operaciones con polinomios by Miguel Chavez

OPERACIONES CON POLINOMIOS. Si bien es cierto las operaciones con polinomios incluyen letras y números; sin embargo el procedimiento es igual que el de las operaciones con números.

ADICIÓN DE POLINOMIOS •

Cuando los polinomios son de un solo término (adición de monomios) Escribimos unos a continuación de otros, procediendo luego a reducir los términos que sean semejantes. Ejemplos: (1) Dados los siguientes monomios, efectuar la adición de los mismos: -5x3 ; - 8x3 ; + 6x3 ; - x3 Solución: Como los 4 monomios son términos semejantes sumamos los coeficientes y escribimos la misma parte literal: (-5x3) + (-8x3) + (+6x3) +(-x3) o también:

-5x3 - 8x3 + 6x3 - x3 (-5 - 8 + 6 - 1) x3 -8x3

RPTA.

(2) Dados los siguientes monomios, efectuar la adición de los mismos -13a2b ; +2ab3 ; -6ab3 ; -4a2b Solución: Sólo reducimos a uno solo los monomios que son términos semejantes: (-13a2b) + (+2ab3 ) + (-6ab3 ) + (-4a2b) o también:

-13a2b + 2ab3 - 6ab3 - 4a2b

- 33 -

MACH

•

-17a2b - 4ab3 RPTA.: Cuando los polinomios tienen más de un término Escribimos los polinomios, uno bajo el otro, o uno al costado del otro y se procede a reducir los términos que son semejantes Ejemplos: (1) Efectuar A + B + C si: A = 7x3 - 2x + x2 + 6;

B = -3x2 - x3 + 8 ;

C = x - x3 -16 Solución: PRIMERA FORMA Escribimos los polinomios uno bajo el otro cuidando que los términos semejantes queden alineados por columnas para luego reducirlos: 7x3 + x2 - 2x + 6 - x3 - x 5x

x - 16 - 3x

+ 8

- 2x - x - 2

SEGUNDA FORMA.•

Escribirnos los polinomios uno al costado del otro con sus respectivos signos, procediendo luego a reducir términos semejantes. Así: (7x3 - 2x + x2 + 6 ) + ( -3x2 – x3 + 8 ) + ( x – x3 - 16)

•

Si suprimimos paréntesis, los signos interiores no cambian: 7x3 - 2x + x2 + 6 - 3x2 – x3 + 8 + x – x3 - 16

•

Reduciendo términos semejantes:

- 34 -

ÁLGEBRA – JOHANNES GUTENBERG

5x3 - 2x2 - x - 2 RPTA.

SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS Para efectuar la sustracción de dos polinomios la transformamos en una ADICIÓN reemplazando el sustraendo por su OPUESTO. Así: (+M) - (+S) = D (+M) + (-S) = D Ejemplos: (1) Efectuar: ( -7x4 y9 ) - (-2 x4 y9) Solución: Reemplazamos el sustraendo por su OPUESTO, transformando la SUSTRACCIÓN en ADICIÓN: ( - 7x4 y9 ) + ( + 2 x4 y9 ) Suprimimos paréntesis:

- 7x4 y9 + 2 x4 y9

Reducimos términos semejantes:

- 5x4 y9 RPTA

Observación.Le llamamos OPUESTO DE UN POLINOMIO, al mismo polinomio pero con todos los signos de sus términos cambiados. Así: •

-5x2 y2 ; su OPUESTO es + 5x2 y2

•

3a – b4 su OPUESTO es - 3a + b4

•

7m2 - 6n – y5 ; su OPUESTO es -7m2 + 6n + y5

(2) Efectuar: P(x) - Q(x) sabiendo que: P(x) = 8x7 - 5x2 + 6 – x4; Q(x) = 3x2 - x - 2x4 + 7x7 Solución: • Para hallar la DIFERENCIA pedida, ( 8x7 - 5x2 + 6 – x4) - ( 3x2 - x - 2x4 + 7x7 ) •

Sumamos P(x) con el OPUESTO de Q(x):

- 35 -

MACH

= ( 8x7 - 5x2 + 6 – x4) + ( -3x2 + x + 2x4 - 7x7 ) •

Suprimiendo signos de colección: = 8x7 - 5x2 + 6 – x4 - 3x2 + x + 2x4 + 7x7

•

Reduciendo términos semejantes: = x7 + x4 - 8x2 + x + 6

RPTA

RECUERDA QUE: • Un monomio también es un término algebraico, pero no todo termino algebraico es un monomio, a menos que este termino sea una expresión algebraica racional entera • Después de la palabra De, se encuentra el minuendo y después de la palabra restar se encuentra el sustraendo. Ejercicio De (8x + 5) restar (3x + 2) Solución (8x + 5) – (3x + 2) ⇒ 8x + 5 – 3x - 2 ⇒ 5x + 3

RPTA

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Es una operación en la que dados dos polinomios llamados MULTIPLICANDO Y MULTIPLICADOR (factores), obtenemos otro llamado PRODUCTO.

Multiplicación de Polinomios de un solo término (Monomios) El producto de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de sus coeficientes y parte literal es el producto de sus partes literales; y si los monomios tienen la misma parte literal, es la letra común con un exponente igual a la suma de los exponentes de las letras.

- 36 -

ÁLGEBRA – JOHANNES GUTENBERG

Entonces: Multiplicamos para esto los coeficientes y luego las partes literales, considerando lo siguiente:

Ley De Exponentes: am

×a n

n = am+

Términos de la Multiplicación: Toda multiplicación consta de los siguientes términos: a) Multiplicando, término que ha de multiplicarse b) Multiplicador, término por el cual se multiplica c) Producto, es el resultado de la multiplicación. Todo término que hace de multiplicando o de multiplicador se llama FACTOR.

Leyes de signos: En una multiplicación de dos términos con signos iguales sean los dos positivos o los dos negativos, el producto es positivo. Al multiplicar dos términos con signos diferentes, uno positivo y el otro negativo el producto es negativo; o sea: (1) Efectuar: (-3x2) (+4x7 ) Solución: Al multiplicar monomios, no se requiere que sean términos semejantes para que queden reducidos en uno solo. Además, para la multiplicación de monomios podemos emplear: ( )x( ) ó ( ) ( ) • Multiplicando coeficientes: (-3) (+4) = -12 • Multiplicando partes literales: (x2 ) (x7 ) = x 2 + 7 = x9 • Luego:

(-3x2) (+4x7) = -12x9 RESPUESTA

Multiplicación de Monomio por Polinomio Para esto, multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio, de acuerdo a lo explicado en el punto anterior.

- 37 -

MACH

Ejemplo: Efectuar: ( -5a4b2 ) ( 2a3 - 7ab + 3ab7 ) = -10a7b2 + 35 a5b3 - 15 a5b9 RPTA

Multiplicación de Polinomios Para esto multiplicamos cada uno de los términos del primer factor por cada uno de los términos del segundo factor, para finalmente reducir términos semejantes. Esta Multiplicación de polinomios se puede efectuar escribiéndolos "uno bajo el otro" o "uno a continuación del otro" . Ejemplo: • Mediante La Ley Distributiva ( x2 + x + 1 ) ( 3x + 2 ) = 3x3 + 2x2 + 3x2 + 2x + 2 = 3x3 + 5x2 + 5x + 2 • Mediante la regla tradicional x2 + x + 1 3x + 2 Reduciendo Términos semejantes

3x + 3x + 3x ------- ( 3x ) ( x2 + x + 1 ) 2x2 + 2x + 2

( 2 ) ( x2 + x + 1 )

3x3 + 5x2 + 5x + 2

⇒ ( x2 + x + 1 ) ( 3x + 2 ) = 3x3 + 5x2 •

Multiplicando

Mediante la Regla del algoritmo diagonal ( x2 + 5x + 7 ) (4x2 + 3x + 2)

- 38 -

+ 5x + 2

ÁLGEBRA – JOHANNES GUTENBERG 5

0 1

8 2

5 1

1 1

Coeficientes

1 4 4 3 2

∑ ∑ ∑ 20 28 ∑ 15

∑

1er paso: 2do paso

4x 4 + 23x 3 + 45x 2 + 31x + 14

∴

POTENCIACIÓN DE POLINOMIOS Recordemos que:

a n = a × a × a × a× a...× a = P n veces

Es decir, la potencia P es el resultado de multiplicar Por Sí mismo n veces una base a. Si esta base es un POLINOMIO, entonces tendremos POTENCIACIÓN DE POLINOMIOS. Ejemplos: (1)

(5x + 3)2 = (5x + 3)(5x + 3) = 25x2 + 15x + 15x + 9 = 25x2 + 30x + 9

(2) (6ab2 - 2)3 = (6ab2 - 2)

(6ab2 - 2)

(36a2b4 - 12ab2 - 12ab2 + 4) ó (36a2b4 - 24ab2 + 4)

- 39 -

MACH

216a3b3 - 72a2b4 -144a2 b4 + 48ab2 + 24ab2 - 8 Reduciendo:

(6ab2 - 2)3 = 216a3b6 - 216a2b4 + 72ab2 - 8

DIVISIÓN DE POLINOMIOS Teoría del Grado de la División Si se representa : D° : grado del dividendo. d° : grado del divisor El grado del cociente ⇒

Q° = D° - d°

El grado del cociente Q° es la diferencia de grados del dividendo menos el grado del divisor. El grado del residuo: R° es menor o igual que el grado del divisor disminuido en la unidad. Ejemplo: Hallar los grados de la siguiente división. D° = 10 ; d° = 4

x 10 + x + 9 x 4 − 2x + 7

⇒

Q° = 10° - 4° = 6°

⇒

R° ≤ 4 −1 = 3

⇒

Q° > R°

Para Polinomios de un Término (División De Monomios).Dividimos primero los coeficientes y luego las partes literales considerando lo siguiente:

Ley de Exponentes:

am an IMPORTANTE

= am − n

/ a ≠ 0

Al hacer esta división de coeficientes, debemos aplicar la misma ley de signos que en la división de números enteros, racionales o reales - 40 -

ÁLGEBRA – JOHANNES GUTENBERG

Ejemplos (1) Efectuar: ( -45 a8b9c10 ) : ( +3 a5b7 ) Solución. • Dividimos los coeficientes:

(-45) : (+3)

•

Dividimos las partes literales

•

Considerando la ley de exponentes: a 8b 9c10 a 5b 7

•

a8 a5

b9 b7

-15

( a8b9c10 ) : ( a5b7 )

× c10 =

a8-5 x b9-7 x c10 =

Luego, el cociente de dividir los monomios dados, será: ( -45 a8b9c10 ) : ( +3 a5b7 ) = -15a3b2 c10 RPTA.

Atención Al dividir POLINOMIO entre MONOMIO estamos aplicando la PROPIEDAD DISTRIBUTIVA de la división respecto a la adición, siempre que la adición sea el dividendo (a+b):c=a:c+b:c

División de Polinomio entre Monomio Dividimos cada uno de los términos del polinomio entre el monomio dado, empleando lo que acabamos de estudiar como división de monomios. Ejemplo: Efectuar:

( 35x7y15 + 40x10y11 - 55x12y17 ) : ( -5x3y4 )

Solución: Aplicamos la propiedad ( 35x7y15 + 40x10y11 - 55x12y17 ) : ( -5x3y4 ) 35x 7 y15 distributiva de la división -5x 3 y 4

respecto a la adición:

40 x10 y11 55x12 y17 -5x 3 y 4 -5x 3 y 4

∴ Q(x) = -7x4y11 - 41 -

- 8x7y7 + 11x9y13

RPTA.

MACH

R(x) = 0

Para Polinomios de más de un Término Para obtener el cociente y el residuo se puede utilizar: • El algoritmo clásico de la división. • El algoritmo sintético de Guillermo Hörner. • El algoritmo de Paolo Ruffini • El algoritmo de las equivalencias o de los coeficientes indeterminados. Aplicando el MÉTODO ORDINARIO, para lo cual tomaremos como base una sola variable en ambos polinomios. Tal variable debe tener todos los exponentes (del mayor a cero) en ambos polinomios; si falta alguno escribiremos en lugar del término correspondiente: CERO. Asimismo, los exponentes deben estar ordenados de MAYOR a MENOR, por lo general de izquierda a derecha. PROCEDIMIENTO: (1.)

Dividimos el primer termino del dividendo entre el primero del divisor, obteniendo el primer término del cociente.

(2) Se multiplica este primer término del cociente por todo el divisor y el producto se resta

del dividendo.

(3) Dividimos el primer término de la diferencia entre el primero del divisor y así obtenemos el segundo término del cociente, el cual se vuelve a multiplicar por el divisor y se resta de la anterior diferencia y así continuamos hasta obtener un residuo nulo o bien

- 42 -

ÁLGEBRA – JOHANNES GUTENBERG

un polinomio de grado inferior al del divisor según la variable ordenatriz. IMPORTANTE, Esta fase de preparación del Polinomio DIVIDENDO y el polinomio DIVISOR se puede resumir así: ORDENAR y COMPLETAR LOS POLINOMIOS. Ejemplo : Dividir ( 21x5 - 15x2 + 14x - 28 + 41x3 ) : (2x - 5 + 7x3 ) Solución: • En el dividendo falta el término correspondiente a x4, entonces escribimos CERO en su lugar, ( 21x5 + 0 + 41x 3 - 15x2 + 14x - 28 ) a la vez que ordenamos el polinomio: • En el divisor falta el término correspondiente a

x2 entonces

escribimos CERO en su lugar, a la vez que ordenamos el polinomio 7x3 + 2x - 5 • Aplicamos el procedimiento así : 21x5 + 0 + 41x3 - 15x2 + 14x - 28 -21x5 + 0 - 6x3 + 15x2

7x3 + 2x - 5 3x2 + 5

+ 35x3 + 0 + 14x - 28 - 35x3 + 0 - 10x + 25 + 4x - 3

Cociente: 3x2 + 5 Residuo : 4x - 3

El algoritmo de la División Sintética de Guillermo Hörner. Este algoritmo es una consecuencia del algoritmo clásico de la división algebraica, que tiene la ventaja de considerar únicamente los coeficientes de los términos ordenados y completos de la división. El algoritmo es como sigue: - 43 -

MACH

(1°)

Se escriben los coeficientes del dividendo en una fila, con signo propio. Esta ordenación crea un grupo de columnas para el cociente y el residuo.

(2°)

Se escriben los coeficientes del divisor en columna donde el primero de ellos Lleva signo propio y los restantes signo contrario. (Véase el esquema de Hörner).

(3°)

De acuerdo al grado del divisor y contando a partir de la ultima columna del dividendo se hace una separación de columnas para el residuo y el cociente; el numero de columnas para el residuo será igual que el grado del divisor.

(4°)

Se dividen los primeros coeficientes del dividendo y divisor respectivamente, siendo este el primer coeficiente del cociente, el cual se inscribe debajo de la primera columna del cociente.

(5°)

Se multiplica el primer coeficiente del cociente por los términos que cambiaron de signo en el divisor y los resultados se inscriben en fila a partir de la segunda columna del dividendo; se reducen los coeficientes de la segunda columna dividendo, este resultado entre el primer coeficiente del divisor dicho resultado constituye el segundo coeficiente del cociente.

(6°)

Se continua el algoritmo hasta completar los coeficientes del cociente y haber logrado obtener los coeficientes del residuo.

Ejemplo: Dividir

( 4x

) (

)

− 12 x 4 + 13x 3 + 12 x 2 − x + 1 ÷ 2 x 2 − 3x + 1 ESQUEMA

Primer Coeficiente del Divisor (con signo propio)

2 espacios = d° = 2

- 44 -

ÁLGEBRA – JOHANNES GUTENBERG 4

-12

-1

2 3 -1

Coeficiente del Divisor con signo contrario.

Grados:

4 columnas para el cociente

2 columnas para el residuo; de acuerdo al grado del divisor d° = 2

D° = 5 d° = 2 ⇒ Q° = 3° , R ≤ 1

SECUENCIA DEL ALGORITMO DE HÖRNER 2 3 -1

4 (I)

-12 6

13 -2

-1

(I)

Resulta de dividir 4 entre 2, y el cociente se multiplica por los elementos de la llave para luego dichos resultados ordenarlos horizontalmente 2 3 -1

-12 6 ( II )

13 -2 -9

-3

( II )

- 45 -

12 3

-1

MACH

El elemento –3 resulta de dividir la suma de –12 y 6 entre 2; dicho cociente –3 origina los elementos –9 y -3 luego de la multiplicación análoga realizada al paso anterior. Sucesivamente se tendrá 2 3 -1

2 3 -1

-12 6

13 -2 -9

-3

-12 6

13 -2 -9

-3

- 46 -

-1

3 3

-1

3 3

-1

27 25

-9 -8

ÁLGEBRA – JOHANNES GUTENBERG

Se ha logrado los coeficientes del cociente y el residuo. De modo que se tendrá: ∴ Q(x) = 2x 3 − 3x 2 + x + 9 R(x) = 25x − 8 EL ALGORITMO DE LAS EQUIVALENCIAS O DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS

Consiste en establecer el modelo matemático o forma del cociente y residuo de acuerdo al grado de los términos proporcionados y plantear la equivalencia correspondiente. Ejemplo: 4x 5 − 12x 4 + 11x 3 + 12x 2 − x + 1 2 x 2 − 3x + 1

Dividir

Solución (1°) Grados: D° = 5° ; d° = 2°

⇒ (2°)

Q° = 3° ;

R° = p

Planteamos para el cociente y el residuo: Q(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d R(x) = mx + n

(3°)

Establecemos la equivalencia:

- 47 -

MACH 4 x 5 −12 x 4 +11x 3 +12 x 2 −x

(4°)

2  +1 ≡ 2 x −3x +1  

ax 3 +bx 2 +cx +d +mx +    

Ordenamos el segundo miembro, para ello efectuamos la multiplicación por el método diagonal. 2 -3 1

a 2a -3a a

b 2b -3b b

c 2c -3c c

d 2d -3d d

+mx + n

= 2ax 5 + ( 2b − 3a ) x 4 + ( a − 3b + 2c ) x 3 + ( b − 3c + 2d ) x 2 + ( c − 3d ) x + d + mx + n

= 2 a x 5 + ( 2b − 3a ) x 4 + ( a − 3b + 2c ) x 3 + ( b − 3c + 2d ) x 2 + ( c − 3d + m ) x + ( d + n )

(5°)

De la igualdad de coeficientes con el dividendo original = 4x 5

− 12 x 4 + 11x 3 + 12 x 2 − x + 1 2a = 4 2b – 3a = -12

(3)

b – 3c + 2d = 12

(4)

c – 3d + m = -1

(5)

Resolviendo el sistema: de (1) : de (2) : de (3) : de (4) : de (5) : de (6) :

∴

a = b = c = d = m = n =

Q(x) = 2 x 3 − 3x 2 + x + 9 R(x) = 25 x − 8 - 48 -

(2)

a – 3b + 2c = 11

d+n = 1 (6°)

(1)

2 -3 11 9 25 -8

(6)

ÁLGEBRA – JOHANNES GUTENBERG

División de Polinomios aplicando el Método de los Coeficientes Separados. Para dividir empleando este método se toma los coeficientes del dividendo y del divisor, con los signos que tengan. Procediéndose luego de manera similar al método tradicional. Ejm: Dividir

4 x 5 − 12x 4 + 11x 3 + 12 x 2 − x + 1 empleando 2 x 2 − 3x + 1

coeficientes separados. Solución: 4 − 12 + 11 + 12 −1 −4

+ 6

− 2

− 6 + 6

+ 9 − 9

+ 12 + 3

−1

+ 15

− 1 45 + 2 43 2

+1 15 − 2 13 − 2

− 15

−3

+1 15 +0+ 2

RPTA: 2x3 – 3x2 + 0x + 15/2 ó

2x3 – 3x2 + 15/2

División de Polinomios empleando el Método de Ruffini Este método es aplicable a divisores de la forma (x ± a ) y con ciertas restricciones a divisores de la forma ( axn ± b ) - 49 -

MACH

Este método es un caso particular del método de Horner. CASO • • • • • • • •

(x ± a )

Se trazan dos rayas que se interceptan una vertical y una horizontal. Encima de la raya horizontal se colocan los coeficientes del dividendo. Como divisor se coloca el valor de x que resulta al igualar el divisor a cero. Se baja el primer coeficiente del dividendo y se multiplica por la cantidad colocada como divisor y el resultado se coloca en la siguiente columna. Se reduce esta columna, se multiplica su resultado por el divisor y se coloca lo que resulta en la siguiente columna. Se reduce la siguiente columna y se sigue el mismo procedimiento hasta obtener un término debajo del último término del dividendo. El resultado de reducir la última columna es el residuo. No olvidar que siempre se debe completar el dividendo, y ordenar el dividendo y el divisor de manera decreciente. 5x 4 − 20x 2 − x − 3 Ej.Efectuar x+2 Solución: Los grados del cociente y residuo serán Q° = 4 – 1 = 3° R° = 1 – 1 = 0 Aplicando la regla de Ruffini, la cantidad que se coloca como divisor será:

x + 2 = 0 → x = −2

5 + 0 − 20 − 1 − 2 ↓ − 10 + 20 0 5 − 10 0 -1 Q(x) = 5x 3 − 10x 2 − 1

- 50 -

+3 +2 5 ←R

ÁLGEBRA – JOHANNES GUTENBERG

R(x) = 5 EL TEOREMA DEL RESIDUO O DE DESCARTES Permite calcular el resto sin necesidad de efectuar la operación de la división. Se emplea por lo general para divisiones de polinomios de cualquier grado entre divisores de la forma ax ± b, o cualquier otra expresión transformable a esta. Sea la división. F ÷ ( x + m ) ⇒ R = F( Op m ) = F( − m ) (x)

“el residuo de la división de F(x) ÷ ( x + m ) es equivalente a evaluar F(x) para un valor de x igual a cero de x + m” En otras palabras para poder calcular el resto de manera directa igualamos el divisor a cero y el resultado se reemplaza en el dividendo. Ej. Calcular el residuo de dividir x 3 − 2x 2 + 5x − 3 entre 2x − 1 Solución: Igualamos el divisor a cero

2x − 1 = 0 ⇒ x =

1 2

Este valor x =1/2, lo reemplazamos en el dividendo: Dividendo = x 3 − 2x 2 + 5x − 3 3

Residuo =

1 1 5 1 − 4 + 20 − 24 7 1 1 1 ⇒ Re siduo =   −2  +5 −3 = − + −3 = 8 2 2 8 8  2 2 2

RADICACIÓN DE POLINOMIOS Se llama radicación a la operación o algoritmo que hace corresponder al par (n ; x) denominados índice y radicando. Un tercer término “r” llamado raíz. Simbólicamente: x ∈ IR ∧ n ≥ 2 ⇒ (n ; x) Tradicionalmente nos referimos a la radicación del siguiente modo: “Dada una variable real “x” y un número natural “n” existe un tercer número “r” llamado raiz, siempre que : rn = b Es decir: si n b = r ⇒ r n = b ; n ≠ 0

- 51 -

MACH

Solo veremos radicación de monomios

M = m si se cumple que:

mn = M

Para extraer raíz enésima de un monomio, se extrae la raíz del coeficiente y la de la parte literal empleando EXPONENTE FRACCIONARIO. Ejemplo.3

− 8x15 y 18 = 3 − 8 × 3 x15 × 3 y 18 15

= −2 × RECUERDA La expresión

x3 × y

18 3

= − 2x 5 y 6

RPTA.

am se puede escribir como una potencia de base a y

exponente fraccionario, así.

a m = a n Ejemplo

- 52 -

12 x3

= x4