Matemàtiques III

Matemàtiques III Ges 2 (matí i vespre)

CFA MESTRE ESTEVE [CURS 2017-2018 ]

Definició Un nombre racional es pot escriure com una divisió entre 2 nombres enters: el numerador i el denominador.

15 Per exemple, el nombre 28 és un nombre racional. El seu numerador és 15 i el seu denominador és 28.

A continuació veuràs 6 exemples molt diferents de nombres racionals:

2 3

9999 7000

1 10000000

2 3

2 3

7 1

Atenció!, hi ha nombres que no són racionals. A continuació veuràs 3 exemples de nombres que no són

√2

∏

racionals:

7 3

Simplificació de nombres racionals Per simplificar un nombre racional hem de poder dividir el numerador i el denominador pel mateix nombre.

Per exemple,

8 9 no es pot simplificar perquè no hi ha cap nombre

que divideixi el nombre 8 i el nombre 9 alhora.

A continuació veuràs exemples de simplificació: a)

8 4 = 10 5

(hem dividit entre 2)

b)

15 5 = 21 7

(hem dividit entre 3)

CFA MESTRE ESTEVE

2

Curs 2017-2018

Multiplicació de racionals La multiplicació de racionals és l'operació més senzilla: a)

5 3 5· 3 15 · 7 4 = 7· 4 = 28

b)

6 3 6· 3 18 · 5 5 = 5· 5 = 25

Si els nombres són negatius es fa de la mateixa manera:

c)

5 3 ( 5)· 3 15 · = = 7 4 28 7· 4

d)

6· 3 6 3 18 · = = 5 5 ( 5)·( 5) 25

Divisió de racionals Per dividir racionals hem de multiplicar-los, però escrivint el segon nombre invertit: a)

2 4 2 7 : · = 3 7 3 4 = ...a partir d'aquí ja sabem continuar

b)

7 : 5

20 7 13 · 13 = 5 20 =...

Una altra manera és, directament, multiplicar "en creu"

2 4 : 3 7 =

(al numerador escrivim 2·7 = 14)

=

14 12

(al denominador escrivim 3·4 = 12)

CFA MESTRE ESTEVE

3

Curs 2017-2018

Suma de racionals La suma de racionals de vegades és molt senzilla: a)

5 3 5+ 3 8 + = = 7 7 7 7

(només cal sumar els numeradors)

b)

4 6 4 + 6 10 + = = 17 17 17 17

(i el denominador es copia)

c)

1 2 1+ 2 3 + = = 137 137 137 137

Aquests 3 exemples són senzills perquè els denominadors són iguals

5 3 Anem a veure aquest exemple: + (denominadors diferents) 7 10

Primer trobem el mínim comú múltiple dels denominadors 5 3 + = + (hem trobat mcm(7,10)=70) 7 10 70 70

Ens falta trobar els numeradors:

5 50 = 7 70

(primer dividim 70:7 = 10. El resultat es multiplica per 5, i dóna 50)

3 21 = 10 70 (primer dividim 70:10 = 7. El resultat es multiplica per 3, i dóna 21) Ara que els denominadors són iguals ja és fàcil: 5 3 50 21 71 + = + = 7 10 70 70 70

CFA MESTRE ESTEVE

4

Curs 2017-2018

Resta de racionals La resta funciona quasi igual que la suma. a)

5 7

3 5 3 2 7= 7 =7

b)

4 17

c)

1 137

(només cal restar els numeradors)

6 4 6 2 = = 17 17 17

(i el denominador es copia)

2 1 2 1 = = 137 137 137

Aquests 3 exemples són senzills perquè els denominadors són iguals

Anem a veure aquest exemple:

5 7

3 8 (denominadors diferents)

Primer trobem el mínim comú múltiple dels denominadors

5 7

3 8 = 56 − 56

(hem trobat mcm(7,8)=56)

Ens falta trobar els numeradors:

5 40 = 7 56

(primer dividim 56:7 = 8. El resultat es multiplica per 5, i dóna 40)

3 21 = 8 56

(primer dividim 56:8 = 7. El resultat es multiplica per 3, i dóna 21)

Ara que els denominadors són iguals ja és fàcil:

5 7

3 40 = 8 56

CFA MESTRE ESTEVE

21 19 56 = 56

5

Curs 2017-2018

Operacions de racionals amb nombres enters Com es fa aquesta operació?

2·

3 Fixa't: 7

3 23 6 2· = · = 7 17 7

L'únic que hem fet és escriure el nombre "2" així: 2 =

2 1

A continuació tens uns quants exemples: a) 4 ·

4 5 20 5 = · = 13 1 13 13

b)

2 2 6 ·6 = · 13 13 1 =

12 13

c)

5 5 2 5 1 5 : 2= : · 7 7 1 = 7 2 = 14

1 4 1 12 1 13 d) 4 + = + = + = 3 1 3 13 3 3

e) 5 −

3 5 3 200 3 197 = − = − = 40 1 40 40 40 40

CFA MESTRE ESTEVE

6

Curs 2017-2018

Nombres decimals Un nombre racional es pot escriure com un nombre decimal.

7 Anem a escriure 4

7 com un decimal: 4 = 1,75

La manera de fer-ho és fer la divisió 7|4 1 Un altre exemple: 2

a mà

pot ser, per exemple, mig euro. Si

1 l'escrivim com un decimal tenim: 2 = 0,50 (50 cèntims)

Arrodonir nombres decimals Si fem la divisió 15|7

a mà dóna aquest resultat: 2,142857143

Si volem arrodonir a 2 decimals escriurem això:

2,14

Mireu aquests exemples: 9,624 → 9,62 9,621 → 9,62 9,628 → 9,63

(Pregunta: per què en alguns casos escrivim 9,62 i en altres casos 9,63?)

9,627 → 9,63

Resposta: tot depèn del següent decimal.

Si és 0,1,2,3,4 escriurem 9,62 Si és 5,6,7,8,9 escriurem 9,63

CFA MESTRE ESTEVE

7

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III

CLASSES DE FRACCIONS Las fraccions es clasifiquen en pròpies i impròpies.

- Si el numerador es més petit que el denominador se’n diu fracció pròpia: 3 5

2 3

9 11

- Si el numerador es més gran o igual que el denominador se’n diu fracció impròpia: 9 7

5 3

7 7

ELS NOMBRES MIXTOS Tota fracció impròpia es pot escriure com un nombre mixt i viceversa. Un nombre mixt és el format per la suma d'una part sencera i una fracció, escrivint-se:

b a c

b

que significa a + c

Conversió de una fracció a nombre mixt Per escriure una fracció com a nombre mixt es fa la divisió: dividend resta = quocient divisor divisor

Exemple:

27 3 =6 4 4

27:4 = 6 (resta 3)

Conversió de nombre mixt a fracció Per escriure un nombre mixt en forma de fracció, es fa l’operació: b a·c + b a = c c

Exemple:

CFA MESTRE ESTEVE

3 6 · 4+ 3 27 6 = = 4 4 4

8

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III

1.

5 3 2 + − = 6 4 3

2.

3 15 ⋅ = 5 45

3.

8 4 ÷ = 15 5

4. 5 ⋅

3 1 + 12. 4 6 = 3 1 − 4 6 1  1 1 1 1 1 1 1 1 ⋅ − + ⋅ −  − ⋅ − = 2  2 5 3 3 6 4  4 8  1 1 1 1 1 1 14.  +  ⋅  +  ⋅  +  =  2 3  3 4  4 5 13.

3 = 10

4 2 5 15.  ⋅  ÷ = 5 3 8

4 5. ÷4 = 3

1 4 3+ ⋅ 2 3= 16.

7 5 − 3 6

1 1 1 1 1 1 6.  − + − +  ⋅ = 2 3 4 5 6 4

7.

7 3 1 ⋅ −  = 5  10 15 

17. 1'5 − 0'6 + 1’0 1 =

 5 15  8.  +  ÷ 5 = 8 4 

9.

2  1 1  3 1  − − + −  = 3 2 3 2 6

5 3 5 10.  −  ÷ = 2 4 2

5 3 2 − − = 6 4 3

19.

6 4  15  ⋅ ⋅  = 5 9 8

3 1 4  −  ⋅ +1 4 2 3 = 20.

1 4 3 9 ⋅ + ÷ 4 5 5 10

11. 0'3 : (1’ 6 + 2’5) =

CFA MESTRE ESTEVE

18.

9

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III LAS FRACCIONS I ELS NOMBRES DECIMALS

Totes les fraccions es poden escriure com un nombre decimal i viceversa.

Conversió de fracció a nombre decimal

Si realitzem la divisió entre el numerador i el denominador apareix un nombre decimal o un nombre enter.

El nombre decimal que resulta en realitzar la divisió entre el numerador i el denominador pot ser: a) Un nombre decimal exacte. b) Un nombre decimal periòdic pur. c) Un nombre decimal periòdic mixt.

Exemples:

- Nombre enter:

15 =5 3

- Nombre decimal exacte:

64 = 2,56 25

La divisió dóna resta 0 - Nombre decimal periòdic pur:

23 =0, 696969 . ..=0, 69 33

El període (la o les xifres que es repeteixen) comença a la primera xifra decimal - Nombre decimal periòdic mixt:

5 =0, 4166666=0, 41 6 12

El període (la o les xifres que es repeteixen) comença més enllà de la primera xifra decimal

CFA MESTRE ESTEVE

10

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III

Fracció generatriu d’un nombre decimal (conversió de decimal a fracció) 1. Fracció generatriu d’un nombre decimal exacte.

Exemple: Troba la fracció generatriz de 1,62 1,62 =

162 81 = 100 50

És a dir, al numerador s’escriu el nombre sense coma, i al denominador s’escriu la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals tingui el nombre decimal.

2. Fracció generatriu d’un decimal periòdic pur.

Exemple: Troba la fracció generatriu de 3, 8 3, 8 =

38 − 3 35 = 9 9

la fórmula és la següent: N −E , on: T N = tot el nombre, sense la coma.

E = la part entera del nombre.

T = tants nous com nombres tingui el període.

3. Fracció generatriu d’un nombre decimal periòdic mixt.

Exemple: Troba la fracció generatriu de 5,4 16 5,416 =

5416 − 54 5362 2681 = = 990 990 445

la fórmula és la següent: N −E , on: R

N = tot el nombre, sense la coma.

E = la part entera del nombre i els decimals no periòdics, sense la coma.

T = tants nous com nombres tingui el període i tants zeros com nombres decimals no periòdics tinguem.

CFA MESTRE ESTEVE

11

Curs 2017-2018

MATEMร TIQUES III Troba la fracciรณ generatriu dels nombres : 1. a) 16,4

b) 3,75

c) 10,452

d) 14,018

2. a) 25, 34

b) 5, 3

c) 17,17

d) 0, 456

3. a) 2,752

b) 12,413

c) 71,062

d) 4,1215

CFA MESTRE ESTEVE

12

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III Problemes amb fraccions.

3 2 1 de fruita, de verdura i de patates. Volem saber: 8 5 6 a) Quina fracció de la caixa del camió està ocupada. b) Quina fracció queda lliure.

1. Un camió porta a la caixa

2. Un vaixell transporta 2500 quilos de pesca congelada. La quarta part és lluç, els

2 5

de la càrrega són sardines del Cantàbric, i la resta es compon de marisc. a) Quina fracció del camió està ocupada per marisc? b) Quants quilos de lluç porta el vaixell? c) Quants quilos no són sardines?

3. Avui és la final de l’equip de futbol juvenil. Al camp de futbol

2 dels espectadors 3

1 en els dos fons, i queden 1000 localitats lliures.

5 Quants espectadors omplirien totalment el camp? estan situats als seients laterals,

4. Un pot de melmelada pesa 250 grams quan és ple només en una cinquena part. Quant pesa quan està ple?

5. Calcula: a) els tres mitjos de la meitat de 36 €. b) La quarta part del terç de dotze dotzenes. c) Els vuit terços del doble de 150 €. d) Els cinc setens de la dècima part d 350 €.

6. Si cada ampolleta de perfum conté

1 de litre, quants litres de perfum necessitarem 5

per omplir 100 ampolletes iguals?

7. El meu rellotge s’endarrereix mig minut cada hora. Quant s’endarrerirà en un dia?

8. Un quilo de patates primerenques val 3 €. a) Quant valen tres quilos i quart? b) Quants quilos podràs comprar amb 14 €? Expressa el resultat en forma de fracció.

9. En un contenidor hi ha 300 paquets de sucre d’un quilo.

CFA MESTRE ESTEVE

13

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III

21. Quants quilos són els

3 de la quantitat total?

5

22. Quants diners s’ingressaran per la venda dels

3 de la quantitat total, si el preu 5

de cada paquet és de 2 euros i mig?

10. Contesta:

3 5 quilos de carn i de llucet. Quin pes porto en total?

2 4 36 11 D’una peça de roba de m, n’hem tallat un tros de m. Quants metres de 5 4 roba queden?

3 34 Per fer una feina he trigat d’hora buscant el material i d’hora per 8 9 col·locar-lo. Quant de temps he trigat a acabar la feina?

2 En un mas, el dilluns van recollir de 1500 ous i el dimarts, la meitat dels que 5 van recollir el dilluns. Quants ous havien post les gallines entre els dos dies?

23 9 Per poder escalar una roca necessito una corda de m, una altra de m i una 5 4 19 tercera de . Quina alçada té la roca?

6 9 5 7 En un triple salt, en Lluís ha fet m en el primer, en el segon i en el tercer.

4 2 4 33 Si tenia el rècord personal en m, quant li ha faltat per igualar-lo?

5 117 Un llibre de rondalles té 52 pàgines i mitja de text. Si ja n’he llegit , 5 quantes pàgines he de llegir encara?

3 2 Per una vedella he pagat de 3080 euros, i he venut un xai pels del valor de 4 7 la vedella. Quin preu té cada un d’aquests animals?

1 1 Un vaixell carrega a Barcelona de la capacitat de les bodegues; a València, 12 6 1 , i a Cartagena, . Quina part de la bodega podrà omplir a Cadis?

8 911 581 La Rosa ha recorregut km amb cotxe i l’Aurora, amb moto. Quants 5 5 quilòmetres més ha fet la Rosa que la seva cosina?

125 A la finca de l’oncle de la Maria Àngels, el blat ocupa ha, les hortalisses 8

a) He comprat b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

CFA MESTRE ESTEVE

14

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III

ocupen

12 6 ha i els arbres fruiters, ha. Quantes hectàrees fa la finca de 5 4

l’oncle? l) La motxilla d’un muntanyenc conté 4 kg de material per a l’escalada, menjar i el sac de dormir, que pesa

11. En Joan tenia 60 € i n’ha gastat

9 kg de 4

6 kg. Quin pes total té l’equipament?

7

2 . L’Anna tenia 40 € i n’ha gastat la meitat.

3

2 del que tenia.

5 m) Quants diners han gastat entre en Joan i l’Anna? n) Quants diners tenen ara entre els tres?

L’Òscar tenia 50 € i n’ha estalviat

12. Si els

2 dels estalvis d’en Rafael són 100 €, quina quantitat té estalviada?

5

CFA MESTRE ESTEVE

15

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III

NOMBRES ENTERS

CFA MESTRE ESTEVE

16

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III

INTRODUCCIÓ Els nombres naturals - N - (del 0 a l'infinit - ∞) no són prou per donar una resposta a totes les situacions que apareixen en la vida real, com es pot veure en els següents casos:

- El capital d'una empresa és de 42 milions. Actiu (beneficis) o passiu (fallida)?

- Escoltant el part meteorològic es diu: "A Santander tenen 4º i a Madrid, 2º. On fa més fred? La informació és insuficient si no s'indica "sota zero" o "sobre zero".

- La latitud d'una ciutat és de 28º 30'. On es troba situada, en l'hemisferi nord o en l'hemisferi sud?

- Un vaixell està a la deriva a una longitud de 4º 5'. Cap a l'est o cap a l'oest?

- Arquímedes va néixer al segle III. Abans o després de Crist?

En aquests casos, partint de l'origen, es distingeixen dos sentits:

MAGNITUD Capital Temperatura Latitud Longitud Dates

Passiu Sota zero Hemisferi sud Oest Abans de Crist

CFA MESTRE ESTEVE

ORIGEN 0 €.

0º Equador Meridià Greenwich Naixement de Crist

17

+ Actiu Sobre zero Hemisferi nord Est Després de Crist

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III Per indicar cadascun d'aquests sentits s'utilitza una notació més còmoda, els signes (+ ) i (-) que es posen davant del nombre.

1. Expressa amb un nombre enter els següents fets: a) Set sota zero: b) Bussejar a 2 m de profunditat: c) Tenir 500 €: d) L'any 620 aC.: i) Tenir estalviats 5.000 €. però per deure 7.000: f) Nombre de pisos que fem del 8º al 2º: En diem nombres enters (Z) del conjunt dels sencers positius i negatius, incloent-hi incloent el 0.

Z {... -5, -4. -3, -2, - -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5...} que acostumem a representar-se representar sobre una recta:

2. Representa gràficament els següents nombres enters:

0, -7, 4, -1, 2, 5 CFA MESTRE ESTEVE

18

Curs 2017-2018 201

MATEMÀTIQUES III 3. Indica quin nombre representen els punts assenyalats:

0 4. Identifica quin d’aquests parells d’enter és més gran o més petit, col·locant el signe > (major que) o < (menor que): -2

+2

-7

0

+6

+8

-9

-12

-4

-5

0

-3

0

+3

-10

-8

Ordena de major a menor els nombres enters que has relacionat: Valor absolut

|-6| = 6

|-e| = e

|0| = 0

|+t| = t

|+9| = 9

5. Anota el valor absolut de aquests nombres enters: |-1| =

|+2| =

|+7| =

|0| =

|-8| =

|-5| =

|+11| =

|+1| =

|+9| =

|-7| =

CFA MESTRE ESTEVE

19

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III Nombre oposat L’oposat de un nombre és un altre nombre amb la mateixa magnitud, però amb diferent signe.

L’oposat de +2

es

-2

a) Quin és l’oposat de l’oposat de un nombre? b) ¿Quin és l’oposat del valor absolut de +7? ¿Y de -7?

OPERACIONS AMB ENTERS Suma (+3)+(+7) = (+10)

(+5)+(-2) = (+3)

(-1)+(-3) = (-4)

(-9)+(+4) = (-5)

6. Calcula les següents sumes d’enters: (+15) + (+9) =

(-36) + (-4) =

(-21) + (-15) =

(+18) + (-6) =

(+13) + (-8) =

(-27) + (+14) =

(-49) + (+12) =

(+24) + (-32) =

(+11) + 0 =

0 + (-14) =

(+12) + (-12) =

(-17) + (-17) =

(+7) + (+9) + (-5) =

(-8) + (-12) + (-5) =

(+14) + (-7) + (-21) =

(-16) + (+6) + (+13) =

CFA MESTRE ESTEVE

20

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III 7. Troba el nombre enter desconegut perquè aquestes sumes siguin correctes:

(+15) + (

) = (+7)

(-13) + (

) = (-23)

(-45) + (

)=0

(+11) + (

) = (+22)

(

) + (-9) = (-21)

(

) + (+10) = (+46)

(

) + (+31) = (-52)

(

) + (-18) = (+10)

Resta (+9) - (+2) = (+9) + (-2) = (+7) (-7) - (-5) = (-7) + (+5) = (-2) a

-

b=a

+

oposat b

8. Calcula las següents restes de enters:

(+8) - (+3) =

(-25) - (+11) =

(+6) - (+7) =

(+45) - (+45) =

(+14) - (+9) =

(+10) - (-18) =

(-9) - (+9) =

(-5) - (+2) =

(-15) - (-10) =

(+3) - (-12) =

9. Troba el nombre enter desconegut perquè aquestes restes siguin correctes: (

) - (+3) = (-10)

(-3) - (

) = (-6)

CFA MESTRE ESTEVE

(-9) - ( (

)=0

) - (-7) = (+20)

21

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III Notació simplificada

(+6) + (-7) + (+9) = 6 - 7 + 9 = 15 - 7 = 8 (-10) + (+4) + (-15) = -10 + 4 - 15 = -25 + 4 = -21 Ús de paréntesis Un parèntesi al que precedeix un signe + pot suprimir-se, mantenint els signes dels enters continguts en ell: 12 + (7-8+9) = 12 + 7 - 8 + 9 = 28 - 8 = 20 Un parèntesi al que precedeix un signe - pot suprimir-se, canviant el signe dels enters que conté: 2 - (4 + 9 - 6) = 2 - 4 - 9 + 6 = 8 - 13 = - 5

10. Calcula el valor de: 3-7+9-4= -6 + 4 + 7 - 3 = 8 - 12 - 7 + 14 = 10 + 4 -6 - 12 = -13 + 7 - 9 - 4 =

11. Resol aquestes operacions, suprimint prèviament els parèntesis: (2 + 3 - 5) + (-4 + 6) = (7 - 6 - 3) + (10 - 5 + 8) = (7 + 9) - (6 + 1 - 8) = - (15 - 4) + (11 - 6 + 3) = (-9 + 7 - 13) - (-6 + 5) = - (10 + 12 - 3) - (9 + 4 -2) = - (-3 + 6 - 9) - (12 - 8 + 5) = (15 + 1 -35) - (8 - 13) + (-2 +9 -6) = (-3 + 16) + (-8 + 7 - 9) - (6 -1) = - (-5 - 4 + 8) - (9 + 7) - (-1 - 3) = CFA MESTRE ESTEVE

22

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III Problemes d'aplicació

A) Una ciutat ha registrat una temperatura màxima de 13º C i la mínima ha estat de 4º C sota zero. Quina és la diferència existent entre ambdues temperatures?

B) Calcula el creixement demogràfic d'una ciutat en la qual s'han registrat 357 naixements, 137 defuncions, 2789 emigracions i 76 immigracions.

Producte

+·+ =+ - · - = +

(+7) · (+6) = (+42)

+· - = - · += -

(+8) · (-5) = (-40)

(-3) · (-4) = (+12)

(-9) · (+4) = (-36)

12. Calcula: (-9) · (-6) =

(-12) · (-3) =

(+7) · (+9) =

(+4) · (+15) =

(-6) · (+8) =

(-10) · (+7) =

(+4) · (+7) =

(+9) · (-11) =

(+5) · (+1) =

(-1) · (+36) =

(-9) · (+9) =

(-13) · (-13) =

(-1) · (+3) · (+4) =

(-4) · (-12) · (-3) =

(+7) · (-2) · (-5) =

(-3) · (+6) · (+2) · (-1) =

(-8) · (+3) · (-6) =

CFA MESTRE ESTEVE

23

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III Divisió

+:+ =+ - : - = +

(+24) : (+3) = (+8)

+: - = - : += -

(+48) : (-6) = (-8)

(-40) : (-10) = (+4)

(-54) : (+9) = (-6)

13. Calcula:

(+35) : (+7) =

(-60) : (-15) =

(-72) : (-9) =

(+48) : (-12) =

(+42) : (-7) =

(-23) : (-23) =

(-63) : (+9) =

(+90) : (-5) =

(+64) : (-8) =

(-121) : (-11) =

(-100) : (-1) =

(+75) : (-25) =

56 = −7

45 = −9

96 = 8

− 32 = − 16

− 100 = 4

48 = − 12

CFA MESTRE ESTEVE

24

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III Problemes d'aplicació A) En comprar un terreny de 65.000 € vam donar una entrada d'17.0o0 € i hem abonat durant 3 anys terminis mensuals de 450 €. Quina quantitat ens queda encara per pagar?

B) Les pèrdues d'un negoci familiar durant els últims mesos s'estimen en 7.500, 6.000, 9.000 i 13.000 €. Quant correspondrà aportar a cadascun dels seus tres membres?

Propietat distributiva

(+3) · [(-2) + (+7)] = (+3) · (-2) + (+3) · (+7) (+3) ·

(+5) (+15)

a · (b+c) =

=

(-6)

=

+

(+21)

(+15)

a·b + a · c

14. Aplicant la propietat distributiva, resol les operacions:

(-7) · [(+4) + (-6)] = (+8) · [(-6) + (+5)] = [(-10) + (-3)] · (+9) = [(+7) + (+2)] · (-3) = (-5) · [(-11) + (-3)] = [(+4) + 0] · (-4) =

CFA MESTRE ESTEVE

25

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III Completa:

(

)·[(

[(+2) + (

)+(

) ] = (-6) · (+5) + (-6) · (-8)

) ] · (-1) = (+2) · (

) + (+5) · (-1)

Treure factor comú

3·7+3·5-2·3=

3 ( 7 + 5 - 2)

8·a-a·b+2·a·c= 6x + 14 zx - 10 xy =

a ( 8 - b + 2c)

2x ( 3 + 7z - 5y)

15. Treu el factor comú de les expressions: 2·9-3·2·5+2·7= 2 · 9 · 5 + 5 · 7 · 2 - 11 · 2 · 5 = 4x+xy+2xz= 4a-8b+6c= 10 a b - 12 a c - 15 b c =

16. Treu el factor comú descomponent prèviament cada enter en producte de factors: (+25) + (-30) + (+10) = (-36) + (+24) + (-18) = (+45) + (-90) + (-30) =

CFA MESTRE ESTEVE

26

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III Potències (+3) 2 = (+9) (-5) 2 = (+25) (+4) 3 = (+64) (-2) 5 = (-32)

Només s'obté resultat negatiu en el cas que la base sigui negativa i l'exponent

17. Calcula el valor de aquestes potències de nombres enters: (+6)

3

=

(+5)

4

=

(-3)

3

=

(-4)

(-2)

6

=

(-7)

3

=

(+9)

3

=

(+10)

5

=

=

(+1)

3

=

(-10)

3

=

(-10)

6

=

(-1)

4

2

=

18. Resol aquestes operacions amb potències: (-2)

3

+ (+1) 5 + (-4) 2 =

(+3)

4

+ (-2) 5 - (-5) 2 =

(-7)

2

+ (-2)

(-10)

3

- (+6)

4

3

- (-3) 3 = + (+5)

3

=

CFA MESTRE ESTEVE

27

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III AUTOFORMACIÓ 1

1. Observa les figures de l'esquerra: segueixen un raonament lògic. Tria d'entre les opcions de resposta de la dreta la que segueixi el raonament.

8

9

2. El meu oncle estava tan cansat que se’n va anar al llit a les 9 de la nit, amb la intenció de dormir fins a les 10 del matí del dia següent. Per això va posar el seu despertador a les 10. Uns 20 minuts després, ja estava adormit. Quant va poder descansar abans a que el despertador sonés?

3. Quina classe de parent meu és el fill de la germana de la meva mare?

CFA MESTRE ESTEVE

28

Curs 2017-2018 201

MATEMÀTIQUES III

4. Uria Fuller, famós per les seves proeses psíquiques, és capaç de dir el marcador d'un partit de futbol abans que comenci.

Fins ara mai ha fallat.

Serà possible que encerti sempre?

5. Marca la paraula que completi de forma lògica cadascuna de les següents igualtats: 1. Pájaro es a canto como mujer es a ... a) humana b) animal

c) habla

d) hombre

2. Diez es a decena como veinte es a ... a) tiempo b) veintena

c) vigésimo

d) docena

3. Verde es a azul como algodón es a ... a) lana b) tela

c) blanco

d) blando

4. Trigo es a agricultura como oveja es a ... a) ganadería b) rebaño c) carne

d) cereal

5. Lima es a limar como telar es a ... a) tela b) coser

c) máquina

d) tejer

6. Oveja es a balido como gallina es a ... a) canto b) cacareo

c) barrita

d) resopla

7. Simpático es a antipático como alegre es a ... a) amargado b) triste c) ánimo

d) harto

8. Tío es a sobrino como yerno es a ... a) abuela b) padre

d) suegro

c) madre

9. Mover es a parar como trabajar es a ... a) producir b) descansar c) hacer

d) cobrar

10.Anciano es a vejez como niño es a ... a) infantil b) infancia

c) madurez

d) juventud

11.Jueves es a semana como junio es a ... a) estación b) mes

c) año

d) primavera

12.Hoja es a libro como fotograma es a ... a) revista b) escultura c) película CFA MESTRE ESTEVE

29

d) pintura Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III 1. El primer conte d'Alícia

- Per què no em fas uns pastissets? - va preguntar el Rei de Cors a la Reina de Cors un fresc dia d'estiu.

- Quin sentit té fer pastissos sense melmelada? - va dir la Reina furiosa -. La melmelada és el millor!

- Doncs posa melmelada - va dir el Rei. - No puc! - va cridar la Reina-. Me l'han robada!

- Com! - va dir el Rei-. Això és bastant greu! Qui l'ha robada?

- Com vols que sàpiga qui l'ha robada? Si ho sabés l'hauria recuperat fa molt, i amb ella el cap del pocavergonya!

El Rei va fer que els seus soldats emprenguessin la recerca de la melmelada desapareguda, i la van trobar a casa de la Llebre de Març, el Barreter Boig i el Liró. Els tres van ser immediatament detinguts i jutjats.

- Anem a veure! - va exclamar el Rei en el judici-. Vull arribar al fons de tot això! No m'agrada que la gent entri en la meva cuina i em robi la melmelada!

- Per què no? - va preguntar un dels conillets d'Índies.

- Suprimiu aquest conillet! - va cridar la Reina. El conillet d'Índies va ser suprimit a l'instant. (Si heu llegit Alícia al País de les Meravelles recordareu el significat de la palabara suprimir: els oficials de la cort fiquen al conillet en una borsa de lona, ho tanquen amb cordes i hi seuen damunt).

- I ara - va dir el Rei quan va haver passat la commoció davant la supressió del conillet d'Índies-, vull arribar al fons de tot això!

- Això ja ho heu dit - va apuntar un segon conillet d'Índies. (Aquest conillet va ser igualment suprimit a l'instant).

- Per casualitat vas robar tu la melmelada? - va preguntar el Rei a la Llebre de Març.

- Jo no vaig robar la melmelada! - va declarar la Llebre de Març. (En aquest moment tots els conillets d'Índies que quedaven la van aclamar, sent suprimits immediatament).

- I tu? - va cridar al Barreter, que tremolava com una fulla-. Per casualitat ets tu el culpable?

El Barreter va ser incapaç d'articular una sola paraula; només respirava entrecortadamente i donava glopets al té.

CFA MESTRE ESTEVE

30

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III - Si no té res a dir, això demostra la seva culpabilitat - va dir la Reina-, així que a deixar-li sense cap immediatament!

- No,no! - va pregar el Barreter-. Un de nosaltres la va robar, però no vaig ser jo!

- Preneu nota d'això! - va dir el Rei al jurat-. Aquesta prova pot resultar de summa importància!

- I què passa amb tu? - va prosseguir el Rei amb el Liró -. Què has de dir tu a tot això?

Han dit la Llebre de Març i el Barreter la veritat?

- Almenys un sí - va replicar el Liró, qui es va quedar adormit per a la resta del judici.

Com va revelar la subsegüent investigació, la Llebre de Març i el Liró no deien ambdós la veritat.

Qui va robar la melmelada?

2. En una important biblioteca van tenir un greu problema: una estranya mena de cucs es menjava el paper dels llibres i aconseguia fer-los malbé.

En el segon prestatge hi havia dos volums de la Gran Enciclopèdia Catalana. Cada volum tenia 832 pàgines exactes.

Un cuc va començar a menjar-se des de la primera pàgina del primer volum fins a l’última del segon.

Quantes pàgines va perforar aquest cuc?

3. Cinc senyores berenen segudes al voltant d’una taula rodona. La senyora Garcia està seguda entre la senyora López i la senyora Rius. Elena està seguda entre Catalina i la senyora Desclot. La senyora López està entre Elena i Alicia. Catalina i Doris són germanes.

Isabel està seguda amb la senyora Gómez a la seva esquerra i la senyora Rius a la seva dreta. Coloca els noms i cognoms al lloc que els correspon.

Elena Alicia Catalina Doris Isabel

Garcia Desclot Gómez Rius López

CFA MESTRE ESTEVE

31

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III AUTOFORMACIÓ 2

2..

1. Marca la resposta correcta:

LOS PERROS CON DOS CABEZAS SON SERES VIVOS TODOS LOS SERES VIVOS SE ALIMENTAN

Suposant l’anterior, quina afirmació és certament veritat?

23. Mi perro tiene dos cabezas porque se alimenta.

24. Todos los perros con dos cabezas, sin excepción, se alimentan.

25. Ciertos perros con dos cabezas no se alimentan.

26. Algunos perros con dos cabezas no son realmente vivos.

CFA MESTRE ESTEVE

32

Curs 2017-2018 201

MATEMÀTIQUES III 3.

4..

Indica el número que segueix en la següents sèries: 20, 21, 17, 18, 14, ...

1, 3, 9, 27, ...

7, 8, 6, 9, 5, 10, ...

1, 1, 2, 6, 24, ...

1, 20, 2, 15, 3, ...

4.. Utilitzant només sis cerilles, series capaç de formar una figura que permeti comptar 8 triangles?

5.. Quina de les quatre primeres figures pot obtenir obtenir-se se girant i invertint la darrera figura de la dreta?

7. Quina de les figures indicades amb una lletra completa per lògica la següent analogia?

CFA MESTRE ESTEVE

33

Curs 2017-2018 201

zona autoformaciรณ MATEMร TIQUES III

CFA MESTRE ESTEVE

34

Curs 2017-2018

zona MATEMร TIQUES autoformaciรณ III

CFA MESTRE ESTEVE

35

Curs 2017-2018

MATEMร TIQUES III

zona autoformaciรณ

CFA MESTRE ESTEVE

36

Curs 2017-2018

MATEMร TIQUES III zona autoformaciรณ

CFA MESTRE ESTEVE

37

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III

zona autoformació 1. Calcula les següents operacions combinades amb fraccions: a)

1 2 3 × +  2 5 7

Solució:

29 70

b)

1 2 3 × + 2 5 7

Solució:

22 35

c)

1 1 4 1 + × − 2 3 5 8

Solució:

77 120

d)

1 1  4 1 + × −  2 3 5 8

Solució:

29 40

1 3  4  e) 2 −  + −  + 3    3 2  5

Solució:

1 4 3  2  f) 3 −  × −  −  + 1 3 5 5 5 

Solució:

119 30 29 15

1  1  1 1   71 g) 4 −  −  −  +    Solució: 20  3  4  5 6  

h)

1 7 2 3 11 × + × − 3 4 5 2 10

1 3 1 2− 3

Solució:

2+ i)

Solució:

2   4 + ×3 5  j) 1 3÷ 4

1 12

7 5

Solució:

CFA MESTRE ESTEVE

11 10

38

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III

zona autoformació

Exercicis de nombres enters Calcula les següents operacions:

(1) 3 · 4 − 5

(23) 3 · 5 − 7 · 2

(2) 3 · (4 − 5) (3) 6 · 9 + 10

(24) 12 − 4 ÷ 4 − 2

(4) 7 − 3 + 4 (5) 7 − (3 + 4)

(25) (12 − 4) ÷ 4 − 2 (26) 3 · 14 ÷ 7 − 5 · 9

(6) 6 + 9 − 3 · 2

(27) 3 · 14 ÷ (7 − 5) · 5 (28) 20 · 15 ÷ 25

(7) 18 ÷ 9 − 2 · 4

(29) (18 − 12) · 4

(8) 9 · 5 + 3 · (−5)

(30) 18 − 12 · 4

(9) 2 − (−8 + 4)

(31) 6 · 3 + 8 − 5 · 8 − 2

(10) 3 · 5 − 4 · 3

(32) 6 · (3 + 8) − 5 · (8 − 2)

(11) 3 · (5 − 4) · 3

(33) 4 · 52 + 6 · (5 − 42)

(12) 3 · (5 − 4) ÷ 3 (13) 7 − 3 · 3 + 2 (14) 15 − 3 ÷ 3 + 4 (15) 25 ÷ 5 + 7 (16) 25 ÷ (3 + 2) + 7 (17) 5 · (3 + 2) ÷ 5 + 7 (18) (7 − 10) + 4 · 3 (19) (10 − 7) + 3 · 4 (20) (3 − 5) · (7 − 2) (21) (5 − 3) · (2 − 7) (22) 3 · 5 + 7 · 2

CFA MESTRE ESTEVE

39

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III

REPÀS I AMPLIACIÓ

Múltiples d’un nombre (I).

6 és múltiple de 2 perquè 2 × 3 = 6 24 és múltiple de 8 perquè 8 × 3 = 24

Idea: un nombre és múltiple d’un altre si està a la seva taula de multiplicar

1. Troba tres múltiples de cadascun dels nombres següents: 2 , 4 , 5 , 7 , 25, 40

2. Escriu els tres múltiples més petits de cadascun d’aquests nombres: 8 , 12 , 9 , 24 , 11 , 20 3. En les llistes següents encercla els nombres que siguin múltiples dels que estan situats a l’esquerra: 14

2

28

10

56

140

7

42

14

9

1

90

54

63

9

45

30

3

25

1

5

15

25

45

75

50

100

8

2

4

6

8

10

16

80

1

7

3

21

14

6

7

2

8

1

4. Escriu vuit múltiples de 2 que siguin més grans que 13 i més petits que 30.

5. Un nombre, quan és múltiple de 2 ?

6

Escriu amb xifres i subratlla els nombres que no siguin múltiples de 2: Mil set-cents vint-i-dos, Tres-cents tres, Vuit-cents quaranta-quatre, Tres milions dos, Sis-cents mil, Trenta-cinc mil u

CFA MESTRE ESTEVE

40

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III

Divisors d’un nombre (I).

7 és divisor de 21 perquè 21/ 7 = 3 4 és divisor de 36 perquè 36 / 4 = 9 3 No és divisor de 8 perquè 8 / 3 no és un nombre enter.

Idea : Un nombre és divisor d’un altre si pot dividir-lo 1. Escriu tres divisors de cadascun dels nombres següents:

12 , 16, 20 , 15 , 25 , 26

2. Escriu els tres divisors més petits de cadascun d’aquests nombres: 36 , 18 , 140 , 24 , 50 , 75 .

3. En les llistes següents encercla els nombres que siguin divisors dels que estan situats a l’esquerra:

14

2

28

10

56

140

7

42

14

9

1

90

54

63

9

45

30

3

25

1

5

15

25

45

75

50

100

8

2

4

6

8

10

16

80

1

7

3

21

14

6

7

2

8

1

4. Subratlla els nombres que siguin divisibles per 2, i a la vegada, per 5: 38, 4, 17, 50, 20, 375, 404, 160, 840, 356 5. Encercla els nombres que NO siguin divisibles per 3: 12, 24, 17, 48, 53, 57, 81, 52, 47, 66

CFA MESTRE ESTEVE

41

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III

Garbell d’Erastòtenes (I).

Per poder fer una llista dels successius nombres primers, construiràs una taula que s’anomena garbell d’Erastòtenes:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99 100

CFA MESTRE ESTEVE

42

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III Criteris de divisibilitat 1. Encercla els nombres que siguin divisibles per 2 (sense fer la divisió) 145

252

1000

47

178

442

2

15

309

2. Completa:

33 1.689 478 12.681 345.348

Suma de les La suma de les xifres És divisible per xifres és múltiple de 3?

3?

6 sí sí

3. Escriu quatre nombres de tres xifres que siguin divisibles: a. Per 3 : b. Per 2 : c. Per 5 : 4. Completa utilitzant els criteris de divisibilitat: És divisible per 12 45 77 150 243 770 840

2

3

5

Nombres primers i nombres compostos 1. Digues si és primer o compost cadascun dels nombres següents: a. 131 b. 247 c. 401 d. 319

CFA MESTRE ESTEVE

43

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III

Descomposició en factors primers.

1. Descomposa en factors primers com a l’exemple : 260 130 65 13 1

2 2 5 13

60

75

350

196

176

312

162

250

1875

1001

2310

260= 22·5·13

CFA MESTRE ESTEVE

44

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III 1. Relaciona cada nombre amb la seva descomposició: 36 48 21 26 64 45 12 150 225

2x13 2 4 x3 2 2 x3 2 2 3 x5 3x7 26 2x3x5 2 3 2 x5 2 2 2 x3

Màxim comú divisor i mínim comú múltiple 1. Calcula el màxim comú divisor de les següents parelles de nombres: 120 i 336

18 i 24

225 i 105

125 i 250

2. Calcula el mínim comú múltiple de les següents parelles de nombres: 10 i 20

50 i 60

216 i 102

125 i 180

CFA MESTRE ESTEVE

45

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III

Nombres racionals 1. Escriu tres fraccions equivalents a cadascuna de les fraccions següents: a.

11 6

b.

5 3

c.

3 4

d.

7 9

2. Troba el valor de x per tal que les fraccions siguin equivalents: a.

13 x i 7 42

b.

4 x i x 9

c.

6 3 i x 5

d.

x 7 i 8 4

c.

36 72

d.

143 187

3. Troba la fracció irreductible equivalent a : a.

78 117

b.

240 360

4. Expressa en forma de decimal les fraccions següents. Digues de quin tipus de decimal és cadascun: a.

7 27

35 24 21 c.

32

b.

d.

45 8

23 5 9 h.

4 g.

58 9 31 f.

18

e.

i.

j.

78 117

19 25

5. Troba la fracció generatriu dels nombres decimals següents: a. 5’42

d. 31’25

g. 0’1 23

b. 0’235

e. 100’ 1

h. 0’ 02

c. 13’ 13

f. 6’123 7

CFA MESTRE ESTEVE

46

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III 6. Calcula utilitzant les fraccions generatrius: a.

2' 31 + 5' 2 1'03

b.

1' 2 + 3'01 4' 3 + 0'131

c.

4'36 + 3'4 1'48

7. Calcula: a.

5 3 − 6 4

c.

11 7 5 − + 6 12 8

b.

2 3 5 + − 3 4 6

d.

7 11 8 + − 25 45 15

8. Calcula: a.

3 2 1 ⋅ ⋅ 4 5 2

b.

3 6 ⋅5⋅ 4 10

c.

7 1 ⋅ ⋅4 2 10

d.

7 : (4) 10

9. Calcula: a.

b.

3 9 : 8 10

c. 6 :

3 10

5 1 : 8 6

CFA MESTRE ESTEVE

47

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III 1) Realitza les següents sumes o restes i simplifica els resultats: a)

14 + 15

2 3

d)

10 2 27 81

b)

6 + 7

18 49

e)

5 3

c)

30 15 -

7 5

f)

1 1 5 + 10

7 5

Solucions: 8 a) 5

60 b) 49

3 c) 5

28 d) 81

4 e) 15

3 f) 10

2) Realitza les següents sumes o restes i simplifica els resultats: a)

7 7 10 16

b)

4 7 5 + 10

c)

9 + 10

d)

7 4 +

e)

10 5 + 3 21

35 36

27 20 f)

7 7 12 60

Solucions: 21 a) 80

3 b) 2

9 c) 4

49 d) 18

25 e) 7

7 f) 15

3) Realitza les següents sumes o restes i simplifica els resultats: a)

7 30 +

7 1 4 12

e)

b)

100 50 +

f)

c)

2 3

d)

4 5

4 5 3 - 6 21 35 8 - 24 5 4 7 35

Solucions: 9 a) 10

5 b) 3

14 c) 5

1 d) 2

CFA MESTRE ESTEVE

7 e) 6

3 f) 5 48

Curs 2017-2018

MATEMÀTIQUES III 4) Realitza les següents sumes o restes i simplifica els resultats: a)

7 + 12

b)

2 3

c)

3 7 +

1 4

d)

5 8 7 21

1 6

e)

1 7 24 6

24 49

f)

5 5 + 14 49

Solucions: 5 1 45 1 9 45 a) 6 b) 2 c) 49 d) 3 e) 8 f) 98 5) Realitza les següents sumes o restes i simplifica els resultats: a)

1 2 +

2 5

24 1 25 12

b)

7 1 30 + 60

e)

10 2 -

18 5

c)

1 1 + 3 42

f)

35 9

7 3

Solucions: 9 a) 10

1 b) 4

5 c) 14

49 d) 25

7 e) 5

14 f) 9

6) Realitza les següents sumes o restes i simplifica els resultats: a)

7 7 9 - 54

b)

5 5 3 21

c)

14 15 -

49 75

Solucions:

d)

35 18 -

4 9

35 a) 54

CFA MESTRE ESTEVE

e) f)

49

21 7 50 + 10 80 36 40 - 25

10 b) 7

7 c) 25

3 d) 2

28 e) 25

Curs 2017-2018

14 f) 25