DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERĂ?A Ă REA: MATEMĂ TICA
E.P. de: INGENIERĂ?A DE SISTEMAS E INFORMĂ TICA
MATEMĂ TICA BĂ SICA
CICLO: I
TEMA: Plano Cartesiano – Distancia entre dos puntos – Punto medio entre dos puntos TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 501B
SEMANA: 09 SEMESTETRE: 2017 - II
PLANO CARTESIANO El plano cartesiano, plano euclidiano o simplemente sistema de coordenadas, inventado por el matemĂĄtico, fĂsico y filĂłsofo francĂŠs RenĂŠ Descartes, es un sistema de referencias bidimensional que posee ciertas aplicaciones puntuales ya sea en la ciencia o en nuestra vida cotidiana. Este plano es utilizado principalmente en nuestras vidas como un sistema de referencias, partiendo desde un origen, ya que con este podemos ubicar exactamente cualquier partĂcula presente en nuestro entorno siempre y cuando tengamos sus coordenadas.
se pudo avanzar en todas las ĂĄreas de la ciencia. Rene Descartes, en la actualidad, es considerado como el padre de la geometrĂa analĂtica y de la filosofĂa moderna. Plano Cartesiano.- Es el plano determinado por dos rectas numĂŠricas, secantes y perpendiculares, llamadas ejes coordenados
ÂżQuĂŠ conforma el plano cartesiano? El plano cartesiano es una herramienta de la matemĂĄtica que estĂĄ conformado por dos rectas numĂŠricas infinitas perpendiculares entre sĂ, una horizontal llamada eje de las abscisas y una vertical llamada eje de las ordenadas, que se cortan en un Ăşnico punto conocido como origen. Este punto de intersecciĂłn entre las dos rectas o ejes es de vital importancia para el uso del sistema de coordenadas, ya que es usado como punto de referencia a la hora de graficar cualquier otro punto sobre dicho sistema. Aplicaciones en la matemĂĄtica y en la fĂsica AdemĂĄs de ser usados por todos, a veces sin querer, en nuestra vida diaria, por ejemplo, a la hora de dar o recibir una direcciĂłn, el sistema de coordenadas para los estudiantes o profesionales que se dedican a ciertos campos es muy importante. En la matemĂĄtica la funciĂłn principal de este plano es que permite hacer la representaciĂłn grĂĄfica de funciones, al igual que como en la fĂsica, que este plano es usado, por ejemplo, para graficar la posiciĂłn, velocidad o aceleraciĂłn de cualquier partĂcula en estudio. Este plano, desde su invenciĂłn por el cientĂfico francĂŠs, ha sido muy importante ya que gracias a este Lic.: Miguel Ă ngel Tarazona Giraldo Web: http://migueltarazonagiraldo.com/
El punto de intersecciĂłn de los ejes, es el origen de coordenadas (0; 0) Al eje de abscisas le llamaremos eje x Al eje de ordenadas le llamaremos eje y. Los ejes coordenados dividen al plano cartesiano en cuatro cuadrantes. Consideraremos al sentido anti horario como sentido positivo (+) y al sentido horario como sentido negativo (-). Par ordenado.- Son un par de nĂşmeros de la forma (đ?‘Ž; đ?‘?), que fijan la posiciĂłn de un punto en el plano cartesiano.
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Donde a es el nĂşmero que se asocia al punto en el eje de abscisas y b es el nĂşmero que se asocia al punto en el eje de ordenadas.
CICLO: I Esta distancia es igual a la raĂz cuadrada de la suma de los cuadrados de la diferencia de abscisas y la diferencia de ordenadas. AB = d = √(đ?‘Ľđ?‘? − đ?‘Ľđ?‘Ž )2 + (đ?‘Śđ?‘? − đ?‘Śđ?‘Ž )2 d = √(∆đ?‘Ľ )2 + (∆đ?‘Ś )2 Punto medio de un segmento.- Es el punto que pertenece al segmento y que lo divide en dos segmentos parciales congruentes. Las coordenadas del punto medio de un segmento de recta, es igual a la semisuma de abscisas y ordenadas de sus extremos.
(a; b): representa las coordenadas del punto P en el plano cartesiano. Los puntos A, B y C tienen coordenadas đ??´ = (−3; 2); đ??ľ = (−2; −2) đ?‘Ś đ??ś = (2; −4), respectivamente. Nota: En el plano cartesiano solo existe un Ăşnico punto que tiene coordenadas (đ?‘Ž; đ?‘?) Distancia entre dos puntos.- La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento de recta que los une.
Sea M el punto medio del segmento AB. Del grĂĄfico, observamos que xm ; ym son las longitudes de las bases medias de los trapecios que se forman al trazar desde los extremos, perpendiculares a los ejes de abscisas y ordenadas, respectivamente. Luego las coordenadas de M son: M = (đ?‘Ľđ?‘š ; đ?‘Śđ?‘š ) = (
đ?‘Ľđ?‘Ž + đ?‘Ľđ?‘? đ?‘Śđ?‘Ž + đ?‘Śđ?‘? ; 2 2
)
ObservaciĂłn: De lo anterior, se puede expresar las coordenadas de M, como: M=(
( đ?‘Ľđ?‘Ž ; đ?‘Śđ?‘Ž ) ( đ?‘Ľđ?‘? ; đ?‘Śđ?‘?) ; ) 2 2
=
đ??´+đ??ľ 2
DivisiĂłn de un segmento en una razĂłn r.- Sea P un punto del segmento AB, que divide a dicho segmento en una razĂłn r ( Lic.: Miguel Ă ngel Tarazona Giraldo Web: http://migueltarazonagiraldo.com/
đ??´đ?‘ƒ đ?‘ƒđ??ľ
= r)
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CICLO: I Sea G el baricentro del triĂĄngulo ABC y M el punto medio de BC. Entonces M =
đ??ľ+đ??ś , 2
luego 2M=B +C
Sabemos que el baricentro (G) divide a la mediana AM en la razĂłn de 2: 1, entonces AG = 2GM, luego r =
đ??´đ??ş đ??şđ?‘€
= 2. Ahora usamos la fĂłrmula para calcular las coordenadas de G: G=
đ??´ + đ?‘&#x;đ?‘€ 1+đ?‘&#x;
=
đ??´ + 2đ?‘€ 1+2
Entonces G = En el grĂĄfico; sea PB = â„“ y AP = r â„“, entonces
đ??´đ?‘ƒ đ?‘ƒđ??ľ
=r
G=(
En el trapecio sombreado: đ?‘Ľđ?‘? = đ?‘Śđ?‘? =
(đ?‘Ľđ?‘Ž .â„“+đ?‘Ľđ?‘?.r â„“) đ?‘Ľđ?‘Ž + đ?‘&#x;đ?‘Ľđ?‘? = â„“+râ„“ 1+đ?‘&#x;
đ??´ + 2đ?‘€ 3
=
đ??´ + đ??ľ+đ??ś 3
(đ?‘Ľđ?‘Ž ; đ?‘Śđ?‘Ž ) + (đ?‘Ľđ?‘? ; đ?‘Śđ?‘? )+ (đ?‘Ľđ?‘? ; đ?‘Śđ?‘? )
(đ?‘Ľđ?‘Ž+ đ?‘Ľđ?‘? + đ?‘Ľđ?‘? ) 3
3
;
(đ?‘Śđ?‘Ž + đ?‘Śđ?‘? + đ?‘Śđ?‘? ) ) 3
= (đ??şđ?‘Ľ ; đ??şđ?‘Ś )
luego:
, anĂĄlogamente, hallamos
đ??şđ?‘Ľ =
(đ?‘Śđ?‘Ž .â„“+đ?‘Śđ?‘? .r â„“) đ?‘Śđ?‘Ž + đ?‘&#x;đ?‘Śđ?‘? = â„“+râ„“ 1+đ?‘&#x;
đ?‘Ľđ?‘Ž + đ?‘&#x;đ?‘Ľđ?‘? đ?‘Śđ?‘Ž + đ?‘&#x;đ?‘Śđ?‘? ; 1+đ?‘&#x; 1+đ?‘&#x;
(đ?‘Ľđ?‘Ž+ đ?‘Ľđ?‘? + đ?‘Ľđ?‘? ) 3
; đ??şđ?‘Ś =
(đ?‘Śđ?‘Ž + đ?‘Śđ?‘? + đ?‘Śđ?‘? ) 3
AplicaciĂłn 02: Hallar el ĂĄrea del siguiente polĂgono: đ??´(−5,2), đ??ľ(1, −4), đ??ś(5,1), đ??ˇ(3,4) đ?‘Ś đ??¸(−2,6)
Entonces las coordenadas del punto P es: P = (đ?‘Ľđ?‘? ; đ?‘Śđ?‘? ) = (
=
SoluciĂłn )
TambiĂŠn podemos expresar a P como: P=(
( đ?‘Ľđ?‘Ž ; đ?‘Śđ?‘Ž ) đ?‘&#x;( đ?‘Ľđ?‘? ; đ?‘Śđ?‘? ) 1+đ?‘&#x;
;
1+đ?‘&#x;
)=
đ??´ + đ?‘&#x;đ??ľ 1+đ?‘&#x;
AplicaciĂłn 01: Dado un triĂĄngulo ABC, donde A = (đ?‘Ľđ?‘Ž ; đ?‘Śđ?‘Ž ), B = (đ?‘Ľđ?‘? ; đ?‘Śđ?‘? ), C = (đ?‘Ľđ?‘? ; đ?‘Śđ?‘? ). Halle las coordenadas del baricentro del triĂĄngulo. (Baricentro es el punto de concurrencia de las medianas de un triĂĄngulo) SoluciĂłn
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đ?‘¨ = (đ?&#x;Ž. đ?&#x;“)[+(−đ?&#x;“)(−đ?&#x;’) + (đ?&#x;?)(đ?&#x;?) + (đ?&#x;“)(đ?&#x;’) + (đ?&#x;‘)(đ?&#x;”) + (−đ?&#x;?)(đ?&#x;?) − (−đ?&#x;“)(đ?&#x;”) − (−đ?&#x;?)(đ?&#x;’) − (đ?&#x;‘)(đ?&#x;?) − (đ?&#x;“)(−đ?&#x;’) − (đ?&#x;?)(đ?&#x;?)] đ?‘¨ = (đ?&#x;Ž,đ?&#x;“)(đ?&#x;?đ?&#x;Ž + đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;Ž + đ?&#x;?đ?&#x;– − đ?&#x;’ + đ?&#x;‘đ?&#x;Ž + đ?&#x;– − đ?&#x;‘ + đ?&#x;?đ?&#x;Ž − đ?&#x;?) đ?‘¨ = (đ?&#x;Ž,đ?&#x;“)(đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;–) đ??´ = 54 đ?‘˘2
CICLO: I
ďƒŚ1ďƒś 60  ďƒ§ ďƒˇ (ď€30) 60 ď€ 15 2(45) ďƒ¨2ďƒ¸ ; x ; x  1 3 3 1 2 2 x  30. Y al sustituir los valores y1  90, y2  ď€30 y r 
AplicaciĂłn 03: Para el tendido de un cableado telefĂłnico sobre una calle se requieren cuatro postes, los cuales deben estar separados por distancias iguales. Si el primero de los postes se encuentra en uno de los extremos del cableado que estĂĄ en el punto đ??´(60, 90), segĂşn un sistema coordenado como el que se muestra en la figura, y el Ăşltimo en el extremo que se localiza en đ??ľ(−30, −30), se deben determinar las coordenadas de los puntos đ??ś đ?‘Ś đ??ˇ para colocar ahĂ los otros dos postes entre đ??´ đ?‘Ś đ??ľ. Las longitudes estĂĄn dadas en metros. SoluciĂłn Puesto que los puntos đ??ś đ?‘Ś đ??ˇ dividen al segmento comprendido entre los puntas đ??´ đ?‘Ś đ??ľ en tres segmentos, đ??´đ??ś, đ??śđ??ˇ đ?‘Ś đ??ˇđ??ľ, de igual longitud, siendo el punto C el mĂĄs cercano al punto đ??´, como se muestra en la figura, se tiene que:
en la ecuación y 
x  rx2 la ecuación x  1 se obtiene: 1 r
Lo que significa que el otro poste debe colocarse en el punto đ??ˇ(0, 10). Las soluciones encontradas se muestran en la siguiente figura:
Resumen
1 en 2
Convenciones:
 x  abscisa,
y  ordenada 
Distancia Entre 2 Puntos:
d Lic.: Miguel à ngel Tarazona Giraldo Web: http://migueltarazonagiraldo.com/
y1  ry2 se obtiene: 1 r
ďƒŚ1ďƒś 90  ďƒ§ ďƒˇ (ď€30) 90 ď€ 15 2(75) ďƒ¨2ďƒ¸ y ; y  1 3 3 1 2 2 y  50.
d AC 1  dCB 2 Al sustituir los valores x1  60, x2  ď€30 y r 
1 2
x2 ď€ x1 2   y2 ď€ y1 2
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x1  x2 , 2
y
y1  y2 2
d. đ?‘‡(0, −3), đ?‘ˆ(3, 0) đ?‘Ś đ?‘Š(0, −4) .
03. Sea đ??´ = (5, 3) đ?‘Ś đ??ľ = (−3, −3) los extremos del Ě…Ě…Ě…Ě… encuentre las coordenadas del punto P segmento đ??´đ??ľ
Coordenadas de DivisiĂłn de un segmento en una razĂłn dada:
x
x1  rx2 , 1 r
y
CICLO: I c. đ?‘„(0, 0), đ?‘…(5, −2) đ?‘Ś đ?‘†(−3, 3)
Coordenadas del Punto Medio:
x
y1  ry2 , r ď‚š ď€1 , 1 r
r
que lo divide a una razón r 
P1 P PP2
A A
y1
x2
y2
x3
y3
x1
y1
1 . 3
04. Hallar el perĂmetro del polĂgono cuyos puntos son: đ??´(5, 2); đ??ľ(−3, 4); đ??ś(−6, −3) đ?‘Ś đ??ˇ(3, −2)
Ă rea, PerĂmetro y SemiperĂmetro De PolĂgonos:
x1
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05. Graficar el correspondiente.
polĂgono
y
hallar
su
ĂĄrea
a) đ??´(3, −4), đ??ľ(5,2) đ?‘Œ đ??ś(−7, −3) b) đ??´(4,7), đ??ľ(1, −2) đ?‘Œ đ??ś(2, −5)
2  x1 y2  x2 y3  x3 y1  2
c) đ??´(−3,3), đ??ľ(4,2), đ??ś(7,7) đ?‘Œ đ??ˇ(−1,6)
ď€
 x2 y1  x3 y2  x1 y3 
d) đ??´(−3, −4), đ??ľ(4, −6), đ??ś(7,1), đ??ˇ(5,4), đ??¸(−2,6) đ?‘Ś
2
đ??š(−6,2)
PerĂmetro(p) P  Suma de las Longitudes de Todos los Lados
e) đ??´(−3, −1), đ??ľ(2, −4), đ??ś(4,1) đ?‘Œ đ??ˇ(−3,2) 06. Determine el punto medio del segmento de recta
PerĂmetro ( P) Semiperime tro  p  2
ďƒŚ ď€7 3ďƒś ; ďƒˇ, ďƒ¨ 3 4ďƒ¸
con los puntos extremos ďƒ§
ďƒŚ5 ď€9ďƒś ďƒ§ ; ďƒˇ ďƒ¨3 4 ďƒ¸
07. Demuestre que el triångulo cuyos vÊrtices son (4; 3), (– 3; 4) � (9; 8) es isósceles.
Ejercicios 01. En los siguientes ejercicios localice los pares de puntos y encuentre la distancia entre ellos.
08. Se tiene los puntos P a ; b  y Q ď€ 6 ; ď€ 7 ; si el
a. đ??´(3, 1), đ??ľ(7, 4)
b. đ?‘€(−3, −3), đ?‘ (2, 2)
punto medio entre ellos es ďƒ§ďƒ§ ď€ 2 ;
c. đ?‘ƒ(6, 3), đ?‘„(−1, −1)
d. đ?‘…(0, 4), đ?‘†(−3, 0)
e. đ??ś(−3, −1), đ??ˇ(7, 4)
f. đ?‘‡(13, −4), đ?‘ˆ(0, 0)
g. đ??ż(−1, √2), đ??ž(3, −√2)
h. đ?‘†(3, 2), đ?‘‡(−5, 1)
02. En los siguientes ejercicios dibuje el triĂĄngulo con los vĂŠrtices dados y encuentre las longitudes de los lados. a. đ??´(−1, 1), đ??ľ(−1, 4) đ?‘Ś đ??ś(3, 4)
ďƒŚ
ďƒ¨ coordenadas del punto P a ; b  .
ď€1ďƒś ďƒˇ , determinar las 2 ďƒˇďƒ¸
09. Hallar las coordenadas de un punto P(x, y) que divida al segmento determinado por đ?‘ƒ1 (−2, 1) đ?‘Ś đ?‘ˇđ?&#x;? , (đ?&#x;‘, −4) en la 8 relaciĂłn đ?’“ = − .. 3 10. Hallar el ĂĄrea A del pentĂĄgono cuyos vĂŠrtices son los puntos de coordenadas (- 5, -2), (-2,5), (2,7), (5, 1), (2,-4).
b. đ?‘€(2, −1), đ?‘ (4, 2) đ?‘Ś đ?‘ƒ(5, 0) Lic.: Miguel Ă ngel Tarazona Giraldo Web: http://migueltarazonagiraldo.com/
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11. Demostrar analĂticamente que las rectas que unen los puntos medios de los lados adyacentes del cuadrilĂĄtero đ??´(−3, 2), đ??ľ(5, 4), đ??ś(7, −6) đ?‘Ś đ??ˇ(−5, −4) forman otro cuadrilĂĄtero cuyo perĂmetro es igual a la suma de las diagonales del primero. 12. Demostrar que los puntos đ??´(0, 1), đ??ľ(3, 5), đ??ś(7, 2)
CICLO: I 21. Dados los puntos đ?‘ƒ(3, 9) đ?‘Ś đ?‘„(8, – 1): a) Halla el punto medio de PQ. b) Halla el simĂŠtrico de P respecto de Q. c) Halla el simĂŠtrico de Q respecto de P.
đ?‘Ś đ??ˇ(4, 2) son los vĂŠrtices del cuadrado.
d) ObtĂŠn un punto A de PQ tal que
13. Demostrar que los cuatro puntos đ??´(1, 1), đ??ľ(3, 5), đ??ś(11, 6) đ?‘Ś đ??ˇ(9, 2) son los vĂŠrtices de un paralelogramo.
PA 2  . AQ 3
e) ObtĂŠn un punto B de PQ tal que
PB 1  . PQ 5
14. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7, 8) y su punto medio es (4, 3). Hallar el otro extremo.
15. Los puntos medios de los lados de un triĂĄngulo son (2, 5), (4, 2) y (1, 1). Hallar las coordenadas de los vĂŠrtices. 16. Encuentre las coordenadas del punto P(x, y)
22. Calcula el valor de k para que los puntos de coordenadas A (1, 7), B (–3, 4), C (k, 5) estÊn alineados.
BIBLIOGRAFĂ?A Instituto de Ciencias y Humanidades. (2008). Algebra y principios del anĂĄlisis. Lima: Lumbreras.
que divide al segmento P1P2 en la razĂłn
PP r = 1 dada en cada caso. PP2
Zill, D., & Wright, W. (2011). CĂĄlculo. Trascendentes tempranas. MĂŠxico, D.F: Mc Graw Hill.
a) đ?‘ƒ1 (1, 3), đ?‘ƒ2 (7, 9), r = 1/2.
Fuller, G., Wilson, W., & Miller, H. (1986). Algebra Universitaria. Mexico D.F: Continental.
b) đ?‘ƒ1 (5, ď€4), đ?‘ƒ2 ( ď€1/3, 2), r = 3/2. c) đ?‘ƒ1 (5, ď€5); đ?‘ƒ2 (2, ď€3); r = ď€4/3. 17. Calcule el ĂĄrea del triĂĄngulo cuyos vĂŠrtices son:
Stewart, J. (2008). CĂĄlculo de una variable: Trascendentes tempranas. MĂŠxico, D.F: CENGAGE Learning.
a) đ??´(2, 3), đ??ľ(8, 7) đ?‘Ś đ??ś(8, 3). b) đ??´(5, 4), đ??ľ(ď€3, 6) đ?‘Ś đ??ś(ď€3, 4).
REFERENCIA
18. Demostrar que los puntos (0, 1), (3, 5), (7, 2) y
https://www.definicionabc.com/general/planocartesiano.php
(đ?&#x;’, − 2) son los vĂŠrtices de un cuadrado. 19. Los puntos medios de los lados de un triĂĄngulo son (2, 5), (4, 2) đ?‘Ś (1, 1). Hallar las coordenadas de los tres vĂŠrtices. 20. Las coordenadas de los puntos medios de los lados
de un triĂĄngulo son ď€¨ď€ 1 , 3, 6 , 3 y ď€¨ď€ 1 , ď€ 1 . Halla las coordenadas de sus vĂŠrtices.
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https://aga.frba.utn.edu.ar/matrices/ http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/mateI15/ T_matrdeter/MatrDeter https://es.slideshare.net/miguelangeltarazonagiraldo/ matrices-58478482
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