PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

Eva Pérez Torres

¿En qué consisten?

• Un problema de optimización consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras palabras se trata de calcular o determinar el valor mínimo o el valor máximo de una función de una variable.

• Se debe tener presente que la variable que se desea minimizar o maximizar debe ser expresada como función de otra de las variables relacionadas en el problema.

• Objetivo: la mejor utilización de los recursos disponibles para cumplir una determinada tarea.

Pasos a seguir: 1) Leer e interpretar bien el problema y las variables(dibujo si es necesario) 2) Plantear la función a maximizar o minimizar 3) Plantear una segunda ecuación con las condiciones del problema, despejar una de las variables y sustituir en la función a optimizar 4)Hallar la primera derivada e igualar a 0, despejando una de las variables 5)Mediante la segunda derivada comprobar si el extremo es máximo o mínimo 6) Calcular el resto de variables y el valor de la función optimizada

Problemas resueltos: Un granjero desea construir un corral vallado rectangularmente dividido en 3 partes iguales y de 24 m² cada una. Hallar las dimensiones de cada compartimento para que salga lo mås barato posible vallar el corral. x A= x¡y; 24=x¡y -> Y=24/x y 24m² 24m² 24m² f(x)= 6x+4y -> 6x+4(24/x)-> 6x+96/x -> f’(x)=

12đ?‘ĽÂ˛âˆ’(6đ?‘ĽÂ˛+96) 6đ?‘ĽÂ˛âˆ’96 đ?‘ĽÂ˛

=

�²

= 0 -> 6x²-96=0 -> x²=16 -> x=¹4

12đ?‘ĽÂˇđ?‘ĽÂ˛âˆ’ 6đ?‘ĽÂ˛âˆ’96 2đ?‘Ľ 12đ?‘Ľ3−6đ?‘ĽÂ˛âˆ’96 fâ€?(x)= = đ?‘Ľ4 đ?‘Ľ4

f�(4) > 0 min en x=4 y= 24/4=6

6x²+96/x

Queremos vallar un terreno que se encuentra al lado de un rĂ­o. El lado que da al rĂ­o cuesta 800â‚Ź/m y los otros lados 100â‚Ź/m. Hallar las dimensiones si tenemos 288000â‚Ź.

A=x¡y

800y+100x+100x+100x+100y=288000 2880−2đ?‘Ľ 900y+200x=288000 -> 9y+2x=2880-> y= 9 A= x(

2880−2đ?‘Ľ ) 9

2880đ?‘Ľâˆ’2đ?‘ĽÂ˛ 9 2880−4đ?‘Ľ A’(x)= =0 9

A=

y 800â‚Ź/m ->2880=4x -> x=720

Aâ&#x20AC;?(x)= -4/9 < 0 mĂĄx en x=720m y=

2880â&#x2C6;&#x2019;2¡720 = 9

160m

x 100â&#x201A;Ź/m

x y

Hallar los nĂşmeros cuya suma es 18 y su producto es mĂĄximo x+y=18 -> y=18-x f(x)=x¡y f(x)=x(18-x)-> 18x-x² fâ&#x20AC;&#x2122;(x)= 18-2x=0 -> x=9 fâ&#x20AC;?(x)=-2>0 mĂĄximo en x=9 Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso, mĂĄrgenes superior e inferior de 2 cm de altura y mĂĄrgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.

A= x¡y; (x-4)(y-2)=18 -> y=2đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;10 đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;4 f(x)=x¡y

f(x)=x(

2đ?&#x2018;Ľ+10 ) đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;4

-> 2đ?&#x2018;ĽÂ˛ + 10đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;4

fтАЩ(x)=

4ЁЭСе+10 ЁЭСетИТ4 тИТ(2ЁЭСе 2 +10ЁЭСе) (ЁЭСетИТ4)┬▓

=

2ЁЭСе┬▓тИТ16ЁЭСетИТ40 (ЁЭСетИТ4)┬▓

x= +10,-4(no sirve porque no existen medidas negativas) f(x)=

4ЁЭСетИТ16 ЁЭСетИТ4 2 тИТ(2ЁЭСе 2 тИТ16ЁЭСетИТ40)(2 ЁЭСетИТ4 ) 4ЁЭСе┬▓тИТ16ЁЭСетИТ16ЁЭСе+64тИТ4ЁЭСе 2 +32ЁЭСе+80 = ЁЭСетИТ4 4 ЁЭСетИТ4 3

=144>0 m├нnimo en x=10 cm Y=

2┬╖10+10 10тИТ4

= 5 cm

La función coste de cierto producto de consumo es f(x)=2x+5 y la función ingreso J(x)=8x-x². Las funciones vienen en miles de euros en función de las miles de unidades de producto.

(a)Hallar la ecuación beneficio B(x)= J(x)-C(x)=8x-x²-2x-5= -x²+6x-5 B’(x)= -2x+6=0; x=3 B”(x)=-2<0 máximo en x=3 (b)¿Cuál es el máximo beneficio que se puede obtener) B(3)=-9+18-5=4 Como viene dado en miles de euros: 4000€

Otro tipo de aplicaciones de derivadas: Hallar a, b y c para que f(x)=ax3-x²+bx+c pase por el punto(0,5) y tenga extremos relativos en x=-1 y x=3 C=5 P(0,5)->f(0)=5 X=-1->fâ&#x20AC;&#x2122;(-1)=0-> 3 a+2+b=0-> 3 a+2b=-2 X=3->fâ&#x20AC;&#x2122;(3)=0-> 27 a-6+b=0-> 27 a-b=6 --------------------24 a=-8 đ?&#x2018;Ľ3 f(x)= -x²-3x+5 3

A=1/3 B=-3