CAPACIDADES A TRABAJARSE EN ESTAS SESIONES Determinan cual es el método que deben emplear para resolver un sistema de ecuaciones. (RyD) Resuelve sistemas de ecuaciones mediante dos métodos. (RP) Resuelve problemas que implican sistemas de ecuaciones con dos (RP) Indicadores Reconoce ecuaciones lineales con dos variables y lo comunica en forma oral Conoce las propiedades de un sistema de ecuaciones con dos variables en forma escrita Resuelve ejercicios de sistema de ecuaciones empleando un método en una hoja de ejercicios. Conoce métodos de igualación y sustitución de sistemas en forma grupal Conoce el método de sumas (reducción) en una práctica dirigida Resuelve situaciones de la vida cotidiana en las que se emplee sistema de ecuaciones una práctica calificada
Reglas prácticas para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Si una o las dos ecuaciones del sistema tienen un aspecto externo complicado, se empieza por “arreglarlas” hasta llegar a la expresión ax+by=c. Recordemos las ventajas de cada uno de los tres métodos aprendidos: El método de sustitución es especialmente útil cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1 ó -1 en alguna de las ecuaciones. El método de reducción es muy cómodo de aplicar cuando una de las incógnitas tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones o bien sus coeficientes son uno múltiplo del otro. Si queremos evitar las operaciones con fracciones, podemos conseguirlo aplicando dos veces el método de reducción para despejar, así, una y otra incógnita. Este consejo es especialmente útil cuando los coeficientes de las incógnitas son números grandes.
Estación 1 Gráfica las 3 posibilidades que existe al graficar en un plano un par de rectas
Estación 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES El problema que origina el nacimiento del álgebra lineal es la resolución ecuaciones y de sistemas de ecuaciones. De hecho, según diversos historiadores, la historia del álgebra nace en el Antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces de resolver ecuaciones lineales (ax = b) y cuadráticas (ax2 + bx + c = 0), así como ecuaciones indeterminadas como x2 + y2 = z2, con varias incógnitas. Los antiguos babilonios resolvían cualquier ecuación cuadrática empleando esencialmente los mismos métodos que hoy en día. Nosotros nos vamos a centrar en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, y el más simple es aquel en que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones. Ya desde los textos de secundaria se proponen, casi en una especie de competencia, dos métodos para resolver sistemas de ecuaciones. El primero es el método de eliminación: consiste en reemplazar el sistema dado por uno nuevo que tenga el mismo conjunto solución, pero que sea más fácil de resolver. En general este sistema nuevo se obtiene siguiendo una serie de pasos, que más adelante ya explicitaremos. La idea es aplicar el proceso una y otra vez hasta que sólo nos queda una ecuación con una incógnita, que se podrá resolver inmediatamente. No es difícil recorrer los pasos en sentido contrario y encontrar la solución de las otras incógnitas; más adelante daremos algún ejemplo. El segundo método, más complicado, introduce el concepto de determinante. Hay una fórmula exacta, llamada regla de Cramer, que nos da la solución al sistema, como la razón entre dos determinantes de orden n por n. De hecho, la fórmula más complicada que involucran los determinantes es un desastre, mientras que la eliminación es el algoritmo que se usa constantemente para resolver grandes sistemas de ecuaciones lineales. Empezaremos dando los conceptos necesarios para poder ir conociendo poco a poco la teoría de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones. Existen varios métodos: Método gráfico Método de sustitución. Método de igualación.
Método de reducción o de eliminación (suma y resta). Método de Gauss Regla de Cramer
Las soluciones de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas son únicas, son infinitas o no existen. Si la solución es única, el sistema se llama compatible determinado. Si hay infinitas soluciones se llama compatible indeterminado. Si no existe solución se llama incompatible. No te apures, ahora veremos un ejemplo de cada para que te quedes tranquilo.
x+y=4 2x + 2y = 7
Incompatible, porque no tiene solución. Las ecuaciones determinan 2 rectas paralelas, por lo que no tienen ningún punto en común.
x+y=5 x–y=1
Compatible determinado, ya que tiene una única solución. Las gráficas de las 2 ecuaciones se cortan en único punto.
x+y=7 2x + 2y = 14
Compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Las gráficas de las 2 rectas pasan por los mismos puntos (superpuestas)
Sistema de ecuaciones Método reducción
Pasos a seguir para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:
1.
Se ordena las ecuaciones de tal manera que se encuentre los semejantes en la misma columna y al mismo lado de la igualdad. Decidimos que variable vamos a eliminar. Para que pueda eliminarse la variable escogida tienen que tener como coeficientes números opuestos, para ello a veces una de las ecuaciones debe ser multiplicada por un número que iguale el coeficiente de de la variable. En otras ocasiones debe multiplicarse a las dos ecuaciones para que las variables tengan coeficientes opuestos. Juntamos las dos ecuaciones y se deberían de eliminar la incógnita elegida, ya que tienen coeficientes opuestos. Resolvemos la ecuación resultante del paso anterior. Para hallar la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en los pasos anteriores, en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Recomendación: siempre buscar el más conveniente, el que se pueda hacer con más facilidad.
2.
3. 4. 5.
Ejemplo: 3x = 11 + 2y………….(a) 14 = 4x – 3y …………(b) 3x – 2y = 11………….(c) 4x – 3y = 14………….(d) 12x – 8y = 44 ------(e) -12x + 9y = - 42 ------(f) 12x – 8y = 44 -12x + 9y = - 42 y= 2
Ordenamos las ecuaciones En (a) restamos a ambos lados – 2y. En (b) aplicamos propiedad si a = b b = a (propiedad simétrica de la igualdad Podemos eliminar la x o la y. Decidimos eliminar la x. Entonces multiplicamos la ecuación (c) por 4 y la ecuación (d) por – 3 Como ahora las x tienen valores opuestos, al juntar las ecuaciones se eliminan las que tienen variable x Despejamos la incógnita
_________________________________________________________________________________________________
y=2 Reemplazando y = 2 en la ecuación (a) 3x = 11 + 2y 3x = 11 + 2 (2) 3x = 11 + 4 3x = 15 x=5
Reemplazamos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones (a, b, c, d, e, f) así conseguiremos el valor de la otra incógnita.
Entonces el conjunto solución es x=2 y=5
(5; 2)
RECOMENDACIÓN: Si al resolver la primera variable te da una fracción y te es dificultoso sustituirlo en una de las ecuaciones para obtener el valor de la otra variable entonces puedes resolver la segunda variable otra vez por reducción siguiendo todo el proceso, pero eliminando la otra variable.
Sistema de ecuaciones Método gráfico
Pasos a seguir para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas: o Representar ambas rectas en una plantilla de papel milimetrado y ver si se cortan en un punto, las coordenadas del punto de corte es la solución del sistema. Ejemplo: x + y = 4………………(1) -2x + y = -2……………... (2) o Cada una de las ecuaciones las convertimos a la forma general y = mx + b De (1) x+y=4 Restamos a ambos miembros x x+y–x=4–x
De (2) -2x + y =-2 Sumamos a ambos miembros 2x -2x + y + 2x= -2 + 2x
y = -2 + 2x
y = 4 -x
Damos ahora valores a la variable x, para obtener valores de la variable y, en cada una de las ecuaciones: Ecuación (1) x 4 1
Ecuación (2)
y 0 3
x 1 3
y 0 4
Observemos que en las dos ecuaciones hay una pareja de puntos que satisfacen los valores de las variables para las dos ecuaciones. Al hacer la gráfica de cada una de las ecuaciones iniciales nos damos cuenta que estas rectas se cortan en un punto común (2, 2). Este punto de corte será la solución del sistema de ecuaciones propuesto. Es decir: x=2 y=2
Sistema de ecuaciones Método sustitución
Pasos a seguir para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:
1.
Se despeja una variable por algún termino común en ambas ecuaciones (o se utiliza si alguna de las ecuaciones ya tiene la forma). Sustituye el lado derecho obtenido en la otra ecuación y despeja la única variable que aparce en esta nueva ecuación. Sustituye el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones originales y despeja para hallar la variable que falta.
2. 3.
Despejamos una de las 2 incógnitas en cualquiera de las 2 ecuaciones.
{ Despejando la 1ra ecuación
Para nuestro caso nos conviene la primera ecuación. Y decidamos despejar x (significa que x debe quedar solita). Para eso restamos ambos miembros de la igualdad y
Lo que nos da Ahora sustituimos el valor de x que hemos obtenido en la segunda ecuación. (
)
Nos da una sola ecuación con una sola variable y que podemos obtener su valor
(
)
Eliminamos paréntesis no olvidándonos del signo negativo, (que todo lo cambia dentro del paréntesis).
⏟
Reducimos términos semejantes. (aquello que podemos juntar)
Ahora para despejar y debemos sumar 5 a ambos miembros de la igualdad.
Dividimos entre 3 a ambos miembros de la igualdad. Quedaría Operamos.
en la ecuación
Ahora que ya conocemos el valor de y podemos reemplazarlo en cualquiera de las ecuaciones en la que aparecen las 2 variables y así conocer el valor de la otra variable. Para nuestro caso emplearemos la ecuación despejada
La solución del sistema es, por tanto: Naturalmente habríamos llegado a la misma solución, despejando tanto la x como la y en cualquiera de las dos ecuaciones y sustituyéndola en la otra ecuación. El sistema solo tiene una solución (si es que la tiene) y todos los caminos nos llevan e ella, porque el método de resolución no afecta el resultado, sólo a las operaciones que hay que hacer para encontrarla.
Sistema de ecuaciones Método igualación
Pasos a seguir para resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:
1. 2.
Despeja la misma variable en ambas ecuaciones Sea cual sea el valor de esta incógnita o variable, ha de ser el mismo en las dos ecuaciones, por tanto podemos igualar las dos expresiones obteniendo una ecuación con una incógnita, que podemos resolver con facilidad. Una vez conocido el valor de una de las dos incógnitas lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales y calculamos la segunda.
3.
( ) ( )
{
A nuestras ecuaciones la hemos denotado, a la 1racomo α y a la 2da como β.
Sumamos 3y
Restamos y
Resolvemos
Resolvemos.
Dividimos ambos por 2
Dividimos ambos por 4
La llamaremos
La llamaremos
Vamos a despejar x en las 2 ecuaciones
(δ)
(γ)
Ahora igualamos las ecuaciones (γ) y (δ) Aplicando propiedad de la igualdad a =b ˄ a = c b = c
(
)
(
(
)
Multiplicamos todo por 4 para evitarnos las fracciones.
)
Ordenamos convenientemente ⏟
Aplicamos propiedad distributiva en el primer miembro de la igualdad
⏟
⏟
⏟
Sumamos y a ambos miembros y restamos 12 a ambos miembros Operamos Dividimos ambos por 7 Efectuamos.
lo reemplazamos en cualquiera de las 2 ecuaciones (γ) o (δ)
lo reemplazamos en ( )
operamos
( )
(
)
El conjunto solución es:
Sistema de ecuaciones Método gauss El método de Gauss consiste en convertir un sistema "normal" por ejemplo de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado, o también llamado triangular, en el que la 1ª ecuación tiene 3 incógnitas, la 2ª tiene 2 incógnitas y la tercera 1 incógnita. De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo hacia arriba, calcular el valor de las 3 incógnitas. Para transformar el sistema en uno que sea escalonado se combinarán las ecuaciones entre sí (sumándolas , restándolas , multiplicándolas por un número , etc.) El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente. Ejemplo: hallar el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones: { ( )
Es la ecuación modificaremos.
que
( ) ( ) ( )
{
no
( ) ( )
{ ( ) ( )
( ) ( )
{
Ya tenemos 2 ecuaciones
( ) ( ) ( )
{
{
En primer lugar buscamos que la ecuación que se encuentre en la parte superior sea la más conveniente. Vamos a denotar nuestras ecuaciones Ahora decidimos trabajar con las ecuaciones (a) y (b). Reducimos la ecuación (b)con la ecuación (a) multiplicada por – 5.
( ) ( ) ( )
( ) ( )
{
Ahora trabajaremos con las ecuaciones (a) y (c) Reducimos la ecuación (c) con la ecuación (a) multiplicada por – 3.
( )
( ) ( ) ( )
{ Mantenemos fijo las 2 primeras ecuaciones ( ) ( ) {
{
Esa es la que vamos a hallar
{
{
Ahora trabajamos con este nuevo sistema de ecuaciones buscando que una variable de elimine par nuestro caso vamos a trabajar con la ecuación (e) y (g) para encontrar una sola ecuación con una única variable La segunda ecuación la hemos multiplicado por – 2
{
( ) ( ) ( ) ( )
{ en
( ) Operando multiplicando por -1 } da Ahora sumamos 9 a ambos ⏟ ⏟
Solución
Dividimos por 2 Encontramos el valor de , en ⏟
Resolvemos
Partimos la solución desde abajo En este caso resulta sencillo. reemplazamos este valor en la ecuación siguiente
Ahora reemplazamos los valores obtenidos en la primera ecuación (a) entonces
Sistema de ecuaciones Método cramer La Regla de Cramer es un método de álgebra lineal para resolver sistemas de ecuaciones. Su base teórica no es tan sencilla como los métodos vistos hasta ahora y emplea el cálculo de determinantes de matrices matemáticas, y da lugar a una forma operativa sencilla y fácil de recordar, especialmente en el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas. Aquí sólo veremos su forma de uso para resolver dos ecuaciones con dos incógnitas, sin entrar a discutir el origen de este método. Primero veremos un caso general y luego resolveremos un ejemplo. Partiendo de un sistema general de dos ecuaciones con dos incógnitas: { ( | |
El coeficiente de una incógnita en una ecuación ocupa una fila y columna determinadas; el cambio en el orden dentro de la matriz supone la modificación del sistema de ecuaciones, las matrices se representan entre paréntesis, como en el ejemplo: El determinante de una matriz es una operación sobre esa matriz que da como resultado un “valor” E, que depende de los términos de la matriz y el lugar donde estén situados:
) |
Para este caso que es una matriz donde tenemos 2 columnas y 2 filas que es el producto de los términos de la diagonal principal menos el producto de los de la diagonal secundaria Esta regla tan sencilla no se cumple en matrices de mayor dimensión y para su cálculo hay que tener ciertos conocimientos de álgebra lineal.
|
Partiendo de todo esto tenemos que la Regla de Cramer dice que, en un sistema de ecuaciones lineales, el valor de cada incógnita es la relación que existe entre el determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas, donde se ha sustituido la columna de la incógnita a resolver por la columna de términos independientes, entre el determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas. Así si partimos del sistema: Podemos obtener las incógnitas de la siguiente manera { |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
Desarrollando los determinantes tendremos las operaciones a realizar para calcular la x e y Hay que señalar que si el determinante de los coeficientes de las incógnitas vale cero: |
|
el sistema es incompatible o compatible indeterminado, y sólo será compatible determinado si este determinante es distinto de cero. Como ejemplo vamos a resolver el sistema: { |
|
|
|
|
|
|
|
Calculamos primero la x: ( )( ) ( ( )( ) (
)(
)
)( )
y ahora calculamos la y: ( )(
) ( )( ) ( )( ) ( )( )
Con lo que tenemos la solución al sistema que, naturalmente, es:
c. s. (
)