Eserciziario di Fisica generale

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Eserciziario di Fisica Matteo Parriciatu

Problema 1 In uno spettrometro di Dempster dei fasci collimati di ioni con carica q = 10−18 C attraversano un selettore di velocitá costituito da due piastre metalliche indefinite tra le quali esiste un campo elettrico E ed un campo magnetico Bo = 0.4 T entrambi ortogonali alla traiettoria degli ioni che si muovono ad una velocitá costante. Una volta superato il selettore, gli ioni si dirigono verso il foro di un’altra regione nella quale é presente un’altro campo magnetico B = 4 T ortogonale alla traiettoria. Quindi si depositano su di una lastra ad una distanza 2r dal foro di ingresso. Si considerino due ioni dei quali uno é l’isotopo dell’altro, che si depositano ad una distanza d = 4 cm l’uno dall’altro sulla lastra a partire dal centro della traiettoria a semicirconferenza. Il rapporto tra i raggi di curvatura é pari a rr12 = 1.86. Sapendo che il peso atomico dello ione corrisponde a 6.941 u, si determini la massa del suo isotopo e il valore della densitá superficiale di carica σ che genera il campo elettrico nel selettore.

Problema 2 Si consideri una particella di carica q1 = −10−9 C e massa m provvista di una certa energia cinetica Ek , che arriva dall’infinito in una regione in cui esiste un campo elettrico generato da una carica q2 = 10−4 C fissa. Ad una distanza r = 3 um dalla carica generatrice del campo, la particella é costretta a curvare la sua traiettoria. Stimare la massa della particella se, dopo aver perso energia per irradiamento, finisce per cadere verso la carica q2 dopo un tempo τ = 2.2 us dall’inizio dell’interazione.

Problema 3 Un corpo di massa m = 10−3 kg e carica Q = 10−5 C, viene immerso con velocitá nulla all’istante t = 0 s in un liquido in cui é presente un campo elettrico uniforme E = 102 N/C (−uy ). Assumendo che sul corpo agisca una forza di attrito viscoso Fv = −m k v dove k é una costante di smorzamento con le di−1 mensioni di una frequenza ed é pari a 1/12 √ s , trovare per quale istante t la velocitá del corpo assume il valore v = 7 2 m/s e a che distanza si trova in questo istante rispetto alla posizione di partenza. Si trascurino gli effetti del campo gravitazionale.

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Problema 4 Siano date due cariche uguali di segno opposto |q| = 10−6 C poste ad una distanza l = 2 cm l’una dall’altra ed investite da un campo elettrico uniforme E = 2.9 × 105 N/C. In un istante generico le due cariche, fissate a terra tramite l’asse ortogonale alla loro congiungente, sono orientate secondo le linee del campo, in una situazione di minima energia potenziale. Supponendo di spostare l’orientamento delle cariche di un angolo molto piccolo rispetto alla posizione di equilibrio in modo tale da generare un’oscillazione attorno all’asse delle cariche, si calcoli il momento di inerzia del sistema rispetto a quest’ultimo, se in un intervallo di tempo di 30 secondi si registrano 20 oscillazioni.

Problema 5 Un filo di sezione Σ = 10 cm2 , percorso da una corrente di densitá j = 1.3 × √ 104 A/m2 é caratterizzato da una resistenza R = 4 5 Ω utilizzata per riscaldare 0.5 moli di idrogeno in una trasformazione isobara durante la quale l’entropia del gas aumenta di una quantitá ∆S = 5.6 J/K in un tempo t = 1.6 s dall’inizio del processo. Trattandolo come gas ideale, si stimi la temperatura finale dell’idrogeno e il volume iniziale occupato se Vf = Vi + δk dove δk = 10−π m3 . Si assuma che non vi siano dispersioni di calore.

Problema 6 Un disco di raggio R = 40 cm carico con densitá ρ = 10−3 C/m2 ruota attorno al proprio asse x ad una frequenza di 250 giri al secondo. Calcolare il campo magnetico sull’asse del disco nelle sue immediate vicinanze e si dimostri che per distanze x >> R il campo B(x) é approssimativamente una funzione lineare di x. Si dimostri inoltre che un magnete caratterizzato da un momento magnetico m parallelo al campo magnetico e posto a grande distanza dal centro del disco risente di una forza approssimabile a F = −2m ux .

Problema 7 Si consideri un corpo dielettrico (m = 10−3 kg) di forma indefinita caratterizzato da un momento di dipolo p = 10−7 ur Cm, investito dal campo elettrico generato da una distribuzione di carica all’interno di due gusci cilindrici indefiniti coassiali di densitá σ = 4.2 × 10−4 C/m3 con raggio esterno R2 = 6 cm e raggio interno R1 = 3 cm posizionati ad una distanza r. Determinare l’espressione della funzione che descrive la velocitá v(r) del corpo supponendo che arrivi dall’infinito con vi = 0 fino ad una distanza r dalla sorgente. Calcolare dunque v(22 cm).

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Soluzioni Soluzione problema 1 L’equilibrio tra le forze all’interno del selettore ĂŠ il motivo per cui gli ioni si muovono a velocitĂĄ costante durante l’attraversamento. All’equilibrio ĂŠ infatti F = q(E + v Ă— Bo ) = 0 e dunque in modulo v = BEo = oĎƒBo . Nella regione successiva provvista di campo magnetico, il raggio di curvatura della forza di mĎƒ Lorentz vale r = mv qB = q o BBo ed ĂŠ direttamente proporzionale alla massa della 2 particella. Il rapporto tra i raggi di curvatura si riduce quindi a rr21 = m m1 = 1.86 −26 pertanto m2 = 1.86m1 = 1.86(6.941)mu = 2.14 Ă— 10 kg dove mu ĂŠ l’unitĂĄ m1 Ďƒ 2Ďƒ − di massa atomica. Dunque si ha r2 − r1 = q m q o BBo = 0.04 m e quindi o BBo −5 2 Ďƒ = 5.71 Ă— 10 C/m

Soluzione problema 2 Assumendo che sia nulla l’energia potenziale della carica all’infinito, l’energia di legame tra particella e carica generatrice ĂŠ data dal principio di conservazione dell’energia meccanica Um = Ek + Ue dove Ue ĂŠ l’energia potenziale della parq1 q2 ticella una volta nel campo della carica q2 pari a Ue = − 4Ď€ . All’interno del or 2

q1 q2 mv duncampo la particella ĂŠ sottoposta alla forza centripeta Fc = 4Ď€ 2 = r or q1 q2 1 1 q1 q2 2 que poichĂŠ ĂŠ Ek = 2 mv = 2 4Ď€ o r l’energia di legame si scrive Um = − 8Ď€ or necessariamente minore di zero in quanto l’orbita ĂŠ chiusa. Sottoposta all’accelerazione centripeta, la particella irradierĂĄ un energia pari all’energia di leq 2 a2 game ∆Um = PL Ď„ dove PL = 6Ď€ 3 ĂŠ la formula di Larmor e corrisponde oc alla potenza irradiata da una particella q carica in moto accelerato. Pertanto q1 q2 8Ď€ o r

q12 a2 6Ď€ o c3 Ď„

3

3q2 c dalla quale si ricava ac = 4q . Dunque dalla legge del moto 1Ď„ r q q1 q2 4q1 Ď„ r −13 kg si ricava m = 4Ď€ 2 3q2 c3 ossia m = 1.80 Ă— 10 or

=

Soluzione problema 3 Si orienti l’asse delle ordinate verso il basso per comoditĂĄ concettuale e si scriva la legge del moto m dv dt = QE −mkv, equazione differenziale che risolviamo per separazione di variabili Z v Z t dv = dt QE 0 0 m − kv QE e dunque − k1 [ln( QE m −kv)−ln( m )] = t da cui otteniamo la funzione che descrive l’andamento della velocitĂĄ

QE (1 − e−kt ) mk √ √ 2 ] = Il corpo raggiunge la velocitĂĄ di 7 2 m/s nell’istante t = −12 ln[ 12−7 12 20.9 s. Integrando la funzione per la velocitĂĄ si ottiene la legge oraria Z t Z Z t QE t QE −kt y(t) = v(t)dt = [ (1 − e )dt] = [t − e−kt dt] mk 0 mk 0 0 v(t) =

3

ovvero

QE QE QE −kt e − t+ 2 mk mk mk 2 per cui si evince facilmente che y(20.9 s) = 132 m y(t) =

Soluzione problema 4 Il sistema delle due cariche costituisce un momento di dipolo p = lq, sul quale agisce il momento meccanico M = −p × E = −pE sin θ. La legge del 2 moto si scrive I ddt2θ = −pE sin θ. Dalla quale confondendo il valore del seno di un angolo molto piccolo con l’angolo stesso, avremo l’equazione differenziale di un moto armonico d2 θ pE + θ=0 dt2 I q 2π con pulsazione ω = pE I = T = 2πf se f é la frequenza di oscillazione pari a f = 23 Hz. Calcolando il campo elettrico ad una distanza r = 22 cm si ricava I = 3.32 × 10−4 kg m2

Soluzione problema 5 Il calore assorbito per effetto Joule corrisponde a Q = Ri2 t dove i = jΣ = 13 A. Il primo principio della termodinamica per una isobara si scrive ncv ∆T + P ∆V = Ri2 t dove P ∆V = nR∆T , in base alla relazione di Meyer si ha n(cv + R)∆T = ncp ∆T . Per un gas biatomico é cp = 72 R, dunque si ha ncp (Tf − Ti ) = Ri2 t

(1)

Dalla definizione di entropia dS = dQ T dove per una isobara vale dQ = pdV + nRT ncv dT = V dV + ncv dT dunque integrando si ha ∆S = ncv ln dal momento che deve essere

Tf Vf + nR ln Ti Vi

Vf Tf = Vi Ti

(2)

in base alla relazione di Meyer si ricava ancora ∆S = ncp ln

Tf = 5.6 J/K Ti

Facendo sistema con la (1) si ricava Ti = 354K e pertanto Tf = 520.35K. Dalla relazione (2) si ricava Vi = 1.53 × 10−3 m3 e Vf = 2.25 × 10−3 m3

Soluzione problema 6 o di ds×ur Si consideri il campo infinitesimo dB = µ4π R2 ux generato dalla corrente dq 2π di = T prodotta in un periodo T = ω dalla carica contenuta in un anello infinitesimo dq = ρ2πrdr. Poiché inoltre ds × ur = ds sin θ = 2πr sin θ dove θ 4

ĂŠ l’angolo formato con l’asse x, si ha per definizione sin θ = dB =

Âľo Ď‰Ď r 3 dr 2 (r 2 +x2 )3/2

√ x r 2 +x2

arrivando a

che si integra per 0 < r < R ottenendo B(x) =

Âľo Ď‰Ď 2x2 + R2 √ − 2x 2 x2 + R 2

Per x << R si ha B = Âľo Ď‰Ď R = 3.95 Ă— 10−7 T , mentre per x >> R si puĂł 2 Âľo Ď‰Ď approssimare B = 2x( 2 −1) con evidenza numerica si puĂł scrivere la funzione lineare B(x) = −2x. D’altra parte sul magnete agisce la forza F = m dB dx ossĂĄ F (x) =

(2x2 + R2 )x Âľo mĎ‰Ď 4x √ − 2 − 2m 2 (x + R2 )3/2 x2 + R 2

che approssimata a grandi distanze porta proprio a F = m(Âľo Ď‰Ď âˆ’ 2) ≈ −2m Si noti che si poteva pervenire al medesimo risultato considerando la funzione lineare trovata B(x) = −2x.

Soluzione problema 7 All’interno del cilindro ĂŠ contenuta una carica Q = ĎƒĎ€(R22 − R12 )h. Come superficie gaussiana consideriamo una superficie cilindrica ÎŁ = 2Ď€r2 + 2Ď€rh = 2Ď€r(r + h) ≈ 2Ď€rh dal momento che h >> r. Applicando il teorema di Gauss il campo generato corrisponde dunque a E(r) =

Ďƒ(R22 − R12 ) 2 o r

La forza su di un dipolo con momento di dipolo parallelo alle linee di campo ĂŠ F = p dE dr ossĂ­a pĎƒ(R22 − R12 ) F =− 2 o r2 dv dr La legge del moto si scrive dunque ma = m dv dt = m dr dt in quanto v ĂŠ funzione dr composta di r. Si noti che dt = v dunque si scrive l’equazione differenziale del moto dv pĎƒ(R22 − R12 ) m v=− dr 2 o r2

che si integra per separazioni di variabili con estremi di integrazione Z v Z pĎƒ(R22 − R12 ) r dr m vdv = − 2 2 o 0 ∞ r ovvero

1 pĎƒ(R22 − R12 ) mv 2 = 2 2 o r

dalla quale si ricava s v(r) =

pĎƒ(R22 − R12 ) m o r

per cui v(0.22) = 7.63 m/s. 5

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