Estación 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES El problema que origina el nacimiento del álgebra lineal es la resolución ecuaciones y de sistemas de ecuaciones. De hecho, según diversos historiadores, la historia del álgebra nace en el Antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax 2 + bx + c = 0), así como ecuaciones indeterminadas como x 2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy en día. Nosotros nos vamos a centrar en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, y el más simple es aquel en que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones. Ya desde los textos de secundaria se proponen, casi en una especie de competencia, dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones. El primero es el método de eliminación: consiste en reemplazar el sistema dado por uno nuevo que tenga el mismo conjunto solución, pero que sea más fácil de resolver. En general este sistema nuevo se obtiene siguiendo una serie de pasos, que más adelante ya explicitaremos. La idea es aplicar el proceso una y otra vez hasta que sólo nos queda una ecuación con una incógnita, que se podrá resolver inmediatamente. No es difícil recorrer los pasos en sentido contrario y encontrar la solución de las otras incógnitas; más adelante daremos algún ejemplo. El segundo método, más complicado, introduce el concepto de determinante. Hay una fórmula exacta, llamada regla de Cramer, que nos da la solución al sistema, como la razón entre dos determinantes de orden n por n. De hecho, la fórmula más complicada que involucran los determinantes es un desastre, mientras que la eliminación es el algoritmo que se usa constantemente para resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales. Empezaremos dando los conceptos necesarios para poder ir conociendo poco a poco la teoría de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones. Existen varios métodos: 1. Método gráfico 2. Método de sustitución. 3. Método de igualación.
4. 5. 6.
Método de reducción o de eliminación (suma y resta). Método de Gauss Regla de CramerLas soluciones de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas son únicas, son infinitas o no existen.
• Si la solución es única, el sistema se llama compatible determinado. • Si hay infinitas soluciones se llama compatible indeterminado. • Si no existe solución se llama incompatible. No te apures, ahora veremos un ejemplo de cada para que te quedes tranquilo.
x+y=4 2x + 2y = 7
Incompatible, porque no tiene solución. Las ecuaciones determinan 2 rectas paralelas, por lo que no tienen ningún punto en común.
x+y=5 x–y=1
Compatible determinado, ya que tiene una única solución. Las gráficas de las 2 ecuaciones se cortan en único punto.
x+y=7 2x + 2y = 14
Compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Las gráficas de las 2 rectas pasan por los mismos puntos (superpuestas)
Método gráfico •
Pasos a seguir para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas: o Representar ambas rectas en una plantilla de papel milimetrado y ver si se cortan en un punto, las coordenadas del punto de corte es la solución del sistema. Ejemplo: x + y = 4………………(1) -2x + y = -2……………... (2) o Cada una de las ecuaciones las convertimos a la forma general y = mx + b De (1) De (2) x+y=4 -2x + y =-2 Restamos a ambos miembros Sumamos a ambos miembros 2x x -2x + y + 2x= -2 + 2x x+y–x=4–x
y = -2 + 2x
y = 4 -x
Damos ahora valores a la variable x, para obtener valores de la variable y, en cada una de las ecuaciones: Ecuación (1) x 4 1
Ecuación (2)
y 0 3
x 1 3
y 0 4
Observemos que en las dos ecuaciones hay una pareja de puntos que satisfacen los valores de las variables para las dos ecuaciones. Al hacer la gráfica de cada una de las ecuaciones iniciales nos damos cuenta que estas rectas se cortan en un punto común (2, 2). Este punto de corte será la solución del sistema de ecuaciones propuesto. Es decir: x=2 y=2