Números complejos

FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA

INGENIERÍA ELECTRÓNICA EN TELECOMUNICACIONES

CURSO

INGENIERÍA APLICADA A LA INGENIERÍA IV

TURNO

NOCHE

SEMESTRES

2018 - I

TEMA

NÚMEROS COMPLEJOS

SEMANA

01

CICLO

PRE

NĂşmeros complejos

����������� �� �������� � ����������� Número Complejo Considerando que:

• Números complejos. • Operaciones con números complejos. • Conjugado complejo.

Un nĂşmero complejo es cualquier nĂşmero que puede escribirse en la forma

Z  a  bi

i 4  i 2 xi 2  (1)(1)  1

Z=a+bi

• DivisiĂłn de nĂşmeros complejos. • Soluciones complejas de ecuaciones cuadrĂĄticas. • Trazo de nĂşmeros complejos. • Forma trigonomĂŠtrica de los nĂşmeros complejos. • MultiplicaciĂłn y divisiĂłn de nĂşmeros complejos. • Teorema de Moivre. • RaĂ­ces de nĂşmeros complejos. đ??żđ?‘–đ?‘?. : đ?‘€đ?‘–đ?‘”đ?‘˘đ?‘’đ?‘™ Ă đ?‘›đ?‘”đ?‘’đ?‘™ đ?‘‡đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘§đ?‘œđ?‘›đ?‘Ž đ??şđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘‘đ?‘œ

i 2  ixi  1 1  1 i 3  i 2 xi  i

Im

bi

i  1

a

Re

MultiplicaciĂłn: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

donde a y b son reales.

Ejemplos El nĂşmero real a es la parte real, el nĂşmero b es la parte imaginaria y a + bi es Escriba la suma o diferencia en la forma estĂĄndar. la forma estĂĄndar.

Operaciones con nĂşmeros complejos Sean a + bi y c + di son dos nĂşmeros complejos, entonces: Suma: (đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘–) + (đ?‘? + đ?‘‘đ?‘–) = (đ?‘Ž + đ?‘?) + (đ?‘? + đ?‘‘)đ?‘– Resta: (đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘–) − (đ?‘? + đ?‘‘đ?‘–) = (đ?‘Ž − đ?‘?) + (đ?‘? − đ?‘‘)đ?‘–

đ?‘ƒĂĄđ?‘”. 02

1. (2  3i )  (3  4i ) 2. (2  i )  (9i  3)

3. ( 5  3i )  (2  9 ) 4. ( 7  i 2 )  (6  81)

5. ( 7  3i )  ( 6  2 i) 6. (1  i )  (1  1) đ?‘šđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘§đ?‘œđ?‘›đ?‘Ž@đ?‘˘đ?‘?â„Ž. đ?‘’đ?‘‘đ?‘˘. đ?‘?đ?‘’

“đ?‘źđ?‘ľđ?‘°đ?‘˝đ?‘Źđ?‘šđ?‘şđ?‘°đ?‘Ťđ?‘¨đ?‘Ť đ?‘Ťđ?‘Ź đ?‘Şđ?‘°đ?‘Źđ?‘ľđ?‘Şđ?‘°đ?‘¨đ?‘ş đ?’€ đ?‘Żđ?‘źđ?‘´đ?‘¨đ?‘ľđ?‘°đ?‘Ťđ?‘¨đ?‘Ťđ?‘Źđ?‘ş" Escriba el producto en la forma estĂĄndar.

1.(2  i )(1  3i ) 2.(5i  3)(2i  1)

DivisiĂłn de nĂşmeros complejos Escriba los nĂşmeros complejos en la forma estĂĄndar.

3.( 2  2i )(6  5i)

1. a )

ďƒŚ 3 1 ďƒś 4. ďƒ§ďƒ§  i ďƒˇďƒˇ 2 2 ďƒ¸ ďƒ¨

3

2 3i 2i 2.

2i

Conjugado complejo El conjugado complejo del nĂşmero complejo 3.

đ?‘§ = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– es:

b)

5i 2  3i

a. x 2  x  1  0 b. 3 x 2  x  2  0 c. x 2  x  11  5 x  8

(2  i )(1  2i ) 5  2i

Trazo de nĂşmeros complejos

đ?‘§ = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– = đ?‘Ž − đ?‘?đ?‘–

(1  2i )(1  i ) 4.

AsĂ­ mismo, el inverso multiplicativo o (1  2i ) recĂ­proco de đ?‘§ = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– es:

z 1 

1 1 1 a  bi    z a  bi a  bi a  bi

z 1 

1 a b  2  i z a  b2 a2  b2

đ??żđ?‘–đ?‘?. : đ?‘€đ?‘–đ?‘”đ?‘˘đ?‘’đ?‘™ Ă đ?‘›đ?‘”đ?‘’đ?‘™ đ?‘‡đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘§đ?‘œđ?‘›đ?‘Ž đ??şđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘‘đ?‘œ

El radicando b2-4ac es el discriminante, y si este valor es menor que cero, entonces las raĂ­ces serĂĄn conjugados complejos.

Ejemplos Resuelva:

Soluciones complejas de ecuaciones cuadrĂĄticas

Trace en el plano complejo u = 1 + 3i, v = 2 - i y u + v. CompĂĄrelo con la traza de vectores.

Eje imaginario u = 1 + 3i

La solución de la ecuación cuadråtica ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y a ≠0, estån dadas mediante la fórmula:

 b ď‚ą b2  4ac x 2a đ?‘ƒĂĄđ?‘”. 03

u + v = 3 + 2i

o

Eje real v=2-i

wđ?‘¤đ?‘¤. đ?‘šđ?‘–đ?‘”đ?‘˘đ?‘’đ?‘™đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘§đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘”đ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘‘đ?‘œ. đ?‘?đ?‘œđ?‘š

“đ?‘źđ?‘ľđ?‘°đ?‘˝đ?‘Źđ?‘šđ?‘şđ?‘°đ?‘Ťđ?‘¨đ?‘Ť đ?‘Ťđ?‘Ź đ?‘Şđ?‘°đ?‘Źđ?‘ľđ?‘Şđ?‘°đ?‘¨đ?‘ş đ?’€ đ?‘Żđ?‘źđ?‘´đ?‘¨đ?‘ľđ?‘°đ?‘Ťđ?‘¨đ?‘Ťđ?‘Źđ?‘ş"

y u = ďƒĄ1; 3ďƒą

u + v = ďƒĄ3; 2ďƒą x

o

v = ďƒĄ2; -1ďƒą

La forma trigonomĂŠtrica del nĂşmero complejo (b)  3  4i đ?‘§ = đ?‘Ž + đ?‘?đ?‘– es Eje imaginario z  r(cos ď ą  i senď ą )

ď ą

Donde: r es el mĂłdulo de z y ď ą es un argumento de z

r = |z| = |a + bi| = a 2  b 2 tanď ą 

b a

ď ąâ€™

Eje real

 3  4i

La aritmĂŠtica es la misma que la suma de Ejemplos vectores.

Determine la forma trigonomĂŠtrica con 0 ≤ ď ą ≤ 2ď ° Ejemplos Forma trigonomĂŠtrica de los nĂşmeros para el nĂşmero complejo: (a) 1  3i

complejos

Eje imaginario

Eje imaginario

b = r senď ą

z = a +bi

ď ą a = r cosď ą

Determine la forma binomial para el nĂşmero complejo de la forma trigonomĂŠtrica:

Eje real

đ??żđ?‘–đ?‘?. : đ?‘€đ?‘–đ?‘”đ?‘˘đ?‘’đ?‘™ Ă đ?‘›đ?‘”đ?‘’đ?‘™ đ?‘‡đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘§đ?‘œđ?‘›đ?‘Ž đ??şđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘‘đ?‘œ

ď ą Eje real

ď ąâ€™

ď ° ď °ďƒś ďƒŚ ďƒŚď ° ďƒś a. z  4 ďƒ§ cos  i sen ďƒˇ  4cis ďƒ§ ďƒˇ 3 3ďƒ¸ ďƒ¨ ďƒ¨3ďƒ¸

b. z  2cis(36) 1  3i

đ?‘ƒĂĄđ?‘”. 04

Note el uso de los grados sexagesimales y radianes

đ?‘šđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘§đ?‘œđ?‘›đ?‘Ž@đ?‘˘đ?‘?â„Ž. đ?‘’đ?‘‘đ?‘˘. đ?‘?đ?‘’

“đ?‘źđ?‘ľđ?‘°đ?‘˝đ?‘Źđ?‘šđ?‘şđ?‘°đ?‘Ťđ?‘¨đ?‘Ť đ?‘Ťđ?‘Ź đ?‘Şđ?‘°đ?‘Źđ?‘ľđ?‘Şđ?‘°đ?‘¨đ?‘ş đ?’€ đ?‘Żđ?‘źđ?‘´đ?‘¨đ?‘ľđ?‘°đ?‘Ťđ?‘¨đ?‘Ťđ?‘Źđ?‘ş" MultiplicaciĂłn y divisiĂłn de nĂşmeros complejos.

Sean:

z n  [r (cos ď ą  i senď ą )]n

Ejemplos

 r (cos nď ą  i sen nď ą )

Determine las raĂ­ces n-ĂŠsimas de las siguientes nĂşmeros complejos y grafĂ­quelos.

n

z1  r1 (cos ď ą1  i senď ą1 ) y

Determine mediante el teorema de Moivre:

z2  r2 (cos ď ą 2  i senď ą 2 )

a . (1  i 3)3

Entonces a: . z .z

ďƒŚ 2 2ďƒś b. ďƒ§ďƒ§  i ďƒˇďƒˇ 2 2 ďƒ¨ ďƒ¸

1

2

 r1.r2 [cos(ď ą1  ď ą 2 )  i sen (ď ą1  ď ą 2 )]

z1 b. z2 r1  [cos(ď ą1  ď ą 2 )  i sen (ď ą1  ď ą 2 )] r2 Teorema de Moivre

8

RaĂ­ces de nĂşmeros complejos

1. RaĂ­ces cuartas de z = 5(cos(ď °/3) + i sen((ď °/3)).

2. RaĂ­ces cĂşbicas de z = -1.

3. RaĂ­ces octavas de la unidad.

Para determinar las raĂ­ces enĂŠsimas de un nĂşmero complejo

Si z = r(cosď ą + isenď ą) Los n nĂşmeros complejos distintos son:

n

GRACIAS

ďƒŚ ďƒŚ ď ą  2ď ° k ďƒś ďƒŚ ď ą  2ď ° k ďƒś ďƒś r ďƒ§ďƒ§ cosďƒ§  i sen ďƒˇ ďƒ§ ďƒˇ ďƒˇďƒˇ ďƒ¨ n ďƒ¸ďƒ¸ ďƒ¨ ďƒ¨ n ďƒ¸

Para elevar un nĂşmero complejo đ?‘§ = đ?‘&#x;(cosď ą + đ?‘–đ?‘ đ?‘’đ?‘›ď ą) donde k = 0, 1, 2, 3, n-1 a una determinada potencia n entera positiva, Son las n-ĂŠsimas raĂ­ces del nĂşmero complejo z. entonces:

đ??żđ?‘–đ?‘?. : đ?‘€đ?‘–đ?‘”đ?‘˘đ?‘’đ?‘™ Ă đ?‘›đ?‘”đ?‘’đ?‘™ đ?‘‡đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘§đ?‘œđ?‘›đ?‘Ž đ??şđ?‘–đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘™đ?‘‘đ?‘œ

đ?‘ƒĂĄđ?‘”. 05

đ?‘šđ?‘Ąđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘§đ?‘œđ?‘›đ?‘Ž@đ?‘˘đ?‘?â„Ž. đ?‘’đ?‘‘đ?‘˘. đ?‘?đ?‘’