basi del trapezio allora il triangolo e il trapezio sono equivalenti b
r
v 2.5
a a
r
teorema sull’equivalenza di un poligono circoscritto ad una circonferenza e di un triangolo
c d b
c
d
Se un poligono è circoscritto ad una circonferenza allora è equivalente ad un triangolo che ha la base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della circonferenza © 2013 - www.matematika.it
80
Teoremi di geometria piana
geometria piana
b r
c
d
r
a
a
teorema sull’equivalenza di un poligono regolare e di un triangolo e
b
c
d
e
Se un poligono è regolare allora è equivalente ad un triangolo avente la base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente all’apotema del poligono (cioè al raggio della circonferenza inscritta nel poligono) teorema sull’equivalenza del trapezio rettangolo e del rettangolo
Se un trapezio rettangolo è circoscrittibile ad una circonferenza allora esso è equivalente ad un rettangolo avente i lati congruenti alle basi del trapezio teorema sull’equivalenza del triangolo rettangolo e del rettangolo
Un triangolo rettangolo è equivalente al rettangolo i cui lati sono congruenti ai due segmenti in cui l’ipotenusa è divisa dal punto di contatto con la circonferenza inscritta nel triangolo rettangolo I teorema di Euclide (enunciato secondo l’equivalenza)
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa
Q
R
Q è equivalente ad R
Vale anche l’inverso: Se il quadrato costruito su un lato minore di un triangolo è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del lato minore sul lato maggiore e il lato maggiore allora il triangolo è rettangolo
II teorema di Euclide (enunciato secondo l’equivalenza )
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
Q
R
Q è equivalente ad R
Vale anche l’inverso: Se il quadrato costruito sull’altezza relativa al lato maggiore di un triangolo è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni degli altri due lati sul lato maggiore allora il triangolo è rettangolo
teorema di Pitagora
Q2
Q1 Q
v 2.5
Q è equivalente a Q1+ Q2
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti
Vale anche l’inverso: Se il quadrato costruito sul lato maggiore di un triangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati allora il triangolo è rettangolo © 2013 - www.matematika.it
81
Teoremi di geometria piana
geometria piana
Grandezze omogenee e Grandezze proporzionali teorema sull’incommensurabilità tra il lato del quadrato e la sua diagonale
Il lato del quadrato e la sua diagonale sono segmenti incommensurabili
Osserva che: Il rapporto tra il lato del quadrato e la sua diagonale è un numero irrazionale, cioè un numero decimale con infinite cifre diverse dopo la virgola Se e sono due grandezze commensurabili allora può essere: 1. un numero intero 2. un numero decimale con finite cifre dopo la virgola 3. un numero periodico Se e sono due grandezze incommensurabili allora è un numero decimale con infinite cifre diverse dopo la virgola
:
=
:
= a ● b ● c ● allora allora 4
8 2
4
Assegnate tre grandezze se le prime due sono omogenee tra loro allora esiste ed è unica la quarta grandezza omogenea con la terza che è quarta proporzionale dopo le tre Condizione necessaria e sufficiente affinché le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali è che: • a grandezze uguali in una classe corrispondono grandezze uguali dell’altra • alla somma di due o più grandezze qualsiasi di una classe corrisponde la somma delle grandezze corrispondenti dell’altra classe teoremi sui rettangoli proporzionali alle basi
28 7
8 : 28 = 2 : 7 v 2.5
teorema fondamentale sulla proporzionalità
Criterio generale di proporzionalità
● a’ ● b’ ● c’
Se Se
Il rapporto di due grandezze commensurabili è un numero razionale Il rapporto di due grandezze incommensurabili è un numero irrazionale
teorema sulla quarta proporzionale
:
=
Se il rapporto di due grandezze omogenee è un numero razionale allora le due grandezze sono commensurabili
Condizione necessaria e sufficiente affinché quattro grandezze a due a due omogenee siano in proporzione è che lo siano le loro misure
a : b = c : d :
teorema sul rapporto di grandezze commensurabili
I rettangoli aventi altezze congruenti sono proporzionali alle rispettive basi Vale anche: I rettangoli aventi basi congruenti sono proporzionali alle rispettive altezze © 2013 - www.matematika.it
82
Teoremi di geometria piana
geometria piana
teorema sugli elementi proporzionali in un cerchio
β b
α a
Gli archi di uno stesso cerchio o di cerchi congruenti sono proporzionali ai rispettivi angoli al centro
a : b = α : β 12
3
2
teorema sui rettangoli equivalenti e sui segmenti in proporzione
Se quattro segmenti sono in proporzione allora il rettangolo che ha per lati i segmenti estremi della proporzione è equivalente al rettangolo che ha per lati i segmenti medi della proporzione
12
4
6
Vale anche l’inverso: Se due rettangoli sono equivalenti allora due lati consecutivi dell’uno sono i medi e i due lati consecutivi dell’altro sono gli estremi di una stessa proporzione
4 : 6 = 2 : 3
teorema sui segmenti e sui quadrati in proporzione
3 4 6
8
3:4 = 6:8 9 : 16 = 36 : 64
b’
b
a : b = a’ : b’
La bisettrice dell’angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati
P
B
A
Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali i segmenti determinati su una trasversale sono proporzionali ai corrispondenti segmenti sull’altra trasversale teorema sulla bisettrice dell’angolo interno di un triangolo
C
CP : PB = AC : AB P C B
AP : CP = AB : BC v 2.5
teorema di Talete
a’
a
A
Se quattro segmenti sono in proporzione allora i quadrati costruiti su di essi sono in proporzione
Vale anche l’inverso:
Se un punto interno ad un lato di un triangolo divide il lato in parti proporzionali agli altri due lati allora la congiungente il punto con il vertice opposto è la bisettrice dell’angolo compreso tra gli altri due lati del triangolo teorema sulla bisettrice dell’angolo esterno di un triangolo
Se la bisettrice di un angolo esterno di un triangolo incontra il prolungamento del lato opposto in un punto allora le distanze di questo punto dagli estremi di quel lato sono proporzionali agli altri due lati
Vale anche l’inverso: Se un punto del prolungamento di un lato di un triangolo è tale che le sue distanze dagli estremi di quel lato sono proporzionali agli altri lati allora la congiungente questo punto con il vertice opposto è la bisettrice del corrispondente angolo esterno del triangolo © 2013 - www.matematika.it
83
Teoremi di geometria piana
geometria piana
corollario del teorema di Talete
C P
Se una retta è parallela ad un lato di un triangolo allora sulle rette degli altri due lati si determinano segmenti proporzionali
P’
A
Vale anche l’inverso: Se una retta determina sui due lati di un triangolo segmenti proporzionali allora essa è parallela al terzo lato
B
AP : PC = BP’ : P’C
teorema di Tolomeo
D
C
Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora il prodotto delle misure delle diagonali è congruente alla somma dei prodotti delle misure dei lati opposti
A
Vale anche l’inverso: Se il prodotto delle misure delle diagonali di un quadrilatero è congruente alla somma dei prodotti delle misure dei lati opposti allora il quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza
B
teoremi sulla similitudine
teorema fondamentale della similitudine
C P’
P
A
Se una retta passante per un lato di un triangolo è condotta parallelamente ad un altro suo lato allora la retta determina un triangolo simile al triangolo iniziale
B
PP’C è simile ad ABC
I criterio di similitudine
C
C’
A
B’
B A’
ABC è simile ad A’B’C’
Se due triangoli hanno gli angoli congruenti allora essi sono simili Vale anche: Se due triangoli hanno due angoli congruenti allora essi sono simili
II criterio di similitudine
C
C’
A
B
B’
A’
ABC è simile ad A’B’C’
Se due triangoli hanno due lati in proporzione e gli angoli tra essi compresi congruenti allora essi sono simili III criterio di similitudine
C
C’
A
B
A’
ABC è simile ad A’B’C’ v 2.5
B’
Se due triangoli hanno i tre lati ordinatamente in proporzione allora essi sono simili © 2013 - www.matematika.it
84
Teoremi di geometria piana
geometria piana
I teorema di Euclide (enunciato secondo la proporzionalità)
C
A
In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa
B
H
AH : AC = AC : AB
II teorema di Euclide (enunciato secondo la proporzionalità)
C
A
In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
B
H
AH : CH = CH : HB
teorema delle altezze
C
C’
A
B
H
A’ H’
B’
AB : A’B’ = CH : C’H’
teorema dei perimetri
C
C’
2p
2p’
A
B
A’
B’
2p : 2p’ = AB : A’B’
S’ B
S : S’ =
A’
(AB)2
:
B’
(A’B’)2
P
P simile a P’ v 2.5
In generale: Se due poligoni sono simili allora i perimetri stanno tra loro come di due lati omologhi
Se due triangoli sono simili allora le aree stanno tra loro come i quadrati di due lati omologhi
C’
A
Se due triangoli sono simili allora i perimetri stanno tra loro come due lati omologhi
teorema delle aree
C
S
Se due triangoli sono simili allora le basi stanno tra loro come le rispettive altezze
In generale: Se due poligoni sono simili allora le aree stanno tra loro come i quadrati di due lati omologhi
I teorema dei poligoni regolari
P’
Se due poligoni sono regolari e hanno lo stesso numero di lati allora essi sono simili
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85
Teoremi di geometria piana
geometria piana
teorema della bisettrice
C
In ogni triangolo il prodotto delle misure di due lati è congruente al quadrato della misura della bisettrice dell’angolo da essi formato aumentato del prodotto delle misure dei segmenti in cui tale bisettrice divide il terzo lato
P
B
A
D
teorema delle corde
B
Se due corde di una stessa circonferenza si intersecano in un punto allora i segmenti formati su una stessa corda sono medi e i segmenti formati sull’altra corda sono estremi di una stessa proporzione
P A
Vale anche l’inverso: Se due segmenti si intersecano in un punto tale che le parti appartenenti ad uno stesso segmento sono medi o estremi di una proporzione allora gli estremi dei segmenti dati appartengono alla stessa circonferenza
C
AP : PD = CP : PB
teorema delle secanti
P
B
Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti allora l’intera secante e la sua parte esterna sono i medi e l’altra secante intera e la sua parte sono gli estremi della proporzione
C
A
Vale anche l’inverso: Se due segmenti consecutivi ma non adiacenti sono tali che un segmento e una sua parte sono medi proporzionali tra l’altro segmento e una sua parte allora i quattro punti estremi non comuni dei quattro segmenti in proporzione appartengono alla stessa circonferenza
D
PA : PD = PC : PB
T
P
B
teorema della tangente e della secante
Se da un punto esterno ad una circonferenza si conduce una tangente e una secante allora il segmento di tangenza è medio proporzionale tra l’intera secante e la sua parte esterna
Vale anche l’inverso: Se un punto di uno di due segmenti consecutivi ma non adiacenti è tale che determina due parti estremi proporzionali all’altro segmento allora l’altro segmento è tangente alla circonferenza passante per i tre estremi non comuni dei segmenti
C
PC : PT = PT : PB
teorema sul lato del decagono regolare
Il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è congruente alla sezione aurea del raggio
r
il lato è medio proporzionale tra il raggio e la differenza tra il raggio e il lato cioè
teorema sul lato del pentagono regolare
r
r a
v 2.5
Il lato del pentagono regolare è congruente all’ipotenusa di un triangolo rettangolo avente per cateti il raggio della circonferenza inscritta e la sezione aurea del lato del pentagono stesso © 2013 - www.matematika.it
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Area del triangolo
geometria piana
l’area del triangolo in geometria piana formula classica l’area di un triangolo qualsiasi si esprime in funzione della base b e dell’altezza h, come prodotto della base per l’altezza diviso due, secondo la formula:
h b
formula di Erone
a
b
l’area di un triangolo qualsiasi si esprime in funzione delle lunghezze dei lati a, b, c e del semiperimetro p secondo la formula:
c la formula di Erone è un caso particolare della formula di Brahamagupta usata per il calcolo dell’area di un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza di cui siano note le lunghezze dei suoi lati. Se sono i lati del quadrilatero e il suo semiperimetro, allora la sua area si esprime come:
per il quadrilatero degenera in un triangolo e la formula di Brahamagupta si riduce alla formula di Erone area del triangolo rettangolo
l’area di un triangolo rettangolo si esprime in funzione dei cateti c1 e c2, come prodotto dei cateti diviso due, secondo la formula:
h
l’area di un triangolo rettangolo di l’ipotenusa , si può anche esprimere come prodotto dell’ipotenusa relativa all’ipotenusa diviso due, per dell’altezza secondo la formula:
i v 1.0
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Area del triangolo
geometria piana
raggio della circonferenza inscritta in un triangolo qualsiasi
b
r
il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo qualsiasi si esprime come rapporto dell’area del secondo la triangolo e del suo semiperimetro relazione:
a
c
vale la formula inversa per il calcolo dell’area
:
raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo qualsiasi
b
il raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo qualsiasi si esprime come rapporto tra il prodotto dei lati fratto quattro volte l’area del triangolo secondo la relazione:
a
R c
vale la formula inversa per il calcolo dell’area
:
l’area del triangolo in geometria analitica metodo geometrico yC
C
F
E
●
yB
●
A
yA
D
● xA
B
l’area del triangolo ABC, note le coordinate cartesiane dei vertici A, B e C si può anche ottenere: • si calcola l’area del rettangolo ADEF circoscritto al triangolo ABC • dall’area del rettangolo si sottraggono le aree dei tre triangoli rettangoli ADB, BEC, CFA:
xB
xC
l’area del triangolo in trigonometria
b
l’area di un triangolo è uguale al prodotto di due lati per il seno dell’angolo tra essi compreso diviso due
a
γ
α
β
c v 1.0
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88
Aree
geometria piana
delle principali figure piane
triangolo
quadrato
rettangolo
b
b
parallelogramma
rombo
cerchio
b
d
D
b
trapezio
B
settore circolare
O
O
circonferenza
α
segmento circolare ad una base
A
O
B
α
A B
poligoni regolari triangolo equilatero
sia:
il semiperimetro, • •
quadrato
il lato,
pentagono
esagono
ottagono
decagono
l’apotema (cioè il segmento che dal centro cade perpendicolarmente ad un lato)
l’apotema di un poligono regolare coincide con il raggio della circonferenza inscritta al poligono: l’apotema si può calcolare moltiplicando la lunghezza di un lato per un numero fisso tabella dei numeri fissi f di alcuni poligoni regolari
poligono
triangolo equilatero quadrato
pentagono
v 2.5
numero fisso
poligono
0,289
esagono
0,688
ottagono
0,500
ettagono
numero fisso
poligono
0,866
ennagono
1,207
dodecagono
1,038
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decagono
numero fisso 1,374 1,539 1,866
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geometria
Teorema di Pitagora – primo e secondo teorema di Euclide nomenclatura C
c1
c2
h p1
A
considerato un triangolo rettangolo ABC
p2
H
i
B
AB = i = ipotenusa AC = c1 = primo cateto BC = c2 = secondo cateto CH = h = altezza relativa all’ipotenusa AH = p1 = proiezione di c1 sull’ipotenusa HB = p2 = proiezione di c2 sull’ipotenusa
teorema di Pitagora
enunciato secondo l’equivalenza
C
Q1
in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti:
Q2 c2
c1
A
B
i
Q
enunciato in formula
in un triangolo rettangolo l’ipotenusa al quadrato è uguale alla somma dei quadrati dei cateti :
primo teorema di Euclide enunciato secondo l’equivalenza
C
Q c1 A
c2
p1
R
B i
in un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensione la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa:
enunciato secondo la similitudine
in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa:
secondo teorema di Euclide enunciato secondo l’equivalenza
C h
A
v 2.0
p2
p1
R
Q
p2
B
in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni del cateti sull’ipotenusa:
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enunciato secondo la similitudine
in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa:
90
Triangoli rettangoli particolari
geometria piana
triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°
i = ipotenusa cm = cateto minore cM = cateto maggiore
C
cM
cm 60°
30°
A
B
i
triangolo rettangolo con angoli di 45° (isoscele) C
A
c
c
45°
45° i
i = ipotenusa c = cateto
B
triangolo rettangolo con angoli di 18° e 72°
i = ipotenusa cm = cateto minore cM = cateto maggiore
C
cM
cm
A
18°
72°
B
i
applicazioni TRIANGOLO EQUILATERO: applicazione del triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°
l
TRIANGOLO ISOSCELE PARTICOLARE: applicazione del triangolo rettangolo con angoli di 18° e 72°
l
30° 30°
l
h 60°
18°
h 72°
60°
l
72°
l l = lato
h = altezza
v 2.5
l = lato
h = altezza
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91
geometria piana
Sezione aurea di un segmento - Rettangolo Aureo definizione di sezione aurea di un segmento
la sezione aurea ( ) di un segmento di lunghezza ( ) è la parte di segmento medio proporzionale tra il segmento stesso e la parte rimanente cioè:
per trovare la lunghezza della sezione aurea di un segmento basta trovare il valore di dalla proporzione. Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni essa si trasforma in una equazione nell’incognita • • •
si applica la proprietà fondamentale: si sviluppano i calcoli:
si risolve l’equazione di II grado in :
il numero
vale circa 0,6180339887… Il suo inverso,
, si chiama numero aureo, vale circa 1,6180339887…
e viene indicato con la lettera dall'iniziale dello scultore greco Fidia che avrebbe usato il numero aureo per creare la struttura del Partenone di Atene esempio
Per calcolare la sezione aurea di un segmento di lunghezza precedentemente
basta applicare la formula dimostrata
•
definizione di rettangolo aureo un rettangolo si dice aureo se il lato minore ( ) è la sezione aurea del lato maggiore ( ) cioè se il lato minore è medio proporzionale tra il lato maggiore ( ) e la differenza tra i due lati ( ), cioè:
le dimensioni standard di carte di credito, tessere telefoniche, badge per ogni applicazione corrispondono, salvo tolleranze di fabbricazione, al rettangolo aureo
costruzione di un rettangolo aureo
Siano e i lati minore e maggiore del rettangolo aureo che si vuole costruire. Allora:
• • • • •
v 1.3
si disegna un quadrato di lato si trova il punto medio M della base del quadrato si prolunga la base del quadrato si traccia un arco dicirconferenza di centro M e raggio MN il punto di intersezione tra l’arco di circonferenza e il prolungamento del lato del quadrato individua il secondo estremo del lato maggiore b del rettangolo.
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geometria solida
Volumi
e superfici
cubo
parallelepipedo rettangolo
prisma retto
piramide retta a base regolare
piramide retta
tronco di piramide
cilindro
cono equilatero (
v 2.5
delle principali figure solide
cilindro equilatero (
)
tronco di cono
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)
cono
sfera
93
geometria solida
Volumi
e superfici
segmento sferico ad 1 base
delle principali figure solide
segmento sferico a 2 basi
spicchio sferico
α
20 teorema di Guldino
10 teorema di Guldino la superficie generata da una linea (o da un poligono) in rotazione intorno ad un asse è uguale al prodotto della circonferenza descritta dal suo baricentro per la sua lunghezza (o perimetro)
l
il volume generato da una superficie in rotazione intorno ad un asse è uguale al prodotto della circonferenza descritta dal suo baricentro per la sua superficie
r
r
S
solidi platonici o poliedri regolari I solidi platonici sono quei solidi le cui facce, tutte uguali tra loro, sono formate da poligoni regolari e tali che in ogni vertice concorrono lo stesso numero di spigoli. Sono solo cinque:
tetraedro
esaedro (cubo)
ottaedro
dodecaedro
icosaedro
4 triangoli equilateri
6 quadrati
8 triangoli equilateri
12 pentagoni regolari
20 triangoli equilateri
Il volume dei solidi platonici si calcola moltiplicando il cubo dello spigolo per un numero caratteristico del solido:
formula di Eulero Indicato con: poliedro = solido dello spazio la cui frontiera è l’unione delle facce faccia = figura piana che compone il poliedro spigolo = segmento di incontro delle facce vertice = punto di incontro degli spigoli per tutti i poliedri vale la formula di Eulero:
v 2.5
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faccia spigolo
●
vertice
94
Assi e punti
geometria analitica
sistema di assi cartesiani monometrico ortogonale
• • •
distanza tra due punti
è l’origine degli assi cartesiani è l’asse delle ascisse : è l’asse delle ordinate
• O(0,0): origine degli assi cartesiani • : punto di ascissa e ordinata • : punto di ascissa e ordinata • : punto di ascissa e ordinata • : punto simmetrico di rispetto all’asse • : punto simmetrico di rispetto ad • : punto simmetrico di rispetto all’asse
la distanza tra due punti A e B è uguale alla lunghezza del segmento AB. La distanza AB rappresenta l’ipotenusa del triangolo rettangolo ABC e si calcola applicando il teorema di Pitagora:
punto medio
di un segmento di estremi il punto medio del segmento AB è un punto appartenente al segmento ed equidistante dagli estremi del segmento stesso cioè AM = MB Le sue coordinate sono: inversamente: note le coordinate di un estremo e del
punto medio, le coordinate del secondo estremo sono:
il punto B si dice il simmetrico di A rispetto ad M e viceversa A si dice il simmetrico di B rispetto ad M
dividere un segmento in parti proporzionali ad un numero k il punto
, divide il segmento di estremi in parti proporzionali a k, cioè tale che il rapporto tra AP e AB è uguale a k : Le sue coordinate sono:
v 3.6
se P è il punto medio del segmento AB le formule si riducono a quelle del punto medio di un segmento © 2013 - www.matematika.it
95
Assi e punti
geometria analitica
baricentro
di un triangolo di vertici il baricentro di un triangolo è il punto di incontro delle mediane. Le sue coordinate sono:
inversamente: note le coordinate di due vertici del
triangolo e del suo baricentro, le coordinate del terzo vertice sono:
area di un triangolo metodo del determinante (regola di Sarrus) l’area del triangolo di vertici determinante della matrice dei punti A, B, C
+
+
+
è uguale ad un mezzo del valore assoluto del
metodo geometrico yC
C
F
E
●
yB
yA
●
A
B
D
●
xA
per calcolare l’area del triangolo ABC • si calcola l’area del rettangolo ADEF circoscritto al triangolo ABC • dall’area del rettangolo si sottraggono le aree dei tre triangoli rettangoli ADB, BEC, CFA:
xB
xC
allineamento di tre punti B
●
●
● ●
A
C
per verificare se tre punti A,B,C sono allineati cioè se
appartengono alla stessa retta si può:
1. calcolare l’area del triangolo di vertici A,B,C: se l’area è uguale a zero i punti sono allineati oppure: 2. calcolare le distanze AB, BC, AC : se AB + BC = AC i punti sono allineati
per stabilire se un triangolo è rettangolo basta verificare che le lunghezze dei lati soddisfano il teorema di Pitagora, cioè che: v 3.6
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96
La retta
geometria analitica
equazione della retta y q
forma implicita
r
●
forma esplicita ●
p
x
forma segmentaria
nella forma esplicita
nella forma segmentaria
• m è detto coefficiente angolare
• p è il punto di intersezione tra la retta e l’asse x
• q è il punto di intersezione tra la retta e l’asse y
• q è il punto di intersezione tra la retta e l’asse y
significato geometrico di m di p e di q
y
y
m>0 q
●
p
q
m
r
●
●
1
r
●
m<0
●
●
p
x
1
●
x
m ●
il coefficiente angolare m è l’ordinata del punto che ha distanza di 1 unità dal punto P di intersezione di r con l’asse x
rette particolari
equazione asse x
y
equazione asse y
y
x y
n
equazione retta parallela all’asse x
y=n
●
x
●
x
y
y=x x
equazione della bisettrice del I e III quadrante
equazione retta parallela all’asse y
x=n
y
n
x
equazione della bisettrice del II e IV quadrante
y
y=-x x
Per disegnare una retta basta trovare le coordinate di almeno due punti e congiungerli. Le coordinate di un punto si trovano assegnando alla
Disegnamo ad esempio la retta
v 2.1
x
0 1
un valore a piacere e calcolando la corrispondente
y
-1 2
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y
2
-1
1
x
97
La retta
geometria analitica
ricerca dell’equazione di una retta B
y
A
x
formula per trovare il coefficiente angolare della retta passante per due punti
B
y
A
formula per trovare l’equazione della retta passante per due punti
x
y
m
P0
formula per trovare l’equazione della retta ed il coefficiente angolare m noto un punto equazione del fascio di rette
x
per trovare l’equazione di una retta passante per due punti • calcolare il coefficiente angolare
con la formula precedente
• utilizzare la formula dell’equazione del fascio di rette sostituendo ad m il valore uno qualsiasi dei due punti A o B
si può anche: ed a
le coordinate di
condizione di parallelismo e perpendicolarità tra due rette
r
s
r
s
due rette parallele hanno i coefficienti angolari uguali
due rette perpendicolari hanno i coefficienti angolari antireciproci
punto e retta
ricerca del punto
di intersezione di due rette non parallele per trovare le coordinate del punto di due rette r ed s non parallele:
s
r
•
●
• •
si mettono a sistema le equazioni delle due rette si risolve il sistema
le soluzioni del sistema rappresentano le coordinate del punto di intersezione
condizione di appartenenza di un punto r
•
●
• •
x0
distanza di un punto
appartiene ad una retta:
si sostituiscono le coordinate e alla y nell’equazione della retta si sviluppano i calcoli
del punto alla x
se si ottiene una identità, il punto appartiene alla retta
da una retta r
formula con l’equazione della retta in forma implicita
P0 r
ad una retta
per verificare se un punto
P0
y0
di intersezione
d
formula con l’equazione della retta in forma esplicita v 2.1
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98
La retta
geometria analitica
equazione delle bisettrici degli angoli formati da due rette r ed s (non parallele)
b2
r
note le equazioni delle rette r ed s in forma implicita r: ed s:
s b1
qualunque siano gli angoli formati dalle due rette, le bisettrici sono sempre perpendicolari tra loro s
la bisettrice di un angolo è l’insieme dei punti del piano equidistanti dai lati. Sfruttando questa sua proprietà si può trovare l’equazione delle bisettrici ponendo . Calcolando le distanze e sviluppando i calcoli si ottengono le equazioni delle bisettrici.
b
P r
equazione dell’asse di un segmento AB per trovare l’equazione dell’asse di un segmento AB noti :
A
•
•
M
•
●
B
•
si calcola il punto medio
si calcola il coefficiente angolare
del segmento AB
del segmento AB
si ricava il coefficiente angolare dell’asse (è perpendicolare ad AB)
nell’equazione del fascio , si sostituisce ad m il valore e alle coordinate quelle del punto medio ottenendo così l’equazione dell’asse A
l’asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi. Sfruttando questa sua proprietà si può trovare l’equazione dell’asse ponendo . Calcolando le distanze e sviluppando i calcoli si ottiene l’equazione dell’asse del segmento
P
●
B
tangente dell’angolo formato da due rette la tangente dell’angolo formato da due rette non parallele r ed s di coefficiente angolare mr ed ms è dato dalla formula:
s
r
allineamento di tre punti A, B, C per verificare se tre punti A, B, C sono allineati cioè se appartengono alla stessa retta si può: • B
C
●
● A
• • • • •
v 2.1
ricavare
ed
, e verificare che
trovare l’equazione della retta passante per A e C e verificare che B appartiene alla retta AC calcolare l’area del triangolo di vertici ABC e verificare che sia uguale a zero
trovare le equazioni delle rette passanti per A e B e per A e C, e verificare che queste sono uguali
trovare l’equazione della retta passante per A e C e verificare che la distanza di B da tale retta è zero
verificare che la somma delle distanze AB e BC è uguale alla distanza AC cioè AB + BC = AC
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99
La retta
geometria analitica
fasci di rette Un fascio di rette è l’insieme delle rette del piano aventi in comune un punto oppure una direzione tipi di fasci
fascio proprio
●
fascio improprio
C
è l’insieme delle rette del piano passanti per uno stesso punto detto centro del fascio
è l’insieme delle rette del piano aventi una direzione comune, cioè aventi lo stesso coefficiente angolare
come si presenta l’equazione di un fascio
l’equazione di un fascio di rette si presenta come quella di una retta (generalmente in forma implicita) nella quale compare, oltre alle incognite ed , almeno una volta anche un’altra lettera ( ) detta parametro Esempio:
classificazione di un fascio di rette
data l’equazione del fascio, per classificarlo bisogna: •
•
calcolare il coefficiente angolare
•
esempio per un fascio di rette proprio
se
contiene il parametro
il fascio è proprio
se il parametro si semplifica, il fascio è improprio
esempio per un fascio di rette improprio
rette generatrici di un fascio • • •
le rette generatrici di un fascio sono le rette che danno origine al fascio e sono sempre due nel caso di fascio proprio le rette generatrici sono incidenti nel caso di fascio improprio le rette generatrici sono parallele
ricerca delle equazioni delle rette generatrici di un fascio •
• • retta all’infinito
retta per k = 0
ricerca del centro
dato il fascio di rette, si sviluppano i calcoli si raccoglie a fattor comune il parametro
le due parti così ottenute rappresentano le equazioni delle rette generatrici del fascio
di un fascio proprio di rette • •
si mettono a sistema le equazioni delle due rette generatrici o di due generiche rette del fascio
le soluzioni del sistema rappresentano le coordinate del centro del fascio
come scrivere l’equazione di un fascio di rette
equazione del fascio di rette date le due rette generatrici r ed s equazione del fascio di rette proprio noto il centro
v 2.1
equazione del fascio di rette improprio noto il coefficiente angolare m
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100
Parabola
geometria analitica
definizione La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso da una retta data detta direttrice, cioè:
detto fuoco e
asse
● ●
F
V ●
F
●
asse
V direttrice
direttrice
parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y
parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x
equazione completa
coordinate del vertice
coordinate del fuoco
equazione dell’asse
equazione della direttrice
parabole particolari Se la parabola ha il vertice sull’asse
Se la parabola ha il vertice sull’asse
Se la parabola passa per l’origine
Se la parabola passa per l’origine
Se e la parabola ha il vertice nell’origine
Se e la parabola ha il vertice nell’origine
v 1.3
osserva che se
la parabola degenera in una retta
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101
Parabola
geometria analitica
significato grafico del coefficiente
significato grafico del coefficiente ●
c ●
il coefficiente
c
c
c
●
●
rappresenta il passaggio della curva sull’asse
ricerca dell’equazione di una parabola
equazione della parabola noto il fuoco
(sull’asse )
e la direttrice • • • •
si scrive la definizione di parabola si calcolano le due distanze
si elevano al quadrato entrambi i membri
si sviluppano i calcoli e si ottiene l’equazione della parabola
equazione della parabola passante per tre punti passaggio per A
•
si sostituiscono uno alla volta le coordinate dei punti nell’equazione generica della parabola
•
si ottiene un sistema di tre equazioni nelle incognite a, b, c
passaggio per B passaggio per C
• •
in generale • • • • •
v 1.3
si risolve il sistema e si ottengono i valori a, b, c si sostituiscono i valori ottenuti nell’equazione della parabola ottenendo l’equazione richiesta
per trovare l’equazione di una parabola è necessario:
avere tre condizioni (scelte tra: fuoco, vertice, asse, direttrice, passaggio per un punto, retta tangente)
trasformare ogni condizione in una equazione
ottenere il sistema delle tre equazioni nelle incognite a, b, c risolvere il sistema e trovare i valori di a, b, c
sostituire i valori ottenuti nell’equazione della parabola, ottenendo l’equazione cercata © 2013 - www.matematika.it
102
Parabola
geometria analitica
ricorda che nel caso in cui è noto il vertice, è vantaggioso sfruttare le seguenti due condizioni: o passaggio della parabola per il punto Vertice o
porre
Non conviene utilizzare la coordinata
del vertice perché questa condizione genera una equazione di II grado
ricerca delle equazioni delle rette tangenti alla parabola
equazioni delle rette tangenti condotte da un punto •
• •
• • • •
equazione della retta tangente nel punto
esterno alla parabola
si scrive l’equazione del fascio di rette proprio di centro si ricava la y dell’equazione del fascio
si sostituisce la y trovata nell’equazione della parabola si ordina l’equazione rispetto alla
si ricava il e lo si impone uguale a 0 (condizione di tangenza tra retta e parabola) si risolve l’equazione di secondo grado nell’incognita ricavando i valori ed si sostituiscono ed nell’equazione del fascio ottenendo le equazioni delle rette tangenti della parabola: formula di sdoppiamento
• • • • •
si scrive l’equazione della parabola si pone si pone
e
(
)
si sostituiscono le incognite sdoppiate nella equazione della parabola
sviluppando i calcoli si ottiene l’equazione della retta tangente nel punto
equazione della retta tangente con coefficiente angolare m assegnato •
•
• •
• •
in alcuni problemi v 1.3
si scrive l’equazione del fascio di rette improprio con a assegnato
si sostituisce la y nell’equazione della parabola si ordina l’equazione rispetto alla
si ricava il e lo si impone uguale a 0 (condizione di tangenza tra retta e parabola) si risolve l’equazione ottenuta nell’incognita
si sostituisce il valore di nell’equazione del fascio ottenendo l’equazione della retta tangente
si ricava nota la retta parallela o perpendicolare alla retta tangente © 2013 - www.matematika.it
103
Circonferenza
geometria analitica
definizione La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso C detto centro, cioè:
equazione circonferenza
●
C(α,β)
P
coordinate del centro
r relazione per il raggio equazione della circonferenza di centro e raggio r
affinché la circonferenza sia reale è necessario che :
circonferenze particolari
●
●
se la circonferenza ha se la circonferenza ha se la circonferenza passa per centro sull’asse centro sull’asse l’origine
.
●
●
se e la circonferenza se e la circonferenza se e la circonferenza ha centro sull’asse e passa per ha centro sull’asse e passa per ha centro nell’origine l’origine l’origine osserva che se
la circonferenza degenera nel punto O(0,0) origine degli assi cartesiani
ricerca dell’equazione di una circonferenza
per scrivere l’equazione di una circonferenza è necessario avere tre condizioni, scelte tra: centro
• • • •
v 1.3
metodo algebrico
raggio
trasformare ogni condizione in una equazione
ottenere il sistema delle tre equazioni nelle incognite risolvere il sistema e trovare i valori di
sostituire i valori ottenuti nell’equazione della circonferenza, ottenendo l’equazione cercata
passaggio per un punto
retta tangente
metodo geometrico
• •
è utile rappresentare sul piano cartesiano le condizioni note
ricavare da queste, centro e raggio della circonferenza
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104
Circonferenza
geometria analitica
Esempio: equazione della circonferenza passante per tre punti passaggio per A
•
si sostituiscono uno alla volta le coordinate dei punti nell’equazione generica della circonferenza
•
si ottiene un sistema di tre equazioni nelle incognite a, b, c
passaggio per B passaggio per C
(metodo algebrico)
•
si risolve il sistema e si ottengono i valori a, b, c
•
si sostituiscono i valori ottenuti nell’equazione della circonferenza ottenendo l’equazione richiesta
posizione di una retta rispetto alla circonferenza ●
●
●
retta secante
retta tangente
soluzioni reali e distinte
retta esterna soluzioni non reali
soluzioni reali e coincidenti
ricerca delle equazioni delle rette tangenti alla circonferenza
equazioni delle rette tangenti condotte da un punto •
• • • • • • • •
si scrive l’equazione del fascio di rette proprio di centro si ricava la y dell’equazione del fascio
si utilizza la formula della distanza di un punto da una retta in forma esplicita si impone che la distanza tra il centro della circonferenza e il fascio di rette sia uguale ad r si elevano al quadrato entrambi i membri si calcola il minimo comune multiplo si sviluppano i calcoli
si risolve l’equazione di secondo grado nell’incognita ottenendo i valori ed si sostituiscono ed nell’equazione del fascio ottenendo le equazioni delle rette tangenti
Le equazioni delle rette tangenti condotte da un punto anche utilizzando il procedimento illustrato per le altre coniche equazione della retta tangente in un punto
• • • •
v 1.3
esterno alla circonferenza si possono ottenere
della circonferenza: formula di sdoppiamento
• ●
esterno alla circonferenza
si scrive l’equazione della circonferenza si pone si pone
e
e
si sostituiscono le incognite sdoppiate nella equazione della circonferenza sviluppando i calcoli si ottiene l’equazione della retta tangente nel punto
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105
Circonferenza
geometria analitica
equazione delle rette tangenti parallele ad una retta data si scrive l’equazione del fascio di rette improprio con assegnato
•
si sostituisce la y nell’equazione della circonferenza
•
si sviluppano i calcoli, ordinando l’equazione rispetto alla
•
si ricava il e lo si impone uguale a 0 (condizione di tangenza tra retta e circonferenza) si risolve l’equazione di secondo grado nell’incognita si sostituiscono e nell’equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni della rette tangenti
• ●
•
●
•
in alcuni problemi il coefficiente angolare tangente
si ricava nota la retta parallela o la perpendicolare alla retta
posizioni reciproche di due circonferenze
C1 ●
R
r
C2 ●
circonferenze esterne
●
●
●
circonferenze tangenti esterne
●
●
circonferenze secanti
●
● ●
circonferenze tangenti interne
●
circonferenze interne
circonferenze concentriche
asse radicale di due circonferenze
L’asse radicale di due circonferenze non concentriche è la retta del piano, luogo geometrico dei punti aventi la stessa potenza rispetto ai centri delle due circonferenze ●
●
●
●
●
●
osservazioni • •
l’asse radicale è sempre ortogonale al segmento
che unisce i centri delle due circonferenze. Inoltre:
se le due circonferenze sono secanti, l’asse radicale è alla retta passante per i due punti di intersezione
se le circonferenze sono tangenti, l’asse radicale è la retta tangente alle due circonferenze nel punto comune
l’asse radicale consente di trovare gli eventuali punti di intersezione tra due circonferenze mettendo a sistema l’equazione dell’asse stesso con l’equazione di una delle due circonferenze
v 1.3
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106
Ellisse
geometria analitica
definizione L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante, cioè: semiasse maggiore
semiasse minore
semidistanza focale
P
c
b
●
F2 ●
c
b ● F1
semidistanza focale
● F2 F1
a
semiasse maggiore
●
a
ellisse di centro l’origine e fuochi sull’asse delle x
semiasse minore
ellisse di centro l’origine e fuochi sull’asse delle y
equazione canonica
lunghezza asse maggiore, lunghezza asse minore e distanza focale relazione tra i parametri a, b, c
coordinate dei fuochi eccentricità
se
l’ellisse degenera in una circonferenza di centro l’origine e raggio
ricerca dell’equazione di una ellisse
di equazione
equazione dell’ellisse noti i fuochi ed il semiasse maggiore • • • • •
v 1.5
si applica la definizione di ellisse ricordando che la costante è uguale a si calcolano le due distanze
e
si isola il primo radicale e si elevano al quadrato entrambi i membri
si sviluppano i calcoli isolando il radicale rimasto e di nuovo si elevano al quadrato entrambi i membri si sviluppano i calcoli e si ottiene l’equazione dell’ellisse in forma non canonica
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107
Ellisse
geometria analitica
equazione dell’ellisse passante per due punti •
passaggio per A
nell’equazione dell’ellisse in forma canonica si sostituiscono e
•
passaggio per B
si sostituiscono uno alla volta le coordinate dei punti nell’equazione precedente
•
si risolve il sistema di primo grado nelle incognite e
•
in generale • • • • •
e
si sostituiscono i valori ottenuti nell’equazione iniziale ottenendo così l’equazione richiesta
per trovare l’equazione di una ellisse è necessario:
avere due condizioni (scelte tra: fuoco, semiassi, passaggio per un punto, eccentricità, retta tangente)
trasformare ogni condizione in una equazione
ottenere il sistema delle due equazioni nelle incognite risolvere il sistema e trovare i valori di
sostituire i valori ottenuti nell’equazione dell’ellisse, ottenendo l’equazione cercata
nota che nella ricerca dell’equazione dell’ellisse: o le incognite sono e e non e o conviene imporre le condizioni date a partire dall’equazione dell’ellisse in forma non canonica
ricerca delle equazioni delle rette tangenti all’ellisse
equazioni delle rette tangenti condotte da un punto •
• • • • • •
equazione della retta tangente nel punto
si scrive l’equazione del fascio di rette proprio di centro si ricava la y dell’equazione del fascio
si sostituisce la y nell’equazione dell’ellisse in forma non canonica si sviluppano i calcoli e si ordina l’equazione rispetto alla
si ricava il e lo si impone uguale a 0 (condizione di tangenza tra retta ed ellisse) si risolve l’equazione di secondo grado nell’incognita ed m ricavando i valori
si sostituiscono ed nell’equazione del fascio ottenendo le equazioni delle rette tangenti dell’ellisse: formula di sdoppiamento
• • • •
v 1.5
esterno all’ellisse
si scrive l’equazione dell’ellisse in forma non canonica si pone
e
si sostituiscono le incognite sdoppiate nella equazione dell’ellisse
sviluppando i calcoli si ottiene l’equazione della retta tangente nel punto
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108
Ellisse
geometria analitica
equazione delle rette tangenti di coefficiente angolare m assegnato • • • • • •
in alcuni problemi
si scrive l’equazione del fascio di rette improprio con m assegnato si sostituisce la non canonica
nell’equazione dell’ellisse in forma
si sviluppano i calcoli e si ordina l’equazione rispetto alla
si ricava il e lo si impone uguale a 0 (condizione di tangenza tra retta ed ellisse)
si risolve l’equazione di secondo grado nell’incognita ricavando i valori di e
si sostituiscono e nell’equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni delle rette tangenti
si ricava nota la retta parallela o perpendicolare alla retta tangente
ellisse traslata
l’ellisse si dice traslata se gli assi X e Y del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani e
y
Y
coordinate del centro dell’ellisse
O(α,β)
X
x
ricerca dell’equazione dell’ellisse traslata note le coordinate del centro • • •
equazione dell’ellisse riferita al sistema XOY
data l’equazione dell’ellisse in forma canonica
si sostituisce a (traslazione di centro
ea )
si sviluppano i calcoli e si ottiene l’equazione dell’ellisse traslata
area e lunghezza di una ellisse misura dell’area
osserva che se l’ellisse diventa una circonferenza e la formula si riduce a quella dell’area del cerchio
misura della lunghezza
osserva che la lunghezza si calcola solo come sviluppo in serie di un integrale curvilineo. Un buon valore approssimato è dato dalla formula qui riportata del matematico indiano Ramanujan
v 1.5
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109
Iperbole
geometria analitica
definizione L’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la differenza in valore assoluto delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante, cioè: asintoto
asintoto
asintoto
asintoto
semiasse trasverso
F2
a
semiasse non trasverso
b
F1
●
●
● semiasse b trasverso
F2 semidistanza focale
c F1 ●
c
semidistanza focale
iperbole con i fuochi sull’asse delle x
a
semiasse non trasverso
iperbole con i fuochi sull’asse delle y
equazione canonica
lunghezza asse trasverso, lunghezza asse non trasverso e distanza focale relazione tra i parametri a, b, c
coordinate dei fuochi equazioni degli asintoti
eccentricità
ricerca dell’equazione di una iperbole equazione dell’iperbole noti i fuochi ed il semiasse trasverso • • • • • •
v 1.3
si applica la definizione di iperbole ricordando che la costante è uguale a si calcolano le due distanze
e
si elevano al quadrato entrambi i membri
si sviluppano i calcoli e si isola il radicale rimasto
si elevano di nuovo al quadrato entrambi i membri si sviluppano i calcoli e si ottiene l’equazione dell’iperbole in forma non canonica
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110
Iperbole
geometria analitica
equazione dell’iperbole passante per due punti •
passaggio per A
nell’equazione dell’iperbole in forma canonica si effettua la sostituzione e
•
passaggio per B
si sostituiscono uno alla volta le coordinate dei punti nell’equazione precedente
•
si risolve il sistema di primo grado nelle incognite e
•
in generale • • • • •
e
si sostituiscono i valori ottenuti nell’equazione iniziale ottenendo così l’equazione richiesta
per trovare l’equazione di una iperbole è necessario:
avere due condizioni (scelte tra: fuoco, semiassi, passaggio per un punto, eccentricità, retta tangente)
trasformare ogni condizione in una equazione
ottenere il sistema delle due equazioni nelle incognite risolvere il sistema e trovare i valori di
sostituire i valori ottenuti nell’equazione dell’iperbole, ottenendo l’equazione cercata
nota che nella ricerca dell’equazione dell’iperbole: o le incognite sono e e non e o conviene imporre le condizioni date a partire dall’equazione dell’iperbole in forma non canonica
ricerca delle equazioni delle rette tangenti all’iperbole
equazioni delle rette tangenti condotte da un punto •
• • • • • •
equazione della retta tangente nel punto
si scrive l’equazione del fascio di rette proprio di centro si ricava la y dell’equazione del fascio
si sostituisce la y nell’equazione dell’iperbole in forma non canonica
si sviluppano i calcoli e si ordina l’equazione rispetto alla
si ricava il e lo si impone uguale a 0 (condizione di tangenza tra retta ed iperbole) si risolve l’equazione di secondo grado nell’incognita ed m ricavando i valori
si sostituiscono ed nell’equazione del fascio ottenendo le equazioni delle rette tangenti dell’iperbole: formula di sdoppiamento
• • • •
v 1.3
esterno all’iperbole
si scrive l’equazione dell’iperbole in forma non canonica si pone
e
si sostituiscono le incognite sdoppiate nella equazione dell’iperbole
sviluppando i calcoli si ottiene l’equazione della retta tangente nel punto
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111
Iperbole
geometria analitica
equazione delle rette tangenti di coefficiente angolare m assegnato • • • • • •
in alcuni problemi
si scrive l’equazione del fascio di rette improprio con m assegnato si sostituisce la non canonica
nell’equazione dell’iperbole in forma
si sviluppano i calcoli e si ordina l’equazione rispetto alla
si ricava il e lo si impone uguale a 0 (condizione di tangenza tra retta ed iperbole)
si risolve l’equazione di secondo grado nell’incognita ricavando i valori di e
si sostituiscono e nell’equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni delle rette tangenti
si ricava nota la retta parallela o perpendicolare alla retta tangente
iperbole traslata
l’iperbole si dice traslata se gli assi X e Y del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani e y
Y
O(α,β)
coordinate del centro dell’iperbole
X x
ricerca dell’equazione dell’iperbole traslata note le coordinate del centro • • •
v 1.3
equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse x riferita al sistema XOY
data l’equazione dell’iperbole in forma canonica
si sostituisce a (traslazione di centro
ea )
si sviluppano i calcoli e si ottiene l’equazione dell’iperbole traslata
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112
Iperbole
geometria analitica
iperbole equilatera
l’iperbole si dice equilatera se i semiassi sono uguali:
equazione relazione tra a, c
a
●
●
F1
coordinate dei fuochi
F2 equazioni asintoti
a eccentricità
osserva che nell’iperbole equilatera gli asintoti coincidono con le bisettrici del I e III e del II e IV quadrante
iperbole equilatera ruotata di
equazione per ●
F2 coordinata del primo fuoco
F1
●
coordinata fuoco
del
secondo
equazione per
F1
●
coordinata del primo fuoco ●
F2
coordinata fuoco
del
secondo
funzione omografica
si dice funzione omografica l’iperbole equilatera ruotata di cartesiani
e traslata rispetto all’origine degli assi equazione coordinate del centro dell’iperbole O’
O’
equazioni degli asintoti O
v 1.3
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113
Geometria analitica in sintesi
geometria analitica
punti distanza tra due punti
coordinate del punto medio
tra due punti
coordinate del baricentro
di un triangolo di vertici
retta
forma implicita
equazione della retta
forma esplicita
e
q
m è il coefficiente angolare
forma segmentaria
● ●
1
p
q è l’intersezione con l’asse delle y
m
p è l’intersezione con l’asse delle x
coefficiente angolare della retta passante per due punti equazione della retta passante per due punti equazione della retta passante per un punto di coefficiente angolare m
//
condizioni di parallelismo tra due rette r ed s condizioni di perpendicolarità tra due rette r ed s
oppure
s
r
punto di intersezione tra due rette r ed s retta in forma implicita retta in forma esplicita
● P(x0,y0)
⊥
P(x0,y0) d
distanza di un punto da una retta r
r b2
r
equazione delle bisettrici degli angoli formati da due rette r, s
s b1
tangente dell’angolo formato da due rette r ed s di coefficiente angolare mr ed ms rette particolari
y
n x
v 2.7
asse x
x
asse y
y
y
y
y
y
●
x
parallela asse x
●
n
parallela asse y
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x
x
x
bisettrice I e III q.
bisettrice II e IV q.
114
Geometria analitica in sintesi
geometria analitica
parabola F
● ● ●
d
La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta data detta direttrice:
P
d
parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y
●P
● ●
F
parabola con asse di simmetria parallelo all’asse x
equazione completa coordinate del vertice coordinate del fuoco equazione dell’asse equazione della direttrice
con area del rettangolo circoscritto al segmento parabolico
b=0
c=0
equazione della retta tangente alla parabola in un suo punto detta formula di sdoppiamento area del segmento parabolico parabole particolari
b=0 c=0
b=0
b=0 c=0
c=0
significato grafico del coefficiente a e del coefficiente c ●
c ●
a>0
v 2.7
c
c a<0
●
se a = 0 la parabola degenera in una retta
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c
a>0
●
a<0
115
Geometria analitica in sintesi
geometria analitica
circonferenza La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso C detto centro:
r
●
equazione completa
P
coordinate del centro C
C(α,β)
relazione del raggio r
equazione della circonferenza di centro
e raggio r
equazione della retta tangente alla circonferenza in un suo punto detta formula di sdoppiamento equazione dell’asse radicale di due circonferenze circonferenze particolari
se
C2
C1 ●
R
●
r
esterne
la circonferenza si riduce al punto
●
●
v 2.7
●
●
●
secanti
●
tangenti interne
● ●
●
interne
concentriche
alcune formule sul cerchio e sulla circonferenza settore circolare segmento circolare ad una base
O
O
area del cerchio
origine degli assi cartesiani
posizioni reciproche di due circonferenze
tangenti esterne
cerchio
.
●
●
●
α
A B
O
α
A B
circonferenza
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116
Geometria analitica in sintesi
geometria analitica
ellisse P
● ●
●
F1
F2
L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante:
ellisse con i fuochi sull’asse x
F2●
F1
●
P
●
ellisse con i fuochi sull’asse y
equazione in forma canonica
2a
lunghezza asse maggiore
2b
2a
lunghezza asse minore
2c
2b
2c
distanza focale relazione tra i parametri a, b, c coordinate dei fuochi eccentricità
equazione della retta tangente alla ellisse nel suo punto detta formula di sdoppiamento ellisse traslata
l’ellisse si dice traslata se gli assi X e Y del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani x e y y
coordinate del centro dell’ellisse
Y
●
O(α,β)
X
equazione dell’ellisse riferita al sistema XOY
x
area e lunghezza dell’ellisse b ∙
v 2.7
a
∙
per a=b l’ellisse diventa una circonferenza e la formula diventa quella dell’area del cerchio
la lunghezza si calcola solo come sviluppo in serie di un integrale curvilineo: un buon valore approssimato è dato dalla formula del matematico indiano Ramanujan © 2013 - www.matematika.it
117
Geometria analitica in sintesi
geometria analitica
iperbole P
● F1
●
●
F2
L’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la differenza in valore assoluto delle distanze da due punti fissi F1 e F2 detti fuochi è costante:
iperbole con i fuochi sull’asse x
F2
●
●P
F1 ●
iperbole con i fuochi sull’asse y
equazione in forma canonica
2a
lunghezza asse trasverso
2b
lunghezza asse non trasverso
2c
distanza focale relazione tra i parametri a, b, c
2b 2a 2c
coordinate dei fuochi equazione degli asintoti eccentricità
equazione della retta tangente alla iperbole nel suo punto detta formula di sdoppiamento iperbole traslata
l’iperbole si dice traslata se gli assi X e Y del suo sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani x e y y
Y
●
O(α,β)
coordinate del centro dell’iperbole
X
equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse X riferita al sistema XOY
x
v 2.7
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118
Geometria analitica in sintesi
geometria analitica
iperbole equilatera: a = b equazione
relazione tra a, c
coordinate dei fuochi
equazione degli asintoti iperbole equilatera ruotata di
F2 ●
F1●
F1 ●
k>0
equazione coordinate dei fuochi
F ● 2
k<0
iperbole equilatera ruotata e traslata detta funzione omografica equazione
y
coordinate di O’ x
v 2.7
equazione degli asintoti
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119
Geometria analitica in sintesi
geometria analitica
proprietà comuni a tutte le coniche condizione di appartenenza di un punto per verificare se un dato punto retta r oppure ad una conica
appartiene ad una
ad una retta r o ad una conica • •
si sostituiscono le coordinate di , in r o in si sviluppano i calcoli. Se si ottiene un’identità, il punto appartiene alla retta o alla conica
posizione di una retta rispetto ad una conica ●
● ●
retta secante
retta tangente
retta esterna
per verificare se una retta è secante, tangente o esterna ad una conica bisogna: • • • • •
ricavare la y dell’equazione della retta e sostituirla nell’equazione della conica sviluppare i calcoli ed ordinare l’equazione rispetto alla dell’equazione di II grado così ottenuta calcolare il
oppure, se
è pari, il
verificare il segno del la retta è secante alla conica. Si hanno 2 intersezioni reali e distinte cioè 2 punti in comune se la retta è tangente alla conica. Si hanno 2 intersezioni reali e coincidenti cioè 1 punto in comune se se la retta è esterna alla conica. Non si ha nessuna intersezione reale cioè nessun punto in comune
ricerca delle equazioni delle rette tangenti ad una conica tangenti parallele ad una retta di coefficiente angolare m
tangenti da un punto esterno • • •
•
•
• •
v 2.7
si scrive l’equazione del fascio di rette proprio di centro : si ricava la y dall’equazione del fascio di rette
•
si scrive l’equazione del fascio di rette improprio di coefficiente angolare assegnato:
si sostituisce la y trovata nell’equazione della conica
•
si sostituisce la y trovata nell’equazione della conica
si sviluppano i calcoli e si ordina rispetto alla ottenendo un’equazione di II grado in x
•
si sviluppano i calcoli e si ordina rispetto alla ottenendo un’equazione di II grado in x
si ricava il o il e lo si impone uguale a 0: ottenendo una equazione di II grado nell’incognita
•
si risolve l’equazione in
•
ottenendo
ed
si sostituiscono uno alla volta i valori ed nell’equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni delle due rette tangenti
•
si ricava il o il e lo si impone uguale a 0: ottenendo una equazione di I o II grado nell’incognita si risolve l’equazione in
ottenendo
e
si sostituiscono uno alla volta i valori e nell’equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni delle due rette tangenti
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120
Logaritmi
logaritmi
definizione il logaritmo di un numero è l’esponente
da dare alla base
si chiama base si chiama argomento è il logaritmo in base di
per ottenere l’argomento
proprietà
la base
deve essere
l’argomento il logaritmo
cioè:
deve essere
è un numero reale
teoremi principali sui logaritmi teorema del prodotto
teorema del rapporto
teorema della potenza
proprietà derivate dai teoremi principali potenza alla base e all’argomento base frazionaria
argomento frazionario
base e argomento frazionario scambiare la base con l’argomento formula del cambio di base
trasformare un numero n in logaritmo in base a
con il simbolo
trasformare un numero n in potenza
si indica il logaritmo in base e dove
è detto “numero di Nepero”
sulle calcolatrici scientifiche sono presenti i tasti lg e ln che consentono di calcolare i logaritmi in base 10 e in base “e”. Per calcolare un logaritmo in una base diversa è necessario utilizzare la formula del cambio di base
grafici delle funzioni logaritmo ed esponenziale
logaritmo con base a > 1
v 3.7
logaritmo con base 0 < a < 1
esponenziale con base a > 1
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esponenziale a base 0 < a < 1
121
Angoli: misura e conversioni
goniometria
grado sessagesimale
radiante
grado centesimale 100c
90o
180o
200c
0
0o 360o
300c
270o
Il grado sessagesimale è la 360a parte dell’angolo giro
0c 400c
Il radiante è l’angolo il cui arco Il grado centesimale è la 400a è uguale al raggio parte dell’angolo giro un radiante vale circa 57° 17′ 44′′
nelle calcolatrici scientifiche nelle calcolatrici scientifiche nelle calcolatrici scientifiche questo sistema di misura è questo sistema di misura è questo sistema di misura è indicato con il simbolo DEG o D indicato con il simbolo RAD o R indicato con il simbolo GRAD o G
conversioni
da gradi sessagesimali a radianti
da radianti a gradi sessagesimali
• • Es.:
perché
Es.:
sostituire
semplificare
da gradi centesimali a sessagesimali
con
perché
Es.:
perché
conversione da gradi sessagesimali decimali a gradi (°) primi (‘) e secondi (‘’) data la misura sotto forma di gradi decimali, si separa la parte intera dalla parte decimale si moltiplica la parte decimale per 60
la misura così ottenuta si separa ancora in parte intera e parte decimale, la parte intera rappresenta i primi
la parte decimale si moltiplica ancora per 60, il risultato rappresenta i secondi si ottiene così la conversione richiesta
conversione da gradi (°) primi (‘) e secondi (‘’) a gradi sessagesimali decimali data la misura sotto forma di gradi, primi e secondi, si isolano i secondi e si dividono per 60 il valore ottenuto si somma ai primi
il valore ottenuto si divide ancora per 60 la misura ottenuta si somma ai gradi
si ottiene così la conversione richiesta v 2.2
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122
Funzioni goniometriche: definizioni e proprietà
goniometria
Data la circonferenza goniometrica di centro l’origine degli assi cartesiani e raggio 1 si definiscono le funzioni:
seno
90°
P 1
180°
O
α
angoli
0° 360°
H
270°
valori 0
0° 90° 180° 270°
coseno
angoli
valori
0
α O
0°
90°
180° 270°
P α
crescenza
+ +
angoli 0°
90°
180°
B
0 0
tangente
segno e crescenza nei quadranti quadrante 1°
segno
4°
+
crescenza
+
2° 3°
T
A
O
valori 0 0
270°
cotangente
angoli
valori
segno e crescenza nei quadranti quadrante
segno
1°
+
2°
crescenza
+
3° 4°
C P α
O
secante
0° 90° 180° 270°
0 0
segno e crescenza nei quadranti quadrante 1° 2° 3° 4°
E
P
segno
crescenza
+ +
cosecante P
α
α
v 1.6
segno
P
K
O
segno e crescenza nei quadranti quadrante 1° 2° 3° 4°
O
S
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123
goniometria
Funzioni goniometriche, relazioni fondamentali
e
grafici
definizione delle funzioni goniometriche sulla circonferenza goniometrica di centro l’origine degli assi e raggio 1 P ● O
seno α α
α●
O
H
coseno α K● O
T P● ●
B
●P
●
α
α
tangente α ●
α
● A
C ● ●P
O
cotangente α
E
●
secante α
P
P ●
● S
cosecante α
α
O
O
le cinque relazioni fondamentali
relazioni che esprimono una funzione goniometrica rispetto alle altre in funzione di …
il segno
in funzione di …
in funzione di …
in funzione di …
o – va preso a seconda del segno della funzione nel quadrante in cui si trova l’angolo grafici delle funzioni goniometriche
seno v 2.6
coseno
tangente
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cotangente 124
goniometria
gradi
Tabella dei valori di funzioni goniometriche di angoli ricorrenti radianti
seno
coseno
tangente
cotangente
0° 9°
15° 18°
22°30 30° 36°
45° 54°
60° 67°30 72° 75° 81°
90° 180° 270° 360° v 2.0
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125
Angoli associati
goniometria
angoli supplementari
angoli complementari
secondo quadrante
primo quadrante
angoli che differiscono di un angolo piatto
angoli che differiscono di un angolo retto
terzo quadrante
secondo quadrante
angoli esplementari
angoli la cui somma è 270°
quarto quadrante
terzo quadrante
angoli opposti
angoli che differiscono di 270°
quarto quadrante
quarto quadrante
90°
90°
180°- α 180°
α α α
O
α α
α
α α 0°
180°
O
360°
α
0° 360°
α α
-α 360°- α
180°+ α
270°- α
270° v 2.3
90°- α
90°+ α
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270°
270°+ α 126
Tabella dei valori di angoli associati ad alcuni angoli notevoli
goniometria
quadrante
angolo
seno
coseno
tangente
cotangente
primo
30° 45° 60°
secondo
120° 135° 150°
terzo
210° 225° 240°
quarto
300° 315° 330° 90° 120° 135°
60° 45°
150°
30° 0°
180°
360° 210°
330° (-30°)
225°
315° (-45°) 240° 270°
v 1.1
300° (-60°)
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127
goniometria
Formule goniometriche addizione e sottrazione
duplicazione
triplicazione
bisezione
parametriche o razionali
(
)
prostaferesi
Werner
v 1.9
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128
Teoremi sui triangoli rettangoli
trigonometria
relazioni fondamentali sui triangoli rettangoli dalla definizione di seno di un angolo si ha:
B
dalla similitudine dei triangoli rettangoli OPH e OBC si ha in generale che:
P O
α
C
H
analogamente in ogni triangolo rettangolo per il coseno vale la relazione:
esempio B
c α
O
a
b
C relazioni sui triangoli rettangoli
esempi
e
C
γ
e
e
a
b
e
β A
c
B
e e
e v 2.7
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129
Teoremi sui triangoli qualsiasi
trigonometria
teorema della corda in una circonferenza la lunghezza di una corda è uguale al prodotto del diametro per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda:
B β
α
A
oppure
corollario
per il teorema della corda, in un triangolo il rapporto tra un lato (inteso come corda) e il seno dell’angolo opposto è uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo:
C γ
b A
a β
α
B
c
teorema dei seni o di Eulero in un triangolo ogni lato è direttamente proporzionale al seno dell’angolo opposto:
C
b A
a
γ
α
β
c
B
teorema delle proiezioni in un triangolo un lato è uguale alla somma dei prodotti degli altri due lati per il coseno dell’angolo che ogni lato forma con il primo:
C b A
a
γ
α
β c
B
teorema del coseno o di Carnot in un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, meno il doppio prodotto dei due lati per il coseno dell’angolo tra essi compreso.
C b A
a
γ
α
β
c
B area di un triangolo l’area di un triangolo è uguale al prodotto di due lati per il seno dell’angolo tra essi compreso diviso due
C b A v 2.8
a
γ
α c
β
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130
Formule di Trigonometria
trigonometria
formule di Briggs C
b
γ
α
A
dato un triangolo qualsiasi di cui siano note le misure dei lati a, b, c e il semiperimetro p, i seni, i coseni, le tangenti e le cotangenti delle semiampiezze degli angoli sono espresse dalle seguenti relazioni:
a β
c
B
formula di Erone C
a
b A
c
B
l’area di un triangolo qualsiasi si esprime in funzione delle lunghezze dei lati a, b, c e del semiperimetro p come:
teorema delle tangenti o di Nepero C
a
b α
A
β
c
B
applicazioni della trigonometria alla geometria analitica significato del coefficiente angolare m di una retta di equazione in forma esplicita
α
r
α
tangente dell’angolo formato da due rette r ed s di coefficiente angolare ed
s
v 2.4
se se
è acuto la tangente è positiva è ottuso la tangente è negativa
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131
Formule di Trigonometria
trigonometria
applicazioni della trigonometria alla geometria raggio R della circonferenza circoscritta ad un triangolo
C γ
b α
A
a
R O
β
c
raggio r della circonferenza inscritta in un triangolo
C γ
b A
a r
α
= area del triangolo
oppure
B
β
c
B
= area del triangolo
oppure
p = semiperimetro del triangolo
raggio delle circonferenze ex-inscritte ad un triangolo (cioè tangenti a un suo lato e ai prolungamenti degli altri due)
ra
oppure
C
oppure
γ b
a α
β
A
B
c
C
= area del triangolo
a
b
A
B
c C ba
α/2
A
D
γ
b
β
c
D
bisettrici di un triangolo
a
area di un parallelogramma
B area di un quadrilatero
C
D
b A
v 2.4
α
a
p = semiperimetro del triangolo
mediane di un triangolo
M
ma
oppure
B
A
α
d2
C
d1 B
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132
Elementi di topologia della retta
analisi
nome
definizione l’insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi:
insieme
“Per insieme si intende un raggruppamento, concepito come un tutto, di oggetti ben distinti della nostra intuizione o del nostro pensiero” esempi
{
{
}
]
}
{
]
}
{ }
{ }
un intervallo è l’insieme di tutti i valori compresi tra due estremi (finiti o infiniti) esempi
intervallo
l’insieme [ [ è un intervallo perché contiene tutti i numeri compresi tra 1 e 4
1
4
fai attenzione che un intervallo è anche un insieme ma non è detto che un insieme sia un intervallo. Ad esempio l’insieme: { } non è un intervallo perché contiene solo i quattro numeri indicati e non tutti i numeri tra 1 e 4
intorno completo di un punto
intorno circolare di un punto
l’intorno completo di un punto è un qualsiasi intervallo aperto che contiene il punto esempi
dato il punto
[ è un intorno completo di 6
l’intervallo ]
4
10
6
l’intorno circolare di un punto è un intervallo di centro il punto stesso esempi
dato il punto
l’intervallo ] la parte
]
[ è un intorno circolare di 4
] è l’ intorno sinistro di 4 e la parte [
2
4
[è l’ intorno destro di 4
6
il minimo di un insieme A è l’elemento più piccolo appartenente all’insieme.
minimo di un insieme
In simboli si scrive: dato l’insieme [ dato l’insieme ]
è il minimo di
se
esempi
[ [
il minimo è il minimo
2
5
2
5
Osserva che il minimo di un insieme esiste solo se l’insieme è chiuso inferiormente v 4.4
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133
Elementi di topologia della retta
analisi
il massimo di un insieme In simboli si scrive:
massimo di un insieme
è l’elemento più grande appartenente all’insieme. è il massimo di
se
esempi
dato l’insieme ]
]
il massimo è
dato l’insieme ] 2, 5 [ il massimo
2
5
2
5
Osserva che il massimo di un insieme esiste solo se l’insieme è chiuso superiormente
un minorante di un insieme è un qualsiasi elemento minore o uguale di tutti gli elementi dell’insieme. Il minorante non deve necessariamente appartenere all’insieme e non è unico esempi
minorante di un insieme
dato l’insieme[
dato l’insieme [
minoranti
[ 2, 1, 0 … sono minoranti [
l’insieme dei minoranti è l’intervallo ]
2
5
]
dato l’insieme ] 2, 5 [ l’insieme dei minoranti è sempre l’intervallo ]
]
Osserva che l’insieme dei minoranti, se esiste, è sempre chiuso superiormente
un maggiorante di un insieme è un qualsiasi elemento maggiore o uguale di tutti gli elementi dell’insieme. Il maggiorante non deve necessariamente appartenere all’insieme e non è unico esempi
maggiorante di un insieme
dato l’insieme[
dato l’insieme [ dato l’insieme [
[ 5, 6, 7… sono maggioranti [ ]
2
l’insieme dei maggioranti è l’intervallo [
5
maggioranti
[
l’insieme dei maggioranti è sempre l’intervallo [
[
Osserva che l’insieme dei maggioranti, se esiste, è sempre chiuso inferiormente
l’estremo inferiore di un insieme è il massimo dei minoranti dell’insieme stesso
estremo inferiore di un insieme
v 4.4
Si indica con il simbolo inf (A) dato l’insieme A = ]
]
esempi
l’estremo inferiore di A è 2 in simboli:
]
infatti l’insieme dei minoranti di
è
B= ]
C =]
]
il cui massimo è 2
Osserva che se l’insieme non è limitato inferiormente, l’estremo inferiore è
]
]
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D =[
]
134
Elementi di topologia della retta
analisi
proprietà
dato un insieme A l’estremo inferiore delle seguenti due proprietà:
gode
1. 2.
l’estremo superiore di un insieme è il minimo dei maggioranti dell’insieme stesso Si indica con il simbolo sup (A)
estremo superiore di un insieme
esempi
dato l’insieme A = ]2, 5[ l’estremo superiore di A è infatti l’insieme dei maggioranti di
B=]
è[
[
in simboli:
5
il cui minimo è 5
Osserva che se l’insieme non è limitato superiormente, l’estremo superiore è
[
C=]
]
D=]
proprietà
dato un insieme A l’estremo superiore delle seguenti due proprietà:
[
gode
esempi di riepilogo
• • •
A è un intervallo limitato
•
il minimo di A non esiste, il massimo di A è 9
•
A è aperto inferiormente e chiuso superiormente •
dato l’insieme B = [ • • •
•
il minimo di B è 1, il massimo di B non esiste
•
B è chiuso inferiormente e aperto superiormente •
• •
v 4.4
]
[
1
9
] l’insieme dei maggioranti di A è l’intervallo [ l’insieme dei minoranti di A è l’intervallo l’estremo inferiore di A è 1,
] [
l’estremo superiore è 9
minoranti
si ha che:
B è un intervallo non limitato superiormente
dato l’insieme C = •
[
maggioranti
minoranti
dato l’insieme A = ]1, 9 ] si ha che:
1
l’insieme dei minoranti di B è l’intervallo
]
]
l’insieme dei maggioranti di B è vuoto
l’estremo inferiore di B è 1, l’estremo superiore è maggioranti
si ha che:
C è un intervallo non limitato inferiormente
•
il minimo e il massimo di C non esistono
•
C è aperto inferiormente e superiormente
•
2
l’insieme dei minoranti di C è vuoto
l’insieme dei maggioranti di C è l’intervallo [ l’estremo inferiore di C è
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[
, l’estremo superiore è 2 135
Elementi di topologia della retta
analisi
punto di accumulazione per un insieme un punto si dice di accumulazione per un insieme se in ogni intorno del punto vi è almeno un elemento dell’insieme distinto dal punto stesso fai attenzione che: • •
l’appartenenza del punto all’insieme non implica che il punto sia di accumulazione per l’insieme
la non appartenenza del punto all’insieme non implica che il punto non sia di accumulazione per l’insieme
I successivi quattro esempi illustrano i possibili casi
esempi
appartiene ad
è di accumulazione per
sia
ed A = ]
[
sia
ed A = ]
[
sia
ed A = ]
[
2
3 appartiene ad A ed è di accumulazione
appartiene ad
è di accumulazione per
2
6
1
2
6
1
2
6
2 non appartiene ad A ed è di accumulazione
appartiene ad
non è di accumulazione per
1 non appartiene ad A e non è di accumulazione
sia
appartiene ad
non è di accumulazione per
ed
]
6
3
[
1 appartiene ad A e non è di accumulazione
un punto che appartiene ad un insieme ma non è di accumulazione per l’insieme stesso si dice punto isolato ulteriori esempi
dato l’insieme { } nessuno dei quattro elementi di A è un punto di accumulazione per A.
Infatti, scelto ad esempio l’elemento 3, esiste un suo intorno ] [ che non contiene alcun elemento di A distinto da 3 stesso. Analoga conclusione per gli altri tre elementi di A dato l’insieme B = ] • • • •
v 4.4
[ ]
]
•
l’insieme dei maggioranti di B è l’estremo inferiore è
•
]
[
[
2
4
3
insieme dei minoranti
si ha che
il minimo di B non esiste, il massimo è 9 l’insieme dei minoranti di B è ]
1
• •
insieme dei maggioranti 0
l’estremo superiore 9
7
9
0 e 9 sono di accumulazione per B 7 è di accumulazione per B
tutti i numeri tra 0 e 9 sono di accumulazione per l’insieme B
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136
Funzioni: definizione e tipi
analisi
definizione Dati due insiemi A e B, si dice funzione una legge che associa ad ogni elemento dell’insieme A uno ed un solo elemento dell’insieme B Una funzione si indica con
•
• •
dove:
è un generico elemento di A ed
o
si chiama immagine di
l’insieme A viene chiamato dominio o campo di esistenza di
ed appartiene all’insieme B
il sottoinsieme di B formato dalle immagini di tutti gli elementi del dominio si chiama codominio di
tipi di funzione: iniettiva, suriettiva, biunivoca
d ●
B ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5
A
B
a ●
● 1
b ●
● 2
A a ● b ● c ●
c ● d ●
A
B
a ●
● 1
b ●
● 2
c ●
● 3
d ●
● 4
A a ● b ● c ● d ●
A a ● b ● c ● d ● v 4.0
● 3
B ● 1 ● 2 ● 3 ● 4 ● 5
B ● 1 ● 2 ● 3 ● 4
• • ⋅ ⋅
• • ⋅ ⋅ •
• ⋅
funzione iniettiva
una funzione si dice iniettiva quando ad elementi distinti dell’insieme A corrispondono elementi distinti dell’insieme B f(x) iniettiva
x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2)
la funzione della figura a sinistra è iniettiva ma non suriettiva l’insieme A è il dominio, il sottoinsieme di B contenente gli elementi associati ad elementi di A, rappresenta il codominio di
funzione suriettiva
una funzione si dice suriettiva quando ogni elemento dell’insieme B è immagine di almeno un elemento dell’insieme A f(x) suriettiva
la funzione della figura a sinistra è suriettiva ma non iniettiva l’insieme A è il dominio, l’insieme B è il codominio di
funzione biunivoca o biettiva
una funzione si dice biunivoca (o biettiva) quando è sia iniettiva che suriettiva, cioè quando ad ogni elemento dell’insieme A corrisponde uno ed un solo elemento dell’insieme B e viceversa f(x) biunivoca
e viceversa
l’insieme A è il dominio, l’insieme B è il codominio di
funzione non iniettiva, non suriettiva
la funzione della figura a sinistra: • •
⋅
NON è iniettiva perché gli elementi distinti “b, c” dell’insieme A hanno la stessa immagine “2” NON è suriettiva perché non tutti gli elementi dell’insieme B (“4, 5”) sono immagine di un elemento dell’insieme A
l’insieme A è il dominio, il sottoinsieme di B, che contiene gli elementi associati ad elementi di A, rappresenta il codominio di
corrispondenza
la legge rappresentata nella figura a sinistra non è una funzione perché non ne soddisfa la definizione, infatti: • all’elemento “b” dell’insieme A sono associati più elementi (“2, 3”) dell’insieme B. • l’elemento “d” dell’insieme A non è associato ad alcun elemento dell’insieme B. la legge non è una funzione ma prende il nome di corrispondenza © 2013 - www.matematika.it
137
Funzioni: definizione e tipi
analisi
funzioni numeriche •
• •
una generica funzione si indica con
è detta variabile indipendente ed appartiene al dominio è detta variabile dipendente ed appartiene al codominio
se ed
sono numeri reali allora la funzione si dice funzione reale di una variabile reale
in tutte le funzioni reali ad ogni coppia di numeri associati corrisponde un punto nel piano cartesiano; l’insieme di tali punti genera una curva che prende il nome di grafico della funzione
grafico di una funzione reale
consideriamo ad esempio la funzione radice cubica
x
Y
X
0
● 0 ● ● 1 ● ● ●
0● ● 1● ● ● ●
rappresentazione insiemistica Y
X
• • X Y
-2
●
●
●
●
●
●
●
X
●
grafico della funzione
la funzione in figura è iniettiva perché punti distinti dell’asse X hanno ordinate distinte sull’asse Y la funzione non è suriettiva perché non tutti i punti dell’asse Y sono associati a punti dell’asse X. La parte negativa dell’asse Y colorata in blù non è infatti associata a nessun punto dell’asse X la funzione in figura è suriettiva perché tutti i punti dell’asse Y sono associati a punti dell’asse X la funzione non è iniettiva perché punti distinti dell’asse X hanno la stessa ordinata sull’asse Y
la funzione in figura è biunivoca cioè sia iniettiva che suriettiva, infatti: • è iniettiva perché punti distinti dell’asse X hanno ordinate distinte sull’asse Y • è suriettiva perché tutti i punti dell’asse Y sono associati a punti dell’asse X
X
Y
v 4.0
-8
1
tipi di funzione
•
Y
-1
8 2 coppie di numeri associati •
Y
0
-1 1
Y
X
X
la funzione in figura non è iniettiva e non è suriettiva, infatti: • non è iniettiva perché punti distinti dell’asse X hanno la stessa ordinata sull’asse Y • non è suriettiva perché non tutti i punti dell’asse Y sono associati a punti dell’asse X. La parte negativa dell’asse Y colorata in blù non è infatti associata a nessun punto dell’asse X la curva in figura non è una funzione perché ai punti sull’asse delle X corrisponde più di un’ordinata sull’asse delle Y. In questo caso la legge non è una funzione ma prende il nome di corrispondenza © 2013 - www.matematika.it
138
Grafici delle funzioni elementari
analisi
potenza con esponente pari
v 3.1
radice con indice pari
seno
arcoseno
potenza con esponente dispari
radice con indice dispari
coseno
arcocoseno
logaritmo con base > 1
esponenziale con base > 1
tangente
arcotangente
logaritmo con 0 < base < 1
esponenziale con 0 <base < 1
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cotangente
arcocotangente 139
Grafici di funzioni: trasformazioni
analisi
Noto
grafico di una funzione in alcuni casi è possibile disegnare il grafico di una nuova funzione ottenuta da quella nota mediante una semplice trasformazione. funzione iniziale
il
Di seguito si riportano i casi più comuni per una funzione a dominio positivo
traslazione verso l’alto di
traslazione verso destra di
unità
ribaltamento della parte negativa rispetto all’asse delle x
ribaltamento rispetto all’asse y
riflessione rispetto all’asse delle y
dilatazione sull’asse y di un fattore
dilatazione sull’asse x di un fattore
ribaltamento rispetto all’asse x e all’asse y
ribaltamento della parte negativa rispetto all’asse x e successiva riflessione rispetto all’asse delle y
contrazione sull’asse y di un fattore
contrazione sull’asse x di un fattore
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unità
traslazione verso il basso di
ribaltamento rispetto all’asse x
v 2.6
traslazione verso sinistra di
unità
unità
140
Dominio o Campo di esistenza o Insieme di definizione
analisi
Per calcolare il dominio di una funzione è necessario tener conto delle limitazioni riportate nella tabella seguente. Se bisogna porre più condizioni esse vanno messe a sistema sotto forma di disequazioni. Il dominio della funzione è dato dalla soluzione del sistema o della singola disequazione. funzione
condizione
funzione fratta
si pone il denominatore diverso da 0
funzione radice ad indice pari
n pari
si pone il radicando maggiore o uguale di 0
funzione logaritmo
si pone l’argomento maggiore di 0
funzione logaritmo con una funzione alla base si pone funzione potenza con esponente una frazione positiva o un numero irrazionale positivo
α
frazione positiva o numero irrazionale positivo
si pone la funzione maggiore o uguale di 0
funzione potenza con esponente una frazione negativa o un numero irrazionale negativo
α
frazione negativa o numero irrazionale negativo
si pone la funzione maggiore di 0
funzione elevata ad una funzione
si pone la funzione alla base maggiore di 0
funzione tangente
si pone l’argomento diverso da
funzione cotangente
si pone l’argomento diverso da
funzione arcoseno
si pone l’argomento compreso tra
funzione arcocoseno
osservazione importante
• v 3.7
si pone l’argomento compreso tra
e e
le funzioni che non compaiono in questa tabella (ad esclusione di quelle iperboliche) sono definite © 2013 - www.matematika.it
141
analisi
Dominio o Campo di esistenza o Insieme di definizione esempi di calcolo e rappresentazione grafica del dominio di alcune funzioni
1.
è possibile assegnare qualunque valore alla . Il dominio è:
2.
si pone il denominatore diverso da zero. Il dominio è: 3.
si pone il radicando maggiore o uguale a zero. Il dominio è:
4.
si pone l’argomento del logaritmo maggiore di zero e il denominatore diverso da zero. Il dominio è: (*) perché la condizione è già contenuta algebricamente nella precedente
5.
si pone il radicando maggiore o uguale a zero e il denominatore diverso da zero. Il dominio è: (*) perché la condizione è già contenuta algebricamente nella precedente
6.
si pongono a sistema le condizioni di esistenza della radice, del logaritmo e del denominatore. Il dominio è:
v 3.7
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142
Segno, intersezioni, simmetrie e periodicità di una funzione
analisi
studio del segno della funzione
scopo: lo studio del segno individua le regioni di piano in cui la funzione è positiva (+), cioè si trova nel
semipiano delle ordinate positive (al di sopra dell’asse delle ), o negativa ( ), cioè si trova nel semipiano delle ordinate negative (al di sotto dell’asse delle ). Lo studio del segno va svolto ovviamente solo all’interno del dominio della funzione
come si cerca: • • •
si pone la funzione maggiore di zero si risolve la disequazione si cancellano le regioni di piano dove la funzione NON esiste
esempio
Studiamo il segno della seguente funzione si studia innanzitutto il dominio
si pone la funzione maggiore di zero si risolve la disequazione si cancellano le regioni di piano dove la funzione non esiste: • nell’intervallo dove la funzione è negativa si cancella la parte di piano al di sopra dell’asse • nell’intervallo dove la funzione è positiva si cancella la parte di piano al di sotto dell’asse
studio delle intersezioni della funzione con gli assi cartesiani
scopo: lo studio delle intersezioni della funzione con gli assi cartesiani individua i punti di contatto della funzione con l’asse e con l’asse . I primi sono anche detti “zeri della funzione” perché hanno ●
●
●
intersezioni con l’asse
come si cercano: • •
●
come si cerca: •
v 1.3
si pone la funzione uguale a zero, si risolve l’equazione le soluzioni dell’equazione sono gli zeri della funzione
intersezione con l’asse •
o zeri della funzione
(solo se il dominio lo consente)
si sostituisce alla nella funzione si svolgono i calcoli e si ottiene l’ordinata del punto di intersezione con l’asse delle y
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143
analisi
Segno, intersezioni, simmetrie e periodicità di una funzione esempio
Studiamo le intersezioni con gli assi cartesiani della seguente funzione cerchiamo le intersezioni con l’asse ponendo la funzione uguale a zero
risolviamo l’equazione; la soluzione è l’ascissa del punto di intersezione cercato
cerchiamo le intersezioni della funzione con l’asse sostituendo alla nella funzione; si sviluppano i calcoli e si ottiene l’ordinata del punto cercato
gli eventuali punti di intersezione della funzione con l’asse si possono anche dedurre osservando il grafico dello studio del segno (per esempio, il grafico a destra). Due zone successive di segno opposto sono separate da un punto di intersezione della funzione (sempre se il punto appartiene al con l’asse dominio); due zone successive dello stesso segno individuano invece un punto di contatto della funzione con l’asse delle (sempre se il punto appartiene al dominio)
studio delle simmetrie di una funzione
scopo: la presenza di eventuali simmetrie semplifica la ricerca del grafico della funzione. Ciò consente di studiare analiticamente la funzione solo nel semipiano positivo delle ascisse e successivamente di ribaltarne il grafico ottenuto nel semipiano negativo, rispetto all’asse se la funzione è pari, oppure rispetto all’origine se la funzione è dispari
simmetria rispetto all’asse y o simmetria pari definizione:
una funzione simmetrica rispetto all’asse delle
come si cerca: • • •
si dice pari
si sostituisce con nel testo della funzione si sviluppano i calcoli se la funzione è pari
simmetria rispetto all’origine o simmetria dispari definizione:
una funzione simmetrica rispetto all’origine degli assi cartesiani si dice dispari
come si cerca: • • •
si sostituisce con nel testo della funzione si sviluppano i calcoli e si raccoglie il segno “ “ se la funzione è dispari
esempi
1.
Studiamo la simmetria della seguente funzione
sostituiamo con luppiamo i calcoli v 1.3
nel testo della funzione e svi© 2013 - www.matematika.it
144
Segno, intersezioni, simmetrie e periodicità di una funzione
analisi
confrontiamo il testo ottenuto della con quello iniziale della e notiamo che sono diversi
la funzione non è pari
raccogliamo il segno “ “ nel testo della
confrontiamo il testo della con quello della e notiamo che sono diversi 2.
la funzione non è nemmeno dispari
Studiamo la simmetria della seguente funzione
sostituiamo con luppiamo i calcoli
nel testo della funzione e svi-
confrontiamo il testo ottenuto della con quello iniziale della e notiamo che sono diversi
la funzione non è pari
raccogliamo il segno “ “ nel testo della
confrontiamo il testo della con quello della e notiamo che sono uguali
la funzione è dispari
lo studio delle eventuali simmetrie di una funzione si effettua in genere dopo aver calcolato il dominio e studiato il segno della funzione. Ciò è un vantaggio perché solo se il dominio ed il grafico del segno sono entrambi simmetrici allora (e solo allora) la funzione potrebbe essere simmetrica ed ha senso studiarne algebricamente le simmetrie. Viceversa se il dominio o il grafico del segno NON sono entrambi simmetrici la funzione NON potrà essere simmetrica. Ciò è evidente osservando il grafico dell’esempio dello studio del segno della funzione
studio della periodicità di una funzione
definizione:
una funzione che ripete a intervalli regolari la sua forma si dice periodica e la dimensione dell’intervallo ripetuto si dice periodo e si indica con T
come si cerca il periodo T della funzione: • • •
T periodo
esempi
1.
si pone ottenendo una equazione si risolve l’equazione nell’incognita T il valore trovato di T è il periodo della funzione
Calcoliamo il periodo della seguente funzione
poniamo
ottenendo una equazione
risolviamo l’equazione nell’incognita T il periodo richiesto si trova ponendo 2.
Calcoliamo il periodo della seguente funzione
poniamo
ottenendo una equazione
risolviamo l’equazione nell’incognita T v 1.3
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145
Segno, intersezioni, simmetrie e periodicità di una funzione
analisi
il periodo richiesto si trova ponendo •
il calcolo del periodo di una funzione si effettua solo se la funzione è composta da funzioni periodiche Ricordiamo che le funzioni periodiche elementari sono: , , , . Le prime due hanno periodo uguale a , le ultime due hanno periodo uguale a , come si vede dai loro grafici qui sotto riportati. In questi casi si possono utilizzare le più semplici formule riportate di seguito per il calcolo della periodicità.
seno
•
osservazioni importanti
coseno
tangente
cotangente
la ricerca del periodo di una funzione si effettuata risolvendo un’equazione goniometrica. In molti casi lo svolgimento dell’equazione può risultare complesso per cui è utile ricordare alcune regole pratiche: a) data una funzione
di periodo T : il periodo di
è
il periodo di
è
b) data una funzione composta dalla somma (o differenza) di funzioni periodiche il suo periodo è uguale al minimo comune multiplo dei periodi delle funzioni che la compongono
quesiti tratti da tracce di esami di stato di liceo scientifico 1.
“Sia
poniamo
ottenendo una equazione
(Tratto dall’esame di Stato 2012 problema 1 prima domanda)
risolviamo l’equazione nell’incognita T il periodo richiesto si trova ponendo applicando la regola pratica si ha 2.
“Si determini il periodo della funzione
poniamo
ottenendo una equazione
(Tratto dall’esame di Stato 2009 quesito 10)
risolviamo l’equazione nell’incognita T il periodo richiesto si trova ponendo applicando la regola pratica si ha
v 1.3
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146
Definizione di limite di una funzione
analisi
premessa
definizione
considerata una funzione •
sia D il suo dominio
•
sia
un punto di accumulazione per D
si dice che è il limite per che tende a e si scrive
di
se:
:
• per ogni intorno • esiste un intorno • tale che per ogni : • appartenente all’intorno • appartenente al dominio D • diverso dal punto • si ha che appartiene all’intorno
definizione topologica
La definizione insiemistica di limite di una funzione in un punto è una definizione generale. Essa è infatti valida per ogni valore finito o infinito di e di . La lettura di tale definizione è riportata nel riquadro “definizione” in alto a destra definizione algebrica
)
La definizione algebrica di limite è una “traduzione” di quella insiemistica, quella qui sopra riportata si riferisce al caso in cui ed sono numeri finiti. rappresentano numeri positivi molto piccoli, in particolare: • rappresenta il raggio dell’intorno i cui estremi sono “ ” ed “ ” • rappresenta il raggio dell’intorno di centro i cui estremi sono ” “ ed “ “ definizione mista
La definizione mista di limite è una “composizione” delle precedenti definizioni. In particolare essa prende la simbologia della definizione algebrica in riferimento all’asse delle y (quella nella prima e nell’ultima parte) e prende la simbologia della definizione insiemistica in riferimento all’asse delle x (quella nella parte centrale) La definizione qui sopra riportata si riferisce al caso in cui ed sono numeri finiti. osservazione importante
L’esistenza del limite di una funzione in un punto è indipendente dal comportamento della funzione nel punto stesso. Può infatti accadere che: • nel punto esiste il limite della funzione, esiste il valore della funzione e sono uguali • nel punto esiste il limite della funzione, esiste il valore della funzione ma sono diversi • nel punto esiste il limite della funzione ma non esiste il valore della funzione
v 4.1
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147
analisi
Tutte le definizioni di limite di una funzione: topologica, algebrica, mista
Data una funzione
sia D il suo dominio e sia l
un punto di accumulazione per il dominio
●
●
xo
x0
x0
l
l
v 2.4
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148
Limiti di funzioni elementari
analisi
potenza con esponente pari
v 1.0
radice con indice pari
potenza con esponente dispari
radice con indice dispari
logaritmo con base > 1
esponenziale con base > 1
logaritmo con 0 < base < 1
esponenziale con 0 <base < 1
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149
Limiti di funzioni elementari
analisi
seno
v 1.0
arcoseno
coseno
arcocoseno
tangente
arcotangente
cotangente
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arcocotangente
150
Algebra
analisi
dei
limiti
algebra dei limiti
Le regole dell’algebra dei limiti di seguito presentate si applicano esclusivamente al calcolo dei limiti e non nell’ambito dell’algebra classica. Ricordando che nell’algebra classica si ha:
nell’algebra dei limiti valgono le seguenti regole: rapporto tra numeri reali, zero e più o meno infinito
somma e prodotto tra un numero reale e più o meno infinito
elevamento a potenza tra più o meno infinito e un numero
somma e prodotto tra più o meno infinito
il segno
davanti a
nei precedenti risultati va stabilito in base alla regola dei segni
elevamento a potenza tra più o meno infinito
nel caso del calcolo di limiti delle funzioni elementari il risultato si ottiene osservando l’andamento del grafico della funzione stessa, come si vedrà negli esempi successivi forme indeterminate
Nel calcolo dei limiti si possono presentare le seguenti sette forme dette indeterminate.
Per poterle risolvere sono necessari altri procedimenti che saranno illustrati in schede successive.
v 3.0
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151
Algebra
analisi
dei
limiti
esempi di calcolo di limiti che NON si presentano in forme indeterminate
Per calcolare i limiti degli esempi proposti di seguito si procede nel seguente modo: 1. si sostituisce al posto della
nel testo della funzione il valore a cui tende la
nel limite
2. si sviluppano i calcoli tenendo conto dellâ&#x20AC;&#x2122;algebra classica, dellâ&#x20AC;&#x2122;algebra dei limiti e dei grafici delle funzioni elementari
I seguenti due esercizi sono invece esempi di calcolo di limite che si presentano in forma indeterminata
v 3.0
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152
Calcolo
analisi
limiti
di
calcolo di limiti di funzioni algebriche che si presentano in forma indeterminata
Le funzioni algebriche sono le funzioni che si presentano sotto forma di polinomi o di radici.
Se il limite delle funzioni algebriche è in forma indeterminata è possibile manipolare algebricamente il polinomio o la radice in modo da sciogliere la forma indeterminata. Di seguito presentiamo le tecniche di risoluzione più comuni. forma indeterminata
cosa fare:
• •
mettere in evidenza la di grado massimo ricalcolare il limite tenendo conto dei segni
•
mettere in evidenza la di grado massimo al numeratore mettere in evidenza la di grado massimo al denominatore semplificare dove è possibile
• • • • • •
ricalcolare il limite tenendo conto dei segni scomporre numeratore e denominatore
semplificare ricalcolare il limite tenendo conto dei segni
ricordando che: • •
•
moltiplicare e dividere per sviluppare i calcoli
ricalcolare il limite tenendo conto dei segni
ricordando che: • • •
per calcolare rapidamente per calcolare rapidamente •
v 1.0
• • • •
bisogna considerare il grado del polinomio al numeratore e il grado del polinomio al denominatore •
moltiplicare e dividere per
sviluppare i calcoli ricalcolare il limite tenendo conto dei segni
sostituire o alla di grado massimo e trascurare gli altri termini del polinomio tenere conto dei segni
se il polinomio al numeratore ha grado maggiore il risultato è tenendo conto dei segni
se i gradi sono uguali il risultato è il rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo
se il denominatore ha grado maggiore il risultato è zero
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153
Calcolo
analisi
di
limiti
esempi di calcolo di limiti che si presentano in forma indeterminata
la forma indeterminata
la forma indeterminata natore, cioè:
la forma indeterminata
la forma indeterminata
v 1.0
si risolve mettendo in evidenza la di grado massimo del polinomio, cioè:
si risolve mettendo in evidenza la di grado massimo al numeratore e al denomi-
si risolve operando algebricamente sul numeratore e denominatore, cioè:
si risolve applicando la tecnica vista in precedenza, cioè:
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154
analisi
Calcolo
di
limiti
altre tecniche risolutive caso Nel caso si debba calcolare il limite per che tende a infinito di un polinomio, si può applicare la teoria degli infiniti che afferma che il risultato del limite dipende solo dal monomio di grado massimo del polinomio potendosi trascurare i monomi di grado inferiore. Ad esempio:
caso Nel caso si debba calcolare il limite per che tende a infinito del rapporto di due polinomi, si possono confrontare i gradi del polinomio a numeratore e del polinomio a denominatore. Dal confronto si possono avere tre casi possibili 1° caso: il polinomio a numeratore ha grado maggiore del polinomio a denominatore
Se il polinomio a numeratore ha grado maggiore il risultato del limite per Il segno o – si stabilisce in base alla regola dei segni sostituendo del numeratore. Ad esempio:
(o
che tende a infinito è
.
) al monomio di grado massimo
2° caso: il polinomio a numeratore ha lo stesso grado del polinomio a denominatore Se i polinomi a numeratore e a denominatore hanno lo stesso grado il risultato del limite per infinito è uguale al rapporto dei coefficienti dei monomi di grado massimo Il segno o – si stabilisce in base alla regola dei segni sostituendo del numeratore e del denominatore. Ad esempio:
(o
che tende a
) al monomio di grado massimo
3° caso: il polinomio a numeratore ha grado minore del polinomio a denominatore Se il polinomio a numeratore ha grado minore il risultato del limite per Ad esempio:
v 1.0
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che tende a infinito è .
155
Limiti notevoli
analisi
funzioni goniometriche
funzioni esponenziali e logaritmiche
l’ uguaglianza a sinistra può essere utile per risolvere alcuni limiti che si presentano nelle forme indeterminate
ad ogni limite notevole si possono applicare le seguenti proprietà che lasciano invariato il risultato limite iniziale
se il testo del limite è invertito anche il risultato sarà invertito
se nel limite al posto di x c’è nx il risultato del limite resta lo stesso
se il testo del limite è invertito anche il risultato sarà invertito
frazioni equivalenti per il calcolo dei limiti notevoli può essere utile ricordare alcune delle possibili operazioni con le frazioni:
scomporre la frazione iniziale in due frazioni
v 3.3
dividere ogni monomio del numeratore e del denominatore per la stessa quantità n
moltiplicare e dividere la fra- zione per la stessa quantità n
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moltiplicare e dividere il numeratore per n e/o moltiplicare e dividere il denominatore per m
156
Definizione di funzione continua – punti di discontinuità
analisi
definizione di funzione continua in un punto
f(x0 ) = l
f(x)
●
• • •
data una funzione ed un punto appartenente al dominio D della funzione la funzione si dice continua nel punto se:
cioè:
●
xo
osserva che in un punto isolato la funzione è continua
Una funzione si dice continua in un intervallo se è continua in tutti punti dell’intervallo
osservazione importante
per studiare se una funzione è continua in un punto appartenente al dominio D è necessario calcolare il limite da sinistra (se è possibile), il limite da destra (se è possibile) ed il valore della funzione nel punto . Se questi tre valori sono tutti uguali allora la funzione sarà continua in quel punto, cioè se: un punto di accumulazione per il dominio della funzione si dice di discontinuità per l’eguaglianza dei tre valori precedenti e ciò può avvenire per diverse ragioni. punti di discontinuità e loro classificazione
se NON c’è
un punto di accumulazione per il dominio della funzione si dice di discontinuità per se NON c’è l’eguaglianza dei tre valori precedenti e ciò può avvenire per diverse ragioni. per classificare un punto di discontinuità si calcolano separatamente il limite sinistro ed il limite destro della funzione in a seconda dei risultati trovati il punto si classifica in una delle seguenti tre specie punto di discontinuità di prima specie
l2 l1
•
● ●
●
si dice punto di discontinuità di prima specie se i limiti sinistro e destro della funzione in sono diversi e finiti cioè:
con
xo
si dice salto della funzione
punto di discontinuità di seconda specie •
●
xo
si dice punto di discontinuità di seconda specie se uno almeno dei due limiti sinistro o destro della funzione in uguale a infinito, oppure non esiste cioè:
è
oppure punto di discontinuità di terza specie o eliminabile
l1 = l2
• ●
●
v 1.4
xo
si dice punto di discontinuità di terza specie o eliminabile se i limiti sinistro e destro della funzione in sono uguali e finiti ma non esiste il valore della funzione in oppure esiste ma risulta diverso dal limite cioè:
con
in questo caso la discontinuità si può eliminare ponendo
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157
Asintoti di una funzione
analisi
definizione di asintoto di una funzione •
f(x)
→
P
•
data una funzione
e dato un suo punto P
si dice che una retta è asintoto per la funzione
se
la distanza di P dalla retta tende a zero quando P si allontana indefinitamente lungo la funzione la definizione non esclude che in alcuni casi la funzione può intersecare l’asintoto. Vedi in seguito per l’approfondimento
Esistono tre tipi di asintoti: asintoto verticale, asintoto orizzontale, asintoto obliquo asintoto verticale
f(x)
●
dove si cerca: • •
nei punti di discontinuità della funzione nei punti agli estremi del dominio di se sono finiti e non appartenenti al dominio stesso
come si cerca:
xo
osserva: la funzione non attraversa mai l’asintoto verticale perché asintoto orizzontale
non appartiene al dominio della funzione
dove si cerca: •
se il dominio lo consente
come si cerca:
f(x) n
a
●
•
solo se l’asintoto orizzontale non esiste, si cerca l’asintoto obliquo
fai attenzione che per e per vanno fatte ricerche separate, ad esempio a l’asintoto orizzontale ed a potrebbe esistere l’asintoto obliquo asintoto obliquo
potrebbe esistere
dove si cerca: •
f(x)
v 1.1
a se il dominio lo consente e se non esiste già l’asintoto orizzontale
come si cerca:
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158
Asintoti di una funzione
analisi
osservazioni
•
la funzione può intersecare l’asintoto orizzontale e l’asintoto obliquo anche più volte, come si vede nei seguenti esempi: f(x)
•
f(x)
f(x)
la presenza dell’asintoto orizzontale esclude l’asintoto obliquo. Esistono però funzioni che ammettono l’asintoto orizzontale a e l’asintoto obliquo a (e viceversa), come si vede nei seguenti grafici: γ
f(x)
f(x)
la funzione ammette l’asintoto orizzontale a e l’asintoto obliquo a
la funzione ammette l’asintoto oriz- la curva ammette un asintoto orizzontale a e l’asintoto obliquo a zontale ed uno obliquo nella stessa direzione perché non è una funzione
esempio di ricerca di asintoti di una funzione
Cerchiamo gli eventuali asintoti della funzione si calcola il limite sinistro e destro della funzione per della funzione: • ricerca degli asintoti verticali
e
entrambi i limiti sono infiniti e la retta
è un asintoto verticale per la funzione
entrambi i limiti sono infiniti e la retta
è un asintoto verticale per la funzione
e
• ricerca degli asintoti orizzontali
• ricerca degli asintoti obliqui
che tende ai punti di discontinuità
si calcola il limite della funzione per e
che tende a
ea
:
entrambi i limiti sono infiniti e non esiste asintoto orizzontale a ne. Ha senso cercare l’asintoto obliquo si calcolano i valori del coefficiente angolare dell’asintoto obliquo :
e
l’asintoto non esiste ea
e dell’ordinata all’origine
per la funzio-
dell’equazione
la funzione ammette due asintoti verticali ed un asintoto obliquo, come riportato nel grafico della funzione in alto a destra. Osserva che la funzione interseca l’asintoto obliquo nell’origine degli assi cartesiani
v 1.1
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159
Definizione di monotonia e di punti di massimo e minimo relativi
analisi
definizione di monotonia di una funzione definizione di funzione crescente e decrescente in un intervallo
f(x)
f(x1) = f(x2) ●
●
f(x2)
●
f(x1)
●
●
x2
x1
a
●
●
x2
x1
●
f(x1) = f(x2) ●
●
x2
x1
a
f(x1) ● f(x2)
b
f(x) a
● ●
●
x2
x1
a
una funzione si dice crescente in un intervallo chiuso se scelti due punti qualunque e dell’intervallo con minore di si ha che l’ordinata di è maggiore o uguale dell’ordinata di cioè:
b
f(x)
una funzione si dice strettamente crescente in un intervallo chiuso se scelti due punti qualunque e dell’intervallo con minore di si ha che l’ordinata di è maggiore dell’ordinata di cioè:
una funzione si dice decrescente in un intervallo chiuso se scelti due punti qualunque e dell’intervallo con minore di si ha che l’ordinata di è minore o uguale dell’ordinata di , cioè:
b
f(x) b
una funzione si dice strettamente decrescente in un intervallo chiuso se scelti due punti qualunque e dell’intervallo con minore di si ha che l’ordinata di è minore dell’ordinata di , cioè:
definizione di punti di massimo e minimo relativi di una funzione sia
una funzione definita nel dominio , sia
M
f(x0) ● f(x)
● ●
x
f(x)
●
m
f(x0) ● ●
x v 1.1
●
x0
●
x0
un punto appartenente al dominio, sia
un intorno di
un punto si dice di massimo relativo per una funzione se esiste un intorno I di tale che l’ordinata di sia maggiore o uguale delle ordinate di tutti i punti di I interni al dominio
massimo se un punto si dice di minimo relativo per una funzione se esiste un intorno I di tale che l’ordinata di sia minore o uguale delle ordinate di tutti i punti di I interni al dominio
minimo se © 2013 - www.matematika.it
160
Definizione di concavità e di punti di flesso
analisi
definizione di funzione concava in un intervallo sia
una funzione definita nel dominio D, sia
t
●
●
a
b
●
se per è al
una funzione si dice concava verso il basso in un intervallo il grafico della funzione in per ogni punto appartenente ad è al di sotto della retta tangente nel punto P0 di coordinate
b F
una funzione si dice concava verso l’alto in un intervallo il grafico della funzione in ogni punto appartenente ad di sopra della retta tangente nel punto P0 di coordinate
t
●
a
un intervallo interno al dominio
se
punto di flesso
t ●
un punto si dice di flesso per una funzione se la retta tangente nel punto F di coordinate attraversa il grafico della funzione oppure equivalentemente
un punto si dice di flesso per una funzione se è di separazione tra una concavità verso il basso e una verso l’alto o viceversa
classificazione dei punti di flesso
punto di flesso a tangente orizzontale F
t
un punto si dice punto di flesso a tangente orizzontale per una funzione se la retta tangente nel punto F di coordinate attraversa il grafico della funzione ed è parallela all’asse delle ascisse
●
punto di flesso a tangente NON orizzontale F
●
un punto si dice punto di flesso a tangente NON orizzontale per una funzione se la retta tangente nel punto F di coordinate attraversa il grafico della funzione e NON è parallela all’asse delle ascisse punto di flesso a tangente verticale
t F
●
v 1.1
t
un punto si dice punto di flesso a tangente verticale per una funzione se la retta tangente nel punto F di coordinate attraversa il grafico della funzione ed è parallela all’asse delle ordinate © 2013 - www.matematika.it
161
analisi
Definizione di rapporto incrementale e di Derivata di una funzione definizione di rapporto incrementale di una funzione in un punto
f(x0)
•
y = f(x)
f(x0+h) Δy
•
Δx
xo
data una funzione dominio D della funzione
nel punto
si chiama incremento della variabile
•
il rapporto incrementale ha senso per ogni
appartenente al
si chiama rapporto incrementale della funzione il rapporto:
•
xo+h
ed un punto
tale che
si chiama incremento della funzione
appartiene ancora al dominio D della funzione
definizione di derivata prima di una funzione in un punto •
data una funzione
•
1
ed un punto
si definisce derivata prima di
appartenente al dominio D della funzione
nel punto
il limite, se esiste 1 ed è finito, del rapporto incrementale di
in
:
) si ricorda che affinché il limite esista devono esistere essere uguali i limiti da sinistra e da destra della funzione
se una funzione è derivabile in tutti i punti di un intervallo o del dominio si dice che dominio. Per indicare la derivata prima si usano equivalentemente i seguenti simboli:
è derivabile nell’intervallo o nel , ,
definizione di derivata prima sinistra e destra di una funzione in un punto
si definisce derivata prima sinistra di nel punto il si definisce derivata prima destra di nel punto il limite sinistro, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale limite destro, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale in : in : di di
significato geometrico di derivata
y = mx+q f(x0)
la derivata prima di una funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa cioè nel punto :
P0
x0 per trovare l’equazione della retta •
• • v 2.1
tangente al grafico di una funzione
si calcola la derivata prima della funzione nel punto
:
, il suo valore rappresenta il coefficiente angolare della tangente
nell’equazione del fascio di rette si sostituiscono ad e ad il valore della derivata prima della funzione cioè si ottiene così l’equazione della retta tangente:
nel punto
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ed
le coordinate del punto
162
analisi
Derivate derivate delle funzioni elementari dove k è una costante
regole di derivazione prodotto di una costante k per una funzione
somma di due o piĂš funzioni prodotto di due funzioni prodotto di tre funzioni
rapporto di due funzioni funzione composta funzione elevata ad una funzione v 2.3
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163
analisi
Derivate esempi di derivate di alcune funzioni elementari
=
=
esempi di derivate con le regole di derivazione Derivata del prodotto di una costante
per una funzione
Derivata della somma di due o piĂš funzioni
Derivata del prodotto di due funzioni
Derivata del rapporto di due funzioni
Derivata di una funzione composta
Derivata di una funzione elevata ad una funzione
v 2.3
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164
analisi
Ricerca dei punti di massimo o di minimo relativo e di flesso di una funzione punti stazionari
Sia
una funzione definita nell’intervallo e sia un punto appartenente all’intervallo . della funzione se Graficamente ciò significa che la tangente al grafico nel punto stazionario è orizzontale. I punti stazionari di una funzione sono i punti di massimo relativo o di minimo relativo o di flesso orizzontale massimo relativo
M
f(x0)●
minimo relativo
t
F
●
●
a
b
t
m
f(x0)● a
flesso orizzontale
t ●
b
più in generale per la ricerca dei punti stazionari si può seguire il seguente schema: • • • • • •
si calcola la derivata prima di
•
si pone
si risolve l’equazione ottenendo le soluzioni
•
i punti possono essere punti di massimo, di minimo o di flesso orizzontale
i punti così trovati si analizzano uno alla volta sostituendoli nelle derivate di ordine successivo
•
analizziamo, ad esempio, il punto sostituendo il suo valore nella derivata seconda ed eventualmente nelle derivate successive
se:
è un punto di minimo relativo è un punto di massimo relativo si calcola
se:
è un punto di flesso orizzontale si calcola
se:
è un punto di minimo relativo è un punto di massimo relativo si calcola ………. e così via
ricerca dei punti di flesso a tangente NON orizzontale
I punti di flesso a tangente NON orizzontale sono quei punti appartenenti al dominio della funzione che annullano la derivata seconda ma non annullano la derivata prima e non annullano la derivata terza della funzione cioè: è punto di flesso non a tangente orizzontale se
Si cercano imponendo la derivata seconda uguale a zero. I casi possibili sono: flesso ascendente
flesso discendente t
F
flesso ascendente t
F
flesso discendente
F
F
t ●
v 1.4
●
●
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t ●
165
Definizione e ricerca dei punti di massimo e di minimo assoluti
analisi
definizione minimoassoluti assolutididiuna unafunzione funzione definizionedei deipunti puntididimassimo massimoe ediminimo sia
f(b)
una funzione continua in un intervallo
f(x1) f(a) f(x2) x1
x2
b
massimo relativo
minimo assoluto
massimo assoluto
a
e sia
un punto appartenente ad
un punto intervallo
si dice di massimo assoluto per una funzione in un se è il punto di ordinata maggiore in cioè se
un punto intervallo
si dice di minimo assoluto per una funzione in un se è il punto di ordinata minore in cioè se
relazione tra i punti di massimo e minimo relativi ed assoluti Osserva che un punto di massimo o di minimo assoluto non deve necessariamente essere un punto di massimo o di minimo relativo (e viceversa). Ad esempio nel grafico precedente nell’intervallo [a, b] si ha che:
• • • •
non è né di massimo nè di minimo assoluto o relativo è di massimo relativo ma non di massimo assoluto è un punto di minimo relativo ma anche di minimo assoluto è di massimo assoluto ma non di massimo relativo
il punto il punto il punto il punto
osservazione
Se una funzione in un intervallo [a, b] è strettamente crescente gli estremi dell’intervallo [a, b] sono rispettivamente il punto di minimo ed il punto di massimo assoluto.
f(b)
f(a) a
minimo assoluto
b
massimo assoluto
nell’intervallo [a, b] del grafico di sinistra si ha che:
• il punto • il punto
è di minimo assoluto ma non di minimo relativo
è di massimo assoluto ma non di massimo relativo
ricerca dei punti di massimo e minimo assoluto di una funzione in un intervallo [a, b] f(b)
f(b)
f(x1) f(a) f(x2)
f(a) a
x1
x2
b
a
b
massimo relativo
minimo assoluto
massimo assoluto
minimo assoluto
massimo assoluto
per trovare i punti di massimo e minimo assoluto di una funzione in un intervallo [a, b] si può procedere nel seguente modo: •
• •
• •
v 1.1
si cercano i punti di massimo e minimo relativo della funzione con uno dei metodi conosciuti (f ‘(x)>0 ) dei punti così trovati si considerano solo quelli appartenenti all’intervallo [a, b] di ognuno di questi punti si calcola il valore della funzione (l’ordinata)
si calcola anche il valore della funzione (l’ordinata) nei punti a e b estremi dell’intervallo tra tutti i punti di cui abbiamo calcolato l’ordinata, quello di ordinata maggiore è il massimo assoluto, quello di ordinata minore è il minimo assoluto della funzione nell’intervallo [a, b] © 2013 - www.matematika.it
166
Punti di non derivabilità di una funzione
analisi
premessa • sia data una funzione • se
è derivabile nel punto
ed un punto allora
appartenente al dominio D della funzione
sarà anche continua nel punto
• il teorema non si può invertire, infatti può accadere che una funzione sia continua in un punto ma non derivabile in esso
• i punti in cui si verifica la continuità ma NON la derivabilità sono i punti che appartengono al dominio della funzione ma non appartengono al dominio della derivata prima. •
questi punti possono essere punti di flesso a tangente verticale oppure punti angolosi oppure punti cuspidali punto di flesso a tangente verticale
un punto si dice punto di flesso a tangente verticale per una funzione se i limiti della derivata prima da sinistra e da destra sono entrambi uguali a oppure a
t F
oppure
●
nel primo caso il punto di flesso si dice a tangente verticale crescente, nel secondo caso si dice a tangente verticale decrescente punto angoloso
un punto si dice punto angoloso per una funzione se i limiti della derivata prima da sinistra e da destra sono diversi ed almeno uno dei due è finito con almeno uno dei due limiti finito
punto cuspidale
un punto si dice punto cuspidale per una funzione se i limiti della derivata prima da sinistra e da destra sono uguali uno a e l’altro a o viceversa ●
oppure
nel primo caso si dice che il punto è una cuspide con vertice in basso, nel secondo caso si dice che il punto è una cuspide con vertice in alto osservazioni
• •
v 1.3
I punti angolosi e cuspidali sono un esempio di punti in cui la funzione è continua ma non derivabile. I punti angolosi e cuspidali possono essere punti di massimo o di minimo per la funzione ma non possono essere individuati con i metodi tradizionali per la ricerca dei massimi e dei minimi poiché in essi la funzione è continua ma non derivabile. Per essi va fatta una specifica indagine basata sulla studio della crescenza e della decrescenza della funzione nell’intorno sinistro e nell’intorno destro del punto angoloso o del punto cuspidale. © 2013 - www.matematika.it
167
Studio del grafico di una funzione
analisi
ricerca del dominio (o campo di esistenza) della funzione
1
n pari
Le funzioni che non compaiono in questa tabella (ad esclusione di quelle iperboliche) sono
studio del segno della funzione
2
•
si pone la funzione maggiore di zero
•
si risolve la disequazione
•
si individuano le regioni di piano dove la funzione è positiva (+) o negativa ( ) all’interno del dominio
•
si cancellano le regioni di piano dove la funzione non esiste
studio delle intersezioni della funzione con gli assi cartesiani
3
●
●
intersezioni con l’asse x o zeri della funzione: •
●
si pone la funzione uguale a zero, si risolve l’equazione
•
le soluzioni dell’equazione sono gli zeri della funzione
intersezione con l’asse y (solo se il dominio lo consente):
●
•
si sostituisce 0 alla x nella funzione
•
4
v 3.9
si svolgono i calcoli e si ottiene l’ordinata del punto di intersezione con l’asse delle y
gli eventuali punti di intersezione della funzione con l’asse si possono anche dedurre osservando il grafico dello studio del segno. Se il dominio lo consente, due zone di segno opposto sono separate da un punto di intersezione della funzione con l’asse ; due zone dello stesso segno individuano invece un punto di contatto della funzione con l’asse
studio delle simmetrie e della periodicità di una funzione
una funzione simmetrica rispetto all’asse delle y si dice pari
• • • •
definite
si sostituisce x con − x si sviluppano i calcoli se la funzione è pari
una funzione simmetrica rispetto all’origine degli assi si dice dispari
• •
• •
si sostituisce x con
−x
si sviluppano i calcoli e si raccoglie il “ “
se la funzione è dispari
una funzione che ripete periodicamente la forma si dice periodica
• •
•
si pone
si risolve l’equazione ottenuta nell’incognita T il valore trovato di T è il periodo della funzione
lo studio delle simmetrie si effettua solo se il dominio e il segno sono a loro volta entrambi simmetrici © 2013 - www.matematika.it
168
Studio del grafico di una funzione
analisi
ricerca degli asintoti di una funzione
5
asintoto verticale dove si cerca: • nei punti di discontinuità della funzione • nei punti agli estremi del dominio di se sono finiti e non appartenenti al dominio stesso
f(x)
●
come si cerca:
xo
asintoto orizzontale
dove si cerca: •
f(x) n
a
se il dominio lo consente
come si cerca:
●
•
solo se l’asintoto orizzontale non esiste, si cerca l’asintoto obliquo
asintoto obliquo
dove si cerca: •
a se il dominio lo consente e se non esiste già l’asintoto orizzontale come si cerca:
f(x)
studio della monotonia di
6
•
monotonia
•
f cresce
+
f decresce
-
max
f cresce
+
min
•
•
si calcola la derivata prima di si risolve la disequazione
e la si pone maggiore di 0
si individuano le regioni di piano dove: è crescente
è decrescente
osservando il grafico della crescenza e decrescenza si individuano i punti di massimo e di minimo. Essi vanno considerati solo se appartengono al dominio della funzione
studio della concavità e ricerca dei flessi di una funzione
7 concavità
•
•
verso l’alto
+
v 3.9
e ricerca dei massimi e minimi relativi
verso il basso
flesso
-
verso l’alto
flesso
+
•
si calcola la derivata seconda di si risolve la disequazione
e la si pone maggiore di 0
si individuano le regioni di piano dove:
è concava verso l’alto
è concava verso il basso
• osservando il grafico della concavità si possono individuare i punti di flesso. Essi vanno considerati solo se appartengono al dominio della funzione
Per ottenere una maggiore precisione nel disegno del grafico si possono calcolare le coordinate di alcuni suoi punti attribuendo alla valori arbitrari (appartenenti al dominio) nel testo della funzione e calcolando le rispettive © 2013 - www.matematika.it
169
analisi
Esempi di studio del grafico di una funzione primo esempio
Studiamo la seguente funzione
• ricerca del dominio
• studio del segno
• studio delle intersezioni con gli assi cartesiani
si pone il denominatore diverso da zero perché la funzione assegnata è una funzione fratta:
si pone la funzione maggiore di zero e si studia la disequazione individuando le regioni di piano dove la funzione esiste ed è positiva o negativa. Si cancellano le regioni di piano dove la funzione non esiste:
dall’osservazione del grafico dello studio del segno è evidente che la funzione ha un solo punto di intersezione con gli assi, coincidente con l’origine (0,0). Solo come esercizio algebrico, studiamo l’intersezione della funzione con l’asse : e l’intersezione della funzione con l’asse :
dall’osservazione del grafico dello studio del segno è evidente che la funzione non è pari mentre potrebbe essere dispari. Verifichiamolo algebricamente sostituendo la con – nel testo della funzione e sviluppando i calcoli: quindi
con
• studio delle simmetrie
Verifichiamo se la funzione è dispari raccogliendo il – nell’espressione di
quindi la funzione è dispari
• ricerca degli asintoti verticali
e non è pari :
si calcola il limite sinistro e destro della funzione per che tende ai punti di discontinuità individuati con la ricerca del dominio: e e
esistono due asintoti verticali di equazione v 1.4
e
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170
analisi
Esempi di studio del grafico di una funzione si calcola il limite della funzione per che tende a a
• ricerca degli asintoti orizzontali
:
e
l’asse delle di equazione per la funzione sia a che a
è un asintoto orizzontale
La presenza dell’asintoto orizzontale a la presenza dell’asintoto obliquo
• studio della monotonia e dei punti di massimo e minimo
e
ea
esclude
la crescenza e decrescenza della funzione si cerca studiando il segno della derivata prima della funzione, cioè si calcola la derivata prima e si pone maggiore di zero, : cioè
la concavità della funzione si cerca studiando il segno della derivata seconda della funzione, cioè ponendo :
• studio della concavità e dei punti di flesso
la derivata è negativa per e e quindi la funzione ha concavità verso il basso; la derivata è positiva per e quindi la funzione ha e concavità verso l’alto. Esiste un punto di flesso di ascissa . Per trovarne l’ordinata basta sostituire l’ascissa nel testo della funzione:
si traccia il grafico della funzione tenendo conto di tutti i risultati ottenuti precedentemente. Per una maggiore precisione si possono calcolare le coordinate di alcuni punti della funzione attribuendo alla valori arbitrari del dominio e calcolandone le corrispondenti
• disegno del grafico
v 1.4
la derivata è sempre negativa e quindi la funzione è sempre decrescente. Non esistono massimi e minimi
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171
analisi
Esempi di studio del grafico di una funzione secondo esempio
Studiamo la seguente funzione
• ricerca del dominio
• studio del segno
• studio delle intersezioni con gli assi cartesiani
si pone il denominatore diverso da zero perché la funzione assegnata è una funzione fratta:
si pone la funzione maggiore di zero e si risolve la disequazione individuando le regioni di piano dove la funzione è positiva o negativa. Si cancellano le regioni di piano dove la funzione non esiste:
dall’osservazione del grafico dello studio del segno è evidente che la funzione non attraversa gli assi, ma presenta un solo punto di contatto coincidente con l’origine (0,0). Solo come esercizio algebrico, studiamo l’intersezione della funzione con l’asse : e l’intersezione della funzione con l’asse :
• studio delle simmetrie
dall’osservazione del grafico dello studio del segno è evidente che la funzione non presenta simmetrie. Verifichiamolo anche algebricamente sostituendo la con – nel testo della funzione e sviluppando i calcoli: con
la funzione non è pari
la funzione non è dispari
• ricerca degli asintoti verticali
si calcola il limite sinistro e destro della funzione per tende al punto di discontinuità :
quindi
che
e
esiste un solo asintoto verticale di equazione v 1.4
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172
analisi
Esempi di studio del grafico di una funzione
• ricerca degli asintoti orizzontali
• ricerca degli asintoti obliqui
si calcola il limite della funzione per e
che tende a
la funzione non presenta asintoto orizzontale né a Ha senso ricercare l’asintoto obliquo si calcolano i valori del coefficiente angolare dinata all’origine dell’equazione dell’asintoto obliquo :
• studio della concavità e dei punti di flesso
nè a
la crescenza e decrescenza della funzione si cerca studiando il segno della derivata prima della funzione, cioè si calcola la derivata prima e la si pone maggiore di zero, : cioè
la concavità della funzione si cerca studiando il segno della derivata seconda della funzione, cioè ponendo :
la derivata è negativa per e e quindi la funzione decresce; la derivata è positiva per e quindi la funzione è cresce. Il punto di ascissa un punto di minimo e quello di è un massimo. Per ascissa trovare le rispettive ordinate basta sostituire le ascisse dei punti nel testo della funzione:
la derivata è positiva per e e quindi la negativa per funzione ha concavità verso l’alto e concavità verso il per . basso per Non esistono punti di flesso perè un punto di ché discontinuità della funzione
si traccia il grafico della funzione tenendo conto di tutti i risultati ottenuti precedentemente. Per una maggiore precisione si possono calcolare le coordinate di alcuni punti della funzione attribuendo alla valori arbitrari del dominio e calcolandone le corrispondenti
• disegno del grafico
v 1.4
:
e dell’or-
la funzione ammette un asintoto obliquo di equazione
• studio della monotonia e dei punti di massimo e minimo
ea
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173
Definizione di integrale indefinito di una funzione
analisi
definizione di primitiva una funzione cioè se • • •
•
si dice primitiva di un’altra funzione
è derivabile in
la funzione
la funzione la funzione
se:
e se la sua derivata è uguale a esempi
è una primitiva di
è una primitiva di
è una primitiva di
per ogni
perché
perché
perché
osservazione
riprendendo l’esempio precedente si osserva che
non è l’unica primitiva di
. Infatti:
Cioè, le primitive di differiscono tutte per una costante e sono dunque infinite. Si possono scrivere in maniera sintetica nelle forma “ “ dove c è un qualsiasi numero reale. In generale vale che: •
“ogni funzione
è dotata di infinite primitive
si può infatti dimostrare che due qualsiasi primitive una costante, cioè –
Ad esempio consideriamo due primitive di ma si ha: –
che si possono scrivere nella forma
,
e
”.
di una stessa funzione differiscono per e
. Per il teore-
definizione di integrale indefinito
si chiama integrale indefinito di una funzione L’integrale indefinito si indica con il simbolo e si legge “integrale di f(x) in de x” La
si chiama “funzione integranda” e
l’insieme di tutte le sue primitive “
si chiama “differenziale di ”. In sintesi:
esempi
ricordando la tabella delle derivate delle funzioni elementari si ha: • •
perché perché
• •
perché
perché
osservazione
L’integrale indefinito di una funzione è l’operazione che ha lo scopo di trovare tutte le primitive della funzione.
Per risolvere l’integrale indefinito basta calcolare la generica primitiva ed aggiungere ad essa la costante “c” come visto negli esempi precedenti. v 1.0
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174
Integrali indefiniti
analisi
immediati
immediati generalizzati dove è una costante
un integrale generalizzato si ottiene da un integrale immediato sostituendo con e con
in generale lâ&#x20AC;&#x2122;integrale di una funzione composta per la derivata della funzione interna primitiva della funzione esterna
moltiplicata è uguale alla
alcuni metodi di integrazione
prodotto di una costante k per una funzione
v 3.3
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metodo di decomposizione in somma
175
analisi
Integrali indefiniti esempi di alcuni integrali immediati
esempi di alcuni integrali immediati generalizzati
per verificare la correttezza del risultato dell’integrale basta confrontare la derivata del risultato con l’integrando. Se sono uguali, allora il risultato è corretto. Ad esempio, in riferimento all’ultimo esercizio: cioè uguale alla funzione integranda
v 3.3
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176
analisi
Integrali indefiniti esempi di alcuni metodi di integrazione prodotto di una costante per una funzione
metodo di decomposizione in somma
risolviamo il seguente integrale decomponiamo lâ&#x20AC;&#x2122;integrale in due integrali
metodo per parti
risolviamo singolarmente i due integrali ed otteniamo il risultato
risolviamo il seguente integrale integriamo la funzione deriviamo la funzione svolgiamo i calcoli
risolviamo il secondo integrale ed otteniamo il risultato risolviamo il seguente integrale integriamo la funzione deriviamo la funzione
portiamo la costante fuori dal secondo integrale e applichiamo di nuovo il metodo per parti integriamo la funzione deriviamo la funzione risolviamo lâ&#x20AC;&#x2122;integrale =
v 3.3
svolgiamo i calcoli ed otteniamo il risultato
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177
Principali teoremi di Analisi
analisi
teoremi sui limiti 2 ●
f(x)
1 ● x0 f(x)
f(x2)>0
>0
f(x1)>0
x0
x2
teorema della permanenza del segno
Se una funzione in un punto x0 è dotata di limite ≠ 0 allora esiste almeno un intorno I di x0 tale che per tutti i punti di I (escluso al più x0 ) i valori della funzione hanno lo stesso segno del limite teorema del confronto detto anche dei “carabinieri”
h(x)
g(x)
f(x)
x0
Se una funzione in un punto è dotata di limite allora esso è unico
Dalla definizione di funzione, basta ricordare che ad ogni valore della x deve corrispondere uno ed un solo valore della y. Quindi, se per assurdo la funzione f(x) avesse nello stesso punto x0 due limiti diversi, essa non sarebbe più una funzione e ciò contraddice l’ipotesi del teorema
x1
teorema di unicità del limite
Date tre funzioni f(x) , g(x), h(x): 1. se esiste un intorno I del punto x0 in cui g(x) è compresa tra f(x) e h(x) in tutti i punti dell’intorno I escluso al più x0 stesso 2. se f(x) e h(x) tendono nel punto x0 allo stesso limite finito allora anche g(x) avrà in x0 limite uguale ad teoremi sulle funzioni continue
teorema di Weierstrass
M ●
m
f(x)
●
a
b
M●
k
●
●
m●
x1
a
f(x) b f(x)
f(b) ●
f(a) v 2.4
a
● c1
● c2
●
b
Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] allora è dotata di massimo e minimo (assoluti)
Osserva che un massimo o minimo assoluto non deve necessariamente essere un massimo o un minimo relativo: vedi, ad esempio, il punto m sul grafico che è un minimo assoluto e non un minimo relativo
teorema dei valori intermedi o di Bolzano
Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] allora assume tutti i valori compresi tra il suo minimo “m” ed il suo massimo “M” In altre parole, il teorema afferma che ogni punto k dell’intervallo [m, M] è immagine di almeno un punto (x1,…) dell’intervallo [a, b]
teorema degli zeri
Se una funzione f(x): 1. è continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. e assume valori di segno opposto in a e b cioè f(a) • f(b) < 0 allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo ]a, b[ in cui la funzione si annulla cioè f(c) = 0 © 2013 - www.matematika.it
178
Principali teoremi di Analisi
analisi
teoremi sul calcolo differenziale f(x)
il teorema può essere utilizzato per calcolare la derivata di funzioni inverse. Si voglia ad esempio calcolare la deinversa della funzione rivata di
●
m
x0
f(a)
x0
●
Se una funzione f(x) ammette un massimo o un minimo relativo in un punto x0 se f(x) è derivabile in x0
x0
Il teorema non si può invertire infatti i punti in cui la derivata prima è nulla, cioè f ′(x0) = 0, detti punti stazionari , possono essere punti di massimo, di minimo o di flesso orizzontale
allora la derivata prima in x0 è nulla cioè f ′(x0) = 0 teorema di Rolle
●
●
c1
c2
P
f(x)
b
B
●
f(x)
A
●
a
c
b
Se una funzione f(x) è: 1. continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. derivabile nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ 3. e assume valori uguali agli estremi dell’intervallo cioè f(a) = f(b) allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo in cui la derivata prima si annulla cioè f ′(c) = 0 teorema di Lagrange
Se una funzione f(x) è: 1. continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. e derivabile nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo tale che:
il teorema è detto degli incrementi finiti e si può enunciare anche dicendo: se le funzioni f(x) e g(x) verificano le ipotesi indicate, in un opportuno punto c dell’intervallo ]a, b[ il rapporto tra le rispettive derivate in c è uguale al rapporto tra gli incrementi delle funzioni calcolate agli estremi a e b dell’intervallo [a, b] v 2.4
Se una funzione è derivabile in x0 e la sua derivata è diversa da zero, allora anche la funzione inversa x = f-1(x0) è derivabile nel punto corrispondente y0 = f(x0) e si ha:
F
●
f(b)
teorema sulla derivata della funzione inversa
teorema sui massimi e minimi di una funzione (di Fermat)
M
a
Se una funzione f(x) è derivabile in un punto x0 allora la funzione è ivi anche continua
Si osservi che il teorema non si può invertire, infatti: nel punto angoloso x0 della figura la funzione è continua ma non derivabile in quanto la derivata sinistra è diversa dalla derivata destra
x0
f(a)=f(b)
teorema sulla relazione tra derivabilità e continuità
teorema di Cauchy
Se f(x) e g(x) sono funzioni: 1. continue nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] 2. derivabili nei punti interni dell’intervallo ]a, b[ 3. e inoltre g ‘(x) in ogni punto interno dell’intervallo ]a, b[ allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo ]a, b[ tale che: © 2013 - www.matematika.it
179
Principali teoremi di Analisi
analisi
teorema di de L’Hopital si osservi che: 1. il teorema si estende anche al caso e il imite si presenta in cui nella forma indeterminata 2.
il teorema, quando opportuno, può essere applicato più volte consecutivamente
f ’(x) > 0
f ’(x) < 0
Se f(x) e g(x) sono funzioni: 1. derivabili in un intorno I di x0 2. con derivate continue e g′(x) ≠ 0 in detto intorno 3. il limite del loro rapporto si presenta nella forma allora
teorema sulla monotonia di una funzione in un intervallo
Se una funzione f(x) è continua in un intervallo chiuso I e derivabile nei punti interni di I e se la derivata prima in I è positiva (negativa) allora la funzione f(x) è crescente (decrescente) nell’intervallo I vale anche il teorema inverso cioè
Se la funzione è crescente (decrescente) in un intervallo I allora la derivata prima in tale intervallo sarà positiva (negativa) f ’’(x) > 0
teorema sulla concavità di una funzione in un intervallo
f ’’(x) < 0
Se una funzione f(x) è derivabile due volte nei punti interni di un intervallo I e se la derivata seconda è positiva (negativa) allora la funzione è concava verso l’alto (il basso) nell’intervallo I vale anche il teorema inverso cioè
Se la funzione è concava verso l’alto (il basso) in un intervallo I allora la derivata seconda sarà positiva (negativa) teorema sui flessi di una funzione
Se una funzione f(x) è dotata di derivata prima e di derivata seconda continua in x0 e se tale punto è un flesso allora la derivata seconda in x0 è nulla, cioè f ′′(x0) = 0
F
Il teorema non si può invertire, basti pensare alla funzione y=x4 che nell’origine degli assi cartesiani ha derivata seconda uguale a 0: f ′′(x4) =12x2 che calcolata in 0 risulta nulla. In tale punto però non vi è un flesso, bensì un punto di minimo come illustrato nel disegno affianco
x0
O
teoremi sul calcolo integrale
teorema della media f(c) a
c
b
dal teorema deriva la formula che permette di calcolare il valore dell’integrale definito di una funzione f(x) conoscendo una sua primitiva F(x):
v 2.4
Se una funzione f(x) è continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b], allora esiste almeno un punto c appartenente all’intervallo [a, b] tale che: teorema fondamentale del calcolo integrale
Se f(x) è una funzione continua in [a, b] ed una funzione detta funzione integrale allora esiste la derivata prima della funzione integrale in ogni punto x dell’intervallo [a, b] e si ha: In altre parole il teorema, nell’ipotesi indicata, afferma che la funzione integrale è una primitiva di f(x) © 2013 - www.matematika.it
180
analisi per l’università
Sviluppo in serie di funzioni elementari sviluppo in serie di Taylor
• • •
f(x) è una funzione derivabile almeno n volte in
è detto resto di Peano e si legge: o piccolo di
o piccolo è un infinitesimo di ordine superiore a
, cioè:
algebra degli o piccoli: per
se
si ha:
si ha lo sviluppo in serie di Mac Laurin
sviluppo in serie di Mac Laurin di alcune funzioni elementari funzione potenza con funzione radice quadrata funzione esponenziale con base funzione esponenziale con base funzione logaritmo in base funzione seno funzione coseno funzione tangente funzione cotangente funzione secante
funzione cosecante funzione arcoseno funzione arcocoseno funzione arcotangente v 2.3
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funzione arcocotangente
181
Serie numeriche
analisi per l’università
definizioni Data la successione
si considerino le somme parziali
si dice serie di termine generale
e si indica con
cioè:
oppure con
carattere della serie
se S è finito
•
altrimenti
•
•
se
Se
se
assegnate
converge
converge
e
si dice convergente
la serie
è indeterminata
la serie
si dice divergente
prime proprietà
converge
se
la serie
condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza di una serie è che il termine generico sia infinitesimo
e
e
convergenza del prodotto di una costante per una serie
converge convergenza della somma di due serie
convergono
serie notevoli simbologia
carattere
divergente
divergente
convergente irregolare
convergente divergente
...
irregolare
nome
serie armonica serie armonica generalizzata serie geometrica di ragione
convergente
serie geometrica di punto iniziale e ragione
convergente
serie di Mengoli
divergente
v 2.1
(positivamente o negativamente)
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182
Serie numeriche
analisi per l’università
Criteri di convergenza criterio del confronto per serie a termini non negativi
Date le successioni •
e
se
sia:
converge
se
converge
diverge
diverge
criterio del confronto mediante i limiti per serie a termini non negativi
Date le successioni • •
e
,
se
sia:
se
e
se
le serie e sono entrambe convergenti oppure divergenti
e
converge
converge
diverge
criterio degli infinitesimi per serie a termini non negativi
Data la successione
sia:
•
con
•
converge
se se
diverge
e
se
converge
e
criterio della radice o di Cauchy per serie a termini positivi
Data la successione • •
se
sia: con
diverge
converge
se
,
diverge
diverge
se
non si può dire nulla
può essere utile in caso di serie con esponenziali
criterio del rapporto o di D’Alembert per serie a termini positivi
Data la successione • •
se
sia: con
,
converge
se
può essere utile in caso di serie con fattoriali
diverge
se
non si può dire nulla
criterio di Leibnitz per serie con termini a segno alterno decrescente
Data la successione
Data la serie alternante Data la serie v 2.1
sia:
e la serie
• •
se
converge
se
criterio di convergenza assoluta
se
converge
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converge 183
analisi per lâ&#x20AC;&#x2122;universitĂ
Funzioni iperboliche: Grafici - Domini - Derivate seno iperbolico
settore seno iperbolico
dominio:
dominio:
coseno iperbolico
settore coseno iperbolico
1 1 dominio:
dominio:
tangente iperbolica
settore tangente iperbolica
1
1
-1 -1
dominio:
dominio:
cotangente iperbolica
settore cotangente iperbolica
1 -1
-1
dominio:
v 1.7
1
dominio:
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184
analisi per lâ&#x20AC;&#x2122;universitĂ
Funzioni iperboliche: Definizioni e Sviluppo in serie definizione delle funzioni iperboliche
seno iperbolico
coseno iperbolico
tangente iperbolica
cotangente iperbolica
secante iperbolica
cosecante iperbolica
definizione delle funzioni iperboliche inverse settore seno iperbolico
settore coseno iperbolico
settore tangente iperbolica
settore cotangente iperbolica
settore secante iperbolica
settore cosecante iperbolica
sviluppo in serie di Mac Laurin per alcune funzioni iperboliche
funzione seno iperbolico funzione coseno iperbolico funzione tangente iperbolica funzione cotangente iperbolica funzione secante iperbolica funzione cosecante iperbolica settore seno iperbolico settore tangente iperbolica v 1.8
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185
Coordinate polari
analisi per l’università
ed
Equazioni di curve notevoli
coordinate polari y
●
coordinate cartesiane del punto P
P
coordinate polari del punto P
ρ θ
distanza di P dall’origine
x
passaggio di coordinate da cartesiane a polari
misura dell’angolo orientato in senso antiorario e formato da con il semiasse positivo delle x
da polari a cartesiane
equazione cartesiana parametrica e polare di curve notevoli grafico
equazione cartesiana
equazione parametrica
equazione polare
retta
con segmento di estremi Q
con
P x2
x1
con
con
e
parabola con asse parallelo all’asse y
con circonferenza
●
di centro
e raggio r
con circonferenza
di centro l’origine e raggio r
con ellisse ●
con ellisse traslata di centro ●
con
v 2.4
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186
analisi per l’università
Elementi di Calcolo Differenziale gradiente di una funzione scalare
sia
una funzione scalare di tre variabili. Si chiama gradiente di
di componenti
e si indica con
il vettore
osserva che l’operatore gradiente si applica su uno scalare e restituisce un vettore
esempio
Calcolare il gradiente del campo scalare
applichiamo la definizione e svolgiamo i calcoli:
divergenza di un vettore sia
un vettore di componenti
componenti
. Si chiama divergenza di
e si indica con
lo scalare di
osserva che l’operatore divergenza si applica su un vettore e restituisce uno scalare
esempio
Calcolare la divergenza del campo vettoriale
applichiamo la definizione e svolgiamo i calcoli:
rotore di un vettore sia
nenti
un vettore di componenti
. Si chiama rotore di
e si indica con
vettore di compo-
per ricordare facilmente le componenti di un rotore, basta osservare che esse sono uguali allo sviluppo del determinante della matrice
esempio Calcolare il rotore del campo vettoriale
applichiamo la definizione e svolgiamo i calcoli: v 1.0
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187
Elementi di Calcolo Differenziale
analisi per l’università
derivata direzionale definizione
la derivata direzionale scalare calcolata in • •
il campo scalare
di un campo scalare
calcolata in un punto
lungo la direzione assegnata, cioè in simboli
è la derivata del campo
è in genere assegnato come combinazione lineare di
la direzione è assegnata sotto forma di componenti vettoriali: oppure
con
e
calcolo
coseni direttori della direzione
il calcolo si effettua in due modi equivalenti
calcolo secondo la definizione di derivata
la derivata direzionale è il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale di in lungo la direzione
calcolo secondo l’operatore gradiente
la derivata direzionale di
in
lungo la dire-
zione è uguale al prodotto scalare del gradiente del campo per il vettore direzione
esempi Calcolare la derivata direzionale del campo scalare punto di coordinate (3,4,0)
secondo la direzione
1. secondo la definizione si ha:
nel
2. secondo l’operatore gradiente si ha: =
Calcolare la derivata direzionale del campo scalare coordinate (4,5 ) mediante l’operatore gradiente
secondo la direzione
nel punto di
=
v 1.0
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188
Elementi di logica delle proposizioni
logica
definizioni
Una proposizione (o enunciato) è una affermazione che può essere Vera o Falsa • •
“Parigi è la capitale della Francia” ; “Roma è la capitale della Francia” sono proposizioni la prima è Vera, la seconda è Falsa “Il colore giallo non mi piace” ; “ Londra è la città più bella del mondo” non sono proposizioni
Una tautologia è una proposizione sempre Vera •
“Ora sono le nove o non sono le nove”
è una tautologia perché è una proposizione sempre Vera
“Ora sono le nove e non sono le nove”
è una contraddizione perché è una proposizione sempre Falsa
“Questa frase è falsa”
è un paradosso perchè se supponiamo la frase Vera allora risulta Falsa Viceversa se supponiamo la frase Falsa allora risulta Vera
Una contraddizione è una proposizione sempre Falsa •
Un paradosso è una proposizione che, se si suppone Vera risulta Falsa e se si suppone Falsa risulta Vera •
principi
se una proposizione è Vera allora la sua negazione è Falsa e non esiste una terza possibilità
Principio del terzo escluso
una proposizione non può essere contemporaneamente Vera e Falsa
Principio di non contraddizione
proposizioni
V V F F
p∧ p = p p∨ p = p
non
V F V F
F F V V
p∧q =q∧ p p∨q =q∨ p p ∧ (q ∧ r ) = ( p ∧ q) ∧ r p ∨ (q ∨ r ) = ( p ∨ q) ∨ r
p ∧ (q ∨ r ) = ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r ) p ∨ (q ∧ r ) = ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )
p ∧ ( p ∨ q) = q p ∨ ( p ∧ q) = p
p∧q = p∨q p∨q = p∧q v 3.1
operatori logici e tavole di verità e o xor implicazione
V F F F
V V V F
F V V F
proprietà e leggi
V F V V
doppia implicazione
V F F V
proprietà di idempotenza proprietà commutativa proprietà associativa proprietà distributiva proprietà di assorbimento 1a legge di De Morgan: 2a legge di De Morgan:
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“non (p e q) è uguale a non p o non q”
“non (p o q) è uguale a non p e non q”
189
Elementi di logica delle proposizioni
logica
esempi sulle tavole di verità Costruiamo la tavola di verità dell’espressione logica
•
V
V
V
F
V
F
V
•
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
F F
F
V
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F F
1. si costruisce la tavola di verità delle proposizioni e considerandone tutte le possibili combinazioni di vero V e falso F ( 1a e 2a colonna) 2. si costruisce la tavola di verità della proposizione (3a colonna) 3. si applica l’operatore o ( ) alle proposizioni e e si costruisce la tavola di verità dell’espressione logica (4a colonna)
F
V
F F
1. si costruisce la tavola di verità delle proposizioni e considerandone tutte le possibili combinazioni di V ed F ( 1a e 2a colonna) 2. si applica l’operatore implicazione ( ) alle proposizioni e e si costruisce la tavola di verità di (3a colonna) e e si costrui3. si applica l’operatore e ( ) alle proposizioni sce la tavola di verità (4a colonna)
Costruiamo la tavola di verità dell’espressione logica
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V F
v 3.1
e
Costruiamo la tavola di verità dell’espressione logica
V
F
3. si applica l’operatore non ( ) alla proposizione composta si costruisce la tavola di verità (4a colonna)
Costruiamo la tavola di verità dell’espressione logica F
V
•
V
V
V
•
F
F
V V
•
F
F
1. si costruisce la tavola di verità delle proposizioni e considerandone tutte le possibili combinazioni di vero V e falso F ( 1a e 2a colonna) 2. si applica l’operatore e ( ) alle proposizioni e e si costruisce la tavola di verità (3a colonna)
V
F
F
V
V
F
V
V
V
Costruiamo la tavola di verità dell’espressione logica
F F
F
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
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F F
190
Elementi di logica delle proposizioni
logica
esempi di passaggio dal linguaggio naturale alle espressioni logiche Individua le proposizioni delle seguenti espressioni ed esprimi l’espressione sotto forma di operatori logici Data l’espressione:
Le proposizioni sono:
“ mangio una mela o una pera “
L’espressione logica si scrive: Data l’espressione:
Le proposizioni sono:
Le proposizioni sono:
= “ mangio una pera “
“ se oggi esce il sole allora vado al mare “
L’espressione logica si scrive: Data l’espressione:
= “ mangio una mela “
= “ oggi esce il sole “
= “ vado al mare “
“ non è vero che questo argomento è semplice ed interessante “ = “ questo argomento è semplice “
L’espressione logica si scrive: Data l’espressione:
= “ questo argomento è interessante “
“ se il professore ti ha valutato con 4 vuol dire che non hai studiato. Se avessi studiato e non
Le proposizioni sono:
fossi uscito con gli amici avresti avuto un bel voto. O studi o esci con gli amici “ = “ il professore ti valuta con 4“
= “ uscire con gli amici”
L’espressione logica si scrive:
= “ studiare “
= “ avere un bel voto ”
approfondimenti ed esempi sulle proprietà e leggi della logica legge della doppia negazione Data l’espressione: “ non è vero che Giulio non ha dormito “ la proposizione che la compone è: = “ Giulio ha dormito “ l’equivalente espressione logica è: La legge si enuncia: In simboli: V
V
F
F
V
V
V F
F F
regola della contrapposizione
implica è equivalente a (non q) implica (non p)
F
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
1. si costruisce la tavola di verità per ciascuna proposizione e per ciascun operatore che agisce sulle proposizioni 2. si confrontano le tavole di verità delle espressioni e (5a e 6a colonna) logiche 3. poiché coincidono allora l’uguaglianza è verificata
Esempio: “Se piove allora esco con l’ombrello ” equivale a “ Se non esco con l’ombrello allora non piove ” perché identificate le proposizioni = “ piove ” e = “ esco con l’ombrello ” si ha = “ non piove “ e = “non esco con l’ombrello ” da cui = “ se non esco con l’ombrello allora non piove “
v 3.1
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191
Elementi di logica delle proposizioni
logica
1a legge di De Morgan La legge si enuncia: In simboli: V
V
F
F
V
V
V F
F F
non ( e ) è uguale a (non ) o (non )
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
1. si costruisce la tavola di verità per ciascuna proposizione e per ciascun operatore applicato alle proposizioni 2. si confrontano le tavole di verità delle espressioni e (6a e 7a colonna) logiche 3. se coincidono allora l’uguaglianza è verificata
Esempio: “ non è vero che Lia ama le viole e le rose “ equivale a “ Lia non ama le viole o non ama le rose “ perché identificate le proposizioni
= “ Lia non ama le viole “ e
si ha
da cui
= “ Lia non ama le rose ”
2a legge di De Morgan
In simboli: V
V
F
F
V
V
F
= “ Lia ama le rose ”
= “ Lia ama le viole o non ama le rose “
La legge si enuncia:
V
= “ Lia ama le viole ” e
F F
non ( o ) è uguale a (non ) e (non )
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
V
V
V F
F
F
V
V
1. si costruisce la tavola di verità per ciascuna proposizione e per ciascun operatore che agisce sulle proposizioni 2. si confrontano le tavole di verità delle espressioni e (6a e 7a colonna) logiche 3. se coincidono allora l’uguaglianza è verificata
Esempio: “ non è vero che domani piove o nevica” equivale a “ domani non piove e non nevica “ perché identificate le proposizioni si ha
da cui
= “ domani non piove “ e
= “ domani piove ” e
= “ domani nevica ”
= “ domani non nevica ”
= “ domani non piove e non nevica “
esempi di paradossi famosi Un paradosso è una proposizione che, se si suppone Vera risulta Falsa e se si suppone Falsa risulta Vera. Riportiamo due dei paradossi più famosi della logica. Paradosso del mentitore o di Epimenide:
“ Tutti i Cretesi sono bugiardi. Io sono Cretese ”
Paradosso (o antinomia) di Russell:
“ In un villaggio vi è un solo barbiere che rade tutti e soli gli uomini
v 3.1
del villaggio che non si radono da soli. Il barbiere rade se stesso? ”
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192
Introduzione alla logica dei predicati
logica
premessa
La logica dei predicati studia la verità delle proposizioni, le operazioni sulle proposizioni, le proprietà di un dato soggetto della proposizione e le sue relazioni con altri soggetti della proposizione.
Le proprietà di un dato soggetto e le loro relazioni con altri soggetti della proposizione si chiamano quantificatori. Quantificatore Universale
Il quantificatore universale esprime che una data proprietà dell’insieme appartiene a tutti gli elementi dell’insieme. Nel linguaggio naturale corrisponde alle particelle “tutti”, “ogni”, “qualunque sia”, “chi”, “chiunque”… In simboli il quantificatore universale si indica con la scrittura esempi
• • •
“Tutti i numeri pari sono divisibili per 2” “Ogni mammifero allatta i suoi cuccioli” “Chi si accontenta gode”
ma anche
• •
e si legge “per ogni”
“Gli uomini sono mortali”
intendendo “(Tutti) gli uomini sono mortali”
“I giovani amano la musica” intendendo
“(Tutti) i giovani amano la musica”
Quantificatore Esistenziale
Il quantificatore esistenziale esprime che una data proprietà dell’insieme appartiene solo ad alcuni elementi dell’insieme. Nel linguaggio naturale corrisponde alle particelle “esiste almeno uno”, “qualche”, “alcuni”, … In simboli il quantificatore esistenziale si indica con la scrittura oppure “esiste” esempi
• • •
e si legge “esiste almeno uno”
“Esiste almeno un numero intero che sia minore di 3” “Qualche mammifero vive in mare” “Alcune mele sono mature”
queste sono proposizioni che esprimono che la proprietà “minore di 3”, “vivere in mare”, “essere maturo” appartiene solo ad una parte degli elementi dell’insieme “numeri”, “mammiferi”, “mele” negazione del quantificatore universale
Il quantificatore universale • •
v 1.0
si nega:
anteponendo il NON alle particelle “tutti”, “ogni”, “qualunque sia”, “chi”, “chiunque”
oppure, in modo equivalente, sostituendo il quantificatore universale con il quantificatore esistenziale “esiste almeno uno” e negando la proprietà © 2013 - www.matematika.it
193
Introduzione alla logica dei predicati
logica
esempio •
Negare la proposizione
“Tutti gli uomini sono mortali “
significa affermare che
“Non tutti gli uomini sono mortali ” oppure “Esiste almeno un uomo che non è mortale” negazione del quantificatore esistenziale
Il quantificatore esistenziale •
•
si nega:
anteponendo il NON E’ VERO CHE alle particelle “esiste almeno uno”, “qualche”, “alcuni”
oppure, in modo equivalente, sostituendo il quantificatore esistenziale con il quantificatore universale “tutti” e negando la proprietà esempio
•
Negare la proposizione
“Esiste almeno una mela che non è matura ”
significa affermare
“Non (è vero che) esiste almeno una mela che non è matura” oppure “Tutte le mele sono mature” espressioni equivalenti con la negazione dei quantificatori
Per ottenere espressioni con i quantificatori che siano equivalenti tra loro bisogna nell’ordine: 1. negare il quantificatore 2. negare la proposizione
ad esempio per esprimere in maniera equivalente la proposizione “Tutti gli uomini sono mortali “ si sostituisce il quantificatore ”tutti”: “Esiste almeno un uomo che è mortale” si nega la proprietà:
e si nega la proposizione:
“Esiste almeno un uomo che non è mortale”
“Non è vero che esiste almeno un uomo che non è mortale”
Si hanno quattro tipologie di espressioni equivalenti. Vediamole nei seguenti esempi espressione con il quantificatore universale
espressione equivalente
tutti sono biondi
non è vero che (esiste) qualcuno che NON è biondo
tutti non sono biondi
non è vero che qualcuno è biondo
Non tutti sono biondi Non tutti non sono biondi v 1.0
non è vero che tutti NON sono biondi oppure
(esiste) qualcuno (che) NON è biondo non è vero che tutti sono biondi oppure
(esiste) qualcuno (che) è biondo
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194
Introduzione alla logica dei predicati
logica
espressione con il quantificatore esistenziale
espressione equivalente
qualcuno è basso
non è vero che tutti sono alti
qualcuno non è basso
non è vero che tutti sono bassi
non esiste qualcuno che è basso
tutti sono alti
non esiste qualcuno che è alto
tutti sono bassi
osserva che nel linguaggio naturale si preferisce negare una proprietà utilizzando un termine contrario. Per questo motivo negli esempi precedenti all’espressione “non basso” si è preferito il termine “alto” altri esempi
Data l’espressione: • •
la sua negazione è
la sua equivalente è
Data l’espressione: • •
la sua negazione è
la sua equivalente è
Data l’espressione: • •
la sua negazione è
la sua equivalente è
Data l’espressione: • •
la sua negazione è
la sua equivalente è
Data l’espressione: • •
la sua negazione è
la sua equivalente è
v 1.0
“Tutti i numeri pari sono divisibili per 2”
“Esiste almeno un numero pari che non è divisibile per 2”
“Non è vero che qualche numero pari non è divisibile per 2”
“Non esiste una persona che non sia buona”
“Non tutte le persone sono buone” “(tutte) le persone sono buone”
“Ogni mammifero allatta i suoi cuccioli”
“Qualche mammifero non allatta i suoi cuccioli”
“Non è vero che esiste qualche mammifero che non allatta i suoi cuccioli”
“Alcune mele sono mature”
“Tutte le mele non sono mature”
“Non è vero che tutte mele non sono mature”
“Qualche amico non è andato al pub” “Tutti gli amici sono andati al pub”
“Non è vero che tutti gli amici sono andati al pub”
osserva che l’espressione equivalente alla data si ottiene per negazione dell’espressione negata. E’ questa la proprietà logica, facilmente verificabile con la tabella di verità, per cui due negazioni affermano © 2013 - www.matematika.it
195
Introduzione alla logica della deduzione
logica
premessa
La logica della deduzione analizza la correttezza del ragionamento mediante delle regole dette di inferenza (cioè di deduzione).
A partire da uno o più enunciati detti premesse, si verifica la corretta costruzione di un enunciato detto conclusione. Presentiamo alcune delle più comuni regole di inferenza.
regola del Modus Ponens
date due proposizioni p e q, se p implica q è vera e se p è vera allora anche q è vera esempi
Siano date le due proposizioni:
p = “ c’è il Sole ”
q = “ sono allegro ”
Date le premesse vere “ Se c’è il Sole allora sono allegro. C’è il Sole “ la conclusione vera è: “ sono allegro “ se e
anche
è vera è vera
“ se c’è il Sole allora sono allegro ” “ c’è il Sole ”
è vera
“ sono allegro ”
“ Se è venerdì sera allora vado al cinema. E’ venerdì sera ” quindi: “ vado al cinema ” se e
anche
è vera è vera
“ se è venerdì sera allora vado al cinema ” “ è venerdì sera ”
è vera
“ vado al cinema ”
“ Se un poligono ha tre lati allora è un triangolo. Il poligono ha tre lati ” quindi: “ Il poligono è un triangolo ” se e
anche
è vera è vera
“ se un poligono ha tre lati allora è un triangolo ” “ il poligono ha tre lati ”
è vera
“ il poligono è un triangolo ”
la regola del modus ponens è lo schema di ragionamento più usato nelle dimostrazioni dei teoremi. A partire dalle ipotesi (premesse) dichiarate vere si giunge alla verità della tesi (conclusione) controesempio
Bisogna fare attenzione ad applicare correttamente lo schema di inferenza. Infatti: “ Se un animale è un canarino allora ha due zampe. Quell’animale ha due zampe ” non è vero che “ quell’animale è un canarino ”
Date le due proposizioni p = “ l’animale è un canarino ” e q = “ l’animale ha due zampe “ lo schema di queste premesse (
e
) non è quello di inferenza del Modus Ponens, avendo
q al posto di p . Dunque non c’è conclusione e nulla si può dire sul soggetto “quell’animale”
v 1.0
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196
Introduzione alla logica della deduzione
logica
regola del Modus Tollens
date due proposizioni p e q, se p implica q è vera e se non q è vera allora anche non p è vera esempi
Siano date le due proposizioni:
p = “ c’è il Sole ”
q = “ sono allegro ”
Date le premesse vere “ Se c’è il Sole allora sono allegro. Non sono allegro “ la conclusione vera è: “ non c’è il Sole “ se e
anche
è vera è vera
è vera
“ se c’è il Sole allora sono allegro ” “ non sono allegro ” (o “ sono triste ”) “ non c’è il Sole ”
“ Se il treno passa in orario sarò a cena da te. Non sarò a cena da te ” quindi: “ il treno non passa in orario ” se e
è vera è vera
anche
è vera
se e
è vera è vera
“ se il treno passa in orario sarò a cena da te ” “ non sarò a cena da te ” “ il treno non passa in orario ”
“ Se studio prendo un bel voto. Non ho preso un bel voto ” anche
è vera
quindi: “ non ho studiato ”
“ se studio prendo un bel voto ”
“ non ho preso un bel voto ” “ non ho studiato ” controesempio
Bisogna fare attenzione ad applicare correttamente lo schema di inferenza. Infatti: “ Se mangio troppi dolci aumento di peso. Non mangio troppi dolci ”
non è vero che “ non aumento di peso ” Date le due proposizioni p = “ mangio troppi dolci ” e q = “ aumento di peso “
lo schema di queste premesse ( e ) non è quello di inferenza del Modus Tollens, avendo al posto di . Dunque non c’è conclusione e nulla si può dire sull’ “ aumento di peso ” sillogismo (definizione generale)
date due proposizioni p e q dette premesse e data la proposizione r detta conclusione
se q è contenuta in p ed r è contenuta in q anche r è contenuta in p ed r è vera esempi
Siano date le due premesse p = “ Tutti gli uomini sono mortali “ e q = “ Socrate è un uomo ” la conclusione r = “ Socrate è mortale ” è vera perché: q è contenuta in p mediante il concetto di uomo r è contenuta in q mediante il nome Socrate
allora per transitività r è contenuta in p ed r è vera
v 1.0
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197
Introduzione alla logica della deduzione
logica
“ Tutti i francesi sono europei. I parigini sono francesi ” quindi la conclusione vera è “ i parigini sono europei ”.
Infatti la seconda proposizione è contenuta nella prima mediante la parola francesi e la terza è contenuta nella seconda mediante la parola parigini. La terza è quindi contenuta nella prima per transitività ed è vera controesempio
Bisogna fare attenzione alla corretta inclusione delle proposizioni altrimenti non si costruisce un sillogismo. Infatti in: “ Tutti i felini sono mammiferi. Tutti i cani sono mammiferi ” non è vero che “ tutti i cani sono felini ”
perché la seconda premessa non è contenuta nella prima. “ Tutti i cani sono mammiferi ” aggiunge solo una informazione che non è premessa per il sillogismo.
Il sillogismo corretto è: “ Tutti i felini sono mammiferi. Leo è un felino ” quindi “ Leo è un mammifero ” Nelle domande di alcuni quiz di logica sono inserite più proposizioni di cui solo alcune rispettano la corretta inclusione di un sillogismo. La conclusione vera, ossia la risposta esatta, è da ricercarsi nella proposizione che completa la catena di inclusioni. Vediamolo con un esempio.
Domanda da quiz : se “ Tutti i corrieri sono dinamici. Luca è audace. Tutte le persone audaci sono dinamiche ” individua quale, tra le seguenti affermazioni, completa correttamente il sillogismo: “ I corrieri sono audaci ”, “ Luca è un corriere ”, “ Luca è dinamico ” Risposta esatta : “Luca è dinamico”
Spiegazione: Delle tre premesse indicate, solo “ Luca è audace ” e “ Tutte le persone audaci sono dinamiche ” sono incluse tra loro. Si verifica facilmente che delle tre conclusioni suggerite solo “Luca è dinamico ” è inclusa in “ Tutte le persone audaci sono dinamiche ” e quindi è vero che “ Luca è dinamico ”. sillogismo (definizione per implicazione)
Date tre proposizioni p q ed r, se p implica q e se q implica r sono vere allora p implica r è vera esempi
Siano date le proposizioni se e
anche
è vera è vera
è vera
p = “ Luca è romano ” q = “ Luca è italiano ”
r = “ Luca è europeo ”
“ se Luca è romano allora Luca è italiano ” “ se Luca è italiano allora Luca è europeo ”
“ se Luca è romano allora Luca è europeo ”
“ Se domani è domenica vengono i nonni e se vengono i nonni ricevo un regalo. Se domani è domenica ricevo un regalo ” è un sillogismo corretto perché: se e
anche v 1.0
è vera è vera
è vera
“ se domani è domenica vengono i nonni ” “ se vengono i nonni ricevo un regalo ” “se domani è domenica ricevo un regalo ”
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198
Progressioni
progressioni
Progressioni Aritmetiche una progressione aritmetica è una successione di numeri reali tali che la differenza tra un elemento ed il suo precedente è costante: La differenza tra un elemento ed il suo precedente è detta ragione e si indica con Esempio:
è una progressione aritmetica di primo elemento
formula
cosa fa
esempio
assegnata ad esempio la progressione aritmetica
calcola l’elemento di posto n conoscendo il primo elemento e la ragione
di primo elemento
calcola l’elemento di posto n conoscendo l’elemento di posto m e la ragione calcola la somma elementi:
e di ragione
dei primi n
Calcolo di
noto
e ragione
e
e Calcolo della somma dei primi 5 termini
Progressioni geometriche una progressione geometrica è una successione di numeri reali tali che il rapporto tra un elemento ed il suo precedente è costante: Il rapporto tra un elemento ed il suo precedente è detto ragione e si indica con Esempio:
è una progressione geometrica di primo elemento
cosa fa
formula
esempio
assegnata ad esempio la progressione geometrica
calcola l’elemento di posto n conoscendo il primo elemento e la ragione calcola l’elemento di posto n conoscendo l’elemento di posto m e la ragione calcola la somma elementi:
calcola il prodotto elementi: v 2.5
e di ragione
dei primi n
di primo elemento Calcolo di
noto
e ragione e
e Calcolo della somma dei primi 5 termini:
dei primi n Calcolo del prodotto dei primi 5 termini:
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199
Quante volte si può piegare un foglio di carta?
progressioni
risposta Non più di 7 volte perché lo spessore che si viene a creare ad ogni piega del foglio cresce in modo molto veloce secondo una legge che prende il nome di progressione geometrica di ragione 2 ciò vuol dire che ad ogni nuova piega lo spessore del foglio ed il numero di strati raddoppiano.
spiegazione pratica
pieghiamo un foglio di carta, di qualunque dimensione, lungo il lato lungo come in figura. Otteniamo 1 piega e 2 strati di carta comprimiamo bene il pacchetto e ripieghiamo ancora sul lato lungo. Otteniamo 2 pieghe e 4 strati di carta ripetiamo ancora l’operazione comprimendo bene il pacchetto e ripieghiamo sul lato lungo. Otteniamo 3 pieghe e 8 strati di carta con difficoltà crescente possiamo continuare a piegare fino ad ottenere 7 pieghe e 128 strati di carta
L’ottava piega è praticamente impossibile perché impedita dallo spessore dei 256 strati di carta
nel 2001 la studentessa americana Britney Gallivan ha stabilito il record di 12 pieghe usando un foglio di carta stagnola
spiegazione matematica se consideriamo un normale foglio per fotocopie di formato A4 dello spessore di 0,1 mm otteniamo: Pieghe
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Strati
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
8192 16384 32768
Spessore in mm
0,1
0,2
0,4
0,8
1,6
3,2
6,4
12,8
25,6
51,2
102,4
204,8
409,6
819,2
1638,4
15
3276,8
Spessore 0,0001 0,0002 0,0004 0,0008 0.0016 0,0032 0,0064 0,0128 0,0256 0,0512 0,1024 0,2048 0,4096 0,8192 1,6384 3,2768 in metri
si definisce progressione geometrica una successione di numeri tali che il rapporto tra un numero e il suo precedente è sempre lo stesso. Tale rapporto si chiama ragione. Ad esempio i valori della riga “Strati” crescono secondo una progressione geometrica la cui ragione è 2. osservazione
v 1.3
oltre la soglia di 8 pieghe si può procedere solo in termini teorici, che portano a situazioni paradossali. Ad esempio piegando per 42 volte un foglio di formato A4 spesso 0,1 mm si produce una pila di 4 mila miliardi di strati di carta, alta oltre 400 mila km, cioè più della distanza Terra-Luna, stimata in circa 384.mila km. © 2013 - www.matematika.it
200
Fattoriale e Coefficiente binomiale
calcolo combinatorio
fattoriale di un numero n Si chiama fattoriale di un numero naturale primi numeri naturali: si può anche scrivere come
e si indica con
(si legge n fattoriale) il prodotto dei
oppure come
esempi
•
•
•
•
per convenzione
coefficiente binomiale Il simbolo
si chiama coefficiente binomiale di
Il suo valore è dato da:
su
con
e
numeri naturali.
esempi •
•
alcune proprietà del coefficiente binomiale
applicazioni
Una applicazione del fattoriale e del coefficiente binomiale è la verifica delle identità e la ricerca delle soluzioni delle equazioni a coefficienti binomiali. Vediamo qualche esempio. esempi di identità a coefficienti binomiali primo esempio
verificare la seguente identità
si applica la definizione di coefficiente binomiale al primo e al secondo membro dell’identità si individuano i termini simili e si sommano
v 1.1
e l’identità risulta verificata
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201
calcolo combinatorio
Fattoriale e Coefficiente binomiale secondo esempio verificare la seguente identità
si applica la definizione di coefficiente binomiale al primo e al secondo membro dell’identità si sviluppano i calcoli al secondo membro
al denominatore del secondo membro si applica la definizione di fattoriale e si sostituisce con si individuano i fattori da semplificare
si semplifica al numeratore e al denominatore del secondo membro si osserva che per la definizione di fattoriale e l’identità è verificata
esempi di equazioni a coefficienti binomiali primo esempio
risolvere la seguente equazione a coefficienti binomiali nell’incognita n
si impone la condizione di esistenza a tutti i coefficienti binomiali dell’equazione. Si risolve il sistema e si ottiene che le soluzioni accettabili sono i numeri naturali si applica la definizione di coefficiente binomiale al primo e al secondo membro dell’equazione
si sviluppano i numeratori applicando la definizione di fattoriale in modo da consentirne la semplificazione con i rispettivi denominatori si individuano i fattori da semplificare si effettuano le semplificazioni
si dividono i numeratori per i fattori comuni al primo e al secondo membro e si ottiene l’equazione di 1° grado nell’incognita n
per risolverla moltiplichiamo ambo i membri per 12 si ottiene la soluzione v 1.1
si verifica che la soluzione
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è accettabile
202
calcolo combinatorio
Fattoriale e Coefficiente binomiale secondo esempio risolvere la seguente equazione a coefficienti binomiali nell’incognita
si impone la condizione di esistenza al coefficiente binomiale dell’equazione. Si risolve la disequazione e si ottiene che le soluzioni accettabili sono i numeri naturali si applica la definizione di coefficiente binomiale al primo membro dell’equazione
si sviluppa il numeratore applicando la definizione di fattoriale in modo da consentirne la semplificazione con il denominatore si individuano i fattori da semplificare
si effettuano le semplificazioni e si ottiene una equazione nell’incognita
per risolverla moltiplichiamo ambo i membri per 6 si ottiene una equazione di secondo grado in
si risolve l’equazione ottenendo due soluzioni
si confrontano le soluzioni con la condizione di esistenza si verifica che la soluzione
è accettabile
esercizi da svolgere verificare le seguenti identità
risolvere le seguenti equazioni
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
1
v 1.1
1
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R.: R.: R.: R.:
R.: R.: 203
calcolo combinatorio
Fattoriale e Coefficiente binomiale
esempio di equazione ottenuta da una progressione aritmetica a coefficienti binomiali
Se
e
sono in progressione aritmetica, qual è il valore di
?
(Tratto dall’esame di Stato 2008 quesito numero 6)
in questo caso non è necessario procedere al calcolo della condizione di esistenza dei coefficienti binomiali perché nella traccia dell’esercizio è fornita una condizione di accettabilità ( )
Ricorda che una progressione aritmetica è una successione di numeri tale che la differenza tra due elementi successivi è costante. Ad esempio, dati tre elementi , se essi sono in progressione aritmetica allora si avrà Nel caso della traccia, se i tre elementi sono in progressione aritmetica allora si avrà
ottenendo così l’equazione a coefficienti binomiali che va risolta per ottenere il valore di
si applica la definizione di coefficiente binomiale a tutti i termini dell’equazione e si sviluppano i numeratori applicando la definizione di fattoriale in modo da consentirne la semplificazione con i rispettivi denominatori
si effettuano le semplificazioni
si individuano i fattori comuni al primo e al secondo membro ( )
si dividono i numeratori per i fattori comuni al primo e al secondo membro e si ottiene una equazione nell’incognita si calcola il m.c.m e si sviluppano i calcoli
si ottiene un’equazione di secondo grado in
si risolve l’equazione ottenendo due soluzioni
si confrontano le soluzioni con la condizione di esistenza si accetta solo la soluzione esercizi da svolgere 1
Se
e
2
Se
e
sono in progressione aritmetica, qual è il valore di ?
3
Se
e
sono in progressione geometrica, qual è il valore di ?
v 1.1
sono in progressione aritmetica, qual è il valore di ?
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R.: R.: R.: 204
calcolo combinatorio
Calcolo combinatorio premessa
il calcolo combinatorio studia i raggruppamenti che si possono ottenere con un dato numero getti disposti su un dato numero di posti. I raggruppamenti si possono formare senza ripetizioni o con ripetizioni degli
oggetti.
di og-
Ad esempio, in un problema in cui si chiede di calcolare in quanti modi 7 alunni possono sedersi su 5 sedie, gli oggetti sono i 7 alunni, il numero di posti sono le 5 sedie e non c’è ripetizione di oggetti poiché gli alunni sono tutti diversi.
Ancora, in un problema in cui si chiede di calcolare in quanti modi si possono collocare 10 palline di cui 3 bianche, 3 rosse e 4 verdi, in 3 scatole, gli oggetti sono le 10 palline, il numero di posti sono le 3 scatole e c’è ripetizione di oggetti poiché di palline ce ne sono 3 bianche, 3 rosse e 4 verdi. Esistono tre raggruppamenti possibili. •
•
•
PERMUTAZIONI
sono i raggruppamenti realizzati quando il numero di oggetti è uguale al numero di posti e conta l’ordine con cui si dispongono. Le permutazioni possono essere senza ripetizioni di oggetti o con ripetizione di oggetti. DISPOSIZIONI
sono i raggruppamenti realizzati quando il numero di oggetti è diverso dal numero di posti e conta l’ordine con cui si dispongono. Le disposizioni possono essere senza ripetizioni di oggetti o con ripetizione di oggetti. COMBINAZIONI
sono i raggruppamenti realizzati quando il numero di oggetti è diverso dal numero di posti e non conta l’ordine con cui si dispongono. Le combinazioni possono essere senza ripetizioni di oggetti o con ripetizione di oggetti.
Vediamo le formule risolutive di ogni caso nella seguente tabella
Permutazioni
senza ripetizione di oggetti
con ripetizione di oggetti
• •
Disposizioni • •
• •
v 1.0
c
≠
Combinazioni ≠
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205
Calcolo combinatorio
calcolo combinatorio
esempi permutazioni senza ripetizione di oggetti
Quanti anagrammi anche senza senso si possono formare con la parola LIBRO? gli oggetti sono le 5 lettere della parola LIBRO
conta l’ordine
senza ripetizione
i posti sono le 5 caselle occupate dalle lettere della parola LIBRO
per formare un anagramma conta l’ordine con cui le lettere si succedono le 5 lettere sono tutte distinte quindi non c’è ripetizione di oggetti
si applica la formula delle permutazioni senza ripetizioni di oggetti
ci sono 120 parole che si possono formare con le lettere della parola LIBRO permutazioni con ripetizione di oggetti
Quanti anagrammi anche senza senso si possono formare con la parola MAMMA? gli oggetti sono le 5 lettere della parola MAMMA
conta l’ordine e
i posti sono le 5 caselle occupate dalle lettere della parola MAMMA
per formare un anagramma conta l’ordine con cui le lettere si succedono
le 5 lettere non sono tutte distinte: M si ripete 3 volte ed A si ripete 2 volte si applica la formula delle permutazioni con ripetizioni di oggetti
ci sono 10 parole che si possono formare con le lettere della parola MAMMA disposizioni senza ripetizioni
In quanti modi diversi 5 alunni si possono sedere su 3 sedie numerate? gli oggetti sono i 5 alunni
conta l’ordine
senza ripetizione
i posti sono le 3 sedie
le sedie sono numerate, quindi conta l’ordine con cui gli alunni si siedono
i 5 alunni sono persone tutte distinte, quindi non c’è ripetizione di oggetti si applica la formula delle disposizioni senza ripetizioni di oggetti ci sono 60 modi diversi in cui gli alunni si possono sedere
v 1.0
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206
calcolo combinatorio
Calcolo combinatorio disposizioni con ripetizioni
Utilizzando le cifre 1, 2, 3 quanti numeri di 4 cifre si possono formare? gli oggetti sono le 3 cifre
conta l’ordine
i posti sono le 4 cifre
le cifre hanno posizioni ben precise, quindi conta l’ordine con cui i numeri 1,2,3 si dispongono ciascuna cifra (1,2,3) può ripetersi fino a 4 volte per formare il numero a 4 cifre, quindi c’è ripetizione di oggetti si applica la formula delle disposizioni con ripetizioni di oggetti si possono formare 81 numeri di 4 cifre usando le cifre 1, 2, 3 combinazioni senza ripetizioni
Un negoziante vuole esporre in una piccola vetrina 4 paia di scarpe scelte tra 10 modelli diversi. In quanti modi si possono esporre le scarpe all’interno della vetrina? gli oggetti sono i 10 modelli di scarpe
non conta l’ordine senza ripetizione
i posti sono le 4 paia di scarpe da esporre per l’esposizione non conta l’ordine
i modelli sono tutti distinti, quindi non c’è ripetizione di oggetti
si applica la formula delle combinazioni senza ripetizioni di oggetti
ci sono 210 modi diversi per esporre in una vetrina 4 paia di scarpe scelte tra 10 modelli diversi combinazioni con ripetizioni
Assegnati due contagocce, il primo contenente 5 gocce di colore bianco ed il secondo 5 gocce di colore nero. Mischiando tra loro 5 gocce scelte tra i due colori, quanti colori diversi si possono formare? gli oggetti sono i 2 colori
non conta l’ordine con ripetizione
i posti sono le 5 gocce che vanno prese di volta in volta
per la composizione del nuovo colore non conta l’ordine per ogni colore si hanno a disposizione 5 gocce
si applica la formula delle combinazioni con ripetizioni di oggetti si possono formare solo 6 colori diversi: uno è il bianco (5 gocce bianche), uno è il nero (5 gocce nere) e poi ci sono 4 sfumature di grigio
v 1.0
Nelle combinazioni con ripetizione bisogna stare attenti ad individuare correttamente quali sono gli oggetti e quali sono i posti. © 2013 - www.matematika.it
207
Probabilità
probabilità
definizione classica di probabilità
E rappresenta un evento;
è la probabilità che si verifichi l’evento
alcune proprietà
evento impossibile
Due eventi ed si dicono complementari se uno è la negazione dell’altro. Vale la relazione:
evento certo
esempi
Consideriamo il lancio di un dado. Ai seguenti eventi sono associate le seguenti probabilità: esce il numero 2
esce un numero maggiore di 4
esce il numero 7
esce un numero compreso tra 1 e 6
tipi di eventi
eventi incompatibili Due o più eventi si dicono incompatibili quando il verificarsi di uno esclude gli altri
esempio: consideriamo il lancio di un dado con i seguenti eventi esce il numero 2 esce il numero 3 Nel lancio di un solo dado se si verifica non si può verificare quindi i due eventi sono incompatibili
eventi compatibili
Due o più eventi si dicono compatibili quando il verificarsi di uno non esclude il verificarsi degli altri
esempio: consideriamo il lancio di due dadi contemporaneamente ed i seguenti eventi esce il numero 2 su uno dei due dadi esce il numero 3 sull’altro dado I due eventi ed sono compatibili perché il verificarsi di uno NON esclude il verificarsi dell’altro
Nell’ambito degli eventi compatibili si distinguono eventi indipendenti ed eventi dipendenti
eventi indipendenti
Due o più eventi si diconoindipendenti quando il verificarsi di uno non modifica la probabilità di verificarsi degli altri
eventi dipendenti
Due o più eventi si diconodipendenti quando il verificarsi di uno modifica la probabilità di verificarsi degli altri esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52 carte ed i seguenti eventi esce una carta di cuori esce una figura Se la prima carta estratta è rimessa nel mazzo e si procede all’estrazione della seconda carta, i due eventi ed sono indipendenti Se invece la prima carta estratta è lasciata fuori, la seconda estrazione dipenderà dalla prima ed i due eventi ed sono dipendenti
v 2.3
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208
Probabilità
probabilità
calcolo della probabilità di due o più eventi probabilità totale Si parla di probabilità totale di due o più eventi quando si vuole calcolare la probabilità che si verifichi uno solo degli eventi Per il calcolo bisogna distinguere tra eventi incompatibili ed eventi compatibili
probabilità totale di due o più eventi incompatibili
generalizzando
La probabilità totale di due o più eventi incompatibili è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi esempio: consideriamo il lancio di un dado. Si vuole calcolare la Probabilità che si verifichi uno dei seguenti eventi incompatibili:
esce il numero 2 esce un numero dispari
probabilità totale di due o più eventi compatibili dove
è la probabilità che si verifichino contemporaneamente i due eventi
La probabilità totale di due eventi compatibili è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi meno la probabilità che si verifichino contemporaneamente i due eventi Più complessa è la probabilità totale di tre eventi compatibili: esempio: consideriamo il lancio di un dado. Si vuole calcolare la Probabilità che si verifichi uno dei seguenti eventi compatibili:
esce il numero 2 esce un numero pari
probabilità composta Si parla di probabilità composta di due o più eventi quando si vuole calcolare la probabilità che si verifichino tutti gli eventi contemporaneamente. Nel caso di eventi incompatibili la probabilità composta è nulla. Nel caso di eventi compatibili bisogna distinguere tra eventi indipendenti ed eventi dipendenti.
probabilità composta di due o più eventi compatibili indipendenti
generalizzando
La probabilità composta di due o più eventi indipendenti è uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52. Si estrae la prima carta e la si rimette nel mazzo quindi si estrae la seconda carta. Calcoliamo la Probabilità che si verifichino contemporaneamente i seguenti eventi indipendenti
esce una carta di cuori esce una figura
v 2.3
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209
Probabilità
probabilità
probabilità composta di due o più eventi compatibili dipendenti dove
è la probabilità che si verifichi l’evento
Tale probabilità è detta probabilità condizionata di
una volta verificatosi l’evento
al verificarsi di
La probabilità di due eventi dipendenti è uguale al prodotto della probabilità che si verifichi probabilità condizionata di al verificarsi di Più complessa è la probabilità composta di tre eventi dipendenti:
per la
esempio: consideriamo l’estrazione successiva di due carte da un mazzo di 52. Si estrae la prima carta e non la si rimette nel mazzo quindi si estrae la seconda carta. Calcoliamo la Probabilità che si verifichino contemporaneamente i seguenti eventi dipendenti:
esce una carta di cuori esce una figura
approfondimento: probabilità subordinata Consideriamo una situazione più complessa: supponiamo di avere tre scatole contenenti palline rosse e verdi come indicato in figura e, scelta una scatola a caso, calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina rossa dalla scatola scelta 1a scatola
2a scatola
3a scatola
Consideriamo i seguenti eventi scelta della prima scatola scelta della seconda scatola scelta della terza scatola estrazione della pallina rossa nel caso in cui si è scelta la prima scatola estrazione della pallina rossa nel caso in cui si è scelta la seconda scatola estrazione della pallina rossa nel caso in cui si è scelta la terza scatola di estrarre una pallina rossa da una scatola scelta a caso Calcoliamo la Probabilità
teorema di Bayes Consideriamo l’esempio del riquadro precedente con in più i seguenti eventi: estrazione della pallina rossa dalla prima scatola estrazione della pallina rossa dalla seconda scatola estrazione della pallina rossa dalla terza scatola Calcoliamo la probabilità di estrarre una pallina rossa da una precisa scatola
ognuna delle tre formule precedenti rappresenta una applicazione del teorema di Bayes v 2.3
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210
Probabilità
probabilità
tutte le definizioni di probabilità: classica, frequentista, soggettivista definizione classica di probabilità (da Fermat a Laplace) La probabilità classica di un evento casuale è uguale al rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili: La definizione classica, detta anche a priori, si utilizza quando: • gli eventi hanno tutti la stessa probabilità di verificarsi • è possibile calcolare il numero dei casi favorevoli e dei casi possibili esempio: vedi gli esempi delle pagine precedenti
definizione frequentista di probabilità (di Venn e Von Mises)
La probabilità frequentista di un evento è uguale al rapporto tra il numero di prove riuscite ed il numero di prove effettuate (tutte nelle stesse condizioni): è detta anche frequenza dell’evento E
La definizione frequentista, detta anche a posteriori, si utilizza quando: • gli eventi non hanno tutti la stessa probabilità di verificarsi • è possibile effettuare un certo numero di prove sperimentali tutte nelle medesime condizioni
esempio: consideriamo una puntina da disegno e lanciamola verso l’alto. Essa può cadere in due posizioni diverse:
Si effettuano
con la punta rivolta verso l’Alto oppure con la punta rivolta verso il Basso. Si vuole calcolare, ad esempio, la probabilità che cada con la punta rivolta verso il Basso. In casi come questo non si può applicare la probabilità classica ma la probabilità frequentista.
lanci, si conta il numero
di volte in cui la puntina si ferma con la punta verso il Basso e si ha:
maggiore è il numero di lanci e più attendibile sarà il valore trovato
alcune proprietà come per la probabilità classica anche la frequenza è un numero compreso tra 0 e 1
non vuol dire che l’evento è impossibile ma solo che non si è mai verificato nelle prove
non vuol dire che l’evento è certo ma solo che si è sempre verificato durante le prove
legge dei grandi numeri Al crescere delle prove effettuate la probabilità frequentista di un evento si avvicina sempre più alla probabilità classica dello stesso evento
Tale legge, detta anche legge empirica del caso, stabilisce una relazione tra la definizione classica di probabilità e quella frequentista. Un enunciato equivalente della legge dei grandi numeri è il seguente:
Su un numero molto alto di prove effettuate la frequenza di un evento assume un valore molto vicino alla sua probabilità classica definizione soggettivista di probabilità (di Bruno De Finetti) La probabilità soggettivista di un evento è la misura del grado di fiducia che una persona, in base alle informazioni in suo possesso e alla sua opinione, assegna al verificarsi dell’evento
La definizione soggettivista si utilizza quando non ci sono le condizioni per utilizzare le definizioni precedenti.
vediamo alcuni esempi nei quali si può applicare solo la probabilità soggettivista. Si vuole calcolare la probabilità • che una nuova trasmissione televisiva incontri il favore del pubblico • che una squadra di calcio con una formazione rinnovata vinca una partita • che un nuovo prodotto commerciale incontri il favore dei consumatori v 2.3
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211
Numeri Complessi
numeri complessi
numeri immaginari
• •
si chiama unità immaginaria e si indica con la radice quadrata di
un numero immaginario si ottiene dalla radice quadrata di un numero negativo ad esempio:
•
:
le potenze di
in generale
si ripetono di 4 in 4 infatti:
con r resto della divisione di n per 4. Ad esempio:
perchè
numeri complessi (forma algebrica)
•
•
con resto r = 3
un numero complesso z è la somma di un numero reale e di un numero immaginario: Esempio:
due numeri complessi si dicono coniugati se hanno la stessa parte reale e la parte immaginaria opposta. Esempio:
Somma:
e
sono numeri complessi coniugati
operazioni tra numeri complessi
Dati due numeri complessi
si sommano le parti reali e le parti
e
immaginarie
Prodotto: si effettuano i prodotti tra i due binomi ricordando che
Rapporto: si moltiplica e si divide il rapporto dei due numeri per il complesso
Potenza:
coniugato del denominatore
si effettua la potenza del binomio
Per la potenza : se l’esponente è maggiore di 3 conviene usare la formula di De Moivre (vedi scheda di approfondimento)
esempio
risolviamo la seguente equazione di secondo grado a coefficienti reali nel campo complesso:
v 3.0
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212
Numeri complessi: approfondimento
numeri complessi
rappresentazione nel piano complesso (piano di Gauss) di un numero complesso z forma algebrica
forma trigonometrica i
i
z
z
b
ρ
a
R
= parte reale
= parte immaginaria
b
θ a
R
passaggio dalla forma algebrica a quella trigonometrica
•
= modulo
= anomalia
per il teorema di Pitagora
•
per le relazioni di trigonometria dei triangoli rettangoli si ha:
per determinare l’angolo è necessario tenere conto dei segni di a e b per individuare il quadrante in cui si trova il punto e di conseguenza l’angolo (vedi i seguenti esempi)
per passare dalla forma trigonometrica a quella algebrica basta calcolare i valori del seno e coseno e sviluppare i calcoli
potenza n-sima di un numero complesso in forma trigonometrica (formula di De Moivre)
Esempio:
radice n-sima di un numero complesso in forma trigonometrica con k = 0,1,2,…,n-1 Esempio:
con k = 0 e k = 1 cioè:
k =0
k =1
nel campo complesso la radice n-sima di un numero ha sempre n soluzioni, ciò implica che non si può effettuare la semplificazione tra l’indice della radice e l’esponente del radicando, cioè: altrimenti si perdono soluzioni
forma esponenziale di un numero complesso
la forma esponenziale di un numero complesso z è: si ottiene applicando alla forma trigonometrica v 2.8
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la formula di Eulero 213
simboli insiemi
è un numero irrazionale premessa
Un numero naturale elevato al quadrato contiene nella scomposizione un numero pari di 2 o nessun 2. Ad esempio: 1. consideriamo il numero naturale 9 ed eleviamolo al quadrato scomponiamo il numero 81 Il quadrato di 9 non contiene nessun 2
2. consideriamo il numero naturale 6 ed eleviamolo al quadrato scomponiamo il numero 36 Il quadrato di 6 contiene un numero pari di 2
3. consideriamo il numero naturale 8 ed eleviamolo al quadrato scomponiamo il numero 64 Il quadrato di 8 contiene un numero pari di 2 è un numero irrazionale, cioè
enunciato
non si può esprimere come rappporto tra due numeri naturali dimostrazione
con
ed
ragioniamo per assurdo negando la tesi, cioè supponiamo che esistono due numeri naturali ed tali che si può esprimere come rapporto tra loro eleviamo al quadrato primo e secondo membro moltiplicando primo e secondo membro per Si ottiene una uguaglianza impossibile
infatti il primo membro contiene un numero dispari di 2, cioè contiene il 2 e un che, per quanto detto nella premessa, contiene un numero pari di 2
il secondo membro contiene, per quanto detto nella premessa, un numero pari di 2 negando la tesi si arriva all’assurdo che al primo membro dell’uguaglianza si ha un numero dispari di 2 e al secondo membro un numero pari di 2 e quindi la tesi non può essere negata
v 1.0
per il principio del terzo escluso, non potendo negare la tesi, vuol dire che essa è vera, cioè:
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214
algebra
Significato geometrico del quadrato di un binomio enunciato
la formula del quadrato di un binomio esprime geometricamente l’uguaglianza tra l’area del quadrato di lato e la somma delle aree dei quadrati di lato , di lato e di due rettangoli di lati dimostrazione
costruiamo un quadrato di lato uguale ad
congiungiamo gli estremi dei segmenti
e
otteniamo quattro quadrilateri: un quadrato di lato , un quadrato di lato e due rettangoli di lati
calcoliamo l’area del quadrato esterno di lato tale area può anche essere calcolata come somma dell’area del quadrato di lato , delle aree dei rettangoli di lato e del quadrato di lato uguagliando le otteniamo la tesi
v 1.0
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due
espressioni
dell’area
1 di215 1
algebra
Formula risolutiva dell’equazione di II grado enunciato
Le soluzioni dell’equazione di II grado
si ricavano applicando la formula risolutiva
dimostrazione
consideriamo l’equazione di II grado moltiplichiamo per membro
il primo e il secondo
sviluppiamo i calcoli sottraiamo
al primo e al secondo membro
semplifichiamo al primo membro sommiamo
al primo e al secondo membro
osserviamo che il primo membro è lo sviluppo del quadrato del binomio estraiamo la radice quadrata al primo e al secondo membro sottraiamo al primo e al secondo membro dividiamo per
il primo e il secondo membro
semplificando al primo membro otteniamo la formula risolutiva dell’equazione di II grado v 1.0
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216
geometria piana
Teorema di Pitagora enunciato
C
A
In un triangolo rettagolo, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti B dimostrazione
costruiamo un quadrato di lato uguale alla somma dei cateti e
congiungiamo gli estremi dei segmenti e ottenendo quattro triangoli rettangoli ed un quadrilatero
tutti e quattro i triangoli rettangoli hanno come cateti e e quindi sono tra loro congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. Di conseguenza anche il loro terzo lato, cioè l’ipotenusa, sarà congruente. Chiamiamo l’ipotenusa
v 1.0
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217
geometria piana
Teorema di Pitagora
il quadrilatero inscritto ha i quattro lati congruenti (di lunghezza ) per la congruenza dei triangoli rettangoli
il quadrilatero inscritto ha i quattro angoli retti perché osservando la figura si ha che: 1. la somma dell’angolo interno del quadrilatero e dei due angoli ad esso consecutivi è un angolo piatto
2. la somma dei soli due angoli consecutivi è un angolo retto perché essi sono angoli acuti di un triangolo rettangolo calcoliamo l’area del quadrato grande di lato con la formula classica dell’area del quadrato l’area del quadrato grande può anche essere calcolata come somma dell’area del quadrato di lato e delle aree dei quattro triangoli rettangoli uguagliamo le due espressioni dell’area sviluppiamo il quadrato del binomio al secondo membro semplificando otteniamo la tesi
v 1.0
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al primo e al secondo membro
218
Teorema delle corde
geometria piana
enunciato
D
B
P A
C
Se due corde di una stessa circonferenza si intersecano in un punto allora i segmenti formati su una stessa corda sono medi e i segmenti formati sull’altra corda sono estremi di una stessa proporzione, cioè: dimostrazione
D
B
P
congiungiamo A con C e B con D
A
C D
B
P
consideriamo i triangoli APC e BPD
A
C D
B
essi hanno:
P
1. gli angoli A C e B D congruenti perché opposti al vertice
A
C D
B
P A
i due triangoli sono dunque simili per il primo criterio di similitudine
C D P A
C
v 1.0
2. gli angoli C B e C B congruenti perché insistono sullo stesso arco
B
i due triangoli avranno anche il terzo angolo congruente cioè si ha che A P è congruente a P D poiché in due triangoli simili i lati opposti ad angoli congruenti (detti lati omologhi) sono in proporzione tra loro, si ha la tesi
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219
geometria analitica
Distanza tra due punti enunciato
Dati due punti e di coordinate e , la distanza tra A e B è uguale alla lunghezza del segmento AB cioè:
dimostrazione
consideriamo il triangolo rettangolo di vertici A, B e C. La distanza tra i punti A e B rappresenta l’ipotenusa del triangolo rettangolo considerato
a tale triangolo applichiamo il teorema di Pitagora: l’ipotenusa al quadrato è uguale alla somma dei quadrati dei cateti ricaviamo la lunghezza dell’ipotenusa AB
osservando la figura deduciamo che le lunghezze dei cateti AC e BC corrispondono rispettivamente alla differenza delle ascisse dei punti A e C e alla differenza delle ordinate dei punti B e C
scriviamo il valore delle lunghezze dei cateti sostituendo i valori trovati dell’ipotenusa otteniamo la tesi v 1.0
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nella
formula
220
geometria analitica
Punto medio di un segmento enunciato
Dati due punti e di coordinate il punto medio del segmento coordinate:
e ha
dimostrazione
di seguito dimostriamo solo la prima delle due formule. Per la seconda si procede allo stesso modo
consideriamo il fascio di rette parallele , , e siano le rette e l’asse delle le due rette trasversali al fascio
a tale fascio applichiamo il teorema di Talete per cui a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale
in particolare, poiché segmento AB, si ha che
è il punto medio del
e quindi per il teorema di Talete si ha che in termini di distanze la relazione sulla retta delle ascisse si scrive da cui ricavando v. 1.0
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si ottiene la tesi 221
Equazione della circonferenza
geometria analitica
enunciato
C
Nel piano cartesiano la circonferenza rappresentata dalla seguente equazione:
è
O dimostrazione
Ricordiamo la definizione geometrica di circonferenza: la circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro indichiamo con C il centro di coordinate
con P un punto generico di coordinate O
e con il raggio della circonferenza
scriviamo la definizione di circonferenza in forma algebrica applichiamo la formula della distanza tra due punti al segmento PC sostituiamo l’espressione alla definizione di circonferenza
eleviamo al quadrato il primo e il secondo membro
svolgiamo i calcoli ed ordiniamo l’equazione in base all’ordine decrescente del grado portiamo
al primo membro
facendo le posizioni indicate si ottiene l’equazione della circonferenza v 1.0
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222
goniometria
Le cinque relazioni fondamentali dimostrazioni
• • •
si considera il triangolo rettangolo POH si applica il teorema di Pitagora: dove: sostituendo si ottiene la tesi
• •
si considerano i triangoli rettangoli TOA e POH essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( α e l’angolo retto) e dunque hanno i lati in proporzione:
•
•
•
• • • •
• • • •
• • • •
v 2.3
dove: sostituendo si ottiene:
cioè la tesi
si considerano i triangoli rettangoli CBO e PKO essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( 90°− α e l’angolo retto) e dunque hanno i lati in proporzione: dove: sostituendo si ottiene:
cioè la tesi
si considerano i triangoli rettangoli POS e POH essi sono simili perché hanno due angoli uguali ( α e l’angolo retto) e dunque hanno i lati in proporzione: dove: sostituendo si ottiene:
cioè la tesi
si considerano i triangoli rettangoli PEO e PKO essi sono simili perché hanno due angoli uguali (90°− α e l’angolo retto) e dunque hanno i lati in proporzione: dove: sostituendo si ottiene:
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cioè la tesi 223
Il seno di 30° è uguale a 1/2
goniometria
enunciato
P
il seno dell’angolo di 30° vale
cioè il segmento PH è uguale a
H
O
dimostrazione
P
consideriamo la circonferenza goniometrica di centro l’origine e raggio 1 un l’angolo di 30°
O
P O Q
P
O Q
P
O Q v 1.0
consideriamo un angolo di 30° nel IV quadrante e uniamo il punto P con il punto Q
si forma il triangolo OPQ. Esso è isoscele perché:
1. sia il lato OP che il lato OQ sono raggi della stessa circonferenza e quindi entrambi uguali ad 1 di conseguenza l’angolo in P e l’angolo in Q sono congruenti
2. l’angolo in P e l’angolo in Q sono entrambi uguali a 60° perché la somma degli angoli interni di un qualunque triangolo è 180° l’angolo in O è complessivamente di 60° e che diviso due ha come risultato 60° e 60° il triangolo OPQ è un triangolo con tre angoli uguali e quindi avrà anche tre lati uguali, di conseguenza il lato PQ sarà anche esso uguale a 1 © 2013 - www.matematika.it
224
Il seno di 30° è uguale a 1/2
goniometria
P
O
H Q
Consideriamo ora il segmento OH, esso è bisettrice dell’angolo in O
P
H
O
Q
P
O
v 1.0
H
ricordando che la bisettrice di un triangolo isoscele o equilatero è anche mediana si ha che il punto H divide la base PQ in due parti uguali
il segmento PQ , che corrisponde al seno di 30°, è dunque uguale ad
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225
Teorema dei seni
trigonometria
enunciato
in un triangolo qualsiasi ogni lato è direttamente proporzionale al seno dell’angolo opposto:
C
b
a
γ
α
A
β
c
B
dimostrazione
di seguito dimostriamo la prima delle tre relazioni. Per le altre si procede allo stesso modo. C
b α A
h
a β
H
B
consideriamo l’altezza triangolo ABC
relativa alla base AB del
B
il segmento CH individua due triangoli rettangoli AHC e CHB
C
b α A
h
a β
H
consideriamo come cateto del triangolo rettangolo AHC; ricordando che in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto tra l’ipotenusa e il seno dell’angolo opposto, si ha consideriamo ora come cateto del triangolo rettangolo CHB, analogamente si ha
osserviamo che il primo membro delle due relazioni è uguale. Ciò significa che anche i secondi membri delle due relazioni sono uguali per cui possiamo scrivere dividiamo entrambi i membri per
semplifichiamo al primo e al secondo membro scrivendo la relazione sotto forma di proporzione, otteniamo la tesi v 1.0
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226
analisi
Teorema dell’unicità del limite enunciato
Se una funzione punto Hp: Th:
è dotata di limite
allora il limite è unico
in un
è una funzione
è unico
dimostrazione
Il teorema si dimostra per assurdo, cioè si nega la tesi ottenendo una affermazione non vera
supponiamo per assurdo che la funzione abbia in due limiti finiti e distinti consideriamo l’intorno siano essi disgiunti
in corrispondenza di
di
e l’intorno
di
e
applichiamo la definizione di limite ad
in corrispondenza di
applichiamo la definizione di limite ad consideriamo ora l’intorno punti comuni di e di
di
formato dai
poichè tutti i punti di (escluso il punto ) appartengono sia ad che ad , allora per ogni che appartiene ad si ha che appartiene a ed appartiene a
ciò significa che ogni punto di escluso il punto ha due ordinate diverse il che non è possibile perché è una funzione cioè ad ogni deve corrispondere una ed una sola ordinata quindi è assurdo che la funzione abbia in due limiti distinti e può solo essere che il limite è unico
osservazione
Il teorema è stato dimostrato nel caso in cui
v 1.0
ed siano entrambi finiti ma è valido anche negli altri casi
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227
analisi
Teorema sulla relazione tra derivabilità e continuità enunciato
Se una funzione è derivabile in un punto allora essa è ivi anche continua Hp:
xo
Th:
x
è una funzione derivabile in
con
che esiste ed è finito
è una funzione continua in
cioè:
, cioè:
dimostrazione
consideriamo la seguente identità calcoliamo il limite per i membri
di entrambi
a secondo membro applichiamo i teoremi sulla somma e sul prodotto di limiti perché costante
è una
per l’ipotesi di derivabilità
passando al calcolo dei limiti al secondo membro, si osserva che
per cui si ha e quindi la tesi
v 1.0
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228
analisi
Teorema sui massimi e minimi di una funzione (teorema di Fermat) enunciato
Sia: •
)
un
•
•
a
b
una funzione
intervallo
chiuso
e
limitato
appartenente al dominio D della funzione
un punto di massimo o minimo relativo
della funzione interno ad
se
dimostrazione
è derivabile in
allora
supponiamo che sia un punto di massimo relativo. Allora, per definizione di massimo relativo si ha consideriamo il rapporto incrementale di
se
allora
se
allora
in
e determiniamo il segno del rapporto incrementale nei due casi in cui sia maggiore o minore di
calcolando il limite per di entrambi i rapporti incrementali si ottiene la derivata destra e la derivata sinistra di in essendo per ipotesi la funzione derivabile in la derivata destra deve essere uguale alla derivata sinistra.
Questo è possibile solo se sono entrambe uguali a zero, cioè la tesi
osservazione
Il teorema di Fermat non si inverte. Infatti se la derivata prima in un punto è uguale a zero, il punto può essere un punto di massimo relativo, di minimo relativo e potrebbe anche essere un punto di flesso a tangente orizzontale. v 1.0
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229
Teorema di Rolle
analisi
enunciato
Se una funzione •
●
●
• •
:
è continua nell’intervallo chiuso e limitato
è derivabile nei punti interni dell’intervallo
assume valori uguali agli estremi dell’intervallo cioè
allora esiste all’intervallo annulla, cioè
almeno un punto interno in cui la derivata prima si
dimostrazione
la prima ipotesi del teorema di Rolle è la stessa del teorema di Weierstrass, per cui la funzione ammette un massimo e un minimo assoluto nell’intervallo chiuso e limitato Chiamiamo il punto di massimo e il punto di minimo assoluto. Si possono presentano tre casi: primo caso
entrambi i punti
da cui la tesi ● ●
●
●
e
secondo caso
solo uno dei due punti o è interno all’intervallo ad esempio il punto di massimo e l’altro coincide con uno degli estremi
anche in questo caso per il teorema di Fermat, la derivata prima della funzione in è nulla, cioè: da cui la tesi
●
sono interni all’intervallo
Per il teorema di Fermat, se una funzione ha un massimo (o un minimo) in un punto, allora la derivata prima della funzione in quel punto ( e ) è nulla, cioè:
●
●
e
entrambi i punti dell’intervallo
terzo caso
e
sono agli estremi
Se ed allora la funzione sarà costante e quindi la sua derivata prima è nulla in tutti i punti dell’intervallo , da cui la tesi
in sintesi: il teorema di Weierstrass assicura la presenza di un massimo e di un minimo assoluto nell’intervallo e in tali punti per il teorema di Fermat la derivata prima è uguale a zero v 1.0
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230
Teorema di Lagrange
analisi
enunciato
P
Se una funzione
B
•
è continua nell’intervallo chiuso e limitato
•
derivabile nei punti interni dell’intervallo ]a, b[
●
A
●
è:
allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo tale che:
dimostrazione
consideriamo la funzione ausiliaria
si osservi che: • è continua in [a, b] e derivabile nei punti interni per ipotesi • •
e
sono costanti e quindi sono continue e derivabili in tutto
è un binomio di primo grado e quindi continuo e derivabile in tutto
verifichiamo che soddisfa le tre ipotesi del teorema di Rolle: 1. è continua in [a, b] perché è una combinazione lineare di funzioni continue in [a, b] 2. è derivabile nei punti interni di ]a, b[ perché è una combinazione lineare di funzioni derivabili in ]a, b[ 3. calcoliamo e cioè:
quindi
applicando il teorema di Rolle alla tale che calcoliamo la derivata prima di calcoliamo la derivata di
:
si ha che esiste almeno un punto interno all’intervallo ]a, b[
perché
e
nel punto c e poniamola uguale a zero: cioè
significato geometrico
quindi
da un punto di vista geometrico il teorema di Lagrange afferma che nell’intervallo aperto ]a, b[ esiste almeno un punto c tale che la retta tangente alla funzione nel punto è parallela alla corda passante per i punti A e B (vedi disegno in alto) in sintesi: si introduce la funzione ausiliaria e si verifica che essa soddisfa le tre ipotesi del teorema di Rolle. Si applica il teorema di Rolle alla e si giunge alla tesi del teorema di Lagrange
v 1.0
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231
Le grandezze fisiche e il Sistema Internazionale
fisica
nome
definizione
esempio
grandezza fisica
quantità che si può misurare con uno strumento di misura
misurare una grandezza fisica
vuol dire quante volte l’unità di misura è contenuta nella grandezza fisica
unità di misura
è il campione scelto per misurare
Sistema Internazionale (SI)
è l’insieme delle unità di misura accettato dal 1960 in tutta Europa e in altri 51 stati del mondo
• • • • • • • • • •
una temperatura un’altezza un peso un volume
una mela pesa 300 g il portapastelli è lungo 8 gomme da cancellare
il chilogrammo per le masse il secondo per il tempo la gomma da cancellare dell’esempio precedente le grandezze fondamentali del SI sono 7 e sono quelle riportate nella tabella successiva
le grandezze fondamentali e le loro unità di misura del Sistema Internazionale nome della grandezza unità di misura simbolo strumento di misura
lunghezza massa
metro
m
il metro
chilogrammo
kg
la bilancia
intervallo di tempo
secondo
s
il cronometro
intensità di corrente
Ampere
A
l’amperometro
grado Kelvin
°K
il termometro
candela
cd
il fotometro
mole
mol
---
temperatura
intensità luminosa quantità di sostanza
Le grandezze fisiche si dividono in due classi: le grandezze fondamentali e le grandezze derivate. 1. Le grandezze fondamentali sono le 7 grandezze del Sistema Internazionale. Sono tra loro indipendenti e permettono di ricavare tutte le altre 2. Le grandezze derivate sono tutte le altre e derivano da una combinazione delle grandezze fondamentali. Ad esempio: l’area è una grandezza derivata perché è combinazione di due lunghezze; la velocità è una grandezza derivata perché è combinazione dello spazio percorso e dell’intervallo di tempo impiegato a percorrerlo; la frequenza è l’inverso di un intervallo di tempo.
v 1.0
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232
Le grandezze fisiche
fisica
grandezze fondamentali del Sistema Internazionale (S.I.) nome della grandezza lunghezza massa
intervallo di tempo temperatura
intensità di corrente elettrica intensità luminosa
quantità di sostanza
nome della grandezza angolo piano angolo solido area
volume densità
velocità
accelerazione frequenza
velocità angolare forza
pressione
quantità di moto
momento angolare energia lavoro
potenza calore
capacità termica calore specifico
simbolo l, h, L
unità di misura
simbolo
Metro
m
m, M
Chilogrammo
kg
T
i, I
grado Kelvin Ampere
K
m
Candela Mole
cd
mol
unità di misura (SI)
simbolo
Radiante
rad = m/m
t,
Secondo
L
alcune grandezze derivate simbolo
A, S V v
F, f P
q, Q, p p, P
E, K
L, W C
A
Steradiante
sr = m2 / m2
metro cubo
m3
metro quadrato
m2
chilogrammo su metro cubo
kg/m3
metro su secondo quadrato
m/s2
metro su secondo
m/s
Hertz
Hz = 1/s
Newton
N = kg⋅m/s2
chilogrammo per metro su secondo
kg⋅m/s
radiante su secondo Pascal
rad/s
Pa = N/m2
chilogrammo per metro al quadrato su secondo
kg⋅m2/s
Joule
J = N⋅m
Joule
W, P Q
s
J = N⋅m
Watt
W = J/s
Joule su Kelvin
J/K
Joule
J = N⋅m
c
Joule su Kelvin per chilogrammo
J/(K⋅kg)
carica elettrica
q, Q E
Coulomb
Newton su Coulomb
C
forza elettromotrice
, f.e.m.
Volt
calore latente
intensità di campo elettrico
differenza di potenziale elettrico capacità elettrica resistenza resistività
intensità di campo magnetico flusso magnetico
induttanza elettrica
v 3.1
Joule su chilogrammo
C
R M L
N/C
Volt
V = J/C
Farad
F = C/V
V = J/C
Ohm
Ω = V/A
Tesla
T = N/A⋅m
Ohm per metro
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J/kg
Weber Henry
Ω⋅m
Wb = T⋅m2 H = V⋅S/A
233
Le grandezze fisiche
fisica
tabelle di conversione al Sistema Internazionale lunghezze 1 parsec (pc)
3,09
1 lega marina (lea)
5556 m
1 anno luce (a.l.)
1016
m
9,461∙1015
1 unità astronomica (UA)
m
1,50∙1011 m
1 miglio (mi)
1609,3 m
1 yarda (yd)
0,3048 m
1 pollice (in)
1 caloria (cal)
4,186 J
1 elettronVolt (eV) 1 erg
pressione
1,602 ∙ J
1 ora (h)
1 oncia (oz) J
1 grano (grain) simbolo Y Z E P T G M k h da km hm dam m dm cm mm
v 3.1
100 kg
0,0002 kg 3,2
temperatura
1 barile
1000 litri (l)
1,013 Pa
0,00454 m3
1000 kg
gradi Réaumur (°R)
altre unità di misura 1 ettaro (ha) 10.000 m2
1 gallone (gal)
Pa
133 Pa
0,064 g
masse
1 pinta britannica (pt)
1 B.T.U.
1055 J
volumi 0,163 m3 m3
0,00057 m3
1 acro (ac)
1 nodo (knt)
multipli e sottomultipli delle unità di misura
nome Yotta Zetta Exa Peta Tera Giga Mega Chilo Etto Deca
lunghezze chilometro ettometro decametro metro decimetro centimetro millimetro
kg
gradi Fahrenheit (°F)
1 bar (bar)
1 atmosfera (atm)
60 s
gradi Celsius (°C)
105
1 mm di mercurio (mmHg)
3600 s
1 carato (car)
m
energia
86.400 s
1 quintale (qt)
m
1 Ångstrom (Å)
1 giorno (d)
2.600.000 s
1 tonnellata (ton)
0,0254 m
1 micron (μm)
1 mese
1 minuto (min)
0,9144 m
1 piede (ft)
1 anno (a)
intervalli di tempo 31.600.000 s
fattore 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101
simbolo d c m μ n p f a z y
nome
0,40 ha
1,852 km/h fattore
deci centi milli micro nano pico femto atto zepto yocto
scale di misura per le grandezze più utilizzate kg hg dag g dg cg mg
masse chilogrammo ettogrammo decagrammo grammo decigrammo centigrammo milligrammo
--a. --d h min s
tempo secolo anno mese giorno ora minuto secondo
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volumi --hl dal l dl cl ml
--ettolitro decalitro litro decilitro centilitro millilitro
234
Gli strumenti di misura
fisica
definizione
Si chiama strumento di misura qualunque dispositivo usato per misurare una grandezza fisica. Ad esempio: • • • •
il metro la bilancia l’orologio il termometro
è il dispositivo usato per misurare la lunghezza è il dispositivo usato per misurare la massa è il dispositivo usato per misurare l’intervallo di tempo è il dispositivo usato per misurare la temperatura le caratteristiche
Gli strumenti si dividono in analogici e digitali
1. negli strumenti analogici la misura si legge su una scala. Ad esempio l’orologio con le lancette è uno strumento analogico 2. negli strumenti digitali la misura compare già come numero. Ad esempio l’orologio con il display a cifre è uno strumento digitale Le principali caratteristiche di uno strumento di misura sono: • • • •
la portata
cioè il valore più grande che lo strumento può misurare
la sensibilità cioè il valore attribuito ad una tacca dello strumento
la prontezza cioè il tempo impiegato dallo strumento a fornire la misura
la precisione cioè la capacità di restituire lo stesso valore al ripetere della misurazione esempi
il righello è lo strumento impiegato per misure di lunghezza. Ha una scala graduata quindi è uno strumento analogico. In figura è rappresentato un pezzo di righello con due scale diverse, quella superiore è in unità di cm, quella inferiore di unità di pollici (inch). La scala superiore ha sensibilità di 1 su 1 mm, cioè 1 tacca vale 1 mm.
la bilancia è lo strumento usato per misurare le masse. In figura è mostrato un modello analogico con le seguenti caratteristiche: la portata è di 3 kg, la sensibilità è di 1 su 20 g, cioè una tacca vale 20 g.
il cronometro è lo strumento di misura degli intervalli di tempo. Può essere analogico (figura a sinistra) o digitale (figura a destra). La sensibilità del modello analogico di sinistra è di 1/20 di secondo, quella del modello digitale a destra è di 1/10 di secondo.
v 1.0
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235
Cifre significative
fisica
definizione si chiamano cifre significative le cifre lette dalla misura di una grandezza fisica. Esse dipendono dalla sensibilità dello strumento di misura. esempi
1,22 m 1,2,2 sono cifre significative
19,02 g 1,9,0,2 sono cifre significative
27,100 cm2 2,7,1,0,0 sono cifre significative
criterio di conteggio delle cifre significative
in una misura sono significative tutte le cifre eccetto gli zeri iniziali esempi
0,2 s
1,22 m
ha 1 cifra significativa
ha 3 cifre significative
0,047 m/s 19,02 g
ha 2 cifre significative
ha 4 cifre significative
3207,50 J
ha 6 cifre significative
27,100 cm2 ha 5 cifre significative
cifre significative nel risultato di operazioni tra grandezze fisiche
il numero di cifre significative nel risultato di operazioni condotte su due o più misure di grandezze fisiche è uguale al numero di cifre significative della misura meno accurata. In particolare: • •
nell’operazione di addizione e sottrazione, il risultato ha come ultima cifra significativa quella che si ottiene dalla somma o differenza di cifre significative delle misure iniziali
nell’operazione di moltiplicazione e divisione, il risultato ha il minimo numero di cifre significative delle misure iniziali esempi
perché in 10,63 3 è somma di cifre significative
perché in 1,58 8 è somma di cifre significative
perché in 1,89 9 è differenza di cifre significative
perché in 204,0 0 è differenza di cifre significative
perché la cifra significativa di entrambe le misure è 3 perchè la cifra significativa minima delle misure è 3
perché la cifra significativa di entrambe le misure è 2 perchè la cifra significativa minima delle misure è 3 •
•
fai attenzione che i numeri che devono essere usati nei calcoli vanno tenuti sempre con una o due cifre significative in più di quelle richieste nel risultato finale e ciò per ridurre le inaccuratezze introdotte dall’arrotondamento. Solo dopo l’ultimo passaggio algebrico si arrotonda il risultato al numero di cifre significative corretto.
fai attenzione che il numero di cifre significative del risultato di un’operazione condotta su due o più misure è regolato dall’errore associato al risultato stesso, errore ottenuto mediante la teoria di propagazione degli errori. Le regole qui enunciate sono solo una semplificazione della presentazione del risultato di una misura derivata.
v 1.1
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236
L’incertezza delle misure
fisica
come si scrive la misura di una grandezza fisica
la misura di una grandezza fisica si scrive con un numero seguito dall’unità di misura perché solo il numero non esprime la misura di una grandezza fisica. Ad esempio:
• • • •
17,4 °C è una misura di temperatura 17,4 è il numero e °C è l’unità di misura 27 m è una misura di lunghezza 27 è il numero e m è l’unità di misura 60 kg è una misura di massa 60 è il numero e kg è l’unità di misura 87 non rappresenta una misura 87 è solo un numero e non una misura di una grandezza fisica il valore esatto di una grandezza fisica
Non è possibile conoscere il valore esatto di una grandezza fisica perché ogni volta che si ripete la misura si commettono degli errori sistematici e/o accidentali ed il valore registrato può essere diverso.
Per avere la misura più attendibile di una grandezza fisica si ripete la stessa misura più volte e si assume come valore la media aritmetica dei valori trovati. Ad esempio: •
•
ripetendo più volte la misura di temperatura di una stanza si leggono i valori 23,2 °C 23,0 °C 23,3 °C. La misura più attendibile di temperatura è
ripetendo più volte la misura dell’altezza di un palo si ottengono i valori 12,3 m 12,5 m 12,4 m 12,3 m. La misura dell’altezza più attendibile è gli errori in una misura di una grandezza fisica
errori sistematici
errori accidentali
sono causati dal cattivo funzionamento dello strumento o dalla imperizia e negligenza dello sperimentatore. Influenzano il risultato sempre per eccesso o sempre per difetto. Si possono eliminare
sono errori che variano in modo imprevedibile da una misura ad un’altra. Qualche volta influenzano il risultato per eccesso qualche volta per difetto. Non si possono eliminare
• • • • •
presentazione del risultato di una misura
il tempo preso con un orologio che va avanti di 1 min la temperatura presa con un termometro non tarato il tempo di reazione dell’operatore limitata precisione dello strumento condizioni ambientali non controllabili
Il risultato di una misura si presenta così: dove • •
è la media aritmetica cioè la somma di tutte le misure prese diviso il numero delle misure è l’errore assoluto cioè il valore massimo delle misure meno il valore minimo delle misure diviso due
Nel caso di un numero elevato di misure prese (ordine di 100, 1000), l’errore associato a esempio
è di tipo statistico
Pesando la massa di uno zaino 4 volte si ottengono le misure 4,00 kg 4,02 kg 4,05 kg 3,97 kg La misura della massa dello zaino si scrive così: perché: •
• il valore massimo delle misure è •
v 1.0
il valore minimo delle misure è © 2013 - www.matematika.it
237
Elaborazione dei dati sperimentali
fisica
nome
definizione
formula
media aritmetica
somma di tutti i dati diviso il numero di dati
errore relativo
errore assoluto diviso la media aritmetica
valore massimo meno valore minimo diviso due
errore assoluto
errore percentuale scarto
differenza tra il valore di una misura la media aritmetica
deviazione standard
radice quadrata della varianza
somma dei quadrati degli scarti diviso il numero di dati
varianza
e
frequenza assoluta
numero di volte in cui un dato si presenta
frequenza percentuale
frequenza relativa
frequenza relativa
frequenza assoluta diviso il numero n di dati
valore o valori che compaiono più frequentemente nei dati sperimentali
moda
se il numero di dati è pari si calcola
valore a metà dell’insieme numericamente la media aritmetica dei due dati ordinato dei dati centrali
mediana
esempio
in un esperimento, per ricavare il tempo di caduta di un oggetto da un’altezza di 10 m, si ripete il lancio dieci volte raccogliendo i seguenti dati (in secondi): n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
v 1.7
misure misure raccolte ordinate
1,43
1,38
1,38
1,41
1,42 1,40 1,42 1,41 1,44 1,42
1,48 1,43
1,40 1,42 1,42 1,42 1,43
scarto
scarto al quadrato
0,02
0,0004
0,04 0,01 0,00 0,00 0,00
0,0016
media
0,0001
errore relativo
0,00 0,00 0,00
0,02
0,0004
moda
1,48
0,06
0,0036
%
mediana
1,41 1,42 1,43 1,44
varianza
deviazione standard
0,0001
1,40
errore percentuale
0,0001
0,01
1,38
errore assoluto
0,01
1,43 1,44
misure ordinate senza ripetizioni
1,48
assoluta
1 1 1 3 2 1 1
frequenza
relativa percentuale
0,1
10%
0,1
10%
0,1 0,3 0,2 0,1 0,1
10% 30% 20% 10% 10%
1,42 1,42
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238
Numeri primi fino a 10.000
curiositĂ
un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 divisibile solo per se stesso e per 1 ---
37 89
41
593 659 743 827 911
53
11 59
13 61
17 67
19 71
23 73
29 79
31 83
107
109
113
127
131
137
139
149
283
293
307
311
313
317
331
337
347
349
353
367
503
47
7
103
359 433
43
5
101
157
281
3
97
151 223
227 439 509 599 661 751 829 919
163 229 373 443 521 601 673 757 839 929
167 233 379 449 523 607 677 761 853 937
173 239 383 457 541 613 683 769 857 941
179 241 389 461 547 617 691 773 859 947
181 251 397 463 557 619 701 787 863 953
191 257 401 467 563 631 709 797 877 967
193 263 409 479 569 641 719 809 881 971
197 269 419 487 571 643 727 811 883 977
199 271 421 491 577 647 733 821 887 983
211 277 431 499 587 653 739 823 907 991
997
1009
1013
1019
1021
1031
1033
1039
1049
1051
1061
1063
1249
1259
1277
1279
1283
1289
1291
1297
1301
1303
1307
1319
1069 1163 1321 1439 1511 1601 1693 1783 1877 1987 2069 2143 2267 2347 2423 2543 2657 2713 2801 2903 3011 3119 3221 3323 3413 3527 3607 3697 3797 3907 4003 4093 4211 4283 4409 4513 4621 v 2.0
2
4721 4813
1087 1171 1327 1447 1523 1607 1697 1787 1879 1993 2081 2153 2269 2351 2437 2549 2659 2719 2803 2909 3019 3121 3229 3329 3433 3529 3613 3701 3803 3911 4007 4099 4217 4289 4421 4517 4637 4723 4817
1091 1181 1361 1451 1531 1609 1699 1789 1889 1997 2083 2161 2273 2357 2441 2551 2663 2729 2819 2917 3023 3137 3251 3331 3449 3533 3617 3709 3821 3917 4013 4111 4219 4297 4423 4519 4639 4729 4831
1093 1187 1367 1453 1543 1613 1709 1801 1901 1999 2087 2179 2281 2371 2447 2557 2671 2731 2833 2927 3037 3163 3253 3343 3457 3539 3623 3719 3823 3919 4019 4127 4229 4327 4441 4523 4643 4733 4861
1097 1193 1373 1459 1549 1619 1721 1811 1907 2003 2089 2203 2287 2377 2459 2579 2677 2741 2837 2939 3041 3167 3257 3347 3461 3541 3631 3727 3833 3923 4021 4129 4231 4337 4447 4547 4649 4751 4871
1103 1201 1381 1471 1553 1621 1723 1823 1913 2011 2099 2207 2293 2381 2467 2591 2683 2749 2843 2953 3049 3169 3259 3359 3463 3547 3637 3733 3847 3929 4027 4133 4241 4339 4451 4549 4651 4759 4877
1109 1213 1399 1481 1559 1627 1733 1831 1931 2017 2111 2213 2297 2383 2473 2593 2687 2753 2851 2957 3061 3181 3271 3361 3467 3557 3643 3739 3851 3931 4049 4139 4243 4349 4457 4561 4657 4783 4889
1117 1217 1409 1483 1567 1637 1741 1847 1933 2027 2113 2221 2309 2389 2477 2609 2689 2767 2857 2963 3067 3187 3299 3371 3469 3559 3659 3761 3853 3943 4051 4153 4253 4357 4463 4567 4663 4787 4903
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1123 1223 1423 1487 1571 1657 1747 1861 1949 2029 2129 2237 2311 2393 2503 2617 2693 2777 2861 2969 3079 3191 3301 3373 3491 3571 3671 3767 3863 3947 4057 4157 4259 4363 4481 4583 4673 4789 4909
1129 1229 1427 1489 1579 1663 1753 1867 1951 2039 2131 2239 2333 2399 2521 2621 2699 2789 2879 2971 3083 3203 3307 3389 3499 3581 3673 3769 3877 3967 4073 4159 4261 4373 4483 4591 4679 4793 4919
1151 1231 1429 1493 1583 1667 1759 1871 1973 2053 2137 2243 2339 2411 2531 2633 2707 2791 2887 2999 3089 3209 3313 3391 3511 3583 3677 3779 3881 3989 4079 4177 4271 4391 4493 4597 4691 4799 4931
1153 1237 1433 1499 1597 1669 1777 1873 1979 2063 2141 2251 2341 2417 2539 2647 2711 2797 2897 3001 3109 3217 3319 3407 3517 3593 3691 3793 3889 4001 4091 4201 4273 4397 4507 4603 4703 4801 4933
239
Numeri primi fino a 10.000
curiositĂ
4937
4943
4951
4957
4967
4969
4973
4987
4993
4999
5003
5009
5233
5237
5261
5273
5279
5281
5297
5303
5309
5323
5333
5347
5011 5113 5351 5443 5531 5653 5743 5849 5939 6073 6173 6271 6359 6473 6581 6701 6803 6907 6997 7121 7229 7349 7487 7561 7669 7757 7879 8009 8111 8231 8317 8443 8573 8677 8753 8861 8971 9091 9199 9311 9413 9491 9623 9733 9829 9929
5119 5381 5449 5557 5657 5749 5851 5953 6079 6197 6277 6361 6481 6599 6703 6823 6911 7001 7127 7237 7351 7489 7573 7673 7759 7883 8011 8117 8233 8329 8447 8581 8681 8761 8863 8999 9103 9203 9319 9419 9497 9629 9739 9833 9931
5023 5147 5387 5471 5563 5659 5779 5857 5981 6089 6199 6287 6367 6491 6607 6709 6827 6917 7013 7129 7243 7369 7499 7577 7681 7789 7901 8017 8123 8237 8353 8461 8597 8689 8779 8867 9001 9109 9209 9323 9421 9511 9631 9743 9839 9941
5039 5153 5393 5477 5569 5669 5783 5861 5987 6091 6203 6299 6373 6521 6619 6719 6829 6947 7019 7151 7247 7393 7507 7583 7687 7793 7907 8039 8147 8243 8363 8467 8599 8693 8783 8887 9007 9127 9221 9337 9431 9521 9643 9749 9851 9949
5051 5167 5399 5479 5573 5683 5791 5867 6007 6101 6211 6301 6379 6529 6637 6733 6833 6949 7027 7159 7253 7411 7517 7589 7691 7817 7919 8053 8161 8263 8369 8501 8609 8699 8803 8893 9011 9133 9227 9341 9433 9533 9649 9767 9857 9967
5059 5171 5407 5483 5581 5689 5801 5869 6011 6113 6217 6311 6389 6547 6653 6737 6841 6959 7039 7177 7283 7417 7523 7591 7699 7823 7927 8059 8167 8269 8377 8513 8623 8707 8807 8923 9013 9137 9239 9343 9437 9539 9661 9769 9859
10729 10859
10501 10631 10733 10861
10513 10639 10739 10867
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Un percorso multimediale completo per capire la matematica
1) la matematica come non l'hai mai vista Una varietĂ di lezioni animate audio-visive di breve durata corredate da un ambiente interattivo per rifare in prima persona quanto imparato.
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sulle tracce degli esami Ampia raccolta dei testi delle prove ministeriali di matematica per gli esami di stato del liceo scientifico a partire dalla sessione ordinaria del 2000.
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