All irreducible faithful representations of the finite abelian group

Mathematical Computation

September 2014, Volume 3, Issue 3, PP.105-111

All Irreducible Faithful Representations of the Finite Abelian Group Ruishan Liu # School of Mathematics and System Sciences, Beihang University, 100191, Beijing #Email: 583389694@qq.com

Abstract be the complex field, G be a finite group. Every

Let

G  module can be written as a direct sum of irreducible

G  modules,

so it allows us just to concentrate on the irreducible representation. Moreover, it is known that the faithful representation of a group can reveal important properties of the group. Therefore, it is meaningful to obtain all irreducible faithful representations. However, it is not easy to get all irreducible faithful representations in general. For all finite abelian groups G , we give all irreducible faithful representations of G in this paper.

Keywords: Finite Abelian Group; Irreducible Representation; Faithful Representation; Cycle Group

有限阿贝尔群的所有不可约忠实表示 刘瑞珊 北京航空航天大学，北京 100191 摘

要：令

为复数域, G 为有限群。由于每个

G  模可以写成不可约 G  模的直和，于是对表示的研究实际转化

成了对不可约表示的研究。而群的忠实表示可以比较好地体现原有群的性质，所以，对于给定的群，找出该群所有不可 约忠实表示是很有意义的。而对于一般有限群来说，找出其所有不可约忠实表示并不容易。本文我们给出了有限阿贝尔 群 G 的所有不可约忠实表示。 关键词：有限阿贝尔群；不可约表示；忠实表示；循环群

引言 群 表 示 论 是 借 用 具 体 的 矩 阵 描 述 群 的 理 论 ， 在 19 世 纪 末 和 20 世 纪 初 它 由 F.G.Frobenius W.Burnside

[ 2]

[1]

和

独立开创，而 Frobenius 的工作则由 I.Schur 所改善和简化。群表示理论是研究群的有力的工具

之一。举一个简单的例子，阶数为 p 2 ( p 是素数)的群都是阿贝尔群，这个结论可以通过群的知识得到 [3] , 但 是它也是在表示理论下的一个直接的结果 [ 4] . 将群表示论应用于有限群的研究，最早的最著名的结果是 Burnside 定理：阶为 p a q b ( p, q 是素数)的群是可解群。近年来这个定理虽已有了抽象群论的证明 [5] , 但是最简 捷的证明是由 Burnside 在群表示理论中给出的 [ 4] . 另外，群表示理论在物理学和化学中也有很好的应用。 令

为复数域, G 为有限群。由于每个 G  模可以写成不可约 G  模的直和，那么对于表示的研究就

转化成了不可约表示的研究，而忠实表示，顾名思义，可以较好地体现原有群的性质，所以，给定一个群， 找出这个群所有的不可约的忠实表示是很有意义的。而对于一般的群来说，找出该群的所有不可约忠实表示 并非易事。本文中我们给出有限阿贝尔群的所有不可约忠实表示。我们首先找出了这个群的所有不可约表 示，然后我们再在这些不可约的表示中找出了忠实表示。最后我们举了几个具体的例子。

1

预备知识

1.1 n 个自然数的积和最小公倍数、最大公约数的关系 [6] .

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已知 a1 , a2 ,..., an 是 n 个自然数( n  2 ), 记 a1 , a2 ,..., an 的最小公倍数是  a1 , a2 ,..., an  , M n  k 表示 a1( k ) ,..., an( k ) 中所 有 n  k 个数的最大公约数的乘积, M i , n  k 表示 a1( k ) ,..., an( k ) 中所有包含 ai( k ) 的 n  k 个数的最大公约数的乘积,

k  0,1,..., n  1, i  1, 2,..., n. 其中 (k ) i

a

k 0;

ai ,    ai( k 1) , M  i , n  k 1

k  1, 2..., n  1.

那么

[a1 ,..., an ] 

M

n 1 n

a1   an .  M nn12  ...  M 2

1.2 欧拉函数  (n)[3] . 设 n 为一正整数，在 0,1,..., n  1 中与 n 互素的整数的个数记作  (n) , 叫做欧拉函数。

1.3 群 G 的中心 Z (G )[ 4] .

Z (G )  {z  G : zg  gz g  G} 是群 G 的中心。显然有 Z (G ) 是 G 的一个子群。

1.4 循环群 [3] . 设 G 是一个群，若在 G 中存在一个元素 a 使得 G 中的任意元素都是 a 的幂，则称该群是循环群，元素 a 称为循环群 G 的生成元，记 G   a. 定理：若循环群 G 是 n 阶群，则 G 的子群的阶是 n 的因子，对于 n 的每个正因子 d , 在 G 中有且仅有一个 d 阶子群。

1.5 群的直积 [7] . 设 G1 , G2 是群，构造集合 G1 , G2 的卡氏积

G  {(a1 , a2 ) | a1  G1 , a2  G2 }. 并在 G 中定义乘法运算

(a1 , a2 )  (b1 , b2 )  (a1b1 , a2 b2 ), 其中 (a1 , a2 ), (b1 , b2 )  G. 那么 G 关于上述定义的乘法构成群，称为 G1 , G2 的外直积，记作 G  G1  G2 . 定理 0: 设 G1 和 G2 是群, a 和 b 分别是 G1 和 G2 中的有限阶元素，则对于 (a, b)  G1  G2 来说有

ord ((a, b))  [ord (a), ord (b)]. 定理 0' ：每个有限的阿贝尔群都同构于循环群的直积。也就是说, G 是任意一个有限的阿贝尔群，那么存在 正整数 r 使得

G  Cn  Cn  ...  Cn .

1

2

r

(其中 Cni 是 ni 阶循环群, i  1, 2,..., r )

1.6 群表示 [ 4] . 设 G 是一个群, F 

或F 

, 那么 G 在 F 上的一个表示是指从 G 到一般线性群 GL(n, F ) 的一个同态

 . 其中 n 表示  的度。

1.7 不可约表示 [ 4] .

- 106 www.ivypub.org/mc

给定一个表示  : G  GL(n, F ), 如果由 vg  v( g  ), (v  F n , g  G ) 定义的相应的 FG  模 F n 是不可约 的，那么我们就说这个表示  : G  GL(n, F ) 是不可约的。 定理 0" : 令 G 是有限阿贝尔群 Cn1  Cn2  ...  Cnr . 那么表示 1 ,..., r : g1i1 进一步，有 | G | 个这样的表示，每个 G 在

g ri  1i r

1

ri 是不可约的并且度是 1. 更 r

上的不可约表示都与且仅与这样的表示中的一个等价。

(其中 gi  (1,..., ci ,...,1) (第 i 个位置上是 ci ,其它 r  1 个位置上都是 1), ci 是 Cni 的生成元, i 是 1 的 ni 次根,

i  1,..., r )

1.8 忠实表示 [ 4] . 给定一个表示  : G  GL(n, F ), 如果 Ker   {1}, 那么我们就说这个表示是忠实表示。也就是说, G 的单 位元是唯一一个使得 g   I n 成立的元素 g . 命题 0: 如果群 G 存在一个不可约忠实表示，那么 Z (G ) 是循环群。

2

有限阿贝尔群的所有不可约忠实表示 令 G 是有限阿贝尔群，我们要求出它的所有不可约忠实表示。根据上面预备知识 7 中的定理我们已经找

到了 G 在

上的所有的不可约表示。我们下面要从这些不可约表示中找出忠实表示，我们对 r 的值进行讨

论：

2.1 当 r  1 , 即 G  Cn   a : a n  1 , 令   e2 i / n , 那么我们知道 n 个 G 在 上的不可约表示  , j  0,1,..., n  1 是： j

a k    jk , k  0,1,..., n  1. j

下面我们先来证明一个命题。 命题 1  j 是忠实表示当且仅当 gcd (n, j )  1. 其中 j  0,1,..., n  1. 证明： 必要性：若  j 是忠实表示，往证 gcd (n, j )  1. 我们采用反证法，假设 gcd (n, j )  d  1. 因为  j 是忠实表 示，所以  jk  1 可以推出 a k  1, 即 k  0. 又由  jk  1 我们有 n | jk . 如果我们取 k  n / d 则满足 n | jk , 与忠实 表示矛盾。假设不成立，所以 gcd (n, j )  1. 充 分 性 ： 若 gcd (n, j )  1. 往 证  j 是 忠 实 表 示 。 由  jk  1 我 们 有 n | jk , 又 gcd (n, j )  1, 所 以 n | k , 又

k  0,1,..., n  1, 所以 k  0. 可以推出 a k  1. 即  j 是忠实表示。证毕。 综上所述，有  (n) 个不可约忠实表示(  (n) 是欧拉函数), 并且我们可以写出这  (n) 个不可约忠实表示， 即在已知的不可约表示中取 j 满足 j  0,1,..., n  1 且 gcd (n, j )  1 即可。 下面我们来举一个例子来说明。 例 1.写出 C6   a : a 6  1 的所有的不可约的忠实表示。 解：在 j  0,1,...,5 中满足 gcd (6, j )  1 的 j 是 j  1,5. 所以有两个不可约忠实表示。设   e 2 i / 6 , 那么这两个不 可约忠实表示是

a k 1   k , 0  k  5; a k  2   5 k , 0  k  5.

2.2 当 r  2 时，即 G  Cn  Cn , 为了求出不可约忠实表示，我们先来证明一个定理。 1

2

定理 1 假设 m, n 是正整数，那么 Cn  Cm 是循环群当且仅当 gcd (n, m)  1. 证明：假设 Cn   a , Cm  b. 必 要 性 ： 若 Cn  Cm 是 循 环 群 ， 往 证 gcd (n, m)  1. 我 们 采 用 反 证 法 ， 假 设 gcd (n, m)  d  1. 由 于

ord (a)  n, ord (b)  m, 所以 a n / d 和 b m / d 都是阶为 d 的元素，所以  (a n / d , e2 ) 和  (e1 , b m / d ) 是循环群 Cn  Cm 的两 - 107 www.ivypub.org/mc

个不同的 d 阶子群，矛盾。所以 gcd (n, m)  1. 充分性：若 gcd (n, m)  1. 那么

ord ((a, b))  [n, m] 

nm  nm | Cn |  | Cm || Cn  Cm | gcd (n, m)

所以 (a, b) 是 Cn  Cm 的生成元，因此 Cn  Cm 是循环群。证毕。 因为 G 是有限阿贝尔群，那么 G  Z (G ). 所以由预备知识 8 中的定理可得如果 G 不是循环群，那么不存 在不可约忠实表示。 为了找出不可约忠实表示我们分两种情况讨论： 情况一： 如果 gcd (n1 , n2 )  1 , 那么 G  Cn1  Cn2 是循环群 Cn1  n2 , 它的生成元是 (a, b) , 其中 Cn1   a , Cn2  b. 归到

r  1 的情况( n  n1  n2 ). 情况二： 如果 gcd (n1 , n2 )  1 , 那么 G  Cn1  Cn2 不是循环群，所以不存在不可约忠实表示。 下面我们来举两个例子来说明。 例 2. 写出 C2  C3 的所有的不可约忠实表示。 解：因为 gcd (2,3)  1, 所以 C2  C3  C6 . 归到 r  1 的情况。在例 1 中我们已经给出了 C6 的所有的不可约忠实 表示。 例 2' . 写出 C2  C2 的所有的不可约忠实表示。 解：由预备知识 7 中的定理可以知道一共有 4 个不可约的表示如下： 1 : g1i1 g 2i2 1;

 2 : g1i g 2i 3 : g1i g 2i  4 : g1i g 2i

(1)i  i .

1

2

(1)i ;

1

2

(1)i ;

1

2

1

2

1

2

其中 i1 , i2  0,1. 由忠实表示的定义很容易的得到这四个不可约表示没有一个是忠实表示。所以不存在 C2  C2 的不可约的忠实表示，验证了前面的论证。

2.3 当 r  r 时，即 G  Cn  Cn  ...  Cn . 为了求出不可约真表示，我们先来证明两个定理。 1

定 理

2

2

r

设 G1 , G2 ,..., Gr 是 群 , a1 , a2 ,..., ar 分 别 是 G1 , G2 ,..., Gr 中 的 有 限 阶 元 素 ， 则 对 于

(a1 , a2 ,..., ar )  G1  G2  ...  Gr 来说有 ord ((a1 , a2 ,..., ar ))  [ord (a1 ), ord (a2 ),..., ord (ar )]. 证明：设

ord (ai )  ni , i  1,..., r ,

s  [n1 ,..., nr ], ord ((a1 ,..., ar ))  t

那么 (a1 ,..., ar )  (a ,..., a )  (e1 ,..., er ), 所以 t | s. 又 (e1 ,..., er )  (a1 ,..., ar )t  (a1t ,..., art ), 所以 ait  ei , i  1,..., r. 所以 s

s 1

s r

ni | t , i  1,..., r. 所以 s | t. 所以 s  t. 证毕。 在证明定理 3 之前我们先证明一个引理。 引理 如果 n1 ,.., nr 两两互素，那么

M r  M r 1  ...  M 2  1. (其中 M n , n  1, 2,..., r 的定义同预备知识 1 中的定义). 证明：因为 n1 ,.., nr 两两互素，所以 n1 ,.., nr 中任意两个及两个以上的元素的最大公约数是 1.

M r  gcd (n1(0) ,..., nr(0) )  gcd (n1 ,..., nr )  1, M r 1 是 n1(1) ,..., nr(1) 中 所 有 的 r  1 个 数 的 最 大 公 约 数 的 乘 积 。 而 n ni(1)  i , i  1,..., r. 而 M i , r 是 n1(0) ,.., nr(0) 中所有包含 ni 的 r 个数的最大公约数的乘积，即 gcd (n1 ,.., nr ) 它为 1, M i,r - 108 www.ivypub.org/mc

所以 ni(1)  ni , i  1,..., r. 所以 M r 1  1. 我们想要证明 ni( k )  ni , i  1,..., r , k  0,..., r  1. 对 k 应用数学归纳法，已证

k  1 的情况，假设 k  1 时结论成立，那么 ni( k 1)  ni , i  1,..., r. 则 n( k 1) ni ni( k )  i  .

M i , r  k 1 M i , r  k 1 其 中 M i , r  k 1 是 n1( k 1) ,.., nr( k 1) 中 所 有 包 含 nik 1 的 r  k  1 个 数 的 最 大 公 约 数 的 乘 积 ， 而 由 假 设 知 道

ni( k 1)  ni , i  1,..., r. 所以 n1( k 1) ,.., nr( k 1) 中所有包含 nik 1 的 r  k  1 个数的最大公约数是 1. 所以 M i , r  k 1  1. 所以 ni( k )  ni , i  1,..., r. 所以 M r  k 是 n1( k ) ,..., nr( k ) 中所有的 r  k 个数的最大公约数的乘积，其中 k  0,1,..., r  2. 由前 面讨论可得 M r  k  1.k  0,1,..., r  2. 即 M r  M r 1  ...  M 2  1. 证毕。 定理 3 Cn1  Cn2  ...  Cnr 是循环群当且仅当 M rr 1  M rr12 

 M 2  1.

证明：假设 Cni   ai  , i  1,..., r. 必 要 性 ： 已 知 Cn1  Cn2  ...  Cnr 是 循 环 群 ， 我 们 想 要 证 明 n1 ,.., nr 两 两 互 素 。 反 证 ， 假 设 存 在 正 整 数

1  i  j  r 使 得 gcd (ni , n j )  d  1. 那 么 ain / d , a j

nj /d

i

 (e1 ,...ei ,..., a j

nj /d

都 是 阶 为 d 的 元 素 ， 所 以  (e1 ,..., aini / d ,...e j ,..., er ) 和

,..., er ) 是循环群 Cn  Cn  ...  Cn 的 2 个不同的 d 阶子群，矛盾。所以 n1 ,.., nr 两两互素。由引 1

2

r

理可以知道 M r  M r 1  ...  M 2  1. 显然有 M rr 1  M rr12 

M

 M 2  1.

 M 2  1. 那么 n  n ord ((a1 ,..., ar ))  [n1 ,..., nr ]  r 1 1 r  2 r  n1   nr | Cn |   | Cn || Cn  Cn  ...  Cn | , M r  M r 1  ...  M 2 所以 (a1 ,..., ar ) 是 Cn  Cn  ...  Cn 的生成元，因此 Cn  Cn  ...  Cn 是循环群。证毕。 充分性：若 M

r 1 r

r 2 r 1



1

1

2

1

r

2

r

1

2

r

r

为了求出不可约忠实表示我们分两种情况讨论： 情况一： 如 果 M rr 1  M rr12 

 M 2  1 , 那 么 Cn  Cn  ...  Cn 是 循 环 群 Cn  1

Cn   ai  , i  1,..., r. 归到 r  1 的情况( n  n1  i

2

r

1

 nr

, 它 的 生 成 元 是 (a1 ,..., ar ) , 其 中

 nr ).

情况二： 如果 M rr 1  M rr12 

 M 2  1 , 那么 Cn  Cn  ...  Cn 不是循环群，所以不存在不可约忠实表示。 1

2

r

下面我们来举两个例子来说明。 例 3. 写出 C2  C3  C5 的所有的不可约忠实表示。 解: n1  2, n2  3, n3  5. 因为 n1 , n2 , n3 两两互素所以 M 32  M 2  1. 所以 C2  C3  C5 是循环群 C30 . 归到 r  1 的情 况。设 C30   a : a 30  1 ,   e 2 i / 30 . 在 j  0,1,..., 29 中满足 gcd (30, j )  1 的 j 是 j  1, 7,11,13,17,19, 23, 29. 所以有 8 个不可约忠实表示。那么这 8 个不可约忠实表示是 a k 1   k , 0  k  29;

a k  2   7 k , 0  k  29; a k 3   11k , 0  k  29; a k  4   13k , 0  k  29; a k 5   17 k , 0  k  29; a k 6   19 k , 0  k  29; a k 7   23k , 0  k  29; a k 8   29 k , 0  k  29. 例 3' . 写出 C2  C2  C2 的所有的不可约忠实表示。 解: n1  2, n2  2, n3  2. 因为 M 3  gcd (2, 2, 2)  2, 并且有 2 2 2 2 2 2 2(1)    1; 2(1)    1; 2(1)    1.

M 1,3 M 3 M 2,3 M 3 M 3,3 M 3 所以 - 109 www.ivypub.org/mc

M 2  gcd (2(1) , 2(1) )  gcd (2(1) , 2(1) )  gcd (2(1) , 2(1) )  1  1  1  1. 所以 M 32  M 2  22  1  4  1. 而这 8 个不可约的表示如下：

1 : g1i g 2i g3i

1;

2 : g g g

(1)i ;

1

i1 1

3

2

i2 2

i3 3

1

3 : g1i g 2i g3i

3

(1)i ;

 4 : g1i g 2i g3i

(1)i ;

5 : g1i g 2i g3i

3

(1)i  i ;

6 : g1i g 2i g3i

(1)i  i ;

7 : g1i g 2i g3i

3

(1)i

8 : g g g

i3 3

(1)

1

1

1

1

1

i1 1

2

2

2

2

2

i2 2

3

3

2

3

1

1

2

3

2  i3

;

i1  i2  i3

.

其中 i1 , i2 , i3  0,1. 由忠实表示的定义很容易的得到这 8 个不可约表示没有一个是忠实表示。所以不存在

C2  C2  C2 的不可约的忠实表示，验证了前面的论证。

3

结论 由于每个 G  模可以写成不可约 G  模的直和，那么对于表示的研究就转化成了不可约表示的研究，

而忠实表示，顾名思义，可以较好地体现原有群的性质。所以，给定一个群，找出这个群所有的不可约的忠 实表示是有重大意义的，它可以帮助我们更好地研究原有群的性质。而对于一般的群来说，找出这个群的所 有的不可约的忠实表示并非易事。现在我们给出阿贝尔群的所有的不可约的忠实表示，我们首先找出了这个 群的所有的不可约的表示，然后我们在这些不可约的表示中找出了忠实表示。最后我们用几个例子来说明我 们的论证。我们的讨论是有意义的，这为我们以后对群表示的研究奠定了坚实的基础。

致谢 历时几个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和 老师的帮助下度过了。尤其要强烈感谢我的导师，他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行 论文的修改和改进。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮 助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！ 感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果 的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。 由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学者批评和指正！

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【作者简介】 刘瑞珊（1990-），女，汉族，硕士在读，研究方向是代数学及其应用，2013 年毕业于东北林业大学理 学院数学与应用数学专业，现在在北京航空航天大学数学与系统科学学院攻读硕士学位。 Email:583389694@qq.com

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