The effect of t stress on the crack growth and propagation of specimen subjected i ii mixed mode

Architectural Engineering February 2015, Volume 3, Issue 1, PP.7-13

The Effect of T-stress on the Crack Growth and Propagation of Specimen Subjected I-II Mixed Mode Hongjie Liu, Zheming Zhu#, Chao Wang School of Architecture and the Environment, Sichuan University, Chengdu Sichuan 610065, P.R.China #

Email: zhuzm1965@163.com

Abstract Cracked rock masses are usually subjected to complex loading conditions. Because of arbitrary orientation of cracks relative to the loading directions, brittle fracture in rocks may occur due to a combination of two major fracture modes, i.e. crack opening mode (mode I) and crack sliding mode (mode II). Therefore, the studying of rock fracture on I-II mixed mode has important Theoretical significance and work value. Current widely used fracture criterion for I-II mixed mode crack, such as MTS (Maximum tangential stress criterion), SED (Minimum strain energy density criterion), G (Maximum energy release rate criterion) have not consider the effect of T-stress. This paper has studied the effect of T-stress on the crack growth and propagation through Theoretical analysis, ABAQUS finite element method simulation, experiment studying by anti-symmetric four-point bend specimen.

Keywords: I-II Mixed Mode Crack; T-stress; Crack Growth and Propagation; ABAQUS Finite Element Method

四点弯曲 I-II 混合型裂纹断裂特性 T 应力影响分析* 刘宏杰，朱哲明，王超 四川大学 建筑与环境学院，四川 成都 610065 摘

要：工程岩体大多处于复杂的应力环境中。由于岩体裂纹走向相对于荷载方向的随机性，岩体脆性断裂多数由于 I-II

混合型裂纹的产生，因此研究岩石 I-II 混合型裂纹断裂有着非常重要的理论意义和工程价值。现行通用的适用于 I-II 混合 型裂纹的断裂准则，如最大周向应力准则，即 MTS（Maximum tangential stress criterion）准则，最小应变能密度准则，即 SED（Minimum strain energy density criterion）准则，最大应变能释放准则，即 G（Maximum energy release rate criterion） 准则，均未考虑 T 应力的影响。本文通过理论分析，ABAQUS 数值模拟，反对称四点弯曲实验研究三个方面探究 T 应力 对裂纹起裂扩展到影响。 关键词：I-II 混合型裂纹；T 应力；裂纹扩展；ABAQUS 有限元

1 概述 随着公路，铁路，水利，采矿等基础工程的大力建设，工程地形地质条件变得越来越复杂，特别是中西 部地区，三级工程地质条件经常遇到，部分工程甚至会碰上四级地质条件。这些地质区岩体构造带复杂，断 层多且规模大，岩性复杂多变，岩体裂隙普遍存在，且方向，分布密度复杂，所在地地应力复杂。统计分析 发现，这些裂隙绝大多数处于 I-II 混合型应力之下，因此，研究岩石材料 I-II 混合型裂纹断裂的破坏机理有 着非常重要的理论意义和工程价值。实验表明，当 KII 混合度较大时，一般 KII/KI 大于 1 时，MTS 准则预测 与实际结果相比偏小，且偏离幅度随 KII/KI 值的增大而增大。因此，单纯通过 KII，KI 两个参数预测 I-II 混 *

基金项目：国家 973 项目, 2010CB732005；四川省科技计划项目(2014JY0002)；油气藏地质及开发工程国家重点实验室资助项 目(PLN1202) -7http://www.ivypub.org/AE

合型裂纹断裂的精确度远远不够本文，通过考虑 T 应力的影响来改善 MTS 准则的精度。G.J.Williams， P.D.Ewing（1972）[1]对含有倾斜裂纹的 PMMA 平板拉伸试验进行研究，指出考虑 T 应力的影响可以提高实 验所测裂纹起裂角度 θ0 临界应力强度因子与理论预测所得的吻合度。Ueda Yukio 等（1983）[2]指出，T 应力 对裂纹尖端塑性区的形状和尺寸有明显影响，进而与裂纹起裂角度以及临界应力强度因子有密切关。Betegon， Hancock（1991）[3]提出 T 应力可以作为第二个参数，结合应力强度因子 K（线弹性材料）或 J 积分（弹塑性 材料）一同使用描述裂纹尖端的应力应变情况，与此同时，他们指出，对于 T 应力为正值或零值情况，T 应 力对裂纹尖端应力应变场影响有限，裂纹尖端性质主要由 J 积分控制，对于 T 应力为负值得情况，T 应力的 影响不可忽略， 裂纹尖端应力应变场由 J 积分与 T 应力共同决定。 D. J. Smith, M. R. Ayatollahi， M. J. Pavier(2001) [4]

研究了线弹性材料裂纹尖端 T 应力影响，提出周向应力由应力奇异项 KI，KII 与非奇异项 T 共同决定，提

出不忽略 T 应力影响的修正最大周向应力准则（generalized MTS criterion, GMTS）A.R. Shahani 等（2009）[5] 利用 finite element method（FEM）数值计算方法，系统的分析了 T 应力对含边界裂纹的四点弯曲试件的影响， 引入无量纲参数 B  T  a(1   2 ) / JE 详细绘制了 T 应力与裂纹深度（a/w） ，裂纹中心距(s/w)，荷载位置（d/w） 的关系曲线，分析了 T 应力对不同断裂准则的影响，得出 T 应力对裂纹起裂角度有重要的影响，正的 T 应力 可以增加裂纹起裂角，负的 T 应力可减小裂纹起裂角。H. Saghafi 等（2010）[6]通过引入 T 应力，高阶项 O(r1/2 ) 对 MTS 准则进行修正，得 modified MTS criterion (MMTS)，通过该准则预测值与实验结果吻合较好。赵艳华 等（2010）[7]对含倾斜裂纹的平板双向受拉分析，指出裂缝尖端附近的应力场不仅受应力强度因子为代表的 奇异项控制，以 T 应力为主的非奇异项也不能忽略，T 应力对处于 I-II 复合型裂缝的断裂破坏的影响是明显 的，无论对开裂角度 θ0 以及开裂破坏时应力强度因子 KI 和 KII 的大小影响都是不能忽略。

2 理论分析 对于线弹性材料，在平面问题中，以裂纹尖端为极坐标原点，以裂纹方向为极轴，如图 1，裂纹断 li 的 应力场 Williams 展开式如下

图 1 裂纹尖端应力的极坐标分量

 rr    

 r 

 1  1 3  1 3  5  5  3 K I  cos  cos   K II   sin  sin   T cos2   o  r 2  2 4 2  2 4 2  2 r 2 r 4  4   1

1 2 r 1 2 2 r

K I cos3

 2



 1 3 1  K II sin  cos  T sin 2   o  r 2  2 2 r 2  

K I sin  cos

 2



1 2 2 r

K II  3cos   1 cos

 1  T sin  cos   o  r 2  2  



(1)

(2)

(3)

σθθ,σrr, σrθ 分别为周向应力、径向应力和剪切应力 r 表示极半径，θ 表示极角，KI, KII 分别表示 I 型，II 型 裂纹应力强度因子，T 表平行于裂纹表面的非奇异应力项，即 T 应力。O(r1/2)表示裂纹尖端应力高阶项。 -8http://www.ivypub.org/AE

对于线弹性脆性材料，目前比较流行的是最大周向应力准则（Maximum tangential stress criterion），即 MTS 准则，该准则有两个假定， （1）裂纹沿着周向应力 σθθ 最大方向大方向扩展，记为 θ0。  

即

  0      0 

  0

    2 （2）沿着  0 方向距裂纹尖端距离为临界值 rc 处的周向应力 σθθ 达到临界应力 σc，即 2

 

0

r  rc

 c

(4)

(5)

由于高阶项 O(r1/2)对裂纹尖端应力场分布的影响非常有限，本文讨论时忽略不计，因此考略 T 应力的 MTS 准则可以表示为：   

 0

0

  3 K II 3 KI cos2 0 sin 0  2 2 r 2 2 2 2 r

 

0

r  rc



1 2 rc

K I cos3

0 2



0 1 0   cos0 cos 2  2 sin 0 sin 2   2T sin 0 cos 0  0  

 3 1 K II sin 0 cos 0  T sin 2 0   c 2 2 rc 2

(6) (7)

对于纯 I 型裂纹，即 KI=0，T=0 则 θ0=0，

 c 2 rc  K IC

(8)

综上所述，修正 MTS（Maximum tangential stress criterion）MMTS 可以表示为：   

 0

 0  K I sin 0  K II  3cos0  1  K IC  K I cos3

cos

0 2

 16T 2 rc cos0 sin 0  0 3 2

 3  K II sin 0 cos 0  2 rc Tsin 2 0 2 2

0  K I

  3 K II T cos2 0  sin 0   1  sin 2 0  2  K IC 2 2 K IC   ,c 

(9) (10)

(11)

3 数值模拟 本文采用 ABAQUS 软件进行数值模拟，模型为含中心边裂纹四点弯曲平面应变模型，模型长 l=200mm， 高 w=40mm， 荷载 P=100N， 如图 2， 图 3A=70mm,B=20mm。裂纹尖端 w/10 区域内进行网格细心分，用 ABAQUS 自己带 collapsed element side, duplicate node 处理裂尖奇异性。裂纹尖端区域采用 CPS6 三角形六节点单元网 格，其他区域采用 CPS8 四边形八节点单元网格，总计划分 9916 个单元格裂纹尖端网格划分如图 4。裂纹中 心距 s/w 取值范围为 0 0.375 ，变化幅度为 0.025。a/w 分别取 0.2，0.325，0.375，0.5，0.7。

图 2 正对称纯 I 型四点弯曲加载示意图

图 3 反对称四点弯曲加载示意图 -9http://www.ivypub.org/AE

a/w=0.2 a/w=0.325 a/w=0.375 a/w=0.5 a/w=0.6 a/w=0.7

0.3 0.2 0.1

B

0.0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

S/W

图 4 裂纹尖端区域网格划分图

图 5 反对称四点弯曲非奇异应力项 T-stress 随裂纹深度 a/w,裂纹中心距离 s/w 的变化关系

4 实验研究 本文采用四点弯曲实验方案对纯 I，I-II 混合型，纯 II 型裂纹断裂临界应力强度因子进行了测定，试件材 料为花岗岩，弹性模量 82.0GP，泊松比 0.26，巴西圆盘测定抗拉强度为 σt=13MPa，试件尺寸分别为厚度 t=18mm，长度 l=200mm，高度 w=40mm。 其中纯 I 型裂纹通过正对称四点弯曲方案实现对如图（3）所示。I-II 混合型，纯 II 型裂纹通过反对称四 点弯曲方案实现，如图（4）所示。当 s  0 时，为纯 II 型裂纹，随着 s 增大，试件中的裂纹转变为 I-II 拉剪 复合裂纹。实验加载与实验结果如图（5） ，图（6） 。

图 6 含边裂纹梁反对称四点弯曲实验加载图

图 7 含边裂纹梁反对称四点弯曲实验破坏效果图

有最大周向拉应力定律[15]，则临界半径如下

 

1 K IC 2 (12) 2  t 本文所测花岗岩 I 型临界断裂因 KIC=77.09867MPa。结合抗拉强度 σt=13MPa，代入方程（11）得 rc 

rc=5.598mm。引入 I-II 裂纹混合度系数 ζ=tan-1(KI/KII)将 rc 代入方程（8） ，（9） ，结合图（3）， （4） ，即得对于 不同裂纹深度（a/w）T-stress 对裂纹起裂角度影响的 θ0~ζ 函数曲线如图（5），以及 T-stress 对 I-II 混合型裂纹 临界应力强度因子影响的 KIf/KIC~KIIf/KIC 函数曲线，如图（6） 。 - 10 http://www.ivypub.org/AE

MTS a/w=0.2 a/w=0.325 a/w=0.375 a/w=0.5 a/w=0.6 a/w=0.7

80 70 60 50

0

40 30 20 10 0 0

20

40

60

80

100



图 8 不同裂纹深度 a/w T-stress 影响下裂纹起裂角度 θ0 与 I-II 混合度系数 ζ=tan-1(KI/KII)的关系曲线 MTS a/w=0.2 a/w=0.325 a/w=0.375 a/w=0.5 a/w=0.6 a/w=0.7

1.0

0.8

KII/KIIC

0.6

0.4

0.2

0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

KI/KIC

图 9 不同裂纹深度 a/w T-stress 影响下裂纹下临界应力强度因子 KIf/KIC~KIIf/KIC 变化关系。 MTS a/w=0.325 granite a/w=0.325 test date

1.0

0.8

B

0.6

0.4

0.2

0.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

A

图 10 MTS criterion, a/w=0.325 考虑 T 应力影响 MTS criterion, a/w=0.325,花岗岩临界应力强度因子实验测试值 KIf/KIC~KIIf/KIC 对比曲线 - 11 http://www.ivypub.org/AE

5 讨论与结论 （1）图 5 为 ABAQUS 有限元数值模拟所得对于不同的裂纹深度（a/w），非奇异项 T-stress 无量纲参数 T a 随裂纹中心距（s/w）的变化规律。裂纹深度较大（a/w  0.5）或较小（a/w  0.3）时，无量纲 B K I2  K II2 参数绝对值相对较大，即 T 应力相对较大，当裂纹深度接近 1/3 时， （a/w=0.325，a/w=0.375）参数 B 变化平 缓，绝对值接近 0，T 应力影响较小。 （2）图 8 为反对称四点弯曲试验 T-stress 对裂纹起裂角度角度的影响。由公式可得，当 T-stress 为正值 时，裂纹起裂角度较 θ0 增大；T-stress 为负值时，裂纹起裂角度较 θ0 减小。当对于不同的裂纹深度（a/w） ， 当裂纹中心距离（s/w）较小时，即 ζ=tan-1(KI/KII)较小时，T-stress 为正值，如图，裂纹起裂角 θ0 比传统 MTScriterion 较大。当裂纹中心距离（s/w）达到一定值后，ζ=tan-1(KI/KII)，即较大时，T-stress 为负值，裂纹起裂 角 θ0 比传统 MTS- criterion 较小。 （3）图 9 反对称四点弯曲试验 T-stress 对临界应力强度因子 KIf/KIC，KIIf/KIC 的影响。正值 T-stress 能降 低 II 型临界应力强度因子 KIf/KIC（s/w 小于一定值时）。正值 T-stress 能增大 II 型临界应力强度因子 KIf/KIC （s/w 大于一定值时） 。 （4）图 10 为传统 MTS- criterion，a/w=0.325 考虑 T-stress 修正 MTS-criterion，a/w=0.325 花岗岩实验测 试值比较。由图可知，考虑 T-stress 的影响的修正 MTS- criterion 与实验测试值更为吻合。

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【作者简介】 1

刘宏杰（1990-） ，男，汉，硕士，结构

工程。Email: 972891996@qq.com

2

朱哲明（1965-） ，男，博士导师，教授从事断裂力学、岩石

力学研究。Email: zhemingzhu@hotmail.com 3

王超（1987-） ，女，博士，从事固体力学研究。

Email: 597155894@qq.com

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