Complexity computation of two dimensional graphics and complexity analysis of leaf contour

Mathematical Computation September 2014, Volume 3, Issue 3, PP.89-95

Complexity Computation of Two-dimensional Graphics and Complexity Analysis of Leaf Contour Ailing He 1, Lijia Wang 1, Jingxin Guo 1, Hongjun Li 1, 2, # 1. College of Science, Beijing Forestry University, Beijing 100083, China 2. NLPR-LIAMA, CASIA, Beijing 100190, China #Email: lihongjun69@bjfu.edu.cn

Abstract Graphic complexity is a kind of quantitative expression of complexity of a graph. It has been widely applied in such field as graphical analysis, identification, and shape analysis. In this paper, graphic complexity is defined as the standard deviation of distance series in every direction, and according to this definition a new method called Standard Deviation of Distance (SDD) is proposed. Under the method which is rotation invariant, all the complexity of two-dimensional graphics can be calculated. Some experiment results show that the order according to graphical complexity estimated by SDD is approximately the same as that obtained by an user study.

Furthermore, we applied this new method to analyze the contour of tomato leaves, and the results draw a statistical conclusion and show that it can be well popularized to the study of plant leaves.

Keywords: Graphic Complexity, Standard Deviation of Distance, Leaf Contour Complexity

二维图形复杂度计算与叶片轮廓复杂性分析* 何爱玲 1，王力加 1，郭晶鑫 1，李红军 1, 2 1. 北京林业大学理学院，北京 100083 2. 中国科学院自动化研究所，模式识别国家重点实验室, 北京 100190 摘

要：图形复杂度是对图形复杂程度的一种量化表达，在图形分析、分类、形状分析等方面都有广泛应用。本文基于

统计方法将图形复杂度定义为各向距离数列的标准差，称为各向距离标准差法。根据该方法可以计算出各种二维图形的 复杂度。各向距离标准差法具有旋转不变性。各向距离标准差法对常见图形的排序结果与用户调查排序结果基本一致， 体现了各向距离标准差法的实用价值。此外，以番茄叶片轮廓线为例，进行叶轮廓线的复杂性分析，得到番茄叶片轮廓 复杂性的统计性结论，供植物叶片相关研究参考。 关键词：图形复杂度, 各向距离标准差, 叶片轮廓复杂性

引言 复杂是一个广为人知却又难以定量描述的一个客观存在的事物或事物的内在特征。图形复杂度是对一 个图形复杂程度的度量，关于图形复杂度目前还没有一个统一的定量描述。人们直觉上往往从图形的形 状，面积，轮廓线以及自身的熟悉程度来感受图形的复杂度。越光滑和越充实的形状越不复杂，平滑的轮 廓线及较小的周长较大的面积是图形光滑而充实的表现。余英林等人提出的有关图形复杂度的论断被广泛 接受，即描述给定图案形状所需的独立的不相关参数越多，每个参数可能采取的状态越多，该图形就越复 杂反之就越简单[1]。Toussaint 提出一种基于多边形三角剖分的方法[2]。在文献[3]中，一种基于弯度的方法被 *基金资助：受国家"863"计划支持资助(2013AA102305);受北京市大学生创新创业项目支持资助(S1310022040)。

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提出，而在文献[4]中，基于物体轮廓曲率的熵的方法被提出。近几年，图形复杂度理论和方法被应用于计算 机视觉[4]、地理信息系统[5]、神经结构分析[6]以及心理学[7]等众多领域，以解决图形分析、分类、形状分析 等方面的问题。 本文基于统计方法提出一种称为各向距离标准差法的图形复杂度定义。根据该方法可以计算出各种二 维图形的复杂度，并将这个计算结果与用户调查结果相比较，验证各向距离标准差法的可行性。此外，把 各向距离标准差法的复杂度计算结果与目前常用的周长面积比方法进行对比。最后，将图形复杂度计算应 用到叶片轮廓曲线的复杂性分析。

1

各向距离标准差图形复杂度定义与计算

1.1 各向距离标准差图形复杂度的定义 设平面曲线 S 的方程为 f ( x, y)  0 ，重心为点 P 0 ( x0 , y0 ) 。称曲线 S 上各点到重心的距离的标准差为曲线 S 的图形复杂度 C，即 C  Var (d ) 

1 2  (d  d0 ) ds L S

(1)

其中，各点到重心的距离

d  ( x  x0 )2  ( y  y0 )2 , 距离变量的均值为 d0 

1 2 2  ( x  x0 )  ( y  y0 ) ds , L S

曲线长度为

L  s ds 我们把公式(1)称为基于各向距离标准差的图形复杂度，记为 SDD 法，显然，这个图形复杂度计算具有 旋转不变性和缩放不变性。根据这个定义，容易计算解析曲线的图形复杂度，比如圆的复杂度为 0；半长轴 为 2，半短轴为 1 的椭圆的复杂度约为 0.35。但是，对于不知道解析形式的一般离散曲线，则需要把公式(1) 进行转化，设计出基于各向距离标准差的图形复杂度离散形式的计算方法。

1.2 各向距离标准差图形复杂度离散形式计算 对于以图片形式给出的图形，利用画图板生成一张正方形空白图片，找出图片的中心点 A，用 n 条过图 片中心的直线将图片等分为 2n 等份，如图 1(a)，称为模板。设另一张图片上画有一个任意图形 Γ（以三角形 为例），图形 Γ 中心为 B 点，如图 1(b)，把图片缩放为与模板相同的尺寸。各向距离标准差法就是固定模板 的中心，平移图形使得图形中心点与模板中心点重合，此时图形与模板的交点到中心点 A 的距离的标准差即 为图形 Γ 的复杂度。

(a) 模板示意图

图 1 离散各向距离标准差计算模板与图形示意图 - 90 www.ivypub.org/mc

(b) 图形示意图

根据上述策略和公式(1)，运用离散形式的各向距离标准差计算图形复杂度的主要步骤为： Step 1：输入模板和图形，二值化后为 0-1 矩阵，分别记为 M11 ， M12 ，两个图的中心分别为 A( x0 , y0 ) , B( x1 , y1 ) ；

Step 2：计算中心偏差 e  ( x1  x0 , y1  y0 ) ； Step 3：使 B 与 A 重合生成配准矩阵 M13 = M12 + e ； Step 4：计算模板与图形的交点矩阵 M14  M11  M13 ，其中  为矩阵对应元素析取运算； Step 5：计算图形复杂度，其中 H ={ (i, j ) | M14 (i, j ) =0 } C  Var (

(i  x0 )2  ( j  y 0 )2

 (i  x0 )2  ( j  y 0 )2

) ,对 (i, j )  H

(2)

上述过程中的线段数 n 是由用户根据应用问题的精度要求设定，图形越复杂，精度要求越高，则 n 可以 取较大的正整数，反之亦然。我们的实验中，n 为 8 时，区分度实验效果已经比较好。

1.3 基于周长面积比的图形复杂度快速计算 根据图形复杂度的初步定义，简单的图形，复杂度低，具有光滑和充实的特点。对于给定的几何图 形，周长面积比法可以在某种程度上度量和刻画这种复杂度[8]。在平面图形中，圆有最低的复杂度，将它的 复杂度定为 0。以图形周长和面积为尺度，度量不同形状的复杂度，测得所要计算复杂度的形状的面积 S 和 周长 L，利用如下公式进行图形复杂度的计算：

C 1

S 4 S 1 2 L 2 L ( ) 2

(3)

式(3)中，C 表示图形复杂度，而周长为 L 的圆的面积为  L 2 /(4 2 )  L2 / (4 ) 。根据公式(3)，可以计算 出，圆的复杂度为 0；半长轴为 a ，半短轴为 b 椭圆的复杂度为 C  1  4 2 ab / (2 b  4(a  b))2 . 公式(3)所定义的方法称为周长面积比方法，记为 A/S 法。从公式(3)可以得出：若图形周长越大而面积 越小，则该图形就越复杂。

1.4 图形复杂度计算比较 1.4.1

不同计算方法的复杂度计算结果比较 表 1. 两种图形复杂度算法的图形复杂度排序比较

A/S 序 A/S 复杂度

0.2514

0.2604

0.4545

0.5532

0.7628

0.7924

0.0080

0.0146

0.0144

0.0164

0.0238

0.026

SDD 序 SDD 复杂度

把我们提出的各向距离标准差定义的图形复杂度方法与周长面积比(A/S)方法进行比较。实验采用 6 个 比较常见的图形，按各向距离标准差法和 A/S 面积法分别求其相应的复杂度。从表 1 可以看出，两种度量方 法关于图形排序大致相同。但是，A/S 面积法中的第 4 个（四角星）和第 6 个图形（爆炸图），与各向距离 标准差(SDD)方法中排序有差异。由于各向距离标准差法所计算的是离中心距离的标准差，而爆炸形近似于 - 91 www.ivypub.org/mc

圆，所以计算出来的复杂度比较小，反而四角星的复杂度偏大。 1.4.2

图形认知复杂度与 SDD 排序结果比较

图形复杂度作为一种即有物理特征又有心理特征的复杂参数，不仅与图形本身的一些性质有关，而且 还在很大程度上取决于人的认知心理。一般认为，对图片越熟悉，图形复杂度越小。我们在网上做了一次 关于图形复杂度的问卷调查，以便对比本文提出的各向距离标准差复杂度排序与人们主观认知判断的差 异。 问卷调查以单选题的方式列出了三角形、圆形、矩形、多边形、五角星、爆炸形等 18 个图形，采用成 对比较的方式，要求被调查者选出两个图形中较为简单的图形。把调查结果进行求和得到的排序结果见表 2 的前 3 行。各向距离标准差(SDD)复杂度值及排序结果列于表 2 的下端的 3 行。 表 2.各向距离标准差法图形复杂度与用户排序

调查结果

0.003

0.0055

0.0068

0.0080

0.014

0.0142

0.0144

0.0146

0.0179

0.0213

0.0238

0.0256

0.0088

0.0123

0.0164

0.0169

0.026

0.0287

SDD 序/复杂 度

从表 2 的整体看，各向距离标准差法的对图形排序结果是与用户调查基本相符的。首先，表 2 中的正六 边形、正五边形、正方形、矩形、菱形作为用户比较熟悉且有中心对称的图形，显然各向距离标准差法排 序结果与调查问卷一致。而五角星、四角星作为不太常见但又是中心对称的图形，两种排序结果也一致。 表 2 中的三角形类分为锐角等腰三角形、钝角三角形和直角三角形，是用户所熟悉的，所以在用户调查中， 三角形类的排序整体相对于各向距离标准差法比较靠前。表 2 中的爆炸形作为一种用户不太熟悉且形状奇怪 的图形，用户很显然会将其排在最后，这与人的常规思维是相符的,但是，爆炸形边缘各点到中心点地距离 波动并不大且有一定的对称性，因此根据本文提出的复杂度计算方法得出的复杂度并不高。而对于剩下的 不规则的图形排序几乎和用户调查结果一致，只是这些图形分散排在前面所说的图形中间，但这并不影响 整体的结果。

2

叶片轮廓复杂度计算实验 植物叶片是植物的重要器官，是研究植物生长状况、生物量计算、蒸腾量和探索植物间的亲缘关系等 - 92 www.ivypub.org/mc

问题的重要依据。叶子的外轮廓和脉络分布是它的两个主要形态特征，不同叶片的外轮廓一般是不一样 的，所以本文尝试对叶片轮廓复杂性进行分析。

2.1 不同种类叶片的复杂性计算 首先用边缘检测的方法提取出叶片的外轮廓。然后将图片通过阈值变换进行二值化处理。最后用各向 距离标准差法计算外轮廓的图形复杂度，以外轮廓的图形复杂度值来区分不同的叶片。图 2 中展示了枫叶、 美国皂荚、银杏叶、香樟叶等四种不同叶脉外轮廓及其复杂度计算结果。从复杂度的差异性可以看出通过 各向距离标准差法计算叶片轮廓图形复杂度有助于区分叶片轮廓类型。

枫叶/0.0031

美国皂荚/0.0083

银杏叶/0.0099

香樟叶/0.079

图 2.不同叶片的外轮廓及叶片图形复杂度

2.2 同种类叶片的复杂性统计分析

图 3. 番茄叶片轮廓复杂度的正态分布检验

以番茄叶片为例进行统计分析。从互联网下载了 107 片不同的番茄叶，由各向距离标准差法计算得到了 这些番茄叶片轮廓的复杂度：0.0092，0.0076，0.0095，0.0077，0.0075，0.0069，0.0077， 0.0097，0.0087， 0.0050，0.0069，0.0052，0.0079，0.0077，0.0070，0.0080，0.0094， 0.0095，0.0066，0.0065，0.0055， 0.0078，0.0073，0.0091，0.0067，0.0089，0.0079， 0.0103，0.0076，0.0069，0.0025，0.0092，0.0050， 0.0035，0.0111，0.0101，0.0076， 0.0066，0.0091，0.0089，0.0095，0.0068，0.0085，0.0108，0.0085， 0.0081，0.0046， 0.0102，0.0111，0.0075，0.0113，0.0104，0.0089，0.0098，0.0107，0.0088，0.0100， 0.0105，0.0112，0.0101，0.0109，0.0110，0.0112，0.0074，0.0069，0.0083，0.0075，0.0082，0.0120， 0.0054，0.0064，0.0110，0.0074，0.0072，0.0084，0.0078，0.0088，0.0069，0.0087，0.0073，0.0108， 0.0104，0.0091，0.0104，0.0082，0.0105，0.0107，0.0052，0.0095，0.0054，0.0054，0.0081，0.0097， 0.0081，0.0080，0.0083，0.0097，0.0061，0.0068，0.0086，0.0064，0.0060，0.0052，0.0093，0.0098， 0.0092，0.0110。 - 93 www.ivypub.org/mc

利用正态分布概率图进行初步的正态分布检验，每一个样本观测值对应图上一个’+’号，图 3 中给出了 一条红色参考线，若图中的’+’都集中在这条红色参考线附近，说明样本数据近似服从正态分布，偏离参考 线的’+’号越多，说明样本观测数据越不服从正态分布，可以看出，番茄叶片的复杂度数据近似服从正态分 布。 采用 Kolmogorov-Smirnov 检验 H0：样本来自正态分布。经计算，得出 h=0，表明 H0 可以接受，即样本 来自正态分布。经计算番茄叶片的轮廓复杂度近似服从正态分布 N(0.0083, 3.6030×10-6)。即番茄叶片的复杂 度近似为 0.0083, 并且这种复杂度的离散程度为 3.6030×10-6, 非常小，说明番茄叶片的复杂度十分集中，计算 结果比较可靠。

结论

3

图形复杂度是与人的认知行为相关的一个对于图形复杂性进行量化度量的一个指标。本文基于统计学 中的标准差指标，提出用各向距离标准差来度量图形复杂度。该方法从 360 度全方向将模板等分，平移图形 使图形中心与模板中心匹配，并求出图形与模板的交点数，计算交点到中心距离的标准差即为图形复杂 度。 我们把新方法用于图形复杂度计算，依据复杂度进行图形排序，分别与周长面积比方法、网络用户调 查排序结果进行对比，得出我们的方法与通常的图形复杂度的认知是一致的。 此外，通过计算不同类别叶片的图形复杂度，表明可以通过复杂度这个指标进行基于叶片轮廓复杂度 的叶片分类或者识别。通过对番茄叶片轮廓进行统计分析，实证结果表明，番茄叶片的轮廓复杂度近似服 从正态分布 N(0.0083, 3.6030×10-6)，轮廓复杂性的方差非常小。 对于图形复杂度的计算问题，各向距离标准差方法也存在一些不足，比如，如何把对称性加以考虑， 这也是后续研究的内容之一。后续研究的工作还包括，利用图形复杂度指标进行自动的图形识别、图像分 析等。

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of

【作者简介】 1

何爱玲（1993- ），女，汉族，数学

与应用数学专业。

2

王力加（1993- ），男，汉族，数学

与应用数学专业。 Email: exxoxy@126.com

Email: ailing_he@163.com

3 郭晶鑫（1994-

），女，汉族，数学与应

用数学专业。 Email: guojingxin605@163.com

4 李红军（1969-

），男，汉族，博士，副

教授，研究方向为：计算几何，计算机图 形学. 通信作者。 Email: lihongjun69@bjfu.edu.cn

- 95 www.ivypub.org/mc