Spin image based on local shape similarity and its application by menez

Transactions on Computer Science and Technology September 2013, Volume 2, Issue 3, PP.40-48

Spin Image Based on Local Shape Similarity and Its Application Yongwei Miao 1†, Linghong Bao 2, Minyan Chen 1, Xudong Zhang 1 1. College of Computer Science and Technology, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023, China 2. College of Science, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023, China †

Email: ywmiao@zjut.edu.cn

Abstract Local shape similarity, an indicator to measure how similar a region of 3D shape is or dissimilar to another region, has been widely applied to computer graphics and computer vision. Different from traditional curvature map, a novel spin image based on local shape similarity measure is presented in this paper and its application on visual enhancement of 3D models is also given. To efficiently compare two different regions, the neighboring points for each surface vertex are firstly obtained by uniformly sampling along evenly distributed directions on the tangent plane. The spin images are constructed for these uniformly distributed sampling points and the local shape similarity measure can thus be calculated by comparing two spin images of different regions. Finally, due to our proposed local shape similarity definition, an efficient visual enhancement scheme is provided by incorporating our similarity measure into the color adjustment operation. Experimental results indicate that our spin image based on local shape similarity definition is robust and also contributes to visual enhancement. Keywords: Local Shape Similarity; Spin Image; Uniform Sampling; Visual Enhancement

基于 Spin 图的形状局部相似性度量及其应用* 缪永伟 1，包凌宏 2，陈敏燕 1，张旭东 1 1. 浙江工业大学计算机科学与技术学院，浙江杭州 310023 2. 浙江工业大学理学院，浙江杭州 310023 摘

要：形状局部相似度是衡量三维模型表面两个局部区域之间相似性程度的一个指标，该指标在计算机图形学和计算机

视觉领域得到了广泛的应用。基于 Spin 图，提出了三维形状表面局部相似性的一种度量方法，并将局部相似性度量应用到模型表面的视觉增强应用中。为了能够有效比较模型表面两个局部区域之间的相似性程度，首先对模型上每个顶点邻域沿均匀分布采样方向进行均匀加密采样，然后建立采样点邻域的 Spin 图作为其形状描述符，通过比较局部区域之间的形状描述符得到局部相似性度量。同时，根据形状的局部相似性度量，对模型表面进行基于相似度的着色，实现模型表面的视觉增强操作。实验表明，基于 Spin 图的相似度分析方法能够较好地刻画模型表面的相似性程度，方便地实现模型表面的视觉增强效果。关键词：形状局部相似性；Spin 图；均匀采样；视觉增强

引言在计算机图形学和计算机视觉领域，三维形状的局部相似性描述刻画了模型表面两个局部区域之间的相似性程度。三维形状的局部相似性度量在许多领域都有广泛的应用，例如在三维模型对齐和配准[1, 2, 3]、三维模型识别和分析[4]、模型修复[5]和曲面造型[6]等实际应用中，三维形状的局部自相似性衡量都是一个关键问题。 *

基金资助：受国家自然科学基金项目(基金号 61272309)和浙江省教育厅项目(基金号 Y201017442)资助。 - 40 http://www.ivypub.org/cst

为了描述三维形状局部特征，通常有基于特征的局部形状描述和基于直方图的局部形状描述两类方法。基于特征的局部形状描述方法通过计算模型表面采样点局部邻域的一个或多个几何指标来描述其局部属性。 Zerlinka 和 Garland [6]通过对模型采样点切平面建立使用测地坐标系，对采样点邻域进行均匀采样，分析离散采样点处的局部高度或颜色等属性的直方图，利用直方图分布描述不同顶点之间的形状相似程度。Chua 和 Jarvis[7]通过利用曲面和以当前采样点为中心的球体交线的高度分布来定义了当前采样点的局部形状特征。 Gatzke 等[8]利用曲面上顶点的曲率分布，通过分析顶点邻域的曲率分布来衡量形状局部区域之间的形状相似性。Gal 和 Cohen-Or [9]引进了若干个能刻画模型局部特征的基本形状描述子，并利用基本形状描述子定义复合描述子作为模型局部形状特征的一种度量。Cipriano 等[10]提出以模型表面顶点为中心，以固定半径距离大小的圆形区域上分析其局部凹凸特征。基于直方图的局部形状描述是通过计算和分析模型局部区域的不同分布直方图描述曲面局部形状，如局部几何属性直方图、点的邻域拓扑属性直方图等。Belongie 等[11]将形状上下文的描述方法应用在模型匹配和形状识别中，并使用了直方图分析的方法来描述形状特征。Maximo 等[12] 提出了一种基于模型表面局部高度分布的形状描述方法，将模型表面顶点邻域的局部高度场在 Zernike 基函数下展开，分析其展开系数向量的差异程度来度量局部形状相似程度。在三维形状描述中，Spin 图在曲面局部特征描述和模型匹配中起到重要作用[13,14]，通常主要是将 Spin 图应用在两个模型的匹配中，对每个待匹配模型都需要进行预处理以得到采样点分布均匀的模型用于随后的模型匹配中。Spin 图方法将模型局部区域范围上的点投影到中心点切平面上，通过分析其不同属性的分布刻画局部形状特性。基于三维模型表面顶点局部邻域的 Spin 图分析，本文提出了一种三维形状表面局部相似性的一种度量方法，该方法对模型上每个顶点邻域沿均匀分布的采样方向进行均匀加密采样，然后建立每个点的邻域采样点 Spin 图作为其形状描述符，通过比较局部区域之间的形状描述符得到局部相似性度量。同时，根据形状的局部相似性度量，对模型表面进行基于相似度的着色，实现模型表面的视觉增强操作。

1 基于 Spin 图的形状局部相似性度量 1.1 算法流程基于三维模型表面顶点局部邻域的 Spin 图分析，本文提出了一种三维形状表面的局部相似性度量，同时实现了模型表面基于相似度着色的视觉增强操作。利用 Spin 图建立局部形状描述的优点在于其形状描述符是旋转不变的，这样可以减少计算模型局部相似性程度的计算复杂度，在比较两个形状描述符时不用考虑旋转的影响。本文方法的主要步骤如下： 1) 对三维模型的每个顶点邻域，沿均匀分布的 16 个采样方向进行均匀加密采样得到足够多的采样点； 2) 利用每个顶点邻域的均匀采样点建立顶点邻域的 Spin 图作为其形状描述符； 3) 用户指定三维模型表面的一个参考顶点，将模型上其余顶点的 Spin 图与参考顶点的 Spin 图进行比较得到模型的局部相似性度量； 4) 根据形状局部相似性度量，对模型表面进行基于相似度的着色操作实现模型表面视觉增强效果。

1.2 模型顶点邻域的加密采样对于给定的三维模型，如果直接将模型上的顶点作为采样点，可能会由于模型本身顶点分布的不均匀性和稀疏性导致 Spin 图分析结果的不合理，往往难以得到一个比较好的局部形状描述，从而需要对三维模型顶点的邻域进行均匀加密采样以得到足够多的采样点。在对模型顶点邻域进行均匀加密采样过程中，首先根据顶点法向确定顶点处的切平面，然后在切平面上选取 16 个分布均匀的采样方向，并沿着这些采样方向进行均匀采样，也就是说，我们需要在顶点 p 的法平面中找到 8 个均匀分布的平面作为切割平面，利用切割平面与 p 点处的切平面交线得到加密采样点。如图 1(a)所示，它表示了 8 个均匀分布的切割平面法向，设顶点 p 的法向量 n   n x ,n y ,n z  ，则必有一个 - 41 http://www.ivypub.org/cst

值非零（不妨设 n x 不为 0），利用下列公式计算可以得到 8 张切割平面的法向量：





m0    n 2y  n 2z  / n x ,n y ,n z , m1   n  m0  , m2   m0  m1  , m3   m1  m0  , 0

m4   m0  m2  , m5   m1  m2  , m6   m1  m3  , m7   m6  m0  0

其中，    表示对向量进行单位化。 0

(a) 采样方向

(b) 沿采样方向加密采样

图 1 采样点邻域的均匀加密采样

现以第一张法平面  0 为切割面说明沿一个采样方向进行均匀采样的过程。这里切割面  0 的法向量为 m0 ，

其方程为：  p  p   m0  0 ， p ' 是平面  0 上除 p 外的任意一点，可以求出该平面与三维模型的交点。首先，建立交点集合 S ，并将 p 加入 S 中，然后遍历点 p 的所有邻接三角形，根据金耀等[15]提出的曲面网格“最直

路径”的快速计算方法计算三角形与平面  0 的交点，若交点已经在集合 S 中，则继续循环下一个邻接三角形。如图 1(b)中的三角形 po1o3 会被判定为不相交，而当循环至三角形 po2 o1 时，可以求得与平面  0 交点 A ，然后将交点 A 加入到集合 S 中，并求出由 A 所在边构成的两个三角形中的另一三角形 o1o2 o4 与平面  0 的交点，重复之前操作，直到集合 S 中每两个相邻交点之间的长度和大于或等于一个给定的阈值 L max （称为采样长度，实验中通常取阈值 L max 为模型平均边长的 3~5 倍之间）时算法停止。判断邻接三角形和切割面  0 相交情况的方法如下。以邻接三角形 po1o3 和 po2 o1 为例。对于三角形 po1o3 ，

遍历其三条边分别判断与切割面  0 相交情况。首先建立直线 po1 的方程： p '  p  t  o1  p  ，其中 p ' 是直线

上任意一点，当 0  t  1 时点 p ' 在线段 po1 上，然后联立切割面  0 方程，化简之后得到： t  o 1  p   m0  0 ，即 t  0 ，也就是 p 点；在 S 中已经存在则判断与下一条边 o1o3 相交情况，易知 t  0 ，得出 o1o3 与切割面  0 也不相交；最后判断切割面  0 与边 o3 p 交点，求得交点是 p ，综上可以得出三角形 po1o3 与平面  0 不相交。而对于三角形 po2 o1 ，同样遍历其三条边，首先可以得到 po2 直线方程为： p  p  t  o2  p  ，联立切割面  0 方

程可以求得 t  0 ，即不相交；继续计算切割面  0 与下一条边 o2 o1 交点， o2 o1 的方程为： p  o2  t  o1  o2  ，联立切割面  0 方程求得 t   p  m0  o2  m0  /  o1  m0  o2  m0  ，可以计算得到交点为 A ，并加入到 S 中；而切割面  0 与边 o1 p 没有交点。利用以上方法可以求得切割面  0 与三维模型表面的交点集合 S  {A, B, C, D, E, F} ，接下来需要根据交点集合 S 确定均匀分布且位于模型上的离散采样点，故在连接这些交点之间的线段上等间距（距离为 Lmean ）的位置上选取离散的采样点，这里的距离不是指两点之间的直线欧式距离，而是其在网格曲面上的距离。如图 1(b)所示，我们在曲面上均匀采样，取离散采样点集为 U  {q1 , q2 , q3 , q4 , q5 , q6 , q7 , q8 , q9 } ，则有：

q1  p  q2  q1  A  q2  q3  A  ...  q8  q7  D  q8  q9  D  Lmean 。

图 2 均匀加密分布的采样点 - 42 http://www.ivypub.org/cst

这样对三维模型顶点的所有切割面均使用以上方法可以得到所有的邻域采样点。如图 2 所示，其中位于中间的顶点是三维模型表面上待分析其 Spin 图的模型顶点，其余顶点是经过加密采样后得到的采样点，可以看到这些采样点的分布沿各采样方向呈均匀分布。

1.3 模型顶点邻域 Spin 图的生成对模型顶点局部邻域沿所有采样方向进行加密采样后，可以根据均匀加密分布的采样点计算模型顶点邻域 Spin 图[13]。首先，将三维均匀加密分布的采样点投影到模型顶点处二维切平面上，投影公式如下：

qi   x, y    

2 2 qi  p   n   qi  p   , n   qi  p   

(1)

如图 3(a)所示 n 为模型顶点 p 处的法向量，qi 为加密采样后的局部采样点，x 是 qi 在 p 点切平面上的投影到 p 点的距离， y 是 qi 到 p 点切平面的投影高度。根据三维模型上每个顶点的加密采样点集合投影到二维平面上之后，可以将这些投影点在二维坐标系中表示出来，如图 3(b)所示。我们建立二维网格包围这些点，其中生成的二维网格平均宽度取为采样点间距 Lmean

的 1.5 倍。记 x, y  0,0  表示 x, y 的原点所在位置也就是点 p 投影到二维坐标的位置，这里为了让 i, j 的值都大于 0，将 i, j  0,0  的原点位置设在如图 3(b)所示的位置，且将 x 的正方向作为 i 的正方向，而将 y 的负方向作

为 j 的正方向。然后将每个点反插值到所在方形格子的四个顶点中，以图 3(b)中圆圈中点点为例，其处理方法如图 3(c)所示，先确定点在方形格子中的位置  a, b  ，并根据  a, b  反插值到四个方形格子的顶点中，这样就得到顶点处的 Spin 图。具体地说，首先建立一个大小为 20*20 的 I 矩阵作为 Spin 图，并初始化每个元素为 0，然后将图 2(b)中的二维点利用图 3(c)的方法反插值过程到 I 中，  a, b  表示点在方形格子中的位置，公式如下：

a  x (qi )  Lmean  i , b  y(qi )  Lmean  j

(2)

 x (qi )   y max  y(qi )  i , j    L mean   Lmean 

(3)

其中 i, j 由下列公式得到：

这里 xmax 和 ymax 取为 L max 。对于个别特殊投影点其横纵坐标大于 xmax 或 ymax ，则令其等于 xmax 或 ymax 。这样，对每个采样点进行图 3(c)的反插值就可以求得点 p 的 Spin 图 I 。 Spin 图建立的伪代码如下： FOR 所有三维模型上的顶点 q { 建立 Spin 图 I q ，并将所有元素设置为 0 FOR 每个加密采样点 qi （ 0  i  采样的点数） {

利用公式(1)将 qi 投影到  x, y  二维坐标系上得到  x  qi  , y  qi   通过公式(3)由  x  qi  , y  qi   计算  i, j  利用公式(2)将  i, j  转化得到  a, b 

Iq  i, j   1  a   1  b 

Iq  i 1, j   a 1  b 

Iq  i, j 1   1  a   b

I q  i 1, j 1   a b } }

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(a) 采样点在切平面上的投影

(b) 投影点在其局部坐标系和 Spin 图坐标中的分布

图 3 模型顶点局部邻域 Spin 图的生成

1.4 模型顶点邻域 Spin 图的比较现在我们得到了三维模型顶点邻域 Spin 图后，就可以利用 Spin 图描述的每个顶点局部形状特征比较结果来度量三维模型上不同顶点局部形状的相似性程度。类似于参考文献[13]，我们采用如下函数 C  I , J  来比较两幅 Spin 图 I 和 J 相似性：





C  I , J   artanh  R  I , J     /  N  3    2

(4)

其中，数 N 为两幅 Spin 图 I 和 J 之间重叠点的数量，由于采取局部采样其采样点个数通常仅有几百个，而不像文献[13]中那样利用整个模型来建立点的 Spin 图，从而保证了相似性计算的有效性。这里可能会出现两幅 Spin 图重叠点数目为 3 的情况，这样 1/  N  3 就无意义了，故我们加入一个调整量  以确保分母不等于 0，实验中设定   0.5 。公式(4)中 R  I , J  表示两幅 Spin 图 I 和 J 的相关性程度，计算如下：

R I, J  



N   pi qi   pi  qi N   pi 2    pi 



N   qi 2    qi 

其经转换后的相关系数 artanh  R  I , J   的方差为 1/  N  3 。公式(4)中参数  是权重系数，在比较两 2

幅 Spin 图相似性时，该参数可以控制两幅 Spin 图之间重叠点数目与 Spin 图相关系数之间的关系，如果重叠的点数较少则两个图的相关性应越低，但是公式(4)前一项中并不能完全表示出这一点，也会存在重叠点比较少，而重叠采样点导致相关性较高，从而影响比较效果。公式(4)中加上第二项之后可以看出当重叠点数目比较大时可以忽略第二项；而当重叠点数目小于参数  时，第二项权重就变得比较大，所以参数  应取为两幅 Spin 图期望的重叠点数目。

利用上述方法计算得到每个顶点 Spin 图与参考顶点 Spin 图的相似性系数 C  I i , J j  之后，接着就需要对

其进行归一化处理，求得模型上其余每个顶点 pi 与参考顶点 p j 的差异评估值为 Di , j 如下：

Di , j   C(Ii , I j )  C  / SC (Ii , I j )

其中 I i 和 I j 分别是模型上顶点 pi 和 p j 的 Spin 图， C 表示所有相关系数 C  I i , I j  , ( i  1, 2,..., N)平均值，

SC (I i , I j ) 表示 C  I i , I j  的方差；接下来将相似度 Di , j 映射到灰度值空间以可以两个模型的相似度比较结果，

如图 4 中标注出了是用户选择的参考点，并根据模型上其余顶点 Spin 图和参考点 Spin 图的差异程度绘制出 Chinese Lion 模型和 Gargoyle 模型的局部相似性度量结果图。图 4 中相对于参考顶点 p j ，利用模型上每个顶点 pi 的局部相似度计算灰度值 G i , j 如下：

1   G i , j   10 * Di , j   18 / 37   0





Di , j  1.9  1.9  Di , j  1.8 Di , j  1.8

为了更好地表现模型的局部相似性度量，当顶点 pi 与 p j 的相似度 Di , j 越大时，则将顶点 pi 的灰度值 G i , j - 44 http://www.ivypub.org/cst

设置成越低。当某顶点的相似度偏移平均值正方向或者负方向一定范围（这里取为 1.8 和-1.9），分别视为最相似和最不相似，灰度值也分别设置为 0 和 1，这样可以避免一些特殊顶点影响局部相似性比较的结果。

(a) Chinese Lion 模型的局部相似性度量

( L max 为平均边长的 4 倍， Lmean

(b) Gargoyle 模型的局部相似性度量

 Lmax / 8 ，参数  值为 25）（ Lmax 为平均边长的 5 倍， Lmean  Lmax / 8 ，参数  值为 15）图 4 基于 Spin 图的模型局部相似性度量

2 基于局部相似度的视觉增强处理利用三维模型的局部相似性度量，可以实现基于模型相似性度量的视觉增强处理。根据用户选取的模型参考点，利用模型采样顶点与参考顶点的相似性程度，对模型采样顶点赋予不同的颜色值，从而方便地提升模型表面感兴趣点的视觉效果。这里根据上一节中得到的反映局部相似度的灰度值计算得到着色颜色值，以红色为例加以说明，设红色的 RGB 值为  201.0,13.0,3.0  ，利用以下公式将灰度值映射到颜色空间，每个顶点颜色值 (piR ,piG ,piB ) 为：

 piR  201.0  G i * 255  G  pi  13.0  G i * 255  p B  3.0  G * 255 i  i

(5)

其中，三个分量中若有大于 255 的，将其设置为 255。从而，可以根据模型上其余顶点的局部形状描述符与指定参考顶点的局部形状描述符之间的相似性程度来进行着色。从公式(5)可以看出，如果模型上顶点 pi 与参考点相似，那么该点的灰度值 G i 为 0，其 (piR ,piG ,piB ) 值就设为  201.0,13.0,3.0  ，随着相似灰度值的增加，其

(piR ,piG ,piB ) 的值也随着增加，颜色也就越浅，从而实现了三维模型的视觉增强效果。

3 实验结果及讨论本文提出的算法已经在 Microsoft Visual Studio 2005 开发工具下得到了实现。程序的运行环境为 Intel Core i3-2300M, 2.20GHz CPU, 2.92GB 内存。

3.1 形状局部相似性度量根据用户选取的模型参考顶点，利用 Spin 图分析，我们可以方便地得到三维模型其余顶点和参考顶点之间的形状局部相似性度量。如图 5 所示，用户选取了 Dragon 模型（顶点数目为 16887）上的一个感兴趣顶点作为参考点后，利用提出的基于 Spin 图的局部相似度分析方法，将 Dragon 模型上其余顶点按照其与选定的参考点之间的相似度设置模型顶点的灰度值，对于相似度越高的顶点用亮度越低的灰度值表示，而对于相似度越低的顶点用亮度越高的灰度值表示。这里我们设定采样长度 L max 为模型平均边长的 4 倍，Lmean  Lmax / 8 ，参数  值为 25。图 5(a)中可以看到，由于用户选取了 Dragon 模型嘴巴边缘上类似山脊的顶点作为参考点，模型上与用户选取的参考点具有相似凹凸性质的顶点则被赋予比较暗的灰度值，而位于在模型较平坦区域的 - 45 http://www.ivypub.org/cst

顶点被赋予比较亮的灰度值。图 5(b)中可以看到，由于用户选取了 Dragon 模型位于下颚的类似山谷中的顶点作为参考点，则灰度的亮度高的区域通常位于模型表面的山脊区域或较平坦区域，可以看出与参考顶点局部形状相似的顶点都被设置了比较暗的灰度值。

(a)

(b)

图 5 Dragon 模型在不同参考点选取下的相似度度量

图 6 给出了 Chinese Lion 模型（顶点数目为 152804）在不同参考点选取下的局部相似性度量的结果，这里我们设定采样长度 L max 为模型平均边长的 4 倍， Lmean  Lmax / 8 ，参数  值为 25。在图 6(a)中，用户选取了脖子下凹的一个顶点作为参考点，并利用相似性度量设置模型其余顶点的灰度值；而在图 6(b)中，用户选取了 Chinese Lion 模型嘴巴边缘顶点作为参考点，并利用相似性度量设置模型其余顶点的灰度值。从中可以看到在图 6(a)中灰度值比较暗的点在图 6(b)中的灰度值就显得相对比较亮，同时注意到在 Chinese Lion 模型的一些比较平坦的部分，例如左后腿那一片区域两幅图的灰度值比较相近，因为这些区域不管是相对(a)中的参考点(凹点)还是相对(b)中的参考点(凸点)都是差异比较大的，这就表明我们提出的衡量模型顶点局部形状相似性的度量方法能够较好地反映模型表面的不同局部形状特征。

(a)

(b)

图 6 Chinese Lion 模型在不同参考点选取下的相似度度量

3.2 基于局部相似度的视觉增强在三维模型基于局部相似性度量的视觉增强应用中，根据用户选取的模型参考顶点，利用模型采样顶点与参考顶点的相似性程度，对模型采样顶点赋予不同的颜色值，从而方便地提升模型表面感兴趣点的视觉效果。如图 7 所示，在对 Gargoyle 模型的不同参考顶点选取下，利用我们的形状局部形似性度量方法，并通过公式(5)将相似度映射到颜色空间之后得到的模型视觉增强效果(其中图片被转换成了灰度图片)。这里在估计 Gargoyle 模型的局部相似度时选取采样长度 L max 为模型平均边长的 5 倍， Lmean  Lmax / 8 ，参数  值为 15。图 7(a)中用户选取的参考点位于模型凸部，利用基于相似度的视觉增强方法，处理结果对于模型表面的所有凸区域进行了增强处理；相反地，图 7(b)中用户选取的参考点位于模型凹部，利用基于相似度的视觉增强方法，处理结果对于模型表面的所有凹区域进行了增强处理。 - 46 http://www.ivypub.org/cst

(a) 选取模型凸点为参考点的视觉增强效果

(b) 选取模型凹点为参考点的视觉增强效果

图 7 Gargoyle 模型基于局部相似度的视觉增强

4 结论基于三维模型表面顶点局部邻域的 Spin 图分析，本文提出了一种三维形状表面局部相似性的一种度量方法，该方法对模型上每个顶点邻域沿均匀分布的采样方向进行均匀加密采样，然后建立每个点的邻域采样点 Spin 图作为其局部形状描述符，通过比较局部区域之间的形状描述符得到局部相似性度量。同时，根据形状的局部相似性度量，对模型表面进行基于相似度的着色，实现模型表面的视觉增强操作。然而，在三维模型采样顶点局部形状相似性比较的基础上，进一步研究模型局部区域之间的形状相似性比较是一个值得研究的方向。今后我们将进一步研究模型局部区域之间的相似性度量及其应用。

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【作者简介】 1

缪永伟（1971-），男，汉族，博士，教

包凌宏（1988-），男，汉族，硕士研究生，研究方向：计

授，研究方向：计算机图形学，数字几

算机图形学，数字几何处理。

何处理，计算机视觉，计算机辅助几何

设计等。

算机图形学，数字几何处理。 4

陈敏燕（1989-），女，汉族，硕士研究生，研究方向：计

张旭东（1982-），男，汉族，博士研究生，研究方向：计

算机图形学，计算机视觉。

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