Michelle Torres Gamarra Aaron Valdivia Lima Damaris Montalvo Tordocillo Josue Durand Vite 5C Mg. Valentin Contreras
1
π΄π΅ = π. π 3 π΄π΅ = π. π 3 π΄π΅ = 8π
El Γ‘rea lateral es 8 π
π΄π΅ = 2π. π π΄π΅ = 2π. π = 8π π = 4 ππ El Γ‘rea lateral es 4 ππ
2
π΄π‘ = π. π(π+r) π΄π‘ = 8π 12 + 8 π΄π‘ = 8π(20) π΄π‘ = 160π ππ2
π΄π = π. π. π π΄π = 5π 12 π΄π = 60π ππ2
π΄π‘ = π. π(π+r) π΄π‘ = 5π 12 + 5 π΄π‘ = 5π(17) π΄π‘ = 85π ππ2
El Γ‘rea lateral es 60 π ππ2
La cantidad de papel es 160 π ππ2
3 Ahora reemplazamos los mismos valores pero en un cilindro
Hacemos el cono con los datos y hallamos el ΔΔrea lateral y total 14
14
8 8
Δ??Β΄Δ?‘™ = Δ?œ‹. Δ?‘&#x;. Δ?‘” Δ??Β΄Δ?‘™ = 8Δ?œ‹ 14 Δ??Β΄Δ?‘™ = 112Δ?œ‹ Δ?‘?Δ?‘š2
Δ??Β΄Δ?‘Δ = Δ?œ‹. Δ?‘&#x;(Δ?‘”+r) Δ??Β΄Δ?‘Δ = 8Δ?œ‹ 14 + 8 Δ??Β΄Δ?‘Δ = 8Δ?œ‹(22) Δ??Β΄Δ?‘Δ = 176Δ?œ‹ Δ?‘?Δ?‘š2
Δ??Β΄Δ?‘™ = 2Δ?œ‹. Δ?‘&#x;. Δ?‘” Δ??Β΄Δ?‘™ = 2(8Δ?œ‹) 14 Δ??Β΄Δ?‘™ = 16Δ?œ‹(14) Δ??Β΄Δ?‘™ = 224Δ?œ‹Δ?‘?Δ?‘š2 Δ??Β΄Δ?‘Δ = 2Δ?œ‹. Δ?‘&#x;(Δ?‘”+r) Δ??Β΄Δ?‘Δ = 2(8Δ?œ‹) 14 + 8 Δ??Β΄Δ?‘Δ = 16Δ?œ‹(22) Δ??Β΄Δ?‘Δ = 352Δ?œ‹ Δ?‘?Δ?‘š2
4 FIGURA 02:
FIGURA 01:
Hallando la generatriz
12 Si el diΓ‘metro vale 10 El radio valdrΓ‘ 5
HALLANDO EL ΓREA TOTAL CILINDRO
CONO
AT = 2π π (π + π)
AT = π π (π + π)
AT = 2 π π π( ππ + π ) AT = 1ππ . (ππ) AT = 1πππ
AT = π π π( ππ + π ) AT = ππ . (ππ) AT = 7ππ
HALLANDO EL ΓREA TOTAL DE LA FIGURA 1 A.CILINDRO + A.CONO
PitΓ‘goras
GENERATRIZ
5
π 2 = 52 + 122 π 2 = 169 π = 13
HALLANDO EL ΓREA LATERAL
AL = π ππ AL = π π π π ππ AL = π x 65 AL = 6ππ
AT = 1πππ + 7ππ = ππππ
ΓREA TOTAL :ππππ
ΓREA LATERAL : 6ππ
5
6 Datos: DIAMETRO = 6 ALTURA = 9
Datos: RADIO = 20 ALTURA = 24
9
24
Si el diΓ‘metro vale 6 El radio valdrΓ‘ 3
20 6 HALLANDO EL VOLUMEN : π
V = π π π π― 3 V = π (ππ)π π ππ 3 V = πππ π x 24 3 V = 3ππππ
HALLANDO EL VOLUMEN :
V = π ππ π π― 3 V = π (π)π π π 3 V=9π x9 3 V = 2ππ
Calcula el volumen de un cono recto cuya generatriz mide 10cm y cuya altura tiene igual medida que el diΔΔmetro de la base. Hallamos el valor de Γ’€œxΓ’€?
10
h=2x
102 = (2Δ?‘Δ½)2 + Δ?‘Δ½ 2 100 = 4Δ?‘Δ½ 2 + Δ?‘Δ½ 2 100 = 5Δ?‘Δ½ 2 20 = Δ?‘Δ½ 2 2 5=x
x Hallamos el volumen V = Δ?œ‹(2 5)2 4 5 3 V=Δ?œ‹ Γ’ˆ—4 Γ’ˆ—5 Γ’ˆ—4 5 3 V = 80 5Δ?œ‹ 3 Δ?‘?Δ?‘š3
El volumen es 80 5Δ?œ‹ 3 Δ?‘?Δ?‘š3
a) Halla la medida de la arista lateral de la pirΔΔmide y de la generatriz del cono. Hallamos la artista lateral
Hallamos la generatriz X = arista
Δ?‘Ž2 = 102 + (3 2)2 Δ?‘Ž2 = 100 + 9 4 Δ?‘Ž = 409 4 Δ?‘Ž = 409 2
1.5 2
Δ?‘Δ½ 2 = 409 4 + (3 2)2 Δ?‘Δ½ 2 = 408/4 + 9 4 Δ?‘Δ½= 417 4 Δ?‘Δ½ = 417 4
x = 10.21 cm
Δ?‘”2 = 102 + 22 Δ?‘”2 = 100 + 4 Δ?‘” = 104 Δ?‘” = 2 26 cm
b) ΓΕΌCuΔΔl de los cuerpos tiene mayor ΔΔrea? ΓΕΌY mayor volumen? PirΔΔmide
Cono
Δ??Β΄Δ?‘™ = 4 3 Γ’ˆ— ( 409 2) 2 Δ??Β΄Δ?‘™ = 6 409 3 Δ??Β΄Δ?‘™ = 2 409 Δ?‘?Δ?‘š2
At = Δ?œ‹ * 2 * ( 2 26 + 2 ) At = 4 26Δ?œ‹ + 4Δ?œ‹ At = 4Δ?œ‹ ( 26 + 1 ) Δ?‘?Δ?‘š2
Δ??Β΄Δ?‘Δ = 3 409 + 32 Δ??Β΄Δ?‘Δ = 3 409 + 9 Δ??Β΄Δ?‘Δ = 3( 409 + 3) Δ?‘?Δ?‘š2
V = Δ?œ‹ Γ’ˆ— 2 Γ’ˆ—10 3 V = 40 3 Δ?œ‹ Δ?‘?Δ?‘š3
V = 32 Γ’ˆ— 10 3 Δ?‘Ε = 30 Δ?‘?Δ?‘š3
2
PirΓ‘mide ο± Es una pirΓ‘mide regular ο± Su base es cuadrangular ο± Caras laterales triangulares isΓ³sceles ο± PirΓ‘mide recta
Cono ο± Cono recto ο± Su base es un cΓrculo
ΓΕΌCuΔΔl es la diferencia de volumen del cilindro y el cono? Hallamos el volumen del cilindro
Δ?‘‰ = Δ?œ‹ Γ’ˆ— 32 Γ’ˆ— 12 V = 108Δ?œ‹ Δ?‘?Δ?‘š3 Hallamos el volumen del cono
Δ?‘‰=
Δ?œ‹ Γ’ˆ— 32 Γ’ˆ—12
3
V = 36Δ?œ‹ Δ?‘?Δ?‘š3 Hallamos la diferencia de volΔΕmenes 108Δ?œ‹ - 36Δ?œ‹ = 72Δ?œ‹ Δ?‘?Δ?‘š3 La diferencia es 72Δ?œ‹ Δ?‘?Δ?‘š3
V = π ππ π π
3 V = π . ππ π ππ 3
V = 108π 3
V = 36π cm V = π ππ π π V = π . ππ π ππ V = 9π x 12 V = 108π ππ3
R = 108π 36 π
R= 3π
3
V = π¨. π© π π―
3
AB * H = 216 V = 216 V = π¨. π© π π 3
3
V = 72 cm
3
V =72 ENTONCES
AB * g = 216 AB *H = 216
V = π¨. π© π π―
AB * H = 216 3
V = π¨π© π π
V = 21 cm
REMPLAZAMOS
AB * G = 216 V = 216
Respuesta: El volumen es 3 3 216 cm y 72 cm
TERCER CASO En los tres casos , el volumen azul es igual. (V)
V = Δ??…Δ?’“Δ?&#x;? Δ?’™ Δ?‘Ε» 3
PRIMER CASO En I el volumen anaranjado es igual al azul ( F) V = Δ??…Δ?’“Δ?&#x;? Δ?’™ Δ?‘Ε» 3 V=
Δ??…Δ?’“Δ?&#x;?
Δ?’™ Δ?‘Ε»
SEGUNDO CASO En I el volumen anaranjado es la mitad del azul ( F) V = Δ??…Δ?’“Δ?&#x;? Δ?’™ Δ?‘Ε» 3 V=
Δ??…Δ?’“Δ?&#x;?
Δ?’™ Δ?‘Ε»
V=
Δ??…Δ?’“Δ?&#x;?
hΓ’€˜
3 V=
Δ??…Δ?’“Δ?&#x;?
SUMAMOS
Δ?’™ Δ?’‰Γ’€Λ
V = Δ??…Δ?’“Δ?&#x;? Δ?’‰ΓΒ΄ + Δ?’‰Γ’€ΛΓ’€Λ
hΓ’€˜Γ’€™
3 V = Δ??…Δ?’“Δ?&#x;? Δ?’™ Δ?‘Ε»
Δ?’™ Δ?’‰Γ’€ΛΓ’€Λ
3
h Γ’€˜ + h Γ’€˜Γ’€™ = H
3
SUMAMOS
V = Δ??…Δ?’“Δ?&#x;? Δ?’™ Δ?’‚ 3
a
V = Δ??…Δ?’“Δ?&#x;? Δ?’‚ + Δ?’ƒ
3
b V=
Δ??…Δ?’“Δ?&#x;? 3
Δ?’™ Δ?’ƒ a+b=H
V = Δ??…Δ?’“Δ?&#x;? Δ?’™ Δ?‘Ε» 3
tercer caso cumple , todos los cuerpos azules tienen el mismo volumen