Medidas e integrales by Editorial Pontificia Universidad Javeriana

9 789587 810752

Jaroslav Lukeš y Jan Malý — medidas e integrales

m e d i d a s e i n t e g r a l e s ha sido especialmente diseñado para satisfacer las exigencias de cursos de nivel avanzado de pregrado y de posgrado, así como para servir de fuente de consulta para los expertos, pues se ubica en un lugar intermedio entre los libros que exponen la teoría de la medida y las monografías especializadas en el área. Además de hacer una de las mejores y más comprensivas presentaciones de la teoría de la medida entre la bibliografía relacionada, este libro expone una gran cantidad de diferentes tipos de integrales, muchas de las cuales son tratadas únicamente en obras especializadas de investigación (como la integral de Bochner, la de Denjoy–Perron, la de Dirac, la de Dunford, la de Gelfand, la de Graves, la de Henstock–Kurzweil, la de Newton, la de Pettis, la de Poisson y la de Radon, entre otras). También trata ampliamente y de manera avanzada temas que no son comunes en otros libros del área, como el cambio de variables y medidas k-dimensionales, el tratamiento de medidas de Hausdorff y sus propiedades, así como temas propios de geometría diferencial —entre los que se encuentran la integración de formas diferenciales y variedades—. Se hace, además, un abordaje conciso a la teoría de distribuciones. El lector encontrará una gran cantidad de observaciones y notas de interés que permiten reconstruir casi toda la historia de la teoría de la medida e integración —por medio de referencias que abarcan desde 1821 hasta 2005—, así como ejercicios sobre resultados recientes, con sugerencias para los más difíciles.

j a n m a lý es doctor en Matemáticas (1985), profesor titular del Departamento de Análisis Matemático, de la Universidad Carolina de Praga (República Checa). Sus intereses científicos se centran en las áreas de teoría de potencial, ecuaciones diferenciales parciales, análisis funcional y cálculo de variaciones. Es coautor de las monografías Fine regularity properties for solutions of elliptic P D E s (a m s, 1997), Fine topology methods in real analysis and potential theory (Springer, 1986), Integral representation theory: Applications to convexity, Banach spaces and potential theory (De Gruyter, 2010) y Weakly differentiable mappings between manifolds (a m s, 2008).

j a r o s l av l u k e š es doctor en Matemáticas (1962), profesor titular (jubilado) del Departamento de Análisis Matemático, de la Universidad Carolina de Praga (República Checa). Sus intereses científicos incluyen teoría de potencial, teoría de la medida e integración, y análisis funcional, entre otros. Es coautor de las monografías Fine topology methods in real analysis and potential theory (Springer, 1986), Integral representation theory: Applications to convexity, Banach spaces and potential theory (De Gruyter, 2010) y Potential theory surveys and problems (Springer, 1988).

M E D I DA S E I N T E G R A L E S

J A R O S L AV L U K E Š & J A N M A LÝ

M E D I DA S E I N T E G R A L E S

reservados todos los derechos Pontificia Universidad Javeriana Facultad de Ciencias

corrección de estilo: Héctor Palacios diseño de pauta LATEX, diagramación y diseño de cubierta: Andrés Conrado Montoya Acosta

impresión: Javegraf

Primera edición en español Medidas e integrales © Humberto Rafeiro, traductor © Andrés Vargas, traductor Bogotá, D. C., abril de 2017 isbn: 978-958-781-075-2 Número de ejemplares: 300 Impreso y hecho en colombia Printed and made in Colombia Editorial Pontificia Universidad Javeriana Carrera 7.a n.o 37-25, oficina 1301 Edificio Lutaima Teléfono: 320 8320 ext. 4752 www.javeriana.edu.co/editorial editorialpuj@javeriana.edu.co Bogotá, d. c.

Pontificia Universidad Javeriana | Vigilada Mineducación. Reconocimiento como Universidad: Decreto 1297 del 30 de mayo de 1964. Reconocimiento de personería jurídica: Resolución 73 del 12 de diciembre de 1933 del Ministerio de Gobierno

Lukeš, Jaroslav, autor Medidas e integrales / Jaroslav Lukeš & Jan Malý ; traducción y revisión Humberto Rafeiro, Andrés Vargas. — Primera edición. — Bogotá : Editorial Pontificia Universidad Javeriana, 2017. 272 páginas ; 28 cm Incluye referencias bibliográficas (páginas 259-264) e índice. isbn : 978-958-716-075-2 1. matemáticas. 2. integrales. 3. medicion. 4. cálculo. I. Malý, Jan, autor. II. Rafeiro, Humberto, traductor. III. Vargas, Andrés, traductor. IV. Pontificia Universidad Javeriana. cdd 510 edición 21 Catalogación en la publicación - Pontificia Universidad Javeriana. Biblioteca Alfonso Borrero Cabal, s. j.

Prohibida la reproducción total o parcial de este material, sin autorización por escrito de la Pontificia Universidad Javeriana.

Prefacio Motto: Todos escriben pero nadie lee l. fejér

este texto está basado en las clases de medida e integración impartidas por los autores durante la última década en la Universidad Carolina de Praga, y en apuntes preliminares publicados en checo. Es imposible agradecer individualmente a todos los colegas y estudiantes que nos ayudaron en la preparación de este manuscrito, pero mencionaremos solamente a Michal Kubeček quien nos ayudó con la traducción 1 y con cuestiones de TEX.

n. t. al inglés

Los autores quieren expresar su gratitud al Profesor Stylianos Negrepontis, quien fue el coordinador general del proyecto jep–1980 de tempus. Sin su apoyo y el del programa Tempus este manuscrito nunca habría aparecido. La preparación de este manuscrito fue financiada parcialmente por la beca nº. 201/93/2174 de la Agencia Checa de Becas y por la beca nº. 354 de la Universidad Carolina.

Praga, 1994

Jaroslav Lukeš y Jan Malý

Prefacio a la segunda edición corregimos solamente algunos pequeños errores. Correcciones adicionales fueron realizadas para ediciones impresas en 2013. Agradecemos a todos los que contribuyeron con sugerencias y comentarios.

Praga, 2013

Jaroslav Lukeš y Jan Malý

Prefacio a la edición en español en primer lugar, nos gustaría agradecer a los profesores Jaroslav Lukeš y Jan Malý por su interés y amable colaboración con la producción de la presente edición en español de su libro, que ha sido preparada a partir de la segunda edición en inglés Measure and Integral, publicada por matfyzpress, casa editorial de la Facultad de Matemáticas y Física de la Universidad Carolina de Praga en 2005. Adicionalemente, queremos extender nuestro agradecimiento a la Facultad de Ciencias de la Pontificia Universidad Javeriana, Bogotá, por su apoyo, así como a nuestro Departamento de Matemáticas por brindarnos las condiciones para dedicarle tiempo a este proyecto. Finalmente, queremos reconocer la gran labor de la Editorial Pontificia Universidad Javeriana y en especial a todos los involucrados en este proyecto, porque con su ayuda y profesionalismo fue posible obtener un producto final de gran calidad. La preparación de esta traducción fue parcialmente financiada por el proyecto id-proy: 6054 de la Facultad de Ciencias de la Pontificia Universidad Javeriana, Bogotá.

Bogotá, marzo 2017

Humberto Rafeiro y Andrés Vargas pontificia universidad javeriana departamento de matemáticas

Índice general Notación básica y símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A Medidas y funciones medibles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Medida de Lebesgue

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Medidas abstractas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Funciones medibles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Construcción de medidas a partir de medidas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Clases de conjuntos y funciones de conjuntos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Medidas con signo y complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B Integral abstracta de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7 Integración en R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Integral abstracta de Lebesgue

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 47

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Espacios Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 Medidas producto y el teorema de Fubini

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Integrales que dependen de un parámetro

12 Sucesiones de funciones medibles

. . . . . . . . . . . . . . . . .

C Integral y medida de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 Teorema de Radon–Nikodým y descomposición de Lebesgue

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 Medidas de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 Teorema de representación de Riesz

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 Integral de Radon

17 Sucesiones de medidas 18 Teorema de Luzin

19 Medidas en grupos topológicos

D Integración en R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

20 Medida y diferenciación

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

21 Funciones de variación finita y absolutamente continuas 22 Teoremas de diferenciación en casi todas partes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 13

índice general 23 Integral indefinida de Lebesgue y continuidad absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 24 Medidas de Radon en R y funciones de distribución

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

25 Integral de Henstock–Kurzweil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

E Integración en Rn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

26 Medida e integral de Lebesgue en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 27 Teoremas de cubrimiento

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

28 Diferenciación de medidas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

29 Teorema de densidad de Lebesgue y aproximación de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . 144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

30 Funciones de Lipschitz

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

31 Teoremas de aproximación 32 Distribuciones

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

33 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

F Cambio de variable y medidas k-dimensionales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

34 Teorema del cambio de variable

35 Grado de una aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 36 Medidas de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

G Integrales de línea y de superficie 37 Cálculo integral en el análisis vectorial 38 Integración de formas diferenciales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

39 Integración en variedades

H Integración vectorial

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

40 Funciones medibles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

41 Medidas vectoriales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

42 Integral de Bochner

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

43 Integrales de Dunford y Pettis

Apéndice topológico

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Bibliografía

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Referencias

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Guía breve de notación Índice alfabético

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Notación básica y símbolos en este libro utilizamos notación estándar. En todo lo que sigue, N, Z, Q, R, C denotarán los conjuntos de números naturales, enteros, racionales, reales y complejos, respectivamente. El conjunto de los números reales extendidos R consiste de R junto con dos símbolos 1 y C1, dotado con la estructura algebraica y topológica usual. Recordamos solamente que 0 ˙1 y ˙1 0 se toman como 0. Si X es un conjunto, P .X / denota la colección de todos sus subconjuntos. Rn denota el espacio euclídeo n-dimensional dotado con la norma euclídea usual j j y la métrica jx

yj, donde x D Œx1 ; : : : ; xn .

Recuerde que, cuando es multiplicado por una matriz (por la izquierda), el vector x D Œx1 ; : : : ; xn se comporta como un “vector vertical”, i.e. como una matriz con una columna 0

1 x1 B:C B : C. @:A xn La notación horizontal es preferible por razones estéticas y tipográficas. La base estándar (o canónica) del espacio Rn se denota por fe1 ; : : : ; en g, donde el vector ei D Œ0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ; 0 tiene el 1 en la i -ésima posición. El producto escalar en Rn se denota por x y. Por U.x; r/ denotamos la bola abierta en un espacio métrico .P; / de radio r y centro x. La bola cerrada se denota por B.x; r/. Explícitamente U.x; r/ D fy 2 P W .x; y/ < rg y B.x; r/ D fy 2 P W .x; y/ rg. Para el diámetro de un conjunto utilizamos el símbolo “diam” y para la distancia entre dos conjuntos utilizamos el símbolo “dist”. Si nada adicional es especificado, una función en un conjunto X es una aplicación de X en R. Si queremos enfatizar que una función no alcanza los valores 1 y C1, la llamamos función real. En lugar de la notación fx 2 X W f .x/ > ag a menudo utilizamos la versión abreviada ff > ag. El símbolo cA denota la función característica o indicatriz de un conjunto A X, i.e. la

función cA .x/ D

para x 2 A ;

para x 2 X n A:

Utilizamos fj f para denotar la convergencia uniforme de una sucesión de funciones.

A Medidas y funciones medibles 1 Medida de Lebesgue a lo largo de la historia, el problema de medir longitudes, ĂĄreas y volĂşmenes ha sido muy relevante. MatemĂĄticamente, dado un conjunto A, la tarea consiste en determinar su tamaĂąo (â&#x20AC;&#x153;medidaâ&#x20AC;?) A. Para ello se requiere que cantidades como el volumen de un cubo, o el ĂĄrea de un rectĂĄngulo, o la longitud de un cĂrculo, coincidan con las fĂłrmulas conocidas. TambiĂŠn es intuitivamente claro que esta medida debe ser positiva y aditiva, es decir, debe satisfacer la igualdad

[

siempre que fAj g sea una colecciĂłn finita de conjuntos disjuntos dos a dos. Para lograr un desarrollo exitoso de la teorĂa se impone una condiciĂłn adicional: la igualdad anterior debe ser vĂĄlida incluso para una colecciĂłn numerable de conjuntos disjuntos. Por otra parte, se pretende asignar una medida al mayor nĂşmero posible de conjuntos. En lo que sigue, vamos a explicar la forma de proceder en el caso de la recta real. El mismo enfoque se utilizarĂĄ mĂĄs adelante en el espacio euclĂdeo Rn y en ese contexto se presentarĂĄn las demostraciones. 1.1 medida exterior de lebesgue. A WD KÄąnf

X 1

Para un conjunto arbitrario A R, definimos .bi

ai / W

iD1

1 [

.ai ; bi / A :

iD1

Al valor A (que puede ser C1) se le llama la medida exterior de Lebesgue del conjunto A. 1.2 propiedades de la medida exterior de lebesgue.

Se puede ver inmediatamente

que A B si A B, que la medida de un conjunto unitario (o singleton) es 0 y, sin mucho esfuerzo, se observa que I es la longitud de I para el caso en que I es un intervalo de cualquier tipo (vĂŠase 1.6). Entonces es relativamente fĂĄcil demostrar que la medida de Lebesgue exterior es invariante bajo traslaciones: si A R y x 2 R, entonces A D .x C A/. Otra propiedad importante es la -subaditividad:

[ 1 j D1

1 X

Aj :

j D1

En terminologĂa matemĂĄtica, el prefijo se refiere, por lo general, a las uniones numerables y el prefijo Äą a las intersecciones numerables.

medidas y funciones medibles La pregunta de si es una funciĂłn aditiva de conjuntos tiene una respuesta negativa: existen conjuntos disjuntos A, B con .A [ B/ < A C B (cf. 1.8), y tenemos que encontrar una familia de conjuntos (tan grande como sea posible) sobre la cual la medida sea aditiva. Esta tarea se resolverĂĄ mĂĄs adelante en el CapĂtulo 4 en un caso mucho mĂĄs general. Ahora sĂłlo vamos a indicar brevemente una de sus posibles soluciones en el caso de la medida de Lebesgue. Sea A un subconjunto del intervalo acotado I .

1.3 conjuntos lebesgue medibles.

Definiendo la â&#x20AC;&#x153;medida interiorâ&#x20AC;? A D I

.I n A/, es natural estudiar la colecciĂłn de

conjuntos para los cuales A D A (cf. ejercicio 1.7). Esto conduce a la siguiente definiciĂłn: decimos que un conjunto A R es (Lebesgue) medible si para todo intervalo acotado I R se tiene que I D .A \ I / C .I n A/. La colecciĂłn de todos los conjuntos medibles en R se denotarĂĄ por M. No todos los conjuntos son medibles como se verĂĄ en 1.8. Para M 2 M, la funciĂłn de conjuntos M 7! M , se denota por y es llamada la medida de Lebesgue. AsĂ, para conjuntos medibles, las funciones y coinciden pero para conjuntos no medibles solamente estĂĄ definida. Otra propiedad importante de la medida estĂĄ contenida en el siguiente teorema que ahora se presenta sin demostraciĂłn. 1.4 teorema. (a) Si M1 ; M2 ; : : : son elementos de M, entonces tambiĂŠn tenemos que M1 n T S M2 , Mn y Mn son elementos de M. Si, ademĂĄs, los conjuntos Mn son disjuntos dos a dos, entonces

[

X Mn D Mn :

(b) Los intervalos de cualquier tipo estĂĄn en M. 1.5 observaciĂłn.

El ingenio del enfoque de Lebesgue al concepto de medida consiste en

considerar los cubrimientos numerables del conjunto A por intervalos. Si en la definiciĂłn de A consideramos solamente cubrimientos finitos, obtenemos la nociĂłn conocida como contenido de Jordanâ&#x20AC;&#x201C;Peano. En el anĂĄlisis moderno esta nociĂłn estĂĄ lejos de ser tan importante como la medida de Lebesgue. 1.6 ejercicio. Si I R es un intervalo (de cualquier tipo), muestre que I es su longitud. Sugerencia. Es suficiente considerar el caso I D Ĺ&#x2019;a; bÂ?. Claramente Ĺ&#x2019;a; bÂ? b a, pues S Ĺ&#x2019;a; bÂ? .a "; b C "/. Supongamos entonces que 1 i D1 .ai ; bi / Ĺ&#x2019;a; bÂ?. Un argumento de S compacidad muestra la existencia de un Ăndice n que satisface niD1 .ai ; bi / Ĺ&#x2019;a; bÂ?. Usando P inducciĂłn (respecto a n) se puede mostrar que b a niD1 .bi ai /. 1.7 ejercicio.

Para todo conjunto acotado A R, definimos A WD I

.I n A/

donde I es un intervalo acotado que contiene al conjunto A. Muestre que: (a) el valor de A no depende de la escogencia del intervalo I ; (b) un conjunto acotado A R es medible si y solamente si A D A;

medida de lebesgue (c) un conjunto M R es medible si y solamente si su intersección con cada intervalo acotado es medible. En la siguiente parte de este capítulo se presentan algunos subconjuntos significativos de la recta real. 1.8 un conjunto no medible. Ahora probamos la existencia de un subconjunto no medible de R y en consecuencia demostramos que la medida exterior de Lebesgue no puede ser aditiva. Definamos una relación tal que x y si x

y es un número racional. Es fácil ver que

es una relación de equivalencia en R. Por lo tanto, R se divide en una colección no numerable V de clases disjuntas dos a dos. Un conjunto V pertenece a esta colección V si y solamente si V D x C Q para algún x 2 R. Por el axioma de elección, existe un conjunto E .0; 1/ que comparte exactamente un punto con cada conjunto V 2 V . Probaremos que E no está en M. Sea fqn g una sucesión que contiene todos los números racionales del intervalo . 1; C1/. No es difícil de mostrar que los conjuntos En WD qn C E son disjuntos dos a dos y que .0; 1/

[

En . 1; 2/:

S Asumiendo que E 2 M, entonces también En 2 M y el teorema 1.4 implica que n En D P n En . Distinguiendo dos casos: E D 0 y E > 0, fácilmente obtenemos una contradicción. 1.9 observaciones. 1. La prueba de la existencia de un conjunto no medible no es una demostración constructiva (se utiliza el axioma de elección para una colección no numerable de conjuntos). Volveremos al tema de los conjuntos no medibles en las Observaciones 1.22. 2. Usando un argumento simple, se puede demostrar una proposición aún más fuerte: cualquier conjunto medible M R de medida positiva contiene un subconjunto no medible. S Basta con darse cuenta que M D q2Q M \ .E C q/, donde E es el conjunto no medible de 1.8 y que cualquier subconjunto de E tiene medida (de Lebesgue) cero. 3. Van Vleck [99] “construyó” un conjunto E Œ0; 1 para el cual E D 1 y E D 0. 1.10 ejercicio.

Muestre que todo conjunto numerable S tiene medida cero. S1 "2 j ; rj C "2 j /, donde frj g es la colecj D1 .rj

Sugerencia. Considere cubrimientos

ción de todos los elementos del conjuntos S . La afirmación se sigue también del teorema 1.4, si nos damos cuenta que los singletons tienen medida cero. 1.11 ejemplos de conjuntos con medida cero. (a) El conjunto Q de todos los números racionales es numerable, entonces por el ejercicio 1.10 tiene medida de Lebesgue cero. (b) Usando la sugerencia del ejercicio, se puede ver que para cada k 2 N existe un T conjunto abierto Gk tal que Q Gk y Gk 1=k. El conjunto 1 kD1 Gk también tiene medida de Lebesgue cero, es denso y no numerable (incluso residual). 1.12 conjunto ternario de cantor. Considere la sucesión fKn g de colecciones finitas ˚ ˚ de intervalos definidos de la siguiente manera: K0 D Œ0; 1 , K1 D Œ0; 13 ; Œ 23 ; 1 . En cada paso construimos Kn a partir de Kn

como el conjunto de todos los intervalos cerrados que

son los tercios de la izquierda o de la derecha de un intervalo de la colección Kn n

(el tercio

medio se omite). Entonces Kn es una colección de 2 intervalos cerrados disjuntos, cada

medidas y funciones medibles 1. a veces tambiĂŠn llamado discontĂnuo de Cantor

uno con longitud 3 n . Sea Kn la uniĂłn de la colecciĂłn Kn . El conjunto ternario de Cantor 1 T C se define como n Kn . No es difĂcil verificar que C consiste precisamente de los puntos P i de la forma 1 donde cada ai es 0 Ăł 2. En tĂŠrminos generales, en el conjunto de iD1 ai 3 Cantor estĂĄn exactamente los puntos del intervalo Ĺ&#x2019;0; 1Â? cuya expansiĂłn ternaria (en base 3) no contiene el dĂgito 1. El conjunto de Cantor tiene las siguientes propiedades: (a) C es un conjunto compacto sin puntos aislados; (b) C es un conjunto denso en ninguna parte o diseminado (y totalmente disconexo); (c) C es un conjunto no numerable; (d) la medida de Lebesgue de C es cero. 1.13 discontinuos de una medida positiva. Si construimos un conjunto D Ĺ&#x2019;0; 1Â? de la misma manera que el conjunto de Cantor, excepto que siempre omitimos intervalos de longitud "3

donde " 2 .0; 1/ (notemos que sus centros no son los mismos que los de la

construcciĂłn del conjunto de Cantor), obtenemos un conjunto cerrado denso en ninguna parte, para el cual D D 1 ". Los conjuntos que tienen esta propiedad se llaman discontinuos de una medida positiva. Otra construcciĂłn: si G es un subconjunto abierto del intervalo .0; 1/, que contiene todos los puntos racionales de este intervalo y G D " < 1 entonces Ĺ&#x2019;0; 1Â? n G es un discontinuo de medida 1

1.14 ejercicio. Pruebe que existe un subconjunto no Boreliano del conjunto de Cantor y observe que este conjunto es Lebesgue medible. Sugerencia. Un argumento de cardinalidad muestra que el conjunto de todos los subconjuntos Borelianos del conjunto de Cantor tiene la cardinalidad del continuo mientras que el conjunto de todos los subconjuntos tiene cardinalidad mayor. En lugar de esto, tambiĂŠn se puede utilizar la siguiente idea. Defina Ë&#x161; .t / WD KÄąnf x 2 Ĺ&#x2019;0; 1Â? W f .x/ D t ; donde f es la funciĂłn singular de Cantor de 23.1. Muestre que es creciente en el intervalo Ĺ&#x2019;0; 1Â? y por lo tanto es una funciĂłn Boreliana. Suponga que E es un subconjunto no medible de Ĺ&#x2019;0; 1Â? y sea B WD .E/. Entonces B (como un subconjunto del conjunto de Cantor) es un conjunto medible. Pero como

.B/ D E (y es una funciĂłn de Borel), B no puede ser un

conjunto de Borel. 1.15 medida de lebesgue en R n .

Similarmente a como se hizo en R, introducimos la

medida de Lebesgue en R . Recordemos que por un intervalo en Rn entendemos un producto cartesiano arbitrario de n intervalos unidimensionales. Si I WD .a1 ; b1 / .an ; bn / es un intervalo abierto, definimos su volumen como vol I D .b1

a1 / .bn

an /:

De la misma manera definimos vol I para intervalos de otros tipos. Dado un conjunto arbitrario A Rn , definamos la medida exterior de Lebesgue de A como la cantidad

A D KÄąnf

X 1 kD1

vol Ik W

1 [ kD1

Ik A; Ik es un intervalo abierto :

medida de lebesgue Decimos que un conjunto A Rn es medible si T D .A \ T / C .T n A/ para todo conjunto T Rn . (Por analogía con el caso unidimensional, debemos requerir que la igualdad sea válida para intervalos T acotados. Hemos elegido la presente definición con el fin de aplicar el enfoque general del Capítulo 4. Pronto mostraremos que no hay diferencia entre estas dos definiciones.) El símbolo M denota nuevamente la colección de todos los subconjuntos medibles de Rn . Para M 2 M denotamos por M WD M la medida n-dimensional de Lebesgue del conjunto M . 1.16 teorema. Si fAj g es una sucesión de conjuntos (arbitrarios) de Rn , entonces

[ 1

j D1

1 X

Aj :

j D1

Demostración. La afirmación se sigue del teorema 4.3. T 1.17 teorema. Si M1 ; M2 ; : : : son elementos de M, entonces también M1 n M2 , Mn y S Mn son elementos de M. Si, además, los conjuntos Mn son disjuntos dos a dos, entonces

[

Mn D

Mn :

Demostración. La afirmación se sigue del teorema 4.5 que es más general. Compare el siguiente teorema con el ejercicio 1.6. 1.18 teorema. Si I Rn es un intervalo acotado, tal que I

Qj donde fQj g es una

sucesión de intervalos abiertos, entonces vol I

vol Qj :

En consecuencia, la medida n-dimensional de Lebesgue I es igual al volumen vol I . Demostración. Supongamos que J es un intervalo compacto contenido en I . Existe un p tal que los intervalos fQ1 ; : : : ; Qp g cubren a J . El intervalo J puede ahora ser dividido en un número finito de intervalos n-dimensionales fJi g que no se superponen entre sí (distintos elementos de fJi g tienen interiores disjuntos) de tal manera que el interior de cada intervalo Ji está contenido en alguno de los intervalos Qj . Entonces vol J D

X i

Dado que la diferencia vol I

vol Ji

p X j D1

vol Qj

1 X

vol Qj :

j D1

vol J puede ser arbitrariamente pequeña, se sigue la afirmación.

1.19 teorema. (a) Cualquier subconjunto abierto de Rn es medible.

(b) Si A D 0,

entonces A es medible. Demostración. La prueba de la parte (b) es obvia; probemos (a). Primero demostramos que cada intervalo H , que es un semi-espacio (e.g. es de la forma . 1; c/ Rn

) es medible.

medidas y funciones medibles Escojamos un conjunto de â&#x20AC;&#x153;pruebaâ&#x20AC;? T con T < 1 y un " > 0. Entonces existe un intervalo abierto fQj g con [

Qj T y

vol Ij < T C ":

Ahora, existen intervalos abiertos Ij y Jj tales que Ij [ Jj D Qj , Qj \ H Ij , Qj n H Jj y Ij C Jj < Qj C "2 j. Entonces .T \ I / C .T n I /

vol Ij C

vol Jj T C ":

Demostramos la medibilidad de todos los intervalos H que tienen la forma de semiespacio. Finalmente, cada intervalo abierto puede ser representado como una uniĂłn numerable de intervalos y cada intervalo es una intersecciĂłn finita de intervalos que son semiespacios. 1.20 teorema. Si A Rn , entonces A D KÄąnf f G W G abierto, G Ag: DemostraciĂłn. Una de las desigualdades se sigue de la monotonĂa de . Ahora, si A < 1 y " > 0, entonces existen intervalos abiertos Ij Rn tales que A

[ j

[

vol Ij < A C ":

El lector deberĂĄ comparar el siguiente teorema y el ejercicio 15.19. 1.21 teorema. Dado un conjunto M Rn , las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) M es medible; (b) para cada intervalo acotado I se tiene que I D .I \ M / C .I n M /; (c) para cada " > 0 existe un intervalo abierto G M con .G n M / < "; (d) existe un GÄą -conjunto D M tal que .D n M / D 0; (e) existe un F -conjunto Bi y un GÄą -conjunto Be tal que Bi M Be y adicionalmente .Be n Bi / D 0: DemostraciĂłn. La implicaciĂłn (a) H) (b) es trivial. Asumiendo (b), fijemos " > 0 y denotemos Ik D . k; k/n . Por el teorema 1.20 podemos encontrar conjuntos abiertos Gk y Hk para los cuales se cumple Ik \ M Gk , Ik n M Hk , Gk .Ik \ M / C 2

Hk .Ik nM /C2

" y

". Podemos asumir que Gk y Hk son subconjuntos de Ik . Entonces

tenemos que Gk n M Gk \ Hk . Utilizando (b) y la medibilidad de los conjuntos abiertos obtenemos que Ik C .Gk \ Hk / D Gk C Hk .Ik \ M / C .Ik n M / C 2 Ik C 2

kC1

medida de lebesgue Definamos G D

k Gk .

Entonces .G n M /

1 X

.Gk \ Hk / 2",

kD1

por lo tanto se cumple (c). Que (c) implica (d) es evidente. No es muy difĂcil probar la implicaciĂłn (d) H) (e). Si M satisface (e), entonces M D Bi [ .M n Bi / donde los conjuntos Bi y M n Bi son medibles por el teorema 1.19 (cada cual por diferentes razones), asĂ que (e) H) (a). 1.22 observaciones. Originalmente H. Lebesgue definiĂł la medida exterior en la recta real utilizando cubrimientos numerables formados por intervalos, exactamente como fue explicado en el texto. El definiĂł medibilidad como en el ejercicio 1.7. Hacia finales del siglo xix aparecieron varias tentativas para definir la longitud o el ĂĄrea de figuras geomĂŠtricas; en los trabajos de G. Peano y C. Jordan incluso las â&#x20AC;&#x153;medidasâ&#x20AC;? de conjuntos mĂĄs complicados fueron consideradas. La existencia de un conjunto no medible (de Lebesgue) estĂĄ estrechamente relacionada con el axioma de elecciĂłn (para colecciones no numerables de conjuntos) y la afirmaciĂłn de que existen tales conjuntos fue demostrada por primera vez por T. Vitali [l98]. El resultado de Solovay [93] dice que existen modelos de la teorĂa de conjuntos (que, por supuesto, no satisfacen el axioma de elecciĂłn) en la que cada subconjunto de nĂşmeros reales es Lebesgue medible. TambiĂŠn es posible probar la existencia de un conjunto no medible (asumiendo diferentes condiciones sobre los conjuntos) de otras maneras. Las construcciones de conjuntos de Bernstein (incluso suponiendo el axioma de elecciĂłn) como ejemplos de conjuntos no medibles son tambiĂŠn interesantes. Otra construcciĂłn de un conjunto no medible (usando de nuevo el axioma de elecciĂłn), basada en los resultados de la teorĂa de grafos, fue propuesta por R. Thomas [97]. Utilizando mĂŠtodos del anĂĄlisis no-estĂĄndar, es posible demostrar la existencia de un conjunto no medible suponiendo la existencia de ultrafiltros (una forma mĂĄs dĂŠbil del axioma de elecciĂłn; cf. M. Davis [l22]). Recientemente, M. Foreman y F. Wehrung [27], demostraron que la existencia de un conjunto no medible es consecuencia del teorema de Hahnâ&#x20AC;&#x201C;Banach (lo cual es una suposiciĂłn mĂĄs dĂŠbil que el axioma de elecciĂłn). Es Ăştil observar que la medida de Lebesgue se puede extender a una medida â&#x20AC;&#x153;invariante bajo traslacionesâ&#x20AC;? definida sobre una -ĂĄlgebra mĂĄs grande que la formada por la colecciĂłn de todos los conjuntos Lebesgue medibles. La construcciĂłn se puede encontrar, e.g., en S. Kakutani y J. C. Oxtoby [48]. Sin embargo, la medida de Lebesgue no puede extenderse de una manera razonable a la colecciĂłn de todos los subconjuntos de Rn . Es interesante que en R o en R2 existen extensiones finitamente aditivas de la medida de Lebesgue a la colecciĂłn de todos los subconjuntos que pueden ser invariantes con respecto a traslaciones y rotaciones. Esto fue demostrado por primera vez por S. Banach [2]. Sin embargo, este resultado no puede ser transferido a los espacios de dimensiones superiores como se desprende del siguiente resultado famoso de S. Banach y A. Tarski [5]: Si U y V son conjuntos abiertos y acotados arbitrarios (!) en el espacio Rn , con n 3, entonces existen conjuntos E1 ; : : : ; Ek y F1 ; : : : ; Fk tales que Ei \Ej D ; D Fi \Fj S S Ei , V D Fi y Ej son copias isomĂŠtricas de Fj .

para i Â¤ j , U D

Este libro se compuso usando tipos LinuxLibertine & LinuxBiolinum (para el texto) y Math Times Pro 2 (para las matemรกticas), con el sistema de composiciรณn tipogrรกfica LATEX. Se terminรณ de imprimir en los talleres de Javegraf en abril de 2017.