Matrices

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE HUMANIDADES Y CIENCIAS SOCIALES Ă REA: MATEMĂ TICA

E.P. DE: EDUCACIĂ“N PRIMARIA E INTERCULTURALIDAD

MATEMĂ TICA BĂ SICA

TEMA: FRACCIONES TURNO: NOCHE PABELLĂ“N: B

CICLO: I SEMANA: 15 SEMESTETRE: 2017 - II

AULA: 501

MATRICES Y DETERMINANTES

B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtĂŠn matricialmente la cantidad que necesitarĂĄn, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos.

Sol.- Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que buscamos, con las cantidades en gramos.

Naranja Rojo A M ďƒŚ 40 ďƒ§ R ďƒ§160 ďƒ§ Ca ďƒ¨ 80

2 unidades 4 3 B 120 120 120

5 unidades 8 5

C 150 ďƒś A ďƒŚ 50 ďƒś M ďƒŚ 26 600 ďƒś ďƒˇ ďƒ§ ďƒˇ ďƒ§ ďƒˇ 80 ďƒˇ ďƒ— B ďƒ§ 80 ďƒˇ  R ďƒ§ 25 600 ďƒˇ ďƒˇ ďƒ§ ďƒˇ ďƒ§ ďƒˇ 80 ďƒ¸ C ďƒ¨100 ďƒ¸ Ca ďƒ¨ 21 600 ďƒ¸

En F1, las peras cuestan 1,5 euros/kg, las manzanas 1 euro/kg y las naranjas 2 euros/kg.

En F2, las peras cuestan 1,8 euros/kg, las manzanas 0,8 euro/kg y las naranjas 2 euros/kg. a) Expresa matricialmente la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C). b) Escribe una matriz con los precios de cada tipo de fruta en cada una de las dos fruterĂ­as.

P a) A ďƒŚ 2 ďƒ§ B ďƒ§2 ďƒ§ C ďƒ§ďƒ¨ 1

ďƒŚ 26 600 ďƒś M ďƒŚ 26,6 ďƒś ďƒ§ ďƒˇ ďƒ§ ďƒˇ ďƒ— ďƒ§ 25 600 ďƒˇ  R ďƒ§ 25,6 ďƒˇ ďƒ§ 21 600 ďƒˇ Ca ďƒ§ 21,6 ďƒˇ ďƒ¨ ďƒ¸ ďƒ¨ ďƒ¸

2. Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta: A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas.

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En el pueblo en el que viven hay dos fruterĂ­as đ??š1 đ?‘Śđ??š2 .

c) ObtĂŠn una matriz, a partir de las dos anteriores, en la que quede reflejado lo que se gastarĂ­a cada persona haciendo su compra en cada una de las dos fruterĂ­as.

SoluciĂłn:

10 unidades 12 8

Si queremos las cantidades expresadas en kilogramos, haremos: 1 1000

C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas.

M N 1 6ďƒś ďƒˇ 2 4ďƒˇ ďƒˇ 2 3 ďƒˇďƒ¸

F1 b) P ďƒŚ 1,5 ďƒ§ Mďƒ§ 1 ďƒ§ N ďƒ§ďƒ¨ 2

F2 1,8 ďƒś ďƒˇ 0,8 ďƒˇ ďƒˇ 2 ďƒˇďƒ¸

c) El producto de las dos matrices anteriores nos da la matriz que buscamos: P M N F1 F2 F1 A ďƒŚ 2 1 6 ďƒś P ďƒŚ 1,5 1,8 ďƒś A ďƒŚ 16 ďƒ§ ďƒˇ ďƒ§ ďƒˇ ďƒ§ B ďƒ§ 2 2 4 ďƒˇ ďƒ— M ďƒ§ 1 0,8 ďƒˇ  B ďƒ§ 13 ďƒ§ ďƒˇ ďƒ§ ďƒˇ ďƒ§ C ďƒ§ďƒ¨ 1 2 3 ďƒˇďƒ¸ N ďƒ§ďƒ¨ 2 2 ďƒˇďƒ¸ C ďƒ§ďƒ¨ 9,5

F2 16,4 ďƒś ďƒˇ 13,2 ďƒˇ ďƒˇ 9,4 ďƒˇďƒ¸

3. Tres familias, A, B, y C, van a ir de vacaciones a una E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe Web: http://migueltarazonagiraldo.com/

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ciudad en la que hay tres hoteles, H1, H2 y H3. La familia A necesita 2 habitaciones dobles y una sencilla, la familia B necesita 3 habitaciones dobles y una sencilla, y la familia C necesita 1 habitación dobles y dos sencillas.

En el hotel H1, el precio de la habitación doble es de 84 euros/día, y el de la habitación sencilla es de 45 euros/día. En H2, la habitación doble cuesta 86 euros/día, y la sencilla cuesta 43 euros/día. En H3, la doble cuesta 85 euros/día y la sencilla 44 euros/día. a) Escribe en forma de matriz el número de habitaciones (dobles o sencillas) que necesita cada una de las tres familias. b) Expresa matricialmente el precio de cada tipo de habitación en cada uno de los tres hoteles. c) Obtén, a partir de las dos matrices anteriores, una matriz en la que se refleje el gasto diario que tendría cada una de las tres familias en cada uno de los tres hoteles.

Solución D a) A  2  B 3  C  1

S 1  1  2 

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H1 b) D  84  S  45

H2 86 43

H3 85   44 

CICLO: I Cada unidad de A que se vende proporciona un beneficio de 5 euros; por cada unidad de B, se obtienen 20 euros de beneficio; y por cada una de C, 30 euros.

Sabiendo que la empresa vende toda la producción diaria, obtén matricialmente el beneficio diario obtenido con cada una de las tres factorías.

Solución: Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que buscamos:

A F1  200  F2  20  F3  80

B 40 100 50

C 30  A  5  F1  2 700           200  B 20  F2 8 100           40  C  30  F3  2 600 

5. En una pastelería elaboran tres tipos de postres: A, B y C, utilizando leche, huevos y azúcar (entre otros ingredientes) en las cantidades que se indican: A: 3/4 de litro de leche, 100 g de azúcar y 4 huevos.

B: 3/4 de litro de leche, 112 g de azúcar y 7 huevos.

C: 1 litro de leche y 200 g de azúcar.

El precio al que se compran cada uno de los tres ingredientes es de 0,6 euros el litro de leche, 1 euro el kg de azúcar, y 1,2 euros la docena de huevos.

c) El producto de las dos matrices anteriores nos da la matriz que buscamos:

Obtén matricialmente el gasto que supone cada uno de estos tres postres (teniendo en cuenta solamente los tres ingredientes indicados).

Solución:

D S A  2 1  H1 H 2   D  84 86 B  3 1     S  45 43  C  1 2 

H1 H 3 A  213  85    B  297  44  C  174

H2 H3 215 214   301 299   172 173 

El precio de cada litro de leche es de 0,6 euros; el precio de cada gramo de azúcar es de 0,001 euros; y el precio de cada huevo es de 0,1 euros.

Organizamos los datos que nos dan en dos matrices; su producto es la matriz que buscamos:

4. Una empresa tiene tres factorías, F1, F2, F3, en las que se fabrican diariamente tres tipos diferentes de productos, A, B y C, como se indica a continuación: F1: 200 unidades de A, 40 de B y 30 de C. F2: 20 unidades de A, 100 de B y 200 de C. F3: 80 unidades de A, 50 de B y 40 de C.

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L

Az

H

A  3 / 4 100 4  L  0,6  A  0,95        B  3 / 4 112 7   Az  0,001  B 1,262  C  1 200 0  H  0,1  C  0,8  Por tanto, el postre A supone 0,95 euros, el B 1,26 euros; y el C, 0,8 euros.

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CICLO: I

 2 X  3Y  M   3 X  4Y  2 N

EJERCICOS PROPUESTOS 1.- Determine los valores de x e y que hacen cierta la siguiente igualdad:

 1  1  x   1 x   3              3 2   y   y  1  2  Sol: X = -5/4 Y=-7/4

8 6 3   2  2 5     Sol: X   16  10 8 , Y   10  8 5    12  8  8    9  6  7     5.-Dada la matriz:

2.- Determine la matriz X de dimensiones 2x2 tal que:

 1 3   0 1   1 0    2     X    2 5   1 1  3  1  5  9  Sol: X     23 14 

3  2 

Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes: Naranja Rojo 2 unidades 700.000 50.000 5 unidades 600.000 40.000 10 unidades 500.000 500.000 Se pide: a) Resumir la información anterior en dos matrices A y B: A será una matriz que recoja las ventas en un año y B será una matriz que recoja los precios. b) Calcular los elementos de la diagonal principal de la matriz A * B y dar su significado. c) Calcular los elementos de la diagonal principal de la matriz B * A y dar su significado.

4.- Dadas las matrices:

1 2 3   N   4 1 2  0 0 2  

Hallar las matrices X e Y tales que:

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1 2  A   3 4 Sol:  2

3.- Un importador de globos los importa de dos colores.

Naranja y rojo y los envía en paquetes de 2, 5 y 10 unidades que vende a los siguientes precios:

 2 1 3   M   2 4 1  3 2 5  

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11  2 6 





2

Hallar At  A1  A .

6.- Determinar una matriz X tal que A  2 XB  C siendo:

 1  2 1  A    0 3 1 1 2 3   C    8  1  1

 1  1 1   B   2 0 1   1 1 1   1   1 1  Sol: X=  1  2   0

 1 0   1 1 

7.- Sea A  

a) Demuestra que A2  2 A  I donde I es la matriz identidad. Sí se cumple b) Halla las matrices A3 y A4 y exprésalas en función de A e I. Sol: A3  3 A  2 I ; A4  4 A  3I

8.- Discutir y resolver, si es posible, en función del valor del parámetro  el sistema de ecuaciones lineales siguiente: E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ Página 3 de 6

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x yz 0   x  (  1) y  z  0 x  y  (  1) z  0

b   a   2a 2d 

9.- Calcúlese la matriz X tal que AX  A  B siendo:

 3 3  B   1 1

CICLO: I Sol: a) B  

Sol: Si   0 ó   2 el sistema es S.C.D ; Si   0 ó   2 el sistema es S.C.I

 2 1  A    0 1

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2 1  1 2

Sol: X  

 a 0   2a 0 

b) B  

13.-Dadas las matrices:

 3  1  A   0 2 

 1  2  B    1 1 

hallar la inversa de A – B y la matriz X tal que X  ( A  B)  A  B .

 7 10    4 7 

Sol: X  

10.- Sean las matrices:

A  1 1 1 2 3 1  B    4 8 4

14.- Calcula el rango de la matriz:

4 5  1 2   6 7  4 5 A Sol: Rg A=3 3 1  2  3   5 3 6 7  

Calcula el producto A  B t  B  At .

Sol: Da la matriz de 1x1 cero, o el número cero

11.- Considérese el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a:

ax  y  z  1   x  ay  z  a  x  y  az  a 2 

15.- Determina los valores de m para los cuales:

 m 0  X    0 2

verifique

5 X I 0.

2

X2

Sol: Se cumple para m  2 y m 

1 2

a) Discútase el sistema según los valores de a. b) Resuélvase el sistema para a = – 1.

1 1 1 16.- Sabiendo que a b c  5 calcula el valor de los x y z

 0 0  2 1  

12.- Sea: A  

siguientes determinantes:

Hallar las matrices B de orden 2 x 2 tales que: a) A  B  0

b) A  B  B  A  0

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1 1 1 a) a  7 b  7 c  7 x/2 y/2 z/2

a b c b) x y z 1 1 1

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MATEMĂ TICA BĂ SICA

CICLO: I a) Comprobar que es compatible para todo valor de a. b) Resolverlo para a = –2.

b) 5

17.- Discute los siguientes sistemas y resuĂŠlvelos cuando sean compatibles:

20.- Determina para que valores de x tiene inversa la matriz y calcĂşlala.

x  y 1 ďƒź ďƒŻ my  z  0 a) ďƒ˝ x  (m  1) y  mz  m  1ďƒŻďƒž

ďƒŚ 0 1 xďƒś ďƒ§ ďƒˇ A  ďƒ§ x 0 x ďƒˇ ďƒ Sol: Si x  0 no tiene ďƒ§ď€­ x 0 xďƒˇ ďƒ¨ ďƒ¸ inversa y si x ď‚š 0 tiene inversa.

Sol: Si m  0 ó m  1 el sistema es S.C.D ; Si m  0 el sistema es S.C.I; Si m  1 es S.I

ax  y  z  a 2 ďƒź x  y  z  1 ďƒŻďƒŻ b) ďƒ˝ 3x  y  z  1 ďƒŻ 6 x  y  z  3a ďƒŻďƒž

ďƒŚ 0 1 2ďƒś ďƒ§ ďƒˇ 21.- Dada la matriz A  ďƒ§ 0 0 3 ďƒˇ , calcular las ďƒ§0 0 0ďƒˇ ďƒ¨ ďƒ¸ 3 5 2 4 matrices A , A , A y A .

Sol: Si a  2 el sistema es S.I ; Si a  2 el sistema es S.C.D

Obtener razonadamente An para n > 5.

Sol: A partir de A3 la matriz es nulaďƒ An  O

(1  k ) x  y  0 ďƒź ďƒŻ c) x  (1  k ) y  z  0ďƒ˝ y  (1  k ) z  0 ďƒŻďƒž Sol: Si k ď‚š 1 el sistema es S.C.D; Si k  1 el sistema es S.C.I; 18.- Hallar, si existe, una matriz cuadrada 2 x 2, A, que cumpla las siguientes condiciones: 1) Coincide con su traspuesta.

2) Verifica la ecuaciĂłn matricial:

ďƒŚ1 1ďƒś ďƒŚ 1  1ďƒś ďƒŚ  3  3 ďƒś ďƒ§ďƒ§ ďƒˇďƒˇ ďƒ— A ďƒ— ďƒ§ďƒ§ ďƒˇďƒˇ  ďƒ§ďƒ§ ďƒˇ 3 ďƒˇďƒ¸ ďƒ¨  1  1ďƒ¸ ďƒ¨0 1 ďƒ¸ ďƒ¨ 3

22.- Se dice que dos matrices cuadradas, A y B, de orden n x n, son semejantes si existe una matriz inversible, P, tal que, B  P 1 ďƒ— A ďƒ— P, donde P 1 denota la matriz inversa de P. Determine si son semejantes las matrices:

ďƒŚ1 2ďƒś ďƒˇďƒˇ A  ďƒ§ďƒ§ ďƒ¨0 1ďƒ¸

ďƒŚ1 0 ďƒś ďƒˇďƒˇ B  ďƒ§ďƒ§ ďƒ¨ 0  1ďƒ¸

Sol: No son semejantes porque solo lo verifica si la matriz P, es la matriz nula.

1) Su determinante vale 9.

23.- Calcula el valor de la matriz X sabiendo que: 19.- Se considera el sistema de ecuaciones:

ax  y  z  (a  1)( a  2) ďƒź ďƒŻ x  ay  z  (a  1) 2 (a  2)ďƒ˝ x  y  az  (a  1) 3 (a  2)ďƒŻďƒž Lic.: Miguel Ă ngel Tarazona Giraldo E_MAIL. contacto@migueltarazonagiraldo.com

2đ??´ – đ??´đ?‘‹ = đ??ľđ?‘‹

siendo

ďƒŚ 2 1ďƒś ďƒˇďƒˇ A  ďƒ§ďƒ§ ďƒ¨ 3 2ďƒ¸

ďƒŚ 1  1ďƒś ďƒˇďƒˇ B  ďƒ§ďƒ§ ďƒ¨0 2 ďƒ¸ E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ PĂĄgina 5 de 6

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y

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4 3 Sol: X   1  2

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CICLO: I

2 3  1  2

24.- Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales según los diferentes valores del parámetro a, y resolverlo cuando sea posible:

A1

A2

A3

A4

A5

B1

3

4

1

3

4

B2

3

2

5

3

2

B3

7

4

3

2

3

a) ¿Qué almacén dispone de un mayor stock de artículos A3?

b) A qué término corresponde este dato? ¿Cuál es su

x  y  5 y  z  a   x  2z  3 2 x  3 z  a

valor?

c) ¿Qué representa el elemento a32? ¿Y el a23?

BIBLIOGRAFÍA

25.- Se consideran las matrices:

13     12 m     A  ; B  m0     1 1 1     02   m es un número real. Encontrar los valores de m para los que AB es inversible.

26.- Discutir, en función del número real m, el rango

- Varas, Antonio (1801). en la imprenta de la viuda de Ibarra, ed. Aritmética y geometría práctica de la Real Academia de San Fernando. pp. 106-120.

- Teresa, M. Dal (2004). 200 Ejercicios de Regla de Tres.

Imaginador.

1 m  2    de la matriz A1m 2 3  2 1 2  

REFERENCIAS

27.- Dadas las matrices

http://calculo.cc/temas/temas_e.s.o/proporcionalidad /problemas/prob_compuesta.html

Tratado de aritmética: 3 grado. Editorial Bruño. p. 187. http://www.ejemplode.com/5-matematicas/4618ejemplo_de_regla_de_tres_compuesta.html

1 0 0  1 1 0     P1 0 1 y A 0 1 0 , hállese  0 0 2 1 1 1     razonadamente la matriz B sabiendo que BP  A .

http://emmmate.blogspot.pe/2008/06/capitulo-3regla-de-tres.html

axaya . xay1

28.- Discutir en función de a el sistema 

29.- Las existencias de 5 artículos A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , en una cadena de tres almacenes B1 , B2 , B3 , B4 , B5 , vienen indicados por la siguiente tabla ( en miles de unidades): Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. contacto@migueltarazonagiraldo.com

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