Research on the status of teaching and countermeasures of mathematical analysis

Education Research Frontier September 2013, Volume 3, Issue 3, PP.114-117

Research on the Status of Teaching and Countermeasures of Mathematical Analysis Hui Sun#, Cui’e Xiao, Yingqing Song College of Mathematics and computational Science Hunan City University, Yiyang, Hunan, 413000, China #Email:sunhui4624117@163.com

Abstract Mathematical Analysis, an important foundation course in mathematics, is badly performed in the practical teaching. This article first describes the current problems existing in the classroom teaching of mathematical analysis, and then provides a few countermeasures to reform the classroom teaching from the aspects of teaching methods, teaching practice, teaching assessment, as well as the cultivation of students' creative ability and practical application ability.

Keywords: Mathematical Analysis; Classroom Teaching; Teaching Status; Countermeasures

数学分析的教学现状及对策研究 孙惠，肖翠娥，宋迎清 湖南城市学院 数学与计算科学学院，湖南 益阳 413000 摘 要：数学分析是数学类专业的一门重要专业基础课，但目前该课程的教学存在不少问题。文章阐述了数学分析课堂教 学中存在的现状问题，从教学方法、教学手段、教学实际、教学考核以及学生的创新能力和实际应用能力的培养等几个 方面给出数学分析课堂教学改革的几点对策。 关键词：数学分析；课堂教学；教学现状；对策

引言 数学分析课程是一门面向数学类专业的重要的基础课，也是学好其他后继课程如常微分方程、概率论与 数理统计、复变函数、计算方法等课程必备的基础。它的学习时间跨度大，理论深、内容全、计算多、方法 杂、应用广，包含了众多数学思想和数学方法。作为数学专业最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历 史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。 所以数学分析课程的教学担负着传授知识和培养学生思维能力、创新能力的重任，最终影响着高校数学类专 业人才质量的培养。因此，我们需要认真分析数学分析课堂教学的现状，转变教育观念，积极探索教学方法， 努力进行课堂教学改革，提高课堂教学质量。

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数学分析课堂教学的现状

1.1 教学方法和教学手段单一，学生学习积极性不高，教学效果不理想 数学分析是一门内容抽象、逻辑性很强的专业基础课，加之内容多、时间紧，授课教师一般采用的都是 一支粉笔一块黑板一讲到底，学身特点进行自主、有目的地学习，不同的学生本来学习基础和学习方式就不 一样，课堂上老师一般根据极少生被动接受的教学模式。这种以教师为中心的教学方法使得学生不能根据自 数学生的表情来判断一个内容学生是否听懂，得不到学生准确的学习情况反馈信息，也就不能对教学进行及 基金资助：受湖南省精品课程《数学分析》 ，湖南省教育科学“十二五”规划一般课题(XJK011CGD018)，湖南省教育厅教学

改革研究项目（湘教通[2011]315 号 333）支持资助。 - 114 www.erfrontier.org

时的调整。更严重的是这种注入式教学方法扼杀了学生学习数学分析课程的积极主动性，最终的结果是不但 学生们期末考试的成绩不理想，更严重影响了后续专业课的学习。

1.2 忽视了知识的过渡和衔接，学生很难实现从初等数学到高等数学的转变 从初等数学到高等数学是常量到变量、静态到动态、有限到无限的转变，极限理论贯穿数学分析课程的 始终。而函数、极限包括导数等概念都是中学教材里涉及的，大学新生刚上数学分析课所学习的也基本上是 这几方面的内容，于是部分学生就错误的认为高等数学和中学数学没什么根本的区别。作为传道授业解惑的 老师如果不加以引导、不立足于更高的观点来讲授数学分析课程的话，学生将很难实现从初等数学到高等数 学的转变。许多同学一个学期的数学分析学习下来，对期末考试试卷中的一些原本用数学分析方法很容易解 答的问题却只想着用中学的方法来求解，自然是事倍功半，甚至得到错误的结果。例如求

lim ( n211  n21 2    n21 n ) 很多学生利用极限的加法运算得极限为 0，没有考虑到这是无穷个极限为 0 的 n 数列求和，此时加法运算不适合。其实只要用到数列的迫敛性就会得到结论为 1 而不是 0。

1.3 缺乏对学生的创新性教育 在现行的数学分析课堂教学中，教师大多采用的是灌输式教学，在教学过程中罗列知识，仿佛那些定义、 定理包括习题解答都是“奉天承运皇帝诏曰”从天而降，学生大多是知其然不知其所以然，不能举一反三， 很难对数学产生兴趣更谈不上在数学上的创新了，不能创新也就不能提高。

1.4 现行数学分析课堂教学考核办法存在弊端，不利于优秀学生的挖掘和选拔 在数学分析课程的考核中，通常是期末的闭卷笔试加平时成绩的考试方式。尽管期末考试试题以包括填 空、选择、计算、证明、应用等多种形式进行考查，但在两个小时的考试时间里，考试内容主要集中在基本 知识和基本技能方面；而平时成绩的考核主要看学生到课和完成课后作业情况来定。在这种考核体系下，那 些擅长进行机械学习和死记硬背的学生就很有优势，成绩也相对较高，但具有创新性和发散性思维的同学就 不尽然了。所以，现行的考核办法有碍优秀学生的挖掘和培养。

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数学分析课堂教学改革的几点对策

2.1 运用多种教学方法改革数学分析课堂教学，提高学生的学习兴趣 传统的注入式教学方法已经不再适用数学分析的教学，它忽视了学生是教学的主体。所以为了调动学生 的学习积极性和培养学生的创新能力，为了提高教学质量，在教学中应采用启发式、讨论互动式、专题讲座 和辅导答疑等一系列的灵活多样的教学方法，这样既可以提高学生的学习积极性也可以开拓学生的视野。 在教学中可以采用提问、分组讨论、课后留思考题等方式，引导学生独立思考，产生强烈的求知欲望， 从而对学习产生浓厚的兴趣。例如在证明定理时，老师不用立即给出结论，而是先设疑，让学生提出猜想， 然后由教师和学生共同得出正确的结论。这样更符合学生的认知规律，让每位学生参与课堂教学活动有成就 感对自己的学习能力也更有信心。 其次，在数学分析的教学中加强数学思想方法的教学。数学思想的理解及运用体现了学生的学习能力， 而学习能力又是学好数学的根本。例如在多元函数性质的学习中，老师可以用类比的思想在一元函数性质的 学习基础上让学生加以理解和推广；在学习微分中值定理时可以利用数形结合的思想结合中值定理的几何意 义去证明问题，其证明过程会更直观更容易理解和接受。

2.2 现代化教学手段和传统的教法进行有效结合，相得益彰 数学分析理论性很强，演算推理的过程很多，一般都是老师用粉笔在黑板上边推边讲，象许多定理的证 明，必须经过详尽的分析、再综合归纳才能让学生很好的理解和运用定理的条件和结论，如果一味的采用多 - 115 www.erfrontier.org

媒体课件演示却只能直接给出证明过程，学生是知其然不知其所以然。但是由于数学分析知识的抽象性，学 生往往很难直观形象地理解相关概念，另外对于一些空间立体图形，象多元函数积分部分，教师在黑板上板 书、作图费时而且效果不好，如果我们能适当借助现代化教学手段，通过制作多媒体课件，将教学内容形象、 直观、生动、声色兼备、静动结合地展现在学生眼前，自然可以优化教学过程，帮助学生理解相关概念，同 时还可以有效提高学生的空间想象能力和形象思维能力。

2.3 调整教学内容迎合学生的实际情况 我校目前采用的数学分析教材课是一本经典的数学本科专业教材，内容简练、覆盖面大。但学生普遍反 映学起来比较费劲。其因有二，一是许多知识点教材介绍的方法较少，而课后的练习较难，学生遇到的问题 很多。例如：函数极限的求法本来方法就少，对于一个重要的等价无穷小替代法，教材中却只例举了区区两 个简单例子说明，学生一般都是知其然不知其所以然。其二是部分章节内容的衔接不当对学生造成了一定的 困惑。例如：教材中不定积分和定积分部分，一般都是学了不定积分再讲定积分的概念和计算，“不定积分” “定积分”一字之差，学生自然觉得不定积分学好了定积分就没有任何问题了，没想到刚接触定积分的时候 大多数同学都傻眼了：“怎么和不定积分没有一点关系啊？”当然这是最初的错觉，学完“牛—莱”公式以 后他们又找回了最初的感觉，知道了定积分与不定积分之间的密切联系。求定积分没有问题了，可对定积分 的定义却不以为然了，这样难免直接影响了学生对后续“微元法”的理解和定积分乃至重积分的应用的学习。 因此，老师在教学过程中根据学生的实际情况适当调整和增减教学内容是十分必要的，有助于学生对数学分 析知识结构的掌握更有助于学生尽快完成中学数学到大学数学的过渡。

2.4 注重学生创新能力的培养 创新能力培养的关键在于学习兴趣的培养，只有有兴趣才会有探究的欲望。在课堂讲述求某些函数的技 巧部分时，加入使用计算机的练习，使学生感觉到数学没有与时代脱节，更不是某些人眼中“无用的东西”， 而是与计算机技术紧密结合的，为提高学生使用计算机解决数学问题的意识和能力，将教学内容与数学软件 有机结合起来，提高学生的学习主动性，改进学习效果。同时在教学过程中要尽量减少内容的重复，节奏要 紧凑，腾出时间让学生多做练习并主动发挥，提倡“创造性和研究型”的学习。让学生对数学问题知其然又 要知其所以然，才能让学生产生对数学的兴趣。例如为什么学习了函数的连续性以后还要引入函数一致连续 概念？为什么引入函数项级数的一致收敛概念？这些概念能带给我们什么？在教学过程中，要引导学生对这 些问题的认识，函数一致连续使得弧长、曲线、曲面积分计算理论严谨化，函数项级数的一致收敛性是有限 次极限、求导和积分的运算法则推广到无穷多次的前提等等。 努力突出微积分的基本思想和方法，便于学生更好地了解各部分内容的内在联系，注重对基本概念、定 理的几何背景和应用背景的介绍，加深学生对相关知识的理解和印象。按照循序渐进的原则，在教学中渗透 现代数学思想，促进微积分与线性代数及其他数学课程的结合，既为学生的进一步学习现代数学知识提供了 接口，又不脱离教学工作的实际。理论的教学，一是要考虑如何讲得易懂，二是如何把理论讲得学生感兴趣。 较多的采用来自客观世界，尤其是自然科学、工程技术等领域的真实问题作为例题和习题，增强题目的真实 感，有利于提高学生的学习兴趣和解决实际问题的能力。

2.5 将数学建模思想渗透到数学分析的教学中，培养学生的创新意识和创新能力 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践，即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后， 将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。从发展的 观点看，数学的新知识在不断的产生，解决数学问题的方法和技巧千变万化，想在有限的课堂教学中讲透每 一个问题是不可能的。因此，在数学分析的教学中渗透数学建模思想是十分必要的，培养一种“建模”的数 学思维往往要比教会学生做大量的“难题”适用得多。 - 116 www.erfrontier.org

其实，数学分析课本中的函数、极限、导数、积分、级数等概念都是从客观事物的某种数量关系或空间 形式中抽象出来的数学模型。因此在教学中我们应从实际“原型”和学生熟知的实例中自然而然地将这些概 念引出来，使学生感到课本里的概念不再抽象，而是与实际生活密切相联的。教师在讲授有关概念时也应尽 量结合实际，设置适宜的问题情境，提供观察、实验、操作、猜想、归纳、验证等方面的丰富直观的背景材 料，引导学生参与教学活动。 数学分析中有大量的定理，如何讲授才能使学生理解定理的内容，灵活运用定理与定理的证明方法，是 处理教学过程的一大难点。事实上教材中的很多定理，在历史上发现它们的时候，本来是有很自然的背景的， 但经过抽象之后写在了课本上，学生学起来就不知道为什么需要这些定理了，发明者的原始想法也就被隐藏 在了逻辑推理之中，使得学生初学起来较为困难。因此，在教学中很有必要让学生了解所学知识的来龙去脉 及历史渊源，往往可激发学生的求知欲望，然后，把定理的结论看作是一个特定的模型，需要我们去建立它， 于是，当把定理的条件看作是模型的假设时，即可根据预先设置的问题情景引导学生一步一步地发现定理的 结论。这种融入数学建模思想的教学方法，不但使学生学到知识，而且让他们体验到探索、发现和创造的过 程，是培养学生创新意识和能力的好途径。

2.6 建立合理健全的教学评价考核体系 考试是对教师的教和学生的学的一个整体评价，因此需要建立一个合理健全完善的教学评价考核体系。 当然，目前传统的期末笔试与平时成绩相结合的考核模式是经过多年的探索和研究产生，是对于生源起点不 高的地方本科院校不可或缺的考核办法。但是，为了挖掘学生中的研究性和创新性人才，可以在考核中拿出 一定的比例来考核学生的包括通过各种途径查找文献资料的能力；对教材中定义、定理、概念等的理解、应 用和推广能力；以及学生的创新及团队分工合作能力等。具体办法是：在老师的指导下要求学生每个学期独 立或合作完成一到两篇与本课程有关的小论文，根据论文质量评定等级，对公开发表论文的可以直接通过本 学期的数学分析课程考核。

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结语 在数学分析课堂教学中，教师的教和学生的学是一种共同解决学习中的各类问题的探究活动。我们必须

引导学生积极参与课堂教学的全过程，想方设法激发学生的学习兴趣，努力提高数学分析的课堂教学效果， 为社会培养出高素质、有能力的创新型人才。

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孙惠（1968-），女，汉族，学士，讲

师。研究方向：基础数学。学习经历：

2 肖翠娥(1965-)，女，汉，博士，教授，主要从事非线性偏微

分方程及反问题研究。Email: 957521097@qq.com

1988 — 1992 湖 南 师 范 大 学 。 Email: sunhui4624117@163.com

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