Fundamentos de señales y sistemas

j u l i á n q i r o g a s e p ú lv e d a recibió sus

usado como texto guía en cursos de pregrado de ingeniería en los cuales se

títulos de ingeniero electrónico de la

quiera dar al estudiante fundamentos del manejo de conceptos de señales

Universidad Nacional de Colombia, de magíster

y sistemas, tiempo, frecuencia y variable compleja, con un buen grado de

en Ingeniería Electrónica de la Universidad de

formalidad matemática. Además, puede ser un texto complementario en

los Andes y de doctor en Informática y

cursos de posgrado, para hacer una introducción al procesamiento digital

Matemáticas de la Universidad de Grenoble

de señales y al análisis tiempo-frecuencia, mediante la explicación de temas

(Francia). Actualmente, es profesor asociado de la Pontificia Universidad Javeriana (Bogotá) e investigador asociado, categoría de Colciencias.

Ha sido investigador visitante del Institut

como filtros digitales, conversión de la tasa de muestreo y transformadas de tiempo corto.

Fundamentos de señales y sistemas pretende apoyar al estudiante en

National de Recherche en Informatique et en

la comprensión de temáticas demandantes debido a sus requerimientos

Automatique, en Grenoble (Francia), y de la

matemáticos y a lo abstracto de sus conceptos. Por tal motivo, el libro reúne

Universidad de Freiburg (Alemania). Sus

deducciones matemáticas completas, un conjunto de ejemplos explicativos

principales intereses en investigación son el

y más de 500 ilustraciones que permiten guiar el camino de aprendizaje y

procesamiento digital de señales e imágenes, la

de apropiación de las herramientas matemáticas para el estudio de señales

visión por computador y el reconocimiento de

y sistemas. Este texto será de gran utilidad para el desarrollo de los cursos

patrones en video. Es revisor de las principales

relacionados con la teoría de señales y sistemas.

conferencias en visión por computador, como c v p r , e c c v e i c c v. Ha sido jefe de programa de la conferencia colombiana de Tratamiento de Señales, Imágenes y Visión Artificial. Ha dirigido alrededor de cincuenta trabajos de grado de pregrado y posgrado relacionados con el procesamiento digital de señales y la visión por computador.

Julián Quiroga Sepúlveda

y de sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Este libro puede ser

—

sintetiza los contenidos esenciales del análisis de señales determinísticas

f u n d a m e n to s d e s e ñ a l e s y s i s t e m a s

l a p r i m e r a e d i c i ó n d e l l i b r o Fundamentos de señales y sistemas

Julián Quiroga Sepúlveda

F u n d a m e n to s d e Señales y Sistemas

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F U N DA M E N T O S D E S E Ñ A L E S Y S I S T E M A S

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J U L I Á N Q U I R O G A S E P Ú L V E DA

F U N DA M E N T O S D E SEÑALES Y SISTEMAS

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reservados todos los derechos © Pontificia Universidad Javeriana © Julián Quiroga Sepúlveda, autor

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corrección de estilo: Héctor Palacios diseño de pauta LATEX, diagramación y diseño de cubierta: Andrés Conrado Montoya Acosta

Primera edición Bogotá, d. c., febrero de 2018 isbn: 978–958–781–146–9 Número de ejemplares: 400 Impreso y hecho en colombia Printed and made in Colombia

impresión: Javegraf

Editorial Pontificia Universidad Javeriana Carrera 7.a n.o 37-25, oficina 1301 Edificio Lutaima Teléfono: 320 8320 ext. 4752 www.javeriana.edu.co/editorial editorialpuj@javeriana.edu.co Bogotá, d. c.

Pontificia Universidad Javeriana | Vigilada Mineducación. Reconocimiento como Universidad: Decreto 1297 del 30 de mayo de 1964. Reconocimiento de personería jurídica: Resolución 73 del 12 de diciembre de 1933 del Ministerio de Gobierno.

Quiroga Sepúlveda, Julián, autor Fundamentos de señales y sistemas / Julián Quiroga Sepúlveda. — Primera edición. — Bogotá : Editorial Pontificia Universidad Javeriana, 2017.

318 páginas: ilustraciones, gráficas; 28 cm Incluye referencias bibliográficas. isbn : 978–958–781–146–9 1. procesamiento de señales. 2. teoría de las señales (telecomunicaciones). 3. procesamiento digital de señales. 4. ingeniería electrónica. 5. series de fourier. 6. transformaciones de fourier. 7. matemáticas. i. pontificia universidad javeriana. facultad de ingeniería. cdd 621.38043 edición 21 Catalogación en la publicación – Pontificia Universidad Javeriana. Biblioteca Alfonso Borrero Cabal, s. j.

inp

25/10/2016 Prohibida la reproducción total o parcial de este material, sin autorización por escrito de la Pontificia Universidad Javeriana.

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A Myriam Teresa y Germán Augusto

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Índice general Prefacio

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13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2 Clasificación de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3 Transformaciones del tiempo

17

1 Señales continuas 1.1 Definición de señal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.5 Potencia y energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.6 Señales singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.7 Espacios vectoriales de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2 Sistemas de tiempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

1.4 Señales periódicas de tiempo continuo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.3 Sistemas lineales e invariantes en el tiempo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.4 Propiedades de los slit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.5 Ejercicios

48

2.1 Definición

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.1 Descomposición de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.2 Aproximación de vectores

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.3 Bases ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.4 Representación de señales en un intervalo de tiempo finito

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.5 Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.6 Ejercicios

65

3 Representación de señales de tiempo continuo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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i 10

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índice general

4 Series de Fourier

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

4.2 Representación de señales periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

4.3 Serie trigonométrica de Fourier

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

4.4 Serie trigonométrica de Fourier para señales pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.5 Teorema de Parseval para la serie trigonométrica de Fourier

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

4.1 Serie exponencial de Fourier (sef)

4.6 Ejercicios

5 Transformada de Fourier

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

5.1 Deducción de la transformada de Fourier 5.2 Transformada de Fourier L1

91

5.3 Propiedades de la transformada de Fourier L1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

5.5 Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

5.6 Transformada de Fourier L2

116

5.4 Propiedad de convolución

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

5.7 Transformadas de Fourier de señales periódicas 5.8 Ejercicios

6 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

6.2 Cálculo y convergencia de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

6.3 Relación entre Laplace y Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

6.4 Transformada de Laplace inversa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

6.5 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

6.6 Análisis de un slit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

138

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

6.1 Definición

6.7 Ejercicios

7 Muestreo en tiempo y señales discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

154

7.3 Espacios vectoriales de señales discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163

7.4 Ejercicios

166

7.1 Muestreo ideal en tiempo 7.2 Señales discretas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169

8.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169

8.3 Sistemas lineales e invariantes en el tiempo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

172

8.4 Propiedades de los slit discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

179

8.5 Sistemas fir e iir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181

8.6 slit en ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

182

8.7 Ejercicios

185

8.1 Definición

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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i índice general

11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

187

9.1 Transformada de Fourier de tiempo discreto (tftd) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

187

9 Análisis de Fourier de tiempo discreto

9.2 Transformada discreta de Fourier (tdf) 9.3 Aplicaciones de la tdf

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.4 Transformada rápida de Fourier (fft)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

215 219

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

9.5 Ejercicios

10 Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 10.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2 Cálculo y convergencia de la transformada Z 10.3 Relación entre Z y Fourier 10.4 Transformada Z inversa 10.5 Propiedades

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

10.6 Análisis de un slit discreto 10.7 Ejercicios

225

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

235

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

11 Filtros digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 11.1 Especificaciones de un filtro digital

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

11.2 Diseño de filtros fir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 11.3 Diseño de filtros iir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

261

12.1 Conversión del tiempo de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

261

12 Tasa de muestreo múltiple

12.2 Diezmado por un factor D

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

12.3 Interpolación por un factor I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

271

12.4 Conversión de frecuencia de muestreo por un factor racional

277

. . . . . . . . . . . . . . . . .

12.5 Digital Subbanding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 12.6 Ejercicios

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

281

13 Introducción al análisis tiempo-frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 13.1 Átomos tiempo-frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 13.2 Transformada de Fourier de tiempo-corto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 13.3 Transformada wavelet continua (twc)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.4 Transformada wavelet discreta (twd)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Bibliografía

291

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Apéndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 a Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 b Espacios vectoriales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Prefacio la primera edición del libro Fundamentos de señales y sistemas recopila los contenidos básicos del análisis de señales determinísticas y de sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Este libro puede ser usado como texto guía en cursos de pregrado de ingeniería eléctrica y electrónica, en los cuales se quiera fundamentar al estudiante en el manejo de conceptos de señales y sistemas, en tiempo y en frecuencia, con un buen grado de formalidad matemática. Adicionalmente, el libro puede ser utilizado como texto complementario en cursos de posgrado, para la introducción al procesamiento digital de señales y al análisis tiempo-frecuencia, cubriendo temas como filtros digitales, conversión de la tasa de muestreo y transformadas de tiempo corto.

El libro reúne deducciones matemáticas junto a una serie de ejemplos explicativos, los cuales intentan guiar al estudiante en su camino de aprendizaje y de apropiación de las herramientas presentadas para el estudio de señales y sistemas. Para ello, el libro contiene en cada capítulo las temáticas principales, acompañadas de ilustraciones y ejemplos desarrollados en su totalidad.

Este libro trata de apoyar al estudiante en la comprensión de un tema demandante debido a sus requerimientos matemáticos. Por tal motivo, es de suma importancia que se realice la lectura de los contenidos de cada sección, revisando los ejemplos y desarrollando los ejercicios propuestos, con el fin de apropiarse de cada una de las temáticas. Los dos anexos presentan conceptos necesarios para la comprensión del contenido del libro, por lo tanto se sugiere revisar los temas ahí tratados. Debido a la cantidad de definiciones y conceptos que se manejan en este texto, se recomienda realizar la lectura en el orden propuesto. Algunos temas complementarios son desarrollados de forma corta, si se desea profundizar en cualquiera de estos contenidos, el lector puede consultar la bibliografía aquí relacionada.

El libro está organizado como sigue. En los capítulos del 1 al 6 se presentan los conceptos básicos en tiempo continuo de señales, sistemas y representación, así como herramientas de análisis basadas en la transformada de Fourier y la transformada de Laplace. En el capítulo 7 se estudian los principios del muestreo ideal y se realiza la conexión entre tiempo continuo y discreto. En los capítulos del 7 al 10 se desarrollan las temáticas de señales y sistemas de tiempo discreto, y de igual forma, se estudia la transformada de Fourier y la transformada Z como herramientas de análisis en este dominio. Finalmente, el libro concluye en los capítulos del 11 al 13, con una profundización de los conceptos trabajados en aplicaciones de filtros digitales, conversión de la tasa de muestreo y la teoría introductoria al análisis tiempo-frecuencia.

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prefacio Deseo agradecer especialmente a David Hidalgo Erazo, quien hizo posible finalizar este libro en el tiempo planeado. Su dedicación y empeño en la elaboración de figuras, transcripción y corrección del texto y sus sugerencias de estilo y contenido definieron en gran medida el documento final. De igual forma, quiero agradecer a Jairo Alberto Hurtado Londoño, por la corrección de la totalidad del libro, por las enriquecedoras discusiones acerca del enfoque que debería tener, por las sugerencias sobre cómo presentar y desarrollar diferentes temáticas y por los ejercicios adicionales que se presentan al final de algunos de los capítulos. Quisiera también reconocer el aporte de mis estudiantes de los cursos Señales y Sistemas, Análisis de Fourier, Señales e Imágenes, Procesamiento Digital de Señales, Procesamiento de Imágenes y Video impartidos entre los años 2006 y 2016, quienes utilizaron estos contenidos y ayudaron en su mejoramiento. Finalmente, un agradecimiento especial al Departamento de Electrónica de la Pontificia Universidad Javeriana, por el tiempo y los recursos otorgados para el desarrollo de este libro.

Espero que este libro sea de gran utilidad para el desarrollo de sus cursos de señales y sistemas. Agradezco me comuniquen los errores o cualquier sugerencia para la mejora del mismo.

Julián Quiroga Sepúlveda

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1 Señales continuas 1.1 Definición de señal una señal es una abstracción de cualquier cantidad mesurable que es función de una o más variables independientes. La señales unidimensionales dependen de una sola variable independiente. Por ejemplo, el voltaje en los terminales de un generador es función del tiempo y la temperatura alrededor de una fuente de calor es función de la distancia a la fuente. Por otro lado, la señales multidimensionales son funciones de más de dos variables independientes. Por ejemplo, una imagen es una señal bidimensional cuya intensidad depende

(a)

de la posición vertical y la posición horizontal observada, es decir, de la posición espacial.

En la figura 1.1 se ilustran algunos ejemplos de señales.

Las señales pueden modelarse matemáticamente como funciones. Por ejemplo, una señal de voltaje puede verse como una función que tiene como dominio un conjunto de tiempos y como rango los valores de voltaje que son asignados a cada tiempo, como se ilustra en la figura 1.2. Las características del dominio y del rango de una señal permiten realizar su clasificación en diferentes conjuntos de interés, como se presenta en la sección 1.2. En

(b)

particular, en este libro se estudia el caso de señales unidimensionales, donde el domino corresponde al tiempo.

1.2 Clasificación de señales 1.2.1 señales continuas y discretas La señales pueden clasificarse en dos grandes grupos de acuerdo con su dominio: en señales

(c)

de tiempo continuo (tc) o señales continuas, que denotaremos como x.t /, y en señales de

Figura 1.1. Ejemplos de señales: (a) señal función del tiempo, (b) señal función de la distancia y (c) señal (imagen) función de la posición.

tiempo discreto (td) o señales discretas, que escribiremos como xŒn .

1.2.1.1 señales de tiempo continuo Las señales continuas se encuentran definidas para todos los instantes de tiempo y pueden modelarse como funciones que tienen como dominio los reales, i.e., f W R ! ?, con ? representando cualquier conjunto numérico. El valor de una señal de tc se puede conocer en cualquier instante. Las señales que se modelan como f W R ! R se conocen como señales de tc reales, debido a que solo toman valores reales, como se ilustra en la figura 1.3 (a). Por otro lado, las señales que se modelan como f W R ! C se conocen como señales de tc complejas, ya que toman un valor complejo para cada tiempo, como se presenta en la figura 1.3 (b).

Figura 1.2. Señal de voltaje vista como una función.

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señales continuas Observación 1.1. Aunque toda señal real es también compleja por definición, pues R C, se denomina señal compleja a las señales que toman valores complejos con parte imaginaria diferente de cero, es decir, valores no puramente reales.

1.2.1.2 señales de tiempo discreto Las señales discretas se definen sobre un conjunto contable (ver apéndice A) del tiempo y pueden modelarse como funciones con dominio en los enteros, i.e., f W Z ! ?, con ? representando un conjunto numérico. El valor de una señal de TD solo puede conocerse para tiempos sobre los cuales se encuentra definida. Las señales que se modelan como f W Z ! R se conocen como señales de TD reales debido a que toman solo valores reales, como se (a)

ilustra en la figura 1.4 (a). Por otro lado, las señales que se modelan como f W Z ! C se conocen como señales de TD complejas, suponiendo que toman valores con parte imaginaria diferente de cero, como se ilustra en la figura 1.4 (b).

La señales de td pueden verse como versiones muestreadas de las señales de tc, como sucede al digitalizar una canción o al escanear una fotografía. En el capítulo 7 se estudian en detalle las señales discretas y el procedimiento de muestreo.

(b) Figura 1.3. Señales de tiempo continuo: (a) señal continua real y (b) señal continua compleja.

1.2.2 señales de valor continuo y valor discreto Las señales pueden clasificarse en dos grupos de acuerdo con su rango: en señales de valor continuo y en señales de valor discreto. De forma analoga al caso del dominio, la naturaleza contable o no contable del rango define el tipo de señal. Una señal de valor continuo toma valores sobre un conjunto no contable, por ejemplo cualquier valor sobre un intervalo, como es el caso de la señal f W Z ! Œ 1; 1 . Por otro lado, una señal de valor discreto toma valores sobre un conjunto contable, por ejemplo sobre un subconjunto de los enteros, como es el caso de la señal f W R ! f 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3g.

Observación 1.2. La definición de valor continuo y valor discreto es independiente de la

(a)

naturaleza de tiempo continuo o discreto de la señal, es decir, depende solo de su rango.

En la figura 1.5 se ilustran señales de valor discreto y continuo, ambas de tiempo continuo.

1.2.3 señales de soporte compacto (de duración finita) La señales pueden clasificarse de acuerdo con las características del conjunto del tiempo sobre el cual se encuentran definidas. El soporte de una función se define como el subconjunto del (b) Figura 1.4. Señales de tiempo discreto: (a) señal discreta real y (b) señal discreta compleja. En la figura (b) se utilizan lineas para unir los valores de la señal para visualizar la forma de onda.

dominio dentro del cual la función toma valores distintos de cero. Para el caso de señales que son funciones del tiempo se presenta un definición similar.

Definición 1.1. El soporte de una señal continua x.t / es el subconjunto cerrado y conexo más pequeño del tiempo que contiene todos los valores no nulos de x.t /.

Así, el soporte de una señal es el subconjunto del tiempo (de los reales) en donde se presentan todos los valores diferentes de cero de la señal, sin importar que contenga valores nulos de la misma. El soporte debe cumplir dos condiciones muy importantes: debe ser conexo y debe ser el conjunto más pequeño que contiene los valores no nulos. La primera implica que el soporte no puede descomponerse en términos de conjuntos cerrados disjuntos, por lo que siempre corresponde a un solo intervalo de la recta real. Ahora, por ser el conjunto más pequeño, no puede existir otro conjunto conexo que contenga los valores no nulos y que sea un subconjunto propio del soporte. En la figura 1.6 (a) está representada una señal cuyo soporte corresponde a un conjunto acotado. En la figura 1.6 (b) se representa una señal

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transformaciones del tiempo

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cuyo soporte se encuentra acotado inferiormente pero no superiormente, ya que la señal tiende a cero cuando t tiende a infinito, pero nunca llega a ser cero.

Definición 1.2. Una señal tiene soporte compacto si su soporte es acotado.

Ejemplo 1.1. La señal triangular que ilustra en la figura 1.7 (a) tiene soporte compacto dado por el intervalo Œ 2; 2 . La señal x.t / D e

t2

no tiene soporte compacto, pues la señal nunca

llega a ser cero, ver figura 1.7 (b). En este caso el soporte de la señal corresponde a los reales.

Observación 1.3. Para el caso de señales con soporte no acotado, el soporte es un subconjunto

(a)

no cerrado del tiempo, como en la figura 1.6 (b) donde el soporte es el intervalo Œ0; 1/.

Definición 1.3. Una señal causal tiene como soporte un subconjunto del intervalo Œ0; 1/ mientras una señal anticausal tiene por soporte un subconjunto del intervalo . 1; 0 . Las señales cuyo soporte contiene tanto tiempos positivos como negativos se denominan señales bilaterales.

1.2.4 señales acotadas en valor (de valor finito) Una señal acotada en valor, o simplemente acotada, es aquella que toma solo valores finitos.

Los valores de una señal están definidos por su rango, el cual es un subconjunto de los reales

(b) Figura 1.5. Señales de (a) valor discreto y (b) valor continuo.

o de los complejos, dependiendo del tipo de señal. Si el rango de la señal es un conjunto acotado se define que la señal es acotada (en valor). Sin embargo, para el caso de señales que toman valores complejos esta definición no aplica, pues los complejos no tienen orden, es decir, no se puede decir que un complejo es más grande que otro. Por tal motivo, con el fin de obtener únicamente valores reales tanto para señales reales como para complejas se toma la magnitud de la señal.

Definición 1.4. Una señal x.t / es acotada si existe un valor M 2 RC tal que para todos los instantes de tiempo se cumple que jx.t /j M .

(a)

De acuerdo con esto, una señal es acotada si existe un real M que sea mayor o igual a su magnitud para todos los tiempos. Para el caso de señales reales, la definición implica que el rango de la señal tiene supremo e ínfimo reales (ver apéndice A).

Ejemplo 1.2. Las exponenciales complejas son señales acotadas, debido a que su magnitud ˇ ˇ es constante. Si x.t / D Ae j!0 t , con A 2 RC , entonces jx.t /j D ˇAe j!0 t ˇ D A, dado que ˇ j! t ˇ ˇe 0 ˇ D 1.

Ejemplo 1.3. La señal x.t / D arctan.t / de la figura 1.8 (a), es una señal acotada en magnitud por

.

2

En cambio, la señal x.t / D

1 t

no es acotada, como se ilustra en la figura 1.8 (b).

(b) Figura 1.6. Ejemplos de soportes: (a) acotado y (b) no acotado.

1.3 Transformaciones del tiempo Cuando la variable temporal t de una señal x.t / se transforma como x.at / o x.t

t0 /, con

a; t0 2 R, la señal cambia sus propiedades como se describe a continuación.

1.3.1 reflexión temporal La reflexión temporal se realiza sustituyendo la variable temporal t por t. Bajo esta transformación la señal original x.t / se refleja respecto al tiempo t D 0 para obtener la señal x. t /, como se ilustra para la señal tipo escalera de la figura 1.9.

Ejemplo 1.4. Si x.t / es una señal causal con soporte Œt1 ; t2 , donde t1 ; t2 2 RC y t1 < t2 , entonces la señal reflejada x. t / tiene soporte Œ t2 ; t1 .

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señales continuas Observación 1.4. Al realizar la reflexión temporal de una señal causal se obtiene una señal anticausal y viceversa.

1.3.2 señales pares e impares Algunas señales cumplen con cierto tipo de simetría con respecto al tiempo cero y de acuerdo con esta simetría pueden clasificarse en señales pares o impares.

1.3.2.1 señales pares (a)

Una señal x.t / es par si cumple con x.t / D x. t /, i.e., si al reflejarla con respecto a t D 0 se obtiene la misma señal. En la figura 1.10 (a) se ilustra la señal par x.t / D t 2 .

Ejemplo 1.5. La señal x.t / D 1 C t 2 es par, pues x. t / D 1 C . t /2 D 1 C t 2 D x.t /.

Ra Ra Propiedad 1.1. Si x.t / es una señal par entonces a x.t /dt D 2 0 x.t /dt .

Demostración.

Za

(b)

Z0 x.t /dt D

Figura 1.7. Ejemplos de soportes: (a) acotado (compacto) y (b) no acotado (no compacto).

Za x.t /dt C

a

a

Z0 x.t /dt D

x. u/du C a

0

Za D

Za x.u/du C

0

Za x.t /dt 0

Za x.t /dt D 2

0

x.t /dt : 0

1.3.2.2 señales impares Una señal x.t / es impar si cumple con x. t / D

x.t /, i.e., si al reflejarla con respecto a

t D 0 se obtiene la señal original con signo contrario. En la figura 1.10 (b) se ilustra la señal impar x.t / D t 3 .

(a)

Ejemplo 1.6. La señal x.t / D t es impar, pues x. t / D t D x.t /.

Ra Propiedad 1.2. Si x.t / es una señal impar entonces a x.t /dt D 0.

Demostración.

Za

Z0 x.t /dt D

a

Za x.t /dt C

a

x.t /dt D

D

x. u/du C

x.t /dt 0

Za x.u/du C

0

Figura 1.8. (a) Señal acotada y (b) señal no acotada.

Za

a

0

Za (b)

Z0

x.t /dt D 0 : 0

1.3.2.3 componente par e impar Una señal dada no necesariamente es par o impar, sin embargo, toda señal puede expresarse como la suma de una señal par más una señal impar, de acuerdo con: x.t / D x par .t / C x i mp .t / ; donde x par .t / D

x.t / C x. t / 2

x i mp .t / D

x.t /

y x. t / : 2

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transformaciones del tiempo

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Ejemplo 1.7. La señal x.t / D 1 C t C t 2 puede expresarse como: x.t / D x par .t / C x i mp .t / ; donde x par .t / D

.1 C t C t 2 / C .1 2

t C t 2/

D 1 C t2

y x i mp .t / D

.1 C t C t 2 /

.1

t C t 2/

2

Dt:

Ejemplo 1.8. La señal x.t / D e jt puede expresarse como x.t / D x par .t / C x i mp .t / ; donde

e jt C e 2

x par .t / D

jt

D cos.t /

Figura 1.9. Reflexión temporal.

y x i mp .t / D

e jt

e 2

jt

D j sen.t / :

Observación 1.5. Si x.t / es una señal par entonces x par .t / D x.t / y x i mp .t / D 0. Si x.t / es una señal impar entonces x par .t / D 0 y x i mp .t / D x.t /.

1.3.3 desplazamiento temporal Cuando la variable temporal t se sustituye por t t0 , con t0 2 R, la señal se desplaza temporalmente. En particular, si x.t / es una señal de soporte compacto, con soporte Œt1 ; t2 , entonces la señal x.t

(a)

t0 / corresponde a una versión desplazada temporalmente en t0 como

se ilustra en la figura 1.11 y cuyo soporte llega a ser Œt1 C t0 ; t2 C t0 .

El desplazamiento temporal puede clasificarse en adelanto o retraso, de acuerdo con el signo de t0 . Si t0 < 0 la señal x.t t0 / se encuentra en adelanto respecto a x.t /, pues presenta un desplazamiento temporal a la izquierda como se ilustra en la figura 1.11 (b) (sucede antes).

Por otro lado, si t0 > 0, la señal x.t

t0 / está en retraso respecto a x.t /, pues sufre un

desplazamiento temporal a la derecha como se presenta en la figura 1.11 (c) (sucede después).

(b) Figura 1.10. Simetría respecto a t D 0: (a) señal par y (b) señal impar.

1.3.4 escalamiento temporal Un escalamiento temporal se realiza para expandir o comprimir en tiempo una señal, para tal fin, la variable t se sustituye por at , con a 2 RC , obteniendo la señal escalada x.at /. Si x.t / D A para t D t0 , entonces para la señal escalada se cumple que x.at / D A para at D t0 implicando que t D

t0 . a

Por tal motivo, al realizar el escalamiento temporal por un valor a,

cada tiempo se divide por este factor, lo que produce la expansión o compresión temporal.

Para el caso a > 1, la señal x.at / corresponde a una versión comprimida de x.t /, como se ilustra en la figura 1.12 (b). Por otro lado, si 0 < a < 1, la señal x.at / es una expansión de x.t /, como se presenta en la figura 1.12 (c).

El escalamiento afecta de forma inversa la duración del soporte de una señal de soporte compacto. En particular, para una señal x.t / con soporte Œt1 ; t2 , la señal escalada x.at /, con a 2 RC , tiene soporte Œ ta1 ; ta2 . Por tal motivo la duración del soporte de la señal original que era .t2

t1 / llega a ser

.t2 t1 / a

debido al efecto del escalamiento.

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señales continuas Observación 1.6. Los escalamientos por factores negativos pueden ser vistos como una reflexión temporal seguida por un escalamiento por un factor a 2 RC .

1.3.5 transformaciones temporales múltiples Al realizar diferentes transformaciones temporales de forma simultánea es importante el (a)

orden en el cual estas son aplicadas, ya que una transformación dada puede afectar una transformación anterior. Suponga que la señal x.t / se quiere escalar en el tiempo por un factor a y retrasar en un tiempo t0 . Si se aplica primero el desplazamiento temporal se obtiene la señal x.t x.at t0 / D xŒa.t se modifica por este

(b)

t0 / la cual al ser escalada por un factor a da como resultado la señal t0 / . Dado que al realizar el escalamiento por un factor a, el eje temporal a valor, el desplazamiento temporal que era de t0 llega a ser ta0 debido al

escalamiento.

Observación 1.7. Un escalamiento temporal (por un factor a) afecta a un desplazamiento temporal t0 , realizado anteriormente, y lo convierte en un desplazamiento

t0 . a

En cambio, si se aplica primero el escalamiento temporal se obtiene la señal x.at / la cual al ser desplazada por t0 da como resultado la señal xŒa.t (c) Figura 1.11. Desplazamiento temporal: (a) señal original, (b) desplazamiento para t0 < 0 (adelanto) y (c) desplazamiento para t0 > 0 (retraso).

t0 / . En este caso, se obtiene

el desplazamiento y el escalamiento deseado. Por tal motivo, el escalamiento temporal se realiza en primer lugar, seguido del desplazamiento temporal.

En general, una señal escalada por un factor a y desplazada temporalmente en t0 puede expresarse como xŒa.t

t0 / D x.at

at0 /. Este modelo permite identificar los factores

utilizados en la transformación como se presenta en los ejemplos 1.9 y 1.10.

Observación 1.8. Una señal reflejada, escalada y desplazada se expresa como xŒ a.t

t0 / .

Ejemplo 1.9. Sea la señal x.t /, identifique las transformaciones temporales necesarias para

obtener las señales x.2 2t / y x 13 t C 1 .

Solución. La señal x.2

(a)

2t / puede expresarse como xΠ2.t

1/ , la cual corresponde a un

versión reflejada, escalada por un factor 2 (comprimida por 2) y retrasada temporalmente

(en 1) de la señal x.t /. Por otro lado, la señal x 13 t C 1 D x 13 .t C 3/ corresponde a un versión escalada por un factor

1 3

(expandida por 3) y adelantada temporalmente (en 3) de la

señal x.t /.

Ejemplo 1.10. Identifique las transformaciones temporales necesarias para obtener la señal y.t / a partir de la señal x.t /, ambas definidas de acuerdo con la figura 1.13.

Solución. La señal y.t / corresponde a una versión reflejada y escalada temporalmente por (b)

un factor 2 de x.t /, la cual debe retrasarse temporalmente en 1 para obtener la señal de la figura 1.13. Por tal motivo se puede escribir que y.t / D xŒ 2.t

1/ .

1.4 Señales periódicas de tiempo continuo 1.4.1 periodo y frecuencia (c) Figura 1.12. Escalamiento temporal: (a) señal original, (b) escalamiento para a > 1 (compresión) y (c) escalamiento para 0 < a < 1 (expansión).

Una señal periódica es una señal que repite su valor cada determinado tiempo, denominado periodo.

Definición 1.5. Un valor a 2 R es un tiempo de repetición de la señal x.t / si: (1.1)

x.t C a/ D x.t / :

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señales periódicas de tiempo continuo

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Los tiempos de repetición de una señal x.t / definen un conjunto de tiempos para los cuales un desplazamiento de x.t / no altera la señal. Este conjunto es de cardinalidad infinita ya que si a es un tiempo de repetición todos los múltiplos enteros de a tambien los son.

Observación 1.9. El valor a D 0 es un tiempo de repetición para toda señal.

Una señal x.t / para la cual existen tiempos de repetición se denomina señal periódica, pues esta repite su valor cada tiempo de repetición. Si solo el cero es un tiempo de repetición para una señal, se dice que la señal es aperiódica o no periódica. Dado que el número de tiempos de repetición de un señal periódica es infinito, es necesario elegir un representante del conjunto que caracterice la periodicidad de la señal.

Definición 1.6. El periodo T de una señal x.t / se define como el mínimo tiempo de repetición positivo. Por tal motivo, x.t / es una señal periódica si y solo si existe un T 2 RC , tal que: x.t C T / D x.t / :

Figura 1.13. Transformaciones temporales múltiples: y.t/ D xŒ 2.t 1/ .

Si una señal x.t / tiene periodo T entonces cumple x.t C kT / D x.t /, con k 2 Z. Cada uno de los términos kT es un tiempo de repetición de la señal, cuyo mínimo se presenta para k D 1, que corresponde al periodo. Dado que al desplazar x.t / cualquier múltiplo entero de su periodo T se obtiene la misma señal, es suficiente conocer x.t / sobre un intervalo de tiempo de duración T para determinarla por completo. Una señal periódica puede verse como un conjunto infinito de copias de este intervalo, como se ilustra en la figura 1.14.

Figura 1.14. Señal periódica de tiempo continuo.

Observación 1.10. Toda señal constante es periódica ya que cualquier a 2 R satisface (1.1).

Sin embargo, no existe periodo para una señal constante ya que el conjunto de tiempos de repetición positivos, dado por RC , no tiene mínimo. Por tal motivo, por convención se establece que el periodo las señales constantes es infinito.

Propiedad 1.3. Toda señal periódica tiene soporte en . 1; 1/, por lo tanto no acotado.

Demostración. Suponga que una señal periódica se repite cada T y tiene soporte compacto, en el intervalo Œt1 ; t2 . Bajo esta condición, al realizar x.t C T / no se obtiene x.t /, pues la señal x.t C T / tiene soporte en Œt1

T; t2

T . Por tal motivo, toda señal periódica debe

tener soporte no acotado y debe repetirse desde 1 hasta 1.

El periodo da información del tiempo requerido para que una señal repita su valor, así señales periódicas de periodo pequeño se repiten más rápidamente que señales con periodo mayor. La velocidad de repetición o frecuencia fundamental de una señal periódica es inversa a su periodo.

Definición 1.7. La frecuencia (fundamental) f , de una señal periódica, se define como el inverso de su periodo T , es decir: f D

1 T

.

Si el periodo se expresa en segundos la frecuencia se da en Hz (Hertz) para el caso de señales sinusoidales y en ciclos por segundo (cps) para otras señales periódicas. La frecuencia

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señales continuas da información del número de veces que se repite una señal en un intervalo de tiempo (velocidad de repetición). Conociendo que el periodo de una señal pertenece al intervalo .0; 1/ , la frecuencia de una señal está en el intervalo Œ0; 1/, incluyendo la frecuencia cero para las señales constantes, las cuales tienen periodo infinito por convención.

Definición 1.8. La frecuencia angular continua ! es proporcional a la frecuencia de la señal e inversa a su periodo, y se define como: ! D 2 f D

2 : T

La frecuencia angular continua ! se encuentra en el intervalo Œ0; 1/ . Si la frecuencia se expresa en Hz, la frecuencia angular tiene unidades de rad/s.

La gran mayoría de señales periódicas de interés pueden expresarse como una combinación lineal (suma ponderada) de señales periódicas más simples de diferentes frecuencias. Sin embargo, existe un conjunto de señales periódicas que poseen una única frecuencia y no pueden descomponerse. Este es el caso de las señales sinusoidales que son: la señal seno sen.!t / , la señal coseno cos.!t / y la exponencial compleja e j!t D cos.!t / C j sen.!t / .

Propiedad 1.4. La señal e j!t , con ! 2 R, siempre es periódica y tiene periodo T D

2 . j!j

Demostración. Si la señal e j!t es periódica debe existir un T 2 RC tal que e j!.tCT / D e j!t , entonces: e j!t e j!T D e j!t

)

e j!T D 1 ;

así, la señal es periódica si !T D 2 k , con k 2 Z, y sus tiempos de repetición son Por tal motivo, el periodo es T D

2 , j!j

2 k. !

que corresponde al mínimo tiempo de repetición

positivo.

Corolario 1.1. Para todo ! 2 R las señales sinusoidales e j!t , sen.!t / y cos.!t / siempre son periódicas y su periodo es encontrado usando: T D

2 : j!j

Solo la frecuencia angular ! controla la velocidad de repetición de las señales, por lo que la amplitud (o magnitud) y la fase no alteran su periodo. Para ! D 0 las señales sinusoidales son constantes y tienen periodo 1, consecuente con lo convenido en este caso.

En la definición del periodo de señales sinusoidales no se tiene en cuenta el signo de ! por dos razones: el periodo siempre debe ser positivo y por definición una frecuencia angular siempre es positiva. Por tal motivo, se descarta el signo de !, pues no afecta la velocidad de repetición de la señal. Una señal sinusoidal con ! negativa es equivalente a la misma señal con ! positiva y reflejada en el tiempo. Por ejemplo, las señales sen.!t / y sen. !t / tienen el mismo periodo y la misma frecuencia angular !, pero una corresponde a la reflexión temporal de la otra.

Ejemplo 1.11. Para la señal x.t / D sen.2t / se tiene ! D 2 y su periodo es T D la señal x.t / D e

j t

se tiene ! D , por lo cual su periodo es T D

2

2 2

D . Para

D 2.

2

Ejemplo 1.12. Encuentre el periodo de la señal x.t / D cos .3t / , en caso de ser periódica.

Solución. Es necesario expresar cos2 .3t / de forma apropiada para encontrar el periodo de x.t / . Conociendo la identidad cos2 ˛ D 12 .1 C cos 2˛/ , se tiene que x.t / D 21 Œ1 C cos.6t / .

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señales periódicas de tiempo continuo

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Dado que la frecuencia angular de la señal coseno es ! D 6, entonces el periodo de x.t / es T D

.

3

Observación 1.11. La amplitud, fase o nivel dc de una señal periódica no altera su periodo. De acuerdo con esto, la señales C C Acos.!0 t C / y cos.!0 t / tienen el mismo periodo (por ende la misma frecuencia) para todo los valores A 2 R , C 2 R y 2 R.

1.4.2 suma de sinusoides de tiempo continuo Aunque todo sinusoide continuo es periódico, solo en algunos casos la suma de dos o más sinusoides da como resultado una señal periódica. Considere la señal x.t / definida como la suma de dos sinusoides continuos: x.t/ D e j!1 t C e j!2 t : Propiedad 1.5. La suma de dos sinusoides con frecuencias angulares !1 y !2 es periódica si y solo si

!1 !2

2 Q.

Demostración. Si x.t / es periódica, para algún T 2 RC cumple que x.t C T / D x.t / , i.e., Dš e Ce e Ce

j!1 .tCT /

j!1 t

j!2 .tCT /

x.t /

x.t CT /

e

j!1 t j!1 T

e

Ce

j!2 t

j!2 t j!2 T

e

De

j!1 t

C e j!2 t :

La igualdad anterior se cumple si e j!1 T D 1 y e j!2 T D 1 . Por tal motivo, si la señal x.t / es periódica, se debe cumplir que !1 T D 2 k1 y !2 T D 2 k2 , donde k1 ; k2 2 Z . Así, x.t / es periódica si y solo si

!1 !2

k1 k2

D

2 Q , i.e., si el cociente

!1 !2

es un número racional.

Ejemplo 1.13. Encuentre el periodo de las siguientes señales, en caso de ser periódicas. q x.t / D sen.2t / C sen. t / !1 D 2; !2 D

!1 !2

)

D

2

… Q, la señal no es periódica.

q x.t / D cos.3t / C sen.5t / !1 D 3; !2 D 5 )

!1 !2

D

3 5

2 Q, la señal es periódica. Se deben encontrar los valores k1 ; k2 2

Z más pequeños para los que se cumple !1 T D 2 k1 y !2 T D 2 k2 . Para esta señal se tiene que 3T D 2 k1 y 5T D 2 k2 y despejando se encuentra 3k2 D 5k1 3; k2 D 5. Por tal motivo, el periodo es T D 2 .

)

k1 D

Cuando se realiza la suma de más de dos señales sinusoidales, el periodo, en el caso que la suma sea periódica, puede ser encontrado para dos de estas señales y el resultado obtenido posteriormente es utilizado con otra señal. Este procedimiento es repetido hasta alcanzar la totalidad de señales.

Ejemplo 1.14. Encuentre el periodo de la señal x.t / D cos.t / C sen 2t C cos 3t .

Solución. Sea x1 .t / D cos.t / C sen 2t entonces x.t / D x1 .t / C cos 3t . Para x1 .t / se tiene !1 D 1 y !2 D 12 , entonces cumplir que T1 D 2 k1 y

!1 !2

T1 2

D 2 2 Q. Por tal motivo x1 .t / es periódica y para ella se debe

D 2 k2 . Así, 2k2 D k1

)

k1 D 2; k2 D 1 y el periodo de 1 x1 .t / es T1 D 4 y su frecuencia angular es !x1 D D 2 . Para x.t /, se tienen dos señales ! con frecuencias angulares !x1 D 12 y !3 D 13 , entonces !x31 D 32 2 Q. Por tal motivo, x.t / es periódica y para ella se cumple T2 D 2 kx y T3 D 2 k3 . Así, 2kx D 3k3 y se obtiene 2 4

kx D 3 y k3 D 2. Por tal motivo, x.t / tiene periodo T D 12 .

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señales continuas Cuando el número de señales sinusoidales se incrementa, determinar la periodicidad y encontrar el periodo de la suma se convierte en un proceso dispendioso. Únicamente en el caso en el que las frecuencias angulares se encuentren relacionadas, la tarea se simplifica y la determinación del periodo puede realizarse directamente sin importar el número de señales.

Definición 1.9. Una señal sinusoidal de frecuencia angular k! , con k 2 Z , se conoce como un armónico de una señal sinusoidal de frecuencia angular !. En este contexto, ! se conoce como la frecuencia fundamental y la señal con frecuencia ! como la fundamental.

Propiedad 1.6. Toda suma de armónicos de una frecuencia angular ! es un señal periódica con periodo igual al de la fundamental, i.e., T D

2 . !

Demostración. Considere una señal de frecuencia ! sumada con varios de sus armónicos: x.t / D sen.!t / C sen.k1 !t / C C sen.kN !t /; entonces la fundamental sen.!t / tiene periodo periodo pues

2 !

2 . .ki !/

y su i -ésimo armónico sen.ki !/ tiene

2 !

es un tiempo de repetición para cada uno de los armónicos,

2 . .ki !/

Por tal motivo, el periodo de la señal total está dado por el

Observe que

es múltiplo de

2 !

k1 ; k2 ; : : : ; kN 2 Z ;

periodo de la fundamental, pues es el mínimo tiempo de repetición para todos los elementos de la suma.

Ejemplo 1.15. Encuentre el periodo de la señal x.t / D cos.2t / C 21 cos.6t / C 31 cos.8t /.

Solución. La señal es periódica, pues corresponde a la suma de la fundamental cos.2t / con dos de sus armónicos. El periodo de la señal iguala al de la fundamental, dado por T D

2 2

D .

1.5 Potencia y energía En muchos casos las señales continuas corresponden a mediciones de voltaje o corriente realizadas sobre algún circuito eléctrico de interés. Por tal motivo, medidas de la señal como la potencia instantánea, la potencia promedio y la energía son de gran utilidad. Sin embargo, la definición de dichas medidas sobre una señal resultan también útiles para su caracterización aunque no correspondan a voltajes o corrientes, pues dan información importante de su comportamiento temporal.

1.5.1 potencia instantánea En un circuito puramente resistivo, como el que se ilustra en la figura 1.15, la potencia p.t / sobre el resistor R en el tiempo t , es el producto entre la diferencia de potencial v.t / de los terminales del resistor y la intensidad de la corriente i.t / que pasa a través del mismo, es decir, p.t / D v.t /i.t /.

Utilizando la ley de Ohm v.t / D Ri.t /, la potencia instantánea puede expresarse en términos del voltaje v.t / en los terminales del resistor: p.t / D v.t / Figura 1.15. Circuito resistivo.

v.t / v.t /2 D ; R R

o en términos de la corriente i.t / a través del resistor: p.t / D ŒRi.t / i.t / D i.t /2 R :

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i potencia y energía

25

En ambos casos, la potencia instantánea es proporcional a la amplitud al cuadrado de la señal.

Para un resistor R D 1 , las ecuaciones toman la misma forma, i.e., p.t / D v.t /2 D i.t /2 , por lo que la potencia instantánea de una señal x.t / se define como: p.t / D jx.t /j2 ; utilizando la magnitud de la señal para incluir el caso de señales complejas. Dado que en general no se conoce la naturaleza de la señal x.t /, la potencia instantánea p.t / se expresa sin unidades.

1.5.2 energía La energía de una señal x.t / se define como la integral de su potencia instantánea jx.t /j2 y puede ser encontrada como: Z1 ED

jx.t /j2 dt :

1

Definición 1.10. Una señal de energía es una señal para la cual la integral anterior converge, R1 i.e., si se cumple que jx.t /j2 dt < 1.

1

Aunque en la práctica todas las señales tienen energía finita, en la teoría existen un sinnúmero de señales que no son de energía. La energía de una señal x.t / puede ser definida sobre un intervalo acotado del tiempo, Œt1 ; t2 , para lo cual se realiza: Zt2 E t1 ;t2 D

jx.t /j2 dt :

t1

1.5.3 potencia promedio La potencia promedio de una señal x.t /, en un intervalo de tiempo Œt1 ; t2 , puede ser encontrada sumando la potencia instantánea sobre el intervalo y dividiendo por la duración del mismo. De acuerdo con esto, la potencia promedio P t1 ; t2 sobre un intervalo Œt1 ; t2 se define como: P t1 ;t2 D

Zt2

1 t2

t1

jx.t /j2 dt :

t1

La potencia promedio P se calcula en el límite cuando la duración del intervalo tiende a infinito: T

(1.2)

1 P D lKım T !1 T

Z2

jx.t /j2 dt :

T 2

Definición 1.11. Una señal de potencia es una señal para la cual la potencia promedio P t1 ; t2 se mantiene finita, pero no cero, cuando la duración del intervalo de tiempo T tiende a infinito.

Propiedad 1.7. La potencia promedio de una señal periódica puede encontrarse sin evaluar el límite T ! 1 de la ecuación (1.2). En este caso, se toma T como el periodo de la señal y se calcula la potencia promedio sobre cualquier intervalo de tiempo de duración T , es decir:

i

i i

i

i

i “principal” — 2018/2/2 — 16:59 — page 26 — #26

i 26

i

señales continuas PD

(1.3)

1 T

Z

jx.t /j2 dt :

T

Demostración. Para una señal periódica se cumple que

aCT R

jx.t /j2 dt D

a

RT

jx.t /j2 dt , para

0

todo a 2 R, por tal motivo la ecuación (1.3) puede escribirse como:

.2kC1/ T2

2 X N 1 61 4 2N C 1 T kD N

.2N C1/ T2

3 1 N !1 .2N C 1/T

Z

Z

7 jx.t /j2 dt 5 D lKım

.2k 1/ T2

jx.t /j2 dt

.2N C1/ T2

Ejemplo 1.16. Encuentre la potencia instantánea, energía y potencia promedio de x.t / D 2e j 3t .

Solución. La potencia instantánea es encontrada como: ˇ ˇ2 p.t / D jx.t /j2 D ˇ2e j 3t ˇ ˇ ˇ2 D j2j2 ˇe j 3t ˇ D 22 D 4 ; siendo constante en el tiempo. Por otro lado, la energía se calcula como: Z1 ED

Z1

2

jx.t /j dt D 1

Z1 D4

ˇ j 3t ˇ2 ˇ2e ˇ dt D 4

1

Z1

ˇ j 3t ˇ2 ˇe ˇ dt

1

Z1 dt D 8 dt D 1 ;

1

0

y la potencia promedio mediante: T

1 P D lKım T !1 T

Z2

T

4 jx.t /j2 dt D lKım T !1 T

Z2

T 2

4 T !1 T

T 2

T 2

4 T T !1 T 2

Z

D lKım

ˇ j 3t ˇ2 ˇe ˇ dt

T 2

dt D lKım

D 4:

T 2

Por tal motivo, se puede concluir que x.t / es una señal de potencia.

Ejemplo 1.17. Encuentre la potencia, energía y potencia promedio de la señal de la figura 1.16.

Solución. La potencia instantánea es encontrada como:

˚

2jt j ˇ2

ˇ p.t / D jx.t /j2 D ˇe De

4jtj

D

ˇ

e 4t e

4t

D e

2jt j 2

si t < 0; si t 0

Figura 1.16.

la energía usando:

i

i i

i

i

i “principal” — 2018/2/2 — 16:59 — page 27 — #27

i

i señales singulares

Z1

Z1

2

jx.t /j dt D

ED

D

e

Z1 dt D

1

1

Z0

2jt j 2

Z1 e dt C e 4t

1

4t

e

4jt j

27

dt

1

1 ; 2

dt D

0

y la potencia promedio mediante: T

T

Z2

1 P D lKım T !1 T

1 jx.t /j2 dt D lKım T !1 T

T

Z2

T 2

e

2jtj 2

1 dt D lKım T !1 T

T 2

Z2 e

4jt j

dt

T 2

T

2 D lKım T !1 T

Z2 e

4t

1 dt D lKım e T !1 2T

ˇ0 ˇ 1 ım 1 ˇ T D TlK!1 2T

4t ˇ

e

2T

D 0:

2

0

Por tal motivo, x.t / es una señal de energía.

1.6 Señales singulares 1.6.1 escalón unitario La señal escalón unitario u.t / se define como: 8 < 0 u.t / D : 1

si t < 0;

:

si t > 0:

El escalón unitario presenta una transición entre los valores 0 y 1 en el tiempo t D 0, como se ilustra en la figura 1.17. El valor de la señal en el tiempo de la transición no está definido.

La señal escalón puede trasladarse y/o reflejarse en el tiempo modificando su argumento, caso en cual el signo de t indica el sentido del escalón. Un valor positivo de t corresponde a un escalón con transición de 0 a 1 mientras que un valor negativo de t corresponde a un escalón con transición de 1 a 0 (reflexión temporal). El tiempo en cual ocurre la transición es encontrado igualando a cero el argumento del escalón y despejando t , como se presenta en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.18. Grafique las siguientes señales escalones, ver figura 1.18. q u. t / W corresponde a un escalón que va de 1 a 0, figura 1.18(a). Igualando su argumento a cero se tiene t D 0, por lo cual la transición ocurre en t D 0. El escalón se define como:

8 < 1 u. t / D : 0

si t < 0;

Figura 1.17. Señal escalón unitario

:

si t > 0:

q u.2 t / W corresponde a un escalón que va de 1 a 0, figura 1.18(b). Igualando su argumento a cero se tiene 2

t D 0, por lo cual la transición ocurre en t D 2. El escalón se define

como: u.2

8 < 1 t/ D : 0

si t < 2;

:

si t > 2:

i

i i

i

i

i “principal” — 2018/2/2 — 16:59 — page 28 — #28

i 28

i

señales continuas q u.t C1/ W corresponde a un escalón que va de 0 a 1, figura 1.18(c). Igualando su argumento a cero se tiene t C 1 D 0, por lo cual la transición ocurre en t D 1. El escalón se define como:

8 < 0 u.t C 1/ D : 1

si t < 1;

:

si t > 1:

En la figura 1.18 se presentan cada una de las gráficas de los escalones.

La señal escalón es comúnmente utilizada para modificar el soporte de otra señal. Por ejemplo, puede ser utilizada para anular una señal a partir de cierto tiempo o puede ser utilizada junto a otros escalones para seleccionar un intervalo de tiempo de interés. Considere el escalón u.t (a)

t0 / el cual presenta su transición en t D t0 , al multiplicar una señal x.t / por

el escalón se obtiene: t0 / D

x.t /u.t

8 <

0

si t < t0 ;

: x.t /

:

si t > t0 :

En la figura 1.19 se ilustra un ejemplo en el que el intervalo de tiempo . 1; t0 / es removido del soporte de la señal, anulando todos sus valores sobre ese intervalo de tiempo. (b)

Un par de escalones puede ser utilizado para acotar el soporte de la señal. Por ejemplo, la señal definida como u.t

t1 /

u.t

t2 /, con t2 > t1 , puede ser utilizada para restringir el

soporte de cualquier señal x.t / al intervalo de tiempo Œt1 ; t2 , dado que:

x.t /Œu.t

t1 /

t2 / D

u.t

ˆ ˆ ˆ :

(c) Figura 1.18. Diferentes señales escalones: (a) u. t /, (b) u.2 t / y (c) u.t C 1/.

8 ˆ ˆ ˆ <

Ejemplo 1.19. Grafique la señal t Œu.t Solución. La señal u.t

1/

u.t

1/

u.t

0

si t < t1 ;

x.t / si t1 < t < t2 ; : 0

si t > t2 :

3/ .

3/ corresponde a un pulso de ancho 2, como se ilustra

en la figura 1.20. Al multiplicar la señal por el pulso se restringe su soporte al intervalo Œ1; 3 como se presenta en la figura 1.21.

Observación 1.12. El pulso definido por u.t

t1 /

u.t

de diferentes formas, entre ellas como u.t

t1 /u.t2

t2 /, con t2 > t1 , pueder ser obtenido t / y como u.t2

t/

u.t1

t /.

1.6.2 impulso o delta de dirac (a)

1.6.2.1 impulso como un funcional En sentido estricto, un impulso se define como un funcional, sin embargo, por necesidad y utilidad se realiza una definición que permite ver un impulso como una función y por ende como una señal.

Definición 1.12. Un funcional ' de un espacio vectorial V , con campo F , es una función que

(b) Figura 1.19. Modificación del soporte: (a) señal original y (b) señal modificada.

asigna a cada elemento de V un escalar, i.e., ' W V ! F .

Definición 1.13. El funcional impulso ı t0 Œ , evalua la señal x.t / en el tiempo t0 , i.e, Z1 (1.4)

ı t0 Œx.t / D

x.t /ı.t

t0 /dt D x.t0 / :

1

i

i i

i

i

i “principal” — 2018/2/2 — 16:59 — page 29 — #29

i

i señales singulares

29

De acuerdo con la definición 1.13, se define la función impulso ı.t t0 / como aquella que R1 permite evaluar la señal x.t / en el tiempo t0 vía la integral x.t /ı.t t0 /dt .

1

1.6.2.2 función impulso La función impulso ı.t

t0 / se define como: 8 < ¤0 ı.t / D : 0

La función impulso ı.t

si t D 0;

:

si t ¤ 0:

(a)

t0 / solo toma valor diferente de cero en el tiempo t0 , como se ilustra

en la figura 1.22 para t D 0. Por tal motivo, el impulso ı.t

t0 / vive o se localiza en el tiempo

t0 . En forma general, la ubicación de un impulso puede encontrarse igualando su argumento a cero, como se presenta en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.20. Grafique el impulso ı.t

3/.

3 D 0 , por lo cual el

Solución. Igualando el argumento del impulso a cero se tiene t

(b)

impulso se encuentra ubicado en el tiempo t D 3. En la figura 1.23 se visualiza el impulso mencionado.

El valor 1 que acompaña al impulso se denomina peso o área del impulso, que puede encontrase integrando el impulso como se describe a continuación.

R1 Propiedad 1.8. Un impulso tiene área unitaria, i.e., ı.t t0 /dt D 1.

1

Demostración. Si x.t / D 1 entonces la ecuación (1.4) llega a ser

R1

ı.t

t0 /dt D 1.

1

De acuerdo con esto el impulso Aı.t resultado:

t0 / tiene peso o área A, pues su integral da como

Z1

(c) Figura 1.20. Otención de un pulso: (a) y (b) se usan para obtener (c).

Z1 t0 /dt D A

Aı.t 1

ı.t

t0 /dt D A :

1

Observación 1.13. El peso o área del impulso no debe confundirse con el valor que toma el impulso en el tiempo en el cual vive, ya que por definición este valor es desconocido. El peso indica el resultado al realizar la integral del impulso.

R1 Œ3ı.t C 2/ 2ı.t / C ı.t Ejemplo 1.21. Evalúe la integral

1/ dt .

1

Solución. La función está compuesta por 3 impulsos de diferentes pesos, ubicados en los

(a)

tiempos t D 2 , t D 0 y t D 1, como se ilustra en la figura 1.24. Expresando la integral de la suma como la suma de las integrales se tiene: Z1

Z1 ı.t C 2/dt

3 1

Z1 ı.t /dt C

2 1

ı.t

1/dt D 3

2 C 1 D 2:

1

Por definición, se establece que al multiplicar una señal x.t / por un impulso ubicado en el tiempo t D t0 , se obtiene un impulso ubicado en t D t0 con peso x.t0 /, es decir, (1.5)

x.t /ı.t

t0 / D x.t0 /ı.t

t0 / :

(b) Figura 1.21. Modificación del soporte por medio de escalones: (a) señal original, de soporte no acotado, y (b) señal obtenida, de soporte compacto.

i

i i

i

i

i “principal” — 2018/2/2 — 16:59 — page 30 — #30

i 30

i

señales continuas Así, al integrar la señal x.t / por un impulso ubicado en el tiempo t D t0 , se evalúa la señal en el tiempo en el cual vive el impulso, satisfaciendo la ecuación (1.4), dado que: Z1

Z1 x.t /ı.t

t0 /dt D

1

Figura 1.22. Función impulso ubicada en el tiempo t D 0.

Z1 t0 /dt D x.t0 /

x.t0 /ı.t 1

ı.t

t0 /dt D x.t0 / :

1

Ejemplo 1.22. Analice las siguientes integrales de señales por impulsos.

Solución. En cada caso se debe revisar la ubicación del impulso.

R1 cos.t / q Para e ı.t /dt el impulso vive en t D y se tiene: 1

Z1

e cos.t / ı.t

/dt D e cos. / D e

1

:

1

Figura 1.23. Función impulso ubicada en el t D 3.

q Para

R1

e

t2

ı.t /dt impulso vive en t D 0, fuera del intervalo de integración, entonces:

1

Z1 e

t2

ı.t /dt D 0 :

1

q Para

100 R

log.t /ı.t

10/dt D log.10/ D 1 impulso vive en t D 10 y se tiene:

1

Z100 log.t /ı.t

10/dt D log.10/ D 1 :

1

Figura 1.24. Señal formada por tres funciones impulso.

1.7 Espacios vectoriales de señales Una definición menos rigurosa que la empleada en el apéndice B pero suficiente y más sencilla de verificar, puede ser utilizada para describir los espacios vectoriales de señales de interés.

Definición 1.14. Un espacio vectorial es una colección de objetos, llamados vectores, que pueden ser multiplicados por un escalar (escalados) y sumados.

La definición de espacios vectoriales de señales permite, entre otras cosas, asignar un tamaño a cada señal del espacio, calcular distancias entre señales y crear un marco que permita representar señales en términos de otras. Para la asignación del tamaño de una señal y para el cálculo de la distancia entre un par de señales se utiliza la norma k k del espacio, definida como una función que asigna una medida a cada uno de los vectores del espacio.

Definición 1.15. Un espacio vectorial normado es aquel dotado con norma.

La representación de señales en un espacio vectorial requiere la proyección de una señal en otra en términos del producto interno, motivo por el cual, la respresentación de señales es posible para espacios vectoriales euclídeos.

Definición 1.16. Un espacio vectorial euclídeo es aquel dotado con producto interno.

i

i i

i

i

i â&#x20AC;&#x153;principalâ&#x20AC;? â&#x20AC;&#x201D; 2018/2/2 â&#x20AC;&#x201D; 16:59 â&#x20AC;&#x201D; page 31 â&#x20AC;&#x201D; #31

i

i

espacios vectoriales de seĂąales

31

1.7.1 espacio vectorial L1 .R/ 1.7.1.1 definiciĂłn El conjunto L1 .R/, o simplemente L1 , se define como:

Z L1 D f W R ! C W

1

jf j < 1 ;

1

es decir, el conformado por todas las seĂąales, reales y complejas, integrables en magnitud.

Propiedad 1.9. L1 es un espacio vectorial sobre el campo de los complejos.

DemostraciĂłn. En este caso los escalares son los complejos y si x.t / 2 L1 entonces: Z1 jx.t /jdt < 1 : 1

Se tiene que si a 2 C y x.t / 2 L1 entonces ax.t / 2 L1 ya que: Z1

Z1 jax.t /j dt D jaj

1

jx.t /j dt < 1 1

y si x.t /; y.t / 2 L1 entonces x.t / C y.t / 2 L1 dado que: Z1

Z1 jx.t / C y.t /j dt

1

Z1 jx.t /j dt C

1

jy.t /j dt < 1 : 1

Por tal motivo, los elementos de L1 pueden ser escalados y sumados.

El espacio vectorial L1 es importante para la definiciĂłn y estudio de la transformada de Fourier, la cual se presenta en la secciĂłn 5.2.

1.7.1.2 norma L1 y ejemplos L1 es un espacio vectorial normado, con norma definida como: Z1 kx.t /k1 D

jx.t /jdt : 1

La norma L1 asigna a cada seĂąal del espacio un valor en el intervalo Ĺ&#x2019;0; 1/, el cual representa el tamaĂąo de la seĂąal dentro del conjunto.

ObservaciĂłn 1.14. Toda seĂąal perteneciente al espacio vectorial L1 tiene norma L1 finita.

Ejemplo 1.23. Encuentre la norma L1 de la seĂąal x.t / D t Ĺ&#x2019;u.t C 3/

u.t

3/Â?.

(a)

SoluciĂłn. En la figura 1.25 se ilustra la seĂąal en el tiempo y su magnitud. Dado que la seĂąal tiene soporte en [-3,3], la integral que define la norma L1 se calcula sobre este intervalo, como sigue: Z3 kx.t /k1 D

Z0 jt jdt D

3

Z3 t dt C

3

t dt D 9 : 0

Esta seĂąal pertenece a L1 , pues su norma L1 es finita.

Ejemplo 1.24. Encuentre la norma L1 de la seĂąal x.t / D 1t u.t

(b)

1/.

Figura 1.25. (a) SeĂąal original y (b) su magnitud.

i

i i

i

i

i â&#x20AC;&#x153;principalâ&#x20AC;? â&#x20AC;&#x201D; 2018/2/2 â&#x20AC;&#x201D; 16:59 â&#x20AC;&#x201D; page 32 â&#x20AC;&#x201D; #32

i 32

i

seĂąales continuas En la figura 1.26 se ilustra la seĂąal en tiempo. Dado que la seĂąal tiene soporte en Ĺ&#x2019;1; 1/, su soporte no es acotado y la integral de la norma L1 se calcula de acuerdo con: Z1 Z1Ë&#x2021; Ë&#x2021; Ë&#x2021;1Ë&#x2021; 1 Ë&#x2021; Ë&#x2021; dt D ln.1/ kx.t /k1 D Ë&#x2021; Ë&#x2021;dt D t t

ln.1/ D 1 :

1

1

Esta seĂąal no pertenece a L1 , pues su norma L1 es infinita.

Ejemplo 1.25. Encuentre la norma L1 de la seĂąal x.t / D

1 u.t t2

1/.

SoluciĂłn. kx.t /k1 D

Z1 Z1Ë&#x2021; Ë&#x2021; Ë&#x2021;1Ë&#x2021; 1 Ë&#x2021; Ë&#x2021;dt D dt D Ë&#x2021;t2 Ë&#x2021; t2 1

1

Ë&#x2021; 1 Ë&#x2021;Ë&#x2021;1 D 1: t Ë&#x2021;1

Esta seĂąal pertenece a L1 , pues su norma L1 es finita.

Figura 1.26. SeĂąal x.t / D

1 t u.t

1/.

ObservaciĂłn 1.15. L1 contiene tanto seĂąales de soporte compacto como de soporte no acotado.

La distancia entre dos seĂąales de L1 se define en tĂŠrminos de su norma. Sean x.t /; y.t / 2 L1 entonces la distancia entre las dos seĂąales se define como: Z1 y.t /k1 D

kx.t /

jx.t /

y.t /j dt :

1

1.7.2 espacio vectorial L2 .R/ 1.7.2.1 definiciĂłn El conjunto L2 .R/, o simplemente L2 , se define como:

Z

1

L2 D f W R ! C W

2

jf j < 1 ; 1

y es el conformado por todas las seĂąales, reales y complejas, integrables en magnitud al cuadrado. De acuerdo con su definiciĂłn, L2 estĂĄ conformado por todas las seĂąales de energĂ­a y corresponde a un espacio vectorial sobre el campo de los complejos. La definiciĂłn de este espacio permite la generalizaciĂłn de la transformada de Fourier para seĂąales de energĂ­a que se presenta en la secciĂłn 5.6.

1.7.2.2 norma L2 y ejemplos L2 es un espacio vectorial normado, con norma definida como:

q

Z1

kx.t /k2 D

jx.t /j2 dt :

1

La norma L2 asigna a cada seĂąal del espacio un valor en el intervalo Ĺ&#x2019;0; 1/, el cual corresponde a la raĂ­z cuadrada de la energĂ­a de seĂąal. Por tal motivo, la energĂ­a de la seĂąal determina su tamaĂąo dentro del conjunto y es encontrada como E D .kx.t /k2 /2 .

Ejemplo 1.26. Determine si la seĂąal x.t / D 1t u.t

1/ pertenece a L2 .

i

i i

i

i

i â&#x20AC;&#x153;principalâ&#x20AC;? â&#x20AC;&#x201D; 2018/2/2 â&#x20AC;&#x201D; 16:59 â&#x20AC;&#x201D; page 33 â&#x20AC;&#x201D; #33

i

espacios vectoriales de seĂąales

i 33

SoluciĂłn. Realizando la integral de la seĂąal en magnitud al cuadrado se tiene: Z1 1

Z1 Z1Ë&#x2021; Ë&#x2021;2 Ë&#x2021;1Ë&#x2021; 1 Ë&#x2021; Ë&#x2021; dt D jx.t /j dt D Ë&#x2021; Ë&#x2021; dt D t t2 2

1

1

Ë&#x2021; 1 Ë&#x2021;Ë&#x2021;1 D 1: t Ë&#x2021;1

Por tal motivo la seĂąal pertenece a L2 .

ObservaciĂłn 1.16. La seĂąal x.t / D 1t u.t

1/ no pertenece a L1 pero sĂ­ pertenece a L2 .

Existe un sinnĂşmero de seĂąales que pertenecen solamente a L1 , otras que pertenecen Ăşnicamente a L2 y otras que no pertenecen a ninguno de los dos conjuntos. Por tal motivo, la pertenecencia a L1 no implica la pertenencia a L2 , y viceversa. Las seĂąales que pertenecen tanto a L1 como a L2 conforman el conjunto L1 \ L2 . Como caso particular, son de interĂŠs las seĂąales acotadas de soporte compacto, las cuales pertenecen tanto a L1 como a L2 .

Propiedad 1.10. Toda seĂąal acotada y de soporte compacto pertenece a L1 \ L2 .

DemostraciĂłn. Suponga que la seĂąal x.t / tiene soporte en Ĺ&#x2019;t1 ; t2 Â? y existe un M 2 RC tal que jx.t /j M , entonces: Zt2

Z1 jx.t /j dt D

Zt2 jx.t /j dt

t1

1

M dt D M.t2

t1 / 1

t1

y Z1

Zt2

2

jx.t /j dt D

Zt2

2

jx.t /j dt t1

1

M 2 dt D M 2 .t2

t1 / 1 :

t1

Por tal motivo, las dos integrales convergen y la seĂąal pertenece a L1 \ L2 .

1.7.2.3 producto interno El producto interno entre dos seĂąales x.t /; y.t / 2 L2 se define como: Z1 hx.t /; y.t /i D

x.t /y .t /dt :

1

El producto interno indica, en cierta forma, la similitud entre dos seĂąales del espacio vectorial, esta propiedad es utilizada para la aproximaciĂłn de seĂąales, descrita en la secciĂłn 3.2.2. Por otro lado, la norma L2 y la energĂ­a de una seĂąal se relacionan con el producto interno mediante: Z1 hx.t /; x.t /i D

Z1

x.t /x .t /dt D 1

jx.t /j2 dt D .kx.t /k2 /2 D E :

1

1.7.3 espacio vectorial S t1 ; t2 El conjunto S t1 ; t2 define un espacio vectorial sobre el campo de los complejos, el cual contiene a todas las seĂąales que tienen energĂ­a finita en el intervalo del tiempo Ĺ&#x2019;t1 ; t2 Â?, i.e.,

Z S t1 ; t 2 D f W R ! C W

t2

jf j2 < 1 :

t1

i

i i

i

i

i “principal” — 2018/2/2 — 16:59 — page 34 — #34

i 34

i

señales continuas Sobre cualquier intervalo acotado del tiempo puede definirse un espacio vectorial de la forma S t1 ; t2 . Por ejemplo, S0; es el espacio vectorial conformado por las señales con energía finita en el intervalo de tiempo Œ0; . En general, S t1 ; t2 es un espacio vectorial euclídeo con

q

norma definida como:

Zt2

kx.t /k t1 ;t2 D

jx.t /j2 dt ;

t1

y producto interno dado por: Zt2 hx.t /; y.t /i D

x.t /y .t /dt :

t1

Ejemplo 1.27. Demuestre que las señales x.t / D e jt y y.t / D e j 2t pertenecen al espacio vectorial S0;2 y calcule hx.t /; y.t /i.

R 2 R 2 Solución. Sabiendo que kx.t /k D 1 entonces 0 jx.t /j2 dt D 0 dt D 2 . Por tal motivo, la energía de x.t / es finita y la señal pertenece a S0;2 . De forma similar se puede realizar la verificación para la señal y.t /. El producto interno entre las dos señales es encontrado como: Z2 Z2

hx.t /; y.t /i D x.t /y .t /dt D e jt e 0

j 2t

Z2 dt D e

0

jt

dt D

0

e

ˇ j t ˇ2

ˇ D 0: j ˇ0

La definición de este espacio es importante para la aproximación y representación de señales de energía finita sobre un intervalo acotado del tiempo.

1.8 Ejercicios 1. Clasifique las siguientes señales como de tiempo continuo o discreto, de valor continuo o valor discreto: a) f W R ! C b) f W Z ! Œ0; 1 c) f W f0; 1; :::; 100g ! f0; 1g d) f W R ! f0; 1; :::; 255g 2. Determine el soporte de las siguiente señales: a) x.t / D e

jtj

b) x.t / D e t u.2 t / c) x.t / D u.t C 1/u.1

t/

d) x.t / D sen.2t / 3. Determine si una señal modelada como f W R ! .0; 1 es acotada, y encuentre su soporte.

4. Demuestre que si x.t / y y.t / son señales impares, entonces z.t / D x.t /y.t /, es una señal par y z.t / D x.t / C y.t / es una señal impar.

5. Considere la señal x.t / D 1 C e j t u.t C 2/u.2 t /: a) Determine su soporte. b) Demuestre que es acotada. c) Calcule su potencia instantánea. d) Descomponga la señal como una componente par x par .t / más una impar x imp .t /.

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i ejercicios

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e) Descomponga la señal como una componente causal x cau .t / más una anticausal x ant .t /.

6. Calcule la potencia instantánea, energía y potencia promedio de las siguientes señales: a) x.t / D e j 3t b) x.t / D e t u. t / c) x.t / D t 7. Determine el periodo de las siguientes señales, en caso de ser periódicas:

a) x.t / D sen 2 t C cos 2 t 7 5 b) x.t / D sen2 .2t / C sen.3t / c) x.t / D cos.t / C cos. t / d) x.t / D sen.!0 t / C sen. !30 t / C sen. !40 t /, !0 2 R e) x.t / D sen.2t / C 3 sen.6t / C 5 sen.10t / C 10 sen.20t / 8. Considere la señal x.t / D D C A sen .!0 t /, con !0 2 R y D; A 2 RC , a) Determine el periodo de la señal. b) Calcule la potencia promedio de la señal. c) Qué se puede concluir sobre el efecto del nivel DC D, la amplitud A y la frecuencia !0 del sinusoide, en su potencia promedio.

9. Determine si las siguientes señales pertenecen a L1 o a L2 : a) x.t / D e

jtj

b) x.t / D 1t u.t

1/

t j10t

c) x.t / D e e

u.t /

10. Considere la señal x.t / D u.t C 1/

u.t

1/, dibuje las siguientes señales:

a) y.t / D x.2t / b) y.t / D x.t C 1/ c) y.t / D x.4

2t /

11. Evalúe las siguientes expresiones: a) ı.t C 1/e t R1 b) ı.t 1/4t dt 1

c)

R1

ı.t C 1/ cos.t /dt

0

ejercicios adicionales i. Grafique la parte par e impar de las siguientes funciones: 8 < t jt j < 4 x.t / D a) : 0 jt j 4

b)

c)

8 < 0 g.t / D : 2

jtj < 5 jtj 5

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señales continuas

d)

R1 R1 2 R1 2 ii. Demuestre que: 1 x.t /2 dt D 1 xpar .t /dt C 1 ximpar .t /dt. iii. Sea x.t / la señal mostrada en la figura 1.27, grafique:

a) x 3t C 13 b) x.6 Figura 1.27.

c)

x

2t / 9

4 t 3

iv. Si y.6t C 1/ es la señal mostrada en la figura 1.28, grafique y. 3t 42 /. v. Halle el valor promedio, el valor rms (Valor Cuadrático Medio) y la potencia promedio de las siguientes señales: a) x1 .t / D 4 cos.3 1000t / Figura 1.28.

b) x2 .t / D 3 sen.2 2000t / c) x3 .t / D 5 d) x4 .t / D x1 .t / C x2 .t / C x3 .t /

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b Espacios vectoriales un espacio vectorial o lineal es una colección de objetos, denominados vectores, que pueden ser sumados y multiplicados por un escalar (escalados). Para realizar una definición más formal de un espacio vectorial se requieren algunos conceptos previos.

Grupos, anillos y campos Un grupo .G; / es un conjunto G junto a una operación binaria que satisface i. Clausura:

Si a; b 2 G

ii. Asociatividad: iii. Identidad:

)

8a; b; c 2 G

8a 2 G; 9e

=

a b 2 G )

“G es cerrado bajo ”

a .b c/ D .a b/ c

e a D a e D a

0

0

“e W identidad”

0

iv. Inversa: 8a 2 G 9a 2 G = a a D a a D e Si además 8a; b 2 G se tiene que a b D b a entonces el grupo .G; / es abeliano (conmutativo).

Ejemplo b1. .Z; C/ y .R; C/ son grupos abelianos con identidad 0. .R ; / es un grupo abeliano con identidad 1. .Z; / no es un grupo, pues existen elementos sin inversa. .R; / no es un grupo, pues el elemento 0 no tiene inversa. El par .R; / se conoce como monoide.

Definición b1. .G; / es un monoide si cumple clausura, asociatividad e identidad.

Un anillo .R; C; / es un conjunto R junto a la adición C y a la multiplicación , que satisface: i. .R; C/ es un grupo abeliano con identidad 0. ii. .R; / es un grupo con identidad 1. iii. La multiplicación distribuye la adición 8a; b; c 2 R se cumple a .b C c/ D a b C a c.

Un campo .F; C; / es un conjunto F junto a la adición C y a la multiplicación , que satisface: i. .F; C/ es un grupo abeliano con identidad 0. ii. .F ; / es un monoide con identidad 1. iii. La multiplicación distribuye la adición, i.e., 8a; b; c 2 R se cumple a .b C c/ D a b C a c.

Definición b2. Los elementos de un campo se denominan escalares.

Ejemplo b2. .R; C; / y .C; C; / son anillos y campos.

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apéndices

Definición de espacio vectorial Un conjunto V es un espacio vectorial, sobre un campo .F; C; /, si: i. .V; C/ es un grupo abeliano con identidad 0. ii. 8a 2 F y 8v; w 2 V W a .v C w/ D a v C a w. iii. 8a; b 2 F y 8v 2 V W .a C b/ v D .a v/ C .b v/. iv. 8a; b 2 F y 8v 2 V W .a b/ v D a .b v/. v. 8v 2 V W 1 v D v, “1 es la identidad multiplicativa de F ”. vi. 8a 2 F y 8v 2 V W av 2 V Observación b1. Los elementos de un espacio vectorial se denominan vectores.

Por facilidad, solo se realizan dos verificaciones para demostrar que un conjunto V es un espacio vectorial. Se verifica la propiedad de clausura sobre V , necesaria para el cumplimiento del axioma i. Adicionalmente, se verifica la propiedad de escalamiento, definida en axioma vi, que indica que el producto de un vector por un escalar (escalamiento) siempre pertenece al espacio.

Ejemplo b3. Demuestre que Rn es un espacio vectorial con campo los reales.

Solución. Si x 2 Rn entonces x D .x1 ; x2 ; : : : ; xn /, donde x1 ; x2 ; :::; xn 2 R, por tal motivo, i. Clausura Si x; y 2 Rn entonces x C y D .x1 C y1 ; x2 C y2 ; :::; xn C yn / 2 Rn . ii. Escalamiento Si a 2 R y x 2 Rn entonces ax D .ax1 ; ax2 ; :::; axn / 2 Rn .

Norma de un espacio vectorial Una norma, denotada como k k, es una medida que asigna a cada elemento (vector) de un espacio vectorial V un tamaño dentro del mismo, y que debe cumplir con: i. 8v 2 V : kvk 0 y kvk D 0 , v D 0 (Vector cero). ii. 8a 2 F y 8v 2 V : kavk D jaj kvk. iii. 8v; w 2 V : kv C wk kvk C kwk (Desigualdad triangular).

Por tal motivo, una norma es una función definida dentro del espacio vectorial que asigna a cada vector del espacio, un número real mayor o igual a cero, i.e., k k W V ! Œ0; 1/. Un espacio vectorial normado es un espacio vectorial dotado con norma.

Ejemplo b4. Rn es un espacio vectorial normado. Si x D .x1 ; x2 ; :::; xn / 2 Rn entonces: kxk D

q

x12 C x22 C C xn2 :

Definición b3. Una métrica es una medida de distancia, entre dos vectores de un espacio vectorial, que debe cumplir: i. 8v; w 2 V : .v; w/ 0 y .v; w/ D 0 , v D w. ii. 8v; w 2 V : .v; w/ D .w; v/. iii. 8v; w; z 2 V : .v; z/ .v; w/ C .w; z/.

Por tal motivo, una métrica es una función definida dentro de un espacio vectorial, que toma dos vectores y asigna un número real mayor o igual a cero, es decir, W V V ! Œ0; 1/.

Un espacio vectorial métrico es un espacio vectorial dotado con métrica.

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i espacios vectoriales

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Observación b2. Todo espacio vectorial normado es también un espacio métrico, con métrica definida como .v; w/ D kv

wk.

Ejemplo b5. Rn es un espacio vectorial métrico. Si x; y 2 Rn entonces: .x; y/ D

q

.x1

y1 /2 C .x2

y2 /2 C C .xn

yn /2 :

Producto interno El producto interno, denotado como h ; i, se define para dos elementos de un espacio vectorial V , con campo asociado F , de tal forma que 8v; w 2 F y 8a 2 F satisfaga: i. hv; vi > 0 y hv; vi D 0 , v D 0. ii. hv; wi D hw; vi . iii. hv1 C v2 ; wi D hv1 ; wi C hv2 ; wi y hv; w1 C w2 i D hv; w1 i C hv; w2 i. iv. hav; wi D a hv; wi y hv; awi D a hv; wi.

Por tal motivo, el producto interno es una función que toma dos elementos del espacio vectorial y asigna un elemento del campo, es decir, h ; i W V V ! F . Un espacio vectorial euclídeo es un espacio vectorial dotado con producto interno.

Observación b3. Todo espacio vectorial euclídeo es también un espacio normado, con norma p definida como kxk D hx; xi.

Ejemplo b6. Rn es un espacio vectorial euclídeo. Si x; y 2 Rn entonces: hx; yi D x1 y1 C x2 y2 C C xn yn : Definición b4. Un espacio vectorial es completo si todas las sucesiones de Cauchy convergen.

Definición b5. Un espacio de Banach es un espacio vectorial normado y completo.

Definición b6. Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial euclídeo y completo.

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Este libro se compuso usando tipos LinuxLibertine & LinuxBiolinum (para el texto) y Math Times Pro 2 (para las matemáticas), con el sistema de composición tipográfica LATEX. Se terminó de imprimir en los talleres de Javegraf en febrero de 2018.

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j u l i á n q i r o g a s e p ú lv e d a recibió sus

usado como texto guía en cursos de pregrado de ingeniería en los cuales se

títulos de ingeniero electrónico de la

quiera dar al estudiante fundamentos del manejo de conceptos de señales

Universidad Nacional de Colombia, de magíster

y sistemas, tiempo, frecuencia y variable compleja, con un buen grado de

en Ingeniería Electrónica de la Universidad de

formalidad matemática. Además, puede ser un texto complementario en

los Andes y de doctor en Informática y

cursos de posgrado, para hacer una introducción al procesamiento digital

Matemáticas de la Universidad de Grenoble

de señales y al análisis tiempo-frecuencia, mediante la explicación de temas

(Francia). Actualmente, es profesor asociado de la Pontificia Universidad Javeriana (Bogotá) e investigador asociado, categoría de Colciencias.

Ha sido investigador visitante del Institut

como filtros digitales, conversión de la tasa de muestreo y transformadas de tiempo corto.

Fundamentos de señales y sistemas pretende apoyar al estudiante en

National de Recherche en Informatique et en

la comprensión de temáticas demandantes debido a sus requerimientos

Automatique, en Grenoble (Francia), y de la

matemáticos y a lo abstracto de sus conceptos. Por tal motivo, el libro reúne

Universidad de Freiburg (Alemania). Sus

deducciones matemáticas completas, un conjunto de ejemplos explicativos

principales intereses en investigación son el

y más de 500 ilustraciones que permiten guiar el camino de aprendizaje y

procesamiento digital de señales e imágenes, la

de apropiación de las herramientas matemáticas para el estudio de señales

visión por computador y el reconocimiento de

y sistemas. Este texto será de gran utilidad para el desarrollo de los cursos

patrones en video. Es revisor de las principales

relacionados con la teoría de señales y sistemas.

conferencias en visión por computador, como c v p r , e c c v e i c c v. Ha sido jefe de programa de la conferencia colombiana de Tratamiento de Señales, Imágenes y Visión Artificial. Ha dirigido alrededor de cincuenta trabajos de grado de pregrado y posgrado relacionados con el procesamiento digital de señales y la visión por computador.

Julián Quiroga Sepúlveda

y de sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Este libro puede ser

—

sintetiza los contenidos esenciales del análisis de señales determinísticas

f u n d a m e n to s d e s e ñ a l e s y s i s t e m a s

l a p r i m e r a e d i c i ó n d e l l i b r o Fundamentos de señales y sistemas

Julián Quiroga Sepúlveda

F u n d a m e n to s d e Señales y Sistemas