Topological horseshoe in a chaotic system with no equilibria

Mathematical Computation June 2014, Volume 3, Issue 2, PP.63-67

Topological Horseshoe in a Chaotic System with no Equilibria Hongzheng Zeng, Fangyan Yang# Institute for Nonlinear Circuits and Systems, Chongqing University of Posts and Telecommunications, Chongqing, 400065, China #Email: yangfy@cqupt.edu.cn

Abstract In order to confirm the chaotic behavior of a chaotic systems with no equilibria proposed by Wang and chen. Here we present a strict computer aided proof by virtue of the poincare map and the theory of topological horseshoe. Compared with the simple utilization of simulation or Lyapunov index to identify the chaos, which is stronger theoretical foundation and higher reliability.

Keywords: Attractor; Chaos; Poincare Map; Topological Horseshoe

一个没有平衡点的混沌系统的拓扑马蹄 曾洪正，杨芳艳 非线性电路与系统实验室 重庆邮电大学，重庆 400065 摘 要: 为了确认王和陈提出的一个没有平衡点的混沌系统的混沌行为，我们依靠庞加莱映射和拓扑马蹄理论呈现出一个 严格的马蹄混沌的计算机辅助证明。与简单的利用仿真或李亚普罗夫指数判定混沌性相比有较强的理论依据和更高的可 靠性。 关键字: 吸引子; 混沌; 庞加莱映射; 拓扑马蹄

引言 在非线性系统理论中，平衡点对于非线性行为的产生机制是十分重要的，尤其是 Si'lnikov 类型的混沌[1]。 在过去的几十年间，文献里报道了许多混沌或者超混沌系统。然而，它们中大多都具有一个至三个不稳定 平衡点，诸如洛伦兹系统

，Rössler 系统

[2]

，陈系统

[3]

，吕系统

[4]

，等等

[5]

够通过双曲平衡点的稳定和不稳定流形得到很好的阐释。这篇文章

[10]

。在这些系统中, 混沌现象能

[6-9]

似乎是第一个数值仿真发现没有平衡

点的三维自治混沌系统。而且，对于这个令人惊奇的混沌系统，因为不可能存在着同宿轨道和独特的稳定 鞍焦平衡点，所以著名的 Si’lnikov 标准是不适用的。因此揭示了混沌系统一些新的神奇的特点。证明这样 不同寻常的混沌行为的存在性是非常必要的，有助于研究混沌行为的新的产生机制，在本文中我们凭借庞 加莱映射和拓扑马蹄理论呈现出了一个严格的混沌计算机辅助证明。

1

没有平衡点的混沌系统 王和陈报道过的一个三维自治混沌系统在文献[10]中如下所示： x y yz z   y  3 y 2  x 2  xz  a

（1）

当 a  0 ，这个系统有两个对称的平衡点： ( a ,0,0) 和 ( a ,0,0) ，取 a  0.02 如图 1.1 所示，李雅普诺



本论文获得了部分国家自然科学基金（批准号: 61104150），重庆市教委科学技术研究项目(KJ130517)，重庆市科委科学技术 研究项目(cstcjjA40044)支持资助。 - 63 www.ivypub.org/mc

夫指数为 0.1007，-0.0000，-1.3352； 当 a  0 ，这两个对称的平衡点合并成一个平衡点，即原点 (0,0,0) .如图 1.2 所示，李雅普诺夫指数为 0.1023，0.0000，-1.3188； 当 a  0 ，这个系统没有平衡点。取 a  0.02 如图 1.3 所示，李雅普诺夫指数为 0.0958，-0.0000，1.2840，令人惊奇的是系统在没有平衡点的时候仍然存在混沌吸引子。

图 1.1 T 混沌吸引子当 a  0.02

图 1.2 T 混沌吸引子当 a  0 图 1.3 T 混沌吸引子当 a  0.02

2

符号动力学和马蹄理论简介 为了研究系统（1）的流所诱导的庞加莱映射的动力学行为，我们首先回顾一下符号动力学和拓扑马蹄

理论[11-12]，对于系统（1）的严格的混沌证明是至关重要的。

Sm  0,1,2,..., m  1

m s  ( . ns. . 1 , s

为 0,

一

个

非

. s1 . n s. ,

负

连

续

整



, . m .s . ,sS, s is ，并且定义在 

d ( s, s )  

1

 2

i



数

从

0

到

, m ,之间的距离为 . . . ,

m 1

,

集

.

.

si  si

合

.

，

)

:

（2）

1  si  si

那么在距离定义（2）下，  是一个紧致的完全不连通的完备度量空间[13]，满足上述三个条件的集合 m

通常被称为 Cantor 集，Cantor 集通常可以展现出混沌动力系统不变集的结构复杂性。 现在定义一个 m 移位映射(m-shift map)  ：    当  (s)i  si 1 。即映射  ( s) 使得 s 的每个元素左 m

m

移一位。 定义 3.1： 设  和 X 是拓扑空间， f ： X  X 和  ：    是连续映射，如果存在从空间  到空间 X m

m

m

m

一个连续的同胚 h ：   X 使得 f h  h  ，我们就说映射 f 是拓扑共轭于  ，若 h 仅仅是满射，我们 m

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就称 f 和  半拓扑共轭。 命题 1. 移位映射  是连续的并且  ( )   ，作为一个定义在  上的动力系统，  在  上有无穷可数 m

m

m

m

个周期轨，无穷不可数个非周期轨以及一个稠密轨道。 为了证明上述声明，我们参考读物[13]。通过这个命题我们得知  生成的动力系统对于初值具有敏感依 赖性，因此是混沌的。 现在我们回顾拓扑马蹄理论的结果。 假设 X 是一个拓扑空间， D 是 X 的紧致集，并且映射 f ： D  X 是一个映射且存在 D 的 m 个互不相 交的紧致集 D1 , D2 ,..., Dm ，且对于每个 Di ，有 f | Di 是连续的。 定义 3.2： 假设  是 D 的一个紧致集，对于任意 1  i  m ，  i  

Di 非空且紧致，则称  为对应于 D1 , D2 ,..., Dm

的 连 接 ， 令 F 为 一 簇 对 应 于 D1 , D2 ,..., Dm 的 连 接 ， 如 果   F  f ( i )  F ， 那 么 则 F 称 为 对 应 于 D1 , D2 ,..., Dm 的 f 连接簇(f-family)。

拓扑马蹄引理 [12] ：假设存在一个对应于 D1 , D2 ,..., Dm 的 f 连接簇 F ，那么将存在一个紧致不变集   D ，使得 f |  与一个 m 移位映射半共轭。

图 2.2 D2 和在 H 4 ( D2 ) 下的相

图 2.1 D1 和在 H 4 ( D1 ) 下的相

图 2.3 马蹄映射当 a  0.02

3

庞加莱映射动力学中的马蹄 拓扑马蹄引理由于是基于拓扑学上的描述，所以在应用时有一定的难度，下面我们给一些比较直观的

推论[14-15]，首先需要引入“穿过”的概念。 - 65 www.ivypub.org/mc

定义 4.1： 令 Di1 和 Di 2 为 Di 的两个互不相交的紧子集，对于 Di 的一个联通子集 l ，若 l

Di1   和 l

Di 2   ，

f (l )

则称 l 连接 Di1 和 Di 2 ，表示为 Di1  Di 2 。 定义 4.2： 令 l  Di 为一个连通子集，如果 l 有一个子集 l ' ，使 f (l ')  D j 且 f (l ')  D j ，如果 Di 中，对于任意满足 l

Di1  Di 2 的连通子集 l ， f (l ) | D j 都成立，我们就称对于 ( Di1 , Di 2 ) 和 ( D j1 , D j 2 ) ， f ( Di ) 恰当穿过 D j ，记 为 f ( Di ) | D j 。 根 据 上 述 定 义 ， 不 难 看 出 ， 这 里 的 “ 恰 当 穿 过 ” 具 有 传 递 性 ， 即 若 f ( Di )  | D j 且 f ( D j ) | Dh 则 f ( Di ) | Dh ，该性质不仅有助于拓扑马蹄的寻找，还能得出下面定理和推论

定理 4.1： 如果对任意 1  i, j  m ， f ( Di ) | D j 恒成立，那么必然存在一个紧不变集 K  D 使 f | K 半共轭与双边

m 移位映射  |  ，并且拓扑熵 ent ( f )  log m 。 m

推论 4.1： 如果 D 存在两个完全不相交的紧子集 D1 和 D2 ， f m | D1 和 f n | D2 是微分同胚，这里 m 和 n 是正整数， 并且 f m ( D1 ) | D1 ， f m ( D1 ) | D2 且 f n ( D2 ) | D1 ，那么存在一个紧不变子集 K  D 使 f 2m n | K 半共轭于 1 2 位移映射，且有拓扑熵为 ent ( f )  log 2 。 2m  n 推论 4.2： 如果 D 存在两个完全不相交的紧子集 D1 和 D2 ， f m | D1 和 f n | D2 是微分同胚，这里 m 和 n 是正整数， 并 且 f m ( D1 ) | D1 ， f m ( D1 ) | D2 且 f n ( D2 ) | D1 ， f n ( D2 ) | D2 那 么 存 在 一 个 紧 不 变 子 集 K  D 使 1 f m n | K 半共轭于 2 位移映射，且有拓扑熵为 ent ( f )  log 2 。 mn 为了找出这个系统的混沌马蹄，我们首先选取一个合适的庞加莱截面，将其转化为庞加莱映射，在选 取庞加莱截面时，要避免轨线与截面的相切，这会造成映射的不连续性。由于拓扑马蹄中蕴含了大量的双 曲周期轨道，因此寻找映射的拓扑马蹄的第一步就是搜索出双曲的短周期轨道。对于这些周期轨道，我们 需要知道它们的稳定和不稳定流形的方向，因为其分别对应于拓扑马蹄的收缩和拉伸。接着可以通过尝试 的方法，分别围绕每个周期点，取上述的紧子集 Di 或 Bi ，并通过调节其边界和 f 的迭代次数，使其满足定 理或推论中的判定条件。 经过多次尝试，我们取庞加莱截面如下：

  {( x, y, z) : y  0} ， 我们定义对应的庞加莱映射 H ：    如下，对每个 p   ， H ( p) 是系统（1）在初始值 p 的流 下的第一回归映射。 现在，我们证明系统（1）的吸引子在确实是混沌的。两个子集 D1 和 D2 如图 2.3 中所示， D1 是一个四 边形，四个顶点按照 ( x, z ) 如下： (2.851819828,-2.215325019), (2.869309302,-2.400270849) (2.967687592,-2.490998992), (2.945825750,-2.313032250) D2 也是一个四边形,四个顶点按照 ( x, z ) 如下：

(3.105417198,-2.630580751), (3.092300093,-2.459593096) (3.208167857,-2.578237591), (3.219098778,-2.728287982) 从图中, 我们能清楚的看见以下关系： - 66 www.ivypub.org/mc

H 4 ( D1 )

D1 , H 4 ( D1 )

D2 ,且 H 4 ( D2 )

D1 ， H 4 ( D2 )

D2

其中 H 4 ( D1 ) 和 H 4 ( D2 ) 因为在不稳定流形上压缩的太窄，以至于看上去像一条线。 1 如果我们设映射 f 为 H 显然满足推论 2.2，所以 ent  H   log 2 ，这表明当   0.02 时映射确实是混 8 沌的。

4

结论 本文给出了一个没有平衡点的三维自治混沌系统的拓扑马蹄，揭示出了一些混沌系统新的特性，为了

研究混沌的产生机制，在本文中我们通过庞加莱映射和拓扑马蹄理论提出了一个严格的马蹄混沌的计算机 辅助证明，在将来的研究中我们将继续以下的研究，如可以计算这个新混沌系统的拓扑熵，并将它和不稳 定的鞍焦混沌系统进行比较等。

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【作者简介】 1

曾洪正（1989- ），男，汉族，重庆邮电大学硕士研究生，

算 数 学 专 业 ， 在 “Int. J.Bifurcation and Chaos” ， “Chaos

主要从事非线性系统与混沌理论研究。

Solitons & Fractals” 等期刊发表学术论文 12 篇，其中 8 篇被

Email: zenghz0412@hotmail.com.

SCI 检索。目前研究领域：动力系统的数值计算、混沌等。 Email: yangfy@cqupt.edu.cn.

2

杨芳艳（1979- ），女，汉族，现为重庆邮电大学讲师，计

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