Psl 6a tg by MASL

Guía del Profesor

Distribuidor exclusivo para Chile

Dr Fong Ho Kheong • Chelvi Ramakrishnan • Gan Kee Soon

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BLANCO

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Primera edición en español © 2014 Marshall Cavendish International (Singapore) Private Limited. Published by Marshall Cavendish Education An imprint of Marshall Cavendish International (Singapore) Private Limited Times Centre, 1 New Industrial Road, Singapore 536196 Customer Service Hotline: (65) 6411 0820 E-mail: tmesales@sg.marshallcavendish.com Website: www.marshallcavendish.com/education Primera publicación 2014. Adaptado y traducido del título original My Pals are Here! Maths (2nd Edition). Centro Felix Klein Investigación, Experimentación y Transferencia en Didáctica de las Matemáticas y las Ciencias Facultad de Ciencia Universidad de Santiago de Chile. Todos los derechos reservados. No esta permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito a los titulares del Copyright. Marshall Cavendish es Marca registrada de Times Publishing Limited. Pensar sin Límites, Guía del Profesor 6A ISBN 978-981-01-8836-8 Impreso en Singapur por Times Printers, www.timesprinters.com

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Introducción Pensar sin Límites Matemática Método Singapur de Marshall Cavendish, es un programa basado en múltiples actividades que proporcionan al alumno una sólida base matemática. Desarrolla la creatividad y el pensamiento crítico, habilidades claves para la resolución de problemas. Pensar sin Límites Matemática Método Singapur de Marshall Cavendish, estimula el aprendizaje de la matemática en forma divertida y provechosa, a través de ilustraciones y juegos que ayudan a reforzar y consolidar el aprendizaje. Plan de trabajo

La Guía del Profesor del Libro del Alumno 6A Pensar sin Límites Matemática Método Singapur de Marshall Cavendish incluye los planes de trabajo, las páginas del Libro del Alumno 6A y las páginas del Cuaderno de Trabajo 6A, con sus respectivas respuestas. Se detallan los objetivos de cada capítulo, así como también se incluyen los conceptos clave y procedimientos para la gestión de la clase.

Capítulo 1: Números primos Horas pedagógicas

Objetivos

Recursos

(1) Factorización prima Los estudiantes serán capaces de: • escribir la factorización prima de números compuestos. • deducir la factorización prima de un número, a partir de la factorización prima de otro.

(2) Máximo común divisor • Los estudiantes serán capaces de: • • encontrar el conjunto de divisore s de un número, a partir de todas las parejas de factores posibles de • ese número.

Fracciones (2)

3 2 ó interpreta como 3 de 4 2 3 de 3 . 4

Conceptos claves

e ser una • Una fracción pued conjunto, parte de un entero o o un razón una puede ser cociente. fracciones • La suma y resta de puede o números mixtos se manera una de interpretar resta de similar que la suma y números naturales. fracciones, • La multiplicación de 2 3 se por ejemplo, 3 · 4 ,

estudiantes • Repase junto a sus iones. la suma y resta de fracc sumar para • Recuérdeles que ero o restar fracciones, prim a igual hay que transformarlas denominador. en • Así como sólo se pued sumar o restar números n entre encu se que naturales de la en la misma posición en pued se sólo , rícula cuad s de sumar o restar fraccione igual denominador.

(¡Exploremos!) • Los estudiantes debe rán predecir la respuest a de un par de divisiones cuan do el dividendo y divisor están 13 inter cam4 biados. d 4 5

Recuerda que: 1 2 1 1   8  8

3 4 1 2  2 6  6 3

roco del otro)

¡Exploremos! Calcula los siguientes p

ares de divisiones:

3 4

 12

2 3  5 4



2  3 5  4

6  20 3  10

10;

1 10

b 1 : 2 y 2 : 1 4 3 3 4

8 3 ; 3 8

a 5 : ¿Cuántas veces 5 b 4 : 1 cabe 2 en 5? 7 2 5 2 Julia y Sergio calc ularon 3 : 1 de estas ma neras: 8

Julia

esto:

c 3 : 1 4 8

2 Calcula, mediante una multiplicación.

a 4 : 1 7

c 9 : 3 4

e 1 : 1 2 8

 32 3

 10 2 3

Explica los errores de cá

lculo.

Julia invirtió el dividen do en lugar del divisor. divisor en vez de hacerlo Sergio invirtió el divide solamente con el d ndo y el ivisor.

3  10

3 11 9 5 : 15 11

78 Capítulo 3: Fracci ones (2)

98 nes (2) Capítulo 3: Fraccio

Capítulo 3: Fracci ones (2)

nes (2) Capítulo 3: Fraccio

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¿Cuántas veces cabe 1 en 4 ?

3 1 4 : 4 8  3  8

3 8  4 o de Trabajo Cuadern 24 6A, p139, Práctica 1.  6

Sergio

4 8

a encontr

a 1 : 1 4 4

3 : 1  4  1

1 Usa los modelos d ibujados par

5 6 ; 6 5

l signifi cado de:

También puedo hacer 1 2 3 2 3 4

3 8 ; 8 3

d 5 : 3 y 3 : 5 8 4 4 8

1 Explica, con palab ras, e

3  4

7 quintos

5  21

4 : y 2 : 4 4 3 3 4 : 5 10 y 10 : 5

Dia rio mate máti co

1 4

7 12 1 4  3  21  21 7

2 5

a c

¿Qué puedes observar e1 n los resultados de cada par de divisiones? Los resultdos en cada 6 caso tienen sus nume 1 radores y denominado res intercambiados. 4 Dado que 6 : 9  2 10 5 12 y :  7 , encu 21 entra el resultado sin ca 11 6 11 lcular : i 9 : 6 21 5 10 11 7 2 ii : 6

1  1 6

1 10 1 5  12  12  12 6

(Uno es el valor recíp

• Los estudiantes debe rán 1 explicar los 3 error es cometidos por Julia y4Serg6io en la división por una fracción prop ia.

7 6



 8

• Los estudiantes debe rán expresar verbalmente el significado de la divis ión f do cuan el divisor es una fracción propia.

Ejemplo: ades) = 3 (unidades) + 4 (unid 7 (unidades) 3+4=7 = 3 decenas + 4 decenas 7 decenas 70 30 + 40 = = 3 quintos + 4 quintos 7 4 3 + 5 = 5 5

ones con fraccion

a c c a : b d y de d : b , y que los

comparen.

(Diario mate 1 6 co) máti 6

¡Aprendamos!

Las cuatro operaci

• Dado que los estu diantes ya han estudiado álge bra, pídales que calculen los cocie ntes de

Gestión de la clase

Fracciones (2)

Actividad opcional

• Interpretar • Identificar relacione s

fracción • La división de una se por un número natural ibución distr o com interpreta una (reparto) equitativa de medida fraccionaria.

Gestión de la clase y

Habilidades

(¡Exploremos!) • Los estudiantes se darán cuenta que en una división de fraccione s, si se intercambian entre sí las fracciones dividendo y divisor, los cocientes obtenido s presentan el siguiente patrón: sus respectivos num eradores y denominadores están intercambiados.

Capítulo Tres

1 a

Comparar Identificar relaciones

Libro del Alumno 6A, págs. 15 a 20 Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 9 a 10 Guía del Profesor 6A, págs. 9 a 14

• encontrar los divisores comune s de dos o más números. • encontrar el máximo común divisor de dos o más números.

Objetivo de la activid

n capaces Los estudiantes será de: iones o fracc r • sumar y resta números mixtos. s. ione • multiplicar fracc por un • dividir una fracción número natural. s con • resolver problema fracciones.

• •

Actividades opcionales y adicionales

Objetivos y conceptos clave.

Objetivos: s Las cuatro operacione con fracciones

Habilidades

• Libro del Alumno 6A, págs. 10 a 14 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 4 a 8 • Guía del Profesor 6A, págs. 4 a8

Un formato amigable que entrega en detalle los pasos para la gestión de la clase.

Página del Libro del Alumno con las respuestas.

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b 1

d 1 f

1 4

2 3

Página del Cuaderno de Trabajo con las respuestas. (8) Hay 100 estudiantes en un concurso de dibujo. 58 de ellos s (a) ¿Qué porcentaje de on niñas. estudiantes en el con (b) ¿Qué porcentaje de curso son niñas? estudiantes en el con curso son varones?

Nombre: Curso:

Fecha: Práctica 2 Exp resando más frac ciones como porcentaje s

(a) 58 = 58% 100

(1) Expresa cada fracció

n como un porcent

n el concurso son va

rones.

(9) Un circuito de trote tiene 10 km de lar go. Leonardo ha trot (a) ¿Qué porcent ado 4 km. aje del circuito ha tr otado Leonardo? (b) ¿Qué porcent aje le falta a Leonard o para completar e l circuito?

(c)

(d)

19 25 =

4 = 5

(e)

1 4 =

20 ×

100

% =

7 25 =

100

% =

(c)

1 = 8

% %

entaje.

(b)

12 = 25

(d)

3 = 8

48 37,5

% %

1 8

1 10

1 8

295

139

1 10 1 1 0

(1)

1 10

Expresa las siguient es fracciones como un porcentaje. Red resultado al número ondea tu natural más próximo . 7 (a) 6 120 = % (b) 58 = 24 245 % 100 (c) 32 288 310 = % (d) 79 365 = %

Capítulo 7: Porcen taje

1 6

iones como un porc

12,5

(a)

1 5

79 y 112)

1 6

31 50 13 20

70, 71, 74, 77,

31 = 50 13 20 =

y (2)

mno 6A, pags.

(b)

(c)

ciones (1)

(1)

Apéndice 3

2 y 3: Frac

(Libro del Alu

1 8

(d) 99% 0,99

Aprendamos!

1 1 10 10

(4)

(b) 19% 0,19

138

Capítulos

aje.

1 (a) = 1 × 100% = 5 5

(3) Expresa las siguiente s fracc

1,0

Capítulo 7: Porcen taje

1 6

26 = 50

1 5

0,5

(b)

circuito.

(10) Expresa los siguient es porcentajes como números decimale anota los decimales s. Luego, en la recta numérica dada. 0,19 0,44 0,71 0,99

(a) 71% 0,71

para completar el

15 3 20 = 100 =

n como un porcent

o 40% del circuito.

(a)

(2) Expresa cada fracció

(a) 4 × 100 = 40% 10 Leonardo ha trotad

(b) 100 – 40 = 60% A Leonardo le falta el 60%

aje.

son niñas.

1 1 10 10

ntes en el concurso

1 5

58% de los estudia

1 6

(b) 100 – 58 = 42% 42% de los estudia ntes e

8 1

1 8

Heurística

2: 1 Buscar un patrón 1 12 12

1 1 1 12 12 12

La sección Apéndice, al final del libro, contiene las plantillas que tienen por objetivo ayudar a los docentes en la preparación de sus clases.

Figura 1

292

La sección Heurísticas para resolver problemas, ubicada al final del libro, contiene un conjunto de nueve heurísticas aplicadas a una selección de problemas. Es un recurso adicional para desarrollar en los estudiantes, habilidades de orden superior.

La siguiente tabla

Figura 2

Figura 3

muestra la cant

Figura 4

idad de fósfo

Figura Cantidad de fósforos

ros usados para

3=13

Calcula la cant (a) Figura 5, (b) Figura 10.

1 1 1 12 1 2 12

1 1 1 12 12 12

Ejemplo11

9=33

idad de fósfo

ros usado para

3 18 = 6  3

construir cada

figura.

4 30 = 10  3

construir la

Solución: Se observa un patrón en la cantidad de fósfo ros: el 3 mult desde la figur iplica al 1, al a 1 a la 4. 3, al 6 y al 10, al avanzar Ahora, al obse rvar los núm eros 1, 3, 6 y 10 vemos que se pueden obte Figura 1: 1 =1 ner así: Figura 2: 3 =1+2 Figura 3: 6 =1+2+3 Figura 4: 10 =1+2+3+

Entonces, Figu ra 5: 1 + 2 +3+4

15  3 = 45 Figura 10: 1 +2+3+4+ 55  3 = 165 La cantidad de La cantidad de

+ 5 = 15 5+6+7+8

fósforos usad fósforos usad

os en la Figura

+ 9 + 10 = 55

5 es 45. 10 es 165.

279

En el Libro del Alumno encontrará las secciones: ¡Aprendamos! Se introducen paso a paso los conceptos en forma atractiva. En paralelo, se formulan preguntas que permiten monitorear la comprensión de los conceptos aprendidos.

¡Activa tu mente! Desafía a los estudiantes a resolver problemas no rutinarios que permiten aplicar tanto procedimientos como herramientas y, al mismo tiempo, desarrollar habilidades de pensamiento.

¡Exploremos! Se realizan actividades investigativas que permiten a los estudiantes aplicar los conceptos aprendidos.

Diario matemático Permite compartir lo que el estudiante ha aprendido, crear sus propias preguntas matemáticas, y tomar conciencia de su propio pensamiento matemático. Matemática en la casa

Realiza esta actividad y ¡Juguemos! Incluyen juegos y actividades que involucran el uso de la Matemática.

Permite a los padres o apoderados guiar a los estudiantes en la aplicación de los conceptos aprendidos a situaciones de su vida diaria.

En el Cuaderno de Trabajo encontrará las secciones: “Prácticas“, “Desafío” y “Piensa y resuelve” en cada capítulo. Después de cada dos o tres capítulos encontrará un “Repaso” que facilita la consolidación de los conceptos aprendidos y la “Evaluación” que integra los temas, conceptos y capítulos del semestre.

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Contenidos Plan de la clase

Cuaderno de trabajo

Factorización prima

Máximo común divisor

Mínimo común múltiplo

Multiplicación de fracciones propias

Problemas (1)

Multiplicación de una fracción impropia por una fracción propia o impropia

Multiplicación de un número mixto por un número natural

Problemas (2)

Reparto equitativo de una cantidad fraccionaria

Problemas (3)

Las cuatro operaciones con fracciones

111

Dividiendo por una fracción propia

112

Problemas

101

116

Dibujando triángulos

131

147

Dibujando cuadriláteros

135

149

Título del Capítulo

Números primos

Plan de trabajo 2

Repaso A

Fracciones (1)

Repaso B

Fracciones (2)

Repaso C

109

Repaso 1

121

Construcciones geométricas

129

Repaso D

Plantillas

Apéndice 1: pp. 328 a 330

Apéndices 2 y 3: pp. 331 a 333

Apéndice 4: p. 334

145

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Título del Capítulo

Decimales

Plan de trabajo

Plan de la clase

Cuaderno de trabajo

Plantillas

156

Expresando decimales como fracciones

159

Multiplicando por 10, 100 y 1000 y sus múltiplos

161

195

Apéndice 5: p. 335

Dividiendo por 10, 100 y 1000 y sus múltiplos

172

197

Apéndice 5: p. 335

Usando una calculadora para operar números decimales

182

200

Encontrando razones

216

249

Razones equivalentes

223

251

Problemas (1)

230

252

Comparando tres cantidades

237

254

Problemas (2)

241

255

Tanto por ciento

263

293

Expresando más fracciones como porcentajes

270

295

Porcentaje de una cantidad

276

297

Problemas

282

299

Repaso E

194

Repaso 2

207

Razones

212

Repaso F

247

Porcentaje (1)

260

Repaso G

291

Repaso 3

302

Evaluación 1

307

Heurísticas para resolver problemas

315

Apéndices

327

Apéndice 6: p. 336

vii

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Horas pedagógicas • Libro del Alumno 6A, págs. 10 a 14 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 7 a 8 • Guía del Profesor 6A, págs. 4 a8

Recursos

• encontrar los divisores comunes de dos o más números. • encontrar el máximo común divisor de dos o más números.

• Libro del Alumno 6A, págs. 15 a 20 • Cuaderno de Trabajo 6A, Los estudiantes serán capaces de: págs. 9 a 10 • encontrar el conjunto de divisores de un número, a • Guía del Profesor 6A, págs. 9 partir de todas las parejas de factores posibles de a 14 ese número.

(2) Máximo común divisor

Los estudiantes serán capaces de: • escribir la factorización prima de números compuestos. • deducir la factorización prima de un número, a partir de la factorización prima de otro.

(1) Factorización prima

Objetivos

Capítulo 1: Números primos

• Comparar • Identificar relaciones

Habilidades

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Horas pedagógicas

Repaso A

Los estudiantes serán capaces de: • aplicar el concepto de mínimo común múltiplo a una situación real.

¡Activa tu mente!

Destacar los conceptos dados, habilidades y procedimientos enseñados en este capítulo.

¡Resumamos!

Los estudiantes serán capaces de: • encontrar una manera alternativa para multiplicar dos números naturales.

Diario matemático

Los estudiantes serán capaces de: • encontrar múltiplos comunes de dos o más números, utilizando tres métodos diferentes.

(3) Mínimo común múltiplo

Objetivos

Capítulo 1: Números primos Habilidades

• Libro del Alumno 6A, págs. 29 a 30 • Guía del Profesor 6A, págs. 23 a 24

• Libro del Alumno 6A, págs. 26 a 28 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 12 a 13 • Guía del Profesor 6A, págs. 20 a 22

• Libro del Alumno 6A, págs. 21 • Deducir a 25 • Verificar • Cuaderno de Trabajo 6A, pág. 11 • Guía del Profesor 6A, págs. 15 a 19

Recursos

Capítulo Uno

Números primos Objetivos: Factorización prima Los estudiantes serán capaces de: • escribir la factorización prima de números compuestos. • deducir la factorización prima de un número, a partir de la factorización prima de otro.

Conceptos claves

Nota:

• Números primos son aquellos que solo pueden ser factorizados por dos factores distintos: el 1 y el mismo número. • Todo número compuesto puede ser factorizado en más de una forma y además, puede ser expresado como el producto de sus factores primos.

• A partir de este capítulo, se usará un punto ( · ) en vez de (×) como signo de multiplicación para evitar posibles confusiones al profundizar el estudio de Álgebra.

Habilidades • Comparar • Identificar relaciones

Gestión de la clase 1

• Muestre a los estudiantes las posibles descomposiciones aditivas de 24 y las posibles factorizaciones de ese mismo número. Dígales que un número puede ser descompuesto de forma aditiva y multiplicativa.

Números primos ¡Aprendamos!

Factorización prima 1 Sabemos que un número se puede expresar como la suma de dos o más

• Pídales que factoricen los números 2, 3, 13, 19 para que se den cuenta que solo aceptan una factorización con factores distintos: el 1 y el mismo número. Explíqueles que estos números se denominan primos, en el sentido de primeros. • Los demás números naturales que aceptan más de una factorización se denominan compuestos. • Explíqueles que el número 1 no se considera primo ni compuesto, ya que no acepta una factorización con dos factores distintos y solo puede ser expresado como 1 = 1 · 1.

sumandos, por ejemplo:

24 = 18 + 6 ó 10 + 8 + 6 ó 20 + 4 ó 10 + 9 + 5

Este mismo número también se puede expresar como el producto de dos o más factores:

24 = 1  24 ó 2  12 ó 3  8 ó 2  3  4 ó 2  3  2  2

La palabra factor proviene del latín facere, que signiﬁ ca "hacer" o "fabricar".

En la expresión 24 = 2  3  4, el número 3 es un factor de 24, porque junto al 2 y al 3 permiten "hacer" o "fabricar" el 24. El 3 y el 8 también son factores de 24, porque 3  8 = 24.

2 Existen ciertos números naturales que pueden ser factorizados de una sola manera, por ejemplo:

2 = 1  2 ; 3 = 1  3 ; 13 = 1  13 ; 19 = 1  19 ; ...

Estos números se denominan números primos.

Número primo es aquel que solo puede ser factorizado por 1 y el mismo número.

Capítulo 1: Números primos

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Gestión de la clase 3

Los números que pueden ser factorizados en más de una forma se denominan números compuestos. El 24 es un número compuesto porque no solo se puede expresar como 1  24, sino que también como 2  12 ó 3  8 ó 4  6. El número 1 no se considera primo.

• Asigne a los estudiantes esta actividad como una práctica guiada. 4

• Retome las tres factorizaciones de 24 que están expresadas como parejas de factores 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6, y muéstreles que algunos de esos factores pueden a su vez, seguir siendo factorizados, hasta que llega un momento en que solo quedan factores primos. • Pídales que ordenen de menor a mayor los factores obtenidos en cada factorización y que las comparen para que concluyan que son idénticas: 2·2·2·3=3·2·2·2= 2 · 2 · 2 · 3.

Realiza esta actividad. Factoriza cada número y luego completa la tabla, marcando con una X, según corresponda. Número

Primo

Compuesto

4 5

X X

6 7

X X

4 Vimos que el número 24 se podía factorizar en las siguientes parejas de factores:

24 = 2  12

Si continuamos factorizando en cada caso:

24 = 3  8

24 = 4  6

2  12

3  8

4  6

2  2  6

3  2  4

2  2  2  3

3  2  2  2

Vemos que, cualquiera sea el camino que se haya seguido, llegará un momento en que el número 24 queda expresado como el producto de un mismo conjunto de factores que son todos número primos: 24 = 2  2  2  3.

Esta factorización se denomina factorización prima de 24.

Capítulo 1: Números primos

• Señale que 2 · 2 · 2 · 3 es la factorización prima de 24 y que no importa de que pareja de factores se haya comenzado, pues finalmente se llega a la misma factorización.

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Gestión de la clase 5

• Explíqueles que para obtener la factorización prima de un número, se puede comenzar dividiéndolo por el número primo menor (el 2), cuantas veces sea posible y luego continuar con los siguientes números primos (3, 5, 7, etc.). • Explíqueles también que se puede utilizar el método del “árbol de factores” que es similar al anterior. • Hágales notar que cuando el número a factorizar es par, el primer factor a considerar es el 2. En cambio, si el número a ser factorizado es impar, deben explorar si es divisible por 3, 5, 7, u otro número primo.

Encontrar la factorización prima de un número no es lo mismo que encontrar sus factores. Un número compuesto puede ser factorizado de varias maneras distintas. Pero tiene solamente una factorización prima.

5 Expresa 60 como producto de sus factores primos.

Método 1

60 : 2 Divide por el factor primo 2

30 : 2 Divide por el factor primo 2

15 : 3 Divide por el factor primo 3

Método 2

(es número primo)

Comienza dividiendo el número por su factor primo más bajo, cuantas veces sea posible. Luego, continúa dividiendo por los siguientes factores primos hasta que el cociente sea un número primo.

La factorización prima de 60 es: 2  2  3  5.

60 2  30 2  2  15 2  2  3  5

• Asígneles este ejercicio como una aplicación de ambos métodos.

La factorización prima de 60 es: 2  2  3  5.

6 Expresa 48 como producto de sus factores primos.

Método 1

48 : 2

24 : 2

12 : 2

48 2  24 2  2 

2  2  2 

6 : 2

2  2  2  2 

3 48 = 2  2  2 

Método 2

2  3

48 = 2  2  2  2 

6 3 3

Capítulo 1: Números primos

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Gestión de la clase 7

• Asigne a los estudiantes este ejercicio como práctica guiada.

7 Encuentra la factorización prima de los siguientes números.

a 8 2 · 2 · 2

b 20

c 100 2 · 2 · 5 · 5

d 132

2·2·5 2 · 2 · 3 · 11

8 Se sabe que la factorización prima de 60 es 2  2  3  5. Dado que 120 = 2  60, podemos escribir de inmediato la factorización prima de 120, multiplicando por 2 la factorización prima de 60. 2  2  2  3  5 factorización prima de 60

La factorización prima del doble de 60 es 2 veces la factorización prima de 60.

De la misma manera se puede encontrar la factorización prima de 30, a partir de la de 60, ya que 30 es la mitad de 60. 1 1 Factorización prima de 30 =  60 =  2  2  3  5 = 2  3  5. 2 2

• Guíelos a ver que si se conoce la factorización prima de 60, será muy fácil y directa la obtención de la factorización prima de su doble (120), agregando un nuevo factor 2. 120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 factorización prima de 60

Sucederá algo similar para obtener la factorización prima de la mitad de 60 (30), en este caso bastará con quitarle un factor 2 a la factorización prima de 60.

factorización prima de 60

La factorización prima de 30 se obtiene quitándole un factor 2 a la factorización 1 prima de 60, porque 30 =  60 = 60 : 2. 2

9 ¿Cómo se puede encontrar la factorización prima de 150, si se sabe que 15 = 3  5?

factorización prima de 60

3  5  2  5

• Pídales que apliquen lo estudiado en el punto 8 para encontrar la factorización prima de 150, a partir de la del 15. Hágales notar que en este caso hay que incluir dos nuevos factores, el 2 y el 5, porque 150 = 15 · 10 = 15 · 2 · 5.

La factorización prima de 150 es 2  3  5  5.

Capítulo 1: Números primos

30 = 2 · 60 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5

150 = 15  10

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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 1a. • Asigne a sus estudiantes la Práctica 1 del Cuaderno de Trabajo 6A , págs. 7 a 8.

¡Practiquemos! 1a 1 Encierra los números primos. 1

2 Expresa cada número como producto de sus factores primos.

a 6 2·3

b 15 3 · 5

c 36 2 · 2 · 3 · 3

d 78 2 · 3 · 13

e 184 2 · 2 · 2 · 23

f 360 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5

3 Resuelve.

a El número 400, expresado como producto de sus factores primos es

2  2  2  2  5  5. Escribe 800 como producto de sus factores primos. 2·2·2·2·2·5·5 b El número 320, expresado como producto de sus factores primos es 2  2  2  2  2  2  5. Escribe 3200 como producto de sus factores primos. 2·2·2·2·2·2·2·5·5 c El número 2700, expresado como producto de sus factores primos es 2  2  3  3  3  5  5. Escribe 270 como producto de sus factores primos. 2·3·3·3·5

Cuaderno de Trabajo 6A, p 7, Práctica 1.

Capítulo 1: Números primos

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Objetivos: Máximo común divisor

Conceptos claves • Un número natural es divisor de otro si lo divide exactamente, es decir, la división no tiene resto. • Un divisor común a dos números naturales, es aquél número que divide a ambos en forma exacta.

Los estudiantes serán capaces de: • encontrar el conjunto de divisores de un número, a partir de todas las parejas de factores posibles de ese número. • encontrar los divisores comunes de dos o más números. • encontrar el máximo común divisor de dos o más números.

Habilidad • Comparar

Gestión de la clase 1

¡Aprendamos!

Máximo común divisor 1 Al expresar el número 18 como producto de dos factores se obtiene:

18 = 1  18 , 18 = 2  9 , 18 = 3  6

18 : 1 = 18 , 18 : 2 = 9 , 18 : 3 = 6 , 18 : 6 = 3 , 18 : 9 = 2 y 18 : 18 = 1

Luego, los divisores de 18 son: 1, 2, 3, 6, 9 y 18

Vemos que cada uno de los factores obtenidos es también un divisor de 18, ya que todos lo dividen exactamente:

2 Encuentra los divisores comunes de 12 y 30. Factores de 12

12 = 1  12 12 = 2  6 12 = 3  4

• Pídales que apliquen el procedimiento visto en 1 para encontrar los divisores de 12 y 30, y que luego encierren aquellos divisores que se repiten en ambos números. Los divisores que se repiten en ambos números se les designa como divisores comunes.

Factores de 30

30 = 1  30 30 = 2  15 30 = 3  10 30 = 5  6

Identiﬁ ca primero los divisores de cada número y luego los que son comunes, encerrándolos en un círculo.

Divisores de 12: 1 , 2 , 3 , 4, 6 y 12 Divisores de 30: 1 , 2 , 3 , 5, 6 , 10, 15 y 30 1, 2, 3 y 6 son divisores tanto de 12 como de 30.

3 Para encontrar los divisores comunes de 10 y 28 haz una lista de todas las parejas de factores de cada número. Factores de 10

10 = 1  10 10 = 2  5

Factores de 28

28 = 1  28 28 = 2  14 28 = 4  7

Divisores de 10: 1 , 2 , 5 y 10

Divisores de 28:

Capítulo 1: Números primos

• Pídales que factoricen el 18 en parejas de factores, de todas las formas posibles. Explíqueles que el conjunto de divisores se puede escribir a partir de las factorizaciones en 2 factores, realizadas anteriormente: 1 · 18 2·9 3·6

• Asígneles este ejercicio como práctica guiada.

1 , 2 , 4 , 7 , 14 y 28 Divisores comunes de 10 y 28: 1 y 2

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Actividad opcional Pida a sus estudiantes que comparen las siguientes definiciones con las estudiadas al inicio del capítulo. • Número primo es aquél que sólo tiene dos divisores distintos: 1 y sí mismo. • Número compuesto es aquél que tiene más de dos divisores distintos. • El número 1 no es primo ni compuesto, porque tiene solo un divisor: 1.

Gestión de la clase 4

• Asigne a sus estudiantes este ejercicio para que practiquen la búsqueda de divisores comunes.

4 Encuentra los divisores comunes de cada par de números.

a 12 y 24

1, 2, 4 y 8

b 27 y 35 1

c 36 y 50

1y2

d 40 y 54 1 y 2

• Explíqueles que una vez encontrados los divisores comunes de dos números (45 y 75), es posible identificar el mayor de esos divisores comunes (15), que se conoce como máximo común divisor. • Presénteles el método 2 que consiste en escribir la factorización prima de cada número, luego extraer los factores primos comunes (3 y 5), para finalmente multiplicarlos obteniendo el máximo común divisor 3 · 5 = 15.

5 Encuentra el máximo común divisor de 45 y 75.

Método 1 Factores de 45

45 = 1  45 45 = 3  15 45 = 5  9

Factores de 75

75 = 1  75 75 = 3  25 75 = 5  15

El máximo común divisor es el mayor de todos los divisores comunes.

Divisores de 45: 1 , 3 , 5 , 9, 15 , 45 Divisores de 75: 1 , 3 , 5 , 15 , 25, 75 Divisores comunes de 45 y 75: 1, 3, 5 y 15. De estos cuatro divisores comunes, el mayor es el 15. Por lo tanto, el máximo común divisor de 45 y 75 es 15.

Método 2

Utilizando la factorización prima.

Identiﬁ ca los factores primos que son comunes entre 45 y 75 y enciérralos en un círculo. 45 = 3  3  5 75 = 3  5  5

Máximo común divisor = 3  5 = 15 El máximo común divisor de 45 y 75 es 15.

45 3  15 3  3  5

75 3  25 3  5  5

Capítulo 1: Números primos

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Gestión de la clase

Método 3

Divide por el divisor primo común 3. Divide por el divisor primo común 5. Deja de dividir ya que 3 y 5 no tienen otro divisor común más que el 1. Multiplica estos divisores comunes: 3  5 = 15 El máximo común divisor de 45 y 75 es 15.

45 15 3

75 25 5

• Explíqueles, de manera similar, el método 3 que utiliza divisiones sucesivas de ambos números, solo por primos comunes.

:3 :5

45 15 3

75 25 5

:3 :5

6 Encuentra el máximo común divisor de 20 y 32.

Método 1 Factores de 20

20 = 1  20 20 = 2  10 20 = 4  5

32 = 1  32 32 = 2  16 32 = 4  8

Divisores de 20: 1 , 2 , 4 , 5 , 10 y 20 Divisores de 32: 1 , 2 , 4 , 8 , 16 y 32 Divisores comunes de 20 y 32: 1 , 2 y 4

El máximo común divisor de 20 y 32 es 4 .

Método 2

Utilizando la factorización prima.

20 = 2 

32 = 2 

2  2 

2  2  2 Máximo común divisor = 2  2 = 4

El máximo común divisor de 20 y 32 es 4 .

Método 3

• Asigne a los estudiantes este ejercicio como práctica guiada de los tres métodos estudiados en 5 .

Factores de 32

: 2

2  2 = 4 El máximo común divisor de 20 y 32 es 4 .

Capítulo 1: Números primos

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Objetivo de la actividad

Materiales

• Este ejercicio está orientado a reforzar la búsqueda de los divisores comunes de dos números dados.

• Juego de cartas, mazos A y B (ver Apéndice 1, págs. 328 a 330). (Note que en las cartas del mazo B, que van del 10 al 98, se excluyeron aquellos números que son primos y sus múltiplos. El mazo A solo tiene los primos 2, 3, 5 y 7.)

Gestión de la clase 7

• Pídales que resuelvan este ejercicio aplicando los tres métodos presentados en 5 . 8

• Pídales que se organicen en parejas, distribúyales el material y explique las reglas del juego. Todos los estudiantes deben tener 1 mazo A, cada uno. Cada pareja debe tener 1 mazo B. Desarrolle una demostración del juego frente al curso con la colaboración de un estudiante.

7 Encuentra el máximo común divisor de cada par de números.

a 15 y 27

b 36 y 54

c 48 y 72

d 40 y 100

Realiza esta actividad. Trabaja en parejas. Tu profesor o profesora te entregará un juego de cartas numeradas del 10 al 100, además de otro juego de cartas de divisores primos, con los números 2, 3, 5 y 7. Encuentra los divisores comunes y el máximo común divisor de dos números.

Paso 1 Revuelvan las cartas numeradas y ubíquenlas boca abajo. Cada jugador tendrá la mitad de las cartas de divisores.

Paso 2 Cada jugador dará vuelta una carta de números y usará sus cartas de divisores para mostrar la factorización prima de ese número.

Paso 3 El primer jugador indicará el máximo común divisor de los dos números. Si está en lo correcto, se queda con las dos cartas de números. Las cartas de divisores pueden ser reutilizadas en cada turno.

Ejemplo:

Paso 4 Se dan vuelta otras dos cartas de números y se repite el proceso. En esta oportunidad, el segundo jugador indicará el máximo común divisor.

Paso 5 El juego continúa hasta que se hayan utilizado todas las cartas de números. El ganador es quien tiene la mayor cantidad de estas cartas.

Capítulo 1: Números primos

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Gestión de la clase 9

9 En la recta numérica se observa que 12 + 20 se puede representar como un salto de 12 más un salto de 20. 12 + 20 = 32

El salto de 12 se puede descomponer en 4 saltos de 3 y el salto de 20 en 4 saltos de 5. 4  3 + 4  5 = 32

12 = 4  3

Entonces, 12 + 20 = 4  3 + 4  5, que al representarlo en la recta numérica corresponde a 4 saltos de 3 más 4 saltos de 5.

20 = 4  5

El 4 es el máximo común divisor de 12 y 20, porque:

12 = 2  2  3

El máximo común divisor de 12 y 20 es 2  2 = 4.

En el siguiente diagrama:

• El propoósito de esta actividad es mostrar graficamente la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, mediante una combinación de saltos en una recta numérica. • Dibuje en la pizarra la recta numérica y mediante arcos de diferentes colores, muestre que la suma de 12 + 20 se puede expresar como 4 · (3 + 5), donde 4 es el máximo común divisor de 12 y 20.

20 = 2  2  5

4 (3 + 5) = 32

Se ha combinado 1 salto de 3 con uno de 5, cuatro veces. Al combinar 1 salto de 3 con 1 salto de 5, resulta un salto de 8, porque 3 + 5 = 8. En total son 4 saltos de (3 + 5) que equivalen a 4  (3 + 5). 4  (3 + 5) = 4  3 + 4  5

Fíjate que de cualquiera de las tres maneras, llegarás al mismo punto de la recta numérica: al punto 32.

12 + 20 = 4  3 + 4  5 = 4  (3 + 5) = 32 4  (3 + 5) = 4  3 + 4  5 es una aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.

Capítulo 1: Números primos

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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 2 del Cuaderno de Trabajo 6A , págs. 9 a 10.

Gestión de la clase 10

y 11

• Asigne ambos ejercicios como una práctica guiada para que apliquen la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a a la suma. 12

• Desafíe a sus estudiantes para que ahora, apliquen la propiedad distributiva a la suma de tres números naturales para expresarla como el producto entre el máximo común divisor de ellos y la adición de tres sumandos. Ej: 6 + 15 + 21 = 3 · (2 + 5 + 7)

10 Expresa 18 + 45 como un producto entre máximo común divisor de ambos números y otra suma. Utiliza la factorización prima. 3 

45 = 3 

18 = 2 

Máximo común divisor de 18 y 45 = 3 

18 + 45 = 9 

3 

= 9 2 + 9 

= 9  ( 2 + 5 )

11 Expresa cada suma como un producto entre máximo común divisor y una suma.

a 35 + 91 7 · (5 + 13)

b 60 + 85 5 · (12 + 17)

c 24 + 64 8 · (3 + 8)

12 Expresa cada suma como un producto entre máximo común divisor y una suma de tres sumandos.

a 6 + 15 + 21 3 · (2 + 5 + 7)

b 12 + 18 + 42

6 · (2 + 3 + 7)

c 35 + 42 + 63

7 · (5 + 6 + 9)

Cuaderno de Trabajo 6A, p 9, Práctica 2.

Capítulo 1: Números primos

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Objetivos: Mínimo común múltiplo Los estudiantes serán capaces de: • encontrar múltiplos comunes de dos o más números, utilizando tres métodos diferentes.

Conceptos claves • Un múltiplo común de dos números naturales es un número que puede ser dividido por ambos números en forma exacta. • El mínimo común múltiplo de dos números naturales es posible calcularlo a partir de la factorización prima de ambos.

Habilidad • Comparar

Gestión de la clase 1

• Recuérde a los estudiantes que los múltiplos de un número se pueden obtener a partir de la tabla de multiplicar de dicho número. • Recuérdeles también el concepto de múltiplos comunes de dos números naturales, estudiados en los cursos anteriores.

¡Aprendamos!

Mínimo común múltiplo 1 Encuentra los primeros dos múltiplos comunes de 8 y de 12. Múltiplos de 8

1  8 = 8 2  8 = 16 3  8 = 24 4  8 = 32 5  8 = 40 6  8 = 48 7  8 = 56 8  8 = 64 9  8 = 72 10  8 = 80 ... ...

Múltiplos de 12

1  12 = 12 2  12 = 24 3  12 = 36 4  12 = 48 5  12 = 60 6  12 = 72 7  12 = 84 8  12 = 96 9  12 = 108 10  12 = 120 ... ...

Encuentra los múltiplos comunes de 8 y de 12.

• Asígneles este ejercicio como práctica guiada.

Múltiplos de 8: 8, 16, 24 , 32, 40, 48 , 56, 64, 72 , 80, ... Múltiplos de 12: 12, 24 , 36 48 , 60, 72 , 84, 96, 108, 120, ... 24, 48, 72, ... son múltiplos de 8 y de 12. 24, 48, 72, ... son llamados múltiplos comunes de 8 y de 12. Los primeros dos múltiplos comunes de 8 y de 12 son 24 y 48.

2 Encuentra los tres primeros múltiplos comunes de 3 y 5.

Los múltiplos de 3: 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18 , 21 , 24 , 27 , 30 , 33 , 36 , 39 , 42 , 45 , ...

Los múltiplos de 5: 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45 ,

50 , ... Los primeros tres múltiplos comunes de 3 y de 5: 15 , 30 y 45 , ...

Capítulo 1: Números primos

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Gestión de la clase 3

• Asigne este ejercicio para que practiquen la búsqueda de múltiplos comunes.

3 Escribe los diez primeros múltiplos de cada par de números. Luego, a partir de esta lista, encuentra los múltiplos comunes. a 8 y 10 40, 80 120, 160, ...

b 7 y 11

77, 154, 231, 308, ...

• Pídales que encuentren mediante el método 1, el mínimo común múltiplo de 6 y 9. • Muestre que también se puede encontrar el mínimo común múltiplo partiendo de la factorización prima de 6 y 9 (método 2). • Revise con ellos el método 3, que a través de divisiones sucesivas por números primos comunes, también permite encontrar el mínimo común múltiplo de los números.

4 Encuentra el mínimo común múltiplo de 6 y 9.

Método 1 Múltiplos de 6

Múltiplos de 9

1  6 = 6 2  6 = 12 3  6 = 18 4  6 = 24 5  6 = 30 6  6 = 36 7  6 = 42 8  6 = 48 9  6 = 54 10  6 = 60 ... ...

1  9 = 9 2  9 = 18 3  9 = 27 4  9 = 36 5  9 = 45 6  9 = 54 7  9 = 63 8  9 = 72 9  9 = 81 10  9 = 90 ... ...

Múltiplos de 6: 6, 12, 18 , 24, 30, 36 , 42, 48, 54 , 60, ... Múltiplos de 9: 9, 18 , 27, 36 , 45, 54 , 63, 72, 81, 90, ... Múltiplos comunes de 6 y 9: 18, 36, 54, ... De estos, el menor es el 18 . Por lo tanto, el mínimo común múltiplo de 6 y 9 es 18.

Método 2

Usando la factorización prima. 6 = 2  3 9 = 3  3

Mínimo común múltiplo = 2  3  3 = 18 El mínimo común múltiplo de 6 y 9 es 18.

2  3

9 3  3

2  3  3 es el producto menor que contiene a 2  3 y 3  3. Por lo que 2  3  3 es el mínimo común múltiplo de 6 y 9.

Capítulo 1: Números primos

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Gestión de la clase 5

Método 3

Divide por el divisor primo común 3. Deja de dividir ya que 2 y 3 no tienen otro factor común más que el 1.

Multiplica estos factores comunes: 3  2  3 = 18 El mínimo común múltiplo de 6 y 9 es 18.

6 2

9 3

• Pídales que resuelvan este ejercicio aplicando los tres métodos anteriores.

• Asigne este ejercicio para que practiquen los procedimientos de cálculo del mínimo común múltiplo de dos números naturales.

5 Encuentra el mínimo común múltiplo de 8 y 10.

Método 1

Múltiplos de 8: 8 , 16 , 24 , 32 , 40 , 48 , 56 , 64 , 72 , 80 , ... Múltiplos de 10: 10 , 20 , 30 , 40 , 50 , 60 , 70 , 80 , 90 , 100 , ...

Múltiplos comunes de 8 y 10: 40 , 80 , ... El mínimo común múltiplo de 8 y 10 es 40 .

Método 2

Utilizando la factorización prima.

8 = 2 

El mínimo común múltiplo de 8 y 10 es = 2 

El mínimo común múltiplo de 8 y 10 es = 40

Método 3

2 

10 = 2  2 

2 

= 40

: 2

2  4  5 = 40 El mínimo común múltiplo de 8 y 10 es 40 .

6 Encuentra el mínimo común múltiplo de cada par de números.

a 3 y 7

Capítulo 1: Números primos

b 5 y 12

c 4 y 9

d 6 y 11

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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 1b.

¡Practiquemos! 1b 1 Encuentra los divisores comunes de cada par de números.

a 18 y 63 1, 3 y 9

b 30 y 50 1, 2, 5 y 10

c 26 y 78 1, 2, 13 y 26

2 Encuentra el máximo común divisor de cada par de números.

a 24 y 36 12

b 42 y 98 14

c 65 y 91 13

3 Encuentra los primeros 5 múltiplos comunes de cada par de números.

a 5 y 6 30, 60, 90, 120, 150

b 9 y 10 90, 180, 270, 360, 450

c 15 y 25 75, 150, 225, 300, 375

4 Encuentra el mínimo común múltiplo de cada par de números.

a 3 y 10 30

b 5 y 8

c 10 y 14 70

5 Encuentra el máximo común divisor de cada trío de números.

a 24, 26 y 84 2

b 36, 24 y 96 12

c 60, 75 y 102 3

Capítulo 1: Números primos

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Objetivo de la actividad

Trabajo personal

• El diario matemático permite que los estudiantes reflexionen sobre una nueva forma de encontrar el producto de números naturales, esto es, multiplicando el máximo común divisor por el mínimo común múltiplo.

• Asigne a sus estudiantes la Práctica 3 del Cuaderno de Trabajo 6A , pág. 11.

Habilidades • Deducir • Verificar

Gestión de la clase (Diario matemático) 6 Encuentra el mínimo común múltiplo de cada uno de los siguientes tríos de números.

a 18, 24 y 42 504

b 14, 30 y 70 210

c 55, 75 y 115 18 975

7 Encuentra el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de cada trío de números.

a 10, 20 y 25 5, 100

b 54, 81 y 135 27, 810

8 Resuelve.

84 cm

María tiene dos cuerdas las que quiere cortar en trozos del mismo largo para hacer los nudos que se muestran en la ilustración.

116 cm

• El propósito de esta actividad es que los estudiantes verifiquen que el producto de dos números naturales, se puede calcular mediante el producto del máximo común divisor por el mínimo común múltiplo de ambos números. • Pídales que lo verifiquen para otro par de números y que concluyan que si a y b son naturales, entonces a · b = (máximo común divisor de a y b) · (mínimo común múltiplo de a y b).

a Encuentra el mayor largo posible en que puede cortar las cuerdas para que no

le sobre nada. 4 cm

Diario matemático

7560

Encuentra el producto de 84 y 90.

Encuentra el producto del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 84 y 90. 7560

¿Que puedes observar acerca de tus respuestas en a y b ? Son iguales

Elige otros dos números y repite a y b ¿Obtienes el mismo resultado? Sí

Cuaderno de Trabajo 6A, p 11, Práctica 3.

Capítulo 1: Números primos

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22-10-13 12:56

Gestión de la clase (¡Resumamos!) • Destaque los conceptos claves, habilidades y procedimientos que han sido enseñados en este capítulo.

¡Resumamos! Has aprendido a: • Diferenciar entre números compuestos y números primos • Encontrar la factorización prima de un número natural • Determinar los divisores comunes de dos o tres números naturales • Determinar el máximo común divisor de dos o tres números naturales • Relacionar la propiedad distributiva con el máximo común divisor • Determinar los múltiplos comunes de dos o tres números naturales • Determinar el mínimo común múltiplo de dos o tres números naturales

ϖϖ

¡Repasemos! a

En la siguiente tabla con los primeros cien números naturales, encierra aquellos que sean números primos. 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92

3 13 23 33 43 53 63 73 83 93

4 14 24 34 44 54 64 74 84 94

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96

7 17 27 37 47 57 67 77 87 97

8 18 28 38 48 58 68 78 88 98

9 19 29 39 49 59 69 79 89 99

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Capítulo 1: Números primos

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Encuentra el máximo común divisor de 30 y 42.

Método 1 Parejas de factores Parejas de factores de 30 de 42

30 = 1  30 30 = 2  15 30 = 3  10 30 = 5  6

42 = 1  42 42 = 2  21 42 = 3  14 42 = 6  7

Divisores de 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30 Divisores de 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42 Divisores comunes de 30 y 42: 1, 2, 3 y 6 El máximo común divisor de 30 y 42 es 6.

Método 2 Factorización prima 30 = 2  3  5 42 = 2  3  7 Los factores primos comunes están encerrados en círculos. Máximo común divisor = 2  3 = 6 El máximo común divisor de 30 y 42 es 6.

Método 3 30 15 5

42 21 7

: 2 : 3

El máximo común divisor de 30 y 42 es 2  3 = 6.

Capítulo 1: Números primos

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Objetivo de la actividad

Trabajo personal

Nota

• Este problema requiere que los estudiantes apliquen el concepto de mínimo común múltiplo a una situación real.

• Asigne a sus estudiantes el “Desafío” y “Piensa y resuelve” del Cuaderno de Trabajo 6A , págs. 12 a 13. • Asigne a sus estudiantes el Repaso A del Libro del Alumno 6A , págs. 29 y 30.

• En los repasos que están al final de cada capítulo (Repasos A al Repaso G) pueden aparecer algunos problemas marcados con un asterisco. Esto indica que tienen un grado mayor de dificultad y que el profesor(a) puede dejarlos como opcionales.

Habilidades • Deducir • Visualizar

Heurísticas para resolver problemas • Dibujar un diagrama

Gestión de la clase (¡Activa tu mente!) • Guíe a los estudiantes para que comprendan que si se pide formar un cuadrado, necesitan encontrar los múltiplos comunes de 12 y 30 (porque en un cuadrado el ancho y el largo miden lo mismo). Por otra parte, si se pide que el cuadrado sea el más pequeño, entonces el lado del cuadrado debe ser el mínimo común múltiplo.

¡Activa tu mente! 1 Don Miguel tiene baldosas rectangulares que miden 12 cm de ancho por 30 cm de largo. Con estas baldosas, colocadas juntas, desea formar el cuadrado más pequeño posible. ¿Cuántas baldosas ocupará? ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado más pequeño posible?

Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 Múltiplos de 30: 30, 60, 90, 120, 150 El mínimo común múltiplo entre 12 y 30 es 60. El cuadrado se formará así:

12 cm 30 cm

Don Miguel ocupará 10 baldosas de 12 cm · 30 cm. El lado del cuadrado medirá 60 cm.

Cuaderno de Trabajo 6A, p 12, Desafío.

Cuaderno de Trabajo 6A, p 13, Piensa y resuelve.

Capítulo 1: Números primos

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22-10-13 12:49

7 25 d 10 110 : 30

b 380 : 20

337

Habitantes 15 440 000 8 578 000 6 635 000 6 216 000 4 667 000 3 605 000 340 000 45 481 000

Calcula la distancia en km que hay entre la tierra y el sol, sabiendo que hay

País Guatemala Honduras El Salvador Nicaragua Costa Rica Panamá Belice

3 2 2 5 de 15 = 5 1 · 15 = 6

5 partes 1 parte 2 partes

15 3 6

luz en 1 segundo, y que corresponde a 300 000 km. 144 000 000 km

8 “minutos luz” entre ambos y que 1 “segundo luz” es la distancia que recorre la

Repaso A

589 117

Calcula a partir de los datos de la tabla, la población de América Central.

c 10 000 : 400

a 6300 : 900

2 5 Calcula de 15, por dos métodos. 5 Método 1 Método 2

2 Calcula los resultados de:

a Seis millones doscientos mil doce b Quinientos ochenta y nueve mil ciento diecisiete

6 200 012

1 Escribe con números las siguientes cantidades.

Repaso A

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22-10-13 12:49

11 m

7 m

2 m 154 000 

medidas dadas sabiendo que 1  es la capacidad de un cubo de arista 10 cm.

Calcula la cantidad de litros que se necesitan para llenar una piscina con las

1 9

11 4 100 9

5 6 7 d 9 8 b 7

47 6 79 8

1 55

1 2

3 55

1 13

9 5 10

2 3

Repaso A

9 Escribe en la recta numérica las fracciones o números mixtos que corresponden.

c 11

a 2

3 4

8 Expresa los números mixtos como fracciones impropias.

4 7 Vicente gastó de su dinero en un par de zapatos. Los zapatos le costaron $9600. 7 ¿Cuánto dinero tenía Vicente en un principio? $16 800

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(M)PSL_WB1A_P1_TP.indd 1

Tuga

Zugo

Gugo

Distribuidor exclusivo para Chile

Dr Fong Ho Ho Kheong • Chelvi Ramakrishnan • Bernice Lau Pui Wah Dr Fong Kheong • Chelvi Ramakrishnan • Gan Kee Soon PhDPhD BScBSc BSc,DipEd, FPDE (NIE) BA, MEd

Lugo

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1A 6A

10/24/12 3:55 PM

Cuaderno de de Trabajo Trabajo Cuaderno Parte 1

Números primos

Curso:

Capítulo 1: Números primos

Número 2 8 11 26 29 51 1011

X X

Compuesto

(2) Marca con una X según corresponda.

Primo

(b) 18 1 · 18, 2 · 9, 2 · 3 · 3

Acepte todas las respuestas posibles.

(a) 12 1 · 12, 2 · 6, 3 · 4, 2 · 2 · 3

(1) Expresa cada número como producto de dos o más factores.

Práctica 1 Factorización prima

Nombre:

Fecha:

3 6

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3 · 3 · 11 · 11

255 = 3 · 5 · 17

1020 = 2 · 2 · 3 · 5 · 17

(b) La factorización prima de 510 es 2  3  5  17. Escribe la factorización prima de 255 y de 1020.

2 · 2 · 2 · 5 · 11

(a) Si 110 se escribe como producto de sus factores primos: 2  5  11. Escribe la factorización prima de 440.

3·3·3·5·5·7

(h) 1089

2 · 3 · 5 · 17

2·2·2·2·3·3

7·7

85 96

100

Capítulo 1: Números primos

(d) ¿Los números pares son compuestos? Sí, pero con una excepción: el 2, que es el único número par y primo.

(c) ¿Por qué hay otra columna sin números primos, que son impares? La columna formada por los números 55, 65, 75, 85 y 95 son todos múltiplos de 5, por lo que son números compuestos impares.

(b) ¿Por qué, columna por medio de este cuadro, no existen números primos? Porque, en este cuadro, los números pares están ubicados columna por medio.

(5) (a) En el siguiente cuadro con los números naturales del 51 al 100, encierra aquellos que sean números primos.

(4) Resuelve.

4725

(i)

(g) 250 2 · 5 · 5 · 5

(e) 245

(f) 510

(d) 144

5·7·7

(b) 49

(a) 24 2 · 2 · 2 · 3

(3) Expresa cada número como un producto de sus factores primos.

Curso:

Fecha:

1 1 1 1 1 1

17 6 11 4 20 13

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

distintos, el

1, 2, 4 1, 2 1 1 1, 2 4 y 20

El número

es divisor común de todos los números pares.

El único divisor común entre números primos es el

Capítulo 1: Números primos

(4) Completa la frase:

4, 14 y 20

11, 13 y 17

11 y 17

6 y 20

Divisores comunes

Números

, 11 y 13 tienen únicamente dos divisores y sí mismo, por lo tanto son números primos .

es divisor de todos los números.

(b) Los números

(a) El

(3) Escribe los divisores comunes de los números indicados.

(2) Completa:

(1) Encierra los divisores de cada número.

Práctica 2 Máximo común divisor

Nombre:

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1, 2 y 4

(b) 64 y 92

(b) 48 y 72

(b) 30, 48 y 72

(d) 63, 105 y 294

(e) 72, 144 y 216

Capítulo 1: Números primos

(b) Encuentra la cantidad de rosas y lirios en cada ramo. 6 rosas y 7 lirios blancos

(a) Encuentra la mayor cantidad de ramos que Gina pudo hacer.

8 ramos 8 ramos

(8) Gina compró las siguientes flores: 48 rosas rosadas y 56 lirios blancos. Luego, combinó las flores para hacer ramos idénticos sin que le sobrara ninguna flor.

(a) 16, 28 y 40

(7) Encuentra el máximo común divisor de cada trío de números.

(a) 30 y 54

(6) Encuentra el máximo común divisor de cada par de números.

1, y 11

1, 3, 5 y 15

(a) 15 y 75

(5) Encuentra los divisores comunes de cada par de números.

Curso:

Fecha:

16 380

4752

4389

Capítulo 1: Números primos

(5) Tres personas dan vueltas alrededor de una plaza. Una se demora 2 minutos, otra 5 minutos y otra 6 minutos. Si las tres parten simultáneamente del mismo lugar, ¿cada cuánto tiempo se vuelven a encontrar en el punto de partida? Cada 30 minutos

(4) Una luz roja parpadea cada 14 minutos mientras que una luz azul parpadea cada 24 minutos. Si la última vez que las dos luces parpadearon al mismo tiempo fue a las 8:00 am. ¿A qué hora parpadearán simultáneamente otra vez? 10:48 am

(b) 27, 48 y 66

(a) 21, 33 y 57

(3) Encuentra el mínimo común múltiplo de cada uno de los siguientes tríos de números.

(b) 9 y 11 99

(a) 7 y 12 84

(2) Encuentra el mínimo común múltiplo de cada par de números.

(b) 8 y 11 88, 176, 264, 352, 440

(a) 4 y 7 28, 56, 84, 112, 140

(1) Encuentra los primeros 5 múltiplos comunes de cada par de números.

Práctica 3 Mínimo común múltiplo

Nombre:

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Desafío

Curso:

Fecha:

15 5 1

90 30 6

:3 :5

Cada pulsera tendrá: 45 : 15 = 3 perlas blancas 15 : 15 = 1 perlas azules 90 : 15 = 6 perlas rojas

3 · 5 = 15 Ellas pueden fabricar 15 pulseras.

45 15 3

Capítulo 1: Números primos

La cantidad de pulseras corresponde al máximo común divisor de 45, 15 y 90.

falte nada. Encuentra las longitudes posibles para cada trozo.

Capítulo 1: Números primos

Los divisores comunes de los tres números son 1, 2, 5 y 10. Las longitudes posibles para cada trozo son: 1 cm, 2 cm, 5 cm y 10 cm.

Los divisores de 30 son 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 Los divisores de 40 son 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 Los divisores de 50 son 1, 2, 5, 10, 25, 50

Las quiere dividir en trozos de la misma longitud sin que sobre ni

Virginia tiene tres cintas que miden 30, 40 y 50 cm respectivamente.

(2)

en casa de su abuelo?

Lorenzo, a partir de hoy, visitará a su abuelo en 21, 42, 63, 84, ... días más y Ana lo visitará en 14, 28, 42, 56, 70, 84, ... días más. En 42 días más, volverán a coincidir.

Ambos lo visitaron hoy. ¿En cuántos días más volverán a coincidir

iguales, sin que les sobre ninguna perla. ¿Cuántas pulseras pueden

fabricar? ¿Qué cantidad de perlas de cada color tendrá cada pulsera?

Lorenzo va a visitar a su abuelito cada 21 días, y Ana va cada 14 días.

Fecha:

Piensa y resuelve

Curso:

(1)

Nombre:

15 azules y 90 rojas. Quieren hacer la mayor cantidad de pulseras

Carla y Loreto quieren hacer pulseras. Disponen de 45 perlas blancas,

Nombre:

BLANCO

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Horas pedagógicas

Los estudiantes serán capaces de resolver problemas de dos pasos, relacionados con fracciones, utilizando: • modelos de barra y el método unitario. • multiplicación de dos fracciones.

(2) Problemas (1)

Se espera que los estudiantes concluyan que: • el producto entre dos números naturales es mayor que cada uno de los factores. • el producto entre dos fracciones propias es menor que cada una de las fracciones.

¡Exploremos!

Los estudiantes serán capaces de: • a través de una representación pictórica, comprender el significado de multiplicar dos fracciones propias. • usar el método de simplificación para calcular el producto de dos fracciones propias. • explorar y comparar el producto de dos números naturales y el producto de dos fracciones propias.

(1) Multiplicación de fracciones propias

Objetivos

Capítulo 2: Fracciones (1) Habilidades

• Aplicar el concepto • Libro del Alumno 6A, págs. 34 a 38 de producto de dos • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. fracciones impropias 17 a 22 • Guía del Profesor 6A, págs. 38 a 42

• Libro del Alumno 6A, págs. 31 • Comparar a 33 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 15 a 16 • Guía del Profesor 6A, págs. 35 a 37

Recursos

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Horas pedagógicas

Los estudiantes serán capaces de: • conceptualizar el significado de multiplicar un número mixto por un número natural. • utilizar el reagrupamiento para calcular el producto entre un número mixto y un número natural. • usar calculadora para encontrar el producto entre un número mixto y un número natural.

(4) Multiplicación de un número mixto por un número natural

Los estudiantes serán capaces de: • comprender, a través de una representación pictórica, el significado de la multiplicación entre una fracción propia y una impropia. • utilizar el método de simplificación para calcular el producto entre dos fracciones. • usar calculadora para obtener el producto entre dos fracciones.

(3) Multiplicación de una fracción impropia por una fracción propia o impropia

Objetivos

Capítulo 2: Fracciones (1) Habilidades

• Libro del Alumno 6A, págs. 41 • Comparar a 44 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 25 a 26 • Guía del Profesor 6A, págs. 45 a 48

• Libro del Alumno 6A, págs. 39 • Comparar a 40 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 23 a 24 • Guía del Profesor 6A, págs. 43 a 44

Recursos

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Horas pedagógicas

Los estudiantes serán capaces de: • entender el significado de repartir equitativamente una cantidad fraccionaria. • utilizar 3 métodos diferentes para dividir una fracción por un número natural.

(6) Reparto equitativo de una cantidad fraccionaria

Los estudiantes serán capaces de resolver problemas de hasta dos pasos aplicando el concepto de multiplicación entre un número natural y un número mixto.

(5) Problemas (2)

Objetivos

Capítulo 2: Fracciones (1)

• Libro del Alumno 6A, págs. 48 a 52 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 29 a 32 • Guía del Profesor 6A, págs. 52 a 56

• Libro del Alumno 6A, págs. 45 a 47 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 27 a 28 • Guía del Profesor 6A, págs. 49 a 51

Recursos

• Comparar • Analizar las partes y el todo

• Aplicar los conceptos asociados a las cuatro operaciones

Habilidades

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Horas pedagógicas

Los estudiantes debieran ser capaces de recordar las habilidades, conceptos y estrategias aprendidos en este capítulo.

¡Resumamos!

Mediante la identificación de errores, los estudiantes podrán afianzar su comprensión de los procedimientos para dividir una fracción por un número natural y para multiplicar dos fracciones propias.

Diario matemático

Los estudiantes serán capaces de resolver problemas de hasta dos pasos usando la multiplicación y división de fracciones.

(7) Problemas (3)

Objetivos

Capítulo 2: Fracciones (1)

• Libro del Alumno 6A, págs. 53 a 60 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 33 a 36 • Guía del Profesor 6A, págs. 57 a 64

Recursos • • •

Comparar Aplicar los conceptos asociados a las cuatro operaciones Analizar las partes y el todo

Habilidades

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Horas pedagógicas

Repaso B

Los estudiantes serán capaces de resolver problemas desafiantes aplicando habilidades y heurísticas en relación con fracciones.

¡Activa tu mente!

Objetivos

Capítulo 2: Fracciones (1)

• Libro del Alumno 6A, págs. 62 a 63 • Guía del Profesor 6A, pág. 66

• Libro del Alumno 6A, pág. 61 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 37 a 38 • Guía del Profesor 6A, pág. 65

Recursos

Identificar patrones y relaciones Visualizar

Heurísticas para resolver problemas: • Buscar un patrón • Dibujar un modelo

•

Habilidades

Capítulo Dos

Fracciones (1) Objetivos: Multiplicación de fracciones propias

• explorar y comparar el producto de dos números naturales y el producto de dos fracciones propias.

Los estudiantes serán capaces de:

Concepto clave Multiplicar dos fracciones es equivalente a calcular una parte fraccionaria de otra fracción.

• a través de una representación pictórica, comprender el significado de multiplicar dos fracciones propias. • usar el método de simplificación para calcular el producto de dos fracciones propias.

Habilidades

Actividad adicional Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. Pida a un estudiante que piense en dos fracciones propias y que siga el método utilizado en 1 para calcular el producto de las dos fracciones. Pida al otro estudiante que cambie el orden de las dos fracciones propias y calcule el producto entre ellas.

Comparar

Gestión de la clase 1

• Realice las siguientes preguntas a los estudiantes: (a) “¿Cuál es mayor? 2, 3 ó 2 · 3?”

Fracciones (1) ¡Aprendamos!

1 1

(b) “¿Cuál es mayor? 2 , 3 ó 1 1 · ?” 2 3

Multiplicación de fracciones propias 1 2

1 Marcela dibujó un rectángulo

Luego ella marcó con líneas rojas

3 y pintó de color azul. 5

de las partes pintadas. 1

2 de = 2  5 5 3 5

3 5 1 de 35 2

1 3

= 2 5

Pablo dibujó un rectángulo igual

Luego él marcó con líneas rojas

1 y pintó de color azul. 2

3 de las partes pintadas. 5

3 10

3 1 5 2 3 1 = 5 2

3 5

1 2

de = 

3 5

1 2

de 12

¿Obtuvieron el mismo resultado Marcela y Pablo? 1 2

3 5

3 10

Sí

1 2

Decimos que de = de . Hay 10 partes en cada rectángulo dibujado por Marcela y Pablo. 3 de las partes pintadas de cada rectángulo tienen líneas rojas.

3 de cada rectángulo tienen líneas rojas. 10 Capítulo 2: Fracciones (1)

(c) “¿Se obtiene el mismo resultado en ambos casos?” • Explique y siga los procedimientos dados en el libro para mostrar el resultado 3

de 2 · 5 a través de una representación pictórica. 3

• Haga lo mismo para 5 · 2 . • A partir de la demostración anterior, guíe a los estudiantes a comprender que: (a) el producto de dos fracciones propias es menor que cada una de las fracciones. (b) el producto de dos fracciones propias y el producto en el orden inverso tienen el mismo valor (propiedad conmutativa de la multiplicación).

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Materiales

Actividad adicional

• Hojas de papel cuadriculado (ver página 330) • Lápices de colores

• Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. Pídales que piensen en dos pares de fracciones y que calculen el producto del primer par de fracciones utilizando el método de la multiplicación. Luego, que calculen el producto del segundo par de fracciones utilizando el método de simplificación.

Gestión de la clase 2

• Revise junto a sus estudiantes los métodos de multiplicación y simplificación aprendidos en la sección “Fracción de un conjunto” (PSL 4A, cap. 5) • El objetivo de este ejercicio es enseñar a los estudiantes a utilizar los métodos de multiplicación y simplificación para calcular el producto entre dos fracciones propias expresadas en su forma más simple. • Explique y muestre que el Método 1 de multiplicación implica multiplicar los respectivos numeradores y denominadores de las dos fracciones y luego simplificar el producto. • A continuación, explique y muestre el Método 2 de simplificación para simplificar las dos fracciones propias antes de multiplicarlas. 3

• Utilice esta actividad para evaluar si los estudiantes aplican el procedimiento para multiplicar dos fracciones propias. Recuérdeles que verifiquen previamente si las fracciones propias pueden ser simplificadas. 4

• Esta actividad ayuda a los estudiantes a reforzar el concepto de multiplicación de dos fracciones propias. Al final de la actividad, pida a los estudiantes que compartan sus resultados con el curso.

2 Calcula el producto.

Método 1

Método 2

3 8 3 8  = 4 9 4 9

3 8 3 8  = 4  9 4 9 3

= 36

= 4  9 1 3

2 3

= 1 3

= 3

Divide el numerador y el denominador por el divisor común, 3.

Divide el numerador y el denominador por el divisor común, 4.

1 2 2

3 Calcula el producto.

3 5 1 10 de 9 = 6

5 4 1  = 10 12 6

Realiza esta actividad.

Trabaja en parejas. Tu profesor(a) le entregará a cada grupo una hoja de papel cuadriculado.

Dibuja un rectángulo en el papel cuadriculado.

Divide el rectángulo en 4 partes iguales. Pinta de él.

Divide las partes anteriores nuevamente, en 4 partes iguales.

Dibuja cruces en de las partes pintadas.

¿Cuántas partes pintadas tienen cruces?

¿En cuántas partes está dividido el rectángulo?

¿Qué fracción del rectángulo tiene cruces?

1 3 3 de = 16 4 4

Ahora, dibuja un rectángulo idéntico al anterior y divídelo en 4 partes iguales.

Pinta de él.

3 4

1 4

3 16

1 4

Capítulo 2: Fracciones (1)

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Objetivo de la actividad

Habilidad

• Estas actividades permiten a los estudiantes explorar la diferencia entre multiplicar dos números naturales y multiplicar dos fracciones propias. Ellos debieran darse cuenta que el producto entre dos números naturales siempre es mayor que cada uno de ellos, mientras que el producto entre dos fracciones propias siempre es menor que cada una de las fracciones.

• Identificar patrones

Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 2a • Asigne a sus estudiantes la Práctica 1 del Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 15 a 16.

Gestión de la clase (¡Exploremos!) • Se espera que los estudiantes lleguen a las siguientes conclusiones después de realizar la actividad (excluyendo el uso del número cero): a) El producto entre dos números naturales es mayor que cada uno de los factores. b) El producto entre dos fracciones propias es menor que cada una de las fracciones. • Explique nuevamente el método de multiplicación para que los estudiantes comprendan por qué el producto entre dos números naturales es mayor que cada uno de los números. • Luego, explique el concepto de fracción de un número y relacione el producto entre dos fracciones propias con hallar una parte de otra fracción. Una fracción propia es siempre menor que 1, por lo tanto, una parte de una fracción propia siempre será menor que su valor original.

7 Divide las partes anteriores en 4 partes iguales. 8 Dibuja cruces en 3 de las partes pintadas. 4

¿Cuántas partes pintadas tienen cruces? 3 ¿en cuántas partes está dividido el rectángulo? 16 3 4

1 4

¿Qué fracción del rectángulo tiene cruces? de =

3 16

¿Obtuviste el mismo resultado en ambos casos? Sí 1 4

3 4

1 4

¿Qué puedes decir sobre de y de ? Que ambos resultados son iguales.

¡Exploremos! Calcula el producto de los siguientes números naturales. 3  4 = 12

5  17 = 85

9  8 = 72

12  7 = 84

Compara cada producto con sus respectivos factores. ¿Es mayor el producto que cada uno de los números que se multiplicaron? Explica por qué. Luego, calcula el producto de las siguientes fracciones. 3 1 3  = 8 2 4

3 4 3  4 5 5

2 3 3  7 4 14

5 1 5  = 54 6 9

¿Qué adviertes acerca de cada producto? ¿Es mayor el producto que cada una de las fracciones que se multiplicaron? Explica por qué.

¡Practiquemos! 2a 1 Calcula el valor de cada producto. Exprésalo en su forma más simple.

7 3 5 7 4 1 de b de 10 20 10 8 6 4

1 6 2  3 7 7

6 4 1 d  8 9 3 Cuaderno de Trabajo 6A, p 15, Práctica 1.

Capítulo 2: Fracciones (1)

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Objetivos: Problemas (1) Los estudiantes serán capaces de: • resolver problemas de dos pasos, relacionados con fracciones, utilizando: (i) Modelos de barra y el método unitario. ii) Multiplicación de dos fracciones.

Habilidad

Concepto clave • El producto de dos fracciones propias equivale a calcular una parte fraccionaria de otra fracción.

• Aplicar el concepto del producto de dos fracciones propias.

Gestión de la clase 1

• Explique a sus estudiantes el contexto del problema y establezca la relación con la multiplicación de dos fracciones propias. El propósito fundamental de este problema es obtener la parte fraccionaria de una cantidad cuya medida es fraccionaria. Método 1: Dibuje un modelo que muestre 4 partes iguales y utilice el método unitario para resolver el problema. Explique que 4 partes representan 1 3 y que 3 partes representan 4 . A partir del modelo, podemos 2 ver que 3 de 3 partes 1 equivalen a 2 . Método 2: Utilice el método de simplificación para hallar el producto de dos fracciones propias. Para resolver el problema, los estudiantes deben relacionar la tarea de encontrar una fracción de una cantidad fraccionaria, con la multiplicación de dos fracciones propias.

¡Aprendamos!

Problemas (1) 3 4

2 3

1 Mauricio tenía  de caldo de pollo. Él usó de éste para una cazuela.

a ¿Cuánto caldo de pollo usó para hacer la cazuela?

b ¿Cuánto caldo de pollo le sobró?

Método 1

4 partes

1 

1 parte

1  4

2 partes



1 2

1 3 4

usó

sobró

A partir del modelo, podemos decir que:

1 a Mauricio usó  de caldo de pollo para hacer la cazuela. 2

1 b Le sobró  de caldo de pollo. 4

Método 2

1 2 3  =  2 3 4 1 2

3 2 3 1 b  =  4 4 4 2

Le sobró  de caldo de pollo.

Mauricio usó  de caldo de pollo para hacer la cazuela.

1 4

=  1 4

Capítulo 2: Fracciones (1)

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Actividad opcional • Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. Pida a cada pareja que piense en dos fracciones propias y escriba un problema de un paso y otro de dos pasos usando estas fracciones. Luego, pídales que intercambien los problemas con otro grupo y comprueben si pueden ser resueltos, luego deberán resolverlos.

Gestión de la clase 2 3 4 2 Gabriela compró kg de azúcar. Ella usó de esa cantidad para hacer unos 4 5

• Utilice esta actividad como una evaluación formativa para asegurase que los estudiantes han comprendido el significado del producto entre dos fracciones propias y si son capaces de aplicar el método aprendido en 1 . • Reflexione con sus estudiantes sobre el status diferente que 4 3 tienen las fracciones 5 y 4 en este problema: 4 representa una medida o 5 cantidad fraccionaria de kg, en 3 cambio 4 indica una fracción de algo, es un número que actúa como un coeficiente fraccionario.

postres.

a ¿Cuánta azúcar usó?

b ¿Cuánta azúcar le sobró?

Método 1 1 4 5

usó

5 partes

1 parte

3 partes

sobró

1 kg 1 kg 5 3 kg 5

A partir del modelo, podemos decir que:

a Gabriela usó

b Sobró

3 kg de azúcar. 5

1 kg de azúcar. 5

Método 2

3 3 4  = kg 5 4 5

3 Gabriela usó 5 kg de azúcar.

4 1 3  = kg 5 5 5

1 Sobró 5 kg de azúcar.

Capítulo 2: Fracciones (1)

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Actividad opcional • Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. Pida a cada pareja que piense en dos fracciones y dibuje un modelo para mostrar cómo estas dos fracciones pueden ajustarse al modelo utilizado en 3 . Destaque a los estudiantes que estas dos fracciones no están referidas al mismo entero.

Gestión de la clase 3

• Explique que el contexto de este problema es distinto al del ejercicio 1 . En este problema, a los estudiantes sólo se les da la fracción que queda. En cambio, en 1 se les da la cantidad inicial en forma fraccionaria.

1 4

3 Lucas tenía cierta cantidad de dinero. Ahorró de esa cantidad y luego gastó

4 del resto, en comprar una maleta. 9 a ¿Qué fracción de su dinero gastó en la maleta?

b ¿Qué fracción de su dinero le sobró?

Método 1 ahorro

resto

Método 1: Explique que 4 se refiere a la parte fraccionaria 4

de un entero y que 9 es la parte fraccionaria de otro entero surgido del remanente del primer entero. Explique a los estudiantes que deben 3

dividir los 4 sobrantes en 9 4 partes para encontrar los 9 de esa cantidad. Guíelos para que subdivididan las 3 partes en 9 partes más pequeñas. Método 2: Utilice el método de simplificación para resolver 4 3 · . 9 4

gastado en la maleta

sobrante

A partir del modelo, podemos decir que: Cantidad de partes gastadas en la maleta = 4 Cantidad de partes sobrantes = 5 Total de partes del entero = 12

a Fracción de dinero gastado en la maleta =

b Le sobró

Método 2

1 3

Gastó de su dinero en la maleta. 5 de su dinero. 12

3 1 a 1  = (resto) 4 4 1 1 4 3 1  = 9 41 3 3

1 3

Gastó de su dinero en la maleta.

4 1 = 12 3

4 9 1 3  =  12 12 3 4 5 = 12 5 12

Le sobró de su dinero.

Capítulo 2: Fracciones (1)

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Actividad opcional • Si usted considera que sus estudiantes no estaban preparados para la actividad opcional de la página anterior, pídales que realicen esa misma actividad una vez que hayan resuelto el problema 4 .

Gestión de la clase 4 3 4

3 5

• Utilice este problema como una evaluación formativa para asegurarse que los estudiantes pueden aplicar los métodos aprendidos en el ejercicio 3 para resolver el problema.

4 Liliana le dió de un pastel a sus hijos. Del resto, le dió a su vecina.

a ¿Qué fracción del pastel le dío a su vecina?

b ¿Qué fracción del pastel le sobró?

Método 1 hijos

resto

A partir del modelo, podemos decir que:

Cantidad de partes dadas a la vecina = 3

Total de partes del entero

a Ella le dió 3 del pastel a su vecina.

vecina

sobró

= 10

10 1 b Le sobró del pastel. 10

Método 2

a 1  3 =

2 (resto) 5 5 3 2 3  = 4 5 10

3 10

Ella le dió del pastel a su vecina.

b 1 

3  3 = 1 5 10 10 1 Le sobró del pastel. 10

Capítulo 2: Fracciones (1)

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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 2b. • Asigne a sus estudiantes la Práctica 2 del Cuaderno de Trabajo 6A , págs. 17 a 22.

¡Practiquemos! 2b Resuelve estos problemas. Dibuja modelos de barra cuando sea necesario. 3

1 La señora Gómez tenía un terreno. Plantó ﬂ ores en 4 de 2 3

ese terreno. En de él plantó girasoles. ¿Qué fracción del terreno fue ocupado con girasoles?

1 2

7 9

2 Rodrigo ocupó de la mañana estudiando Matemática e Inglés. 4 7

Él ocupó del tiempo de estudio en Matemática. ¿Qué fracción del total de tiempo de estudio lo ocupó en Inglés?

1 3 5

3 Paulina tenía un trozo de hilo de 6 m de largo. Ella usó 5 de ese hilo para coser un botón en su vestido. ¿Cuánto el hilo le sobró? 1 m 3 7 12

3 5

4 Benjamín vendió de sus aves. De las aves restantes, eran pollos y las demás eran patos. ¿Qué fracción del total de las aves representan los patos que no se vendieron? 1

6 1

5 Jaime comió de una torta. Luego le dio del resto a sus hijos y guardó lo que le 5 6 2 sobró. ¿Qué fracción de la torta guardó? 3 1 3

6 Doña Ana usó de un pan de mantequilla para hacer unas galletas. Luego usó 5 del resto de la mantequilla para hacer unas tartaletas. ¿Qué fracción de la 8

mantequilla sobró? 2

1 4

7 Luisa gastó de su dinero en una blusa. Luego gastó del resto de dinero en un 9 5 1 par de zapatos. ¿Qué fracción de su dinero le sobró? 3 Cuaderno de Trabajo 6A, p 17, Práctica 2.

Capítulo 2: Fracciones (1)

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Objetivos: Multiplicación de una fracción impropia por una fracción propia o impropia

• usar calculadora para obtener el producto entre dos fracciones.

Actividad opcional • Indique a los estudiantes

que practiquen usando la calculadora para calcular los productos:

Concepto clave

(a)

• Multiplicar dos fracciones es equivalente a calcular una parte fraccionaria de otra fracción.

(b)

5 8 · 3 11 12 19 · 10 9

Habilidad • Comparar

Materiales • Calculadora científica

Gestión de la clase 1

• Repase “Multiplicación de fracciones propias” aprendido anteriormente y explique que

¡Aprendamos!

3 · 3 4 · 6 4 5 lo que ha sido explorado previamente. 6 5

Multiplicación de una fracción impropia por una fracción propia o impropia 6 5

3 4

1 Calcula el producto de y .

• Para explicar 6 · 3 utilice el

Puedo comprobarlo así:

6 3 6 3  =  5 4 5 42 3 3 = 5 2

6 3  5 4

siguiente procedimiento: 6

Paso 1: Muestre 5 con el modelo y explique que es mayor que 1 entero, por eso se utilizaron dos rectángulos para representar la fracción.

9 = 10

18 9 = 10 20

Paso 2: Explique que para representar 6

3 4

Presiona También puedo encontrar el resultado usando la calculadora.

ab/c

 3 ab/c 4 =

Pantalla

6 5 3 4 9 10

de 5 , 4 de las partes pintadas de azul debieran también ser achuradas con líneas rojas. Paso 3: La cantidad de cuadrados pintados con líneas rojas es 18. Dado que 1 entero tiene 20 partes iguales, la fracción que representa 6 · 3 18

es 20 que puede simplificarse 9 a 10 . Capítulo 2: Fracciones (1)

• Enseñe el procedimiento para encontrar el resultado usando la calculadora.

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Materiales

Actividad opcional

Trabajo personal

• Calculadora científica

• Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. Pídales que piensen en una fracción impropia y una fracción propia. Luego que dibujen modelos para representar el producto entre ambas fracciones.

• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 2c. • Asigne a sus estudiantes la Práctica 3 del Cuaderno de Trabajo 6A , págs. 23 a 24.

Gestión de la clase 2

• Evalúe a los estudiantes formativamente en el uso de la calculadora, pidiéndoles que calculen el producto entre una fracción impropia y una fracción propia o impropia.

Calcula el producto.

2 21 1  2 7 12

16 9  12 3 4

3 14 1  1 5 7 5

7 3 7  6 11 22

9 10 1  7 3 4 2

7 9 3  6 10 5 2

¡Practiquemos! 2c 1

Calcula el producto.

1 7 7  3 5 15

15 4  2 6 5

3 21 10  3 4 7 8

32 15  4 12

17 22 14  24 15 3 5

14 11  9 3

19 27

4 28 43  9 33 11 12

23 11  3 13

19 39

Cuaderno de Trabajo 6A, p 23, Práctica 3.

Capítulo 2: Fracciones (1)

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Objetivos: Multiplicación de un número mixto por un número natural Los estudiantes serán capaces de: • conceptualizar el significado de multiplicar un número mixto por un número natural. • utilizar el reagrupamiento para calcular el producto entre un número mixto y un número natural. • usar calculadora para encontrar el producto entre un número mixto y un número natural.

Concepto clave

Materiales

• El producto de un número natural por un número mixto se relaciona con el concepto de multiplicación de grupos y elementos anteriormente estudiado.

• Discos fraccionarios (Ver Apéndice 2 en las páginas 331 y 332) • Calculadora científica

Habilidad • Comparar

Gestión de la clase 1

• Explique a sus estudiantes ¡Aprendamos!

que el producto de 6 · 1 2 es el

Multiplicación de un número mixto por un número natural 1 2

1 Doña Laura tiene 6 hijos. Ella le dió a cada uno 1 galletas. ¿Cuántas galletas repartió en total?

6 · 1 2 representa 6 grupos de

6  1 2

12. • A continuación, utilice discos fraccionarios para mostrar que

6·12 =6· 3 =9 2 como muestra el libro del estudiante. • Luego explique y muestre cómo usar la calculadora para encontrar el producto entre un número natural y un número mixto.

6  2

3 2

9 enteros

Presiona

a /c b

Pantalla

C 1

mismo que 1 2 · 6. Relacione este problema con la propiedad conmutativa de la multiplicación. Explique que

a /c b

0 1 12

 6

Doña Laura repartió 9 galletas en total.

Capítulo 2: Fracciones (1)

1 2 = 2 1

1 2  6 es lo mismo que 1

6 veces 1 2 .

Usa la calculadora para encontrar el producto.

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Materiales

Actividad opcional

• Calculadora científica

• Pida a sus estudiantes que exploren la propiedad conmutativa de la multiplicación de un número mixto por un número natural. • Esta actividad dará a los estudiantes la oportunidad de practicar diferentes formas de obtener las respuestas.

Gestión de la clase 2

• Utilice esta actividad para evaluar si los estudiantes pueden multiplicar un número mixto y un número natural mediante una representación pictórica. • Los siguientes pasos se pueden utilizar para explicar este caso a los estudiantes: Paso 1: Primero exprese el número mixto como una fracción impropia. Paso 2: Multiplique el numerador y el número natural, manteniendo el denominador. Paso 3: Reagrupe la fracción impropia en enteros más una fracción propia Paso 4: Compóngalas para formar un número mixto. • Luego, los estudiantes pueden utilizar la calculadora para comprobar si han obtenido la respuesta correcta.

1 3

2 Calcula el producto de 2 y 5. 1

5  2 3

23 7

5  3

7 3

11 3

7 2  5 =  5 1 3

3 35 = 3

33 2 = 1 3 3

2 = 11 1 3 2 = 11 3

2 3 =

7 3 1

5 grupos de 2 3 es lo mismo que 11

2 3

Usa la calculadora para encontrar el producto.

Capítulo 2: Fracciones (1)

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Actividad opcional

Materiales

• Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. Pídales que exploren y piensen en dos conjuntos, cada uno formado por un número mixto y un número natural. El producto en el primer conjunto debe ser un número natural. El producto en el segundo conjunto no debe ser un número natural. Pida a las parejas que expliquen por qué el producto del primer grupo es un número natural mientras el producto del segundo grupo no es un número natural.

• Cuadrados de papel (ver Apéndice 3 en la página 333)

Gestión de la clase 3

Realiza esta actividad.

Tu profesor o profesora te entregará algunos cuadrados de papel que representan 1 1 entero. Para representar , dobla un cuadrado de papel en dos y córtalo en 2

mitades iguales.

• El propósito de esta actividad es reforzar la comprensión del concepto de multiplicar un número natural por un número mixto a través de una actividad concreta. b

a Usa cuadrados de papel para representar lo siguiente:

b Reordena las piezas de papel que representan 4  3

1 i 3 2

forman?

• Haciendo que los estudiantes reordenen el producto obtenido (con el material concreto) les ayudará a ver la relación entre la multiplicación y los productos obtenidos. • Usted puede explicar al final

1 2

1 entero

1 ii 4  3 2

1 iii 3  5 2

1 . ¿Cuántos enteros se 2

de la actividad que 4 · 3 2 4

puede ser calculado en

Realiza esta actividad.

2 partes: 4 · 3 y 4 · 2 . Hay 12 enteros en 4 · 3 y

2 enteros en 4 · 2 . Entonces el producto de

1 2

Usando el modelo que representa 4 , expresa esta cantidad como el producto de otro número mixto por un número natural.

1 1 4 = 2  2 4 2

Utiliza el mismo método para calcular el número que falta a continuación.

8 = 4  2

1 4

2 

4 · 3 2 es 14. = 4

1 1 2  = 2 4

1 8

Capítulo 2: Fracciones (1)

• Esta es una actividad inversa a la anterior y que ayuda a los estudiantes a entender el concepto de multiplicar un número natural por un número mixto.

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Materiales

Trabajo personal

• Calculadora científica

• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 2d. • Asigne a sus estudiantes la Práctica 4 del Cuaderno de Trabajo 6A , págs. 25 a 26.

¡Practiquemos! 2d 1 Calcula el producto sin usar la calculadora. Luego, comprueba tu resultado con la calculadora. Expresa tu resultado como un número mixto. a 1

1 1  3 = 4 2 2

1 2  3

1 b 2  2 = 4 2 3 3

2 3  2

Calcula el producto. Expresa tu resultado como un número mixto, si fuera posible.

a 3

9  33 126 11

3 2 b 14  2 36 5 5

6 2 c 38  5 200 7 7 Cuaderno de Trabajo 6A, p 25, Práctica 4.

Capítulo 2: Fracciones (1)

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Concepto clave

Objetivo: Problemas (2)

Habilidad

• Utilizar el concepto multiplicativo del todo y las partes para hallar el producto de un número natural y un número mixto.

Los estudiantes serán capaces de: • resolver problemas de hasta dos pasos aplicando el concepto de multiplicación entre un número natural y un número mixto.

• Aplicar los conceptos asociados a las cuatro operaciones.

Materiales • Calculadora científica

Gestión de la clase 1

¡Aprendamos!

Problemas (2) Puedes utilizar tu calculadora en esta sección.

1 En la clase de Arte, la señorita López le pidió a sus estudiantes que recortaran 1 2

1 círculos cada uno. Había 24 estudiantes en la clase. Luego, la señorita López reordenó los recortes para formar círculos completos. ¿Cuántos círculos formó en total? 1 2

1 estudiante

1 círculos

Presiona

24 estudiantes

1 24  1 2

1 12

= 36 círculos

Formó 36 círculos en total.

ab/c

Pantalla ab/c

 2 4

36 3 4

2 En una ﬁ esta había 40 invitados. Cada invitado comió 2 pizzas pequeñas. ¿Cuántas de esas pizzas comieron los invitados en total? 3 4

1 invitado

2 pizzas pequeñas

40 invitados

40  2

3 4

= 110 pizzas pequeñas

• Explique que en este problema se aplica el concepto del todo y las partes al multiplicar el número natural por el número mixto. • Se utiliza el método unitario para encontrar la solución. Los estudiantes pueden utilizar la calculadora para hallar el producto entre un número mixto y un número natural.

• Asigne este problema como evaluación formativa para asegurarse que los estudiantes sean capaces de utilizar el método unitario y realizar la multiplicación de un número mixto por un número natural.

Puedo usar la calculadora para encontrar el resultado.

Los invitados comieron 110 pizzas pequeñas en total.

Capítulo 2: Fracciones (1)

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Materiales

Actividad opcional

• Calculadora científica

• Pida a los estudiantes que trabajen en parejas para pensar en otra situación cotidiana en que se aplique la multiplicación de un número natural por un número mixto. • Pida a algunas parejas que presenten sus respuestas a todo el curso.

Gestión de la clase 3

• El propósito de este problema es calcular el área de un rectángulo sabiendo que la longitud de uno de sus lados es una medida expresada como número mixto y la del otro es una medida entera. Repase con los estudiantes la fórmula para encontrar el área de un rectángulo y cómo transformar un número mixto a decimal.

3 4

3 Ariel tiene un terreno rectangular de 12 m de largo y 7 m de ancho.

Calcula el área del terreno de Ariel. Expresa tu resultado como un decimal.

Área del terreno = largo  ancho

= 12 3  7

= 89,25 m2

3 5

4 Juan compró 4 trozos de carne. Cada trozo pesaba 2 kg. Cada kg costó $6500. ¿Cuánto pagó Juan por las 4 porciones de carne?

• Este problema de 2 pasos requiere que los estudiantes conceptualicen dos situaciones. Una situación es el cálculo de peso de las 4 porciones de carne, y la otra es el costo de la carne, dado el precio de 1 kg. • En ambas situaciones los estudiantes pueden utilizar el método unitario y aplicar la multiplicación de un número mixto por un número natural.

3 5

1 porción de carne

2 kg

4 porciones de carne

4  2

El peso de los 4 trozos de carne era 10 kg.

1 kg de carne

10 kg de carne

Juan pagó $67 600 por los 4 trozos de carne.

2 5

3 5

= 10 kg 2 5

2 5

$6500 2 5

10  $6500 = $67 600

Capítulo 2: Fracciones (1)

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Trabajo personal

Materiales

• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 2e. • Asigne a sus estudiantes la Práctica 5 del Cuaderno de Trabajo 6A , págs. 27 a 28.

• Calculadora científica

Gestión de la clase 5

5 Ana utilizó 3 botellas de jarabe para hacer algunos postres. Cada botella contenía 1 1  de jarabe. El precio de 1  de jarabe era $1980. ¿Cuánto dinero gastó en 2

jarabe?

1 botella

3 botellas

1 1 

3  1 1  2 1 = 4 

3 botellas contienen 4

1  de jarabe. 2

1  de jarabe

$1980

1 4  de jarabe 2

4 1  $1980

El precio total del jarabe que usó fue $8910.

= $ 8910

• Asigne este problema como una evaluación formativa para asegurarse que los estudiantes son capaces de resolver un problema de 2 pasos utilizando la multiplicación de un número natural y un número mixto para encontrar: (a) La cantidad de jarabe en las 3 botellas. (b) El precio total de las 3 botellas de jarabe.

¡Practiquemos! 2e Resuelve estos problemas. Escribe el desarrollo. 1 3

1 Bruno tiene 6 hijos. Le da a cada uno 2 de manzanas. ¿Cuántas manzanas repartió? 14 manzanas

2 Amalia corta una madeja de lana en 15 partes iguales. El largo de cada parte es 1 3 15 cm. ¿Cuál es el largo total de la lana? 228 cm 4 4 1 2

3 Miguel compró 3 bandejas de carne. Cada bandeja pesaba 1 kg. El precio de 1 kg. de carne es $4890. ¿Cuánto pagó por toda la carne que compró? $22 005 2 5

4 Beatriz compró un terreno de 12 m de largo y 5 m de ancho. El precio de 1 m² de tierra es $2200. ¿Cuánto pagó Beatriz por el terreno?

$142 560

Cuaderno de Trabajo 6A, p 27, Práctica 5.

Capítulo 2: Fracciones (1)

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Objetivos: Reparto equitativo de una cantidad fraccionaria Los estudiantes serán capaces de: • comprender el significado de dividir una fracción por un número natural. • utilizar 3 métodos diferentes para dividir una fracción por un número natural.

Habilidades

Concepto clave

• Comparar • Analizar las partes y el todo

• La división de fracciones consiste en dividir cada parte fraccionaria en partes más pequeñas.

Gestión de la clase 1

• Explique el contexto del problema y guíe a los estudiantes para que comprendan que dividir una fracción por un número natural dará nuevamente un valor fraccionario. Método 1: Dibuje un modelo mostrando 2 partes iguales, 1 donde 1 parte representa 2 de la torta. A continuación dibuje otro modelo mostrando 3 partes iguales que correspondan a 1 parte del primer modelo para 1 representar el reparto de 2 de torta entre 3 niños. Método 2: Enfatice que

¡Aprendamos!

Reparto equitativo de una cantidad fraccionaria 1 La mitad de una torta es repartida entre 3 niños. ¿Qué fracción de la torta recibirá cada niño?

1 2 1 de la torta 2

la multiplicación de dos fracciones propias para hallar 1 la respuesta de 6 .

1 1 1 : 3 = de 3 2 2 1 3

= 

= 6

Dividir una cantidad por 3 es lo mismo que

1 2

calcular 3 de ella.

1 6

Cada niño recibió de la torta.

Método 3

1 1 1 : 3 =  2 3 2 1 = 6

:3= 2 · 3 = 6 Este es el concepto de “invertir la fracción divisor y multiplicar”. Esto quiere decir que dividir por 3 es lo mismo

Método 2

: 3 debe ser interpretado 1 1 como 3 de 2 . Luego utilice

1 2

1 1 : 3 = 2 6

A partir del modelo de barras, podemos decir que cada niño recibió de 6 la torta.

1 2

Método 3: 1 1 1 1 Como 3 · 2 = 2 · 3 , podemos escribir:

Método 1

Multiplica 2 por 3 .

1 6

Cada niño recibió de la torta. 48

Capítulo 2: Fracciones (1)

que multiplicar por 3 .

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Actividad opcional • Pida a los estudiantes que piensen en una situación cotidiana que requiera el uso de la división de una fracción por un número natural.

Gestión de la clase 2 3 2 Si un alambre de m de largo, se corta en 6 trozos iguales. ¿Cuánto mide cada 5

• Asigne este problema como una evaluación formativa para asegurarse que los estudiantes sean capaces de utilizar los 3 métodos descritos en 1 para resolver el problema.

trozo del alambre?

Método 1 3 5

1m m

1 3 : 6 = 10 m 5 ?

1 A partir del modelo de barras, podemos decir que cada parte mide m. 10

Método 2

3 3 1 : 6 = de 5 5 6

1 3 =  6 5

1 = m 10

1 Cada parte mide m. 10

Método 3

Cada parte es

1 3 de 5 m. 6

3 3 1 : 6 =  6 5 5

1 = 10 m

1 Cada parte mide m. 10

Capítulo 2: Fracciones (1)

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Actividad opcional • Si los estudiantes no estaban preparados para realizar la actividad opcional de la página anterior, se les puede solicitar que la hagan en este momento del estudio.

Gestión de la clase 3

• Promueva que sus estudiantes utilicen tanto el Método 1 como el Método 2 para resolver problemas relacionados con la división de una fracción por un número natural.

4 7

3 Un melón que pesa kg. se corta en 2 pedazos iguales. ¿Cuánto pesa cada uno de los pedazos?

Método 1

1 kg 4 7 kg

• Evalúe si los estudiantes son capaces de usar diferentes métodos para dividir una fracción por un número natural.

A partir del modelo de barras, podemos decir que cada pedazo de melón

pesa kg.

Método 2

: 2 = 

4 7

= kg

Cada pedazo de melón pesa kg.

2 7

1 2

2 7

4 Calcula

9 : 3. 11

Método 1

9 11

Método 2

9 9 1 : 3 =  11 11 3

= 50

9 3 : 3 = 11 11

A partir del modelo de barras, vemos que

3 11

Capítulo 2: Fracciones (1)

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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 2f.

Gestión de la clase 5

Realiza esta actividad. Trabaja en parejas. Usa modelos de barras como ayuda, para calcular el resultado. Luego comprueba tu resultado utilizando el método de multiplicar. 1 a Divide por 3. 4

Comprueba: : 3 = de 3 4 4

1 b Divide por 5. 3

1 1  3 4 1 = 12 =

• Esta actividad promueve reforzar la resolución de problemas que impliquen la división de una fracción por un número natural usando: (a) La representación con modelos de barra y el método unitario. (b) El método de invertir la fracción divisor y multiplicar.

¡Practiquemos! 2f 1 Divide.

2 1 2 : 4 =  7 4 7

2 2 1 : 8 =  3 3 8

3 1 : 12 4 16

= 14

1 12

6 2 : 9 7 21

2 Dibuja un modelo de barras para resolver cada división.

6 2 : 3 11 11

8 : 4 9

2 9

2 : 4 1 5 10

3 : 2 7

3 14

3 Resuelve estos problemas. Dibuja modelos de barra si lo necesitas.

4 a Una caja contenía manzanas verdes y rojas. de las manzanas eran rojas. 5

Todas las manzanas rojas fueron repartidas en partes iguales entre 8 estudiantes. ¿Qué fracción del total de manzanas recibió cada niño? Capítulo 2: Fracciones (1)

1 10 51

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Materiales

Trabajo personal

• Calculadora científica

• Asigne a sus estudiantes la Práctica 6 del Cuaderno de Trabajo 6A , págs. 29 a 32.

b Manuel repartió equitativamente

9 de una torta entre Loreto, Marcela y 10

Fernando. ¿Qué fracción de la torta recibió cada uno de ellos?

3 10

4 c Un pedazo de género rectangular tiene un área de m2. Julia lo corta en 9

3 trozos del mismo tamaño. ¿Cuál es el área de cada trozo cortado?

4 2 m 27

3 d Una tabla de madera de m de largo fue cortada en 5

4 partes de igual longitud. Calcula el largo de cada una de las partes de la tabla.

3 m ó 15 cm 20

1 5 e La señora Paz le dio de su dinero a Alicia y del 3 12

dinero a Jaime. Luego depositó el resto del dinero equitativamente en 3 cuentas distintas. ¿Qué fracción de su dinero depositó en cada cuenta?

1 12

3 f Martín compró  de néctar de durazno y lo vació en 6 vasos iguales. 8

Calcula qué cantidad de néctar hay:

1  16 5 ii en 5 vasos.  16 i en cada vaso.

5 9

Cristina compró kg de harina. Ella lo empaquetó en 15 bolsas con la misma cantidad. i Calcula el peso de 1 bolsa de harina, en kg.

1 kg 27

ii Ella vendió 7 paquetes. ¿Cuántos kilos de harina vendió?

7 kg 27

Cuaderno de Trabajo 6A, p 29, Práctica 6.

Capítulo 2: Fracciones (1)

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Objetivos: Problemas (3)

Habilidades

Concepto clave • El concepto de las 4 operaciones y el de fracción de una cantidad.

Los estudiantes serán capaces de: • resolver problemas de hasta dos pasos usando la multiplicación y división de fracciones.

• Comparar • Aplicar los conceptos asociados a las cuatro operaciones • Analizar las partes y el todo

Gestión de la clase 1

¡Aprendamos!

Problemas (3) 1 2

1 3

1 Don José tenía 240 frutas en su almacén. Vendió de ellas a Luis y a Marta.

a ¿Cuántas frutas vendió Don José en total?

b ¿Cuántas frutas le quedaron?

Método 1

2 de 6 partes = 2  6

= 3 partes

1 1 de 6 partes = 3  6 3

6 es múltiplo común de 2 y 3. Dibuja un modelo con 6 partes iguales.

= 2 partes

240 frutas

1 3

1 2

sobra

A partir del modelo, podemos ver que: 6 partes 240 frutas 1 parte

240 : 6 = 40 frutas

5  40 = 200 frutas a Don José vendió 200 frutas.

5 partes

b Le sobraron 40 frutas.

Método 2 1 3 = 2 6

Método 3 2 1 = 6 3

La fracción de frutas vendidas es 5 2 3 1 = . 6 6 6

1  240 = 120 2

1  240 = 80 3

5 5 6 6 a Don José vendió 200 frutas.

de 240 =  240 = 200 frutas

a Don José vendió 120 1 80 = 200 frutas. b Le sobraron 240  200 = 40 frutas.

b Le sobraron 240  200 = 40 frutas. Capítulo 2: Fracciones (1)

• Explique a los estudiantes que este problema involucra el concepto de las partes y el todo. El todo es el conjunto de las frutas que tenía Don José y las partes son las frutas vendidas a Luis, Marta, y las frutas que no fueron vendidas. Método 1: Dibuje un modelo que represente las 3 partes del todo: las frutas vendidas a Luis, a Marta y las que no fueron vendidas. A continuación, utilice el método unitario para relacionar la cantidad de partes con la cantidad de frutas. Método 2: El concepto de las partes y el todo es utilizado para encontrar la parte fraccionaria vendida, utilizando la adición. Luego, se aplica la fracción de un conjunto para hallar las cantidades que corresponden a las partes vendidas y no vendidas. Método 3: Es similar al Método 2, excepto que se aplica la fracción de un conjunto para encontrar la cantidad de frutas comprada por cada uno individualmente, antes de aplicar el concepto de las partes y el todo para encontrar la cantidad de frutas que no se vendieron. Este método es el inverso del Método 2.

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Materiales • Calculadora científica

Gestión de la clase 2

• Asigne esta actividad como evaluación formativa para asegurarse que los estudiantes sean capaces de aplicar los conceptos y estrategias utilizadas en 1 para resolver problemas similares. Los estudiantes debieran conocer todos los métodos para que puedan elegir cualquiera de ellos al enfrentar futuros problemas.

Don Juan tiene en su huerto 312 vegetales, entre zanahorias, tomates, y 2

1 4

zapallos. Las zanahorias son 3 del total y los tomates . El resto de las plantas son zapallos. ¿Cuántas plantas de zapallo tiene?

Método 1

2  12 3 = 8 partes 1 1 de 12 partes =  12 4 4 = 3 partes 2

3 de 12 partes =

12 es múltiplo común de 3 y 4. Dibuja un modelo con 12 partes iguales.

312 vegetales zanahorias

A partir del modelo, podemos ver que:

12 partes 1 parte

Don Juan tiene 26 plantas de zapallos.

Método 2

2 8 = 12 3

8 12

3 12

312 vegetales 312 : 12 = 26 vegetales

1 4

1   =

1 1 de 312 =  312 12 12

3 12

1 12

tomates zapallos

= 26 zapallos

Don Juan tiene 26 plantas de zapallos. Capítulo 2: Fracciones (1)

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Actividad adicional • Pida a los estudiantes que piensen en 2 fracciones que se ajusten al modelo planteado en un contexto similar al de 3 . Destaque que hay dos enteros. Las dos fracciones deben provenir de dos enteros distintos. Pídales que expliquen cuáles son los enteros, cuántas partes hay en cada entero y cuál es la parte fraccionaria considerada en cada entero.

Gestión de la clase 3 1 3

1 4

3 Rita tenía $4800. Ella usó para comprar un libro. Luego, del resto gastó en un helado. ¿Cuánto dinero le quedó?

Método 1 $4800

libro

helado

resto

A partir del modelo, vemos que:

6 partes

$4800

1 parte

3 partes

3  $800 = $2400

480 = $800 6

Primero, dibujo un modelo con 3 partes. Pinto 1 parte para indicar la cantidad gastada en el libro.

libro resto Luego, divido el modelo nuevamente para señalar la parte del resto que se gastó en el helado. helado

A Rita le quedaron $2400.

Método 2 1 1 de $4800 =  $4800 3 3

Rita gastó $1600 en el libro.

$4800 – $1600 = $3200

Después de comprar el libro, le quedaron $3200.

1  =

3 3 de $3200 =  $3200 4 4

A Rita le quedaron $2400.

= $1600

1 4

• Pida a los estudiantes que lean el problema y lo comparen con el 1 . Pregúnteles cuáles son las similitudes y las diferencias entre estos dos problemas. • Los estudiantes debieran ser capaces de ver que 1 se refiere a la fracción de una cantidad, mientras que 3 comprende fracciones referidas de dos enteros distintos. En este problema, el primer entero es la cantidad de dinero que Rita tenía y el segundo entero es el dinero restante después de comprar un vestido. • Explique y muestre los dos métodos para resolver el problema: (a) Dibujo de modelo y método unitario. (b) Método de la fracción de un conjunto.

3 4

= $2400

Capítulo 2: Fracciones (1)

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Actividad adicional • Si usted considera que sus estudiantes no estaban preparados para hacer la actividad adicional en la página anterior, pida que la hagan después de 4 .

Gestión de la clase 4

• Pida a los estudiantes que lean el problema y lo comparen con el 3 . Pregúnteles cuáles son las similitudes y las diferencias entre estos dos problemas. • Los estudiantes debieran darse cuenta que ambos problemas tratan con fracciones que provienen de dos enteros distintos. En este problema, las partes restantes deben dividirse en partes más pequeñas. Sin embargo para 3 , no se requiere dividir las partes restantes en partes más pequeñas porque es posible encontrar la fracción del entero. • Explique y muestre el modelo y el método unitario para resolver el problema.

1 5

4 En una prueba compuesta por las secciones A, B y C, David ocupó de su tiempo 1 3

en la Sección A, del tiempo restante en la sección B y el resto del tiempo en la sección C. Si estuvo 48 minutos en la sección C, ¿Cuánto tiempo le tomó a David contestar la prueba completa?

Método 1 Sección A

Sección C 48 min

Sección B

A partir del modelo, vemos que:

8 partes

48 min

1 parte

6 min

15 partes

90 min

David ocupó 90 min en contestar la prueba.

Método 2 1 3

4 5

 =

4 (Sección B) 15

1 4 3 4 7 1 = 1 = (Sección A y B) 15 15 15 15 5 8 7 1  = (Sección C) 15 15

8 15

48 min

15 15

90 min

David ocupó 90 min en contestar la prueba.

Capítulo 2: Fracciones (1)

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Actividad adicional • Pida a los estudiantes que piensen en 2 fracciones que se ajusten al modelo planteado en un contexto similar al de 5 . Destaque que hay dos enteros. Las dos fracciones deben provenir de dos enteros distintos. Pídales que expliquen cuáles son los enteros, cuántas partes hay en cada entero y cuál es la parte fraccionaria considerada en cada entero.

Gestión de la clase 5 1 3

• Utilice este problema para evaluar formativamente si los estudiantes entienden el problema y aplican las estrategias y métodos usados en 3 .

5 Michelle preparó una mezcla de jugos de manzana, zanahoria y apio. de la 2 5

mezcla era jugo de manzana y del resto era jugo de apio. 315 ml de la mezcla era jugo de apio. ¿Qué volumen de la mezcla era jugo de zanahoria?

15 es un múltiplo común de 3 y 5. Dibuja un modelo que esté compuesto por 15 partes iguales.

manzana

apio

zanahoria

315 ml

A partir del modelo, vemos que: 315 ml 4 partes

1 parte

6 partes

• Asigne este problema como evaluación formativa para asegurarse que los estudiantes entienden el problema y aplican la estrategia y método utilizado en 4 para resolver un problema similar.

315 ml 4 1 315 6  = 472 ml 2 4

315 : 4 =

1 472 ml de la mezcla es jugo de zanahoria. 2 1 3

6 Gonzalo le dio a su primo de su colección de estampillas. Le dio a su hermana 5 6

del resto y le quedaron 80 estampillas. ¿Cuántas estampillas tenía al principio?

primo

A partir del modelo, vemos que:

1 parte

hermana

80 estamplillas

80 estampillas

9 partes

9  80 = 720 estampillas

Gonzalo tenía 720 estampillas al principio.

Capítulo 2: Fracciones (1)

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Materiales

Trabajo personal

• Calculadora científica

• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 2g.

¡Practiquemos! 2g Resuelve estos problemas. Escribe el desarrollo.

1 Estela tenía para vender 288 entradas para un evento de caridad. Estela logró 1 3

2 9

vender de las entradas en su colegio y entre sus amigos.

a ¿Cuántas entradas vendió?

b ¿Cuántas entradas quedaron sin vender?

160 entradas 128 entradas 1

2 Margarita tenía $9600. Gastó 4 del dinero en una revista y 6 del resto en un pastel. ¿Cuánto dinero le quedó?

$6000

3 Ximena demoró 1 h 40 minutos en completar una carrera de 3 vueltas. Demoró

1 1 del tiempo total en correr la primera vuelta y del tiempo restante en correr 4 3

la segunda vuelta. El resto del tiempo lo usó en correr la tercera vuelta. ¿Cuántos minutos demoró en correr la tercera vuelta de la carrera?

50 min

4 El señor Gutiérrez tenía un trozo de cordel. Usó para amarrar unas cajas. 4 5 9

Después usó del resto en hacer una cuerda para que saltara su hija. Le sobraron 120 cm. de cuerda. ¿Cuál era el largo de la cuerda que usó para amarrar las cajas? 90 cm

Oscar tenía una colección de 216 insectos entre mariposas, abejas y escarabajos. 5

7 de los insectos eran 12

mariposas, 9 del resto eran abejas y los demás eran escarabajos. ¿Cuántos escarabajos había en su colección? 40 escarabajos

Capítulo 2: Fracciones (1)

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Objetivo de la actividad

Trabajo personal

• Mediante la identificación de errores, los estudiantes podrán afianzar su comprensión de los procedimientos para dividir una fracción por un número natural y multiplicar dos fracciones propias.

• Asigne a sus estudiantes la Práctica 7 y el “Diario matemático” del Cuaderno de Trabajo 6A , págs. 33 a 36.

Gestión de la clase 6 María compró una bolsa de dulces surtidos que contenía paletas, gomitas y 1

2 3

masticables. 4 de los dulces eran paletas, del resto eran gomitas y los demás eran masticables. Si había 48 gomitas, ¿Cuántos masticables había?

24 masticables

Cuaderno de Trabajo 6A, p 33, Práctica 7.

Diario matemático

Adela y Boris hicieron incorrectamente los siguientes cálculos. Expliquen y corrijan sus errores. 2 2 a Adela: : 3 = 3 9 2 4 6 b Boris:  = 9 11 20

(¡Resumamos!) • Repase con los estudiantes los objetivos de cada sección ¡Aprendamos! de este capítulo. • Esto ayuda a verificar si los estudiantes han aprendido los contenidos estudiados. • Puede pedir a sus estudiantes que piensen en un ejemplo de problema para cada uno de los objetivos de aprendizaje. Pida a algunos estudiantes que presenten sus problemas y respuestas a la clase.

Ella dividió el denominador por 3. En lugar de ello debería haber multiplicado el denominador por 3. Él sumó los numeradores y denominadores por separado. Debería haber multiplicado los numeradores y denominadores entre sí.

¡Resumamos!

Has aprendido a: • Calcular el producto entre fracciones propias • Calcular el producto entre una fracción impropia por otra fracción propia o impropia • Calcular el producto de un número mixto por un número natural usando una calculadora • Dividir una fracción propia por un número natural

Capítulo 2: Fracciones (1)

(Diario matemático) • Este diario requiere que los estudiantes expliquen y corrijan los errores que Adela y Boris cometieron en sus cálculos. • En el proceso de buscar los errores, los estudiantes deben reflexionar y aplicar los conceptos que han aprendido.

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Gestión de la clase (¡Repasemos!) • Realice el ejemplo resuelto con los estudiantes. Use el problema para asegurarse que los estudiantes han entendido los conceptos aprendidos en el capítulo y pueden relacionarlos con este ejemplo resuelto.

¡Repasemos! 7 8

4 5

Julia tiene un trozo rectangular de tela de m de largo y m de ancho. Ella decide compartirlo equitativamente con una amiga. a

¿Cuál es el área de la tela que tiene Julia?

Método 1 7 4 7 4  = 8 5 8 5

= 40

= 10 m2

El área de tela que tiene Julia es 10 m2.

Método 2 1

7 4 7 4  = 8  5 8 5 2

= 10 m2 7

El área de tela que tiene Julia es 10 m2. b

¿Cuál es el área de la tela que recibe la amiga? 7 7 1 : 2 = 10  2 10

= 20 m2 7

El área de la tela que recibe la amiga es 20 m2.

Capítulo 2: Fracciones (1)

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Habilidades

Objetivo de la actividad

Materiales

• Identificar patrones y relaciones • Visualizar

• Estas actividades permiten a los estudiantes usar las estrategias de identificar patrones y dibujar modelos para resolver los problemas.

Heurísticas para resolver problemas • Buscar un patrón • Dibujar un modelo

• Calculadora científica

Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes el “Desafío” y “Piensa y resuelve” del Cuaderno de Trabajo 6A , págs. 37 a 38. • Asigne a sus estudiantes el Repaso B del Libro del Alumno 6A , págs. 62 y 63.

Gestión de la clase (¡Activa tu mente!) 1

• Esta actividad requiere que los estudiantes identifiquen un patrón en un conjunto de medidas dada. Luego, usando el patrón, el valor desconocido puede ser determinado. • Note que en a , cada medida se obtiene multiplicando el valor anterior por 3. Sin embargo, en b cada medida se obtiene sumando un múltiplo de 4 creciente, al valor anterior.

¡Activa tu mente! 1

Calcula el peso faltante en cada secuencia. 1 de 18 kg 3

a 2000 g

3 b 7000 g

3 11 000 g

+4 kg

3

1 de 228 kg 12

+8 kg

1 de 486 kg 3

54 kg

18 000 g

3 31 kg

+12 kg

1 4

1 de 37 600 g

+16 kg

2 En un exámen, Daniel se ubica en la posición 31. Su posición en la clase era justo 5 9

examen? 54 estudiantes

Camilo compró 10 autos de juguete del mismo tipo. Nelson compró 1 2 veces la cantidad de autos de Camilo. El precio total de los autos de los dos niños fue $7500. ¿Cuál fue el precio de cada auto de juguete? 1

1  10 = 15 2

Cantidad total de autos de juguete: 10 + 15 = 25 25 autos de juguete 1 auto de juguete

$7500 $7500 : 25 = $300

Capítulo 2: Fracciones (1)

• Entonces, 9 de todos los estudiantes es 30. Usando el método unitario: 5 partes → 30 1 parte → 6 9 partes → 54 La cantidad de estudiantes es 54. 3

El precio de cada auto de juguete fue $300. Cuaderno de Trabajo 6A, p 37, Desafío.

• Puede utilizar el dibujo de modelos y el método unitario para encontrar la respuesta. Para ayudar a los estudiantes a que entiendan el concepto, use una secuencia numérica: Posición: 1, 2, 3, …, 30, 31, …

detrás de de los estudiantes. ¿Cuántos estudiantes estaban sentados para el

• Cuaderno de Trabajo 6A, p 38, Piensa y resuelve.

Los estudiantes necesitan conocer y utilizar la multiplicación entre un número mixto y un número natural para encontrar a cantidad de autos que Nelson tenía. Luego, aplicando el método unitario, puede hallarse el precio de cada juguete.

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3 : 6 4

7 3 – 8 5 1 8

11 40

$518 por m³

Por cada 1 m³ usado, por sobre los 40 m³

98 523

5 6

2 3

c 4

1 7  5 2

a 8 – –

7 14 10

1 62 d

13 1  1 6 2

3 7 – 10 5

b 5

1 34

9 3 10

Repaso B

Don Antonio manejó un auto desde la ciudad A hasta la B. El tiempo total que 1 3 1 empleó fue de 4 h. Él manejó 2 h seguidas. Descansó h antes de terminar el 4 8 4 viaje. ¿Cuánto demoró en el último tramo de su viaje? 1 5 h 8

La familia García consumió 55 m³ de agua cierto mes. ¿Cuánto es el costo de esa cantidad de agua? $18 930

$279 por m³

Por los primeros 40 m³ utilizados

En cierta zona, las tarifas por consumo de agua son:

5 Expresa cada respuesta como número mixto en su forma más simple:

2 3

3 8  4 9

2 ¿Cuál es el mayor número impar que se puede hacer con los dígitos 8, 2, 3, 9 y 5?

19 24

1 2 + 8 3

1 Calcula el valor de:

Repaso B

3 P representa 1 4 1 Q representa 2 2

7 En la recta, la distancia entre 1 y 2 es cuatro veces la distancia entre P y 2. La distancia entre Q y 2 es la mitad de la distancia que hay entre 2 y 3. ¿Qué números representan P y Q?

6 Alexis tiene t años. Su padre tiene 4 veces su edad. Escriba una expresión algebraica para la edad del padre en 7 años más. (4t + 7) años

Calcula las distancias: 1 a A + B 4 3

b B + C 8

Figura 2

b ¿Qué figura está formada por 100 cuadrados?

Figura 3

c A + C 6

Figura 10

a ¿Cuántos cuadrados se necesitan para la Figura 7?

Repaso B

Figura 1

* 9 Cada figura de abajo está hecha de cuadrados.

1 3

* 8 El tramo entre 0 y 2 de la recta numérica se ha dividido en tres partes iguales. El tramo entre 2 y 4 se ha dividido en cuatro partes iguales, y el tramo entre 4 y 6 se dividió en dos partes iguales.

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22-10-13 12:36

Fracciones (1)

Curso:

Fecha:

1 

5 24

Capítulo 2: Fracciones (1)

(2) Calcula: 1 5 1 (a) 3 de 8 =

1 3 de = 2 4

3 4



(b) 7 de 11 =

(1) Observa el modelo. Luego completa los espacios en blanco.



Práctica 1 Multiplicación de fracciones propias

Nombre:

PSL_6A_TG_C02b.indd 68

22-10-13 12:36



= 66

(a) 11  12 =  11 12 6

3 1 3  = 8 2 16

(5) Calcula:

(a)

2 2 7 de 10 = 5

(4) Calcula:

(a)

(3) Calcula:

105



Capítulo 2: Fracciones (1)

= 6

(b) 8  9 = · 82 9 3

(b) 12  8 = 96

(b) 4 de 9 =

Curso:

3 h en terminar el trabajo, ó 36 minutos. 5

1 km. 6

Capítulo 2: Fracciones (1)

Karina corrió

2 3 1 · = 93 4 2 6

7  de leche en el recipiente. 10

(3) Fabiola corrió 4 km en una carrera. Karina corrió 9 de la distancia que corrió Fabiola. ¿Qué distancia corrió Karina?

Laura vertió

4 7 7 · = 5 82 10

(2) Laura tenía una botella que contenía 8  de leche. Vertió 5 de la leche en un recipiente. ¿Qué volumen de la leche vertió en el recipiente?

Marcela se demoró

4 3 3 · = 5 41 5

terminar el trabajo? Expresa el resultado en horas y en minutos.

Fecha:

(1) Silvana terminó un trabajo en 4 de hora. Marcela terminó el mismo trabajo en 4 del tiempo que demoró a Silvana. ¿Cuánto tiempo se demoró Marcela en 5

Resuelve estos problemas. Escribe el desarrollo.

Práctica 2 Problemas (1)

Nombre:

PSL_6A_TG_C02b.indd 69

22-10-13 12:36

de ser embalados.

Capítulo 2: Fracciones (1)

1 de los computadores fueron despachados inmediatamente después 6

1 1 1 · = 6 2 3

1 despachados 2

1 embalados 3

fueron despachados inmediatamente?

despachados inmediatamente. ¿Qué fracción de los computadores de la fábrica

(5) Ricardo trabajaba en una fábrica embalando computadores. Embaló 3 de todos 1 los computadores en la mañana. 2 de los computadores que embaló fueron

2 de las manzanas son rojas. 5

1 4 2 · = 5 21 5

manzanas rojas

manzanas

(4) Leonardo compró algunas frutas. 5 de ellas son manzanas. de las manzanas 2 son rojas. ¿Qué fracción de las manzanas compradas son rojas?

Resuelve estos problemas. Escribe el desarrollo. Dibuja modelos de barra para ayudarte en caso necesario.

Capítulo 2: Fracciones (1)

Los tomates frescos pesaban 8 kg.

3 51 3 · = 8 5 8

1 – 5 = 5 (tomates frescos)

frescos

tomates podridos

frescos?

(7) Ema compró 8 kg de tomates para hacer una ensalada. 5 de los tomates estaban podridos y el resto estaban frescos. ¿Cuánto pesaban los tomates

Doña Inés usó 5 del total de los huevos, para hacer las galletas.

2 3 2 · = 5 31 5

galletas

galletas y pan de huevo

galletas. ¿Qué fracción del total de los huevos fue usada para hacer las galletas?

(6) Doña Inés tenía algunos huevos en un canasto. Ella sacó 5 de los huevos para 2 hacer galletas y pan de huevo. Usó 3 de los huevos que sacó para hacer las

PSL_6A_TG_C02b.indd 70

22-10-13 12:36

sueldo restante 1

1 1

2 1 = del sueldo total fue ahorrado. 6 3

2 5 1 · = 5 1 63 3

1 5 1 – 6 = 6 (sueldo restante)

Capítulo 2: Fracciones (1)

niños sin anteojos.

1 del total de los estudiantes eran 12

1 1 1 · = 12 3 4

Cantidad de niños sin anteojos = 1 parte

1 Fracción de niños sin anteojos = 12

1 – 4 = 4 (estudiantes sin anteojos)

Método 2

En base al modelo, vemos que: Cantidad total de estudiantes = 12 partes

niños

estudiantes estudiantes con anteojos sin anteojos

Método 1

anteojos?

(9) En una clase, 4 de los estudiantes usaban anteojos. 3 de los estudiantes que no usaban anteojos eran niños. ¿Qué fracción del total de estudiantes eran niños sin

Método 2

Fracción del sueldo ahorrado = 6 = 3

ahorrado A partir del modelo, vemos que: sueldo total = 6 partes Cantidad ahorrada = 2 partes

dado a la mamá

Método 1

(8) Paola le dio 6 de su sueldo a su mamá y ahorró 5 del sueldo restante. ¿Qué fracción del sueldo total ahorró Paola? 2

láminas medianas

1 de las láminas eran pequeñas. 3

5 2 3 1 – 9 = 9 = 3 9

láminas pequeñas

resto

2 5 2 · = 9 (láminas medianas) 51 9

1 – 9 = 9 (resto)

láminas grandes

¿Qué fracción de las láminas eran pequeñas?

del resto eran medianas. El resto de las láminas eran pequeñas.

Capítulo 2: Fracciones (1)

1 3 1 · = 16 (ranas) 62 8

5 3 1 – 8 = 8 (resto)

grullas

origami eran saltamontes?

5 de los animales en origami, eran saltamontes. 16

3 1 5 – 16 = 16 8

ranas saltamontes

resto

eran ranas. El resto eran saltamontes. ¿Qué fracción de los animales hechos en

(11) Nelson hizo algunos animales en origami. 8 de ellos eran grullas y 6 del resto

(10) Sonia tenía láminas de tres tamaños diferentes. 9 de las láminas eran grandes y 5

Resuelve estos problemas. Escribe el desarrollo. Puedes usar tu calculadora en caso que sea necesario.

PSL_6A_TG_C02b.indd 71

22-10-13 12:36

Capítulo 2: Fracciones (1)

7 de las monedas son extranjeras y no argentinas. 36

7 1 7 · = 36 9 4

1– 9 = 9

monedas son extranjeras y no argentinas?

extranjeras. 9 de las monedas extranjeras son de Argentina. ¿Qué fracción de las

(13) Karen colecciona monedas nacionales y extranjeras. 4 de sus monedas son

7 de las rosas eran rojas. 18

7 2 7 · = 18 12 3

1 – 12 = 12

eran rojas. ¿Qué fracción de las rosas eran rojas?

2 5 (12) 3 de las flores de un jardín eran rosas. 12 de las rosas eran amarillas y el resto

Curso:

Fecha:

8 1  = 3 4

3 1  = 2 2

Capítulo 2: Fracciones (1)

11 1  = 2 3

(2) Observa el modelo y calcula el producto

(b)

11 1  . 2 3

(1) Observa el modelo. Luego completa los espacios en blanco. (a)

Práctica 3 Multiplicación de una fracción impropia por una fracción propia o impropia

Nombre:

PSL_6A_TG_C02b.indd 72

22-10-13 12:36

(e)

(g)

(c)

(f )

(d)

2 11 3 30 7  = 9 2

1 10 2 21 15  = 5 6

1 1 7 6  = 20 8 5

25 32

9 2  = 8 7

16 21  = 7 2

15 3  = 9 20

1 11 4 25 18  = 4 10

Capítulo 2: Fracciones (1)

11 2 14 5 (h)  = 12 8 3

(f )

5 89 11 28 (d)  = 12 3

32 36 (b)  = 9 8

Calcula el producto de las fracciones.

7 1  4 3

2 15  = 1 5 4

4 8 3  = 3 10

15 5  = (a) 12 8

(c)

(4)

(a)

(b)

Calcula el producto de las fracciones. Expresa tu resultado de la forma

más simple.

(3)

Curso:

Fecha:

(b)

(a)

1 3

= 14

 62

 21

1 2  2

= 3

2  6 =

1 2

1  2 =

Capítulo 2: Fracciones (1)

Comprueba tus resultados usando la calculadora.

2 3  6

(1) Observa el modelo. Luego completa los espacios en blanco.

Práctica 4 Multiplicación de un número mixto por un número natural

Nombre:

PSL_6A_TG_C02b.indd 73

22-10-13 12:36

(3)

(2)

1 2

(g) 9  2 =

1 3

(e) 15  2 =

3 7

36 7

1 (c) 32  3 = 100

Calcula el producto.

(a) 4  18 =

(e) 14  2 = 38 9

5 (c) 24  1 = 44 6

1 5

(a) 4  15 = 63

Calcula el producto.

1 28 2 3 = 8

21 5

Capítulo 2: Fracciones (1)

3 15 4 1 (h) 7  2 = 4

(f ) 12  2

4 5

(d) 1  12 =

3 (b) 2  16 = 44

(f ) 26  1 = 30 6

5 (d) 21  2 = 53 9

(b) 2  28 = 68 7

Curso:

1 4

Fecha:

= 18



vasos de jugo

1 4

2 vasos de jugo

2 3

Los 8 invitados bebieron 18 vasos de jugo en total.

8 invitados

1 invitado

= $26 000

8 3 · $3000

$3000

Capítulo 2: Fracciones (1)

= 45 m Él usaría 45 m de cuerda.

20 · 2

9 4

20 · 2 4

20 paquetes

24 m 1 paquete

¿Cuántos metros de cuerda usaría?

(3) Cristóbal amarra un paquete con 2 m de cuerda. Si amarra 20 paquetes iguales.

1 4

René pagó $26 000 por la compra de pollo.

2 8 3 kg

1 kg

René por el pollo que compró?

(2) Un kilogramo de pollo cuesta $3000. René compró 8 kg de pollo. ¿Cuánto pagó

vasos de jugo bebieron en total los 8 invitados?

(1) En una ﬁ esta había 8 invitados. Cada invitado bebió 2 vasos de jugo. ¿Cuántos

Puedes utilizar la calculadora en esta sección.

Práctica 5 Problemas (2)

Nombre:

PSL_6A_TG_C02b.indd 74

22-10-13 12:37

7 5

Capítulo 2: Fracciones (1)

12 · 2 = 33 kg 4 Su familia consume 33 kg de arroz en un año. 33 · $800 = $26 400 3 ó 2 kg arroz → $2200 4 12 · $2200 = $26 400 El costo del arroz que consume la familia en un año es $26 400.

un año. Acepte todos los cálculos correctos posibles.

1 kg de arroz es $800. Calcula el costo del arroz que su familia consume en

3 (6) La familia de Doña Alicia consume 2 kg de arroz en un mes. El precio de 4

Ella pagó $56 250 por toda la tela.

(b) 9 8 · $6000 = $56 250

3 Ella compró 9 8 m de tela.

(a) 5 · 1 8 = 9 8

(b) Un metro de tela costó $6000. ¿Cuánto pagó por toda la tela?

(a) ¿Cuál era el largo total de la tela que compró?

tela tenía 1 m de largo.

7 8

(5) Sandra compró 5 trozos de tela para hacer fundas de cojines. Cada trozo de

El área del cuadro es 2,8 m2.

= 2,8 m2

= 25

2 · 15 = 2 ·

área del cuadro. Expresa tu respuesta en forma decimal.

2 (4) El largo de un cuadro rectangular es 2 m y su ancho es 1 m. Calcula el 5

Curso:

Fecha:

1 18

está pintado.

1 : 3 = 6

1 6

1 : 3 6

1 6

está pintado.

1 : 2 = 3

1 3

1 : 2 3

Capítulo 2: Fracciones (1)

(b)

(a)

(1) Pinta las partes del modelo para representar la división. Luego completa los espacios en blanco.

Práctica 6 Reparto equitativo de una cantidad fraccionaria

Nombre:

PSL_6A_TG_C02b.indd 75

22-10-13 12:37

(3) Calcula el cociente. Expresa tu resultado en su forma más simple.

(c)

(a)

8 1 2 · = 9 41 9

Capítulo 2: Fracciones (1)

10 1 2 · = 11 5 1 11

2 10 ÷ 55 = = (d) 11 : 11

2 8 = ÷ : 44 = 9 9

5 1 5 · = 72 8 9

÷ 99 = = (b) 8 : 72

4 1 4 · = 35 5 7

4 4 = ÷ : 77 = 35 5

2 2 : 3 = 15 5

3 3 :2= 8 4

÷ 33 = = (d) 5 : 15

3 3 = ÷ : 22 = 4 8

(c)

6 2 :3= 7 7

4 2 :2= 5 5

2 6 ÷ 33 = = : 7 7

(b)

4 2 ÷ 22 = = : 5 5

(a)

(2) Calcula el cociente, usando modelos de barra.

= 10

2 2 1 :4 = 5 · 4 5 2

Método 2

= 9 

4 4 1 :4 = 9 · 4 9 1

La cantidad de leche en 3 vasos es 3 .

3 1 1 ·3= 9 = 3  9

Capítulo 2: Fracciones (1)

(b)

1 

A partir del modelo, vemos que la cantidad de leche en cada vaso es 9 .

4  9

(b) en 3 vasos.

(a)

(a) en cada vaso.

(5) Gastón distribuyó equitativamente 9  de leche en 4 vasos. Calcula la cantidad de leche, en litros,

A partir del modelo, vemos que cada hijo recibió 10 de la pizza.

Método 1

(4) El señor García tenía 5 de una pizza. Repartió la pizza en partes iguales entre sus 4 hijos. ¿Qué fracción de la pizza recibió cada hijo?

Resuelve estos problemas. Escribe el desarrollo.

PSL_6A_TG_C02b.indd 76

22-10-13 12:37

1 kg

= 10 kg

3 3 1 : 6 = 5 · 6 5 3

A partir del modelo, vemos que el peso de 1 porción de queso es 10 kg.

3 kg 5

3 · 20 = 20 km2

= 20 km2

2 2 1 :8 = 5 · 8 5 4

pequeños es 20 km2. Capítulo 2: Fracciones (1)

A partir del modelo, vemos que el área total de 3 de los terrenos más

2 km2 5

1 km2

pequeños de igual área. ¿Cuál es el área de 3 de esos terrenos más pequeños?

2 David tenía un terreno cuya área era 5 km2. Él lo dividió en 8 terrenos más

2 El peso total de 4 porciones de queso es 5 kg.

(b) 10 · 4 = 10 = 5 kg

(a)

(b) Calcula el peso total, en kilogramos, de 4 porciones de queso.

(a) Calcula el peso, en kilogramos, de 1 porción de queso.

(7)

(6) Cecilia compró 5 kg de queso. Ella partió el queso en 6 porciones iguales.

Curso:

Fecha:

mediodía ó

tarde

12 5 · 72 = 60 61

1 1 3 2 5 + 3 = 6 + 6 = 6 2

estudiando

6 · 10 = 10 h = 36 min

1 – 10 = 10

2 1 4 5 9 + 2 = 10 + 10 = 10 5

chateando

Capítulo 2: Fracciones (1)

Lorena estuvo 36 minutos chateando con sus amigos.

10 partes → 6 h = 360 min ó 1 parte → 36 min

jugando

6 horas

¿Cuántos minutos estuvo chateando con sus amigos?

chateando con sus amigos. Estuvo 5 jugando y 2 del tiempo estudiando.

(2) El sábado pasado, Lorena estuvo 6 horas en total jugando, estudiando y

Valeria escribe 60 páginas entre la mañana y el mediodía.

6 partes → 72 páginas 1 parte → 12 páginas 5 partes → 60 páginas

mañana

72 páginas

tarde. ¿Cuántas páginas escribió en total en la mañana y el mediodía?

(1) Valeria escribió 72 páginas en su computador en un día. Ella escribió 2 de las 1 páginas en la mañana y 3 de las páginas al mediodía. Ella escribió el resto en la

Práctica 7 Problemas (3)

Nombre:

PSL_6A_TG_C02b.indd 77

22-10-13 12:37

mercadería 1 1 2 3 5 + 2 = 6 + 6 = 6 3

3 2 1 · = (mercadería) 42 31 2

5 · $72 000 = $60 000 6

(ropa y mercadería)

1 – 3 = 3 (resto)

Había 20 naranjas

3 partes → 60 1 parte → 20

manzanas

(manzanas y naranjas)

Capítulo 2: Fracciones (1)

1 10 → 20 naranjas

3 1 6 1 7 + 10 = 10 + 10 = 10 5

3 → 60 peras 10

1 – 10 = 10 (peras)

1 2 1 · = 10 (naranjas) 42 5

1 – 5 = 5 (resto)

naranjas 60 peras

había 60 peras en la caja, ¿cuántas naranjas había?

(4) Una caja contenía las siguientes frutas: manzanas, naranjas y peras. 5 de las frutas 1 eran manzanas. 4 de las frutas restantes eran naranjas y el resto eran peras. Si

Elisa gastó $60 000 en ropa y mercadería

6 partes → $72 000 1 parte → $12 000 5 partes → $60 000

ropa

$72 000

(3) Elisa tenía $72 000. Ella gastó 3 del dinero en ropa y 4 del dinero restante en mercadería. ¿Cuánto dinero gastó entre ropa y mercadería?

→ 9 de la harina

5 5

Le sobró 0,79 kg (ó 793,65 g) de harina.

25 · 2 ≈ 0,79 kg ó 793,65 g 63

Sobra → 7 de 9 = 7 · 9 = 63

1– 7 = 7

Harina restante → 9 de la harina

Pizza

Expresa tu respuesta con 2 posiciones decimales.

Capítulo 2: Fracciones (1)

La distancia total del recorrido era 12 km.

3600 m

corrió

3 3 9 · = 20 (bicicleta) 5 4 1 9 5 9 7 + 20 = 20 + 20 = 10 (nado y bici) 4 7 3 1 – 10 = 10 (corrió) 3 10 = 3600 m 10 10 = 12 000 m = 12 km

1 – 4 = 4 (resto)

? Método 2

anduvo en bicicleta

Método 1 6 partes → 3600 m 1 parte → 600 m 20 partes → 12 000 m = 12 km

nadó

del recorrido de la triatlón.

(6) Durante una triatlón, Natalia nadó 4 del recorrido y anduvo en bicicleta 5 del resto del recorrido. Los 3600 m restantes, los corrió. Calcula la distancia total

paquete de harina que le sobró.

(5) Silvia abrió un paquete de harina de 2 kg. Ella usó 9 de la harina para hacer una 2 pizza. Luego, usó de la harina restante para hacer pasteles. Calcula el peso del

PSL_6A_TG_C02b.indd 78

22-10-13 12:37

Curso:

Fecha:

( 2 del resto)

Rubén 1

Capítulo 2: Fracciones (1)

1 1 1 · = 4 (fracción del pastel que comió Rubén) 2 2 1 1 3 · = 4 (fracción del pastel que Enrique y Rubén comieron) 2 4 3 1 1− 4 = 4 1 sobrante del pastel. 4

1 − 2 = 2 (resto)

1 1 1 · = 4 2 2 1 sobrante del pastel. 4

1 − 2 = 2 (fracción restante del pastel)

1 − 2 = 2 (resto)

Método 2

A partir del modelo, vemos que sobró 4 del pastel.

Enrique

Método 1

Escribe 2 maneras diferentes de resolver el problema. Puedes dibujar un modelo de barras si lo necesitas.

¿Qué fracción del pastel sobró?

Enrique comió 2 de un pastel. Rubén comió 2 del resto.

Diario matemático

Nombre:

1 (b) 4  4  4  8  8 = 4  4

2 (a) 3  3  3  3  3 = 5  3

Completa los espacios en blanco.

Desafío

Curso:

1 2

1 3

de 3 totalizan 7?

¿Cuántos grupos

Fecha:

Pedro

Capítulo 2: Fracciones (1)

Cada niño recibió 24 de la torta.

1 1 3 1 2 + 6 = 6 + 6 = 3 (Lidia y Pedro) 2

1 1 1 · = 6 (Pedro) 3 2

1 – 2 = 2 (resto)

Lidia

1 1 1 1 : 8 = 3 · 8 = 24 3

1 – 3 = 3 (8 niños)

repartido

¿Qué fracción de la torta obtuvo cada uno de los 8 niños?

La torta restante fue repartida equitativamente entre 8 niños.

(2) Lidia recibió la mitad de una torta y Pedro recibió de la otra mitad.

(1)

Nombre:

PSL_6A_TG_C02b.indd 79

22-10-13 12:37

Piensa y resuelve

Curso:

Fecha:

2 3

150 g

12 12 → 360 g

1 12 → 30 g

5 12 → 150 g

2 1 8 3 5 – 4 = 12 – 12 = 12 3

Método 2

5 partes 10 partes 24 melones 8 melones 80 melones

El señor Pérez tenía 80 melones al principio.

→ → → → →

total de melones

1 de la cantidad 2

Cantidad total de melones 3 partes 1 parte 10 partes

1 del total de melones 2

vendió 24 melones en la mañana

¿Cuántos melones tenía el señor Pérez al principio?

1 2

Capítulo 2: Fracciones (1)

vendidos en la tarde

tarde vendió de lo que le quedaba. Luego, le quedaba del total de melones.

2 7

(2) El señor Pérez tenía melones a la venta. Vendió 24 melones en la mañana. En la

El peso de cada tortilla era 360 g.

Método 1 5 partes → 150 g 1 parte → 30 g 12 partes → 360 g

Susana

Juan

Susana. ¿Cuál era el peso de cada tortilla?

su tortilla y Susana comió de la suya. Juan comió 150 g de tortilla más que

1 4

(1) Juan y Susana tenían cada uno una tortilla del mismo tamaño. Juan comió de

Nombre:

BLANCO

PSL_6A_TG_C03a.indd 80

22-10-13 12:29

PSL_6A_TG_C03a.indd 81

22-10-13 12:29

Horas pedagógicas

Los estudiantes serán capaces de: • interpretar la división de un número natural por una fracción propia. • interpretar la división de una fracción propia por otra fracción propia. • encontrar el cociente al multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor.

(2) Dividiendo por una fracción propia

Los estudiantes serán capaces de: • sumar y restar fracciones o números mixtos. • multiplicar fracciones. • dividir una fracción por un número natural. • resolver problemas con fracciones.

(1) Las cuatro operaciones con fracciones

Objetivos

Capítulo 3: Fracciones (2)

—

Habilidades

• Libro del Alumno 6A, págs. 66 • Comparar • Deducir a 77 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 41 a 48 • Guía del Profesor 6A, págs. 86 a 97

• Libro del Alumno 6A, págs. 64 a 65 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 39 a 40 • Guía del Profesor 6A, págs. 84 a 85

Recursos

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Horas pedagógicas

Los estudiantes serán capaces de: • resolver problemas que involucran la división de un número natural o fracción propia por una fracción propia.

(3) Problemas

Los estudiantes serán capaces de: • expresar verbalmente su comprensión acerca de la división por una fracción propia. • explicar los errores cometidos en la división de una fracción por otra.

Diario matemático

Los estudiantes serán capaces de observar que los numeradores y denominadores en las divisiones están intercambiados.

¡Exploremos!

Objetivos

Capítulo 3: Fracciones (2)

• Interpretar • Identificar relaciones

Habilidades

• Libro del Alumno 6A, págs 81 a • Interpretar 86 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 49 a 56 • Guía del Profesor 6A, págs. 101 a 106

• Libro del Alumno 6A, pág. 78 • Guía del Profesor 6A, pág. 98

Recursos

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Objetivos

Repaso C

Repaso 1

Los estudiantes serán capaces de crear una tabla y de predecir y comprobar para resolver el problema.

¡Activa tu mente!

Enfatizar los conceptos clave, habilidades y procesos que han sido enseñados en este capítulo. Promueva una discusión con sus estudiantes acerca de los ejemplos resueltos para evaluar el grado de dominio de estos conceptos, habilidades y procesos.

¡Repasemos!

Horas pedagógicas

Capítulo 3: Fracciones (2)

• Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 59 a 71 • Guía del Profesor 6A, págs. 121 a 127

• Libro del Alumno 6A, págs. 89 a 90 • Guía del Profesor 6A, págs. 109 a 110

• Libro del Alumno 6A, págs. 87 a 88 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 57 a 58 • Guía del Profesor 6A, págs. 107 a 108

Recursos

Heurísticas para la resolución de problemas: • Suponer y comprobar • Hacer una lista sistemáticamente

• Interpretar

Habilidades

Capítulo Tres

Fracciones (2) Objetivos: Las cuatro operaciones con fracciones Los estudiantes serán capaces de: • sumar y restar fracciones o números mixtos. • multiplicar fracciones. • dividir una fracción por un número natural. • resolver problemas con fracciones.

Conceptos claves • Una fracción puede ser una parte de un entero o conjunto, puede ser una razón o un cociente. • La suma y resta de fracciones o números mixtos se puede interpretar de una manera similar que la suma y resta de números naturales. • La multiplicación de fracciones, por ejemplo,

2 3 de ó 4 3

interpreta como 3 2 de . 4 3

• La división de una fracción por un número natural se interpreta como distribución (reparto) equitativa de una medida fraccionaria.

2 3 · , se 3 4

Gestión de la clase yb • Repase junto a sus estudiantes la suma y resta de fracciones. • Recuérdeles que para sumar o restar fracciones, primero hay que transformarlas a igual denominador. • Así como sólo se pueden sumar o restar números naturales que se encuentren en la misma posición de la cuadrícula, sólo se pueden sumar o restar fracciones de igual denominador. Ejemplo: 3 (unidades) + 4 (unidades) = 7 (unidades) 3+4=7 3 decenas + 4 decenas = 7 decenas 30 + 40 = 70 3 quintos + 4 quintos = 7 quintos 1 a

3 4 7 + = 5 5 5

Fracciones (2) ¡Aprendamos!

Las cuatro operaciones con fracciones 1

Recuerda que: a

1 1 2 1    8 4 8 8

2 1 4 3    3 2 6 6

3 



7 6

1  1 6

10 1 5 1    6 12 12 12 

9 12



2  3 2 3   5 4 5  4

6  20

3  10

4 1 12 7    7 3 21 21



5 21

3 4

También puedo hacer esto: 1

2 3   2  3 5 4 5 4



3 10

Capítulo 3: Fracciones (2)

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Materiales

Trabajo personal

• Calculadora científica

• Asigne a sus estudiantes la Práctica 1 del Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 39 a 40.

Gestión de la clase yd • Repase la multiplicación de fracciones: c

13 4 3   2 4 5 5

2 3 · se interpreta como 5 4 3 2 2 3 de ó 4 de 5 . 5 4

6 6 1 : 3   7 7 31



2 7 3 4

La señora Luz compró 2 kg de carne molida el lunes, y otros 4 6 kg el martes y las mezcló para luego guardarla en 5 paquetes de 1 kg cada

uno. El resto de la carne molida la usó para cocinar.

¿Cuánta carne molida utilizó para cocinar?

2 3 de 5 4

1 4

3 2 de 4 5

• En cada caso, la región azul es el producto requerido y es igual a 6 2·3 3·2 , esto es , ó . 20 5·4 4·5

1 11 3 2  4 6  6 4 12 11 Ella compró 6 kg de carne. 12

• Repase la división de una fracción por un número natural:

1 1 1  5  6 4 4 1 Guardó 6 kg de carne. 4

6 : 3 se interpreta como la 7 6 división de en tres partes 7

11 1 2 6  6  4 3 12 2 Ella usó kg de carne molida para cocinar. 3

iguales. Por esta razón, cada parte 1

corresponde a 3 de 7 .

Cuaderno de Trabajo 6A, p 39, Práctica 1.

6 1 6 : 3= de 7 3 7 1 6 2 1·6 = · = = 3 7 7 3·7

Por lo tanto,

Capítulo 3: Fracciones (2)

• Repase el procedimiento para resolver problemas, la suma y resta de números mixtos y la multiplicación de un número mixto por un número natural.

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22-10-13 12:29

Objetivos: Dividiendo por una fracción propia Los estudiantes serán capaces de: • interpretar la división de un número natural por una fracción propia. • interpretar la división de una fracción propia por otra fracción propia. • encontrar el cociente al multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor.

Concepto clave

Materiales

• La división por una fracción propia se interpreta como una división en base a una medida;

• Rectángulos de papel (ver Apéndice 4 en la pág. 334)

por ejemplo, 3 :

2 3 2 ó : , se 3 4 3

interpreta como la cantidad de dos tercios que hay en de 3 ó 3 en . 4

Habilidades • Comparar • Deducir

Gestión de la clase 1

• Presente a la clase la división de 1 1 por . 2

• Diga a los estudiantes que 1 :

1 significa que debemos 2

encontrar cuántas mitades hay en 1. • Sus estudiantes pueden comparar este concepto con el de 6 dividido por 2. Recuérdeles que un significado de 6 : 2 es la cantidad de veces que el 2 cabe en 6. • Use el modelo de barras para que sus estudiantes lleguen a la conclusión de que hay 2 mitades en 1 entero.

¡Aprendamos!

Dividiendo por una fracción propia Dividiendo una cantidad entera por una fracción propia 1 Roberto cortó una tira rectangular de papel en una cierta cantidad de partes. Cada 1 2

parte es de un de la tira de papel. ¿En cuántas partes cortó la tira de papel?

Cantidad de trozos = 1 :

1 2

1 : 12 signifi ca: ¿Cuántas mitades caben en un entero?

1 2

A partir del modelo, vemos que hay 2 mitades en 1 entero.

Por lo tanto 1 : = 2

Roberto cortó la tira de papel en 2 partes.

1 2

• Utilice esta actividad para reforzar el concepto de la división de 1 por una fracción unitaria.

Realiza esta actividad.

Trabaja en parejas. El profesor o profesora entregará a cada pareja 4 tiras rectangulares de papel. Cada una representa 1 entero.

a Usen una tira de papel en cada caso, para encontrar:

iii

¿Cuántos tercios, cuartos, quintos y sextos hay en un entero?

1 : 3 3

1 :

1 4

1 5

1 :

1 6

1 :

Capítulo 3: Fracciones (2)

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Nota • La palabra “entero” que se utiliza en este capítulo no está referida a “un número del conjunto de los enteros”, sino que a una cantidad entera de una cierta magnitud. Por ejemplo: 1 tira de papel se considera como 1 entero, 2 pasteles como 2 enteros, y un cable de 3m se considera como 3 enteros.

Gestión de la clase 3

b ¿Cuántos décimos caben en 1 entero?

c ¿Cuántos doceavos caben en 1 entero?

• Utilice el problema 3 para concluir, mediante el método unitario, que al dividir una cantidad entera por una fracción unitaria, se puede obtener la respuesta multiplicando la cantidad entera por el recíproco de la fracción unitaria. Ejemplo:

1 1 :  10 10

1 1 :  12 12

3 Leonardo dividió 2 pasteles en una cierta cantidad de porciones. Cada porción es 1 4

un de pastel. ¿En cuántas porciones dividió los dos pasteles? 1 4

Cantidad de porciones = 2 :

2 : 14 signifi ca: ¿Cuántos cuartos caben en dos enteros?

Para encontrar 2 : , guíe a 4 los estudiantes a razonar de la siguiente manera: En 1 entero, hay 4 cuartos. En 2 enteros, hay 2 · 4 cuartos. Por lo tanto, 2 :

En la fi gura, vemos que:

Cantidad de cuartos en 1 pastel = 4

Cantidad de cuartos en 2 pasteles = 2  4

Por lo tanto, 2 :  2  4

Leonardo dividió los 2 pasteles en 8 porciones.

1 =2·4=8 4

1 4

Dividir por 4 es lo mismo que multiplicar por 4.

 8

Capítulo 3: Fracciones (2)

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Gestión de la clase 4

• De la misma manera, pídale a sus estudiantes que observen la figura para que concluyan: 3:

1 = 3 · 6 = 18. 6

4 Rita cortó 3 papeles cuadrados en una cierta cantidad de trozos más pequeños. 1 6

Cada uno de estos trozos es del papel cuadrado. ¿Cuántos trozos obtuvo Rita en total? Cantidad de trozos de papel  3 :

1 6

3 : 16 signifi ca: ¿Cuántos

• Asigne a sus estudiantes esta actividad como una práctica guiada.

sextos caben en 3 enteros?

En la fi gura vemos que:

Cantidad de sextos en 1 papel cuadrado  6

Cantidad de sextos en 3 papeles cuadrados  3  6

Por lo tanto, 3 :  3  6

Rita obtuvo 18 trozos en total.

1 6

 18

Dividir por 6 es lo mismo que multiplicar por 6 .

5 Calcula multiplicando.

1 a 3 :  3  5  15 5

1 b 7 :  7  4  28 4

1 c 4 :  8 2

1 d 5 :  15 3

1 e 6 :  30 5

1 f 8 :  64 8

Capítulo 3: Fracciones (2)

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Materiales • Rectángulos de papel (ver Apéndice 4 en la pág. 334)

Gestión de la clase 6 6

Trabaja en parejas. Tu profesor o profesora entregará a cada pareja 5 tiras idénticas de papel. Cada una representa un entero. a Tomen 2 tiras de papel, divídanlas en tercios y ubíquenlas como se muestra a

continuación.

Calculen 2 : .

¿Cuántas veces caben dos tercios en las 2 tiras de papel?

Dos tercios caben 3 veces en las 2 tiras de papel.

Por lo tanto, 2 :  3

2 3 y3: . 3 4

2 3

b Tomen las otras 3 tiras de papel, divídanlas en cuartos y ubíquenlas como se

muestra a continuación.

Calculen 3 : .

3 4

¿Cuántas veces caben tres cuartos en las tres tiras de papel?

Tres cuartos caben 4 veces en las 3 tiras de papel.

• Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas y usen el concepto de división, por una fracción unitaria para resolver

Realiza esta actividad.

3 4

Por lo tanto, 3 :  4

Capítulo 3: Fracciones (2)

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Gestión de la clase 7 2 3

• Utilice el método unitario para mostrar que: Dos tercios, caben 3 veces en 2.

7 ¿Cuánto es 5 : ? 2 3

2 3

1 de 2 2 3

¿Cuántos 23 caben en 5 enteros?

3 veces en 1. 2 3 veces Dos tercios, caben 5 · 2

Cantidad de veces que dos tercios caben en 2 enteros  3

en 5.

Cantidad de veces que dos tercios caben en 1 entero  2

Por lo tanto:

Cantidad de veces que dos tercios caben en 5 enteros 5  3

2 3 Por lo tanto, 5 : 3  5  2

Dos tercios, caben

2 3 15 1 =5 · = =7 3 2 2 2

• Asigne a sus estudiantes esta actividad como una práctica guiada.

Dividir por 23 es lo mismo 3 que multiplicar por . 2

 2  7 2

3 4

8 ¿Cuánto es 7 : ? 3

3 4

1 de 3 3 4

¿Cuántos 4 caben en 7 enteros?

Cantidad de veces que tres cuartos caben en 3 enteros  4 4 Cantidad de veces que tres cuartos caben en 1 entero  3

Cantidad de veces que tres cuartos caben en 7 enteros  7 

Por lo tanto, 7 :  7 

3 4

28  3

4 3

Dividir por 4 es lo mismo 4 que multiplicar por . 3

1  9 3

Capítulo 3: Fracciones (2)

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Gestión de la clase 9 9

Realiza esta actividad. 2

La longitud de un cable es de 3 m. ¿Cuántos trozos de m de longitud se podrán 3 cortar? Copia el modelo mostrado y divide cada metro del cable en tercios. 1 m

1 m

• Este método le permite a los estudiantes interpretar a qué corresponde la parte fraccionaria del cociente cuando una cantidad entera se divide por una fracción propia. • Es importante que distingan 1 m es la 3

¿En cuántos trozos de m de largo puede ser dividido el cable? 4

claramente que

1 ¿De qué longitud es el cable que sobró? m 3

cantidad de cable que sobró después de haber cortado los

2 3

Ahora, si lo calculamos dividiendo, ¿qué resultado se obtiene? Exprésalo como un número mixto. 1

2 Cantidad de trozos  3 : 3 3  3  2 9  2 1  4 2

El resultado 4 2 signifi ca que hay 4 trozos de cable con una longitud 2 de 3 m, y un trozo restante que es 2 la mitad de 3 m

4 trozos de m de longitud. 3 • Por otra parte, al hacer la 2 , resulta un 3 1 cociente de 4 , aquí la 2 1 fracción debe ser 2

división 3 :

entendida como las veces que 2 1 cabe en (media vez). 3 3

2 3

¿En cuántos trozos de m se puede dividir el cable? 4

2 1 ¿Qué fracción de un trozo de m es lo que queda del cable? 3 2

1 2 1 ¿Cuánto mide el cable que sobró?   m 2 3 3 También puedo encontrar lo que sobró de esta manera: Longitud total de los 4 trozos de cable  4  2 3

 2 2 m

Longitud del cable restante  3  2 2

Capítulo 3: Fracciones (2)

 1 m

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Materiales • Rectángulos de papel (ver Apéndice 4 en la pág. 334)

Gestión de la clase 10

• Asigne a sus estudiantes esta actividad como una evaluación informal.

10 Calcula el resultado de:

4 a 4 : 7

d 5 :

• Guíelos para que comprendan que la división planteada puede ser calculada multiplicando el dividendo por el recíproco del divisor.

Dividiendo un fracción propia por una fracción propia 11

2 b 6 : 21 7

10 13

1 2

e 10 :

5 14

c 9 :

3 8

f 12 :

24 9 10

1 3

Realiza esta actividad. Trabaja en parejas. A cada pareja, el profesor o profesora entregará 2 tiras rectangulares de papel. Cada una de estas tiras representa un entero. 1 a Divide una de estas tiras en dos mitades. Toma una mitad y marca en ella. 4 1 1 Ahora, calcula : . 2 4 1 2

1 4

¿Cuántos cuartos caben en una mitad?

Por lo tanto, :  2

¿Cómo podrías encontrar : usando la multiplicación?

1 1 1 :   4 2 4 2

1 1 2 4

 2

¿Qué aprendiste acerca 1 de dividir por 4 ?

Capítulo 3: Fracciones (2)

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1 b Divide en tercios la otra tira de papel. Toma dos tercios y marca en cada 6

uno de ellos.

Calcula : .

2 1 3 6 2 3

1 6

¿Cuántos sextos caben en dos tercios?

Por lo tanto, :  4

¿Cómo podrías calcular : usando la multiplicación?

2 1 3 6

2 1 2 :   6 3 6 3

Matemática en la casa

¿Qué aprendiste acerca 1 de dividir por 6 ?

 4

Pida a su hijo o hija que divida 45 por 23 usando este otro método. Primero, convertir las fracciones en equivalentes, con el mismo denominador. Luego, dividir los numeradores, el primero por el segundo y de misma manera los denominadores. 4 2 : 5 3

15 : 15 12 : 10 15 : 15 12 : 10 1

1 5

12 1

Finalmente, pídale que compruebe los resultados, usando una multiplicación. Capítulo 3: Fracciones (2)

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Gestión de la clase y 13 • Repase el procedimiento que permite encontrar el cociente mediante una multiplicación, cuando una fracción propia es dividida por otra fracción propia. • Asigne a sus estudiantes la actividad 13 como una práctica guiada. 12

12 Marcia tenía 3 de pizza, y la dividió en una cierta cantidad de porciones. Cada una 4

de estas porciones era de 3 de pizza. ¿Cuántas porciones obtuvo Marcia?

8 3 3 Cantidad de porciones  : 4 8 3 8

3 4

En el modelo dibujado podemos ver que tres octavos caben 2 veces en .

De esta manera :  2

3 3 4 8

Podemos ahora dividir de esta manera:

3 3 3 8 :   4 8 4 3

Marcia cortó la pizza en 2 porciones.

 2

Dividir por 38 es lo mismo 8 que multiplicar por . 3

13 Alejandro tenía 7  de agua y con ella fue llenando algunos vasos. La capacidad de 2

cada vaso es de 7 . ¿Cuántos vasos ocupó Alejandro? 5  7

5 2 Cantidad de vasos  : 7 7

5 7   7 2

5  2

 2

1 Alejandro ocupó 2 vasos. 2

2  7

2 1  7 7 (1 vaso) (1 vaso) ( 1 vaso) 2

1 2

Capítulo 3: Fracciones (2)

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Gestión de la clase 14 14

• Esta actividad requiere que los estudiantes encuentren la cantidad restante de jugo

Realiza esta actividad. Un jarro contiene 4  de jugo de naranja. 5

de naranja cuando

4 8 5   10 

jugo se reparte en vasos, cuya capacidad es de

1 

Copia el modelo y divídelo en décimos.

¿En cuántos vasos, de 3  de capacidad, se puede distribuir el jugo? 2

2 ¿Cuántos litros de jugo sobrarán?  10

Ahora, calcula el resultado mediante una división. Exprésalo como un número mixto.

4 3 Cantidad de vasos  : 5 10 4 10   5 3 8  3 2  2 3

El resultado 2 3 signifi ca que se

llenaron 2 vasos de jugo de naranja, 3

cada uno con 10 , y un tercer vaso con el jugo de naranja restante, que 2

corresponde a 3 del vaso.

3 10

¿En cuántos vasos, cada uno con capacidad de , se puede repartir el jugo? 2

2 ¿A qué fracción de un vaso de 3  corresponde el jugo restante? 3 10

encuentran que sobraron 10 1 ) de jugo. (= 5

deben interpretarlo así: se llenaron totalmente 2 vasos de

También puedo encontrar el resto de esta manera: 3 10

capacidad

 3  5 4 Cantidad de jugo que quedó   3 5 5  1  5

Capítulo 3: Fracciones (2)

• Al mismo tiempo, el procedimiento de división permite que los estudiantes interpreten el significado de la parte fraccionaria del cociente cuando una fracción propia es dividida por otra fracción propia. • Basándose en el modelo de barras, los estudiantes

: Al efectuar la división 5 10 2 obtienen 2 . Este cociente

2 1 ¿Cuántos litros de jugo sobrarán?  3   3 10 5

Cantidad total de jugo en 2 vasos  2 

3 . 10

4 de 5

3 , y además, un 10

tercer vaso se llenó solo hasta 2 de su capacidad. Para saber 3 a cuántos litros corresponden 2 estos , se calcula 3 2 3 6 1 · = = 3 10 30 5

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Gestión de la clase 15

• Asigne a sus estudiantes esta actividad como una práctica guiada. y 17 • Desarrolle paso a paso con sus estudiantes el problema de la división de una cantidad entera por una fracción propia, y luego asigne a sus estudiantes el problema 17 como una práctica guiada. 16

15 Calcula el resultado de:

2 1 : 3 9

1 2 : 6 3

1 4

3 1 : 5 10

5 15 2 : 8 16 3

3 1 : 4 2

7 5 : 16 12

16 Una botella contiene 2  de aceite para cocinar. Si una cocinera usa

1 2

1 1

1 20

1  cada día 12

para cocinar, ¿cuántos días duraría la botella de aceite? 2  1  12

1  12

? días

1  2  12 12

Cantidad de días  2 :

La botella de aceite duraría 24 días.

 24

17 El dueño de un restaurant compra 12 kg de fideos cada día y utiliza

2 kg de 11

fideos en cada plato que prepara. Si ocupó todos los fideos, ¿cuántos platos preparó? 12 kg 2 2 kg 11 kg 11

2 2 kg 11 kg 11

? platos

2 11  12  11 2  66

Cantidad de platos  12 :

En total, preparó 66 platos de fideos.

Capítulo 3: Fracciones (2)

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22-10-13 12:30

Actividades adicionales • Comenzando en 0, ¿cuántos pasos de

2 son necesarios 7

para llegar a 4? 0

• Comenzando en 0, ¿cuántos 1 son necesarios 12 3 para llegar a ? 4

pasos de

3 4

Gestión de la clase y 19 • Presente el problema de un paso acerca de la división de una fracción propia por otra fracción propia, y luego asigne a sus estudiantes la siguiente actividad como una práctica guiada. 18

4 5

18 Una tabla mide m de largo. Un carpintero la cortó en trozos de

1 m de largo 10

cada uno. ¿Cuántos trozos obtuvo? 4 m 5 1 1 m 10 m 10

1 1 m 10 m 10

? trozos

4 5

Cantidad de trozos  :

 8 Él obtuvo 8 trozos.

1 10

4 5

  10

2 3

19 Lorena tenía de una pizza y la cortó en una cierta cantidad de porciones. Cada 1 9

porción corresponde a de la pizza entera. ¿Cuántas porciones cortó Lorena? 2 de la pizza 3 1 9

1 9

? porciones

2 1 Cantidad de porciones  : 3 9

2   9 3

 6

Lorena cortó la pizza en 6 porciones.

Capítulo 3: Fracciones (2)

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22-10-13 12:31

Objetivo de la actividad (¡Exploremos!) • Los estudiantes se darán cuenta que en una división de fracciones, si se intercambian entre sí las fracciones dividendo y divisor, los cocientes obtenidos presentan el siguiente patrón: sus respectivos numeradores y denominadores están intercambiados.

Actividad opcional

Habilidades

• Dado que los estudiantes ya han estudiado álgebra, pídales que calculen los cocientes de

• Interpretar • Identificar relaciones

a c c a : y de : , y que los b d d b

comparen. (Uno es el valor recíproco del otro)

Gestión de la clase (¡Exploremos!) • Los estudiantes deberán predecir la respuesta de un par de divisiones cuando el dividendo y divisor están intercambiados.

¡Exploremos! 6

Calcula los siguientes pares de divisiones:

(Diario matemático)

4 : y : 4

4 3 3 4 : y : 5 10 10 5

• Los estudiantes deberán expresar verbalmente el significado de la división cuando el divisor es una fracción propia.

2 5

1 10

2 1 1 2 : y : 3 4 4 3

3 8 ; 8 3

8 3 ; 3 8

5 3 3 5 : y : 8 4 4 8

5 6 ; 6 5

10;

¿Qué puedes observar en los resultados de cada par de divisiones? Los resultdos en cada caso tienen sus numeradores y denominadores intercambiados. 6 7

Dado que : 9  i

• Los estudiantes deberán explicar los errores cometidos por Julia y Sergio en la división por una fracción propia.

9 : 7

21 2

12 10 5 2 y :  , encuentra el resultado sin calcular: 11 11 6 21 5 10 11 ii : 6 11 12

Dia rio matemático

1 Explica, con palabras, el signifi cado de: 2 a 5 : 5

¿Cuántas veces 2 cabe en 5? 5

3 4

4 7

b :

1 2

1 8

¿Cuántas veces 1 4 cabe en ? 2

2 Julia y Sergio calcularon : de estas maneras:

Julia

Sergio

4 34 : 18  3  18 4  24 1  6

4 3 1 :  3  8 4 8

 32 3

 10 23

Explica los errores de cálculo. Julia invirtió el dividendo en lugar del divisor. Sergio invirtió el dividendo y el divisor en vez de hacerlo solamente con el divisor.

Capítulo 3: Fracciones (2)

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22-10-13 12:31

Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 3a.

¡Practiquemos! 3a

1 Usa los modelos dibujados para encontrar los resultados.

1 a 1 : 4 4

3 1 : 4 8

3 5

2 2 : 3 9

b 3 :

2 Calcula, mediante una multiplicación.

1 a 4 : 7

1 b 12 : 3

3 c 9 : 4

4 d 10 : 5

1 1 : 2 8

1 1 : 4 2

1 2

3 11 5 : 15

9 11

2 10 : 3 13

13 15

Capítulo 3: Fracciones (2)

1 2

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22-10-13 12:31

Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 2 del Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 41 a 48.

Resuelve los siguientes problemas. Escribe el desarrollo. 2 9

3 Se repartieron 4 tortas en un grupo de niños. Cada niño recibió de torta. ¿Cuántos niños había en ese grupo?

18 niños

4 El área de un rectángulo es de 9 m². El rectángulo se corta en una cierta cantidad 3

de partes, cada una con un área de m². ¿En cuartas partes se dividió el rectángulo? 8 24 partes 5 6

5 Mónica tenía de un pastel y lo dividió en varias porciones. Cada una de estas porciones corresponde a

1 del pastel entero. ¿En cuántas porciones dividió 18

Mónica el pastel? 15 porciones 15 kg. Cada barra de chocolate 16 5 pesa kg. ¿Cuántas barras de chocolates hay en total? 32

6 El peso de una caja con barras de chocolates es de

En total hay 6 barras de chocolates. 3 5

7 Una tabla de 4 m de largo fue cortada en varios trozos de m de largo.

3 a ¿Cuántos trozos de m se obtuvieron? 5

2 b ¿Cuánto mide lo que sobró de la tabla? m

6 trozos 5

5 6

2 9

8 Un total de kg de harina fue envasada en bolsas de kg cada una. a ¿Cuántas bolsas se ocuparon? 3 bolsas b ¿Cuánta harina quedó sin envasar? 1 kg

9 Camila tenía una cinta de 8 m de largo y la dividió en 6 trozos de m cada uno 3 para adornar algunos regalos. Finalmente, el resto de la cinta lo cortó en trozos de 3 m cada uno. 4

3 a ¿Cuántos trozos de cinta de m obtuvo Camila? 5 trozos 4

b ¿Cuánta cinta le quedó al final?

1 m 4

Cuaderno de Trabajo 6A, p 41, Práctica 2.

Capítulo 3: Fracciones (2)

100

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22-10-13 12:31

Objetivos: Problemas Los estudiantes serán capaces de: • resolver problemas que involucren la división de un número natural o fracción propia por una fracción propia.

Concepto clave

Materiales

• El proceso de resolución de problemas matemáticos involucra la aplicación de conceptos y estrategias.

• Calculadora científica

Habilidad • Interpretar

Gestión de la clase 1

¡Aprendamos!

Problemas 1

Un hombre conduce su automóvil desde su casa hacia su ofi cina. Durante el trayecto, pasa por a la biblioteca. La distancia entre la biblioteca y su ofi cina es 3

2 8 km menor que la distancia entre su casa y la biblioteca. Si la distancia entre su 1 2

casa y la biblioteca es 4 km, ¿cuál es la distancia entre su casa y su ofi cina? ? Casa

Biblioteca

Ofi cina

• Repase el procedimiento para resolver problemas con los estudiantes: Paso 1: Leer y entender Pida a los estudiantes que lean el problema e indiquen la información dada y la que se puede inferir a través de preguntas: “¿Cuál es la distancia entre su casa y la biblioteca?” “Dado que la distancia entre la 3 8

biblioteca y su oficina es 2 km

4 12 km

1 3 1 4  2  2 2 8 8 1 La distancia entre la biblioteca y su ofi cina es 2 km. 8 1 1 5 4  2  6 2 8 8 5 La distancia entre su casa y su ofi cina es 6 km. 8

Capítulo 3: Fracciones (2)

PSL_6A_TG_C03a.indd 101

más corta, ¿cómo puedes calcular esta distancia?” “¿Qué necesitas calcular primero?” Paso 2: Pensar en una estrategia Pregunte a sus estudiantes: “¿Qué frases numéricas deben escribir?” Paso 3: Resolver el problema En este caso, ya que los estudiantes son capaces de escribir las frases numéricas relevantes, podrán resolver el problema. Paso 4: Revise la respuesta Revise la respuesta volviendo a recorrer de atrás hacia adelante los pasos del problema. 101

22-10-13 12:31

Materiales • Calculadora científica

Gestión de la clase 2

• Asigne a sus estudiantes este problema como práctica guiada.

1 3

lo reparte entre su madre, su hermano y su hermana.

a ¿Qué fracción del sueldo recibe cada uno? b Si el sueldo de Liliana es $540 000, ¿Cuánto dinero le da mensualmente a su

3 8

Liliana gasta mensualmente de su sueldo, ahorra del resto y lo que queda

madre?

a Método 1 resto

gastado

$540 000

ahorrado repartido entre su familia

A partir del modelo, podemos ver que:

Cantidad de partes que son repartidas  5

Cantidad total de partes  12

5 Parte del sueldo compartido  12 5 1 5 : 3   12 12 3

5  36

5 Cada uno recibe de su sueldo. 36

Capítulo 3: Fracciones (2)

102

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22-10-13 12:32

Gestión de la clase 3

Método 2

• Siga los mismos pasos mostrados en 1 para resolver el problema.

1 2 1   (resto) 3 3 3 2 1   (ahorrado) 8 3 4 2 1 5   (compartido con su familia) 3 4 12 5 1 5 : 3   12 3 12 5  36 5 Cada uno recibe de su sueldo. 36

5 75 000  $540 000  $ 36 Liliana le da mensualmente a su madre $ b

. 75 000

1 9 1 el resto del patio en varios sectores de del total del patio. 18 2 3

3 Sara sembró tomates en de su patio, y en de él, sembró lechugas. Luego, dividió

a ¿En cuántos sectores fue dividido el resto del patio?

b Si el área del patio era de 72 m², ¿cuál es el área de cada sector?

1 2 a Fracción de patio que se divide  1   9 3 2  9 2 1 2 :   18 9 18 9

 4

El resto del patio fue dividido en 4 sectores.

1  72  4 18

El área de cada sector es de 4 m².

Capítulo 3: Fracciones (2)

103

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22-10-13 12:32

Gestión de la clase y 5 • Asigne a sus estudiantes estos problemas como práctica guiada. 4

2 3

4 Los de un cuadrado están pintados de color verde. René cortó esta parte del cuadrado en varios trozos de manera que cada uno de ellos corresponde a 1 del cuadrado completo. 9

a Calcula el total de trozos que cortó René.

b Si el área del cuadrado es 45 cm2, ¿cuál es el área de cada trozo?

a Cantidad de trozos 

2 1 : 3 9

2   9 3  6 René cortó 6 trozos.

b Área de la parte de color verde 

2  45  30 cm2 3

30 : 6  5

El área de cada trozo cortado es de 5 cm2. 3 5

5 La cantidad de varones en un curso corresponde a del total de estudiantes. El profesor separó en grupos a los varones, de tal manera que cada grupo fuera igual 1 del total de estudiantes del curso. Luego, dividió a las niñas en grupos de tal 10 1 manera que cada uno equivalía a del total de estudiantes del curso. 5

a Calcula la cantidad de grupos de varones y de niñas.

b Si hay 16 niñas en el curso, ¿cuántos niños hay en cada grupo?

Capítulo 3: Fracciones (2)

104

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22-10-13 12:32

Trabajo personal

Materiales

• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 3b.

• Calculadora científica

3 1 : 5 10 3   10 5

a Cantidad de grupos de varones 

 6

2 1 Cantidad de grupos de niñas  : 5 5 2   5 5  2

En total, hay 6 grupos de varones y 2 grupos de niñas. 2 del curso 5 1 del curso 5 3 del curso 5

16 estudiantes 8 estudiantes 24 estudiantes

24 : 6  4

Hay 4 niños en cada grupo.

¡Practiquemos! 3b

Resuelve los siguientes problemas. Puedes dibujar modelos para ayudarte. 1

1 3

5 6

Un gásfi ter tomó un tubo de 2 m de largo y lo unió a otro que era m más 5 6

corto. ¿Cuál es la longitud total de los dos tubos unidos? 3 m

2 3

1 5

2 Anita horneó algunas galletas. Del total, guardó y regaló del resto a una amiga. Al fi nal, quedó con 40 galletas. ¿Cuántas galletas horneó en total? 150 galletas Capítulo 3: Fracciones (2)

105

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22-10-13 12:32

Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 3 y el “Diario matemático” del Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 49 a 56.

1 3

1 6

3 El lunes, Rubén leyó de un libro, y el martes leyó más. En los siguientes 4 días, Rubén terminó de leer el libro. En cada uno de los últimos 4 días, Rubén leyó la misma cantidad de páginas.

a ¿Qué fracción del libro leyó Rubén en cada uno de estos 4 días? 8 b Si en cada uno de estos 4 días, Rubén leyó 30 páginas, calcula el total de

páginas del libro. 240 páginas

4 En junio, Javiera asistió un total de 8 horas como voluntaria a un centro infantil. 4 5

En cada visita trabajó de hora. a Calcula las veces que visitó este centro infantil. 10 veces

b En julio, Javiera dedicó a su trabajo voluntario el doble de horas que dedicó en

junio. ¿Cuántas visitas realizó en julio? 20 visitas 1 5

5 Paula ahorró 3 del total de su sueldo, gastó y el resto lo repartió entre su 10

1 8

familia. Cada integrante de la familia recibió del total del sueldo. 1 a Calcula la cantidad de integrantes de la familia que recibieron del total 8

del sueldo. 4 miembros de su familia

b Si el sueldo de Paula es de $240 000, ¿cuánto dinero recibió cada uno de sus

familiares? $30 000 3 8

2 5

6 Romina gastó de su dinero en comprar algunas blusas y del resto en comprar 2 pantalones. Un pantalón cuesta 3 veces lo que una blusa. ¿Cuántas blusas compró en total? 9 blusas

Cuaderno de Trabajo 6A, p 49, Práctica 3.

Capítulo 3: Fracciones (2)

106

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22-10-13 12:32

Gestión de la clase (¡Resumamos!) • Enfatice los conceptos claves, habilidades y procesos que se han enseñado en el capítulo. • Promueva una discusión con sus estudiantes para evaluar el grado de dominio de estos conceptos, habilidades y procesos.

¡Resumamos! Has aprendido a: • Dividir una cantidad entera por una fracción propia • Dividir una fracción propia por otra fracción propia

¡Repasemos! 3 8

1 12 :  12  8 3

 32

5 10 5 11 :   6 11 6 10 11  12

4 9

3 Un trozo de cartón cuadrado tiene un área de m². Verónica cortó el cartón en cierta cantidad de trozos, cada uno con un área de

2 m². 27

¿En cuántos trozos cortó el cartón?

4 2 9 27 4 27   9 2

Cantidad de trozos  :

Verónica cortó el cartón en 6 trozos.

 6

Capítulo 3: Fracciones (2)

107

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22-10-13 12:32

Objetivo de la actividad • Los estudiantes crearán una tabla y luego aplicarán la estrategia de suponer y comprobar para resolver el problema.

Trabajo personal

Habilidad

• Asigne a sus estudiantes el “Desafío” , “Piensa y resuelve” y el “Repaso 1” del Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 57 a 71. • Asigne a sus estudiantes el Repaso C del Libro del Alumno 6A, págs. 89 y 90.

• Interpretar

Heurísticas para resolver problemas • Suponer y comprobar • Hacer una lista sistemáticamente

Gestión de la clase (¡Activa tu mente!) • Pida a los estudiantes que trabajen en parejas y traduzcan las frases verbales del problema en representaciones simbólicas.

¡Activa tu mente! 1 5

La señora Margarita compró carne molida y luego la separó en envases de kg de capacidad cada uno. Si la carne molida la guardara en envases con capacidad 1 8

de kg cada uno, ocuparía 12 envases más. ¿Cuántos kilos de carne molida compró? (Suponga que el peso total de la carne molida es una cantidad entera de kilogramos.)

Cuaderno de Trabajo 6A, p 57, Desafío.

Peso de la Cantidad de Cantidad de carne molida 1 1 envases de kg envases de kg (kg) 5 8 1 5

1 : = 8

1 5

2 : = 16

1 5

3 : = 24

1 5

4 : = 32

1 : = 5

2 : = 10

3 : = 15

4 : = 20

Cuaderno de Trabajo 6A, p 58, Piensa y resuelve.

Diferencia en la cantidad de envases

1 8

La señora Margarita compró 4 kg de carne molida. Heurísticas: Suponer y comprobar. Hacer una lista sistemáticamente. Habilidad: Deducir

Capítulo 3: Fracciones (2)

108

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22-10-13 12:32

109

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22-10-13 12:20

175º

160º

65º

155º

28º

Utiliza una escuadra, para dibujar una línea perpendicular a TR que pase por el punto X.

Dibuja un ángulo, a partir de la línea dada, que mida:

Repaso C

Medición: 70º

Estima y luego mide los ángulos:

Estimación:

Repaso C

110

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22-10-13 12:20

35°

x = 110°

S 95°

6 El triángulo ABC es isósceles y STUV es un paralelogramo. Calcula la medida de los ángulos x e y.

y = 85°

¿Qué puedes decir de las líneas PR y QS? Compruébalo con una escuadra y una regla. PR es paralela a QS.

5 PQ es una línea horizontal. Dibuja una línea vertical a partir de P y nómbrala PR, y una línea vertical a partir de Q y nómbrala QS.

4 Utilizando una escuadra y una regla, dibuja una línea paralela a CD que pase por el punto M.

138°

BAE = 117º

Repaso C

* 7 La siguiente figura no está dibujada a escala. ACDE es un rombo y el �ABC es isósceles. Los puntos B, C, y E son colineales. Calcular la medida de BAE.

111

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22-10-13 12:20

Fracciones (2)

Curso:

Fecha:

1 7

Jaime condujo su automóvil desde la ciudad A a la ciudad B en un lapso

1 4

3 4

1 4 1 4

Jaime demoró 1 — h en completar el resto de su viaje.

4 – 2— = 1—

3 4

2— + — = 2—

1 2

el resto de su viaje?

total de 4 horas. Primero manejó durante 2 — horas, luego descansó — de 4 2 hora para luego completar su viaje. ¿Cuánto tiempo demoró en completar

Capítulo 3: Fracciones (2)

(2)

3 26 1 — + — = —– 5 35 7 9 26 1 – —– = —– 35 35 9 —– del público son niños. 35

mujeres. El resto corresponde a niños. ¿Qué fracción del público son niños?

3 (1) De la cantidad de asistentes a un concierto, — son hombres y — son

Práctica 1 Las cuatro operaciones con fracciones

Nombre:

112

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22-10-13 12:21

1 4

3 4

Vicente compró 2 kg de carne. Le dio — kg a su vecino y guardó en el

3 4

9 10

El total de jugo que contiene el jarro es 1 —– .

1 — – — = 1 —–

2 1 1 5 10 2 1 4 9 1 —– + — = 1 —– 10 5 10

9 : 6 = 1—

1 2

que Susana le agregó el agua.

Capítulo 3: Fracciones (2)

tomó — 5  de uno de los jarros, pero como encontró el jugo muy dulce, le 4 agregó —  de agua. Calcula el total de jugo que contiene el jarro después 5

9 litros de jugo se repartieron equitativamente entre 6 jarros. Susana

Vicente usó — kg de carne para cocinar.

1 1 3 — + — = 1— 2 4 4 3 1 2 – 1— = — 4 4

1 1 —·2=— 4 2

para cocinar. ¿Cuántos kilos usó para cocinar?

congelador dos bolsas con — de kg cada una. El resto de la carne lo utilizó

(4)

(3)

Curso:

Fecha:

4 5 (e) 4 : 5 4 — 5 6

1 (c) 2 : 5 12 6

1 (a) 1 : 5 9 9

Capítulo 3: Fracciones (2)

2 (f) 4 : 5 10 5

1 3 (d) 2 : 5 5 — 8 3

1 (b) 3 : 5 12 4

(1) Usa el modelo dibujado para calcular la respuesta.

Práctica 2 Dividiendo por una fracción propia

Nombre:

113

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22-10-13 12:21

= 48

1 3

= 1 —

1 2

= 12 —

= 42 —

2 3

8 3 (i) 16 : 5 16 · — 8 3

5 4 (g) 10 : 5 10 · — 5 4

4 3 (e) 1 : 5 1 · — 4 3

1 5 12 · 4 4

= 144

= 16

= 18

Capítulo 3: Fracciones (2)

= 21

7 5 (j) 15 : 5 15 · — 9 5

2 3 (h) 12 : 5 12 · — 3 2

8 3 (f) 6 : 5 6 · — 3 8

1 (d) 18 : 5 18 · 8 8

= 18

= 20

1 (b) 6 : 5 6 · 3 3

1 (a) 4 : 5 4 · 5 5

(2) Calcula los cocientes. Expresa tu resultado en la forma más simple.

(e) 4 : 2 5 1 — 2

Capítulo 3: Fracciones (2)

(a) 4 : 4 5 3

(f ) 10 : 5 5 3 — 2

(d) 2 : 3 5 1 — 2

(b) 5 : 5 5

(3) Usa el modelo dibujado para calcular la respuesta.

114

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22-10-13 12:21

(i)

8 = —

4 4 4 3 : 5 — · — 15 4 15 3 1 16 — = 45 15

·— (g) 3 : 4 5 — 3 3

= 5

(e) 7 : 7 5 — · 7 7

= — 2

3 = — 4

(a) 4 : 3 5 — · 3 4

1 = 2— 2

(j)

Capítulo 3: Fracciones (2)

6 14 11 6 9 : 5 — · — 7 14 7 8 9 51 = 1 —– 28 3

= 10 — 3

= 1— 5

(h) 9 : 12 5 — · 12 9

2 =—

(f ) 4 : 8 5 — · — 4 5

·6 (d) 9 : 6 5 — 9

(b) 2 : 5 5 — · 5 2

(4) Calcula los cocientes. Expresa tu resultado en la forma más simple.

5 2

Capítulo 3: Fracciones (2)

Había 6 niños en ese grupo.

3 1 3 —:— =—·8 4 8 4

—

1 de torta ¿Cuántos niños había en ese grupo? 8

3 4

(6) Daniela repartió — de una torta a un grupo de niños. Si cada niño recibió

Asistieron 40 mujeres a la fiesta.

= 40

16 : — = 16 · —

2 5

de ellas recibió — de torta. ¿Cuántas mujeres asistieron a la fiesta?

2 5

(5) En una fiesta se repartieron 16 tortas entre las mujeres presentes. Cada una

Resuelve estos problemas. Escribe el desarrollo.

115

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22-10-13 12:21

Tania utilizó 3 envases.

9 11 9 3 — :— =— ·— 11 3 11 11

Capítulo 3: Fracciones (2)

9 (8) Tania compró 11 kg de carne. Ella repartió la carne en algunos envases de 3 11 kg de capacidad cada uno. ¿Cuántos envases utilizó?

Había 3 vasos.

2 2 2 15 — :— =— ·— 5 15 5 2

2 (7) Un jarro contenía  de agua. El agua se vació equitativamente en algunos 5 2 vasos. Cada vaso quedó con  de agua. ¿Cuántos vasos había? 15 3 5

Capítulo 3: Fracciones (2)

La señorita Julia tiene 32 estudiantes.

24 : — = 32

3 4

tiene la señorita Julia?

estudiantes correspondiéndole a cada uno — de pizza. ¿Cuántos estudiantes

3 4

(10) La señorita Julia preparó 24 pizzas pequeñas. Luego, las repartió entre sus

Marta obtuvo 5 trozos de cinta.

3:—=5

(9) Marta compró 3 m de cinta y los cortó en varios trozos de — m cada uno. 5 ¿Cuántos trozos de cinta obtuvo?

116

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22-10-13 12:21

Curso:

Fecha:

4 5

Capítulo 3: Fracciones (2)

mensualmente los dos?

Renato usó 15 vasos.

Capítulo 3: Fracciones (2)

Entre los dos ahorran $129 000 mensualmente.

$84 000 + $45 000 = $129 000

1 — · $360 000 = $45 000 (ahorro de su hermano) 8

6 — · $420 000 = $360 000 (sueldo del hermano) 7 1 — · $420 000 = $84 000 (ahorro de Pablo) 5

Cada uno ahorra una fracción de su sueldo: Pablo ahorra — del suyo,

1 5 1 mientras su hermano ahorra — de su sueldo. ¿Cuánto dinero ahorran 8

6 (2) Pablo gana $420 000 mensualmente. Su hermano gana — de esa cantidad.

Karen ahorra $3600 mensualmente.

3 1–— =—

1 4 4 1 4 1 — · — = — (fracción de la mesada que se ahorra) 4 5 5 1 — · $18 000 = $3600 5

1–— =—

1 5

ahorra Karen mensualmente?

(1) Karen recibe una mesada de $18 000. Del total, ocupa — en locomoción

1 5 3 y usa — del resto en comida. El dinero que le queda lo ahorra. ¿Cuánto 4

Resuelve estos problemas. Escribe el desarrollo.

Práctica 3 Problemas

Nombre:

5 1 — : — = 15 6 18

5 (12) Un jarro tiene jugo hasta 6 de su capacidad. Renato vació este jugo de 1 manera equitativa en varios vasos. Si cada vaso quedó con 18 del jugo. ¿Cuántos vasos usó Renato?

La señora Estela tiene 4 hijos.

3 3 —:—=4 4 16

señora Estela?

3 (11) La señora Estela compró un queque que pesaba 4 kg. Luego, lo repartió 3 entre sus hijos, recibiendo cada uno 16 kg de queque. ¿Cuántos hijos tiene la

117

PSL_6A_TG_C03b.indd 117

22-10-13 12:21

Los 4 canarios consumen 6 tazas de comida semanalmente.

1 1— ·4=6 2

semana. ¿Cuántas tazas de comida consumen semanalmente los 4 canarios?

Cecilia tiene 4 canarios. Cada uno de ellos come 1 2 taza de comida a la

Había 48 niños.

= 48 niños

24 : — = 24 · 2

1 2

25 – 1 = 24 (cantidad de dulces repartidos)

Capítulo 3: Fracciones (2)

Si cada niño recibió 1 paquete de dulces, ¿cuántos niños había?

en varios paquetes de — kg cada uno para repartirlo entre algunos niños.

1 2

(4) Beatriz compró 25 kg de dulces. Se dejó 1 kg para ella. El resto lo distribuyó

(3)

1 2

Capítulo 3: Fracciones (2)

Habían 3 niños y 4 niñas.

2 1 —:—=4 3 6

1 1 —:—=3 3 9

la cantidad de niños y niñas.

correspondiéndole a cada una de ellas — del total de los dulces. Encuentra

1 6

bolsa. Luego, repartió los masticables equitativamente entre las niñas,

tal manera que cada uno recibió — del total de dulces que había en la

1 9

masticables. Las paletas las repartió equitativamente entre los niños, de

1 de ellos eran paletas y el resto eran (6) Isabel tenía una bolsa de dulces. — 3

(cantidad de mostacillas rojas)

Marcia decoró 4 bolsos.

1 2 5 10 1 1 —:—=4 2 8

1–—–—=—

rojas. ¿Cuántos bolsos decoró?

bolsos de algunas de sus amigas. En cada bolso, ocupó — de las mostacillas 8

2 1 (5) Del total de mostacillas que tenía Marcia, 5 eran negras y 10 eran azules. El resto eran rojas. Marcia usó todas las mostacillas rojas para decorar los

118

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22-10-13 12:21

(8)

2 3

1 5

2 15

Al concierto asistieron 90 personas.

8 partes → 48 personas 1 parte → 6 personas 15 partes → 90 personas

2 — del público eran niños. 15 2 2 8 — –— =— 3 15 15

1–— –— =—

2 3

¿cuántas personas asistieron al concierto?

Capítulo 3: Fracciones (2)

hombres y el resto eran niños. Si había 48 mujeres más que el total de niños,

Del total de público asistente a un concierto, — eran mujeres, — eran

Alicia gastó $920.

$15 600 – $4590 = $11 010 $11 010 : 3 = $3670 $4590 – $3670 = $920

Alicia

Camila

gastado

dinero gastó Alicia?

cantidad de dinero, Camila quedó con — de lo que tenía Alicia. ¿Cuánto 4

(7) Camila tenía $4590 y Alicia $15 600. Después que ambas gastaron la misma

12 cm

8 cm

Capítulo 3: Fracciones (2)

17 de la figura está sombreada. 37

17 68 = 37 148

148 cm² – 80 cm² = 68 cm² (área de la parte sombreada)

1 — · 20 · 8 = 80 cm² (área de la parte sin sombrear) 2

8 · 8 = 64 cm² (área del cuadrado) 12 · 7 = 84 cm² (área del rectángulo) 64 cm² + 84 cm² = 148 cm² (área total de la figura)

7 cm

8 cm

(9) La siguiente figura está formada por un cuadrado de 8 cm de lado y un rectángulo de 12 cm por 7 cm. ¿Qué fracción, del área total de la figura, representa la región sombreada?

119

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22-10-13 12:22

(10)

2 5

En un curso hay 25 estudiantes. En total, tienen 135 libros. Las niñas

Cada niña tiene 9 libros.

45 partes → 135 libros 1 parte → 3 libros 3 partes → 9 libros

Capítulo 3: Fracciones (2)

2 partes → 60 bolitas 1 parte → 30 bolitas 15 partes → 450 bolitas

25 – 10 = 15 Hay 15 varones.

Capítulo 3: Fracciones (2)

Andrés tiene 450 bolitas.

70 – 10 = 60

Hay 10 niñas.

(1 · 15) + (3 · 10) = 45

parte, René tendría 10 bolitas más que él. ¿Cuántas bolitas tiene Andrés? 2 1 1 — –— =— 15 5 3

1 su parte, René tendría 70 bolitas más que él. Si Andrés le da a René — de su

1 (11) Andrés y René tienen cierta cantidad de bolitas. Si Andrés le da a René — de

2 — · 25 = 10 5

libros que tiene cada niña. ¿Cuántos libros tiene cada niña?

1 de libros. El resto de los estudiantes son varones y cada uno tiene — de los

corresponden a los — de los estudiantes y cada una tiene la misma cantidad

s. Debió haber invertido la

120

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22-10-13 12:22

Curso:

Fecha:

1 3 7 3 2 — : — = — · — = 2— 10 5 2 5 7

Capítulo 3: Fracciones (2)

Jorge invirtió la primera fracción en vez de invertir la segunda.

2 10 3 (b) 5 : 7 5 21

1 3 3 1 — : — = — · 2 = 1— 5 5 5 2

Jorge multiplicó los numeradores y los denominadores entre sí. Debió haber invertido la segunda fracción antes de multiplicar.

1 3 3 (a) 5 : 2 5 10

En cada uno de los siguientes ejercicios, Jorge cometió un error. Explica el error que pudo haber cometido y muestra el desarrollo y respuesta correctos.

Diario matemático

Nombre: Curso:

Fecha:

1 12 1 1 día → —– 72

Él leyó 36 páginas en 6 días.

1 — · 432 = 36 páginas 12

72 – 20 = 52 partes 52 partes → 312 páginas 1 parte → 6 páginas 72 partes → 432 páginas

20 días → —–

20 72

6 días → —

312 páginas

6 días

1 — 12

20 días

día la misma cantidad de páginas. Lo leído en 6 de esos 20 días, corresponde 1 a 12 del libro. ¿Cuántas páginas leyó en esos 6 días?

páginas de un libro. El resto de las páginas las leyó en 20 días, leyendo cada

Durante las vacaciones, Cristian comenzó leyendo las primeras 312

Desafío

Capítulo 3: Fracciones (2)

Nombre:

121

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22-10-13 12:22

Piensa y resuelve

Curso:

Fecha:

gastado el domingo

$200 + (5 · $150)

Sandra tenía $2280 al principio.

$200 + (5 · $150) = $950 5 partes → $950 1 parte → $190 12 partes → 12 · $190 = $2280

gastado el sábado

principio?

Capítulo 3: Fracciones (2)

los siguientes 5 días, usando $150 diarios. ¿Cuánto dinero tenía Sandra en un

de lo que le quedaba y le dio $200 a su sobrina. El resto del dinero lo gastó en

1 1 Sandra tenía cierta cantidad de dinero. Gastó 6 el sábado. El domingo, gastó 2

Nombre:

Repaso 1

Curso:

Fecha:

(e) 1040 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 13 (f)

(d) 80 y 200 40

(d) 27 + 60

Repaso 1

(b) 70 + 40

(a) 24 + 64 8(3 + 8)

18 + 45 = 9(2 + 5)

3(9 + 20)

10(7 + 4)

(4) Expresa cada suma como un producto entre el máximo común divisor y una suma. Observa el ejemplo.

3 6

Al expresar 114 como producto de sus factores primos, se obtiene 2  3  19, ¿cuál es la expresión para 1140? 2 · 2 · 3 · 5 · 19

Si sabemos que la factorización prima de 200 es 2  2  2  5  5, ¿cuál es la factorización prima de 800? 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5

1800 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5

(3) Calcula el máximo común divisor para cada par de números. (a) 30 y 54 6 (b) 40 y 64 8

(2) (a) (b)

(d) 162

2·3·3·3·3

2·2·7

2·3·5

(b) 30

(a) 12 2 · 2 · 3

(1) Expresa los siguientes números como producto de sus factores primos.

Nombre:

122

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22-10-13 12:22

(d) 3 y 13 39

(d) 9, 16 y 22 1584

Repaso 1

El lado de los cuadrados debe medir 14 m, ya que corresponde al máximo común divisor de 42 y 98.

(b) Un terreno rectangular de 42 m de ancho y 98 m de largo debe ser dividido en cuadrados, lo más grande posible, de tal manera que no sobre terreno. ¿Cuál es la medida del lado de esos cuadrados?

18:18 hrs.

(ii) ¿cuándo parpadearán juntas por segunda vez?

(a) Una luz verde parpadea cada 21 minutos, mientras que una luz blanca lo hace cada 12 minutos. Si ambas partieron parpadeando a las 15:30 horas, (i) ¿cuándo parpadearán al mismo tiempo otra vez? 16:54 hrs.

(d) 27, 81, 75 3; 2025

(8) Resuelve los problemas.

(7) Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes tríos de números. (a) 2, 4 y 10 2; 20 (b) 36, 72, 108 36; 216

(6) Calcula el mínimo común múltiplo de cada trío de números. (a) 9, 12 y 21 252 (b) 7, 15 y 35 105

(5) Calcula el mínimo común múltiplo de cada par de números. (a) 18 y 24 72 (b) 10 y 14 70

Calcula el producto.

4 7 5  = 1 9 3 6

2 15 6  7 = 5 7

Calcula el producto.

6 5 36 5  = 7 · 8 7 8 4 15 = 28

2 10 2 10 2 de 11 = 5 · 11 5 1 4 = 11

(e) 2 6  15 = 42 2

(a) 2 4  16 = 36

(c)

(a)

(c)

(a)

Repaso 1

(11)

(10)

(9) Calcula.

10 2

(f ) 45  2 12 = 108 4

(d) 55  6 11 = 345

(b) 27  1 9 = 33

(d) 3  12 = 2

2 3

10 27

(b) 5  12 = 4

(d) 5  12 = 5 · 12 3 1

(b) 9 de 12 = 9 · 12 3

123

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22-10-13 12:22

(c)

(e) 8 : 4 = 8 · 4

5 = 32

(f )

1 14

2 kg de pollo para hacer la cazuela. 9

8 1 2 · = kg 9 41 9

Marcelo usó

¿Qué cantidad de pollo usó Marcelo para hacer la cazuela?

(13) Marcelo compró 9 kg de pollo. Usó 4 para hacer cazuela.

1 2 2 1 · : 6 = 9 9 6 1 = 27

(d) 7 : 6 = 7 · 6

9 9 1 (b) 11 : 4 = 11 · 4 9 = 44

Resuelve estos problemas. Muestra tu desarrollo.

1 4 4 1 : 12 = 7 · 12 7 1 = 21

(a)

7 7 1 : 5 = 8 · 5 8 7 = 40

(12) Expresa los cocientes de la forma más simple.

Repaso 1

11 km. 15

En total, les repartieron 39 empanadas.

= 39 empanadas

→3

1 empanadas 4 1 12 niños → 12 · 3 4

1 niño

uno. ¿Cuántas empanadas les repartieron en total?

En la celebración de fiestas patrias, 12 niños recibieron 3 4 empanadas cada

Él corrió

11 4 1 11 · = km 5 15 3 12

Repaso 1

(15)

a 5 del total del recorrido. ¿Cuántos kilómetros corrió?

(14) En una carrera, Hernán corrió una distancia de 12 km. Esta distancia corresponde

124

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22-10-13 12:22

Ella usó 16

1 bandeja

1 kg de carne en total. 2

→1

3 kg 8 3 12 bandejas → 12 · 1 8 1 = 16 kg 2

usó en total?

preparó 12 bandejas con la misma cantidad de empanadas. ¿Cuántos kilos de carne

Verónica usó 1 8 kg de carne para preparar una bandeja de empanadas. Ella

1 1 =  24 12 12

El volumen de gelatina en 2 de los moldes era de

2·

3 3 1 :9= · 8 8 93 1 =  24

1 . 12

Calcula el volumen de gelatina en 2 de estos moldes.

Repaso 1

(17) Mauricio repartió equitativamente 8  de gelatina entre 9 moldes iguales.

(16) 2

Repaso 1

Se usó

2 del jardín para plantar flores. 7

flores

hortalizas

1 6 = 7 7 1 62 2 · = 3 7 7

1–

1 se usó para plantar flores. ¿Qué fracción del jardín se usó para plantar flores? 3

Simón vendió 99 repollos en esas dos horas.

11 · 135 = 99 repollos 15

1 2 5 6 11 + = + = 3 5 15 15 15

2 horas?

primera hora, y 5 en la segunda hora. ¿Cuántos repollos vendió en total en esas

Simón vendió 135 repollos en un día. Él vendió 3 de los repollos en la

(19) 7 del jardín de la escuela se utilizó para plantar hortalizas. Del resto del jardín,

(18)

125

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22-10-13 12:22

comida

2 1 4 1 5 + = + = 3 6 6 6 6

2 1 = (resto) 3 3 1 1 1 · = (comida) 2 3 6

1–

pan

5 paquetes

1 Hay del total de harina en cada paquete. 25

1 1 1 1 :5= · = 5 5 5 25

galletas

¿Qué fracción del total de harina hay en cada paquete?

Repaso 1

para hacer pan. El resto de la harina la repartió equitativamente en 5 paquetes.

(21) Matías usó 5 de un paquete de harina para hacer galletas y 4 del resto lo usó

Javiera gastó $7000 en total.

5 · $8400 = $7000 6

movilización

del resto en comida. ¿Cuánto gastó en total?

(20) Javiera gastó $8400 el fin de semana. Ella gastó 3 del total en movilización y 2 1

Romina recorrió 4 de su viaje en bus. Trotó 2 de la distancia restante y

trote

1 parte

→

800 m 3 1 8 partes → 2133 m 3

3 partes → 800 m

7 6 3 21 · = 8 11 44

Ella usó 33,4  de petróleo para su viaje.

21 9 · 70 = 33  33,4  44 22

¿Cuántos litros de petróleo usó en el viaje? Redondea tu resultado a las décimas.

viaje. Ella usó 11 del petróleo en el viaje. El estanque tenía una capacidad de 70 .

Silvana llenó 8 del estanque de su auto con petróleo antes de emprender un

1 m. 3

caminata = 800 m

Romina recorrió en total 2133

bus

caminó el resto del trayecto. Si ella caminó 800 m, ¿qué distancia recorrió en total?

Repaso 1

(23)

(22)

126

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22-10-13 12:23

Método 2

7 28 14 3 4 7 = · = = 1– 10 50 25 10 5 10 7 7 14 35 28 de los asientos son de clase económica. – = – 10 10 25 50 50 1 7 4 = 1– = 5 50 5 1 de los asientos en clase económica, están desocupados. 5 7 1 7 · = 10 5 50 7 de los asientos en clase económica, están desocupados. 50

Método 1

clase económica están desocupados?

4 clase económica. De estos, 5 están ocupados. ¿Qué fracción de los asientos en

10 de los asientos en un tren pertenecen a primera clase. El resto es de

1 3

3 10

→ 5 cajas

Repaso 1

se fue. ¿Cuántas personas quedaron al final de la fiesta?

Quedaron 140 personas al final de la fiesta.

1 parte

7 partes → 35 cajas

personas abandonó la fiesta. Pasada otra hora, 10 del resto de la gente también

El tenía 60 cajas con fruta al principio.

Repaso 1

2 del paquete de harina. 3

300 personas asistieron a una fiesta. Después de una hora, 3 de las

Le sobró

1–

12 partes → 60 cajas

resto

(27)

3 1 = 4 4

8 1 = 9 9 8 3 2 · = 9 4 3

1–

para hacer pizza. ¿Qué fracción del paquete de harina le sobró?

(26) Alicia usó 4 de un paquete de harina para hacer galletas. Ella usó 9 del resto

15 partes → 300 personas 1 parte → 20 personas 7 partes → 7 · 20 = 140 personas

35 cajas

vendido el martes

vender. ¿Cuántas cajas con fruta tenía al principio?

El martes vendió 5 del resto de las cajas. Le quedaron 3 del total de cajas por

(25) Camilo tenía algunas cajas con fruta para vender. Vendió 35 cajas el lunes.

(24)

127

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22-10-13 12:23

7 3 7 · = 5 31 5 2 =1 5

3 7

26 45

26 —– de los empleados están casados. 45

(b) —–— = —–

1222 2115

El total de empleados que están casados es 1222.

564 + 658 = 1222

1 — · 1128 = 564 (mujeres casadas) 2 2 — · 987 = 658 (hombres casados) 3

2115 – 1128 = 987 (hombres)

(a) — · 2115 = 1128 (mujeres)

8 15

(b)

(a)

Repaso 1

26 —– 45

1222

(a) ¿Cuál es el total de empleados que están casados? (b) ¿Qué fracción de los empleados de la fábrica están casados? Expresa tu resultado de la forma más simple.

8 1 Una fábrica cuenta con 2115 empleados. — de ellos son mujeres. — de las (29) 15 2 2 mujeres y — de los hombres son casados. 3

3 5

(28) ¿Calcula — : —?

Repaso 1

Pedro debe dar a Marta 30 estampillas.

(b) 5 partes → 5 · 12 = 60 estampillas 60 : 2 = 30

Ellos tienen 108 estampillas en total.

(a) 1 parte → 12 estampillas 9 partes → 9 · 12 = 108 estampillas

Maisy Marta

Sarina Susana

Prem Pedro

Prem (before buying)

(b) 30 estampillas

(a) 108 estampillas

(a) ¿Cuántas estampillas tienen en total? (b) ¿Cuántas estampillas debe dar Pedro a Marta para que ambos tengan la misma cantidad?

las estampillas de Pedro y 12 estampillas menos que Susana.

1 6

(30) Pedro tiene 3 veces la cantidad de estampillas que tiene Susana. Marta tiene — de

BLANCO

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129

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Horas pedagógicas

Los estudiantes serán capaces de: • dibujar un cuadrado dado el lado. • dibujar un rectángulo, dado el largo y ancho. • dibujar un rombo, dado el lado y un ángulo. • dibujar un paralelogramo, dado dos lados adyacentes y el ángulo comprendido entre ellos. • dibujar un trapecio con los lados paralelos indicados, dado dos lados adyacentes, el ángulo comprendido entre ellos y el ángulo adyacente al ángulo anterior, usando regla, transportador y escuadra.

(2) Dibujando cuadriláteros

Los estudiantes serán capaces de: • dibujar un triángulo, dado dos ángulos y el lado adyacente a los ángulos dados. • dibujar un triángulo, dado dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, usando regla, transportador y escuadra.

(1) Dibujando triángulos

Objetivos

Capítulo 4: Construcciones geométricas

• Libro del Alumno 6A, págs. 95 a 104 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 77 a 85 • Guía del Profesor 6A, págs. 135 a 144

• Libro del Alumno 6A, págs. 91 a 94 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 73 a 76 • Guía del Profesor 6A, págs. 131 a 134

Recursos

Secuenciar

• Secuenciar

•

Habilidades

130

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22-10-13 12:15

Horas pedagógicas

Repaso D

Los estudiantes deben dibujar un triángulo de acuerdo a las instrucciones dadas. Se espera que deduzcan que, el triángulo dibujado es equilátero.

¡Activa tu Mente!

Enfatice los conceptos claves, habilidades y procesos que fueron enseñados en este capítulo.

¡Resumamos!

Objetivos

Capítulo 4: Construcciones geométricas

• Libro del Alumno 6A, págs. 105 a 106 • Guía del Profesor 6A, págs. 145 a 146

• Libro del Alumno 6A, pág. 104 • Cuaderno de Trabajo 6A, pág. 86 • Guía del Profesor 6A, pág. 144

Recursos Deducir

Heurística para resolver problemas: • Dibujar un diagrama

•

Habilidades

Capítulo Cuatro

Construcciones geométricas Concepto clave

Objetivos: Dibujando triángulos

Habilidad

• Un triángulo puede ser dibujado solo si se dan dos ángulos y el lado adyacente a los ángulos, o bien dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.

• Secuenciar

Materiales • Regla • Transportador

Gestión de la clase 1

Construcciones geométricas

¡Aprendamos!

Dibujando triángulos 1 Dibuja un triángulo ABC en el cual BC = 5 cm, ABC = 60° y BCA = 50°. Paso 1 Usando una regla, dibuja BC = 5 cm.

5 cm

60º

100

110 120 70 60 130 50

30 40 150 14 0

80 90 70 100 60 110 0 12 50 0 13

0 10 20 180 170 1 60

170 180 160 0 10 0 15 20 30

60° B

5 cm

60° C

5 cm

Paso 3 Usando un transportador, dibuja un ángulo de 50° en C para localizar el punto A.

A 110 120 70 60 130 50

60°

0 10 20 180 170 1 60

150

170 180 160 0 10 0 15 20 30

14 0

100

60 120

80 90 70 100 110

5 cm

Paso 2 Usando un transportador, dibuja un ángulo de 60° en B.

50º 5 cm

• Demuestre a los estudiantes cómo dibujar un triángulo dado dos ángulos y el lado adyacente a los ángulos dados. • Primero, haga un bosquejo del triángulo. Dígale a los estudiantes que el bosquejo servirá como una guía para dibujar el triángulo de tamaño real de acuerdo a las medidas dadas. • Luego, dibuje el triángulo ABC. Paso 1: Con una regla, dibuje BC = 5cm. Paso 2: Con un transportador, dibuje un ángulo de 60º en B. Paso 3: Con un transportador dibuje un ángulo de 50º en C para localizar el punto A. ABC es el triángulo pedido.

50° C

60°

50° 5 cm

ABC es el triángulo pedido.

Capítulo 4: Construcciones geométricas

131

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22-10-13 12:15

Materiales

Actividad opcional

• Regla • Transportador

• Haga un bosquejo de un triángulo ABC, marque los ángulos a, b y c. Luego asegúrese que los estudiantes puedan identificar los 3 lados y los 3 ángulos del triángulo. • Repase cómo dibujar un ángulo (por ejemplo de 60º, 135º) con una regla y un transportador.

Gestión de la clase 2

• Asigne este ejercicio a modo de práctica guiada. 3

• Muestre a los estudiantes como dibujar un triángulo dado dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. • Pida a los estudiantes que dibujen un bosquejo del triángulo, que les servirá como una guía para dibujar el triángulo de tamaño real de acuerdo a las medidas dadas. • Luego, dibuje el triángulo ABC. Paso 1: con una regla, dibuje BC = 6 cm Paso 2: Con un transportador, dibuje un ángulo de 45º en B.

2 Dibuja un triángulo PQR donde QR = 6 cm, PQR = 40° y QRP = 75°. Paso 1 Usando una regla, dibuja QR = 6 cm.

Paso 3 Usando un transportador, dibuja un ángulo de 75 ° en R para localizar el punto P.

Paso 2 Usando un transportador, dibuja un ángulo de 40 ° en Q.

40º

75º

6 cm

3 Dibuja un triángulo ABC donde AB = 4 cm, BC = 6 cm, y ABC = 45°. Paso 1 Usando una regla, dibuja BC = 6 cm.

4 cm

45°

6 cm

Paso 2 Usando un transportador, dibuja un ángulo de 45º en B.

110 120 70 60 130 50

0 15

0 10 20 180 170 1 30 60 40 150 14 0

160 20 170 180 10 0

45° B

100

80 90 70 100 60 110 120 50 0 13

6 cm

45° B

6 cm

Capítulo 4: Construcciones geométricas

132

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Materiales • Regla • Transportador

Gestión de la clase Paso 3: Con una regla, marque el punto A para que BA = 4 cm. Paso 4: Con una regla, una AC. ABC es el triángulo pedido.

Paso 3 Usando una regla, marca el punto A tal que AB = 4 cm.

4 cm

2 1 0

45° C

6 cm

45°

6 cm

• Asigne este ejercicio a modo de evaluación formativa.

Paso 4 Usando una regla, une A con C.

A 4 cm

45º B

6 cm

ABC es el triángulo pedido. 4 Dibuja un triángulo PQR donde QR = 7 cm, PR = 4 cm y QRP = 50°. Sigue los pasos indicados a continuación: P

Paso 1 Usando una regla, dibuja QR = 7 cm.

4 cm Q

Paso 2 Usando un transportador, dibuja un ángulo de 50 ° en R.

Paso 3 Usando una regla, marca el punto P tal que PR = 4 cm.

50º 7 cm

Paso 4 Usando una regla, une P con Q.

Capítulo 4: Construcciones geométricas

133

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Materiales

Trabajo personal

• Regla • Transportador

• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 4a. • Asigne a sus estudiantes la Práctica 1 y el “Diario matemático” del Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 73 a 76.

Gestión de la clase 5 a

• Los estudiantes primero deben calcular la medida de los dos ángulos basales del triángulo isósceles antes que puedan dibujar el triángulo.

Realiza esta actividad.

Trabaja en pareja.

a Dibuja un triángulo isósceles

• Para poder dibujar el triángulo, los estudiantes deben saber que cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60º.

b Dibuja un triángulo equilátero

ABC de lado 6 cm.

ABC donde AB = AC, BC = 6 cm y BAC = 80°. (Pista: Calcula primero ABC y BCA.) A

6 cm

80º

6 cm

¡Practiquemos! 4a 1 Dibuja cada uno de los siguientes triángulos con las medidas dadas. 4,5 cm a c b 35º

55º 6 cm

30º 40º

55º

100º 4 cm

6,5 cm

105º

5 cm

6 cm

9 cm 7 cm

120º 6 cm

2 Dibuja un triángulo ABC donde BC = 7 cm, BCA = 50° y CAB = 90°.

B 94

50º 7 cm

Cuaderno de Trabajo 6A, p 73, Práctica 1

Capítulo 4: Construcciones geométricas

134

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Objetivos: Dibujando cuadriláteros Los estudiantes serán capaces de: • dibujar un cuadrado dado el lado. • dibujar un rectángulo, dado el largo y ancho. • dibujar un rombo, dado el lado y un ángulo. • dibujar un paralelogramo, dado dos lados adyacentes y el ángulo comprendido entre ellos. • dibujar un trapecio con los lados paralelos indicados, dado dos lados adyacentes,

el ángulo comprendido entre ellos y el ángulo adyacente al ángulo anterior usando regla, transportador y escuadra.

Habilidad • Secuenciar

Conceptos claves • Se puede dibujar un cuadrado si se conoce su lado. • Se puede dibujar un rectángulo si se conoce su largo y ancho. • Se puede dibujar un rombo si se conoce su lado y un ángulo.

• Se puede dibujar un paralelogramo si se conocen dos lados adyacentes y un ángulo de el. • Se puede dibujar un trapecio si se conocen dos lados adyacentes, el ángulo comprendido y el ángulo adyacente al ángulo anterior y también que tenga los lados paralelos indicados.

Materiales • Regla • Transportador

Gestión de la clase 1

¡Aprendamos!

Dibujando cuadriláteros Dibujando cuadrados y rectángulos 1 Dibuja un cuadrado ABCD de lado 3,5 cm.

Paso 1 Usando una regla, dibuja BC = 3,5 cm.

3,5 cm

Paso 2 Usando una escuadra, dibuja líneas perpendiculares a BC en B y en C.

3,5 cm

Paso 3 Usando una regla, marca los puntos A y D tal que BA = 3,5 cm y CD = 3,5 cm. 4

3,5 cm

3 2

3,5 cm

Capítulo 4: Construcciones geométricas

3,5 cm

• Revise con los estudiantes las propiedades de los cuadrados y rectángulos. (i) Los cuatro lados de un cuadrado son iguales. (ii) Los cuatro ángulos de un cuadrado son rectos. (iii) Los lados opuestos de un rectángulo son iguales. (iv) Los cuatro ángulos de un rectángulo son rectos. • Muestre como dibujar un cuadrado dado el lado. Primero, haga un bosquejo de un cuadrado. Diga a los estudiantes que el bosquejo les servirá como guía al dibujar un cuadrado del tamaño real según la medida dada. Luego dibuje el cuadrado. Paso 1: Con una regla, dibuje BC = 3,5 cm. Paso 2: Con una escuadra, dibuje líneas en los puntos B y C, que sean perpendiculares a BC. Paso 3: Con una regla, marque los puntos A y D para que AB = 3,5 cm y CD = 3,5 cm. Paso 4: Con una regla, una los puntos A y D. ABCD es el cuadrado pedido.

C 95

135

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Materiales • Regla • Transportador

Gestión de la clase y 3 • Asigne estos ejercicios a modo de práctica guiada. • Si es necesario, guíe a los estudiantes a realizar los pasos de cómo dibujar un rectángulo, dado su largo y ancho. Primero haga un bosquejo del rectángulo. Diga a los estudiantes que el bosquejo servirá como guía para dibujar el rectángulo con las medidas dadas. • Luego, guíe a los estudiantes para dibujar el rectángulo. Paso 1: con una regla, dibuje QR = 7cm. Paso 2: Con una escuadra, dibuje las líneas en Q y R perpendiculares a QR. Paso 3: Con una regla, marque los puntos P y S donde PQ = 4 cm y RS = 4 cm. Paso 4: Con una regla, una los puntos P y S. PQRS es el rectángulo pedido. 2

Paso 4 Usando una regla, une A con D.

3,5 cm

ABCD es el cuadrado pedido.

3,5 cm

2 Dibuja un cuadrado ABCD de lado 4,5 cm. Paso 1 Usando una regla, dibuja AB = 4,5 cm.

Paso 2 Usando una escuadra y una regla, dibuja líneas en A y B perpendiculares a AB .

4,5 cm A 4,5 cm B

Paso 3 Usando una regla, marca los puntos C y D tal que BC = 4,5 cm y AD = 4,5 cm. Paso 4 Usando una regla, une C con D.

3 Dibuja un rectángulo PQRS donde PQ = 4 cm y QR = 7 cm. Paso 1 Usando una regla, dibuja QR = 7 cm.

Paso 2 Usando una escuadra y una regla, dibuja líneas en Q y R perpendiculares a QR .

4 cm Q

7 cm

Paso 3 Usando una regla, marca los puntos P y S tal que PQ = 4 cm y RS = 4 cm. Paso 4 Usando una regla, une

. P con S

Capítulo 4: Construcciones geométricas

136

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22-10-13 12:15

Gestión de la clase 4

Dibujando rombos y paralelogramos

• Repase con los estudiantes las propiedades del rombo y el paralelogramo. (i) Los cuatro lados del rombo son iguales. (ii) Los lados opuestos del rombo son paralelos. (iii) Los lados opuestos del paralelogramo son iguales. (iv) Los lados opuestos del paralelogramo son paralelos.

4 Recordemos las propiedades de los rombos y paralelogramos.

Un rombo es un cuadrilátero.

PQRS es un rombo. Sus lados opuestos son paralelos. Por lo tanto, tiene dos pares de lados paralelos. SP // RQ y RS // QP

Tiene 4 lados iguales. RS = SP = PQ = QR Sus ángulos opuestos son iguales. QRS = QPS y PQR = PSR

Cada par de ángulos consecutivos suma 180°. QRS PSR = 180° PQR QRS = 180° PQR QPS = 180° QPS PSR = 180°

Un paralelogramo es un cuadrilátero.

JKLM es un paralelogramo. Sus lados opuestos son paralelos. Por lo tanto, tiene dos pares de lados paralelos. KJ // LM y JM // KL

Sus lados opuestos son iguales. JK = ML y JM = KL

Sus ángulos opuestos son iguales. KJM = KLM y JKL = JML

Cada par de ángulos consecutivos suma 180°. KJM JKL = 180° KJM JML = 180° JML KLM = 180° JKL KLM = 180°

Capítulo 4: Construcciones geométricas

137

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22-10-13 12:15

Materiales • Regla • Transportador • Escuadra

Gestión de la clase 5

5 Dibuja un rombo ABCD de lado 4 cm y ABC = 40°.

Paso 1 Usando una regla, dibuja BC = 4 cm. A

4 cm

40º 4 cm

Paso 2 Usando un transportador, dibuja un ángulo de 40° en B.

110 120 70 60 130 50

30 40 150 14 0

100

80 90 70 100 60 110 120 50 0 13

170 180 10 0

0 10 20 180 170 1 60

160 20

40° B

• Muestre a los estudiantes cómo dibujar un rombo, dado el lado y un ángulo. • Primero, haga un bosquejo del rombo. Dígale a los estudiantes que servirá como guía para dibujar el rombo del tamaño de acuerdo a las medidas dadas. Luego, dibuje el rombo. Paso 1: Con una regla, dibuje BC = 4 cm Paso 2: Con un transportador, dibuje un ángulo de 40º en B. Paso 3: Con una regla, marque el punto A de tal manera que AB = 4 cm.

4 cm

40°

4 cm

Paso 3 Usando una regla, marca el punto A tal que BA = 4 cm.

4 cm

A 4 cm

2 1 0

40°

40° 4 cm

4 cm

Capítulo 4: Construcciones geométricas

138

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22-10-13 12:15

Materiales • Regla • Escuadra

Gestión de la clase Paso 4: Usando una regla y escuadra, dibuje una línea que pase por A y paralela a BC. Paso 5: Con una regla, marque el punto D de tal manera que AD = 4 cm. Paso 6: Con la regla, una C y D. ABCD es el rombo pedido.

Paso 4 Usando regla y escuadra, dibuja una línea paralela a BC y que pase por A.

A 4 cm

4 cm

40°

40° B

4 cm

Paso 5 Usando una regla, marca el punto D tal que AD = 4 cm.

4 cm

A 0

D 3

4 cm

40° B

A 5

4 cm

40° 4 cm

4 cm

Paso 6 Usando una regla, une C con D. A

4 cm 40º B

4 cm

ABCD es el rombo pedido.

Capítulo 4: Construcciones geométricas

139

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Materiales • Regla • Transportador • Escuadra

Gestión de la clase 6

• Asigne este ejercicio a modo de práctica guiada. 7

• Repase con sus estudiantes las propiedades del trapecio. (i) Un par de lados opuestos son paralelos. (ii) Cada par de ángulos consecutivos entre líneas paralelas suman 180º.

6 Dibuja un paralelogramo PQRS donde QR = 7 cm, PQ = 6 cm y PQR = 70°. Sigue los pasos indicados a continuación: Paso 1 Usando una regla, dibuja QR = 7 cm.

Paso 2 Usando un transportador, dibuja un ángulo de 70 ° en Q.

Paso 3 Usando una regla, marca el punto P tal que PQ = 6 cm.

Paso 4 Usando una regla y una escuadra, dibuja una línea paralela a QR y que pase por P.

Paso 5 Usando una regla, marca el punto S tal que PS = 7 cm.

Paso 6 Usando una regla, une RS para obtener el paralelogramo PQRS pedido.

Dibujando trapecios 7 Recordemos las propiedades de los trapecios. Un trapecio es un cuadrilátero.

ABCD es un trapecio. Un par de sus lados opuestos son paralelos. AD // BC B

Cada par de ángulos consecutivos entre dos lados paralelos, suma 180°. ABC BAD = 180° BCD ADC = 180°

100

Capítulo 4: Construcciones geométricas

140

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22-10-13 12:16

Materiales • Regla • Transportador • Escuadra

Gestión de la clase 8

Paso 1 Usando una regla, dibuja BC = 6 cm.

4 cm

60º

35º

6 cm

Paso 2 Usando un transportador, dibuja un ángulo de 35° en B.

11 0 12 80 7 0 0 60 130 50

30 4 15 01 0 40

10 0

80 90 70 0 60 1 0 10 01 12 50 0 3 1

0 10 20 180 170 1 60

170 180 60 0 1 10 0 20

35° B

• Luego, muestre cómo dibujar un trapecio con los lados paralelos indicados, dados dos lados adyacentes, el ángulo comprendido y el ángulo adyacente al ángulo anterior. • Primero, haga un bosquejo del trapecio. Dígale a los estudiantes que servirá como guía para dibujar el trapecio del tamaño real de acuerdo a las medidas dadas. Luego, dibuje el trapecio. Paso 1: Con una regla, dibuje BC = 6 cm Paso 2: Con un transportador, dibuje un ángulo de 35º en B. Paso 3: Con una regla, marque el punto A de tal manera que BA = 4 cm.

8 Dibuja un trapecio ABCD donde AD // BC, AB = 4 cm, BC = 6 cm, ABC = 35° y BCD = 60°.

35° C

6 cm

Paso 3 Usando una regla, marca el punto A tal que BA = 4 cm. 5 4 3

A 4 cm

2 1 0

35°

35° 6 cm

Capítulo 4: Construcciones geométricas

6 cm

101

141

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22-10-13 12:16

Materiales • Regla • Transportador • Escuadra

Gestión de la clase Paso 4 Usando una regla y una escuadra, dibuja una línea paralela a BC y que pase por A.

Paso 4: Con una regla y escuadra, dibuje una línea que pase por A y que sea paralela a BC. Paso 5: Con un transportador dibuje un ángulo de 60º en C para localizar el punto D. ABCD es el trapecio pedido.

4 cm

4 cm 35°

35°

6 cm

170 180 60 0 1 10 0 15 20 30

102

60°

35°

4 cm

80 90 100 11 0 70 12 80 7 0 60 110 100 0 0 60 13 0 50 0 12 50 3 1

10 20 180 170 1 30 60 4 15 01 0 40

6 cm

Paso 5 Usando un transportador, dibuja un ángulo de 60° en C. Marca el punto D como se muestra.

6 cm

4 cm 60°

35° B

6 cm

ABCD es el trapecio pedido.

Capítulo 4: Construcciones geométricas

142

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22-10-13 12:16

Materiales

Trabajo personal

• Regla • Transportador • Escuadra

• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 4b.

Gestión de la clase 9

• Asigne este ejercicio a modo de evaluación formativa.

9 Dibuja un trapecio EFGH donde EH // FG, FG = 6 cm, EF = 4 cm, EFG = 95° y FGH = 120°. H

Paso 1 Usando una regla, dibuja FG = 6 cm.

4 cm

Paso 2 Usando un transportador, dibuja un ángulo de 95 ° en F.

Paso 3 Usando una regla, marca el punto E tal que FE = 4 cm.

Paso 4 Usando una regla y una escuadra, dibuja una línea sea paralela a FG y que pase por E.

Paso 5 Usando un transportador, dibuja un ángulo de 120 ° en G. Marca el punto H para obtener el trapecio pedido EFGH.

120°

95° F

6 cm

¡Practiquemos! 4b 1 Dibuja cada una de las siguientes ﬁ guras con las medidas dadas.

G 4,5 cm

6 cm B

6 cm

8,5 cm

2 Dibuja un paralelogramo JKLM y un rombo PQRS con las medidas dadas.

Capítulo 4: Construcciones geométricas

103

143

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22-10-13 12:16

Trabajo personal

Objetivo de la actividad

Trabajo personal

• Asigne a sus estudiantes la Práctica 2 y el “Diario matemático” del Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 77 a 85.

• Los estudiantes deberán construir un triángulo basado en bosquejo e instrucciones dadas y caracterizarlo.

• Asigne a sus estudiantes el “Desafío” del Cuaderno de Trabajo 6A, pág. 86. • Asigne a sus estudiantes el Repaso D del Libro del Alumno 6A, págs. 105 y 106.

Habilidad • Deducir

Heurística para resolver problemas • Dibujar un modelo

Gestión de la clase (¡Resumamos!) • Enfatice los conceptos claves, habilidades y procesos que han sido enseñados en este capítulo.

3 Dibuja un paralelogramo WXYZ donde WX = 5 cm, WZ = 6 cm y XWZ = 110°. 6 cm

4 Dibuja un trapecio PQRS donde PS // QR, QR = 6,5 cm, RS = 3 cm, PQR = 50° y QRS = 70°.

110º

3 cm

5 cm

(¡Activa tu mente!) • Los estudiantes deben dibujar un triángulo de acuerdo a las instrucciones dadas. Se espera que deduzcan que el triángulo dibujado es equilátero.

50 Q

6,5 cm

Y Cuaderno de Trabajo 6A, p 77, Práctica 2.

¡Resumamos! Has aprendido a usar una regla, transportador y escuadra para: • Dibujar un triángulo conociendo la medida de los lados y ángulos necesarios • Dibujar un cuadrado dada la medida de su lado • Dibujar un rectángulo dados el largo y el ancho • Dibujar un rombo, un paralelogramo y un trapecio conociendo la medida de los lados y ángulos necesarios

¡Activa tu mente! Dibuja un triángulo ABC donde AB = 8 cm, A BC = 8 cm y ABC = 60°. Mide el lado AC. ¿Qué puedes concluir 8 cm acerca del triángulo ABC? Mide 8 cm El triángulo ABC es 60º B equilátero 8 cm 104

Cuaderno de Trabajo 6A, p 86, Desafío.

Capítulo 4: Construcciones geométricas

144

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22-10-13 12:16

145

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22-10-13 12:09

5 , 0,96 ó 0,82 6

0,96

81 cm

80,5 cm

4 10,8 10 5

4 0,8 5 e

51 0,51 100 1 0,25 4

25 cm

32 cm

114 cm

¿Cuál es el perímetro de la siguiente figura?

Expresa cada fracción como decimal, o viceversa.

Redondea las siguientes alturas al centímetro más cercano.

0,21 ; 0,2 ; 0,097 ; 0,91 0,097

3,45

9 3 20

3 10 20 10,15

16 cm

16,45 cm

6,997

¿Cuál es el menor de los siguientes números?

7 – 0,003

¿Cuál es el valor del dígito 5 en el número 13,157? 0,05

1,9 – 0,695 1,205

22,011

2,01 + 20,001

83,175

64,9 + 18,275

Calcula el resultado en cada ejercicio.

4 , 5

¿Cuál de los siguientes números es el mayor?

Repaso D

105

146

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22-10-13 12:09

29,37

35,5 m

28,65

6,85

Le faltan 6,13 m

4,55 km 1,78 km ?

Recorrió 10,88 km

106

que la bolsa A. ¿Cuántas fichas tiene la bolsa B?

45 fichas

Repaso D

las de las bolsas B y C suman 120. La bolsa C tiene 3 veces la cantidad de fichas

* 10 Juan tiene 3 bolsas con fichas. Las fichas de las bolsas A y B suman 70, en cambio

domingo

viernes

Dibuja un modelo de barras y calcula el resultado.

1,78 km más que el viernes. ¿Qué distancia recorrió trotando los dos días?

9 María salió a trotar el viernes y el domingo. El viernes trotó 4,55 km y el domingo

madera que tiene

madera que necesita

8 Un carpintero necesita 6,85 m de madera para construir una silla y 28,65 m para una mesa. Él solo dispone de 29,37 m de madera. ¿Cuántos metros de madera le faltan? Dibuja un modelo de barras y calcula el resultado.

7 La señora Elsa preparó 3,5  de jugo en la mañana. A medio día, sus hijos bebieron 1,6  de ese jugo. En la tarde la señora Elsa preparó 0,75  más y los juntó con el jugo restante. ¿Cuánto jugo tiene ahora? 2,65 

147

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22-10-13 12:09

Construcciones geométricas

Curso:

Fecha:

6 cm

45° C

65º

6 cm

45º

Bosquejo del triángulo ABC

7,5 cm

75°

4 cm

4 cm 75° F 7,5 cm

Bosquejo del triángulo EFG

Dibuja un triángulo EFG donde EF = 7,5 cm, FG = 4 cm y EFG = 75°.

65°

Dibuja un triángulo ABC donde BC = 6 cm, ABC = 65° y BCA = 45°.

Capítulo 4: Construcciones geométricas

(2)

(1)

Práctica 1 Dibujando triángulos

Nombre:

148

PSL_6A_TG_C04b.indd 148

22-10-13 12:10

(4)

(3)

100°

5 cm

30°

X 100º 30º 5 cm Z

Bosquejo del triángulo XYZ

XYZ = 100° y YZX = 30°.

5,6 cm

W 5,6 cm

6,2 cm

Bosquejo del triángulo WXY

Capítulo 4: Construcciones geométricas

6,2 cm

Dibuja un triángulo WXY donde WX = 5,6 cm, XY = 6,2 cm y WXY = 90°.

Dibuja un triángulo XYZ donde YZ = 5 cm,

3,5 cm

130°

5,5 cm

Bosquejo del triángulo STU

65° 6 cm

50°

65°

6 cm

50°

Bosquejo del triángulo ABC

Dibuja un triángulo isósceles ABC donde BC = 6 cm, AB = AC y BAC = 50°. (Pista: Calcula primero ABC y ACB.)

130°

5,5 cm

Dibuja un triángulo STU donde ST = 3,5 cm, TU = 5,5 cm y STU = 130°.

Capítulo 4: Construcciones geométricas

(6)

(5)

149

PSL_6A_TG_C04b.indd 149

22-10-13 12:10

5,5 cm

Usando una regla, dibujo CD = 7 cm. Usando un transportador, dibujo un ángulo de 145° en D. Usando una regla, marco el punto E tal que DE = 6 cm. Usando una regla, uno C con E. 145° 7 cm D

6 cm

Capítulo 4: Construcciones geométricas

Bosquejo del triángulo CDE

Dibuja el triángulo CDE donde CDE = 145°, CD = 7 cm y DE = 6 cm.

Haz un bosquejo y escribe los pasos necesarios para dibujar el siguiente triángulo.

5,5 cm

Bosquejo del triángulo JKL

Dibuja un triángulo equilátero JKL de lado 5,5 cm. (Pista: ¿Cuál es la medida de cada ángulo en un triángulo equilátero?)

Diario matemático

(7)

Curso:

Fecha:

5 cm

6,5 cm

Dibuja un cuadrado PQRS de lado 6,5 cm.

Dibuja un cuadrado ABCD de lado 5 cm.

Capítulo 4: Construcciones geométricas

(2)

(1)

P 6,5 cm S

Bosquejo del cuadrado PQRS

A 5 cm

Bosquejo del cuadrado ABCD

Práctica 2 Dibujando cuadriláteros

Nombre:

150

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22-10-13 12:10

(4)

(3)

5,5 cm

W 4 cm

5,5 cm

8,5 cm

9 cm

Capítulo 4: Construcciones geométricas

L 9 cm

K 8,5 cm

Bosquejo del rectángulo KLMN

Bosquejo del rectángulo WXYZ

Dibuja un rectángulo KLMN donde KL = 8,5 cm y LM = 9 cm.

4 cm

Dibuja un rectángulo WXYZ donde WX = 4 cm y XY = 5,5 cm.

D 60°

6 cm

7 cm

6 cm

Recuerda: AD = BC = 7 cm AB = CD = 6 cm ABC = ADC = 60°

60º

Bosquejo del paralelogramo ABCD

Dibuja un paralelogramo ABCD donde BC = 7 cm, CD = 6 cm y ADC = 60°.

Capítulo 4: Construcciones geométricas

(5)

151

PSL_6A_TG_C04b.indd 151

22-10-13 12:10

(7)

(6)

7 cm

130°

7 cm

130°

45°

4,5 cm

D A

45º 4,5 cm C

Capítulo 4: Construcciones geométricas

Bosquejo del rombo ABCD

Dibuja un rombo ABCD donde BC = 4,5 cm y BCD = 45°.

4,3 cm

Bosquejo del paralelogramo EFGH

Dibuja un paralelogramo EFGH donde FG = 4,3 cm, GH = 7 cm y EFG = 130°.

125°

125° F 5,5 cm

115°

P Q

115°

Bosquejo del rombo PQRS

Bosquejo del rombo EFGH

PQ es una línea dada. Dibuja un rombo PQRS donde PQR = 115°.

5,5 cm

Dibuja un rombo EFGH donde FG = 5,5 cm y FGH = 125°.

Capítulo 4: Construcciones geométricas

(9)

(8)

152

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22-10-13 12:10

5 cm

7 cm

140°

115°

140°

115°

Capítulo 4: Construcciones geométricas

7 cm

5 cm

Bosquejo del trapecio MNOP

(10) Dibuja un trapecio MNOP donde NO = 5 cm, MNO = 115°, NOP = 140° y OP = 7 cm.

60° 7,5 cm

80° 7,5 cm

6 cm

Capítulo 4: Construcciones geométricas

4 cm

80°

(12) Dibuja un trapecio CDEF donde CF // DE, DE = 7,5 cm, CF = 6 cm, CD = 4 cm y CDE = 80°.

5 cm

(11) Dibuja un trapecio ABCD donde AD // BC, BC = 7,5 cm, AB = 5 cm, ABC = 60° y DCB = 80°.

60° 7,5 cm

80°

4 cm

7,5 cm

6 cm

Bosquejo del trapecio CDEF

5 cm

Bosquejo del trapecio ABCD

153

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22-10-13 12:10

75°

7 cm

9 cm

6 cm

(13) Dibuja un trapecio ABCD donde AB // DC, AB = 9 cm, CD = 6 cm, AD = 7 cm y BAD = 75°.

9 cm

75°

Capítulo 4: Construcciones geométricas

7 cm

D 6 cm

Bosquejo del trapecio ABCD

Curso:

Fecha:

120° 6 cm

100°

4 cm

120°

Capítulo 4: Construcciones geométricas

6 cm

100° R

Usando una regla, dibujo QR = 6 cm. Usando una transportador, dibujo un ángulo de 120° en Q. Usando una regla, marco el punto P tal que PQ = 4 cm. Usando una regla y una escuadra, dibujo una línea paralela a QR y que pase por P. Usando una transportador, dibujo un ángulo de 100° en R. Marco el punto S para obtener el trapecio requerido.

Escribe los pasos a seguir para dibujar el trapecio PQRS. Luego, dibújalo.

4 cm

Bosquejo del trapecio PQRS

Observa el bosquejo del trapecio PQRS que se muestra a continuación.

Diario matemático

Nombre:

154

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22-10-13 12:10

Desafío

Curso:

Fecha:

3 cm AB = 8,5 cm AC = 8,9 cm

D 7 cm

8 cm

3 cm

D 7 cm C

Capítulo 4: Construcciones geométricas

8 cm

Bosquejo del triángulo ABC

Dibuja un � ABC de base BC = 7 cm, altura AD = 8 cm y BD = 3 cm. Mide el largo de AB y de AC en la figura que dibujes.

Nombre:

BLANCO 155

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22-10-13 12:10

156

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22-10-13 12:03

Horas pedagógicas Objetivos

Los estudiantes serán capaces de: • dividir un decimal hasta con 3 posiciones decimales, por 10, 100 y 1000: (i) Desplazando cada dígito 1, 2 o 3 posiciones hacia la derecha en la tabla de valor posicional. (ii) Desplazando la coma decimal 1, 2 o 3 posiciones hacia la izquierda. • dividir un decimal por múltiplos de 10, 100 y 1000.

(3) Dividiendo por 10, 100, 1000 y sus múltiplos

Los estudiantes serán capaces de: • multiplicar un decimal hasta con 3 posiciones decimales, por 10, 100 y 1000: (i) Desplazando cada dígito 1, 2 ó 3 posiciones, hacia la izquierda en la tabla de valor posicional. (i) Desplazando la coma decimal 1, 2 ó 3 lugares hacia la derecha. • multiplicar un decimal hasta con 3 posiciones decimales, por múltiplos de 10, 100 y 1000.

(2) Multiplicando por 10, 100, 1000 y sus múltiplos

Los estudiantes serán capaces de: • expresar décimos, centésimos y milésimos como fracciones o números mixtos, en su forma más simple.

(1) Expresando decimales como fracciones

Capítulo 5: Decimales

• Libro del Alumno 6A, págs. 120 a 130 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 91 a 96 • Guía del Profesor 6A, págs. 172 a 182

• Libro del Alumno 6A, págs. 109 a 119 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 87 a 90 • Guía del Profesor 6A, págs. 161 a 171

• Libro del Alumno 6A, págs. 107 a 108 • Guía del Profesor 6A, págs. 159 a 160

Recursos

Identificar relaciones

• Inducir • Identificar relaciones en la tabla de valor posicional

•

Habilidades

157

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22-10-13 12:03

Horas pedagógicas Objetivos

Los estudiantes serán capaces de: • redondear sus resultados. • estimar para verificar la razonabilidad de los resultados obtenidos.

(5) Problemas

Los estudiantes serán capaces de: • digitar correctamente números decimales. • sumar y restar decimales. • multiplicar y dividir decimales por un número natural.

(4) Usando una calculadora para operar números decimales

Los estudiantes deben observar los ejemplos y usar el procedimiento más corto para responder las preguntas.

¡Exploremos!

Capítulo 5: Decimales

• Libro del Alumno 6A, págs. 135 a 139 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 99 a 105 • Guía del Profesor 6A, págs. 187 a 191

• Libro del Alumno 6A, págs. 131 a 134 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 97 a 98 • Guía del Profesor 6A, págs. 183 a 186

Recursos

• •

•

Analizar Aplicar estrategias para la resolución de problemas

Secuenciar

Deducir

Habilidades

158

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22-10-13 12:03

Objetivos

Repaso E

Repaso 2

¡Activa tu mente!

Enfatizar en los conceptos claves, habilidades y procedimientos que han sido enseñados en el capítulo. Discutir el ejemplo resuelto con los estudiantes, de modo de evaluar si han logrado el dominio de estos conceptos, habilidades y procedimientos.

¡Resumamos!

Horas pedagógicas

Capítulo 5: Decimales

• Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 111 a 118 • Guía del Profesor 6A, págs. 207 a 211

• Libro del Alumno 6A, págs. 142 a 143 • Guía del Profesor 6A, pág. 194

• Libro del Alumno 6A, págs. 139 a 141 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 106 a 109 • Guía del Profesor 6A, págs. 191 a 193

Recursos

Identificar relaciones Deducir

Heurística para resolver problemas: • Representar la situación • Buscar un patrón • Hacer una lista sistemáticamente • Suponer y comprobar

• •

Habilidades

Capítulo Cinco

Decimales Objetivos: Expresando decimales como fracciones

Conceptos claves • La expresión decimal de un número es otra forma de representar una fracción decimal. • Los decimales pueden ser expresados como fracciones decimales y viceversa.

Los estudiantes serán capaces de: • expresar décimos, centésimos y milésimos como fracciones o números mixtos, en su forma más simple.

Habilidad • Identificar relaciones

Gestión de la clase 1

• Utilice los ejemplos que se presentan, para repasar la transformación de decimales en fracciones de denominador 10 ó 100. • Recuerde a los estudiantes que simplifiquen las fracciones si es necesario.

Decimales ¡Aprendamos!

Expresando decimales como fracciones Décimos y centésimos 1

Recuerda que:

3 a 0,3 = 10

1,3 = 110

11,3 = 1110

7 b 0,07 = 100

0,8 = 10 = 5

1,07 = 1100

2,8 = 2

8 4 = 2 10 5

22,8 = 22

8 4 = 22 10 5

0,24 = 100 = 25 5,24 = 5 8

100

24 100

= 5

6 25

pueden ser simplifi cadas. 8 8 : 2 4 = = 10 10 : 2 5

24 24 : 4 6 = = 100 100 : 4 25

Capítulo 5: Decimales

107

159

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22-10-13 12:03

Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 5a.

Gestión de la clase 2

• Utilice los ejemplos que se presentan, para repasar con los estudiantes la transformación de decimales a fracciones de denominador 1000. • Recuerde a los estudiantes que simplifiquen las fracciones si es necesario.

Milésimos 2

Recuerda que: 1

0,001 = 1000

1,001 = 1 1000

0,004 = 1000 = 250 2,004 = 2

1 4 = 2 250 1000

0,027 = 1000

3,027 = 3 1000

215

0,215 = 1000 = 6,215 = 6

43 200

215 43 = 6 1000 200

¡Practiquemos! 5a

1 Expresa cada decimal como una fracción o número mixto. Simplifi ca, cuando sea posible.

108

a 6,7 6 7

10 c 7,08 7 2 25 3 e 0,075 40 g 1,035 1 7 200

1 2 51 d 5,51 5 100 179 f 2,179 2 1000 1 h 6,004 6 250 b 12,5 12

Capítulo 5: Decimales

160

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22-10-13 12:03

Objetivos: Multiplicando por 10, 100 y 1000, y sus múltiplos

• multiplicar un decimal hasta con 3 posiciones decimales, por múltiplos de 10, 100 y 1000.

Los estudiantes serán capaces de: • multiplicar un decimal hasta con 3 posiciones decimales, por 10, 100 y 1000: (i) Desplazando cada dígito 1, 2 ó 3 posiciones, hacia la izquierda en la tabla de valor posicional. (ii) Desplazando la coma decimal 1, 2 ó 3 lugares hacia la derecha.

Conceptos claves

Habilidades • Inducir • Identificar relaciones en la tabla de valor posicional

• Cuando un número se multiplica por 10, 100 ó 1000: (i) Cada dígito del número se desplaza 1, 2 ó 3 posiciones hacia la izquierda en la tabla de valor posicional. (ii) La coma decimal se desplaza 1, 2 ó 3 posiciones hacia la derecha.

Gestión de la clase 1

¡Aprendamos!

Multiplicando por 10, 100 y 1000, y sus múltiplos Multiplicando por 10 1 a Empezando de 0 en la recta numérica, Luisa avanza a saltos de 0,1. ¿Dónde estará después de 10 saltos?

• Muestre a los estudiantes ejemplos de multiplicación de décimos, centésimos y milésimos por 10, transformando los decimales en fracciones. Ejemplo: 2 · 10 = 2 0,2 · 10 = 10

1,2 · 10 =

0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

0,1  10 = 10  10

= 10

= 1

0,02 · 10 =

Recuerda que 3  2 = 2  3 Entonces, 10  0,1 = 0,1  10

1 décimo = 0,1 =

0,12 · 10 =

b Empezando desde 0 en la recta numérica, Tomás avanza a saltos de 0,11.

Lisa estará en el número 1 de la recta numérica.

1,1

0,11 0,11 0,11 0,11 0,11 0,11 0,11 0,11 0,11 0,11

12 · 10 100

0,002 · 10 =

¿Dónde estará después de 10 saltos?

2 = 0,2 10

0,012 · 10 =

0,11  10 = 100  10

= 10

= 110

= 1,1

11 1

Tomás estará en el número 1,1 de la recta numérica.

Capítulo 5: Decimales

2 · 10 100

1 10

12 · 10 = 12 10

109

12 = 1,2 10 2 · 10 1000 2 = 0,02 100 12 · 10 1000 12 = 0,12 100

• Establezca la relación entre los ejemplos anteriores y el procedimiento mostrado en el Libro del Alumno de dar pasos hacia adelante en una recta numérica.

161

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22-10-13 12:03

Gestión de la clase 2

• Asigne a sus estudiantes este ejercicio, como evaluación formativa.

c Empezando desde 0 en la recta numérica, Paula avanza a saltos de 0,111.

¿Dónde estará después de 10 saltos?

1,11

0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 0,111 111

0,111  10 = 1000  10

= 100 = 1100

= 1,11

111

Paula estará en el número 1,11 de la recta numérica.

2 Expresa cada decimal como una fracción y luego multiplica. Escribe tu resultado como un decimal cuando sea necesario.

110

a 0,7  10 = 7  10 = 7

b 0,07  10 = 7  10 = 0,7

c 0,23  10 = 2,3

d 0,023  10 = 0,23

e 0,004  10 = 0,04

f 0,404  10 = 4,04

100

Capítulo 5: Decimales

162

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22-10-13 12:03

Materiales • Tabla de valor posicional (Ver Apéndice 5 en la página 335).

Gestión de la clase 3

1  10 = 10 11  10 = 110 111  10 = 1110

Examina la siguiente tabla. Centenas

Número 1

11  10

0,1  10 = 1 0,11  10 = 1,1 0,111  10 = 1,11

Decenas

Unidades

Número

Décimas

Centésimas

1  10

Número

0,1  10

Número

0,11  10

En cada caso, ¿qué pasó con los dígitos del número cuando lo multiplicamos por 10? Cada dígito se desplaza 1 posición hacia la Observa este otro ejemplo: izquierda en la tabla de valor posicional.

Decenas Unidades Número 5,928  10

Décimas Centésimas Milésimas

• Guíe a sus estudiantes a ver que cuando un número se multiplica por 10, cada uno de sus dígitos se desplaza 1 posición hacia la izquierda en la tabla de valor posicional. • Destaque que esto ocurre porque el valor de cada dígito se vuelve 10 veces más grande. • Muestre una tabla de valor posicional que incluya desde la posición de las unidades de mil hasta las milésimas. Luego muestre la multiplicación de 5,928 por 10, desplazando cada uno de los dígitos de 5,928 en una posición hacia la izquierda. • También puede mostrar la multiplicación de esta forma: 5,928 · 10 = 5 unidades 9 décimos 2 centésimos 8 milésimos · 10 = 5 decenas 9 unidades 2 décimos 8 centésimos

5,928  10 = 59,28

Capítulo 5: Decimales

111

163

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22-10-13 12:04

Gestión de la clase 4

• Asigne a sus estudiantes esta actividad como una práctica guiada y para que refuercen la multiplicación por 10. Pídales que muestren hacia donde se desplaza cada dígito en la tabla de valor posicional, al multiplicar un número por 10. • Guíe a los estudiantes a darse cuenta que, el camino más corto para multiplicar un decimal por 10, es desplazar la coma 1 posición hacia la derecha. 5

• Asigne a sus estudiantes estos ejercicios, como evaluación formativa.

Realiza esta actividad. Completa la tabla siguiendo el ejemplo. Centenas

Décimas Centésimas

Decenas

Unidades

8 1

0,168

1,68  10

16,8 16,8  10

1,68 1,68  10

Milésimas

¿Qué resultados obtuviste?

16,8  10 = 168

1,68  10 = 16,8

0,168  10 = 1,68

También podemos obtener los resultados de esta forma.

1 6,8  10 = 168

1,6 8  10 = 16,8

0,1 6 8  10 = 1,68

8 8

Al multiplicar un número decimal por 10, existe un camino más corto para obtener el resultado. Basta con mover la coma decimal 1 lugar hacia la derecha.

a 5 , 9  10 = 59

b 5 , 9 2 8  10 = 59,28

5 Calcula cada producto:

a 4,5  10 = 45

b 0,56  10 = 5,6

c 12,6  10 = 126

d 0,027  10 = 0,27

e 3,08  10 = 30,8

f 5,078  10 = 50,78

112

Capítulo 5: Decimales

164

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22-10-13 12:04

Gestión de la clase 6

• Asigne a sus estudiantes estos ejercicios como evaluación formativa.

6 Calcula los números que faltan.

a 0,03  10 = 0,3

b 57,3  10 = 573

c 26,47  10 = 264,7

d 10  8,145 = 81,45

Multiplicando por múltiplos de 10 7

3  20 = 60 2 0  3 6 0 También podemos resolver la multiplicación de esta forma:

Del mismo modo,

Recordemos algunos múltiplos de 10: 20, 30, 40, 50, ...

3  20 = 3  2  10 = 6  10 = 60 0,3  20 = 0,3  2  10 = 0,6  10 = 6 0,03  20 = 0,03  2  10 = 0,06  10 = 0,6

• Use el ejemplo 3 · 20 para mostrar que multiplicar por 20 es lo mismo que multiplicar por 2 y luego por 10. • Continúe con un ejemplo de multiplicación de un número decimal por un múltiplo de 10 y muestre que se puede calcular de la misma forma. 0,3 · 20 = 0,3 · 2 · 10 = 0,6 · 10 = 6 De la misma manera: 0,33 · 20 = 0,33 · 2 · 10 = 0,66 · 10 = 6,6 8

• Asigne a sus estudiantes estos ejercicios, como práctica guiada.

8 ¿Cuáles son los números que faltan?

a 4  30 = 4  3  10

= 12  10 = 120

c 0,04  30 = 0,04  3  10

= 0,12  10 = 1,2

b 0,4  30 = 0,4  3  10

= 1,2  10 = 12

d 0,004  30 = 0,004  3  10 = 0,012  10 = 0,12

Matemática Pida a su hijo o hija que le muestre cómo multiplicar un decimal por 10 utilizando estos dos métodos: en la casa (1) desplazando los dígitos (2) moviendo la coma decimal

Capítulo 5: Decimales

113

165

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22-10-13 12:04

Gestión de la clase 9

• Repita el procedimiento de cálculo utilizado de 1 a 6 para enseñar a los estudiantes cómo multiplicar un decimal por 100 y 1000.

Multiplicando por 100 y 1000 9 Observa estos ejemplos.

• Asigne estos ejercicios a sus estudiantes, como evaluación formativa.

3 i 0,3  100 =  100 10

= 3  10 = 30

3 i 0,03  100 = 100  100

= 3

3 i 0,003  100 = 1000  100 3 = 10 = 0,3

3 ii 0,3  1000 = 10  1000

= 3  100 = 300

3 ii 0,03  1000 = 100  1000

= 3  10 = 30

3 ii 0,003  1000 = 1000  1000

= 3

10 Expresa cada decimal como fracción y luego multiplica. Escribe el resultado en

forma decimal cuando sea necesario. 9 a 0,09  100 =  100 100

0,9  100 = 90

= 9

0,18  100 = 18

0,018  100 = 1,8

66 0,066  1000 =  1000 1000

0,06  1000 = 60

0,117  1000 = 117

0,017  1000 = 17

114

= 66

Capítulo 5: Decimales

166

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22-10-13 12:04

Gestión de la clase 11

11 Examina la siguiente tabla. Unidades de mil

Unidades

Décimas Centésimas

Centenas

Decenas

0 0

Milésimas

Número 3  100 3

3  1000 Número 0,003  100

0,003  1000

000,3 es 0,3 y 0003 es 3.

• Destaque que: (i) Al multiplicar un número por 100, cada uno de sus dígitos se desplaza 2 posiciones a la izquierda, en la tabla de valor posicional. (ii) Al multiplicar un número por 1000, cada uno de sus dígitos se desplaza 3 posiciones a la izquierda, en la tabla de valor posicional.

¿Qué observas en los dígitos de un número cuando lo multiplicas por 100 o por 1000?

Observa estos otros ejemplos. Unidades de mil

Centenas

Decenas

Número 8,549 × 100 8,549 × 1000

8 5

8,549  100 = 854,9

8,549  1000 = 8549

Capítulo 5: Decimales

5 4

Unidades

Décimas Centésimas

4 9

Milésimas

115

167

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22-10-13 12:04

Gestión de la clase 12

• Utilice esta actividad como una práctica guiada y para reforzar la multiplicación por 100. Pida a los estudiantes que indiquen hacia dónde se desplaza cada dígito al multiplicar el número por 100 y por 1000. Guíelos a darse cuenta que: (i) El camino más corto para multiplicar un decimal por 100 es mover la coma 2 posiciones hacia la derecha. (ii) El camino más corto para multiplicar un decimal por 1000 es mover la coma 3 posiciones hacia la derecha.

Realiza esta actividad. Completa la tabla siguiendo el ejemplo. Unidades de mil

Centenas

12,03  100

0 0

3,009  100 4,19 0,013

0,013  1000

Décimas Centésimas

Unidades

3,009

4,19  1000

Decenas

12,03

¿Qué resultados obtuviste?

12,03  100 = 1203

3,009  100 = 300,9

4,19  1000 = 4190

0,013  1000 = 13

También podemos obtener los resultados de esta otra manera.

1 2 ,0 3  100 = 1203

3,0 0 9  100 = 300,9

4 ,1 9  1000 = 4190

0 , 0 1 3  1000 = 13

116

Milésimas

Capítulo 5: Decimales

168

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22-10-13 12:04

Gestión de la clase 13

Al multiplicar un número decimal por 100, existe un camino más corto para obtener el resultado.

a 8 , 5 4 9  100 = 854,9

c 8 , 5 4 9  1000 = 8549

d 8 , 5 4  1000 = 8540

y 14 • Asigne a los estudiantes estos ejercicios, como evaluación formativa.

Basta con mover la coma 2 lugares hacia la derecha.

b 8 , 5  100 = 850

Entonces, al multiplicar un número decimal por 1000, sólo mueve la coma 3 lugares hacia la derecha.

13 Calcula los productos siguientes:

a 2,9  100 = 290

b 3,09  100 = 309

c 1,259  100 = 125,9

d 4,7  1000 = 4700

e 4,75  1000 = 4750

f 0,475  1000 = 475

14 Completa con los números que faltan.

a 3,1  100 = 310

b 5,029  100 = 502,9

c 14,03  1000 = 14 030

d 1000  0,045 = 45

e 0,23  100 = 23

f 1000  1,302 = 1302

Matemática en la casa

Pida a su hijo o hija que le muestre cómo multiplicar un decimal por 100 y por 1000, usando estos dos métodos: (1) desplazando los dígitos (2) moviendo la coma decimal

Capítulo 5: Decimales

117

169

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Materiales

Nota

• Una regla milimetrada • Una regla métrica

• Explique a sus estudiantes que se entiende por longitud de la palma de una mano y el largo de un paso. Muestre cómo medir ambas longitudes correctamente.

Gestión de la clase 15

• Utilice los ejemplos para mostrar a los estudiantes que: (i) Multiplicar por 200 es lo mismo que multiplicar por 2 y luego por 100. (ii) Multiplicar por 3000 es lo mismo que multiplicar por 3 y luego por 1000. 16

Multiplicando por múltiplos de 100 y de 1000 15 Multiplica a 0,8 por 200 y b 0,14 por 3000.

a 0,8  200 = 0,8  2  100

b 0,14  3000 = 0,14  3  1000

= 1,6  100 = 160

= 0,42  1000 = 420

16 ¿Cuáles son los números que faltan? a 0,7  400 = 0,7 

4  100

• Asigne a los estudiantes esta actividad, como una práctica guiada.

= 2,8  100

= 280

b 0,19  4000 = 0,19  4  1000

= 0,76  1000

• Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. Asegúrese que cada pareja tenga una regla pequeña y una regla métrica.

= 760

c 0,143  3000 = 0,143 

= 0,429  1000

= 429

3  1000

• Los estudiantes deben usar la regla milimetrada para medir su palma en cm, redondeando al milímetro más cercano (1 decimal). Pídales que multipliquen la medida obtenida y encuentren la longitud de 10 y 50 veces su palma en cm. b

• Los estudiantes deben usar la regla métrica para medir uno de sus pasos en metros, redondeando al milímetro más cercano. Pídales que multipliquen la medida obtenida y encuentren la longitud de 100 y 1000 pasos en metros.

Realiza esta actividad.

Trabaja en parejas. a Usa una regla para medir la longitud de la palma de tu mano en centímetros, redondea a una posición decimal. Calculen la medida de:

i 10 veces su palma en centímetros.

ii 50 veces su palma en centímetros.

b Usa una huincha métrica para medir el largo de tu paso en metros, redondea

Respuestas varían. a dos posiciones decimales. Halla la distancia que habrías caminado si hubieras dado:

i 100 pasos

ii 1000 pasos

Escriban sus respuestas en metros. Respuestas varían.

118

1 paso Capítulo 5: Decimales

170

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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 5b. • Pídales que realicen la Práctica 1 del Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 87 a 90.

¡Practiquemos! 5b 1 Completa la siguiente tabla. Número

24,5

3,54

0,136

2,079

42,05

Número  10

245

35,4

1,36

20,79

420,5

Número  100

2450

354

13,6

207,9

4205

Número  1000

24 500

3540

136

2079

42 050

2 Calcula el producto en cada caso:

a 0,5  30

d 0,44  60

b 1,5  50

26,4

75 1,89

e 0,027  70

0,04  40

0,127  80

1,6 10,16

3 Calcula el producto en cada caso:

a 0,2  300

d 0,24  600

60 144

b 1,6  400

640

e 2,36  700

c 2,6  500

1300

1652

f 0,018  800

14,4

26 100

c 0,46  6000

2760

4 Calcula el producto en cada caso:

a 0,3  2000

d 1,05  4000

600 4200

b 8,7  3000 e 0,021  7000

147

f 2,019  5000

10 095

5 Completa con los números que faltan.

Ejemplo 168,9 = 16,89  10 = 1,689  100

a 35,6 = 3,56  10 = 0,356  100

b 58 = 5,8  10 = 0,58  100 = 0,058  1000

c 2365 = 236,5  10 = 23,65  100 = 2,365  1000 Cuaderno de Trabajo 6A, p 87, Práctica 1.

Capítulo 5: Decimales

119

171

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22-10-13 12:04

Objetivos: Dividiendo por 10, 100 y 1000, y sus múltiplos Los estudiantes serán capaces de: • dividir un decimal hasta con 3 posiciones decimales, por 10, 100 y 1000: (i) Desplazando cada dígito 1, 2 o 3 posiciones hacia la derecha en la tabla de valor posicional. (ii) Desplazando la coma decimal 1, 2 o 3 posiciones hacia la izquierda.

Habilidades

• dividir un decimal por múltiplos de 10, 100 y 1000.

• Inducir • Identificar relaciones en la tabla de valor valor posicional

Conceptos claves • Cuando un número se divide por 10, 100 o 1000: (i) Cada dígito del número se desplaza 1, 2 o 3 posiciones hacia la derecha en la tabla de valor posicional. (ii) La coma decimal se mueve 1, 2 o 3 posiciones hacia la izquierda.

Gestión de la clase 1

• Muestre a los estudiantes ejemplos de divisiones de décimos, centésimos y milésimos por 10, transformando los decimales en fracciones. Ejemplo: 2 : 10 0,2 : 10 =

¡Aprendamos!

Dividiendo por 10, 100 y 1000, y sus múltiplos Dividiendo por 10 1 a Empezando desde 1 en la recta numérica, Alex da 10 saltos iguales hacia atrás y llega al punto 0. ¿Cuál es la medida de cada salto?

2 1 2 · = 10 10 100

0 ?

= 0,02 1,2 : 10 = =

1 ?

12 : 10 10

2 1 · 100 10

2 = 0,002 1000

0,12 : 10 =

12 : 10 100

12 1 · 100 10

= 10

= 0,1

b Empezando desde 0,1 en la recta numérica, Rita da 10 saltos iguales hacia

La medida de cada salto es 0,1. atrás y llega al punto 0. ¿Cuál es la medida de cada salto?

0,1 ?

0,1 : 10 = 10 : 10

12 = = 0,012 1000

• Establezca la relación entre los ejemplos anteriores y el procedimiento de dar pasos hacia atrás en una recta numérica.

= 0,12 2 : 10 100

1 : 10 = 1  10

12 1 12 · = 10 10 100

0,02 : 10 =

= 10  10

= 100

= 0,01

La medida de cada salto es 0,01. 120

Capítulo 5: Decimales

172

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Gestión de la clase 2

c Empezando desde 0,11 en la recta numérica, Sandra da 10 saltos iguales hacia

atrás y llega al punto 0. ¿Cuál es la medida de cada salto? 0

y 3 • Asigne a sus estudiantes estos ejercicios, como evaluación formativa.

0,11 ?

0,11 : 10 = 100 : 10 11

= 100  10

= 1000

= 0,011

La medida de cada salto es 0,011.

2 Calcula los cocientes y escríbelos como números decimales.

a 3 : 10 = 0,3

b 17 : 10 = 1,7

c 307 : 10 = 30,7

d 3017 : 10 = 301,7

3 Expresa cada número decimal como fracción y luego divide. Escribe tu resultado en forma decimal.

a 0,3 : 10 = 0,03

b 0,31 : 10 = 0,031

c 0,17 : 10 = 0,017

d 0,07 : 10 = 0,007

Capítulo 5: Decimales

121

173

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Materiales • Tabla de valor posicional (Ver Apéndice 5 en la página 335)

Gestión de la clase 4

• Guíe a sus estudiantes a darse cuenta que al dividir un número por 10, cada uno de sus dígitos se desplaza 1 posición hacia la derecha en la tabla de valor posicional. • Destaque que esto ocurre porque el valor de cada dígito se vuelve 10 veces más pequeño. • Muestre una tabla de valor posicional que incluya desde la posición de las unidades de mil hasta las milésimas. Luego muestre la división de 43,07 por 10, desplazando cada uno de los dígitos de 43,07 en una posición hacia la derecha. • También puede mostrar la división de esta forma: 43,07 : 10 = 4 decenas 3 unidades 7 centésimos : 10 = 4 unidades 3 décimos 7 milésimos = 4,307

4 Examina la siguiente tabla. Centenas

Decenas

Unidades

110 : 10

Número

Décimas Centésimas

10 : 10

Número

1 : 10

Número

0,1 : 10

11,0 es 11 y 1,0 es 1.

En cada caso, ¿qué pasó con los dígitos del número cuando lo dividimos por 10? Cada dígito se desplaza 1 posición hacia la derecha en la tabla de valor posicional.

Observa este otro ejemplo. Centenas

Número 43,07 : 10

122

Décimas Centésimas

Decenas

Unidades

Milésimas

43,07 : 10 = 4,307

Capítulo 5: Decimales

174

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22-10-13 12:05

Gestión de la clase 5

• Utilice esta actividad como una práctica guiada para reforzar la división por 10. Pida a los estudiantes que indiquen hacia dónde se desplaza cada dígito al dividir el número por 10. • Guíelos a darse cuenta que el camino más corto para dividir un decimal por 10, es mover la coma decimal 1 posición hacia la izquierda.

Realiza esta actividad. Completa la siguiente tabla, siguiendo el ejemplo. Centenas

Decenas

Unidades

163 : 10

72,6

163

Décimas Centésimas

72,6 : 10

0,29

0,20 : 10

¿Qué resultado obtuviste?

163 : 10 = 16,3

Milésimas

72,6 : 10 = 7,26

0,29 : 10 = 0,029

También podemos obtener los resultados moviendo la coma decimal.

1 6 3 : 10 = 16,3

7 2 ,6 : 10 = 7,26

0 ,2 9 : 10 = 0,029

Para dividir un número por 10, existe un camino más corto para obtener el cociente. Basta con mover la coma decimal 1 lugar hacia la izquierda.

a 4 3 , 0 7 : 10 = 4,307

Capítulo 5: Decimales

b 4 3 , 7 : 10 = 4,37

123

175

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22-10-13 12:05

Gestión de la clase 6

• Asigne a los estudiantes estos ejercicios, como evaluación formativa. 7

• Use el ejemplo 60 : 20 para demostrar a los estudiantes que dividir por 20 es lo mismo que dividir por 2 y luego por 10. Muestre un ejemplo de un decimal dividido por un múltiplo de 10 y muestre que puede resolverse de la misma forma. 0,6 : 20 = 0,6 : 2 : 10 = 0,3 : 10 = 0,03

6 Calcula el cociente en cada caso:

a 291 : 10 = 29,1

b 49,1 : 10 = 4,91

c 6,31 : 10 = 0,631

d 4,07 : 10 = 0,407

e 6,78 : 10 = 0,678

f 89,02 : 10 = 8,902

g 45,6 : 10 = 4,56

h 0,55 : 10 = 0,055

i 391,4 : 10 = 39,14

j 10,08 : 10 = 1,008

Dividiendo por múltiplos de 10 7 60

60 : 20 = 20 = 3 También podemos resolver la división de esta forma:

60 : 20 = 60 : 2 : 10 = 30 : 10 = 3

Del mismo modo, 6 : 20 = 6 : 2 : 10 = 3 : 10 = 0,3

Matemática en la casa

124

0,6 : 20 = 0,6 : 2 : 10 = 0,3 : 10 = 0,03

0,06 : 20 = 0,06 : 2 : 10 = 0,03 : 10 = 0,003

Pida a su hijo o hija que le muestre cómo dividir un decimal por 10, usando estos dos métodos: (1) desplazando los dígitos (2) moviendo la coma decimal Capítulo 5: Decimales

176

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22-10-13 12:05

Gestión de la clase 8

8 ¿Cuáles son los números que faltan?

a 8 : 40 = 8 : 4 : 10

= 2 : 10

= 0,2 : 10

= 0,2

= 0,02

c 0,08 : 40 = 0,08 : 4 : 10

b 0,8 : 40 = 0,8 :

• Asigne a sus estudiantes esta actividad, como una práctica guiada.

4 : 10

• Repita el procedimiento de cálculo utilizado desde la actividad 1 a la 6 para enseñar a los estudiantes a dividir un decimal por 100 y por 1000.

= 0,02 : 10 = 0,002

Dividiendo por 100 y por 1000 9 Examina estos ejemplos:

30 30 : 100 = 100 3 = 10

0,3 : 100 = 10 : 100

= 10  100

= 1000

= 0,003

30 : 1000 = 1000

= 100

= 0,03

3 b 3 : 100 = 100

• Asigne a los estudiantes esta actividad, como evaluación formativa.

= 0,03

= 0,3 3 3

300 d 300 : 1000 = 1000 3 = 10

= 0,3

3 f 3 : 1000 = 1000

= 0,003

10 Divide, utilizando el método presentado en 9 . a 70 : 100 = 0,7

b 7 : 100 = 0,07

c 0,7 : 100 = 0,007

d 7,7 : 100 = 0,077

e 900 : 1000 = 0,9

f 90 : 1000 = 0,09

g 99 : 1000 = 0,099

h 9 : 1000 = 0,009

Capítulo 5: Decimales

125

177

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22-10-13 12:05

Gestión de la clase 11

• Destaque lo siguiente: (i) Al dividir un número por 100, cada uno de sus dígitos se desplaza 2 posiciones hacia la derecha, en la tabla de valor posicional. (ii) Al dividir un número por 1000, cada uno de sus dígitos se desplaza 3 posiciones hacia la derecha, en la tabla de valor posicional.

11 Observa la siguiente tabla. Unidades de mil

Centenas

Decenas

Unidades

3000 : 1000

Número

Número 3000 : 100

Décimas Centésimas

3 : 100

3 : 1000

Milésimas

30,00 es 30 y 3,000 es 3.

Cuando dividimos un número por 100, cada uno de sus dígitos se desplaza 2 posiciones hacia la derecha, en la tabla de valor posicional.

Observa estos otros ejemplos.

Número

Unidades de mil

Centenas

Decenas

Unidades

4071 : 100 4071 : 1000

126

Entonces, cuando dividimos un número por 1000, cada uno de sus dígitos se desplaza 3 posiciones hacia la derecha, en la tabla de valor posicional.

Décimas Centésimas

Milésimas

4071 : 100 = 40,71 4071 : 1000 = 4,071 Capítulo 5: Decimales

178

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22-10-13 12:05

Gestión de la clase 12

Realiza esta actividad. Completa la siguiente tabla. Guíate por el ejemplo. Unidades de mil

Décimas Centésimas

Decenas

Unidades

5 2

235 : 100 53,2 53,2 : 100 64

6 4

5 9

4061 : 1000

¿Qué resultado obtuviste?

235 : 100 = 2,35

53,2 : 100 = 0,532

64 : 1000 = 0,064

4061 : 1000 = 4,061

También podemos obtener los cocientes moviendo la coma decimal.

2 3 5 : 100 = 2,35

5 3 ,2 : 100 = 0,532

6 4 : 1000 = 0,064

4 0 6 1 : 1000 = 4,061

Capítulo 5: Decimales

Milésimas

64 : 1000 4061

Centenas

235

• Utilice esta actividad como una práctica guiada para reforzar la división por 100. Pida a los estudiantes que indiquen hacia dónde se desplaza cada dígito al dividir el número por 100 y por 1000. • Guíelos a darse cuenta que: (i) El camino más corto para dividir un decimal por 100, es mover la coma 2 posiciones hacia la izquierda. (ii) El camino más corto para dividir un decimal por 1000, es mover la coma 3 posiciones hacia la izquierda.

127

179

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22-10-13 12:05

Gestión de la clase 13

y 14 • Asigne a los estudiantes estos ejercicios, como evaluación formativa.

Para dividir un número decimal por 100, existe un camino más corto para obtener el resultado.

Basta con mover la coma decimal 2 lugares hacia la izquierda.

a 4 0 , 7 : 100 = 0,407

b 4 0 7 : 100 = 4,07

Entonces, al dividir un número decimal por 1000, sólo mueve la coma 3 lugares hacia la izquierda.

c 4 0 7 1 : 1000 = 4,071

13 Calcula el cociente en cada caso:

a 308 : 100 = 3,08

b 3,8 : 100 = 0,038

c 30,8 : 100 = 0,308

d 2016 : 1000 = 2,016

e 201 : 1000 = 0,201

f 26 : 1000 = 0,026

14 Completa con los números que faltan.

a 420 : 100 = 4,2

b 70,5 : 100 = 0,705

c 1061 : 1000 = 1,061

d 890 : 1000 = 0,89

f 67 250 : 1000 = 67,25

Matemática en la casa

128

301 : 100 = 3,01

Pida a su hijo o hija que le muestre cómo dividir un decimal por 100 y por 1000, usando estos dos métodos: (1) desplazando los dígitos (2) moviendo la coma decimal Capítulo 5: Decimales

180

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22-10-13 12:05

Objetivo de la actividad • Los estudiantes deberán analizar los ejemplos y resolver los ejercicios dados, usando el método más corto.

Habilidad • Deducir

Gestión de la clase 15

• Utilice los ejemplos para mostrar que: (i) Dividir por 200 es lo mismo que dividir por 2 y luego por 100. (ii) Dividir por 3000 es lo mismo que dividir por 3 y luego por 1000.

Dividiendo por múltiplos de 100 y de 1000 15 Divide a 28 por 200 y b 69 por 3000.

a 28 : 200 = 28 : 2 : 100

= 14 : 100 = 0,14

b 69 : 3000 = 69 : 3 : 1000

= 23 : 1000 = 0,023

16 ¿Cuáles son los números que faltan?

a 16 : 400 = 16 :

= 4 : 100

= 9 : 1000

= 0,04

= 0,009

• Asigne a sus estudiantes estas actividades, como una práctica guiada.

4 : 100

b 36 : 4000 = 36 : 4 : 1000

(¡Exploremos!) • Esta tarea requiere que los estudiantes encuentren una regularidad o patrón en los ejemplos resueltos, para anticipar los resultados de otros 2 ejercicios del mismo tipo.

¡Exploremos! Observa estas tres multiplicaciones:

9  7 = 63

0,09  7 = 100  7

= 100

= 0,63

0,9  7 = 10  7

= 10

= 6,3

Dado que 23  8 = 184, resuelve estos ejercicios sin realizar el cálculo completo: i

2,3  8

18,4

Capítulo 5: Decimales

0,23  8

1,84 129

181

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22-10-13 12:06

Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 5c. • Pídales que realicen la Práctica 2 del Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 91 a 96.

¡Practiquemos! 5c 1 Completa la siguiente tabla. 4078

407

47,8

4,7

4,78

407,8

40,7

4,78

0,47

0,478

4078

407,8

407

47,8

4,7

Número Número : 10 Número Número : 100

40,78 4,078

0,478 0,047

4078

4780

4070

4,078

4,78

4,07 0,408 0,48

Número Número : 1000

4,07

408

480

2 Calcula el cociente y exprésalo como número decimal:

a 18 : 30 0,6

b 1,6 : 40

d 2,05 : 50 0,041

e 0,14 : 70

0,04 0,002

c 24 : 60

0,4

f 1,68 : 80 0,021

3 Resuelve las siguientes divisiones:

a 93 : 300

d 164 : 2000 0,082

0,31

b 19,2 : 600 0,032

c 49,7 : 700

e 75 : 5000

f 2164 : 4000

0,015

0,071 0,541

4 Completa con los números que faltan.

Ejemplo 0,23 = 2,3 : 10 = 23 : 100 = 230 : 1000

a 0,68 = 6,8 : 10 = 68 : 100 = 680 : 1000

b 3,72 = 37,2 : 10 = 372 : 100 = 3720 : 1000

c 4,165 = 41,65 : 10 = 416,5 : 100 = 4165 : 1000

Cuaderno de Trabajo 6A, p 91, Práctica 2.

130

Capítulo 5: Decimales

182

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Objetivos: Usando una calculadora para operar números decimales Los estudiantes serán capaces de: • digitar correctamente números decimales. • sumar y restar decimales. • multiplicar y dividir decimales por un número natural.

Conceptos claves

Nota

• Comprensión del concepto de valor posicional. • Las cuatro operaciones aritméticas.

• Explíqueles que para digitar la coma decimal en las calculadoras, se debe presionar la tecla marcada con un punto. En la pantalla de la calculadora sucede lo mismo, es decir, aparecerá un punto en vez de la coma.

Habilidad • Secuenciar

Materiales • Calculadora científica

Gestión de la clase 1

¡Aprendamos!

Usando una calculadora para operar números decimales 1 Sigue los pasos para digitar decimales en tu calculadora

Enciende la calculadora.

Para digitar 50,78 presiona: 5 0 . 7 8 Para digitar 125,50 presiona: 1 2 5 . 5 0

Pantalla

0 50.78 125.50

Realiza esta actividad.

Trabaja en parejas.

Cada uno digita estos decimales en su calculadora. Borren la pantalla de la

calculadora antes de digitar el decimal siguiente.

a 7,031

536,5

c 28,65

1090,25

• Permita que los estudiantes practiquen en su calculadora la digitación de los decimales dados, para luego comparar con sus compañeros si lo han hecho correctamente. Pídales que cada uno lea el valor de los decimales a su pareja.

Compara los números obtenidos en tu calculadora con los de tu pareja. ¿Obtuvieron ambos los mismos números en la pantalla?

3 a Suma 23,06 y 8,799.

El resultado es 31,859.

Capítulo 5: Decimales

Presiona C

• Muestre a los estudiantes cómo ingresar un decimal en la calculadora, por ejemplo 50,78. Pida que lean el número como cincuenta coma setenta y ocho y que digan el valor que representa como: cincuenta unidades con siete décimos y ocho centésimos o cincuenta unidades con setenta y ocho centésimos. • Muestre otros ejemplos similares. Recuerde a los estudiantes que borren los números anteriores en la calculadora antes de ingresar uno nuevo.

Pantalla

2 3 . 0 6

23.06

+ 8 . 7 9 9

8.799

31.859 131

3 a

• Muestre cómo se realiza la suma de dos decimales con una calculadora. • Pida a los estudiantes que repitan la operación, presionando las teclas correctas en sus calculadoras. Pídales que den el valor que representa el resultado obtenido.

183

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Materiales • Calculadora científica

Gestión de la clase b

• Explíqueles que la calculadora no muestra el resultado con las unidades de medida. Señale a los estudiantes que las unidades de medida deben ser escritas en sus respuestas.

b Calcula la suma de

1275,50 m y 876,75 m. Recuerda escribir la unidad de medida correcta en tu respuesta.

Presiona

Pantalla

1 2 7 5 . 5 0

1275.50

+ 8 7 6 . 7 5

876.75

2152.25

• Del mismo modo, utilice esta actividad para mostrar la sustracción de dos decimales.

La suma de 1275,50 m y 876,75 m es 2152,25 m.

4 a Resta 87,72 de 126,5.

El resultado es 38,78.

b Calcula la diferencia entre

10,05 kg y 240,8 kg. Recuerda escribir kg en tu respuesta.

132

Presiona C

Pantalla

1 2 6 . 5

126.5

− 8 7 . 7 2

87.72

38.78

Presiona C

Pantalla

2 4 0 . 8

240.8

− 1 0 . 0 5

10.05

230.75

La diferencia entre 10,05 kg y 240,8 kg es 230,75 kg.

Capítulo 5: Decimales

184

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Materiales • Calculadora científica

Gestión de la clase 5

Realiza esta actividad. Trabaja en parejas para calcular estas sumas.

a 176,07  28,94 205,01

b 656,8 m  93,74 m

c 102,1  4,063 98,037

d 325,60 kg  65,05 kg

750,54 m 260,55 kg

Compara tus resultados con los de tu compañero(a).

6 a Calcula el área de un

Presiona rectángulo de 36 cm de largo C y 24,57 cm de ancho.

3 6  2 4 . 5 7

b Multiplica 70,8 por 29.

El área es 884,52 cm².

Presiona C 7 0 . 8  2 9

• Pídales que en parejas, practiquen la adición y sustracción de números decimales. • Recuérdeles que borren la pantalla antes de hacer un nuevo cálculo. • Pídales que digan con palabras, los resultados que obtienen.

El resultado es 2053,2 .

Pantalla

0 36 24.57 884.52 Pantalla

• Muestre como se realiza la multiplicación de un número natural por un decimal, usando una calculadora. • Repase con sus estudiantes la fórmula para calcular el área de un rectángulo: Área de un rectángulo = largo · ancho.

70.8 29 2053.2

Recuerda escribir en tu respuesta.

Capítulo 5: Decimales

133

185

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Materiales

Trabajo personal

• Calculadora científica

• Asigne a sus estudiantes la Práctica 3 del Cuaderno de Trabajo 6A, págs 97 a 98.

Gestión de la clase 7

• Muestre cómo se realiza la división usando la calculadora.

7 a Divide 5,688 por 18.

• Pida a los estudiantes que trabajen en parejas para practicar el uso de la calculadora para multiplicar y dividir. • Recuérdeles borrar los resultados antes de empezar una nueva operación. • Pida a los estudiantes que lean los resultados a su compañero.

Presiona C

Pantalla

5 . 6 8 8

5.688

÷ 1 8

El resultado es 0,316.

b Calcula 375,25 g : 25. Recuerda escribir g en tu respuesta.

0.316

Presiona C

Pantalla

3 7 5 . 2 5

÷ 2 5

375.25 25 15.01

El resultado es 15,01 g.

Realiza esta actividad. Trabaja en parejas para calcular el resultado de estas operaciones.

a 6,043  34

c 4,875 : 15 0,325

d 1436,50 : 26

e 0,79  23

f 12,054  78

940,212

g 3,213 : 1,5 2,142

h 13,345 : 4,25

3,14

Compara tus resultados con los de tu compañero(a).

205,462

18,285

b 42 cm  25,8 cm

1083,6 cm2 55,25

Cuaderno de Trabajo 6A, p 97, Práctica 3.

134

Capítulo 5: Decimales

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Concepto clave

Objetivos: Problemas

• Aplicación de conceptos y habilidades relacionados con las cuatro operaciones, para resolver problemas.

Los estudiantes serán capaces de resolver problemas de varios pasos, que involucren decimales y: • redondear sus resultados. • estimar para verificar la razonabilidad de los resultados obtenidos.

Habilidades • Analizar • Aplicar estrategias para la resolución de problemas.

Materiales • Calculadora científica

Gestión de la clase 1

¡Aprendamos!

Problemas 1

13 monedas de 10 pesos se han colocado en fi la, una al lado de la otra, como muestra la imagen. Cada moneda mide 2,1 cm de ancho. ¿Cuál es el largo total de la fi la de monedas?

2,1 cm

? Largo total de la fi la de monedas = 13  2,1

Presiona

= 27,3 El largo total de la fi la de monedas es 27,3 cm.

1 3  2 . 1 =

Estima 13  2,1 para verifi car que el resultado sea razonable.

Pantalla

13 2.1 27.3

13  2,1 ≈ 10  2 = 20 27,3 cm es un resultado razonable.

• Muestre a los estudiantes cómo resolver problemas usando los siguientes pasos: Paso 1: pídales que lean el problema para identificar los datos y la información que está implícita: “¿Cuál es el ancho de cada moneda?” (1,68 cm) “¿Cuántas monedas hay en la fila?” (13) “¿Qué se busca?” (el largo total de la fila de monedas) Paso 2: pida a los estudiantes que observen el diagrama que representa la fila de monedas y pregúnteles: “¿Pueden escribir una frase numérica?” “¿Cómo saben que tienen que multiplicar?” Paso 3: en este caso, escribir la frase numérica adecuada permitirá resolver el problema: 13 · 1,68 cm = 21,84 cm

También puedes chequear tu resultado calculando de atrás hacia adelante. Usa tu calculadora para resolver 27,3 : 13. ¿Qué resultado debieras obtener?

Capítulo 5: Decimales

Paso 4: pida a los estudiantes que verifiquen su resultado estimando o realizando el trabajo de atrás hacia adelante, como se muestra en el Libro del Alumno.

Debiera obtener 2,1.

135

187

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Actividad adicional • Repase el proceso de resolución de problemas. Paso 1: leer el problema atentamente. Identificar la información explícita e implícita. Expresar lo que se necesita encontrar. Si es necesario, dibujar diagramas o modelos que ayuden a entender el problema. Paso 2: pensar qué estrategia puede ser utilizada para resolver el problema. Por ejemplo, escribir una frase numérica, dibujar un modelo hacer una tabla, suponer y comprobar, etc.

Materiales

Paso 3: aplicar la estrategia y ver si funciona. Si no sirve, pensar en una distinta. Paso 4: analizar el resultado para ver si es razonable. Si es posible, realizar el trabajo atrás hacia adelante para verificar el resultado.

• Calculadora científica

Gestión de la clase 2

• Asigne a los estudiantes este problema, como una práctica guiada. 3

• Desarrolle este ejemplo paso por paso, como se indica en 1 .

El peso de una moneda de $100 es 7,58 g. Calcula el peso total de 96 de las mismas monedas.

Peso total = 96 · 7,58

El peso total de las monedas es g. 727,68

Estima 96  7,58 para verificar si el resultado es razonable. ¿Cómo lo harías usando la calculadora?

g 727,68

3 Un trozo de género de 6,5 m de largo fue cortado en dos pedazos. Uno de los pedazos es el doble de largo que el otro. ¿Cuál es la medida del pedazo más largo? Escribe tu resultado con 2 decimales. Pedazo más largo 6,5 m Pedazo más corto

A partir del modelo, 6,5 m 3 partes 6,5 : 3 ≈ 2,167 m 1 parte 2 partes 2  2,167 = 4,334 m ≈ 4,33 m

La medida del pedazo más largo es aproximadamente 4,33 m.

Presiona

Pantalla

6.5

6 . 5

2.16666...

÷ 3 =

2 . 1 6 7

2.167 2

 2 =

4.334

Puedo estimar para verificar si el resultado es razonable. 4,33 ≈ 4 4 : 2  3 = 6 ≈ 6,5 Entonces 4,33 m es razonable. 136

Capítulo 5: Decimales

188

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Materiales • Calculadora científica • Avisos publicitarios de comida, encontrados en el diario.

Gestión de la clase 4

Una tienda deportiva tiene 6 bolas de bowling livianas y 6 bolas de bowling pesadas. El peso de una bola pesada es el doble de la de una liviana. El peso total de las 12 bolas es 67,1 kg. Calcula el peso total de las 6 bolas pesadas, redondeada al kilogramo más cercano. Bolas pesadas

A partir del modelo, 18 partes

67,1 kg

1 parte

67,1 : 18 ≈ 3,7 kg

12 partes

12  3,7 = 44,4 kg

El peso total de 6 bolas de bowling pesadas, redondeada al kilogramo más cercano, es cerca de 44 kg.

• Pida que en esta actividad trabajen en parejas y que intercambien roles una vez que terminen.

67,1 kg

Bolas livianas

• Asigne a los estudiantes esta actividad como una práctica guiada.

≈ 44 kg

Realiza esta actividad.

Trabaja en parejas. Traigan a la clase un aviso publicitario de un diario o revista, que muestre productos que se ofrecen en el supermercado. El estudiante A actuará como un cliente y el estudiante B será el cajero.

a El cliente elegirá 3 productos y la cantidad de cada uno que quiera comprar,

por ejemplo: 600 g de uva a $900 el kg 1,5 kg de pan a $1120 el kg 900 g de salmón a $3980 el kg

b El cliente calculará el costo total de la compra.

c El cajero obtendrá en su calculadora el costo total de la compra. Luego

d Jueguen por turnos.

comparará esa cantidad con la estimación que hizo el cliente.

Capítulo 5: Decimales

137

189

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Materiales

Trabajo personal

• Calculadora científica

• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 5d.

¡Practiquemos! 5d Resuelve estos problemas. Comprueba tu resultado calculando de atrás hacia adelante. Escribe el desarrollo.

Carol mide un pizarrón con su palma y observa que mide 28 palmas de largo. Su palma mide 18,4 cm de largo. ¿Cuál es la medida del pizarrón?

Una caja contiene 24 tarros de leche en polvo. El peso de cada tarro es 0,39 kg. Halla el peso de los 24 tarros de leche en polvo.

515,2 cm

9,36 kg

Un paquete de pescado pesaba 1,450 kg y 1 paquete de cordero pesaba 1,80 kg. Un vendedor ambulante compró 16 paquetes de pescado y 24 paquetes de cordero. ¿Cuánto pesó la compra?

66,4 kg

La suma de dos números es 70,4. Uno de los números es 19 veces el otro. ¿Cuáles son los dos números? 3,52 y 66,88

El área de un cuadrado es 49 cm². El área de un rectángulo es 19,9 cm² mayor que la del cuadrado. El largo del rectángulo es 12 cm. Calcula el ancho del rectángulo en centímetros, redondeado a 2 posiciones decimales. 5,74 cm

La señora Alicia compró 2 bolsas de arroz que pesaban 1,75 kg cada una y 3 bolsas que pesaban 0,8 kg cada una. ¿Cuál fue el peso total de arroz que compró la señora Alicia? 5,9 kg

7 La familia de Olga consumió un total de 13,7 kg de papas en enero y febrero. Su familia consumió 5,3 kg más de papas en febrero que en enero. ¿Cuántos kilogramos de papas consumió la familia de Olga en febrero? 9,5 kg

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Capítulo 5: Decimales

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Materiales

Trabajo personal

• Calculadora científica

• Asigne a sus estudiantes la Práctica 4 y el “Diario matemático” del Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 99 a 105.

Gestión de la clase 8

Lili tiene 2 barras azules y 5 rojas. El largo de una barra azul es tres veces el de una barra roja. El largo total de las 7 barras es 127 cm. Calcula el largo de una barra azul, redondeado a dos posiciones decimales.

34,64 cm

(¡Resumamos!) • Enfatice los conceptos claves, habilidades y procesos que han sido trabajados en el capítulo.

9 El perímetro de un rectángulo es 45,8 cm. El perímetro de un cuadrado es 28,6 cm más largo que el del rectángulo. Calcula el largo de cada lado del cuadrado.

18,6 cm

10 Dos cubos de diferente tamaño contienen 34,5 de agua entre los dos. Al traspasar 0,68 de agua desde el cubo más grande al más pequeño, la cantidad de agua en el más grande es 9 veces la cantidad del cubo más pequeño. ¿Cuánta agua había en cada cubo al principio? Escribe tu respuesta en litros. Volúmen en el cubo más pequeño al principio = 2,77 Volúmen en el cubo más grande al principio = 31,73

Calcula el área de un rectángulo de ancho 2,345 m y de largo 3,731 m.

Redondea tu respuesta a dos posiciones decimales. 8,75 m²

Cuaderno de Trabajo 6A, p 99, Práctica 4.

¡Resumamos! Has aprendido a: • • • • •

Expresar decimales como fracciones o números mixtos Multiplicar y dividir un decimal por 10, 100 y 1000 Multiplicar y dividir un decimal por múltiplos de 10, 100 ó 1000 Usar estimaciones para verifi car si las respuestas son razonables Usar la calculadora para operar números decimales

Capítulo 5: Decimales

139

191

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Gestión de la clase (¡Repasemos!) • Comente el ejemplo resuelto con los estudiantes para evaluar si dominan los conceptos, habilidades y procedimientos estudiados.

¡Repasemos! Los estudiantes de Quinto Básico C pintaron unos trozos de papel para un proyecto de arte en el colegio. Cada trozo tiene un área de 6,25 cm². Los estudiantes pintaron 200 trozos de papel en un día. Al fi nalizar el segundo día, los estudiantes pegaron todos los papeles, uno al lado del otro, en una gran lámina de cartón. Luego cortaron el cartón en 40 tiras del mismo tamaño. a

¿Cuál era el área total de todos los trozos de papel que ellos habían pintado en los dos días? Cantidad de trozos pintados en 2 días = 2  200 = 400 Área total = 6,25  400 = 6,25  4  100 = 25  100 = 2500 cm2 El área total de todos los trozos de papel que ellos habían pintado fue de 2500 cm2.

¿Cuál era el área de cada tira? Escribe tu resultado como número mixto. 2500 40 250 = 4 125 = 2 1 = 62 2 cm2

Área de cada tira =

El área de cada tira era 62 2 cm2.

140

Capítulo 5: Decimales

192

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22-10-13 12:07

Objetivo de la actividad • Los estudiantes deberán usar una lista para anotar los resultados posibles e ir comprobando si son correctos.

Habilidades

Heurísticas para resolver problemas • Representar la situación • Buscar un patrón • Hacer una lista sistemáticamente • Suponer y comprobar

• Identificar relaciones • Deducir

Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes las secciones “Desafío” , “Piensa y resuelve” y el Repaso 2 del Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 106 a 118. • Asigne a sus estudiantes el Repaso E del Libro del Alumno 6A, págs. 142 y 143.

Gestión de la clase (¡Activa tu mente!) 1

¡Activa tu mente! Resuelve los siguientes problemas. 1

Una lámina de forro plástico mide 0,12 cm de grosor. La lámina es plegada varias veces, y cada vez que se pliega, se duplica su grosor. ¿Cuál será su grosor luego de doblarla 4 veces? ¿Cuál es el número mínimo de pliegues que debes hacer para que el ancho de la lámina sea mayor que 3,6 cm?

Don Simón compró para su restaurante un total de 20 bolsas de papas y cebollas. Cada bolsa de papas pesaba 1,5 kg y cada bolsa de cebollas pesaba 2,5 kg. El peso total de las cebollas era 18 kg mayor que el peso total de las papas. ¿Cuántas bolsas de cada producto compró Don Simón?

y 2

• Primero, pida a los estudiantes que anoten la información que puedan extraer de los enunciados de los problemas. • Luego, organice la información en una tabla y haga una lista de los valores posibles y compruebelos, para obtener las respuestas.

Solución: Cantidad de pliegues

Grosor (cm)

1 2 3 4 5

2  0,12 4  0,12 8  0,12 16  0,12 = 1,92 cm 32  0,12 = 3,84 cm

El grosor del plástico, luego de ser doblado 4 veces será 1,92 cm. Debo darle 5 pliegues para que el grosor sea mayor que 3,6 cm.

Solución: Cantidad de bolsas de papas

10 9 8

Cantidad de bolsas de cebollas

10 11 12

Peso total de las papas

Peso total de las cebollas

Diferencia de peso

15 kg 13,5 kg 12 kg

25 kg 27,5 kg 30 kg

10 kg 14 kg 18 kg

Don Simón compró 8 bolsas de papas y 12 de cebollas. Cuaderno de Trabajo 6A, p 106, Desafío.

Capítulo 5: Decimales

Cuaderno de Trabajo 6A, p 107, Piensa y resuelve.

141

193

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22-10-13 12:07

194

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22-10-13 11:54

quedó a María?

$(7000 – m)

1 m 5,5 m

largo = 5 cm

142

60,5 cm²

b ¿Cuál será el área del 10º triángulo?

largo = 4 cm

largo = 3 cm

2º

4º

largo = 2 cm

1º

3º

6 Examina la siguiente secuencia de triángulos isósceles:

Repaso E

5 La edad promedio de 3 varones y 1 niña es 11 años. Si la niña tiene 10 años, ¿cuánto suman las edades de los tres varones? 34 años

8 m

1 m

Jardín

a ¿Cuál es el área de cada triángulo? 2 cm²; 4,5 cm²; 8 cm²; 12,5 cm²

4 Un jardín rectangular está rodeado por un camino de 1 m de ancho. Calcula el área del camino. 23 m²

b Jorge compró 3 bebidas en lata y pagó con $5000.

a María tenía $10 000, le dio $m a su mamá y gastó $3000. ¿Cuánto dinero le

Si recibió $n de vuelto, ¿cuánto costaba cada una de las bebidas que compró Jorge? $ 5000 – n 3 3 ¿Qué fracción es 28 meses de 7 años? Exprésalo de forma simplificada. 1 3

b 20 – 4  12 : 3

2 Resuelve, y responde con una expresión algebraica.

¿Coinciden los resultados?

a (20 – 4)  12 : 3

1 Calcula el resultado de ambos ejercicios.

Repaso E

81 cm²

es 216 cm². ¿Cuál es el área del �BCE?

triángulo BCE. El área del rectángulo

El rectángulo ABCD contiene un

18 cm

D 3 cm

8 Un farmacéutico dispone de 0,453 kg de cierto producto químico. Él va a emplear 0,012 kg en cada dosis de un remedio que está elaborando. ¿Para cuántas dosis le alcanza? 37 dosis ¿Qué cantidad del producto químico le sobrará? Le sobrarán 0,009 kg

¿Cuántas estampillas tenía Juan inicialmente?

¿Cuántas veces aparecerá el número 5 en los próximos 52 números?

Repaso E

2, 5, 8, 11, 2, 5, 8, 11, 2, 5, 8, 11, ...

40 estampillas

11 Examine la siguiente secuencia numérica:

143

* 10 Juan y Sara comparten estampillas. Si Juan le diera a Sara la mitad de sus 1 estampillas, Sara tendría 48 estampillas más que Juan. Pero, si Juan le diera de sus 4 estampillas, Sara quedaría con 28 estampillas más que Juan.

7 En cada uno de los siguientes casos usa la figura unitaria para crear una teselación en el espacio disponible.

195

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22-10-13 11:54

Decimales

Curso:

Fecha:

(e) 0,02  10 =

Capítulo 5: Decimales

(a) 0,5  10 =

(2) Multiplica.

(a) 0,2  10 =

 10

34,2

2  100

0,2

2,22

222  1000

2 10

(h) 10  12,009 =

(f) 10  27,54 =

(d) 7,035  10 =

(b) 1,9  10 =

(f) 0,002  10 =

(d) 0,125  10 =

(b) 0,22  10 =

120,09

275,4

70,35

0,02

2  1000

1,25

125  1000

 10

2,2

22 100

(1) Expresa los números decimales como fracción. Luego multiplica.

Práctica 1 Multiplicando por 10, 100 y 1000, y sus múltiplos

Nombre:

196

PSL_6A_TG_C05b.indd 196

22-10-13 11:55

(e) 0,04  10 =

(g) 0,183  10 =

(i) 10  53,42 =

534,2

0,4

1,83

9,7

= 4  10

(e) 34,6  50 =

(a) 0,05  80 =

1730

2,5

(5) Calcula los siguientes productos:

400

 10

= 40  10

(a) 8  50 = 8  5

(4) Multiplica por múltiplos de 10.

(a) 0,7  10 =

(3) Multiplica.

19,07

24,68

157,2

81,5

= 4,4  10

(f) 23,05  40 =

(d) 6,358  30 =

Capítulo 5: Decimales

922

190,74

641,9

44,4

= 4,44  10

(b) 9,17  70 =

(d) 0,888  50 = 0,888  5  10

(b) 0,88  50 = 0,88  5  10

(j) 10  1,907 =

(h) 10  2,468 =

(f) 15,72  10 =

(d) 8,15  10 =

(b) 3,6  10 =

 100

(e) 46,8  100 = (g) 5,095  100 =

(o) 1000  10,81 =

Capítulo 5: Decimales

(m) 2,74  1000 =

(k) 9,097  1000 =

(i) 1,8  1000 =

(a) 1,3  100 =

10 810

2740

9097

1800

509,5

4680

419,6

130

 1000

5 100

0,5

5  100 1000

5 10

(e) 0,05  1000 =

(a) 0,5  100 =

(7) Multiplica por 100 ó por 1000.

5 10

7007

(p) 108,1  1000 =

108 100

(n) 27,4  1000 = 27 400

(l) 1000  7,007 =

2100

5095

468

7430

5  1000 1000

500

 1000

680

(j) 2,1  1000 =

(h) 100  50,95 =

(f) 4,68  100 =

(d) 100  74,3 =

(b) 6,8  100 =

(f) 0,005  1000 =

(d) 0,5  1000 =

(b) 0,05  100 = 100  100

(6) Expresa el número decimal como fracción. Luego, multiplica.

197

PSL_6A_TG_C05b.indd 197

22-10-13 11:55

(d) 7256 =

 10 =

0,006

(e) 72,5  6000 = 435 000

2862

900

(a) 4,5  200 =

 100

= 0,36 

(f) 9000  4,19 =

(d) 1,8  2000 =

(b) 3,148  500 =

 1000 =

2,1

210

 100 =

Capítulo 5: Decimales

37 710

3600

1574

 1000

1000

7,256

 100 = 0,438

 1000

 1000 =

 1000

 100 =

(10) Calcula los siguientes productos:

(d) 0,003  2000 = 0,003 

0,06

0,021

(b) 0,003  700 = 0,003 

2,1

(a) 0,3  700 = 0,3  7  100

100 100

72,56

4,38

= 3,6 

725,6

43,8

= 0,012 

(9) Multiplica por múltiplos 100 ó 1000.

(b) 360 = 36 

(a) 1,2 = 0,12 

(8) Completa los espacios en blanco.

Curso:

Fecha:

Capítulo 5: Decimales

(a) 6 : 10 =

6,46 0,705 18,04

21,5

0,002



: 10

2 1000

2 100

0,6

2 100

0,7

7 10

(a) 7 : 10 =

(2) Divide.

(1) Divide.

1 10



: 10

(j) 1,84 : 10 =

(h) 0,75 : 10 =

(f) 4,08 : 10 =

(d) 5,2 : 10 =

(b) 54 : 10 =



0,184

0,075

0,408

0,52

5,4

0,093

93 1000

93 100

0,02

2 10

= 100

2 10

(d) 0,93 : 10 = 100 : 10

(b) 0,2 : 10 =

1 10

Práctica 2 Dividiendo por 10, 100 y 1000, y sus múltiplos

Nombre:

198

PSL_6A_TG_C05b.indd 198

22-10-13 11:55

(e) 1,8 : 90 = 1,8 :

4,5

(f) 27 : 60 = 27 : 6 :

0,2

: 10 =

: 10

: 10 =

: 10

: 10 =

: 10

: 10 =

0,05

(d) 0,2 : 40 = 0,2 : 4 :

0,03

0,3

(b) 0,9 : 30 = 0,9 :

(a) 9 : 30 = 9 :

(4) Divide por múltiplos de 10.

: 10

= 4,106

= 2,37

: 10 = 6,4

(e)

(a) 23,7 :

(3) ¿Cuál es el número que falta?

0,45

0,02

0,005

0,003

0,03

0,3

(f)

(d)

5,9

(b) 0,78 :

= 0,078

Capítulo 5: Decimales

: 10 = 0,59

: 10 = 0,2

(g) 6,21 : 30 =

Capítulo 5: Decimales

(b) 6 : 100 =

(a) 60 : 100 =

(6) Divide por 100.

(e) 3,5 : 70 =

(a) 4,8 : 20 =

0,6



1 100

: 100

0,006

6 1000

6 10

0,06

6 100

60 100

0,207

0,05

0,026

0,24

(5) Divide por múltiplos de 10.

(h) 5,49 : 90 =

(f) 0,3 : 60 =

(d) 2,55 : 50 =

(b) 0,32 : 40 =

0,061

0,005

0,051

0,008

199

PSL_6A_TG_C05b.indd 199

22-10-13 11:55

(e) 500 : 1000 =

0,5

500 1000

(e) 900 : 1000 =

(g) 909 : 1000 =

(a) 7,5 : 100 =

0,075

60,01

0,9

0,909

100 1000

0,1

0,002

(8) Divide por 100 ó por 1000.

2 1000

(a) 2 : 1000 =

(7) Divide por 1000.

810

9,009

4,103

7,082

0,493

0,81

Capítulo 5: Decimales

(h) 9009 : 1000 =

(f) 4103 : 1000 =

(d) 708,2 : 100 =

(b) 49,3 : 100 =

(f) 810 : 1000 = 1000

0,36

360 1000

0,06

60 1000

(d) 360 : 1000 =

(b) 60 : 1000 =

(g) (h)

: 100 = 0,1 : 1000 = 2,5

2500

= 0,05

100

: 1000 = 3,082

3082

= 0,275

1000

51,15

80,6

= 31 :

= 7 :

: 10 =

1000

= 8060 :

= 310 :

= 70 :

: 100 = 5115 :

100

511,5

: 10 = 806 :

(e) 24,009 = 240,09 : 10 = 2400,9 : 100 = 24 009 : 1000

(d) 5,115 =

(b) 0,31 = 3,1 :

(a) 0,07 = 0,7 :

Capítulo 5: Decimales

(10) Completa los espacios en blanco.

(f) 5 :

(e)

= 0,862

100

: 100 = 0,006

= 6,13

100

0,6

(d)

(b) 86,2 :

(a) 613 :

(9) Completa los espacios en blanco.

200

PSL_6A_TG_C05b.indd 200

22-10-13 11:55

(d) 1500 : 6000 = 1500 :

(e) 48 : 2000 =

(g) 20 : 2000 =

0,01

0,024

1,32

0,51

0,25

(h) 805 : 7000 =

(f) 408 : 3000 =

(d) 10,5 : 300 =

(b) 29,7 : 900 =

: 1000

0,001

: 100

0,021

0,21

= 250 : 1000

(a) 306 : 600 =

(12) Divide.

= 2,1

(b) 18,9 : 900 = 18,9 :

: 100

(a) 42 : 200 = 42 :

(11) Divide por múltiplos de 100 o de 1000.

Capítulo 5: Decimales

0,115

0,136

0,035

0,033

Curso:

Fecha:

(e) 0,09  55 = 4,95

(e) 94,05 : 15 =

3,46 6,27

(a) 351,68 : 28 = 12,56

Capítulo 5: Decimales

Divide.

833

(a) 7,42  12 = 89,04

Multiplica.

(4)

(e) 17,4  2,891 = 14,509

(3)

12,9

(a) 74,05  61,15 =

Resta.

(e) 5,701  0,3 = 6,001

(a) 1,64  85,27 = 86,91

Suma.

(2)

(1)

3,5

14,12

0,05

(f) 59,52 : 64 = 0,93

(d) 7,875 : 25 = 0,315

(b) 0,9 : 18 =

(f) 105  8,49 = 891,45

(d) 90  4,75 = 427,5

(b) 423,6  5 = 2118

(f) 70,05  18,5 = 51,55

(d) 10,5  7 =

(b) 50,32  36,2 =

(f) 0,02  200,25 = 200,27

(d) 107,84  14,9 = 122,74

(b) 4394  2,54 = 4396,54

Práctica 3 Usando una calculadora para operar números decimales

Nombre:

201

PSL_6A_TG_C05b.indd 201

22-10-13 11:55

25,065 km : 15 = 1,671 km

Divide 25,065 km por 15.

4,86  · 11 = 53,46 

¿Cuál es el producto de 4,86  por 11?

1,75 + 102,83 = 104,58

¿Cuál es la suma de 1,75 y 102,83?

1200 g – 156,9 g = 1043,1 g

Capítulo 5: Decimales

La caja A pesa 156,9 g y la caja B pesa 1200 g. Calcula la diferencia de

peso de ambas cajas.

(8)

(7)

(6)

(5)

Curso:

Fecha:

$825 $825 : 30 = $27,5

Capítulo 5: Decimales

El precio promedio de los lápices es $27,5.

30 lápices 1 lápiz

(2) José necesitaba comprar varios lápices mina. En la librería ofrecían 30 lápices mina a $825. José compró 30 lápices. ¿Cuál es el precio promedio que José pagó por los lápices?

400 ml de aceite pesa 0,368 kg.

1 litro = 1000 ml 0,92 kg 100 ml 0,92 : 10 = 0,092 kg 400 ml 4 · 0,092 = 0,368 kg

Resuelve estos problemas. Muestra el desarrollo. (1) Un litro de aceite pesa 0,92 kg. ¿Cuánto pesan 400 ml de aceite?

Práctica 4 Problemas

Nombre:

202

PSL_6A_TG_C05b.indd 202

22-10-13 11:55

100

Debe conducir otros 17 km.

32,27 – 15,65 = 16,62 ≈ 17 km

Capítulo 5: Decimales

(4) Un motorista conduce desde su casa a la oficina. La distancia entre su casa y su oficina es de 32,27 km. Luego de conducir 15,65 km, se detiene en una estación de servicio. ¿Cuánto más debe conducir para llegar a su oficina? Redondea tu resultado al kilómetro más cercano.

El peso total de los tarros es 165 kg.

5,50 · 30 = 5,50 · 3 · 10 = 16,50 · 10 = 165

(3) En una bodega hay 30 tarros de pintura. Cada tarro pesa 5,5 kg. ¿Cuál es el peso total de los tarros?

Debe conducir 126,36 km más para finalizar la carrera.

56 – 29 = 27 vueltas 4,68 · 27 = 126,36 km

conducir para finalizar la carrera?

101

gasolina luego de completar 29 vueltas. ¿Cuántos kilómetros más debe

Durante una carrera de 56 vueltas, un conductor se detiene a recargar

Una vuelta de la pista de carrera automotriz mide 4,68 km.

Capítulo 5: Decimales

(6)

Quedó 3,08 kg de pasta de pescado sin usar.

0,025 · 300 = 7,5 kg 10,58 – 7,5 = 3,08 kg

(5) Doña Luisa compró 10,58 kg de pasta de pescado. Ella usa 0,025 kg de pasta para cada bolita de pescado. Ella hizo 300 bolitas de pescado en total. ¿Cuánta pasta de pescado le quedó sin usar?

203

PSL_6A_TG_C05b.indd 203

22-10-13 11:56

Bernardita compró pasteles y bebidas. El total de su compra pesó

Compró 20 bebidas.

24,80 – 6,80 = 18 kg 18 : 0,9 = 20

6,80 kg. ¿Cuántas bebidas compró?

Capítulo 5: Decimales

pasteles que bebidas. El peso de la cantidad extra de pasteles fue de

24,80 kg. Un pastel y una bebida juntos pesan 0,9 kg. Ella compró más

102

(8)

La cinta medía 0,56 m.

1,22 · 200 = 244 m 300 – 244 = 56 m 56 : 100 = 0,56 m

(7) Rosario compró 300 m de cinta para hacer flores decorativas. Ella usa 1,22 m para hacer una flor grande. Ella hizo 200 flores grandes y 100 flores pequeñas con la cinta restante. ¿Cuánta cinta usó para hacer cada flor pequeña?

0,32 · 12 = 3,84  3,84 + 0,32 = 4,16  4,16 : 6 ≈ 0,69  Cada botella contiene aproximadamente 0,69  de jugo de naranja.

botella en litros. Expresa tu resultado con 2 decimales.

103

iguales en 6 botellas. Calcula el volumen del jugo de naranja en cada

para hacer jugo de naranja. Ella vierte el jugo de naranja en partes

Paulina mezcla 0,32  de pulpa con 12 veces la cantidad de agua

Capítulo 5: Decimales

(10)

La capacidad de la lata es 2,25 .

4,5 : 2 = 2,25 

La capacidad del balde es 4,5 .

13,5 : 3 = 4,5 

(9) Una tina de plástico tiene una capacidad de 13,5 . Ésta puede contener 3 veces la cantidad de líquido de un balde. El balde puede contener el doble de la capacidad de una lata. Calcula la capacidad del balde y de la lata en litros.

204

PSL_6A_TG_C05b.indd 204

22-10-13 11:56

Samuel tiene 3 tazas grandes e iguales y 3 tazas chicas iguales.

498,7 498,7 : 12 ≈ 41,558 g 41,558 · 3 ≈ 124,67 g

498,7 g

El peso total de las 3 tazas chicas es 124,67 g.

12 partes 1 parte 3 partes

Tazas chicas

Tazas grandes

chicas. Expresa tu resultado con 2 decimales.

Capítulo 5: Decimales

3 veces el peso de la taza chica. Calcula el peso total de las 3 tazas

El peso total de las 6 tazas es 498,7 g. El peso de la taza grande es

104

(12)

Mónica envasó 50 kilos de pasas.

5 · 4,5 kg = 22,5 kg 5 · 5,5 kg = 27,5 kg 22,5 + 27,5 = 50 kg

(11) Mónica tiene 5 paquetes con 4,5 kg de pasas cada uno y otros 5 paquetes con 5,5 kg cada uno. ¿Cuántos kilos de pasa tiene en total?

Curso:

Fecha:

Esta medida no es exacta ya que 48 cm no es la medida real del cuadrado de papel.

Él puede encontrar el ancho dividiendo por 10. 48 : 20 = 48 : 2 : 10 = 2,4 cm

¿Cómo puede encontrar el ancho de cada pedacito sin medir? ¿Es esta medida exacta?

Mi resultado es razonable.

105

Puedo usar la estimación para verificar si la respuesta es razonable. 48,8 cm ≈ 50 cm 50 : 20 = 5 : 2 = 2,5 cm

48,8 : 20 = 48,8 : 2 : 10 = 2,44 cm

Sin usar calculadora, encuentra el ancho de cada pedacito de papel. ¿Cómo puedes saber si tu resultado es razonable?

Capítulo 5: Decimales

(2) Él toma una regla y mide el ancho del cuadrado de papel, y descubre que el ancho exacto es 48,8 cm.

(1) Juan tiene un pedazo de papel cuadrado. Él dice: “Este pedazo de papel mide cerca de 48 cm de ancho”. Luego, él corta el papel en 20 pedacitos iguales.

Diario matemático

Nombre:

205

PSL_6A_TG_C05b.indd 205

22-10-13 11:56

Desafío

Curso:

Fecha:

2,2 m 2,2 : 4 = 0,55 m

2,2 m

(b) ¿Cuánto más económico sería si compraras 20 kg de carne picada en el lugar más conveniente?

106

Capítulo 5: Decimales

Si compro 20 kg de carne picada en la carnicería, sería $7236 más económico.

(b) Diferencia por kg = $3402 – $3040,2 = $361,8 Diferencia por 20 kg = 20 · $361,8 = $7236

En la carnicería conviene más comprar.

(a) Costo por kg en la carnicería = $15 201 : 5 = $3040,2 Costo por kg en el supermercado = $10 206 : 3 = $3402

(a) ¿En cuál de los dos lugares conviene más comprar?

(2) En una carnicería, ofrecen 5 kg de carne picada por $15 201. En un supermercado, 3 kg de la misma calidad de carne picada cuesta $10 206.

La tubería más corta mide 0,55 m de largo.

4 partes 1 parte

Tubería larga

Tubería corta

(1) Un gásfiter tiene 2 tuberías. Una mide 7 veces lo que mide la otra. Cuando él corta 2,2 m de la tubería más larga, la tubería restante mide 3 veces lo que mide la tubería más corta. Calcula el largo de la tubería más corta en metros.

Nombre:

Piensa y resuelve

Curso:

Fecha:

peso de la arena

Capítulo 5: Decimales

peso peso del del balde agua

5,95 kg

peso del balde

11,15 kg

Heurística: Dibujar un modelo. Habilidad: Identificar relaciones.

El balde pesa 750 g.

11,15 – 5,95 = 5,2 5,95 – 5,2 = 0,75 kg = 750 g

107

(2) Un balde con arena pesa 11,15 kg. Un balde del mismo tamaño, cuando se llena con agua, pesa 5,95 kg. El peso de la arena es el doble del peso del agua. Calcula el peso del balde en gramos.

Heurística: Resolver el problema por partes. Habilidad: Identificar relaciones.

10 naranjas y 10 manzanas pesaron en promedio 2,68 kg. 2,85 – 2,68 = 0,17 kg 1 manzana pesó en promedio 170 g.

(1) Sandra compró 10 naranjas y 11 manzanas. En total pesaron 2,85 kg. El peso promedio de 1 naranja y 1 manzana fue 268 g. ¿Cuánto pesó 1 manzana en promedio?

Nombre:

206

PSL_6A_TG_C05b.indd 206

22-10-13 11:56

3,5  3,5 : 7 = 0,5 

21  21 : 6 = 3,5 

108

Heurística: Dibujar un modelo. Habilidad: Identificar relaciones.

La capacidad de cada vaso es 0,5 .

7 partes 1 parte

2 vasos

1 jarro

6 jarros y 12 vasos 1 jarro y 2 vasos

Capítulo 5: Decimales

(3) La capacidad total de 6 jarros y 12 vasos es 21 . La capacidad de un jarro es 5 veces la de un vaso. Calcula la capacidad de cada vaso. Expresa tu resultado en litros. Daniela tiene una bolsa que soporta como máximo, el peso

6 peras + 20 mandarinas 1680 g 1580 g 1480 g

Una mandarina pesa, en promedio 50 g.

Peso mandarinas 60 g 55 g 50 g

6 peras = 6 · 80 = 480 g

11 peras + 12 mandarinas 1600 g 1540 g 1480 g

109

No No Sí

Compruebo

11 peras = 11 · 80 = 880 g

880 g – 480 g = 400 g 50 g

Por suposición y comprobación

8 mandarinas 1 mandarina

480 g + peso de 20 mandarinas = 880 g + peso de 12 mandarinas 20 – 12 = 8

Por cálculo:

mandarina?

Cada pera pesa en promedio 80 g. ¿Cuánto pesa en promedio, una

de 6 peras y 20 mandarinas, o bien, 12 mandarinas y 11 peras.

Capítulo 5: Decimales

(4)

207

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BLANCO

Repaso 2

Curso:

Fecha:

7 cm

40° R

40° 7 cm

Repaso 2

3 cm

115° 6 cm

C A

115° 6 cm

111

Bosquejo del triángulo ABC

(2) Dibuja un triángulo ABC donde AB = 6 cm, CAB = 115° y AC = 3 cm.

(1) Dibuja un triángulo PQR donde PQR = 90°, PRQ = 40° y QR = 7 cm. P Bosquejo del triángulo PQR

Nombre:

208

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4,5 cm

T 4,5 cm

50°

Bosquejo del triángulo STU

112

6 cm

6 cm − 2 cm = 4 cm

4 cm

Repaso 2

(4) Dibuja un rectángulo ABCD en donde AB = 6 cm y BC sea 2 cm menor que AB.

50°

180°− 50° = 130° 130°: 2 = 65°

(3) Dibuja un triángulo isósceles STU, donde ST = SU, TU = 4,5 cm y TSU = 50°.

7 cm Y

4 cm

80°

Repaso 2

6,5 cm

58° Q

58° 6,5 cm

113

Bosquejo del rombo PQRS

7 cm

Bosquejo del paralelogramo WXYZ

(6) Dibuja un rombo PQRS en donde PQ = 6,5 cm y PQR = 58°.

4 cm

(5) Dibuja un paralelogramo WXYZ donde ZY = 7 cm, WZ = 4 cm y WZY = 80°.

209

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22-10-13 11:57

115º

5,5 cm

65º

3,5 cm 5,5 cm 65°

115° L

Bosquejo del trapecio CDEF

114

80º

5 cm 80°

5 cm

Repaso 2

5 cm

Bosquejo del trapecio ABCD

(8) Dibuja el trapecio ABCD, donde AB // DC, BAD = 80º y AD = DC = CB = 5 cm.

3,5 cm

(7) Dibuja el trapecio JKLM en donde JK // ML, JK = 3,5 cm, KL = 5,5 cm, JKL = 115° y KLM = 65°.

(g) 40  0,75 =

(e) 13,5  30 =

405

108,63

864

(g) 1000  4,115 =

(e) 4000  3,5 = (g) 0,006  8000 =

Repaso 2

(12) Multiplica. (a) 6,2  700 =

(e) 9,34  1000 =

(a) 9,7  100 =

(11) Multiplica.

(a) 63 = 6,3 

14 000

2422

4340

4115

9340

0,3

970

(10) Completa los espacios en blanco.

(9) Multiplica. (a) 86,4  10 =

84,1

0,07

0,004  1000 =

(f) 25,6  9000 =

(d) 600  1,925 =

(b) 0,078  300 =

(h) 67,2  1000 =

(f)

(d) 100  30,1 =

(b) 73,96  100 =

(d)

(b)

(h) 0,175  5000 =

50  6,941 =

(h) 7,3  90 =

(f)

(d) 10  4,005 =

(b) 0,09  10 =

875

115

230 400

1155

23,4

67 200

3010

7396

 10 = 841

 10 = 0,7

657

347,05

40,05

0,9

210

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22-10-13 11:57

(g) 7,5 : 50 =

(g) 315 : 3000 =

116

(e) 200 : 500 =

0,105

0,4

= 0,005

100

= 0,63

(a) 63 :

100

(15) Completa los espacios en blanco.

0,98

(e) 19,6 : 20 =

0,15

3,67

 20

3,7

(iii)

(ii)

(i)

Decimal

(14) Divide. (a) 37 : 10 =

(b) 2 posiciones decimales :

456 : 30 =

0,64

15,2

48 : 8000 =

1000

= 3,6

10,14

0,006

Repaso 2

= 0,45

15,62

0,075

 9000

1000

(h) 6084 : 600 =

(f)

(d) 450 :

(b) 3600 :

(h) 44,8 : 70 =

(f)

(d) 156,2 : 10 =

(b) 0,75 : 10 =

 500

Acepte todas las respuestas correctas (d) Luego, multiplica cada decimal por 20, 500, 9000 y completa la tabla.

(a) 1 posición decimal :

(13) Escribe un decimal que sea menor a 10 y que tenga:

Un comerciante compró 100 paquetes de arroz que pesaban 1,35 kg

Los 120 paquetes pesaban 160,2 en total.

Peso de 100 paquetes de arroz = 1,35 · 100 = 135 kg Peso de 20 paquetes de harina = 1,26 · 20 = 25,20 kg 135 + 25,20 = 160,20

pesaban en total los 120 paquetes?

117

cada uno y 20 paquetes de harina que pesaban 1,26 kg cada uno. ¿Cuánto

Repaso 2

(17)

El arroz le alcanzó para 25 días.

5 kg = 5 · 1000 = 5000 g 5000 : 200 = 25 días

(16) Manuel compró una bolsa de arroz que pesaba 5 kg. Si él utilizó 200 g diariamente, ¿para cuántos días le alcanzó el arroz?

Resuelve estos problemas. Escribe tu desarrollo.

211

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118

El dueño ganó $31 100 en total.

50 · $350 = $350 · 5 · 10 = $17 500 34 · $400 = $13 600 Total = $17 500 + $13 600 = $31 100

Repaso 2

(19) En un restaurante, un jugo de naranja cuesta $350 y un jugo de piña $400. El dueño vendió 50 jugos de naranja y 34 de piña. ¿Cuánto dinero ganó en total?

En cada caja hay 2100 hojas.

Total de hojas impresas = 28 · 3000 = 28 · 3 · 1000 = 84 000 Hojas por caja = 84 000 : 40 = 84 000 : 4 : 10 = 2100 hojas

(18) Una impresora imprime 3000 hojas cada día. Durante el mes de diciembre, la máquina imprimió 28 días. Todas la hojas fueron envasadas en 40 cajas con la misma cantidad. ¿Cuántas hojas hay en cada caja?

212

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Horas pedagógicas Objetivos • Libro del Alumno 6A, págs. 144 a 150 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 119 a 122 • Guía del Profesor 6A, págs. 216 a 222

Recursos

• Libro del Alumno 6A, págs. 151 a 157 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. Los estudiantes serán capaces de: 123 a 124 • expresar razones equivalentes dadas dos • Guía del Profesor 6A, págs. cantidades. 223 a 229 • escribir la razón dada x : y de la forma más simple. • encontrar los valores desconocidos en razones equivalentes.

(2) Razones equivalentes

Los estudiantes serán capaces de: • comprender el concepto de razón como una forma de expresar las magnitudes relativas de dos cantidades. • comprender que una razón no indica el tamaño efectivo de las cantidades que dan origen a dicha razón. • dibujar un modelo de barras de comparación, para representar dos cantidades a partir de la razón entre ellas. • resolver problemas simples que involucren razones usando modelos de barra.

(1) Encontrando razones

Capítulo 6: Razones

• Comparar • Visualizar

Habilidades

213

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Horas pedagógicas Objetivos

Los estudiantes serán capaces de: • usar razones para representar los tamaños relativos de tres cantidades. • expresar razones equivalentes, dadas tres cantidades. • expresar una razón dada x : y : z en su forma más simple. • encontrar la(s) incógnita(s) en razones equivalentes.

(4) Comparando tres cantidades

Esta actividad promueve que los estudiantes reflexionen sobre lo que han aprendido de las razones y del uso del método unitario para resolver problemas.

Diario matemático

Los estudiantes serán capaces de resolver problemas de dos pasos que involucren la razón entre dos cantidades, usando: (i) El concepto de razón equivalente. (ii) Modelos de barra y el método unitario.

(3) Problemas (1)

Capítulo 6: Razones

• Libro del Alumno 6A, págs. 165 a 168 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 129 a 130 • Guía del Profesor 6A, págs. 237 a 240

• Libro del Alumno 6A, págs. 158 a 164 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 125 a 128 • Guía del Profesor 6A, págs. 230 a 236

Recursos

• Comparar • Visualizar

Habilidades

214

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Horas pedagógicas Objetivos

Haciendo discutir a los estudiantes acerca de cómo escoger los números, los ayuda a reflexionar sobre cómo encontrar el divisor común a través de la anticipación y comprobación.

¡Exploremos!

Este diario ayuda a los estudiantes a reflexionar y reforzar el método de encontrar el divisor común para los términos de una razón, así como también a escribir razones en su forma más simple.

Diario matemático

Los estudiantes serán capaces de: • resolver problemas de dos pasos que involucren razones con tres cantidades usando: (i) El concepto de razón equivalente. (ii) Modelos de barra y el método unitario.

(5) Problemas (2)

Capítulo 6: Razones

• Libro del Alumno 6A, págs. 169 a 173 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 131 a 136 • Guía del Profesor 6A, págs. 241 a 245

Recursos • Comparar • Visualizar

Habilidades

215

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Horas pedagógicas Objetivos

Repaso F

Este problema permite a los estudiantes practicar la estrategia de hacer una lista, además de aplicar el concepto de razón.

¡Activa tu mente!

Esta sección sintetiza las dos estrategias para escribir razones equivalentes y el método para simplificarlas.

¡Resumamos!

Capítulo 6: Razones

• Libro del Alumno 6A, págs. 175 a 176 • Guía del Profesor 6A, págs. 247 a 248

• Libro del Alumno 6A, págs. 173 a 174 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 137 a 139 • Guía del Profesor 6A, págs. 245 a 246

Recursos

Heurística para resolver problemas: • Hacer una lista sistemáticamente

Habilidades

Capítulo Seis

Razones Objetivos: Encontrando razones Los estudiantes serán capaces de: • comprender el concepto de razón como una forma de expresar las magnitudes relativas de dos cantidades. • comprender que una razón no indica el tamaño efectivo de las cantidades que dan origen a dicha razón.

• dibujar un modelo de barras de comparación, para representar dos cantidades a partir de la razón entre ellas. • resolver problemas simples que involucren razones usando modelos de barra.

Concepto clave • Una razón es una manera de indicar los tamaños relativos de dos cantidades o grupos de elementos, mediante una comparación.

Habilidades • Comparar • Visualizar

Gestión de la clase 1

• Muestre y explique el concepto de razón usando el ejemplo que se presenta en la actividad. • Hay 2 queques de chocolate y 1 queque de arándano. Esto quiere decir que hay 2 queques de chocolate por cada queque de arándano. Por lo tanto, decimos que la razón de los queques de chocolates y los de arándano es 2 : 1. • Enfatice lo siguiente: (1) Una razón es una manera de comparar el tamaño relativo de dos grupos de objetos. (2) El orden es importante al escribir una razón. El primer y el segundo número aluden a la primera y la segunda cantidad, respectivamente. (3) En este ejemplo, los números de la razón representan las cantidades efectivas de queques que se comparan. 2

• A través de esta actividad evalúe informalmente la habilidad para escribir razones dado dos grupos de elementos. • Enfatice que el orden de los elementos es importante al momento de escribir la razón.

Razones ¡Aprendamos!

Encontrando razones

1 Hay 2 queques de chocolate y 1 de arándano. Comparemos la cantidad de queques de chocolate con la cantidad de queques de arándano.

La razón entre la cantidad de queques de chocolate y la cantidad de queques de arándano es 2 : 1. Leemos 2 : 1 como 2 es a 1.

En este caso, la razón está planteada con la cantidad de elementos de cada grupo.

Al revés, la razón entre la cantidad de queques de arándano y la cantidad de queques de chocolate es 1 : 2.

2 La razón entre la cantidad de banderines azules y la cantidad de banderines amarillos es 2 : 5 . La razón entre la cantidad de banderines amarillos y la cantidad de banderines azules es 5 : 2 . 144

Capítulo 6: Razones

216

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Notas • Enfatice que la actividad 3 muestra que una razón no siempre indica el tamaño efectivo de dos cantidades (En este caso, el número real de elementos de cada grupo). • Para diferenciar el signo de razón del signo de división, es escribirá en negrita el de la razón.

Gestión de la clase 3

3 Carolina tiene 2 bandejas de huevos de gallina y 3 bandejas de huevos de codorniz. Cada bandeja contiene la misma cantidad de huevos.

La razón entre la cantidad de huevos de gallina La razón entre las cantidades de bandejas es 2 : 3. y la cantidad de huevos de codorniz es 2 : 3.

La razón entre la cantidad de huevos de codorniz y la cantidad de huevos de gallina es 3 : 2. 1 bandeja contiene 12 huevos. En este caso, la razón no representa la cantidad efectiva de huevos de gallina y de codorniz.

• Ayude a sus estudiantes a comprender que una razón también puede escribirse en términos de grupos (bandejas) que poseen el mismo número de elementos, usando el ejemplo de la actividad. • Explique que en este caso, cada bandeja contiene la misma cantidad de huevos. • Use las siguientes actividades para enfatizar este punto: (a) “¿Cuántas bandejas de huevos de gallina hay?” (2) (b) “¿Cuántas bandejas de huevos de codorniz hay?” (3) (c) “¿Cuántas huevos de gallina hay en total?” (24) (d) “¿Cuántos huevos de codorniz hay en total?” (36) (e) “¿Cuál es la razón de los huevos de gallina y los huevos de codorniz?” (2 : 3) (f ) “¿Cuál es la razón de los huevos de codorniz y los de gallina? (3 : 2) 4

La razón entre la cantidad de paquetes con jugo de mango y la cantidad de paquetes con jugo de guayaba es 3 : 5 . Al revés, la razón entre la cantidad de paquetes con jugo de guayaba y la cantidad de paquetes con jugo de mango es 5 : 3 .

Capítulo 6: Razones

145

• Paralelamente, utilice esta actividad para evaluar informalmente si han comprendido el concepto de razón. • Enfatice que se puede usar el número de paquetes para escribir la razón, cuando tienen la misma cantidad de cajas en cada uno de ellos.

217

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Nota • Enfatice que las razones no incluyen unidades de medida (ej. kg) ya que lo que se está comparando son los pesos relativos de dos objetos y no su peso real.

Gestión de la clase 5

• Explique a sus estudiantes que las razones no sólo involucran la comparación de la cantidad de elementos de un conjunto, sino también otros atributos tales como peso, longitud, volumen o capacidad, etc. • En los ejemplos dados, enfatice que para comparar dos cantidades como razón, ambas deben poseer la misma unidad de medida. En este caso, ambas cantidades están expresadas en la misma unidad, kg. Si una de las cantidades estuviera expresada en gr, no podríamos compararlas mediante una razón.

5 Sebastián compró 2 kg de pollo y 9 kg de pavo.

Para comparar ambas cantidades mediante una razón, el peso debe estar expresado en la misma unidad de medida.

El peso del pavo y el peso del pollo están en la razón 9 : 2 .

El peso del pollo y el peso del pavo están en la razón 2 : 9 .

1 parte Cada parte tiene 2 hojas. Por lo tanto, la razón no representa necesariamente la cantidad efectiva de hojas que se comparan.

• A través de este ejemplo guíe a sus estudiantes a comprender que una razón no indica, necesariamente, el tamaño efectivo de las cantidades involucradas. • La razón entre la cantidad de hojas grandes y la cantidad de hojas pequeñas es 3 : 4. Sin embargo, esto no quiere decir que hayan 3 hojas grandes y 4 pequeñas.

1 parte

La razón entre la cantidad de hojas grandes y la cantidad de hojas pequeñas es 3 : 4.

La razón entre la cantidad de hojas pequeñas y la cantidad de hojas grandes es 4 : 3 .

146

Capítulo 6: Razones

218

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Actividad adicional • La edad de un niño A y la edad de un niño B están en la razón 4 : 9. Pida a sus estudiantes que dibujen un modelo de barras para representar esta razón.

Gestión de la clase 7 5 partes

• Evalúe si los estudiantes pueden escribir la razón entre el largo de B y el largo de A, basándose en el modelo de barras dado.

La razón entre las partes es 5 es a 8

A B 8 partes

La razón entre el largo de A y el largo de B es 5 : 8.

La razón entre el largo de B y el largo de A es 8 : 5 .

• Presente el problema y relaciónelo con el concepto de parte-todo en la sustracción. Después de encontrar la medida del pedazo más grande de madera, los estudiantes podrán encontrar la razón entre la longitud del pedazo pequeño de madera con respecto a la del más grande.

8 Consuelo corta un pedazo de madera de 24 cm de largo en 2 partes. El pedazo más pequeño mide 7 cm de largo. Encuentra la razón entre la medida del pedazo pequeño y la medida del pedazo más grande. 24 cm 24 cm ?

7 cm

Medida del pedazo de madera pequeño = 7 cm

Medida del pedazo de madera grande = 24  7

La medida del pedazo de madera pequeño y la medida del pedazo de madera grande se encuentran en la razón 7 : 17.

Capítulo 6: Razones

= 17 cm

147

219

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22-10-13 11:48

Objetivo de la actividad

Materiales

• Esta es una actividad de exploración para reforzar el concepto de razón.

• 10 cubos encajables por cada pareja de estudiantes

Gestión de la clase 9

9 Marcelo tenía 15 kg de arroz, de los cuáles vendió 7 kg. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de arroz que vendió y la cantidad de arroz restante? 15 kg

7 kg

Arroz vendido = 7 kg

Arroz restante = 15  7 = 8 kg

La razón entre la cantidad de arroz vendido y la cantidad de arroz restante es 7 : 8 .

¡Exploremos! Trabaja en parejas Tu profesor o profesora te entregará 10 cubos encajables. Primero, separa los 10 cubos en dos grupos. Cuenta la cantidad de cubos en cada grupo.

Registra tus respuestas en una tabla como la siguiente.

Grupo A Grupo B Razón A : B

Grupo A Grupo B Razón A : B 1

1 : 9

2 : 8 …

148

…

2 : 8

4 : 6 …

Registra tus respuestas de la misma forma que en el punto 2 .

…

• Pida a los estudiantes que resuelvan el problema como evaluación informal. En este problema, el concepto parte-todo también está presente. Pídales que identifiquen las partes y el todo. (¡Exploremos!) • Organice a sus estudiantes para que trabajen en parejas. Entrégueles 10 cubos encajables a cada pareja. • Guíelos para que se den cuenta que hay muchas maneras diferentes de agrupar los cubos y obtener así distintas razones. • Esta exploración consta de dos partes. Pida a sus estudiantes que comparen las semejanzas y diferencias entre estas dos actividades.

Discute las razones obtenidas en ambas tablas.

Luego, junta de a dos los cubos y con estos dúos forma dos grupos. Cuenta la cantidad de cubos en cada grupo. Capítulo 6: Razones

220

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22-10-13 11:48

Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 6a.

¡Practiquemos! 6a 1 La tabla muestra la cantidad de mariscos que vendió un pescador.

Mariscos

Choritos

Camarones

Langostas

Jaibas

Machas

Peso

2 kg

5 kg

3 kg

11 kg

8 kg

Copia y completa la siguiente tabla. Luego, escribe tantas razones como puedas con los datos entregados anteriormente. A continuación tienes un ejemplo. Razón

Cantidad de choritos y camarones

2 : 5

Cantidad de langostas y machas

3 : 8

Cantidad de jaibas y el total de mariscos

11 : 29

Las respuestas varían

2 Dibuja modelos para representar las siguientes razones.

Ejemplo

A : B = 2 : 5 B

a A : B = 4 : 9 A

B c A : B = 8 : 3 A B

b A : B = 11 : 7 A

d A : B = 12 : 5 A

3 Observa la siguiente imagen. Escribe dos razones para comparar la cantidad de huevos de ambos grupos. A:B=2:5 B:A=5:2 Grupo A Capítulo 6: Razones

Grupo B 149

221

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22-10-13 11:48

Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la Práctica 1 del Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 119 a 122.

4 Observa la siguiente imagen. Escribe dos razones para comparar los elementos de cada grupo de objetos. 1 parte

12 : 15, 15 : 12, 4 : 5 y 5 : 4 Acepte dos de cualquiera de estas respuestas. 5 Un mantel a cuadros mide 3 m de ancho y 7 m de largo. Encuentra la razón entre el largo del mantel con respecto a su ancho. 7 : 3

6 Jaime tiene 88 láminas. Le da 35 láminas a su hijo y el resto a su hija. Encuentra la razón entre la cantidad de láminas que recibe su hijo y su hija. 35 : 53

Cuaderno de Trabajo 6A, p 119, Práctica 1.

150

Capítulo 6: Razones

222

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Objetivos: Razones equivalentes Los estudiantes serán capaces de: • expresar razones equivalentes dadas dos cantidades. • escribir la razón dada x : y de la forma más simple. • encontrar los valores desconocidos en razones equivalentes.

Conceptos claves • Encontrar el divisor común de los términos de la razón entre dos cantidades. • Dividir cada término de la razón de dos cantidades, por un divisor común, para expresarla en su forma más simple.

Habilidades • Comparar • Visualizar

Gestión de la clase 1

• Presente y explique el concepto de razón equivalente usando 4 manzanas rojas y 8 verdes. Muestre a sus estudiantes que 4 manzanas rojas y 8 manzanas verdes pueden agruparse de distintas maneras. En cada caso, la razón debe ser escrita en término de los grupos no en términos de la cantidad de manzanas. • La cantidad de manzanas rojas y verdes están en la razón 4 : 8. • Luego, redistribuya las manzanas rojas y verdes en platos formando grupos de dos. Habrán 2 platos con manzanas rojas y 4 platos con manzanas verdes. Por lo tanto, la razón de manzanas rojas con respecto a las verdes es 2 : 4.

¡Aprendamos!

Razones equivalentes 1 Joaquín tiene 4 manzanas rojas y 8 manzanas verdes. La razón entre la cantidad de manzanas rojas y la cantidad de manzanas verdes es 4 : 8. Joaquín puso 2 manzanas del mismo color en cada plato.

2 platos de manzanas rojas

4 platos de manzanas verdes

= 1 parte

Hay 2 platos de manzanas rojas y 4 platos de manzanas verdes.

La razón entre la cantidad de manzanas rojas y la cantidad de manzanas verdes es 2 : 4.

Capítulo 6: Razones

151

223

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22-10-13 11:48

Actividad adicional • Organice a los estudiantes en grupos de 4 personas. Entregue a cada grupo 18 fichas. Pídale a los estudiantes que dividan las fichas en 2 grupos de tantas maneras como sea posible. Luego, pida a un grupo que presente las distintas razones que formaron con las fichas.

Gestión de la clase • Finalmente, vuelva a distribuir las manzanas rojas y verdes en los platos, en grupos de 4 manzanas. Habrá un plato con manzanas rojas y dos platos con manzanas verdes. La razón entre las manzanas rojas y verdes ahora es 1 : 2. • Las razones 4 : 8, 2 : 4, 1 : 2 son razones equivalentes. Todas estas razones comparan las mismas cantidades de manzanas rojas y manzanas verdes. • La razón expresada, en su forma más simple, es 1 : 2.

Luego, puso 4 manzanas del mismo color en cada plato.

= 1 parte

1 plato de manzanas rojas

2 platos de manzanas verdes

Hay 1 plato de manzanas rojas y 2 platos de manzanas verdes.

Las tres razones 4 : 8, 2 : 4, 1 : 2 representan la misma comparación entre la cantidad de manzanas rojas y manzanas verdes.

Estas razones se llaman razones equivalentes.

152

La razón entre la cantidad de manzanas rojas y la cantidad de manzanas verdes es 1 : 2.

4 : 8 = 2 : 4 = 1 : 2 1 : 2 es la forma más simple en que se puede expresar la razón 4 : 8. ¿Cuál, de las tres razones anteriores está expresada con las cantidades efectivas de manzanas que tiene Joaquín? 4 : 8

Capítulo 6: Razones

224

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Materiales • Fichas de colores u objetos para contar (Ej. cubos encajables rojos y verdes, porotos, botones, etc).

Gestión de la clase 2

• Entregue a sus estudiantes fichas u otros objetos para contar. Pídales que trabajen en parejas para representar correctamente los agrupamientos para cada razón. • A través de esta actividad evalúe informalmente si sus estudiantes pueden usar el agrupamiento para establecer razones equivalentes. • Enfatice que en cada agrupamiento se debe resguardar que cada grupo tenga la misma cantidad de elementos.

La razón entre la cantidad de lápices y la cantidad de chinches es 6 : 12 .

3 grupos de lápices

6 grupos de chinches

La razón entre la cantidad de lápices y la cantidad de chinches es 3 : 6 .

1 grupos de lápices

2 grupos de chinches

La razón entre la cantidad de lápices y la cantidad de chinches es 1 : 2 .

Las razones equivalentes son 6 : 12 , 3 : 6 y 1 : 2 .

De estas razones equivalentes, la razón en su forma más simple es 1 : 2 .

La razón que está expresada con las cantidades efectivas de lápices y chinches es 6 : 12 .

Capítulo 6: Razones

153

225

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Actividad adicional • Puede comenzar con esta actividad antes de mostrar el procedimiento de la actividad 3 . Entregue a los estudiantes un par de números. Pídales encontrar divisores para cada número y luego un divisor común para cada par de números.

Gestión de la clase 3

• Muestre y explique el procedimiento para expresar una razón de la manera más simple: Paso 1: Encuentre un divisor en común para los términos de la razón. 2·2=4 2·3=6 2 es un divisor común de 4 y 6. Paso 2: Divida cada término de la razón por el mismo divisor. 4:6=2:3 2 : 3 no puede simplificarse más, por lo tanto está expresada en su forma más simple.

3 ¿Cuál es la forma más simple de expresar la razón 4 : 6? 2  2 = 4 y 2  3 = 6. 2 es un factor común de 4 y de 6.

Divide 4 y 6 por 2.

4 : 6

: 2 : 2

No se puede seguir dividiendo 2 y 3 por un factor común.

= 2 : 3

La forma más simple de expresar 4 : 6 es 2 : 3.

• Utilice esta actividad para evaluar informalmente si sus estudiantes pueden escribir razones en la forma más simple. • Revise el método de suponer y comprobar para encontrar el divisor común de los términos de la razón. (Ej. 12 : 4) • Pida a sus estudiantes probar con los siguientes números en orden comenzando por 2, 3, 4, 5 y 6. • 12 y 4 pueden ser divididos por 2 y el resultado es 6 : 2. Siga dividiendo por 2 y el resultado será 3 : 1. • Algunos estudiantes podrán notar rápidamente que 12 y 4 pueden ser divididos para obtener 3 : 1.

4 ¿Cuál es la forma más simple para cada una de las razones siguientes?

: 4

4 es el mayor factor común de :

12 y 4. Divide 12 y 4 por 4 .

= 3 : 1

: 3

154

12 : 4

9 : 15

= 3 : 5

Primero, encuentra el factor común de 9 y 15.

Capítulo 6: Razones

226

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Actividad adicional • Organice a los estudiantes para trabajar en parejas. Pídales que escriban dos frases numéricas a partir de un par de números, ej. 3 y 12. Luego, pídales que piensen en otro par de números y que escriban frases numéricas similares. Ej.: 3 · 4 = 12 12 : 3 = 4

Gestión de la clase 5

• Muestre a los estudiantes cómo encontrar el divisor común usando la multiplicación. • Observe los primeros términos de las razones equivalentes. 2:5=6: ? 6 :2 = 3 3 es el divisor que debe multiplicar a 5. 5 · 3 = 15 Por lo tanto, las razones equivalentes son 2 : 5 = 6 : 15.

5 Calcula el número que falta en estas razones equivalentes.

2 : 5 = 6 : 15

Observa los primeros términos de las razones equivalentes. 2 : 5 = 6 : 15

Método 1

Método 2

2  3 = 6 5  3 = 15

6 : 2 = 3

Por lo tanto, 3 es el factor que debe multiplicar a 5.

2 : 5  3

 3

3  5 = 15

= 6 : 15

6 Calcula el número que falta en estas razones equivalentes.

15 : 12 = 5 : 4

Observa los segundos términos de las razones. 15 : 12 = 5 : 4

Método 1

Método 2

12 : 3 = 4 15 : 3 = 5

= 5

12 : 4 = 3

Por lo tanto, 3 es el factor común.

15 : 12 : 3

• Muestre a los estudiantes cómo encontrar el divisor común usando la división. • Observe los segundos términos de las razones equivalentes: 15 : 12 = ? : 4 12 : 4 = 3 3 es el divisor común. 15 : 3 = 5 Por lo tanto, las razones equivalentes son 15 : 12 = 5 : 4.

: 3

15 : 3 = 5

Capítulo 6: Razones

155

227

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Objetivo de la actividad

Materiales

• Esta actividad ayuda a los estudiantes a reforzar el concepto de razón equivalente usando el agrupamiento.

• 14 cubos encajables amarillos y 28 cubos encajables rojos por cada grupo de trabajo.

Gestión de la clase 7

• Asigne a los estudiantes esta actividad como evaluación informal.

7 Calcula el número que falta en estas razones equivalentes. a  5

• Pida a los estudiantes que se organicen en grupos de 2 ó 4 personas. Entregue a cada grupo los 14 cubos amarillos y los 28 rojos. • Pida que exploren todas las posibles razones equivalentes, a partir de distintas maneras de agrupar los cubos. • En todo caso, recuerde a sus estudiantes tener en cuenta las siguientes condiciones al hacer los grupos: (a) Cada grupo debe tener la misma cantidad de cubos. (b) No se pueden mezclar en un mismo grupo, cubos rojos con amarillos • Luego, pida a sus estudiantes realizar la misma actividad usando 8 cubos amarillos y 24 cubos rojos. • Pida a sus estudiantes que presenten sus respuestas al resto de la clase. Enfatice que la cantidad de cubos en cada grupo, corresponde al divisor común de los términos de la razón.

4 : 3



= 20 : 15

32 : 12

: 4

7 : 4

= 21 : 12

21 : 7 = 3 12 : 3 = 4 8

= 8 : 3

20 : 4 = 5 3  5 = 15

12 : 3 = 4 32 : 4 = 8 d

24 : 16

= 3 : 2 16 : 2 = 8 3  8 = 24

Realiza esta actividad.

Trabaja en grupos de 2 o 4.

Tu profesor o profesora te entregará 14 cubos encajables amarillos y 28 cubos encajables rojos.

1 Forma grupos con los cubos de manera que cada grupo tenga la misma cantidad. No puedes mezclar cubos amarillos con rojos en un mismo grupo.

2 Luego, escribe la razón como se muestra a continuación. La cantidad de grupos de cubos amarillos y la cantidad de grupos de cubos rojos están en la razón : . Las respuestas varían

156

3 Repite 1 y 2 varias veces, con diferentes cantidades de cubos por grupo. Todas las razones que obtengas serán razones equivalentes. 4 Puedes repetir esta actividad usando 8 cubos encajables amarillos y 24 cubos rojos.

Capítulo 6: Razones

228

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Materiales

Trabajo personal

• Calculadora científica

• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 6b • Asigne a sus estudiantes la Práctica 2 del Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 123 a 124.

¡Practiquemos! 6b Resuelve. 1 Don Luis tenía 3 cajas de tizas rojas y 8 cajas de tizas blancas. Cada caja contiene 5 tizas.

a Calcula la cantidad de tizas rojas que tenía Don Luis

b ¿Cuántas tizas blancas tenía Don Luis? 40

c Escribe la razón entre la cantidad de tizas rojas y blancas 15 : 40

d Escribe la razón entre la cantidad de cajas de tizas roja y la cantidad de

cajas de tizas blancas. 3 : 8

e ¿Qué puedes decir acerca de las razones en c y d ?

Las razones son equivalentes 2 Expresa cada una de las siguientes razones en su forma más simple.

a 4 : 14 = 2 : 7

b 18 : 8 = 9 : 4

c 8 : 32 = 1

d 42 : 12 = 7 : 2

: 4

3 Completa las razones equivalentes.

a 4 : 7 = 12 : 21

b 3 : 8 = 12 : 32

c 27 : 15 = 9 : 5

d 6 : 42 = 2 : 14

Completa las razones equivalentes.

a 3 : 5 = 48 : 80

c 70 : 140 = 2 : 4

68 : 51 = 4 : 3 4 : 7 = 128 : 224

Cuaderno de Trabajo 6A, p 123, Práctica 2.

Capítulo 6: Razones

157

229

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Objetivos: Problemas (1) Los estudiantes serán capaces de: • resolver problemas de dos pasos que involucren la razón entre dos cantidades, usando: (i) El concepto de razón equivalente. (ii) Modelos de barra y el método unitario.

Concepto clave • Aplicación de los conceptos de razón equivalente, partetodo, “quitar” y comparar para resolver problemas de 2 pasos que involucren razones entre dos cantidades.

Habilidades • Comparar • Visualizar

Gestión de la clase y 2 • Pida a sus estudiantes identificar los dos grupos de elementos en cada problema y escribir la razón que corresponde. • Luego, pida a sus estudiantes simplificar la razón hasta llegar a su forma más simple, dividiendo sus términos por un factor común. • El propósito de estos problemas es que los estudiantes relacionen los elementos del problema y la razón en la que se encuentran. Dado un grupo de dos cantidades, se espera que sean capaces de escribir la razón entre ambas cantidades, de manera simbólica. 1

¡Aprendamos!

Problemas (1)

1 José tiene 6 cabras y 18 vacas en su granja. Encuentra la razón entre la cantidad de cabras y la cantidad de vacas de José. La razón entre la cantidad de cabras y la cantidad de vacas es 6 : 18.

6 : 18 :6

Escribe la razón 6 : 18 de la forma más simple. Divide 6 y 18 por el factor común, 6

: 6

= 1 : 3

La razón entre la cantidad de cabras y la cantidad de vacas es 1 : 3. 2 En el jardín de Berta hay 12 ﬂ ores rosadas y 15 ﬂ ores amarillas. Encuentra la razón entre:

a La cantidad de ﬂ ores rosadas y la cantidad de ﬂ ores amarillas.

b La cantidad de ﬂ ores amarillas y la cantidad de ﬂ ores rosadas.

12 : 15 : 3 :

Escribe la razón 12 : 15 de la forma más simple. Divide 12 y 15 por su factor común, 3.

= 4 : 5

a La razón entre la cantidad de ﬂ ores rosadas y la cantidad

de ﬂ ores amarillas, en la forma más simple es 4 : 5 .

b La razón entre la cantidad de ﬂ ores amarillas y la

cantidad de ﬂ ores rosadas es 5 : 4 .

158

Capítulo 6: Razones

230

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Actividad opcional • Pida a sus estudiantes que trabajen parejas. Cada uno de ellos deberá pensar en una situación de la vida cotidiana similar al problema 3 y escribir un problema a partir de ella. Luego, tendrán que intercambiar los problemas y resolverlos.

Gestión de la clase 3

3 48 jóvenes fueron a una fiesta. Las mujeres eran 16. Encuentra la razón entre la cantidad de mujeres y la cantidad de varones que fueron a la fiesta.

48  16 = 32

Había 32 varones en la fiesta.

16 : 32 = 1 : 2

La razón entre la cantidad de mujeres y la cantidad de varones que fueron a la fiesta es 1 : 2.

16 : 32

: 16

= 1 : 2

4 En un día lluvioso, Don Pepe vendió 56 productos entre paraguas e impermeables. Él vendió 24 impermeables.

a Encuentra la razón entre la cantidad total de productos vendidos y la

cantidad de impermeables vendidos.

b Encuentra la razón entre la cantidad de paraguas vendidos y la cantidad

de impermeables vendidos.

b Cantidad de paraguas vendidos = 56  24

56 : 24 = 7 : 3 La razón entre la cantidad total de productos vendidos y la cantidad de impermeables vendidos es 7 : 3 .

= 32

32 : 24 = 4 : 3

• Guíe a los estudiantes a reconocer que se trata de un problema de 2 pasos. • Los estudiantes tendrán que ser capaces de relacionar el problema con el concepto “parte- todo”. • Explique los pasos para resolver este problema: Paso 1: Use el concepto de “Parte- todo” y una sustracción para encontrar la cantidad de elementos del segundo grupo (la cantidad de niños varones). Paso 2: Escriba la razón en su forma más simple. 4

• Evalúe informalmente a través de este problema, la habilidad de sus estudiantes para usar el concepto de “quitar” en la sustracción y encontrar la cantidad de elementos restantes, y también para escribir la razón dada en su manera más simple.

La razón entre la cantidad de paraguas vendidos y la cantidad de impermeables vendidos es 4 : 3 .

Capítulo 6: Razones

159

231

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Actividad opcional • Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas y que escriban un problema que esté basado en las siguientes frases numéricas: 72 – 12 = 60 50 : 60 = 5 : 6

Gestión de la clase 5

• En esta actividad, los estudiantes deben usar en el primer paso, el concepto de “quitar” usado la sustracción para encontrar la cantidad de bastones de caramelo restantes. Luego, tienen que escribir la razón entre el número de calugas y el número de bastones de caramelo en su forma más simple.

5 Una bolsa contiene 25 calugas y 40 bastones de caramelo. Soledad se come 5 de los bastones. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de calugas y la cantidad de bastones de caramelo que quedan en la bolsa?

40  5 = 35 bastones de caramelo Ahora hay 35 bastones de caramelo en la bolsa.

25 : 35 : 5

: 5

= 5 : 7

La razón entre la cantidad de calugas y la cantidad de bastones de caramelo que quedan en la bolsa es 5 : 7.

• Para resolver este problema: (1) Utilice el concepto de “agregar” para encontrar la cantidad total de galletas de vainilla. (2) Luego, escriba la razón en la que se encuentra la cantidad de galletas de vainilla y la cantidad de galletas de arándanos, en su forma más simple.

6 Gerardo hornea 30 galletas de vainilla y 16 galletas de arándanos. Luego hornea 18 galletas más de vainilla. Encuentra la razón entre la cantidad de galletas de vainilla y la cantidad de galletas de arándanos que tiene ahora.

30  18 = 48 galletas de vainilla

Hay 48 galletas de vainilla al final.

48 : 16 = 3 : 1

La razón entre la cantidad de galletas de vainilla y la cantidad de galletas de arándanos que tiene ahora es 3 : 1 .

160

Capítulo 6: Razones

232

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Materiales • Calculadora científica

Gestión de la clase 7

7 Un corral tiene en total 96 aves entre pollos y patos. De ellos 60 son pollos. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de pollos y la cantidad de patos? 60 Pollos

Cantidad de patos = 96  60 = 36

60 : 36 = 5 : 3

La razón entre la cantidad de pollos y la cantidad de patos es 5 : 3.

Patos ?

Sandra juntó un total de 252 estampillas, entre nacionales y extranjeras. De ellas 56 eran extranjeras. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de estampillas nacionales y la cantidad de estampillas extranjeras?

Nacionales 252

Extranjeras

Cantidad de estampillas nacionales = 252  56 = 196

La razón entre la cantidad de estampillas nacionales y la cantidad de estampillas extranjeras es 7 : 2 .

• Evalúe a sus estudiantes informalmente para ver si pueden seguir la estrategia anterior al resolver problemas similares.

196 : 56 = 7 : 2

Capítulo 6: Razones

• Explique y muestre a sus estudiantes cómo usar los modelos de barra y el método unitario para resolver este problema. • Guíe a sus estudiantes para que sigan los siguientes pasos: Paso 1: Dibuje un modelo de comparación para representar la información entregada en el problema. El número 96 representa la cantidad total entre pollos y patos y 60 representa el número de pollos. Paso 2: Encuentre la cantidad de patos. Paso 3: Escriba la razón pedida en su forma más simple.

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233

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Actividad opcional • Pida a sus estudiantes que escriban un problema que se base en la siguiente razón: 3 : 8 = 12 : ? Luego, pídales que resuelvan el problema. Escoja un estudiante para que presente su problema y solución al resto de la clase.

Gestión de la clase 9

• Explique y muestre a sus estudiantes cómo resolver este problema usando 2 métodos diferentes. Método 1: Los estudiantes deben en primera instancia representar el problema de una manera simbólica, tal como se muestre en el Libro del Alumno. Luego, deben encontrar el valor desconocido multiplicando el segundo término por el factor 3. Método 2: Los estudiantes deben dibujar un modelo que represente la información entregada en el problema y usar el método unitario para encontrar el valor desconocido.

9 Don Horacio separó los camarones que tenía en una canasta, en 2 porciones. La razón entre el peso de la porción mayor y el peso de la porción menor es 5 : 2. El peso de la porción mayor es 15 kg. Calcula el peso de la porción menor.

Método 1

 3

5 : 2

5  3 = 15 2  3 = 6  3

= 15 : 6 15 : 5  2 = 6

El peso de la porción menor es 6 kg.

Método 2 15 kg Porción mayor Porción menor

También podemos resolver este problema usando un modelo de barras para representar la razón 5 : 2 como 5 partes es a 2 partes.

? 6 kg

5 partes 1 parte 2 partes

El peso de la porción menor es 6 kg.

162

15 kg 15 : 5 = 3 kg 2  3 = 6 kg

Capítulo 6: Razones

234

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Gestión de la clase 10

10 Claudia tiene 2 botellas de leche. La razón entre el volúmen de leche de la botella A y el volúmen de leche de la botella B es 3 : 4. El volúmen de leche de la botella A es 120 ml. Calcula el volúmen total de leche de ambas botellas.

Método 1 3 : 4  4 0  40

• Evalúe a sus estudiantes informalmente para ver si pueden seguir la estrategia antes descrita para resolver un problema similar.

3  40 = 120 4  40 = 160

= 120 : 160 120 : 3  4 = 160 ml

El volúmen de leche en la botella B es 160 ml.

120  160 = 280 ml

El volúmen total de leche de ambas botellas es 280 ml.

Método 2 120 ml Botella A Botella B

? ml

Podemos dibujar un modelo de barras para resolver el mismo problema.

120 ml

3 partes 1 parte

120 : 3 = 40 ml

7 partes

7  40 = 280 ml

El volúmen total de leche de ambas botellas es 280 ml.

Capítulo 6: Razones

163

235

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Objetivo de la actividad

Trabajo personal

• Esta actividad promueve que los estudiantes reflexionen sobre lo que han aprendido de las razones y del uso del método unitario para resolver problemas.

• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 6c • Asigne a sus estudiantes la Práctica 3 del Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 125 a 128.

Gestión de la clase (Diario matemático) • Acepte toda respuesta razonable que esté basada en el modelo dado. • La resolución de este problema desarrolla las siguientes habilidades: (a) Comparar y Analizar (b) Relacionar partes y números (c) Plantear preguntas

Diario matemático

Observa el siguiente modelo de barras. Benjamín Tania $24

Basándote en él, escribe un problema de razones. Luego resuélvelo.

¡Practiquemos! 6c Resuelve los siguientes problemas. Escribe el desarrollo.

1 Valeria se comió 24 galletas y le quedaron 11. Encuentra la razón entre la cantidad de galletas que se comió y la cantidad de galletas que tenía en un principio. 24 : 35 2 Una caja contiene 42 manzanas. 12 de ellas son verdes y el resto rojas. Encuentra la razón entre la cantidad de manzanas verdes y la cantidad de de manzanas rojas. 2 : 5 3 Estela mezcló harina y azúcar en la razón 5 : 2. Si ella usó 125 g de harina, ¿Cuántos gramos de azúcar usó? 50 g 4 Don Gabriel cortó un alambre en 2 pedazos en la razón 3 : 4. Si la medida del pedazo más largo de alambre es 32 cm, ¿Cuál es la longitud total del alambre? 56 cm 5

La razón entre la cantidad de estudiantes que visitan un zoológico por la mañana y la cantidad de estudiantes que lo visitan por la tarde es 13 : 7. Si 143 estudiantes visitaron el zoológico en la mañana. ¿Cuál fue la cantidad de estudiantes que visitaron en el zoológico en la tarde? 77 estudiantes

Verónica cortó una cuerda en dos partes en la razón 19 : 4. La medida del pedazo más largo es 266 cm. ¿Cuál es la longitud del pedazo más corto? 56 cm

El tiempo total que Alejandro y Alonso trabajan en una semana es de 91 horas. Si Alejandro trabaja 52 horas, ¿Cuál es la razón entre la cantidad de horas que Cuaderno de Trabajo trabaja Alejandro y la cantidad de horas que trabaja Alonso?

164

4:3

6A, p 125, Práctica 3.

Capítulo 6: Razones

236

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Objetivos: Comparando tres cantidades Los estudiantes serán capaces de: • usar razones para representar los tamaños relativos de tres cantidades. • expresar razones equivalentes, dadas tres cantidades. • expresar una razón dada x : y : z en su forma más simple. • encontrar la(s) incógnita(s) en razones equivalentes.

Concepto clave

Materiales

• La razón es una forma de comparar tamaños relativos de tres cantidades o grupos de elementos.

• Cubos encajables, o fichas de colores rojo, amarillo y rosado.

Habilidades • Comparar • Visualizar

Gestión de la clase 1

¡Aprendamos!

Comparando tres cantidades 1 Marcela tenía 4 claveles rojos, 8 claveles rosados y 12 claveles amarillos. La razón entre la cantidad de claveles rojos, la cantidad de claveles rosados y la cantidad de claveles amarillos es 4 : 8 : 12. Escríbela en la forma más simple.

Método 1 = 1 parte

Ella pone 4 claveles en cada caja.

1 caja de claveles rojos

2 cajas de claveles rosados

3 cajas de claveles amarillos

La razón entre la cantidad de claveles rojos, la cantidad de claveles rosados y la cantidad de claveles amarillos es 1 : 2 : 3. Método 2

4 : 8 : 12

: 4

4 es el mayor factor común de 4, 8 y 12.

= 1 : 2 : 3

4 : 8 : 12 se puede escribir de la forma más simple como 1 : 2 : 3. La razón entre la cantidad de claveles rojos, la cantidad de claveles rosados y la cantidad de claveles amarillos es 1 : 2 : 3 .

Capítulo 6: Razones

• En esta actividad, el concepto de razón es extendido a tres cantidades. Presente y explique el concepto de razón usando tres grupos de elementos, por ejemplo, cubos encajables rojos, amarillos y rosados. • Utilice el ejemplo del Libro del Alumno, para mostrar que cuando hay 4 cardenales rojo, 8 rosados y 12 amarillos, la razón se escribe como 4 : 8 : 12. • Luego, explique los dos métodos para simplificar una razón. Método 1: Reorganice los cardenales en grupos de 4 elementos: 1 grupo de 4 cardenales rojos, 2 grupos de 4 cardenales rosados cada uno y 3 grupos de 4 cardenales amarillos cada uno. Ahora, escriba la razón como 1 : 2 : 3 la cual equivale a 4 : 8 : 12, pero de forma simplificada. Método 2: Encuentre un divisor común para los términos de la razón. 4 es un divisor común de 4, 8 y 12. Simplifique la razón dividiendo los tres términos de la razón por el divisor común.

165

237

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Actividad adicional • Pida a los estudiantes que expliquen y luego corrijan el error cometido en la simplificación de la siguiente razón: 12 : 24 : 42 = 4 : 8 : 12 = 1 : 2 : 3

Gestión de la clase 2

• Utilice esta actividad para evaluar si sus estudiantes logran simplificar razones de tres cantidades a su forma más simple. • Si sus estudiantes tienen dificultades para encontrar el divisor común, guíelos para que anticipen un número y luego comprueben si los tres términos son divisibles por ese número. Pueden comenzar desde el número 2 y probar con los números siguientes. También pueden usar alguno de los métodos estudiados en el capítulo 1.

2 ¿Cuál es la forma más simple en que se puede expresar cada una de las siguientes razones? a 15 : 12 : 18

Divide 15, 12 y 18 por el factor común, 3.

15 : 12 : 18 : 3

: 3

= 5 : 4 : 6

b 12 : 8 : 20

Primero, encuentra el mayor factor común de 12, 8 y 20.

12 : 8 : 20

: 4

= 3 : 2 : 5

3 Calcula los números que faltan en estas razones equivalentes.

• Explique cómo encontrar los valores desconocidos de las razones equivalentes usando la multiplicación y la división. Método 1: 3 · 4 = 12 2·4=8 5 · 4 = 20 Método 2: Observe el segundo término de las razones equivalentes. 2 : 3 : 5 = ? : 12 : ? 12 : 3 = 4 4 es el factor por el cual multiplicar, por lo tanto, 2 : 3 : 5 = 8 : 12 : 20.

2 : 3 : 5 = 8 : 12 : 20

Observa el segundo término de cada razón equivalente.

2 : 3 : 5 = 8 : 12 : 20

Primero, encuentra el factor que multiplica al 3 para obtener 12. Luego, multiplica el primer y el tercer término por ese factor.

Método 1

Método 2

3  4 = 12 Multiplica por 4 los otros términos.

 4

12 : 3 = 4

Entonces, 4 es el factor que multiplica.

2 : 3 : 5  4

 4

4  2 = 8 4  5 = 20

= 8 : 12 : 20

166

Capítulo 6: Razones

238

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Gestión de la clase 4

4 Calcula los números que faltan en estas razones equivalentes.

3 : 5 : 7 = 9 : 15 : 21

Observa los primeros términos de las razones equivalentes. 3 : 5 : 7 = 9 : 15 : 21

Primero, encuentra el factor que multiplica. Luego, multiplica el segundo y el tercer término por ese factor. Método 1

3  3 = 9

9 : 3 = 3

Multiplica por 3 los demás términos

Entonces, 3 es el factor que debe multiplicar a 5 y 7.

3 : 5 : 7  3

 3

Método 2

3  5 = 15

 3

3  7 = 21

= 9 : 15 : 21

• Evalúe si los estudiantes utilizan la multiplicación o división para encontrar los términos desconocidos de razones equivalentes, en forma similar a 3 . • Esta actividad es similar a la 2 ya que los valores dados de la razón son mayores a los valores buscados. • Recuerde a sus estudiantes que para encontrar el divisor común, tendrán que anticipar un número y comprobar si los tres términos de la razón son divisibles por ese número.

5 Calcula los números que faltan en estas razones equivalentes.

18 : 12 : 9 = 6 : 4 : 3

Observa los terceros términos de las razones equivalentes. 18 : 12 : 9 = 6 : 4 : 3 Primero, encuentra el factor común. Luego, divide los primeros y segundos términos por el factor común.

9 : 3 = 3

18 : 12 : 9 : 3

: 3

= 6 : 4 : 3

Entonces, 3 es el factor común. 18 : 3 = 6 12 : 3 = 4

Capítulo 6: Razones

167

239

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Objetivo de la actividad

Materiales

• Esta actividad permite a los estudiantes practicar la escritura de razones de tres cantidades.

• Cubos encajables o fichas: 3 verdes, 12 azules y 27 amarillos, por cada grupo.

Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 6d. • Asígneles la Práctica 4 del Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 129 a 130.

Gestión de la clase 6

• Evalúe si sus estudiantes usan la división para encontrar los términos desconocidos en razones equivalentes similares al ejercicio 5 . • Es posible que tengan que anticipar un número como divisor común y luego proceder. 7

• Explique a sus estudiantes que tendrán que utilizar el concepto de “quitar” en el ejercicio b para encontrar la nueva razón que se establece entre las tres cantidades.

6 Calcula los números que faltan en estas razones equivalentes. a 15 : 5 : 20 = 3 : 1 : 4

b 7 : 21 : 14 = 1

: 3 : 2

Realiza esta actividad.

Trabaja en grupos.

Tu profesor o profesora entregará a cada grupo 3 fi chas verdes, 12 fi chas azules y 27 fi chas amarillas.

a Escribe la razón entre la cantidad de fi chas verdes, la

cantidad de fi chas azulesy la cantidad de fi chas amarillas. 3 : 12 : 27 = 1 : 4 : 9 b Quita 1 fi cha verde y 3 fi chas amarillas. Luego encuentra la nueva razón entre la cantidad de fi chas verdes, la cantidad de fi chas azules y la cantidad de fi chas amarillas. 2 : 12 : 24 = 1 : 6 : 12

¡Practiquemos! 6d Calcula los números que faltan en las siguientes razones equivalentes. 1 Escribe cada razón en su forma más simple.

a 5 : 15 : 20 = 1 : 3 : 4

c 15 : 75 : 135 = 1 : 5 : 9 d 36 : 54 : 108 = 2 : 3 : 6

b 4 : 18 : 24 = 2 : 9 : 12

2 Completa las razones equivalentes. a 1 : 4 : 5 = 3 : 12 : 15

b 2 : 3 : 8 = 12 : 18 : 48

Completa las razones equivalentes. a 64 : 112 : 32 = 4 : 7 : 2

b 125 : 200 : 50 = 5 : 8 : 2 Cuaderno de Trabajo 6A, p 129, Práctica 4.

168

Capítulo 6: Razones

240

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Objetivos: Problemas (2)

Concepto clave • Aplicación de los conceptos de razón equivalente, parte-todo y comparación para resolver problemas de 2 pasos que involucren razones de 3 cantidades.

Los estudiantes serán capaces de: • resolver problemas de dos pasos que involucren razones de tres cantidades usando: (i) El concepto de razón equivalente. (ii) Modelos de barra y el método unitario.

Habilidades • Comparar • Visualizar

Gestión de la clase 1

¡Aprendamos!

Problemas (2)

1 Bárbara vió autos de juguete en una tienda y decidió comprar: 3 autos rosados, 6 autos azules y 9 autos amarillos. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de autos rosados, la cantidad de autos azules y la cantidad de autos amarillos que Bárbara compró? Método 1 Pon 3 autos en cada caja.

1 caja de autos rosados

2 cajas de autos azules

3 cajas de autos amarillos

• Pida a sus estudiantes que lean el problema y pregúnte cuál es la diferencia entre este problema y los problemas de la sección Problemas (1). Se espera que los estudiantes identifiquen que este problema involucra 3 términos mientras que los anteriores, sólo 2. • Destaque que los métodos para resolver los dos tipos de problemas son los mismos. • Puede revisar los métodos usados anteriormente antes de comenzar con los dos métodos que se muestran aquí.

La razón entre la cantidad de autos rosados, la cantidad de autos azules y la cantidad de autos amarillos que Bárbara compró es 1 : 2 : 3.

Método 2 3 : 6 : 9 : 3

: 3

3 es factor común de 3, 6 y 9.

: 3

= 1 : 2 : 3

3 : 6 : 9 es 1 : 2 : 3, en su forma más simple.

La razón entre la cantidad de autos rosados, la cantidad de autos azules y la cantidad de autos amarillos que Bárbara compró es 1 : 2 : 3 .

Capítulo 6: Razones

169

241

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Gestión de la clase 2

• Evalúe informalmente a los estudiantes si pueden aplicar los métodos usados en 1 para resolver un problema similar. • Los estudiantes primero deben simplificar el problema dividiendo cada valor de la razón por 100 para obtener 2 : 8 : 30. • Así, será más fácil para los estudiantes encontrar el divisor común de 2, 8 y 30.

2 Durante una carrera, Daniel corrió 200 m, Samuel corrió 800 m y Álvaro corrió 3000 m. ¿Cuál es la razón entre las distancias que corrieron Daniel, Samuel y Álvaro?

200 : 800 : 3000 : 200

: 200

Calcula el factor común de 200, 800 y 3000.

: 200

1 : 4 : 15

La razón entre la distancia que corrió Daniel a la distancia que corrió Samuel a la distancia que corrió Álvaro es 1 : 4 : 15 .

• Este problema puede ser resuelto usando 2 métodos. El método de razón equivalente ha sido explicado previamente. • El segundo método es el modelo de barras y método unitario. Paso 1: Lea el problema y dibuje el modelo para representar la información. Paso 2: Complete con los valores dados e indique con un signo “?” para el valor desconocido. Paso 3: Basado en el modelo de barras, escriba una ecuación para relacionar la cantidad de partes en el modelo con el valor dado. Paso 4: Resuelva el problema después de encontrar el valor de 1 parte.

3 Rebeca llenó 3 recipientes, A, B y C hasta el tope con agua en la razón 2 : 3 : 4. La capacidad del recipiente más grande es de 12 . Calcula la capacidad del recipiente más pequeño. Método 2

Método 1

A B C 2 : 3 : 4  3

170

 3

Recipiente A Recipiente B

 3

Recipiente C

= 6 : 9 : 12

La capacidad del recipiente más pequeño es 6 .

4 partes 1 parte 2 partes

La capacidad del recipiente más pequeño es 6 .

12  12 : 4 = 3  2  3 = 6 

Capítulo 6: Razones

242

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Materiales

Trabajo personal

• Calculadora científica

• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 6e.

Gestión de la clase 4

4 Raúl cortó una cinta en tres partes, X, Y y Z en la razón 4 : 2 : 1. La longitud del pedazo más largo es 28 m. Calcula la longitud total de los tres pedazos. 4 partes 28 m 28 : 4 = 7 m 1 parte Longitud total = 4  2  1 partes = 7 partes = 7  7 = 49 m

La longitud total de los tres pedazos es 49 m.

• Utilice este problema como evaluación formativa para observar si sus estudiantes logran seguir los procedimientos usados en el problema anterior.

28 m X Y

Laura, Antonio y Pedro repartieron entre ellos una suma de dinero en la razón 5 : 4 : 6. Pedro recibió $ 4320. ¿Cuál era la cantidad total del dinero?

6 partes $4320 $4320 : 6 = $ 720 1 parte Cantidad total de dinero = 5  4  6 = 15 partes = 15  720 = $ 10 800

La cantidad total de dinero era $

Laura Antonio

Pedro $4320

• En este problema, los estudiantes deben encontrar el todo, mientras que en el problema anterior debían encontrar las partes. 5

• Este problema es similar a los problemas 3 y 4 . Sin embargo, los estudiantes podrían necesitar de una calculadora para ayudarse en los cálculos.

. 10 800

¡Practiquemos! 6e Resuelve estos problemas. Escribe el desarrollo.

1 En una librería, Carmela compró 5 gomas de borrar, 15 lápices pasta y 40 lápices mina. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de gomas de borrar, la cantidad de lápices pasta y la cantidad de lápices mina que Carmela compró? 1:3:8 2 Anita mezcla 200 ml de jugo de arándano, 300 ml de jugo de pomelo y 700 ml de soda. ¿Cuál es la razón entre las cantidades de jugo de arándano, de pomelo y de soda? 2 : 3 : 7

Capítulo 6: Razones

171

243

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Objetivo de la actividad

Trabajo personal

Materiales

• Esta actividad ayuda a los estudiantes a reflexionar sobre los métodos que han aprendido para representar razones y simplificarlas usando la división.

• Asigne a sus estudiantes la Práctica 5 y el “Diario Matemático” del Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 131 a 136.

• Calculadora científica

Gestión de la clase (Diario matemático) • Este diario ayuda a los estudiantes a reflexionar y reforzar el método de encontrar el divisor común para los términos de una razón, así como también a escribir razones en su forma más simple.

3 Rolando dibujó tres líneas con diferentes colores: rojo, amarillo y verde. La razón entre el largo de la línea roja, de la línea amarilla y de la línea verde es 1 : 3 : 5. La línea amarilla mide 18 cm. ¿Cuánto mide la línea verde? 30 cm 4 Carlos mezcló jugo de manzana, zanahoria y apio en la razón 3 : 1 : 2. El volúmen del jugo de manzanas era 720 ml. a ¿Cuánto más jugo de manzana que jugo de zanahoria usó Carlos en la

mezcla? 480 ml

b ¿Cuál es el volúmen total de jugo? 1440 ml

Ana, Juan y Tina se reparten una suma de dinero en la razón 2 : 4 : 15. Tina recibió $1575. a ¿Cuál de las niñas recibe la menor parte? Ana

b ¿Cuál es la cantidad total de dinero repartida?

$2205

Los pesos de Álvaro, Benito y Cristián están en la razón 13 : 5 : 7. Álvaro pesa 65 kg.

a ¿Cuánto pesa Cristián? 35 kg

b ¿Cuánto pesan Álvaro, Benito y Cristián en total? 125 kg

Cuaderno de Trabajo 6A, p 131, Práctica 5.

Diario matemático

Yolanda tiene 10 globos blancos y 20 globos rosados. Explica cómo encontrar la razón entre la cantidad de globos blancos y la cantidad de globos rosados de forma simplificada. Puedes dibujar un modelo de barras si es necesario. Acepte todas las respuestas posibles.

172

Capítulo 6: Razones

244

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22-10-13 11:50

Objetivos de la actividad • El propósito de esta actividad es que los estudiantes formen tantas razones como sea posible, usando todos los números dados sin importar si pueden ser simplificados o no.

Gestión de la clase ¡Exploremos! Let’s Explore! 1 a Usando los siguientes números, escribe grupos de razones equivalentes de la forma a : b. Puedes usar cada número una sola vez.

2 3 5 6 7 8 9 10 12 14 15 20 21 25 35 Ejemplo 2 : 3 = 6 : 9 = 8 : 12 Usando los mismos números que en a , escribe la mayor cantidad de razones equivalentes que puedas de la forma a : b : c. Puedes usar cada número una sola vez.

¿Cuántos grupos de razones equivalentes puedes escribir para a y b ?

¿Cómo escoges los números para cada grupo de razones equivalentes?

Discutan.

(¡Exploremos!) • Promueva una discusión con los estudiantes acerca de cómo escoger los números, los ayuda a reflexionar sobre cómo encontrar el divisor común a través de la anticipación y comprobación. (¡Resumamos!) • Esta sección sintetiza las dos estrategias para escribir razones equivalentes y el método para simplificarlas.

¡Resumamos! Has aprendido a: • Usar razones para mostrar los tamaños relativos de 2 y 3 cantidades • Explicar por qué una razón no representa necesariamente las cantidades efectivas que se están comparando • Encontrar razones equivalentes a una razón dada, multiplicándola por un factor común 1 : 4

 4  4

= 4 : 16

• Simplifi car una razón a su versión más simple, dividiendo la razón por el mayor factor común

Capítulo 6: Razones

6 : 18

: 6 : 6

= 1 : 3 173

245

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Objetivo de la actividad • En este problema es necesario que los estudiantes practiquen usando la estrategia de “hacer una lista” además de aplicar el concepto de razón.

Habilidades • Comparar • Visualizar

Heurística para resolver problemas • Hacer una lista sistemáticamente

Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes las secciones “Desafío”,“Piensa y resuelve”, del Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 137 a 139. • Asigne a sus estudiantes el Repaso F del Libro del Alumno 6A, págs. 175 a 176.

Gestión de la clase (¡Repasemos!) • A través de la revisión del ejemplo refuerce las siguientes habilidades, conceptos y estrategias: (a) Aplicación del concepto de perímetro de un cuadrado y rectángulo. (b) El método unitario. (c) Aplicación del concepto de razón para resolver problemas.

¡Repasemos! La razón entre el perímetro de un cuadrado de papel y el perímetro de un rectángulo de papel es 2 : 5. Si el lado del cuadrado de papel mide 10 cm, calcula: a

El perímetro del cuadrado de papel. 10  4 = 40 cm El perímetro del cuadrado de papel es 40 cm.

El perímetro del rectángulo de papel. 2 partes → 40 cm 1 parte → 20 cm 5 partes → 100 cm El perímetro del rectángulo de papel es 100 cm.

(¡Activa tu mente!) 1 y 2 • En estos dos problemas es necesario que los estudiantes apliquen la heurística de hacer una lista sistemáticamente y el concepto de razón, para resolverlos.

El largo del rectángulo de papel si su ancho es 15 cm. Largo del rectángulo de papel =

100 − (15 2 ) 2

= 35 cm

El largo del rectángulo de papel es 35 cm.

¡Activa tu mente! 1 Santiago y Tina tenían dinero en la razón 5 Santiago y Tina tenían dinero en la razón 5 : 2. Santiago tenía $30 000. Si el dinero de Tina consistía sólo en billetes de $2000, ¿Cuántos billetes de $2000 tenía Tina? 6 billetes 2 Leonor tenía billetes de $5000 y de $2000 en la razón 3 : 2. Leonor tenía 4 billetes de $2000. ¿Cuánto dinero tenía Leonor en total? $38 000

Cuaderno de Trabajo 6A, p 137, Desafío.

174

Cuaderno de Trabajo 6A, p 138, Piensa y resuelve.

Capítulo 6: Razones

246

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22-10-13 11:50

247

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22-10-13 11:40

18,5 cm

¿Cuál es el área del triángulo ABC? 111 cm2

12 cm

¿Cuáles son los dos números nuevos si uno es el doble que el otro? 10 y 20

b El promedio, al agregar dos nuevos números, cambia a 49,275.

a Calcula el tercer número. 71,45

El promedio de tres números es 72,125. Dos de ellos son 63,5 y 81,425.

175

7 La razón entre la edad de Don Patricio y su hijo es 8 : 1. En tres años más la suma de ambas edades será 51. ¿Cuál es la edad de Don Patricio? 40 años

15 cm

5 Escribe el mayor número de cuatro cifras que sea divisible por 5. 9995

3 7 2 2 ,3,7 , , 4 9 3 3 4 9

3 Ordena las siguientes fracciones en orden creciente:

Repaso F

2 El peso promedio de un grupo de 6 niñas es p kg. Una séptima niña cuyo peso es 37 kg se unió al grupo. ¿Cuál es el peso promedio de las 7 niñas? 6p + 37 kg 7

1 Al redondear cierto número, a la centena más cercana, se obtuvo 5100. ¿Cuál es el menor número que pudo ser redondeado? 5050

Repaso F

248

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22-10-13 11:40

8 cm

5 cm D

6 cm

8 cm

10 cm

176

16 cm2

48 cm2

8 cm

32 cm2

10 La siguiente figura está formada por 3 rectángulos. El área de cada rectángulo es conocida. Si AB = 8 cm, calcular la longitud de BC. 4 cm

Repaso F

9 Copia la siguiente figura unitaria en una cartulina, recórtala y con ella haz una teselación sobre una hoja blanca.

10 cm

8 ¿A qué fracción del área del triángulo ABC corresponde el área sombreada? 16

249

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22-10-13 11:40

Razones

Curso:

Fecha:

8 3 5 11 27

Iván Susana Nora Víctor Total

5:3 3:5 8 : 27 27 : 11

la cantidad de dulces que tiene Nora y la cantidad de dulces que tiene Susana es la cantidad de dulces que tiene Susana y la cantidad de dulces que tiene Nora es la cantidad de dulces que tiene Iván y la cantidad total de dulces es la cantidad en total de dulces y la cantidad de dulces que tiene Víctor

119

8 : 11

Razón

la cantidad de dulces que tiene Iván y la cantidad de dulces que tiene Víctor es

La razón entre...

(b) Completa la siguiente tabla para mostrar las razones.

Cantidad de dulces

Estudiante

(a) Calcula el número de dulces que tienen entre todos.

Capítulo 6: Razones

(1) La tabla muestra la cantidad de dulces que cada estudiante tiene.

Práctica 1 Encontrando razones

Nombre:

250

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22-10-13 11:40

(b) La razón entre la cantidad de lápices que tiene Luisa y la cantidad de

120

Capítulo 6: Razones

(v) La razón entre entre los kilos de pollo que compró Gabriela y el total de kilos de pollo comprado 8 : 41 .

(iv) La razón entre el volumen total de leche comprado y el volumen de leche que compró Isabel es 31 : 9 .

(iii) La razón entre entre los kilos de pollo que compró Hugo y los kilos de pollo que compró Gabriela es 7 : 8 .

(ii) La razón entre el volumen de leche que compró Isabel y el volumen de leche que compró Hugo es 9 : 5 .

escribir dos cantidades como razón, las cantidades deben estar expresadas en la misma unidad de medida.

(i) La razón entre los kilos de pollo que compró Tomás y los kilos de Al pollo que compró Gabriela es: 15 : 8 .

41 kg

31 

Total

7 kg

5 

Hugo

15 kg

13 

Tomás

11 kg

9 

Isabel

8 kg

(b) Completa los espacios en blanco para mostrar las razones. Observa el ejemplo.

4 

Gabriela

Cantidad de pollo

Cantidad de leche

Comprado por

(3) (a) Un grupo de amigos fue de compras. Calcula la cantidad total de leche y pollo que compraron.

Capítulo 6: Razones

121

(b) La razón entre el largo de P y el largo de Q es 4 : 3 .

(a) La razón entre el largo de R y el largo de P es 7 : 4 .

(b) La razón entre el largo de C y el largo de B es 7 : 10 .

(6) Dibuja modelos de barra para representar las razones. (a) 5 : 9 (b) 12 : 7

(5) P

lápices que tiene Carolina es 9 : 4 .

(a) La razón entre el largo de A y el largo de C es 3 : 7 .

(a) La razón entre la cantidad de lápices que tiene Carolina y la cantidad de lápices que tiene Luisa es 4 : 9 .

(4) Cecilia unió algunos cubos para formar tres trenes, A, B y C.

(2) Don Federico amarra unos lápices en paquetes de 10. Le da 4 paquetes a Carolina y 9 paquetes a Luisa.

251

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22-10-13 11:40

(b) Encuentra la razón entre la cantidad de láminas que Lulú recibió y la cantidad de láminas que Cristóbal recibió de su abuela.

5 4 3 2 1

122

Cantidad de fichas que quedan en la bolsa

Cantidad de fichas que saca de la bolsa

Capítulo 6: Razones

5:1

4:2ó2:1

3:3ó1:1

2:4ó1:2

1:5

Razón

(9) Leonor pone 6 fichas en una bolsa. Luego saca algunas, pero no todas. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de fichas que saca de la bolsa y la cantidad de fichas que quedan dentro de ella? Haz una lista con todas las posibles razones usando la siguiente tabla.

Menor cantidad de dulces vendidos a Héctor = 8 · 2 = 16 kg Menor cantidad de dulces vendidos a Karina = 13 · 2 = 26 kg 16 + 26 = 42 kg La menor cantidad de kilos de dulces que Agustín les pudo haber vendido fueron 42 kg.

(8) Agustín le vendió paquetes de dulces a Héctor y a Karina en la razón 8 : 13. Él vendió los dulces en paquetes de 2 kg. ¿Cuál es la menor cantidad de kilos de dulces que Agustín les pudo haber vendido?

(b) 7 : 8 La razón entre la cantidad de láminas que Lulú recibió y la cantidad de láminas que Cristóbal recibió de su abuela es 7 : 8.

(a) 15 – 7 = 8 Cristóbal recibió 8 láminas.

(a) ¿Cuántas láminas recibió Cristóbal?

(7) La abuelita Cristina repartió 15 láminas entre Lulú y Cristóbal. Lulú recibió 7 láminas.

Curso:

Fecha:

2 (a) 4 y 6 (c) 6 y 18 2, 3, 6 Acepte cualquiera de éstas. (d) 12 y 32

(b) 5 y 15

Grupo B

18 : 27 = 6 : 9 = 2 : 3 en su forma más simple.

123

La razón entre la cantidad de paquetes de lápices en el grupo A y la cantidad de paquetes de lápices en el grupo B es 6 : 9 .

La razón entre la cantidad de lápices en el grupo A y la cantidad de lápices en el grupo B es 18 : 27 .

Grupo A

4 : 8 = 1 : 2 en su forma más simple.

La razón entre la cantidad de cajas de discos en el grupo A y la cantidad de cajas de discos en el grupo B es 1 : 2 .

La razón entre la cantidad de discos en el grupo A y la cantidad de discos en ell grupo B es 4 : 8 .

Grupo A

Capítulo 6: Razones

(b)

(a)

5 2, 4 Acepte cualquiera de éstas.

(2) Escribe razones para comparar los dos grupos de discos.

(1) Encuentra un factor común, distinto a 1, para cada pareja de números.

Práctica 2 Razones equivalentes

Nombre:

252

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22-10-13 11:40

(f ) 60 : 45 = 12 : 9 (h) 72 : 104 = 9 : 13

(e) 48 : 44 = 12 : 11

(g) 132 : 96 = 11 : 8

Capítulo 6: Razones

(d) 7 : 9 = 84 : 108

124

(b) 4 : 7 = 36 : 63

(a) 5 : 4 = 25 : 20

Completa las razones equivalentes.



: 3

(5)

(h) 56 : 21 = 8 : 3

(g) 4 : 48 = 1 : 12

= 5 : 7

(f ) 15 : 35 = 3 : 7

15 : 21

(e) 6 : 16 = 3 : 8

: 3

(d) 14 : 28 = 1: 2

: 6

(b)

= 3 : 2

18 : 12

: 6

(a)

(4) Escribe cada razón en su forma más simple.

(h ) 9 : 6 = 81 : 54

= 28 : 16

(g) 5 : 8 = 45 : 72



7 : 4

(f ) 6 : 7 = 42 : 49

(e) 4 : 9 = 20 : 45



(b)

= 9 : 15

3 : 5

(d) 8 : 3 = 64 : 24



(a)

(3) Encuentra la razón equivalente para cada una de las siguientes razones.

Curso:

Fecha:

Capítulo 6: Razones

La razón entre la cantidad de hamburguesas de pollo y la cantidad de hamburguesas de pescado que habían en el refrigerador es 3 : 8.

12 : 32 = 3:8

Había 32 hamburguesas de pescado.

44 – 12 = 32

125

(2) En el refrigerador había 44 hamburguesas, habían de pollo y pescado. Si habían 12 hamburguesas de pollo, ¿cuál era la razón entre la cantidad de hamburguesas de pollo y la cantidad de hamburguesas de pescado que habían en el refrigerador?

La razón entre la cantidad de pasteles de vainilla y el total de pasteles que compró Liliana es 4 : 7.

24 : 42 = 4:7

Liliana compró 42 pasteles en total.

24 + 18 = 42

(1) Liliana compró 24 pasteles de vainilla y 18 pasteles de mantequilla para la fiesta de curso. Encuentra la razón entre la cantidad de pasteles de vainilla y la cantidad total de pasteles que compró Liliana.

Resuelve estos problemas. Escribe el desarrollo.

Práctica 3 Problemas (1)

Nombre:

253

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22-10-13 11:40

126

Capítulo 6: Razones

La razón entre la cantidad de dinero que tiene Mónica y la cantidad de dinero que tiene Nora ahora es 3 : 2.

360 : 324 36 : 24 = 6 :4 = 3 :2

Nora tiene $240 ahora.

$180 + $60 = $240

Mónica tiene $360 ahora.

$420 – $60 = $360

(4) En un principio, Mónica tenía $420 y Nora tenía $180. Luego, Mónica le dio $60 a Nora. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de dinero que tiene Mónica y la cantidad de dinero que tiene Nora ahora?

La razón entre la cantidad de niños y la cantidad de niñas que hay ahora en el curso es 15 : 16.

15 : 16

Hay 15 niñas.

18 – 2 = 16

Hay 15 niños.

12 + 3 = 15

(3) En un curso habían 12 niños y 18 niñas. Luego, llegaron 3 niños más al curso y se fueron 2 niñas. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de niños y la cantidad de niñas que hay en el curso ahora?

36 puntos

Capítulo 6: Razones

Entre los dos tenían 60 estampillas.

3 partes → 18 estampillas 1 parte → 6 estampillas Cantidad total de estampillas = 7 + 3 = 10 partes = 10 · 6 = 60 estampillas

Cristián

Rogelio

18 estampillas

127

(6) La razón entre la cantidad de estampillas que tenía Cristián y la cantidad de estampillas que tenía Rogelio era 7 : 3. Rogelio tenía 18 estampillas. ¿Cuántas estampillas tenían entre los dos?

Marcos y Julia consiguieron entre ambos 84 puntos.

3 partes → 36 puntos 1 parte → 12 puntos Cantidad total de puntos = 4 + 3 = 7 partes = 7 · 12 = 84 puntos

Julia

Marcos

(5) En una competencia, la razón entre la cantidad de puntos conseguidos por Marcos y la cantidad de puntos conseguidos por Julia fue 4 : 3. Julia consiguió 36 puntos. ¿Cuánto puntos consiguieron?

254

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22-10-13 11:40

El volumen total de la mezcla es 1653 ml.

15 partes → 1305 ml 1 parte → 87 ml Volumen total de la mezcla = 15 + 4 = 19 partes = 19 · 87 = 1653 ml

Jugo de Pera

Agua mineral

1305 ml ?

Capítulo 6: Razones

Se mezcló jugo de pera y agua mineral, en la razón 4 : 15. El volumen de agua mineral de la mezcla es 1305 ml. ¿Cuál es volumen total de la mezcla?

El volumen total de agua utilizada por las casas A y B durante ese día fue 630 .

13 partes → 455  1 parte → 35  Cantidad total de agua = 13 + 5 = 18 partes = 18 · 35  = 630 

455 

En un día, la razón entre el volumen de agua utilizada por la Casa A y el volumen de agua utilizada por la Casa B fue 13 : 5. La Casa A utilizó 455  de agua ese día. Calcula el volumen total de agua utilizado por ambas casas ese día.

128

(8)

(7)

Curso:

Fecha:

2 5 3 3

2, 6 y 8 5, 10 y 20 3, 9 y 15 6, 24 y 27

(a) (b) (c) (d)

(c)

(a) 

2 : 5 : 7

5 = 20 : 15 : 30



4 : 3 : 6

= 6 : 15 : 21

Capítulo 6: Razones

(d)

(b)

4 = 32 : 20 : 28



8 : 5 : 7

= 12 : 28 : 44



3 : 7 : 11

(2) Encuentra la razón equivalente en los siguientes ejercicios.

Factor común

Grupo de números

129

(1) Encuentra un factor común, distinto a 1, para cada grupo de números. Observa el ejemplo.

Práctica 4 Comparando tres cantidades

Nombre:

255

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22-10-13 11:41

(b) 8 : 7 : 3 = 16 : 14 : 6

(d) 4 : 5 : 9 = 20 : 25 : 45

(c)

(a) 4 : 16 : 18 = 2 : 8 : 9

(b) 27 : 12 : 21 = 9 : 4 : 7

(d) 63 : 18 : 27 = 7 : 2 : 3

130

7 : 21 : 35

Capítulo 6: Razones

= 1 : 3 : 5

= 4 : 6 : 9

(d) : 7

20 : 30 : 45

: 5

21 : 15 : 18

= 7 : 5 : 6

(b)

= 4 : 3 : 2

: 3

16 : 12 : 8

6 : 2  5

6 : 2  1

: 4

(5) Escribe cada razón en su forma más simple.

(a)

(4) Escribe cada razón en su forma más simple.

(a) 1 : 2 : 5 = 3 : 6 : 15

(3) Completa cada grupo de razones equivalentes.

Curso:

Fecha:

Capítulo 6: Razones

131

La razón entre el volumen de agua del Recipiente A, el volumen de agua del Recipiente B y el volumen de agua del Recipiente C es 3 : 8 : 14.

150 : 400 : 700 = 3 : 8 : 14

(2) Andrés vertió 150 ml de agua en el Recipiente A, 400 ml de agua en el Recipiente B y 700 ml de agua en el Recipiente C. Encuentra la razón entre el volumen de agua del Recipiente A, el volumen de agua del Recipiente B y el volumen de agua del Recipiente C.

La razón entre la cantidad de helados de chocolate, la cantidad de helados de vanilla y la cantidad de helados de frutilla era 2 : 5 : 4.

4 : 10 : 8 =2 : 5 : 4

(1) Consuelo compró 4 helados de chocolate, 10 helados de vainilla y 8 helados de frutillas para la fiesta de curso. Encuentra la razón entre la cantidad de helados de chocolate, la cantidad de helados de vainilla y la cantidad de helados de frutiilla.

Resuelve estos problemas. Escribe el desarrollo.

Práctica 5 Problemas (2)

Nombre:

256

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22-10-13 11:41

Capítulo 6: Razones

La razón entre la cantidad de té en los tres vasos es 2 : 5 : 8.

Capítulo 6: Razones

La suma de las edades de los tres hermanos es 42 años.

1 parte → 7 años Suma de las partes = 1 + 2 + 3 = 6 partes Suma de las edades = 6 · 7 = 42 años

Manuel

Ramón

El vaso restante contiene 250 ml de té.

7 años

133

(6) La edad de los hermanos, David, Ramón y Manuel, están en la razón 1 : 2 : 3. David tiene 7 años. Calcula la suma de las edades de los tres hermanos en total.

La parte más corta mide 14 cm.

David

100 : 250 : 400 = 2 : 5 : 8

35 cm 5 partes → 35 cm 1 parte → 7 cm 2 partes → 14 cm

(5) Ruth corta una cadena en tres partes. Sus longitudes están en la razón 2 : 3 : 5. La parte más larga mide 35 cm. ¿Cuánto mide la parte más corta?

750 ml – 100 ml – 400 ml = 250 ml

El señor González preparó 750 ml de té. Él vertió 100 ml de té al vaso A, 400 ml de té al vaso C, y el resto del té al vaso B. Encuentra la razón entre la cantidad de té del vaso A, la cantidad de té del vaso B y la cantidad de té del vaso C.

132

(4)

La razón entre la cantidad de dinero que recibió Ana, la cantidad de dinero que recibió Jaime y la cantidad de dinero que recibió Patricia es 2 : 4 : 3.

200 : 400 : 300 =2 :4 :3

Cantidad de dinero recibida por Patricia = $900 – $200 – $400 = $300

(3) Tamara repartió $900 entre sus 3 hijos. Ana recibió $200, Jaime $400 y Patricia recibió el resto. Encuentra la razón entre la cantidad de dinero que recibió Ana, la cantidad de dinero que recibió Jaime y la cantidad de dinero que recibió Patricia.

257

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22-10-13 11:41

98 conchitas

134

Entre las tres recolectaron 406 conchitas.

7 partes → 98 conchitas 1 parte → 14 conchitas 10 + 12 + 7 = 29 partes = 29 · 14 = 406 conchitas

Constanza

Berta

Amanda

Capítulo 6: Razones

(8) Amanda, Berta y Constanza recolectaron conchitas de mar. Las cantidades están en la razón 10 : 12 : 7. Constanza recolectó 98 conchitas de mar. ¿Cuántas conchitas de mar recolectaron entre las tres?

El peso total de Lidia, Marcela y Nancy es 51 kg.

(b) 6 + 4 + 7 = 17 partes = 17 · 3 kg = 51 kg

Lidia pesa 18 kg.

(a) 7 partes → 21 kg 1 parte → 3 kg 6 partes → 18 kg

(7) Los pesos de Lidia, Marcela y Nancy están en la razón 6 : 4 : 7. Nancy pesa 21 kg. (a) ¿Cuánto pesa Lidia? (b) ¿Cuál es el peso total de Lidia, Marcela y Nancy?

(a) ¿Cuál es la altura del edificio A? (b) ¿Cuál es la altura total de los tres edificios?

Capítulo 6: Razones

La altura total de los tres edificios es 528 m.

(b) Altura total = 2 + 7 + 15 = 24 partes = 24 · 22 = 528 m

La altura de el edificio A es 44 m.

(a) 15 partes → 330 m 1 parte → 22 m 2 partes → 44 m

La razón entre la altura de los edificios, A, B y C es 2 : 7 : 15. La altura del edificio C es 330 m.

La suma total de dinero que repartieron es $16 000.

(b) 13 + 9 + 10 = 32 partes = 32 Total de dinero = 32 · $500 = $16 000

Josefina recibió $4500.

(a) 13 partes → $6500 1 parte → $500 9 partes → $4500

135

Alejandra, Josefina y Loreto repartieron una suma de dinero en la razón 13 : 9 : 10. Alejandra tenía $6500. (a) ¿Cuánto dinero recibió Josefina? (b) ¿Cuál es la suma total de dinero que repartieron?

(10)

(9)

258

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22-10-13 11:41

Curso:

Fecha:

6 kg

total de kilos de carne y pescado.

que le estaban preguntando por el

El modelo de Clara es incorrecto porque ella no entendió la pregunta al pensar

partes para el pollo y el cordero.

El modelo de Andrés es incorrecto porque él dibujó una cantidad equivocada de

136

Pescado

Cordero

Pollo

6 kg

Capítulo 6: Razones

Él compró 24 kg de carne al carnicero.

1 parte → 6 kg Peso total de la carne = 3 + 1 = 4 partes = 4 · 6 kg = 24 kg

Dibuja el modelo correcto. Luego, resuelve el problema.

Pescado

Cordero

Pollo

Modelo de Clara

Pescado

Cordero

Pollo

Modelo de Andrés

Ambos modelos son incorrectos. Explica los errores cometidos por ellos.

Nicolás compró carne de pollo y cordero, y además compró pescado para una parrillada. La razón entre los kilos de pollo y los kilos de cordero y los kilos de pescado fue 3 : 1 : 5. Él compró 6 kg de cordero. ¿Cuántos kilos de carne de pollo y cordero, compró Nicolás?

Andrés y Clara dibujaron cada uno un modelo para resolver el siguiente problema.

Diario matemático

Nombre:

Desafío

Curso:

Fecha:

6 cm

Capítulo 6: Razones

La medida de un lado del cuadrado pequeño es 2 cm.

(b) 8 : 4 = 2 cm

El perímetro del cuadrado pequeño es 8 cm.

(a) 4 partes → 16 cm 1 parte → 4 cm 2 partes → 8 cm

137

(2) La razón entre los perímetros de dos cuadrados es 2 : 4. El perímetro del cuadrado más grande es 16 cm. (a) ¿Cuál es el perímetro del cuadrado pequeño? (b) ¿Cuál es la medida de un lado del cuadrado pequeño?

La razón entre el área del cuadrado pequeño y el área restante del cuadrado grande es 4 : 5.

6 · 6 = 36 cm2 36 – 16 = 20 cm2 16 : 20 = 4 : 5

(1) Un cuadrado pequeño cuadrado de área 16 cm2 fue recortado de un cuadrado más grande de lado 6 cm. Encuentra la razón entre el área del cuadrado pequeño y el área restante del cuadrado grande.

Nombre:

259

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22-10-13 11:41

Piensa y resuelve

Curso:

Fecha:

138

Capítulo 6: Razones

El costo total de las plantas que compraron fue $9520.

Costo total = 56 · $170 = $9520

Trinidad y Sara compraron 56 plantas en total.

2 partes → 16 plantas 1 parte → 8 plantas 2 + 5 partes = 7 partes 7 · 8 = 56 plantas

(1) La razón entre la cantidad de plantas que Trinidad compró y la cantidad de plantas que Sara compró fue 2 : 5. Trinidad compró 16 plantas. Si cada planta costó $170, ¿cuál fue el costo total de las plantas que Trinidad y Sara compraron?

Nombre:

El costo total de las entradas de los niños varones y niñas es $46 800.

Costo total = 156 · $300 = $46 800

La cantidad total de niños varones y niñas en el parque de diversiones es 156.

5 partes → 60 1 parte → 12 5 + 8 partes = 13 partes 13 · 12 = 156 niños varones y niñas

Capítulo 6: Razones

139

(2) La razón entre la cantidad de niños varones y la cantidad de niñas en un parque de diversiones es 5 : 8. En el parque de diversiones hay 60 niños varones. Si el costo de la entrada es $300, calcula el costo total de las entradas de los niños y niñas.

260

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22-10-13 11:18

Horas pedagógicas

Los estudiantes serán capaces de expresar una fracción como porcentaje: • transformándolo a una fracción equivalente con denominador 100. • usando el método unitario. • usando el método de amplificación.

(2) Expresando más fracciones como porcentajes

Los estudiantes debieran ser capaces de resolver y explicar cómo obtener las respuestas correctas en los ejercicios dados.

Diario matemático

Los estudiantes serán capaces de: • comprender el concepto de porcentaje como un tipo especial de fracción y decimal. • expresar una parte de un entero como porcentaje. • expresar una fracción con denominador 100 o 10 como un porcentaje. • expresar un decimal como un porcentaje. • expresar un porcentaje como una fracción simplificada. • expresar un porcentaje como un decimal.

(1) Tanto por ciento

Objetivos

Capítulo 7: Porcentaje (1)

• Libro del Alumno 6A, págs. 184 a 189 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 145 a 148 • Guía del Profesor 6A, págs. 270 a 275

• Libro del Alumno 6A, págs. 177 a 183 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 141 a 144 • Guía del Profesor 6A, págs. 263 a 269

Recursos

• Analizar las partes y el todo

• Identificar relaciones

Habilidades

261

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22-10-13 11:18

Horas pedagógicas

Los estudiantes debieran ser capaces de dibujar modelos de barra para resolver los problemas y calcular el precio antes y después del descuento.

Diario matemático

Los estudiantes serán capaces de resolver problemas de dos pasos: • para calcular el porcentaje que representa una parte de un todo y el porcentaje de una cantidad. • que involucran descuentos, impuestos a la venta (IVA) e interés anual.

(4) Problemas

Basándose en frases numéricas, los estudiantes deberían ser capaces de escribir un problema, completar el modelo dado y resolver el problema.

Diario matemático

Los estudiantes serán capaces de calcular un porcentaje de una cantidad dada usando: • el método unitario. • el método de amplificación.

(3) Porcentaje de una cantidad

Objetivos

Capítulo 7: Porcentaje (1)

• Libro del Alumno 6A, págs. 196 a 202 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 153 a 156 • Guía del Profesor 6A, págs. 282 a 288

• Libro del Alumno 6A, págs. 190 a 195 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 149 a 152 • Guía del Profesor 6A, págs. 276 a 281

Recursos

• Analizar las partes y el todo

Habilidades

262

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22-10-13 11:18

Objetivos

Repaso G

Repaso 3

Evaluación 1

Los estudiantes deben dibujar un modelo de barras basado en los conceptos de parte-todo y de doble de una cantidad, como así mismo, usar el método unitario en cálculo de un porcentaje.

¡Activa tu mente!

Enfatice los conceptos claves, habilidades y procesos que han sido enseñados en el capítulo.

¡Resumamos!

Horas pedagógicas

Capítulo 7: Porcentaje (1)

• Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 169 a 182 • Guía del Profesor 6A, págs. 307 a 314

• Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 159 a 167 • Guía del Profesor 6A, págs. 302 a 306

• Libro del Alumno 6A, págs. 205 a 206 • Guía del Profesor 6A, págs. 291 a 292

• Libro del Alumno 6A, págs. 203 a 204 • Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 157 a 158 • Guía del Profesor 6A, págs. 289 a 290

Recursos

Identificar relaciones

Heurística para resolver Problemas: • Dibujar un modelo • Representar

•

Habilidades

Capítulo Siete

Porcentaje (1) Objetivos: Tanto por ciento

• expresar un decimal como un porcentaje. • expresar un porcentaje como una fracción simplificada. • expresar un porcentaje como un decimal.

Habilidad • Identificar relaciones

Conceptos claves • 5% significa 5 de 100. • Un porcentaje es una fracción particular cuyo denominador es 100.

Gestión de la clase 1

• Explique el significado de porcentaje y relacione el porcentaje con fracciones y decimales. • Diga a los estudiantes que pueden comparar 75 tulipanes con 100 tulipanes de diferentes maneras. • Como fracción, lo podemos

Porcentaje (1) ¡Aprendamos!

Tanto por ciento 1

En un jardín, hay 100 tulipanes. Compara el número de tulipanes rojos De ellos, 75 son rojos. con el número total de tulipanes. Por lo tanto, 75 de los 100 tulipanes, Número de tulipanes rojos 75 son rojos. Número total de tulipanes = 100 Hay tres maneras de expresar esto. Como una fracción

Como un decimal

Como un porcentaje

75 100

0,75

75%

escribir 100 que significa 75 de 100. Esta es una fracción decimal que también podemos expresar como número decimal, esto es 0,75. • La tercera forma de comparar estos dos números es mediante un porcentaje. Escribimos 75%, que significa 75 de 100. • Explique que el porcentaje es otra manera de comparar dos números en el cual el primer número tiene que ser comparado con 100.

Leemos 75% como 75 por ciento. 75% significa 75 por cada 100.

Capítulo 7: Porcentaje (1)

177

263

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22-10-13 11:18

Actividad adicional

• Pida a los estudiantes que trabajen en parejas. Dígales que piensen en dos situaciones en que necesiten comparar un número con 100 y que luego lo expresen como un porcentaje. El compañero debe revisar que la respuesta esté correcta; luego intercambian roles.

• En el ejercicio 3 , pregunte a sus estudiantes si se podría escribir el porcentaje de la parte sombreada como 48% si el número total de cuadraditos fuera 75 en vez de 100 y el número de cuadraditos sombreados: (i) no cambia (ii) es 36 Pídales que expliquen el porqué.

Gestión de la clase 2

• Explique el significado de porcentaje usando este ejemplo en que un cuadrado grande está dividido en 100 cuadraditos. • Muestre a los estudiantes la cantidad de cuadraditos que estan sombreados y pídales que verifiquen si hay 100 cuadraditos en el cuadrado más grande. Pídales que observen las diferentes maneras que existen de representar la cantidad de los cuadraditos que estan sombreados.

El cuadrado grande está dividido en 100 partes iguales, de las cuales 25 están pintadas.

Por lo tanto, 25 de las 100 partes están pintadas 25 100 del cuadrado grande está

pintado.

25% del cuadrado grande está pintado.

¿Qué porcentaje del entero está pintado? ¿Qué porcentaje del entero no está pintado?

y 4 • Asigne estas actividades a sus estudiantes a modo de evaluación formativa. 48 % del cuadrado grande está pintado. 52 % del cuadrado grande no está pintado 4

178

Expresa lo siguiente como un porcentaje. a

72 de 100 es 72 %.

39 de 100 es 39 %.

Capítulo 7: Porcentaje (1)

264

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22-10-13 11:18

Gestión de la clase 5

Expresa cada fracción como un porcentaje. a

y 6 • Asigne estos ejercicios a modo de evaluación formativa.

17 100 =

17 %

68 100 = 68 %

• Explique a los estudiantes como expresar un decimal como porcentaje: Paso 1: Expresar los decimales como una fracción de denominador 100. Paso 2: Expresar la fracción obtenida como porcentaje.

Expresa cada fracción como un porcentaje. a

7 70 10 = 100 = 70 %

30 3 10 = 100 = 30 %

7 10

= 100 Encuentra la fracción equivalente 7

de 10 que tenga al 100 como denominador.

Expresa cada decimal como un porcentaje. a

45 0,45 = 100

= 45%

0,7 = 0,70

70 = 100

3 0,03 = 100

• Asigne este ejercicio como práctica guiada.

= 3%

= 70%

Expresa cada decimal como un porcentaje. 9 90 56 a b 0,9 = 0,56 = 100 10 = 100 = 56 % = 90 % c

40 0,4 = 100

= 40 % 9

• Explique a los estudiantes como expresar un porcentaje como una fracción simplificada. Paso 1: Expresar el porcentaje como una fracción con denominador 100. Paso 2: Simplificar la fracción obtenida usando la cancelación.

8 0,08 = 100 = 8 %

Expresa a 8% y b 64% como una fracción y luego simplifica lo más posible. a

82 100 25 2 = 25

8% =

Capítulo 7: Porcentaje (1)

6416 100 25 16 = 25

64% =

179

265

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22-10-13 11:18

Gestión de la clase 10

• Asigne este ejercicio como práctica guiada.

• Explique a los estudiantes cómo expresar un porcentaje como un número decimal. Paso 1: Expresar el porcentaje como una fracción de denominador 100. Paso 2: Expresar la fracción obtenida como un número decimal. 12

Expresa cada porcentaje como una fracción simplificada. 94 ___ 94% = 100 47 ___ = 50 21 ___

42% =

3 ___ 12% = 25

34% =

17 ___ 50

88 ___ 88% = 100 22 ___ = 25 14 ___

56% =

39 ___ 78% = 50

66% =

33 ___ 50

11 Expresa a 48% y b 79% como números decimales.

• Asigne este ejercicio como práctica guiada.

48% =

48 100

= 0,48 b

79% =

Recuerda que al dividir un número por 100, solo debes mover la coma decimal dos lugares a la izquierda.

79 100

= 0,79

Expresa cada porcentaje como número decimal. a

38 38% = 100

= 0,38 c

97 97% = 100 = 0,97

180

4 4% = 100 = 0,04

60 60% = 100 = 0,6

Capítulo 7: Porcentaje (1)

266

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22-10-13 11:18

Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 7a.

Gestión de la clase 13

• Pida a los estudiantes que resuelvan el ejercicio y que voluntariamente compartan sus resultados con la clase.

Realiza esta actividad.

Trabaja en parejas. En la recta numérica siguiente, las flechas están indicando algunos puntos. Expresa el valor de cada punto, de tres maneras. Se da un ejemplo. Fracción

7 100

22 100

52 100

75 100

Decimal

0,07

0,22

0,52

0,75

22%

52%

75%

Porcentaje 7%

100

¡Practiquemos! 7a 1

Expresa cada fracción como un porcentaje. a d

42 100 42% 4 4% 100

b e

85 100 85% 4 40% 10

c f

9 100 9% 8 80% 10

Expresa cada decimal como un porcentaje. a

0,63 63%

0,44 44%

0,3 30%

0,9 90%

0,05 5%

0,08 8%

Expresa cada porcentaje como una fracción simplificada. 71 a 23% 23 b 71% c 100 9 100 19 e 76% d 45% f 20 25

Capítulo 7: Porcentaje (1)

1 50 27 54% 50 2%

181

267

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22-10-13 11:18

Expresa cada porcentaje como número decimal. a

24% 0,24

3% 0,03

17% 0,17

70% 0,7

69% 0,69

33% 0,33

Escribe lo siguiente como una fracción simplificada y luego, como un porcentaje. a

11 de 100

8 de 100

11 , 11% 100 2 , 8% 25

73 de 100

9 de 10

73 , 73% 100 9 , 90% 10

Expresa la parte coloreada del entero como porcentaje. a

44% 7

De las 100 personas que visitaron un museo el día miércoles, 63 eran turistas. a b

182

83%

¿Qué porcentaje de las personas que visitaron el museo eran turistas? 63% ¿Qué porcentaje de las personas que visitaron el museo no eran turistas? 37%

La señora Isabel cosechó 100 frutas de su parcela. De ellas, 34 eran mangos y el resto eran papayas. a

¿Qué porcentaje de las frutas eran mangos?

34%

¿Qué porcentaje de las frutas eran papayas?

66%

Capítulo 7: Porcentaje (1)

268

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Trabajo personal

Objetivo de la actividad

• Asigne a sus estudiantes la Practica 1 del Cuaderno del Trabajo 6A, págs. 141 a 144.

• Los estudiantes debieran ser capaces de resolver y explicar cómo obtener las respuestas correctas en los ejercicios dados.

Gestión de la clase En la recta numérica marca con una flecha, los siguientes porcentajes.

28%

49%

28%

49%

0% 0

77%

50% 0,5

100% 1,0

Expresa cada porcentaje como número decimal y marca con una flecha la ubicación de cada número, en la recta numérica. a

14%

55%

7% = 0,07 14% = 0,14

55% = 0,55

(Diario matemático) • Pida a los estudiantes que respondan cada una de las tres preguntas. • Una vez que obtengan la respuesta correcta, pídales que indiquen cuál fue el error en las otras dos respuestas dadas.

98% 98% = 0,98

0,5

1,0 Cuaderno de Trabajo 6A, p 141, Práctica 1.

Diario matemático

Observa las respuestas que Ricardo y Fernanda dieron a las siguientes preguntas. ¿Quién dio la respuesta correcta? Fundamenta. a

Expresa

7 como un porcentaje. 10

Ricardo: 7%

Expresa 0,1 como un porcentaje. Ricardo: 1%

Fernanda: 70%

70 7 = = 70% 10 100 La fracción equivalente de 7 70 es , que es 70%. 10 100 1 10 La fracción equivalente de 1 10 , que es 10%. es 10 100 0,1 =

Fernanda: 10%

Expresa 54% como una fracción simplificada. Ricardo:

27 50

Capítulo 7: Porcentaje (1)

Fernanda:

27 20

54% =

27 27 54 = 100 50 50

183

269

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Objetivos: Expresando más fracciones como porcentajes

Habilidad

Conceptos claves

• Analizar las partes y el todo

• Las fracciones y los porcentajes son dos formas de representar la comparación por cociente de dos números. • El porcentaje es una fracción particular cuyo denominador es 100.

Gestión de la clase 1

• Explique a los estudiantes que 1

deben expresar la fracción 4 como porcentaje. En el primer método se aplica la noción de fracciones equivalentes y el segundo, se basa en el método unitario. Método 1: Repase el uso de la amplificación para encontrar fracciones equivalentes; por ejemplo.

2 4

1 2

¡Aprendamos!

Expresando más fracciones como porcentajes 1

Jessica gastó 4 de su dinero en un vestido. ¿Qué porcentaje de su dinero gastó en el vestido? Método 1

Trata de encontrar una fracción equivalente con denominador 100. Multiplica el numerador y el denominador por 25.

3 etc. 6

 25

Muestre la transformación de

1 25 a . 4 100

1 25 4 = 100 = 25%

Señale que la estrategia es amplificarlo por 25 para convertir el denominador a 100. Luego expresar

Entero

25 como 25%. 100

1= 4

1 4

100%

?% 4

 25

4 partes

100%

1 parte

100 4 % = 25%

Hay más de un método para expresar una fracción como porcentaje.

100%

Un entero es 4 ó 100%. 100% 1 entero

Diga a los estudiantes que

1 · 100% = 25% directo: 4

Gastado

1 de un entero. 4

1 entero, que está compuesto de 4 partes y es equivalente al 100%. Luego, muestre los cálculos para obtener el resultado. Método 3: Éste es el método más rápido para encontrar el resultado, usando el cálculo

= 100

Método 2

Método 2: Dibuje un modelo para mostrar

Método 3 1 1 4 = 4  100% = 25% 184

Capítulo 7: Porcentaje (1)

270

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Gestión de la clase 2

Usa un modelo de barras para expresar cada fracción como un porcentaje. a

Expresa 4 como un porcentaje. 100% 4 partes 100 1 parte % = 25 % 4 3  25 % = 75 % 3 partes

y 3 • Asigne a sus estudiantes estos ejercicios como práctica guiada.

100%

Entonces, 4 = 75 % b

Expresa 5 como un porcentaje. 100% 5 partes 1 parte

20 %

2 partes

40 %

100%

Entonces, 5 = 40 % c

Expresa 8 como un porcentaje. 8 partes 100 % 100 1 parte % = 12,5 % 8 7  12,5 % = 87,5 % 7 partes

100%

Entonces, 8 = 87,5 % 3

Expresa cada fracción como un porcentaje. a

3 60 5 = 100

= 60 % b

35 7 20 = 100 = 35 %

Capítulo 7: Porcentaje (1)

3 3 5 = 5  100 %

= 60 % ó

7 7 20 = 20  100 % = 35 % 185

271

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Materiales • Calculadora científica

Datos para el uso de la calculadora • Señale a los estudiantes que pueden calcular el producto: fracción x porcentaje, de dos maneras: 2

(i) Si digitan [ 5 ] [×] [100] [=], el resultado será será 40, el cual es un porcentaje. Los estudiantes deben escribir la respuesta 40%. 2

(ii) Si digitan [ 5 ] [×] [100] [%] [=], el resultado obtenido será 0,4 que corresponde a un número decimal.

Gestión de la clase 4

• El objetivo de este ejercicio es lograr que los estudiantes comprendan y apliquen el concepto de tanto por ciento, para calcular el porcentaje que representa un conjunto de objetos con respecto a un total. • Para resolver problemas de cálculo de porcentaje de una cantidad, siga los siguientes pasos: Paso 1: Exprese como fracción la cantidad de objetos respecto de la cantidad total de objetos. Paso 2: Simplifique la fracción si es posible. Paso 3: Exprese la fracción como un porcentaje usando cualquiera de los métodos mostrado en 1 . Aquí se utilizó el método 3.

Don Andrés tenía 500 zapallos a la venta. Le vendió a Esteban 200. a

¿Qué porcentaje de zapallos le vendió a Esteban?

¿Qué porcentaje de zapallos le quedó?

Fracción de zapallos vendidos = 500 = 5

200

Porcentaje de zapallos vendidos = 5  100% = 40% Le vendió el 40% de los zapallos a Esteban. b

Porcentaje de zapallos que quedaron = 100%  40% = 60% Le quedó el 60% de los zapallos. Pilar compró 250 kg de harina para hacer pan en su panadería.

Ocupó 120 kg de la harina el lunes, y el resto el martes. a

¿Qué porcentaje de la harina ocupó el lunes?

¿Qué porcentaje de la harina ocupó el martes? 100% (25 partes)

? (12 partes)

120

Fracción de harina usada el lunes = 250 = 25 12

Porcentaje de harina usada el lunes = 25  100% = 48 %

• Asigne este ejercicio como práctica guiada.

El lunes usó el 48% de la harina. b

Porcentaje de harina usada el martes = 100 %  48 % = 52 % El martes usó el 52% de la harina.

186

Capítulo 7: Porcentaje (1)

272

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Actividad opcional

Materiales

Trabajo personal

• Si el tiempo lo permite, pida a los estudiantes que usen el método unitario para transformar las fracciones obtenidas en 6 , en porcentajes.

• Tarjetas con números para cada pareja (Ver apéndice 6 en página 336).

• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 7b.

Gestión de la clase 6

Realiza esta actividad.

Trabaja en parejas. Grupo A

Grupo B

Cada estudiante se turna formando fracciones propias, eligiendo el denominador del Grupo A y el numerador del Grupo B.

Dibuja un modelo de barras que represente cada fracción como un porcentaje.

Ganará el primer estudiante que complete la mayor cantidad de modelos de barra correctos.

• Los estudiantes debieran ser capaces de escribir un conjunto de fracciones propias a partir de un conjunto de números naturales escritos en tarjetas y luego dibujar un modelo para representar cada fracción como porcentaje. • Esta actividad les permite reforzar su comprensión de la estrategia para expresar una fracción como un porcentaje.

¡Practiquemos! 7b 1

Expresa cada fracción como un porcentaje. Ejemplo 4 40 10 = 100 = 40%

a d g

3 20 15% 4 5 80% 3 10 30%

Capítulo 7: Porcentaje (1)

b e h

4 4 10 = 10  100% = 40% 24 25 96% 21 50 42% 13 20 65%

c f i

9 50 18% 17 25 68% 11 25 44%

187

273

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Materiales • Calculadora científica

Expresa cada fracción como un porcentaje. a

78 200 39%

260 400 65%

237 300 79%

135 500 27%

100 625 16%

21 140 15%

Expresa cada fracción como un porcentaje. Redondea tu resultado al

número natural más cercano. a

89 140 64%

26 235 11%

150 305 49%

390 468 83%

13 507 3%

99 101 98% 2

En una pastelería, el lunes vendieron 5 del total de pasteles. ¿Qué porcentaje de los pasteles vendieron el lunes? 40%

Sergio pintó 25 de un muro rectangular. a ¿Qué porcentaje del muro pintó? 52%

188

¿Qué porcentaje del muro dejó sin pintar? 48% 11

En la escuela, 25 de los estudiantes usa el metrotren, 20 usa microbuses, mientras que el resto usa transporte privado. a

¿Qué porcentaje de ellos usa el metrotren y microbuses? 79%

¿Qué porcentaje de ellos usa el transporte privado? 21%

Capítulo 7: Porcentaje (1)

274

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Materiales

Trabajo personal

• Calculadora científica

• Asigne a sus estudiantes la Práctica 2 del Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 145 a 148.

Resuelve los siguientes problemas. Escribe el desarrollo. 7

César compró 20 kg de arroz. Cocinó 7 kg de arroz. ¿Qué porcentaje del arroz cocinó César? 35%

Una escuela tiene 900 estudiantes. 540 de ellos son varones. ¿Qué porcentaje de estudiantes son varones? 60%

En la escuela, 20 de los estudiantes no usa anteojos, el resto sí usa. a ¿Qué porcentaje de estudiantes no usa anteojos? 15%

¿Qué porcentaje de estudiantes usa anteojos? 85%

Norma gana $800 000 al mes. Ella gasta $240 000 en arriendo y ahorra el resto. a

¿Qué porcentaje de su dinero gasta en arriendo? 30%

¿Qué porcentaje de su dinero ahorra? 70% Un avión comercial tiene 250 asientos. 225 de ellos se ubican en la

sección económica, mientras que el resto está en 24

primera clase. 25 de los asientos de la sección económica están ocupados. a

¿Qué porcentaje de los asientos está ubicado en primera clase? 10%

¿Qué porcentaje de los asientos de la sección económica están ocupados? 96% Un parque nacional recibe 28 500 visitantes en una semana. 17 100

visitantes son adultos. 20 de los adultos son hombres. a ¿Qué porcentaje de los visitantes son niños? 40% b

¿Qué porcentaje del total de visitantes son hombres? 39%

Cuaderno de Trabajo 6A, p 145, Práctica 2.

Capítulo 7: Porcentaje (1)

189

275

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Objetivos: Porcentaje de una cantidad Los estudiantes serán capaces de calcular un porcentaje de una cantidad dada usando: • el método unitario • el método de amplificación

Concepto clave

Habilidad

• El porcentaje de una cantidad se refiere a una parte de un entero donde el entero equivale a 100 unidades.

• Analizar las partes y el todo

Gestión de la clase 1

• Esta sección aborda el concepto de porcentaje de una cantidad y una estrategia para calcularlo: calcular a qué cantidad corresponde una parte de una cantidad, dado el porcentaje y el valor de la cantidad. • Note que este problema está relacionado con el concepto parte-todo vinculado a porcentaje. Explique e identifique el todo y las partes en este problema. (400 asientos = todo; clase económica = partes) Método 1: Muestre a los estudiantes cómo dibujar un modelo para este problema. Luego, relacione la cantidad total de asientos con 100% y proceda a usar el método unitario para encontrar la respuesta. Método 2: Explique que este método está relacionado con el concepto de “parte de un todo”; esto es: porcentaje de un total. Guíe a los estudiantes a escribir la frase numérica correcta: 60% de los asientos = 60% · 400

¡Aprendamos!

Porcentaje de una cantidad 1

Un avión tiene 400 asientos. El 60% de ellos es de clase económica. ¿Cuántos asientos hay en clase económica? Método 1 400 asientos

60% (? asientos)

100%

400 asientos

400 100 = 4 asientos

60%

60  4 = 240 asientos

100% de los asientos es el total de asientos.

Hay 240 asientos en clase económica.

Método 2 60% de los asientos = 60% de 400 60

= 100  400 = 60  4 = 240 Hay 240 asientos en clase económica.

190

Capítulo 7: Porcentaje (1)

276

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Materiales • Calculadora científica

Gestión de la clase 2

• Asigne este problema a los estudiantes como práctica guiada. • Destaque la estrategia para resolver este problema: (i) Identifique el “todo”, que equivale al 100 %. (ii) Identifique las “partes” en porcentaje y en valor. (iii) Dibuje el modelo. (iv) Presente la frase numérica correcta y resuelva usando el método unitario.

Lucas tenía $740. Gastó el 25% de su dinero. ¿Cuánto dinero gastó?

$ 740

25 % ($?) 100%

$ 740

$ 7,4

25%

25  7,4 = $ 185

Lucas gastó $ 185 . 3

El domingo en la mañana, 800 personas visitaron un zoológico. El 75% de los visitantes eran niños. ¿Cuántos niños visitaron el zoológico el domingo en la mañana? Cantidad total de visitantes = 800 75% de los visitantes = 75%  800

• Explique que hay 3 partes en este problema comparado con las 2 partes del problema anterior. • Los estudiantes pueden usar la estrategia “parte-todo” para resolver el problema.

600 niños visitaron el zoológico el domingo en la mañana. Don Julio gana $240 000 mensualmente. Él gasta 25% de su sueldo en arriendo y 30% en comida. a

¿Qué porcentaje de su sueldo le queda?

¿Cuánto dinero le queda?

100% 25%

• Asigne este problema a sus estudiantes como práctica guiada. 4

= 600

30% ?

100%  25%  30% = 45% Le queda un 45% de su sueldo. Capítulo 7: Porcentaje (1)

191

277

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Gestión de la clase 5

• Asigne este problema a los estudiantes como práctica guiada. • Asegúrese que los estudiantes hayan comprendido los dos métodos al resolver este problema.

$240 000

55%

45% ?

Método 1

Método 2

100%

$240 000

240 000 = $2400 100

45%

45  $2400 = $108 000

45% de $240 000 = 45%  $240 000 45

= 100  $240 000 = 45  $2400 = $108 000

A Don Julio le quedan $108 000.

Una cooperativa campesina tiene 1200 animales entre cabras, pollos y patos. El 20% de los animales son cabras y el 45% son pollos. ¿Cuántos patos tienen? 100%  20 %  45 % = 35 % 35 % de los animales son patos. 1200 20%

45%

35 % ?

Método 1 100% 1% 35 %

1200 1200 = 12 100 35  12 = 420

Método 2 35 % de 1200 = 35 %  1200 35 = 100  1200 = 35  12 = 420

Tienen 420 patos. 192

Capítulo 7: Porcentaje (1)

278

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Objetivo de la actividad • Basándose en frases numéricas, los estudiantes deberían ser capaces de escribir un problema, completar el modelo dado y resolver el problema.

Gestión de la clase 6

Realiza esta actividad.

Trabaja en parejas. Dibujen modelos de barra para representar lo siguiente. a

En un supermercado tienen 750 bandejas de huevos.Vendieron el 40% de las bandejas. 100 %

40 % 100% de los huevos = 750 bandejas b

Mariana tiene 450 ml de leche. Ella usa el 75% de ella para un postre. 100% 100% de la leche = 450 ml 75% Félix gana $720 000 al mes. Ahorra el 25% del dinero y gasta el resto. 100% 100% del dinero = $720 000 25%

• Permita a los estudiantes que practiquen la representación con modelos de barra para resolver problemas de porcentaje. (Diario matemático) • Los estudiantes deberían ser capaces de crear problemas de 2 pasos a partir de una frase numérica. Ejemplo: Andrea tenía 825 gallinas. Ella vendió el 40% . (a) ¿Cuántas gallinas vendió? (b) ¿Cuántas le quedaron?

Diario matemático

Basándote en los enunciados numéricos y en el modelo de barras dado: 1

escribe un problema

completa el modelo

resuelve el problema

Acepte todas las respuestas razonables que se ajusten al modelo y al enunciado numérico. 825 – 330 = 495

40%  825 = 330

825

350 Capítulo 7: Porcentaje (1)

495 193

279

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Materiales

Trabajo personal

• Calculadora científica

• Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 7c.

¡Practiquemos! 7c

Calcula el valor de: a 20%  75 15 c

45% de 720 324

30%  80

62% de 550 341

Resuelve los siguientes problemas. Escribe el desarrollo. 2

Un envase contenía 560 g de azúcar. Hugo usó el 70% para preparar un jarro de café. ¿Cuántos gramos de azúcar usó para preparar el café? 392 g La mesada de Sara es de $15 000. Ella gastó el 25% de su mesada el

lunes. a

¿Cuánto dinero gastó el lunes? $3750

¿Cuánto dinero le quedó?

$11 250

El sábado, 450 estudiantes participaron en un juego escolar. El 40% de ellos eran varones. ¿Cuántas niñas participaron en el juego escolar? 270 niñas

En una incubadora pusieron un total de 200 huevos, habían de de pollo y de pato. El 75% de los huevos eran de pollo. ¿Cuántos huevos eran de pato? 50 huevos

194

Capítulo 7: Porcentaje (1)

280

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Materiales

Trabajo personal

• Calculadora científica

• Asigne a sus estudiantes la Práctica 3 del Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 149 a 152.

Rubén tenía $91 500. Gastó el 20% en libros y el 45% restante lo gastó

en alimentos.

¿Qué porcentaje de su dinero gastó en alimentos? 35%

¿Cuánto dinero gastó en alimentos? $32 025

Lidia compró 30 kg de carne. Un 15% era carne de pollo y un 60% era de cordero. El resto era de cerdo. a

¿Qué porcentaje de la carne comprada era de cerdo? 25%

¿Cuánto pesaba la carne de cerdo? 7,5 kg

En un condominio hay 2500 residentes. El 15% de los residentes viven en cabañas, el 25% de los residentes viven en casas y el resto en departamentos. a

¿Qué porcentaje de los residentes vive en departamentos? 60%

¿Cuántos residentes viven en departamentos? 1500 residentes

Patricia compró 250 g de caramelos. El 22% de los caramelos eran de frambuesa, el 28% eran de piña y el 44% eran de uva. El resto tenían sabor a manzana. Se los comió todos, excepto los de manzana. a b

¿Qué porcentaje de los caramelos eran de manzana? 6% ¿Cuánto pesaban los caramelos de manzana? 15 g

Cuaderno de Trabajo 6A, p 149, Práctica 3.

Capítulo 7: Porcentaje (1)

195

281

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22-10-13 11:20

Objetivos: Problemas Los estudiantes serán capaces de resolver problemas de dos pasos: • para calcular el porcentaje que representa una parte de un todo y el porcentaje de una cantidad • que involucran descuentos, impuestos a la venta (IVA) e interés anual.

Concepto clave • 100 partes = todo = 100%

Habilidad • Analizar las partes y el todo

Gestión de la clase 1

• Explique a sus estudiantes el significado del impuesto a la venta (IVA) y el propósito de aplicarlo en este problema. • Destaque que el impuesto a la venta no es parte del todo, sino una parte adicional a pagar por la compra. • Introduzca los dos métodos para calcular el impuesto a la venta y el costo total que se debe pagar al comprar un objeto. Método 1: Esta estrategia es similar a la estrategia presentada en la sección anterior (porcentaje de una cantidad). Primero, identifique el total (esto es el 100%). Luego utilice el método unitario para calcular el 1% y luego el porcentaje del impuesto a la venta. Ahora aplique el concepto de parte-todo para calcular el valor total del pago, que se obtiene sumando el impuesto a la venta al costo de los objetos. Método 2: Multiplique el porcentaje por el valor.

¡Aprendamos!

Problemas 1

Eduardo compró un televisor que costaba $150 000. Adicionalmente, tuvo que pagar un 19% del costo del televisor, de impuesto al valor agregado (IVA). a

¿Cuánto tuvo que pagar de impuesto?

¿Cuánto pagó Eduardo en total por el televisor?

Método 1 $150 000 1990

100%

$150 000

150 000 100 = $1500

19%

19  $1500 = $28 500

El IVA asciende a $28 500. Método 2 IVA = 19% de $150 000 19 = 100  $150 000 = $28 500 El IVA asciende a $28 500. b

El costo total del televisor fue = $150 000 + $28 500 = $178 500 Eduardo pagó en total $178 500 por el televisor.

196

Capítulo 7: Porcentaje (1)

282

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22-10-13 11:20

Actividad adicional • En grupos de a 4, pida a los estudiantes que enumeren diferentes situaciones en que necesitarían pagar el impuesto a la venta. Pídales que escriban problemas simples dentro de este contexto. Luego pídales que intercambien los problemas y los resuelvan y que presenten las respuestas a la clase.

Gestión de la clase 2

• Asigne este problema como práctica guiada.

Liliana y Hernán salieron a almorzar. El costo de lo que consumieron fue $8200. Adicionalmente, pagaron un 7% por concepto de propina. a

¿Cuánto fue la propina?

¿Cuánto pagaron por la comida en total?

Método 1 $8200

7 % 100%

$8200

$ 82

7 %

 $ 82 = $ 574

La propina fue $ 574 .

Método 2 Propina pagada =

7 % de $8200

7 =  $8200 100 = $ 574 La propina fue $ 574 .

Costo total del almuerzo = $ 574  $8200 = $8774 Ellos pagaron $8774 por el almuerzo.

Capítulo 7: Porcentaje (1)

197

283

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22-10-13 11:20

Actividad adicional • En grupos de a 4, pida a los estudiantes que piensen en situaciones de compra-venta que requieren el uso de los siguientes términos: (i) Precio normal (ii) Descuento (iii) Precio de venta final • Dentro de cada grupo, pida a los estudiantes que escriban problemas usando este contexto. Luego, pida a los grupos que intercambien y resuelvan los problemas presentando sus respuestas al curso.

Gestión de la clase 3

• En este problema, explíque a sus estudiantes algunos términos comerciales de uso común. Pôr ejemplo, precio normal, precio de venta/ precio de liquidación y descuento. • Explíqueles el significado de estos términos y use un modelo de barras para ayudarles a entender la relación entre ellos. • Una vez que hayan entendido los términos y su relación, presénteles el problema y dibuje un modelo para mostrar todos los términos con sus valores respectivos. • Destaque que el precio normal es representado por el 100% (el “todo”). Resuelva el problema usando el método unitario. • También puede presentar el método 2 para resolver este tipo de problema. Destaque que el problema también está relacionado a porcentaje de un todo. El porcentaje se refiere al porcentaje de descuento. El todo se refiere al precio normal.

El precio normal de un computador era $200 000. La señora Díaz lo compró en una liquidación con un descuento del 15%. a

¿Cuánto fue el descuento que obtuvo la señora Díaz?

¿Cuánto pagó por el computador?

Método 1 100% Precio normal

$200 000

Precio liquidación 15% ($?)

100%

$200 000

200 000 100 = $2000

15%

15  $2000 = $30 000

El descuento que obtuvo la señora Díaz fue de $30 000. Método 2 Descuento = 15% del precio normal 15

= 100  $200 000 = $30 000 El descuento que obtuvo la señora Díaz fue de $30 000. b

Cantidad de dinero pagado = $200 000  $30 000 = $170 000 La señora Díaz pagó $170 000 por el computador.

198

Capítulo 7: Porcentaje (1)

284

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22-10-13 11:20

Actividad opcional • Pida a sus estudiantes que dibujen modelos de barra para relacionar estos términos. (i) Precio de venta, precio de costo y el dinero ganado en la venta de un objeto (ganancia). (ii) Precio de venta, precio de costo y el dinero perdido en la venta de un objeto (pérdida).

Gestión de la clase 4

El precio normal de un par de patines era $15 000. Marcela compró un par en una liquidación, con un descuento del 20%. a

¿Cuánto dinero le descontaron?

¿Cuánto pagó por los patines?

Método 1

• Asigne este problema como práctica guiada.

100% $ 15 000

Precio normal Precio liquidación

20% ($?)

100%

$ 15 000

15 000 = $ 150 100 20  $ 150 = $3000 20 %

Le descontaron $3000. Método 2 Descuento = 20 % de $ 15 000 20 =  $ 15 000 100 = $ 3000 Le descontaron $3000.

Cantidad de dinero pagado = $ =$ Marcela pagó $

Capítulo 7: Porcentaje (1)

15 000 3000 $ 12 000

por los patines.

12 000 199

285

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Materiales

Actividad adicional

• Calculadora científica

• En grupos de 4, pida a los estudiantes que piensen en una situación que requiere el uso de estos términos: (i) Depósito a plazo fijo (i) Interés • Pida a los grupos que escriban problemas usando este contexto. Luego, pida a los grupos que intercambien los problemas, los resuelvan y presenten sus resultados al curso.

Gestión de la clase 5

• Presente a sus estudiantes los siguientes términos bancarios: depósito a plazo fijo y tasa de interés en los problemas. • Explíqueles el significado de estos términos y use modelos de barra para ayudarles a entender las relaciones entre ellos. • Destaque que el contexto de este problema está relacionado con el porcentaje de un todo. El porcentaje se refiere a la tasa de interés en porcentaje. El todo se refiere a la cantidad invertida o la cantidad original. • Una vez que hayan entendido los términos y su relación, presenteles el problema y muestre la estrategia “partetodo” para resolverlo. Puede presentarles el modelo de barra si es necesario. 6

3,5% al año. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta después de un año? Interés = 3,5% de $15 000

Suma el interés a la cantidad invertida.

3.5

= 100  $15 000 = $525 La cantidad de dinero en la cuenta después de un año = $15 000  $525 = $15 525 Doña Inés tiene $

en la cuenta después de un año. 15 525

Daniel tiene $200 000 en una cuenta de ahorros. El interés es del 6% anual.

¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta después de un año? Interés = 6 % de $ 200 000 6 =  $200 000 100

$200 000  Interés

= $ 12 000

200 000 12 000 Cantidad de dinero en la cuenta después de un año = $ $ =$ 212 000 Daniel tendrá $

en su cuenta después de un año.

212 000

Realiza esta actividad.

Trabaja en parejas. Dibujen modelos de barra en cada actividad de acuerdo a los datos que se entregan.

• Asigne este problema como práctica guiada. 7

• Asígneles esta actividad para que consoliden esta estrategia para resolver problemas de porcentajes. Enfatice que dibujar modelos de barra permite visualizar la relación entre los términos usados en el contexto.

Doña Inés invierte $15 000 en un depósito a plazo fijo. El interés es de

200

Lorena compró una repisa que le costó $14 900. Ella pagó por traslado, un 7% de los $14 900. Dibuja un modelo que represente los precios de la repisa con y sin traslado. 100% 7% sin traslado $14 900 con traslado $14 900 $1043 107% Capítulo 7: Porcentaje (1)

286

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Objetivo de la actividad • Los estudiantes debieran ser capaces de dibujar modelos de barra para resolver los problemas y calcular el precio antes y después del descuento.

Gestión de la clase b

El costo de fabricación de una mesa era de $51 000. El dueño de la tienda aumentó el precio en un 30%. Dibuja el modelo de barras que represente el precio de fabricación y el nuevo precio de la mesa. 100%

Precio de fabricación Precio nuevo

$51 000 $51 000

30% $15 300

130% El precio normal de un libro es $16 000. La tienda hizo un descuento de un 10% del precio normal. Dibuja un modelo que represente el precio normal y el precio del libro con descuento. 100% $16 000 Precio normal Precio con descuento $14 400 Diario matemático 10%

El precio normal de un vestido era $7800. Gabriela compró el vestido con un 5% de descuento. ¿Cuánto pagó por el vestido? Benjamín, Claudia y Sara dibujaron modelos para representar el problema. ¿Quién dibujo el modelo correcto? Explica porqué. Solo la respuesta de Sara es correcta. $7800 es el precio antes del descuento. 95% ($7800) Ella pagó $7410 por el vestido.

(Diario matemático) • Los estudiantes deben observar y analizar los diferentes modelos de barra dibujados para el problema. • Pida a los estudiantes que lean los problemas y basado en la información dada, hagan un bosquejo de su solución. Deberían ser capaces de identificar cuál de los 3 modelos de barra es el correcto. • Pida a los estudiantes que identifiquen los errores en los otros dos modelos.

Benjamín 100% (?) 100% ($7800)

Claudia (?) 100% ($7800) Sara

Capítulo 7: Porcentaje (1)

(?)

201

287

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Trabajo personal • Asigne a sus estudiantes la sección ¡Practiquemos! 7d • Asígneles la Práctica 4 y el Diario matemático del Cuaderno de Trabajo 6A, págs. 153 a 156.

¡Practiquemos! 7d Resuelve los siguientes problemas. Escribe el desarrollo. 1

David compró un estante en $82 000. Adicionalmente debe pagar un 7% por traslado. ¿Cuánto dinero debe pagar por traslado? $5740

Gastón y su familia pagaron $9000 por una pizza. Adicionalmente pagaron un 10% de propina. a

¿Cuánto dinero pagaron de propina? $900

¿Cuánto pagaron en total? $9900

Jaime compró un pasaje aéreo en $92 000. Adicionalmente pagó un 12% de impuesto de embarque. ¿Cuánto dinero pagó en total? $103 040

Danilo salió a comer con sus amigos. La cuenta fue de $24 000. Adicionalmente, pagaron una propina de 10%. ¿Cuánto pagaron por la cena? $26 400

El precio normal de un teléfono celular era $65 000. Bernardo compró uno con un descuento del 5%. ¿Cuánto dinero pagó? $61 750

35 estudiantes fueron al zoológico. Cada entrada costaba $1500. Consiguieron un descuento de un 15% por ser estudiantes. ¿Cuánto pagaron en total por las entradas? $44 625

Luciano colocó $95 000 en una cuenta de ahorro. El interés anual era. del 5,5% ¿Cuánto interés obtuvo después de un año? $5225

Silvana colocó $185 000 en una cuenta de ahorro. El interés anual era del 6%. ¿Cuánto dinero tendrá en la cuenta de ahorro después de un año? $196 100 Cuaderno de Trabajo 6A, p 153, Práctica 4.

202

Capítulo 7: Porcentaje (1)

288

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Gestión de la clase (¡Resumamos!) • Enfatice los conceptos claves y procedimientos que han sido enseñados en este capítulo. • Comente el ejemplo trabajado con los estudiantes para evaluar si han logrado estos conceptos, habilidades y procesos.

¡Resumamos!

Has aprendido a: • • • • • • •

Leer el símbolo “%” como “por ciento” Expresar una parte de un todo, como un porcentaje Expresar una fracción como un porcentaje Expresar un decimal como un porcentaje Expresar un porcentaje como una fracción simplificada o como un decimal Calcular el porcentaje de una cantidad dada Resolver problemas que involucran porcentajes, descuentos, impuestos e interés anual

¡Repasemos! 140 estudiantes participaron en un campamento durante las vacaciones. 15% de los estudiantes obtuvieron un descuento por inscribirse con anticipación. a

¿Qué fracción de los estudiantes obtuvieron el descuento? Expresa tu respuesta como una fracción simplificada. 15% =

15 100

Capítulo 7: Porcentaje (1)

3 20

203

289

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Objetivo de la actividad

Trabajo personal

• Los estudiantes deben dibujar un modelo de barras basado en los conceptos de parte-todo y de doble de una cantidad, como así mismo, usar el método unitario en el cálculo de un porcentaje.

• Asigne a sus estudiantes el “Desafio” , “Piensa y resuelve”, el “Repaso 3” y la “Evaluación 1” del Cuaderno de Trabajo 6A , pags. 157 a 182. • Asigne a sus estudiantes el Repaso G del Libro del Alumno 6A, págs. 205 y 206.

Habilidad • Identificar relaciones

Heurísticas para resolver problemas • Dibujar un modelo • Representar

Materiales • Calculadora científica

Gestión de la clase (¡Activa tu mente!) • Primero pida a los estudiantes que identifiquen la información que se les da en el problema. • Pida a los estudiantes que dibujen un modelo de barras basado en la información que han encontrado del problema. • Debieran ser capaces de aplicar el concepto parte-todo y el concepto de doble al dibujar el modelo de barras, y ser capaces de mostrar el uso del método unitario para calcular el porcentaje pedido.

¿Cuántos estudiantes del campamento no obtuvieron el descuento? Porcentaje de estudiantes que = 100%  15% = 85% no obtuvieron el descuento 140 15%

85% ?

Método 1

Método 2

100%

140

140 : 100 = 1,4

85%

85  1,4 = 119

85% de 140 =

85 100

 140

= 119

119 estudiantes del campamento no obtuvieron el descuento.

¡Activa tu mente! Durante una campaña de recolección de fondos en un colegio, el 40% de los fondos reunidos provenían de los profesores. Los padres y estudiantes donaron el resto. Los padres aportaron el doble que los estudiantes. ¿Qué porcentaje del total de los fondos recolectados aportaron los estudiantes? 40% donado por los profesores

donado por los padres y estudiantes

100% – 40% = 60% 3 partes → 60% 1 parte → 20% El 20% del total de fondos recolectados fue donado por los estudiantes. Cuaderno de Trabajo 6A, p 157, Desafío.

204

Cuaderno de Trabajo 6A, p 158, Piensa y resuelve.

Capítulo 7: Porcentaje (1)

290

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22-10-13 11:20

291

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22-10-13 11:31

b 3178  77 254 400 ó 256 000 ó 240 000

8 7 6 Cantidad de Number 5 familias of 4 families 3 2 1 0 0

2 3 Number of children Cantidad de niños

d 2 : 3 : 7 = 6 : 9 : 21

c 12 : 15 : 30 = 4 : 5 : 10

Repaso G

b 12 : 15 = 8 : 10

a 1 : 5 = 9 : 45

205

El siguiente gráfico muestra la cantidad de niños que tienen las familias en un condominio. ¿Qué porcentaje de familias tienen 2 o más niños? 64%

6 ¿Cuál es el número o números que faltan en cada razón?

4 Manuel tiene $d y Karina tiene $120 más que Manuel y $40 menos que Hugo. ¿Cuánto dinero tienen entre los tres? $(3d + 280)

3 Pedro demora 30 segundos en escribir una frase y 2 minutos en escribir un párrafo. ¿En qué razón están los tiempos de escritura de una frase y un párrafo? 1 : 4

a 456  82 36 800 ó 36 800 ó 40 000

2 Estima el resultado que se obtiene en las siguientes multiplicaciones:

1 La expresión, 1  3  5  7  …  97  99, corresponde a la suma de los números impares menores que 100. En el resultado de esta suma, ¿qué dígito estará en la posición de las unidades? 0

Repaso G

292

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22-10-13 11:31

206

1 cm

9 h ó 54 min 10

* 13 Calcula el área del triángulo ABC.

12 Calcula el 45% de 2 horas.

1 cm

8,5 cm2

Repaso G

11 La suma de dos números es 567. Uno de los números es 4 del otro. ¿Cuál es el 5 número menor? 252

10 Claudia y Jaime tienen 480 láminas entre los dos. Después que Claudia le dió 1 de 9 sus láminas a Jaime, ambos quedaron con la misma cantidad. ¿Cuántas láminas tenía Claudia al inicio? 270 láminas

9 Sonia compró 7 cuadernos y 5 lápices. Pagó con $10 000 y recibió $y de vuelto. Si cada lápiz costaba $200, ¿cuánto costaba cada cuaderno? 9000 – y $

8 María pagó $3x por 5 libros que compró. Luego vendió los cinco libros en $20 000. ¿Cuál fue la ganancia que María obtuvo por cada libro que vendió? $ 4000 – 3x

7 Luisa compró 9 vasos iguales y pagó con $x. Recibió $400 de vuelto. Expresa en términos de x, el costo de cada vaso. x – 400 $

BLANCO

293

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22-10-13 11:31

Porcentaje (1)

Curso:

Fecha:

(b)

Capítulo 7: Porcentaje (1)

(a)

141

22 % del cuadrado entero no está pintado.

78 % del cuadrado entero está pintado.

54 % del cuadrado entero no está pintado.

46 % del cuadrado entero está pintado.

(1) Analiza los dos cuadrados siguiente. Cada uno está dividido en 100 partes iguales. Algunas de sus partes están pintadas. Completa los espacios en blanco.

Práctica 1 Tanto por ciento

Nombre:

294

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22-10-13 11:31

38 = 100

(e)

6 = 10

7 (c) = 100

(a)

92 = 100

(f )

4 = 10

19 (d) = 100

(b)

(e) 0,07 =

(g) 0,8 =

100

(h ) 0,08 =

(f ) 0,01 =

(d) 0,9 =

(b) 0,28 =

(e) 5% =

142

100

(a) 53% =

13 100

5 100

(f ) 79% =

(d) 31% =

(b) 7% =

(4) Expresa cada porcentaje como una fracción.

(a) 0,15 =

(3) Expresa cada decimal como un porcentaje.

(2) Expresa cada fracción como un porcentaje.

Capítulo 7: Porcentaje (1)

79 100

31 100

7 100

(g) 32% =

67 100 8 25

3 4

1 20

(h ) 55% =

(f) 98% =

(d ) 84% =

(b) 25% =

(a) 27% =

0,09

0,27

100

(d ) 1% =

(b) 58% =

0,01

0,58

11 20

49 50

21 25

1 4

Capítulo 7: Porcentaje (1)

7 de 10

9 de 10 (c) (d)

37 de 100

23 de 100 (b)

(a)

23 100 37 100 9 10 7 10

Como fracción

70%

90%

37%

23%

Como porcentaje

(7) Expresa cada relación como una fracción y como un porcentaje.

(6) Expresa cada porcentaje como número decimal.

(e) 67% =

5 100

(a) 5% =

(5) Expresa cada porcentaje como una fracción simplificada.

143

295

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22-10-13 11:31

58% de los estudiantes en el concurso son niñas.

58 = 58% 100

Leonardo ha trotado 40% del circuito.

(d) 99% 0,99

144

(b) 19% 0,19

(a) 71% 0,71

0,5

Capítulo 7: Porcentaje (1)

1,0

(10) Expresa los siguientes porcentajes como números decimales. Luego, anota los decimales en la recta numérica dada. 0,19 0,44 0,71 0,99

(b) 100 – 40 = 60% A Leonardo le falta el 60% para completar el circuito.

4 (a)  100 = 40% 10

(9) Un circuito de trote tiene 10 km de largo. Leonardo ha trotado 4 km. (a) ¿Qué porcentaje del circuito ha trotado Leonardo? (b) ¿Qué porcentaje le falta a Leonardo para completar el circuito?

(b) 100 – 58 = 42% 42% de los estudiantes en el concurso son varones.

(a)

(8) Hay 100 estudiantes en un concurso de dibujo. 58 de ellos son niñas. (a) ¿Qué porcentaje de estudiantes en el concurso son niñas? (b) ¿Qué porcentaje de estudiantes en el concurso son varones?

Curso:

Fecha:

(d) 25 =

52 %

15 4

(e) 4 =

31 = 50

(b)

13 20

31 50

(a) 5 = 5  100% =



100

% =

12,5

12 = 25

(d) 8 =

(b)

37,5

100

(a) 120 =

288

58 = 245

(d) 365 =

(b)

resultado al número natural más próximo.

145

Expresa las siguientes fracciones como un porcentaje. Redondea tu

(a) 25 =

Capítulo 7: Porcentaje (1)

(4)

(3) Expresa las siguientes fracciones como un porcentaje.

(2) Expresa cada fracción como un porcentaje.

(b)

26 = 50

15 3 = (a) 20 = 100

(1) Expresa cada fracción como un porcentaje.

Práctica 2 Expresando más fracciones como porcentajes

Nombre:

296

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22-10-13 11:31

(c)

11 20

(b)

7 partes

% %

400

100%

146

480

518

(d) 700 =

Capítulo 7: Porcentaje (1)

(6) Usa cualquier método que hayas aprendido para expresar cada fracción como un porcentaje. 64 130 32 32,5 (a) 200 = % (b) = %

21 partes

1 parte

25 partes

21 25

11 partes

100

1 parte

20 partes

100

1 parte

10 partes

100

7 (a) 10

(5) Expresa cada fracción como un porcentaje.

Tania completó el 55% del recorrido.

11  100% = 55% 20

Tania no completó el 45% del recorrido.

(b) 100 – 55 = 45%

(a)

(b) ¿Qué porcentaje del recorrido le faltó para terminar?

(a) ¿Qué porcentaje del recorrido completó Tania?

Capítulo 7: Porcentaje (1)

recorrido.

(8) Tania participó en una maratón, pero solo logró completar

Fernando completó el 60% de su tarea.

3  100% = 60% 5

completó?

3 5

147

11 del 20

(7) Fernando completó de su tarea. ¿Qué porcentaje de su tarea

Resuelve estos problemas. Escribe el desarrollo.

297

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22-10-13 11:31

Hay 875 miembros en un club de astronomía. De ellos, 350 son

60% de los miembros son hombres.

525  100% = 60% 875

525 de los miembros son hombres.

875 – 350 = 525

Capítulo 7: Porcentaje (1)

mujeres. ¿Qué porcentaje de miembros son hombres?

148

(10)

Doña Cecilia guardó 62,5% del azúcar.

5  100% = 62,5% 8

Ella guardó 8 del azúcar.

5 3 1 – = 8 8

pasteles y guardó el resto. ¿Qué porcentaje del azúcar guardó?

3 8

(9) Doña Cecilia compró azúcar. Usó de ella para hacer algunos

Curso:

Fecha:

272

(d) 55% de 720 =

(b) 36%  75 =

396

240  40 = 96 100

40%

Capítulo 7: Porcentaje (1)

96 regalos fueron donados a esa escuela.

240 100

1 %

100% 240

40% (?)

240 regalos

149

(2) La señora López logró reunir 240 regalos. El 40% de los regalos fueron donados a una escuela. ¿Cuántos regalos fueron donados a esa escuela?

(1) Calcula el valor de lo siguiente: 21 (a) 25%  84 =

Práctica 3 Porcentaje de una cantidad

Nombre:

298

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22-10-13 11:32

En una avícola tenían 2075 bandejas de huevos para la venta.

5% de 720 = ?

64  2075 = 1328 100

Capítulo 7: Porcentaje (1)

(b) 2075 – 1328 = 747 747 bandejas de huevos quedaron sin vender.

Vendieron 1328 bandejas de huevos.

(a) 64% de 2075 =

Vendieron el 64% de las bandejas. (a) ¿Cuántas bandejas de huevos vendieron? (b) ¿Cuántas bandejas de huevos quedaron sin vender?

150

(4)

= 36

5  720 100

36 estudiantes llegaron tarde a clase.

5% de 720 =

(3) Una escuela tiene 720 estudiantes. En un día lluvioso, el 5% de los estudiantes llegaron tarde a clase. ¿Cuántos estudiantes llegaron tarde? En un desfi le escolar participaron 12 000 niños. El 55% de ellos

12 000 100 12 000  45 = 5400 100

5400 niños vistieron camisetas blancas.

45%

100% 12 000

100% – 55% = 45% 45% de los niños vistieron camisetas blancas.

niños vistieron camisetas blancas?

55%

12 000 ?

vistieron camisetas rojas y el resto vistió camisetas blancas. ¿Cuántos

100

12 000  63 = $7560

Capítulo 7: Porcentaje (1)

Roxana guardó $7560.

63%

100% $12 000 12 000 1%

100% – 12% – 25% = 63% Roxana guardó el 63% de su dinero

12% 25%

$12 000 ?

151

(6) Roxana fue de compras con $12 000. Ella gastó el 12% del dinero en carne, 25% en vegetales y guardó el resto. ¿Cuánto dinero guardó?

(5)

299

PSL_6A_TG_C07b.indd 299

22-10-13 11:32

152

250 100 250  40 = 100 100

Hay 100 relojes infantiles.

40%

100% 250

100% – 20% – 40% = 40% 40% de los relojes son infantiles. ?

Capítulo 7: Porcentaje (1)

20% 40%

250

(7) En una relojería tienen tres tipos de relojes. Un 20% corresponde a relojes de hombre, 40% a relojes de mujer, y el resto son relojes infantiles. En total son 250 relojes. ¿Cuántos relojes infantiles hay?

Curso:

Fecha:

Karina invirtió $80 000 en una cuenta de ahorro. El interés es del

Fresia pagó $28 560 por la impresora.

Karina ganó $4400 de interés después de un año.

Karina tenía $84 400 en su cuenta de ahorro después del año.

153

(b) Cantidad de dinero después de un año = $80 000 + $4400 = $84 400

= $4400

= 100  $80 000

5,5

(a) Interés = 5,5% de $80 000

5,5% anual. (a) ¿Cuánto interés ganó Karina después de un año? (b) ¿Cuánto dinero tenía en su cuenta de ahorro después del año?

Capítulo 7: Porcentaje (1)

(2)

Fresia pagó $4560 en impuesto.

(b) Cantidad pagada = $24 000 + $4560 = $28 560

(a) Impuesto = 19% de $24 000 19 =  $24 000 100 = $4560

(1) Fresia pagó $24 000 por una impresora. Adicionalmente pagó un 19% de impuesto (IVA). (a) ¿Cuánto pagó en impuesto? (b) ¿Cuánto pagó en total por la impresora?

Resuelve estos problemas. Escribe el desarrollo.

Práctica 4 Problemas

Nombre:

300

PSL_6A_TG_C07b.indd 300

22-10-13 11:32

100%

225 000 100 225 000  25 = $56 250 100

$225 000 ? 25%

Andrés vendió la motocicleta en $168 750.

Capítulo 7: Porcentaje (1)

Despúes del descuento = $225 000 – $56 250 = $168 750

25%

100% $225 000

Precio original Después del descuento

vendió Andrés la motocicleta?

años, él vendió la motocicleta con un descuento del 25%. ¿En cuánto

Andrés compró una motocicleta en $225 000. Después de unos

Héctor pagó $49 500 por la cámara digital.

154

(4)

= $33 000

Cantidad pagada = $82 500 – $33 000 = $49 500

40  $82 500 100

Descuento = 40% de $82 500

(3) El precio normal de una cámara digital es $82 500. Héctor compró una con un descuento del 40%. ¿Cuánto pagó Héctor por la cámara?

Ellos pagaron $10 020 por la cena.

Capítulo 7: Porcentaje (1)

Rosa pagó $27 370 en total por la raqueta.

Precio con impuesto = $4370 + $23 000 = $27 370

Impuesto = 19% de $23 000 = $4370

Precio con descuento = 92% de $25 000 = $23 000

155

(6) El precio normal de una raqueta de tenis es $25 000. Rosa compró una raqueta con un descuento de 8%. Adicionalmente, pago un 19% de impuesto sobre el precio con descuento. ¿Cuánto pagó por la raqueta en total?

Total gastado = cena + impuesto + propina = $8000 + $1520 + $500 = $10 020

Pagaron $1520 de impuesto.

(b)

(a) 100% $8000 19  8000 = $1520 19% 100

(5) Don Julio y su esposa fueron a cenar y gastaron $8000. Adicionalmente, pagaron 19% de impuesto, y una propina de $500 para el mesero. (a) ¿Cuánto pagaron de impuesto? (b) ¿Cuánto pagaron en total por la cena?

301

PSL_6A_TG_C07b.indd 301

22-10-13 11:32

Curso:

Fecha:

156

Costo de la cena = 100% Propina = 7% Total pagado = 100% + 7% = 107% de $7200 = $7704

Bruno obtuvo la respuesta correcta. La propina dejada es adicional al precio total.

Capítulo 7: Porcentaje (1)

Explica cuál es la respuesta correcta, y por qué la otra es incorrecta.

¿Cuál es la respuesta correcta?

107% de $7200 = $7704

Bruno elaboró esta respuesta usando su claculadora:

93% de $7200 = $6696

Tomás llegó a esta solución usando su calculadora:

Ingrid almorzó en un restaurante. El almuerzo le costó $7200. Adicionalmente, ella dejó un 7% de propina. ¿Cuánto pagó Ingrid en total?

Diario matemático

Nombre:

Desafío

Curso:

Fecha:

80  $45 000 = $36 000 100

Elena 20

Capítulo 7: Porcentaje (1)

Gabriela debe darle el 20% de sus insignias a Elena.

10 10 =  100% = 20% 50 50

Gabriela debe darle la mitad de 20 insignias a Elena. 20 : 2 = 10

Gabriela

157

(2) Elena tiene 30 insignias. Gabriela tiene 20 insignias más que Elena. ¿Qué porcentaje de sus insignias debe darle Gabriela a Elena para que las dos tengan la misma cantidad de insignias?

Hugo pagó $14 000 más que César

$50 000 – $36 000 = $14 000

César pagó $36 000.

80%

100% $45 000

(1) César pagó por una estufa el 80% de su precio normal. El precio normal era $45 000. Hugo compró la misma estufa, pero pagó $50 000 por ella. ¿Cuánto más pagó Hugo que César?

Nombre:

302

PSL_6A_TG_C07b.indd 302

22-10-13 11:32

Piensa y resuelve

Curso:

Fecha:

Estampillas de Brasil

60%

3 partes

158

Heurística: Dibujar un modelo Habilidad: Identificar relaciones

Capítulo 7: Porcentaje (1)

60% de la colección de estampillas corresponde a Chile.

80% 20%

Estampillas de Brasil y Chile

4 partes 1 parte

Estampillas de Argentina

20%

Estampillas de Chile

Marcela colecciona estampillas de Argentina, Brasil y Chile. El 80% de las estampillas corresponden a Brasil y Chile. Hay 3 veces más estampillas de Chile que de Brasil. ¿Qué porcentaje de la colección corresponde a estampillas de Chile?

Nombre:

Repaso 3

Fecha:

A y la de B es 5 : 11 . C y la de A es 7 : 5 .

11 : 23 .

(b) La razón entre la longitud de

(a) La razón entre la longitud de

Curso:

1 2 3 4

4 3 2 1

Repaso 3

Cantidad de monedas que dejó

Cantidad de monedas que tomó

1:4

2:3

3:2

4:1

159

Razón

(2) Cristián tenía 5 monedas en su alcancía. Él tomó algunas monedas y dejó el resto en la alcancía. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de monedas que tomó y las que dejó en la alcancía? Haz una lista con las razones posibles usando la siguiente tabla.

(1) Completa los espacios en blanco.

Nombre:

303

PSL_6A_TG_C07b.indd 303

22-10-13 11:32

(b) La razón entre la cantidad de cuadrados en el Grupo A y la cantidad de cuadrados en el Grupo B es 8 : 20 .

(a) La razón entre la cantidad de barras del Grupo A y la cantidad de barras del Grupo B es 2 : 5 .

Grupo B

9 : 7 ó 54 : 42

(b) la cantidad de tartas que tiene Pablo y las que tiene Mario.

7 : 9 ó 42 : 54

160

(d) 24 : 32 = 3 : 4

Repaso 3

7 : 16 ó 42 : 96 (5) Calcula la razón equivalente para cada caso. (b) 5 : 9 = 35 : 63 (a) 7 : 4 = 21 : 12

(a) la cantidad de tartas que tiene Mario y las que tiene Pablo.

(4) Un pastelero vende tartas de fruta y las pone en cajas de 6 unidades. Mario compró 7 cajas de tartas y Pablo compró 9. Calcula la razón entre:

Grupo A

(3) Completa los espacios en blanco.

(e) 99 : 135 = 11 : 15

(f) 108 : 72 = 9 : 6

Repaso 3

38 : 86 = 19 : 43

(b) 45 – 7 = 38 79 + 7 = 86

(a) 45 : 79

161

(9) La bolsa A tenía 45 bolitas y la bolsa B tenía 79 bolitas. Javier sacó 7 bolitas de la bolsa A y las puso en la bolsa B. (a) ¿Cuál es la razón entre la cantidad de bolitas de la bolsa A y de la bolsa B, al principio? (b) Escribe la razón en que se encuentran las cantidades de bolitas al final. (Escribe tu respuesta de la forma más simple)

Resuelve estos problemas. Escribe tu desarrollo.

(8) Completa cada una de las razones equivalentes. (b) 48 : 56 : 28 = 12 : 14 : 7 (a) 4 : 6 : 9 = 24 : 36 : 54

(7) Expresa cada razón de la forma más simple. (a) 8 : 12 : 24 = 2 : 3 : 6 (b) 21 : 9 : 36 = 7 : 3 : 12

(6) Calcula la razón equivalente para cada caso. (b) 7 : 12 = 56 : 96 (a) 3 : 8 = 45 : 120 (d) 16 : 12 = 144 : 108 (c) 12 : 15 = 84 : 105

304

PSL_6A_TG_C07b.indd 304

22-10-13 11:33

162

La cantidad total de dinero que pagaron las mujeres es $280 000.

Cantidad total que pagaron las mujeres = 56 · $5000 = $280 000

Hay 56 mujeres en el campamento.

3 partes → 24 mujeres 1 parte → 8 mujeres 7 partes → 56 mujeres

Repaso 3

(12) La razón entre la cantidad de hombres y mujeres en un campamento es 3 : 7. Hay 24 hombres en el campamento. Si el valor de la inscripción era $5000 por persona, calcula la cantidad total de dinero que pagaron las mujeres .

La donación anual a las tres instituciones fue $1 383 200.

(b) 3 + 7 + 9 = 19 partes = 19 · $72 800 = $1 383 200

La donación anual a la institución A fue $218 400.

(a) 7 partes → $509 600 1 parte → $72 800 3 partes → $218 400

(11) Una empresa realiza anualmente donaciones de caridad para las instituciones A, B y C en la razón 3 : 7 : 9. La donación anual a la institución B fue $509 600. (a) ¿Cuál fué la donación anual a la institución A? (b) ¿Cuál fué la donación anual a las tres instituciones en total?

La razón entre el costo de la cámera de César y la cámara de Álvaro es 4 : 7.

28 000 : 49 000 = 4 : 7

Costo de la cámara de César = $77 000 – $28 000 = $49 000

(10) Álvaro y César se compraron una cámara digital para cada uno. El costo de las dos cámaras era $77 000. La de Álvaro costó $28 000. ¿Cuál es la razón entre el costo de la cámara de Álvaro y la cámara de César?

El área del cuadrado pequeño es 81 cm2. 81 = 9 · 9 El lado del cuadrado pequeño es 9 cm.

64 partes → 576 cm2 1 parte → 9 cm2 9 partes → 81 cm2

Calcula el lado del cuadrado más pequeño.

163

cuadrado original de tal manera que sus áreas estén en la razón de 64 : 9.

Un cuadrado tiene un área de 576 cm2. Se corta un cuadrado pequeño del

Valor total = 1152 · $50 = $57 600 El valor total de las monedas nacionales de la colección de Lucas es $57 600.

5 partes → 640 monedas 1 parte → 128 monedas 9 partes → 1152 monedas Lucas coleccionó 1152 monedas nacionales.

cuál es el valor total de las monedas nacionales de Lucas?

extranjeras. Si todas las monedas nacionales que Lucas coleccionó fueran de $50,

Repaso 3

La razón entre la cantidad de monedas nacionales y la cantidad de monedas extranjeras, en la colección de Lucas, es de 9 : 5. Él tiene 640 monedas

(14)

(13)

305

PSL_6A_TG_C07b.indd 305

22-10-13 11:33

(b) ¿Qué porcentaje corresponde al resto de los árboles?

9 50

100

(d) 52%

7 = 10

(c)

164

(a)

88 = 200 204 = 400

51 (d)

(b)

630 = 700 216 = 600

30%

3 10

3 de 10

(19) Expresa cada fracción como un porcentaje.

57%

57 100

57 de 100

0,7 =

Como un porcentaje

(f)

(d) 0,77 =

(b)

Como una fracción

(e) 0,07 = 7 % (18) Completa la tabla.

47 (a) 100 = 47 % 1 (c) 10 = 10 %

36 %

90 %

13 25

9 (b) 9% = 100

(17) Expresa cada fracción o decimal como un porcentaje.

(a) 67% =

(16) Expresa cada porcentaje como fracción, en su forma más simple.

0,3

0,57

Repaso 3

Como un decimal

72%

(15) Milton tenía 100 árboles en su parcela, 28 de ellos eran árboles frutales. 28% (a) ¿Qué porcentaje corresponde a los árboles frutales?

Completa los espacios en blanco.

(b)

16 = 25

13 = 20

(a)

64 %

65 % 100%

100%

Repaso 3

950 100 950 · 18 = 171 asientos 100

171 asientos están desocupados.

18%

100% – 82% = 18% 950 100%

82%

950

(21) Un teatro tiene 950 asientos. El 82% de los asientos están ocupados. ¿Cuántos asientos están desocupados?

Resuelve estos problemas. Muestra tu desarrollo.

165

(20) Observa los siguientes modelos de barras y expresa cada fracción como un porcentaje.

306

PSL_6A_TG_C07b.indd 306

22-10-13 11:33

166

IVA pagado = 19% de $8600 = $1634 Total pagado = $8600 + $1634 = $10 234

Repaso 3

(23) Fernanda compró un libro que cuesta $8600. Adicionalmente, ella pagó un impuesto del 19% correspondiente al IVA. ¿Cuánto pagó en total por el libro?

Le queda 60% de su mesada al ﬁnal del miércoles.

El precio normal de una TV era de $45 000. En una liquidación, estaba

Julián tuvo que pagar $1530 inicialmente.

100% – 15% = 85% Precio de venta = 85% · $45 000 = $38 250 Cuota inicial = 4% · $38 250 = $1530

la cuota inicial?

167

una cuota inicial de un 4% del precio de liquidación. ¿Cuánto pagó Julián por

esa TV con un descuento de 15%. Para reservarla, Julián tuvo que cancelar

Repaso 3

(25)

Él pagó $4719 por los audífonos.

Descuento = 35% de $7260 = $2541 Cantidad pagada = $7260 – $2541 = $4719

2 de 90% = 60% 3

100% – 10% = 90%

El precio normal de unos audífonos es $7260. Horacio compró uno con un descuento de un 35%. ¿Cuánto pagó por los audífonos?

(24)

¿Qué porcentaje de su mesada le queda al fi nal del miércoles?

1 3

(22) Raúl gastó el 10% de su mesada el lunes. El miércoles gastó del resto.

307

PSL_6A_TG_C07b.indd 307

22-10-13 11:33

BLANCO

Curso:

Evaluación 1 1

Fecha:

(a) 11

= 3 : 9

(d) 54

(b) 24

( d

( a

Evaluación 1

(a) 3 : 8

(d) 8 : 11

(b) 3 : 11

169

( c

(4) Raquel colocó 24 naranjas y 64 manzanas en una caja. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de manzanas y naranjas en la caja?

18 : (a) 6

(3) ¿Cuál es el valor que falta en estas razones equivalentes?

(d) 16

(a)

(b) 3

(d) 11

(b) 44

1 2

(2) Calcula 4  12 ?

(1) Expresa 11 : 4 en su forma más simple.

3 6

Marca la respuesta correcta para cada pregunta. Escribe la letra correspondiente dentro de los paréntesis dados.

Sección A

Nombre:

)

308

PSL_6A_TG_C07b.indd 308

22-10-13 11:33

(d) 59 : 105

(b) 119 : 165

(d) 2,1

(b) 1,89

( b

( d

(d) 108 litros

(b) 40,5 litros

(d)

70 100

(b) 0,7

( c

170

(a) 2  18

(10) La factorización prima de 36 es:

(d) 18,75%

(b) 70%

(d) 2  2  3  3

(b) 1  36

(a) 81,25%

)

Evaluación 1

( d

(9) La siguiente figura está formada por 8 cuadrados iguales. ¿Qué alternativa representa el porcentaje del área de la figura que está sombreada?

(a)

7 10

(8) Marca la alternativa que represente el 7%.

(a) 13,5 litros

(7) El volumen de agua en el balde A y el volumen de agua en el balde B están en la razón 3 : 5. El promedio del volumen de los 2 baldes es 54 litros. ¿Cuál es el volumen de agua en el balde B?

(a) 2,005

(6) ¿Cuál de los siguientes números es el más cercano a 1,9?

(a) 89 : 135

(5) El jarro A contiene 236 ml de leche y el jarro B contiene 420 ml de leche. ¿Cuál de las siguientes razones representa la razón entre la cantidad de leche en el jarro A y la cantidad en el jarro B? (c) 22:15 3

(d) 22:58

( b

)

(d) 168

(b) 140 ( d )

(d) 2015

(b) 2013 ( c

)

(d) 392

(b) 168 ( d )

(a) $2000

Evaluación 1

(a) 2, 3, 5, 6, 10

(16) Los divisores de 30 son

(d) 2, 3, 5, 6, 10, 15

(b) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

(d) $4500

(b) $3000

171

( b

)

( c )

(15) Bruno y Claudia tienen $5000 entre los dos. El dinero de Claudia es el 20% del total. ¿Cuánto dinero tiene Bruno?

(a) 56

(14) En un concierto, la razón entre la cantidad de hombres y la de mujeres asistentes, era 4 : 3. Hay 56 hombres más que mujeres. ¿Cuántos asistentes había en ese concierto?

(a) 2012

2 (13) Beatriz tiene — de la edad que tenía su madre el año 2007. Su madre tenía 27 años 5 1 en 1999. ¿En qué año Beatriz tendrá — de la edad de su madre?

(a) 90

(12) Lidia tiene 280 láminas. Sandra tiene — del total que tiene Lidia. ¿Cuántas láminas 5 más tiene Lidia?

(11) Una película duró 2 — h. Terminó a las 00:13. A qué hora comenzó la película? 4 (a) 21:45 (b) 21:58

309

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22-10-13 11:33

3 1 10

1920 g

1120 g 160 g

11,1

172

$21 000 3 partes $56 000 (precio normal) 8 partes $56 000 – $21 000 = $35 000 (descuento)

un descuento es $21 000. ¿De cuánto es el descuento?

Evaluación 1

$35 000

3 del precio normal de un reloj es $21 000. El precio del reloj después de aplicar 8

11,05

(21)

11,009

11,05 11 11,1 11,009 11

1920 g

(20) Ordena los números, comenzando por el menor.

7 partes 1 parte 5 + 7 = 12 12 partes

(19) La razón entre el peso de dos bolsas de harina es 5 : 7. La bolsa más pesada contiene 1120 g de harina. ¿Cuánto pesa la harina de ambas bolsas?

9 (18) Una madeja de lana de 10 m de longitud se corta en 3 partes iguales. ¿Cuál es la longitud de cada parte? 9 3 3 9 1 30 cm :3= · = m = 30 cm

(17) Rubén, Sergio y Flavia comparten una torta en la razón 1 : 2 : 4. ¿Qué fracción de la torta recibe Sergio? 2

Lee atentamente las preguntas. Escribe tus respuestas en los espacios disponibles.

Sección B

234 asientos

2496 m2 2496 : 48 = 52 m2 31 · 52 = 1612 m2

1612 m2

16 · 5,45 kg + 12 · 10,20 kg = 209, 60 kg

Evaluación 1

Mínimo común múltiplo = 3 · 5 · 5 = 75

25 = 5 · 5

15 = 3 · 5

(25) El mínimo común múltiplo de 15 y 25 es:

173

$209,6

(24) Samuel compró 16 bolsas de mezcla para queques. Cada una pesaba 5,45 kg. Además compró 12 bolsas de mezcla para galletas que pesaban 10,20 kg cada una. ¿Cuánto pesó el total de la compra?

48 partes 1 parte 31 partes

(23) Fernando tiene un terreno de 2496 m2. Él cercó una parte del terreno. La razón entre el área total y el área no cercada es 48 : 31. ¿Cuál es el área del terreno sin cercar?

100 – 48 = 52% 450 · 52% = 234

(22) Un avión tenía 450 asientos. El 48% de los asientos estaban ocupados. ¿Cuántos asientos estaban desocupados?

310

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22-10-13 11:33

= 0,1 0,1

40%

amigos

vecinos

2,5 kg

174

1 parte 3 partes

Cantidad de fichas en la caja B 5 (8 partes)

10 fichas 30 fichas

3 – 2 = 1 parte

Cantidad de fichas en la caja A 3

Antes Cantidad de fichas en la caja A 1 2 : :

Evaluación 1

30 fichas

Cantidad de fichas en la caja B 3 6 (8 partes)

Después

(28) La razón entre la cantidad de fichas de la caja A y de la caja B es 3 : 5. Al sacar 10 fichas de la caja A y traspasarlas a la caja B, la razón entre las fichas de la caja A y la B, cambia a 1 : 3. ¿Cuántas fichas había originalmente en la caja A?

= 2,5 kg

100% → —– · 100

, 1.5 60

60% → 1,5 kg

2 partes → 0,6 kg 1 parte → 0,3 kg 5 partes → 1,5 kg

Luego, cortó un — del resto, para dárselo a sus vecinos. Ángela se quedó con 0,6 5 kg del pastel. ¿Cuánto pesaba originalmente el pastel?

(27) Ángela compró un pastel. Ella cortó un 40% para repartirlo entre sus amigos.

1 2 1 —·— =— 10 5 4

2 — (26) Calcula —  . Expresa tu resultado en forma decimal. 5 4

: :

Área rectángulo A 5 10

Rectángulo B

Área sombreada 2

2 : 15

Área rectángulo B 7

Los asientos reservados aumentaron en 3819.

40% – 25% = 15% 15% · 25 460 = 3819

40%. ¿En cuánto aumentaron los asientos reservados para los socios?

175

3819

reservados para los socios. Sin embargo, decidieron aumentar dichos asientos al

Un estadio tiene 25 460 asientos, de los cuales el 25% estaban originalmente

Área de la figura completa = 10 + 7 – 2 = 15 partes

Área sombreada 1 2

Rectángulo A

Evaluación 1

(30)

de la figura completa?

(29) El área sombreada de la siguiente figura corresponde a — del rectángulo A 5 2 y — del rectángulo B. ¿Cuál es la razón del área sombreada con respecto al área

311

PSL_6A_TG_C07b.indd 311

22-10-13 11:34

2 parte 72 páginas 1 parte 36 páginas 6 partes 216 páginas El libro tenía 216 páginas.

176

10 partes $11 000 $1100 1 parte $8800 8 partes La mesada de David y Gabriela en total es $8800.

Gabriela

David

Félix

$11 000

Evaluación 1

(32) La mesada de Félix es el doble que el de David. La razón entre la mesada de David y el de Gabriela es 5 : 3. La mesada de Félix es $11 000. ¿Cuánto suman las mesadas de David y Gabriela?

1er 2do resto día día

72 páginas

cantidad total de páginas para terminar el libro. ¿Cuántas páginas tenía el libro?

1 1 de la cantidad restante de páginas. Al final, todavía tenía que leer 2 de la 4

(31) Isabel empezó a leer un libro. El primer día, leyó 72 páginas. El segundo día, leyó

Puedes usar la calculadora en esta sección.

Para cada una de las preguntas, escribe tus respuestas en los espacios dados. Escribe tu desarrollo.

Sección C

900 ml 300 ml 2400 ml

$90 000 $11 250 $33 750

ropa

Evaluación 1

Ella ahorró $33 750.

8 partes 1 parte 3 partes

comida

$90 000

resto. ¿Cuánto dinero ahorró?

ahorro

1 4

3 8

5 3 = 8 8

3 de su dinero. 8

Ella ahorró $33 750.

177

3 · $90 000 = $33 750 8

Ella ahorró

1–

1 5 3 + = 4 8 8

(34) Laura tiene $90 000. Ella gastó de su dinero en alimento, en ropa y ahorró el

El volumen total en los tres envases es 3900 ml.

(b) 2 + 3 + 8 = 13 partes = 13 · 300 = 3900 ml

El volumen de agua en el envase C es 2400 ml.

(a) 3 partes 1 parte 8 partes

(33) La razón entre el volumen de agua del envase A y el volumen de agua del envase B y el volumen de agua en el envase C es 2 : 3 : 8. El envase B tiene 900 ml de agua. (a) ¿Cuál es el volumen de agua en el envase C? (b) Calcula el volumen total en los tres envases.

312

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178

Evaluación 1

El 18% de los integrantes del equipo B deberían ser transferidos al equipo A.

Cantidad de miembros transferidos = 18 : 2 = 9 9 · 100% = 18% 50

Equipo B

Equipo A

(37) El equipo A tenía 42 miembros. El equipo B tenía 18 miembros más que el A. Para que ambos equipos queden con la misma cantidad, ¿qué porcentaje de integrantes del equipo B deberían ser transferidos al equipo A?

La razón entre la cantidad de dinero de Liliana y la cantidad de dinero de Elena, después de la compra, fue 3 : 2.

$19 800 – (12 · $300) = $16 200 $16 200 – (12 · $450) = $10 800 16 200 : 10 800 = 3 : 2

(36) Liliana tenía $19 800 y Elena $16 200. Liliana compró 12 botones chicos a $300 cada uno y Elena compró 12 botones grandes a $450 cada uno. Después de comprar, ¿en qué razón quedaron sus respectivas cantidades de dinero?

Le quedó por pagar $67 500.

Interés = $70 000 · 5% = $3500 Total a pagar = $70000 + $3500 = $73 500 Saldo a pagar = $73 500 – $6000 = $67 500

(35) Gabriel quería comprar un sofá que costaba $70 000. Si lo pagaba en cuotas, tenía que agregarle un 5% de interés anual. Decidió hacer un pago inicial de $6000 y el resto en cuotas. ¿Cuánto le quedó por pagar?

4104 g 85,5 g 4446 g

A Fabián le quedaron 1,64 kg de zanahorias.

(b) 40% · 4104 = 1641,6 1,64 kg

Fabián agregó 3,15 kg de papas a la bolsa.

4446 – 1296 = 3150 g 3150 g = 3,15 kg

48% 19% 52%

(a) 24% · 5400 = 1296 g (peso original de las papas) 5400 – 1296 = 4104 g (peso original de las zanahorias)

(a) Calcula el peso de las papas que Fabián agregó a la bolsa. (b) Calcula el peso de las zanahorias que le quedaron a Fabián.

Evaluación 1

179

(38) Una bolsa contenía papas y zanahorias. El 24% del peso de esos vegetales correspondían a las papas. El peso total de ambos vegetales era 5400 g. Fabián agregó más papas a la bolsa aumentando el porcentaje del peso de las papas a 52%. Durante la semana, Fabián cocinó todas las papas y el 60% de las zanahorias.

313

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1 3 (después) 2 (antes) 1 (simplificando)

: : : :

180

264 cartas 44 cartas 124 cartas

Katy le ganó 124 cartas a Juan.

6 partes 1 parte 168 – 44

Al inicio

(b) 7 – 4 = 3 partes 72 cartas 3 partes 24 cartas 1 parte 168 cartas (cantidad de cartas que tenía Katy) 7 partes 11 · 24 = 264 (cantidad total de cartas). 11 partes

Estaban en la razón de 5 : 1

Cantidad de cartas que tenía Katy

Evaluación 1

(b) ¿Cuántas cartas le ganó Katy a Juan en total?

(a) Cantidad de cartas que tenía Juan 3 9 10 5

(a) ¿En qué razón estaban las cantidades de cartas de Juan y Katy al principio?

(39) Juan y Katy tenían una cierta cantidad de cartas al comenzar un juego. 1 Juan perdió de sus cartas, las que ganó Katy. Después que Juan perdió 10 esas cartas, la razón entre sus cartas y las de Katy era 3 : 1. Al día siguiente continuaron el juego y Juan perdió más cartas, las que nuevamente ganó Katy, por lo cual la razón entre sus cartas quedó en 4 : 7. Finalmente Katy quedó con 72 cartas más que Juan.

19 30

Evaluación 1

Alex pagó $3420.

ó — · $20 520 = $3420

1 6

(b) 30 partes → $20 520 1 parte → $684 5 partes → $3420

Carlos pagó —– del almuerzo.

11 30 5 11 19 1 – —– = —– 30 30

1 6

Alex y Carlos

1 (a) — + — = —–

Berta

Berta y Carlos

(b) Si la comida costó $20 520, ¿cuánto pagó Alex? Alex

(a) ¿Qué fracción del costo total del almuerzo pagó Carlos?

181

1 Alex, Berta y Carlos pagaron la cuenta de un almuerzo. Alex pagó de lo 5 1 que pagaron sus dos amigos juntos. Berta pagó de la cantidad que Alex y Carlos 4 pagaron juntos.

* (40)

314

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(b) ¿Cuántas baldosas ocupará en esa superificie cuadrada?

30 cm 90 cm

182

Evaluación 1

(b) Cantidad de baldosas 3 · 5 = 15 Patricio ocupa 15 baldosas en cubrir un cuadrado de lado 90 cm.

18 cm

90 cm

El mínimo común múltiplo de 18 y 30 es 2 · 3 · 3 · 5 = 90 El lado del cuadrado más pequeño es 90 cm.

(a) 18 = 2 · 3 · 3 30 = 2 · 3 · 5

(a) ¿Cuál es el lado del cuadrado más pequeño que Patricio puede cubrir con esas baldosas?

(41) Patricio tiene baldosas rectangulares que miden 18 cm de ancho y 30 cm de largo. Quiere cubrir con ellas una superficie cuadrada, colocándolas una junto a las otras.

BLANCO

HEURÍSTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS

Nugo

Gugo

Kuga Lugo

Zugo Tuga

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Heurística 1: Dibujar un modelo Ejemplo 1 Al mezclar pinturas roja y pintura blanca, hay 25% más de pintura blanca que roja. ¿Cuántos litros de pintura de cada color hay en 5  de mezcla?

Solución:

100% Pintura roja

5  de mezcla

Pintura blanca 125%

En base al modelo, 9 partes

5

1 parte

5  9

4 partes

5 partes 2

4 9 = 9 =29  25 7 5 5 9 = 9 =29 

Hay 2 9  de pintura roja y 2 9  de pintura blanca en 5  de mezcla.

Ejemplo 2 El 6ºA y el 6ºB, tienen la misma cantidad de estudiantes. La razón entre la cantidad de varones en el 6ºA y la cantidad de varones en el 6ºB es de 1 : 3. La razón entre la cantidad de niñas en el 6ºA y la cantidad de niñas en el 6ºB es de 4 : 1. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de niñas en el 6ºA y la cantidad de varones en el 6ºB? niñas

varones

Solución: 6ºA 6ºB

niñas

varones

En base al modelo, 3 partes de niñas en el 6ºA = 2 partes de niños en el 6ºB

1 parte de de niñas en el 6ºA = 3 partes de niños en el 6ºB

La razón entre la cantidad de niñas en el 6ºA y la cantidad de varones en el 6ºB es 2 : 3. 316

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Heurística 2: Buscar un patrón Ejemplo 1

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

La siguiente tabla muestra la cantidad de fósforos usados para construir cada figura. Figura Cantidad de fósforos

3=13

9=33

18 = 6  3

30 = 10  3

Calcula la cantidad de fósforos usado para construir la (a) Figura 5, (b) Figura 10.

Solución: Se observa un patrón en la cantidad de fósforos: el 3 multiplica al 1, al 3, al 6 y al 10, al avanzar desde la figura 1 a la 4. Ahora, al observar los números 1, 3, 6 y 10 vemos que se pueden obtener así:

Figura 1: 1 = 1

Figura 2: 3 = 1 + 2

Figura 3: 6 = 1 + 2 + 3

Figura 4: 10 = 1 + 2 + 3 + 4

Entonces, Figura 5: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

15  3 = 45

Figura 10: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

55  3 = 165

La cantidad de fósforos usados en la Figura 5 es 45. La cantidad de fósforos usados en la Figura 10 es 165. 317

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Heurística 3: Representar / Dibujar un diagrama Ejemplo 1 El tangrama es un cuadrado que se compone de 7 piezas, como se muestra a continuación.

Usa las 7 piezas del tangrama para construir (a) un triángulo rectángulo isósceles. (b) un paralelogramo. Solución: (a)

(b)

(Nota: En la soluciones dibujadas arriba, las piezas se podrían orientar de diferentes maneras.)

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Ejemplo 2 Del rectángulo que se ve a continuación, se cortó un triángulo y se puso en diferentes posiciones para formar 2 figuras, A y B. A

¿Estas figuras, pueden teselar una superficie? Solución:

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Heurística 4: Suponer y comprobar Ejemplo 1 Leonardo piensa en un número de dos cifras. Él invierte el orden de los dígitos para obtener un segundo número. Cuando él suma ambos números, obtiene como resultado 165. ¿Cuáles son los posibles números en los que pensó Leonardo?

Solución: Dado que el último dígito de 165 es 5 y los dos números tienen sus dígitos invertidos, los dos dígitos de cada uno de los números deben sumar 5 ó 15.

Intentemos con:

14 + 41, 23 + 32, 50 + 5, 69 + 96 ó 78 + 87.

Al comprobar vemos que los números posibles son 69 y 78.

Ejemplo 2 La diferencia entre dos números es 20 y el producto de los dos números es 741. ¿Cuál es la suma de estos dos números?

Solución: Dado que la diferencia es 20, los dos números deben tener el mismo dígito de las unidades. Dado que el producto es 741, los dos dígitos de las unidades deben ser 1 ó 9.

Intenta con 11 y 31, 19 y 39, y 21 y 41. Descartamos 21  41 porque su producto es mayor que 800.

Al comprobar, vemos que 19  39 = 741. La suma de los dos números es 19 + 39 = 58.

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Heurística 5: Simplificar el problema Ejemplo 1 La suma de los ángulos en un triángulo es 180°. Calcula la suma de los ángulos en: (a) un cuadrilátero,

(b) un pentágono.

Solución: (a) Simplifica el problema dibujando una línea AB diagonal a través de la figura.

La suma de los ángulos en un cuadrilátero es = 2  180° = 360°.

(b) Simplifica el problema dibujando 2 líneas, PQ y PR, a través de la figura para formar 3 triángulos. P

R Q

La suma de los ángulos en un pentágono es = 3  180° = 540°.

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Heurística 6: Hacer una lista sistemáticamente Ejemplo 1 Mario piensa en un número impar de tres dígitos. El dígito de las centenas es menor que 3 y no es 0. El dígito de las decenas es mayor que 7. Si la suma de los dígitos es 18, ¿cuál es el número que pensó Mario? Hay más de una respuesta posible. Solución: El dígito de las centenas es 1 ó 2, el dígito de las decenas es 8 ó 9 y el dígito de las unidades es 1, 3, 5, 7 ó 9. Haz una lista de los números posibles.

181 183 185 187 189

191 193 195 197 199

281 283 285 287 289

291 293 295 297 299

Los números en los que la suma de los dígitos es 18 son 189 y 297.

Ejemplo 2 En el triángulo rectángulo ABC, la suma de los lados AB y BC es 10 cm. Si cada uno de estos lados se da en una cantidad entera de centímetros, ¿cuál es la mayor área del triángulo posible?

Solución:

Haz una lista con las longitudes posibles de AB y BC y las correspondientes áreas de los triángulos. Área del triángulo ABC Longitud de AB (cm) Longitud de BC (cm) (cm2) 1 9 4,5 2 8 8 3 7 10,5 4 6 12 5 5 12,5 6 4 12 2

La mayor área posible del triángulo ABC es 12,5 cm .

322

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Heurística 7: Trabajar de atrás hacia adelante Ejemplo 1 1

Liliana tiene algo de dinero. Ella gasta 6 del total el lunes, 5 del resto el martes y $1600 el miércoles. Si a ella le quedan $2000, ¿cuánto dinero tenía al principio? Solución: Trabajando de atrás hacia adelante, ella tiene $2000 + $1600 = $3600 antes del miércoles.

lunes

Entonces: 3 partes

$3600

1 parte

$1200

6 partes

$7200

martes

$3600

Liliana tenía $7200 al principio.

Ejemplo 2 A

Cada uno de estos baldes, A, B y C, contenían algo de agua. Cuando se vierten 2  de agua desde el balde A al B, 4  desde B a C y 3  desde C a A, en los tres baldes quedan 6  de agua. ¿Cuánta agua había en cada balde al principio? Solución: Trabajando de atrás hacia adelante a partir de la cantidad final de agua en cada balde.

6 

6

Vierte 3  desde A a C:

3 

6 

9

Vierte 4  desde C a B:

3 

10  5 

Vierte 2  desde B a A:

5 

8 

5

Al principio, A contenía 5 , B contenía 8  y C contenía 5  de agua. 323

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Heurística 8: Considerar dos momentos: antes y después Ejemplo 1 Un grupo de turistas estaba compuesto por 35 personas. El 20% eran hombres. Al unirse más hombres al grupo, el porcentaje aumentó a 30%. ¿Cuántos hombres se unieron al grupo? Solución:

Antes

Mujeres

Después

80%

Hombres

Mujeres

20% Hombres

70%

Antes:

Después:

30% 20

Cantidad de hombres = 100  35 = 7 Cantidad de mujeres = 35 – 7 = 28

70% del grupo = 28 30

30% del grupo = 70  28 = 12 12 – 7 = 5

Se unieron 5 hombres al grupo.

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Heurística 9: Resolver el problema por partes Ejemplo 1 Susana tiene un promedio de 64 puntos en tres pruebas de matemática. (a) Si los tres puntajes están en la razón 4 : 5 : 7, ¿qué puntaje tiene en cada prueba? (b) Si ella rinde otra prueba, ¿cuántos puntos debería obtener para subir su promedio en las 4 pruebas a 68?

Solución: Resuélvelo por partes.

Paso 1:

Total de puntos en 3 pruebas = 3  64 = 192

Paso 2:

Dado que su puntaje está en la razón 4 : 5 : 7

Puntaje en la primera prueba = 16  192 = 48 5 Puntaje en la segunda prueba = 16  192 = 60

Puntaje en la tercera prueba = 192 – 48 – 60 = 84

Total de puntos en 4 pruebas = 4  68 = 272

Paso 3:

272 – 192 = 80 puntos

(a) Su puntaje en cada prueba fue 48, 60 y 84. (b) Ella debería obtener 80 puntos en la cuarta prueba.

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Heurística 10: Hacer una suposición inicial Ejemplo 1 Hay 128 aves y abejas en un aviario que suman un total de 360 patas. ¿Cuántos pájaros y abejas hay en el aviario?

Solución: Suponiendo que las 128 criaturas son pájaros. Por lo tanto, el número de patas = 2  128 = 256 Pero hay 360 – 256 = 104 patas más. Cada abeja tiene 4 patas más que un pájaro. Entonces, la cantidad de abejas = 104 : 4

= 26

128 – 26 = 102 Hay 26 abejas y 102 pájaros.

Ejemplo 2 Sergio piensa en un número. Lo divide por 2 y le suma 15. Luego le resta la mitad del número que pensó y multiplica el resultado por 3. Sin importar el número en que pensó Sergio, demuestre que el resultado siempre será 45.

Solución: Suponiendo que el número que pensó Sergio es x. x dividido por 2 x

x 2

Sumando 15 a 2 15 + 2 x x x 1 Restando 2 x de 15 + 2 15 + 2 – 2 Multiplicando 15 por 3

= 15 15  3 = 45

El resultado final siempre será 45.

326

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APÃ&#x2030;NDICES

Nugo

Gugo

Kuga Lugo

Zugo Tuga

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Apéndice 1

Capítulo 1: Números primos Realiza esta actividad (Libro del Alumno 6A, pág. 18) Mazo A

328

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Apéndice 1

Capítulo 1: Números primos Realiza esta actividad (Libro del Alumno 6A, pág. 18) Mazo B

10 12 14 15 16 18 20 21 24 25 27 28 30 32 35 36 40 42 45 48 329

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Apéndice 1

Capítulo 1: Números primos Realiza esta actividad (Libro del Alumno 6A, pág. 18) Mazo B (Continuación)

330

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Apéndice 2

Capítulo 2: Fracciones (1) Aprendamos! (Libro del Alumno 6A, pág. 41)

1 6

1 5

1 6

1 5

1 10 8

1 10

1 8

1 10

1 1 10 10

1 8

1 1 1 12 12 12

1 1 1 2 1 2 12

1 1 1 12 1 2 12

1 8

1 8 1

331

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Apéndice 2

Capítulo 2: Fracciones (1) Aprendamos! (Libro del Alumno 6A, pág. 41)

1 4

1 3

332

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Apéndice 3

Capítulo 2: Fracciones (1) Realiza esta actividad (Libro del Alumno 6A, pág. 43)

333

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Apéndice 4

Capítulo 3: Fracciones (2) Realiza esta actividad (Libro del Alumno 6A, págs. 66, 69 y 72)

334

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Apéndice 5

Capítulo 5: Decimales

Unidades de mil

Centenas

Decenas

Unidades •

Décimas

Centésimas

Milésimas

¡Aprendamos! (Libro del Alumno 6A, págs. 111 y 122)

335

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Apéndice 6

Capítulo 7: Porcentaje (1) Realiza esta actividad (Libro del Alumno 6A, pág. 187)

Grupo A

Grupo B

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Papel cuadriculado

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BLANCO

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