Geometría. Olimpiadas

GEOMETRÍA 1. Rectas paralelas cortadas por una secante.

Se forman ocho ángulos, que reciben los nombres siguientes: alternos internos: 3 y 6, 4 y 5. Son iguales alternos externos: 1 y 8, 2 y 7. Son iguales correspondientes: 1 y 5, 3 y 7, 2 y 6, 4 y 8. Son iguales colaterales internos: 3 y 5, 4 y 6. Son suplementarios colaterales externos: 1 y 7, 2 y 8. Son suplementarios

1 2 3

4

5 6 7 8

2. Ángulos de lados paralelos.

Son iguales si los dos son agudos o los dos obtusos.

Son suplementarios si uno es agudo C' y otro obtuso.

A E

I

A

B I r

3. Ángulos de lados perpendiculares.

C

B Son iguales si los dos son agudos p-b o los dos obtusos. p Son suplementarios si uno es agudo y otro obtuso.

4. Puntos notables en el triángulo.

O

H

Circuncentro. Es el punto de intersección de las mediatrices de los lados, siendo las mediatrices las perpendiculares en el punto medio.

El circuncentro O equidista de los vértices, por lo que es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

El circuncentro es interior al triángulo si éste es acutángulo, exterior si es obtusángulo, y es el punto medio de la hipotenusa si es rectángulo.

Ortocentro Es el punto de intersección de las alturas.

En el triángulo acutángulo el ortocentro H es interior al triángulo, en el obtusángulo es exterior y en el rectángulo es el vértice del ángulo recto.

A'

p

C'

G

B'

Incentro Es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores.

El incentro I equidista de losA' tres lados, por lo que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

I

C'

Exincentros Las bisectrices de dos ángulos exteriores y la bisectriz interior del tercer ángulo se cortan en los puntos I a , I b , I c ,

Ic A Ib

centros de las circunferencias tangentes a cada lado y a las prolongaciones de los dos contiguos; son los exincentros.



I

I

C

B

Ia

Baricentro. Es el punto de intersección de las medianas del triángulo, siendo las medianas los segmentos que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto.

El baricentro G divide a cada mediana AA’, BB’, CC’ en dos

A C' B

B'

G

C

A'

segmentos tales que

GA GB GC 1    GA GB GC 2

Fórmula de EULER La distancia d entre el incentro y el circuncentro  de un triángulo viene dada por la expresión

d2  R2  2Rr siendo R el radio del círculo circunscrito y R el del inscrito. 

Recta de EULER

En todo triángulo no equilátero el circuncentro O, el baricentro G y el ortocentro H están en línea recta (recta deOEULER) y se verifica

' OG

C

H

HG  2 GO

H

 5. Ángulos en la circunferencia.

A

2 B

O B

B tiene suA vértice en Ángulo central.

Es el que A de la 4 el centro A circunferencia y los lados 3 son radios de ésta.

D Como hay proporcionalidad entre la medidaBdel ángulo central y la del O arco que subtiende, y 360º corresponden a la longitud de la C E C la medida de un ángulo central es igual a la del arco que circunferencia, C abracan sus lados:  AOB  arc AB



D

5 E

B

C

O

A

A B

O

3

O C

B

4

O

O

A

B

A

H

B

C

A

E C

A

A

D

D E

E

B

C

5

B

circunferencia y sus lados son secantes.

B  Su medida es la semidiferencia de los arcos que interceptan los lados en 5 B 1 APB  (arc AB  arc CD) la Ecircunferencia: C 2 B C o dos D Los lados pueden ser también una secante y una tangente tangentes, y la medida se obtiene igual. Ángulo  interior. Es el que tiene su vértice en un punto interior y sus A lados son secantes.

Su medida es la semisuma de los arcos que abracan los lados del ángulo

1 y los del opuesto por el vértice: APB  (arc AB  arc CD) B 2 D 1 2C E

C

3 4 Arco capaz de un ángulo sobre un segmento dado es el lugar geométrico de los puntos desde los cuales se  5 6 ve ese segmento bajo el ángulo dado.

El arco BC es el arco capaz7 del 8 ángulo a sobre el segmento BC. P Desde los puntos P, P’, se ve el segmento BC bajo el mismo ángulo a.

P' a Hay otro arco capaz, el simétrico del anterior respecto de BC. a

h

B

C

El arco capaz de 90º sobre un segmento es la circunferencia de diámetro ese segmento.

Cuadrilátero inscriptible.

C D

A

M

B

B A

D lados son una tangente y una secante.

3 Ángulo exterior. Es elI que tiene su vértice en un punto exterior a la A D A

D

B

3

I

B 1 E arco que abarca: C  ABC  arc BC .

E Su medida es la mitad del 2 C

C

4

C

1 1  ABC   HAOC  arc AC .

2 2

A 4Ángulo semiinscrito.

A en la circunferencia y sus Es D el que tiene el vértice

B A

A B Ángulo inscrito. Es el que 4 tiene HsuA vértice en la Dcircunferencia y Asus I lados son secantes.

D B 5 AOC. Al ángulo inscrito ABC le asociamos el ángulo central B La medida deCun ánguloEinscrito es la mitad del ángulo central asociado, E C es decir, la mitad del arco que abracan sus lados: C

En todo cuadrilátero inscriptible los ángulos opuestos son suplementarios.

A  C  180 B  D  180

 6. Igualdad de triángulos.

Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales: 1. Dos lados y el ángulo comprendido.

2. Un lado y dos ángulos.

3. Los tres lados.

Dos triángulos rectángulos son iguales si tienen respectivamente iguales: 1. La hipotenusa y un ángulo agudo.

D

C

E

M P O 2. Un cateto y un ángulo agudo.

3. La hipotenusa y un cateto.

4. Los dos catetos.

7. Semejanza de triángulos.

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son respectivamente iguales y sus lados homólogos proporcionales.

A  A, B  B, C  C

A A'

C

B

C'

B'

C'

AB BC AC   AB BC AC

Criterios de semejanza. Dos triángulos son semejantes si tienen: a) dos ángulos iguales: A = A’, B = B’

B'

b) los lados proporcionales:

AB GBC AC    AB BC AC

AB BC  , B  B AB BC La razón de las áreas de dos  triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza (razón de dos elementos homólogos), o también: las áreas de dos triángulos semejantes son proporcionales a los cuadrados de los lados homólogos.  c) dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido:

A'

O1

B' K A'

0,7

8. Teoremas del cateto y de la altura en triángulos rectángulos.

Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su A

c B

E

m

h

proyección sobre ésta: b2  an, c2  am La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre

b n

C

D a

los dos segmentos en que divide a ésta: h2  mn G  Resultado:

O 9. Potencia de un punto respecto de una circunferencia.

A P

A

A'

B

B B'

P

B' A'

 Potencia del punto P (exterior o interior) respecto de la circunferencia es el producto de las distancias de P a los puntos de J intersección de las secantes con la circunferencia:

k  PAPA  PBPB

Si una de las rectas es tangente y la otra asa por el centro de la 

T

circunferencia: PT 2  PA PA  (PO  d)(PO  d)  d2  r 2

P

A

O

A'

PT 2  PA PA  (PO  d)(PO  d)  d2  r 2 r siendo d la distancia del punto al centro y r el radio. 

 según que el punto sea exterior o interior a la circunferencia.

La potencia es positiva o negativa, B

Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto de ambas circunferencias. Es una recta perpendicular a la recta de los centros.

Centro radical de tres circunferencias es el punto que tiene igual potencia respecto de las tres circunferencias. Es el punto de intersección de los ejes radicales de las tres circunferencias, tomadas dos a dos.

B C 5

C

B'

G

I A'

10. Teorema de la bisectriz.

La bisectriz de un ángulo interior de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos aditivos proporcionales a los lados del

A

BD DC  AB AC La bisectriz del ángulo exterior de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos sustractivos proporcionales a los ángulo:

B

C

D

E

 BE CE  lados del ángulo: AB AC



11. Teoremas del seno y del coseno.

Teorema del seno:

a b c   senA senB senC

 2 a  b2  c2  2bc cos A   Teorema del coseno: b2  a2  c2  2ac cos B  2 c  a2  b2  2abcos C  

 expresiones del área del triángulo.

12. Diversas  a) S 



1 1 1 aha  bhb  chc , siendo a, b, c los lados y ha , hb , hc las alturas correspondientes.

2 2 2

b) S  pr , siendo p el semiperímetro y r el radio del círculo inscrito.  c) S  ( p  a)ra  ( p  b)rb  ( p  c)rc , siendo ra ,rb ,rc los radios de los círculos exinscritos.

  





d) S 

p( p  a)( p  b)( p  c) fórmula de HERON. 

e) En función de los radios de los círculos exinscritos: S  ( p  a)ra  ( p  b)rb  ( p  c)rb f) S 

abc , siendo R el radio del círculo circunscrito.  4R

g) S 

1 1 1 absenC  bcsenA  acsenB 2 2 2

13. Triángulo órtico de un triángulo es el que tiene como vértices los pies de las alturas de aquel.

A C' B' B

A'

A’B’C’ es el triángulo órtico del triángulo ABC. Las alturas de un triángulo son las bisectrices de su triángulo órtico.

Como consecuencia, el ortocentro de un triángulo es el incentro de su triángulo órtico.

C

14. Triángulos con un ángulo común.

La razón de las áreas de dos triángulos con un ángulo común es igual a la razón de los productos de los lados que forman ese ángulo en cada triángulo.

D B A

1 X  senA AB  AC N ‡rea ( ABC) AB  AC 2   ‡rea ( ADE) 1 AD  AE AD  AE  senA 2 M

E

C

Q'



15. Teorema de Ptolomeo.

B

En todo cuadrilátero inscriptible en una circunferencia, la suma de los productos de los pares de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales:

A C

ABCD AD  BC  AC  BD D

 16. Teorema de Ceva.

h Se llaman cevianas las rectas que unen los vértices de un triángulo con los lados opuestos. AK, BL, CM son tres cevianas concurrentes.

El teorema dice: la condición necesaria para que tres P' T'yMsuficiente Q' cevianas sean concurrentes es que se verifique

A G

M

L

Resultado:

B

J

AM BK CL   1 MB KC LA

C

K

17. Teorema de Menelao.



C

Sean X, Y, Z puntos sobre los lados BC, AC, AB (o D sus prolongaciones).

El teorema dice: la condición necesaria y suficiente para que los puntos X, Y, Z estén alineados es que se verifique BX CY AZ   1 CX AY BZ

Y X Z

A

B

18. Cálculo de las medianas de un triángulo en función de los lados.

 Aplica el teorema del coseno a los triángulos ABM y AMC; suma las dos igualdades obtenidas y simplifica teniendo en cuenta que los ángulos en M son suplementarios, y que BM = MC = a/2.

A c

ma

b

2c2  2b2  a2 .

4 Análogamente para las otras dos medianas.

2

B

M a

C

Obtendrás: ma 

 lados de un triángulo por los puntos de contacto de las 19. Segmentos determinados en los circunferencias inscrita y exinscritas.

M

K

C'' A C'

B' I

Ib B''

rb

r B

A'

p-b

p-c

C

p-a

A''

p

20. Lugares geométricos.

Lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas.

Lugares geométricos elementales: Mediatriz de un segmento: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus extremos.

Bisectriz de un ángulo: lugar geométrico de los puntos que equidistan de sus lados.

Circunferencia: lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo es constante.

Elipse: lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante.

Hipérbola: lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos es constante.

Parábola: lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo y de una recta dada.

21. Máximos y mínimos sin derivadas.

Hay problemas de optimización (distancias, perímetros, áreas, etc.) que pueden resolverse sin necesidad de hacer uso de derivadas.

22. Construcciones geométricas.

Se trata de construir una figura geométrica que cumpla determinadas condiciones.

En numerosas ocasiones conviene suponer el problema resuelto, es decir, admitir la existencia de la solución, y reducir las condiciones del enunciado a otras que conduzcan a un problema conocido; después se pasa de esta figura a la pedida.

23. Transformaciones geométricas.

Traslación de vector v: a todo punto A del plano le asocia el punto A’ tal que AA’ = vEl producto de dos traslaciones es otra traslación de vector suma de los vectores de aquellas.

Giro o rotación de centro O y amplitud a: a todo punto A asocia el punto A’ tal que OA = OA’ y áng AOA’ = a.

El producto de dos giros del mismo centro es otro giro del mismo centro y amplitud suma de las amplitudes de aquellos.

Simetría central de centro O: a todo punto A asocia el punto A’ tal que O es el punto medio de AA’.

El producto de dos simetrías centrales es una traslación.

Simetría axial de eje r: a todo punto A asocia el punto A’ tal que r es la mediatriz del segmento AA’.

El producto de dos simetrías de ejes paralelos es una traslación.

El producto de dos simetrías de ejes concurrentes es un giro.

Las traslaciones, los giros y las simetrías centrales son igualdades directas (conservan las distancias, los ángulos y el sentido de estos); las simetrías axiales son igualdades inversas (invierten el sentido de los ángulos).

OA  h.

OA El producto de dos homotecias del mismo centro es otra homotecia del mismo centro y razón el producto de las razones de aquellas.

Homotecia de centro O y razón h: a cada punto A asocia otro punto A’, alineado con A, tal que

 24. Algunas ideas útiles en la resolución de problemas.

1. Cada mediana de un triángulo divide a éste en dos triángulos equivalentes.

2. Si se trazan las tres medianas de un triángulo, éste queda dividido en seis triángulos equivalentes.

3. Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 30º, el cateto opuesto a este ángulo vale la mitad de la hipotenusa.

4. La mediana correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la mitad de ésta.

5. El radio del círculo inscrito en un triángulo rectángulo vale r 

b c a , siendo a la hipotenusa, b y c 2

los catetos.

6. En un triángulo rectángulo isósceles, la longitud de un cateto es igual a la suma de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita.  7. Las área de dos triángulos de igual base son proporcionales a las alturas.

8. Las áreas de dos triángulos de igual altura son proporcionales a las bases.

9. En todo triángulo el lado mayor es menor que el semiperímetro.

10. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

11. El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a su mitad.

12. Las bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares.

13. Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cualquiera son vértices de un paralelogramo.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA 1. Dado un triángulo rectángulo ABC, construir un punto interior P tal que los ángulos PAB, PBC y PCA sean iguales.

Indicación Halla el ángulo bajo el cual se ve desde P el segmento AC, y el ángulo bajo el que se ve el segmento AB desde P. Entonces el punto P …

2. Hallar el lugar geométrico de los incentros de los triángulos con un lado fijo y el ángulo opuesto constante.

Indicación Si BC es el lado fijo del triángulo ABC, halla el ángulo BIC, siendo I el incentro del triángulo. Entonces desde I se ve ….

3. Construir un cuadrado cuyos lados o sus prolongaciones pasen por cuatro puntos dados sobre una recta.

Indicación

M F Q B

A

Supongamos el problema resuelto, siendo MNPQ el cuadrado pedido y A, B, C, D los cuatro puntos alineados.

La figura te ayudará a ver la construcción del cuadrado.

N C

D

P

E 4. En un cuadrilátero arbitrario ABCD se trazan las bisectrices de los cuatro ángulos. Demostrar que los cuatro puntos de intersección forman un cuadrilátero inscriptible.

Indicación

A a

D' A'

b B

C' B' c

D d C

Sean a, b, c, d las mitades de los ángulos A, B, C, D del cuadrilátero.

Utilizando los triángulos AA’B y CC’D, se llega a que los ángulos A’ y C’ son suplementarios.

5. En una circunferencia se dan dos puntos fijos A y B y otro variable M. Sobre la recta AM y fuera de la circunferencia, se toma un punto N tal que MN = MB. Hallar el lugar de N.

B' E

Indicación Encuentra la relación entre los ángulos m y n.

Fíjate en que el ángulo m esbconstanteay los puntos A y B son fijos.

Entonces desde N se ve …

O h c M está en el otro arco AB. Considera también el caso de que D

B

A Ia m

ra

M

n N

E

6. ¿Qué condición han de cumplir las longitudes de los lados de un triángulo ABC para que la recta que une el baricentro G y el incentro I sea paralela a uno de los lados?

Indicación A Ten en cuenta la propiedad del baricentro de un triángulo.

Obtén una relación entre r y h por semejanza de triángulos.

Expresa de dos formas el área del triángulo y obtendrás otra G I h relación entre r y h. r

B

M

D

H

C

7. En un triángulo ABC rectángulo A, AH es la altura relativa a la hipotenusa. Si r, r1, r2 son los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos ABC, AHC y AHB, respectivamente, demostrar que 3

2

r 2  r1  r2 .



E

A'

ra ra

O

 Indicación Establece que los tres triángulos son semejantes.

Expresa que sus áreas son proporcionales a los cuadrados de los lados homólogos. ¿Cuáles son los lados a D' homólogos?

M A' d Finalmente, ten en cuenta elC'teorema de Pitágoras en el triángulo ABC. b B' c 8. En un pentágono regular se trazan las diagonales, que forman en su interior otroFpentágono N regular.

Q Hallar la razón de sus áreas.

Indicación B C D A A Haciendo uso de los ángulos en la circunferencia, P demuestra que el triángulo ABM es isósceles y que los triángulos AMR y ABR son R M E B semejantes.

E MR Q N Obtén la razón de dos lados homólogos, que es la razón de AB P semejanza de los dos pentágonos.

D C A partir de ésta se obtiene la razón de las áreas de los dos pentágonos.  9. Construir la media geométrica de dos segmentos dados.

Indicación Haz uso del teorema de la altura o del teorema del cateto en triángulos rectángulos.

10. Un triángulo tiene sus vértices en cada uno de los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas en el espacio; ninguno está en el origen, ni dos de ellos coinciden en el mismo eje. Demostrad que el triángulo es acutángulo.

Indicación

B

Vamos a demostrar que cualquier ángulo, por ejemplo el A, es agudo.

Aplicamos el teorema del coseno al triángulo ABC: O H

B

C

E

D

A'



a2  b2  c2  2bccos A .

Si A es agudo ….

Por otra parte:  a2  y2  z 2 r   E b2  x2  z 2   b2  c2  2x2  yO2  z 2  y2  z 2  a2  c2  x2  y2  

11. Halla los ángulos del triángulo órtico del triángulo ABC en función de los ángulos de éste.

Indicación  A C' H 2

B

B'

1

C

A'

Sea A’B’C’ el triángulo órtico del triángulo ABC y H el ortocentro.

Partiendo de que el cuadrilátero BA’HC’ es inscriptible, relaciona los ángulos 1 y 2, y éste con el A. Después ten en cuenta que AA’ es bisectriz del ángulo C’A’B’.

Lo mismo para los otros dos ángulos.

12. Construir un triángulo conociendo los pies de las tres alturas.

Indicación Teniendo en cuenta la propiedad anterior, empieza dibujando las bisectrices del triángulo órtico.

1 2 13. En el lado AB de un triángulo ABC se toma el punto M y en lado AC el punto N, tales que AM  3MB 3 4 y 2AN  NC . Hallar el área del cuadrilátero MBCN, si la del triángulo ABC es igual a S. 5 6 Indicación 7 Los triángulos ABC y AMN tienen un ángulo común, luego la razón de sus8 áreas … 

h 

14. Dado un triángulo equilátero ABC inscrito en una circunferencia, se toma un punto P en el arco BC y se une con los vértices del triángulo. Demostrar que PA  PBPC .

Indicación Aplica el teorema de PTOLOMEO al cuadrilátero ABPC.  15. Siendo M el punto medio del segmento de extremos A y B, estudia el lugar geométrico del los puntos P del plano tales que PM sea media proporcional entre PA y PB. Indicación D Parte del triángulo PAB, en el que PM es una mediana e impón la condición del enunciado, utilizando la fórmula de la mediana en función de los lados.

También puede resolverse eligiendo un sistema de coordenadas adecuado.

16. Construir un triángulo rectángulo conociendo un cateto y la suma de la hipotenusa y el otro cateto.

Indicación

C

A

B

D

Supón el problema resuelto, siendo ABC el triángulo pedido.

Prolonga AB una longitud BD = BC; ¿puedes construir el triángulo CAD? ¿Cómo pasas de éste al pedido?

1 2 3 4 5 6 7 8

h

17. Dada una circunferencia y un punto exterior, trazar por él una secante que intercepte en la circunferencia una cuerda de longitud dada.

Indicación Sea AB una de las cuerdas de longitud dada.

A M En toda circunferencia, cuerdas iguales equidistan del centro y, B recíprocamente, cuerdas equidistantes del centro son iguales; P O entonces la distancia OM del centro de la circunferencia al punto medio de la cuerda es … Por tanto ..

18. Dado un triángulo ABC, se construyen: el simétrico de A respecto de B, el simétrico de B respecto de C y el simétrico de C respecto de A. Si el área de ABC vale s, hallar el área de s’.

Indicación

A'

C

1

D

C

2

A

B B'

A

B

C' D

Sean A’, B’, C’ los simétricos de A, B, C. Compara las áreas de los triángulos 1 y ABC; las de los triángulos 1 y 2. Deduce la relación de las áreas de ACA’ y ABC. Análogamente para los triángulos BA’B’ y CB’C’.

Entonces se deduce la relación entre las áreas de ABC y A’B’C’.

19. Sea ABC un triángulo rectángulo en A. H es el pie de la altura desde A. Demostrar que la suma de los radios de los círculos inscritos en los triángulos ABC, ABH y ACH es AH. Indicación Expresa los radios de los círculos inscritos en los tres triángulos en función de los lados y súmalos.

20. Dada una recta r y dos puntos A y B a distinto lado de r, hallar el camino mínimo para ir de A a B. Indicación Traza el simétrico A’ de A respecto de r; une A’ con B, …

21. Un punto X, tomado en la hipotenusa de un triángulo rectángulo, se proyecta ortogonalmente sobre los catetos en M y N. Determinar la posición del punto X y la longitud del segmento MN cuando ésta sea mínima.

Indicación La figura AMXN es un rectángulo, cuyas diagonales son iguales.

22. En el cuadrilátero ABCD, las diagonales AC y BD se cortan en O. OB = 4, OD = 6, OA = 8, OC = 3 y AB = 6. Hallar AD. Indicación Dibuja el cuadrilátero y observa que OAOC  OB OD  24 , luego los puntos son concíclicos.

Hay dos pares de triángulos semejantes, lo que permite obtener la longitud del lado CD y el BC en función del AD. Aplica después el teorema de PTOLOMEO.  23. Sea ABCD un cuadrilátero cuyas diagonales se cortan en O. Los triángulos AOB, BOC y COD tienen áreas 1, 2 y 3, respectivamente. Hallar el área del triángulo AOD y probar que el cuadrilátero ABCD es un trapecio.

Indicación Las áreas de dos triángulos con la misma altura son proporcionales a las bases.

24. Sea ABCD un trapecio de bases AB y CD, tal que el ángulo BAD es recto. Dos circunferencias de diámetros AB y CD se cortan en los puntos P y Q. La recta PQ corta al lado AD en M. Demostrar que M es el punto medio de AD. Indicación Halla la potencia de M respecto de una y otra circunferencia.

25. Un trapecio isósceles tiene sus diagonales perpendiculares. Hallar el área del trapecio en función de las bases.

Indicación Si las diagonales son perpendiculares y el trapecio es isósceles, hay dos triángulos rectángulos isósceles.

26. Las tres mediatrices de un triángulo lo dividen en seis triángulos equivalentes.

Indicación Ten cuenta que cada mediatriz divide a un triángulo en dos equivalentes, 27. Aplica el teorema de CEVA para demostrar la concurrencia de las medianas, de las bisectrices y de las alturas de un triángulo.

28. Demostrar que en un triángulo se verifica: si r es una recta que pasa por su baricentro y no pasa por ningún vértice, la suma de las distancias a dicha recta de los vértices que quedan en un mismo semiplano es igual a la distancia del tercer vértice a dicha recta.

Indicación

A

B' B

M'

A'

C' r

Debes tener en cuenta que BCC’B’ es un trapecio, aplicar una semejanza de triángulos y considerar la propiedad del baricentro de un triángulo.

G M

C

29. Si dos de las alturas de un triángulo miden 6 y 12, demostrar que la longitud de la tercera altura es mayor que 4.

(Calendario Editorial S.M. 30-9-2.010)

D

Indicación

P

Q

Si las alturas 6,12 y h se corresponden con los lados a,b y c respectivamente,

6a 12b hc despeja a   2 2 2

y b y ten en cuenta que un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos.