Els nombres enters

ELS NOMBRES ENTERS Dossier de Matemàtiques. Ges ½ tarda. 2n trimestre CFPA Mestre Esteve. Curs 2008­2009

Càlcul i raonament

Els nombres enters

INTRODUCCIÓ Els nombres naturals ­ N ­ (del 0 a l'infinit ­ ∞) no són prou per donar una resposta a totes les situacions que apareixen en la vida real, com es pot veure en els següents casos: ­ El capital d'una empresa és de 42 milions. Actiu (beneficis) o passiu (fallida)? ­ Escoltant el part meteorològic es diu: "A Santander tenen 4º i a Madrid, 2º. On fa més fred? La informació és insuficient si no s'indica "sota zero" o "sobre zero". ­ La latitud d'una ciutat és de 28º 30'. On es troba situada, en l'hemisferi nord o en l'hemisferi sud? ­ Un vaixell està a la deriva a una longitud de 4º 5'. Cap a l'est o cap a l'oest? ­ Arquímedes va néixer al segle III. Abans o després de Crist?

En aquests casos, partint de l'origen, es distingeixen dos sentits: MAGNITUD ­ ORIGEN + Capital Passiu 0 €.

Actiu Temperatura Sota zero 0º Sobre zero Latitud Hemisferi sud Equador Hemisferi nord Longitud Oest Meridià Greenwich Est Dates Abans de Crist Naixement de Crist Després de Crist Per indicar cadascun d'aquests sentits s'utilitza una notació més còmoda, els signes (+ ) i (­) que es posen davant del nombre.

1. Expressa amb un nombre enter els següents fets: a) Set sota zero: b) Bussejar a 2 m de profunditat: c) Tenir 500 €: d) L'any 620 aC.: i) Tenir estalviats 5.000 €. però deure 7.000: f) Nombre de pisos que fem del 8º al 2º: En diem nombres enters (Z) del conjunt dels sencers positius i negatius, incloent­hi el 0.

Z {... ­5, ­4. ­3, ­2, ­1, 0, +1, +2, +3, +4, +5...} que acostumem a representar­se sobre una recta:

CFPA MESTRE ESTEVE

1

Curs 2008­2009

Càlcul i raonament

Els nombres enters

2. Representa gràficament els següents nombres enters:

3. Indica quin nombre representen els punts assenyalats:

4. Identifica quin d’aquests parells d’enter és més gran o més petit, col·locant el signe > (major que) o < (menor que): ­2

+2

­7

0

+6

+8

­9

­12

­4

­5

0

­3

0

+3

­10

­8

Ordena de major a menor els nombres enters que has relacionat:

CFPA MESTRE ESTEVE

2

Curs 2008­2009

Càlcul i raonament

Els nombres enters

Valor absolut

|­6| = 6

|­e| = e

|0| = 0

|+t| = t

|+9| = 9

5. Anota el valor absolut de aquests nombres enters: |­1| =

|+2| =

|+7| =

|0| =

|­8| =

|­5| =

|+11| =

|+1| =

|+9| =

|­7| =

Representa’ls gràficament:

Nombre oposat L’oposat de un nombre és un altre nombre amb la mateixa magnitud, però amb diferent signe.

L’oposat de +2

es

­2

a) Quin és l’oposat de l’oposat de un nombre? b) ¿Quin és l’oposat del valor absolut de +7? ¿Y de ­7?

CFPA MESTRE ESTEVE

3

Curs 2008­2009

Càlcul i raonament

Els nombres enters

OPERACIONS AMB ENTERS Suma (+3)+(+7) = (+10)

(+5)+(­2) = (+3)

(­1)+(­3) = (­4)

(­9)+(+4) = (­5)

6. Calcula les següents sumes d’enters: (+15) + (+9) =

(­36) + (­4) =

(­21) + (­15) =

(+18) + (­6) =

(+13) + (­8) =

(­27) + (+14) =

(­49) + (+12) =

(+24) + (­32) =

(+11) + 0 =

0 + (­14) =

(+12) + (­12) =

(­17) + (­17) =

(+7) + (+9) + (­5) =

(­8) + (­12) + (­5) =

(+14) + (­7) + (­21) =

(­16) + (+6) + (+13) =

7. Troba el nombre enter desconegut perquè aquestes sumes siguin correctes: (+15) + ( ) = (+7)

(­13) + ( ) = (­23)

(­45) + ( ) = 0

(+11) + ( ) = (+22)

( ) + (­9) = (­21)

( ) + (+10) = (+46)

( ) + (+31) = (­52)

( ) + (­18) = (+10)

Resta (+9) ­ (+2) = (+9) + (­2) = (+7) (­7) ­ (­5) = (­7) + (+5) = (­2) a

­

b = a + oposat b

CFPA MESTRE ESTEVE

4

Curs 2008­2009

Càlcul i raonament

Els nombres enters

8. Calcula las següents restes de enters: (+8) ­ (+3) =

(­25) ­ (+11) =

(+6) ­ (+7) =

(+45) ­ (+45) =

(+14) ­ (+9) =

(+10) ­ (­18) =

(­9) ­ (+9) =

(­5) ­ (+2) =

(­15) ­ (­10) =

(+3) ­ (­12) =

9. Troba el nombre enter desconegut perquè aquestes restes siguin correctes: ( ) ­ (+3) = (­10)

(­9) ­ ( ) = 0

(­3) ­ ( ) = (­6)

( ) ­ (­7) = (+20)

Notació simplificada

(+6) + (­7) + (+9) = 6 ­ 7 + 9 = 15 ­ 7 = 8 (­10) + (+4) + (­15) = ­10 + 4 ­ 15 = ­25 + 4 = ­21 Ús de paréntesis Un parèntesi al que precedeix un signe + pot suprimir­se, mantenint els signes dels enters continguts en ell: 12 + (7­8+9) = 12 + 7 ­ 8 + 9 = 28 ­ 8 = 20 Un parèntesi al que precedeix un signe ­ pot suprimir­se, canviant el signe dels enters que conté: 2 ­ (4 + 9 ­ 6) = 2 ­ 4 ­ 9 + 6 = 8 ­ 13 = ­ 5

CFPA MESTRE ESTEVE

5

Curs 2008­2009

Càlcul i raonament

Els nombres enters

10. Calcula el valor de: 3 ­ 7 + 9 ­ 4 = ­6 + 4 + 7 ­ 3 = 8 ­ 12 ­ 7 + 14 = 10 + 4 ­6 ­ 12 = ­13 + 7 ­ 9 ­ 4 =

11. Resol aquestes operacions, suprimint prèviament els parèntesis:

(2 + 3 ­ 5) + (­4 + 6) = (7 ­ 6 ­ 3) + (10 ­ 5 + 8) = (7 + 9) ­ (6 + 1 ­ 8) = ­ (15 ­ 4) + (11 ­ 6 + 3) = (­9 + 7 ­ 13) ­ (­6 + 5) = ­ (10 + 12 ­ 3) ­ (9 + 4 ­2) = ­ (­3 + 6 ­ 9) ­ (12 ­ 8 + 5) = (15 + 1 ­35) ­ (8 ­ 13) + (­2 +9 ­6) = (­3 + 16) + (­8 + 7 ­ 9) ­ (6 ­1) = ­ (­5 ­ 4 + 8) ­ (9 + 7) ­ (­1 ­ 3) =

Problemes d'aplicació

A) Una ciutat ha registrat una temperatura màxima de 13º C i la mínima ha estat de 4º C sota zero. Quina és la diferència existent entre ambdues temperatures?

B) Calcula el creixement demogràfic d'una ciutat en la qual s'han registrat 357 naixements, 137 defuncions, 2789 emigracions i 76 immigracions.

CFPA MESTRE ESTEVE

6

Curs 2008­2009

Càlcul i raonament

Els nombres enters

Producte

+ · + = + ­ · ­ = +

(+7) · (+6) = (+42)

+ · ­ = ­ ­ · + = ­

(+8) · (­5) = (­40)

(­3) · (­4) = (+12)

(­9) · (+4) = (­36)

12. Calcula:

(­9) · (­6) =

(­12) · (­3) =

(+7) · (+9) =

(+4) · (+15) =

(­6) · (+8) =

(­10) · (+7) =

(+4) · (+7) =

(+9) · (­11) =

(+5) · (+1) =

(­1) · (+36) =

(­9) · (+9) =

(­13) · (­13) =

(­1) · (+3) · (+4) =

(­4) · (­12) · (­3) =

(+7) · (­2) · (­5) =

(­3) · (+6) · (+2) · (­1) =

(­8) · (+3) · (­6) =

Divisió

+ : + = + ­ : ­ = +

(+24) : (+3) = (+8)

+ : ­ = ­ ­ : + = ­

(+48) : (­6) = (­8)

CFPA MESTRE ESTEVE

(­40) : (­10) = (+4)

(­54) : (+9) = (­6)

7

Curs 2008­2009

Càlcul i raonament

Els nombres enters

13. Calcula: (+35) : (+7) =

(­60) : (­15) =

(­72) : (­9) =

(+48) : (­12) =

(+42) : (­7) =

(­23) : (­23) =

(­63) : (+9) =

(+90) : (­5) =

(+64) : (­8) =

(­121) : (­11) =

(­100) : (­1) =

(+75) : (­25) =

56 = - 7

45 = - 9

96 = 8

- 32 = - 16 48 = - 12

- 100 = 4

Problemes d'aplicació

A) En comprar un terreny de 65.000 € vam donar una entrada d'17.0o0 € i hem abonat durant 3 anys terminis mensuals de 450 €. Quina quantitat ens queda encara per pagar?

B) Les pèrdues d'un negoci familiar durant els últims mesos s'estimen en 7.500, 6.000, 9.000 i 13.000 €. Quant correspondrà aportar a cadascun dels seus tres membres?

CFPA MESTRE ESTEVE

8

Curs 2008­2009

Càlcul i raonament

Els nombres enters

Propietat distributiva

(+3) · [(­2) + (+7)] = (+3) · (­2) + (+3) · (+7) (+3) · (+5) = (­6) + (+21) (+15) = (+15) a · (b+c) = a · b + a · c

14. Aplicant la propietat distributiva, resol les operacions:

(­7) · [(+4) + (­6)] = (+8) · [(­6) + (+5)] = [(­10) + (­3)] · (+9) = [(+7) + (+2)] · (­3) = (­5) · [(­11) + (­3)] = [(+4) + 0] · (­4) =

Completa:

( ) · [ ( ) + ( ) ] = (­6) · (+5) + (­6) · (­8) [(+2) + ( ) ] · (­1) = (+2) · ( ) + (+5) · (­1) Treure factor comú

3 · 7 + 3 · 5 ­ 2 · 3 =

3 ( 7 + 5 ­ 2)

8 · a ­ a · b + 2 · a · c = a ( 8 ­ b + 2c) 6x + 14 zx ­ 10 xy = 2x ( 3 + 7z ­ 5y)

CFPA MESTRE ESTEVE

9

Curs 2008­2009

Càlcul i raonament

Els nombres enters

15. Treu el factor comú de les expressions: 2 · 9 ­ 3 · 2 · 5 + 2 · 7 = 2 · 9 · 5 + 5 · 7 · 2 ­ 11 · 2 · 5 = 4 x + x y + 2 x z = 4 a ­ 8 b + 6 c = 10 a b ­ 12 a c ­ 15 b c =

16. Treu el factor comú descomponent prèviament cada enter en producte de factors: (+25) + (­30) + (+10) = (­36) + (+24) + (­18) = (+45) + (­90) + (­30) = Potències (+3) 2 = (+9) (­5) 2 = (+25) (+4) 3 = (+64) (­2) 5 = (­32)

Només s'obté resultat negatiu en el cas que la base sigui negativa i l'exponent imparell.

17. Calcula el valor de aquestes potències de nombres enters: (+6) 3 =

(+5) 4 =

(­3) 3 =

(­4) 2 =

(­2) 6 =

(­7) 3 =

(+9) 3 =

(+10) 5 =

(­10) 6 =

(­1) 4 =

(+1) 3 =

(­10) 3 =

18. Resol aquestes operacions amb potències: (­2) 3 + (+1) 5 + (­4) 2 = (+3) 4 + (­2) 5 ­ (­5) 2 = (­7) 2 + (­2) 4 ­ (­3) 3 = (­10) 3 ­ (+6) 3 + (+5) 3 =

CFPA MESTRE ESTEVE

10

Curs 2008­2009

Càlcul i raonament

Els nombres enters Zona autoformació

CFPA MESTRE ESTEVE

11

Curs 2008­2009

Càlcul i raonament

CFPA MESTRE ESTEVE

Els nombres enters

12

Curs 2008­2009

Càlcul i raonament

Els nombres enters

PROBLEMES DE "REVERSIBILITAT" D'OPERACIONS (PRE­EQUACIONS)

1. Si tingués 1.200 € més dels que tinc, podria comprar un armari que costa 3.600 €.

Quants diners tinc?

Resultat 2. Penso un nombre que en dividir­lo per 6 i restar­li 365 em dóna 951. En quin nombre he pensar?

Resultat 3. Ahir tenia una certa quantitat de diners al banc. M'ha passat un rebut de 850 € i un altre de 1.320, però he ingressat un taló per 1.500 €. He demanat el saldo del meu compte, que ha resultat ser de 8.312 € Quants diners hi havia ahir en ella?

Resultat 4. En una subhasta un quadre va ser venut al final per 3.300.000 € Un aristòcrata havia augmentat la licitació inicial en 200.000 € Una elegant dama va doblar l'ofert per aquest últim. I, per fi, un marxant d'art va triplicar l'ofert per la fina damisel·la. Quina era la licitació inicial?

Resultat

CFPA MESTRE ESTEVE

13

Curs 2008­2009

Càlcul i raonament

Els nombres enters

5. Un tren amb quatre parades va agafar a la 2ª estació 56 passatgers, 12 a la 3ª, i 22 a la 4ª. Quants passatgers van pujar a l'estació d'origen si a l'estació terme van desallotjar el tren 103 persones? Només a la 2ª i a la 4ª parada van baixar passatgers, 14 i 7, respectivament.

Resultat: Pregunta addicional: Nombre de passatgers després de les parades 2ª, 3ª i 4ª.

6. Penso en un nombre que en dividir­ho per 5, disminuir­ho en 23 unitats, sumar­li 100 i doblar el resultat em dóna 206. En quin nombre vaig pensar?

Resultat: 7. Un empedreït jugador va ser al casino i es va quedar sense res. Fins i tot la pistola per suïcidar­se va perdre, el pobre. Al principi va aconseguir doblar la quantitat que portava.

En la segona aposta va perdre 2.000 €. En la tercera, es va quedar amb la tercera part del que li quedava. En la penúltima va aconseguir recuperar 1.200 €, però en l'última va perdre els 2.200 que li quedaven. Quants diners va portar al casino l'infortunat?

Resultat: 8. Vaig començar la Cursa Popular de Granollers molt bé. En el primer control vaig passar en una posició que ara no recordo, mira tu quina casualitat. En el segon havia perdut 15 llocs. En el tercer havia recuperat 3 llocs. A la quarta vaig perdre 10 llocs més. A la meta, ja enfonsat, havia perdut 30 llocs més, arribant en 56a posició. En quin lloc vaig passar pel primer control?

Resultat:

CFPA MESTRE ESTEVE

14

Curs 2008­2009

Càlcul i raonament

Els nombres enters

9. Després de triplicar tres vegades seguides un nombre, sumar­li 180 i dividir­ho per 10, obtinc 126. Quin és el nombre del que vaig partir?

Resultat:

10. El valor de les meves accions ha sofert una pujada espectacular. Al començament de la sessió borsària el seu valor es va duplicar. Després va augmentar en 15 enters. Va sofrir una petita baixada al migdia de 4 enters i, al final, amb l'arribada de notícies de la conferència de pau, es va triplicar. Ara cada acció val 717 €! Per cert, no me’n recordo de quant valien al començament de la sessió.

Resultat: 11. Doblo un nombre, després el disminueixo en 3500 unitats, trobo la cinquena part i li sumo 2. Obtinc així 1502. Quin era el nombre inicial?

Resultat: 12. Al seu últim pas per meta, un motorista aconsegueix el quart lloc. El seu primer pas no va ser tan bo. En el segon pas havia guanyat 12 llocs. En el tercer pas havia perdut tres, per causa d'una sortida de pista. Va recuperar altres cinc llocs en el quart pas i, en el penúltim, va ser avançat en la recta de meta per un dels seus perseguidors. En quina posició va passar al seu primer pas per meta?

Resultat:

CFPA MESTRE ESTEVE

15

Curs 2008­2009

Càlcul i raonament

Els nombres enters

13. Quina partida de pòquer l'altre dia! Portava una mà de quatre reis. La meva aposta inicial, sense ostentació, va ser doblada per Eduard. Jo vaig augmentar en 2.000 € Eduard, picat, va dir: "El teu i 10.000 més". Per un moment vaig dubtar, però ell no podia tenir quatre asos, això només passa a les pel·lícules. Així que vaig quadruplicar l'aposta.

Sense poder retirar­se, per orgull, a aquestes alçades, Eduard va dir: "Veig", al mateix temps que col·locava la seva pasta sobre el tapet. L'aposta havia quedat en 52.000 €!

Vaig pensar en la meva aposta inicial. No vaig aconseguir recordar­la. Eduard va estendre les seves cinc cartes sobre la taula. Els altres van fer exclamacions de sorpresa...

Quina va ser la meva aposta inicial?

Resultat:

14. Després de sumar­li 546 a un nombre, disminuir­ho en quatre unitats, fer­ho tres vegades més petit i després cinc vegades més gran, obtinc el nombre 1255. Quin nombre és?

Resultat: 15. Aquesta és la progressió en la classificació de la Setmana Catalana de Pedalón Piñonfijo: a la segona etapa havia guanyat 5 llocs, 7 a la tercera, 12 a la quarta, 23 a la cinquena i 35 a la sisena. Però a la setena etapa, l'última, va tenir una “pájara” i va descendir 59 llocs en la classificació, acabant la Volta en el lloc 112. En quin lloc va quedar després de la primera etapa?

Resultat:

CFPA MESTRE ESTEVE

16

Curs 2008­2009

Càlcul i raonament

Els nombres enters

16. Vaig decidir gastar­me els diners de la venda de la bicicleta al bingo. La cosa va començar bé, doncs vaig cantar bingo i vaig triplicar la meva pasta. Després vaig perdre, després de cinc cartrons sense cantar ni una trista línia, 180 €. Una línia posterior em va permetre recuperar 333 €. D'aquí fins al final, el desastre. Vaig perdre tots els diners que em quedava, 1.200 € Bé, total, per la bici havia tret únicament...(ai, ara mateix no me’n recordo). Em pots ajudar?

Resultat: 17. Troba un nombre tal que després de duplicar­ho tres vegades seguides, dividir­ho entre 0'5, sumar­li 23'35 i restar­li 100'001 et doni 163,349.

Resultat:

CFPA MESTRE ESTEVE

17

Curs 2008­2009