Dossier del 3r trimestre

L’infinit a l’abast

Equacions

L’INFINIT A L’ABAST Àlgebra i mesura

Dossier de Matemàtiques. Ges ½ tarda. 3r trimestre CFPA Mestre Esteve. Curs 2008-2009

CFPA Mestre Esteve

Curs 2008-2009

L’infinit a l’abast

Equacions i mesura

El grec Diofant, considerat el pare de l'àlgebra, va viure ja en l'època en què els grecs havien esgotat pràcticament totes les possibilitats de la matemàtica elemental i començaven a concentrar-se en la trigonometria i l'àlgebra.

Un deixeble de Diofanto ens va deixar un escrit gràcies al qual podem saber quants anys va viure el seu mestre. Diu així: " Caminant! Aquí van ser sepultats les restes de Diofant. I els nombres poden mostrar, oh, miracle!, com de llarga va ser la seva vida, la sisena part de la qual va constituir la seva bella infància. Havia transcorregut a més una dotzena part de la seva vida, quan de borrissol es va cobrir la seva barbeta. I la setena part de la seva existència va transcórrer en un matrimoni estèril. Va passar un quinquenni més i li va fer joiós el naixement del seu preciós primogènit, que va lliurar el seu cos, la seva bella existència, que va durar tan sols la meitat de la del seu pare, a la terra. I amb profunda pena va descendir Diofanto a la sepultura, havent sobreviscut quatre anys al decés del seu fill.

En el transcurs d'aquest tema tractarem d'aprendre a resoldre situacions d'aquest tipus, utilitzant precisament els coneixements que ens subministra l'àlgebra.

RESOLUCIÓ:

CFPA Mestre Esteve

2

Curs 2008-2009

L’infinit a l’abast

Equacions i mesura

x + 15 = 36 x = 36 - 15 x = 21

1. Soluciona aquestes equacions, observant l'exemple resolt: x + 3 = 10

x + 90 = 150

21 + x = 32

x+7=5

x + 40 = 30

x + 12 = 0

x + 15 = 35

7 + x = 13

100 + x = 48

x + 10 = 3

x + 80 = 45

20 + x = 3

x-7=9 x= 9+7 x = 16

2. Resol: x - 3 = 10

x - 20 = 6

x - 240 = 135

x - 15 = 3

x - 5 = 31

x - 50 = 82

3x = 105 x = 105 / 3 x = 35

3. Calcula el valor d’ x en aquestes equacions: 2x = 26

5x = - 75

- 8x = 40

- 9x = -9

12 x = 10.800

2x = 7

2x = 3

4x = -35

3x = 27

4x = -56

7x = 70

15x = 900

3x = 11

7x = 630

-5x = 13

CFPA Mestre Esteve

3

Curs 2008-2009

L’infinit a l’abast

Equacions i mesura

x/9=5 x= 5·9 x = 45 4. Resol: x/3=7

x/7=9

x / 15 = -4

x/5=8

x / 12 = 6

x / 10 = -10

35 / x = 7 x = 35 / 7 x=5

[ 35 / 7 = x ]

5. Resol: 24x = 6

64 / x = 16

96x = 3

90x = 15

180 / x = 12

161 / x = 23

3x - 30 = x 3x - x = 30 2x = 30 x = 30 / 2 x = 15

3x + 12 = 18 3x = 18 - 12 3x = 6 x= 6/3 x= 2

6. Resol: 8x + 12 = 10x

3x + 2 = 11

4x - 15 = x

2x - 5 = 3

3 + 6x = 5x

8x + 5 = 79

-17 + 3x = 2x

4x + 3 = -9

3x - 60 = 8x

9x + 30 = 3

-x - 48 = 3x

6x - 36 = -6

20x + 50 = 15x

4x - 5 = -29

CFPA Mestre Esteve

4

Curs 2008-2009

L’infinit a l’abast

Equacions i mesura

3 (x + 5 ) = 2 (20 - x ) 3x + 15 = 40 - 2x 3x + 2x = 40 - 15 5x = 25 x = 25 / 5 x=5 7. Resol aquestes equacions, tot suprimint prèviament els paréntesis: 3 (x - 1) = x + 11

5 (4 + x) = 7x - 2

3x - 11 = 2 (x - 7)

2 (2x + 5) = 5x - 2

3x + 26 = 5 (x + 6)

3x + 7 = 2 (8 + x)

4 (3x + 7) = 25

3 (6 + x) = 2 (x - 5)

Para quitar denominadores se utiliza el método del m.c.m.

x / 2 + x / 3 = 10 3x + 2x = 60 5x = 60 x = 60 / 5 x = 12

8. Soluciona aquestes equacions, eliminant prèviament els denominadors: x −1 =15 3

x −3 = x 2

x +12000 = 25000 4

x + 20 = 3 x − 40 2

x + 7 2 x +10 = 3 2

5+

x 2x = −1 2 3

PROBLEMES D’ EQUACIONS CFPA Mestre Esteve

5

Curs 2008-2009

L’infinit a l’abast

Equacions i mesura

¿QUIN NOMBRE SUMAT A 121 DÓNA 143?

121 + x = 143 x = 143 – 121 x = 22

1. Quin nombre restaries a 17 per obtenir 5?

2. Quin és el nombre el doble del qual és 76?

3. Busca un nombre que sumat a –10 ens doni 15.

4. El triple d'un nombre més 7 és igual a 37. Quin és aquest nombre?

5. Calcula el nombre la tercera part del qual més 10 és igual a 17.

6. El sou de dues persones summa 27.000 € annuals. Quant cobra cadascuna si una rep el triple de l'altra?

7. Troba un nombre la meitat del qual més 3.600 sigui igual al mateix nombre més 100.

8. La suma de dos nombres és 39. Quins són aquests nombres si el més gran és el doble del petit?

9. Anna estalvia 25 €. cada dia i el seu germà Jordi, 15 €. Quants dies trigaran a poder comprar, amb els estalvis dels dos, un cotxe que val 3.600 €?

10. Les edats de dos nens sumen 21 anys. Si un té 3 anys més que l'altre, quina edat té cadascun?

11. El pare té 5 anys més que la mare. Si entre els dos sumen 73 anys, quin és l'edat de

CFPA Mestre Esteve

6

Curs 2008-2009

L’infinit a l’abast

Equacions i mesura

cadascun?

12. Troba tres nombres consecutius que sumeixen 108.

13. Un pare té tres vegades l'edat del fill. Si entre els dos sumen 48 anys, quin és l'edat del pare? I la del fill?

14. En el galliner tenim junts gallines i conills. Rosa ha comptat 30 caps i José 84 potes.

Quantes bèsties hi ha de cada classe?

15. Una bicicleta i un equip de futbol m'han costat 22.500 ptes. Quant val cada cosa si l'equip val la quarta part de la bicicleta?

16. En un párquing hi ha la meitat de cotxes blancs, la quarta part de vermells i la cinquena part de negres. Si també hi ha 6 grocs, quants vehicles hi ha al pàrquing?

17. El meu pare té 6 anys més que la meva mare. Quina edat té cadascun si dins de 9 anys la suma de les seves edats serà 84 anys?

18. Si el perímetre d'un camp rectangular és de 1200 metres i sabem que la base és 3 vegades l'altura. Quants pals necessitarem per barrar aquesta base si els col·loquem a una distància d'1,5 m?

COMENÇA LA PART DE MESURA

MAGNITUD. UNITAT

CFPA Mestre Esteve

7

Curs 2008-2009

L’infinit a l’abast

Equacions i mesura

Imagina que vols estudiar el cansament d’una persona. Intuïtivament podràs dir que després d’un partit de futbol estarà més cansada que abans, preo et serà impossible dir que el seu cansament és, per exemple, el triple que abans. Ni tan sols podràs dir que dues persones estaran igual de cansades després d’un partit o una carrera.

Hi ha propietats dels objectes que no es poden representar amb nombres (números).

En canvi, sí que podràs dir, sense cap dificultat, que, per exemple, una taula val el doble que una altra, o que un cotxe de carreres consumeix el triple de benzina que una moto.

D’aquelles propietats dels objectes que podem comparar fent servir números en diem magnituds.

Per obtenir el número que representa una magnitud d’un objecte el que fem és escollir una unitat de comparació i elaborem un procediment que ens permeti trobar el número de cops que la magnitud de l’objecte està continguda en ella.

OBJECTE, MAGNITUD, QUANTITAT Suposem que ens pregunten quina és la nostra alçada. Què farem?

Prendrem una cinta mètrica, col·locarem un extrem al terra y llegirem la subdivisió del metro que coincideixi amb el final del nostre cos. Llegirem, per exemple, 1 metro y 63 cm.

Ara mesurem l’alçada d’una altra persona y trobem, fent servir el mateix procediment, 1 metro y 72 cm, y l’alçada d’una tercera persona resulta ser d’1 metro y 69 cm. Disposem de tres mesures que ens proporcionen un conjunt d’informacions de l’alçada de tres persones.

Els números que hem obtingut ens faciliten informació referent a una propietat (la altura) de tres objectes (persones). Això es típic de totes les mesures. Cada mesura nos proporciona un número que representa una propietat d’un objecte determinat.

Hem de distingir, sempre: a) L’objecte material, b) La magnitud que mesurem (propietat) c) La quantitat: valor de la magnitud en l’objecte.

CFPA Mestre Esteve

8

Curs 2008-2009

L’infinit a l’abast

Equacions i mesura

Exercici individual

LLEGEIX ATENTAMENT EL TEXT I RESOL LES SEGÜENTS QÜESTIONS: 1.

Classifica la següent llista en objecte, magnitud, quantitat: a) Finestra b) Massa C) Cotxe d) Cent quilòmetres per hora e) Nombre de rodes d’un cotxe f) Altura g) Cadira h) Un quart de quilogram i) Zero graus j) Preu

2. Relaciona les següents columnes: Objecte

Magnitud

Quantitat

Tros de ferro Persona Taula Enciclopèdia

Amplada Massa Preu Edat

750 € 15 anys 250 g 37 cm

3. Enumera cinc magnituds que siguin comunes als següents objectes a) Taula. b) Cotxe. c) Persona.

4. ¿Creus que és possible obtenir dos valors diferents d’una mateixa magnitud en un objecte? Raona la resposta

5 D’una magnitud se’n diu que és extensa si, en combinar o ajuntar dos objectes que tenen aquella propietat, el valor de la magnitud al nou objecte és la suma dels valors de les magnituds als objectes separats. Així, per exemple, la longitud és una magnitud extensa donat que si ajuntem adequadament dos objectes, la longitud de la unió és la suma de les longituds de cadascun per separat. Indica quines de les següents magnituds són extenses a) Volum b) Massa c) Longitud d) Superfície e) Capacitat f) Temps CFPA Mestre Esteve

g) h) i) J) k)

Temperatura Amplada Preu Color Coeficient intel·lectual.

9

Curs 2008-2009

L’infinit a l’abast

Equacions i mesura

CARACTERÍSTIQUES DELS INSTRUMENTS DE MESURA Els instruments de mesura són necessaris per diferents motius; entre ells podríem apuntar els següents: a) Els sentits ens poden enganyar. b) Hi ha magnituds que no són perceptibles amb els sentits. c) Valors molt alts o molt baixos d'una magnitud no poden apreciar-se amb els sentits. d) Les petites variacions d'una magnitud escapen a la sensibilitat dels nostres sentits. i) Amb ells i les unitats de mesura és possible obtenir un nombre que representi la quantitat d'una magnitud en un objecte determinat.

Així doncs, els instruments de mesura es construeixen de tal forma que puguin cobrir aquestes mancances. No obstant això, tant el grau de desenvolupament tecnològic com l'ús al que es destina l'instrument condicionen la «perfecció» de l'aparell. Cada aparell de mesura queda definit per les següents característiques: 1.

2.

3.

4.

Cota màxima i cota mínima.

Rapidesa.

Sensibilitat.

Precisió.

Quan vulguem obtenir el valor d'una propietat d'un objecte, el primer que farem serà escollir un instrument que mesuri la magnitud. Una vegada escollit el tipus d'aparell haurem de triar un en concret d'acord amb l'objecte i els requeriments que desitgem. Per exemple, no agafarem la mateixa balança per a mesurar la massa d'una barra de pa que per a trobar la massa d'una pepita d'or o la d'un camió.

1. Cota màxima i cota mínima.

El valor màxim que pot mesurar un instrument de mesura es denomina cota màxima. Al valor mínim se li diu cota mínima. El coneixement de les cotes d'un instrument és imprescindible per a evitar espatllar-ho o per a no fer mesures mancades de sentit.

2. Rapidesa.

En general diem que un succés ocorre ràpidament quan es desenvolupa en poc temps. Un corredor és ràpid quan cobreix una distància en poc temps. La població augmenta ràpidament quan ho fa en un interval de temps molt curt, etc.

Doncs bé, un instrument de mesura es diu que és molt ràpid quan el temps que necessita per a indicar el valor d'una magnitud és molt curt. Així, per exemple, la balança d'un forner és molt més ràpida que la d'un joier.

3. Sensibilitat. Fidelitat Es diu sensibilitat d'un aparell de mesura al valor de la variació més petita de la magnitud que pot ser apreciat amb dit aparell.

CFPA Mestre Esteve

10

Curs 2008-2009

L’infinit a l’abast

Equacions i mesura

Un termòmetre clínic que és capaç d'apreciar una variació d'una desena de grau en la temperatura del cos humà es diu que té una sensibilitat d'1 decigrau. En un termòmetre casolà la sensibilitat pot ser, en canvi, d'1 grau centígrad.

El concepte de fidelitat d'un aparell es presta a moltes confusions i, per això, convé aclarirho. Si amb un instrument es repeteix diverses vegades una mateixa mesura i s'obtenen valors molt diferents direm que és poc fidel, mentre que si les diferències observades són petites, encara que existeixin, direm que és un instrument fidel.

4. Precisió.

Una característica important dels instruments de mesura és la precisió, La precisió d'un aparell té relació amb l'error que es comet al realitzar la mesura i, també, amb la sensibilitat i la fidelitat. Quant més precís sigui un instrument, menor serà la incertesa o l'error absolut del nombre aproximat resultat de la mesura.

EXERCICI (Grup) 1. Feu una llista (el més ampla possible) de propietats o característiques dels cossos o objectes que és puguin mesurar (és a dir, de magnituds) . Indiqueu, en cas de coneixe’l l’instrument de mesura més apropiat i la unitat de mesura.

PROPIETAT

INSTRUMENT

UNITAT

EXERCICI 2. (Individual) 1. Observa un termòmetre clínic i contesta: a) Quina és la cota mínima? I la cota màxima? b) Per què creus que els termòmetres clínics és construeixen amb aquestes cotes? c) Quina és la seva sensibilitat? d) Com classificaries aquest aparell de mesura, ràpid o lent? Perquè?

2. Analitza els següents instruments de mesura. De cada un d’ells has d'indicar-ne els característiques: cota màxima i cota mínima, sensibilitat, magnitud que mesura, unitat de mesura utilitzada. ((Anota els resultats en una taula) a) b) c) d) e) f) g) h) i)

cinta mètrica transportador d’angles balança de granatori balança de plat rellotge de polsera termòmetre de laboratori metre de sastre una proveta cronòmetre

CFPA Mestre Esteve

11

Curs 2008-2009

L’infinit a l’abast

Equacions i mesura

Proposta 1: MESURA DE MASSES AMB LA BALANÇA GRANATARI 1. Observar la balança i estudiar el seu funcionament. Anotar les distintes peses de què disposem. Indicar la cota màxima la cota mínima i la sensibilitat de la balança.

2. Triar tres objectes Per exemple una moneda de 2 € un llapis i una goma.

3. Ajustar el fiel a ZERO, actuant sobre els bisos equilibradors. Col·locar l'objecte triat en uns platerets i anar col·locant peses en l'altre, procedint sempre de major a menor i sense saltar-se cap, fins a restablir l'equilibri.

Heu de tenir present que sempre hem de manipular la balança quan aquesta es trobi en equilibri.

Anotar el resultat per a cadascun dels objectes.

4. Reunir les dades dels altres grups que hagin dut a terme el mateix exercici. Realitzar amb ells una taula de resultats, una gràfica de distribució de mesures i trobar el valor mitjà.

Proposta 2: MESURA DE VOLUMS DE LÍQUIDS 1. Proveir-se d'una proveta neta i seca. Observar l'escala i indicar en quina unitat de mesura està expressada. Indicar la cota màxima, la cota mínima i la sensibilitat.

2. Prendre una quantitat qualsevol d'aigua en un got i abocar-la en la proveta. Deixar aquesta que reposi sobre la taula. Mesurar el volum d'aigua mirant per la part inferior del menisc format posant els ulls a la seva mateixa altura. Anotar el resultat.

3. Mesurar ara 20 cc. (o ml.) d'aigua amb la proveta i abocar-los en un got net i sec.

Mesurar després 32 cc. d'aigua en la proveta i afegir-los al mateix got. Repetir ara amb 38 cc. ¿Quina quantitat d'aigua ha de contenir el got?

Abocar ara el contingut del got en !a proveta i mesurar el volum real. Expressar el resultat. ¿Coincideixen el valor teòric i el real? En cas contrari, explicar les possibles causes de la diferència i repetir les mesures.

Proposta 3: LA LONGITUD DEL PASSADÍS DE L'ESCOLA 1. Mesurar amb una cinta mètrica la longitud del passadís de l'escola.(¿On comença el passadís? ¿on acaba?)

2. Repetir, almenys, vuit vegades la mesura. Reunir les dades obtingudes en una taula de resultats. Trobar el valor mig.

CFPA Mestre Esteve

12

Curs 2008-2009

L’infinit a l’abast

Equacions i mesura

3. ¿Jutgeu que la vostra mesura és bona? ¿Quins factors poden haver-vos induït a cometre errors en el mesurament?

4. Anotar les característiques de la vostra cinta mètrica: cota màxima, cota mínima i sensibilitat.

5. Amb les dades dels grups que hagin realitzat el mateix treball realitzar una nova taula de resultats, una gràfica de distribució de mesures i trobar el valor mig.

6. Analitzar i extreure conclusions de les noves dades.

Proposta 4: MESURA DE TEMPERATURES 1. Proveir-se d'un termòmetre de laboratori. Indicar les seves cotes màxima i mínima, i la seva sensibilitat.

2. Proveir-se, també, de dos recipients (almenys un d'ells resistent al foc), d'un fornet de gas (o un llum d'alcohol), un trípode, una reixeta i una proveta.

Analitzar també les característiques de la proveta.

Per a poder refredar l'aigua a una temperatura menor que la de l'ambient, proveir-vos, també, de glaçons.

3. El següent quadre reflecteix 4 situacions distintes, en la qual es refereix a les quantitats d'aigua i temperatura de les mateixes per a dos recipients o gots (1 i 2).

Es tracta de triar distintes (o iguals) quantitats d'aigua a temperatures variables, d'acord amb les indicacions del quadre (+ major; - menor; = igual) i comprovar què succeeix al barrejar-les ( 1 + 2 ) Al barrejar el contingut d'ambdós recipients (1+2) procurar fer-ho sempre de la mateixa manera. Perquè la temperatura de l'aigua sigui homogènia, amb el termòmetre podeu remoure una mica.

SITUACIÓ A SITUACIÓ B SITUACIÓ C SITUACIÓ D 1 2 1+2 1 2 1+2 1 2 1+2 1 2 1+2 ml + = = + + ºC = = + + + 4. Esbrinar quines magnituds són extensives, ¿la capacitat o la temperatura? Indicar per què.

5. Indicar quins factors o elements poden haver-vos induït cometre errors en les distintes mesures.

CFPA Mestre Esteve

13

Curs 2008-2009

L’infinit a l’abast

Equacions i mesura

Proposta 5: MESURA DE SUPERFÍCIES. CÀLCUL DE L'ÀREA DE L'AULA 1. Fer un croquis de l'aula. Cada persona del grup haurà de mesurar, amb una cinta mètrica, els costats de l'aula i col·locar les dades obtingudes en el croquis.

2. Analitzar les característiques de la cinta mètrica: cota màxima cota mínima, sensibilitat, ...

3. Amb les mesures obtingudes completar la següent taula: COSTAT 1

COSTAT 2

SUPERFÍCIE

MESURA 1 MESURA 2 MESURA 3 VALORS MITJOS

4. Calcular el perímetre de l'aula donant el resultat amb un nombre adient de xifres.

5. ¿Jutgeu que les vostres mesures són bones? ¿Quins factors poden haver-vos induït a cometre errors en la mesura?

6. Calcular la densitat de població en la classe. Per a això és precisa anotar la dada de la superfície de l'aula i el nombre de persones que ocupa la classe. Després cal calcular quantes persones hi ha en cada metre quadrat. Donar el resultat amb un nombre adient de xifres. La densitat s'expressarà amb la unitat de mesura persones

CFPA Mestre Esteve

14

Curs 2008-2009

L’infinit a l’abast

Equacions i mesura

Introducció a les ciències físiques L'objectiu de les ciències físiques és estudiar la matèria i les seves interaccions, amb la finalitat d'explicar les propietats dels cossos i dels fenòmens que es produeixen a la natura. Cal, doncs, observar, establir fets i proposar teories explicatives.

Quan descrivim coses que percebem amb qualsevol dels sentits (vista, oïda, tacte, olfacte i gust), el que fem és establir fets. Per exemple: - Els astres són en moviment.

- Hi ha cossos més calents que altres.

Quan ens preguntem per coses que no podem percebre mitjançant els sentits, hem d'elaborar teories. Les teories són idees que s'utilitzen per explicar els fets. Per exemple: - La teoria de la gravitació universal, que explica el moviment dels astres.

- La teoria cinètico-mol·lecular, que ens permet d'explicar les diferents propietats dels gasos, líquids i sòlids i interpretar els conceptes de calor i temperatura.

Les teories permeten predir nous fets. Quan això passa, cal contrastar aquestes prediccions amb l'experiència, i una manera de fer-ho és realitzant experiments. En els experiments reproduïm fenòmens de la natura, generalment al laboratori, sotmetent a control els factors o variables que creiem que afecten el fenomen en estudi. La constatació experimental que la pressió d'un gas augmenta en disminuir el seu volum, mantenint constants la massa i la temperatura, és un exemple d'experiment.

No en totes les ciències podem contrastar les nostres idees mitjançant experiments.

Pensem, per exemple, en algunes teories com la de la formació dels continents en geologia, o la de l'origen de l'univers, en cosmologia; tot i amb això, fins i tot en aquests casos podem observar i realitzar mesures com una forma de sotmetre a prova aquestes teories.

El procés de mesura i les magnituds físiques Els fenòmens físics s'interpreten en funció de determinats conceptes: espai, temps, matèria, etc.

Les nostres primeres impressions sobre aquests conceptes els tenim a través dels sentits. Molts d'aquests conceptes són propietats dels cossos, que poden ser mesurades. Les propietats dels cossos s'anomenen magnituds.

Concepte Espai

Magnitud Longitud Distància Superfície Volum

Matèria

Massa

Temps

Temps

Així, per exemple, la idea d'espai es pot convertir en una propietat mesurable si parlem de la distància entre dos cossos, o bé de la CFPA Mestre Esteve

15

Curs 2008-2009

L’infinit a l’abast

Equacions i mesura

longitud d'un cos. Podem tenir la idea de la quantitat de matèria d'un cos a partir de la mesura de la seva massa. La distància, la longitud, el volum, la massa, etc., són exemples de magnituds.

Mesurar consisteix a comparar la magnitud que volem mesurar amb una altra que es pren com a patró o unitat de mesura. Per exemple, mesurar la massa d'un cos suposa comparar la seva massa amb la d'una unitat de massa patró, que és el quilogram.

La mesura de la massa d'un cos ens pot donar com a resultat: massa = 3,2 kg cosa que ens indica que una mesura és sempre una quantitat (nombre) i una unitat. Per això, en expressar el valor de qualsevol magnitud s'ha indicar sempre la unitat utilitzada.

Donar únicament la quantitat no té cap mena de significat.

Quan la quantitat mesurada és un nombre molt gran o molt petit resulta útil d'utilitzar el concepte d'ordre de magnitud. L'ordre de magnitud és la potència de 10 més pròxima al valor numèric d’una unitat de mesura.

Així, per exemple, podem dir que l'ordre de magnitud de 128 és 102, perquè 128 és més a prop de 100 que de 1.000. Anàlogament, l'ordre de magnitud de 0,00423 és 10-3, ja que 0,00423 és més a prop de 10-3 que de 10-2.

Les magnituds físiques es poden classificar en fonamentals i derivades.

Les fonamentals són les que no es poden expressar en funció d’altres conceptes. Per exemple, la longitud, la massa i el temps. Les derivades són les que es poden expressar en funció de les fonamentals. Per exemple, la velocitat, que s'obté dividint la longitud pel temps; o la densitat, que s'obté dividint la massa pel volum, el qual, al seu torn, s'obté mitjançant el producte de tres longituds.

Les unitats corresponents també es classifiquen en unitats fonamentals i unitats derivades. Així, el metre i el segon són unitats fonamentals , mentre que el km/h és una unitat derivada. Aquesta unitat es pot expressar en qualsevol de les formes següents: km/h

km h

km·h-1

A continuació veurem amb més detall la forma de mesurar tres de les magnituds fonamentals: la longitud, el temps i la massa, i una magnitud derivada: el volum.

La mesura de la longitud Tots els pobles han tingut la seva unitat de longitud. Antigament es tenia el pas, el tir de pedra, el tir de ballesta i la jornada. Quan va fer falta mesurar la terra per parcel·lar-la, es CFPA Mestre Esteve

16

Curs 2008-2009

L’infinit a l’abast

Equacions i mesura

van construir vares patró. A l'Edat Mitjana van existir moltes unitats de mesura; fins i tot es donava el cas que cada municipi tenia unitats de mesura pròpies.

Una de les primeres accions del nou govern francès sorgit de la Revolució Francesa va ser crear un sistema racional d'unitats, que amb el pas del temps s'han fet universals per a la ciència i la vida quotidiana.

Aquest sistema d'unitats es va anomenar sistema mètric (del grec metron, mesurar), i es va escollir com a patró de longitud el metre, que van definir com la deumilionèssima part (10-7) de la distancia del Pol Nord a l'Equador, seguint el meridià terrestre que passa per París, Dunkerque i Barcelona. Aquesta distancia va ser materialitzada en una barra d'aliatge de platí i iridi a la temperatura de 0 oC; aquesta barra es conserva a l'Oficina de Pesos i Mesures de Sévres (París).

Posteriorment, el metre va ser definit com la distància entre les dues línies marcades a aquesta barra, amb independència de la seva definició original.

Actualment aquesta distància ha estat calibrada per mitjans òptics en funció de la longitud d'ona de certa línia espectral.

D'aquesta manera, qualsevol laboratori del món prou equipat pot disposar del patró de longitud.

A l'univers ens trobem amb mides d'objectes i distàncies molt diverses. Entre la mida d'un nucli atòmic i la distancia de la galàxia més llunyana coneguda, hi ha un interval amplíssim de longituds.

La mesura del temps Tothom té una sensació del pas del temps. En el nostre propi interior disposem d'una mesura del temps: el batec del cor.

Totes les mesures del temps estan associades a moviments periòdics. Des de la prehistòria l'home ha comptat el temps a partir d'aquests moviments.

Un dia es divideix en 24 hores; cada hora en 60 minuts i cada minut en 60 segons. Aquest sistema de mesura del temps es basa en l'utilitzat per Babilònia i Egipte, i ni la Revolució Francesa no va ser capaç de convertir-lo en un sistema decimal. Tanmateix, en el treball científic mesurem el temps en segons o en múltiples o submúltiples decimals de segon.

CFPA Mestre Esteve

17

Curs 2008-2009

L’infinit a l’abast

Equacions i mesura

El segon es va definir com la fracció 1/86.400 de la durada mitjana d'un dia, calculada al llarg d'un any. Tanmateix, donat que la velocitat de rotació de la Terra al voltant del seu eix no és constant, la durada real d'un dia varia lleugerament d'un any a l'altre, i de segle a segle , de manera que el segon definit així no es manté invariable.

Per aquesta raó el segon es defineix actualment en funció de rellotges de gran precisió.

Els rellotges es basen també en moviments periòdics, com l’oscil·lació d'un pèndol, les vibracions d'una pastilla de quars dels moderns rellotges electrònics o les vibracions dels rellotges atòmics existents en els departaments de metrologia d'alguns països, que arriben a una precisió d'una part en 2 x 10 11, cosa que significa que haurien de funcionar prop de 6.000 anys abans d'avançar-se o endarrerir-se un segon.

La figura de la pàgina anterior ens mostra l'ordre de magnitud de la durada del temps de diversos esdeveniments, expressat amb la potència de deu més pròxima.

La mesura de la massa La tercera noció important de la física és la matèria. Totes les substàncies estan fetes de matèria. Qualsevol cosa que està feta de matèria té massa.

La massa és una propietat misteriosa que afecta el comportament dels cossos de dues maneres, que seran estudiades amb detall més endavant. De moment, però, convé saber que: 1. Tots els cossos es resisteixen a moure's més ràpidament, o més lentament, o a canviar la direcció en què es mouen.

Com més gran és la seva massa més gran és la resistència a qualsevol canvi en el seu moviment.

2. Tots els cossos són atrets per la Terra. Com més gran és la seva massa més gran és la força d'atracció terrestre.

Es justament aquesta segona propietat la que ens permet mesurar la massa d'un objecte al laboratori, utilitzant una balança de braços iguals i un conjunt de pesos patró.

L'objecte es col·loca en un dels platets, i a l'altre s'hi afegeixen pesos fins que la balança queda equilibrada. Això succeeix quan la força d'atracció sobre cada platet és la mateixa. Aleshores la massa de la matèria col·locada sobre cada platet és la mateixa. Un altre tipus de balances són les d'un sol plat.

Actualment hi ha balances electròniques d'un sol plat que permeten mesurar la massa amb gran rapidesa i precisió. La majoria d'aquestes balances funcionen amb el mateix principi que les de braços iguals, si bé els pesos patró no són visibles.

CFPA Mestre Esteve

18

Curs 2008-2009

L’infinit a l’abast

Equacions i mesura

Juntament amb la unitat patró de longitud, el sistema mètric decimal va introduir també una nova unitat de massa, el quilogram patró. Aquest es va definir inicialment com la massa d'un dm3 d'aigua pura a 4 0C, que és la temperatura en què té la densitat màxima.

Es va construir un quilogram patró que tingués aquesta massa, amb un aliatge de platí i iridi, que es conserva a l'Oficina de Pesos i Mesures de Sèvres (París). Aquest quilogram patró es continua utilitzant actualment com a unitat de massa.

La figura mostra l'ordre de magnitud d'alguns objectes de l'univers.

La mesura del volum La quantitat d'espai que ocupa un cos s'anomena volum. El volum és una magnitud derivada, i la seva unitat bàsica és el metre cúbic (m3). 1 m3 és el volum d'un cub amb una aresta d'1 m de longitud (fig. 1.9).

El volum dels sòlids regulars es determina per càlcul a partir de la mesura de les seves dimensions lineals.

Per exemple: Volum d'un paral·lelepípede = longitud · amplada · altura Volum d'un cilindre = π · radi2 · altura El volum dels líquids es mesura sovint al laboratori mitjançant provetes graduades, buretes o pipetes. Aquests estris estan graduats normalment en centímetres cúbics (cm 3) o mil·lilitre (ml) El volum dels gasos es pot determinar recollint el gas sobre aigua, i mesurant el volum d'aigua desplaçada.

El Sistema Internacional d'Unitats Des que el 1899 es va adoptar el Sistema Mètric, s'han organitzat diferents conferències internacionals amb el propòsit de redefinir i reglamentar el sistema d'unitats. El 1960, la XI Conferència de Pesos i Mesures va proposar canvis fonamentals en el sistema mètric, i per al sistema revisat va sorgir un nou nom: Sistema Internacional d'Unitats. A Espanya es va aprovar el 1967.

En el Sistema Internacional s'han triat com a magnituds fonamentals la longitud, la massa, el temps, la temperatura absoluta, la quantitat de substància, la intensitat de corrent i la intensitat lluminosa. La «quantitat de substància» és una forma de mesurar la quantitat de matèria en funció del nombre de partícules que constitueixen la porció de substància que es pren.

La taula 1.1 recull les magnituds fonamentals del Sistema Internacional i les seves unitats.

Observem que els símbols, de totes les unitats s'escriuen sense punt, i que aquestes són lletres majúscules quan provenen d'un nom propi. Per exemple, K (en honor del científic anglès lord Kelvin) i A (en honor del científic francès Ampére).

CFPA Mestre Esteve

19

Curs 2008-2009

L’infinit a l’abast

Equacions i mesura

Quantitats molt grans i molt petites Els resultats d'una mesura donen lloc a vegades a nombres molt grans o molt petits. Per exemple, el radi de la Terra és 6.380.000 m, i la massa d'una molècula d'aigua és 0,000000000000000000000029 g. Nombres com aquests són incòmodes d'escriure i difícils de llegir.

Per poder expressar còmodament quantitats molt grans o molt petites s'utilitza l'anomenada notació exponencial o notació científica, en la qual s'escriu el nombre com a producte d'un coeficient i d'una potència de 10. Per exemple: 6.380.000 = 6,38 · 1.000.000 = 6,38 · 106 0,00582= 5,82 /1.000 = 5,82 · 10-3 Per conveni s'escull la potència de 10 de manera que el coeficient estigui comprés entre 1 i 10. 0 sigui, s'ha d'escriure 3.428 com a 3,428 · 10 3 i no com a 34,28 x 10 2, ni com a 0,3428 · 104.

Per convertir un nombre ordinari a la notació científica, s'han de comptar els llocs que s'ha de desplaçar la coma per obtenir un nombre entre 1 i 10. Per exemple, per expressar en notació exponencial el nombre 4.132: S’ha de desplaçar la coma tres llocs a l’esquerra. En conseqüència, l’exponent és, +3: 4.132 = 4,132 · 103 Per expressar el nombre 0,0138, s’ha de desplaçar la coma dos llocs a la dreta. Per tant, l'exponent és -2: 0,0138 = 1,38 · 10-2 Aquesta forma d'escriure els nombres permet de determinar fàcilment quin és el seu ordre de magnitud. Així, per exemple, l'ordre de magnitud de les quantitats anteriors és: 4,132 · 103

ordre de magnitud = 103

1,38 · 10-2

ordre de magnitud = 10-2

CFPA Mestre Esteve

20

Curs 2008-2009

L’infinit a l’abast

Equacions i mesura

La notació científica s'utilitza cada dia més. Per exemple, moltes calculadores de butxaca la utilitzen per expressar nombres que altrament no cabrien a les pantalles. Per exemple, en una calculadora de vuit dígits no podria aparèixer el nombre 5.600.000.000. Aquest nombre apareix sovint com a 5.6 09 (fig. 1.12), o bé, com a 5.6 E 09, la qual cosa significa 5,6 x 109.

Una altra manera de solucionar el problema de l'escriptura de quantitats molt grosses o molt petites és utilitzar múltiples i submúltiples de les unitats bàsiques del SI, els quals es designen mitjançant prefixos (taula 1.2).

Taula 1.2. Prefixos usats per als múltiples i submúltiples de les unitats SI

Vegem alguns exemples d'utilització d'aquests múltiples i submúltiples.

1 Mm és un megàmetre i significa 106 m 1 µg és un microgram i significa 10-6 g Expressat en megàmetres el radi de la Terra és 6.380.000 m = 6,38 · 106 m = 6,38 Mm i la massa d'una molècula d'aigua en µg: 0,000000000000000000000029 g = 2,9 · 10-23 g = 2,9 · 10-17 µg La unitat bàsica del volum en el SI és el metre cúbic (m3). Tanmateix, com que el m3 és una unitat molt gran per al treball corrent al laboratori, es fan servir sovint submúltiples com el decímetre cúbic (dm3) i el centímetre cúbic (cm3). La relació entre totes dues unitats i el metre cúbic es molt fàcil de determinar: CFPA Mestre Esteve

21

Curs 2008-2009

L’infinit a l’abast

Equacions i mesura

1 dm = 0,1 m 1 cm= 0,01 m Elevant al cub tots, dos costats de cada equació, tenim: 1 dm3 = 0,13 m3 = 0,001 m3 = 10-3 m3 1 cm3 = 0,013 m3 = 0,000001 m3 = 10-6 m3 EXERCICIS 1. Expressa les quantitats següents en notació científica (exponencial): a) b) c) d)

712,473 m 0,00037 g 392,68 cm 0,000000462 m

2. Expressa l’ordre de magnitud de cada una de les quantitats següents: a) b) c) d)

12.345 m 1,21 · 102 g 8,03 · 105 mm 0,00008 kg

3. Expressa, utilitzant els múltiples i submúltiples adequats, les quantitats següents: a) b) c) d)

34.567 kg 0,00000235 g 3,45 · 10-6 m 5,23 · 10-9 s

4. Calcula cadascuna de les expressions següents i dóna el resultat en notació exponencial amb el nombre correcte de xifres significatives. a) b) c) d)

0,0012 · 0,034 3,123 · 23.456.785 0,0023 : 10.000 0,000000001 · 0.076

5. Expressa les quantitats següents en les unitats indicades, utilitzant el factor de conversió adequat: a) b) c) d)

0,00356 m en centímetres 415.063 mg en quilograms 1.024 cm2 en metres quadrats 8,31 l en centímetres cúbics

CFPA Mestre Esteve

22

Curs 2008-2009