The analysis of multiphase symmetrical motor winding mmf by menez

Electrical Engineering and Automation June 2013, Volume2, Issue 2, PP.11-18

The Analysis of Multiphase Symmetrical Motor Winding MMF Bin Zhao#, Guangyou Li School of Electrical Engineering of Shandong University, Shandong Jinan, 250061 #Email:805067883@qq.com

Abstract The relationship between the harmonic currents and the corresponding harmonic magnetic motive force (MMF) should be learned, with the purpose of analysis on the performance of the multiphase symmetrical motor in the course of stator windings flowing through the non- sinusoidal currents. Take five-phase symmetrical winding as an example, in the case of non-sinusoidal power supply, Fourier analysis was used to resolve the no-sinusoidal waveform currents into the fundamental component and a series of harmonic components, the quantitative relationship between harmonic currents and harmonic magnetic, the corresponding relationship between harmonic currents and harmonic magnetic is extended to be m-phase symmetrical winding, which provides a base for multiphase symmetrical motor design and performance calculations. Keywords: Multiphase Symmetrical Winding; Non-sinusoidal Current; Fourier Analysis; Principle of Superposition

多相对称电机中绕组磁动势的分析赵斌, 李光友山东大学大学电气工程学院，山东济南 250061 摘

要：为了分析研究定子绕组在流过非正弦电流时，多相对称电机的运行性能，必须了解绕组谐波磁动势与谐波电流

的对应关系。本文以五相对称绕组为例，在非正弦供电情况下，对对称电机中的非正弦电流进行了傅里叶分解，分解得到了基波电流和一系列的谐波电流，然后计算得到了谐波电流与谐波磁动势的定量关系。在此基础上，把谐波电流与谐波磁动势的对应关系推广到 m 相对称绕组，为多相对称电机的设计和性能计算提供基础。关键词：多相对称绕组；非正弦电流；Fourier 分析；叠加原理

引言现阶段，因为晶闸管的出现以及大功率电子器件和现代驱动技术的发展，使得三相电网对电机供电造成束缚的问题可以通过变频器得以解决。定子相数作为一个新的自由参数，对于那些由逆变器供电的多相交流电机来说，越来越值得重视，因为它可以直接影响调速系统的工作方式。多相电机调速系统与常规的三相系统相比拥有一定的优势，多相电机调速系统的研究和发展得到人们的广泛关注，且已投入应用。多相电机调速系统与传统常规的三相电机系统相比具有以下优点：（1）多相电机调速系统最重要的优势是具有比三相电机调速系统更多的控制资源和潜能，可以使用一些非常规的控制模式。将传统三相电机的控制方法和相极控制模式结合起来，应用于多相逆变器供电的多相交流电机会大大改进调速系统的性价比[3]。（2）可用低功率器件实现大功率。在电机容量一定和相电流不变的情况下，电机定子相数增加，可以降低供电电压，避免了功率器件的串联带来的动态均压问题[4]。（3）脉动转距的幅值减小，而脉动的频率增加，系统动、静特性得以改善[2]。（4）在供电电压受限的场合，中大功率的逆变器可用现有功率等级的单个功率器件实现，从而避免了功率 - 11 www.ivypub.org/eea

器件并联带来的静态均流和动态均流的麻烦[8]。（5）系统容错性增强，提高了电机运行的可靠性[6]。对于变频器供电的多相电机，电压或者电流中除基波分量外包含了大量的谐波分量，而谐波磁动势对电机的运行性能有较大影响。因此确定谐波电流与谐波磁动势的一般关系式，对于准确分析非正弦供电情况下多相电机的运行性能至关重要。对于三相电机而言，当定子绕组流过基波电流时，会产生基波和 5、7、11、13、17、19 等高次谐波旋转磁动势[1]；而对于定子绕组流过基波电流的多相电机而言，电机相数不同，产生的谐波磁动势次数不同[7]。本文以半对称的六相绕组为基础，分析了谐波电流和谐波磁动势的关系，并扩展到了半对称九相绕组和半对称十二相绕组[9]。以对称五相绕组为基础，分析了谐波电流和谐波磁动势，并扩展到了半对称的十五相绕组，但是该分析是建立在矩形波电流的基础上，不具有一般性[10]。本文以五相电机为例采用傅里叶级数对谐波电流进行了分解，利用叠加原理对谐波电流与谐波磁动势的对应关系进行了分析，得到了谐波电流与谐波磁动势之间的对应关系，并扩展到了 m 相对称绕组 ( m  3,5,7,9,

)，为多相电机的性能分析奠定了基础。

五相对称绕组的磁动势

1.1 各相磁动势的表达式 2 图 1 是五相异步电机定子绕组示意图。绕组分别用 a、b、c、d、e 表示，五相绕组在空间上彼此相差  5 2 电角度，流过定子绕组电流的基波分量在空间上也彼此相差  电角度，各相绕组的空间相位关系如图 1 所 5 示。

图 1 五相异步电机定子绕组示意图

通过分析可知，五相异步电机定子各相绕组流过的电流波形相同，但波形具有延时特性，且所延时间与各相绕组间电角度成正比。对于非正弦电流，则可通过 Fourier 级数使之分解为基波分量和一系列奇次谐波分量，这样就能对不同次谐波电流产生的磁动势单独进行分析。

7,9,  ）次谐波电流，各相电流的表达式为：对于  （   1,3,5，  i  2 I cos t  a  2   ib  2 I  cos   t    5     4   ic  2 I  cos   t    5     6   id  2 I  cos   t    5     8   ie  2 I  cos   t    5    - 12 www.ivypub.org/eea

（1）

式中，I  为  次谐波电流的有效值； 为基波电流的角频率。当绕组无中线时，5 的倍数次谐波电流等于 0。

7,9,  ）次谐波磁当绕组流过  次谐波电流时，若空间坐标轴线选与 a 相轴线重合，则各相 （  1,3,5，动势的表达式为：  f  a   fb    fc    fd    fe 

 F  cos cos t 2  2     F  cos      cos   t    5 5     4 4      F  cos      cos   t    5  5   

（2）

6  6     F  cos      cos   t    5  5    8  8     F  cos      cos   t    5  5   

根据电机学的基本理论[5]，各相绕组的磁动势均为脉振磁动势，其振幅为： 2 2 Nkw F   I  p

（3）

式中， p 为极对数，N 为每相串联总匝数， kw 为 次谐波磁动势的绕组系数。若电机的每极每相槽数为 q，槽距角为 1 ，绕组短距比为 y，则对于 次谐波磁动势的绕组系数为：

kw

 q  sin  1   2  sin  y     2     q sin  1    2

（4）

1.2 合成磁动势表达式在五相对称绕组中，每相的脉振磁动势可以分解成两个幅值相等、转速相同、转向相反的旋转磁动势。五相对称绕组的合成磁动势就是把各相的磁动势叠加。因为每个单相脉振磁动势已被分解为转向相反的两个磁动势，则在叠加过程中，相同转向的磁动势分别叠加。根据式（2）可得合成磁动势的表达式为： 1 n   f   F  cos   t         5   n  0,2,4,6,8 2 （5） 1 n    F  cos   t       5  n  0,2,4,6,8 2 1.2.1

基波电流产生的磁动势

对于基波电流有   1 ，令  1 ，代入式（5）得基波电流产生的基波合成磁动势为： 5 f   F11 cos   t  2

（6）

上式表明，基波电流产生的基波合成磁动势为圆形旋转磁动势，其角速度为  ，旋转方向为正。将   1 ，  3,7 分别代入式（5），得到合成磁动势均为 0。将   1 ，  9,11 代入式（5），分别得到： 5 F19 cos  9  t  2

（7）

5 F111 cos 11  t  2

（8）

f  f 

上两式表明，基波电流产生的 9 次空间谐波磁动势为反向旋转磁动势，角速度为  / 9 ；基波电流产生的 - 13 www.ivypub.org/eea

11 次空间谐波磁动势为正向旋转磁动势，角速度为  / 11 。将   1 ，  5k (k  1,3,5,7 ) 代入式（2）中，得：  f  a   fb    fc    fd    fe 

 F  cos cos t 2    F  cos cos  t    5   4    F  cos cos  t    5  

（9）

6    F  cos cos  t    5   8    F  cos cos  t    5  

由于各相绕组的磁动势空间上同相位，而电流为 5 相对称电流，所以合成磁动势等于 0，即 f   0 。由此可知，五相对称绕组流过对称基波电流时，产生的  5k (k  1,3,5,7 ) 次谐波磁动势为 0。通过进一步分析得知，当定子五相对称绕组流过对称基波电流时，可以产生次数为

  10k  1(k  0, 1, 2, 3 ) 的旋转磁动势， 次谐波磁动势角速度为  /  ，若谐波次数为正表示磁动势正向旋转，若谐波次数为负表示磁动势反向旋转。 1.2.2

高次谐波电流产生的磁动势

对于 3 次谐波电流   3 ，再令  1 ，代入式（5）得到基波磁动势为 0，这表示 3 次谐波电流不产生基波合成磁动势。但当   3 ，  3,7 时，分别得到： f 

5 F33 cos  3  3t  2

（10）

f 

5 F37 cos  7  3t  2

（11）

由此可知，五相对称绕组流过 3 次谐波电流时，产生的 3 次谐波合成磁动势为一正向圆形旋转磁动势，极对数为 3p，角速度为  ，与基波电流产生的基波合成磁动势转速相同；7 次谐波电流时，产生的 7 次谐波合成磁动势为一反向圆形旋转磁动势，极对数为 7p，角速度为 3 / 7 。进一步分析得到，当定子五相对称绕组流过 3 次谐波电流时，不产生基波旋转磁动势，但能产生谐波次数为  10k  3(k  0, 1, 2, 3 ) 的旋转磁动势。 5k  2 一般来讲，当定子五相绕组流过的谐波电流次数为    （k  1,3,5,7,9   ）时，产生的谐波磁动势 5k  4

次数为   10k   (k  0, 1,  2, 3 ) 。  次谐波磁动势的角速度为  /  ，若谐波次数为正表示磁动势正向旋转，若谐波次数为负表示磁动势反向旋转。 1.2.3

五相集中整距绕组流过矩形波电流时的磁动势

对于集中整距绕组，绕组系数 kw  1 。五相绕组中流过的电流为矩形波电流，由于五相绕组没有中线，所以每相的绕组电流都与其它各相绕组构成回路，五相绕组中不存在五次谐波电流，故真正流过五相绕组中的电流只是近似为矩形波，其谐波电流的有效值为 I   I1 /  。因此，当谐波合成磁动势存在时，其幅值为基波合成磁动势的 1 / ( ) 。设基波电流产生的基波合成磁动势的幅值为 b1 ，则各次谐波合成磁动势幅值及转向如表 1 所示，其中，“+”代表谐波合成磁动势与基波转向相同，为正转；“-”代表谐波合成磁动势与基波转向相反，为反转。 - 14 www.ivypub.org/eea

表 1 五相集中整距绕组流过矩形波电流时的磁动势空间时间 1

1  b1 9

+ b1



1 b1 11

1  b1 9



1 b1 21



1 b1 39



1 b1 51

1 b1 21



1 b1 49



1 b1 91



1 b1 119



1 b1 81 1  b1 99

1  b1 9 1  b1 11

1 b1 99 1  b1 121





1 b1 91



1 b1 169



1 b1 221

1 b1 119



1 b1 221



1 b1 289



1 b1 39



1 b1 51



15 17

附：合成磁动势的幅值的推导过程如下。

为了方便分析，假设五相异步对称电机为 2 极，匝数为 N，五相绕组 a、b、c、d、e 为星形连接，  为沿气隙圆周的位移电角度。当位移原点取在 a 相轴线上时，五相绕组分布函数的 Fourier 表达式为[11]：  4 N m   N a ( )   ( m ) 2 sin 2 cos m( ) n 1    4 N m 2 N (  )  ( ) sin cos m(   )   b 2 2 5 n 1 m    4 N m 4 ) sin cos m(   ) （12）  N c ( )   ( 2 2 5 n 1 m    4 N m 6 ) sin cos m(   )  N d ( )   ( m  2 2 5 n 1    4 N m 8 ) sin cos m(   )  N e ( )   ( 2 2 5 n 1 m  式（12）为 a、b、c、d、e 五相绕组分布的实数形式，绕组分布也可以在不同谐波空间中用矢量分别表示。当实轴取在 a 相轴线上时，五相绕组分布的空间矢量如下：基波空间矢量为   Na  N  b    Nc    Nd  N  e



    

 2

   

3 4

m 次谐波空间矢量为 - 15 www.ivypub.org/eea

j

2 3

  

（13）

  N am  N  bm    N cm    N dm  N  em





2N   m 2 N 2m   m 2 N 3m   m 2 N 4m   m

 m  3,5...

假设绕组中的电流为周期方波电流，则五相绕组电流可表示为   i t  I n sin nwt    a n 1    2   ib  t    I n sin n  wt    5   n 1    4   ic  t    I n sin n  wt    5   n 1    6   id  t    I n sin n  wt    5   n 1    8   ie  t    I n sin n  wt    5    n 1

（14）

（15）

其中，n 次谐波电流的幅值为 In 

4 n

（16）

由式（13）-（16），五相绕组分布的 m 次谐波空间矢量和 n 次谐波电流生成的磁动势空间矢量表达式为

Fm  n  N am ian  t   Nbm ibn  t   Ncm icn  t   N dmidn  t   N emien  t  

2N ian  t    m ibn  t    2 micn  t    3micn  t    4midn  t    5mien  t   m 

（17）

其中，磁动势的幅值为 2

Fm  n 故， b1 

3 2    NI mn   

NI 。 2 其它情况下的合成磁动势幅值根据上述情况类比推理得到。

其它多相对称绕组的磁动势在分析五相对称绕组谐波电流和谐波磁动势的基础上，采用上述类似方法得到七相、九相对称绕组谐波

7 k  2  当七相对称绕组中流过对称电流时，谐波电流次数为   7k  4(k  1,3,5,7,9  ) ，产生的谐波合成磁动 7 k  6 势为：  1 n   f  F  cos   t          7   n  0,2,4,6,8,10,12 2 （18） 1 n   F  cos   t         7   n  0,2,4,6,8,10,12 2

电流与谐波磁动势的关系。

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当  14k   (k  0, 1, 2, 3 ) 时，则其谐波合成磁动势为圆形旋转磁动势，可表达为： f 

7 F  cos   t  2

（19）

其他次数的谐波合成磁动势等于 0。

9k  2 9k  4    (k  1,3,5,7,9  ) ，产生的谐波合成磁动当九相对称绕组中流过对称电流时，谐波电流次数为  9k  6 9k  8 势为： 1 n   F  cos   t         9   n  0,2,4,6,8,10,12,14,16 2 1 n   F  cos   t         9   n  0,2,4,6,8,10,12,14,16 2 f 



（20）

当  18k   (k  0, 1, 2, 3 ) ，则其谐波合成磁动势为圆形旋转磁动势，可表达为： f 

9 F  cos   t  2

（21）

其他次数的谐波合成磁动势等于 0。综上所述，对于 m（ m  3,5,7,9, ）相对称绕组流过 m 相对称电流时，若绕组没有中线，不失一般性，谐波电流的次数可表示为   2k  1(k  0,1, 2, ) 且   m,3m,5m,7m  ，当  2mk   (k  0, 1, 2, 3 ) 时， m  产生的谐波合成磁动势为圆形旋转磁动势，幅值为 F  ，角速度为   ，当  为正时，合成磁动势为正 2  向旋转，当 为负时，合成磁动势为反向旋转，当    时，谐波合成磁动势与基波合成磁动势转速和转向都相同。通过上述多相绕组中磁动势的推导过程中我们发现，在非正弦供电的情况下，当谐波电流的次数与谐波磁动势的次数相同时，谐波合成磁动势的转速和转向与基波合成磁动势相同，如五相绕组中的 3 次谐波电流产生的 3 次谐波磁动势、7 次谐波电流产生的 7 次谐波磁动势。因此，在多相绕组中注入谐波电流，通过适当的调节，使谐波磁动势与基波磁动势进行叠加，可以改善电机气隙磁密的波形，使其成为平顶波，从而提高了电机铁心的利用率，解决了电机中铁心材料局部饱和的问题。

结论（1）当 m 相对称绕组流过 m 相对称非正弦电流时，绕组的合成磁动势除基波分量外，还存在一系列的

谐波分量。（2）谐波次数   2mk   (k  0, 1, 2, 3 ) 时，产生的谐波合成磁动势为圆形旋转磁动势，幅值为 m  F  ，角速度为   ，当 为正时，合成磁动势为正向旋转，当 为负时，合成磁动势为反向旋转。随着 2  绕组相数 m 的增加，谐波磁动势的大小减小。（3）当谐波磁动势的次数与电流的谐波次数相同时，谐波合成磁动势的转速和转向与基波合成磁动势相同，它们之间没有相对运动。因此，可以考虑通过注入谐波电流，对其进行适当的调节与控制，使谐波磁动势与基波磁动势相叠加，改善磁动势的空间分布，解决异步电机中铁心材料的局部饱和问题。

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【作者简介】赵斌（1990.4- ），男，硕士研究生，学

李光友（1957.1- ），男，汉，本科，教授，主要研究永磁电

生，主要研究方向是对于永磁电机的设计

机，直线电机以及电机动态过程及计算机仿真，曾在山东工

与应用，现如今在山东大学学习深造。

业大学学习深造。

Email: 805067883@qq.com

Email: ligy@sdu.edu.cn

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